algebras

EMAT/ALGEBRA/SEC/P-001-022.PM7

1

12/10/02, 5:53 PM

De los nmeros al lgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora es producto de un estudio experimental

realizado en diversas aulas del pas como parte del proyecto Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat), desarrollado por la Direccin General de Materiales y Mtodos Educativos de la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal, de la Secretara de Educacin Pblica, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa. Coordinacin de autores Sonia Ursini Legovich Mnica Orendain Tremear Autores Tenoch E. Cedillo valos (UPN) Teresa Rojano Ceballos Sonia Ursini Legovich Diseo de actividades Tenoch E. Cedillo valos Asesora acadmica en el diseo de actividades Carolyn Kieran (Universidad de Quebec, Montreal, Canad) Coordinacin editorial Elena Ortiz Hernn Pupareli Cuidado editorial Alfredo Giles-Daz Hctor Veyna Rodrguez Supervisin tcnica-editorial Alejandro Portilla de Buen Diseo y formacin Leticia Dvila Acosta La evaluacin del proyecto Emat fue financiada por el Conacyt, en el marco del proyecto de grupo Incorporacin de Nuevas Tecnologas a la Cultura Escolar (G526338S), bajo la direccin de investigadores del Cinvestav. Enseanza de las Matemticas con Tecnologa

Direccin general Elisa Bonilla Rius (SEP) David de la Garza Leal (ILCE)Coordinacin general de Enseanza de las Matemticas con Tecnologa Teresa Rojano Ceballos (Cinvestav) Vinculacin, infraestructura y soporte tcnico Marcela Santilln Nieto (ILCE) Coordinacin Sonia Ursini Legovich (Cinvestav) Mnica Orendain Tremear (asistente) Evaluacin Teresa Rojano Ceballos Luis Moreno Armella (Cinvestav) Elvia Perrusqua Mximo (asistente) Asistentes de cmputo Ivn Cedillo Miranda Arturo Torres Instructores Ramiro vila (Hermosillo, Son.) Csar Corral (Chihuahua, Chih.) Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.) Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.) Jos Ramn Jimnez (Hermosillo, Son.) Felcitas Licea (Colima, Col.) Alejandro Ocaa (Xalapa, Ver.) Leticia Prez (Tlaxcala, Tlax.) Rubn Sanzn (Len, Gto.)

D.R.

SEP-ILCE, 2002

Secretara de Educacin Pblica Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F. Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa Calle del Puente 45, colonia Ejidos de Huipulco, Tlalpan 14380, Mxico, D.F.

ISBN 970-18-6273-2 Impreso en Mxico DISTRIBUCIN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

001-022

2

11/28/02, 11:17 AM

ndiceProfesor: Bienvenido a Emat! El laboratorio Emat De los nmeros al lgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora Estudiantes: Bienvenidos a Emat! Primer grado Nmeros naturales y sus operaciones 15 21 7 9

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

Lectura y escritura de nmeros Virus y antivirus Operaciones y clculo mental Se descompuso la tecla para sumar! Construccin de nmeros slo con cuatro cuatros Al cero en cinco pasos Se descompuso la tecla para multiplicar! Fracciones y decimales Suma y estimacin Resta y estimacin Multiplicacin y estimacin Lectura y escritura de nmeros decimales Lectura y escritura de medidas de longitud Lectura y escritura de medidas de peso Transformaciones en un solo paso Se descompuso la tecla del punto decimal! Aproximacin y clculo con nmeros redondeados Se descompuso la tecla de la raz cuadrada! Cmo me aproximo, por abajo o por arriba? Nocin de fraccin Fracciones y razones Fracciones equivalentes Qu fraccin es mayor? Fracciones y particiones Qu fracciones faltan? Cmo encuentro esas fracciones? Un poco de fracciones y restas

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52

Nmeros decimales y sus operaciones

Fracciones comunes y sus operaciones l

001-022

3

11/25/02, 3:31 PM

Nmeros con signo

28. 29. 30. 31.

Cmo sumamos nmeros con signo? Sumas y nmeros con signo Cmo restamos nmeros con signo? Sirven para algo los nmeros con signo?

53 55 56 57

Segundo grado Divisibilidad

32. Qu nmeros dividen a otros? 33. Nmeros que se dividen entre 7 y 11? 34. Esos numerotes son divisibles entre todo eso?Fracciones comunes y sus operaciones II

60 62 63 64 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

35. Qu fracciones dan la suma mayor? 36. Multiplicaciones y fraccionesPrelgebra

37. Programacin de una expresin I 38. Programacin de una expresin II 39. Programacin de una expresin III 40. Comprobacin de programas 41. Programas diferentes para una expresin 42. Correccin de programas 43. Descripcin de programas 44. Construccin de programas I 45. Construccin de programas II 46. Construccin de programas III 47. Construccin de programas IV 48. Construccin de programas V 49. Construccin de programas VI 50. Construccin de programas VII 51. Construccin de programas VIII 52. Construccin de programas IX 53. Construccin de programas X 54. Construccin de programas XI 55. Construccin de programas XII 56. Programas equivalentes 57. Incgnitas y ecuaciones 58. Nmeros perdidos 59. Ecuaciones con ms de una solucin I 60. Ecuaciones con ms de una solucin II 61. Ecuaciones equivalentes

001-022

4

11/25/02, 3:31 PM

62. Resolucin de ecuaciones por tanteo y refinamiento 63. Reduccin a ecuaciones ms simples 64. Deshacer operaciones 65. Las ecuaciones no son tan difcilesTercer grado Puntos de la recta

92 93 94 95

66. Un punto importante en una recta 67. Cambio de escala 68. Ms sobre escalas y grficas 69. El rango en el editor de grficasFuncionalidad

98 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 112 113 115 116 118 120 121 123 125 126 127 128 129 130 132 135 138

70. Rectas que crecen 71. Qu grficas crecen ms rpido? 72. Qu ecuaciones producen esas rectas? 73. Grficas que decrecen 74. Ms sobre grficas que decrecen 75. Rectas y ecuaciones 76. Cuadrilteros 77. Grficas que no crecen ni decrecen 78. Rectas horizontales 79. Puntos, rectas y ecuaciones 80. Nubes de puntos y rectas 81. Nubes de puntos y predicciones 82. Grados Fahrenheit o centgrados? 83. No podra ir ms rpido? 84. Mi peso es distinto en otro planeta? 85. Cunto peso si estoy en Saturno? 86. Una ecuacin para desalojar la escuela?Leyes de los exponentes

87. Leyes de los exponentes I 88. Leyes de los exponentes II 89. Leyes de los exponentes III 90. Leyes de los exponentes IVRevisin de lgebra

91. Suma con polinomiosAnexo

Calculadoras. Primer grado Calculadoras. Segundo grado Calculadoras. Tercer grado

001-022

5

11/25/02, 3:31 PM

001-022

6

11/25/02, 9:45 AM

Profesor: Bienvenido a Emat!

E

ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materiales diseados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innovacin educativa en 15 escuelas secundarias pblicas de ocho estados de la repblica. Los propsitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Modernizacin Educativa y son los siguientes: Elevar la calidad de la enseanza de las matemticas en la escuela secundaria. Impulsar la formacin de profesores de matemticas de este nivel escolar. Promover el uso de las nuevas tecnologas en la educacin. Generar y actualizar mtodos y contenidos educativos de la matemtica escolar. Ms especficamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factible aprovechar las nuevas tecnologas apoyadas en un modelo pedaggico que permita construir ambientes de aprendizaje apropiados para enriquecer y mejorar la enseanza actual de las matemticas en la escuela secundaria. Entre las caractersticas principales del modelo que propone el proyecto Emat se encuentran: 1. La utilizacin de piezas de software y herramientas que hacen posible dar un tratamiento fenomenolgico a los conceptos matemticos; es decir, con dichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los conceptos son organizadores de fenmenos. As, la contextualizacin de las actividades matemticas no es una mera ambientacin, sino que las situaciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos de fenmenos que en cierto modo forman parte de la esencia del concepto que se busca ensear. 2. La utilizacin de piezas de software y herramientas que impliquen representaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulacin directa de objetos o de representaciones de objetos (matemticos).

79

001-022

7

11/25/02, 9:45 AM

De los nmeros al lgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora

3. La utilizacin de piezas de software y herramientas cuyo uso est relacionado con un rea especfica de la matemtica escolar (aritmtica, lgebra, geometra, probabilidad, modelacin, matemtica del cambio). 4. La especializacin de los usuarios de la tecnologa (alumnos y maestros) en una o ms piezas de software o herramientas, de tal forma que logren dominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseanza y aprendizaje de temas curriculares especficos, antes de pasar al uso de otra herramienta en el aula. 5. La puesta en prctica de un modelo de cooperacin para el aprendizaje: los estudiantes trabajarn en parejas frente a la computadora en una misma actividad, lo que promover la discusin y el intercambio de ideas. 6. La prctica de un modelo pedaggico en el que el profesor promueve el intercambio de ideas y la discusin en grupo, y al mismo tiempo acta como mediador entre el estudiante y la herramienta es decir, el ambiente computacional, asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las actividades de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresin.

98001-022 8 11/25/02, 9:45 AM

El laboratorio Emat

E

studios realizados en los ltimos aos han demostrado que el uso de nuevas tecnologas abre perspectivas interesantes para la enseanza de las matemticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes: Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexin y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje. Provee un espacio problemtico comn al maestro y al estudiante para construir significados. Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualizacin y la resolucin de problemas. Da un soporte basado en la retroalimentacin. Reduce el miedo del estudiante a expresar algo errneo y, por lo tanto, se aventura ms a explorar sus ideas.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrn y el gis, aunque sus caractersticas sean esencialmente diferentes. El objetivo principal del empleo de la tecnologa en el aula no se reduce a practicar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y tcnicas mediante el ejercicio de la reflexin. As, la matemtica pasa a ser mucho ms que una simple mecanizacin de procedimientos. Una caracterstica importante de los paquetes de cmputo que se han elegido para el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qu hacer con ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo como ocurre en los programas tutoriales. Estos paquetes abiertos pueden usarse con objetivos didcticos muy diversos, muchos de los cuales estn definidos por las actividades que se proponen en este libro. Un laboratorio Emat est integrado bsicamente por el siguiente equipo: Computadoras para los alumnos Computadora para el maestro Impresora Mdem (opcional) Reguladores de corriente Calculadoras Mesas y sillas adecuadas

99

001-022

9

11/25/02, 9:45 AM


Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con un aula de buen tamao (por ejemplo de 8 12 m) que tenga corriente elctrica de 110 voltios y que cuente con contactos trifsicos. Si se desea que alguna computadora tenga acceso a internet debe contarse, adems, con una lnea telefnica. Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispensable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enrejado en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante tambin que las computadoras estn conectadas a reguladores de corriente. Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomendamos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma de herradura, como se muestra en el esquema.

7

8

9

Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espacio suficiente para que puedan sentarse cmodamente dos o tres nios por mquina. La disposicin en herradura tiene mltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestro pasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que estn realizando. Por el otro, con slo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alumnos pueden acomodarse para participar en una discusin colectiva o atender las explicaciones que el maestro dirija a todo el grupo. Es necesario tambin que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alumnos las utilizarn, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero tambin cuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lpiz y papel. Para ensear matemticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos paquetes computacionales (Cabri-Gomtre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

9 10001-022 10 11/25/02, 9:45 AM

El laboratorio Emat

Algunos de stos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros son comerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos para usarse en grupo. Para ms informacin al respecto puede consultar la pgina de Emat en internet, cuya direccin es: http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodologa de trabajoEnsear matemticas utilizando computadoras o calculadoras implica muchos cambios en la organizacin del trabajo. stos se reflejan principalmente en el papel que desempea el maestro en este contexto, en la organizacin del trabajo de los alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.El papel del maestro

Las nuevas tecnologas requieren otro tipo de acercamiento a la enseanza, por lo que el desempeo del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemticas se desarrolla con tecnologa apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinacin, tecnologa y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas: Mediante las hojas de trabajo que les proporciona. Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolucin de las hojas de trabajo en el saln de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los ms valiosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportunidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, lo que permitir darles sugerencias cuando las requieran. En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusin; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los dems y el profesor slo debe coordinar esta actividad. En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de gua y de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espritu abierto a la investigacin; en otras palabras, los invita a: Explorar. Formular hiptesis. Probar la validez de las hiptesis.

11 9

001-022

11

11/25/02, 9:45 AM


Expresar y debatir sus ideas. Aprender a partir del anlisis de sus propios errores. En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o explicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos trabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previamente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus intervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren por s mismos una solucin aceptable. Esta funcin se ve reforzada por la organizacin de los alumnos en equipos de trabajo, pues as el maestro puede pasar de un equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxilindolos, cuando sea necesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este tipo de intervencin no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino de solucin posible y los invite a adoptarlo y continuar por s mismos. En estos casos no se debe proporcionar demasiada informacin, pues lo importante es que los equipos sigan trabajando de manera autnoma. El propsito siempre debe ser ayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su saber matemtico anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemticas nuevas a partir de sus propias experiencias. Si la mayora de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades al abordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusin para tratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenas oportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los que existe consenso, as como para introducir informacin nueva que permita a los alumnos avanzar en su trabajo.La organizacin del trabajo de los alumnos

El uso de la calculadora no implica necesariamente un aprendizaje individualizado. Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dos integrantes). Esto fomenta la discusin y produce un aprendizaje ms completo y slido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habr que evitar que los estudiantes desempeen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que slo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si esto ocurre, solamente adquirirn unas habilidades especficas pero no otras. Los estudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es recomendable que intercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas: manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensin de las actividades, etctera.

9 12001-022 12 11/25/02, 9:45 AM

El laboratorio Emat

La organizacin de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas ventajas; sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en la actividad compartida. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptarla. El trabajo en equipo propicia el intercambio y la confrontacin de ideas entre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga su punto de vista, lo discuta y confronte con los dems integrantes. Este intercambio ayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionar sobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar y debatir los argumentos de los dems e ir reafirmando sus conocimientos matemticos y adquiriendo otros nuevos.Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las actividades que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manera sucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implcita para que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien las actividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnologa, es necesario que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en las hojas de trabajo. Esto tiene un doble propsito. Por un lado, obliga a los alumnos a reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando la mquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporciona informacin al maestro acerca de la comprensin que los alumnos han alcanzado de los conceptos matemticos involucrados en la tarea. Esta informacin es fundamental para que el maestro decida qu acciones pondr en prctica en las clases sucesivas, y para que conozca y evale el progreso de sus alumnos. La mayora de las actividades estn pensadas para que todo un grupo de estudiantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesin de trabajo el maestro cuidar que todos los equipos cuenten con las hojas de trabajo necesarias para esa sesin y les pedir que las lean. Es importante que el maestro se cerciore de que los alumnos han entendido en qu consiste la actividad y qu se espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajo frente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

13 9

001-022

13

11/25/02, 9:45 AM

001-022

14

11/25/02, 9:45 AM

De los nmeros al lgebra en secundaria mediante el uso de la calculadoraLas hojas de trabajo que se proponen para trabajar con temas de aritmtica y lgebra usando la calculadora TI-92, se disearon para que los alumnos puedan contestar en promedio dos hojas por cada sesin de clase. Esto permite que el profesor organice, una vez que la mayora de los alumnos ha completado cuatro o cinco hojas de trabajo, una discusin en la que se revise el trabajo realizado por los distintos equipos y se puedan hacer los comentarios y correcciones pertinentes en cada caso. Por lo regular, hay alumnos o equipos que terminan el trabajo mucho antes que los dems; en estos casos se recomienda entregarles otra hoja de trabajo, o agregar preguntas que los lleven a un nivel de reflexin ms complejo, mientras el resto de sus compaeros termina el trabajo inicialmente asignado. En el diseo de las hojas de trabajo para el uso de la calculadora se ha hecho un esfuerzo por plantear situaciones que admitan mltiples respuestas. Esto permite al profesor pedir a los alumnos ms aventajados que busquen otras soluciones, una vez que han dado respuesta al problema planteado. Asimismo, las actividades que se proponen no requieren que el alumno recuerde mtodos y reglas prestablecidos, lo cual puede resultar favorable para desarrollar estrategias poco convencionales y producto de las formas particulares de razonar de cada estudiante. Se espera que el diseo de las actividades antes mencionado permita que los estudiantes desarrollen una fuerte autoestima que les impulsar a no abandonar sus esfuerzos ante situaciones problemticas de gran complejidad.

Cmo se evala el trabajo de los alumnos?El modelo pedaggico que caracteriza a Emat es diferente a los sistemas convencionales y esto se refleja en la manera de evaluar a los alumnos. En Emat se da gran importancia a la actividad que realiza el alumno, por lo cual resulta fundamental su evaluacin. Para ello es importante que el profesor revise las respuestas que los estudiantes registran en las hojas de trabajo, as como las grficas que realizan en pantalla. Dado el gran nmero de alumnos que por lo general integran los grupos, resulta muy difcil que un profesor pueda revisar en su totalidad las hojas de trabajo que los alumnos entregan. Una manera de proceder

15 9

001-022

15

11/25/02, 9:45 AM


es pedir a los alumnos que entreguen slo una hoja por equipo. Esto implica que el equipo tendr que cuidar que todos sus integrantes colaboren en la actividad y estn de acuerdo con las respuestas registradas. El modelo Emat considera la participacin del alumno en el equipo y en las discusiones de grupo. ste es otro aspecto que el profesor tendr que tomar en cuenta para la evaluacin. El aprovechamiento tambin es muy importante y su evaluacin podr realizarse bimestralmente mediante un examen individual (vase Anexo Calculadoras). En el modelo Emat cada uno de los aspectos mencionados debe tener su peso en la evaluacin final. Una sugerencia es asignar a cada aspecto un porcentaje de, por ejemplo, un 25 por ciento.

Propsitos generalesEl propsito de este libro es proporcionar al profesor un material que propicie un acercamiento a la enseanza en el que se intenta explotar ptimamente las facilidades de clculo aritmtico y algebraico que ofrece la calculadora TI-92. El enfoque didctico que se presenta en este material se basa en una alternativa de enseanza que permite abordar las matemticas como una ciencia experimental, en la que la exploracin, el planteamiento de conjeturas y su verificacin desempean un papel central. Estos propsitos son congruentes con los que orientan el uso de las piezas de software que se emplean en el proyecto Emat, lo cual se espera que haga factible una enseanza de las matemticas apoyada en el uso de herramientas tecnolgicas complemetarias. La calculadora TI-92 cuenta con recursos que automatizan el clculo aritmtico y la construccin de tablas y grficas de funciones; otra de sus caractersticas sobresalientes es que permite realizar cualquier operacin algebraica con polinomios. Los recursos que ofrece la TI-92 hacen posible que cualquier expresin matemtica, ya sea numrica o algebraica, sea una expresin activa, ya que la mquina no slo proporciona un medio para editar expresiones aritmticas y algebraicas, sino que tambin proporciona retroalimentacin inmediata a cualquier accin del usuario. Estas cualidades de la calculadora TI-92 marcan una diferencia notable con el trabajo desarrollado mediante el lpiz y el papel, en el que la retroalimentacin es esencialmente responsabilidad del profesor. La calculadora TI-92 permite que, mediante la gua provista por las actividades y las intervenciones del profesor, el estudiante explore y ponga a prueba sus propias conjeturas y que se concentre en los procesos de solucin ms que en los procedimientos de clculo, ya que stos los realiza la mquina.

9 16001-022 16 11/25/02, 9:45 AM

El laboratorio Emat

Tomando en cuenta los recursos que ofrece la calculadora, los temas de aritmtica del programa oficial de la SEP se abordan mediante actividades en las que las operaciones aritmticas se emplean como un medio, no como un fin; se ha hecho un esfuerzo para que en esas actividades las operaciones aritmticas sean un recurso para propiciar la introduccin y recreacin de conceptos centrales de la aritmtica, como los de divisibilidad y aproximacin. Asimismo, con la finalidad de que el estudiante genere significados, y le d sentido al uso de las operaciones, se incluye un buen nmero de actividades en las que se hace nfasis en el uso de las operaciones aritmticas como herramientas para resolver problemas. En cuanto al lgebra, el enfoque didctico se centra en la enseanza del lenguaje algebraico a travs de su uso, es decir, sin partir de reglas, definiciones y ejemplos. Este acercamiento es posible debido a que el ambiente de trabajo de la calculadora permite establecer un estrecho vnculo entre el cdigo algebraico y la experiencia que han adquirido los estudiantes en el trabajo con nmeros. De esta manera se abordan temas que corresponden a dos partes esenciales del lgebra de la escuela secundaria: como un medio para expresar y justificar generalizaciones, y como un cdigo que admite ciertas operaciones para producir transformaciones en las expresiones algebraicas (operaciones con polinomios). El hilo conductor de las actividades propuestas para los tres grados de la escuela secundaria tiene como objeto propiciar el desarrollo de habilidades de estimacin, aproximacin y reconocimiento de patrones numricos. En el primer grado de secundaria, las actividades se ubican en el contexto del trabajo numrico como preparacin para la entrada al lgebra. En el segundo, se extiende esta experiencia, se emplean los nmeros como referente para la generacin de los significados y aplicaciones del cdigo algebraico como un medio para expresar y justificar generalizaciones. En el tercer grado se abordan actividades que introducen a los estudiantes al trabajo con tablas de valores y a las grficas de las funciones lineales. Esto permite construir modelos sencillos para resolver problemas de fsica y de ciencias sociales, as como fortalecer la manipulacin algebraica. Las actividades que aqu se proponen son slo modelos. Se espera que sean una ayuda para que, con tiempo, el profesor desarrolle por s mismo actividades de enseanza que respondan de mejor manera a las circunstancias especficas en las que realiza su prctica docente.

17 9

001-022

17

11/25/02, 9:45 AM


Temas que se exploran

En el siguiente cuadro se presentan las actividades por grado escolar segn el currculum oficial. Si bien las actividades estn numeradas, esto no implica que deban realizarse en este orden. El profesor puede organizarlas como mejor convenga al plan de trabajo que quiera desarrollar con sus alumnos.

Contenidos curriculares Primer gradoNmeros naturales y sus operaciones 1 Lectura y escritura de nmeros naturales. 2 y 3 Prctica de clculo mental y estimacin de resultados con nmeros 4 5

6 7

naturales. Revisin de algoritmos. Prctica de clculo mental y estimacin de resultados con nmeros naturales. Jerarqua de las operaciones y uso de parntesis. Mltiplos y divisores de nmeros naturales . Revisin de algoritmos para operar con nmeros naturales.Nmeros decimales y sus operaciones

8 a 11 Revisin de la nocin de nmero decimal.

Clculos con nmeros truncados. Introduccin de la nocin de raz cuadrada. 12 Lectura y escritura de nmeros decimales. 13 y 14 Uso de los nmeros decimales en la medicin y otros contextos familiares. 15 y 16 Prctica de clculo mental y estimacin de resultados.Fracciones comunes y sus operaciones I 17 y 18 Clculos con nmeros truncados. 19 a 21 Revisin de la nocin de fraccin. 22 y 23 Equivalencia y orden en las fracciones. 24 Situaciones asociadas al producto de fracciones. 25 a 27 Suma y resta de dos fracciones. Nmeros con signo 28 a 31 Suma y resta de nmeros con signo.

9 18001-022 18 11/25/02, 9:45 AM

El laboratorio Emat

Segundo gradoDivisibilidad 32 a 34 Nmeros primos y compuestos. Fracciones comunes y sus operaciones II 35 Equivalencia y orden en las fracciones. 36 Situaciones asociadas a la multiplicacin de fracciones. Prelgebra 37 a 46 Introduccin del cdigo algebraico mediante funciones dadas por

frmulas, tablas y grficas. 47 a 50 Ejemplos para introducir y practicar el uso de parntesis en el lgebra. 51 a 56 Primeras reglas para simplificar la escritura y operar con expresiones algebraicas. 57 a 65 Mtodos de solucin de ecuaciones de las formas a + x = b, ax = b, ax + b = c y de otras ecuaciones que pueden llevarse a esa forma.

Tercer gradoPuntos de la recta 66 a 69 Graficacin de funciones; estudio en casos sencillos del comporta-

miento local de una funcin.Funcionalidad 70 a 86 Estudio de las familias de grficas de la forma y = mx + b. Leyes de los exponentes 87 a 90 Leyes de los exponentes y su verificacin en casos particulares. Revisin de lgebra 91 Revisin de suma, resta y multiplicacin de polinomios.

Ejemplo de distribucin de actividades a lo largo del ao escolarLo ms conveniente es que el profesor determine la frecuencia del trabajo en el laboratorio Emat, en funcin del tema que est tratando. Puede ser que durante un bimestre considere conveniente que los alumnos asistan al laboratorio tres o cuatro veces por semana, mientras que en otro bimestre bastar con que asistan una o dos veces a la semana. Estas decisiones las tomar el profesor dependiendo de su plan de trabajo. Sin embargo es recomendable que durante el tiempo en que se trabaje con la calculadora se acuda al aula Emat al menos dos veces por semana para que los estudiantes logren dominar esta herramienta.

19 9

001-022

19

11/25/02, 9:45 AM


El profesor notar que hay una relacin cercana entre los temas que se abordan con las hojas de trabajo diseadas para el uso de la calculadora y algunas de las diseadas para el trabajo con la hoja electrnica de clculo. Estos materiales se complementan y pueden permitirle cubrir de manera adecuada los temas de aritmtica y prelgebra en el primer grado de secundaria. Lo mismo ocurre con el segundo y tercer grado de secundaria, en los que estos materiales pueden emplearse como complementarios al tratamiento de varios temas. En los tres grados puede ser conveniente iniciar el tratamiento de los temas de aritmtica, prelgebra y lgebra usando los materiales propuestos para la calculadora, dado que se sustentan en un acercamiento intuitivo al lgebra, particularmente en lo que se refiere a las expresiones algebraicas y a las funciones y tablas generadas por funciones lineales. Dada la naturaleza de las actividades aqu propuestas, el profesor puede volver a tomar la misma actividad en distintos momentos del curso. Observar entonces que las respuestas de los alumnos son distintas y que las obtienen aplicando estrategias ms complejas. Esta caracterstica de las hojas de trabajo le permitir hacer nfasis o profundizar en distintos aspectos de un tema, aplicando la misma hoja de trabajo en ms de una ocasin durante el curso.

Hojas de trabajoEn las pginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede usar con sus alumnos para trabajar problemas con la calculadora TI-92. Antes de empezar en el laboratorio Emat, es conveniente que el maestro lea a todo el grupo el texto Bienvenidos a Emat! Su propsito es introducir a los alumnos al laboratorio Emat contestando algunas de las preguntas que suelen inquietarlos al empezar esta nueva manera de trabajar. Las hojas de trabajo estn organizadas por grado escolar. Para ampliar la informacin sobre uso y materiales de la calculadora TI-92 consulte la pgina de internet: htpp://www.ti.com/calc/docs/92.htm

9 20001-022 20 11/25/02, 9:45 AM

Estudiantes: Bienvenidos a Emat!

ienvenidos a Emat (Enseanza de las Matemticas con Tecnologa). A partir de hoy muchas de las clases de Matemticas se desarrollarn en este laboratorio. Como podrn observar, en el laboratorio Emat hay varias computadoras y calculadoras. Trabajarn con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

B

Cmo se trabaja en un laboratorio Emat?En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto se notar ms todava cuando se requiera el uso de las computadoras. Se formarn equipos de dos o tres compaeros para que juntos resuelvan, con ayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se le entregar una hoja de trabajo en la que vendr detallada la actividad en cuestin. Ser necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y la discuta hasta entender bien qu se espera de todos. Una vez entendida la actividad, los equipos decidirn la estrategia que seguirn para resolverla. Es muy importante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algn momento acceso al teclado y al manejo del ratn.

Quin me puede ayudar?Cuando necesiten ayuda para entender bien de qu trata la actividad o para saber cmo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros compaeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es comprender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja ms rpido o ms lento que los dems. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

Cmo trabajar en el laboratorio?Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, un equipo de expertos ha diseado una serie de actividades matemticas que podrn desarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus conocimientos matemticos anteriores; as aprendern conceptos matemticos nue-

21 9

001-022

21

11/25/02, 9:45 AM


vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrn que leer las hojas de trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que all se formulan. Discutan con el maestro y los dems compaeros los resultados que obtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compaeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qu; quiz se trate de resultados equivalentes o tal vez alguien cometi un error. Si esto ltimo ocurre, no hay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que se debe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dnde se cometi el error y corregirlo.

Cul es el papel del maestro?En el laboratorio Emat no cambia slo la manera de trabajar de los alumnos, cambia tambin el papel del maestro. La funcin del maestro ya no ser la de dar la clase, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo de cada equipo auxilindolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces un compaero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

Cmo se evaluar el trabajo?En el laboratorio Emat el maestro tomar en cuenta varios elementos. Considerar la participacin de cada quien en el equipo de trabajo, as como las discusiones de grupo. Tambin valorar la constancia y el empeo que pongan en realizar las actividades. De vez en cuando aplicar algn examen individual para ver qu tanto han aprendido.

Cmo cuidar el equipo?Finalmente queremos llamar la atencin sobre el cuidado que hay que tener al manejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que va a ser usado por muchos compaeros. Al mismo laboratorio acudirn alumnos de distintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltratar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratn con cuidado, evitando que caiga al suelo.

9 22001-022 22 11/25/02, 9:45 AM

Primer grado

023-040

23

11/26/02, 11:33 AM

ACTIVIDAD

1

Lectura y escritura de nmeros

Escribe en la calculadora cada una de las cantidades que estn descritas con palabras. Cuando vayas marcando los nmeros, ve haciendo las sumas que se indican con la calculadora. Si leste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrs el total que se indica. Si el total es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los nmeros correctos, escrbelos en la columna de la derecha.

CANTIDADES EN PALABRAS Siete millones setecientos ochenta mil cuatro, ms ciento veinticinco mil cinco, ms doce mil uno, ms trescientos cuarenta y cinco mil ochenta y siete. TOTAL: Trece mil noventa y nueve ms veinticinco millones ciento cinco, ms ciento veintiocho millones ochenta y seis, ms trescientos cinco mil uno. TOTAL: Cuatrocientos treinta y seis mil cien, ms un milln dos mil, ms quinientos mil veinte, ms trescientos mil treinta. TOTAL: Diez millones uno, ms dos millones cien, ms treinta y siete mil uno, ms quinientos cuarenta mil diez. TOTAL: + + + + + + + + + + + +

CANTIDADES CON NMEROS

TOTAL: 8 262 097

TOTAL: 153 318 291

TOTAL: 2 238150

TOTAL: 12 577112

9

24

nmeros naturales y sus operaciones

023-040

24

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

2

Virus y antivirus

Escribe en la calculadora el nmero 896 731 425 Supongamos que los nueve dgitos 896 731 425. que forman ese nmero son virus sumamente peligrosos. El antivirus consiste en eliminar cada dgito, convirtindolo en cero mediante una sola operacin. Por ejemplo, 1 eliminar el 1 quiere decir que hagas una operacin con el nmero 896731 425 y otro 0 nmero que t propongas de manera que el resultado sea 896730 425. Despus de que elimines al 1, debes seguir con el 2, luego el 3, y as sucesivamente. 1. Completa la siguiente tabla para mostrar cmo eliminaste cada virus. DGITO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. Ahora elimina uno a uno todos los dgitos del nmero 4983.26715. Completa la siguiente tabla para mostrar cmo eliminaste a cada invasor. DGITO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 OPERACIN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA RESULTADO . 4 983.26705 4 983.06705 . 4 980.06705 . 980.06705 . 980.0670 . 980.0070 . 980 900 0 OPERACIN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA RESULTADO 896730 425 0 896730 405 0 0 896700 405 0 0 896700 00 0 005 896700 000 0 890 700 000 0 0 890 000 000 0 000 0 000 90 000 000 0

primer grado

25 9

023-040

25

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

3

Operaciones y clculo mental

1. En cada recuadro construye una representacin distinta del nmero quinientos nueve. No puedes usar las teclas del 5 ni el 9. Intenta realizar en cada una de tus respuestas hasta cuatro operaciones distintas. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

2. En cada recuadro construye el nmero trescientos doce. Realiza hasta cuatro opera1. ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1 Encuentra tantas formas distintas como te sea posible y escrbelas en los siguientes espacios.

3. Construye en la calculadora el nmero mil doscientos veintids. Debes realizar cua2. tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2 En cada recuadro escribe al menos dos representaciones distintas de ese nmero.

4. En cada recuadro construye al menos una representacin distinta del nmero cuatrocientos uno, sin usar las teclas del 4 ni el 1 1.

9

26


023-040

26

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

4

Se descompuso la tecla para sumar!

Esta actividad propone un problema difcil: sumar sin sumar. Sin embargo, es posible hacerlo; para lograrlo tendrs que hacer uso de tu ingenio y creatividad. 1. Puedes hacer la operacin 526 + 837 sin usar la tecla para sumar y sin sumar mentalmente o con lpiz y papel? Describe cmo lo hiciste.

2. Compara tu mtodo con el de los compaeros que estn cerca de ti. Alguien encontr un mtodo distinto al tuyo? En qu consiste?

Cul mtodo es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compaeros? Por qu?

3. Atahualpa, un alumno de otra escuela, encontr el siguiente mtodo para sumar sin usar la tecla que indica esta operacin. Supongamos que los nmeros que quieres sumar son A y B respectivamente, y que A es mayor que B. Al nmero multiplcalo por 2 y anota el resultado. Despus, a A rstale B y anota el resultado. Finalmente, al doble de A le restas lo que obtuviste de A B. Este ltimo resultado es la suma de A y B. Suma 735 y 429 usando el mtodo que propone Atahualpa. El resultado que obtuviste con ese mtodo es igual a 735 + 429? Intenta con otros nmeros y encuentra una explicacin que justifique por qu el mtodo de Atahualpa funciona.

primer grado

27 9

023-040

27

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

5

Construccin de nmeros slo con cuatro cuatros

Hay muchos nmeros que pueden construirse usando slo cuatro cuatros y las operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia y sacar raz cuadrada. Dos cuatros nunca pueden ir juntos, un cuatro debe estar relacionado con otro cuatro mediante una operacin. Por ejemplo, el cinco puede construirse en la calculadora de la siguiente manera: (4 4 + 4) 4 El 10 puede construirse como sigue: 4 + 4 + 4 4 . El tres puede obtenerse como (4 + 4 + 4 ) 4. Forma un equipo con otros tres compaeros. El desafo que plantea esta actividad consiste en que cada equipo encuentre al menos tres maneras diferentes para construir el nmero que se indica utilizando slo cuatro cuatros. Su profesor les dir a qu equipo le corresponde construir cada uno de los siguientes nmeros. Nmeros por construir:

a) b) c)

0 6 8

d) 12 e) 15 f) 16 g) 20 h) 24 i) 30 j) 32 k) 36 l) 40

9

28


023-040

28

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

6

Al cero en cinco pasos

El juego matemtico que se presenta aqu consiste en lo siguiente: Se trata de reducir a cero un nmero entero que est entre cero y mil en slo cinco pasos y mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operacin las veces que quieras. Las operaciones deben hacerse con el nmero que se indica y otro nmero entero que elijas. El nmero elegido debe estar entre los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9. Cada operacin que hagas se cuenta como un paso y su resultado debe ser un nmero entero. Ganas el juego si, a lo ms en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes nmeros. Ejemplo: reduzcamos a cero el nmero 869. Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5: 869 864 96 12 2 5 = 864 9 = 96 8 = 12 6=2 2=0

Usa la calculadora para encontrar distintas maneras de reducir a cero los siguientes nmeros:

a) 789Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

b) 629Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

c) 823Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

d) 952Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:primer grado

e) 997Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

f) 857Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

29 9

023-040

29

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

7

Se descompuso la tecla para multiplicar!

Esta actividad consiste en que encuentres una forma para multiplicar con la calculadora sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicacin. 1. Puedes hacer la siguiente multiplicacin sin usar la tecla para esta operacin y sin multiplicar mentalmente o con lpiz y papel?: 96 47 2. Explica qu mtodo encontraste de manera que cualquiera de tus compaeros lo pueda entender.

3. Compara tu mtodo con el de los compaeros que estn cerca de ti. Alguien encontr un mtodo distinto del tuyo? En qu consiste?

Cul es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compaeros? Por qu?

Puedes hacer la operacin 93 37 sin usar la tecla correspondiente y sin hacer la multiplicacin mentalmente o con lpiz y papel? Explica cmo lo hiciste de manera que cualquiera de tus compaeros lo pueda entender.

9

30


023-040

30

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

8

Fracciones y decimales

1. La siguiente figura muestra una tira de papel que ha sido dividida en varias partes. En cada una escribe el nmero decimal que la represente. Suma los nmeros que escribiste en cada parte. Si tus respuestas son correctas la suma debe darte uno. La suma que hiciste te dio uno? Si no fue as, encuentra los errores que cometiste e intntalo de nuevo.

0.25

2. Qu fracciones decimales corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la unidad en la siguiente figura?

1 = 0.125 8

Suma los nmeros que escribiste

Si tus respuestas

son correctas, la suma debe darte uno. La suma que hiciste te dio uno? Si no fue as, encuentra los errores que cometiste e intntalo de nuevo. 3. Qu fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la unidad en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fraccin comn y la fraccin decimal que la represente. 1 1 1 3 + + + = 0.50 12 12 12 12

4. Puedes asegurar que tus respuestas son correctas? Por qu?

primer grado

31 9

023-040

31

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

9

Suma y estimacin

1. En cada inciso escribe dos nmeros tales que al sumarlos den el resultado que se indica. 0.321 0.457 1.305

a) b) c)0.4056

d) e) f)1.00506

g) h) i)3.040578

j) k) l)

m) n) )

o) p) q)

2. Qu hiciste para obtener los nmeros que se piden en el inciso 1? Describe tu mtodo de manera que cualquiera de tus compaeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos nmeros tales que al sumarlos den por resultado un nmero que est entre los dos nmeros que se indican. Los nmeros que uses en cada inciso deben ser distintos y ninguno de los sumandos debe ser cero. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. 0.7101 y 0.7105 0.2003 y 0.2007 0.3015 y 0.3016

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

9

32

nmeros decimales y sus operaciones

023-040

32

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

10

Resta y estimacin

1. En cada inciso escribe dos nmeros tales que, al restar uno del otro, den por resultado el nmero que se indica. 0.425 0.307 2.0056

a) b) c)0.509

d) e) f)3.05608

g) h) i)19.50807

j) k) l)

m) n) )

o) p) q)

2. Qu procedimiento seguiste para encontrar los nmeros que se piden en el inciso 1? Describe tu mtodo de manera que cualquiera de tus compaeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos nmeros tales que al restar uno del otro den por resultado un nmero que est entre los dos que se indican. Los nmeros que uses en cada inciso deben ser distintos y ninguno de ellos debe ser cero. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas, pues no debes tener ningn error. 0.55 y 0.58 0.27 y 0.3 0.3 y 0.31

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

primer grado

33 9

023-040

33

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

11

Multiplicacin y estimacin

1. En cada inciso escribe dos nmeros que multiplicados den por resultado el nmero que se indica. Los nmeros que utilices en cada inciso deben ser distintos de uno. 0.001 0.206 0.765

a) b) c)0.784

d) e) f)3.519

g) h) i)19.873

j) k) l)

m) n) )

o) p) q)

2. Qu hiciste para encontrar los nmeros que se piden en el ejercicio 1? Describe el procedimiento de manera que cualquiera de tus compaeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo

3. En cada inciso escribe dos nmeros tales que, al multiplicarlos, den por resultado un nmero que est entre los nmeros que se dan en cada inciso. 0.1003 y 0.1007 5.10207 y 5.10209 7.30 y 7.31

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

9

34


023-040

34

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

12

Lectura y escritura de nmeros decimales

1. Escribe en la calculadora los nmeros que se describen en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrs el total que se indica; si el total es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los nmeros correctos, escrbelos en la columna de la derecha. CANTIDADES EN PALABRAS Un entero cuatro centsimos, ms tres milsimos, ms dos enteros setenta milsimos, ms veinticinco milsimos. TOTAL: Mil un enteros un centsimo, ms dos mil noventa y nueve enteros diez centsimos, + ms cuarenta mil siete enteros un diezmilsimo, ms veintitrs mil diez enteros diez milsimos. TOTAL: Treinta y ocho mil veinte enteros veinte milsimos, ms treinta mil tres enteros treinta y siete diezmilsimos, + ms cuarenta y dos mil treinta y un enteros treinta milsimos, ms un entero dos milsimos. TOTAL: Diez millones uno, ms dos millones cien, ms treinta y siete mil uno, ms quinientos cuarenta mil diez. TOTAL: + + + TOTAL: 12 577112 + + TOTAL: 110 055.0557 + + TOTAL: 66117.1201 + + + TOTAL: 3.138 CANTIDADES CON NMEROS

primer grado

35 9

023-040

35

11/25/02, 9:47 AM

Lectura y escritura de nmeros decimales

2. Inventa una suma como las anteriores, con cuatro sumandos. Usa nmeros tan complicados como te sea posible. Verifica que el total que obtienes sea el mismo ya indicado. CANTIDADES EN PALABRAS CANTIDADES CON NMEROS

ms ms ms TOTAL:

+ + + TOTAL: 38 001.036

9

36


023-040

36

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

13

Lectura y escritura de medidas de longitud

1. Usa nmeros decimales para escribir en la calculadora las medidas que estn descritas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrs el total que se indica; si es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los nmeros correctos escrbelos en la columna de la derecha. MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS Un metro dos centmetros, ms tres milmetros, ms dos centmetros, ms tres centmetros dos milmetros. TOTAL: Treinta metros cuarenta centmetros, ms dos kilmetros veinticinco metros cuatro centmetros, + ms tres metros cuatro milmetros, + + + + TOTAL: 1.075 metros MEDIDAS EXPRESADAS CON NMEROS

ms cuatro metros treinta y dos centmetros un milmetro. + TOTAL: Seis kilmetros ocho metros, ms dos hectmetros cinco metros tres centmetros, ms dos decmetros cuarenta y ocho milmetros, ms veintisis metros treinta y siete milmetros. TOTAL: Cien kilmetros diez metros cuarenta y ocho centmetros, ms cincuenta kilmetros dos metros nueve milmetros, ms cuarenta y nueve kilmetros y medio, ms dos kilmetros y medio, treinta y seis milmetros. TOTAL: + + + TOTAL: 202 012.525 metros + + + TOTAL: 6 259.115 metros TOTAL: 2 062.765 metros

primer grado

37 9

023-040

37

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

14

Lectura y escritura de medidas de peso

1. Usa nmeros decimales para escribir en la calculadora las medidas que estn descritas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se piden. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los nmeros correctos, escrbelos en la columna de la derecha. MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS Medio kilo, ms cuarenta y siete gramos, ms dos kilos ocho gramos, ms cuarenta kilos veinticinco gramos. TOTAL: Dos toneladas doce kilos cuarenta gramos, ms cien toneladas diecisis kilos y medio, ms dos mil treinta y siete gramos, ms seis toneladas y media doscientos gramos. TOTAL: Dos kilos tres cuartos, ms cuatro mil doscientos cincuenta gramos, ms un kilo y cuarto, ms diez kilos cien gramos. TOTAL: + + + TOTAL: 18.35 kilos 2. Usa nmeros decimales para expresar las siguientes cantidades en kilos. Emplea la calculadora para sumar. Si tus respuestas son correctas, la suma te deber dar la cantidad que se indica. Si no te da ese resultado revisa tus respuestas y corrige los errores que hayas cometido. MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS Tres toneladas tres cuartos, ms cuatrocientos cincuenta gramos, ms tres cuartos de kilo, ms cuatro mil ochocientos gramos, ms cuarenta toneladas cincuenta kilos veinte gramos. + + + + TOTAL: 43 806.02 kilos MEDIDAS EXPRESADAS CON NMEROS + + + TOTAL: 108 530.777 kilos + + + TOTAL: 42.58 kilos MEDIDAS EXPRESADAS CON NMEROS

9

38


023-040

38

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

15

Transformaciones en un solo paso

En cada uno de los siguientes casos encuentra al menos dos formas para obtener, a partir del nmero de arriba, los nmeros que se indican abajo. 1.19.01 0.01 19 100 19

1 900

0.19 2.35

0.0019

19.19

2.

2 350

235 0.3

0.0235

2.350

3.

3

0.0003

30 000

0.0303

4. Una alumna dice que 1.5 es igual a 1.5000. Tiene razn?

Por qu?

primer grado

39 9

023-040

39

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

16

Se descompuso la tecla del punto decimal!

Supongamos que la tecla que indica el punto decimal se descompuso. Encuentra al menos dos maneras distintas de producir con la calculadora cada uno de los siguientes nmeros sin usar la tecla del punto decimal En cada inciso escribe lo que hiciste en la decimal. calculadora para obtener lo que se indica.

a) 0.5

b) 1.5

c) 0.3

d) 23.4

e) 10.1

f) 1342.58

g) 19 876.035

h) 10 003.002

i) 0.00034

j) 3 333.333

k) 0.02

l) 3.25

9

40


023-040

40

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

17

Aproximacin y clculo con nmeros redondeadosdecimal. Lo que dice esa alumna es cierto? Si ests de acuerdo con ella explica por qu.

1. Una alumna de otra escuela dice que entre 4.378 y 4.379 no hay ningn nmero

Si no ests de acuerdo da un ejemplo que justifique tu respuesta.

2. Un alumno de otro grupo dice que 42 = 8 y 43 = 12. Es cierto lo que dice ese alumno? Por qu? 3. Hay alguna potencia a la que se pueda elevar el 4 de manera que el resultado sea aproximadamente 29? tra cul es esa potencia. Explora posibilidades con tu calculadora y encuenCompara tu respuesta

con las de tus compaeros, gana el que haya logrado una mejor aproximacin. 4. Cul es la mejor aproximacin con cuatro cifras decimales para el valor de x, de Por qu puedes manera que 4x se aproxime a 29? asegurar que la aproximacin que encontraste es la mejor?

5. Cul es el valor con seis cifras decimales para k, de manera que el valor de 6k sea la mejor aproximacin para 5000? la aproximacin que encontraste es la mejor? Por qu puedes asegurar que

6. Cul es el valor con ocho cifras decimales para x, de manera que 5x sea la mejor aproximacin para 32? 7. En cada uno de los siguientes casos encuentra la mejor aproximacin con tres cifras decimales para el valor de x. (El smbolo significa: es aproximadamente .)

a) 7x 135 x=primer grado

b) 9x 100 x=

c) 10x 100 x=

d) 10x 78 x=

41 9

041-058

41

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

18

Se descompuso la tecla de la raz cuadrada!

1. Supongamos que la tecla que indica esta operacin se descompuso. Qu podras hacer, sin usar la raz cuadrada para contestar las siguientes preguntas? cuadrada,

a) Cmo puedes encontrar la raz cuadrada de 25? b) Cmo puedes encontrar la raz cuadrada de 81? c) Cul es el nmero entero que mejor se aproxima a 53 ? d) Cul es el nmero entero que mejor se aproxima a 75 ? e) Puedes encontrar una aproximacin para la raz cuadrada de 133 con un nmero entero y una cifra decimal? Cul es?

f) Puedes encontrar una mejor aproximacin para la raz cuadrada de 133 con unnmero entero y tres cifras decimales? Cul es?

g) Puedes encontrar una mejor aproximacin que las que obtuviste para la raz cuadrada de 133 con cuatro cifras decimales? Cul es? 2. Podemos tener una aproximacin a un nmero por abajo o por arriba. Por ejem. plo, 6.7 es una aproximacin por abajo para el nmero 7, y 7.1 es una aproximacin por arriba. Observa que 7.1 es una mejor aproximacin que 6.7, porque 7.1 7 = 0.1, mientras que 7 6.7 = 0.3, es decir, 7.1 est ms cerca del 7 que 6.7. Puedes encontrar una mejor aproximacin por arriba? Cul es? 3. Sin usar la tecla de la raz cuadrada encuentra la mejor aproximacin por abajo, decimal, con un nmero entero y una cifra decimal para la raz cuadrada del 72. Cul es esa aproximacin? Explica qu es lo que te permite afirmar que la aproximacin que encontraste es la mejor por abajo con una cifra decimal para la raz cuadrada de 72.

9 42041-058 42

fracciones comunes y sus operaciones l

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

19

Cmo me aproximo, por abajo o por arriba?

1. Encuentra la mejor aproximacin por abajo para cada una de las siguientes races cuadradas. Tu aproximacin debe tener dos cifras decimales. Recuerda que no debes usar la tecla que indica esta operacin.

a) 37 d) 90 g) 452

b) 97 e) 134 h) 725

c) 108 f) 130 i) 927

2. Encuentra la mejor aproximacin por arriba para cada una de las siguientes races cuadradas. Tu aproximacin debe tener tres cifras decimales, y no debes usar la tecla de la raz cuadrada.

a) 48 d) 405 g) 958

b) 227 e) 618 h) 1104

c) 326 f) 853 i) 1005

3. Encuentra la mejor aproximacin por arriba y la mejor aproximacin por abajo, con tres cifras decimales, para el nmero 2

algebras

Documents