ALGEBRA BOOLEANA

PRESENTADO POR: Sebastian Hernandez.

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en

detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de Boole.

INTRODUCCIÒN

Como solución a este problema, se plantea un

método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.

Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de Boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

USOS

A mediados del siglo XX el álgebra Booleana

resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.

IMPORTANCIA

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana,

admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

OPERACIONES

A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

LOS TEOREMAS BÁSICOS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:TEOREMA 1Ley DistributivaA (B+C) = AB+AC

A A A+A0 0 01 1 1

A A AA

0 0 0

1 1 1

TEOREMA 2A+A = AAA = A

A B AB X

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

TEOREMA 3RedundanciaA+AB = A

A B=0 X

0 0 0

1 0 1

TEOREMA 40+A = AEquivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra

PRINCIPIO DE DUALIDAD