EDUCACION SUPERIOR, ABIERTA Y A DISTANCIA

INGENIERIA EN BIOTECNOLOGIA

SEGUNDO CUATRIMESTRE

ALGEBRA LINEAL

Actividad 1. Menores y cofactores de un determinante

ALUMNOS:

FEBRERO 2012

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Menores y cofactores

Instrucciones:

Retoma el problema trabajado durante las unidades 1 y 2: Sustancias que funcionan como

superproteínas. Lee el siguiente caso y resuelve lo que se solicita con base en la matriz de datos del

problema.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que

funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una

zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame

petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se

presentaron muchas dificultades, ya que se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales

resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al

realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba,

de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a

un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se

vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era

producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto,

con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo.

De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva

sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva

sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida.

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Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y con este

procedimiento encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta

manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera,

obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera,

obteniendo 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se pide, supongan que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la

repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la

tercera.

Instrucciones para la elaboración del trabajo:

Contacta a los integrantes de tu equipo y realicen la siguiente actividad.

1. Obtengan cada uno de los menores del determinante asociado a la matriz de datos del problema.

2. Obtengan cada uno de los cofactores de dicho determinante.

Trabajo individual:

Cada integrante deberá elegir una fila diferente y obtener el determinante a partir de dicha fila.

Cada integrante deberá elegir una columna diferente y obtener el determinante a partir de dicha

columna.

Como habíamos visto en actividades anteriores, el sistema de ecuaciones y las matrices son las siguientes:

2a+2b+1c=4.54a+6b+3c=126a+9b+7c= X

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2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

4.5 B= 12 X

2 2 1 4.5 A/B= 4 6 3 12 6 9 7 20.5

Para el caso de esta actividad tomaremos a la matriz A, por cumplir el requisito de ser una matriz nxn.

2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

Cada uno de los integrantes del equipo ha elegido un renglón o una columna (después de que cada uno de nosotros ha realizado los procesos que se detallan a continuación; nos dimos a la tarea de unificar los criterios de presentación y redacción de las mismas; obteniendo como resultado el documento que se presenta), a continuación ya se muestran los determinantes en cada uno de los casos:

RENGLON 1 ESTA ACTIVIDAD FUE DESARROLLADA POR JOSE LUIS LARA LARA

Se obtienen los menores y su correspondiente determinante:

2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

6 3M11 = = (6*7)-(9*3) = 42-27 = 15 9 7

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4 3M12 = = (4*7)-(6*3) = 28-18 = 10 6 7

4 6M13 = = (4*9)-(6*6) = 36-36 = 0 6 9

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los

cofactores correspondientes a dichos menores:

A11 = (-1)1+1 (IM11I) = (-1)2 (15) = 15

A12 = (-1)1+2 (IM12I) = (-1)3 (10) = -10

A13 = (-1)1+3 (IM13I) = (-1)4 (10) = 0

Enseguida aplicaremos el método de expansión por cofactores para encontrar la determinante de A.

IAI = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

IAI = 2(15) + 2 (-10) + 1(0) = 30-20+0 = 10

IAI = 10

RENGLON 2 ESTA ACTIVIDAD FUE DESARROLLADA POR HECTOR PEÑALOZA GUTIERREZ

Se obtienen los menores y su correspondiente determinante:

2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

2 1M21 = = (2*7)-(9*1) = 14-9 = 5 9 7

2 1M22 = = (2*7)-(6*1) = 14-6 = 8 6 7

2 2M23 = = (2*9)-(6*2) = 18-12 = 6 6 9

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Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los

cofactores correspondientes a dichos menores:

A21 = (-1)2+1 (IM21I) = (-1)3 (5) = -5

A22 = (-1)2+2 (IM22I) = (-1)4 (8) = 8

A23 = (-1)2+3 (IM23I) = (-1)5 (6) = -6

Enseguida aplicaremos el método de expansión por cofactores para encontrar la determinante de A.

IAI = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23

IAI = 4(-5) + 6 (8) + 3(-6) = -20+48-18 = 10

IAI = 10

COLUMNA 1 ESTA ACTIVIDAD FUE DESARROLLADA POR HECTOR PEÑALOZA GUTIERREZ

Se obtienen los menores y su correspondiente determinante:

2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

6 3M11 = = (6*7)-(9*3) = 42-27 = 15 9 7

2 1M21 = = (2*7)-(9*1) = 14-9 = 5 9 7

2 1M31 = = (2*3)-(6*1) = 6 – 6 = 0 6 3

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los

cofactores correspondientes a dichos menores:

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A11 = (-1)1+1 (IM11I) = (-1)2 (15) = 15

A21 = (-1)2+1 (IM21I) = (-1)3 (5) = -5

A31 = (-1)3+1 (IM31I) = (-1)4 (0) = 0

Enseguida aplicaremos el método de expansión por cofactores para encontrar la determinante de A.

IAI = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31

IAI = 2(15) + 4 (-5) + 6(0) = 30-20+0 = 10

IAI = 10

COLUMNA 2 ESTA ACTIVIDAD FUE DESARROLLADA POR JOSE LUIS LARA LARA

Se obtienen los menores y su correspondiente determinante:

2 2 1 A = 4 6 3 6 9 7

4 3M12 = = (4*7)-(6*3) = 28-18 = 10 6 7

2 1M22 = = (2*7)-(6*1) = 14-6 = 8 6 7

2 1M32 = = (2*3)-(4*1) = 6 - 4 = 2 4 3

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los

cofactores correspondientes a dichos menores:

A12 = (-1)1+2 (IM12I) = (-1)3 (10) = -10

A22 = (-1)2+2 (IM22I) = (-1)4 (8) = 8

A32 = (-1)3+2 (IM32I) = (-1)5 (2) = -2

Enseguida aplicaremos el método de expansión por cofactores para encontrar la determinante de A.

IAI = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32

IAI = 2(-10) + 6 (8) + 9(-2) = -20+48-18 = 10

IAI = 10

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Trabajo en equipo:

3. Compartan y analicen con sus compañeros de equipo los procedimientos y resultados que obtuvieron

al trabajar individualmente con el determinante asociado a la matriz del problema: Sustancias que

funcionan como superproteínas.

4. Respondan la siguiente pregunta:

¿Los resultados que obtuvo cada uno fueron iguales o diferentes? Expliquen por qué.

Cuando conjuntamos la información y comparamos los resultados, vimos que todas las determinantes de la matriz era el valor de 10. Y la explicación del porque es así creemos que es el resultado de que estamos hablando de un sistema de ecuaciones; por lo tanto todas las variables, los menores y en consecuencia la determinante forman parte de un todo.

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