03.-seminario 3 toc minimizacion funciones conmutacion
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7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
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SEMINARIO 3MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE
COMPUTADORES
1 Grado en Ingeniera Informtica.
Autor: Pedro Martn Smith
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7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
1. Introduccin. 2. Conceptos bsicos.
3. Minimizacin monofuncional con Mapas de Karnaughpara estructuras AND/OR y NAND/NAND.
4. Minimizacin monofuncional con Mapas de Karnaugh.
5. Mtodos de minimizacin. 6. E ercicios. 7. APNDICE: Minimizacin Multifuncional.
BIBLIOGRAF A:Basado en: Hill, F.J., Peterson, G.R., Teora de
2
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
1. Introduccin.
En el seminario 2 se trataron: a) el concepto de funciones de
conmutacin, tanto las completamente especificadas, comolas incom letamente es ecificadas b los conce tos detrminos producto y trminos suma, c) sus representacionesen el mapa de Karnaugh y d) cmo identificarlos en dicho
.
En este seminario, trataremos sobre la minimizacin de las.
En este contexto, Minimizar consistir en obtener, de entre
todas las posibles expresiones de una funcin de,realizacin fsica para estructuras de circuito a dos niveles depuertas lgicas.
3
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Un trmino producto (o cubo) tiene como expresin un solocon un o e era es opera os con e pro uc o g co .Por ejemplo, en un Algebra de conmutacin de 4 variables
(A,B,C,D) el cubo P(5,13)={(0101),(1101)}=(-101) tiene laexpresin:
(5,13) 101P B C D .
el valor 1 en 2 casillas adyacentes del mapa de Karnaugh:AB
A
0 4 12 8
CD
00
01 11
.
El nmero de minterms que forma
un cubo siempre es potencia de 2.3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C
D
k, cuando desaparecenkvariables, de modo que el cubo
B
toma el valor 1 en 2 casillas delmapa de Karnaugh
4
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Los mapas de Karnaugh se disearon para reconocer loscu os rm nos pro uc o e un mo o c grac as a ec ode que ciertas casillas adyacentes del mapa pueden
combinarse. Por ejemplo, la pareja de minterms (cubos deorden 0), m5 y m13, son adyacentes en el mapa y puedencombinarse para formar el trmino producto P(5,13).
A
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00
01 11
5 01011101
m A B C Dm A B C D
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11
(5,13) 101P B C D 1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11B B
(5,13) ( ) 1P A B C D A B C D A A B C D B C D B C D
5Teorema que justifica matemticamente esto es: g g gAl o X Al o X Al o
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Tambin, dos cubos que sean del mismo orden y adyacentesen e mapa pue en com narse. or e emp o, a com nac nde los cubos P(5,13) y P(7,15) dan lugar al cubo
P(5,7,13,15)
0 4 12 8
AB
CD
A
00 01 11 10
000 4 12 8
AB
CD
A
00 01 11 10
00(5,13) 101P B C D
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
C
D1111
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
C
D1111
(7,15) 111571315 1 1P B C D
P B D
2 6 14 10
B
2 6 14 10
B
(5,13) (7,15) (5,7,13,15)
(5,7,13,15) C C ( ) 1
P P P
P B D B D C C B D B D B D
6Teorema que justifica matemticamente esto es: g lg gAl o X A o X Al o
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Implicante de una funcin: Dada una funcin deconmu ac n e n var a es, se ce que un cu o esimplicante de la funcin, si para aquellos valores de las
variables en los que el cubo toma el valor 1, resulta que lafuncin toma el valor 1 o corresponde a una indiferencia de f.
A B C D
AB
CD
A
00 01 11 10
00 11
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1
0123
0000 1
emp os eimplicantes de f
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11C
D
11 -
- -
0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1
1 0 0 0
4567
8
1110
1
P(4,5,12,13)
P 8 92 6 14 10
10
B
11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
10111213
-0-11
1
P(14,15)
7
1 1 1 1 15 -
-
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Implicante primo de una funcin: Dada una funcin deconmu ac n yun mp can e e e or en , se ce quees implicante primo de f, si no existe otro implicante de f
de ordenp con p>k, tal que ste incluya al primero.Ejemplos deimplicantes primos de
A B C D
AB
CD
A
00 01 11 10
00 11 1
P(4,5,12,13) S es0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1
0123
0000
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11C
D
11 -
- -
mp can epr mo e
P(8,9) No es implicante
0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1
1 0 0 0
4567
8
1110
1
2 6 14 1010
B
1 1 primo de f
P 14 15 No es
1 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
10111213
-0-11
8implicanteprimo de f1 1 1 1 15 -
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.Implicante primo esencial de una funcin: Dada unaunc n e conmu ac n yun mp can e pr mo e : e ceque este implicante primo es esencial de f , si dicho
implicante contiene, al menos, un minterm de fque no estacontenido en ningn otro implicante primo de f.
Ejemplo de todos los
AB
CD
A
00 01 11 10
00 11 1
mp can es pr mos e .
P(4,5,12,13) Si esencial
A B C D
0 0 0 00 0 0 10 0 1 0
012
000
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
C
D
11 -
- -
P(8,9,12,13) Si esencialP(9,11,13,15) No esencial
P 12 13 14 15 No esencial
0 1 0 00 1 0 10 1 1 0
0 1 1 1
456
7
111
0
2 6 14 1010
B
1 1 P(4,6,12,14) Si esencial1 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
9101112
-0-1
9
1 1 1 0
1 1 1 1
14
15
1
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
2. Conceptos bsicos.
Cobertura (o Cubrimiento) de una funcin como sumade productos: Dada una funcin de conmutacin f(Xn..X X un con unto C= P P .. P de im licantes def: Se dice que C cubrea f, si para cualquier minterm de fexiste un implicante Pide Cque lo contiene. Por tanto, dicha
Pidel conjunto C, es decir:
=n, .. , .. m
Obsrvese que, en general, pueden existir muchos conjuntos
para fque son equivalentes.Para minimizar fes necesario que este conjunto Csea decoste mnimo.
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
3. Minimizacin monofuncional con Mapas K.para estructuras AND/OR y NAND/NAND.
-En la realizacin de una funcin f, una posibilidad consiste en cubrir con
trminos producto p
i
todos los unos de f, pudiendo incluir o no
indiferencias segn convenga. Haciendo esto, se consigue una expresin de f
como suma lgica de los trminos pi , y por tanto realizable con una estructurade dos niveles de puertas lgicasAND/OR.
-
y menor nmero de entradas por cada puerta lgica):
-a) Los trminos producto p deben ser implicantes primos de f .
-b) De todos los implicantes de f , debe seleccionarse el menor nmero
de ellos, tal que cubra a la funcin f .
-c) La solucin ha de incluirtodos los implicantes primos esenciales dela funcin.
- De la realizacinAND/OR de f, se puede deducir la realizacin
NAND/NAND , complementando 2 veces la expresinAND/OR y aplicando las
leyes de DEMORGAN .
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Ejemplo 1 sencillo de minimizacin y realizacin de unafuncin con estructura AND/OR y su conversin a
NAND/NAND
A B C D f
if (A ,B ,C ,D ) m (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,12)
0 0 0 10 0 1 00 0 1 1
123
111
CD
AB A
00 01 11 10 Solucin
0 1 0 10 1 1 00 1 1 1
567
111
1 1 1 0
1 1 0 0
0 4 12 800
01
f =B C D +A
1 0 0 11 0 1 01 0 1 1
91011
000
1 1 0 0
1 1 0 0
3
5
7 15 1111
C
D
1 1 0 11 1 1 01 1 1 1
131415
000
2 6 14 10
B
Tabla de Verdad12
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2) Realizar la funcin f con estructura de puertas lgicas AND/OR y
if (A ,B ,C ,D) m (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,12)
Una vez se tiene la realizacinAND/OR de f, su conversin a
NAND/NAND se hace complementando 2 veces la expresin
AND/OR de fy aplicando las leyes de DEMORGAN .
NAND/NAND
Solucin
f = B C D +A
f = B C D + A
BC
BCD f
DA
A
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
4. Minimizacin monofuncional con Mapas K.para estructuras OR/AND y NOR/NOR.
En la realizacin de una funcin f, con estructuraOR/AND lo que se hace es cubrir todos los ceros def, en vez de los unos, con trminos suma Si , pudiendoincluir o no indiferencias de la funcin se n conven a.
-Una cobertura de la funcin consiste ahora en obtener unconjunto Sde trminos suma S={S1, S2,.. Sm} , tal quela funcin pueda expresarse como producto de dichostrminos suma:
f(Xn, ..X1,X0)= S1 S2 ..Sm
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
El aspecto en el mapa de Karnaugh de los trminos suma son anlogos a los
,
complemento de un trmino producto.
E em lo:
i i
En un lgebra de conmutacin de 4 variables (A,B,C,D), obtener el trmino suma
S =(A+B+C) como complemento de un trmino producto P.
Solucin: i i iS = (A+B+C) = S = (A+B+C) = (ABC) = ABC P
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 1 11 0 0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 0 00 1
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
1 11 1
1 11 11
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
0 00 0
0 00 0i i
B B
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
4. Minimizacin monofuncional con Mapas K.para estructuras OR/AND y NOR/NOR.
-Un mtodo rpido para conseguir una realizacin OR/AND de una funcin,
sin introducir nuevas definiciones consiste en lo siguiente:
-1) Especificar la funcin f y el complemento de f en una tabla de
verdad y representar el complemento de fen un mapa de Karnaugh.
-2) Minimizar el complemento de f como si se tratase de unaminimizacin con estructuraAND/OR .
-
complementar para rescatar la funcin original f y aplicar las leyes de
DEMORGAN , de modo que se exprese como producto de sumas , con
.
-De la realizacin OR/AND de f, se puede deducir la realizacin NOR/NOR,
com lementando 2 veces la ex resinAND/OR a licando las le es de
DEMORGAN .
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Ejemplo 1 sencillo de minimizacin y realizacin de una funcin
con estructura OR/AND y su conversin a NOR/NOR1) Especificar la funcin f y el complemento de f en una tabla de verdad y
if (A ,B ,C ,D ) m (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,12)
.
A B C D
f f
CD
ABA
00 01 11 10CD
ABA
00 01 11 10
00
0 0 0 10 0 1 00 0 1 1
123
111
000
1 1 0 0
1 1 0 0
0
1
4
5
12
13
8
9
01
11
D
0 0 1 1
0 0 1 1
1 5 13 9
01
11
D
0 1 0 10 1 1 00 1 1 1
567
111
000
1 1 0 0
2 6 14 1010
C
B
0 0 1 1
2 6 14 1010
C
B
1 0 0 11 0 1 0
1 0 1 1
910
11
00
0
11
1
f f
1 1 0 11 1 1 01 1 1 1
131415
000
111
Tabla de Verdad
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Ejemplo 1 sencillo de minimizacin y realizacin de una funcin
con estructura OR/AND y su conversin a NOR/NOR2) Minimizar el complemento de f como si se tratase de una
A B C D if (A ,B ,C ,D ) m (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,12)
f f0 0 0 10 0 1 00 0 1 1
123
111
000
CD
ABA
00 01 11 10 f =A B+A D+A C
0 1 0 10 1 1 00 1 1 1
567
111
000
0 0 0 1
0 0 1 1
0 4 12 8
00
01
1 0 0 11 0 1 0
1 0 1 1
910
11
00
0
11
1
0 0 1 1
0 0 1 1
3 7 15 1111
C
D
1 1 0 11 1 1 01 1 1 1
131415
000
111
2 6 14 10
B
Tabla de Verdad
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Ejemplo 1 sencillo de minimizacin y realizacin de una funcin
con estructura OR/AND y su conversin a NOR/NOR3) Sobre la expresin mnima AND/OR del complemento de f volver a
complementar para rescatar la funcin original f, aplicando las leyes
de DEMORGAN
A B C D
0 0 0 00001
01
11
00
f f
f = AB+AD+AC0 0 1 00 0 1 10 1 0 00101
2345
1111
0000
0 1 1 00 1 1 11 0 0 0
1 0 0 1
678
9
110
001
1
f =f =AB+AD+AC =(AB) (AD) (AC)
1 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
10111213
0010
1101
f =(AB) (AD) (AC) (A+B) (A+D) (A+C)
1 1 1 0
1 1 1 1
14
15
0
0
1
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4) Realizar la funcin f con estructura de puertas lgicas OR/AND y
if (A ,B ,C ,D) m (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,12)
Una vez se tiene la realizacin OR/AND de f, su conversin a
NOR/NOR se hace complementando 2 veces la expresin
OR/AND de fy aplicando las leyes de DEMORGAN .
N0R/NOR
Solucin
f =(A +B)(A +D)(A +C) f =(A+B)(A+D)(A+C)(A+B) (A+D) (A+C)
AB
A
AB
D
A
D
AC
20
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
5. Mtodos de minimizacin.
.
Por razones pedaggicas, en este apartado trataremos 2 , ,servir para la mayora de los casos sencillos que se dan en laasignatura TOC. En este mtodo se utilizan los mapas de Karnaugh,nuestra habilidad ara reconocer los im licantes rimos esenciales
y aquellos opcionales para el cubrimiento de la funcin deconmutacin a realizar.
basa en el mtodo algortmico de Quine-McCluskey. La diferenciacon dicho mtodo es que utilizaremos los mapas de Karnaugh para
identificar visualmente los im licantes rimos de la funcin en vezde la habitual construccin algortmica de implicantes primospartiendo de los minterms de la funcin, implicantes de orden 1,orden 2,..,orden n.
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MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
5. Mtodos de minimizacin.
5.1 M todo intuitivo con mapas de Karnaugh.
Para casos sencillos, este mtodo obtendr buenos.seguir con un ejemplo.
5.2 Mtodo ri uroso.
Para casos ms complejos, este mtodo es ms seguro,dado que se basa en el algoritmo determinista de u ne- c us ey Existen numerosos programas de optimizacin (no
problema de minimizacin funcional (NP completo),cuando el un nmero de variables de la funcinaumenta.
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
E em lo: Obtener unarealizacin mnimaAND OR dela funcin :
Paso 1) Especificacin de la funcin.
3 2 1 0 iF(X X X X ) m (0,1,2,7,8,9,10,12,13,14,15)
X3 X2 X1 X 0 f
0 0 0 00 0 0 1
01
11 Paso 1) Se especifica la funcin mediante
0 0 1 0
0 0 1 10 1 0 00 1 0 1
2
345
1
000
una Tabla de Verdad.En la tabla es conveniente introducir unacolumna con los e uivalentes en decimal
0 1 1 11 0 0 01 0 0 1
1 0 1 0
789
10
111
1
de las combinaciones de los valoresbinarios que toman las entradas. Esto
1 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
1112131415
01111
en las celdas del mapa de Karnaugh.
23
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
E em lo: Obtener unarealizacin mnimaAND OR dela funcin :Paso 2) Mapa de Karnaugh de la funcin
3,14,15),9,10,12,1(0,1,2,7,8m)XXXf(X i0123 X3
X1 X 0
3 2
00 01 11 10X3 X2 X1 X 0 f
0 0 0 00 0 0 1
01
11
0 4 12 8
01 1 1 10 0 1 0
0 0 1 10 1 0 00 1 0 1
2
345
1
000
3 7 15 1111
X1
X 0
1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 1
1 0 1 0
789
10
111
1
2 6 14 1010 1 11
1 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
1112131415
01111
24
2
Tabla de Verdad Mapa de Karnaugh
-
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25/53
5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 3) Identificar los implicantes primosesenciales de la funcin.
X3 X2
X1 X 0
X3
00 01 11 10
Mentalmente, nos fijamos en celdas del
mapa con 1s
de f tal que: Para cada una
0 4 12 800 1 1 1
a) Imaginamos los implicantes primos de f
que cubren a la celda considerada.
1 5 13 9
01
11
X 0
*
b) Descubrimos una de estas celdas
donde slo un nico implicante primo
de f cubre a esa celda. Entonces este
2 6 14 10
10
X1
1 11*
implicante primo es ESENCIAL y hay
que seleccionarlo.
X2
u
descubrirtodos los implicantes primos
esenciales de f.
25
-
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 3a) Comprobamos que hemos identificado correctamentelos implicantes primos esenciales de f.
X a 0,2,8,103 2X1 X 0
00 01 11 10
b 0 1 8 90 4 12 8
01 1* 1 1 f 7 15
3 7 15 1111
X
X 0
1* 1
2 6 14 1010 1 11*
2
26
-
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 3b) Por claridad, ponemos indiferencias en las casillascon unos que han sido cubiertos por los implicantes
X3
.
X3 X2
X1 X 000 01 11 10
a , , ,
0 4 12 8
00
01
- -
- -, , ,
1
3
5
7
13
15
9
11
11
X 0
- -,
2 6 14 1010
1
1 --Vemos que todava hay unos sin cubrir.
Tenemos que elegir el menor nmero de
X2Implicantes primos que los cubra.
27
-
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 4) Seleccionar ahora el resto de implicantesprimos de F para cubrir totalmente a la funcin.
X3 X2
X1 X 0
X3
00 01 11 10 a 0 2 8 100 4 12 8
00
01
- -
- -(b) (0,1,8,9)
1
3
5
7
13
15
9
1111
X
X 0- - ,
2 6 14 1010 1 -- , , ,
2 EN ESTE CASO YA ! TENEMOS LASOLUCINNo existe una solucin que cubra todosF=(a)+(b)+(f)+(d)os unos con un n mero n er or e
implicantes primos!28
-
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5.1 Mtodo intuitivo. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 5) Obtener la expresin algebraica de losimplicantes primos seleccionados en al cobertura de F y
F a b f d X X X X X X X X X
realizar el esquemtico del circuito con puertas lgicas
X3(d) 2
0
X
Xa
0 4 12 8
3 2
X1 X 0 00 01 11 1000 1 1 1 2
X
Xb
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
X 01 1 1
1 1
(b)2X
f
2 6 14 1010
1
X2
1 11 (a)1
0X
29
3
2X
d
-
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30/53
MINIMIZACIN DE FUNCIONES DE COMUTACIN.
5.2 Mtodo riguroso.
1) Especificacin de la funcin
2 Ma a de Karnau h de la funcin.
.
3) Identificacin de TODOS los implicantes primos.
4) Construir la Tabla de implicantes primos.
5) Seleccin de implicantes primos esenciales.6) Si es necesario, construir la tabla de implicantes primos
los implicantes primos esenciales secundarios.
7) Obtener un nmero mnimo de implicantes primos opcionales.
8) Obtener las expresiones de los implicantes primosseleccionados, expresar F algebraicamente con dichos
30
lgicas.
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
31/53
5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
Pasos 1 y 2) Especificar Tabla de verdad y Mapa deKarnaugh de la funcin.
Ejemplo: Obtener una realizacin mnima AND/OR de la funcin :
3 2 1 0 iF(X X X X ) m (0,1,2,7,8,9,10,12,13,14,15)
X3 X2X3
X3 X2 X1 X 0 f
Tabla de Verdad
1 0
0 4 12 800 1 1 1
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1
0123
1110
1 5 13 901
X0
1 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1
1 0 0 0
4567
8
0001
1
3 7 15 11
10
X1
1 1
1 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
9101112
1101
31
X2
1 1 1 0
1 1 1 1
14
15
1
1
-
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5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
Paso 3) Identificacin de TODOSlos implicantesrimos.
X3 X2 X3
(a) (0,2,8,10)
X1 X 000 01 11 10
00 1 1 1(b) (0,1,8,9)
1 5 13 901
X 01 1 1 (c) (8,10,12,14)
3 7 15 1111
X1
1 1 (d) (12,13,14,15)
2 6 14 10
X
(e) (8,9,12,13)
32(f) (7,15)
-
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5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
Pasos 4 y 5) Tabla de implicantes primos y seleccinde implicantes primos esenciales.
Implicantesprimos
0 1 2 7 8 9 10 12 13 14 15
a* x x* x x
* *
c x x x xd x x x x
e x x x x
f* x* x
x x x x x x x x
33
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
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5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
12 13 14aso a a e mp can es pr mos
reducida, aplicar regla de dominancia yseleccionar los implicantes primos
x x xd d domina acye. Por tanto se eliminan.
**
(d)
esenciales secundarios.
x x
d d d
e Despus de este paso, dse comporta comoimplicante primo esencial y se denomina
X3 X2X3
0 4 12 8
1 0
00
01 X 0
1 1 1
3 7 15 1111
10X1
1 1(b)
34
X2
a
(f)
-
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5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
aso ener un n mero m n mo e mp can esprimos opcionales para una total cobertura de lafuncin.
X3 X2
X3(d)
En este ejemplo, hemos obtenido los
implicantes primos esenciales de la funcin:
(a), (b) y (f). Respecto a los implicantes
0 4 12 8
X1 X 0
00 1 1 1primos opcionales, ha resultado que el
implicante (d), en realidad es un implicante
primo esencial secundario, tras aplicar la
1
3
5
7
13
15
9
1111
X1
1 1 (b)regla de dominancia
Observamos, que el conjunto de implicantes2 6 14 10
X2
(a)
(f)
primos { (a), (b), (f) y (d)} forma una
cobertura mnima de F, no siendo necesario
seleccionar ms implicantes .
F a b f d
35
5 2 Mt d Ri Ej l 2 d i i i i
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
36/53
5.2 Mtodo Riguroso. Ejemplo 2 de minimizacin.
primos seleccionados, expresar F algebraicamentecon dichos implicantes y realizar el esquema del
2 0 2 1 2 1 0 3 2 F a b f d X X X X X X X X X
r u u r .
X3(d)
2
0
X
Xa
0 4 12 8
3 2
X1 X 0 00 01 11 1000 1 1 1 F
2
1
XX
b
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
X 01 1 1
1 1
(b) 2
1
X
X f
DELCIRCUITO
2 6 14 1010
1
X2
1 11 (a) 0
3
X
X
36
2X
-
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37/53
Minimizar las funciones obtener el es uema de circuito
para las estructuras: AND/OR; NAN/NAND; OR/AND YNOR/NOR de las siguientes funciones:
a) f(A,B,C)= m(0,1,2,4,5) + d(3,7)
b) f(X,Y,Z)= M(1,2,4,) + d(7)
c) f(X,Y,Z,V) = m(0,2,3,4,6,7,8,12,14,15) + d(10,11,13)
, , , , , , , , ,
37
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
38/53
7. APNDICE
Minimizacin Multifuncional.
38
-
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39/53
En general los circuitos combinacionales suelen consistir en un
.
conjunto de entradas y un conjunto de salidas. Esto significa quehan de realizar un conjunto de funciones de conmutacin que
dependen del mismo conjunto de entradas.Si el conjunto de funciones se minimiza por separado (una auna) el resultado que se obtiene no asegura un coste mnimo
lobal. En este A ndice se ex lican las bases de los mtodos
multifuncional, utilizando los conocimientos adquiridos en losapartados anteriores de este seminario.
Circuito
x1
x2
y1
y2om nac onade salida mltiplexn ym
... ...
39
yi = i x1, x2, ..., xn
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
40/53
.
.Realizar un circuito que tiene dos salidas Z2
y Z1, cuyo comportamiento debe ser elLos circuitos de n ca opo ata asguente.
A B C D Z2 Z1
salida mltipleson circuitos que
0 0 0 1
0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 0
1
23456
0 0
0 00 11 01 11 0
cmorealizar elcircuito de
z u
conjunto defunciones ue
A
B Z2
0 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 1
1 1 0 0
7891011
12
0 11 10 00 00 1
1 0
menorcoste?
dependen del
mismo conjunto
D
1 1 0 11 1 1 01 1 1 1
131415
1 11 00 1
de variables deentrada.
40
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
41/53
Una alternativa para realizar el circuito de salida mltiple es minimizar y realizar cada funcin de salida
por separado. Pero ESTO NO CONDUCE A UN CIRCUITO de MNIMO COSTE.
.
0 4 12 8
AB
CD
A
00 01 11 10
00 11 1
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
10
C
D
11
Z2
0 0 0 00 0 0 10 0 1 0
012
000
000
ABA
B
Z1
0 1 0 0
0 1 0 10 1 1 00 1 1 1
4
567
1
110
0
101
0
1
4
5
12
13
8
9
CD 00 01 11 10
00
01
1
11
1 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
9101112
0001
0010
3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C1 11 1 1 1 1 0
1 1 1 11415
10
01
41
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
42/53
.
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 11 1
Obtener el coste delcircuito segn la
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11Z2
monofuncional (porseparado) de cada
ABA
00 01 11 10
B
Z1salida
0
1
4
5
12
13
8
9
00
01
D
1
11costemnimo?NO
3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C
B
1 11 1 Se podra encontra unasolucindemenor coste?
42
-
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43/53
.
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 11 1
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11Z2
Z2
ABA
00 01 11 10
B
Z1
0
1
4
5
12
13
8
9
00
01
D
1
11
Z1
3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C
B
1 11 1COSTE= 6 AND Y 2 O
Este coste se puede
43
reducir
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
44/53
Existe una alternativa MS ADECUADA CON UN COSTE DEL CIRCUITO MENOR.
.
AB
CD
A
00 01 11 10
.
Z2
0
1
3
4
5
7
12
13
15
8
9
11
01
11
D
11Z2
2 6 14 1010
B
11
Z1
Z
0 4 12 8
AB
CD
A
00 01 11 10
00 1 Z1
1
3
5
7
13
15
9
11
01
11
10
C
D
1 11 1
44
B Z1
-
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.
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 11 1
Z2
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11
Z2
Z2
ABA
00 01 11 10
B
Z1
0
1
4
5
12
13
8
9
00
01
D
1
11
Z1
3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C
B
1 11 1
Z1
45
-
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.
0 4 12 8
AB
CD 00 01 11 10
00 11 1
1
3
2
5
7
6
13
15
14
9
11
10
11
10
C
D
11Z2
Z2
ABA
00 01 11 10
B
Z1
0
1
4
5
12
13
8
9
00
01
D
1
11
Z1
3
2
7
6
15
14
11
10
11
10
C
B
1 11 1 COSTE= 4 AND Y 2 OR !
46
s e cos e es e mn mo.
-
7/28/2019 03.-Seminario 3 Toc Minimizacion Funciones Conmutacion
47/53
Puntos a tener en cuenta en la minimizacin Multifuncional.
.
1. En el paso de IDENTIFICACIN DE TODOS LOS IMPLICANTES (IMPLICADOS) PRIMOSse tomarn tambin los implicantes (implicados) primos correspondientes a los mapas .
Ejemplo: Si el sistema consta de las funciones F , F y F, entonces hay querealizar los mapas productoFFF , FF , FF , FF , ademse os mapas , y . e to os estos mapas se ent can os
implicantes (implicados) primos sin repetirlos, comenzando por los mapasproducto de mayor nmero de funciones.
2. En la TABLA DE IMPLICANTES (IMPLICADOS) PRIMOS:
a) Junto a cada implicante (implicado), se anota las funciones a las que pertenece.
Por ejemplo, si es del mapa producto FF se anotar .b) Se reservan columnas independientes para cada funcin, especificando en la
primera fila los minterminos (maxterminos) a cubrir .
c) Se marcan los minterminos (maxterminos) de cada implicante (implicado),nicamente en las columnas que correspondan a funciones a las que pertenece
47
c o mp cante mp ca o seg n punto a .
AB
-
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48/53
ABCD
10110100Minimizacin Multifuncional.
)13,12,11,10,4,2(),,,( imDCBAF 1111101 h
)12,11,10,3,2,1(),,,(
)13,11,10,5,4(),,,(
i
i
mDCBAF
mDB
10
FFFji
01
00
10110100
01
00
10110100
01
00
10110100
14
113
112k
11010
11111
FF11010
11111
FF11010
11111
FF12
00
10110100
00
10110100
00
10110100
11214 1 1
d
110
11111
01
110
11111
01
110
11111
01113
1
15 113 11
13
1
bc e
48FF Fa
-
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49/53
.
49
-
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50/53
.
50
Mi i i i M ltif i l
-
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Minimizacin Multifuncional.
j
00
10110100AB
CD00
10110100
11200
10110100
14
11010
11111
01
11010
11111
1211010
11111
13
FF g
00
10110100
00
10110100
00
10110100
11214 14 112f
11010
11111
11010
11111
11010
11111
13
12
5 13 1
13
12
c
51
FF F
-
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52/53
.
IMPLICANTES PRIMOS SELECCIONADOS PARA EL SISTEMA.
ii j
AB AB AB
01
00
01
00
01
00112
113
14 14
15 113 11
112
c ef
CD CD CD
11010
11
F11010
11
F11010
11
F12
3
12h h h
Dibuje el circuito querealiza a las funciones
52
iij
AB AB AB
-
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53/53
1011010010110100 10110100AB
CDAB
11111
0
1
0
0
11111
0
1
0
0
11111
0
1
0
0
112
113
14 14
15 113 11
13
112
c e f
1101
0
F
1101
0
F
1101
0
F
12 12
h h hg
gF
DCB g
h
c
CBA
CBA
h
c
i FDCBA i Solucin al ejercicioanterior
f FDBA
f
jDCBA j53
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