EscuelaPolitecnicaNacionalAnalisisMatematicoIIIAlgoritmodeGoogle-PageRankMiltonTorresEspa na22dejuliode20151. Introducci on1.1. ContextoHist oricoEnlos primeros buscadores de lahistoriaentre ellos Altavista, Yahoo, Lycos, los resultados eranmostrados alfabeticamente. Es por elloqueel gigantedel comercioelectronicoAmazonlogrogranpopularidadenlosprimerosbuscadores.ConlaapariciondeGooglelascosascambiaronporcompletoylosresultadoseranmostradosconbaseenrelevanciaconlaconsultadelusuario.ElPagerankfuedevitalimportanciaparaltrara unmaslosresultados.ElsistemaPageRankesutilizadoporelpopularmotordeb usquedaGoogleparaayudarleadeterminarlaimportanciaorelevanciadeunapagina. Fuedesarrolladoen1998porlosfundadoresdeGoogle,LarryPage(apellido,delcual,recibeelnombreestealgoritmo)ySergeyBrin,en la Universidad de Stanford mientras estudiaban el posgrado en ciencias de la computacion. Brin sehabagraduadoenMatematicasyPageenInformatica.En2004, Googlesacoalaventaacciones por el valor de2700millones dedolares. Por loqueel algoritmoPageRanksignicoparaGoogle unagranideaque revolucionolanavegacionwebydestronoatodossuscompetidores.1.2. ProblemaDeformamuysimplicada,unbuscadordepaginaswebsecomponededospartesfundamentales:Unareddepaginasweb,queseencargadelocalizarlaspaginaswebyloshiperenlacesquehayentreellas.Unmetodoparaordenarpaginasweb,deacuerdoconsurelevancia.Elproblemasecentraenlasegundaparte,sitenemosunalistadepaginaswebquetratansobreuntema,comopodemosordenarlasatendiendoasuimportancia?2. Modelizaciondelproblema2.1. Comodeterminamoslaimportanciadecadapagina?Laideafundamental empleadaporloscreadoresdePageRank, SergeyBrinyLawrencePage, es: laimportanciadeunapaginaestadeterminadaporeln umerodep aginasenlazadasconella,ademasdelaimportanciadeestas.1Nosotros asignaremos acadapaginawebP unamedidadeimportanciaI(P), llamadael Pa-geRankde la pagina. Este valor estadeterminadode laformaque mostramos acontinuacion.SuponemosquelapaginaPjtieneljenlaces. Si unodeestosenlacesesalapaginaPi, entoncesPjpasara1/ljdesuimportanciaaPi.ElrankingdeimportanciadePiesentonceslasumadetodaslascontribucioneshechasporlaspaginasenlazadasaella.Estoes,sidenotamosalconjuntodetodaslaspaginasenlazadasaPiporBi,entoncesI(Pi) =

PjBiI(Pj)lj.Observacion1. Paradeterminarlaimportanciadeunpagina,nosotrosdebemosconocerlaimpor-tanciadetodaslaspaginaenlazadasaella.Tomandoencuentalaobservacionanterior, podemosreformularel problemadeunaforma ma-tematicamentemasfamiliar.Crearemosunamatriz,llamadamatrizdehiperenlaces,H = (Hij)enlacualcadaentradaenlai-esimalayj-esimacolumnaesHij=_1/ljsiPj Bi,0 casocontrarioLa matriz H tiene algunas propiedades interesantes. Primero, todas sus entradas son no negativas.Tambien,lasumadelasentradasencadacolumnaesuno,amenosquelapaginacorrespondienteaestacolumnanotengaenlaces.Ahora, formaremos unvector I =(I(Pi)) cuyas componentes sonlos PageRanks detodas laspaginas, esdecir, estevectorcontieneel rankingdeimportanciadecadapagina. EntoncespodemosexpresarlacondicionquedeneelPageRank,dadaenlaobservacion1,comoI= HI.Notemos que el vector Ies un vector propio de la matriz H con valor propio 1. Este vector es llamadovectorestacionariodeH.2.2. PuntodevistaprobabilistadelmodeloEnsuspublicaciones,LawrencePageySergeyBrintienenunamuysimplejusticacionintuitivaparael algoritmoPageRank. Ellosconsideranal PageRankcomounmodelodecomportamientodelos usuarios, dondeunsursta daclics sobrelos enlaces enformaaleatoriasintener encuentaelcontenidodecadapagina.Estecomportamientoestadescritoporlasiguientehipotesis:Hipotesisdelsurstaaleatorio: Si navegamos de forma aleatoria, pasaremos con mayorfrecuen-ciaporlosnodosdemayorimportancia.Deacuerdoalahipotesisanterior,tenemosquesidenotamosporTjalafracciondetiempoquepasamosenlapaginaPj.EntonceslafracciondeltiempoenquellegamosalapaginaPiviniendodelapaginaPjesTj/lj.SillegamosalapaginaPi,debemoshabervenidodeunapaginaenlazadaconella.EstosignicaqueTi=

PjBiTjlj,donde la suma es sobre todas las paginas Pjenlazadas con Pj. Notemos que esta ecuacion es la mismaquedenimosparalosrankingsPageRankyentoncesTi= I(Pi).Observacion 2.Para esta interpretacion, requerimos que la suma de las entradas del vector PageRankIseauno.2Notemosennuestrainterpretacionsurgeunacomplicacion: Si navegamosdeformaaleatoriaenalg unmomentopodramos estar atascados enunapaginasinenlaces. Por tanto, necesitamos queentodomomentopodemossaltaraotrapagina. Paraello, realizamosunapeque namodicacionenlamatrizdehiperenlacesH. Reemplazaremoslascolumnasdeceroscorrespondientesapaginassinenlacesporunacolumnadondecadaentradaes1/n.NotaremosaestamatrizconS.LamatrizStienetodassusentradasnonegativasylasumadelasentradasdecadacolumnaesuno.Portanto,lamatrizSesestocastica.Observacion3. Todamatrizestocasticatieneunvectorestacionario.PodemosescribiralamatrizScomoS = H+A,donde A es una matriz la cual todas sus entradas son ceros excepto para las columnas correspondientesa una pagina sin enlaces, en las cuales cada entrada de esa columna es 1/n. De la misma forma, nuestroproblemaaresolversepuedeescribircomoI= SI. (1)Laecuacion(1)nosllevaaunproblemadevaloresyvectorespropios,dondetenemoslacondiciondequeelvalorpropioseaiguala1,yelvectorpropioIacalculartengatodassusentradaspositivasylasumadesusentradasseauno.Ademas,estevectorIdebeser unico.Acontinuacion,veremosunparderesultadosquenosdaranlaexistenciayunicidaddeunvectorpropio,conlascaractersticasantesmencionadas,asociadoalvalorpropiodemayorvalorabsoluto.3. TeoradePerron-FrobeniusEn primer lugar, vamos a distinguir entre el teoremadePerron, cuya aplicabilidad alcanza a todaslas matrices positivas (aquellas matrices A = (aij) cuyos coecientes son todos positivos, aij> 0), y elteorema de Perron-Frobenius que, con ciertas condiciones adicionales, es valido para las matricesnonegativas(aquellasmatricesA = (aij)cuyoscoecientessonnonegativos,aij 0).Usaremoslasiguientenotacion:A BsignicaquetodacomponentedeAesmayoroigualquelacomponentecorrespondientedeB.Delamismaforma,A > BsignicaraquetodacomponentedeAesmayorquelacorrespondientecomponentedeB.3.1. DenicionesyteoremaspreviosDenicion3.1(Grafodirigido). Ungrafodirigido(oreddirigida)esunpardeconjuntoG=(X, E), dondeX= {1, . . . , n}paraalg unn NyE X X. Si (i, j) Esediceque(i, j)eslaaristadirigidaqueunelosnodosi, j Xysedenotai j.Enestepunto,ladeniciondematrizdeadyacenciadeungrafodirigidoG=(X, E)aparecedemodonatural: si Gtienen Nnodos, lamatrizdeadyacenciaA(G)=(aij) MnndeGeslamatrizdadoporaij=_1, siexisteunaaristai jenG,0, enotrocaso.Denicion3.2(Radio espectral). El radioespectral (A) de una matriz cuadrada A es el maximodelosvaloresabsolutosdelosvalorespropiosdeA.Denicion3.3(Matrizirreducible). DecimosqueunamatrizcuadradaA, dedimensionn n, esirreducible si no existe alguna matriz de permutacion que transforme a dicha matriz en una triangularporbloques.Estoes:Aesirreducible P |P A PT=_A11A120 A22_,3dondeA11yA22sonmatricescuadradas.LademostraciondelteoremadePerron-Frobeniusnecesitaradelsiguientetrucodepositividad:Truco. SeaAunamatrizcuadradapositiva.Siysondosvectorescolumnanoigualescon ,entoncesA > A.Ademas,existealg unn umerorealpositivo > 0talqueA > (1 +)A.Teorema3.1(Formula de Gelfand). ElradioespectraldeunamatrizApuedeescribirseenterminosdelasnormasdesuspotencias:(A) = lmn+(An)1n.Lema3.2. SeaAunamatrizpositivan n.Seaunvectoren Cn.Escogemosun ndicej.Si

Aij|j| =

Aijj ,entoncesexistealg unc Cconc = 0tal queel productocesunvectornonegativo.Lema3.3. El espacio= {x Rn: x = 0}esinvariantebajoA.3.2. TeoremadePerronTeorema3.4(TeoremadePerron). SeaAunamatrizcuadradapositiva.Entoncesa) (A)esunvalorpropio,ytieneunvectorpropioasociadopositivo.b) (A)esel unicovalorpropioenel crculo || = (A).c) (A)tienemultiplicidadgeometrica1.d) (A)tienemultiplicidadalgebraica1.Demostracion. Acontinuacionprobaremoscadaunodelosresultados:(a) Atienea(A)comovalorpropio,y(A)tieneunvectorpropioasociadopositivo.Porladenicionderadioespectral,hayalg unvalorpropiotalque || = (A).Seanunvalorpropioyunvectortalquej= |j|.Entonces(A)i=

Aij|j|

Aijj = |i| = (A)i,asA (A).Si no son iguales, entonces por el truco de positividad, A2 > (A)A, y hay alg un positivo > 0conA2 (1 +)(A)A.La matriz A es no negativa, y tambien todas sus potencias An, multiplicando a ambos lados de laecuacionporAnsepreservaladesigualdad:An+2 (1 +)(A)An+1.Estoesverdaderoparatodon,asAn+1 (1 +)(A)An ((1 +)(A))2An1... ((1 +)(A))nA.AplicandolaformuladeGelfand(Teorema3.1)tenemosque(A) = lmn+An

1n (1 +)(A),4estoesunacontradiccion, portantonuestrasuposicionesincorrecta. Estosignicaquelosdosvectoressoniguales:A = (A).Tenemosque || estambienunvectorpropioconvectorpropio(A). Estenoessolamentenonegativosinoquetambienespositivo,porqueA|| = (A) ||espositivo.(b) El unicovalorpropioenel crculo || = (A)es(A).Supongamos que =(A) es alg unotrovalor propioenel crculo || =(A). Buscaremosunacontradiccion. Repitamos el razonamientodelaparte(a): si = |psi|, entonces nosotrosmostramosqueA = (A),o

Aij|j| =

Aijjparatodo1 j n.Aplicamosel Lema3.2, as tenemosquec>0paraalg unn umerocomplejoc =0. Peroestosignicaque(c) = c() = c(A) = A(c) 0espositivo,yc> 0,entoncesdebesernonegativo.Pero(A)esel unicon umerononegativoenelcrculo || = (A),loquesignicaque = (A)necesariamente.(c) (A)tienesmultiplicidadgeometrica1.Suponemosqueeselvectorpropiopositivoanteriory

esunvectorpropiolinealmenteinde-pendientedelvalorpropio(A).Podemossuponer,sinperdidadegeneralidad,que

esreal;deotromodotomaremoslasparteerealeseimaginarias, ylaspartessona unvectorespropios, porqueAy(A)sonreales. Unodeellosdebeserlinealmenteindependientede.Escogemos un c > 0 tal que c

es no negativo y al menos una entrada es cero. No es el vectorcero,porque,

sonlinealmenteindependiente.Pero c

=A[ c

](A)> 0.Escogimosctalquealmenosunaentradaescero,entonceshayunacontradiccion.Porlotanto,los dos vectores propios no pueden ser linealmente independientes. Luego, (A) tiene multiplicidadgeometrica1.(d) (A)tienemultiplicidadalgebraica1.Como en anteriores partes, sea un vector propio derecho de (A). Nosotros sabemos que hay unsolovectorpropioyqueespositivo.Sea una valor propio izquierdo de (A). Podemos obtener un vector propio mediante la aplicacionde(a)aAT.Estepardevectorespropiosnospermitendescomponer Rncomounasumadirecta.Ahora,usamoselconjuntodenidoenelLema3.3.Esteespaciotienedimensionn 1,yesunvectorquenoestaen,porque=

jj> 0.Porlotanto, Rnestaensumadirectadespan{}y.Sean2, . . . , nunabaseparaelespacio= {x Rn: x = 0}.SeaXunamatrizX=_ 2. . . n.Entonces XAX1deja invariante los espacios X1span{} = span{e1} y X1= span{e2, . . . , en},porloqueestecambiodebaseconvierteaAenunamatrizdiagonalporbloques:X1AX=_(A) 00 Y_5paraalgunamatrizY .Supongamosquetienemultiplicidadalgebraicamayorqueuno.EntoncestambiendebeserunvectorpropiodeY .PeroentoncesY debetenerunvectorpropiopara(A)tambien,loquehacequetengamosdosvectorespropios,estocontradicelaparte(b).Porlotanto,(A)tienemultiplicidadalgebraicauno.Estopruebalaparte(d).

3.3. TeoremadePerron-FrobeniusNosotros podemos extender facilmenteel TeoremadePerronparael casodondeAes unamatrizprimitiva y no negativa. Una matrizprimitiva tiene la propiedad de que existe alg un m N tal queAmespositiva.Teorema3.5(TeoremadePerron-Frobenius). Lasproposiciones(a),(b),(c)y(d)del Teorema3.4sontambienverdaderasparamatricesAnonegativastalesquealgunapotenciaAmespositiva.Demostracion. Sean1, . . . , nvalorespropiosdeA, contandoconlamultiplicidadalgebraica. Su-pongamosque1tieneel mayorvalorabsoluto. EntonceslosvalorespropiosdeAmsonm1, . . . , mndonde m1es valor propio de mayor valor absoluto. El Teorema de Perron nos dice que m1es positivo,ytieneunvectorpropiopositivo.TambiennosdicequetodoslosdemasvalorespropiosdeAsonmasmenores.Perosi |1|m> |j|mparaj 2, entonces |1| > |j| paraj 2. Porlotanto, 1esel valorpropiodemayorvalorabsoluto. Ademas, tienemultiplicidadalgebraicauno. Estevalorpropiodebeser,porquening unotrovectorpropiodeAtieneelvalorpropioderecho.As,hemosprobado(b),(c),(d),y(a)exceptoporlapositividadde1.Estosededucedelhechoqueespositivo,y1= A 0. 3.4. ConexionconelmodeloNuestra matriz S es estocastica entonces su valor propio de mayor modulo es 1. El Teorema de Perron-Frobeniusnosaseguralaexistenciadeun unicovectorpropioasociadoalradioespectral,queenestecaso es 1. Por lo que el problema (1) tiene solucion bajo las condiciones de que la matriz sea primitivaeirreducible.4. CalculoComputacionalSi bien el Teorema de Perron-Frobenius nos garantiza la existencia del vector propio que es la respuestaa nuestro problema de ordenacion, pero nada nos indica sobre como calcularlo. La demostracion de laseccionanteriornoesconstructiva,asquenonosayudaenlab usquedadeunmetodoparacalculardichovector.DebemostambientenerencuentaquelamatrizquemanejaGoogleesgigantesca(esdeordendevarios billones). Por lo que el metodo elegido debe ser el apropiado para tratar tal carga computacional.4.1. CasoidealSupongamosqueestamosenelmejorescenarioposible,esdecir,uncasoenquelascondicionesnece-sarias (matriz primitiva e irreducible)1se veriquen siempre. Con lo que nos aseguramos la existenciadeunvalorpropio1positivoestrictamentemayor(enmodulo)quetodoslosdemasvalorespropios.Ademas,1= 1.Llamemos1alvectorpropio(positivo)asociadoa1.1Si lamatrizesprimitivaentonces |j| |2| |3| . . . |n| ,sonunabasede Rn.Partimos,porejemplo,deun0 0,queescribimoscomoA0= c11 +c22 +. . . +cn, ndondelosn umerosc1, . . . , cnsonlascoordenadasde0enlabaseconsiderada.Luego,multiplicamoselvector0porlamatrizA,paraobtenerA0= c11 +c222 +. . . +cnnn,puestoquelosvectores1, . . . , nsonvectorespropiosdeA.Repetimosestaoperacion:A20= c11 +c2222 +. . . +cn2nn.Ylohacemosmuchasmasveces,digamoskdeellas:Ak0= c11 +c2k22 +. . . +cnknn.Supongamosquec1 = 0.Entonces,Ak0= c11 +c2k22 +. . . +cnknn.Perocomo |j| < 1paracadaj= 2, . . . , n,puestoque1= 1eselvalorpropiodominantetenemosAk0 c11,cuando k . De manera que, al multiplicar reiteradamente el vector inicial por la matriz A, vamosdeterminando, cadavezconmayor precision, el vector 1. Estemetodonumericoseconocecomometododelas potencias, ysuvelocidaddeconvergenciadepende, exclusivamente, de |2|. As,hemosencontradounmetodoecazparacalcularelvectorpropioquebuscabamos.4.2. Casoreal:UnamodicacionnalLassuposicionesanterioresnosevericanenlarealidad,yaqueparaquesecumplaquelamatrizSseaprimitivaeirreducibledebemostenerqueelgrafodirigidoD2delaredseafuertementeconexo3,estosignicaquecadapaginadebeestarenlazadaconotra, inclusocadapaginadebeserenlazadaconsigomisma.Laestructuradelaredesbastantepeculiar,similaraladeunorganismovivo,cadadasecreannuevaspaginaswebyotrasmuchasdesaparecen. Ademas, muchaspaginasnoposeenreferenciasdeotraspaginas. Entoncesnecesitamosunaformarazonableparaconseguirestarenlasituacionmejorposible.La solucionpropuesta por Brin yPage es denir una nueva matriz,a nadiendo una serie de proba-bilidadesdetransicion(desalida)atodoslosverticesdelgrafo,llamadaMatrizdeGoogle:G = S + (1 )___p1...pn___(1, . . . , 1),2Recordarque S = H+A,donde H correspondealamatrizdeadyacenciade D normalizadaporcolumnas.3Ungrafodirigidoesllamadofuertementeconexosiparacadapardeverticesuyvexisteuncaminodeuhaciavyuncaminodevhaciau.7dondep1, . . . , pnesunadistribuciondeprobabilidad_pj 0,

j pj= 1_conocidocomovectordepersonalizacionyesciertoparametroentre0y1llamadofactordesalto(tambienconocidocomodampingfactor).Notemos que G es una matriz estocastica ya que es la combinacion convexa de matrices estocasti-cas. Ademas, todas las entradas deGsonpositivas, locual implicaquesea, alavez, primitivaeirreducible.Porlotanto,aplicandoelTeoremadePerron,Gtieneun unicovectorestacionarioIquepuedeserencontradousandoelmetododelaspotencias.Enel casodequeladistribuciondeprobabilidadseapj=1nparaj=1, 2, . . . , n(conloquelamatrizyatienetodassusentradaspositivas),obtenemoselllamadoalgoritmoPageRankclasico.Sinembargo,podemoselegircualquiertipodedistribucion.Laadiciondeestevectordeprobabilidadnospermiterealizarb usquedas((personalizadas)).Enterminosdelmodelo,estamosagregandolaposibili-dad(1 )queelsurstaaleatorioopteporsaltaraotraspaginas.Elvalordedebeserescogidodeacuerdoalassiguientesimportantesobservaciones:a) ParalamatrizdeGoogle,sehaprobadoquelamagnituddelsegundovalorpropio |2|esiguala.b) Siesmuycercanoa1,entonceselmetododelaspotenciasconvergeralentamente.c) Si tomamosunvalorcercanoa1, entonceslaestructuradehiperenlacesdelaredseponderafuertementeenelcomputo.Parasatisfacerlasobservacionesb)yc),loscreadoresdePageRank,BrinyPage,escogen=0,85.Conel valormuycercanoa0,85, selograunabuenaaproximaciondeIrealizandoentre50y100iteraciones.Finalmente,observemosunejemplodeordenamientodepaginaswebusandoelalgoritmodePa-geRankclasico. Consideremosochopaginasweb,lascualesestanenlazadasdelaformaquemuestraelsiguientegraco:LamatrizScorresponiendeaestegrafoesS =____________0 0 0 0 0 013012012130 0 0 0120 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 012130 01300 0 013130 0120 0 0 0130 0120 0 0 0131130____________,8usando = 0,85,lamatrizdeGoogleseraG =____________0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,30208 0,018750,44375 0,01875 0,44375 0,30208 0,01875 0,01875 0,01875 0,018750,44375 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,018750,01875 0,86875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,018750,01875 0,01875 0,44375 0,30208 0,01875 0,01875 0,30208 0,018750,01875 0,01875 0,01875 0,30208 0,30208 0,01875 0,01875 0,443750,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,30208 0,01875 0,01875 0,443750,01875 0,01875 0,01875 0,01875 0,30208 0,86875 0,30208 0,01875____________.AplicamoselmetododelaspotenciasytenemoselvectorestacionarioII=____________0,06000,06750,03000,06750,09750,20250,18000,2950____________.Porlotanto,elordensugeridoporelalgoritmodePageRankparaestaspaginasesP8 P6 P7 P5 P4 P2 P1 P3.Estomuestraquelapagina8eslademayorpopularidad.A. CodigodeprogramaciondelalgoritmoPageRankclasicofunction vecI =pagerank ( S , al pha, I0, t o l e r )%I ngr es ar l a mat ri z de hi pe r e nl ac e s S , un v al or de al pha adecuado ,% un vect or i n i c i a l I0 y un c o e f i c i e nt e de t ol e r anc i a t o l e r.m=si ze ( S ) ;% Creaci on de l a mat ri z de Googl e GG=al pha S +(1 al pha ) ( 1/m) ones (m) ;%Apl i caci on de l metodo de l a s pot enci asdd=1;x=I 0 ;n=10;while dd> t o l e ry=Gxdd=abs (norm( x)n ) ;n=norm( x ) ;x=y/n ;pauseendvecI=x ;val ue=n ;% Se ob t i ene e l vect or e s t ac i onar i o vecIend9Referencias[BermanyPlemmons,1979] Berman, A. yPlemmons, R. (1979). NonnegativeMatricesintheMat-hematical Sciences. ClassicsinAppliedMathematics9.AcademicPress.[LancasteryTismenetsky,1985] Lancaster, P. yTismenetsky, M. (1985). TheTheoryof Matrices.AcademicPress,USA.[LangvilleyMeyer,2006] Langville, A. yMeyer, C. (2006). Googles PageRank andBeyond: TheScienceofSearchEngineRankings. PrincetonUniversityPress.10