Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 3

Noviembre 23, 2012.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : Se realiza una encuesta a un grupo de 1600 personas para determinar suspreferencias en el desayuno. Los resultados fueron:801 cafe900 yogur752 jugo435 cafe y yogur398 cafe y jugo412 yogur y jugo310 cafe, yogur y jugo

a) (0,7 puntos) Represente la situacion usando un diagrama de Venn.

b) En cada uno de los siguientes casos determine el numero de personas que

(i) (0,2 puntos) Prefiere solo un tipo de alimento en el desayuno.

(ii) (0,2 puntos) Prefiere exactamente dos tipos de alimento.

(iii) (0,2 puntos) Prefiere al menos un alimento.

(iv) (0,2 puntos) Prefiere cuando mucho dos tipos de alimento.

Solucion:

a) Si nombramosU = total de encuestadosC = personas que prefieren cafeY = personas que prefiere yogurJ = personas que prefieren jugoEntonces tenemos|U | = 1600|C| = 801|Y | = 900|J | = 752|C ∩ Y | = 435|C ∩ J | = 398|Y ∩ J | = 412|C ∩ Y ∩ J | = 310

(i) 893 personas prefieren solo un tipo de alimento en el desayuno.

(ii) 315 personas prefieren exactamente dos tipos de alimento.

(iii) 1518 personas prefieren al menos un alimento.

(iv) 1290 personas prefieren cuando mucho dos tipos de alimento.

Problema 2 : (1,5 puntos) Sin usar tablas de verdad, determine si la siguiente proposiciones una tautologıa, una contradiccion o una contingencia.

[(q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ q)] ⇔ p

Solucion:

[(q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ q)] ⇔ p

[(q ∨ p) ∧ (p ∨ q) ∧ V ] ⇔ p

[(q ∨ p) ∧ (p ∨ q)] ⇔ p

[(q ∨ p) ∧ (q ∨ p)] ⇔ p

[(q ∧ q) ∨ p] ⇔ p

[F ∨ p] ⇔ p

p ⇔ p

Por lo tanto la proposicion es una tautologıa.

Problema 3 : En Z definimos la relacion R tal que para m, n ∈ Z tenemos

mRn si m2 − n2 es multiplo de 3

a) (0,9 puntos) Demuestre que R es una relacion de equivalencia en Z.

b) (0,2 puntos) Determine [0]R = {n ∈ Z : nR0}=clase de equivalencia del 0.

c) (0,2 puntos) Determine [1]R = {n ∈ Z : nR1}=clase de equivalencia del 1.

d) (0,2 puntos) Determine todas las clases de equivalencia de R.

Solucion:

a)Propiedad refleja: Para todo n ∈ Z tenemos n2 − n2 = 0 el cual es multiplode 3. Por lo tanto nRn.Propiedad simetrica: Si m y n son elementos de Z tal que mRn entoncesm2 − n2 = 3k para algun k ∈ Z. Entonces n2 −m2 = 3(−k), es decir nRm.Propiedad transitiva: Sean m, n y p elementos de Z tales que mRn y nRp.Entonces tenemos respectivamente m2 − n2 = 3k1 y n2 − p2 = 3k2.Restando estas ecuaciones obtenemos m2 − p2 = 3(k1 − k2). Por lo tanto mRp.

b)

[0]R = {n ∈ Z : nR0}= {n ∈ Z : n2 − 02 es multiplo de 3}= {n ∈ Z : n2 es multiplo de 3}= {n ∈ Z : n es multiplo de 3}

c)

[1]R = {n ∈ Z : nR1}= {n ∈ Z : n2 − 1 es multiplo de 3}= {n ∈ Z : (n− 1)(n+ 1) es multiplo de 3}= {n ∈ Z : (n− 1) es multiplo de 3 o (n+ 1) es multiplo de 3}= {n ∈ Z : n = 3k − 1 ∨ n = 3k + 1 para algun k ∈ Z}

d) De acuerdo a las partes anteriores, tenemos que la clase del 0 son los enteros de laforma 3k, y la clase del 1 son los enteros de la forma 3k-1 y 3k+1. Como cualquierentero es de una de estas tres formas, tenemos que hay exactamente dos clases deequivalencia: [0]R y [1]R.

Problema 4 : (1,5 puntos) Demuestre formalmente la proposicion

(∀n ∈ N)(n2 es multiplo de 2 ⇒ n es multiplo de 2)

Solucion:Tenemos que (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)Por lo tanto, en lugar de probar directamente(n2 es multiplo de 2) ⇒ (n es multiplo de 2)probaremos(n no es multiplo de 2) ⇒ (n2 no es multiplo de 2).Demostracion:

(n no es multiplo de 2) ⇒ n = 2k − 1 para algun k ∈ N

⇒ n2 = 4k2 − 4k + 1 para algun k ∈ N

⇒ n2 = 2(2k2 − 2k) + 1 para algun k ∈ N

⇒ n2 es de la forma multiplo de 2 mas 1

⇒ n2 no es multiplo de 2

Queda entonces demostrado (QED).