0701 - aritmetica - ok
Post on 11-Jan-2016
40 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
NOCIÓN DE CONJUNTO
Ejemplos
Es la colección o agrupación de objetos, sean éstos, reales oimaginarios, denominándose, elementos del conjunto.Generalmente, a un conjunto se le representa con una letramayúscula y a sus elementos encerrados por signos decolección.
A= {Las vocales}B = {2; 3; 5; 7}C = {Los días de la semana}D = {2; 6; 12; 20; ...; 182}
:
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn - EulerØ
Son representaciones gráficas de los conjuntosmediante regiones planas limitadas por figurasgeométricas cerradas.
Ø
Son representaciones donde se detallan a especificanlos elementos de un conjunto.
B = 2; 3; 5; 7C = x/x N x 8
Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice quepertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario, se diráque no pertenece ( ) a dicho conjunto. La relación depertenencia es una relación exclusiva de elemento aconjunto.
En el conjunto: B = {2; 3; 5 ; 7}, se observa que:* 2 B (2 pertenece al conjunto B).* 5 B (5 pertenece al conjunto B).* 4 B (4 no pertenece al conjunto B).* 13 B (13 no pertenece al conjunto B).
Entre Llaves
Ejemplos:
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Ejemplo:
{ }{ Î Ù ³ }
ÎÏ
ÎÎÏÏ
LOS CONJUNTOS
La Teoría de Conjuntos, se desarrolla mucho después que la mayoría de los conceptosmatemáticos básicos, sin embargo, es tan valioso su estudio que ha llegado a afectarsignificativamente la estructura y el lenguaje de la matemática moderna.
El hombre desde su aparición tuvo necesidad de agrupar los objetos que lo rodeaban ypudo observar en ellas, ciertas características comunes, que con el transcurso del tiempolos formalizó matemáticamente.
Podemos decir, que todas las ramas de la matemática utilizan estos conceptos básicos, desde laAritmética en elque se considera a los conjuntos de números y las operaciones efectuadas con ellos; en Geometría, en el que setrabaja con el conjunto de puntos que definen diversas figuras y relaciones funcionales; la Teoría deProbabilidades, en el que toda su estructura se basa en los conjuntos; la Estadística que maneja subconjuntosde poblaciones concretas, etc.
En la vida diaria, observamos a los objetos, cosas e ideas en formas individuales, si quisiéramos realizar unestudio de objetos que poseen características comunes, o realizar una estadística de ellos, hay la necesidad deagruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizarlos y relacionarlos con otros grupos de objetoscoleccionados también por otras características comunes.
Las ideas básicas sobre “conjunto” las desarrollaron George Cantor (1845 - 1918) y George Bool (1815 -1864). En la actualidad y en su honor se dice que el Álgebra de Conjuntos es un “Álgebra Booleana”.
B
5
2
7
3
Elemento ConjuntoÎÏEn general:
083
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
TEMA
01
Teoría de Conjuntos
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Extensión o forma tabular
Ejemplos:
Comprensión o forma constructiva
Ejemplos:
CARDINALDE UN CONJUNTO
Ejemplos:
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Inclusión
Gráfico:
Se lee:
Ejemplo
Determinar un conjunto es saber indicar con precisiónquiénes o cuáles son los objetos que forman parte de dichoconjunto.
Un conjunto se puede determinar por:
Cuando se indica a cada uno de sus elementos.
B = {2; 3; 5; 7}D = {2; 6; 12; 20; .....; 182}
Cuando se indican las características o propiedadescomunes y exclusivas a los elementos del conjunto.
A= {Las vocales}C = {Los días de la semana}
Nos indica la cantidad de elementos diferentes que poseeun conjuntoAy se denota: n(A)
* A= {Las vocales} n(A) = 5
Se dice que un conjunto A está incluido en el conjuntoB, si todos los elementos de “A” son también deelementos de “B”.
A B { x A x B}
“Aestá incluido en B”.“B incluye aA”.“Aes subconjunto de B”.
Sean los conjuntos:M = {1; 4; 9; 16}N = {4; 16}R = {1; 4; 5}Se deduce que:* N es subconjunto de M: N M* R no es subconjunto de M: R M
Ø
Ø
( )
Simbólicamente:
:
®
Ì
Ì « " Î ® Î
ÌË
* B = {2; 3; 5; 7} n(B) = 4* C = {8; 8; 9; 9; 9} n(C) = 2
®®
2. Igualdad
Ejemplo:
3. Conjuntos Comparables
Ejemplo:
4. Conjuntos Disjuntos
Ejemplos:
Gráficos:
5. Conjuntos Coordinables o Equipotentes
(=)
Simbólicamente:
Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido enel segundo y viceversa.
A= B (A B B A)
A= {4x - 1/x 2 < x < 6}B = {19; 11; 15}
Determinando al conjuntoApor extensión:2 < x < 6
3; 4; 5
Luego: 4(3) -1 = 114(4) -1 = 154(5) - 1 = 19
Luego: A= {11; 15; 19}Se observa que: A B B A
A = B
Se afirma que dos conjuntos A y B son comparables sisolamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir,o bienA B o B A.
A= {x/x es un mamífero}B = {x/x es un gato}
Sabemos que todo gato es un mamífero; pero no todomamífero es un gato. Luego A y B son comparables,porque: B A A B
Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elementos encomún.
H = {x/x es un varón}M = {x/x es una mujer}
Se deduce que H y M son conjuntos disjuntos o ajenos.
Dos conjuntos A y B se afirma que son coordinables oequipotentes cuando se pueda establecer unacorrespondencia uno a uno entre todos los elementos delos conjuntos A y B. A dicha correspondencia se ledenomina biunívoca y como consecuencia de éste setiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales,esto es: n(A) = n (B).
« Ì Ù Ì
ÎZ Ù
Ì Ù Ì
\
Ì Ì
Ì Ù Ë
C = {Lima; Caracas; Bogotá; Santiago}P= {Venezuela; Colombia; Perú; Chile}
Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:
De ahí que C y Pson conjuntos coordinables, además:
n(C) = n(P) = 4
Ejemplo:
\
A
B
H
Varones
M
Mujeres
Lima
Caracas
Bogotá
Santiago
Venezuela
Colombia
Perú
Chile
PC
01. Determinar por extensión el conjunto T.T = {2x – 1/x N 2 < x 5}
* Identificamos las expresiones simbólicas:
* Hallamos los valores de “x”.x N 2 < x 5} x = 3 ; 4 y 5
x = 3 2(3) 1 = 5x = 4 2(4) 1 = 7x = 5 2(5) 1 = 9
T = {5 ; 7 ; 9}
Î Ù £
{ Î Ù £ Þ
ÞÞÞ
\
Resolución:
* Cada elemento se reemplaza en la operación: 2x - 1
–
–
–
02. Determinar por extensión y sumar los elementos de:
R = {x N / x es 5 20 < x < 50}
Interpretando: R está formado por números múltiplosde 5 (5) mayores que 20 y menores que 50.
R = {25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45}
Luego, sumando los elementos: 25 + 30 + 35 + 40 + 45
Î Ù
\
Resolución:
Rpta.: 175
T = { 2x – 1 / x N 2 < x 5 }Î Ù £
Regla deoperación
Condiciones quereúne la variable “x”
Elementos de T
20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50
Elementos de “R”
“... es capital de ...”
084 085
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Extensión o forma tabular
Ejemplos:
Comprensión o forma constructiva
Ejemplos:
CARDINALDE UN CONJUNTO
Ejemplos:
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Inclusión
Gráfico:
Se lee:
Ejemplo
Determinar un conjunto es saber indicar con precisiónquiénes o cuáles son los objetos que forman parte de dichoconjunto.
Un conjunto se puede determinar por:
Cuando se indica a cada uno de sus elementos.
B = {2; 3; 5; 7}D = {2; 6; 12; 20; .....; 182}
Cuando se indican las características o propiedadescomunes y exclusivas a los elementos del conjunto.
A= {Las vocales}C = {Los días de la semana}
Nos indica la cantidad de elementos diferentes que poseeun conjuntoAy se denota: n(A)
* A= {Las vocales} n(A) = 5
Se dice que un conjunto A está incluido en el conjuntoB, si todos los elementos de “A” son también deelementos de “B”.
A B { x A x B}
“Aestá incluido en B”.“B incluye aA”.“Aes subconjunto de B”.
Sean los conjuntos:M = {1; 4; 9; 16}N = {4; 16}R = {1; 4; 5}Se deduce que:* N es subconjunto de M: N M* R no es subconjunto de M: R M
Ø
Ø
( )
Simbólicamente:
:
®
Ì
Ì « " Î ® Î
ÌË
* B = {2; 3; 5; 7} n(B) = 4* C = {8; 8; 9; 9; 9} n(C) = 2
®®
2. Igualdad
Ejemplo:
3. Conjuntos Comparables
Ejemplo:
4. Conjuntos Disjuntos
Ejemplos:
Gráficos:
5. Conjuntos Coordinables o Equipotentes
(=)
Simbólicamente:
Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido enel segundo y viceversa.
A= B (A B B A)
A= {4x - 1/x 2 < x < 6}B = {19; 11; 15}
Determinando al conjuntoApor extensión:2 < x < 6
3; 4; 5
Luego: 4(3) -1 = 114(4) -1 = 154(5) - 1 = 19
Luego: A= {11; 15; 19}Se observa que: A B B A
A = B
Se afirma que dos conjuntos A y B son comparables sisolamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir,o bienA B o B A.
A= {x/x es un mamífero}B = {x/x es un gato}
Sabemos que todo gato es un mamífero; pero no todomamífero es un gato. Luego A y B son comparables,porque: B A A B
Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elementos encomún.
H = {x/x es un varón}M = {x/x es una mujer}
Se deduce que H y M son conjuntos disjuntos o ajenos.
Dos conjuntos A y B se afirma que son coordinables oequipotentes cuando se pueda establecer unacorrespondencia uno a uno entre todos los elementos delos conjuntos A y B. A dicha correspondencia se ledenomina biunívoca y como consecuencia de éste setiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales,esto es: n(A) = n (B).
« Ì Ù Ì
ÎZ Ù
Ì Ù Ì
\
Ì Ì
Ì Ù Ë
C = {Lima; Caracas; Bogotá; Santiago}P= {Venezuela; Colombia; Perú; Chile}
Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:
De ahí que C y Pson conjuntos coordinables, además:
n(C) = n(P) = 4
Ejemplo:
\
A
B
H
Varones
M
Mujeres
Lima
Caracas
Bogotá
Santiago
Venezuela
Colombia
Perú
Chile
PC
01. Determinar por extensión el conjunto T.T = {2x – 1/x N 2 < x 5}
* Identificamos las expresiones simbólicas:
* Hallamos los valores de “x”.x N 2 < x 5} x = 3 ; 4 y 5
x = 3 2(3) 1 = 5x = 4 2(4) 1 = 7x = 5 2(5) 1 = 9
T = {5 ; 7 ; 9}
Î Ù £
{ Î Ù £ Þ
ÞÞÞ
\
Resolución:
* Cada elemento se reemplaza en la operación: 2x - 1
–
–
–
02. Determinar por extensión y sumar los elementos de:
R = {x N / x es 5 20 < x < 50}
Interpretando: R está formado por números múltiplosde 5 (5) mayores que 20 y menores que 50.
R = {25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45}
Luego, sumando los elementos: 25 + 30 + 35 + 40 + 45
Î Ù
\
Resolución:
Rpta.: 175
T = { 2x – 1 / x N 2 < x 5 }Î Ù £
Regla deoperación
Condiciones quereúne la variable “x”
Elementos de T
20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50
Elementos de “R”
“... es capital de ...”
084 085
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Þ
\
x + y = 18 + 6
x + y = 24
03. Hallar: x + y, sabiendo que los conjuntos son iguales:
Si: A= B ; entonces se considera que sus elementos soniguales.
Se forman las ecuaciones:
x – y = 12
Resolución:
04. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto D?
D = {x/x N ; 9 < x 70}
Condición: “Números naturales mayores que 9 ymenores o iguales a 70”.
Utilizamos la fórmula:
n(D) = Último – Primero + 1
n(D) = 70 – 10 + 1
n(D) = 61 elementos
Î £
\
Resolución:
01. Hallar: m n , si:
(3m - 8; 44) = (10; n - 20)
a) 10 b) 8 c) 12d) 16 e) 20
02. Si se cumple que:A= {2m + n; 17}B = {n + 1; 3m - n}son conjuntos unitarios, hallar: m + n
.m
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
03. Si “A” es un conjunto unitario.Hallar: a - b; si:A= {3a - 2b; 25; a + b}a) 1 b) 5 c) 15d) 21 e) 28
04. Dados los conjuntos unitarios:A= {90; a b}B = {23; a + b}Hallar: a - ba) 7 b) 9 c) 13d) 18 e) 27
05. Si los conjuntosAy B son iguales:A = 32; 3 ; B = 81; 2
Hallar: x + ya) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6
´
{ } { }2x 2y + 1
06. Si: A= BAdemás:A= {x + y; 24}B = {40; x - y}Hallar: 2y + xa) 16 b) 27 c) 32d) 36 e) 48
07. Dados los conjuntos igualesA, B y C.Hallar: m + t + s; si: m; t; s .A= {15; 12; 9}B = {2m; m + 3; 15}C = {s + 2; 12; 10 + t}
a) 3 b) 6 c) 9d) 18 e) 23
08. Dados los conjuntos unitarios:
A= {n + m; n + p; 8}B = {m + p; 10}Hallar: m + n - p
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
09. Hallar: b + c - a, sabiendo que los conjuntos A, B y Cson conjuntos iguales:A= {a + 2; 3 - a}B = {a - 1; 6 - a}C = {1; b + c}
a) 2 b) 6 c) 3d) 7 e) 9
Î Z
10. Sabiendo que los siguientes conjuntos son unitarios.
B = {a b; 128}C = {a + b; 24}
Hallar: a - b, si: a > b
a) 2 b) 4 c) 6d) 12 e) 8
11. Si los conjuntosAy B son iguales y unitarios.Hallar: a + b + c
Si: A= {a + 3; 3b + 1}B = {6c + 1; 8c - 1}
a) 6 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
12. Dados los conjuntos:
A= {x + 19; y + 1}B = {-10; 20}
Si: A= B
Hallar: x + y, si: x ya) 10 b) 11 c) -12d) 12 e) -10
13. Los cardinales de los conjuntos:A ;A ;A ; ........;A son: 1; 2; 3; .....; n y el producto delos cardinales de sus conjuntos potencias es 1024.
Hallar: “n”a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 10
14. Si A y B son dos conjuntos comparables tal que: B Aademás B y C son disjuntos. ¿Cuántos elementos tiene:B - A, si: B C tiene 25 elementos y A C tiene13 elementos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
15. Hallar: m + n, si el conjuntoAes unitario:
A = {m n; 10; m + 2; 3n - 5}
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
´
Ù ÎN
Ë
È È
´
2
3
1 2 3 n
16. Si A, B y C son conjuntos unitarios:
A= {a + 4; b - 2; 2a - 4}
Hallar: a + b + c + da) 20 b) 25 c) 30d) 37 e) 12
17. Dados los conjuntos iguales:A= {5; a + b; 3a + 5b}B = {3a - 2b; 19; 4b - a}
Se cumple que: n(A) + n(B) = 4
Hallar: a + b , si “a” y “b” son números naturales.a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 17
18. Dados los conjuntos iguales:A= {a + 2b; a - b}B = {6; 21}Si: a b NHallar: a b
a) 44 b) 50 c) 45d) 55 e) 70
19. Hallar: x + y , si:
(3x + 2y; 1) = (12; 2x - y)
a) 12 b) 15 c) 23d) 17 e) 24
20. Dados los siguientes conjuntos iguales:A= {a+ 1; a + 2}B = {8 - a; 7 - a}C = {4; b + 2}D = {c + 1; b + 1}Hallar: a + b + ca) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
2 2
y x
٠δ
b c 3B 3;
2 3
+ì ü= -í ý
î þc
C 1; d 43
ì ü= - -í ý
î þ
Se igualan
xA 1 ; 12
2ì ü
= +í ýî þ
x1 10
2+ =
Resolviendo:
= 10 – 1
x = 2 (9)x = 18Þ
Reemplazando valor de “x”, en:x – y = 12
18 – y = 1218 – 12 = y
6 = yÞ
x
2
10 ; 11 ; 12 ; ... ; 69 ; 70
Primero Último123 123
xA 1; 12 ; B 10; x y
2ì ü
= + = -í ýî þ
B = { 10 ; x – y }
086 087
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Þ
\
x + y = 18 + 6
x + y = 24
03. Hallar: x + y, sabiendo que los conjuntos son iguales:
Si: A= B ; entonces se considera que sus elementos soniguales.
Se forman las ecuaciones:
x – y = 12
Resolución:
04. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto D?
D = {x/x N ; 9 < x 70}
Condición: “Números naturales mayores que 9 ymenores o iguales a 70”.
Utilizamos la fórmula:
n(D) = Último – Primero + 1
n(D) = 70 – 10 + 1
n(D) = 61 elementos
Î £
\
Resolución:
01. Hallar: m n , si:
(3m - 8; 44) = (10; n - 20)
a) 10 b) 8 c) 12d) 16 e) 20
02. Si se cumple que:A= {2m + n; 17}B = {n + 1; 3m - n}son conjuntos unitarios, hallar: m + n
.m
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
03. Si “A” es un conjunto unitario.Hallar: a - b; si:A= {3a - 2b; 25; a + b}a) 1 b) 5 c) 15d) 21 e) 28
04. Dados los conjuntos unitarios:A= {90; a b}B = {23; a + b}Hallar: a - ba) 7 b) 9 c) 13d) 18 e) 27
05. Si los conjuntosAy B son iguales:A = 32; 3 ; B = 81; 2
Hallar: x + ya) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6
´
{ } { }2x 2y + 1
06. Si: A= BAdemás:A= {x + y; 24}B = {40; x - y}Hallar: 2y + xa) 16 b) 27 c) 32d) 36 e) 48
07. Dados los conjuntos igualesA, B y C.Hallar: m + t + s; si: m; t; s .A= {15; 12; 9}B = {2m; m + 3; 15}C = {s + 2; 12; 10 + t}
a) 3 b) 6 c) 9d) 18 e) 23
08. Dados los conjuntos unitarios:
A= {n + m; n + p; 8}B = {m + p; 10}Hallar: m + n - p
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
09. Hallar: b + c - a, sabiendo que los conjuntos A, B y Cson conjuntos iguales:A= {a + 2; 3 - a}B = {a - 1; 6 - a}C = {1; b + c}
a) 2 b) 6 c) 3d) 7 e) 9
Î Z
10. Sabiendo que los siguientes conjuntos son unitarios.
B = {a b; 128}C = {a + b; 24}
Hallar: a - b, si: a > b
a) 2 b) 4 c) 6d) 12 e) 8
11. Si los conjuntosAy B son iguales y unitarios.Hallar: a + b + c
Si: A= {a + 3; 3b + 1}B = {6c + 1; 8c - 1}
a) 6 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
12. Dados los conjuntos:
A= {x + 19; y + 1}B = {-10; 20}
Si: A= B
Hallar: x + y, si: x ya) 10 b) 11 c) -12d) 12 e) -10
13. Los cardinales de los conjuntos:A ;A ;A ; ........;A son: 1; 2; 3; .....; n y el producto delos cardinales de sus conjuntos potencias es 1024.
Hallar: “n”a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 10
14. Si A y B son dos conjuntos comparables tal que: B Aademás B y C son disjuntos. ¿Cuántos elementos tiene:B - A, si: B C tiene 25 elementos y A C tiene13 elementos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
15. Hallar: m + n, si el conjuntoAes unitario:
A = {m n; 10; m + 2; 3n - 5}
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
´
Ù ÎN
Ë
È È
´
2
3
1 2 3 n
16. Si A, B y C son conjuntos unitarios:
A= {a + 4; b - 2; 2a - 4}
Hallar: a + b + c + da) 20 b) 25 c) 30d) 37 e) 12
17. Dados los conjuntos iguales:A= {5; a + b; 3a + 5b}B = {3a - 2b; 19; 4b - a}
Se cumple que: n(A) + n(B) = 4
Hallar: a + b , si “a” y “b” son números naturales.a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 17
18. Dados los conjuntos iguales:A= {a + 2b; a - b}B = {6; 21}Si: a b NHallar: a b
a) 44 b) 50 c) 45d) 55 e) 70
19. Hallar: x + y , si:
(3x + 2y; 1) = (12; 2x - y)
a) 12 b) 15 c) 23d) 17 e) 24
20. Dados los siguientes conjuntos iguales:A= {a+ 1; a + 2}B = {8 - a; 7 - a}C = {4; b + 2}D = {c + 1; b + 1}Hallar: a + b + ca) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
2 2
y x
٠δ
b c 3B 3;
2 3
+ì ü= -í ý
î þc
C 1; d 43
ì ü= - -í ý
î þ
Se igualan
xA 1 ; 12
2ì ü
= +í ýî þ
x1 10
2+ =
Resolviendo:
= 10 – 1
x = 2 (9)x = 18Þ
Reemplazando valor de “x”, en:x – y = 12
18 – y = 1218 – 12 = y
6 = yÞ
x
2
10 ; 11 ; 12 ; ... ; 69 ; 70
Primero Último123 123
xA 1; 12 ; B 10; x y
2ì ü
= + = -í ýî þ
B = { 10 ; x – y }
086 087
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {15; m - 8}B = {10; p + 11}a) 4 b) 18 c) 22d) 33 e) 25
02. Si: P= Q, hallar: x + yP= {12; 2x + 5}Q = {4y; 21}a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 17
03. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
A = {a + b; a + 2b - 3; 12}
Hallar: a ba) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 35
04. Dados los conjuntos unitariosAy B.Si: A= {2a + 2; 6}
B = {7; 3b + 1}Hallar: a + b
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
05. Dados los conjuntos unitarios:A= {132; a b}B = {23; a + b}
Hallar: (b - a) , si: b > aa) 1 b) 3 c) 7d) 9 e) 13
´
´
a + b
06. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {7; m + 3}B = {12; p - 4}a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26
07. Hallar: a + b, sabiendo que los siguientes conjuntos sonunitarios:A= {a + 8; 4a + 26}B = {2b + 1; 3b - 2}a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
08. Sean los conjuntos iguales:
A= {3 ; 83}
B = {3 + 2; 27}
Hallar: a ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
09. Si los conjuntos C y D son iguales:
C = {2 + 1; 242}
D = {3 - 1; 1025}
Hallar la suma de los elementos de:
E = {n/n N y < n < x}
a) 23 b) 24 c) 30d) 22 e) 31
10. Sean los conjuntos:
A= {a + 9; b + 2}B = {-9; 10}Si se sabe que: A= B, hallar: a + ba) 9 b) 12 c) 10d) -9 e) -10
a + 2
b + 2
x
y
2
´
Î Ù
01. Se tienen tres conjuntos, tales que:A= {a + b - 5; -4a; 8}B = {b - 2c - 3; a + 4}C = {a + b + c; a - b}Además: {a; b; c} ; b > 0Si A y B son conjuntos unitarios, determinar porextensión el conjunto C.
2 2
2
Î ¢
a) {-2; -3} b) {-3; -5} c) {-4; -6}d) {-5; 8} e) {7; 8}
02. Dados los conjuntos:A= {8b - 3; 5a + 1}B = {a b + 18; 3b + 5}Se cumple que:A= B, además “a” y “b” son .Calcular: a + b
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
´¢
+
03. Sean los conjuntos unitarios:A= {a + 1; 3a - 1}B = {3x + y; x - y + 8}
Calcular: a + x + y
a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 9
04. Dados los conjuntos unitarios:
A= {a + b; 2e + d; 10}B = {7; b - d; e + 3}
Hallar: n(C)Si: C = {a; a ; (a + b) ; b; d ; e}
a) 5 b) 3 c) 6d) 2 e) 4
05. SiAy B son dos conjuntos iguales, donde:A= {3n - 8; 223}B = {7; m - 20}Calcular: na) 343 b) 64 c) 216d) 8 e) 125
06. Si los conjuntosAy B son iguales:A= {1024; 625}B = {5 ; 2 }
Además:C = {n+3/y < n < x; n }
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda enlas siguientes proposiciones.I. C A ( )II. C = { } ( )III. A B ( )
a) VVF b) VFV c) FVFd) VVV e) FVV
2
2 2 2
n
m
y - 3 x + 2
ÎN
ÌÆ
Ì
07. Si el conjuntoAes unitario.
A = {n + 4; 129; m + 1}
Calcular: m n, considerar “m” y “n” enterospositivos.
a) 15 b) 20 c) 35d) 10 e) 12
08. Si el conjuntoAes unitario donde:
A = {7x + 4y; 108; 6y - 3x}
Calcular la suma de los elementos del conjunto B,considerar que:
B = {2n/x n < y; n }
a) 368 b) 560 c) 420d) 246 e) 360
09. Si los conjuntosAy B son iguales:A= {125; 81}B = {3 ; 5 }
Además:C = {x /- w x y x N}
Calcular el número de subconjuntos propios que tieneel conjunto C.a) 7 b) 31 c) 63d) 15 e) 18
10. Sean los conjuntos:A= {5n + 2; 2m+n + 3}B = {18; 6m + 3n + 2}C = {2a + b; 21; 4b + a}DondeAy B son iguales y C es unitario.
Calcular: a + b + m + n
a) 20 b) 36 c) 24d) 26 e) 12
3 n+2
w + 2 y
2
´
£ Î N
£ £ Ù Î
088 089
Desafío Estrellista
Somos las Estrellas del Futuro
Somos el futuro del Perú
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {15; m - 8}B = {10; p + 11}a) 4 b) 18 c) 22d) 33 e) 25
02. Si: P= Q, hallar: x + yP= {12; 2x + 5}Q = {4y; 21}a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 17
03. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
A = {a + b; a + 2b - 3; 12}
Hallar: a ba) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 35
04. Dados los conjuntos unitariosAy B.Si: A= {2a + 2; 6}
B = {7; 3b + 1}Hallar: a + b
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
05. Dados los conjuntos unitarios:A= {132; a b}B = {23; a + b}
Hallar: (b - a) , si: b > aa) 1 b) 3 c) 7d) 9 e) 13
´
´
a + b
06. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {7; m + 3}B = {12; p - 4}a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26
07. Hallar: a + b, sabiendo que los siguientes conjuntos sonunitarios:A= {a + 8; 4a + 26}B = {2b + 1; 3b - 2}a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
08. Sean los conjuntos iguales:
A= {3 ; 83}
B = {3 + 2; 27}
Hallar: a ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
09. Si los conjuntos C y D son iguales:
C = {2 + 1; 242}
D = {3 - 1; 1025}
Hallar la suma de los elementos de:
E = {n/n N y < n < x}
a) 23 b) 24 c) 30d) 22 e) 31
10. Sean los conjuntos:
A= {a + 9; b + 2}B = {-9; 10}Si se sabe que: A= B, hallar: a + ba) 9 b) 12 c) 10d) -9 e) -10
a + 2
b + 2
x
y
2
´
Î Ù
01. Se tienen tres conjuntos, tales que:A= {a + b - 5; -4a; 8}B = {b - 2c - 3; a + 4}C = {a + b + c; a - b}Además: {a; b; c} ; b > 0Si A y B son conjuntos unitarios, determinar porextensión el conjunto C.
2 2
2
Î ¢
a) {-2; -3} b) {-3; -5} c) {-4; -6}d) {-5; 8} e) {7; 8}
02. Dados los conjuntos:A= {8b - 3; 5a + 1}B = {a b + 18; 3b + 5}Se cumple que:A= B, además “a” y “b” son .Calcular: a + b
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
´¢
+
03. Sean los conjuntos unitarios:A= {a + 1; 3a - 1}B = {3x + y; x - y + 8}
Calcular: a + x + y
a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 9
04. Dados los conjuntos unitarios:
A= {a + b; 2e + d; 10}B = {7; b - d; e + 3}
Hallar: n(C)Si: C = {a; a ; (a + b) ; b; d ; e}
a) 5 b) 3 c) 6d) 2 e) 4
05. SiAy B son dos conjuntos iguales, donde:A= {3n - 8; 223}B = {7; m - 20}Calcular: na) 343 b) 64 c) 216d) 8 e) 125
06. Si los conjuntosAy B son iguales:A= {1024; 625}B = {5 ; 2 }
Además:C = {n+3/y < n < x; n }
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda enlas siguientes proposiciones.I. C A ( )II. C = { } ( )III. A B ( )
a) VVF b) VFV c) FVFd) VVV e) FVV
2
2 2 2
n
m
y - 3 x + 2
ÎN
ÌÆ
Ì
07. Si el conjuntoAes unitario.
A = {n + 4; 129; m + 1}
Calcular: m n, considerar “m” y “n” enterospositivos.
a) 15 b) 20 c) 35d) 10 e) 12
08. Si el conjuntoAes unitario donde:
A = {7x + 4y; 108; 6y - 3x}
Calcular la suma de los elementos del conjunto B,considerar que:
B = {2n/x n < y; n }
a) 368 b) 560 c) 420d) 246 e) 360
09. Si los conjuntosAy B son iguales:A= {125; 81}B = {3 ; 5 }
Además:C = {x /- w x y x N}
Calcular el número de subconjuntos propios que tieneel conjunto C.a) 7 b) 31 c) 63d) 15 e) 18
10. Sean los conjuntos:A= {5n + 2; 2m+n + 3}B = {18; 6m + 3n + 2}C = {2a + b; 21; 4b + a}DondeAy B son iguales y C es unitario.
Calcular: a + b + m + n
a) 20 b) 36 c) 24d) 26 e) 12
3 n+2
w + 2 y
2
´
£ Î N
£ £ Ù Î
088 089
Desafío Estrellista
Somos las Estrellas del Futuro
Somos el futuro del Perú
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
CLASE DE CONJUNTOS
1. Conjunto Finito
Ejemplos:
2. Conjunto Infinito
Ejemplos:
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Vacío o Nulo
Ejemplos:
2. Unitario o Singlentón (Singular)
Ejemplos:
Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos termina en algún momento.
* K = los meses del añoK es finito puesto que: n (K) = 12
* L= {x/x es número primo x < 20 }Les finito puesto que: n(L) = 8
Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos no termina nunca.
* Z = {Los números enteros}Z es infinito, pues: n(Z) = ...?
* R = {x/x Q; 6 < x < 7}R es infinito, pues: n(R) = ....?
(Es aquel conjunto que no posee elementos.
S = {x/x Z 2 < x < 3}S = { } =
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
L= {x/x es un satélite natural de la Tierra}L= {La Luna} n (L) = 1Les conjunto unitario.
{ }®
Ù®
®Î
®
Æ)
Î ÙÆ
Ù
3. Par ordenado
Se denota:
Ejemplo:
4. Conjunto Universal
Ejemplo:
Gráfico:
Es un conjunto que tiene dos elementos en el cualinteresa el orden de sus elementos, llamados tambiéncomponentes.
(a; b)
Se lee: par ordenado a; b
(7; 13)
Se lee: par ordenado 7; 13
Se cumple: (7; 13) (13; 7)
(7; 13) = (2 - 1; 4 - 3)
Luego:
(a; b) = (c; d) a = c b = d
Es un conjunto referencial que se toma para el estudiode otros conjuntos incluidos en él. No existe unconjunto universal absoluto y se denota generalmentepor U.
G = {los gatos}T = {los tigres}
Los posibles conjuntos universales que contienen alos conjuntos anteriores son:U = {los animales}U = {los felinos}U = {los mamíferos}
Primera componente Segunda componente
Primera componente Segunda componente
¹
« Ù
È
3 2
( )
1
2
3
5. Conjunto de conjuntos
Ejemplo:
6. Conjunto Potencia
Ejemplos:
PROPIEDADES:
También llamado familia de conjuntos o clase deconjuntos, es aquel conjunto cuyos elementos sontodos conjuntos.
W = {{2}; {3}; {4}; {4; 9}; }
Dado un conjunto A el conjunto potencia de “A” es lafamilia de subconjuntos de “A” y se denota como P(A).
P(A) = {x/x A}
A= {2; 5} n(A) = 2
Subconjunto de “A”: ; {2}; {5};ALuego: P(A) = { ; {2}; {5};A}
Además: n [P(A)] = 2 = 4
Dado el conjunto “A”, se cumple que:
Æ
Ì
®
ÆÆ
2
2. Se denomina subconjunto propio de “A” a todosubconjunto de “A” y diferente de “A”.
Para el conjunto: A= {2; 3; 5}
Además: 2 - 1 = 7, es el número de subconjuntospropios.
Ejemplo:
3
[ ] n(A)n P(A) 2=
01. Dado el siguiente conjunto:
A = {{1}; ; { }; {2; 3}}
Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. AII. AIII. { } AIV. {2; 3} P(A)V. { ; { }} P(A)
Æ Æ
Æ ÎÆ ËÆ Î
ÎÆ Æ Ì
Resolución:I. A (V)II. A (F)III. { } A (V)IV. {2; 3} P(A) {2; 3} A 2 A (F)
3 A (F)V. { ; { }} P(A) P(A) A (V)
{ } P(A) { } A A (V)
02. Dados los conjuntos:
Determinar cómo se relacionan.
Æ ÎÆ ËÆ Î
Î Þ Ì ® ή Î
Æ Æ Ì Þ ÆÎ ® Æ ÌÞ Æ Î ® Æ Ì ® Æ Î
x
M = 3; 4; 5; 6; 7; 8
Resolución:Para M, como: x - 1 Z entonces “x” debe ser uncuadrado perfecto mayor que 1; pero: x < 50.
: 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Piden: x + 1: 3; 4; 5; 6; 7; 8
Para N, piden:
Dándole la forma a : 2 < n < 13
N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Luego se observa que: M N
M y N son conjuntos comparables.
Ö Î
ÞÞ
V{ }
Ì
\
+
( x - 1)V
M { x 1 / x 1 x 50}
2n 1N 2 n 13
3
+= + - Î Ù <
-ì ü= Î < <í ý
î þ
¢
¢
2n 1
3
-æ öÎç ÷è ø
¢
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOSCLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Importante
" Æ Ì
Æ ¹ ÆÆ
A: A (El vacío es subconjunto de todoconjunto).
{ }n{ } = 0
Los gatos Los tigres
TG
U
1. Número de subconjuntos de A.
Subconjuntos de A
Subconjuntos propios de A
; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; AÆ644444444444444444474444444444444444448
144444444444444444424444444444444444443
Importante
Dado un conjunto A.Número de subconjuntos propios de A.
I. A B P(A) P(B)II. A P(B) A B
Propiedades:Ì « ÌÎ « Ì
n(A)2 1-
son iguales
son iguales
2(2) 1
3
- 2(13) 1
3
-2n 1
3
-
1 < < 8,3¢
090 091
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
CLASE DE CONJUNTOS
1. Conjunto Finito
Ejemplos:
2. Conjunto Infinito
Ejemplos:
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Vacío o Nulo
Ejemplos:
2. Unitario o Singlentón (Singular)
Ejemplos:
Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos termina en algún momento.
* K = los meses del añoK es finito puesto que: n (K) = 12
* L= {x/x es número primo x < 20 }Les finito puesto que: n(L) = 8
Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos no termina nunca.
* Z = {Los números enteros}Z es infinito, pues: n(Z) = ...?
* R = {x/x Q; 6 < x < 7}R es infinito, pues: n(R) = ....?
(Es aquel conjunto que no posee elementos.
S = {x/x Z 2 < x < 3}S = { } =
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
L= {x/x es un satélite natural de la Tierra}L= {La Luna} n (L) = 1Les conjunto unitario.
{ }®
Ù®
®Î
®
Æ)
Î ÙÆ
Ù
3. Par ordenado
Se denota:
Ejemplo:
4. Conjunto Universal
Ejemplo:
Gráfico:
Es un conjunto que tiene dos elementos en el cualinteresa el orden de sus elementos, llamados tambiéncomponentes.
(a; b)
Se lee: par ordenado a; b
(7; 13)
Se lee: par ordenado 7; 13
Se cumple: (7; 13) (13; 7)
(7; 13) = (2 - 1; 4 - 3)
Luego:
(a; b) = (c; d) a = c b = d
Es un conjunto referencial que se toma para el estudiode otros conjuntos incluidos en él. No existe unconjunto universal absoluto y se denota generalmentepor U.
G = {los gatos}T = {los tigres}
Los posibles conjuntos universales que contienen alos conjuntos anteriores son:U = {los animales}U = {los felinos}U = {los mamíferos}
Primera componente Segunda componente
Primera componente Segunda componente
¹
« Ù
È
3 2
( )
1
2
3
5. Conjunto de conjuntos
Ejemplo:
6. Conjunto Potencia
Ejemplos:
PROPIEDADES:
También llamado familia de conjuntos o clase deconjuntos, es aquel conjunto cuyos elementos sontodos conjuntos.
W = {{2}; {3}; {4}; {4; 9}; }
Dado un conjunto A el conjunto potencia de “A” es lafamilia de subconjuntos de “A” y se denota como P(A).
P(A) = {x/x A}
A= {2; 5} n(A) = 2
Subconjunto de “A”: ; {2}; {5};ALuego: P(A) = { ; {2}; {5};A}
Además: n [P(A)] = 2 = 4
Dado el conjunto “A”, se cumple que:
Æ
Ì
®
ÆÆ
2
2. Se denomina subconjunto propio de “A” a todosubconjunto de “A” y diferente de “A”.
Para el conjunto: A= {2; 3; 5}
Además: 2 - 1 = 7, es el número de subconjuntospropios.
Ejemplo:
3
[ ] n(A)n P(A) 2=
01. Dado el siguiente conjunto:
A = {{1}; ; { }; {2; 3}}
Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. AII. AIII. { } AIV. {2; 3} P(A)V. { ; { }} P(A)
Æ Æ
Æ ÎÆ ËÆ Î
ÎÆ Æ Ì
Resolución:I. A (V)II. A (F)III. { } A (V)IV. {2; 3} P(A) {2; 3} A 2 A (F)
3 A (F)V. { ; { }} P(A) P(A) A (V)
{ } P(A) { } A A (V)
02. Dados los conjuntos:
Determinar cómo se relacionan.
Æ ÎÆ ËÆ Î
Î Þ Ì ® ή Î
Æ Æ Ì Þ ÆÎ ® Æ ÌÞ Æ Î ® Æ Ì ® Æ Î
x
M = 3; 4; 5; 6; 7; 8
Resolución:Para M, como: x - 1 Z entonces “x” debe ser uncuadrado perfecto mayor que 1; pero: x < 50.
: 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Piden: x + 1: 3; 4; 5; 6; 7; 8
Para N, piden:
Dándole la forma a : 2 < n < 13
N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Luego se observa que: M N
M y N son conjuntos comparables.
Ö Î
ÞÞ
V{ }
Ì
\
+
( x - 1)V
M { x 1 / x 1 x 50}
2n 1N 2 n 13
3
+= + - Î Ù <
-ì ü= Î < <í ý
î þ
¢
¢
2n 1
3
-æ öÎç ÷è ø
¢
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOSCLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Importante
" Æ Ì
Æ ¹ ÆÆ
A: A (El vacío es subconjunto de todoconjunto).
{ }n{ } = 0
Los gatos Los tigres
TG
U
1. Número de subconjuntos de A.
Subconjuntos de A
Subconjuntos propios de A
; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; AÆ644444444444444444474444444444444444448
144444444444444444424444444444444444443
Importante
Dado un conjunto A.Número de subconjuntos propios de A.
I. A B P(A) P(B)II. A P(B) A B
Propiedades:Ì « ÌÎ « Ì
n(A)2 1-
son iguales
son iguales
2(2) 1
3
- 2(13) 1
3
-2n 1
3
-
1 < < 8,3¢
090 091
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividades para la Clase
03. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios.II. Dos conjuntos diferentes entre sí, siempre son
disjuntos.III. Si: n(A) = 8, entonces: P(A) tiene 255 subconjuntos
propios.IV. Si: n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el conjunto:
[P(A) P(B)] tiene como máximo 12 elementos.
I. FALSO. El conjunto vacío no tiene subconjuntospropios.
II. FALSO. Contraejemplo:A= {5} B = {5; 8} A BA B = {5} Ay B no son disjuntos.
III. VERDADERO. Si: n (A) = 8, entonces:
IV. FALSO. Contraejemplo:A= {1; 7}; B = {2; 3; 5}P(A) = { ; {1} ; {7};A} n [P(A)] = 4P(B) = { ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5};
{3; 5}; B} n[P(B)] = 8Pero: n[P(A) P(B)] = 11, ya que el vacío ( ) seconsidera una sola vez en la unión.
È
Ù Þ ¹Ç Þ
Æ ®Æ
®È Æ
Resolución:
04. Sean dos conjuntos comparables cuyos cardinales sonnúmeros que se diferencian en 4, además la diferenciade los cardinales de sus conjuntos potencia es 480.Hallar el número de elementos que posee laintersección.
Sean “A” y “B” los conjuntos comparables:
Se cumple que:
Por dato: n P(B) - n P(A) = 480
n(A B) = n(A)
n(A B) = 5
Resolución:
Gráfico:
[ ] [ ]
Ç
\ Ç
A
B
01. Si: A= {4; {5}; {4; 5}; 6}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 4 A ( ) * {5} A ( )* 5 A ( ) * {7} A ( )* {4} A ( ) * {{5}} A ( )* {4; 5} A ( ) * {{5; 6}} A ( )* {6} A ( ) * A ( )
02. Dado el conjunto B:
B = {5; {3}; 7; {9; 11}; 14}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 5 B ( ) * {9; 11} B ( )* {3} B ( ) * {7; 14} B ( )* {5; {3}} B ( ) * {5; 7} B ( )* {{3}} B ( ) * {9; 11} B ( )* B ( ) * B ( )
Î ÎÎ Ë
Ì ÌÎ Ì
Ì Æ Î
Î ÌÌ Ì
Ì ÎÌ Ì
Æ Î Æ Ì
a) 5 b) 7 c) 9d) 6 e) 8
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
03. Determinar por extensión y dar como respuesta la sumade los elementos del conjunto P.
a) 19 b) 24 c) 35d) 21 e) 27
04. Calcular la suma de todos los elementos delconjunto Q, si:
a) 32 b) 64 c) 27d) 28 e) 35
05. Indicar el cardinal del conjunto:
a) 2 b) 7 c) 5d) 9 e) 12
2n 16P n 0 n 5
n 4
ì ü-ï ï= Î Ù < £í ý
-ï ïî þ¢
2b 36Q b es impar; 5 b 14
b 6
ì ü-ï ï= < <í ý
+ï ïî þ
x 1R x ; x 17
3
ì ü+ï ï= Î <í ý
ï ïî þ¥
06. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene “M”?
M = {3; 4; 5; ...... ; 19}
a) 1024 b) 2 - 1 c) 2 - 1d) 2 e) 2
07. Si:n[P(A B)] = 4096
n[P(A)] + n[P(B)] = 768
Hallar: n(A B)
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
08. De los conjuntos disjuntosAy B se sabe que:n[P(A) P(B)] = 39
Determinar: n(A) + n(B)
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
09. Si: M = {1; 2; 3; ......; 100}N = {x/x es par}
Hallar: n[P(M - N)]a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
10. Si M y N son dos conjuntos tales que:n(M N) = 12n(M N) = 7n(M) = n(N) + 1¿Cuántos subconjuntos propios tiene: M - N?a) 1 b) 3 c) 7d) 15 e) 31
11. Si: A= x /x - 5x + 6 = 0B = x/x N 3 x < 5C = x-1/x N x < 5
Hallar cuántos subconjuntos tiene:
T = (C - B) A
a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 128
12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjuntoA?
A = {12; 16; 20; ......; 84}
a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
13. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?
B = {x /x Z ; - 9 < 2 x - 1 < 11}
a) 256 b) 4 c) 32d) 64 e) 512
16 17
17 19
50 100 23
10
2 2
19 20 30
18 17
2
È
Ç
È
ÈÇ
{ }{ Î Ù £ }{ Î Ù }
È
Î
14. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?
M = {2; 6; 12; 20; ... ; 110}
a) 2 - 1 b) 1023 c) 2047d) 511 e) 63
15. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de lossiguientes conjuntos respectivamente. Se sabe que:P(A) = 256 subconjuntos.P(B) = 512 subconjuntos.a) 8 y 9 b) 9 y 8 c) 3 y 4d) 4 y 3 e) 2 y 1
16. Dado el conjunto:A = {2; 5; 6; 10}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
* {2} P(A) ( )* 6 P(A) ( )* n [P(A)] = 16 ( )* {5; 6; 10} P(A) ( )* P(A) ( )
a) VFVVF b) VFFVV c) FVVFVd) VFVVV e) FFVVF
17. Considerando que el conjunto A tiene 15 subconjuntospropios. ¿Cuántos elementos tiene el conjuntoA?a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6
18. Determinar cuántos subconjuntos propios tiene:
a) 8 b) 16 c) 32d) 128 e) 64
19. Dado el conjunto:
B = {s; i; e; m; p; r; e; p; r; i; m; e; r; o; s}
Indicar:¿Cuantos elementos tiene el conjunto B?a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) 9
¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?a) 127 b) 63 c) 64d) 512 e) 128
a) 127 b) 63 c) 31d) 15 e) 511
20. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:* Si: n (A) = 0; entonces: n[P(A)] = 0 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 2 ( )* Si: n(A) = 3; entonces: n[P(A)] = 6 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 1 ( )a) VVFF b) FVFF c) FVVVd) VFVV e) FVFF
18
ÎÎ
ÎÆ Î
þ
þ
þ ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto B?
82 1 255= - =Nº de subconjuntospropios de “A”.
n(A) < n(B)x x + 4
2 - 2 = 480x + 4 x
2 (2 - 1) = 2 . 15x 4 5
® x = 5
x 5A ; 0 x 12
2
+ì ü= Î £ £í ý
î þ¥
x
092 093
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividades para la Clase
03. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios.II. Dos conjuntos diferentes entre sí, siempre son
disjuntos.III. Si: n(A) = 8, entonces: P(A) tiene 255 subconjuntos
propios.IV. Si: n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el conjunto:
[P(A) P(B)] tiene como máximo 12 elementos.
I. FALSO. El conjunto vacío no tiene subconjuntospropios.
II. FALSO. Contraejemplo:A= {5} B = {5; 8} A BA B = {5} Ay B no son disjuntos.
III. VERDADERO. Si: n (A) = 8, entonces:
IV. FALSO. Contraejemplo:A= {1; 7}; B = {2; 3; 5}P(A) = { ; {1} ; {7};A} n [P(A)] = 4P(B) = { ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5};
{3; 5}; B} n[P(B)] = 8Pero: n[P(A) P(B)] = 11, ya que el vacío ( ) seconsidera una sola vez en la unión.
È
Ù Þ ¹Ç Þ
Æ ®Æ
®È Æ
Resolución:
04. Sean dos conjuntos comparables cuyos cardinales sonnúmeros que se diferencian en 4, además la diferenciade los cardinales de sus conjuntos potencia es 480.Hallar el número de elementos que posee laintersección.
Sean “A” y “B” los conjuntos comparables:
Se cumple que:
Por dato: n P(B) - n P(A) = 480
n(A B) = n(A)
n(A B) = 5
Resolución:
Gráfico:
[ ] [ ]
Ç
\ Ç
A
B
01. Si: A= {4; {5}; {4; 5}; 6}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 4 A ( ) * {5} A ( )* 5 A ( ) * {7} A ( )* {4} A ( ) * {{5}} A ( )* {4; 5} A ( ) * {{5; 6}} A ( )* {6} A ( ) * A ( )
02. Dado el conjunto B:
B = {5; {3}; 7; {9; 11}; 14}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 5 B ( ) * {9; 11} B ( )* {3} B ( ) * {7; 14} B ( )* {5; {3}} B ( ) * {5; 7} B ( )* {{3}} B ( ) * {9; 11} B ( )* B ( ) * B ( )
Î ÎÎ Ë
Ì ÌÎ Ì
Ì Æ Î
Î ÌÌ Ì
Ì ÎÌ Ì
Æ Î Æ Ì
a) 5 b) 7 c) 9d) 6 e) 8
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
03. Determinar por extensión y dar como respuesta la sumade los elementos del conjunto P.
a) 19 b) 24 c) 35d) 21 e) 27
04. Calcular la suma de todos los elementos delconjunto Q, si:
a) 32 b) 64 c) 27d) 28 e) 35
05. Indicar el cardinal del conjunto:
a) 2 b) 7 c) 5d) 9 e) 12
2n 16P n 0 n 5
n 4
ì ü-ï ï= Î Ù < £í ý
-ï ïî þ¢
2b 36Q b es impar; 5 b 14
b 6
ì ü-ï ï= < <í ý
+ï ïî þ
x 1R x ; x 17
3
ì ü+ï ï= Î <í ý
ï ïî þ¥
06. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene “M”?
M = {3; 4; 5; ...... ; 19}
a) 1024 b) 2 - 1 c) 2 - 1d) 2 e) 2
07. Si:n[P(A B)] = 4096
n[P(A)] + n[P(B)] = 768
Hallar: n(A B)
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
08. De los conjuntos disjuntosAy B se sabe que:n[P(A) P(B)] = 39
Determinar: n(A) + n(B)
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
09. Si: M = {1; 2; 3; ......; 100}N = {x/x es par}
Hallar: n[P(M - N)]a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
10. Si M y N son dos conjuntos tales que:n(M N) = 12n(M N) = 7n(M) = n(N) + 1¿Cuántos subconjuntos propios tiene: M - N?a) 1 b) 3 c) 7d) 15 e) 31
11. Si: A= x /x - 5x + 6 = 0B = x/x N 3 x < 5C = x-1/x N x < 5
Hallar cuántos subconjuntos tiene:
T = (C - B) A
a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 128
12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjuntoA?
A = {12; 16; 20; ......; 84}
a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
13. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?
B = {x /x Z ; - 9 < 2 x - 1 < 11}
a) 256 b) 4 c) 32d) 64 e) 512
16 17
17 19
50 100 23
10
2 2
19 20 30
18 17
2
È
Ç
È
ÈÇ
{ }{ Î Ù £ }{ Î Ù }
È
Î
14. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?
M = {2; 6; 12; 20; ... ; 110}
a) 2 - 1 b) 1023 c) 2047d) 511 e) 63
15. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de lossiguientes conjuntos respectivamente. Se sabe que:P(A) = 256 subconjuntos.P(B) = 512 subconjuntos.a) 8 y 9 b) 9 y 8 c) 3 y 4d) 4 y 3 e) 2 y 1
16. Dado el conjunto:A = {2; 5; 6; 10}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
* {2} P(A) ( )* 6 P(A) ( )* n [P(A)] = 16 ( )* {5; 6; 10} P(A) ( )* P(A) ( )
a) VFVVF b) VFFVV c) FVVFVd) VFVVV e) FFVVF
17. Considerando que el conjunto A tiene 15 subconjuntospropios. ¿Cuántos elementos tiene el conjuntoA?a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6
18. Determinar cuántos subconjuntos propios tiene:
a) 8 b) 16 c) 32d) 128 e) 64
19. Dado el conjunto:
B = {s; i; e; m; p; r; e; p; r; i; m; e; r; o; s}
Indicar:¿Cuantos elementos tiene el conjunto B?a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) 9
¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?a) 127 b) 63 c) 64d) 512 e) 128
a) 127 b) 63 c) 31d) 15 e) 511
20. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:* Si: n (A) = 0; entonces: n[P(A)] = 0 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 2 ( )* Si: n(A) = 3; entonces: n[P(A)] = 6 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 1 ( )a) VVFF b) FVFF c) FVVVd) VFVV e) FVFF
18
ÎÎ
ÎÆ Î
þ
þ
þ ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto B?
82 1 255= - =Nº de subconjuntospropios de “A”.
n(A) < n(B)x x + 4
2 - 2 = 480x + 4 x
2 (2 - 1) = 2 . 15x 4 5
® x = 5
x 5A ; 0 x 12
2
+ì ü= Î £ £í ý
î þ¥
x
092 093
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Dado el siguiente conjunto: P= {5; 3; 2; 9}¿Cuántos proposiciones son falsas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* S P ( )* {9} P ( )* {2; 9; 5} P ( )* {3} P ( )* {3; 2} P ( )* 9 P ( )* 2 P ( )* {5; 2} P ( )* 3 P ( )
02. Hallar: n(A) + n(B) + n(A) n(B)Si:
A= {x/x ; 7 x < 15}
B = {x/x ; 3 x 10}
ÌÎ
ÌÌ
ÌÌÎ
ÌÌ
´
ÎN £ÎN £ £
a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 3
a) 80 b) 70 c) 48d) 90 e) 120
03. Determinar por extensión el siguiente conjunto:
M = {2x/x N; 4 < x < 7}
Hallar la suma de sus elementos.a) 32 b) 22 c) 34d) 42 e) 44
04. Hallar: n(B), si:
B = {5; 7; 9; 11; .........; 33}
a) 28 b) 14 c) 15d) 17 e) 32
Î
05. Sean los conjuntos:
A= {4; 8; 12; 16; .....; 80}B = {3; 6; 9; .......; 72}
Hallar: n(A) + n(B)
a) 20 b) 24 c) 44d) 26 e) 32
06. Si: n[P(A)] representa el número de elementos delconjunto potencia deA.Hallar: n(A) n(B)Si: P(A) = 128; P(B) = 512
a) 63 b) 72 c) 56d) 45 e) 80
07. Hallar el número de subconjuntos que tiene:
R = {12; 5; {5}; 12; {12}; 12}
a) 16 b) 64 c) 32d) 8 e) 128
08. Hallar el número de subconjuntos propios que tiene:
B = {s; u; p; e; r; a; c; i; o; n}
a) 2 - 1 b) 1024 c) 1023d) 2 - 1 e) 2048
09. Determinar la suma de los elementos del siguienteconjunto:
D = {n - 4/n Z; 3 n < 6}
a) 24 b) 37 c) 31d) 42 e) 38
10. De los conjuntosAy B se sabe que:
n[P(A) P(B)] = 39
Determinar: n(A) + n(B)
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
´
Î £
È
9
11
2
01. Si: A y B son dos conjuntos comparables y diferentesdel vacío, además:
n[P(A) - P(B)] = 896
Hallar: n(A B)È
a) 14 b) 13 c) 12d) 10 e) 11
02. Si: n(M N) = 63n [P(M N)] = 1024n(M N) = 3
Hallar el máximo número de elementos de: P(M).
a) 128 b) 256 c) 512d) 1024 e) 16
´D
Ç
03. Calcular la suma del máximo y mínimo cardinal de(A B), sabiendo que:
n(A) = 5n(B) = 7
a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20
04. Dados los conjuntosAy B, se sabe que:
n P(A) - n [P(B)] = 244n [P(A B)] = 1
Calcular: n [P(B -A)]
a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64
05. Si de una lista de 5 entrenadores se debe formar uncomando técnico integrado por lo menos por2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen?a) 25 b) 27 c) 29d) 26 e) 28
06. ¿Cuántos subconjuntos ternarios se podrían obtenercon los días de la semana?a) 30 b) 36 c) 40d) 35 e) 42
07. SiA, B y C son conjuntos, tales que:n(A) = 45n(B) = 80n[P(C)] = 256
n [P(A B C)] = 32
n [(A B) - C] = 20
Calcular el número de elementos que tiene:A Ba) 60 b) 75 c) 8d) 65 e) 70
È
[ ]Ç
Ç ÇÇ
D
08. Sean los conjuntos:
Calcular: n P (A B) - (B A)
a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
09. Sean los conjuntos:
Calcular: n(A) + n(B) + n(C)
a) 29 b) 16 c) 19d) 18 e) 31
10. Sabiendo que:n(U) = n (A B C) = 28n(A) = 17n(B) = 20n(C) = 20n[(A B) - C] = 5n[(A C) - B] = 4n[(B C) -A] = 6
Calcular:
n[(A B C ) (B A C ) (C A B )]
a) 6 b) 9 c) 5d) 8 e) 7
{ }[ ´ ´ ]
È È
ÇÇÇ
Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢
20 7 28
29 8
23x 1A x x 19
5++ì ü= Î Ù £í ý
î þ¢
3x 1B x x 19
5+ ++ì ü= Î Î Ù £í ý
î þ¢ ¢
3x 1C 1 x 19
5++ì ü= Î £ £í ý
î þ¢
{ }A x es impar / 6 x 11= < £
3x 1B Z 0 x 7
2
-ì ü= Î < <í ý
î þ
094 095
Desafío EstrellistaLas Estrellas
de Futuro:
Educación al servicio
de los jóvenes del Perú.
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Dado el siguiente conjunto: P= {5; 3; 2; 9}¿Cuántos proposiciones son falsas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* S P ( )* {9} P ( )* {2; 9; 5} P ( )* {3} P ( )* {3; 2} P ( )* 9 P ( )* 2 P ( )* {5; 2} P ( )* 3 P ( )
02. Hallar: n(A) + n(B) + n(A) n(B)Si:
A= {x/x ; 7 x < 15}
B = {x/x ; 3 x 10}
ÌÎ
ÌÌ
ÌÌÎ
ÌÌ
´
ÎN £ÎN £ £
a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 3
a) 80 b) 70 c) 48d) 90 e) 120
03. Determinar por extensión el siguiente conjunto:
M = {2x/x N; 4 < x < 7}
Hallar la suma de sus elementos.a) 32 b) 22 c) 34d) 42 e) 44
04. Hallar: n(B), si:
B = {5; 7; 9; 11; .........; 33}
a) 28 b) 14 c) 15d) 17 e) 32
Î
05. Sean los conjuntos:
A= {4; 8; 12; 16; .....; 80}B = {3; 6; 9; .......; 72}
Hallar: n(A) + n(B)
a) 20 b) 24 c) 44d) 26 e) 32
06. Si: n[P(A)] representa el número de elementos delconjunto potencia deA.Hallar: n(A) n(B)Si: P(A) = 128; P(B) = 512
a) 63 b) 72 c) 56d) 45 e) 80
07. Hallar el número de subconjuntos que tiene:
R = {12; 5; {5}; 12; {12}; 12}
a) 16 b) 64 c) 32d) 8 e) 128
08. Hallar el número de subconjuntos propios que tiene:
B = {s; u; p; e; r; a; c; i; o; n}
a) 2 - 1 b) 1024 c) 1023d) 2 - 1 e) 2048
09. Determinar la suma de los elementos del siguienteconjunto:
D = {n - 4/n Z; 3 n < 6}
a) 24 b) 37 c) 31d) 42 e) 38
10. De los conjuntosAy B se sabe que:
n[P(A) P(B)] = 39
Determinar: n(A) + n(B)
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
´
Î £
È
9
11
2
01. Si: A y B son dos conjuntos comparables y diferentesdel vacío, además:
n[P(A) - P(B)] = 896
Hallar: n(A B)È
a) 14 b) 13 c) 12d) 10 e) 11
02. Si: n(M N) = 63n [P(M N)] = 1024n(M N) = 3
Hallar el máximo número de elementos de: P(M).
a) 128 b) 256 c) 512d) 1024 e) 16
´D
Ç
03. Calcular la suma del máximo y mínimo cardinal de(A B), sabiendo que:
n(A) = 5n(B) = 7
a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20
04. Dados los conjuntosAy B, se sabe que:
n P(A) - n [P(B)] = 244n [P(A B)] = 1
Calcular: n [P(B -A)]
a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64
05. Si de una lista de 5 entrenadores se debe formar uncomando técnico integrado por lo menos por2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen?a) 25 b) 27 c) 29d) 26 e) 28
06. ¿Cuántos subconjuntos ternarios se podrían obtenercon los días de la semana?a) 30 b) 36 c) 40d) 35 e) 42
07. SiA, B y C son conjuntos, tales que:n(A) = 45n(B) = 80n[P(C)] = 256
n [P(A B C)] = 32
n [(A B) - C] = 20
Calcular el número de elementos que tiene:A Ba) 60 b) 75 c) 8d) 65 e) 70
È
[ ]Ç
Ç ÇÇ
D
08. Sean los conjuntos:
Calcular: n P (A B) - (B A)
a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2
09. Sean los conjuntos:
Calcular: n(A) + n(B) + n(C)
a) 29 b) 16 c) 19d) 18 e) 31
10. Sabiendo que:n(U) = n (A B C) = 28n(A) = 17n(B) = 20n(C) = 20n[(A B) - C] = 5n[(A C) - B] = 4n[(B C) -A] = 6
Calcular:
n[(A B C ) (B A C ) (C A B )]
a) 6 b) 9 c) 5d) 8 e) 7
{ }[ ´ ´ ]
È È
ÇÇÇ
Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢
20 7 28
29 8
23x 1A x x 19
5++ì ü= Î Ù £í ý
î þ¢
3x 1B x x 19
5+ ++ì ü= Î Î Ù £í ý
î þ¢ ¢
3x 1C 1 x 19
5++ì ü= Î £ £í ý
î þ¢
{ }A x es impar / 6 x 11= < £
3x 1B Z 0 x 7
2
-ì ü= Î < <í ý
î þ
094 095
Desafío EstrellistaLas Estrellas
de Futuro:
Educación al servicio
de los jóvenes del Perú.
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
* A U =A* A =
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es elconjunto formado por los elementos de “A” que nopertenecen a “B”.
A - B = {x/x A x B}
De los conjuntos anteriores:
* A:A - =A* A: -A=
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos de “A” o “B” pero noambos a la vez.
A B = (A - B) (B - A)
A B = (A B) - (A B)
Consecuencia:
DIFERENCIA
Ejemplos:
Consecuencia:
DIFERENCIASIMÉTRICA
ÇÇ Æ Æ
-
Î Ù Ï
" Æ" Æ Æ
D
D È
D È Ç
( )
( )
C
A C = {1; 2; 3} = AÇ
Si: A C A C = AÌ ® Ç
213
4
A
A B B D
C
A B = {1; 3}- B D = {2; 5} = B-
A - C = { } = Æ
Si: A C A C =Ì ® - Æ
13 5
52 3
72
213
4
Si B y D son disjuntos.B D = B® -
A
UNIÓN
Ejemplos:
Consecuencia:
INTERSECCIÓN
Ejemplos:
( )
( )
È
È Î Ú Î
È
È «
Ç
Ç Î Ù Î
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado porlos elementos de “A” con los elementos de “B”.
A B = {x/x A x B}
A= {1; 2; 3}B = {2; 5}C = {1; 2; 3; 4}D = {3; 7}
* A U = U* A=A* n(A B) = n(A) + n(B) “A” y “B” son disjuntos.
La intersección de los conjuntos A y B es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a losdos conjuntos a la vez.
A B = {x/x A x B}
De los conjuntos anteriores:
A B B D
C
A B = {1; 2; 3; 5}È B D = {2; 5; 3; 7}È
A C = {1; 2; 3; 4} = CÈ
Si: A C A C = CÌ ® È
3
2
15
5
2 37
3 41
A
Ejemplos:
Consecuencia:
COMPLEMENTO
Ejemplos:
De los conjuntos anteriores:
* n(A B) = n(A B) - n(A B)
El complemento de un conjunto “A” es el conjuntoformado por los elementos que no pertenecen a “A”.
= A = C(A) = A = {x/x A}
Considerando el conjunto universal:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Para los conjuntos anteriores:
D È Ç
¢
¢ Ï
(A )
AC
CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO
Ejemplos:
Gráficos:
PROPIEDADES:
LEYES DE ÁLGEBRADE CONJUNTOS
a. Idempotencia
b. Asociativa
c. Morgan
d. Absorción
e. Conmutativa
f. Distributiva
g. Del Complemento
h. Adicionales
(A B)´
´
´ Î Ù Ï
´´
´ ¹ ´ « ¹´ ´ «
´ ´ ´
ÈÇ
È È È ÈÇ Ç Ç Ç
È ¢ ¢ Ç ¢Ç ¢ ¢ È ¢
È ÇÇ ÈÈ ¢ Ç ÈÇ ¢ È Ç
È ÈÇ ÇD D
Ç È Ç È ÇÈ Ç È Ç È
È ¢Ç ¢ Æ¢ ¢
Ç ¢¢ Æ Æ ¢
Dados los conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto(A B) es aquel conjunto cuyos elementos son todos lospares ordenados, donde las primeras componentespertenecen al conjunto A y las segundas pertenecen alconjunto B.
A B = {(a; b)/a A b B}
De los conjuntos anteriores:A B = {(1; 2);(1; 5);(2; 2);(2; 5);(3; 2);(3; 5)}B A= {(2; 1);(2; 2);(2; 3);(5; 1);(5; 2);(5; 3)}
I. A B B A A BII. A B = B A A= BIII. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)
A A=AA A=A
A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C
(A B) =A B(A B) =A B
A (A B) =AA (A B) =AA (A B) =A BA (A B) =A B
A B = B AA B = B AA B = B A
A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)
A A = UA A =(A ) =A
A- B =A B(U) = ( ) = U
A B B D
C
A B = {1; 3; 5}D B D = {2; 5; 3; 7} = B DD È
A C = {4} = C - AD
Si: A C A C = C- AÌ ® D
13 5
52 3
72
213
4
Si: B y D son conjuntosdisjuntos.
B D = B D® D È
A
OPERACIONES CON CONJUNTOSOPERACIONES CON CONJUNTOS
Observamos:A y C son comparables, B y D son disjuntos.
A B
B D
13 5
52 3
7
2
Si: “B” y “D” sondisjuntos.
B D =® Ç Æ
B D = { } =Ç Æ
A B = {2}Ç
A B´
1
2
3
2
5
(1; 5) (2; 5) (3; 5)
(1; 2) (2; 2) (3; 2)
1 2 3
5
2
a. En el gráfico sagital. b. En el plano cartesiano.
A B B D
C
A = {4; 5; 6; 7}¢ B = {1; 3; 4; 6; 7} D B¢ ® Ì ¢
A = {4, 5; 6; 7}¢
Si: A C C AÌ ® ¢ Ì ¢
13 5
52 3
72
213
4
Si: B y D son conjuntosdisjuntos
D B® Ì ¢
A
2
4
67
1
6
5
6 7
4
B
A
096 097
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
* A U =A* A =
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es elconjunto formado por los elementos de “A” que nopertenecen a “B”.
A - B = {x/x A x B}
De los conjuntos anteriores:
* A:A - =A* A: -A=
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos de “A” o “B” pero noambos a la vez.
A B = (A - B) (B - A)
A B = (A B) - (A B)
Consecuencia:
DIFERENCIA
Ejemplos:
Consecuencia:
DIFERENCIASIMÉTRICA
ÇÇ Æ Æ
-
Î Ù Ï
" Æ" Æ Æ
D
D È
D È Ç
( )
( )
C
A C = {1; 2; 3} = AÇ
Si: A C A C = AÌ ® Ç
213
4
A
A B B D
C
A B = {1; 3}- B D = {2; 5} = B-
A - C = { } = Æ
Si: A C A C =Ì ® - Æ
13 5
52 3
72
213
4
Si B y D son disjuntos.B D = B® -
A
UNIÓN
Ejemplos:
Consecuencia:
INTERSECCIÓN
Ejemplos:
( )
( )
È
È Î Ú Î
È
È «
Ç
Ç Î Ù Î
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado porlos elementos de “A” con los elementos de “B”.
A B = {x/x A x B}
A= {1; 2; 3}B = {2; 5}C = {1; 2; 3; 4}D = {3; 7}
* A U = U* A=A* n(A B) = n(A) + n(B) “A” y “B” son disjuntos.
La intersección de los conjuntos A y B es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a losdos conjuntos a la vez.
A B = {x/x A x B}
De los conjuntos anteriores:
A B B D
C
A B = {1; 2; 3; 5}È B D = {2; 5; 3; 7}È
A C = {1; 2; 3; 4} = CÈ
Si: A C A C = CÌ ® È
3
2
15
5
2 37
3 41
A
Ejemplos:
Consecuencia:
COMPLEMENTO
Ejemplos:
De los conjuntos anteriores:
* n(A B) = n(A B) - n(A B)
El complemento de un conjunto “A” es el conjuntoformado por los elementos que no pertenecen a “A”.
= A = C(A) = A = {x/x A}
Considerando el conjunto universal:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Para los conjuntos anteriores:
D È Ç
¢
¢ Ï
(A )
AC
CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO
Ejemplos:
Gráficos:
PROPIEDADES:
LEYES DE ÁLGEBRADE CONJUNTOS
a. Idempotencia
b. Asociativa
c. Morgan
d. Absorción
e. Conmutativa
f. Distributiva
g. Del Complemento
h. Adicionales
(A B)´
´
´ Î Ù Ï
´´
´ ¹ ´ « ¹´ ´ «
´ ´ ´
ÈÇ
È È È ÈÇ Ç Ç Ç
È ¢ ¢ Ç ¢Ç ¢ ¢ È ¢
È ÇÇ ÈÈ ¢ Ç ÈÇ ¢ È Ç
È ÈÇ ÇD D
Ç È Ç È ÇÈ Ç È Ç È
È ¢Ç ¢ Æ¢ ¢
Ç ¢¢ Æ Æ ¢
Dados los conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto(A B) es aquel conjunto cuyos elementos son todos lospares ordenados, donde las primeras componentespertenecen al conjunto A y las segundas pertenecen alconjunto B.
A B = {(a; b)/a A b B}
De los conjuntos anteriores:A B = {(1; 2);(1; 5);(2; 2);(2; 5);(3; 2);(3; 5)}B A= {(2; 1);(2; 2);(2; 3);(5; 1);(5; 2);(5; 3)}
I. A B B A A BII. A B = B A A= BIII. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)
A A=AA A=A
A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C
(A B) =A B(A B) =A B
A (A B) =AA (A B) =AA (A B) =A BA (A B) =A B
A B = B AA B = B AA B = B A
A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)
A A = UA A =(A ) =A
A- B =A B(U) = ( ) = U
A B B D
C
A B = {1; 3; 5}D B D = {2; 5; 3; 7} = B DD È
A C = {4} = C - AD
Si: A C A C = C- AÌ ® D
13 5
52 3
72
213
4
Si: B y D son conjuntosdisjuntos.
B D = B D® D È
A
OPERACIONES CON CONJUNTOSOPERACIONES CON CONJUNTOS
Observamos:A y C son comparables, B y D son disjuntos.
A B
B D
13 5
52 3
7
2
Si: “B” y “D” sondisjuntos.
B D =® Ç Æ
B D = { } =Ç Æ
A B = {2}Ç
A B´
1
2
3
2
5
(1; 5) (2; 5) (3; 5)
(1; 2) (2; 2) (3; 2)
1 2 3
5
2
a. En el gráfico sagital. b. En el plano cartesiano.
A B B D
C
A = {4; 5; 6; 7}¢ B = {1; 3; 4; 6; 7} D B¢ ® Ì ¢
A = {4, 5; 6; 7}¢
Si: A C C AÌ ® ¢ Ì ¢
13 5
52 3
72
213
4
Si: B y D son conjuntosdisjuntos
D B® Ì ¢
A
2
4
67
1
6
5
6 7
4
B
A
096 097
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
01. Si: H = {x/x es un hombre}C = {x/x es una persona casada}E = {x/x es una persona europea}
Expresar simbólicamente el conjunto de “mujereseuropeas y solteras”.
De los conjuntos: H = {x/x es una mujer}C = {x/x es una persona soltera}
Del texto dado:H E C H C E (H C) E
02. De los conjuntos comparables A y B, de losequipotentesAy C, se sabe que:
* n[P(B C) -A] = 4* n(B) - n(A) = n(C)* n[P(A B)] = 64
Calcular: n[B - (A C)]
Piden: n(R) = n(B) - n(A) - n(x)
* n P(A B) = 2 = 64 = 2 n(A) = 6
* n(B) = n(A) + n(C) = 6 + 6 n(B) = 12
* n P (B C) -A = 2 = 4 = 2 n(x) = 2
Entonces: n(R) = 12 - 6 -2
n(R) = 4
Resolución:
Resolución
Gráfico:
¢¢
¢ Ç Ç ¢ º ¢ Ç ¢ Ç º È ¢ Ç
Ç
Ç
È
[ Ç ] ®
®
{ [ Ç ]} ®
\
n(A) 6
n(x) 2
03. Siendo los conjuntos:A= {1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9}B = {2 ; 3 ; 6 ; 7}C = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
¿Cuáles son los elementos que deben estar en la partesombreada del diagrama?
Observamos que al colocar cada elemento de losconjuntos, la parte sombreada corresponde aA B.
A= { 1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9 }B = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 }C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
Completando elementos en el gráfico, obtenemos queen la parte sombreada se ubican 2 y 7.
04. En el diagrama que se muestra, sombrear la región quecorresponde al conjunto:
* Numeramos cada región en el diagrama dado:
Resolución:
Resolución:
Ç
È(C –A) (B – C)
01. Si: B A ; C A
Además:* A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}* A- B = {4; 5; 6}* C = {1; 3; 5}Determinar: B C
a) {1; 2; 4} b) {1, 3} c) {5}d) {2; 4; 6} e) {1; 2; 3}
02. Hallar el número de elementos de:(S R) T
Si:S = {0; 1; 2; 3}R = {2; 3; 4}T = {0; 4; 5; 6}
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7
03. Sean los conjuntos:
Determinar: (P Q) - (P Q)
a) {1; 3; 4} b) c)
d) e) {1; 2; 3}
04. Dados los conjuntos:
U = {x/x Z -4 x 6}A= {2x - 9/x N 3 x 8}B = {3x+1/x -1 x 2}Hallar el número de elementos de: (A B)
Ì Ì
Ç
È Ç
È Ç
Î Ù £ £Î Ù £ £Î Z Ù £ £
È ¢
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
05. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A= {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}C = {1; 4}
Determinar: (A C) Ba) {1; 2; 4; 6} b) c) Ud) {2; 4; 6} e) {1; 3}
06. Si:
U = {x/x N; x < 10}A= {1; 3; 4; 5}B = {3; 5; 7; 9}
C = {x /x U}
Determinar:
I. A C
II. (A- B) (B C)
a) {0; 2; 9} y {0; 3}b) {0; 9} y {0; 3; 5}c) {0; 9} y {0; 3; 5; 7; 9}d) {0; 2; 9} y {0; 1; 3; 5}e) {0; 2} y {0; 1; 2; 5}
07. Sean los conjuntos:S = {2; 4; 6}T = {1; 2; 6}R = {1; 3; 4; 6}
Determinar: S (R - T)
a) {2; 3; 4; 6} b) {3; 4; 6} c) {2}d) {1; 4; 6} e) {1; 3}
08. Sean los conjuntos:A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}C = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Determinar: (A B) - (B C)
a) {1; 2} b) {1; 2; 3; 4} c) {2; 4; 6; 8}d) {2; 4} e) {1; 3}
È ¢ ÇÆ
Î
Î
¢ Ç¢ Ç È
È
Ç D
2BC
(B C) - A = xÇB - (A C) = RÈ
iguales por serequipotentes
x
A
A
BC
A
B
C
• 8 • 9
• 1• 7 • 2
• 4
• 5• 3• 6
A B
C
A B
C
• 7
• 5 • 6• 4
• 1 • 2 • 3
* Hallamos las regiones que corresponden a laoperación:
Si: A= {1 ; 2 ; 4 ; 5}B = {2 ; 3 ; 5 ; 6}C = {4 ; 5 ; 6 , 7}
{6 ; 7} {2 ; 3}{2 ; 3 ; 6 ; 7}
(C –A) (B – C)
(C – A) (B – C)
È
È
È
Luego, en el gráfico sombreamos:
A B
C
• 7
• 5 • 6• 4
• 1 • 2 • 3
1 1P 2 ; ; 3 ;
2 3ì ü
= í ýî þ
1Q x ; x 4
xì ü
= Î <í ýî þ
¥
1 1;
2 3ì üí ýî þ
11; ; 2
2ì üí ýî þ
12 ; ; 3
2ì üí ýî þ
A
098 099
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
Conocimiento más carácter,el objetivo de toda buena educación.
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
01. Si: H = {x/x es un hombre}C = {x/x es una persona casada}E = {x/x es una persona europea}
Expresar simbólicamente el conjunto de “mujereseuropeas y solteras”.
De los conjuntos: H = {x/x es una mujer}C = {x/x es una persona soltera}
Del texto dado:H E C H C E (H C) E
02. De los conjuntos comparables A y B, de losequipotentesAy C, se sabe que:
* n[P(B C) -A] = 4* n(B) - n(A) = n(C)* n[P(A B)] = 64
Calcular: n[B - (A C)]
Piden: n(R) = n(B) - n(A) - n(x)
* n P(A B) = 2 = 64 = 2 n(A) = 6
* n(B) = n(A) + n(C) = 6 + 6 n(B) = 12
* n P (B C) -A = 2 = 4 = 2 n(x) = 2
Entonces: n(R) = 12 - 6 -2
n(R) = 4
Resolución:
Resolución
Gráfico:
¢¢
¢ Ç Ç ¢ º ¢ Ç ¢ Ç º È ¢ Ç
Ç
Ç
È
[ Ç ] ®
®
{ [ Ç ]} ®
\
n(A) 6
n(x) 2
03. Siendo los conjuntos:A= {1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9}B = {2 ; 3 ; 6 ; 7}C = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
¿Cuáles son los elementos que deben estar en la partesombreada del diagrama?
Observamos que al colocar cada elemento de losconjuntos, la parte sombreada corresponde aA B.
A= { 1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9 }B = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 }C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
Completando elementos en el gráfico, obtenemos queen la parte sombreada se ubican 2 y 7.
04. En el diagrama que se muestra, sombrear la región quecorresponde al conjunto:
* Numeramos cada región en el diagrama dado:
Resolución:
Resolución:
Ç
È(C –A) (B – C)
01. Si: B A ; C A
Además:* A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}* A- B = {4; 5; 6}* C = {1; 3; 5}Determinar: B C
a) {1; 2; 4} b) {1, 3} c) {5}d) {2; 4; 6} e) {1; 2; 3}
02. Hallar el número de elementos de:(S R) T
Si:S = {0; 1; 2; 3}R = {2; 3; 4}T = {0; 4; 5; 6}
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7
03. Sean los conjuntos:
Determinar: (P Q) - (P Q)
a) {1; 3; 4} b) c)
d) e) {1; 2; 3}
04. Dados los conjuntos:
U = {x/x Z -4 x 6}A= {2x - 9/x N 3 x 8}B = {3x+1/x -1 x 2}Hallar el número de elementos de: (A B)
Ì Ì
Ç
È Ç
È Ç
Î Ù £ £Î Ù £ £Î Z Ù £ £
È ¢
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
05. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A= {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}C = {1; 4}
Determinar: (A C) Ba) {1; 2; 4; 6} b) c) Ud) {2; 4; 6} e) {1; 3}
06. Si:
U = {x/x N; x < 10}A= {1; 3; 4; 5}B = {3; 5; 7; 9}
C = {x /x U}
Determinar:
I. A C
II. (A- B) (B C)
a) {0; 2; 9} y {0; 3}b) {0; 9} y {0; 3; 5}c) {0; 9} y {0; 3; 5; 7; 9}d) {0; 2; 9} y {0; 1; 3; 5}e) {0; 2} y {0; 1; 2; 5}
07. Sean los conjuntos:S = {2; 4; 6}T = {1; 2; 6}R = {1; 3; 4; 6}
Determinar: S (R - T)
a) {2; 3; 4; 6} b) {3; 4; 6} c) {2}d) {1; 4; 6} e) {1; 3}
08. Sean los conjuntos:A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}C = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Determinar: (A B) - (B C)
a) {1; 2} b) {1; 2; 3; 4} c) {2; 4; 6; 8}d) {2; 4} e) {1; 3}
È ¢ ÇÆ
Î
Î
¢ Ç¢ Ç È
È
Ç D
2BC
(B C) - A = xÇB - (A C) = RÈ
iguales por serequipotentes
x
A
A
BC
A
B
C
• 8 • 9
• 1• 7 • 2
• 4
• 5• 3• 6
A B
C
A B
C
• 7
• 5 • 6• 4
• 1 • 2 • 3
* Hallamos las regiones que corresponden a laoperación:
Si: A= {1 ; 2 ; 4 ; 5}B = {2 ; 3 ; 5 ; 6}C = {4 ; 5 ; 6 , 7}
{6 ; 7} {2 ; 3}{2 ; 3 ; 6 ; 7}
(C –A) (B – C)
(C – A) (B – C)
È
È
È
Luego, en el gráfico sombreamos:
A B
C
• 7
• 5 • 6• 4
• 1 • 2 • 3
1 1P 2 ; ; 3 ;
2 3ì ü
= í ýî þ
1Q x ; x 4
xì ü
= Î <í ýî þ
¥
1 1;
2 3ì üí ýî þ
11; ; 2
2ì üí ýî þ
12 ; ; 3
2ì üí ýî þ
A
098 099
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
Conocimiento más carácter,el objetivo de toda buena educación.
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria09. Dados los conjuntos:
M = {x/x N ; 0 < x < 6}
P= {x/x N ; 3 < x < 10}
Q = {x/x N ; 7 x 14}R = {12; 13; 14}
Determinar: (Q R) - (P Q)] [(P- Q) R
a) {1; 2; 3; 10; 11}b) {1; 2; 4; 5}
c)d) {1; 2; 10}e) {1; 3}
10. Si: U = {x/x N 1 x 7}A= {1; 3; 4; 6}B = {1; 2; 7}C = {2; 3; 5; 6; 7}
Determinar: (A B) C
a) {5} b) {1; 2; 5} c) Ud) e) {1; 2; 3; 4; 6; 7}
11. Sean los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 3; 4; 5}C = {1; 2; 6}
Determinar:[(B C)’ - (A B C)]’
a) b) {2; 3} c) {1; 2; 3}d) U e) {2}
12. Sean los conjuntos:P = {x/x es divisor de 6}Q = {x/x ; -3 < x 3}T = {x/x ; x < 2}
Determinar: (P Q) T
a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {0; 1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 2; 4}
13. Dados los conjuntos:A= {3; 5; 7; 9}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}
Determinar: (A B) C
a) {3; 5; 7; 9}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
ÎÎÎ £ £
[ D Ç Ç È ]
Æ
Î Ù £ £
È ¢ Ç ¢
Æ
Ç Ç Ç
Æ
Î Z £Î N
È Ç
È D
14. Sean los conjuntos:A= {1; 5; 7; 8}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {1; 4; 8; 10}
Determinar: (A- C) (B C)
a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6 ; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
15. Dados los conjuntos:A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}B = {4; 6; 8}C = {2; 4; 6; 7}
Determinar: A- (C - B)
a) {2; 5; 7} b) {3; 4; 5; 6; 8} c) {2; 4; 6; 8}d) {4; 6; 8} e) {6; 8}
16. Dado el siguiente gráfico, ¿qué operación conjuntistarepresenta lo sombreado?
a) (A- B) (C -A)
b) (A- B) (B - C)
c)A- (B C)
d)A- (B C)
e)A (B C)
17. Hallar: n(B -A), si:* n [P(A B)] = 128* n[P(A- B)] = 64* n(A B) = 182
a) 6 b) 7 c) 13d) 14 e) 15
18. Si: n(A) nos indica la cantidad de elementos diferentesque tiene el conjuntoA, entonces:A B = U* n(A B) = 12* n(A B) = 38* n(A- B) = 8Hallar: n(B -A)a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
19. Si: n [P(A)] = 256n [P(B)] = 32
Además: n [P(A B)] = 16Determinar: n[P(A- B)] + n [P(B -A)]a) 18 b) 34 c) 32d) 64 e) 48
20. Se tienen dos conjuntosAy B, tales que:* n (A B) = 15* n (A B) = 3* n(A) - n(B) = 2* n(B ) = 8
Hallar: n[P(A )]
D Ç
È
È
È
Ç
Ç Ç
Ç
´
ÈÇÈ
Ç
ÈÇ
¢
¢
01. Dados los conjuntosAy B contenidos en el universo U se definen las siguientes operaciones:
A B
8
9
23
54
6 7
A B = {...........................................................................................................................}
È
2
6
7 8
5
9
3
a)
8
9
23
54
6 7
A
B
7 2
53
46
8
BC A
8
9
23
54
6 7
A B = {...................................................}-B A = {...................................................}-
2
6
7 8
5
9
3
7 2
53
46
8
A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-
8
9
23
54
6 7
A B = {.................................................}D
2
6
7 8
5
9
3
BA
BA
A B = {....................................................}È
BA
BA
B
A
A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-
BA
BA
A B = {.................................................}D
A B8
9
23
54
6 7
A = {.......................................................}B
¢¢ = {.......................................................}
f)
b)g)
c)
h)
d) i)
e)
j)
U
A B = {...........................................................................................................................}
È
U
U
A B = {...........................................................................................................................}
È
U
U
U
U
U
U
U
100 101
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria09. Dados los conjuntos:
M = {x/x N ; 0 < x < 6}
P= {x/x N ; 3 < x < 10}
Q = {x/x N ; 7 x 14}R = {12; 13; 14}
Determinar: (Q R) - (P Q)] [(P- Q) R
a) {1; 2; 3; 10; 11}b) {1; 2; 4; 5}
c)d) {1; 2; 10}e) {1; 3}
10. Si: U = {x/x N 1 x 7}A= {1; 3; 4; 6}B = {1; 2; 7}C = {2; 3; 5; 6; 7}
Determinar: (A B) C
a) {5} b) {1; 2; 5} c) Ud) e) {1; 2; 3; 4; 6; 7}
11. Sean los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 3; 4; 5}C = {1; 2; 6}
Determinar:[(B C)’ - (A B C)]’
a) b) {2; 3} c) {1; 2; 3}d) U e) {2}
12. Sean los conjuntos:P = {x/x es divisor de 6}Q = {x/x ; -3 < x 3}T = {x/x ; x < 2}
Determinar: (P Q) T
a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {0; 1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 2; 4}
13. Dados los conjuntos:A= {3; 5; 7; 9}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}
Determinar: (A B) C
a) {3; 5; 7; 9}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
ÎÎÎ £ £
[ D Ç Ç È ]
Æ
Î Ù £ £
È ¢ Ç ¢
Æ
Ç Ç Ç
Æ
Î Z £Î N
È Ç
È D
14. Sean los conjuntos:A= {1; 5; 7; 8}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {1; 4; 8; 10}
Determinar: (A- C) (B C)
a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6 ; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
15. Dados los conjuntos:A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}B = {4; 6; 8}C = {2; 4; 6; 7}
Determinar: A- (C - B)
a) {2; 5; 7} b) {3; 4; 5; 6; 8} c) {2; 4; 6; 8}d) {4; 6; 8} e) {6; 8}
16. Dado el siguiente gráfico, ¿qué operación conjuntistarepresenta lo sombreado?
a) (A- B) (C -A)
b) (A- B) (B - C)
c)A- (B C)
d)A- (B C)
e)A (B C)
17. Hallar: n(B -A), si:* n [P(A B)] = 128* n[P(A- B)] = 64* n(A B) = 182
a) 6 b) 7 c) 13d) 14 e) 15
18. Si: n(A) nos indica la cantidad de elementos diferentesque tiene el conjuntoA, entonces:A B = U* n(A B) = 12* n(A B) = 38* n(A- B) = 8Hallar: n(B -A)a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
19. Si: n [P(A)] = 256n [P(B)] = 32
Además: n [P(A B)] = 16Determinar: n[P(A- B)] + n [P(B -A)]a) 18 b) 34 c) 32d) 64 e) 48
20. Se tienen dos conjuntosAy B, tales que:* n (A B) = 15* n (A B) = 3* n(A) - n(B) = 2* n(B ) = 8
Hallar: n[P(A )]
D Ç
È
È
È
Ç
Ç Ç
Ç
´
ÈÇÈ
Ç
ÈÇ
¢
¢
01. Dados los conjuntosAy B contenidos en el universo U se definen las siguientes operaciones:
A B
8
9
23
54
6 7
A B = {...........................................................................................................................}
È
2
6
7 8
5
9
3
a)
8
9
23
54
6 7
A
B
7 2
53
46
8
BC A
8
9
23
54
6 7
A B = {...................................................}-B A = {...................................................}-
2
6
7 8
5
9
3
7 2
53
46
8
A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-
8
9
23
54
6 7
A B = {.................................................}D
2
6
7 8
5
9
3
BA
BA
A B = {....................................................}È
BA
BA
B
A
A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-
BA
BA
A B = {.................................................}D
A B8
9
23
54
6 7
A = {.......................................................}B
¢¢ = {.......................................................}
f)
b)g)
c)
h)
d) i)
e)
j)
U
A B = {...........................................................................................................................}
È
U
U
A B = {...........................................................................................................................}
È
U
U
U
U
U
U
U
100 101
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Desafío Estrellista
02. Sean los conjuntos:A= {2x - 1/x N; x < 5}B = {x - 1 / x Z - 2 x < 3}
Determinar: A- B
ÎÎ Ù £
2
a) {3; 5; 7}b) {3; -1}c) {-1; 0; 3; 7}d) {1; 5; 7}e) {0; 3; -1}
03. Dados los conjuntos:A= {x/x ; 2 < x < 6}B = {x/x N ; 3 < x < 10}
Determinar: A B
a) {4; 5}b) {3; 4}c) {3; 4; 5}d) {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}e)
04. Sean los conjuntos:U = {x/x N ; 1 < x < 10}A= {2; 5; 7}
Determinar: A
a) {2; 5; 7}b) {1; 2; 3; 4; 5}c) {3; 4; 6; 8; 9}d) {1; 3; 2; 8; 9}e) {2; 3; 4; 6; 8}
05. Sean los conjuntos:A= {x/x N 3 x 9}B = {x/x N 5 < x < 11}C = {7; 8; 9}
Determinar: (A B) C
a) {6; 7; 8} b) {6; 7} c) {8; 9}d) {7; 8; 9} e) {6; 9}
06. Dados los conjuntos:A= {x/x es dígito ; 2 x 6}
B = {x/x N x = 9}C = {x/x N x - 2 = 4}
Determinar: (B C) A
a) {2; 4; 5}b) {3; 4; 5}c) {3; 6}d) {2; 3; 4; 5; 6}e) {4; 5}
Î NÎ
Ç
Æ
Î
¢
Î Ù £ £Î Ù
Ç Ç
£ £
Î ÙÎ Ù
È Ç
2
07. Sean los conjuntos:A= {1; 5; 7; 8}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {1; 4; 8; 10}
Determinar: (A- C) (B C)
a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
08. Sean los conjuntos:S = {2; 4; 6}T = {1; 2; 6}R = {1; 3; 4; 6}
Determinar: S (R - T)a) {2; 3; 4; 6}b) {3; 4; 6}c) {2}d) {1; 4; 6}e) {1; 3}
09. La parte sombreada del esquema corresponde a:
a) (A B) (B - C)
b) C - (A B)
c) (A- B) (C - B)
d) (C - B) (A B)
e) (A B) - (A B)
10. Dados los conjuntos:P= {x/x ; 0 < x < 4}Q = {x/x Z ; 1 < x 3}R = {x/x N ; x < 3}
Determinar: P (Q T)
a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 1; 3}
D Ç
È
Ç È
Ç
È
È Ç
È Ç
Î NÎ £Î
È Ç
A B
C
01. Sabiendo que:
Además:* n [P(G)] + n[P(S)] = 576* n(G S) = 2Hallar: n(G S)
ÇÈ
a) 13 b) 12 c) 14d) 10 e) 15
02. ¿Qué alternativa representa la parte sombreada?
a) (A B C) - Bb) (A B C) -Ac) (A B) - (A B)d) (A B) (A B)e) (A B) - C C - (A B)
03. Sean los conjuntos:
Calcular: n(A B)a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 12
04. Dados los conjuntosAy B se tiene:A B, si:3n(A) = 2n(B) ; n(A B) = 18
¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?a) 6 b) 8 c) 12d) 18 e) 16
05. Sean los conjuntos:A = {2, 5; 7; 9}B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}C = {2; 3; 6; 8; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Determinar:
(A B) (B C) - (A C )
a) {1; 3; 5} b) c) {2; 6; 8}d) {1; 2; 4; 6} e) {2; 8}
È ÈÇ ÇÈ ÇÇ ¢ È Ç
[ Ç ] È [ È ]
D
ÌÈ
¢ D Ç ¢ D Ç ¢ ¢
Æ
06. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, talesque:* n (A B C) = 93* n A- (B C) = 18* n A B) - C = 7* n(A) = n(B) = 41* n(C) = 46* n (B C) -A = 7Calcular: n [(A B C ) ]
a) 5 b) 9 c) 10d) 2 e) 1
07. Sean los conjuntosA, B y C, se cumple que:
* n(A) = 12* n(B) = 15* n(C) = 10* B C =Hallar: n(A B C)
a) 30 b) 20 c) 23d) 31 e) 25
08. Sean los conjuntosA, B y C, además:* Ay B son comparables.* B y C son disjuntos.* n(A C) = 7* n [P(A B)] = 32* n(A) = 3n(C)* n(A- B) = 31
Hallar: n(A)
a) 30 b) 34 c) 36d) 38 e) 41
09. Sean los conjuntos:
B = x + 3/-6 < x < 4 x Z
Hallar la suma de los elementos de: B -Aa) 45 b) 31 c) 59d) 73 e) 62
10. Se sabe queAy B son dos conjuntos, donde:* A B* n (A- B) = 3* n [P(B)] + n [P(A)] = 72
Calcular: n [P(A B)]
a) 16 b) 912 c) 32d) 64 e) 128
È È[ È ][ Ç ]
[ Ç ]¢ È ¢ È ¢ ¢
Ç ÆÈ È
ÇÇ
{ Ù Î }
Ì
È
2
n(G) 2
n(S) 3=
2x 25A x ; 0 x 6
x 5
3x 1B 1 x 8
2
ì ü-ï ï= Î < <í ý
-ï ïî þ-ì ü= Î - £ £í ý
î þ
¢
¢
2n 1A 0 n 5
2
ì ü+ï ïæ ö= Î £ £í ýç ÷è øï ïî þ¢
AB
C
102 103
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Desafío Estrellista
02. Sean los conjuntos:A= {2x - 1/x N; x < 5}B = {x - 1 / x Z - 2 x < 3}
Determinar: A- B
ÎÎ Ù £
2
a) {3; 5; 7}b) {3; -1}c) {-1; 0; 3; 7}d) {1; 5; 7}e) {0; 3; -1}
03. Dados los conjuntos:A= {x/x ; 2 < x < 6}B = {x/x N ; 3 < x < 10}
Determinar: A B
a) {4; 5}b) {3; 4}c) {3; 4; 5}d) {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}e)
04. Sean los conjuntos:U = {x/x N ; 1 < x < 10}A= {2; 5; 7}
Determinar: A
a) {2; 5; 7}b) {1; 2; 3; 4; 5}c) {3; 4; 6; 8; 9}d) {1; 3; 2; 8; 9}e) {2; 3; 4; 6; 8}
05. Sean los conjuntos:A= {x/x N 3 x 9}B = {x/x N 5 < x < 11}C = {7; 8; 9}
Determinar: (A B) C
a) {6; 7; 8} b) {6; 7} c) {8; 9}d) {7; 8; 9} e) {6; 9}
06. Dados los conjuntos:A= {x/x es dígito ; 2 x 6}
B = {x/x N x = 9}C = {x/x N x - 2 = 4}
Determinar: (B C) A
a) {2; 4; 5}b) {3; 4; 5}c) {3; 6}d) {2; 3; 4; 5; 6}e) {4; 5}
Î NÎ
Ç
Æ
Î
¢
Î Ù £ £Î Ù
Ç Ç
£ £
Î ÙÎ Ù
È Ç
2
07. Sean los conjuntos:A= {1; 5; 7; 8}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {1; 4; 8; 10}
Determinar: (A- C) (B C)
a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}
08. Sean los conjuntos:S = {2; 4; 6}T = {1; 2; 6}R = {1; 3; 4; 6}
Determinar: S (R - T)a) {2; 3; 4; 6}b) {3; 4; 6}c) {2}d) {1; 4; 6}e) {1; 3}
09. La parte sombreada del esquema corresponde a:
a) (A B) (B - C)
b) C - (A B)
c) (A- B) (C - B)
d) (C - B) (A B)
e) (A B) - (A B)
10. Dados los conjuntos:P= {x/x ; 0 < x < 4}Q = {x/x Z ; 1 < x 3}R = {x/x N ; x < 3}
Determinar: P (Q T)
a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 1; 3}
D Ç
È
Ç È
Ç
È
È Ç
È Ç
Î NÎ £Î
È Ç
A B
C
01. Sabiendo que:
Además:* n [P(G)] + n[P(S)] = 576* n(G S) = 2Hallar: n(G S)
ÇÈ
a) 13 b) 12 c) 14d) 10 e) 15
02. ¿Qué alternativa representa la parte sombreada?
a) (A B C) - Bb) (A B C) -Ac) (A B) - (A B)d) (A B) (A B)e) (A B) - C C - (A B)
03. Sean los conjuntos:
Calcular: n(A B)a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 12
04. Dados los conjuntosAy B se tiene:A B, si:3n(A) = 2n(B) ; n(A B) = 18
¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?a) 6 b) 8 c) 12d) 18 e) 16
05. Sean los conjuntos:A = {2, 5; 7; 9}B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}C = {2; 3; 6; 8; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Determinar:
(A B) (B C) - (A C )
a) {1; 3; 5} b) c) {2; 6; 8}d) {1; 2; 4; 6} e) {2; 8}
È ÈÇ ÇÈ ÇÇ ¢ È Ç
[ Ç ] È [ È ]
D
ÌÈ
¢ D Ç ¢ D Ç ¢ ¢
Æ
06. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, talesque:* n (A B C) = 93* n A- (B C) = 18* n A B) - C = 7* n(A) = n(B) = 41* n(C) = 46* n (B C) -A = 7Calcular: n [(A B C ) ]
a) 5 b) 9 c) 10d) 2 e) 1
07. Sean los conjuntosA, B y C, se cumple que:
* n(A) = 12* n(B) = 15* n(C) = 10* B C =Hallar: n(A B C)
a) 30 b) 20 c) 23d) 31 e) 25
08. Sean los conjuntosA, B y C, además:* Ay B son comparables.* B y C son disjuntos.* n(A C) = 7* n [P(A B)] = 32* n(A) = 3n(C)* n(A- B) = 31
Hallar: n(A)
a) 30 b) 34 c) 36d) 38 e) 41
09. Sean los conjuntos:
B = x + 3/-6 < x < 4 x Z
Hallar la suma de los elementos de: B -Aa) 45 b) 31 c) 59d) 73 e) 62
10. Se sabe queAy B son dos conjuntos, donde:* A B* n (A- B) = 3* n [P(B)] + n [P(A)] = 72
Calcular: n [P(A B)]
a) 16 b) 912 c) 32d) 64 e) 128
È È[ È ][ Ç ]
[ Ç ]¢ È ¢ È ¢ ¢
Ç ÆÈ È
ÇÇ
{ Ù Î }
Ì
È
2
n(G) 2
n(S) 3=
2x 25A x ; 0 x 6
x 5
3x 1B 1 x 8
2
ì ü-ï ï= Î < <í ý
-ï ïî þ-ì ü= Î - £ £í ý
î þ
¢
¢
2n 1A 0 n 5
2
ì ü+ï ïæ ö= Î £ £í ýç ÷è øï ïî þ¢
AB
C
102 103
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
·
·
·
·
· Ç
A- B; sóloA; exclusivamente “A”; únicamente “A”.
A; prefieren “A”.
B -A; sólo “B”; exclusivamente “B”, únicamente “B”.
B, prefieren “B”.
A B; ocurreAy B; ocurre ambos sucesos a la vez.
PROBLEMAS CON CONJUNTOSPROBLEMAS CON CONJUNTOS
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
U
A B
U
A B
U
A B
INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS
U
A B
A B; ocurre A o B; al menos uno de ellos, o por lomenos uno de ellos.
È
(A B) ; no prefieren ni “A” ni “B”.È ¢
A ; no prefieren “A”.¢
B ; no prefieren “B”.¢
A B; prefieren solamente una actividad.D
A B A B
C C
A B
C
Ocurre sólo uno de ellos.Únicamente uno de ellos.Exactamente uno de ellos.
Ocurre exactamente dos de ellos.Sucede únicamente dos de ellos.
(B C) - AOcurre “B” o “C” pero no “A”.
È
Ocurre al menos dos de ellos.Ocurre por lo menos dos de ellos.
Ocurre a lo más dos de ellos.
A B
C
A B
INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS
DIAGRAMAS DE CARROLLCuando se resuelven problemas de conjuntos, en los que los mismos son disjuntos, se suele usar otro tipo de diagramas.
30 30
20 40
MujeresHombres
Bailan
No bailan U = 120 2530
10 30
SolterosCasados
H (60)
M (40)
605
con hijos
U = 100
U
A B
Ejemplos:
Resolución:
01. En una fiesta hay 120 personas y en undeterminado instante se observa que 30 mujeresbailan y 20 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeresno bailan?
Entonces, no bailan 40 mujeres.
02. En una reunión donde hay 100 personas, se sabede ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres;10 mujeres están casadas, 25 personas casadastienen hijos y hay 5 madres solteras. ¿Cuántoshombres son padres solteros?
Resolución:
104 105
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
·
·
·
·
· Ç
A- B; sóloA; exclusivamente “A”; únicamente “A”.
A; prefieren “A”.
B -A; sólo “B”; exclusivamente “B”, únicamente “B”.
B, prefieren “B”.
A B; ocurreAy B; ocurre ambos sucesos a la vez.
PROBLEMAS CON CONJUNTOSPROBLEMAS CON CONJUNTOS
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
U
A B
U
A B
U
A B
INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS
U
A B
A B; ocurre A o B; al menos uno de ellos, o por lomenos uno de ellos.
È
(A B) ; no prefieren ni “A” ni “B”.È ¢
A ; no prefieren “A”.¢
B ; no prefieren “B”.¢
A B; prefieren solamente una actividad.D
A B A B
C C
A B
C
Ocurre sólo uno de ellos.Únicamente uno de ellos.Exactamente uno de ellos.
Ocurre exactamente dos de ellos.Sucede únicamente dos de ellos.
(B C) - AOcurre “B” o “C” pero no “A”.
È
Ocurre al menos dos de ellos.Ocurre por lo menos dos de ellos.
Ocurre a lo más dos de ellos.
A B
C
A B
INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS
DIAGRAMAS DE CARROLLCuando se resuelven problemas de conjuntos, en los que los mismos son disjuntos, se suele usar otro tipo de diagramas.
30 30
20 40
MujeresHombres
Bailan
No bailan U = 120 2530
10 30
SolterosCasados
H (60)
M (40)
605
con hijos
U = 100
U
A B
Ejemplos:
Resolución:
01. En una fiesta hay 120 personas y en undeterminado instante se observa que 30 mujeresbailan y 20 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeresno bailan?
Entonces, no bailan 40 mujeres.
02. En una reunión donde hay 100 personas, se sabede ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres;10 mujeres están casadas, 25 personas casadastienen hijos y hay 5 madres solteras. ¿Cuántoshombres son padres solteros?
Resolución:
104 105
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
01. De un grupo de 84 estudiantes se sabe que: 57 estudianinglés, 23 estudian alemán, 36 estudian francés,4 estudian los tres idiomas, 11 estudian sólo alemán ytodos estudian por lo menos un idioma. Determinarcuántos de ellos estudian sólo uno de los idiomas oestudian los tres idiomas.
Del gráfico: 57 + b + c + 11 =84b + c = 16
Pero: b + c + 4 + m = 36 m = 16
También: 23 + a + b + m = 84a + b + m = 61
a + b = 45
Estudian sólo un idioma o los tres: a + b + 11 + 4 = 60
02. De un grupo de 110 personas: 40; 30 y 20 de ellos noleen las revistas A, B y C respectivamente. ¿Cuántaspersonas como máximo leen las tres revistas? Si todaslas personas leen por lo menos una revista.
Resolución:
Gráfico:
Resolución:
Gráfico:
®
Para que el número de personas que leen las tresrevistas sea máximo, entonces no debe haber personasque lean dos revistas.
n + p = 40m + n = 30m + p = 20
2(m + n + p) = 90
m + n + p = 45
Luego: m + n + p + x = 110
x = 65
03. Lorena recordaba que durante el mes de febrero del2004 salía a pasear con Beto o Carlos o con ambos;16 días salió con Beto y 20 con Carlos. ¿Cuántos díassalió con ambos, si el día de los enamorados sólo saliócon Luis?
El mes de febrero del 2004 tiene 29 días porque es unaño bisiesto.
Del gráfico: 16 + n + 1 = 29
n = 12
Luego: x + n = 20
x = 8
\
\
Resolución:
Gráfico:
84
a d
m4
c
b
11
A(23)
F(36)
I(57)
16
16
04. En una competencia atlética con 12 pruebas, participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medallas deoro, plata y bronce, 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce, 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?
Al haber 12 pruebas habrán: 12 medallas de oro; 12 medallas de plata; 12 medallas de bronce.Resolución:
Gráfico:
110
m 0
0x
0
n
p
B
C
A
+
45
12
{
U=42
1 3
44
2
2
3
Oro(12)
Plata(12)
Bronce(12)
x
No gananmedallas
Luego: x = 42 - (1 + 4 + 4 + 3 + 2 + 2 + 3)
x = 23\
01. En el mes de Agosto, un estudiante dejó de estudiarAritmética durante 13 días, 12 días estudió Álgebra y13 días estudió sólo Aritmética. ¿Durante cuántos díasestudió los otros cursos?a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
02. ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes?,de los cuales 18 estudian Aritmética; 19 Álgebra y17 Geometría, además 3 estudian Aritmética yÁlgebra, 6 estudianAritmética y Geometría, 7 estudianÁlgebra y Geometría pero noAritmética; 2 estudian lostres cursos y 12 estudian otros cursos.a) 38 b) 39 c) 50d) 56 e) 58
03. En un grupo de 100 estudiantes; 49 no llevan el curso deÁlgebra y 53 no siguen el curso de Aritmética; si27 alumnos no siguen Aritmética ni Álgebra. ¿Cuántosalumnos llevan exactamente uno de tales cursos?a) 24 b) 30 c) 36d) 48 e) 26
04. De un total de 55 alumnos de un salón del primer año desecundaria: 32 aprobaron Aritmética; 22 Álgebra;45 Geometría; 5 aprobaron los tres cursos; si 5 alumnosno aprobaron ninguno de los tres cursos. ¿Cuántosaprobaron sólo dos de estos cursos?a) 16 b) 25 c) 30d) 34 e) 39
05. De un grupo de 110 personas:* 70 hablan inglés.* 20 no hablan ni inglés ni francés .El número de los que hablan francés es el doble de losque hablan solamente inglés.¿Cuántos hablan inglés y francés?a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 40
06. De 75 alumnos de un aula; los 3/5 usan reloj, 1/3 de losalumnos sólo usan anteojos, los 2/5 usan anteojos yreloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
07. En un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés,32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas del grupo hablan sólo dos de estos idiomas?a) 40 b) 22 c) 37d) 38 e) 25
08. En una reunión de 58 caballeros se observó que los queusan corbata y anteojos representan la tercera parte delos que usan corbata, los que usan anteojos son el doblede los que usan corbata y anteojos, si 10 personas nousan ni corbata ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata perono anteojos?a) 12 b) 24 c) 36d) 18 e) 10
Carlos (20)Beto (16)
x n
Luis (1)
U = 29
106 107
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
01. De un grupo de 84 estudiantes se sabe que: 57 estudianinglés, 23 estudian alemán, 36 estudian francés,4 estudian los tres idiomas, 11 estudian sólo alemán ytodos estudian por lo menos un idioma. Determinarcuántos de ellos estudian sólo uno de los idiomas oestudian los tres idiomas.
Del gráfico: 57 + b + c + 11 =84b + c = 16
Pero: b + c + 4 + m = 36 m = 16
También: 23 + a + b + m = 84a + b + m = 61
a + b = 45
Estudian sólo un idioma o los tres: a + b + 11 + 4 = 60
02. De un grupo de 110 personas: 40; 30 y 20 de ellos noleen las revistas A, B y C respectivamente. ¿Cuántaspersonas como máximo leen las tres revistas? Si todaslas personas leen por lo menos una revista.
Resolución:
Gráfico:
Resolución:
Gráfico:
®
Para que el número de personas que leen las tresrevistas sea máximo, entonces no debe haber personasque lean dos revistas.
n + p = 40m + n = 30m + p = 20
2(m + n + p) = 90
m + n + p = 45
Luego: m + n + p + x = 110
x = 65
03. Lorena recordaba que durante el mes de febrero del2004 salía a pasear con Beto o Carlos o con ambos;16 días salió con Beto y 20 con Carlos. ¿Cuántos díassalió con ambos, si el día de los enamorados sólo saliócon Luis?
El mes de febrero del 2004 tiene 29 días porque es unaño bisiesto.
Del gráfico: 16 + n + 1 = 29
n = 12
Luego: x + n = 20
x = 8
\
\
Resolución:
Gráfico:
84
a d
m4
c
b
11
A(23)
F(36)
I(57)
16
16
04. En una competencia atlética con 12 pruebas, participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medallas deoro, plata y bronce, 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce, 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?
Al haber 12 pruebas habrán: 12 medallas de oro; 12 medallas de plata; 12 medallas de bronce.Resolución:
Gráfico:
110
m 0
0x
0
n
p
B
C
A
+
45
12
{
U=42
1 3
44
2
2
3
Oro(12)
Plata(12)
Bronce(12)
x
No gananmedallas
Luego: x = 42 - (1 + 4 + 4 + 3 + 2 + 2 + 3)
x = 23\
01. En el mes de Agosto, un estudiante dejó de estudiarAritmética durante 13 días, 12 días estudió Álgebra y13 días estudió sólo Aritmética. ¿Durante cuántos díasestudió los otros cursos?a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
02. ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes?,de los cuales 18 estudian Aritmética; 19 Álgebra y17 Geometría, además 3 estudian Aritmética yÁlgebra, 6 estudianAritmética y Geometría, 7 estudianÁlgebra y Geometría pero noAritmética; 2 estudian lostres cursos y 12 estudian otros cursos.a) 38 b) 39 c) 50d) 56 e) 58
03. En un grupo de 100 estudiantes; 49 no llevan el curso deÁlgebra y 53 no siguen el curso de Aritmética; si27 alumnos no siguen Aritmética ni Álgebra. ¿Cuántosalumnos llevan exactamente uno de tales cursos?a) 24 b) 30 c) 36d) 48 e) 26
04. De un total de 55 alumnos de un salón del primer año desecundaria: 32 aprobaron Aritmética; 22 Álgebra;45 Geometría; 5 aprobaron los tres cursos; si 5 alumnosno aprobaron ninguno de los tres cursos. ¿Cuántosaprobaron sólo dos de estos cursos?a) 16 b) 25 c) 30d) 34 e) 39
05. De un grupo de 110 personas:* 70 hablan inglés.* 20 no hablan ni inglés ni francés .El número de los que hablan francés es el doble de losque hablan solamente inglés.¿Cuántos hablan inglés y francés?a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 40
06. De 75 alumnos de un aula; los 3/5 usan reloj, 1/3 de losalumnos sólo usan anteojos, los 2/5 usan anteojos yreloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
07. En un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés,32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas del grupo hablan sólo dos de estos idiomas?a) 40 b) 22 c) 37d) 38 e) 25
08. En una reunión de 58 caballeros se observó que los queusan corbata y anteojos representan la tercera parte delos que usan corbata, los que usan anteojos son el doblede los que usan corbata y anteojos, si 10 personas nousan ni corbata ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata perono anteojos?a) 12 b) 24 c) 36d) 18 e) 10
Carlos (20)Beto (16)
x n
Luis (1)
U = 29
106 107
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
09. De 185 lectores de revistas:* 47 leen la revistaA.* 53 leen la revista B.* 65 leen la revista C.* 15 leen la revistaAy B.* 13 leen la revista B y C.* 5 leen la revistaA, B y C.* 17 leen la revistaAy C .¿Cuántos leen la revistaApero no la revista B?a) 20 b) 30 c) 37d) 32 e) 52
10. De 100 personas que leen por los menos 2 de 3 revistas(A, B y C) se observa que de ellas; 40 leen la revistaA y B, 50 leen B y C, 60 leen A y C. ¿Cuántas personasleen las tres revistas?a) 22 b) 42 c) 26d) 28 e) 25
11. En una población el 30% ven el canal A; el 35% ven el
canal B, si el 20% de los que ven el canalAtambién ven
el canal B. ¿Qué porcentaje de la población no ven el
canalAni el B?
a) 30% b) 15% c) 31%
d) 29% e) 41%
12. De un grupo de 84 estudiantes, se sabe que 57 estudian
inglés, 23 alemán, 36 francés, 4 los tres idiomas,
11 sólo alemán y todos estudian por lo menos un
idioma. Determinar cuántos de ellos estudian sólo uno
de los idiomas o estudian los tres idiomas.
a) 25 b) 45 c) 56
d) 60 e) 65
13. De un grupo de 125 personas: 50; 40 y 30 de ellos no
leen las revistas A, B y C respectivamente. ¿Cuántas
personas como máximo leen tres revistas? Si todas las
personas leen por lo menos una de dichas revistas.
a) 50 b) 55 c) 60
d) 65 e) 70
14. En una reunión asistieron 250 personas donde por cada
12 varones hay 13 mujeres, si se sabe que los varones
que bailan son la cuarta parte de los varones que no
bailan. Calcular la cantidad de mujeres que no están
bailando.
a) 74 b) 87 c) 96
d) 106 e) 124
15. En un congreso internacional de medicina, se debatió el
problema de Eutanasia, planteándose una noción:
* 115 europeos votaron a favor.
* 75 cardiólogos votaron en contra.
* 60 europeos votaron en contra.
* 80 cardiólogos votaron a favor.
Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al
número de americanos de otras especialidades y no
hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en
el congreso?
a) 300 b) 200 c) 350
d) 310 e) 230
16. En un salón de 100 alumnos, se observa que 40 son
mujeres, 73 estudian Geografía y 12 son mujeres que
no estudian Geografía. ¿Cuántos hombres no estudian
Geografía?
a) 11 b) 13 c) 15
d) 17 e) 19
17. A una fiesta han ingresado 512 personas, todas están
bailando menos 28 caballeros y 10 damas. ¿Cuántas
damas hay en la reunión?
a) 247 b) 248 c) 237
d) 257 e) 267
18. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales
30 son hombres; 12 mujeres no tiene 18 años; si
30 personas tienen 18 años. ¿Cuántos hombres tienen
18 años?
a) 10 b) 12 c) 22
d) 20 e) 30
19. De 70 personas se conoce: 7 mujeres tienen 16 años,
15 mujeres no tienen 17 años; 22 mujeres no tienen
16 años; 15 hombres no tienen ni 16 ni 17 años.
¿Cuántos hombres tienen 16 ó 17 años?
a) 26 b) 30 c) 40
d) 32 e) 25
20. En un almuerzo donde asistieron 150 personas, a 30 les
gustaba el vino tinto pero no el vino blanco a 20 no les
gustaba ninguno de ellos, a 80 hombres les gustaba el
vino blanco, si a 10 mujeres les gustaba sólo el vino
blanco. ¿Acuántas mujeres les gustaba el vino tinto y el
vino blanco?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
01. Si: n(A) = 7; n(A B) = 4; n(B) = 9.
Hallar: n(A- B) y n(B -A)
Ç
a) 3 y 9 b) 4 y 9 c) 4 y 5
d) 3 y 5 e) 7 y 5
02. Sean dos conjuntosAy B se tiene: n(A) = 9; n(B) = 12;
n(A B) = 16.
Hallar: n(A B)
a) 11 b) 10 c) 12
d) 9 e) 13
03. En un club hay 100 socios, de los cuales:
* 30 no practican ningún deporte.
* 60 practican fútbol.
* 20 practican vóley y fútbol.
¿Cuántos practican un solo deporte?
a) 50 b) 60 c) 70
d) 40 e) 20
04. De un grupo de 17 personas, 6 leen el diario “Expreso”,
9 leen “El Comercio” y 3 ambos diarios. ¿Cuántos no
leen ninguno de estos diarios?
a) 5 b) 8 c) 2
d) 7 e) 9
05. De 50 estudiantes encuestados:
* 20 practican sólo fútbol.
* 12 practican fútbol y natación.
* 10 no practican ninguno de estos deportes.
¿Cuántos practican sólo natación?
a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 30 y 12
d) 8 y 4 e) 20 y 8
06. El resultado de una encuesta sobre la preferencia del
consumo de frutas de la que tienen manzanas, fresas y
piñas es el siguiente:
* 40 prefieren manzanas.
* 40 prefieren fresas.
* 40 prefieren piñas.
* 12 prefieren manzanas y fresas.
* 13 prefieren manzanas y piñas.
* 11 prefieren manzanas y piñas.
* 5 prefieren las tres frutas.
¿Cuántos prefieren sólo fresas?
a) 18 b) 22 c) 25
d) 20 e) 28
È
D
07. De 60 deportistas se observa que: 24 de ellos practican
fútbol, 26 practican básquet, 25 practican vóley,
13 practican fútbol y básquet, 10 practican básquet y
vóley, 9 practican fútbol y vóley. Si 6 practican los
tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de estos
deportes?
a) 11 b) 12 c) 13
d) 10 e) 15
08. En una encuesta realizada a un grupo de
100 estudiantes de un Instituto de Idiomas se obtuvo la
siguiente información:
* 28 estudian español.
* 30 estudian alemán.
* 42 estudian francés.
* 8 estudian español y alemán.
* 10 estudian español y francés.
* 3 estudian los tres idiomas.
¿Cuántos estudiantes toman el francés como único
idioma de estudio?
a) 20 b) 30 c) 13
d) 32 e) 28
09. En una fiesta donde habían 100 personas se observó
que bailaban la salsa o rock. Si 65 personas bailaban
salsa; 60 personas no bailaban rock. ¿Cuántas personas
no bailaban salsa, sabiendo que todos bailan por lo
menos uno de estos tipos de baile?
a) 40 b) 25 c) 35
d) 15 e) 30
10. De un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés,
32 hablan francés, 33 hablan alemán y 5 los tres
idiomas. ¿Cuántos personas del grupo hablan sólo
dos idiomas?
a) 20 b) 25 c) 30
d) 22 e) 27
108 109
Actividad Domiciliaria
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
09. De 185 lectores de revistas:
* 47 leen la revistaA.
* 53 leen la revista B.
* 65 leen la revista C.
* 15 leen la revistaAy B.
* 13 leen la revista B y C.
* 5 leen la revistaA, B y C.
* 17 leen la revistaAy C .
¿Cuántos leen la revistaApero no la revista B?
a) 20 b) 30 c) 37
d) 32 e) 52
10. De 100 personas que leen por los menos 2 de 3 revistas
(A, B y C) se observa que de ellas; 40 leen la revista
A y B, 50 leen B y C, 60 leen A y C. ¿Cuántas personas
leen las tres revistas?
a) 22 b) 42 c) 26
d) 28 e) 25
11. En una población el 30% ven el canal A; el 35% ven el
canal B, si el 20% de los que ven el canalAtambién ven
el canal B. ¿Qué porcentaje de la población no ven el
canalAni el B?
a) 30% b) 15% c) 31%
d) 29% e) 41%
12. De un grupo de 84 estudiantes, se sabe que 57 estudian
inglés, 23 alemán, 36 francés, 4 los tres idiomas,
11 sólo alemán y todos estudian por lo menos un
idioma. Determinar cuántos de ellos estudian sólo uno
de los idiomas o estudian los tres idiomas.
a) 25 b) 45 c) 56
d) 60 e) 65
13. De un grupo de 125 personas: 50; 40 y 30 de ellos no
leen las revistas A, B y C respectivamente. ¿Cuántas
personas como máximo leen tres revistas? Si todas las
personas leen por lo menos una de dichas revistas.
a) 50 b) 55 c) 60
d) 65 e) 70
14. En una reunión asistieron 250 personas donde por cada
12 varones hay 13 mujeres, si se sabe que los varones
que bailan son la cuarta parte de los varones que no
bailan. Calcular la cantidad de mujeres que no están
bailando.
a) 74 b) 87 c) 96
d) 106 e) 124
15. En un congreso internacional de medicina, se debatió el
problema de Eutanasia, planteándose una noción:
* 115 europeos votaron a favor.
* 75 cardiólogos votaron en contra.
* 60 europeos votaron en contra.
* 80 cardiólogos votaron a favor.
Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al
número de americanos de otras especialidades y no
hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en
el congreso?
a) 300 b) 200 c) 350
d) 310 e) 230
16. En un salón de 100 alumnos, se observa que 40 son
mujeres, 73 estudian Geografía y 12 son mujeres que
no estudian Geografía. ¿Cuántos hombres no estudian
Geografía?
a) 11 b) 13 c) 15
d) 17 e) 19
17. A una fiesta han ingresado 512 personas, todas están
bailando menos 28 caballeros y 10 damas. ¿Cuántas
damas hay en la reunión?
a) 247 b) 248 c) 237
d) 257 e) 267
18. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales
30 son hombres; 12 mujeres no tiene 18 años; si
30 personas tienen 18 años. ¿Cuántos hombres tienen
18 años?
a) 10 b) 12 c) 22
d) 20 e) 30
19. De 70 personas se conoce: 7 mujeres tienen 16 años,
15 mujeres no tienen 17 años; 22 mujeres no tienen
16 años; 15 hombres no tienen ni 16 ni 17 años.
¿Cuántos hombres tienen 16 ó 17 años?
a) 26 b) 30 c) 40
d) 32 e) 25
20. En un almuerzo donde asistieron 150 personas, a 30 les
gustaba el vino tinto pero no el vino blanco a 20 no les
gustaba ninguno de ellos, a 80 hombres les gustaba el
vino blanco, si a 10 mujeres les gustaba sólo el vino
blanco. ¿Acuántas mujeres les gustaba el vino tinto y el
vino blanco?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
01. Si: n(A) = 7; n(A B) = 4; n(B) = 9.
Hallar: n(A- B) y n(B -A)
Ç
a) 3 y 9 b) 4 y 9 c) 4 y 5
d) 3 y 5 e) 7 y 5
02. Sean dos conjuntosAy B se tiene: n(A) = 9; n(B) = 12;
n(A B) = 16.
Hallar: n(A B)
a) 11 b) 10 c) 12
d) 9 e) 13
03. En un club hay 100 socios, de los cuales:
* 30 no practican ningún deporte.
* 60 practican fútbol.
* 20 practican vóley y fútbol.
¿Cuántos practican un solo deporte?
a) 50 b) 60 c) 70
d) 40 e) 20
04. De un grupo de 17 personas, 6 leen el diario “Expreso”,
9 leen “El Comercio” y 3 ambos diarios. ¿Cuántos no
leen ninguno de estos diarios?
a) 5 b) 8 c) 2
d) 7 e) 9
05. De 50 estudiantes encuestados:
* 20 practican sólo fútbol.
* 12 practican fútbol y natación.
* 10 no practican ninguno de estos deportes.
¿Cuántos practican sólo natación?
a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 30 y 12
d) 8 y 4 e) 20 y 8
06. El resultado de una encuesta sobre la preferencia del
consumo de frutas de la que tienen manzanas, fresas y
piñas es el siguiente:
* 40 prefieren manzanas.
* 40 prefieren fresas.
* 40 prefieren piñas.
* 12 prefieren manzanas y fresas.
* 13 prefieren manzanas y piñas.
* 11 prefieren manzanas y piñas.
* 5 prefieren las tres frutas.
¿Cuántos prefieren sólo fresas?
a) 18 b) 22 c) 25
d) 20 e) 28
È
D
07. De 60 deportistas se observa que: 24 de ellos practican
fútbol, 26 practican básquet, 25 practican vóley,
13 practican fútbol y básquet, 10 practican básquet y
vóley, 9 practican fútbol y vóley. Si 6 practican los
tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de estos
deportes?
a) 11 b) 12 c) 13
d) 10 e) 15
08. En una encuesta realizada a un grupo de
100 estudiantes de un Instituto de Idiomas se obtuvo la
siguiente información:
* 28 estudian español.
* 30 estudian alemán.
* 42 estudian francés.
* 8 estudian español y alemán.
* 10 estudian español y francés.
* 3 estudian los tres idiomas.
¿Cuántos estudiantes toman el francés como único
idioma de estudio?
a) 20 b) 30 c) 13
d) 32 e) 28
09. En una fiesta donde habían 100 personas se observó
que bailaban la salsa o rock. Si 65 personas bailaban
salsa; 60 personas no bailaban rock. ¿Cuántas personas
no bailaban salsa, sabiendo que todos bailan por lo
menos uno de estos tipos de baile?
a) 40 b) 25 c) 35
d) 15 e) 30
10. De un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés,
32 hablan francés, 33 hablan alemán y 5 los tres
idiomas. ¿Cuántos personas del grupo hablan sólo
dos idiomas?
a) 20 b) 25 c) 30
d) 22 e) 27
108 109
Actividad Domiciliaria
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
DEFINICIÓN
Nociones previas:Número:
Numeral:
Sistema Posicional de Numeración:
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. Principio del Orden
Ejemplo:
2. Principio de la Base
Ejemplo:
Es la parte de la Aritmética que estudia al número en suformación y representación.
Es una idea matemática asociada al cardinalde un conjunto.
Representación mediante símbolos o figurasdel número.
Conjunto dereglas y principios que nos permite formar yrepresentar correctamente a los números, utilizandosímbolos convencionales llamados cifras o dígitos.
Las cifras de un numeral ocupan un orden que se indicade derecha a izquierda. En cambio, el lugar que ocupauna cifra se indica de izquierda a derecha.
Dado el numeral: 2485
Se afirma:
* La cifra 8 ocupa el orden 1 y el lugar 3.* La cifra 2 ocupa el mayor orden pero el menor
lugar.
La base de un sistema de numeración es un númeroentero mayor que la unidad y que nos indica la cantidadde unidades en un orden cualquiera para formar unaunidad del orden siguiente.
·
·
·
EjemploAplicativo:
Sea el conjunto de 18 palmeras.
* Agrupemos de 10 en 10.
Se forman : 1 decena y 8 unidades.Se representa : 18Se lee : dieciocho
Además : 18 = 1 10 + 8
* Agrupemos de 12 en 12.
Se forman : 1 docena y 6 unidades.Se representa : 16 colocamos la base.
Se lee : uno, seis en la base 12.
Además : 16 = 1 12 + 6
* Agrupemos de 3 en 3.
Se forman : 6 unidades del orden 1 y0 unidades del orden 0.
Se representa : 60 (incorrectamente escrito).
Pero:
´
´
(12)
(12)
(3)
2 4 8 5
3 2 1 0
1 2 3 4
Orden
Lugar(Lectura)
1
10 unidades 1 unidadde orden cero de orden uno
2
10 unidades 1 unidadde orden uno de orden dos
10 unidadesde orden do
10 unidades forman 1 decena (10 )
10 decenas forman 1 centena (10 )
10 centenas
14444244443 144424443
14444244443 144424443
3
1 unidads de orden tres
forman 1 millar (10 )
M M
14444244443 144424443
01. Una empresa de transporte urbano, dispone de ciertonúmero de choferes y cobradores; de los choferes sesabe que:* 42 circulan en las mañanas.* 38 en las tardes.* 30 en las noches.* 20 en las mañanas y tardes.* 14 en las tardes y noches.* 16 en las mañanas y noches.* 5 trabajan todo el día.¿Cuántas personas laboran en dicha empresa, si loschoferes y cobradores son inseparables?a) 120 b) 65 c) 55d) 130 e) 230
02. En una reunión hay 3 mujeres por cada 5 asistentes. Sila cuarta parte de las mujeres no hablan inglés y latercera parte de los hombres sí; ¿cuántas personasasistieron a la reunión? Considerar que 75 personas nohablan inglés.a) 210 b) 120 c) 165d) 180 e) 150
03. De un grupo de personas, se observa:
* 70 varones cantantes no son ciegos.
* 80 mujeres son ciegas o cantantes pero no mudas.
* 110 personas son mudos y ciegos.
* 40 personas son mudos pero no ciegos.
* 90 varones son ciegos pero no mudos.
¿Cuántas personas hay que son cantantes o ciegos pero
no mudos?
a) 220 b) 180 c) 240
d) 160 e) 280
04. A una reunión asistieron 150 personas. Si se sabe que
por cada 7 varones hay 8 mujeres y que las mujeres que
bailan son la tercera parte de las mujeres que no bailan.
¿Cuántos varones no están bailando?
a) 60 b) 48 c) 52
d) 50 e) 36
05. En una aula de 55 alumnos se les preguntó qué cursopreferían y se obtuvo que 28 prefieren Biología,28 Historia y 20 Aritmética. Además sólo 3 prefierenlos tres cursos y todos prefieren al menos uno de loscursos. ¿Cuántos prefieren por lo menos dos cursos?a) 12 b) 20 c) 15d) 13 e) 18
06. A una conferencia asistieron 315 peruanos, de loscuales 100 hablan alemán, 145 hablan ruso y123 hablan solamente castellano. ¿Cuántas personashablan 3 idiomas como máximo?a) 123 b) 139 c) 268d) 30 e) 53
07. De 150 personas que estudian alemán, inglés, francés yruso, se sabe que:
* Ninguno que estudia francés estudian ruso.
* 22 sólo estudia alemán.
* 20 solo estudian inglés.
* 20 sólo estudian francés.
* 20 estudian alemán y ruso pero no inglés.
* 6 sólo estudian francés e inglés.
* 4 sólo estudian alemán y francés.
* 24 estudian ruso e inglés.
* 28 sólo estudian ruso.
* 1 sólo alemán e inglés.
¿Cuántas personas estudian alemán, inglés y francés?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 10 e) 8
08. En una encuesta de 198 estudiantes sobre la profesión aseguir, se obtiene la siguiente información:
* Los que sólo desean Ingeniería de Sistemas sontantos como los que desean Medicina.
* Los que desean Ingeniería de Sistemas y Medicinason la quinta parte de los que desean Ingeniería deSistemas o Medicina.
* Los que no desean Ingeniería de Sistemas niMedicina son la tercera parte de los que sólo deseanMedicina.
¿Cuántos estudiantes desean estudiar sólo Medicina?
a) 12 b) 18 c) 36
d) 42 e) 54
09. De un grupo de 60 escolares se observa que en sustiempos libres hacen lo siguiente:
* A 10 de ellos les gusta la música, pero no vertelevisión.
* A los que les gusta la música y ver televisión son lamitad de los que les gusta fútbol y televisión pero nomúsica y éstos a su vez son la cuarta parte de los queles gusta ver televisión.
* Se sabe que a todos los que les gusta la música lesgusta el fútbol.
* A15 les gusta ver televisión y no fútbol.
Hallar cuántas personas cumplen la siguientecondición: “no es cierto que sí les gusta el fútbol,entonces les gusta la música”.
a) 32 b) 20 c) 30
d) 35 e) 40
10. De un grupo de “n” personas los que prefieren losproductos “A” y “B” son igual número de los que noprefieren “A” ni “B”. Si los que prefieren sólo “A” sonigual número que los que prefieren sólo “B”. ¿Cuántosprefieren “A”?
a) n/4 b) n/2 c) n/3
d) 2n/5 e) 3n/5
110 111
Desafío Estrellista
TEMA
02
Sistemas de Numeración
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
DEFINICIÓN
Nociones previas:Número:
Numeral:
Sistema Posicional de Numeración:
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. Principio del Orden
Ejemplo:
2. Principio de la Base
Ejemplo:
Es la parte de la Aritmética que estudia al número en suformación y representación.
Es una idea matemática asociada al cardinalde un conjunto.
Representación mediante símbolos o figurasdel número.
Conjunto dereglas y principios que nos permite formar yrepresentar correctamente a los números, utilizandosímbolos convencionales llamados cifras o dígitos.
Las cifras de un numeral ocupan un orden que se indicade derecha a izquierda. En cambio, el lugar que ocupauna cifra se indica de izquierda a derecha.
Dado el numeral: 2485
Se afirma:
* La cifra 8 ocupa el orden 1 y el lugar 3.* La cifra 2 ocupa el mayor orden pero el menor
lugar.
La base de un sistema de numeración es un númeroentero mayor que la unidad y que nos indica la cantidadde unidades en un orden cualquiera para formar unaunidad del orden siguiente.
·
·
·
EjemploAplicativo:
Sea el conjunto de 18 palmeras.
* Agrupemos de 10 en 10.
Se forman : 1 decena y 8 unidades.Se representa : 18Se lee : dieciocho
Además : 18 = 1 10 + 8
* Agrupemos de 12 en 12.
Se forman : 1 docena y 6 unidades.Se representa : 16 colocamos la base.
Se lee : uno, seis en la base 12.
Además : 16 = 1 12 + 6
* Agrupemos de 3 en 3.
Se forman : 6 unidades del orden 1 y0 unidades del orden 0.
Se representa : 60 (incorrectamente escrito).
Pero:
´
´
(12)
(12)
(3)
2 4 8 5
3 2 1 0
1 2 3 4
Orden
Lugar(Lectura)
1
10 unidades 1 unidadde orden cero de orden uno
2
10 unidades 1 unidadde orden uno de orden dos
10 unidadesde orden do
10 unidades forman 1 decena (10 )
10 decenas forman 1 centena (10 )
10 centenas
14444244443 144424443
14444244443 144424443
3
1 unidads de orden tres
forman 1 millar (10 )
M M
14444244443 144424443
01. Una empresa de transporte urbano, dispone de ciertonúmero de choferes y cobradores; de los choferes sesabe que:* 42 circulan en las mañanas.* 38 en las tardes.* 30 en las noches.* 20 en las mañanas y tardes.* 14 en las tardes y noches.* 16 en las mañanas y noches.* 5 trabajan todo el día.¿Cuántas personas laboran en dicha empresa, si loschoferes y cobradores son inseparables?a) 120 b) 65 c) 55d) 130 e) 230
02. En una reunión hay 3 mujeres por cada 5 asistentes. Sila cuarta parte de las mujeres no hablan inglés y latercera parte de los hombres sí; ¿cuántas personasasistieron a la reunión? Considerar que 75 personas nohablan inglés.a) 210 b) 120 c) 165d) 180 e) 150
03. De un grupo de personas, se observa:
* 70 varones cantantes no son ciegos.
* 80 mujeres son ciegas o cantantes pero no mudas.
* 110 personas son mudos y ciegos.
* 40 personas son mudos pero no ciegos.
* 90 varones son ciegos pero no mudos.
¿Cuántas personas hay que son cantantes o ciegos pero
no mudos?
a) 220 b) 180 c) 240
d) 160 e) 280
04. A una reunión asistieron 150 personas. Si se sabe que
por cada 7 varones hay 8 mujeres y que las mujeres que
bailan son la tercera parte de las mujeres que no bailan.
¿Cuántos varones no están bailando?
a) 60 b) 48 c) 52
d) 50 e) 36
05. En una aula de 55 alumnos se les preguntó qué cursopreferían y se obtuvo que 28 prefieren Biología,28 Historia y 20 Aritmética. Además sólo 3 prefierenlos tres cursos y todos prefieren al menos uno de loscursos. ¿Cuántos prefieren por lo menos dos cursos?a) 12 b) 20 c) 15d) 13 e) 18
06. A una conferencia asistieron 315 peruanos, de loscuales 100 hablan alemán, 145 hablan ruso y123 hablan solamente castellano. ¿Cuántas personashablan 3 idiomas como máximo?a) 123 b) 139 c) 268d) 30 e) 53
07. De 150 personas que estudian alemán, inglés, francés yruso, se sabe que:
* Ninguno que estudia francés estudian ruso.
* 22 sólo estudia alemán.
* 20 solo estudian inglés.
* 20 sólo estudian francés.
* 20 estudian alemán y ruso pero no inglés.
* 6 sólo estudian francés e inglés.
* 4 sólo estudian alemán y francés.
* 24 estudian ruso e inglés.
* 28 sólo estudian ruso.
* 1 sólo alemán e inglés.
¿Cuántas personas estudian alemán, inglés y francés?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 10 e) 8
08. En una encuesta de 198 estudiantes sobre la profesión aseguir, se obtiene la siguiente información:
* Los que sólo desean Ingeniería de Sistemas sontantos como los que desean Medicina.
* Los que desean Ingeniería de Sistemas y Medicinason la quinta parte de los que desean Ingeniería deSistemas o Medicina.
* Los que no desean Ingeniería de Sistemas niMedicina son la tercera parte de los que sólo deseanMedicina.
¿Cuántos estudiantes desean estudiar sólo Medicina?
a) 12 b) 18 c) 36
d) 42 e) 54
09. De un grupo de 60 escolares se observa que en sustiempos libres hacen lo siguiente:
* A 10 de ellos les gusta la música, pero no vertelevisión.
* A los que les gusta la música y ver televisión son lamitad de los que les gusta fútbol y televisión pero nomúsica y éstos a su vez son la cuarta parte de los queles gusta ver televisión.
* Se sabe que a todos los que les gusta la música lesgusta el fútbol.
* A15 les gusta ver televisión y no fútbol.
Hallar cuántas personas cumplen la siguientecondición: “no es cierto que sí les gusta el fútbol,entonces les gusta la música”.
a) 32 b) 20 c) 30
d) 35 e) 40
10. De un grupo de “n” personas los que prefieren losproductos “A” y “B” son igual número de los que noprefieren “A” ni “B”. Si los que prefieren sólo “A” sonigual número que los que prefieren sólo “B”. ¿Cuántosprefieren “A”?
a) n/4 b) n/2 c) n/3
d) 2n/5 e) 3n/5
110 111
Desafío Estrellista
TEMA
02
Sistemas de Numeración
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Observamos:
Observamos:
MÉTODOS DE CONVERSIÓN
CASO I - De base (n) a base 10
Ejemplo:
Resolución:
Método:
Método:
CASO II - De base 10 a base (n)
Ejemplo:
Resolución:
M = 7489 = 7 10 + 4 10 + 8 10 + 9
02. Dado el numeral: N = 4321
V.A.(4) = 4 V.R.(4) = 4 7
V.A.(3) = 3 V.R.(3) = 3 7
V.A.(2) = 2 V.R.(2) = 2 7
V.A.(1) = 1 V.R.(1) = 1 = 1 7
N = 4321 = 4 7 + 3 7 + 2 7 + 1
El procedimiento que se sigue pueder ser ladescomposición polinómica o el método de Ruffini.
Representar 2712 al sistema decimal.
Descomposición Polinómica
2712 = 2 8 + 7 8 + 1 8 + 2
2712 = 1024 + 448 + 8 + 2
2712 = 1482
Ruffini
2712 = 1482
El procedimiento que se sigue es de divisiones sucesivas.
Expresar 356 en base 8.
356 = 544
´ ´ ´
Þ ´Þ ´Þ ´Þ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
\
\
3 2
3
2
1
0
3 2
3 2
(7)
(7)
(8)
(8)
(8)
(8)
(8)
(8)
Las 6 unidades de orden 1 forman 2 unidades deorden 2.Luego:Se representa : 200 colocamos la base.
Se lee : dos, cero, cero en base 3.
Además : 200 = 2 3 + 0 3 + 0 3º
(3)
(3) ´ ´ ´2 1
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre Cifras que utiliza
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12...
n
...
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
Enesimal
0; 1
0; 1; 2
0; 1; 2; 3
0; 1; 2; 3; 4
0; 1; 2; 3; 4; 5
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ....................; (n - 2); (n -1)
...
CORRECCIÓN DE NUMERALES
Ejemplo:
Resolución:
Escribir correctamente los siguientes numerales:a) 476
b) (12)(-1)8
c) 7(-2) 9
a) 4 7 6 = 4 8 1 = 5 3 1 = 1031
476 = 1031
(5)
(6)
(7)
(5) (5) (5) (5)
(5) (5)Þ
b) (12) (-1) 8 = (12) 0 2 = 2002
(12)(-1)8 = 2002
(6) (6)
(6) (6)
(6)
Þ
c) 7(-2) 9 = 7(-1) 2 = 662
7(-2)9 = 662
Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 clasesde valores.
Es el valor de la cifra, lafigura o símbolo que representa.
Es el valor de la cifra, segúnel orden que ocupa en el numeral.
01. Dado el numeral: M = 7489
V.A.(7) = 7 V.R.(7) = 7 10
V.A.(4) = 4 V.R.(4) = 4 10
V.A.(8) = 8 V.R.(8) = 8 10
V.A.(9) = 9 V.R.(9) = 9 10
(7) (7) (7)
(7) (7)Þ
Þ ´Þ ´Þ ´Þ ´
3. Principio del valor de las cifras
Valor Absoluto (V.A.):
Valor Relativo (V.R.):
Ejemplos:
Ø
Ø
3
2
1
0
1 1 1
1 grupo de5 y sobra 1
1 grupo de5 y sobra 3
1 grupo de5 exacto
1
1 grupo de6 y sobra 2
2 grupos de6 exactos
2
1 le presta 1 grupo de 7
1 grupo de7 y sobra 2
V.R.(7) V.R.(4) V.R.(8) V.R.(9)
V.R.(4) V.R.(3) V.R.(2) V.R.(1)
Donde: = 10; = 11; etc.a b
123 123 123 123
123 123 123 123
8
2
2
7
23
16
1
185
184
2
1482
1480+++
356 8
44 8
4 54
36
CASO III - De base (n) a base (m)
Ejemplo:
Resolución:
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICAPOR BLOQUES
Ejemplos:
En este caso, primero se pasa a base decimal y luego a labase deseada.
Escribir 4323 en el sistema nonario.
1º 4323 al sistema decimal.
4323 = 4 5 + 3 5 +2 5 + 3
4323 = 588
2º 588 al sistema nonario.
4323 = 723
* 4747 = 4700 + 47 = 47 10 + 47
* 325325 = 325000 + 325 = 325 10 + 325
* 6464 = 6400 + 64 = 64 8 + 64
* 721721 =721000 +721 =721 11 + 721
* 9876 = 98 10 + 76
= 987 10 + 6
= 9 10 + 876
(5)
(5)
(5)
(5)
(5) (9)
(8) (8) (8) (8) (8)
(11) (11) (11) (11)
´ ´ ´
\
´
´
´
´
´
´
´
3
2
3
2
3
2
1
3
2
(11)
REPRESENTACIÓN LITERALDE UN NÚMERO
Consideraciones:
CASOS:
Ejemplo:
Si se desconoce por lo menos una cifra en un numeral, seutiliza letras minúsculas.
* Letras diferentes no representan necesariamente cifrasdiferentes, excepto si lo indican.
* Toda expresión entre paréntesis representan una cifra.* La primera cifra es diferente de cero.
* Representar un numeral de dos cifras en base 10.
base(n) base(10) base(m)
Total de los valoresde las variables.
a b = {10; 11; 12; .....; 98; 99}
1 02 1
9 9910
TOTALNUMERALES
= 9 10 = 90´
Notita
* Las cifras que forman parte de un numeral son númerosenteros no negativos menores que la base,necesariamente. Aquellas cifras mayores que cero sellaman significativas.
* En toda igualdad de numerales: a mayor representaciónle corresponde menor base y viceversa.
588 9
3 65 9
72588 = 723(9)
112 113
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Observamos:
Observamos:
MÉTODOS DE CONVERSIÓN
CASO I - De base (n) a base 10
Ejemplo:
Resolución:
Método:
Método:
CASO II - De base 10 a base (n)
Ejemplo:
Resolución:
M = 7489 = 7 10 + 4 10 + 8 10 + 9
02. Dado el numeral: N = 4321
V.A.(4) = 4 V.R.(4) = 4 7
V.A.(3) = 3 V.R.(3) = 3 7
V.A.(2) = 2 V.R.(2) = 2 7
V.A.(1) = 1 V.R.(1) = 1 = 1 7
N = 4321 = 4 7 + 3 7 + 2 7 + 1
El procedimiento que se sigue pueder ser ladescomposición polinómica o el método de Ruffini.
Representar 2712 al sistema decimal.
Descomposición Polinómica
2712 = 2 8 + 7 8 + 1 8 + 2
2712 = 1024 + 448 + 8 + 2
2712 = 1482
Ruffini
2712 = 1482
El procedimiento que se sigue es de divisiones sucesivas.
Expresar 356 en base 8.
356 = 544
´ ´ ´
Þ ´Þ ´Þ ´Þ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
\
\
3 2
3
2
1
0
3 2
3 2
(7)
(7)
(8)
(8)
(8)
(8)
(8)
(8)
Las 6 unidades de orden 1 forman 2 unidades deorden 2.Luego:Se representa : 200 colocamos la base.
Se lee : dos, cero, cero en base 3.
Además : 200 = 2 3 + 0 3 + 0 3º
(3)
(3) ´ ´ ´2 1
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre Cifras que utiliza
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12...
n
...
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
Enesimal
0; 1
0; 1; 2
0; 1; 2; 3
0; 1; 2; 3; 4
0; 1; 2; 3; 4; 5
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ....................; (n - 2); (n -1)
...
CORRECCIÓN DE NUMERALES
Ejemplo:
Resolución:
Escribir correctamente los siguientes numerales:a) 476
b) (12)(-1)8
c) 7(-2) 9
a) 4 7 6 = 4 8 1 = 5 3 1 = 1031
476 = 1031
(5)
(6)
(7)
(5) (5) (5) (5)
(5) (5)Þ
b) (12) (-1) 8 = (12) 0 2 = 2002
(12)(-1)8 = 2002
(6) (6)
(6) (6)
(6)
Þ
c) 7(-2) 9 = 7(-1) 2 = 662
7(-2)9 = 662
Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 clasesde valores.
Es el valor de la cifra, lafigura o símbolo que representa.
Es el valor de la cifra, segúnel orden que ocupa en el numeral.
01. Dado el numeral: M = 7489
V.A.(7) = 7 V.R.(7) = 7 10
V.A.(4) = 4 V.R.(4) = 4 10
V.A.(8) = 8 V.R.(8) = 8 10
V.A.(9) = 9 V.R.(9) = 9 10
(7) (7) (7)
(7) (7)Þ
Þ ´Þ ´Þ ´Þ ´
3. Principio del valor de las cifras
Valor Absoluto (V.A.):
Valor Relativo (V.R.):
Ejemplos:
Ø
Ø
3
2
1
0
1 1 1
1 grupo de5 y sobra 1
1 grupo de5 y sobra 3
1 grupo de5 exacto
1
1 grupo de6 y sobra 2
2 grupos de6 exactos
2
1 le presta 1 grupo de 7
1 grupo de7 y sobra 2
V.R.(7) V.R.(4) V.R.(8) V.R.(9)
V.R.(4) V.R.(3) V.R.(2) V.R.(1)
Donde: = 10; = 11; etc.a b
123 123 123 123
123 123 123 123
8
2
2
7
23
16
1
185
184
2
1482
1480+++
356 8
44 8
4 54
36
CASO III - De base (n) a base (m)
Ejemplo:
Resolución:
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICAPOR BLOQUES
Ejemplos:
En este caso, primero se pasa a base decimal y luego a labase deseada.
Escribir 4323 en el sistema nonario.
1º 4323 al sistema decimal.
4323 = 4 5 + 3 5 +2 5 + 3
4323 = 588
2º 588 al sistema nonario.
4323 = 723
* 4747 = 4700 + 47 = 47 10 + 47
* 325325 = 325000 + 325 = 325 10 + 325
* 6464 = 6400 + 64 = 64 8 + 64
* 721721 =721000 +721 =721 11 + 721
* 9876 = 98 10 + 76
= 987 10 + 6
= 9 10 + 876
(5)
(5)
(5)
(5)
(5) (9)
(8) (8) (8) (8) (8)
(11) (11) (11) (11)
´ ´ ´
\
´
´
´
´
´
´
´
3
2
3
2
3
2
1
3
2
(11)
REPRESENTACIÓN LITERALDE UN NÚMERO
Consideraciones:
CASOS:
Ejemplo:
Si se desconoce por lo menos una cifra en un numeral, seutiliza letras minúsculas.
* Letras diferentes no representan necesariamente cifrasdiferentes, excepto si lo indican.
* Toda expresión entre paréntesis representan una cifra.* La primera cifra es diferente de cero.
* Representar un numeral de dos cifras en base 10.
base(n) base(10) base(m)
Total de los valoresde las variables.
a b = {10; 11; 12; .....; 98; 99}
1 02 1
9 9910
TOTALNUMERALES
= 9 10 = 90´
Notita
* Las cifras que forman parte de un numeral son númerosenteros no negativos menores que la base,necesariamente. Aquellas cifras mayores que cero sellaman significativas.
* En toda igualdad de numerales: a mayor representaciónle corresponde menor base y viceversa.
588 9
3 65 9
72588 = 723(9)
112 113
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
* Representar un numeral de tres cifras en base 10.
* Representar un numeral de cuatro cifras en base 5.
Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales.
* = {11; 33 ; 77 ; ....}
* = {757; 232 ; 575 ; ....}
* = {4334; (11)22(11) ; .....}
Ejemplo:
Ejemplo:
NUMERALCAPICÚA
Ejemplos:
aa
aba
abba
(n) (5) (9)
(n) (4) (8)
(n) (16)
¿Cuántos números capicúas existen?a) De 3 cifras en el sistema decimal.b) De 4 cifras en el sistema heptanario.c) De 5 cifras en el sistema senario, pero, con todas sus
cifras impares.
a) Sea:
b) Sea:
c) Sea:
EjemploAplicativo:
Resolución:Total de los valores
de las variables
m n p = {100; 101; 102; .....; 998; 999}
1 02 1
9 99 10
TOTALNUMERALES
= 9 10 10 = 900´ ´01
910
Total de los valoresde las variables
x y z w = {1000 ; 1001 ; 1002 ; 1003 ;
1004 ; 1010 ; .......; 4444 }(5) (5) (5) (5)
(5) (5) (5)12
TOTALNUMERALES
= 4 5 5 5 = 500´ ´ ´34
01234
01234
01234
4 5 5 5
Se analizan sólolas variables independientes.
a b a = {100; 101; 102; ..... ; 998; 999}
1 02 1...
...9 99
TOTALNUMERALES
= 9 10 = 90´
10
m n n m = {1001 ; ... ; 6666 }(7) (7) (7)
1 02 1...
...6 66
TOTALNUMERALES
= 6 7 = 42´
7
x y z y x = {10001 ; ......; 55555 }(6) (6) (6)
1TOTAL
NUMERALES= 3 3 3 = 27´ ´
1 13 3 35 5 5
01. Al responder una encuesta sobre el número de felinos
que hay en los circos, Eddy escribe en la ficha lo
siguiente:
* Número de tigres : 23
* Número de panteras : 34
* Número de leones : 15
* Total de felinos : 105
El sistema de numeración que utilizó Eddy es de base:
El sistema de numeración que utilizó Eddy que sea de
base “n”.
Según los datos: 23 + 34 + 15 = 105
Resolución:
(n) (n) (n) (n)
Aplicando el método de descomposición polinómica:
(2n + 3) + (3n + 4) + (n + 5) = n + 5
6n + 12 = n + 5
n - 6n = 7
n(n - 6) = 7 1
n = 7
2
2
2
´
\
02. Si el numeral en el sistema octanario serepresenta como . Calcular: a + b + c
Del enunciado: =
740 + ( d - 4) = + d
736 =
736 al sistema octanario (cambio de base):
a = 1 ; b = 3 ; c = 4
a + b + c = 8
03. ¿Cuántos números de tres cifras en base 9 existen cuyacifra de primer lugar es par y la cifra de menor orden esimpar, además la suma de sus cifras es par?
Sea el numeral:
* “a” es par entonces:
a = {2; 4; 6; 8} 4 valores
74(d-4)abcd
74(d - 4) abcd
abc0
abc0
abc
Resolución:
Resolución:
(8)
(8)
(8)
(9)
Þ
\
®
* “c” es impar, entonces:
c = {1; 3; 5; 7} 4 valores
* (a + b + c) es par, entonces “b” es impar:
b = {1; 3; 5; 7} 4 valores
Cantidad de numerales que existen es:
= 4 4 4 = 64
04. Si:
Hallar: n + k + b + c
Se tiene:
Por cifras máximas: n - 1 =
n = “n” es impar
n = 7 k = 4
7 = 2401 = b = 4 c = 0
n + k + b + c = 15
®
®
\
´ ´
®
Þ Ù
® Ù
\
Resolución:
k
k
4
(n - 5)bc0
(n - 5)bc1
2bc1
n 5
(n 1)(n 1)......(n 1) (n 5)bc0>
- - - = -144444444424444444443
01. Si: = 221
Hallar: a + b
a) 6 b) 5 c) 7
d) 4 e) 3
02. Hallar: a + b + c
Si: = 256
aba
abc
(7)
(9) (7)
a) 15 b) 12 c) 9
d) 13 e) 11
03. Hallar: a + b + c
Si: =
a) 11 b) 13 c) 12
d) 14 e) 10
04. Determinar el valor de “a”.
Si: =
a) 2 b) 3 c) 1
d) 0 e) 4
05. Hallar el valor de “n”.
Si: 203 = 55
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
ccc ab1
1aa a21
(8)
(6) (4)
(n) (6)
06. Calcular: x + y
Si: =
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07. Calcular: a + y - x
Si: =
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
08. Calcular: b - a, si:
= +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09. Si: = 142
Calcular: x + y
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
10. Si: 1331 = 260
Hallar: “n”a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 4
xy yx
aaaa xy0
1ab ba ab
xy(x + 1)
(7) (4)
(4)
(6) (8) (7)
(6)
(n) (9)
3 3 3
736 8
8
8
0 92
11
13
4abc0(8) (8)= 1340
par impar
(n)
(n)
(n 1)(n 1)......(n 1)(n 1) (n 5)bc0- - - - = -144444444444424444444444443
“k” cifras
“k” cifras
114 115
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Ejercicios Resueltos
Actividades para la Clase
* Representar un numeral de tres cifras en base 10.
* Representar un numeral de cuatro cifras en base 5.
Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales.
* = {11; 33 ; 77 ; ....}
* = {757; 232 ; 575 ; ....}
* = {4334; (11)22(11) ; .....}
Ejemplo:
Ejemplo:
NUMERALCAPICÚA
Ejemplos:
aa
aba
abba
(n) (5) (9)
(n) (4) (8)
(n) (16)
¿Cuántos números capicúas existen?a) De 3 cifras en el sistema decimal.b) De 4 cifras en el sistema heptanario.c) De 5 cifras en el sistema senario, pero, con todas sus
cifras impares.
a) Sea:
b) Sea:
c) Sea:
EjemploAplicativo:
Resolución:Total de los valores
de las variables
m n p = {100; 101; 102; .....; 998; 999}
1 02 1
9 99 10
TOTALNUMERALES
= 9 10 10 = 900´ ´01
910
Total de los valoresde las variables
x y z w = {1000 ; 1001 ; 1002 ; 1003 ;
1004 ; 1010 ; .......; 4444 }(5) (5) (5) (5)
(5) (5) (5)12
TOTALNUMERALES
= 4 5 5 5 = 500´ ´ ´34
01234
01234
01234
4 5 5 5
Se analizan sólolas variables independientes.
a b a = {100; 101; 102; ..... ; 998; 999}
1 02 1...
...9 99
TOTALNUMERALES
= 9 10 = 90´
10
m n n m = {1001 ; ... ; 6666 }(7) (7) (7)
1 02 1...
...6 66
TOTALNUMERALES
= 6 7 = 42´
7
x y z y x = {10001 ; ......; 55555 }(6) (6) (6)
1TOTAL
NUMERALES= 3 3 3 = 27´ ´
1 13 3 35 5 5
01. Al responder una encuesta sobre el número de felinos
que hay en los circos, Eddy escribe en la ficha lo
siguiente:
* Número de tigres : 23
* Número de panteras : 34
* Número de leones : 15
* Total de felinos : 105
El sistema de numeración que utilizó Eddy es de base:
El sistema de numeración que utilizó Eddy que sea de
base “n”.
Según los datos: 23 + 34 + 15 = 105
Resolución:
(n) (n) (n) (n)
Aplicando el método de descomposición polinómica:
(2n + 3) + (3n + 4) + (n + 5) = n + 5
6n + 12 = n + 5
n - 6n = 7
n(n - 6) = 7 1
n = 7
2
2
2
´
\
02. Si el numeral en el sistema octanario serepresenta como . Calcular: a + b + c
Del enunciado: =
740 + ( d - 4) = + d
736 =
736 al sistema octanario (cambio de base):
a = 1 ; b = 3 ; c = 4
a + b + c = 8
03. ¿Cuántos números de tres cifras en base 9 existen cuyacifra de primer lugar es par y la cifra de menor orden esimpar, además la suma de sus cifras es par?
Sea el numeral:
* “a” es par entonces:
a = {2; 4; 6; 8} 4 valores
74(d-4)abcd
74(d - 4) abcd
abc0
abc0
abc
Resolución:
Resolución:
(8)
(8)
(8)
(9)
Þ
\
®
* “c” es impar, entonces:
c = {1; 3; 5; 7} 4 valores
* (a + b + c) es par, entonces “b” es impar:
b = {1; 3; 5; 7} 4 valores
Cantidad de numerales que existen es:
= 4 4 4 = 64
04. Si:
Hallar: n + k + b + c
Se tiene:
Por cifras máximas: n - 1 =
n = “n” es impar
n = 7 k = 4
7 = 2401 = b = 4 c = 0
n + k + b + c = 15
®
®
\
´ ´
®
Þ Ù
® Ù
\
Resolución:
k
k
4
(n - 5)bc0
(n - 5)bc1
2bc1
n 5
(n 1)(n 1)......(n 1) (n 5)bc0>
- - - = -144444444424444444443
01. Si: = 221
Hallar: a + b
a) 6 b) 5 c) 7
d) 4 e) 3
02. Hallar: a + b + c
Si: = 256
aba
abc
(7)
(9) (7)
a) 15 b) 12 c) 9
d) 13 e) 11
03. Hallar: a + b + c
Si: =
a) 11 b) 13 c) 12
d) 14 e) 10
04. Determinar el valor de “a”.
Si: =
a) 2 b) 3 c) 1
d) 0 e) 4
05. Hallar el valor de “n”.
Si: 203 = 55
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
ccc ab1
1aa a21
(8)
(6) (4)
(n) (6)
06. Calcular: x + y
Si: =
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07. Calcular: a + y - x
Si: =
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
08. Calcular: b - a, si:
= +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09. Si: = 142
Calcular: x + y
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
10. Si: 1331 = 260
Hallar: “n”a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 4
xy yx
aaaa xy0
1ab ba ab
xy(x + 1)
(7) (4)
(4)
(6) (8) (7)
(6)
(n) (9)
3 3 3
736 8
8
8
0 92
11
13
4abc0(8) (8)= 1340
par impar
(n)
(n)
(n 1)(n 1)......(n 1)(n 1) (n 5)bc0- - - - = -144444444444424444444444443
“k” cifras
“k” cifras
114 115
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Desafío Estrellista
Actividad Domiciliaria
11. Si: =
Hallar: x + y + m
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Sabiendo que:
- = 36 ; a + b = 8
Hallar: a b
a) 6 b) 8 c) 12
d) 16 e) 10
13. ¿Cuántos números naturales existen entre 62 y 78 ?
a) 21 b) 22 c) 20
d) 19 e) 23
14. Hallar un número de tres cifras que cumpla las
siguientes condiciones:
* La primera cifra es el doble de la tercera.
* La segunda cifra es el triple de la primera.
Dar como respuesta la suma de las cifras del número.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 9 e) 11
15. Si el siguiente numeral es capicúa. Hallar el máximo
valor de: a + b + c + d
a) 13 b)15 c) 10
d) 16 e) 17
m(m + 2)(m - 3) xyy(6) (7)
(8) (9)
ab ba
´
16. Hallar: a + b, si:
= 12333
a) 12 b) 10 c) 11
d) 13 e) 9
17. Sabiendo que:
Hallar: a + b
a) 9 b) 10 c) 12
d) 11 e) 7
18. Si: =
Hallar: a b
a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 9
19. Hallar: x + y, si:
(x )(x + 3)(3x) =
a) 5 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
20. Hallar: a + b + c
Si: =
a) 4 b) 9 c) 5
d) 7 e) 8
a(2a)(a + 1)
abab (a + b)aa
1y0
aabc babb
(b) (5)
(5) (8)
(5) (6)
(7) (5)
´
2
abba a a(2b)(2b)
2 2 2
æ ö æ ö= ç ÷ ç ÷è ø è ø
01. Realizar las siguientes conversiones:
124 a base 6.a) 345 b) 231 c) 123
d) 124 e) 324
þ
(8) (6) (6)
(6) (6)
184 a base 5.a) 4312 b) 3214 c) 1214
d) 1342 e) 1234
245 a base 12.a) 3245 b) 185 c) 237
d) 543 e) 1784
02. Hallar: a + b, si:
= 69
a) 17 b) 9 c) 6d) 8 e) 10
þ
þ
(5) (5) (5)
(5) (5)
(12) (12) (12)
(12) (12)
2ab(5)
03. Expresar en el sistema decimal:
324 = ......................................................
4252 = .......................................................
21002 = .......................................................
75201 = ........................................................
21023 = ........................................................
04. Hallar: 2b - 1, si: = 91
a) 2 b) 7 c) 6d) 5 e) 8
05. Hallar: “n”
Si: 501 = 265
a) 8 b) 7 c) 6d) 9 e) 5
þ
þ
þ
þ
þ
(5)
(7)
(3)
(8)
(4)
(4)
(n) (8)
11bc
06. Hallar: a + x, si:=
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
07. Si: = 413
Hallar: a + b + c + d
a) 8 b) 7 c) 6d) 11 e) 10
08. Si: = 135
Hallar: a + b
a) 11 b) 9 c) 3d) 12 e) 7
09. ¿Cuántos números naturales hay desde 45 hasta el
número 125 ?
a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23
xxx a6
abcd
ab
(3)
(4) (5)
(9) (7)
(7)
(6)
10. Convertir:
43 a base 7.
a) 32 b) 53 c) 213
d) 124 e) 532
32001 a base 12.
a) 345 b) 247 c) 534
d) 629 e) 432
11001 a base 8.
a) 125 b) 632 c) 2435
d) 243 e) 31
200101 a base 9.
a) 611 b) 723 c) 543
d) 654 e) 872
þ
þ
þ
þ
(5)
(7) (7) (7)
(7) (7)
(4)
(12) (12) (12)
(12) (12)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(3)
(9) (9) (9)
(9) (9)
01. Hallar: a + b + c + d + e
Sabiendo que:
=abcabc 815de(7)
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
02. Si: = 407
Hallar: a + b + n
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 15
03. Al expresar 143 a base (n + 1).
Calcular la suma de sus cifras.
a) 3 b) 5 c) 6
d) n + 2 e) 2n + 1
04. Si: =
Hallar: (a + b)n
a) 8 b) 10 c) 12
d) 15 e) 7
05. Si:
Hallar: a + b
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 11
abab
4ab 3ba
(n)
(n)
(n) (6)
06. Si:
es un numeral capicúa, hallar: a + b + c
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
07. Si: = 2
Hallar: a + b + c + d
a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 18
08. Hallar: a + b, si: = 212
a) 5 b) 6 c) 4
d) 7 e) 8
09. Si: = ; si: b < 6
Hallar: a + b + c + d
a) 11 b) 14 c) 12
d) 13 e) 15
10. Si: =
Hallar: 2a - b, sabiendo que “a” es el menor posible.
a) 5 b) 9 c) 12
d) 7 e) 6
(a - 2) b (c - 2)(b + 1)(a + 2)(6 - a)
abcd ab cd
ab4
abc 2a3d
(a - 4)0
´ ´
ab
(6) (c)
(b) (7)(b - 1)(b - 1)
(5)(a)
a ab bbb
2 3
æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷è ø è ø
b(a 2c)d(b 1)(2a)
2
æ ö+ -ç ÷è ø (8)
116 117
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Desafío Estrellista
Actividad Domiciliaria
11. Si: =
Hallar: x + y + m
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Sabiendo que:
- = 36 ; a + b = 8
Hallar: a b
a) 6 b) 8 c) 12
d) 16 e) 10
13. ¿Cuántos números naturales existen entre 62 y 78 ?
a) 21 b) 22 c) 20
d) 19 e) 23
14. Hallar un número de tres cifras que cumpla las
siguientes condiciones:
* La primera cifra es el doble de la tercera.
* La segunda cifra es el triple de la primera.
Dar como respuesta la suma de las cifras del número.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 9 e) 11
15. Si el siguiente numeral es capicúa. Hallar el máximo
valor de: a + b + c + d
a) 13 b)15 c) 10
d) 16 e) 17
m(m + 2)(m - 3) xyy(6) (7)
(8) (9)
ab ba
´
16. Hallar: a + b, si:
= 12333
a) 12 b) 10 c) 11
d) 13 e) 9
17. Sabiendo que:
Hallar: a + b
a) 9 b) 10 c) 12
d) 11 e) 7
18. Si: =
Hallar: a b
a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 9
19. Hallar: x + y, si:
(x )(x + 3)(3x) =
a) 5 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
20. Hallar: a + b + c
Si: =
a) 4 b) 9 c) 5
d) 7 e) 8
a(2a)(a + 1)
abab (a + b)aa
1y0
aabc babb
(b) (5)
(5) (8)
(5) (6)
(7) (5)
´
2
abba a a(2b)(2b)
2 2 2
æ ö æ ö= ç ÷ ç ÷è ø è ø
01. Realizar las siguientes conversiones:
124 a base 6.a) 345 b) 231 c) 123
d) 124 e) 324
þ
(8) (6) (6)
(6) (6)
184 a base 5.a) 4312 b) 3214 c) 1214
d) 1342 e) 1234
245 a base 12.a) 3245 b) 185 c) 237
d) 543 e) 1784
02. Hallar: a + b, si:
= 69
a) 17 b) 9 c) 6d) 8 e) 10
þ
þ
(5) (5) (5)
(5) (5)
(12) (12) (12)
(12) (12)
2ab(5)
03. Expresar en el sistema decimal:
324 = ......................................................
4252 = .......................................................
21002 = .......................................................
75201 = ........................................................
21023 = ........................................................
04. Hallar: 2b - 1, si: = 91
a) 2 b) 7 c) 6d) 5 e) 8
05. Hallar: “n”
Si: 501 = 265
a) 8 b) 7 c) 6d) 9 e) 5
þ
þ
þ
þ
þ
(5)
(7)
(3)
(8)
(4)
(4)
(n) (8)
11bc
06. Hallar: a + x, si:=
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
07. Si: = 413
Hallar: a + b + c + d
a) 8 b) 7 c) 6d) 11 e) 10
08. Si: = 135
Hallar: a + b
a) 11 b) 9 c) 3d) 12 e) 7
09. ¿Cuántos números naturales hay desde 45 hasta el
número 125 ?
a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23
xxx a6
abcd
ab
(3)
(4) (5)
(9) (7)
(7)
(6)
10. Convertir:
43 a base 7.
a) 32 b) 53 c) 213
d) 124 e) 532
32001 a base 12.
a) 345 b) 247 c) 534
d) 629 e) 432
11001 a base 8.
a) 125 b) 632 c) 2435
d) 243 e) 31
200101 a base 9.
a) 611 b) 723 c) 543
d) 654 e) 872
þ
þ
þ
þ
(5)
(7) (7) (7)
(7) (7)
(4)
(12) (12) (12)
(12) (12)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(3)
(9) (9) (9)
(9) (9)
01. Hallar: a + b + c + d + e
Sabiendo que:
=abcabc 815de(7)
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
02. Si: = 407
Hallar: a + b + n
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 15
03. Al expresar 143 a base (n + 1).
Calcular la suma de sus cifras.
a) 3 b) 5 c) 6
d) n + 2 e) 2n + 1
04. Si: =
Hallar: (a + b)n
a) 8 b) 10 c) 12
d) 15 e) 7
05. Si:
Hallar: a + b
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 11
abab
4ab 3ba
(n)
(n)
(n) (6)
06. Si:
es un numeral capicúa, hallar: a + b + c
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
07. Si: = 2
Hallar: a + b + c + d
a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 18
08. Hallar: a + b, si: = 212
a) 5 b) 6 c) 4
d) 7 e) 8
09. Si: = ; si: b < 6
Hallar: a + b + c + d
a) 11 b) 14 c) 12
d) 13 e) 15
10. Si: =
Hallar: 2a - b, sabiendo que “a” es el menor posible.
a) 5 b) 9 c) 12
d) 7 e) 6
(a - 2) b (c - 2)(b + 1)(a + 2)(6 - a)
abcd ab cd
ab4
abc 2a3d
(a - 4)0
´ ´
ab
(6) (c)
(b) (7)(b - 1)(b - 1)
(5)(a)
a ab bbb
2 3
æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷è ø è ø
b(a 2c)d(b 1)(2a)
2
æ ö+ -ç ÷è ø (8)
116 117
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
2. Bases sucesivas
Ejemplos:
3. Intervalo para un numeral con cierta cantidad decifras
Ejemplos:
4. Paridad de los numerales
Ejemplos:
* 15 = 7 + 5 = 12
*
*
* 10 < 10
* 10 < 10
* 8 < 8
Un numeral en base par, será par si su última cifra espar, caso contrario, será impar.
Un numeral en base impar, será par si la suma de suscifras es par, caso contrario, será impar.
43216 Base par y última cifra par, entonces,
el numeral es par.
35729 Base par y última cifra impar,
entonces, el numeral es impar.
23144 Base impar y suma de cifras par,
entonces , el numeral es par.
35212 Base impar y suma de cifras impar,
entonces, el numeral es impar.
(7)
(8)
(8)
(12)
(5)
(7)
2 3
3 4
3 4
£
£
£
·
·
®
®
®
®
abc
mnpq
xyzw
CASO I -
Ejemplo:
Resolución:
CASO II
Ejemplo:
Resolución:
OTROS CASOS ESPECIALES
1. Numeral con cifras máximas
Ejemplos:
De base “n” a base n ; k Z .
Expresar 210110212 en el sistema nonario.
210110212 = 23425
- De base n a base “n”; k
Expresar: 7(11)43 en el sistema quinario.
7(11)43 = 12210403
* 99 = 100 - 1 = 10 - 1
* 999 = 1000 - 1 = 10 - 1
* 7777 = 10000 - 1 = 8 - 1
k +
k
2
3
4
Î
\
\
(3)
(3) (9)
(25)
(25) (5)
(8) (8)
Î Z+
2 10 11 02 12(3)
2 3 4 2 5(9)
De base 3 a base 9 = 32
Del numeral dado seforman bloques de2 cifras a partir de laderecha.
Cada bloque sedescomponepolinómicamentey los resultadosson las cifras dela base 9.
7 (11) 4 3(25)
12 21 04 03(5)
De base 25 a base 5 = 52
Cada cifra de la base 25genera un bloque de 2 cifrasen la base 5, caso contrariocompletar con ceros a suizquierda.
Para generar elbloque de 2 cifrasaplique divisionessucesivas.
k(n)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1- - - = -144444444424444444443
15 (7 5)714 14 7 5 4 16+= = + + =
14 (7 5 4)15712 12 7 5 4 2 18+ += = + + + =
1a1b
1c
1m(n)
= a + b + c + .... + m + n
1a1a
1a
1a(n)
= n + a k´
“k”veces
a1a1
a1
a1(n)“k”
veces
kk a 1
a na 1
-= ´ +
-
nk-1
£ N(n) < nk
“k” cifras
CASOS ESPECIALES EN LOS CAMBIOS DE BASECASOS ESPECIALES EN LOS CAMBIOS DE BASE
También:
01. Si: =
Calcular: a + p + m + n
Tenemos: =
Por cambio de base especial:
=
Se observa: = 13
= 23 m = 2 n = 3
12 = p p = 7
= a
43 = a a = 23
a + p + m + n = 35
02. Si: =
Calcular: a + b +c + d
Se tiene: =
a 9 + a 9 + a 9 + a =
820a = = ...0
Sólo: b = 5 a = 7
Entonces: 820 7 = 5740 =
Sólo: c = 7 d = 4
a + b + c + d = 23
mn124n (13)pa
mn124n (13)pa
mn
mn
4n
aaaa bcd(b - 5)
aaaa bcd(b - 5)
bcd(b - 5)
bcd(b - 5)
5cd0
(5) (25)
(5) (25)
(9)
(9)
Resolución:
Resolución:
mn 12 4n (13) p a(5) (25)
(5)
(5) (5)
(5)
(5)
(5)
® Ù
®
®
\
´ ´ ´
Ù
´
Ù
\
3 2
03. Si:
Calcular: n + a
Del problema:
Aplicando bases sucesivas:
(n + 1)(n + 2) = 6 37 a
Sólo: a = 6 ; n = 35
n + a = 41
04. Al escribir el número 3 a la derecha del número R quetiene dos cifras, se obtiene otro número que es igual a Raumentado en 246 unidades. Hallar el producto de lascifras de R.
Sea: R =
Del enunciado:
= + 246
10 + 3 = + 246
9 = 243 = 27
a b = 14
Resolución:
Resolución:
® ´ ´
\
´´ ®
\ ´
ab
ab
ab3 ab
ab ab
ab
1112
13
1n(n + 1)
= aaa
a 10 + a 10 + a´ ´2
1112
13
1n(n + 1)
= aaa
1 2 3 .... n (n 1) 111a+ + + + + + =
= 3 37 a´ ´(n+1)(n+2)
2
“k” cifras
118 119
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
2. Bases sucesivas
Ejemplos:
3. Intervalo para un numeral con cierta cantidad decifras
Ejemplos:
4. Paridad de los numerales
Ejemplos:
* 15 = 7 + 5 = 12
*
*
* 10 < 10
* 10 < 10
* 8 < 8
Un numeral en base par, será par si su última cifra espar, caso contrario, será impar.
Un numeral en base impar, será par si la suma de suscifras es par, caso contrario, será impar.
43216 Base par y última cifra par, entonces,
el numeral es par.
35729 Base par y última cifra impar,
entonces, el numeral es impar.
23144 Base impar y suma de cifras par,
entonces , el numeral es par.
35212 Base impar y suma de cifras impar,
entonces, el numeral es impar.
(7)
(8)
(8)
(12)
(5)
(7)
2 3
3 4
3 4
£
£
£
·
·
®
®
®
®
abc
mnpq
xyzw
CASO I -
Ejemplo:
Resolución:
CASO II
Ejemplo:
Resolución:
OTROS CASOS ESPECIALES
1. Numeral con cifras máximas
Ejemplos:
De base “n” a base n ; k Z .
Expresar 210110212 en el sistema nonario.
210110212 = 23425
- De base n a base “n”; k
Expresar: 7(11)43 en el sistema quinario.
7(11)43 = 12210403
* 99 = 100 - 1 = 10 - 1
* 999 = 1000 - 1 = 10 - 1
* 7777 = 10000 - 1 = 8 - 1
k +
k
2
3
4
Î
\
\
(3)
(3) (9)
(25)
(25) (5)
(8) (8)
Î Z+
2 10 11 02 12(3)
2 3 4 2 5(9)
De base 3 a base 9 = 32
Del numeral dado seforman bloques de2 cifras a partir de laderecha.
Cada bloque sedescomponepolinómicamentey los resultadosson las cifras dela base 9.
7 (11) 4 3(25)
12 21 04 03(5)
De base 25 a base 5 = 52
Cada cifra de la base 25genera un bloque de 2 cifrasen la base 5, caso contrariocompletar con ceros a suizquierda.
Para generar elbloque de 2 cifrasaplique divisionessucesivas.
k(n)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1- - - = -144444444424444444443
15 (7 5)714 14 7 5 4 16+= = + + =
14 (7 5 4)15712 12 7 5 4 2 18+ += = + + + =
1a1b
1c
1m(n)
= a + b + c + .... + m + n
1a1a
1a
1a(n)
= n + a k´
“k”veces
a1a1
a1
a1(n)“k”
veces
kk a 1
a na 1
-= ´ +
-
nk-1
£ N(n) < nk
“k” cifras
CASOS ESPECIALES EN LOS CAMBIOS DE BASECASOS ESPECIALES EN LOS CAMBIOS DE BASE
También:
01. Si: =
Calcular: a + p + m + n
Tenemos: =
Por cambio de base especial:
=
Se observa: = 13
= 23 m = 2 n = 3
12 = p p = 7
= a
43 = a a = 23
a + p + m + n = 35
02. Si: =
Calcular: a + b +c + d
Se tiene: =
a 9 + a 9 + a 9 + a =
820a = = ...0
Sólo: b = 5 a = 7
Entonces: 820 7 = 5740 =
Sólo: c = 7 d = 4
a + b + c + d = 23
mn124n (13)pa
mn124n (13)pa
mn
mn
4n
aaaa bcd(b - 5)
aaaa bcd(b - 5)
bcd(b - 5)
bcd(b - 5)
5cd0
(5) (25)
(5) (25)
(9)
(9)
Resolución:
Resolución:
mn 12 4n (13) p a(5) (25)
(5)
(5) (5)
(5)
(5)
(5)
® Ù
®
®
\
´ ´ ´
Ù
´
Ù
\
3 2
03. Si:
Calcular: n + a
Del problema:
Aplicando bases sucesivas:
(n + 1)(n + 2) = 6 37 a
Sólo: a = 6 ; n = 35
n + a = 41
04. Al escribir el número 3 a la derecha del número R quetiene dos cifras, se obtiene otro número que es igual a Raumentado en 246 unidades. Hallar el producto de lascifras de R.
Sea: R =
Del enunciado:
= + 246
10 + 3 = + 246
9 = 243 = 27
a b = 14
Resolución:
Resolución:
® ´ ´
\
´´ ®
\ ´
ab
ab
ab3 ab
ab ab
ab
1112
13
1n(n + 1)
= aaa
a 10 + a 10 + a´ ´2
1112
13
1n(n + 1)
= aaa
1 2 3 .... n (n 1) 111a+ + + + + + =
= 3 37 a´ ´(n+1)(n+2)
2
“k” cifras
118 119
Ejercicios Resueltos
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Determinar la cantidad de numerales que son de la
siguiente forma:
a) 450 b) 350 c) 150
d) 500 e) 600
02. Corregir los siguientes numerales:
I. , si: n > 5
II. 8(23)6(12)
III. 6(-5)0(-11)
Dar como respuesta la suma de las cifras en cada caso.
a) 8; 13 y 7 b) 13; 8 y 8 c) 10; 13 y 14
d) 13; 10 y 7 e) 8; 10 y 8
03. Expresar: 101001111101 en base 8.
a) 5175 b) 4175 c) 6175
d) 3175 e) 4375
04. Expresar: 8527 en base 3 y dar como respuesta la
suma de sus cifras.
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
05. Si:
Hallar: x + y
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
06. El numeral 43102301102 se expresa en la base p ; si
la suma de las cifras del nuevo numeral es 59. Hallar el
valor de “p”.
a) 7 b) 8 c) 6
d) 5 e) 9
07. Calcular la suma de las bases de los sistemas de
numeración en los cuales 1500 se escribe con 4 cifras.
a) 45 b) 46 c) 47
d) 50 e) 60
08. Expresar:
101201211 en base 9.
a) 23457 b) 12357 c) 32543
d) 11654 e) 32547
2(n + 3)(n - 1)(2n + 2)(n)
(7)
(5)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(9)
(p)
(3)
(9) (9) (9)
(9) (9)
2
þ
13421011012 en base 25.
a) 3457
b) 578(11)9
c) 2(11)(13)456
d) (11)578
e) 1(19)(11)157
111101100011 en base 8.
a) 7543 b) 3245 c) 3276
d) 7234 e) 3567
09. Convertir los siguientes numerales:
742104 a base 2.
= .........................................................................
437 a base 4.
= .........................................................................
378024 a base 3.
= .........................................................................
10. Expresar “E” en base 10:
E = + + 34
a) 233 b) 243 c) 253
d) 263 e) 143
11. Calcular “n” si el mayor numeral de tres cifras de la
base “n” se expresa en el sistema quinario como 2332.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Sabiendo que:
= 3000 = 1423 = 1044
¿Cómo se escribe (40 + ) en base 10?
a) 50 b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
13. Si los siguientes números son diferentes de cero:
; ;
Determinar:
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 7
þ
þ
þ
þ
þ
(5)
(25)
(25)
(25)
(25)
(25)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(8)
(16)
(9)
(7) (b) (a)
(8) (a) (b) (c)
(a) (9)
(4) (a) (c)
a b
2ba 1a3
abc
bb
10a 2bc bb
a 1 b2 (a 1)(b 1)(c 2)
2 3
-æ ö æ ö+ + + +ç ÷ ç ÷è ø è ø (15)
14 = xy14
14(8)
14. Si se cumple que:
Hallar: a + b
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 8
15. Si el siguiente numeral:
Hallar: “n”a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
16. Expresar:
N = 15 7 - 2 7 + 9 7 + 16
en base 7 y dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Hallar: a + b, si:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
´ ´ ´3 4
18. Si:
Calcular: e + v + e + + y + n
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
19. Si:
Hallar el valor de:
a) 73 b) 146 c) 292
d) 438 e) 584
20. Si:
Hallar: x + y + z
a) 5 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
l
a c
b
´
1717
1717
ab(9)
= 231(5)
20(n)
40 veces
(n 1)(n 1)(n 1)......(n 1) 64 1- - - - = -144444444444424444444444443
17 = 10417
17
17ab
abnumerales
1213
1415
16(n)
= 130(4)
n0n1
(9)
2323
2323
(4)
= 1xyz21(4)
(2)"n" cifras
eee.....e 1yv=1442443
120 121
01. Si los numerales están correctamente escritos:
234 ; ;
Hallar: a + b
(a) (b) (7)2a3 bb2
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
02. Si se cumple que:
Hallar: a + b + c + k
a) 15 b) 19 c) 22
d) 23 e) 24
03. Expresar el valor de “x” en:
a) 6 b) 7 c) 10
d) 8 e) 9
04. Si al convertir al sistema octal se obtiene
. Hallar: a + b
a) 14 b) 13 c) 10
d) 12 e) 8
05. Sabiendo que:
+ = 77 ; a - b = 1
Expresar:
a) 43 b) 34 c) 32
d) 23 e) 13
06. Si:
=
Hallar: a + b + c
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 6
xxxxxx
ab
(a - 3)(a + 5) bc
(2)
(8)
(5)
(5) (5) (5)
(5) (5)
(6)
ab ba
ab
1419
13(x)
= 42(6)
(3)2222.....2 abc=144424443“k” cifras
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
Actividad Domiciliaria
01. Determinar la cantidad de numerales que son de la
siguiente forma:
a) 450 b) 350 c) 150
d) 500 e) 600
02. Corregir los siguientes numerales:
I. , si: n > 5
II. 8(23)6(12)
III. 6(-5)0(-11)
Dar como respuesta la suma de las cifras en cada caso.
a) 8; 13 y 7 b) 13; 8 y 8 c) 10; 13 y 14
d) 13; 10 y 7 e) 8; 10 y 8
03. Expresar: 101001111101 en base 8.
a) 5175 b) 4175 c) 6175
d) 3175 e) 4375
04. Expresar: 8527 en base 3 y dar como respuesta la
suma de sus cifras.
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
05. Si:
Hallar: x + y
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
06. El numeral 43102301102 se expresa en la base p ; si
la suma de las cifras del nuevo numeral es 59. Hallar el
valor de “p”.
a) 7 b) 8 c) 6
d) 5 e) 9
07. Calcular la suma de las bases de los sistemas de
numeración en los cuales 1500 se escribe con 4 cifras.
a) 45 b) 46 c) 47
d) 50 e) 60
08. Expresar:
101201211 en base 9.
a) 23457 b) 12357 c) 32543
d) 11654 e) 32547
2(n + 3)(n - 1)(2n + 2)(n)
(7)
(5)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(9)
(p)
(3)
(9) (9) (9)
(9) (9)
2
þ
13421011012 en base 25.
a) 3457
b) 578(11)9
c) 2(11)(13)456
d) (11)578
e) 1(19)(11)157
111101100011 en base 8.
a) 7543 b) 3245 c) 3276
d) 7234 e) 3567
09. Convertir los siguientes numerales:
742104 a base 2.
= .........................................................................
437 a base 4.
= .........................................................................
378024 a base 3.
= .........................................................................
10. Expresar “E” en base 10:
E = + + 34
a) 233 b) 243 c) 253
d) 263 e) 143
11. Calcular “n” si el mayor numeral de tres cifras de la
base “n” se expresa en el sistema quinario como 2332.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Sabiendo que:
= 3000 = 1423 = 1044
¿Cómo se escribe (40 + ) en base 10?
a) 50 b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
13. Si los siguientes números son diferentes de cero:
; ;
Determinar:
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 7
þ
þ
þ
þ
þ
(5)
(25)
(25)
(25)
(25)
(25)
(2)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(8)
(16)
(9)
(7) (b) (a)
(8) (a) (b) (c)
(a) (9)
(4) (a) (c)
a b
2ba 1a3
abc
bb
10a 2bc bb
a 1 b2 (a 1)(b 1)(c 2)
2 3
-æ ö æ ö+ + + +ç ÷ ç ÷è ø è ø (15)
14 = xy14
14(8)
14. Si se cumple que:
Hallar: a + b
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 8
15. Si el siguiente numeral:
Hallar: “n”a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
16. Expresar:
N = 15 7 - 2 7 + 9 7 + 16
en base 7 y dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Hallar: a + b, si:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
´ ´ ´3 4
18. Si:
Calcular: e + v + e + + y + n
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
19. Si:
Hallar el valor de:
a) 73 b) 146 c) 292
d) 438 e) 584
20. Si:
Hallar: x + y + z
a) 5 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
l
a c
b
´
1717
1717
ab(9)
= 231(5)
20(n)
40 veces
(n 1)(n 1)(n 1)......(n 1) 64 1- - - - = -144444444444424444444444443
17 = 10417
17
17ab
abnumerales
1213
1415
16(n)
= 130(4)
n0n1
(9)
2323
2323
(4)
= 1xyz21(4)
(2)"n" cifras
eee.....e 1yv=1442443
120 121
01. Si los numerales están correctamente escritos:
234 ; ;
Hallar: a + b
(a) (b) (7)2a3 bb2
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
02. Si se cumple que:
Hallar: a + b + c + k
a) 15 b) 19 c) 22
d) 23 e) 24
03. Expresar el valor de “x” en:
a) 6 b) 7 c) 10
d) 8 e) 9
04. Si al convertir al sistema octal se obtiene
. Hallar: a + b
a) 14 b) 13 c) 10
d) 12 e) 8
05. Sabiendo que:
+ = 77 ; a - b = 1
Expresar:
a) 43 b) 34 c) 32
d) 23 e) 13
06. Si:
=
Hallar: a + b + c
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 6
xxxxxx
ab
(a - 3)(a + 5) bc
(2)
(8)
(5)
(5) (5) (5)
(5) (5)
(6)
ab ba
ab
1419
13(x)
= 42(6)
(3)2222.....2 abc=144424443“k” cifras
Actividades para la Clase
I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
01. Si: =
Hallar: a + b + c
abc b(b + c) 0(9) (6)
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
02. Si se cumple que: =
Hallar: a + b
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
03. Si: =
Hallar: a + b + c + d + e
a) 18 b) 20 c) 25
d) 29 e) 36
04. Si: =
Hallar: a + b + m + n
a) 4 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
05. Un número de dos cifras diferentes del sistema
duodecimal es igual a la suma de las demás cifras.
Hallar el producto de las cifras de dicho número.
a) 0 b) 6 c) 15
d) 18 e) 28
06. Si: =
¿En cuántos sistemas de numeración se expresa
con 4 cifras?
a) 4 b) 6 c) 5
d) 11 e) 13
a(2a)b
abcabc 815de
ab2ab mmn2
(a - 4)0 (b - 1)(b - 1)
aba
(a + b)
(7)
(4) (9)
(7) (b)
07. ¿Cuántos números de 4 cifras que no tienen ninguna
cifra 2 en su escritura, tienen por lo menos una cifra 9?
a) 2248 b) 2332 c) 2420
d) 3224 e) 3248
08. ¿Cuántos números de 4 cifras de la base 9 al ser
convertidos al sistema duodecimal se representa como
un número capicúa?
a) 110 b) 116 c) 118
d) 120 e) 136
09. Si: ; además: b 4
=
Hallar: a + b + n + m
a) 37 b) 45 c) 52
d) 64 e) 104
a) 205 b) 245 c) 135
d) 48 e) 23
¹
ababab (m - 3)(m- 3) (m - 3)(n) (m)
10. Si:
Expresar en base 10.mn(40)
abb
2
æ öç ÷è ø
(n)(22)
m m1(m 2)(8 m)
3 2
æ ö æ ö= - -ç ÷ ç ÷è ø è ø
12 = 1013(b)1312
13
12(a)
abveces
122
07. Expresar el numeral 2003 en el sistema octal.
a) 735 b) 375 c) 475
d) 573 e) 735
08. Dada la adición:
+ + 136 =
Hallar: m + a + x
a) 22 b) 23 c) 24
d) 20 e) 21
(5)
(8) (8) (8)
(8) (8)
(a) (x) (m)13m 33a 44x
09. Si se cumple:
+ = 14 +
Hallar: a + b + c
a) 12 b) 21 c) 18
d) 16 e) 20
10. Expresar “E” en el sistema octal:
a) 654 b) 177 c) 106
d) 246 e) 666
3a c1 b2(c) (b) (a) (8)
(8) (8) (8)
(8) (8)
E = 2121
2121
21(3)
Desafío Estrellista
I. E. P. Las Estrellas del Futuro
Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.
Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año
top related