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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Docente: Patricio Cortés P.
Control de Procesos• ¿Qué es un sistema de control ?– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos
que necesitan cumplirse.
• En el ámbito doméstico– Controlar la temperatura y humedad de casas yEdificios.
• En transportación– Controlar que un auto o avión se muevan de un
lugar a otro en forma segura y exacta
• En la industria– Controlar un sinnúmero de variables en los
procesos de manufactura
• Los sistemas de control se encuentran en grancantidad en todos los sectores de la industria:
• Control de calidad de los productos manufacturados,
• líneas de ensamble automático, • control de máquinas-herramienta, • tecnología espacial y sistemas de armas, • control por computadora, • sistemas de transporte, • sistemas de potencia, • robótica y muchos otros.
Control de Procesos
• Un moderno avión comercial
Ejemplos de procesos automatizados
• Satélites
Ejemplos de procesos automatizados
• Control de Automóvil
Ejemplos de procesos automatizados
• ¿ Por que es necesario controlar un proceso ?
• Incremento de la productividad• Alto costo de mano de obra• Seguridad• Alto costo de materiales• Mejorar la calidad• Reducción de tiempo de manufactura• Reducción de inventario en proceso• Certificación (mercados internacionales)• Protección del medio ambiente (desarrollo
sustentable)
Control de Procesos
• El campo de aplicación de los sistemas decontrol es muy amplia.
• Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
Control de Procesos
• En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
• Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
¿Por qué Transformada de Laplace?
• El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
¿Por qué Transformada de Laplace?
• La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
• De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
• Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
¿Por qué Transformada de Laplace?
• Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere:
– Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
– A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puedediseñar el controlador.
El proceso de diseño del sistema de control
• MODELACIÓN MATEMÁTICA• Suspensión de un automóvil
Conociendo el proceso …
• Convirtiendo ecs. diferenciales a ecs. Algebraicas
Suspensión de un automóvil
El rol de la transformada de Laplace
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
• Nivel en un tanque
Conociendo el proceso …
• Convirtiendo ecs. diferenciales a ecs. Algebraicas
Nivel en un tanque
El rol de la transformada de Laplace
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
• Circuito Eléctrico
Conociendo el proceso …
• Convirtiendo ecs. diferenciales a ecs. Algebraicas
Circuito Eléctrico
El rol de la transformada de Laplace
• Representa el comportamiento dinámico del proceso.
• Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada
La función de transferencia
• Diagrama de bloques• Suspensión de un automóvil
La función de transferencia
• Diagrama de bloques• Nivel de un tanque
La función de transferencia
• Diagrama de bloques• Circuito Eléctrico
La función de transferencia
Empleando la Transformada de Laplace
Empleando la Transformada de Laplace
Empleando la Transformada de Laplace
Empleando la Transformada de Laplace
• Para resolver ecuaciones diferenciales utilizando transformada de laplace, se adopta el siguiente procedimiento:
1.Trasformar cada termino de la ecuación diferencial en su equivalente en transformada de Laplace, es decir, se cambia la función del tiempo en una función (s).
2.Realizar todas las operaciones algebraicas, por ejemplo, considerar qué pasa cuando al sistema se le aplica una entrada escalón.
Empleo de transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales
3. Convertir otra vez la función de Laplace resultante en una ecuación que dé una función del tiempo, es decir, la transformada inversa de Laplace. A fin de emplear las tablas para hacer la conversión, a menudo es necesario primero realizar una expansión en fracciones parciales para obtener de éstas formas estándares dadas en las tablas.
Empleo de transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales
Ejercicios Transformada de Laplace
Determinar la transformada de Laplace para:
a)Un escalón de voltaje de magnitud 4V que empieza en t=0b)Un escalón de voltaje de magnitud 4V que empieza en t=2sc)Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a razón de 3 V/s.d)Una rampa de voltaje que empieza en t=2s y se incrementa a razón de 3 V/s.e)Un impulso de voltaje de magnitud 4V que empieza en t=3s.f)Un voltaje senoidal de amplitud 2V y frecuencia angular de 10Hz.
Ejercicios Transformada de Laplace
Ejercicios Transformada de Laplace
ProblemaDetermine:
SoluciónUsando la propiedad de linealidad tenemos:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Por tanto:
Transformada de Laplace
ProblemaDetermine: SoluciónDistribuyendo el denominador:
Usando la propiedad de linealidad, tenemos:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Por tanto:
Transformada de Laplace
Empleo de transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales
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