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© Prof. Dr. François E. CellierFebrero 11, 2008
Principio de la presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gráficos de Ligaduras Múltiples
• En esta presentación hablaremos de vectores de ligaduras, llamados ligaduras múltiples.
• Tratando con sistemas de la mecánica en dos y tres dimensiones, el principio de d’Alembert tiene que aplicarse a cada grado de libertad por separado.
• Cada ecuación tiene la misma estructura.• Entonces es muy natural buscar una metodología
que nos permite trabajar con ligaduras múltiples.
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Principio de la presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
• El péndulo en el plano• Ligaduras múltiples• La biblioteca de los gráficos de ligaduras múltiples• Principios básicos de las ligaduras múltiples• Transformadores multipuertas
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano• Modelamos el péndulo en el plano siguiente:
Restricción holonómica
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Conflicto de Causalidad
dvx
dtm = -F sin(φ)
dvy
dtm = -F cos(φ) + mg
x = ℓ sin(φ)
vx = ℓ cos(φ) φ.
y = ℓ cos(φ)
vy = -ℓ sin(φ) φ.
1
I:m
vx
vx
F sin(φ)
Fx
1
I:m
Se:mg
vy
vy
vy
F cos(φ)
Fy
mg
0F sin(φ)
ℓ cos(φ) φ. 0
F cos(φ)
ℓ sin(φ) φ.
vx
0
φ = asin( x / ℓ )
Dqx
TF
φ
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Análisis de los Resultados
No debería ser necesario derivar las ecuaciones por primero con la tarea de derivar el gráfico de ligaduras de ellas.
El gráfico de ligaduras que resultó no guardó las propiedades topológicas del sistema en ninguna forma reconocible.
Era posible describir el movimiento del péndulo en el plano por un gráfico de ligaduras aumentado por ligaduras activadas que representan la restricción holonómica. Desagraciadamente no nos enseña el gráfico de ligaduras mucho que no ya sabíamos antes.
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Principio de la presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ligaduras Múltiples• Los gráficos de ligaduras múltiples representan una
extensión vectorial de los gráficos de ligaduras regulares.
• Una ligadura múltiple contiene un cierto número de ligaduras individuales de campos idénticos o al menos muy similares.
• Todos los modelos de elementos de gráficos de ligaduras se ajustan de una manera adecuada.
} f3v
τ
fy
vy
fx
vx Composición de ligaduras múltiples para la mecánica en el plano
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Biblioteca de Gráficos de Ligaduras Múltiples
• Una biblioteca de Dymola para el modelado de sistemas usando gráficos de ligaduras múltiples fue desarrollada. Se llama MultiBondLib.
• La biblioteca se diseñó con una interfaz que es muy similar a la interfaz de la biblioteca BondLib original.
• Exactamente como en el caso de la biblioteca BondLib, también la nueva biblioteca contiene carpetas con modelos envasados para el suporte de campos de aplicaciones particulares, especialmente para el campo de la mecánica.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano III
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano IV
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano V
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano VI
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano VII
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano VIII
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano IX
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano X
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano XIVector de señales no causales
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano XII
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples
• Los modelos básicos de ligaduras múltiples no contienen mucho que nos sorprende. Representan extensiones naturales de los modelos de ligaduras regulares.
• Sin embargo vale la pena mencionar algunos puntos. Por primero existe el “defaults model” que tiene que incluirse en cada modelo usando ligaduras múltiples. Contiene un solo parámetro, el parámetro dimensional n, que especifica cuantas ligaduras hay por defecto en una ligadura múltiple.
• El defaults model tiene que referirse en cada modelo de gráficos de ligaduras múltiples como un “outer model”.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples II
• Si el modelo de gráficos de ligaduras múltiples hereda uno de los modelos parciales de la biblioteca MultiBondLib, el usuario no tiene que ocuparse de ese detalle más. Ya está hecho.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples III
• Una segunda diferencia entre las dos bibliotecas tiene que ver con el use de las uniones. Mientras que BondLib ofrece modelos separados de uniones con 2..6 conexiones, la biblioteca MultiBondLib ofrece solamente uniones con 4 o 8 conectadores. Sin embargo es posible dejar desconectados algunos de los conectadores.
• Una tercera diferencia es en el uso de los transformadores y giradores. La biblioteca MultiBondLib ofrece una selección mucho más grande de modelos diferentes de transformadores y giradores en comparación con la biblioteca BondLib.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Transformadores Multipuertas
f
1
e1
f2
e2TF
M
Transformación: e1 = M · e2
Conservación de energía:
e1T · f1 = e2
T · f2 (2)
(1)
El transformador multipuertas puede describirse por medio de las ecuaciones (1) y (2) o usando la ecuaciones (1) y (4).
(3)
(4)
(M ·e2 )T · f1 = e2T · f2
f2 = MT · f1
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Transformadores Multipuertas II• El transformador que se asemeja más al elemento TF de la biblioteca
BondLib es el transformador multipuertas de flujo. Los números de ligaduras incluidas en las ligaduras múltiples de los dos lados no tienen que ser idénticos.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Transformadores Multipuertas III• Sin embargo, como la matriz M no tiene que poseer una
inversa, también se necesita un transformador multipuertas del esfuerzo.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Transformadores Multipuertas IV• También se ofrecen versiones moduladas de
transformadores y giradores multipuertas.
• Sin embargo, todavía no es suficiente. Se necesitan modelos de transformadores especiales para varias aplicaciones, porque se usan frecuentemente en la mecánica.
• Ya encontramos el transformador de traslado.
• También se ofrece un transformador prismático.
• Los transformadores especiales se encuentran en la carpeta de los modelos de la mecánica en dos dimensiones porque son útiles solamente en este contexto.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Transformadores Multipuertas V
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Principios Básicos de los Gráficos de Ligaduras Múltiples IV
• Finalmente, aunque la biblioteca ofrece bloques de ligaduras múltiples causales también, estos son menos útiles que en el caso de los gráficos de ligaduras regulares, porque muchas ligaduras múltiples tienen una causalidad mixta. Por eso no se usan mucho las ligaduras múltiples causales.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Péndulo en el Plano XIII
causalidad mixta
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias I
• Zimmer, D. (2006), A Modelica Library for MultiBond Graphs and its Application in 3D-Mechanics, MS Thesis, Dept. of Computer Science, ETH Zurich.
• Zimmer, D. and F.E. Cellier (2006), “The Modelica Multi-bond Graph Library,” Proc. 5th Intl. Modelica Conference, Vienna, Austria, Vol.2, pp. 559-568.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias II
• Cellier, F.E. and D. Zimmer (2006), “Wrapping Multi-bond Graphs: A Structured Approach to Modeling Complex Multi-body Dynamics,” Proc. 20th European Conference on Modeling and Simulation, Bonn, Germany, pp. 7-13.
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