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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 5: DIFERENCIACIÓN
NUMÉRICA.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de
Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y
Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para
Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además
de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el
crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó
medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
5.1.- GENERALIDADES.
Debido a las muchas aplicaciones en las que se usan las derivadas de funciones, es
de esperarse que las aproximaciones de estos conceptos sean de interés.
En la introducción del capítulo 3, mencionamos que una de las razones para usar la
clase de polinomios algebraicos para aproximar a un conjunto arbitrario de datos, es el
hecho de que, dada una función continua definida en un intervalo cerrado, existe un
polinomio que está arbitrariamente cerca de la función en cada punto del intervalo. Una
propiedad adicional que posee esta clase de polinomios es que sus derivadas son bastante
fáciles de obtener y de evaluar. No debe ser sorprendente, entonces, encontrar que la
mayoría de los procedimientos para aproximar derivadas se inicien aproximando a la
función con polinomios algebraicos.
5.2.- DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.
La expansión en una serie de Taylor de la función )(xf en torno a ix es
!2
)()()()()()(
2
ii
iii
xxxfxxxfxfxf (5.1)
Al evaluar la ecuación (5.1) en 1 ixx :
!2
)()()()()()(
2
1
11
iii
iiiii
xxxfxxxfxfxf (5.2)
Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene:
111 )()()()( Rxxxfxfxf iiiii (5.3)
En la ecuación (5.3) se despeja )( ixf , obteniendo:
totruncamiendeError
1
1
ordenprimer deón Aproximaci
1
1 )()()(
iiii
iii
xx
R
xx
xfxfxf
(5.4)
La primera parte de la ecuación (5.4) es la que se usa para aproximar la derivada.
Adicionalmente se ha obtenido una estimación del error de truncamiento asociado con la
aproximación de la derivada.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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A la ecuación (5.4) se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, diferencia
finita dividida y generalmente se representa como
)()()(
)( 1
1
1
ii
ii
ii
i xxOxx
xfxfxf
(5.5)
ó
)()( hOh
fxf i
i
(5.6)
donde a if se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama el
tamaño del paso o incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la
aproximación. Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en i e 1i para
estimar la derivada (Figura 5.1).
Figura 5.1. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia delante.
Para propósitos prácticos, la ecuación (5.4) se escribe como:
h
R
h
xfxfxf ii
i11)()(
)(
(5.4)
donde los valores de los subíndices van en forma progresiva ( i , 1i )
Esta diferencia dividida hacia adelante es sólo una de tantas que pueden
desarrollarse a partir de la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Por ejemplo, las aproximaciones de la primera derivada utilizando diferencias hacia atrás a
diferencias centradas se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (5.4).
Las primeras usan valores en ix y 1ix , mientras que las segundas utilizan valores
igualmente espaciados alrededor donde la derivada está estimada. Es posible desarrollar
aproximaciones más exactas de la primera derivada incluyendo términos de orden más alto
de la serie de Taylor. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para
derivadas de segundo orden, de tercer orden y de órdenes superiores. En las siguientes
secciones se dan resúmenes breves que ilustran cómo se obtienen algunos de estos casos.
Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás.
La serie de Taylor se expande hacia atrás para calcular un valor anterior sobre la base del
valor actual,
!2
)()()()()()(
2
ii
iii
xxxfxxxfxfxf (5.1)
Al evaluar la ecuación (5.1) en 1 ixx :
!2
)()()()()()(
2
1
11
iii
iiiii
xxxfxxxfxfxf (5.7)
2
1!2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii (5.8)
Truncando la ecuación (5.8) después de la primera derivada y reordenando los términos se
obtiene
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
(5.9)
)()( hOh
fxf i
i
(5.10)
donde el error es )(hO , y a if se le conoce como primera diferencia dividida hacia
atrás. Véase la figura 5.2 para una representación gráfica.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Figura 5.2. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia atrás.
Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas.
Una tercera forma de aproximar la primera derivada consiste en restar la ecuación (5.8)
2
1!2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii
de la expansión de la serie de Taylor hacia adelante:
2
1!2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii (5.11)
para obtener
3
11!3
)(2)(2)()( h
xfhxfxfxf i
iii
de donde se despeja
211
!3
)(
2
)()()( h
xf
h
xfxfxf iii
i
ó
)(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf ii
i
(5.12)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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La ecuación (5.12) es una representación de las diferencias centradas de la primera
derivada. Observe que el error de truncamiento es del orden h2 en contraste con las
aproximaciones hacia adelante y hacia atrás, que fueron del orden de h. Por lo tanto, el
análisis de la serie de Taylor ofrece información práctica de que la diferencia centrada es
una representación más exacta de la derivada (Figura 5.3). Por ejemplo, si disminuimos el
tamaño del incremento a la mitad, usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error
de truncamiento se reducirá aproximadamente a la mitad; mientras que con diferencias
centradas el error se reducirá a la cuarta parte.
Figura 5.3. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada centradas.
Aproximación por diferencias finitas para derivadas de orden superior.
Además de las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor sirve para obtener
estimaciones numéricas de las derivadas de orden superior. Para esto, se escribe la
expansión en serie de Taylor hacia adelante para )( 2ixf en términos de )( ixf :
2
2 )2(!2
)()2()()()( h
xfhxfxfxf i
iii (5.13)
La ecuación (5.11)
2
1!2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii (5.14)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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se multiplica por 2 y se resta de la ecuación (5.13), para obtener:
2
12 )()()(2)( hxfxfxfxf iiii
De donde se despeja
)()()(2)(
)(2
21 hOh
xfxfxfxf iii
i
(5.15)
Esta relación se llama la segunda diferencia finita dividida hacia adelante. Manipulaciones
similares se emplean para obtener la versión hacia atrás
)()()(2)(
)(2
12 hOh
xfxfxfxf iii
i
(5.16)
y la versión centrada
)()()(2)(
)( 2
2
11 hOh
xfxfxfxf iii
i
(5.17)
Como fue en el caso con las aproximaciones de la primera derivada, el caso centrado es
más exacto. Observe también que la versión centrada puede ser expresada en forma
alternativa como
h
h
xfxf
h
xfxf
xf
iiii
i
)()()()(
)(
11
(5.18)
Así, como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la aproximación de la
segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos primeras diferencias divididas.
Se pueden generar fórmulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando términos
adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Por ejemplo, la expansión de la serie de
Taylor hacia adelante se escribe como (ecuación 5.2)
2
1!2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii
de la que se despeja
)(2
)()()()( 21 hOh
xf
h
xfxfxf iii
i
(5.19)
Anteriormente truncamos este resultado al excluir los términos de la segunda derivada en
adelante y nos quedamos con un resultado final (ecuación 5.9)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
Ahora retendremos, en cambio, el término de la segunda derivada sustituyendo la siguiente
aproximación de la segunda derivada (ecuación 5.15)
)()()(2)(
)(2
21 hOh
xfxfxfxf iii
i
En la ecuación (5.19) para dar
)(2
)()(2)()()()( 2211 hO
h
xfxfxf
h
xfxfxf iiiii
i
)(2
)()(4)(3)( 221 hO
h
xfxfxfxf iii
i
(5.20)
Observe que al incluir el término de la segunda derivada mejora la exactitud a
)( 2hO . Es posible desarrollar versiones similares mejoradas para las fórmulas hacia
adelante y centradas, así como las aproximaciones de derivadas de orden superior.
El método presentado en la ecuación (5.20) se conoce como fórmula de tres
puntos. Similarmente, hay métodos conocidos como fórmulas de cinco puntos, que
requieren de la evaluación de la función en más puntos, pero cuyo término de error es de la
forma )( 4hO .
La aproximación en la ecuación (5.20) es útil cerca de los extremos del intervalo I
ya que no se dispone necesariamente de información acerca de f fuera del intervalo. Nótese
también que en la ecuación (5.12), f tiene que evaluarse sólo en dos puntos, mientras que
para la ecuación (5.20) son necesarios tres puntos.
Ejemplo 5.1.
[BF] Use ya sea (5.4), (5.12) ó (5.9) para determinar las aproximaciones que completen la
tabla siguiente:
x )(xf )(xf
–0.3 –0.20431
–0.1 –0.08993
0.1 0.11007
0.3 0.39569
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Solución.
Puesto que se dispone sólo de 4 puntos, es viable aplicar las fórmulas que utilizan dos
puntos, tales como las ecuaciones (5.4) y (5.9) para los valores extremos del intervalo y la
ecuación (5.12) para valores intermedios.
En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la
siguiente manera:
i 0 1 2 3
ix –0.3 –0.1 0.1 0.3
)( ixf –0.20431 –0.08993 0.11007 0.39569
Se trata de datos igualmente espaciados, pues la diferencia entre –0.1 y –0.3 es la misma
que existe entre 0.1 y –0.1 y entre 0.3 y 0.1.
El tamaño del paso es 2.01.03.0 h
Para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica
la ecuación (5.4).
h
xfxfxf ii
i
)()()( 1
h
xfxfxf
)()()( 10
0
2.0
)1.0()3.0()3.0(
fff
2.0
)08993.0()20431.0()3.0(
f
5719.0)3.0( f
Para evaluar )1.0(f y )1.0(f (La derivada evaluada en valores intermedios del
intervalo) se aplica la ecuación (5.12).
)(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf ii
i
h
xfxfxf
2
)()()( 20
1
h
xfxfxf
2
)()()( 31
2
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)2.0(2
)1.0()3.0()1.0(
fff
)5.0(2
)3.0()1.0()1.0(
fff
4.0
11007.0)20431.0()1.0(
f
4.0
39569.0)08993.0()1.0(
f
78595.0)1.0( f 21405.1)1.0( f
Finalmente, para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)
se aplica la ecuación (5.9).
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
h
xfxfxf
)()()( 32
3
2.0
)3.0()1.0()3.0(
fff
2.0
39569.011007.0)3.0(
f
4281.1)3.0( f
Las fórmulas se resumen en las tablas siguientes.
5.3.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA DELANTE.
Se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión emplea más
términos de la expansión de la serie de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.
Primera derivada.
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
(5.4)
Fórmula de tres puntos:
)(32
)()(4)(3)( 0
2
21 fh
h
xfxfxfxf iii
i
(5.20)
Fórmula de cinco puntos:
)(512
)(3)(16)(36)(48)(25)( )5(
4
4321 fh
h
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.21)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Segunda derivada.
)()()(2)(
)(2
21 hOh
xfxfxfxf iii
i
(5.15)
)()()(4)(5)(2
)( 2
2
321 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.22)
Tercera derivada.
)()()(3)(3)(
)(3
321 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.23)
)(2
)(3)(14)(24)(18)(5)( 2
3
4321 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.24)
Cuarta derivada.
)()()(4)(6)(4)(
)(4
4321 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.25)
)()(2)(11)(24)(26)(14)(3
)( 2
4
54321 hOh
xfxfxfxfxfxfxf iiiiii
i
(5.26)
5.4.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS CENTRADAS.
Se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión emplea más
términos de la expansión de la serie de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.
Primera derivada.
Fórmula de tres puntos:
)(62
)()()( 1
2
11 fh
h
xfxfxf ii
i
(5.12)
Fórmula de cinco puntos:
)(3012
)()(8)(8)()( )5(
4
2112 fh
h
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.27)
Segunda derivada.
)(12
)()(2)()( )4(
2
2
11 fh
h
xfxfxfxf iii
i
(5.28)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)(12
)()(16)(30)(16)()( 4
2
2112 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.29)
Tercera derivada.
)(2
)()(2)(2)()( 2
3
2112 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.30)
)(8
)()(8)(13)(13)(8)()( 4
3
321123 hOh
xfxfxfxfxfxfxf iiiiii
i
(5.31)
Cuarta derivada.
)()()(4)(6)(4)(
)( 2
4
2112 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.32)
)(6
)()(12)(39)(56)(39)(12)()( 4
4
321123 hOh
xfxfxfxfxfxfxfxf iiiiiii
i
(5.33)
5.5.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.
Se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión emplea más
términos de la expansión de la serie de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.
Primera derivada.
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
(5.9)
Fórmula de tres puntos:
)(32
)(3)(4)()( 0
2
12 fh
h
xfxfxfxf iii
i
(5.34)
Fórmula de cinco puntos:
)(512
)(25)(48)(36)(16)(3)( )5(
4
1234 fh
h
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.35)
Segunda derivada.
)()()(2)(
)(2
12 hOh
xfxfxfxf iii
i
(5.36)
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)()(2)(5)(4)(
)( 2
2
123 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.37)
Tercera derivada.
)()()(3)(3)(
)(3
123 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.38)
)(2
)(5)(18)(24)(14)(3)( 2
3
1234 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.39)
Cuarta derivada.
)()()(4)(6)(4)(
)(4
1234 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.40)
)()(3)(14)(26)(24)(11)(2
)( 4
4
12345 hOh
xfxfxfxfxfxfxf iiiiii
i
(5.41)
Ejemplo 5.2.
[BF] Use ya sea (5.20), (5.12) ó (5.34) para determinar las aproximaciones que completen
la tabla siguiente:
x )(xf )(xf
–0.3 –0.20431
–0.1 –0.08993
0.1 0.11007
0.3 0.39569
Solución.
Puesto que se dispone sólo de 4 puntos, es viable aplicar las fórmulas que utilizan dos
puntos, tales como las ecuaciones (5.4) y (5.9) para los valores extremos del intervalo y la
ecuación (5.12) para valores intermedios, tal como se hizo en el ejemplo 5.1 ó, tal como se
sugiere en el planteamiento del problema, utilizar las ecuaciones (5.20) y (5.34) para los
valores extremos del intervalo y la ecuación (5.12) para valores intermedios.
En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la
siguiente manera:
i 0 1 2 3
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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ix –0.3 –0.1 0.1 0.3
)( ixf –0.20431 –0.08993 0.11007 0.39569
Se trata de datos igualmente espaciados, pues la diferencia entre –0.1 y –0.3 es la misma
que existe entre 0.1 y –0.1 y entre 0.3 y 0.1.
El tamaño del paso es 2.01.03.0 h
Para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica
la ecuación (5.20).
h
xfxfxfxf iii
i2
)()(4)(3)( 21
h
xfxfxfxf
2
)()(4)(3)( 210
0
)2.0(2
)1.0()1.0(4)3.0(3)3.0(
ffff
4.0
11007.0)08993.0(4)20431.0(3)3.0(
f
35785.0)3.0( f
Para evaluar )1.0(f y )1.0(f (La derivada evaluada en valores intermedios del
intervalo) se aplica la ecuación (5.12).
h
xfxfxf ii
i2
)()()( 11
h
xfxfxf
2
)()()( 20
1
h
xfxfxf
2
)()()( 31
2
)2.0(2
)1.0()3.0()1.0(
fff
)5.0(2
)3.0()1.0()1.0(
fff
4.0
11007.0)20431.0()1.0(
f
4.0
39569.0)08993.0()1.0(
f
78595.0)1.0( f 21405.1)1.0( f
Finalmente, para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)
se aplica la ecuación (5.34).
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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h
xfxfxfxf iii
i2
)(3)(4)()( 12
h
xfxfxfxf
2
)(3)(4)()( 321
3
)2.0(2
)3.0(3)1.0(4)1.0()3.0(
ffff
4.0
)39569.0(3)11007.0(408993.0)3.0(
f
64215.1)3.0( f
Ejercicios adicionales.
1. [BF] Use ya sea (5.20), (5.12) ó (5.34) para determinar las aproximaciones que
completen la tabla siguiente:
x )(xf )(xf
1.1 0.48603
1.2 0.86160
1.3 1.59751
1.4 3.76155
Ejemplo 5.3.
[CC] Calcule la aproximación por diferencias centradas de primer orden de )( 4hO a la
función xxy cos2 , en 5.0x y para 2.0h .
Solución.
Las diferencias centradas de primer orden de )( 4hO está dada por la ecuación (5.27):
)(12
)()(8)(8)()( 42112 hO
h
xfxfxfxfxf iiii
i
Se requieren cinco puntos en torno a 41x con un tamaño del paso
121h . Puesto que
están involucradas funciones trigonométricas, debe cuidar que la calculadora se encuentre
el modo Radián. Los valores se resumen en la siguiente tabla:
i 0 1 2 3 4
ix 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
)( ixf 0.009950 0.0859803 0.2193956 0.3747727 0.5035041
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 17
Se requiere determinar )( 2xf .
De acuerdo con la ecuación (5.27), escribiremos:
h
xfxfxfxfxf
12
)()(8)(8)()( 4310
2
)2.0(12
)9.0()7.0(8)3.0(8)1.0()5.0(
fffff
4.2
5035041.0)3747727.0(8)0859803.0(8009950.0)5.0(
f
7569938.0)5.0( f
Ejercicios adicionales.
2. [CC] Calcule las aproximaciones por diferencias centradas de primer orden de )( 4hO a
cada una de las siguientes funciones, en la ubicación especificada y para el tamaño del paso
dado:
a) 1543 xxy , en 0x , 5.0h .
b) )3/tan(xy , en 3x , 1.0h .
c) xxy /))5.0(sen , en 1x , 1.0h .
d) xey x , en 1x , 25.0h .
3. [BF] Sea xexxf x sen )(23 . Para 1.0h y 01.0h , aproxime )19.2(f , usando las
ecuaciones (5.21), (5.27) y (5.35).
Ejemplo 5.4.
[WM] Calcule aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás de )(hO y
)( 2hO , y aproximaciones por diferencia centradas de )( 2hO y )( 4hO de la primera
derivada de xy cos en 41x , usando un valor de
121h . Estime el verdadero error
relativo porcentual t de cada aproximación.
Solución.
Las fórmulas para la primera derivada son:
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Hacia adelante: )()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
(5.4)
Centrada: )(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf ii
i
(5.12)
Hacia atrás: )()()(
)( 1 hOh
xfxfxf ii
i
(5.9)
Las fórmulas para la primera derivada son:
Hacia adelante: )(2
)()(4)(3)( 221 hO
h
xfxfxfxf iii
i
(5.20)
Centrada: )(12
)()(8)(8)()( 42112 hO
h
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.27)
Hacia atrás: )(2
)(3)(4)()( 212 hO
h
xfxfxfxf iii
i
(5.34)
Se requieren cinco puntos en torno a 41x con un tamaño del paso
121h . Puesto que
están involucradas funciones trigonométricas, debe cuidar que la calculadora se encuentre
el modo Radián. Los valores se resumen en la siguiente tabla:
i 0 1 2 3 4
ix 121
61
41
31
125
)( ixf 0.9659258 0.8660254 0.7071068 0.5000000 0.2588190
Se requiere determinar )( 2xf .
Las fórmulas citadas se escriben como:
Hacia adelante )(hO : h
xfxfxf
)()()( 32
2
121
31
41
41
)()()(
fff
2617994.0
5000000.07071068.0)(
41
f
7910897.0)(41 f
Centrada )( 2hO : h
xfxfxf
2
)()()( 31
2
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)(2
)()()(
121
31
61
41
fff
5235988.0
5000000.08660254.0)(
41
f
6990570.0)(41 f
Hacia atrás )(hO : h
xfxfxf
)()()( 21
2
121
41
61
41
)()()(
fff
2617994.0
7071068.08660254.0)(
41
f
6070243.0)(41 f
Hacia adelante )( 2hO : h
xfxfxfxf
2
)()(4)(3)( 432
2
)(2
)()(4)(3)(
121
125
31
41
41
ffff
5235988.0
2588190.0)5000000.0(4)7071068.0(3)(
41
f
7260127.0)(41 f
Centrada )( 4hO : h
xfxfxfxfxf
12
)()(8)(8)()( 4310
2
)(12
)()(8)(8)()(
121
125
31
61
121
41
fffff
1415927.3
2588190.0)5000000.0(8)8660254.0(89659258.0)(
41
f
7069969.0)(41 f
Hacia atrás )( 2hO : h
xfxfxfxf
2
)(3)(4)()( 210
2
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)(2
)(3)(4)()(
121
41
61
121
41
ffff
5235987.0
)7071068.0(3)8660254.0(49659258.0)(
41
f
7197409.0)(41 f
El valor verdadero de la derivada es:
xxf cos)(
xxf sen )(
Al evaluar en 41x :
)(sen )(41
41 f
7071068.0)(41 f
El error relativo porcentual de aproximación en cada caso es, de acuerdo con la ecuación
100aderoValor verd
aproximadoValor aderoValor verd
t
Hacia adelante )(hO : 1000.7071068
)7910897.0(7071068.0
t
%87.11t
Centrada )( 2hO : 1000.7071068
)6990570.0(7071068.0
t
%13.1t
Hacia atrás )(hO : 1000.7071068
)6070243.0(7071068.0
t
%15.14t
Hacia adelante )( 2hO : 1000.7071068
)7260127.0(7071068.0
t
%67.2t
Centrada )( 4hO : 1000.7071068
)7069969.0(7071068.0
t
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 21
%0155.0t
Hacia atrás )( 2hO : 1000.7071068
)7197409.0(7071068.0
t
%79.1t
Ejercicios adicionales.
4. [CC] Utilice aproximaciones por diferencias centradas para estimar la primera derivada
de xey en 1x para 1.0h . Emplee tanto fórmulas )( 2hO como )( 4hO para sus
estimaciones.
5. [CC] Calcule aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás de )(hO y
)( 2hO , y aproximaciones por diferencia centradas de )( 2hO y )( 4hO de la primera
derivada de xy sen en 41x , usando un valor de
121h . Estime el verdadero error
relativo porcentual t de cada aproximación.
6. [CC] Repita el problema 10, pero ahora para xy log evaluada en 20x con 2h .
Ejemplo 5.5.
[WM] Sea xexxf 2)( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,
0.75 y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre
una cota para el error.
Solución.
Para calcular )5.0(f aplicando la ecuación (5.27):
)(3012
)()(8)(8)()( )5(
4
2112 fh
h
xfxfxfxfxf iiii
i
se requieren cinco puntos igualmente espaciados alrededor de 5.0x .
La tabla de valores de la función xexxf 2)( en los valores indicados es:
i 0 1 2 3 4
x 0 0.25 0.50 0.75 1.0
)(xf –1 –0.7163008 –0.3565307 0.0901334 0.6321206
Se tiene entonces que )()5.0( 2xff .
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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De la ecuación (5.27):
h
xfxfxfxfxf
12
)()(8)(8)()( 4310
2
Al sustituir valores:
)25.0(12
)0.1()75.0(8)25.0(8)0()5.0(
fffff
)25.0(12
6321206.0)0901334.0(8)7163008.0(81)5.0(
f
6064510.1)5.0( f
Cálculo del valor exacto.
Siendo xexxf 2)( , entonces la derivada de la función es xexxf 2)( , la cual al
ser evaluada en 5.0x proporciona:
)5.0()5.0(2)5.0( ef
6065307.1)5.0( f
El error absoluto de aproximación es
aproximadoValor exactoValor t
6064510.16065307.1 t
51097.7 t
Cota de error.
La cota de error en la aproximación de la primera derivada por diferencias centradas con
cinco puntos está dada por
)(30
)()( )5(4
22 fh
xPxf
La quinta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()5( . Al evaluar en 5.0x
tenemos:
5.0)5( )5.0( ef
6065307.0)5.0()5( f
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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La cota de error es:
)6065307.0(30
)25.0()()(
4
22 xPxf
5
22 1090.7)()( xPxf
Ejercicios adicionales.
7. [BF] Sea xxf cos)( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,
0.75 y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre
una cota para el error.
8. [BF] Sea xexf )( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25, 0.75
y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre una cota
para el error.
Ejemplo 5.6.
[WM] Utilice aproximaciones por diferencias centradas para estimar la segunda derivada
de xexy 2 en 5.0x para 25.0h . Emplee tanto fórmulas )( 2hO como )( 4hO para
sus estimaciones. Compare el resultado con el valor exacto.
Solución.
Las fórmulas por diferencias centradas para estimar la segunda derivada correspondientes a
)( 2hO y )( 4hO son las ecuaciones (5.28) y (5.29).
)(12
)()(2)()( )4(
2
2
11 fh
h
xfxfxfxf iii
i
(5.28)
)(12
)()(16)(30)(16)()( 4
2
2112 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.29)
En cualquiera de los dos casos se requieren cinco puntos igualmente espaciados alrededor
de 5.0x con un tamaño del paso 25.0h . La tabla de valores de la función
xexxf 2)( en los valores indicados es:
i 0 1 2 3 4
x 0 0.25 0.50 0.75 1.0
)(xf –1 –0.7163008 –0.3565307 0.0901334 0.6321206
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Se tiene entonces que )()5.0( 2xff .
Las ecuaciones (5.28) y (5.29) se escriben como:
)( 2hO : 2
3212
)()(2)()(
h
xfxfxfxf
)( 4hO : 2
432102
12
)()(16)(30)(16)()(
h
xfxfxfxfxfxf
ó
)( 2hO : 2
)75.0()5.0(2)25.0()5.0(
h
ffff
)( 4hO : 212
)0.1()75.0(16)5.0(30)25.0(16)0()5.0(
h
ffffff
Al sustituir valores:
)( 2hO : 2)25.0(
0901334.0)3565307.0(27163008.0)5.0(
f
3903040.1)5.0( f
)( 4hO :
2)25.0(12
6321206.0)0901334.0(16)3565307.0(30)7163008.0(16)1()5.0(
f
3934960.1)5.0( f
Cálculo del valor exacto.
Siendo xexxf 2)( , entonces la segunda derivada de la función es xexf 2)( , la
cual al ser evaluada en 5.0x proporciona:
)5.0(2)5.0( ef
3934693.1)5.0( f
El error absoluto de aproximación es
aproximadoValor exactoValor t
)( 2hO : 3903040.13934693.1 t )( 4hO : 3934960.13934693.1 t
)( 2hO : 3101653.3 t )( 4hO : 51067.2 t
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Ejercicios adicionales.
9. [BF] Sea xxf cos)( . Use la ecuación (5.28) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,
0.75 y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre
una cota para el error.
10. [BF] Considere la siguiente tabla de datos:
x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
)(xf 0.9798652 0.9177710 0.8080348 0.6386093 0.3853735
a) Use (5.21) para aproximar )2.0(f .
b) Use (5.35) para aproximar )0.1(f .
c) Use (5.27) para aproximar )6.0(f .
d) Use todas las fórmulas apropiadas para aproximar )4.0(f y )4.0(f .
e) Use todas las fórmulas apropiadas para aproximar )6.0(f y )6.0(f .
11. [BF] a) Aproxime )05.1(f usando 05.0h y 01.0h en la fórmula (5.12) con los
datos siguientes:
x 1.0 1.04 1.06 1.10
)(xf 1.6829420 1.7732994 1.8188014 1.9103448
b) Repita el inciso a) usando aritmética con redondeo a cuatro dígitos y compare los
resultados con los obtenidos previamente.
La función que se está considerando es xxf x sen 2)( .
12. [BF] Usando los datos de abajo y la ecuación (5.28), aproxime )3.1(f con 1.0h y
01.0h .
x 1.20 1.29 1.30 1.31 1.40
)(xf 11.59006 13.78176 14.04276 14.30741 16.86187
La función que se está considerando es xexxf x cos3)( . Compare sus resultados con
)3.1(f .
13. [BF] Suponga que los datos siguientes se han obtenido experimentalmente.
x 1.00 1.01 1.02
)(xf 1.27 1.32 1.38
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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a) Aproxime )005.1(f y )015.1(f usando la ecuación (5.12).
b) Aproxime )01.1(f , usando la ecuación (5.12) y los resultados de a).
14. [CC] Los siguientes datos se generaron a partir de la distribución normal:
x )(xf
–2 0.053991
–1.5 0.129518
–1 0.241971
–0.5 0.352065
0 0.398942
0.5 0.352065
1 0.241971
1.5 0.129518
2 0.053991
Estimar los puntos de inflexión de estos datos.
Ejemplo 5.7.
Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.
[RS, WM] Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad inicial de
8.00 m/s desde una altura de 30.0 m. Se obtuvieron los siguientes datos de la altura contra
el tiempo:
t , s 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
y , m 30 27.15855 23.43420 18.82695 13.3368 6.96375
Utilice diferenciación numérica para estimar la velocidad de la pelota y la aceleración en
cada momento.
Solución.
En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la
siguiente manera:
i 0 1 2 3 4 5
t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 y 30 27.15855 23.43420 18.82695 13.33680 6.96375
Cálculo de la velocidad de la pelota.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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La velocidad está dada por td
ydv . Para determinar la velocidad se utilizarán diferencias
hacia adelante (5.21) los dos primeros valores, centradas (5.27) en los puntos intermedios y
hacia atrás (5.35) en los dos últimos valores. La justificación del uso de estas ecuaciones es
porque son las que generan los resultados más exactos, en lugar de seguir un criterio
particular para el error. Obsérvese que todas las ecuaciones utilizadas para estimar la
primera derivada son del orden )( 4hO .
)(512
)(3)(16)(36)(48)(25)( )5(
4
4321 fh
h
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.21)
)(3012
)()(8)(8)()( )5(
4
2112 fh
h
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.27)
)(512
)(25)(48)(36)(16)(3)( )5(
4
1234 fh
h
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.35)
La adaptación de estas ecuaciones a la nomenclatura de los datos es:
h
tytytytytytv iiiii
i12
)(3)(16)(36)(48)(25)( 4321 Adelante
h
tytytytytv iiii
i12
)()(8)(8)()( 2112 Centrada
h
tytytytytytv iiiii
i12
)(25)(48)(36)(16)(3)( 1234 Atrás
En 0i e , 1i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia adelante. Se muestra el
detalle para 0i y el resultado correspondiente a 1i .
h
tytytytytytv
12
)(3)(16)(36)(48)(25)( 43210
0
)3.0(12
)2.1(3)9.0(16)6.0(36)3.0(48)0(25)0(
yyyyyv
6.3
)33680.13(3)82695.18(16)43420.23(36)15855.27(48)30(25)0(
v
8)0( v
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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943.10)3.0( v
En 2i e , 3i se aplica la fórmula de diferencia dividida centrada. Se muestra el detalle
para 2i y el resultado correspondiente a 3i .
h
tytytytytv
12
)()(8)(8)()( 4310
2
)3.0(12
)2.1()9.0(8)3.0(8)0()6.0(
yyyyv
6.3
33680.13)82695.18(8)15855.27(830)6.0(
v
866.13)6.0( v
829.16)9.0( v
En 4i e , 5i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia atrás. Se muestra el
detalle para 4i y el resultado correspondiente a 5i .
h
tytytytytytv
12
)(25)(48)(36)(16)(3)( 43210
4
)3.0(12
)2.1(25)9.0(48)6.0(36)3.0(16)0(3)2.1(
yyyyyv
6.3
)33680.13(25)82695.18(48)43420.23(36)15855.27(16)30(3)2.1(
v
772.19)2.1( v
715.22)5.1( v
Los resultados de la velocidad de la pelota en función del tiempo se resumen en la siguiente
tabla:
i 0 1 2 3 4 5
t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
v –8 –10.943 –13.866 –16.829 –19.772 –22.715
La aceleración está dada por 2
2
td
yda . Para determinar la aceleración se utilizaran
diferencias hacia adelante (5.22) en los dos primeros valores, centradas (5.29) en los puntos
intermedios y hacia atrás (5.37) en los dos últimos valores. La justificación del uso de estas
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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ecuaciones es porque son las que generan los resultados más exactos, en lugar de seguir un
criterio particular para el error. Obsérvese que las ecuaciones utilizadas para la segunda
derivada son del orden )( 2hO en los extremos y )( 4hO en los valores intermedios.
Cálculo de la aceleración.
)()()(4)(5)(2
)( 2
2
321 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.22)
)(12
)()(16)(30)(16)()( 4
2
2112 hOh
xfxfxfxfxfxf iiiii
i
(5.29)
)()(2)(5)(4)(
)( 2
2
123 hOh
xfxfxfxfxf iiii
i
(5.37)
La adaptación de estas ecuaciones a la nomenclatura de los datos es:
2
321 )()(4)(5)(2)(
h
tytytytyta iiii
i
Adelante
2
2112
12
)()(16)(30)(16)()(
h
tytytytytyta iiiii
i
Centrada
2
123 )(2)(5)(4)()(
h
tytytytyta iiii
i
Atrás
En 0i e , 1i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia adelante. Se muestra el
detalle para 0i y el resultado correspondiente a 1i .
2
32100
)()(4)(5)(2)(
h
tytytytyta
2)3.0(
)9.0()6.0(4)3.0(5)0(2)0(
yyyya
09.0
82695.18)43420.23(4)15855.27(5)30(2)0(
a
81.9)0( a
81.9)3.0( a
En 2i e , 3i se aplica la fórmula de diferencia dividida centrada. Se muestra el detalle
para 2i y el resultado correspondiente a 3i .
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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2
432102
12
)()(16)(30)(16)()(
h
tytytytytyta
2)3.0(12
)2.1()9.0(16)6.0(30)3.0(16)0()6.0(
yyyyya
08.1
33680.13)82695.18(16)43420.23(30)15855.27(1630)6.0(
a
81.9)6.0( a
81.9)9.0( a
En 4i e , 5i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia atrás. Se muestra el
detalle para 4i y el resultado correspondiente a 5i .
2
43214
)(2)(5)(4)()(
h
tytytytyta
2)3.0(
)2.1(2)9.0(5)6.0(4)3.0()2.1(
yyyya
09.0
)33680.13(2)82695.18(5)43420.23(415855.27)2.1(
a
81.9)2.1( a
81.9)5.1( a
Los resultados de la aceleración de la pelota se resumen en la siguiente tabla:
i 0 1 2 3 4 5
t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
a –9.81 –9.81 –9.81 –9.81 –9.81 –9.81
Una fórmula que también aplica a la aceleración de un móvil es td
vda , por lo tanto es
posible utilizar los datos de velocidad estimados y aplicar las fórmulas de diferenciación
numérica para estimar la aceleración como la derivada de la velocidad, en lugar de utilizar
la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, tal como se hizo en la solución
del ejemplo 5.7. En este caso se hubiesen obtenido los mismos resultados para la
aceleración que los mostrados en la tabla anterior.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Una dificultad de aplicar las fórmulas de diferenciación numérica para las derivadas
de orden superior a partir de la primera derivada es que se propagan los errores de
estimación, pues en la segunda derivada tendremos tanto el error propio de la aplicación de
la fórmula de diferenciación numérica como el error de los valores utilizados, pues
provienen también de la aplicación de un método numérico, mientras que si se utilizan los
datos originales, sólo tendremos el error de estimación.
El modelo matemático correspondiente al fenómeno físico del ejemplo 5.7 indica
que la relación entre la altura del cuerpo y el tiempo está dada por la ecuación:
2
21
00 tgtvyy
donde 0y es la altura inicial (30 m), 0v es la velocidad inicial (–8 m/s) y g es la aceleración
de la gravedad (9.81 m/s2). Al sustituir valores la ecuación queda como:
2905.4830 tty
Por lo cual la velocidad, expresada como td
ydv es:
tv 81.98
Al sustituir t por los correspondientes valores 0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 y 1.5 se obtienen los
mismos resultados de la velocidad estimados con las fórmulas de diferenciación numérica.
La aceleración, expresada como 2
2
td
yda es:
81.9a
Se tiene que la aceleración es constante, e igual a 9.81 m/s2. Este resultado coincide con los
resultados obtenidos mediante las fórmulas de diferenciación numérica.
El modelo matemático que se adapta a la situación física para este tipo de fenómenos, en el
cual un móvil se desplaza verticalmente en el vacío sometido a una fuerza gravitacional,
está preestablecido. No obstante, dicho modelo también pudo haber sido obtenido mediante
una regresión cuadrática de los datos dados posición – tiempo aplicando los conceptos
indicados en el capítulo IV. En ese caso se obtiene que la relación cuadrática entre la
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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posición y el tiempo es 2905.4830 tty con un coeficiente de correlación igual a la
unidad, esto es, la desviación entre los valores estimados y los valores observados es nula.
Se observa que los valores estimados para la velocidad y la aceleración con las
fórmulas de diferenciación numérica y los valores obtenidos mediante el modelo
matemático coinciden, esto es, no hay errores al aplicar las fórmulas de diferenciación
numérica. Esto ocurre porque de acuerdo con la función 2905.4830 tty , y siendo los
errores para la velocidad del orden )( 4hO y de la aceleración del orden )( 2hO para los
extremos y )( 4hO para los puntos intermedios, la tercera y quinta derivadas de la función
son nulas para cualquier valor de t, haciendo que el término del error sea nulo tanto para la
cota )( 2hO como para )( 4hO .
Ejemplo 5.8.
Ingeniería Eléctrica.
[BF] Para un circuito con un voltaje impreso V e inductancia L, la primera ley de Kirchhoff
da la relación
iRtd
idLV
donde R es la resistencia del circuito e i la corriente. Suponga que medimos la corriente
para varios valores de t y obtenemos:
t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04
i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24
donde t se mide en segundos, i en amperes, la inductancia L es una constante 0.98 henries,
y la resistencia es 0.142 ohms. Aproxime el voltaje V en los valores t = 1, 1.01, 1.02, 1.03 y
1.04, usando las fórmulas apropiadas de tres puntos.
Solución.
iRtd
idLV
Observamos que para estimar el voltaje, requerimos tanto la derivada de la intensidad de
corriente como la corriente misma en cada valor de t. La derivada la aproximaremos
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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aplicando las fórmulas de diferenciación numérica, mientras que el valor de la corriente lo
utilizaremos tomándolo de la tabla misma.
En cuanto a la aproximación de la derivada de la corriente, se trata de datos igualmente
espaciados, pues la diferencia entre los tiempos 1.01 y 1.00 es la misma que existe entre
1.02 y 1.01, entre 1.03 y 1.02 y entre 1.04 y 1.03.
El tamaño del paso es 01.001.102.1 h .
Las fórmulas de tres puntos son las ecuaciones (5.20) (hacia adelante), (5.12) (centradas) y
(5.34) (hacia atrás), esto es, las ecuaciones de diferencias divididas para la primera derivada
del orden )( 2hO .
Para evaluar )00.1(i (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica la
ecuación (5.20).
)(2
)()(4)(3)( 221 hO
h
xfxfxfxf iii
i
h
titititi
2
)()(4)(3)( 210
0
)01.0(2
)02.1()01.1(4)00.1(3)00.1(
iiii
02.0
14.3)12.3(4)10.3(3)00.1(
i
2)00.1( i
Para evaluar )01.1(i , )02.1(i y )03.1(i (La derivada evaluada en valores intermedios del
intervalo) se aplica la ecuación (5.12).
)(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf ii
i
h
tititi
2
)()()( 20
1
h
tititi
2
)()()( 31
2
h
tititi
2
)()()( 42
3
Al sustituir valores:
)01.0(2
)02.1()00.1()01.1(
iii
)01.0(2
)03.1()01.1()02.1(
iii
)01.0(2
)04.1()02.1()03.1(
iii
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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02.0
14.310.3)01.1(
i
02.0
18.312.3)02.1(
i
02.0
24.314.3)03.1(
i
2)01.1( i 3)02.1( i 5)03.1( i
Finalmente, para evaluar )04.1(i (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)
se aplica la ecuación (5.34).
)(2
)(3)(4)()( 212 hO
h
xfxfxfxf iii
i
h
titititi
2
)(3)(4)()( 432
4
)01.0(2
)04.1(3)03.1(4)02.1()04.1(
iiii
02.0
)24.3(3)18.3(414.3)04.1(
i
7)04.1( i
Los resultados de la derivada de la corriente en función del tiempo se resumen en la
siguiente tabla:
t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04
i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24
tdid / 2 2 3 5 7
Aplicando la ecuación iRtd
idLV , equivalente a i
td
idV 142.098.0 podemos
obtener el valor del voltaje en cada valor del tiempo. Los resultados se resumen en la
siguiente tabla.
t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04
i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24
tdid / 2 2 3 5 7
V 2.40020 2.40304 3.38588 5.35156 7.32008
Ejercicios adicionales.
Ingeniería Química / Bioingeniería.
15. [CC] Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque petrolero:
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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t, min 0 15 30 45 60 90 120
V, Barriles 0.5×106
0.65×106 0.73×10
6 0.88×10
6 1.03×10
6 1.14×10
6 1.30×10
6
Calcule la rapidez de flujo Q (es decir, tdVd / ) en cada tiempo con un orden h2.
Ingeniería Civil / Ambiental.
16. [CC] El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de área
de algún material por unidad de tiempo. Éste se calcula con la ley de Fourier,
xd
Tdkq
Donde las unidades de q son J/m2/s ó W/m
2 y k es un coeficiente de conductividad térmica
que parametriza las propiedades de conducción de calor del material y sus unidades son
W/(ºC.m). T = temperatura (ºC); y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria del flujo de
calor. La ley de Fourier se usa en forma rutinaria por los ingenieros arquitectos para
determinar el flujo de calor que pasa a través de paredes. Las siguientes temperaturas se
miden desde la superficie (x = 0) hacia el interior de una pared de piedra:
m ,x 0 0.1 0.2
Cº ,T 20 17 15
Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k.
Transferencia de calor.
17. [CC] La rapidez de enfriamiento de un cuerpo se expresa como
)( aTTktd
Td
donde T = temperatura del cuerpo (ºC), Ta = temperatura del medio ambiente (ºC) y k =
constante de proporcionalidad (por minuto). Así, esta ecuación (llamada ley de
enfriamiento de Newton) especifica que la rapidez con la que se enfría un cuerpo es
proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente. Si una
esfera metálica se calienta a 90ºC y después se deja caer en un depósito de agua que se
encuentra a una temperatura constante de Ta = 25ºC, la temperatura de la esfera cambiará,
según los siguientes datos:
Tiempo, min 0 5 10 15 20 25
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)C(ºT 90 49.9 33.8 28.4 26.2 25.4
Utilice diferenciación numérica para determinar tdTd / en cada valor de tiempo. Grafique
tdTd / contra aTT y use la regresión lineal para evaluar k.
Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.
18. [CC] Use los siguientes datos para encontrar la velocidad y la aceleración a 5t
segundos.
t, s 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x, m 0 0.7 1.8 3.4 5.1 6.5 7.3 8.0 8.4
Use los métodos de a) diferencias finitas centradas de segundo orden. b) Diferencia finitas
hacia adelante y c) Diferencias finitas hacia atrás.
19. [CC] Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el
tiempo:
t 0 1 2 3 4 5 y 0 2 8 18 32 50
Utilice diferenciación numérica para estimar la velocidad del cohete y la aceleración en
cada momento.
5.6.- DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS.
Los procedimientos analizados hasta ahora se diseñaron principalmente para
determinar la derivada de una función dada. Para las aproximaciones por diferencias
divididas finitras, los datos deben estar igualmente espaciados. Para tener un buen control
del espaciamiento de datos, con frecuencia, sólo es posible cuando se utiliza una función
para generar la tabla de valores.
Sin embargo, la información empírica (es decir, datos a partir de experimentos o de
estudios de campo) con frecuencia se obtiene a intervalos desiguales. Tal información no
puede analizarse con las técnicas estudiadas hasta aquí.
Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un
polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de tres puntos
adyacentes. Recuerde que estos polinomios no requieren que los puntos estén igualmente
espaciados. Si se deriva analíticamente el polinomio de segundo grado se obtiene
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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)()(
2)(
)()(
2)(
)()(
2)()(
111
1
1
11
11
111
1
1
iiii
iii
iiii
iii
iiii
iii
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxf
(5.42)
Al derivar nuevamente:
)()(
)(2
)()(
)(2
)()(
)(2)(
111
1
11111
1
iiii
i
iiii
i
iiii
i
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xfxf
(5.43)
donde x es el valor en el cual se quiere estimar la primera y segunda derivada. Aunque estas
ecuaciones son más complicadas que las aproximaciones de la primera y segunda derivada,
tienen importantes ventajas. Primero, sirven para estimar la primera y segunda derivada en
cualquier punto dentro de un intervalo determinado por los tres puntos. Segundo, los puntos
no tienen que estar igualmente espaciados y tercero, la estimación de la primera y segunda
derivada tienen la misma exactitud que la diferencia centrada. De hecho, con puntos
igualmente espaciados, la ecuación (5.42) evaluada en ixx se reduce al a ecuación (5.12)
y la ecuación (5.43) evaluada en ixx se reduce al a ecuación (5.28).
Ejemplo 5.9.
Determinar la primera derivada de 81073 34 xxxy en 0x basándose en los
valores 5.00 x , 11 x y 22 x . Compare este resultado con el valor verdadero y con
una estimación obtenida usando aproximaciones por diferencias centradas, basándose en
1h .
Solución.
En primer lugar se determinan las imágenes de la función en cada valor de x.
9375.18)5.0(10)5.0(7)5.0(3)5.0()( 34
0 fxf
228)1(10)1(7)1(3)1()( 34
1 fxf
368)2(10)2(7)2(3)2()( 34
2 fxf
Los datos se resumen en la siguiente tabla:
i 0 1 2
x –0.5 1 2
)(xf –1.9375 –22 –36
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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Se desea determinar )0(f .
Puesto que los datos están desigualmente espaciados, se aplica la ecuación (5.42)
)()(
2)(
)()(
2)(
)()(
2)()(
111
1
1
11
11
111
1
1
iiii
iii
iiii
iii
iiii
iii
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxf
Estando 0x entre 5.0x y 1x , tendremos que
)()(
2)(
)()(
2)(
)()(
2)()(
1202
102
2101
201
2010
210
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxf
Al sustituir valores:
)12()]5.0(2[
1)5.0()0(2)36(
)21()]5.0(1[
2)5.0()0(2)22(
)25.0()15.0(
21)0(2)9375.1()0(
f
)2.0()36()1()22()8.0()9375.1()0( f
2.72255.1)0( f
25.13)0( f
Cálculo del valor verdadero.
81073)( 34 xxxxf
102112)( 23 xxxf
Al evaluar en 0x :
10)0( f
Cálculo con datos igualmente espaciados usando aproximaciones por diferencias centradas
y 1h .
Los datos son los siguientes (se debe incluir el valor 0x en el centro):
i 0 1 2
x –1 0 1
)(xf 12 –8 –22
La fórmula a aplicar es la fórmula de tres puntos (5.12).
)(62
)()()( 1
2
11 fh
h
xfxfxf ii
i
h
xfxfxf
2
)()()( 20
1
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h
fff
2
)1()1()0(
Al sustituir valores:
)1(2
2212)0(
f
17)0( f
Ejercicios adicionales.
20. [CC] Pruebe que para datos igualmente espaciados, la ecuación (5.42) se reduce a la
ecuación (5.12) en ixx .
21. [CC] Obtener la estimación de la primera derivada para los datos irregularmente
espaciados de la tabla siguiente:
x 1.2 3 3.2 5 7
)(xf 1.807 0.7468 0.6522 0.1684 0.03192
donde xexxf 5)( . Compare su resultado con la derivada verdadera.
Ingeniería Civil / Ambiental.
22. [CC] La primera ley de difusión de Fick establece que
xd
cdDmasa de Flujo
Donde flujo de masa = la cantidad de masa que pasa a través de una unidad de área por
unidad de tiempo (g/cm2/s), D = un coeficiente de difusión (cm
2/s), c = concentración y x =
distancia (cm). Un ingeniero ambiental mide la siguiente concentración de un contaminante
en los sedimentos depositados en un lago (x = 0) en la interfase sedimento – agua y
aumenta hacia abajo):
cm ,x 0 1 3 3g/cm ,c 0.1×10
6 0.4×10
6 0.9×10
6
Con la mejor técnica de diferenciación numérica disponible estime la derivada en x = 0.
Emplee su estimación junto con la ecuación para calcular el flujo de masa del contaminante
desde los sedimentos hacia las aguas sobre ellos (D = 2×10–6
cm2/s).
Ingeniería Eléctrica.
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23. [CC] La ley de Faraday caracteriza la caída de voltaje a través de un inductor como
td
idLVL
donde LV = caída de voltaje (V), L = inductancia (en henrios; 1 H = 1 V.s/A), i = corriente
(A), y t = tiempo (s). Determine la caída de voltaje como una función del tiempo a partir de
los siguientes datos, para una inductancia de 4 H.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7
i 0 0.15 0.3 0.55 0.8 1.9
24. [CC] Se tomó la posición de un avión caza sobre un portaviones durante el aterrizaje:
t, s 0 0.51 1.03 1.74 2.36 3.24 3.82
x, m 154 186 209 250 262 272 274
donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad ( tdxd / ) y
b) la aceleración ( tdvd / ) usando diferenciación numérica.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
5.2.- DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.
1.
x )(xf )(xf
1.1 0.48603 1.95400
1.2 0.86160 5.55740
1.3 1.59751 14.49975
1.4 3.76155 28.78105
5.5.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.
2. a) 4)0( f ; b) 1417912.1)3( f ; c) 2599783.0)1( f ; d) 7179252.3)1( f .
3. Para 1.0h : 6488.7162941, 7268.9599458 y 7228.9032950. Para 01.0h :
7310.4232427, 7310.4456926 y 7310.4286513.
4. )( 2hO : 7228146.2)1( f , )( 4hO : 7182728.2)1( f .
5. )(hO Adelante: 6070244.0)(41 f , )(hO Atrás: 7910896.0)(
41 f , )( 2hO
Centrado: 6990570.0)(41 f . )( 2hO Adelante: 7197409.0)(
41 f , )( 2hO Atrás:
7260128.0)(41 f , )( 4hO Centrado: 7069970.0)(
41 f .
6. )(hO Adelante: 0206963.0)20( f , )(hO Atrás: 0228787.0)20( f , )( 2hO
Centrado: 0217875.0)20( f . )( 2hO Adelante: 0215974.0)20( f , )( 2hO Atrás:
0215300.0)20( f , )( 4hO Centrado: 0217129.0)20( f .
7. 3.1045695)5.0( f , Valor exacto: 3.1415927)5.0( f , 21070.3 t , 2
22 1098.3)()( xPxf .
8. 6064511.0)5.0( f , Valor exacto: 6065307.0)5.0( f , 51096.7 t , 5
22 1090.7)()( xPxf .
9. 0)5.0( f , Valor exacto: 0)5.0( f , 0t , 2
22 1017.3)()( xPxf .
10. a) 0.1963527)2.0( f ; b) 1.5309985)0.1( f ; c) 0.6828341)6.0( f ; d)
)( 2hO Centrada: 0.0171830)4.0( f , 1.1910500)4.0( f ; e) )( 2hO Centrada:
0.6828341)6.0( f , 1.4670790)6.0( f
11. a) 05.0h : 2742080.2)05.1( f , 01.0h : 2751000.2)05.1( f ; b) 05.0h :
2740000.2)05.1( f , 01.0h : 2750000.2)05.1( f .
12. 1.0h : 641.36)3.1( f , 01.0h : 5.36)3.1( f . Valor exacto:
5935358.36)3.1( f .
13. a) 5)005.1( f , 6)015.1( f ; b) 100)01.1( f .
14. Los puntos de inflexión se encuentran próximos a los puntos )241971.0,1( y
)241971.0,1( .
15.
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
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t, min 0 15 30 45 60 90 120
Q, Barriles/min 12333.33 7666.67 7666.67 10000.00 8666.67 9000.00 12333.33
16. .K W/m7142857.1 2k
17. Se ha utilizado el orden )( 2hO
Tiempo, min 0 5 10 15 20 25
)C(ºT 90 49.9 33.8 28.4 26.2 25.4
tdTd / –10.42 –5.62 –2.15 –0.76 –0.30 –0.02
1min 1609950.0 k , 0.9874193r
18. a) m/s 1.1)5( v , 2m/s 6.0)5( a ; b) m/s 85.0)5( v , 2m/s 1.0)5( a ; c)
m/s 25.1)5( v , 2m/s 7.0)5( a .
19.
t 0 1 2 3 4 5 y 0 2 8 18 32 50 v 0 4 8 12 16 20
5.6.- DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS.
21.
x 1.2 3 3.2 5 7
)(xf 1.807 0.7468 0.6522 0.1684 0.03192
)(xf –0.6934000 –0.4846000 –0.4525778 –0.1737862 0.0373062
)(xf 0.1160000 0.1160000 0.2042222 0.1055462 0.1055462
22. Flujo de masa = –0.6333 g/cm2/s.
23. Se ha utilizado el orden )( 2hO , con excepción del punto 3.0t , en el cual se ha
utilizado la fórmula para puntos desigualmente espaciados.
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 10 20 30 40 50 60 70
d T
/ d
t
T - Ta
Capítulo 5. Diferenciación Numérica.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 43
t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7
i 0 0.15 0.3 0.55 0.8 1.9
LV 6.00 6.00 8.00 8.33 13.50 30.50
24.
t, s 0 0.51 1.03 1.74 2.36 3.24 3.82
x, m 154 186 209 250 262 272 274
v, m/s 71.9123871 53.5778090 49.9447278 35.2516935 16.0518084 6.5927341 0.3038178
a, m/s2
–
35.9501530
–
35.9501530 21.9767636
–
57.7317897
–
10.6549365
–
10.8429596
–
10.8429596
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