02 aplicaciones de la programación lineal
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CICLO 2015-I Módulo:2Unidad: 2 Semana: 2
INVESTIGACION OPERATIVA
1
Lic. Máximo Tejero Alegre
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UNIDAD 2
Aplicaciones de ProgramaciónLineal
2
“La construcción demodelos es un arteque se mejora con
la práctica”
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ORIENTACIONES
• Cuando Usted estudie; contraste y relacione la
información recién adquirida con su conocimiento y
experiencia anterior. Para ello es útil que revise los
resúmenes, esquemas, cuadros comparativos omapas conceptuales elaborados previamente en su
texto.
• Recuerde que la Investigación Operativa se aprende
practicando, utilice un block para repetir los ejercicios.• Para esta clase virtual utilize su Guía didáctica a partir
de la pag. 54
3
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Modelo general de la P. L.1
Formulación y Planteamiento2
Formas de presentación de Mod.3
Aplicación de la P.L.4
CONTENIDOS TEMÁTICOS
Aplicaciones5
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Introducción a la Programación LinealLos fundamentos matemáticos, se deben al norteamericano de origen
húngaro Janos Von Neuman (1903-1957). Teoría de Juegos.
En 1858, se aplicaron los métodos de la P.L. a un plan óptimo detransporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad
de Moscú. Habiendo 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo
calculado por un procesador , rebajó un 11% los gastos respecto a los
costos previstos.
Modelo general de la Programación LinealEs un método para determinar un programa óptimo de uso eficiente o
distribución de recursos limitados, para alcanzar objetivos deseados.
Se refiere al proceso de la determinación de un programa particular, que
consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujetas a
ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.
Implica exactamente lo que expresa, que los problemas pueden ajustarsea modelos lineales.
Los métodos utilizados serán el método gráfico(cuando hay dos variables
de decisión) y el método simplex (cuando hay mas de 2 variables)
Permite soluciones continuas, los valores no serán necesariamente
números enteros, puede admitir fracciones.
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Característica de la Programación Lineal jc Costo, precio, utilidad del
j-ésimo producto
j x Producto, proceso,
servicio del j-ésimo
La función objetivo:
(máx Z o min Z)
1.
Las restricciones
de las variables
2.
ija Coeficiente técnico del recurso i del j-ésimo producto
ib Disponibilidad, recurso del i-ésimo componente
La condición de
irreversibilidad del
problema
3.
n x j j ,...1,0
El producto, proceso o servicio es igual o mayor que cero
m1,2,3..., i ban
1 j
iij
j x
j x Z
n
1 j jc
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…Característica de la Programación Lineal 4. Proporcionalidad. Las cantidades de flujo de los distintos artículos que
entran y salen de la actividad son siempre proporcionales al nivel de esta.
Si se desea duplicar dicho nivel, se duplican los flujos correspondientes.
5. Actividad. Es especificar que el sistema de actividades sea completo,
puede hacerse una contabilidad completa de cada articulo por actividad.
Cantidades que entran = cantidades que salen.
Ejemplo 1.
m1,2,3..., i ba
n
1 jiij
j x
j x Z
n
1 j
jcmaxFunción objetivo
Restricciones
n x j j ,...1,0 Condiciones de no negatividad
Ejemplo 2.
m1,2,3..., i ba
n
1 jiij
j x
j x Z
n
1 j
jcminFunción objetivo
Restricciones
n x j j ,...1,0 Condiciones de no negatividad
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Formulación y Planteamiento de Modelos de P.L.1. Comprensión del problema: Se recomienda confeccionar una matriz.
Recursos
C1
C2
C…
C j
Utilidad/precio/costo
C1 X1
C2 X1
C …X1
C j X1
C1 X2
C2 X2
C…X
C j X2
…
…
…
…
C1 X j
C2 X j
C…X j
C j X j
Productosx1 x… x j x2 Disponibilidad
restricción
restricción
restricción
restricción
optimo
2. Definición de las variables de decisión: Representación simbólica.
jc Costo, precio, utilidad del j-ésimo producto
j x Producto, proceso, servicio del j-ésimo
3. Formulación de la función objetivo: Objeto o meta por alcanzar.
j x Z
n
1 j
jcmaxFunción objetivo
j x Z
n
1 j
jcminFunción objetivo
n x j j
,...1,0
Condiciones de no negatividad5. Formulación de condición de no negatividad:Irreversibilidad del problema
4. Planteamiento de restricciones:
ibDisponibilidad,
recurso del i-ésimo
componente
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Ejemplo 1: Una empresa con sede en Lima fabrica diversos
modelos de radio transistores, todos los componentes de estos
radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que sonimportados en Inglaterra. La empresa sabe que debido a unahuelga portuaria (Inglaterra) no se recibir án enví os de
transistores hasta por lo menos un mes después de la fecha
planeada.
Se tiene en existencia 1000 transistores de tipo T1 y 1200 del
tipo T2, cada modelo de radio R-A requieren un transistor de
tipo T1 y cuatro transistores de tipo T2. Los modelos R-B
requieren dos transistores de tipoT1 y uno de T2.
Sabiendo que los beneficios o utilidades unitarias de cada radioson S/.50 y S/.30 para R-A y R-B respectivamente, hállese la
cantidad de unidades a fabricar de cada modelo para que lasutilidades totales sean máximas. Formule el programa de
programación lineal.
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Ejemplo 1. Pasos para la FormulaciónModelos de radio transistores
Recursos
Transistores T1
TransistoresT2
Beneficios unitarios
1
4
2 1000
Disponibilidad
1200
1. Matriz de información
Productos
R-A R-B
1
2. Definición de la variable de decisión
X1 = Número de unidades de R-A a fabricarX2 = Número de unidades de R-B a fabricar
S/.50 S/.30
3. Formulación del objetivo
Max z = 50X1 + 30X2
4. Planeamiento de las restricciones
X1 + 2X2 1000
4X1 + 1X2 1200
5. Formulación de las condiciones de no negatividad
X1 0 X2 0
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Ejemplo 2: Supóngase que el alimento A y B son los dos tipos
bajo consideración.
El alimento A cuesta 20 centavos/onza y el alimento B cuesta 12
centavos/onza.
Se quiere minimizar el costo total de los alimentos al mismo
tiempo que satisfacen las tres restricciones vitamí nicas.
Desean por lo menos 40 unidades de vitamina P, 50 unidadesde la vitamina W y 70 unidades de la vitamina Q.
Cada onza del alimento A proporciona 3 unidades de la vitamina
P, 4 unidades de la vitamina W y 9 unidades de la vitamina Q.
El alimento B proporciona 6 unidades de P, 3 unidades de W y 6
unidades de Q por onza, respectivamente.
¿Cuántas onzas de cada alimento deben comprar? Formule el
programa de programación lineal.
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Ejemplo 2. Pasos para la Formulación Alimentos.
3 6Recursos
p 40
Disponibilidad
Q 70
1. Matriz de información
Productos
A B
2. Definición de la variable de decisiónX1 = Total de onzas que se compra del alimento A
X2 = Total de onzas que se compra del alimento B
6
3. Formulación del objetivo
Min z = 20X1 + 12X2
4. Planeamiento de las restricciones
4X1 + 1X2 70
5. Formulación de las condiciones de no negatividad
X1 0 X2 0
4 w 503
Costo 20 centv 12 centv
9
3X1 + 6X2 40
4X1 + 3X2 50
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Ejemplo 3: Lecher í a moderna tiene una capacidad de
recepción de 50,000 litros de leche diarios.
La administración exige que al menos 30,000 litros seanembotellados diariamente y el resto sea empleado para producir
leche especial o mantequilla.
La contribución de cada litro de leche a la utilidad según el uso
que se le dé, es la siguiente: embotellada 100 S/, especial 150
S/. y 160 S/. la unidad de mantequilla.
El equipo de fabricación de mantequilla puede manejar hasta
6,000 litros diarios de leche, y el equipo de envase puede
manejar hasta 40,000 litros diarios y la leche especial hasta20,000 litros por dí a.
La empresa desea conocer qué cantidad de leche en litros esconvertida en mantequilla o en leche especial y cuánto se debe
embotellar (leche corriente) para maximizar la ganancia.
Determine el planteamiento de problema.
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Ejemplo 3. Pasos para la FormulaciónLechería moderna
Recursos
Exig leche x embo Cap fab mantequilla
1 50000 litros
1. Matriz de información
2. Definición de la variable de decisiónX1 = Cantidad de leche para embotellar
X2 = Cantidad de leche destinada a ser especial
3. Formulación del objetivo
Max z = 100X1 + 150X2 + 160X3
4. Planeamiento de las restricciones
X1 + X2 + X3 50000
1
DisponibilidadProductos
Embotell
adaEspecial
1 1
Mantequ
illa
1Cap equipo leche esp 1Cap equipo envase 1
Utilidad S/.100 S/.150 S/.160
Cap recepción dia 30000 litros
6000 litros
20000 litros
40000 litros
X3 = Cantidad de leche para fabricar mantequilla
5. Formulación de las condiciones de no negatividad
X1 0 X2 0 X3 0
X1 + X2 + X3 30000
X1 + X2 + X3 6000X1 + X2 + X3 20000X1 + X2 + X3 40000
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Ejemplo 4: Una compañí a tiene tres tipos de máquinas procesadoras, cada
una de diferente velocidad y exactitud. La máquina tipo 1 puede producir 20
piezas/hora con una precisión de 99%, el tipo 2, 15 piezas/hora, con unaprecisión de 95%; el tipo 3, 10 piezas/hora con una precisión de 100%.
El funcionamiento del tipo 1 cuesta S/. 2/hora, la del tipo 2 S/. 1.75/hora y la
del tipo 3 S/. 1.5/hora.
Cada dí a (8 hrs) deben procesarse por lo menos 3500 piezas y hay
disponibles 8 máquinas tipo 1, 10 máquinas de tipo 2 y 20 máquinas de tipo 3.Cada error cuesta S/. 1 a la compañí a.
¿Cuántas máquinas de cada tipo deben utilizarse para minimizar el costo?
Formule el planteamiento del problema en programación lineal.
Costo por hora incluyendo costos por errores
M1= 2 + 20 (0.01) (1) = S/ 2.20M2= 1.75 + 15 (0.05) (1) = S/ 2.50
M3= 1.5 + 10 (0) (1) = S/ 1.50
Cantidad de piezas buenas que produce cada máquina por hora
M1= 20 (0.99) (1) = 19.8 piezas buenas/hora
M2= 15 (0.95) (1) = 14.25 piezas buenas/hora
M3= 10 (1) = 10 piezas buenas/hora
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Ejemplo 4. Pasos para la FormulaciónMáquinas procesadoras
Recursos
Nº máquinas tipo 2
Nº máquinas tipo 319.8
8
1. Matriz de información
2. Definición de la variable de decisión
X1 = Cantidad máquinas Tipo 1 que deben utilizarse para minimizar costo
3. Formulación del objetivo
Min z = 2.20X1 + 2.50X2 + 1.50X3
4. Planeamiento de las restricciones
X1 + X2 + X3 8
1
DisponibilidadMáquinas
Tipo 1 Tipo 2
1
Tipo 3
1Nº mínimo piezas/hrs
Costo S/.2.20 S/.2.50 S/.1.50
Nº máquinas tipo 1 10
20
437.50
5. Formulación de las condiciones de no negatividad
X1 0 X2 0 X3 0
14.25 10
X2 = Cantidad máquinas Tipo 2 que deben utilizarse para minimizar costoX3 = Cantidad máquinas Tipo 3 que deben utilizarse para minimizar costo
X1 + X2 + X3 10
X1 + X2 + X3 20
19.8X1 + 14.25X2 + 10X3 437.50
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Formas de Presentación de Modelos de P.L.Según la forma de la función objetivo y de las restricciones
Forma canónica de una P.L Max Z = 2x1 + 5x2 + x3
2x1 + 3x2 + x3 18x1 + 4x2 + 2x3 20
5x1 + x2 + 4x3 40
Objetivo
RestriccionesCondición
x1 0; x2 0; x3 0
Forma estandarizada de una P.L Max Z = 7x1 + 9x2 + x3
3x1 + x2 + 6x3 = 100
x1 + 4x2 + 2x3 = 20
5x1 + x2 + 4x3 = 40
Objetivo
RestriccionesCondición
x1 0; x2 0; x3 0
Forma mixta de una P.L Max Z = 2x1 + 5x2 + x3
2x1 + 3x2 + x3 18
x1 + 4x2 + 2x3 205x1 + x2 + 4x3 40
Objetivo
RestriccionesCondición
x1 0; x2 0; x3 0
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• Los modelos icónicos son la representación física, a escala
reducida o aumentada de un sistema real.
• Los modelos análogos esencialmente requieren la
sustitución de una propiedad por otra con el fin de
permitir la manipulación del modelo. Después de resolverel problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al
sistema original.
• Los modelos más importantes para la investigación de
operaciones, son los modelos simbólicos o matemáticos,que emplean un conjunto de símbolos y funciones para
representar las variables de decisión y sus relaciones para
describir el comportamiento del sistema.
MODELOS
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…Característica de la Programación Lineal 4. Proporcionalidad. Las cantidades de flujo de los distintos artículos que
entran y salen de la actividad son siempre proporcionales al nivel de esta.
Si se desea duplicar dicho nivel, se duplican los flujos correspondientes.5. Actividad. Es especificar que el sistema de actividades sea completo,
puede hacerse una contabilidad completa de cada articulo por actividad.
Cantidades que entran = cantidades que salen.
Ejemplo 1.
m1,2,3..., i ba
n
1 jiij
j x
j x Z
n
1 j
jcmax
Función objetivo
Restricciones
n x j j ,...1,0 Condiciones de no negatividad
Ejemplo 2.
m1,2,3..., i ba
n
1 jiij
j x
j x Z
n
1 j
jcmin
Función objetivo
Restricciones
n x j j ,...1,0 Condiciones de no negatividad
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Según los datos DeterminísticosEstocásticos
Según lasrestricciones
IrrestrictosRestringidos•Lineales•No lineales
Según la función
objetivo
LinealNo lineal
Según las
variables
ContinuasEnteras
Clasificación y Aplicación de la P.L.
Determinísticos Probabilísticos
Programación matemáticaProgramación lineal
Programación entera
Programación dinámica
Programación no lineal
Programación multiobjetivo
Modelos de transporteModelos de redes
Programación estocásticaGestión de inventarios
Fenómenos de espera
(colas)
Teoría de juegos
Simulación
Modelo deProgramación Lineal
Modelos Problemas
M. para mezcla de productos
M. para fabricación o compra
M. para dietas
M. para administración devalores
M. para planeación de
producción agregada.
P. del transporte
P. de flujo con coste mínimo en red
P. de asignación personal o maq.
P. de la mochila - dietasP. de evaluación cotizaciones
P. de análisis de actividades
P. de mezclas óptimas
P. de producción - presupuesto
P. de control de inventario
P. del viajante - horarios
P. de rutas óptimas.
“La construcción demodelos es un arteque se mejora con
la práctica”
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21
Ejemplos de técnicas (i) Ejemplos de técnicas (ii)
OptimizaciónProgramación lineal, entera, no lineal
Programación multiobjetivo
Procesos de decisión
(programación dinámica)
SimulaciónDeterminista
Estocástica
Teoría de colasColas simples
Redes de colas
Teoría de juegos
Juegos simples
(deterministas/estocásticos)Juegos repetitivos
Teoría de decisión
Técnicas de la Investigación de operaciones
Aplicación de los modelos matemáticos Planificación de la producción,
Optimización de carteras, Análisis de riesgo, Planific. de redes de comunicaciones,
Generación de ofertas en mercados competitivos, Diseño de productos financieros,
Diseño de nuevos productos (préstamos, operaciones de leasing, derivados),Modelado de diferentes alternativas con información incierta (tasas de interés, mercado
de valores, precios futuros), Planific. de la generación eléctrica (Aprovechamiento de
recursos disponibles a largo plazo: agua, contratos, intercambios de energía eléctrica),
Generación de ofertas en mercados competitivos (cantidades y precios para maximizar
beneficios).
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Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su
comprensión y el estudio de su comportamiento.
Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación.Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos.
–hace más claras la estructura y relaciones.
–facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores.
–a veces no es aplicable.
Modelo matemático
Es una ciencia, porque realiza:
–análisis de relaciones
–aplicación de algoritmos de solución
Y a la vez un arte que se mejora con la práctica, porque considera: –visión de la realidad
–estilo, elegancia, simplicidad
–uso creativo de las herramientas
–experiencia
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23
Decisiones estratégicas Decisiones operacionales
¿Debería reemplazarse unsistema existente con un nuevo
sistema propuesto?
¿Debería cambiarse su política de Administración?
¿Cómo programar la fuerza de trabajo?¿Cuál es el plan de producción óptimo?
¿Cuál es plan de embarque más
económico?
Usos de los Modelos
Ventajas Desventajas Un método óptimo para lograr
un objetivo.
Una forma de evaluarpreguntas de sensibilidad de la
forma:
“¿Qué sucedería sí ..?”
Los Modelos incluyen errores, es importante
conocer su magnitud, causas de inexactitudes:
•Selección de aspectos de la realidad.•Inviable considerar todo el sistema.
•Errores en modelos matemáticos.
•Modelos sencillos y aproximados.
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24
Modelos normativos - optimización
Ofrecen información sobre alternativas
Seleccionan entre ellas
Complejos y no triviales
Difíciles de tratar con incertidumbre
Requieren técnicas complejas de solución
Modelos descriptivos - simulación Analizan una alternativa cada vez
Modelos para situaciones específicas
Más simples de desarrollar
Adecuados con incertidumbre
Aplicación muy sencilla
Tipos de Modelos matemáticos
Clasificación de los modelomatemáticos
Optimización
de sistemas I
Estudia
fenómenos
determinísticos
Optimización de
sistemas
Optimización
de sistemas II
Estudia
fenómenos
probabilísticos
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I Identificación de las variables de decisión.
II Identificación de la función objetivo.
III Identificación de las restricciones.
• objetivos función objetivo.
• Alternativas variables de decisión.
• limitaciones del sistema restricciones
Partes del modelo matemático
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