05 - espacios vectoriales

Espacios Vectoriales

Un Espacio Vectorial Real V, es un conjunto de objetos llamados vectores en el cual se han definido dos operaciones llamadas "Suma" y "Multiplicación por escalar" y que satisfacen los 10 axiomas siguientes:

Axiomas de un espacio vectorial

i. Si x є V y y є V , entonces x+y є V (cerradura bajo la suma).ii. Para todo x, y y z en V, (x+y)+z=x+(y+z) (ley asociativa de suma vect.).iii. Existe un vector 0 є V tal que para todo x є V , x+0=0+x=xiv. Si x є V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0v. Si x y y están en V, entonces x+y=y+x (ley conmutativa de suma vect.)vi. Si x є V y α es un escalar, entonces αx є V (cerradura bajo la mult. esc.)vii. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x+y)=αx+αy (1a ley dist.)viii. Si x є V y α y β son escalares, entonces (α+β)x = αx+βx (2da ley distrib.)ix. Si x є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (ley asociativa)x. Para cada vector x є V , 1x=x

Nomenclatura: x es igual a x

Ejemplos: Espacios vectoriales

Ejemplos

Ejemplos

El conjunto ordenado de n componentes… es espacio vectorial…..

Ejemplos

Ejercicios

Ejercicios: No son Espacios Vectoriales …

Ejercicios: No son Espacios Vectoriales …

t

Propiedades de espacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial. Entoncesα0 = 0 para todo escalar α. (0=0)0.x=0 para todo x є V.Si αx = 0 , entonces α=0 o x=0 (o ambos).(-1)x=-x para todo x є V.

Subespacios

Se sabe que:

es un espacio vectorial, y se puede demostrar que:

V = {(x,y) / y=mx, xєR ^ yєR}

también es un espacio vectorial.Es evidente que V es subconjunto de RR22. Estoes, RR22 tiene un subconjunto que también es un espacio vectorial. De hecho, todos los espaciosvectoriales tienen subconjuntos que tambiénson espacios vectoriales.

Subespacios.- Definición

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Subespacios.- Teorema

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespaciode V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Si x є H y y є H , entonces x+y є H.Si x є H, entonces αx є H para todo escalar α.

Cuando se cumple lo segundo existirá el vector nulo (0) en H y también existirán los vectores inversos aditivos para cada vector de H.

Ejercicios: subespacios

Ejercicios: subespacios

Ejercicios: subespacios

Ejercicios: subespacios

Ejercicios: subespacios

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Autoaprendizaje # 1:

Algebra Lineal de Grossman. Problemas 4.2. Ejercicios impares del 1 al 25. pp297-299. 5ta. Edición.