Algunos comentarios sobre algunos espacios homogéneos naturalmente reductivos y su relación con las álgebras de Clifford.

• Los espacios más regulares parecen los más simétricos

• Conferencia de Hilbert en el Ier ICM, Paris, 1900

• Los fundamentos algebraicos de las álgebras de Lie

• Clasificación de las raíces

• Clasificación de los espacios simétricos por Cartan (Helgason)

• Caracterización de los espacios simétricos (R = 0)

• Importancia del estudio de los grupos de Lie como ejemplos de variedades de Riemann

• Buenos textos: Warner y Gray (no publicado) entre otros

• Teorema de la variedad homogénea

• Caracterización de las variedades homogéneas

• Ejemplos: esferas, proyectivos, grasmanianas, etc. (simétricos), banderas,

• La clasificación de Berger V1 y V2, Ann. Scuola Norm. Sup. (1961)

• Los ejemplos de Aloff-Wallach, BAMS,, ((1975)

• El ejemplo de Wilking V3, PAMS, (1999)

• Los artículos de Chavel sobre V1 y V2, BAMS, Comm. Math. Helv., ((1967)

• Existencia de campos de Jacobi anisotrópicos enV1 y V2

• El artículo de González-Dávila, (J. Diff. Geom..)

• Un resultado de Naveira y González-Dávila sobre campos de Jacobi anisotrópicos en V3, (Preprint)

• La clasificación de Gray de los espacios 3-simétricos, J. Diff. Geom., (1972)

• Otros resultados de Jiménez, Kowalsky, Dusek, Kaplan, etc.

• Artículo de Gray en Math. Ann.(1976). Importancia de R – R* y del hecho que (J’)2 sea paralelo

• Desviación covariante de los espacios homogéneos respecto de los simétricos

• El rango oscilador constante de un espacio homogéneo

• Resultado sobre V1 (Naveira-Tarrío, Monatsch. Math. 2008) y V3 (Macías-Naveira-Tarrío, C. R. Acad. Sc. Paris 2009). Problema abierto sobre V2.

• Resultado sobre el ejemplo de Kaplan, (Arias-Naveira)

• Resultado sobre la bandera F6, (Arias, preprint)• Conjetura sobre los espacios 3-simétricos (con

Arias)• Resultado bien conocido: Todo espacio simétrico-

hermítico verifica la Iª Condición de curvatura• Resultado nuevo: Todo espacio homogéneo con

una estructura casi-compleja invariante y con una métrica biinvariante verifica la IIª Condición de curvatura

• Los artículos de Nagy sobre NK-Variedades, (Ann Global Ann. Appl., 2002, Asian J. math.

• Importancia de la conexión canónica• Importancia de los resultados de Gray sobre

descomposición de las NK-variedades, Math. Ann. (1976)• Descomposición de las NK-variedades: Kaehler + Estricta• Descomposición de las NK-variedades estrictas:• 6-dim. NK-estrictas• NK-Homogeneous de tipo I, II, III y IV• Twistor spaces sobre variedades Kaehler cuaterniónicas

con curvatura escalar positiva• Importancia de la descomposición para la determinación

del rango.

• El artículo de Calabi-Vesentini para los espacios simétricos herméticos infinitos (Ann. of Math., (1960))

• El artículo de Borel para los espacios simétricos herméticos excepcionales (Ann. of Math., (1960))

• La teoría de Hodge para las NK-variedades, (Vertbinski, arXiv)

• Problema: Extensión a los espacios 3-simétricos de los resultados de Calabi, Vesentini y Hodge, utilizando para ello la teoría de Hodge, la teoría de las raíces y la curvatura de la conexión canónica.

• Propiedades generales de las álgebras de Clifford.

• El problema de Dirac.• Las spin-variedades. Importancia para la

Geometría Diferencial y para la Física Teórica.• Cálculo espinorial sobre spin-variedades

riemannianas.• Abundante bibliografía:Entre otros, Deheuvels,

Baum, Friedrich, Lawson, Gallier, …

• Operador de Dirac: DX = sk sk

• Ecuación twistor: X +(1/n) X D = 0

• Killing espinor: X = BX

• Nuevo interés del estudio de las NK-variedades, (Grunewald y otros).

• Spinores de Killing NK-var. en M6.

• Importancia del rango constante

• Estructuras contacto. Variedades de Sasaki.• Var. Einstein-Sasakianas Existen espinores de Killing, pero más de uno.• Diversos ejemplos en M5 y M7.

• V1, V2 (Berger) no son Sasakianas, todo indica que deben admitir spinores.

• Familia de variedades con Spinores en los ejemplos de Allof-Wallach.

• Parece que V3 está dentro de esta familia

• Clasificaciones de Friedrich y otros para M7 con 2 ó 3 espinores de Killing.

• Con un espinor: Problema abierto.

• Condición suficiente M7 admita un espinor de Killing: Utilizando el vector-cross product, (Gray, 1969, TAMS)

• Importancia de los artículoos de Agricola y Kostant

• Utilización de la conexión canónica

• Operadores de Dirac y Killing para esta conexión

• Posible interes por contrastar resultados de las conexiones de Levi-Civita y de la canónica

References

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