04 a sd sistemas numéricos

CHA/UDEP/2003

Sistemas Numéricos

Algoritmos Básicos

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Definición y clasificación

Un sistema numérico es un conjunto de

dígitos que se relacionan para expresar la

relación existente entre la cantidad y la

unidad.

Se pueden establecer relaciones

algorítmicas definidas: Suma, resta, …

Se clasifican en posicionales y no

posicionales

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Sistemas Posicionales: con peso

Cada cifra de un valor numérico contribuye al valor final dependiendo de su valor propio y de la posición que ocupa dentro del número.

Existen tantos símbolos como la base del sistema.

Los número mayores que la base se representan con varias cifras.

Si la base es B, el valor del número se calcula sumando sus potencias:

Donde “Ai” son las cifras, e “i” su posición relativa.

on

n

n

n BABABABAN ..(...).. 0

1

1

1

1

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Sistemas no Posicionales: sin peso

La contribución de cada cifra no depende del lugar que

ocupa en el número.

Ej: Números romanos:

XXIII= 23, el símbolo X siempre vale 10, e I siempre vale 1, sin

importar su posición.

Para grandes cantidades resultan difíciles de manejar.

Trabajaremos con sistemas posicionales escribiendo la

base como subíndice.

)16(102 9,123,110001 HFFA

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Base 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9

Se emplean 10 símbolos: 0-9

La posición de cada dígito en un número decimal

indica la magnitud de la cantidad representada: peso.

Los pesos para los números enteros son potencias de

10, que aumentan su valor de derecha a izquierda.

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Representación de números fraccionarios

Se emplean

potencias negativas

de 10 cuyo valor

absoluto aumenta de

izquierda a derecha

empezando por 10-1.

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Binario (base 2: 0,1)

Es un sistema de dos dígitos: 0 y 1

Los pesos son potencias de 2:

20, 21, 22, 23, 24, 25, …= 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

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Ventajas y desventajas del sistema binario

Inconveniente para el ser humano.

Conveniente para las máquinas electrónicas: La mayoría de Máquinas

electrónicas procesan información por estados.

Para almacenar información sólo se necesita codificarla empleando dos estados: encendido y apagado.

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Base 2 Base 10

on

n

n

n BABABABAN ..(...).. 0

1

1

1

1

B=2

Ai=dígitos

Aquí la coma separa la parte entera de la fraccionaria

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Base 10 Base 2

Método de los pesos: Consiste en ir aproximando los pesos (1,2,4..) con

coeficientes hasta obtener el número deseado

Método de la división sucesiva: Se divide sucesivamente el número decimal entre la

base 2. Cada cociente resulando se divide nuevamente entre 2 hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es cero.

Los restos generadosen cada división conforman el número en binario.

El bit menos significativo (peso=1) o LSB es el primer resto, y el último resto es el bit más significativo o MSB.

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Base 10 Base 2 (enteros)

Método de los pesos

Método de las divisiones sucesivas

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Base 10 Base 2 (fraccionarios)

Ej: 109,625

Por suma de pesos: aproximando con sumas de potencias negativas de 2:

Por multiplicación sucesiva por 2: Se multiplica la parte

fraccionaria por 2, luego se vuelve a multiplicar la parte fraccionaria restante por 2, y se continúa hasta que la parte fraccionaria resultante sea cero.

210 101,1101101625,109

2

02356 1101101222221483264109

2

31 0101,022125,05,0625,0

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Sistema Octal (base 8): 0,1,2,3,4,5,6,7

Cada dígito octal

equivale a tres dígitos

en binario.

Ej: convertir 375,428 a

binario

375,428 = 011 111 101 , 100 010 2 = 011111101,100010 2

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Base 2 Base 8

Se agrupan las cifras de a TRES tanto en la parte entera como en la fraccionaria partiendo desde el punto decimal.

Se cambias los valores agrupados de a TRES por sus equivalentes en OCTAL.

82 42,375100010,011111101

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Base 8 Base 10

on

n

n

n BABABABAN ..(...).. 0

1

1

1

1

Se emplea la representación por pesos

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Base 10 Base 8 La parte entera por divisiones sucesivas

La parte fraccionaria por multiplicaciones sucesivas

Dejamos hasta 5 decimales,

podríamos continuar

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Hexadecimal (base 16)

1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

2FH=2x161 + 15x160 = 4710

2FH=0010 11112

on

n

n

n BABABABAN ..(...).. 0

1

1

1

1

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Base 16 Base 2 (entero)

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Base 2 Base 16

Se agrupan las cifras de a CUATRO tanto en la parte entera como en la fraccionaria partiendo desde el punto decimal.

Se cambias los valores agrupados de a CUATRO por sus equivalentes en HEXADECIMAL.

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Base 16 Base 10

on

n

n

n BABABABAN ..(...).. 0

1

1

1

1

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Base 10 Base 16 Parte entera por divisiones sucesivas y parte fraccionaria por multiplicaciones

sucesivas

4573, 7910 Hexadecimal 11DD, CAD7…16

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Aritmética Binaria

Básica para las computadoras digitales

Todos los algoritmos numéricos los

efectuamos con:

Sumas

Restas

Multiplicaciones

Divisiones

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Suma binaria

Algoritmo de la suma en cualquier base

Base 2

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Suma: Operación básica

La suma es la operación más importante.

Las demás operaciones aritméticas se efectúan con algoritmos que desarrollan sólo sumas.

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Resta binaria

5-3=2 101-011=010 Algoritmo que conocemos

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Multiplicación binaria

Algoritmo conocido

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División binaria

Algoritmo conocido

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Números con SIGNO (+/-)

Hay tres formas de trabajar con signo en binario: Signo y magnitud

Complemento a uno

Complemento a 2

Convenio: 1= negativo

0= positivo

Se escribe a la izquierda del código (trama).

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Signo y magnitud

Para operar primero hay que verificar el signo.

Existen dos representaciones para el cero, un +0 y un -0.

Complica la implantación de algoritmos con circuitos digitales.

…

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Representación en complemento

(uno o dos)

Permite efectuar el algoritmo de resta efectuando operaciones de sumas.

Números positivos: Se representan como en el sistema signo-magnitud:

un bit de signo cero (0) identifica al número como positivo 0101 1100

Números negativos: Son siempre el complemento del correspondiente

número positivo.

Hay dos tipos de complemento: 1. Complemento a uno 101 0011

2. Complemento a 2

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Complemento a 1

Número Positivos: se representan como en el

sistema signo-magnitud: un BIT de signo cero (0)

identifica al número como positivo.

Números Negativos: se reemplazan todos los unos

por ceros y los ceros por unos.

+ 8510 = 0101 01012

- 8510 = 1010 10102

Rango de valores representables para un

número de n bits: • n bits -(2

n-1-1) hasta +(2

n-1-1)

• 3 bits -3 hasta +3 100b hasta 011b • 8 bits -128 hasta +128 1000 000b hasta 0111 1111b

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Complemento a 2 Número Positivos: se representan como en el sistema signo-magnitud: un BIT de signo cero (0) identifica al número como positivo.

Números Negativos: Se suma UNO (0000 0001b) al complemento a uno:

+ 8510 = 0101 01012

- 8510 = 1010 10112

Rango de valores representables para un número

de n bits: -(2n-1) +(2n-1-1)

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Un mismo código puede

representar cantidades distintas

¿cero?

(+)

(-)

Binario Decimal Decimal Decimal

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Operaciones aritméticas con signo

Suma

Resta

Desbordamiento

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Suma con signo

Ej:

A y B positivos A+B≥0 ( 5 + 4 = + 9 )

A y B negativos A+B<0 ( -5 – 4 = - 9 )

A>0 y B<0 A>|B|, A+B≥0 ( 5 – 4 = + 1 )

A>0 y B<0 A<|B|, A+B<0 ( 4 – 5 = - 1 )

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a) SUMA: A y B positivos (A=7, B=4)

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b) SUMA: A y B negavivos (A=-5, B=-9)

En complemento a 2

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c) SUMA: A positivo, B negavivo,

A>|B| (A=15, B=-6)

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d) SUMA: A positivo, B negavivo,

A<|B| (A=16, B=-24)

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Sustracción

Restar es sumar a un número A otro número

negativo (-B).

Para representar un número negativo partiendo

de su positivo (B) se calcula el complemento a 2

(-B).

Si el primer bit del resultado es 1, el número

será negativo y se conoce haciendo el proceso

inverso del complemento a 2.

La respuesta correcta estará en el rango de -

(2n-1) +(2n-1-1).

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Desbordamiento

La respuesta correcta estará en el rango de

-(2n-1) +(2n-1-1).

Ej: n = 4 bits (incluido el bit de signo); -8 +7

¿Qué ocurre si sumamos 0111 + 0111 = 1110 ? ¡error!

Desbordamiento = OVERFLOW

Se da cuando ambos números son positivos o negativos

Para el caso de 8 bits:

- (2n-1 ) + (2n-1-1)

- (28-1 ) + (28-1-1)

- (128) + (128-1)

- 128 + 127 son los valores válidos para n=8bits.

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Suma de dos números negativos

A0=-125, B0=-58

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Suma de dos números positivos

A=125, B=58

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Sistemas Combinacionales

Sumadores

Multiplexers

Decodificadores