AMCT

Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo

Universidad del Turabo

Cuaderno de trabajo #1

Transformaciones en el plano

AMCT

Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo Universidad del Turabo

Angy Carelly Coronel Suárez

Gurabo, Puerto Rico

Primera edición, 2010 Director, AMCT: Oscar A. Sáenz Montes, PhD

Catedrático Asociado Escuela de Ingeniería, Universidad del Turabo

Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto AMCT mediante fondos federales del Título II-B, “No Child Left Behind Act”, “Mathematics and Science Partnership” del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material educativo es para ser distribuido de forma gratuita exclusivamente. Su venta está estrictamente prohibida.

Este material, de forma total o parcial, puede ser reproducido o transmitido por cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, previa autorización por escrito de la AMCT. Producido por Angy C. Coronel Suárez, MS Facultad, AMCT Escuela de Ciencias y Tecnología, Universidad del Turabo Revisado por: Marlio Paredes Gutiérrez, PhD Especialista de Currículo, AMCT Catedrático Departamento de Matemáticas Escuela de Ciencias y Tecnología, Universidad del Turabo Editado por: Maggie Olmo Correa Diseñadora de Instrucción y Comunicaciones, AMCT Escuela de Ingeniería, Universidad del Turabo Mylord Reyes Tosta Co-PI y Directora de Investigación, AMCT Escuela de Ingeniería, Universidad del Turabo

PRÓLOGO

En verano de 2009, se me contrató para el diseño, construcción

y ofrecimiento de algunos talleres para los maestros de

matemáticas elemental de la Alianza de Matemáticas y Ciencias

del Turabo. Desde entonces, he realizado varios talleres en este

nivel.

Para este semestre, una de mis tareas en la AMCT es realizar un

taller con los maestros del nivel intermedio y presentar una

síntesis de éste en el Congreso MSP 2010, para lo cual se diseñó

este cuaderno de actividades.

Aquí se encontrarán conceptos teóricos y propiedades básicas

sobre las transformaciones en el plano y algunas actividades de

aplicación, como lo son los teselados y el origami.

Los gráficos fueron producidos en un programa gratuito llamado

GeoGebra, el cual se asemeja bastante al uso de regla y compás

y permite la visualización de las propiedades trabajadas.

Hay una gran variedad de páginas en Internet en las cuales

podrá encontrar información importante e interesante sobre

geometría en general, además de algunos Applets y programas

gratuitos para visualizar las transformaciones en el plano.

Agradezco la confianza y oportunidad que me han brindado los

administradores del proyecto AMCT y a los maestros por

permitirme compartir con ellos mis conocimientos y su

experiencia en el aula.

No sobra mencionar que cualquier duda y comentario estaré a

su disposición a través de la AMCT.

Espero que sea de su agrado y que aporte en algo a su labor

docente.

ANGY CARELLY CORONEL SUÁREZ

Gurabo, Puerto Rico

Octubre de 2010

TABLA DE CONTENIDO

PRÓLOGO

OBJETIVOS

EXPECTATIVAS ABORDADAS

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRASLACIÓN

ROTACIÓN

SIMETRÍA

SIMETRÍA CENTRAL

SIMETRÍA AXIAL (REFLEXIÓN)

COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS

LÍNEAS DE SIMETRÍA

SIMETRÍA ROTACIONAL

TESELADOS EN EL PLANO

TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS

HOMOTECIA

SEMEJANZA

ACTIVIDADES

REFERENCIAS

Pág.

2

3

6

6

7

9

12

12

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19

19

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21

21

24

26

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2

OBJETIVOS

Entender la noción de simetría con respecto a un punto y

a una recta.

Aprender a usar transformaciones para identificar figuras

congruentes.

Analizar figuras en términos de sus simetrías por medio

de transformaciones rígidas.

Usar la geometría de coordenadas y transformaciones

rígidas para establecer la congruencia de figuras.

Entender el concepto de dilatación como una

transformación en el plano.

Comprender las diferentes representaciones para las

transformaciones en el plano.

Usar dilataciones centradas en el origen para describir e

investigar semejanzas.

Construir figuras semejantes a una figura dada usando

transformaciones.

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DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN DE PUERTO RICO

ESTÁNDARES DE EXCELENCIA Y EXPECTATIVAS POR GRADO Y MATERIA PROGRAMA DE MATEMÁTICAS

G.TS.4.8.5 Identifica figuras simétricas y traza sus ejes de

simetría. G.TS.4.8.6 Identifica la imagen resultante de una transformación

como traslación, rotación y reflexión. G.TS.5.6.2 Identifica ejes de simetría de figuras planas,

transformaciones (rotación, traslación, reflexión) utilizando modelos concretos y en plano cartesiano (primer cuadrante).

G.TS.6.11.1 Identifica y describe el eje o los ejes de simetría. G.LR.6.12.1 Representa e identifica coordenadas de puntos en

el plano cartesiano (en los cuatro cuadrantes) cuyas coordenadas sean números enteros.

G.TS.6.12.2 Identifica y construye transformaciones con figuras

planas: rotación, traslación, reflexión. G.TS.6.12.3 Localiza e indica las coordenadas resultantes luego

de una transformación (traslación, reflexión respecto a una línea vertical u horizontal, rotaciones de múltiplos de 90 grados respecto al origen).

G.TS.7.13.1 Describe el efecto de transformaciones rígidas

(traslación, reflexión respecto a líneas verticales u horizontales, rotación respecto al origen y composiciones simples) en figuras en el plano de coordenadas.

G.TS.7.13.2 Utiliza transformaciones rígidas para identificar las

partes correspondientes de figuras congruentes.

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G.TS.9.5.1 Analiza figuras en términos de sus simetrías por

medio de los conceptos reflexión, rotación y traslación; y una combinación de éstas.

G.FG.9.5.2 Compara y contrasta la igualdad, la congruencia y la

semejanza. G.FG.9.5.3 Identifica, contrasta, diferencia y aplica las

condiciones suficientes para la congruencia de triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL, HL).

G.TR.9.5.4 Utiliza la geometría de coordenadas y las

transformaciones rígidas (reflexiones, traslaciones y rotaciones) para establecer la congruencia de figuras.

G.TS.9.6.1 Representa traslaciones, reflexiones respecto a una

línea, rotaciones y dilataciones (centradas en el origen) de objetos en el plano de coordenadas por medio de trazos, coordenadas, notación de funciones y matrices, y explica los efectos de estas transformaciones.

G.TS.9.6.2 Reconoce e identifica las partes correspondientes de

figuras congruentes y semejantes luego de una transformación.

G.FG.9.7.1 Identifica las condiciones de semejanza LAL, LLL, AA

como condiciones suficientes para establecer la semejanza de triángulos, las aplica y observa que la congruencia es un caso especial de semejanza.

G.FG.9.7.2 Utiliza la semejanza para calcular las medidas de las

partes correspondientes de figuras semejantes, y aplica la semejanza en una variedad de contextos en matemáticas y otras disciplinas.

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G.MG.9.7.3 Construye una representación de una figura semejante a otra figura dada su razón de semejanza.

G.FG.9.7.4 Utiliza triángulos semejantes para demostrar que la

razón de cambio asociada a cualquier par de puntos en una línea es la misma.

G.TS.9.7.5 Utiliza dilataciones centradas en el origen para

describir e investigar semejanzas.

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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Llamaremos transformación geométrica a una operación u operaciones que permiten deducir una nueva figura (imagen) de la dada originalmente. Algunas transformaciones tienen la propiedad de ser involutivas, es decir, la doble aplicación de la misma transformación genera el elemento original. Hablaremos en algunos casos de la transformación recíproca, la cual transforma la imagen en la figura original. Podemos clasificar las transformaciones en directas, cuando las figuras conservan el sentido y orden en el plano orientado, e inversa, cuando los sentidos de las dos figuras son contrarios. Otra clasificación dada a las transformaciones se fundamenta en el aspecto de la imagen respecto a la figura original: Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos.

Se denominan también movimientos rígidos. Veremos las simetrías axial y central, la traslación y la rotación.

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Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original

(los ángulos), pero existe una proporcionalidad entre las dimensiones de las dos figuras, por ejemplo, la homotecia.

Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original,

por ejemplo, la inversión. Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la imagen son semejantes, más aún, congruentes. La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), igual medida. Existen tres tipos: traslación, simetría y rotación. Traslación: es una isometría que mueve cada punto de la

figura a una distancia dada, en una dirección específica a lo largo de un vector .

La coordenada del vector indica el movimiento horizontal, si es positivo mueve a la derecha y si es negativo a la izquierda. La coordenada del vector indica el movimiento vertical; si es positivo, mueve hacia arriba y, si es negativo, hacia abajo.

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Formalmente, una traslación dada por el vector , es una función del plano al plano tal que a todo punto , le asigna el punto .

Traslación del punto , según el vector .

Traslación del triángulo , según el vector .

9

Traslación del segmento , según el vector , usando regla y compás.

Trazamos rectas paralelas al vector por los puntos y . Tomamos con el compás la magnitud del vector y trazamos arcos con centro en y con esta magnitud. Unimos los puntos de intersección de las rectas con los arcos para tener la imagen.

Esta transformación es directa y no involutiva. Sin embargo, existe la transformación recíproca, definida por el vector opuesto. Rotación: es una transformación del plano determinada

por mantener un punto fijo, llamado centro, y rotar el plano alrededor de este punto una cierta cantidad en una dirección específica.

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Esta cantidad se denomina ángulo de rotación y, usualmente, se toma su medida en grados, teniendo en cuenta que si es positivo, se rota en sentido contrario a las manecillas del reloj, y si es negativo, en el mismo sentido de las manecillas del reloj. Es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, éste permanece a una distancia constante del centro. Una rotación de alrededor de un punto, moverá cualquier punto de la figura sobre sí mismo. Ésta es llamada la transformación identidad.

Rotación del punto , alrededor del punto O, un ángulo de .

11

Rotación del segmento , alrededor del punto , un ángulo de .

Rotación del triángulo , alrededor del punto , un ángulo de .

Cuando el ángulo de rotación es múltiplo de , podemos realizar la rotación usando papel cuadriculado, formando los ángulos rectos entre los puntos y el centro.

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Esta transformación es directa, pues los elementos que forman la figura conservan su orden. ¿Existe alguna rotación que sea involutiva? Para una rotación de , ¿cuál sería la rotación recíproca? Simetría: es la correspondencia exacta en la disposición

regular de los puntos de una figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

Simetría central: es una transformación en la que a cada

punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a. El punto y su imagen están a igual distancia del

centro de simetría. b. El punto, su imagen y el centro de simetría

pertenecen a una misma recta. Según esto, una simetría central es igual que una rotación de

.

13

Simetría central del punto , respecto a .

Simetría central del triángulo , respecto a .

14

Simetría central del segmento , respecto a , usando regla y compás.

Trazamos rayos desde los puntos y hacia el centro de simtería. Trazamos dos círculos con centro en y radio y . Unimos los puntos de intersección entre los círculos y los rayos para obtener la imagen.

¿Esta transformación es involutiva? ¿Directa o inversa?

Simetría axial: es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto, que cumple con las siguientes condiciones:

a. La distancia de un punto y su imagen al eje de

simetría, es la misma. b. El segmento que une un punto con su imagen, es

perpendicular al eje de simetría.

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Esta simetría es conocida mayormente con el nombre de reflexión. En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento .

Reflexión del punto , respecto a la recta .

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Reflexión del triángulo , respecto a la recta .

Reflexión del segmento , respecto a la recta , usando regla y compás.

Trazamos rectas perpendiculares a la recta desde los puntos y .

(Cont.) Trazamos dos círculos con radio y y centro los puntos de intersección de las rectas anteriores con la recta ( y ).

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Unimos los puntos de intersección entre los círculos y rectas perpendiculares para obtener la imagen.

¿Esta transformación es involutiva? ¿Directa o inversa?

Composición de simetrías:

Si aplicamos dos simetrías respecto a ejes paralelos, obtenemos una traslación cuyo desplazamiento es el doble de

la distancia entre dichos ejes.

18

Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes que se cortan en , obtenemos un giro con centro en , cuyo ángulo es el doble

del que forman dichos ejes.

Si aplicamos la misma simetría dos veces, obtenemos la transformación identidad.

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Líneas de simetría: una figura geométrica tiene líneas de simetría, si la imagen de la reflexión respecto a esta línea coincide con la misma figura.

Simetría rotacional: una figura geométrica tiene simetría

rotacional cuando al rotar la figura, alrededor de algún punto, un ángulo menor de , la imagen coinciden con la figura original.

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Teselados del plano: un plano es teselado si se cubre completamente con repeticiones de figuras sin sobreponerlas ni dejar huecos. Para lograr teselar un plano debemos usar las transformaciones vistas anteriormente.

Teselado regular con hexágonos regulares

Teselado regular con hexágonos regulares y triángulos equiláteros

Teselado irregular con un pentágono

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Homotecia: es una transformación isomórfica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una ampliación o reducción a escala de la figura inicial. Es decir, la figura original y su imagen bajo la homotecia son semejantes.

Una homotecia con centro en el punto y razón el número real

, , es una transformación que hace corresponder a cada punto otro punto tal que:

a. Si es positivo, está en el rayo de origen en dirección a y la distancia .

b. Si es negativo, está en el rayo de origen en en dirección contraria a y la distancia .

Observaciones:

- Si , el centro de la homotecia es el único punto fijo.

- Si , corresponde a la identidad, es decir, todos los puntos son fijos.

- implica una ampliación de la figura.

- implica una reducción.

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La imagen de un segmento, es un segmento paralelo a él, veces más largo o corto.

La imagen de un ángulo, es un ángulo congruente.

23

La imagen de un polígono, es un polígono semejante, cuya área es veces el área del original.

corresponde a la simetría de centro , o una rotación alrededor de un ángulo de

24

Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con el mismo centro, cuya razón es el producto de

las razones de las homotecias iniciales.

¿Esta transformación es involutiva? ¿Directa o inversa? ¿Existe la transformación recíproca? Semejanza: es la transformación del plano que resulta de

componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.

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En la figura, tenemos el resultado de aplicarle al triángulo las siguientes transformaciones: le aplicamos la homotecia, y

al resultado lo sometemos a:

1. Una simetría con respecto a la recta . 2. Una rotación de alrededor del punto . 3. Una traslación según el vector .

En cualquiera de los casos, el triángulo resultante es semejante al original, ya que los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos no han variado.

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ACTIVIDADES 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto al reflejar el

cuadrilátero respecto al eje ?

a. b.

c. d.

2. El triángulo en el plano coordenado con vértices en los

puntos es reflejado a través del origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante?

a. b. c. d.

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3. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones del plano no

preserva la semejanza de figuras?

a. Rotaciones b. Traslaciones

c. Reflexiones en una recta d. Dilataciones

4. ¿Cuál de las siguientes figuras muestra una rotación?

a. b.

c. d. 5. Anita hizo el siguiente diseño usando un hexágono regular y

un rectángulo. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el diseño de Anita?

a. 1 b. 2 c. 4 d. 6

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El diagrama muestra los muebles de la habitación de Manuel. Use la cuadrícula para dibujar la nueva distribución de la habitación con las nuevas coordenadas:

Cama: – – – – – –

Armario: – –

Silla: – – – –

Escritorio: – – – –

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6. El mueble que rotó alrededor de una de sus esquinas iniciales es:

a. Cama b. Armario

c. Silla d. Escritorio

7. El movimiento que realizó al armario fue:

a. Trasladarlo 4 unidades hacia abajo b. Rotarlo alrededor de uno de sus lados c. Reflejarlo respecto al eje vertical d. Trasladarlo 4 unidades a la izquierda

8. El mueble que reflejó respecto al origen es:

a. Cama b. Armario

c. Silla d. Escritorio

9. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene simetría rotacional?

a. b. c. d. 10. Complete las figuras según las líneas de simetría mostradas.

Encuentre otras líneas, si las hay.

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11. Determine cuántas líneas de simetría tiene la figura y si

tiene simetría rotacional.

12. La imagen de la palabra NOON después de rotarla es

NOON. ¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?

13. La imagen de la palabra TOT al reflejarla respecto a la línea

vertical a través de la O es TOT. ¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?

14. La imagen de la palabra BOOK al reflejarla respecto a la

línea horizontal es BOOK. ¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?

31

15. La imagen del número 1881 al reflejarlo respecto a la línea horizontal y luego vertical es 1881. ¿Qué otros números menores que 2000 tienen esta propiedad?

16. ¿Cuál de las siguientes sería una imagen de la figura original

bajo rotación?

a. b.

c. d.

17. Encuentre el patrón con el que fueron generadas las figuras.

¿Cuál figura irá en la posición F?

32

¿Volverá a la posición original? ¿En qué letra? Invente un patrón similar al anterior e intercámbielo con un compañero para encontrar la solución.

18. Si la moneda superior se rota alrededor de la moneda

inferior hasta que esté al lado, ¿en qué posición queda la cara de la moneda superior?

19. E y F son bolas de billar. Busque el punto en que F debe

golpear la banda DC para chocar después con la bola E.

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20. Someta el paralelogramo a las siguientes transformaciones

y de las nuevas coordenadas:

a. Traslación según el vector . b. Traslación de la imagen resultante del paso anterior

según el vector . c. Determine el vector que transforme, directamente, la

figura inicial en la imagen del paso anterior. 21. Someta la figura a las siguientes transformaciones:

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a. Refleje la figura con respecto a la recta . b. Refleje la imagen resultante del paso anterior respecto

a la recta . c. Defina el giro equivalente a la composición de ambas

simetrías. d. Realice la composición de las simetrías anteriores, pero

en orden inverso. 22. Los puntos y

son los vértices de un rombo en el plano cartesiano. Calcule las coordenadas del rombo transformado mediante:

a. Simetría respecto al eje . b. Simetría respecto al eje . c. Simetría respecto a la recta que pasa por los puntos

. d. Rotación de alrededor del punto .

23. Doble una hoja de papel por la mitad y luego nuevamente

por la mitad en el otro sentido. Realice el dibujo aquí mostrado, sobre la esquina doblada. Corte por la línea y desdoble.

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24. Use el compás para dibujar un círculo de 4 pulg. de

diámetro sobre un papel y córtelo. Doble por las líneas punteadas que muestran las figuras y finalmente, haga los cortes indicados.

25. Polihueso: a partir de un cuadrado construir los huesos para

teselar el plano, siguiendo las indicaciones.

36

26. Palomita: a partir de un triángulo equilátero construir las palomitas para teselar el plano, siguiendo las instrucciones.

27. Escriba las transformaciones para llegar de una figura a la

otra en el orden mostrado.

28. Sean tres puntos del plano.

Halle las coordenadas del triángulo homólogo de mediante la homotecia de centro y razón .

37

29. En la figura hay un triángulo rectángulo y su homotético . Halle la razón de la homotecia y calcule las dimensiones de los triángulos.

30. Señale el centro y la razón de homotecia en los siguientes

casos:

38

31. Complete la figura sabiendo que es la imagen de , y que es la de . Indique el centro y la razón de homotecia.

32. Construya una figura semejante que ocupe cuatro veces el

área de la mostrada.

33. Transforme la figura en cuatro cuadrados, no todos

congruentes, moviendo tres palillos.

39

34. Construya la estrella de seis puntas y mueva seis palillos para formar seis diamantes congruentes.

35. Transforme la figura en un cubo moviendo tres palillos.

36. De la figura, quite seis palillos para formar tres triángulos

equiláteros.

37. Cambie de lugar dos palillos para que la vaca quede

mirando hacia el otro lado.

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38. Dona y estrella (Origami)

Realice ocho módulos siguiendo los pasos 1 al 6 y ensámblelos, según el paso 7. Nomenclatura

Doblar y desdoblar

Doblar

Pliegue en

valle

Pliegue en montaña

Repetir tantas veces como palitos halla

Ahuecar Empujar

Quiebre

1 2 3

4 5 6

7

41

39. El destino de la suegra (Origami)

Había una vez una pareja de recién casados. El joven esposo quería regalarle una casa muy bonita a su amada esposa. Así que se reunieron para ponerse de acuerdo en el diseño de la nueva casa. El esposo cogió una hoja de papel tamaño carta y le dobló una diagonal.

La figura formó un gran techo y él le preguntó a la esposa: ¿Te gusta la casa con un gran techo inclinado? Déjame verla, le replicó ella. Bueno… me parece que el techo es demasiado grande para nuestra casa. ¿Por qué no la hacemos en dos aguas, como una casa tradicional? Bueno, hagámoslo así. Tomando la punta larga, la dobló sobre la otra.

La figura formó la casa con dos caídas. ¿Y así, cómo te parece? No me gusta – respondió ella -. Volvamos al techo inclinado pero más pequeño. Así que doblando el papel por la mitad, obtuvieron la casa que querían.

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Así me gusta – dijo la esposa. Ahora quiero una gran chimenea. Así que el esposo plegó por la parte más alta una chimenea.

Al ver la figura de la casa con la chimenea, la esposa gritó: ¡Esa es la casa que yo quiero, mi amor! Ahora quiero ver cómo queda la casa por dentro. Para ver los planos de la casa, el esposo toma unas tijeras y corta cuidadosamente la figura por el borde de la chimenea.

Una vez cortada la chimenea, el esposo empieza a desdoblar la figura y a colocarla sobre la mesa para explicarle los planos de la casa.

- Bueno, mi amor, aquí queda el salón comedor (1), los espacios cuadrados son para la cocina (2) y el baño (3) y al fondo una gran alcoba (4). - Todo me gusta mucho, pero he decidido que mi mamá viva con nosotros y no veo su alcoba. - Bueno, mi amor, es que yo para tu mamá tengo otros planes -. Tomando la parte de la chimenea,

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empieza a desdoblarla cuidadosamente hasta que…

¡¡¡Oh!!! Destino… Aparece una cruz. Deduzca usted el destino de la suegra.

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REFERENCIAS [1] JURGENSEN, Ray; BROWN, Richard; JURGENSEN, John.

Geometry, McDougal Littell, 2009. [2] VANCLEAVE’S, Janice. Geometry for every kid, 1994.

[3] http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra

/movimientos.htm [4] http://www.geogebra.org/cms/

Departamento de Educación de

Puerto Rico

Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo

Universidad del Turabo

Faces: M.C. Escher