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NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas Volumen 35, septiembre de 1998, páginas 67-70
El rincón de la calculadora gráfica A cargo de Francisco Puerta García
Más aplicaciones de las transformaciones
En un Rincón anterior1 destaqué la facilidad con que se pueden ligar los enfoques gráfico, numérico y algebraico usando la calculadora gráfica en la enseñanza de la función logarítmica. Hoy quiero aportar otro ejemplo, -muy cercano a lo que se trabaja en nuestra secundaria- de cómo se pueden usar las calculadoras gráficas para saber algo más sobre el comportamiento de las funciones más conocidas de los alumnos: las parábolas.
Me preguntaba un día si, con la calculadora gráfica, sería fácil explicar el
efecto de b en la gráfica de la parábola y= ax 2 +bx+c. Empecé dibujando
y = x2 + bx, con b variando en {0,1,2,3,4 }:
WINDOW Xl"ti n= -4. 7 XMax=2.7 Xscl=1 YMin=-4.1 YMax=2.1 Yscl=1 Xres=1
A primera vista nuestros alumnos pueden llegar a pensar que el valor de b
tiene un efecto importante en la forma de la parábola, pero con la ayuda de la calculadora gráfica podemos hacerles ver rápidamente que estas cinco parábolas son, en realidad, congruentes. Representando sólo la primera y última parábolas de la serie:
1 «Tratamiento Gráfico de la función logarítmica», NÚMEROS, Nº 31, 4 7-56, septiem
bre de 1997.
Esta sección ofrece a los lectores un foro en el que exponer ideas, consultar dudas y debatir planteamientos didácticos relacionados con el uso de la nueva generación de calculadoras gráficas avanzadas en la enseñanza de las matemáticas. Esperamos que participes enviando tus consultas o aportaciones a la dirección indicada al final.
68 Francisco Puerta García
tl~t1 tl~t2 tl~t~ -...Y1=2X2+{0:o1:o2:- 3 :o4}X+1 'Y2EIX2+4X -... Y~ EIX 2 ,y ... = -...Ys:= -...Yii=
y utilizando las herramientas de dibujo disponibles en y [ DRAW] trazamos unos segmentos horizontales AB y A'B' que, como se ve en la siguiente figura, delimitan segmentos de parábola exactamente iguales.
Por lo tanto, cualquiera de ellas puede considerarse la trasladada de cualquier otra (en particular de y = x 2
), y podemos pedirles que utilicen las máquinas para descubrir la relación que hay entre el valor de b y la magnitud y dirección de la traslación2
• En una clase con calculadoras gráficas, el primer intento será siempre por tanteo, aprovechando la notación funcionaP que nos brinda la TI-83 en su editor de funciones.
2 Si no conocen los vectores, simplemente les pediremos que encuentren las coordenadas del vértice de la nueva parábola.
3 Que yo escribiré como la calculadora: y n = y n (x).
El rincón de la calculadora gráfica 69
Obsérvese la pantalla anterior: y 2 (x) = x 2 + 4x es la parábola de trazo grue
so, e y 4 (x) = y 3 (x- k) + h representa la parábola obtenida al trasladar y 3 (x) = x 2
según el vector (k,h). (En la figura, k = h =-l.)
Fijándoseenque el vértice de y 2 = x 2 +4x estásituadoenelpunto (-2,-4),
asignamos a k y h los valores -4 y -2, respectivamente, y al pulsar los
alumnos ven que y 2 e y 4 se superponen, confirmando que, efectivamente,
y 2 = x 2 + 4x tiene la misma forma que y 3 = x 2 porque se obtiene de ella por
traslación. (Siguiente figura.)
Pero, además, observar que b=4, k==-2 y h=-4, invita a la siguiente conjetura: ¿será h igual a -b y k igual a -b/2? La calculadora permite descartarla en cuestión de segundos (v. siguiente figura), y continuar buscando la relación.
Cuando el trabajo experimental haya dado algunos frutos en forma de conjeturas como la anterior, la clase estará en condiciones de pasar al planteamiento algebraico que cierra y da generalidad a la situación investigada. Sustituyendo
2 Y3 =x en tendremos
y 4 = (x -k)2 +h = x 2 -2kx+k2 +h. Identificando coeficientes con y= x 2 +bx
70 Francisco Puerta García
{k
2 +h =o b
se tiene _ 2k = b , y despejando sale k = -2 -como la conjetura-, pero
b2 h= - -
4
Obtenemos, pues, que la gráfica de la función y= x 2 + bx coincide con la de
[ b b
2
) y = x 2 trasladada según el vector - 2, - 4 .
Llegados a este tipo de conclusiones no es dificil que embarquemos a algunos alumnos en la deducción algebraica del caso general y que luego comprueben
gráficamente que la parábola y = ax 2 + bx +e se superpone a la parábola
[b-B b
2-B
2)
y= ax 2 + Bx +e si la trasladamos según el vector ~, 4ª , pero inclu-
so aquellos alumnos que no hayan podido seguir sino los primeros tanteos tendrán un grado de familiaridad con las propiedades de las funciones en general, y las parábolas en particular, mucho mayor que el de sus compañeros enseñados según el sistema tradicional.
Francisco Puerta García Instituto "Isabel de España" Tomás Morales, 39 35003 Las Palmas de G. C. fpgg@correo.rcanaria.es
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