0809 analisis seccional a ceres
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ANÁLISIS SECCIONALIntroducción. Diagramas momento-
curvatura
ETSI Caminos, C. y P.
Universidade da Coruña
HORMIGHORMIGÓÓN ARMADO Y PRETENSADON ARMADO Y PRETENSADO
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
1. Definiciones y nomenclatura
Funcionamiento habitual de una viga biapoyada:– Tracciones en fibra inferior– Compresiones en fibra superior
R
Compresiones
Tracciones
R (radio de curvatura)
P
δ
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
1. Definiciones y nomenclatura
Fibraneutra
P
Compresión
Tracción
R (radio de curvatura)
Flecha, δ
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
1. Definiciones y nomenclatura
As Armadura traccionadaAs’ Armadura comprimida
h Cantob Ancho
d Canto útilx Prof. de la fibra neutra
r Recubrimiento
x d'r
rr r
cdg
A 's
As
h
b
d
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
1. Hormigón: curva tensión-deformación
Deformación de plastificación
( )0
0.530
0.002 , 50 MPa
0.002 0.000085 50 , 50 MPac ck
c ck ck
f
f f
ε
ε
= ≤
= + − >4
0.0035 , 50 MPa
1000.0035 0.0144 , 50 MPa100
cu ck
ckc ck
f
f f
ε
ε
= ≤
−⎛ ⎞= + >⎜ ⎟⎝ ⎠
Deformación de rotura a flexión simple
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
(excepcionalmente, para SD, )
1. Acero: curva tensión-deformación
Deformación de plastificación
max 0.010ε =
Deformación de rotura a flexión simple
(según tipo de acero)
max 0.020ε =
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2. Comportamiento bajo carga creciente
En el trabajo de una viga bajo flexión se observa un doble trabajo:– La deformación (δ) de la
viga bajo la carga P creciente: análisis P/ δ
– Las progresivas curvatura (c = 1/r) y deformación (ε) de cada sección bajo el momento creciente M: análisis M/c
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Comportamiento bajo carga creciente
FASE I: Hormigón no fisurado– Comportamiento lineal
FASE II: Hormigón fisurado– El hormigón se mantiene lineal en
compresión– Comportamiento lineal con menor
rigidezFASE III: Hormigón plastificado– Fase de prerrotura– Acaba cuando el acero, el hormigón
o ambos alcanzan su deformación de rotura
Aumento del momento
en la sección
0
Mfis
MII
Mu
NO FIS.
FIS.
PRE-ROTURA
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2. Diagrama P-δ
P
δI II III
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2. Diagramas P-δ y M-c
Diagramas P-δ (carga/flecha)– Análisis del comportamiento de una viga bajo una
carga que se incrementa
Diagramas M-c (momento/curvatura)– Análisis del comportamiento de una sección
– M es función de P– δ es función de c
⇒ existe analogía entre las curvas P-δ y M-c
2
2
1 d y Mcr dx EI
= ≈ =δ
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2. Análisis tensodeformacional de la sección
1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas permanecen planas
tras la deformación (hipótesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO– Las acciones internas deben equilibrar las
acciones externas
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Análisis tensodeformacional de la sección
1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas
permanecen planas tras la deformación (hipótesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO
– Las acciones internas deben equilibrar las acciones externas
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Análisis tensodeformacionalde la sección
1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas permanecen
planas tras la deformación (hipótesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO– Las acciones internas deben
equilibrar las acciones externas
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Análisis tensodeformacional de la sección
1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas
permanecen planas tras la deformación (hipótesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO– Las acciones internas
deben equilibrar las acciones externas
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2. Análisis de la curva M-c
Caracterización del comportamiento de la sección a través de momentos representativos
cI II III
Mu
MII
Mfis
Mfis Momento de fisuración
MII Final fase II (plastificación del hormigón)
Mu Rotura (momento último)
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2. Fase I: hormigón no fisurado
Comportamiento elástico-lineal de la sección
– Acaba cuando la fibra inferior alcanza su resistencia a tracción fct: M = Mfis (momento de fisuración)
( )2
21
1 d y Mcr dx EI
= ≈ =δ
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2. Fase II: hormigón fisurado
Comportamiento cuasielástico de la sección
– Se desprecia la aportación de rigidez del hormigón fisurado
– Acaba cuando el hormigón plastifica: M = MII
( )2
McEI
=
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2. Fase III: hormigón plastificado
Comportamiento no lineal de la sección
– Acaba cuando uno de los materiales rompe: M = Mu
Rotura dúctil Rotura frágil
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2. Fase I: Momento de fisuraciónh
b
dx
ε t
εc
α
σt
σc
Sección rectangular:
't
fisI fMv
= −
2
6t
fisbh fM =
c c cEσ ε=
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2. Fase I: Rigidezh
b
dx
ε t
εc
α
σt
σc
Sección bruta:
Sección homogeneizada:
c bM E I c=
c c cEσ ε=
c hM E I c=
1M K c=
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2. Fase I: Hormigón no fisurado. Tensiones
C=T ; σc = σt
M = 0.5·σc·(b·0.5h)·(2/3 h) =1/6·σc·b·h2
σc = σt = 6·M/(b·h2)
C=0.5σc·(b·0.5h)
T=0.5σs·(b·0.5·h)
2/3 h
b
1/2 h=x
1/2 h
σt
σc
Diagrama tensiones
M
σc = σt = M·y/Igdonde y = 0.5·h
Ig = b·h3/12
ó
Cuando σt = fr , comienza a fisurar la secciónMomento de fisuración, Mfis = ft·Ig/(0.5·h) = (ft·b·h2)/6
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
h
b
d
Zona comprimida
Zonatraccionada
Deformaciones Tensiones
2. Fase I: Hormigón no fisurado. Deformaciones y curvatura
α
σc
σt
εc
εt
x
Curvatura = c = α ~ tg α = εc/x = (σc/E)/x = σc/(0.5· h· E)σc=0.5· h· E· cM = 1/6· σc· b· h2 = (1/12· b· h3 )· E· c = E· I· c = K1· cK1= rigidez en FASE 1Relación lineal entre Momento y curvaturaPara M = Mfis c = cfis
σc = E · εc
M
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2. Fase I: sección homogeneizada
Coeficiente de equivalencia: n = Es/EcSe sustituye el área de acero As por área de hormigón nAs
Ejercicio: calcular área y momento de inercia homogeneizados para sección rectangular de canto h, ancho b, canto útil d y sección de acero As
DESCONTAR LOS HUECOS
QUE EL ACERO DEJA EN EL HORMIGÓNAs
As E s nAs E c
nA s
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2. Fase II: Hormigón comprimido (rango elástico), hormigón traccionado fisurado
εs
fy
Zona comprimida
Zona tracciónfisurada
deformaciones
fc
Diagrama simplificado del hormigón a compresión (bilineal)
εc
Diagrama del acero
Es
0.0035
tensionesM > Mfis
εc < 0.002; σc < fc
εs < εy ; σs < fyεc < 0.002
h
b
d
Fs = σs· Asεs = σs/ Es < εy
M
0.002
εy
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2. Fase II: análisis de la sección fisurada
σt
σ < fc
s s y
c
C
T
x/3
zh
b
dx
ε = σ /E < εs
ε < 0.002c
c s
x d xε ε
=−
12 c
s s
C b x
T A
σ
σ
=
=SE DESPRECIA LA APORTACIÓN
DEL HORMIGÓN FISURADO
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Fase II: análisis tensional
12 c
s s
C b x
T A
σ
σ
=
=
12 3c
xM C z b x dσ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
c s
x d xε ε
=−
; ; /c c c s s s s cE E n E Eσ ε σ ε= = =
( )c s cs
n n d xx d x xσ σ σσ −
= ⇒ =−
2
( ) 12
( )2
cs c
s
n d xA b xx
b xA d xn
σ σ⋅ ⋅ −⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⋅⇒ ⋅ − =
1 2 1s
s
n A b dxb n A
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
sc
Ab d
ρ = ⇒
3s sxM T z A dσ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Resultantes de fuerzas:
Momento en torno a armadura:
Mom. en torno a cdg de compresiones:
Compatibilidad de deformaciones:
Ecuaciones constitutivas:21 1c
c
x nd n
ρρ
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= c
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2. Fase II: análisis tensional
La profundidad x no depende del momento
Si el acero y el hormigón comprimido se comportan linealmente, la posición de x no cambia
La altura de fisura no varía durante la Fase II
21 1cc
x nd n
ρρ
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
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2. Fase II: rigidez respecto del acero
1 1s s
s s s
Tcd x d x E d x A E
ε σ= = =
− − − ⋅
13
3s s
x MM T z T d cxd x A E d
⎛ ⎞= = − ⇒ =⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )3s sxM d x A E d c⎛ ⎞= − − ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠ ( )2 3s sxK E A d x d⎛ ⎞= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Relación entre tensión del acero y curvatura:
Sustituyendo T = M/z,
Relación entre momento y curvatura:
RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN
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2. Fase II: rigidez respecto del hormigón
1 1 2c c
c c
Ccx x E x b x E
ε σ= = =
1 2 1 2
3
c
cc
C Mcxx x b x E x b x d E
ε= = =
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 3 cb xM x d E c⎛ ⎞= − ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 2 3cb x xK E d⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Relación entre compresión del hormigón y curvatura:
Sustituyendo M = C/z,
Relación entre momento y curvatura:
RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN
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La Fase II finaliza cuando uno de los materiales plastifica:– Hormigón:
– Acero:
2. Fase II: momento MII
,2, ,2 3 2 3
c plasc c plas II c c plas c
b x b xM x d E E x dx
εε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )2
2
2 3 2 3y
s y II c y cb x b x xM x d E E d
d x d xε
ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
,min ; 2 3 2 ( ) 3II c plas c y cb x b x xM E x d E d
d xε ε
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
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h
b
d
Tensionescompresiónfcfy
Es 0.0035
2. Fase III: Hormigón comprimido en rango no elástico: Prerrotura
εc < 0.0035deformaciones tensiones
εs < 0.01
M >> Mfis
εc < 0.0035; σc = fc
εs > εy ; σs = fy
Fs = σs· As
εc
Diagrama real del hormigón a compresiónDiagrama del acero
Zona tracciónfisurada
Zona comprimida
εs
M
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2. Fase III: prerroturah
b
dx
ε < 0.010s
ε < 0.0035c
σt
σ = fc c
C
T
z
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Si está plastificado el acero, éste no puede aportar más carga (T = As fy)El momento sólo se puede incrementar aumentando el brazo de palanca zPara conseguir el equilibrio de fuerzas debe crecer la curvatura para que el hormigón trabaje más (reduciendo la profundidad)Se produce un leve incremento de carga y la curvatura crecerá en función de la situación deformacional de los dos materiales
2. Fase III: acero plastificado
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Si ha plastificado el hormigón, el agotamiento está cercano: sólo queda el 1.5‰ de deformaciónEs posible alcanzar la rotura con un leve aumento de la carga sin que ni siquiera el acero haya plastificado ⇒
⇒ situación de rotura frágilEsta condición corresponde a un menor aprovechamiento de materiales, motivado por condicionantes geométricos
2. Fase III: hormigón plastificado
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2. Fase III: resumen
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Fase I: se tiene en cuenta en la inercia homogeneizada
Fase II: los equilibrios de fuerzas y momentos son ahora
2. Influencia de la armadura comprimida
12 c s s
s s
C b x A
T A
σ σ
σ
′ ′= +
=
( )12 3c s s
xM b x d A d dσ σ⎛ ⎞ ′ ′ ′= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
2. Influencia de la armadura comprimida
' 'c s s c s snx d x x d x d x x d
ε ε ε σ σ σ= = ⇒ = =
′ ′− − − −
s
ε < 0.002c σ < fc
s s y
c
C
T
x/3
z
ε 's
d'
A ' σ 's s
h
b
dx
ε = σ /E < ε
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Profundidad de la fibra neutra:
Rigidez fisurada:
2. Influencia de la armadura comprimida
( ) ( )( )2
' ' '1 2 1
's s s s
s s
n A A b d A d Ax
b n A A
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + −⎜ ⎟+⎝ ⎠
22 '( ') ( ')
2 3c s sb xK E x d E A x d d d⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )( )2
' '/' 1 2 1
's s
s ss s
d dx nd n
ρ ρρ ρ
ρ ρ
⎛ ⎞+⎜ ⎟= + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠
sc
sc
Abd
Abd
ρ
ρ
=
′′ =
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Incremento de ductilidad de la sección para armados a tracción supercríticos
Mejora el funcionamiento de secciones de hormigón armado con cantos reducidos (cuantías de armadura elevadas)
Caso límite: armadura simétrica, habitual en elementos que pueden sufrir momentos de signos opuestos
2. Influencia de la armadura comprimida
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
DatosEJEMPLO SECCIÓN canto h 500 mm ancho b 300 mm As2 1472.621556 mm^2 redondos 3 redondos diámetro 25 mm rec (cdg) 50 mm As1 2945.243113 mm^2 redondos 6 redondos diámetro 25 mm rec (cdg) 50 mm
b = ancho
d = canto útil
x = profundidad hasta F.N.
As1 = As = área de armadura traccionada
recubrimiento
As2 = A’s = área de armadura comprimida
h = canto
canto util d 450 = h - d
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
DatosMATERIALES
n 6.71616852 = Es/Ec
HORMIGÓN fc 35 MPa fct 2.246973709 MPa = fct,k=0,21 (fck)2/3 Ec 29778.88351 MPa = Ej = 8.500 (fcm,j)1/3
ec1 0.002 ecu 0.0035
diagrama lineal lineal 1
parabólico 0
ACERO
fy 500 MPa Es 200000 MPa ey 0.0025 = fy/Es
esu 0.01
05
10152025303540
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def h. comp
tens
hor
m
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def a. tracc
tens
ace
ro
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
Fase 1: Sección bruta
Inercia 3125000000 mm^4 0.003125 m^4 bh3/12 rigidez EcI (K1) 9.3059E+13 N mm^2
Mfis 28087171.36 N mm 28.0871714 kN m = ft·Ib/(0.5·h) = (ft·b·h2)/6 c1fis 3.01821E-07 mm-1 0.30182108 km-1 = Mfis/K1
ec1fis 7.54553E-05 = c1fis ▪ h/2 es1fis 6.03642E-05 = c1fis ▪ (d-h/2)
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
Fase 1:Sección homogeneizadacdg hom (desde fibra inferior) 240.3936132 mm
x 259.6063868 mm I hom 3364052900 mm^4 0.00336405 m^4 Ih
rigidez Ec Ih (K1) 1.00178E+14 N mm^2 Mfis 31444006.87 N mm 31.4440069 kN m = ft·Ih/x c1fis 3.13882E-07 mm-1 0.31388218 km-1
ec1fis 8.14858E-05 = c1fis ▪ x es1fis 5.97612E-05 = c1fis ▪ (d-x)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35curv (km-1)
M (k
N m
)
600
500
400
300
200
100
0
100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
Fase 2: Sin intervención de As2
x2 186.4325135 mm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⋅
⋅+⋅⋅
= 1Andb
21bAn
xs
s
rigidez K2 6.02162E+13 N mm^2 ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅⋅⋅−=3x
dEAxdK ss2
M2 según horm. 645983824 N mm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅⋅⋅⋅ε3x
dx2b
Ecplas,c
M2 según acero 571164854.3 N mm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅−
⋅⋅⋅ε3x
d)xd(
x2b
E2
cy
M2 (min ant.) 571164854.3 N mm 571.164854 kN m Plastifica el acero c2 9.48524E-06 mm-1 9.48523672 km-1 = M2 / K2
c2 fis 5.22185E-07 mm-1 0.52218523 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.001768357 = c2 ▪ x2 es2 0.0025 = c2 ▪ (d - x2)
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
Fase 2: Con intervención de As2
x2 170.2077363 mm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅⋅+⋅⋅
⋅+⋅+⋅
= 1)AA(n
)A'dAd(b21b
)AA(nx 2s
,s
'ss
'ss
rigidez K2 6.50528E+13 N mm^2 )'dd(AE)'dx(3x
dx2b
EK 'ss
2c2 −⋅⋅⋅−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅⋅⋅=
M2 según horm. 764393267.2 N mm = k2 ·0,002 / x2 M2 según acero 581260030.1 N mm = K2 ·εy / (d – x2)
M2 (min ant.) 581260030.1 N mm 581.26003 kN m Plastifica el acero c2 8.9352E-06 mm-1 8.93520059 km-1 = M2 / K2
c2 fis 4.83361E-07 mm-1 0.48336114 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.00152084 = c2 ·x2 es2 0.0025 = c2 ·(d – x2)
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
Fase 2: Gráficos
600
500
400
300
200
100
0
100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10curv (km-1)
M (k
N m
)05
10152025303540
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def h. comp
tens
hor
m
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def a. tracc
tens
ace
ro
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fase 3 (caso similar)
-550
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4
450
460
470
480
490
500
510
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00c
M
6t0c
6t2c
6t4c
6t6c
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia de diversos factores
2φ29
254 mm
508 mm 457 mm
28 MPa414 MPa
27
54
81
108
136
163
190
217
244
Mom
ento
kN
m
19.7 39.4 59.1 78.7
Curvatura 1/km
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia del axil
Fase II⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅==
⋅⋅=⋅⋅=
ANf
xIMM
AENcIEM
ctfisI
c
c
ε
ε
NM
M N ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅=−⋅+
⋅−⋅⋅⋅=
321
21
xdxbydNM
AxbN
cG
ssc
σ
σσ
Fase I
x y KII ya no son ctes
Fase III– N tiende a agotar el hormigón comprimido antes Fragilización– Se pueden alcanzar valores de M mayores si hay poco acero
ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia del axil
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
1/r [km-1]181614121086420
Mk
[kN
·m]
450400350300250
200150100
500
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
1/r [km-1]2826242220181614121086420
Mk
[kN
·m]
500450400350300250200150100
500
As1=6φ25 ; As2=0φ25
As1=6φ25 ; As2=4φ25
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
Nk= 0.0 Nk= 768.7 Nk= 1537.4 Nk= 2306.1Nk= 3074.9
1/r [km-1]2826242220181614121086420
Mk
[kN
·m]
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
Nk= 0.0 Nk= 671.6 Nk= 1343.1 Nk= 2014.7Nk= 2686.2
1/r [km-1]181614121086420
Mk
[kN
·m]
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
As1=6φ25 ; As2=0φ25
As1=6φ25 ; As2=4φ25
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