@ angel prieto benitomatemáticas aplicadas cs i1 u.d. 4 ecuaciones y sistemas
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@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
U.D. 4
ECUACIONES Y SISTEMAS
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2
U.D. 4.5 * 1º BCS
SISTEMAS CUADRÁTICOS
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
• Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado.
• Ejemplos
• x2 – 3x = y + 5 x2 – 3y2 – 3x = y + 5 • 3x + 2y = 7 x2 + 5x = 4y + 5
• x – 3y = 5 x2 + 2xy – 3y2 = 7• 3x + 2xy = 4 3x2 + 7y2 – 3x = y + 5
• Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado.
SISTEMAS DE 2º GRADO
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4
• M. de SUSTITUCIÓN en sistemas cuadráticos
• Sea el sistema:• x2 + y2 = 10 (1)• x + y = 4 (2)
• De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – y
• Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y)2 + y2 = 10• • Operando queda : 2 y2 – 8y + 6 = 0
• Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola …
• y = 3 , y = 1• 1 2 • Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos …
• x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3• 1 2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5
• M. de IGUALACIÓN en sistemas cuadráticos
• Sea el sistema: • y2 – x = 8 (1)• x + y = 4 (2)
• De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” :• • x = y2 – 8 (1)• x = 4 – y (2)
• Se igualan ambas expresiones: y2 – 8 = 4 – y y2 + y – 12 = 0 • • Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola …• y = 3 , y = – 4• 1 2 • Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos …
• x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (– 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8• 1 2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6
• M. de REDUCCIÓN en sistemas cuadráticos
• Sea el sistema:• • x2 + y2 - 2 x = 8 (1)• x2 + y2 - y = 7 (2)
• Restando a la (1) la (2) , queda:• • x2 + y2 - 2 x - x2 - y2 + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (1)
• De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x• Y sustituyo en la (2), quedando:• • x2 + (1+2x)2 – 1 - 2x = 7 x2 + 1 + 4x + 4x2 – 1 – 2x = 7 5x2 + 2x – 7 = 0• • Resulta una ecuación de 2º grado
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7
• Teníamos el sistema:• • y – 2x = 1 (1)• x2 + y2 - y = 7 (2)
• …. 5x2 + 2x – 7 = 0• • Resolviendo:
• - 2 +/- √[22 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1• x = ----------------------------- = ------------ =• 2.5 10 - 7/5
• De la (1): y = 2x + 1• y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5
• Solución_1: x1 = 1, y1 = 3• Solución_2: x2 = - 7/5, y2 = - 9/5•
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8
• EJEMPLO 1• La suma de las áreas de dos terrenos cuadrados es de 100 Ha (1 Ha = 10000
m2). La suma de sus perímetros es de 5,60 km. • Hallar el lado de cada terreno.
• RESOLUCIÓN• Sea x = El lado de un terreno, en metros.• Sea y = El lado del otro terreno, en metros.• Según el enunciado:• 4.x + 4.y = 5,60 km 4.x + 4.y = 5600 m x + y = 1400 (1)• x2 + y2 = 100 Ha x2 + y2 = 100.10000 m2 x2 + y2 = 1000000 • Despejando y de la primera ecuación: y = 1400 – x • Sustituyendo en la 2ª ecuación:• x2 + (1400 – x)2 = 1000000• Operando: x2 + 1960000 – 2800.x + x2 = 1000000• 2.x2 – 2800.x + 960000 = 0 x2 – 1400.x + 480000 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = 800 m y x = 600 m• y = 1400 – x = 1400 – 800 = 600 m e y = 1400 – 600 = 800 m
• Ambos terrenos miden 600 m y 800 m respectivamente.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
• EJEMPLO 2• Un informático prevé ganar 1000 € por la reparación de un determinado
número de ordenadores. Pero comprueba que dos equipos no tienen posible arreglo, por lo cual decide cobrar 25€ más por la reparación de cada uno de los restantes, al objeto de ganar lo mismo. ¿Cuántos equipos son y cuál era el coste inicial de reparación de cada uno?.
• RESOLUCIÓN• Sea x = El número de equipos en total.• Sea y = El coste de reparación inicial de cada uno.• Según el enunciado:• x.y = 1000 y = 1000 / x• (x – 2).(y + 25) = 1000 x.y – 2.y + 25.x – 50 = 1000• Sustituyendo:• 1000 – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 1000• – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 0• Operando, para lo cual multiplico todo por x:• – 2000 + 25.x2 – 50.x = 0 • 25.x2 – 50.x – 2000 = 0 x2 – 2.x – 80 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = 10 y x = – 8 (que no vale por negativa) • x = equipos iniciales, de los cuales 2 sin posible reparación.• y = 1000 / x = 1000 / 10 = 100 € cada reparación inicialmente.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10
OFERTA Y DEMANDA
• En Economía aparecen las funciones de oferta y de demanda.• La función de demanda, fd, para cualquier producto, es la función que
nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar.
• La relación puede ser lineal o cuadrática.• fd = mp + n con m<0• fd = ap2 + bp + c con a<0.
• La función de oferta, fo, para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto.
• La relación puede ser lineal o cuadrática.• fo = kp + v con k>0• fo = dp2 + ep + f con d>0.
• El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11
10 20 30 40 50 60 70 80 90
100
200
300
400
500
600
OFERTA Y DEMANDA
fdfo
Precio de equilibrio
Precio unitario
Núm
ero
de
unid
ade
sDEMANDA: Al aumentar el precio de un bien, los usuarios adquieren menos cantidad.
OFERTA: Al aumentar el precio de un bien, el fabricante produce más unidades.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12Precio unitario
Núm
ero
de
unid
ade
s
Precio unitario
Núm
ero
de
unid
ade
s
Precio unitario
Núm
ero
de
unid
ade
s
OFERTA Y DEMANDA
fd fd
fdfd
fo
fo
fofo
Núm
ero
de
unid
ade
s
Precio unitario
Precio de equilibrio
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13
• EJEMPLO 1
• La función de demanda, fd, de un determinado producto para un precio entre 90 y 120 € es: fd = -2.p2 + 400.p + 2000
• La función de oferta, fo, del mismo producto, para los mismos márgenes de precio es: fo = 3p2 + 20p – 10000
• Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en este caso.
• Resolución• El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería:• -2.p2 + 400.p + 2000 = 3p2 + 20p – 10000• Operando queda: p2 – 76.p – 2400 = 0 • Resolviendo: p = 100 y p = - 24 (que no vale)
• Las unidades demandadas serían:• xd = – 2.1002 + 400.100 + 2000 = – 20000 + 40000 + 2000 = 22000
• Las unidades ofertadas serían:• xo = 3.1002 + 20.100 - 10000 = 30000 + 2000 – 10000 = 22000
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14
• EJEMPLO 2
• Las funciones de demanda y de oferta correspondientes al mercado de MP4 en cierto momento son:
• xd = – 0,05.p2 + 0,50.p + 150• xo = 0,25.p2 – 10.p + 150 • Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en
este caso.
• RESOLUCIÓN
• El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería:• – 0,05.p2 + 0,50.p + 150 = 0,25.p2 – 10.p + 150• Operando queda: 0,30.p2 – 10,50.p = 0 p = 35
• Las unidades demandadas serían:• xd = – 0,05.352 + 0,50.35 + 150 = – 61,25 + 17,50 + 150 = 106
• Las unidades ofertadas serían:• xo = 0,25.352 – 10.35 + 150 = 306,25 – 350 + 150 = 106
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