Universidad Andres BelloFacultad de IngenieraDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 3

Junio 24, 2011.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justicacion.

Problema 1 : En un estudio sobre la aprobacion de tres asignaturas realizado a los estudiantes de la carrerade Ingeniera arrojo los siguientes resultados:

140 aprobaron Algebra

125 aprobaron Qumica

155 aprobaron Calculo

270 aprobaron al menos una asignatura

150 no aprobaron Algebra

50 aprobaron solo Algebra

45 aprobaron solo Qumica

55 aprobaron solo Calculo

90 aprobaron solo dos asignaturas

a) (0;4 puntos) >Cuantos estudiantes no aprobaron ninguna asignatura?

b) (0;4 puntos) >Cuantos estudiantes aprobaron las tres asignaturas?

c) (0;4 puntos) >Cuantos alumnos aprobaron Algebra o Qumica pero no Calculo?

Solucion:

Tenemos50 + x+ y + w = 140

45 + y + z + w = 125

55 + x+ z + w = 155

50 + 55 + 45 + x+ y + z + w = 270

x+ y + z = 90

t+ 45 + z + 55 = 150

Manipulando las ecuaciones se obtiene:x = 40y = 20

z = 30w = 30t = 20

a) 20 estudiantes no aprobaron ninguna asignatura.

b) 30 estudiantes aprobaron las tres asignaturas.

c) 50+y+45=115 estudiantes aprobaron Algebra o Qumica pero no Calculo.

Problema 2 : Denimos la diferencia simetrica de dos conjuntos A y B por

A4B = (AB) [ (B A)

a) (0;3 puntos) Calcule A4;b) (0;3 puntos) Calcule A4Uc) (0;3 puntos) Muestre que A4B = (A [B) (A \B)d) (0;3 puntos) Muestre que A = B , A4B = ;

Solucion:

a)

A4; = (A ;) [ (; A)= (A \ ;c) [ (; \Ac)= (A \ U) [ (; \Ac)= A [ ;= A

b)

A4U = (A U) [ (U A)= (A \ U c) [ (U \Ac)= (A \ ;) [ (U \Ac)= ; [Ac= Ac

c)

A4B = (AB) [ (B A)= (A \Bc) [ (B \Ac)= ((A \Bc) [B) \ ((A \Bc) [Ac)= (A [B) \ (Bc [B) \ (A [Ac) \ (Bc [Ac)= (A [B) \ U \ U \ (Bc [Ac)= (A [B) \ (Bc [Ac)= (A [B) \ (A \B)c= (A [B) (A \B)

d)Supongamos que A = B entonces A4B = (AB) [ (B A) = (AA) [ (AA) = ; [ ; = ;

Ahora supongamos que A4B = ;, entonces (A B) [ (B A) = ;, y por lo tanto A B = ; yB A = ;. Por lo tanto A B y B A. Esto implica que A = B.

Problema 3 : SeaR = f(x; y) 2 Z Z : x y es divisible por 5g

(Es decir xRy si x y es divisible por 5)a) (0;6 puntos) Demuestre que R es una relacion de equivalencia en Z.b) (0;6 puntos) Determine el numero de clases de equivalencia que posee esta relacion.

Solucion:

a)Identica: x x = 0 que es divisible por 5. Por lo tanto xRx.Reeja: Si xRy entonces x y = 5k para algun k 2 Z, entonces y x = 5(k), entonces yRx.Transitiva: Si xRy e yRz entonces x y = 5a e y z = 5b para algunos a y b enteros. Sumandoestas ecuaciones obtenemos x z = 5(a+ b). Por lo tanto xRz.

b) Recordamos que las clases de equivalencia hacen una particion del conjunto. Tenemos:[0] = f: : : ;10;5; 0; 5; 10; 15; : : :g[1] = f: : : ;9;4; 1; 6; 11; 16; : : :g[2] = f: : : ;8;3; 2; 7; 12; 17; : : :g[3] = f: : : ;7;2; 3; 8; 13; 18; : : :g[4] = f: : : ;6;1; 4; 9; 14; 19; : : :g

Con estas cuatro clases queda cubierto todo Z y por lo tanto la relacion tiene solo cinco clases deequivalencia.

Problema 4 : (1;2 puntos) Pruebe que el conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto(0; 0) no es numerable.

Solucion:Una recta que pasa por el (0; 0) queda determinada unvocamente por su angulo con respecto al ejex con 2 [0; ]. El conjunto A de las rectas del plano se puede describir como:

A = f` : ` el una recta con angulo con respecto al eje x; 2 [0; )gTenemos entonces una biyeccion entre el conjunto A y el intervalo [0; ).El intervalo [0; ) es no numerable, y por lo tanto A es no numerable.

Problema 5 : Se dene en Z la operacion comoa b = a+ b+ 1

a) (0;3 puntos) Pruebe que es asociativa.b) (0;3 puntos) Pruebe que tiene elemento neutro.c) (0;3 puntos) Determine, si es que existe, el elemento inverso de 1d) (0;3 puntos) Resuelva la ecuacion

(2 x) (7 x) = 2

Solucion:

a) Sean a, b, c 2 Z.Tenemos por un lado

a (b c) = a (b+ c+ 1)= a+ (b+ c+ 1) + 1

= a+ b+ c+ 2

y por otro lado

(a b) c = (a+ b+ 1) + c+ 1= a+ b+ c+ 2

Por lo tanto a (b c) = (a b) c y la operacion es asociativa.b) Buscamos x 2 Z tal que a x = x a = a para todo a 2 Z

Tenemos por la derechaa x = aa+ x+ 1 = 1x = 1Este elemento tambien es neutro por la izquierda:(1) a = 1 + a+ 1 = aPor lo tanto el neutro de la operacion es 1

c) Buscamos un elemento que operado con 1 de el neutro, es decir, 1. Pero por ser neutro,automaticamente es su propio inverso. Es decir el inverso de 1 con respecto a la operacion esel propio 1.

d)(2 x) (7 x) = 2

(2 + x+ 1) (7 + x+ 1) = 2(2 + x+ 1) + (7 + x+ 1) + 1 = 2

2x = 4

x = 2