Algunas aplicaciones del cálculo vectorial a la

mecánica de los fluidos

Alvaro Díaz - IMFIA (adiaz@fing.edu.uy)

9 de noviembre 2016

Fuentes utilizadas

• Fascículos de los cursos de Elementos de Mecánica de los Fluidos y de Mecánica de los Fluidos, redactados por el Prof. Julio Borghi

• Fluid Mechanics (P. Kundu e I.Cohen, 2005)

• Atmosphere-Ocean Dynamics (A. Gill, 1982)

• The Bjerknes’ Circulation Theorem (A HistoricalPerspective (A. Thorpe, H. Volkert y M. Ziemianski (Bulletin of the American Meteorogical Society, 2003)

• Invisible in the storm (The role of Mathematics in understanding weather) (I. Roulstone y J. Norbury, 2013)

• Salvo mención en contrario supondremosque todos los campos son lisos (o sea C1).

• En general, los campos que consideramosdependen del espacio y del tiempo.Muchas veces consideraremos un instantefijo t, y omitiremos escribir el tiempo,anotando, p. ej. v(P) en vez de v(P,t).

Notaciones

• Gradiente de un campo escalar φ:

grad(φ) = ∇φ

• Divergencia de un campo vectorial v:

div(v) = ∇.v

• Rotor (o rotacional) de un campo vectorial v:

rot(v) = ∇∧v

Interpretación física de la divergencia, en particular para el campo de velocidades.

Sea una región cuya frontera cerrada es S y consideremos el flujo del campo de velocidades v a través de S:

(∇.v) (P) > 0 ( < 0 ), expresa que, en una regiónsuficientemente próxima a P, el fluido se está expandiendo(comprimiendo).

Y se puede demostrar que:

Si ∇.v = 0 en todo una región (campo de velocidadessolenoidal), decimos que el movimiento es incompresible.

(La región puede deformarse pero sin cambiar el volumen.Ese es el comportamiento típico de los líquidos, con unexcelente grado de aproximación.)

Teorema de la divergencia o de Gauss. Interpretación física para el campo de

velocidades.

La conocida igualdad indica que el flujo del campo de velocidades a través de lafrontera cerrada se puede calcular como una integral en el volumen.

Ejemplo con un conducto donde circula fluido incompresible

La tubería tiene sección circular; la velocidad es paralela al eje y es la misma para todas las partículas que están en una misma recta paralela al eje.

Cálculo de la divergencia

Hay muchos problemas en los que la geometríasugiere fuertemente el uso de coordenadas distintas delas cartesianas.

Movimiento de un fluido entre dos cilindros coaxialesque giran

Movimiento de un fluido entre dos esferas que se inflan o desinflan

Etc.

¿Cómo se calcula la divergencia en otros sistemas de coordenadas?

Se puede demostrar que la divergencia, y también elgradiente y el rotor, son invariantes respecto delsistema de coordenadas.

Por eso, las expresiones de esos operadores en distintossistemas de coordenadas son diferentes.

Ej, en coordenadas cilíndricas:

U(r,θ,z) = Ur(r,θ,z) er + Uθ(r,θ,z) eθ + Uz(r,θ,z) ez ,

Y en esféricas:

U(r,θ,φ) = Ur(r,θ,φ) er + Uθ(r,θ,φ) eθ + Uφ(r,θ,φ) eφ

Ejemplo: U(P) = k.(P-O)

k constante 0; O es un punto fijo

¿Qué movimiento es?

Hallar la divergencia en cartesianasy en esféricas.

Análogamente ocurre con el gradiente y el rotor.

Incluso en algunos casos, es conveniente usar al mismo tiempo dos sistemas de coordenadas:

Superposición de los campos de velocidades de unmovimiento uniforme de velocidad: -voe1 (vo > 0) y del deuna fuente puntual plana ubicada en O.

La divergencia aparece también en la ecuación puntual de balance de masa:

donde ρ(P,t) es la densidad en el punto P e instante t.

Notar que la divergencia y la derivada de la densidad respecto al tiempo tienen signos opuestos. ¿Cuál es la interpretación física de ésto?

¿Qué pasa si ρ(P,t) = cte?(Caso de los líquidos)

Una consecuencia del teorema de la divergencia.

Caso particular importante: α(P) = p0 (constante).

Ecuación de Euler-Cauchy para un fluido perfecto (sin fricción interna)

Para el caso de un fluido perfecto, la 1ª ecuación de balance mecánico se escribe:(∀ D ⊂ H(t))

la cual, aplicando una fórmula anterior

se convierte en:

Como esta ecuación vale para toda región D, y siendo el integrando continuo en H(t),este debe ser nulo en todo punto de H(t). Llegamos entonces a la ecuación puntual deEuler-Cauchy:

(no es un fluido real, sino un modelo del fluido; las tensiones de contacto son normales a la superficie frontera).

El rotor y su interpretación física para el campo de velocidades

A mediados del siglo XIX, Stokes consideró el estudio, en un instante fijo t, del movimiento relativo del fluido respecto al de la partícula que ocupa la posición P.

Si tomamos P’ en un entorno de P, se puede demostrar que:

v(P',t) – v(P,t) = W(P' – P) + D(P' – P) + o(P' – P),

siendo W(P,t) una transformación lineal (o tensor) antisimétrica, D(P,t) un tensor simétrico, y o es un infinitésimo de orden superior a |P’ – P|.

La suma W(P' – P) + D(P' – P) se llama campo local de velocidades, y es una aproximación del movimiento relativo alrededor de P, para posiciones P’ “cercanas” a P.

Como la matriz de W es antisimétrica, la misma puede escribirse en la forma:

Consideremos el campo vectorial dado por: P' → W(P' – P).

Se tiene entonces, para el campo vectorial en estudio, la siguiente representación:

P' → W(P' – P) = Ω∧(P' – P)

Esto permite interpretar este campo vectorial como el campo de velocidades de un movimiento rígido debido a una rotación alrededor de P con velocidad angular: Ω = Ω(P,t).

Este campo vectorial se denomina campo de velocidades de rotación en (P,t); Ω(P,t) se llama velocidad angular de rotación local en (P,t); y el tensor: W = W(P,t), se denomina tensor de velocidades de rotación en (P,t).

Fijado un sistema ortonormal directo de coordenadas cartesianas, de base (O,e1,e2,e3), se puede probar que:

Entonces tenemos:

Es decir que: Ω(P,t) = ½(∇∧v)(P,t) = ½(rot v)(P,t)

Entoces podemos interpretar el rotor del campo develocidades en (P,t) como el doble de la velocidadangular Ω del movimiento rígido de rotación local.

El rotor: (∇∧v) recibe a veces el nombre de vorticidad.

En el caso que (∇∧v)(P) = 0 (o sea W = 0) para todo P en un conjunto abierto, se dice que el movimiento es irrotacional (o de deformación pura, ya que el movimiento local no tiene componente rígida).

En ese caso, tendremos que:

v(P',t) – v(P,t) = D(P' – P) + o(P' – P),

El teorema de Stokes (o del rotor) vincula el rotor con la circulación en una curva cerrada:

• (S es una superficie acotada, parametrizada y lisa, de vector unitario normal yorientado n, cuyo borde es una curva lisa C , orientada en sentido positivo deacuerdo a la orientación de n; v es un campo vectorial C1 en un abierto quecontiene a S∪ C.)

• Si S es plana y v está en S, se puede interpretar la proyección del rotor en un punto según la normal al plano como el cociente entre la circulación en una curva cerrada que rodea al punto y el área de la superficie limitada por la curva, cuando dicha área tiende a 0.

dA).(ds nvv.t SC

Ejemplos: 1) Movimiento de corte simple

El campo de velocidades en cartesianas es:

v = kx2 e1 (k>0, dato)

Es un movimiento estacionario, globalmente rectilíneo, en el que cada partícula describe un movimiento uniforme con trayectoria paralela a la recta (O,e1). Es inmediato comprobar que el movimiento es incompresible.

∧ = −k e3Por otra parte, tenemos que:

por lo que en cada punto, hay velocidad angular de rotación local no nula:

Ω = ½(∇∧v) = (–k/2) e3 (constante para cualquier punto)

(además de haber deformación local)

Se puede calcular directamente la circulación del campo de velocidades en una curva cerrada elegida adecuadamente y se puede vincular el resultado con el teorema de Stokes

Ejemplos: 2) Vórtice o torbellino

El campo de velocidades en un sistema cilíndrico de base (O,er,eθ,ez) está dado por:

v = (k/r) eθ , ( k > 0, dato).

Las trayectorias son circunferencias centradas sobre (O,ez). Es fácil verificar que es incompresible.Además:

= 0

Se trata entonces de un movimiento globalmente circular pero sin velocidad angular de rotación local, o sea irrotacional en cada punto del dominio. Es un movimiento de deformación pura.

Nuevamente, se puede calcular directamente la circulación del campo de velocidades en una curva cerrada elegida adecuadamente y se puede vincular el resultado con el teorema de Stokes

Algunos resultados para cuerpos continuos o para fluidos vinculados a la circulación y al

rotor

Teorema del transporte de la circulación

Sea C (t) una curva material cerrada y orientada, (curva material = curva constituida por las mismas partículas en todo instante) en un cuerpo continuo cualquiera.

Entonces se cumple que:

Los dos siguientes resultados son válidos para fluidos perfectos incompresibles o compresibles barotrópicos.

Es incompresible si ρ(P,t) = cte. ( => .v = 0)Es barotrópico si es ρ = ρ(p)

Teorema de Kelvin

Dado un movimiento cualquiera de un fluido perfecto, barotrópico oincompresible, bajo la acción de una fuerza de masa que proviene de unpotencial, la circulación del campo de velocidades en cualquier curvamaterial cerrada y orientada permanece constante en el tiempo.

(Se puede pensar que la fuerza de masa es p. ej. el peso.)

Teorema de Lagrange

Con las mismas hipótesis de Kelvin:

Si el movimiento del fluido es irrotacional ((∇∧v)(P,t0)= 0) para todo P en un abierto, en un instante t0, entonces es irrotacional en cualquier instante.

Es decir que, en estos tipos de fluidos, no es posible generar vorticidad.

Movimiento estacionario, incompresible e irrotacional de un fluido perfecto alrededor de un cilindro (en ausencia de fuerzas de masa)

1) Movimiento sin circulación

El cálculo de la fuerza que ejerce el fluidosobre el cilindro da F = 0.Esta es la paradoja de D’Alembert; (enfluidos reales aparece una fuerzaen la dirección del movimiento.)

En fluidos reales hay fricción interna y adherencia al cilindro (no previstos por la teoríadel fluido perfecto) que produce tensiones tangenciales. Además, el movimiento hallado representa razonablemente bien el movimiento en la zona frontal, pero no en la posterior, donde aparecen abundantes torbellinos.

2) Movimiento con circulación ≠ 0

Ahora es: siendo v(r,) la velocidad obtenidaen 1) (mov. sin circulación)

Ahora el cálculo de la fuerza que ejerce el fluido sobre el cilindro da:

F = – ρ0 v0 e2 (en la figura es hacia arriba)

En la práctica, se obtienen movimientos con circulacióncuando se considera un cilindro rotatorio rodeado por una corriente de fluido.

En la zona posterior del cilindro, aparece un desprendimiento de torbellinos que giran en sentido contrario al cilindro.

Se instala un movimiento estacionario con circulación no nula con el sentido de la rotación del cilindro. Es posible detectar asimismo una fuerza sobre el cilindro que, además de tener componente según la dirección de la velocidad, tiene componente normal a ésta.

Teorema de la sustentación de Kutta-Zhukhovsky (o Joukowski) (1902 y 1906)

El resultado para el cilindro circular en el movimiento con circulación

F = – ρ0 v0 e2

se extiende a cualquier cuerpo cilíndrico y ha sido esencial parael desarrollo de la aerodinámica.

En fluidos reales, el desarrollo de circulaciónalrededor de formas adecuadas (perfil de ala deavión) se debe a la presencia de viscosidad. Sinembargo, la magnitud de la circulación esindependiente de la viscosidad; sí depende de vo yde la forma y posición del cuerpo.En este caso aparece la fuerza de sustentación (lift)y de arrastre (drag).

Aplicación a fluidos geofísicos

Si el fluido es perfecto, pero no es incompresible ni barotrópico (p. ej. es un gas ideal, (p = ρ RT)) no vale el teorema de Kelvin.

Aplicando el transporte de la circulación, la ecuación de Euler-Cauchy, y el teorema de Stokes, se puede demostrar que:

S

2dAn.

ρ

pρ

dt

dΓ(el vector del integrando se llama vector baroclínico)

Este resultado, que incluye al teorema de Kelvin como caso particular, seconoce como Teorema de la circulación de Bjerknes (1898), quien lo aplicóa varios fenómenos de fluidos, algunos en la atmósféricos.

Brisa marina

A la izquierda está el mar, y a la derecha la costa.Las líneas punteadas son isóbaras horizontales; las llenas son isocoras (de igualdensidad), que toman esa forma debido al mayor calentamiento matutino de latierra que del mar, por su menor calor específico.

(Los vectores dibujados son: - ρ y - p)

El efecto baroclínico produce circulación del aire en el sentido indicado.

Otro ejemplo de Bjerknes

El fluido ínterior tiene menor densidad queel exterior, lo cual induce una circulación queprovoca el ascenso de la masa interior, en concordancia con el Principio de Arquímedes.

Muchas gracias!!