08 conicas cilindros y cuadricas apunte
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Matemática IITema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas2012–2013
Índice
Cónicas 1
Parábolas 1
Circunferencias y elipses 2
Hipérbolas 5
Cilindros y superficies cuádricas 6
Cilindros 6
Superficies cuádricas 7
Trabajo práctico 10
Ejemplos con Sage 11
Graficar cilindros y cuádricas 11
Cónicas
Parábolas
x
y
O
P
QF
l
|−→PF||−→PQ|
Figura 1: los puntos de una pa-rábola, con foco F y directriz l,cumplen que |−→PF| = |−→PQ|.
¿Qué es una parábola?
Definición 1 (parábola). Una parábola es el conjunto de todos lospuntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de unarecta fija.
El punto fijo se denomina foco F y la recta fija se denomina direc-triz l.
Ecuación de una parábola
Teorema 1. Una ecuación de una parábola, cuyo foco está en F(0, p) ytiene como su directriz a la recta y = −p, es
x2 = 4py
Ecuación de una parábola
Teorema 2. Una ecuación de una parábola, cuyo foco está en F(p, 0) ytiene como su directriz a la recta x = −p, es
y2 = 4px
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 2
x
y
O
P(x, y)
Q(x,−p)
F(0, p)
y = −p
p > 0
x
y
O
P(x, y)
Q(x,−p)
F(0, p)
y = −p
p < 0
Figura 2: gráficos de dos pa-rábolas con foco F(0, p) ydirectriz y = −p.
x
y
O
P(x, y)Q(−p, y)
F(p, 0)
x = −p
p > 0
x
y
O
P(x, y)Q(−p, y)
F(p, 0)
x = −p
p < 0
Figura 3: gráficos de dos pa-rábolas con foco F(p, 0) ydirectriz x = −p.
x
y
O
P
C
|−→CP|
Figura 4: los puntos de unacircunferencia, con centro C,cumplen que |−→CP| = r.
Ejemplo 1. Obtener una ecuación de la parábola que tiene su foco enF(0, 3) y como su recta directriz y = −3.
1. El foco está sobre el eje y, y está por arriba de la directriz, por loque la parábola se abre hacia arriba y p = 3.
2. Una ecuación de la parábola es de la forma x2 = 4py, con 4p =
12, lo que resultax2 = 12y
3. Si quisieramos graficar la parábola, podríamos despejar y
y =1
12x2
x
y
O
P(x, y)
C(x0, y0)
r
Figura 5: gráfico de una circun-ferencia con centro C(x0, y0) yradio r.
Circunferencias y elipses
¿Qué es una circunferencia?
Definición 2 (circunferencia). Una circunferencia es el conjunto detodos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo.
El punto fijo se denomina centro C y la distancia constante sellama radio r.
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 3
Ecuación de una circunferencia
Teorema 3. Una ecuación de una circunferencia, cuyo centro está enC(x0, y0) y tiene radio r, es
(x− x0)2 + (y− y0)
2 = r2
Si el centro es el origen O(0, 0) la ecuación quedará
x2 + y2 = r2
Ejemplo 2. Obtener el centro y el radio de la circunferencia que tienela ecuación
x2 + y2 + 6x− 4y− 23 = 0
1. Debemos “completar cuadrados”
x2 + y2 + 6x− 4y = 23(x2 + 6x + 9
)+
(y2 − 4y + 4
)= 23 + 9 + 4
(x + 3)2 + (y− 2)2 = 36
2. Está ecuación tiene la forma (x − x0)2 + (y − y0)
2 = r2, por loque el centro es C(−3, 2) y el radio es r = 6.
x
y
O
P
F
F′
|−→PF′|
|−→PF|
Figura 6: los puntos de unaelipse, con focos F y F′, cum-
plen que |−→PF| + |−→PF′| es unaconstante.
¿Qué es una elipse?
Definición 3 (elipse). Una elipse es el conjunto de todos los pun-tos de un plano tales que la suma de sus distancias, desde dospuntos fijos, es constante.
Los puntos fijos se denominan focos F y F′.
x
y
O
B(0, b)
B′(0,−b)
V(a
, 0)
V′ (−
a,0)
F(c, 0)F′(−c, 0)
Figura 7: gráfico de unaelipse con focos F(c, 0) yF′(−c, 0), y con constante
|−→PF| + |−→PF′| = 2a. Se indi-can los vértices V y V′ y losextremos del eje menor B y B′.
Ecuación de una elipse
Teorema 4. Si 2a es la constante referida en la definición de una elipse,si los focos son F(c, 0) y F′(−c, 0), y si se cumple que b2 = a2 − c2,entonces una ecuación de la elipse es
x2
a2 +y2
b2 = 1
Ecuación estándar de una elipse
Teorema 5. Si el centro de una elipse está en C(x0, y0), y la distanciaentre los vértices es 2a, entonces una ecuación de la elipse es de la forma
(x− x0)2
a2 +(y− y0)
2
b2 = 1 (con a > b)
si el eje mayor es horizontal, y
(y− y0)2
a2 +(x− x0)
2
b2 = 1 (con a > b)
si el eje mayor es vertical.
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 4
x
y
O
B
B′
VV′
F(x0 + c, y0)F′(x0 − c, y0)C(x
0, y0)
x
y
O
V
V′
BB′
F(x0, y0 + c)
F′(x0, y0 − c)
C(x0, y
0)
Figura 8: gráficos de dos elip-ses con centro C(x0, y0) ydistancia entre vértices 2a.
Ejemplo 3. Demostrar que la gráfica de la ecuación
25x2 + 16y2 + 150x− 128y− 1119 = 0
es una elipse. Determinar el centro, una ecuación para el eje mayor,los vértices, los extremos del eje menor y los focos.
1. Comenzamos completando cuadrados
25x2 + 16y2 + 150x− 128y = 1119
25(x2 + 6x + 9) + 16(y2 − 8y + 16) = 1119 + 25 · 9 + 16 · 16
25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1119 + 255 + 256
25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1600
2. Ahora buscamos la forma general de la ecuación
25(x + 3)2 + 16(y− 4)2 = 1600
25(x + 3)2
1600+
16(y− 4)2
1600= 1
(x + 3)2
64+
(y− 4)2
100= 1
que resulta ser
(y− y0)2
a2 +(x− x0)
2
b2 = 1 (con a > b)
entonces el centro es C(−3, 4), a2 = 100 y b2 = 64.
−5
5
10
15
y
−10 −5 5
xO
V(−3, 14)
V′(−3,−6)
B(5, 4)B′(−11, 4)
F(−3, 10)
F′(−3,−2)
C(−3, 4)
Figura 9: el gráfico corres-pondiente a la ecuación25x2 + 16y2 + 150x− 128y− 1119 = 0es una elipse.
3. La ecuación quedó
(y− 4)2
100+
(x + 3)2
64= 1
el centro es C(−3, 4), a2 = 100 y b2 = 64. Entonces el eje mayores vertical, tiene ecuación x = −3.
4. Como a = 10 y b = 8, los vértices son
V(−3, 4 + 10) = V(−3, 14)
V′(−3, 4− 10) = V′(−3,−6)
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 5
5. Los extremos del eje menor son
B(−3 + 8, 4) = B(5, 4)
B′(−3− 8, 4) = B′(−11, 4)
6. Para encontrar los focos utilizamos b2 = a2 − c2
64 = 100− c2
c2 = 36
c = 6
entonces los focos son
F(−3, 4 + 6) = F(−3, 10)
F′(−3, 4− 6) = F′(−3,−2)
Hipérbolasx
y
O
P
F
F′
|−→PF|
|−→PF′|
Figura 10: los puntos de unahipérbola, con focos F y F′,
cumplen que∣∣∣|−→PF| − |−→PF′|
∣∣∣ esuna constante.
¿Qué es una hipérbola?
Definición 4 (hipérbola). Una hipérbola es el conjunto de todoslos puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferen-cia de sus distancias, a dos puntos fijos, es constante.
Los puntos fijos se denominan focos F y F′.
x
y
O F(c, 0)F′(−c, 0)
V(a, 0)V′(−a, 0)
B(0, b)
B′(0,−b)
Figura 11: gráfico de una hi-pérbola con focos F(c, 0) yF′(−c, 0), y con constante
|−−→VV′| = 2a. Se indican losvértices V y V′ y los extremosdel eje conjugado B y B′.
Ecuación de una hipérbola
Teorema 6. Si 2a es la constante referida en la definición, si los focosson F(c, 0) y F′(−c, 0), y si b2 = c2 − a2, entonces una ecuación de lahipérbola es
x2
a2 −y2
b2 = 1
Ecuación estándar de una hipérbola
Teorema 7. Si el centro de una hipérbola está en C(x0, y0), y la distanciaentre los vértices es 2a, entonces una ecuación de la hiperbola es de laforma
(x− x0)2
a2 − (y− y0)2
b2 = 1
si el eje principal es horizontal, y
(y− y0)2
a2 − (x− x0)2
b2 = 1
si el eje principal es vertical.
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 6
x
y
O
C(x0, y
0)
F(x 0+
c,y 0)
F ′(x0 −
c, y0 ) VV′
B
B′
x
y
O
C(x0, y0)
F(x0, y0 + c)
F′(x0, y0 − c)
V
V′
B′ B
Figura 12: gráficos de dos hi-pérbolas con centro C(x0, y0) ydistancia entre vértices 2a.
Repaso de ideas clave
1. Una ecuación de una parábola es x2 = 4py o y2 = 4px (puede serp > 0 o p < 0).
2. Una ecuación de una circunferencia es (x− x0)2 + (y− y0)
2 = r2.
3. Una ecuación de una elipse es (x−x0)2
a2 + (y−y0)2
b2 = 1 o (y−y0)2
a2 +(x−x0)
2
b2 = 1 (siempre con a > b).
4. Una ecuación de una hipérbola es (x−x0)2
a2 − (y−y0)2
b2 = 1 o(y−y0)
2
a2 − (x−x0)2
b2 = 1.
Cilindros y superficies cuádricas
Cilindros
Definición de cilindro
Definición 5. Un cilindro es una superficie que se genera por elmovimiento de una recta, paralela a otra recta fija dada, y a lolargo de una curva plana dada.
La curva se llama curva generatriz del cilindro.
Identificar la ecuación de un cilindro en el espacio es muy fácil:siempre falta una de las variables independientes.
Ejemplos de superficies cilíndricas
y + z = 1 x2 + y2 = 4 z = sin xno tiene x no tiene z no tiene y
Figura 13: gráfico de un ci-lindro circular con ecuaciónx2 + y2 = r2.
Cilindro circular
Tenemos una recta fija.
Y tenemos una circunferencia generatriz.
Una ecuación de un cilindro circular es
x2 + y2 = r2
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 7
Cilindro sinusoidal
Tenemos una recta fija.
Y tenemos una sinusoide generatriz.
Una ecuación de un cilindro sinusoidal es
z = sin x
Figura 14: gráfico de un cilin-dro sinusoidal con ecuaciónz = sin x.
Superficies cuádricas
Definición de superficies cuádricas
Definición 6 (superficie cuádrica). Una superficie cuádrica es lagráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z.
Describiremos algunas superficies particulares del tipo
Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E
donde A, B, C, D y E son constantes.
Estas superficies incluyen elipsoides, paraboloides, hiperboloidesy conos elípticos.
¡Y esferas también, ya que son casos especiales de elipsoides!
El elipsoide y la esfera
Una ecuación de un elipsoide es
x2
a2 +y2
b2 +z2
c2 = 1
Si a = b = c = r, se tiene una esfera
x2 + y2 + z2 = r2
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 8
Figura 15: izquierda: gráficode un elipsoide con ecuaciónx2
a2 +y2
b2 +z2
c2 = 1; derecha: gráfi-co de una paraboloide elíptica
con ecuación x2
a2 + y2
b2 = zc .
La paraboloide elíptica
Una ecuación de una paraboloide elíptica es
x2
a2 +y2
b2 =zc
La paraboloide hiperbólica
Una ecuación de una paraboloide hiperbólica es
y2
b2 −x2
a2 =zc
c > 0
Figura 16: izquierda: gráfico deuna paraboloide hiperbólica
con ecuación y2
b2 − x2
a2 = zc ; dere-
cha: gráfico de un cono elíptico
con ecuación x2
a2 + y2
b2 = z2
c2 .
El cono elíptico
Una ecuación de un cono elíptico es
x2
a2 +y2
b2 =z2
c2
La hiperboloide de una hoja
Una ecuación de una hiperboloide de una hoja es
x2
a2 +y2
b2 −z2
c2 = 1
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 9
La hiperboloide de dos hojas
Una ecuación de una hiperboloide de dos hojas es
z2
c2 −x2
a2 −y2
b2 = 1
Figura 17: izquierda: gráfico deuna hiperboloide de una hoja
con ecuación x2
a2 + y2
b2 − z2
c2 = 1;derecha: gráfico de una hi-perboloide de dos hojas con
ecuación z2
c2 − x2
a2 − y2
b2 = 1.
Repaso de ideas clave
1. En el espacio, toda ecuación a la que le falte una de las variablesindependientes es un cilindro.
2. Las ecuaciones correspondientes a superficies cuádricas soncuadráticas en x, y y z.
3. Las superficies cuádricas son
a) los elipsoides
b) las paraboloides
c) las hiperboloides
d) los conos.
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 10
Trabajo práctico
1. Encontrar la ecuación de las siguientes parábolas.
a) con foco F(0, 4) y directriz y = −4.
b) con foco F(1/2, 0) y directriz x = −1/2.
2. Hallar las coordenadas del centro y el radio del círculo 2x2 +
2y2 − 8x + 5y− 4 = 0.
3. Escribir la ecuación del círculo con centro C y radio r:
a) C(0, 0), r = 4
b) C(0, 2), r = 2
4. Identificar y dibujar (esquemáticamente) las curvas representa-das por las ecuaciones siguientes.
a) x2
4 + y2 = 1
b) 9x2 + 16y2 = 144
c) x2
4 − y2 = 1
d) x2 − y2 = −1
5. Identificar las superficies representadas por las ecuaciones si-guientes.
a) x2 + 4y2 + 9z2 = 36
b) x2 + y2 + 4z2 = 4
c) x2 − y2 − z2 = 4
d) y = z2
e) z = x2 + 2y2
f) −x2 + y2 + z2 = 4
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 11
Ejemplos con Sage. El código Sage en los siguientes
recuadros puede ser seleccionado,copiado y pegado en una hoja detrabajo de Sage, para ejecutarlo y asíobtener los resultados y los gráficos.
Graficar cilindros y cuádricas
Gráfico de una esfera con cartesianas (en dos partes)x,y = var("x,y") # variables cartesianas x e yr = 1 # el radio de la esfera es r# la ecuacion es z2 + y2 + x2 = r2
z1 = +sqrt(r**2-x**2-y**2) # despejamos z > 0z2 = -sqrt(r**2-x**2-y**2) # despejamos z < 0# para z positivo...
semiesfera1 = plot3d(z1,(x,-1,1),
(y,-1,1),frame=False)
# para z negativo...
semiesfera2 = plot3d(z2,(x,-1,1),
(y,-1,1),color="red")
# hacer y mostrar el grafico
esfera = semiesfera1 + semiesfera2
esfera.show(aspect_ratio=1). Puede utilizar estos ejemplos de
código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios deltrabajo práctico.Gráfico de una esfera con paramétricas (mejor)
s,t = var("s,t") # parámetros s y tr = 1 # el radio es r# las ecuaciones parametricas
x = r*cos(s)*cos(t)
y = r*sin(s)*cos(t)
z = r*sin(t)
# crear el gráfico de la esfera
esfera = parametric_plot3d([x,y,z],
(s,0,2*pi),(t,-pi/2,pi/2),color="red",
frame=False)
# mostrar el gráfico de la esfera
esfera.show()
Gráfico de una paraboloide elípticax,y = var("x,y") # variables cartesianas x e ya = 1; b = 0.5 # los ejes mayor y menor
# la ecuación de la paraboloide elíptica
z = x**2/a**2+y**2/b**2
# crear el gráfico de la paraboloide
paraboloide = plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),
color="green",frame=False)
# mostrar el gráfico de la paraboloide
paraboloide.show()
tema 8: cónicas, cilindros y superficies cuádricas 12
Gráfico de una paraboloide hiperbólicax,y = var("x,y") # variables cartesianas x e ya = 1; b = 0.5 # los ejes mayor y menor
# la ecuación de la paraboloide elíptica
z = x**2/a**2-y**2/b**2
# crear el gráfico de la paraboloide
paraboloide = plot3d(z,(x,-1,1),(y,-0.5,0.5),
color="green",frame=False)
# mostrar el gráfico de la paraboloide
paraboloide.show()
Gráfico de un cilindro con paramétricass,t = var("s,t") # parámetros s y ta = 1; b = 1/2 # los ejes mayor y menor
# las ecuaciones parametricas
x = a*cos(s)
y = b*sin(s)
z = t
# crear el gráfico del cilindro
cilindro = parametric_plot3d([x,y,z],
(s,0,2*pi),(t,-1,1),color="green",
frame=False)
# mostrar el gráfico del cilindro
cilindro.show()
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