Álgebra y pensamiento algebraico un binomio conceptual presente en el

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  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MEMORIAS XV SEMANA REGIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA EN MATEMÁTICAS DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE SONORA Editores: Horacio Leyva Castellanos  Francisco Armando Carrillo Navarro José Luis Díaz Gómez  DE LA Marzo de 2005

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DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS MEMORIAS XV SEMANA REGIONAL DE INVESTIGACIN Y DOCENCIA EN MATEMTICAS DIVISIN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE SONORA Editores:Horacio Leyva Castellanos Francisco Armando Carrillo NavarroJos Luis Daz Gmez DE LAMarzo de 2005 DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS MEMORIAS DE LA XV SEMANA REGIONAL DE INVESTIGACIN Y DOCENCIA EN MATEMTICAS Editores: Horacio Leyva Castellanos Francisco Armando Carrillo Navarro Jos Luis Daz Gmez DIVISIN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE SONORA ii Comit Organizador de laXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas L. M. Arturo Fragozo Robles Presidente M. C. Horacio Leyva Castellanos Secretario M. C. Edelmira Rodrguez Alcantar Dra. Dora Julia Borbn Gonzlez M. C. Jos Mara Bravo Tapia Dr. Fernando Verduzco Gonzlez Departamento de Matemticas Universidad de Sonora Hermosillo, Sonora iii iv DIRECTORIO Dr. Pedro Ortega Romero Rector de la Universidad de Sonora Dr. Enrique Velzquez Contreras Secretario General Acadmico Dr. Daniel Carlos Gutirrez Rohn Vicerrector, Unidad Regional Centro Dr. Rogelio Monreal Saavedra Director de la Divisin de Ciencias Exactas y Naturales Dra. M. Guadalupe vila Godoy Jefa del Departamento de Matemticas Departamento de Matemticas Universidad de Sonora Hermosillo, Sonora v vi Memorias de la XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas PRESENTACIN LaSemanaRegionaldeInvestigacinyDocenciaenMatemticas,organizadaporel DepartamentodeMatemticasde la Universidad de Sonora, se ha consolidado ya como unimportanteforoacadmicoenelqueseexponenydiscutendiversostpicos relacionadosconlasmatemticasysusaplicaciones,lacomputacinyladocenciaen matemticas. Esto se ha logrado con el esfuerzo de la comunidad matemtica de nuestro DepartamentoyelapoyodeinstanciasuniversitariascomolaDivisindeCiencias ExactasyNaturales,laVicerrectoradelaUnidadRegionalCentro,laDireccinde Desarrollo Acadmico y, muy especialmente, la Rectora. Hancontribuidotambinsignificativamentealfortalecimientodeesteevento,la SociedadMatemticaMexicana,laSecretaradeEducacinPblicaatravsdel ProgramadeApoyoalDesarrolloUniversitariodelaDGES-SESIC,laSecretarade EducacinyCulturadelEstadodeSonora,ylasUniversidadesAutnomasdeBaja California, de Baja California Sur y Chihuahua. UnodelosprincipalesobjetivosdelaSemanahasidoeldepromoverelintercambio de conocimientos, opiniones y experiencias entre estudiantes, profesores e investigadores de la regin noroeste de Mxico, con intereses en las matemticas y sus aplicaciones, la computacinyladocenciaenmatemticas.Almismotiempo,sehalogradoque distinguidosacadmicosdeinstitucionesnacionalesyextranjerasparticipencomo invitadosespecialesenlasactividadesdelaSemana,loquehaenriquecidoladiscusin de ideas entre los interesados en las disciplinas mencionadas. Paracumplirconlosobjetivosmencionados,enlaSemanaseorganizandiferentes actividadestalescomo:conferenciasplenarias,conferenciasporinvitacin,mesas redondas, cursos cortos y ponencias por solicitud. Estas ltimas pueden serconferencias, reportes de investigacin o reportes de tesis. La dcimo quinta edicin de la Semana se llev a cabo del 28 de Febrero al 4 de Marzo de2005enlasinstalacionesdelDepartamentodeMatemticasdelaUnidadRegional CentrodelaUniversidaddeSonorayenestaocasinsecontconinvitadosespeciales de las siguientes instituciones: Facultad de Ciencias, Instituto de Matemticas e Instituto deInvestigacinenMatemticasAplicadas(IIMAS)delaUNAM.UNAM-Ensenada; UniversidadAutnomadeBajaCalifornia;DepartamentodeMatemticasdela Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa; Texas Instruments de Mxico; DepartamentodeElectrnicayTelecomunicacionesdelCentrodeInvestigacin Cientfica y de Estudios Superiores de Ensenada; Instituto Mexicano del Petrleo. EsoportunorecordarquelosorgenesdelaLicenciaturaenMatemticas,aligualque las de Fsica y Literatura y Letras Hispnicas, se remontan a la antigua Escuela de Altos Estudios, que naci un 4 de Marzo de 1964. Por tal motivo, ya se ha vuelto una tradicinvii en nuestro Departamento celebrar esa fecha con una mesa redonda en la que un profesor decadaunadeesaslicenciaturasdasuspuntosdevistasobrealgntpicodelas matemticas,desdelaperspectivadecadaunadeesasdisciplinas.Enestaocasinel temadelamesafue"CambioyMovimiento"ysetuvounaamenaparticipacindelos integrantes de la mesa y del pblico asistente.

La XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas reuni, adems delosinvitadosespeciales,aunnutrido grupo de participantes provenientes de diversas institucioneseducativasdelpas,quienesparticiparoncomoponentesoasistentes.El programadeactividadesincluyuna conferencia inaugural yuna conferencia magistral; tres conferencias plenarias y dos conferencias por invitacin; ocho cursos cortos, y treinta yunaponenciasporsolicitud.ElComitOrganizadoragradeceatodoslosponentessu intersporpresentartrabajosdecalidadenelevento;asimismo,agradecemuy especialmente a todos los evaluadores, el cuidadoso y detallado arbitraje de las ponencias por solicitud recibidas. Finalmente,extendemosunespecialreconocimientoatodosloscompaerosque aportaronsuinvaluablecolaboracinalaorganizacindeestaedicindelaSemana:a losprofesoresyestudiantesdelDepartamentodeMatemticas,ascomoatodoel personal administrativo, quienes auxiliaron al Comit Organizador en las diversas tareas que un evento de este tipo requiere. Esperamosquelopublicadoenestasmemoriasseadeutilidadycontribuyaaqueun mayor nmero de personas se acerquen a las matemticas y se interesen por conocerlas, estudiarlas y aplicarlas en otras disciplinas. Los Editores Marzo de 2005. Departamento de Matemticas Universidad de Sonora Hermosillo, Sonora viii Memorias de la XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas CONTENIDO Topologa del conjunto de polinomios Hurwitz.......1 Baltazar Aguirre Aplicaciones y Propiedades de los Polinomios Hurwitz.....7 Baltazar Aguirre Carlos Loredo De la Percepcin a la Conjetura: un Viaje a travs de laGeometra dinmica...........13 David Bentez Mojica y Lizet Aime Castaeda Valdez Estudio Bioeconmico mediante un Modelo de Parmetros Variables....19 Dora Julia Borbn Gonzlez Anlisis Matemtico del Tiempo de Corrimiento y Aceleracindel Algoritmo de Ordenamiento Quicksort en paralelo.....27 Jos Antonio Crdenas Haro, Guillermo Galaviz Yaez, Guillermo Lpez Mariscal Proyectos Integrados de Aprendizaje en Matemticas......33 Jos Lus Daz Gmez,Paulina Danae Lpez Ceballos El Concepto de Variable en los Libros de Texto.39 Jos Lus Daz Gmez yLina Morales Peral Una Propuesta para el Tratamiento de la Funcin Cuadrtica con Estudiantes de Bachillerato.......45 Lorena Fernndez Sesma. El Anlisis Consciente de los Componentes de un Problema y sus Relaciones, un Camino en el Razonamiento Matemtico..51 Mario Garca Salazar Implementacin Computacional del Algoritmo Hngaro para laAsignacin a profesor-materia un horario-aula para IES.....57 Mario Gmez Quezada, Joaqun Lpez Borbn. Propuesta de Cambios en los Contenidos y Mtodos de Enseanzapara un Curso Introductorio de Estadstica ......67 Gudelia Figueroa Preciado,Irma Nancy Larios Rodrguez. Reescribiendo la Historia: De Moivre y su Cuadratura.75 Enrique Hugues Galindo, Francisco Cndido Garca Durn ix Interacciones Dbiles: Ondas Compuestas en un Fluido de dos capas.....85 Inna Shingareva, Carlos Lizrraga Celaya Acoplamiento Mximo y Cubierta Mnima en Grficas Bipartitas yProblema de Asignacin93 Joaqun Lpez Borbn, Mario Gmez Quezada Criterios para Determinar si un Polinomio es Hurwitz.....101 Carlos Loredo, Baltasar Aguirre lgebra y Pensamiento Algebraico: Un binomio conceptual presente en el currculum matemtico actual..107 Rosalinda Mena Chavarra, Martha Cristina Villalva Gtz. Mdulo Webpara el Aprendizaje de la Modelacin Matemtica enIngeniera Qumica....113 Marco Antonio Nez Esquer Presentacin de una Herramienta Didctica Visual para el Estudio delCoeficiente de Friccin..119 Juan De Dios Ocampo Daz, Jess Eduardo Mora Ramrez, Juan De Dios Ocampo Pea Beneficios de una Educacin Matemtica en Contexto..125 Carlos Daniel Prado Prez De la Integral de Riemann al Teorema Fundamental del Clculo: UnAcercamiento con el Applet Descartes.131 Eduardo Tellechea Armenta Un Ejemplo de Transformacin de Darboux en Mecnica Cuntica...137 A. Juregui, V. Santana Departamento de Matemticas Universidad de Sonora Hermosillo, Sonora x NivelSuperiorTopologadelconjuntodepolinomiosHurwitzBaltazarAguirreUniversidadAutonomaMetropolitana.ResumenLospolinomiosHurwitzsonimportantesporquepormediodeellosestudiamoslaestabilidaddeunsistemadeecuacionesdiferenciales. Laestabilidadglobalenelcasodesistemaslinealesylaestabilidadlocalenelcasodesistemasnolineales. Porotraparte, unpolinomiodegradonpodemosidenticarloconsuvectordecoecientes.Con esta identicacion podemos pensar al conjunto de los polinomios Hurwitz como unsubconjunto del espacio n+1-dimensional. Que propiedades topologicas tiene este con-junto?, es acotado?, es abierto?Estas propiedades y algunas otras seran discutidasen esta conferencia, comentando cuales son posibles temas por investigar.1 ImportanciadelospolinomiosHurwitzConsiderarelsistema.x= AxSi todos los valores propios delamatrizAtienenpartereal negativaentonces todas lassolucionesdelsistemaconvergenalorigencuandot .Unamatrizconlapropiedaddequesusvalorespropiostienenpartereal negativasediceque es una matriz Hurwitz estable. Por otra parte, los valores propios de la matriz A son lasraces de PA(t), el polinomio caracterstico de la matriz A. Esto motiva la siguiente denicion.Denicion1.1. Unpolinomioconcoecientesrealesf(t) = b0tn+ b1tn1+ ... + bn1t + bnesHurwitzsitodassusraicestienenparterealnegativa.2 ElcriteriodeRouth-HurwitzylascondicionesdeLienard-ChipartA continuacion presentamos el criterio quiza mas popular para determinar si un polinomio esHurwitz: el llamado Criterio de Routh-Hurwitz. Posteriormente presentamos las condicionesde Lienard-Chipart, las cuales pueden ser entendidas como una mejora al criterio de Routh-Hurwitz. Finalmenteplanteamosunapreguntarelacionadaconestosdosresultados.XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas1Teorema2.1(CriteriodeRouth-Hurwitz). Dadounpolinomioconcoecientesrealesf(t) = b0tn+b1tn1+... +bn1t+bndenimos la matriz de Hurwitz asociada a este polinomiob1b00 0b3b2b1 0...............b2n3b2n4b2n5 bn2b2n1b2n2bn3 bndondebk= 0sik > n.Para que tal polinomio tenga todas sus raices con parte real negativa, es necesario y sucientequesesatisfagaqueb01> 0, 2> 0, b03> 0, 4> 0, ...

b0n> 0, si nesimparn> 0, si nespardondelos

issonlosmenoresprincipalesdiagonalesdelamatrizdeHurwitz.Encasodequeb0= 1lacondicionsimplementedicequelosmenoresprincipalesdebenserpositivos,esdecir,1> 0, 2> 0, 3> 0, ..., n> 0.Notesequesi el polinomioesdegradomuygrande, paraaplicarel criteriodeRouth-Hurwitz, tambiense debe calcular unn umero grande de menores principales ks. Elsiguiente resultadoes unamejoraenel sentidode que solose debe conocer el signodeaproximadamente lamitadde menores de los que se necesitanconocer enel criteriodeRouth-Hurwitz.Teorema2.2(CondicionesdeLienardyChipart). El polinomiof(t) = b0tn+ b1tn1+ ... + bn1t + bn(b0> 0)esHurwitzsiysolosisesatisfacealgunadelassiguientescondiciones1)bn> 0, bn2> 0, bn4> 0, ...;1> 0, 3> 0, 5> 0, ...2)bn> 0, bn2> 0, bn4> 0, ...;2> 0, 4> 0, 6> 0, ...3)bn> 0, bn1> 0, bn3> 0, ...;1> 0, 3> 0, 5> 0, ...4)bn> 0, bn1> 0, bn3> 0, ...;2> 0, 4> 0, 6> 0, ...Problema. ElcriteriodeLienard-Chipartpresentaraelmenorn umerodemenoresprin-cipalesquesenecesitancalcularopodrasermejorado?.XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasBALTAZAR AGUIRREXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas23 GeometradelospolinomiosHurwitzNotacion. Denotamos por Pn al conjunto de polinomios de coecientes reales de grado n.Identicamos al polinomio f(t) =b0tn+b1tn1+ +bnconel vector enRn+1:(b0, b1, ..., bn1, bn). Deestamanera,podemoshablardeunatopologiade Pn.Denotamospor HnalconjuntodelospolinomiosHurwitzdegradon.Propiedad1Teorema3.1. Hnesunconjuntoabierto.La demostracion de este resultado puede consultarse en el libro de Bhattacharayya etal.Propiedad2Teorema3.2. Hnessimetricorespectoal origen.Propiedad3Proposicion3.3. Siel polinomioconcoecientesrealesp(t) = a0tn+ a1tn1+ ... + anesHurwitzentoncestodossuscoecientessondiferentesdeceroytienenel mismosigno, otodossonpositivosotodossonnegativos.Unademostraciondeesteresultadopuedeconsultarseenel ReportedelosSeminariosdeinvestigaciondeCarlosLoredo.Teorema3.4. Hnnoesconexo.Propiedad4Denotamos por H+nal conjunto de polinomios Hurwitz de grado n con coecientes positivos.Teorema3.5. H+nesconexo.TOPOLOGA DEL CONJUNTO DE POLINOMIOS DE HURWITZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas3Propiedad5SegmentosdepolinomiosDenicion3.6. Dados los polinomios P0(t) yP1(t) decimos quelasiguientefamiliadepolinomios P0(t) +(1)P1(t), [0, 1] , es el segmento de polinomios con extremos P0(t)yP1(t).Problema. DadosP0(t)yP1(t)HurwitzP0(t) + (1 )P1(t)esHurwitz [0, 1]?Engeneral,larespuestaesnegativa.Ejemplo3.7. P0(t) = t3+ 6t2+ 11t + 6 = (t + 1)(t + 2)(t + 3)P1(t) = 6t2+ 5t + 216esHurwitz,sinembargoP0(t) + (1 )P1(t) == (t3+ 6t2+ 11t + 6t) + (1 )(6t2+ 5t + 216)noesHurwitzparatodo 0a)para

0,527

esHurwitzb)para

527,5+27

noesHurwitzc)para

5+27, 1

esHurwitzTeorema3.8. HnnoesconvexoPropiedad6RayosdepolinomiosProblema. DadoP0(t) Hurwitz , que polinomios P(t) cumplenque P0(t)+P(t) esHurwitz 0?.XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasBALTAZAR AGUIRREXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas4Ejemplo3.9. P0(t) = t3+ 6t2+ 11t + 6 = (t + 1)(t + 2)(t + 3)P(t) = 6t2+ 5t + 216esHurwitz,sinembargoP0(t) + P(t) = t3+ 6t2+ 11t + 6t + (6t2+ 5t + 216)noesHurwitzparatodo 0a)para [0, 2 2)esHurwitzb)para [2 2, 2 +2]noesHurwitzc)para (2 +2, )esHurwitzEjemplo3.10. p0(t) = t3+ 6t2+ 11t + 6yp(t) = 5t2+ 11t + 6.5p0(t) + p(t) = t3+ 6t2+ 11t + 6t + (5t2+ 11t + 6.5)esHurwitzparatodo 0.Teorema3.11. El conjunto HnesnoacotadoProblemageneralDescribircompletamentealconjunto HnyHn.Bibliografa[1] B.Aguirre, C.IbarraandR.Suarez, Sucientalgebraicconditionsforstabilityofconesofpolynomials, Systems & Control Letters 46 (2002) 255-263.[2] B. R. Barmish, New Tools for Robustness of Linear Systems. 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Banda,Faststabilitycheckingfortheconvexcombination of stable polynomials, IEEE Trans. on Automatic Control, 35, no. 5 (1990) 586-588.TOPOLOGA DEL CONJUNTO DE POLINOMIOS DE HURWITZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas5[8] H.ChapellatandS.P.Bhattacharyya, AnalternativeproofofKharitonovstheorem, IEEETrans. on Automatic Control, 34, No. 4, (1989) 448-450.[9] M. Fu and B. R. Barmish. Maximal unidirectional perturbation bounds for stability of polyno-mials and matrices. Systems and Control Letters, 11, (1988) 173-179.[10] Gantmacher, F. R. [1959] The Theory of Matrices. Chelsea Publ. Co., New York.[11] Hinrichsen, D. &Kharitonov, V. L. [1995] Stabilityof polynomialswithconicuncertainty.Math. Control Signal Systems 8, 97-117.[12] M.-T. Ho, A. Datta and S.P. Bhattacharyya, An elementary derivation of the Routh-Hurwitzcriterion. IEEE Transactions on Automatic Control, 43, No. 3, (1998) 405-409.[13] Ch. HwangandS.-F. Yang, Theuseof RoutharrayfortestingtheHurwitzpropertyof asegment of polynomials, Automatica, 37, (2001) 291-296.[14] Lancaster, P. and Tismenetsky [1985] The Theory of Matrices with applications, second edition,Academic Press, Orlando.[15] LienardandChipart [1914]. Sur le signe de lapartie r`e elle des racines dune`equationalg`ebraique, J. Math. Pures Appl. (6), Vol. 10, 291-346.[16] Uspensky, J. V. [1990] Teora de Ecuaciones. Limusa. Mexico, D. F.XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasBALTAZAR AGUIRREXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas6NivelSuperiorAPLICACIONESYPROPIEDADESDELOSPOLINOMIOSHURWITZBaltazarAguirre CarlosLoredoUniversidadAutonomaMetropolitanaUnidadIztapalapaResumenLa importancia de los polinomios Hurwitz radica en que muchos fenomenos fsicosresultanestablescuandounpolinomioasociadoaellosesHurwitz. Enestetrabajopresentamos varios sistemas fsicos para resaltar dicha importancia y tambien presen-tamos algunas propiedades de estos polinomios.1 PolinomiosHurwitzdegradomenorque5yaplicacionesParapoder presentar nuestras aplicaciones comenzamos estaseccionobteniendocriteriosparadeterminarsi unpolinomioesHurwitzparaloscasosmassencillos, cuandolospoli-nomios son de grado peque no. El problema de determinar si un polinomio de grado arbitrarioesHurwitzfueplanteadoporJamesMaxwellen1868. Lasdemostracionesdelosteoremaspresentadospuedenconsultarseen[5].Denicion1.1. Decimos queunpolinomiodecoecientes reales es Hurwitz si todas susracestienenpartereal negativa,i.e.,estanen C= { a + ib : a < 0 }.Ejemplo1.2.1. p(t)=t2+ 3t + 2esHurwitzpuesp(t)=(t + 2)(t + 1)yt= 2yt= 1sonsusraces.2. s(t) = t3+ t2+ t + 1noesHurwitz,yaques(t) = t2(t + 1) + t + 1 = (t2+ 1)(t + 1)ysusracessont = i,t = i,t = 1.Teorema1.3. El polinomiop(t) = t + a1esHurwitzsiysolosia1> 0.Teorema1.4. El polinomiop(t) = t2+ a1t + a2esHurwitzsiysolosia1> 0ya2> 0.Ejemplo1.5. AplicandoelTeorema1.4,podemosdecirquea) p(t) = t2+ 5t + 7esHurwitz.b) p(t) = t2+ 2t 3noesHurwitz.XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas7c) p(t) = t2+ 1noesHurwitz.Corolario1.6.a) f(t) = b0t + b1esHurwitzsiysolosib0,b1sondel mismosigno.b) p(t) = a0t2+ a1t + a2esHurwitzsiysolosia0,a1,a2sondel mismosigno.Ejemplo1.7.1. p(t) = 2t23t 2esHurwitz.2. p(t) = t2+ 5t + 2noesHurwitz.3. p(t) = 3t 2noesHurwitz.Acontinuacionmostraremosalgunasaplicaciones.Aplicacion1.1(Osciladorarmonicoamortiguado).Supongase que estiramos un resorte una cierta distancia y luego lo soltamos. El movimientoquedescribelamasa(juntoconelresorte)estadescritoporlaecuacionmd2xdt2+ dxdt+ kx = 0dondeeslaconstantedeamortiguamientoykeslaconstantedelresorte, ademas>0yk > 0. Laecuacioncaractersticadelaecuaciondiferencialesp() = m2+ + k = 0Comom,,k > 0entoncesp()esHurwitz. Ademas1. si1,2 Rentoncesx(t) = Ae1t+ Be2t.2. si1= + iy2= i,con < 0,entoncesx(t) = Aetcos t + Betsin t.Luegocualquiersolucionx(t)cumplequex(t) 0sit .Aplicacion1.2(Circuitoselectricos).Considereuncircuitoelectrico, dondeEesel voltaje(medidoenvolts), Rlaresistencia(medidaenOhms), Llainductancia(medidaenHenrios)yClacapacitancia(medidaenFaradios). LavariaciondelvoltajeenuntiempotestadadaporlaecuacionLd2idt2+ Rdidt+1ci =dEdtSi EesconstanteentoncesdEdt=0. BajolasuposiciondequeEesconstante, laecuacioncaractersticaesp() = L2+ R +1c= 0Ya que L,R,1c> 0 se tiene que p() es Hurwitz. Por lo tanto podemos asegurar que i(t) 0cuandot . Unaexplicacionfsicadeestoesquei(t) 0cuandot debidoalconsumodeenergadelaresistencia.BALTAZAR AGUIRRE,CARLOS LOREDOXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas8Aplicacion1.3(ModeloLotka-Volterrade2especies).Elmodeloestaexpresadoporelsiguientesistemadeecuacionesdiferenciales x = x(2 3x + y) y= y(1 + 2x 3y)(0, 0)y(1, 1)sonlospuntoscrticos. LamatrizJacobianaen(1, 1)esA =

3 12 3

elpolinomiocaractersticoespA() = 2+ 6 + 7elcualesHurwitz. Porlotantocercadelpunto(1, 1)lassolucionesconvergen.Teorema1.8. Elpolinomiop(t) = t3+a1t2+a2t +a3esHurwitzsiysolosia1,a2,a3> 0y a1a2a3> 0.Ejemplo1.9.1. Sea p(t) = t3+2t2+3t +7, luego a1= 2,a2= 3,a3= 7. Entonces a1a2a3= 1 < 0.Porlotantop(t)noesHurwitz.2. Seap(t) = t3+ 3t2+ 3t + 1,entoncesa1a2a3= 8 > 0. Porlotantop(t)esHurwitz.Teorema1.10. El polinomiop(t) =t4+ a1t3+ a2t2+ a3t + a4es Hurwitz si ys olosia1,a2,a3,a4> 0ya1a2a3a23a21a4> 0.Ejemplo1.11.1. Seap(t) = t4+ t3+ 5t2+ 7t + 2,luegoa1= 1,a2= 5,a3= 7,a4= 2. Entoncesa1a2a3a23a21a4= (1)(5)(7) (7)2(1)2(2) = 16 < 0Porlotantop(t)noesHurwitz.2. Seap(t) = t4+ 4t3+ 6t2+ 4t + 1,entoncesa1a2a3a23a21a4= (4)(6)(4) (4)2(4)2(1) = 64 > 0Porlotantop(t)esHurwitz.Corolario1.12.a) p(t) = a0t3+ a1t2+ a2t + a3esHurwitzsiysolosia0,a1,a2,a3sondel mismosignoya1a2a3a0> 0.b) p(t)=a0t4+ a1t3+ a2t2+ a3t + a4esHurwitzsi ysolosi a0,a1,a2,a3,a4sondelmismosignoya1a2a3a23a0a21a4a0> 0.APLICACIONES Y PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS HURWITZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas9Aplicacion1.4(SistemadeLorenz).Elsistemaeselsiguiente x = (y x) y= rx y xz z= xy bzcon,r,b > 0. Elpunto(0, 0, 0)esunpuntocrtico. LamatrizJacobianaen(0, 0, 0)esA = 0r 1 00 0 bElpolinomiocaractersticoespA() = 3+ [b + (1 + )]2+ [(1 r) + b(1 + )] + b(1 r)Sir < 1entoncesb + (1 + ) > 0, (1 r) + b(1 + ) > 0, b(1 r)> 0ademas[b + (1 + )][(1 r) + b(1 + )] b(1 r)= (1 + )[b2+ (1 r) + b(1 + )] > 0porlotantopA()esHurwitzy(0, 0, 0)espuntoestablelocalmente.2 PropiedadesdelospolinomiosHurwitzEnestaseccionpresentamos algunas propiedades queresultanser condiciones necesariasparaqueunpolinomioseaHurwitz. Dichascondicionesseestablecenparapolinomiosdegradoarbitrarion.Teorema2.1. Si p(t)esunpolinomioHurwitzdegradonentoncestodossuscoecientessondel mismosigno(ver[1]).Observacion 2.1.Si los coecientes de un polinomio p(t) no tienen el mismo signo entoncesp(t)noesHurwitz.Observacion2.2. Elteorema2.1esunacondicionnecesaria, peronosuciente, paraqueunpolinomioseaHurwitz. Enotraspalabras,siunpolinomiop(t)tienesuscoecientesdelmismo signo, p(t) no necesariamente es Hurwitz, lo cual es ilustrado en el siguiente ejemplo.Ejemplo2.2. Seap(t) = t3+ 2t2+ 5t + 174,entoncesp(t) = (t24t + 29)(t + 6) = (t 2 + 5i)(t 2 5i)(t + 6)Porlotantop(t)noesHurwitz.BALTAZAR AGUIRRE,CARLOS LOREDOXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas10Teorema2.3. Sip(t)esunpolinomioHurwitzdegradonentoncesp

(t)esHurwitz.Corolario2.4. Sip

(t)noesHurwitzentoncesp(t)noesHurwitz.Ejemplo2.5. Seap(t) =15t5+ t4+ 2t3+ 15t2+ 6t + 5,ahorap

(t) = t4+ 4t3+ 6t2+ 30t + 6luegoa1a2a3a23a21a4= (4)(6)(30) (30)2(4)(6) < 0Entoncesp

(t)noesHurwitz. Porlotantop(t)noesHurwitz.Observacion2.3. El teorema2.3nosdaunacondicionnecesaria, peronosuciente, esdecir,sip

(t)esHurwitzp(t)nonecesariamenteloes. Estoloilustraelsiguienteejemplo.Ejemplo2.6. Seaf(t) = 8t3+ 3t2+ 8t +52. Ahora(8)(3) (8)

52

= (8)

3 52

= (8)

12

= 4 > 0Porlotantof(t)esHurwitz. Luegohagamoshc(t) =

f(t)dt = 2t4+ t3+ 4t2+52t + cSetieneque(1)(4) (2)(52) = 4 5 < 0Luego, hc(t) no es Hurwitz para ning un valor de c. As, al hacer f(t) = p

(t) que es Hurwitz,setienequehc(t) = p(t)noesHurwitz.Teorema2.7. (ver[6])Sif(x) = a0 + a1x + a2x2+ . . . + anxnesHurwitzy Csetienequea) siRe > 0entonces |f()| > |f()|b) siRe = 0entonces |f()| = |f()|c) siRe < 0entonces |f()| < |f()|Observacion2.4. Sif(x)esunpolinomiorealtalquenosecumplealgunodelosincisosa),b),c)entoncesf(x)noesHurwitz.Ejemplo2.8. Seaf(x) = x3+ 2x2+ 16x + 130,tomar= 1 + 5i. Entoncesf() = (1 + 5i)3+ 3(1 + 5i)2+ 16(1 + 5i) + 130 = 0Luego |f()| = 0;porotroladof() = (1 5i)3+ 3(1 5i)2+ 16(1 5i) + 130 = 116 + 60iLuego |f()| > 0. Entonces no se cumple |f()| > |f()|. Por lo tanto f(x) no es Hurwitz.APLICACIONES Y PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS HURWITZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas11Observacion2.5. El teorema2.7esunacondicionnecesariaperonosuciente, esdecir,si f(x)satisfacetodoslosincisosa), b)oc)entoncesf(x)nonecesariamenteesHurwitz.Veamoselsiguienteejemplo.Ejemplo2.9. ConsideremosunpolinomioHurwitzh(x). Porlotantoa) siRe () > 0entonces |h()| > |h()|;b) siRe () = 0entonces |h()| = |h()|;c) siRe () < 0entonces |h()| < |h()|.Seag(x)unpolinomioquenoseaHurwitzyquecumplaque |g()| = |g()|. Porejemplo,consideremosg(x) = xnconn = 1, 2, . . . ,entonces:|g()| = |n| = ||ny |g()| = | n| = | |n= ||nSupongamos que Re () > 0. Entonces por el inciso a) del teorema 2.7 tenemos que |h()| >|h()|. Ahora|g()||h()| > |g()||h()|ladesigualdadseconservapuesRe () > 0yporlotanto |g()| > 0. Entonces|g()||h()| > |g()||h()| |g()h()| > |g()h()|Similarmente,setieneque |h()| < |h()|,siRe () < 0. Tomemosf(x) = g(x)h(x). Estepolinomiosatisfacelos3incisosa), b)yc), perocomog(x)noesHurwitzentoncesf(x)tampocoloes.Condiciones necesarias y sucientes tales como el Criterio de Routh-Hurwitz o las condi-ciones de Lienard-Chipart son trabajadas en [2], [4] y [5]. Adolf Hurwitz presento sus aporta-cionesaltemaen1895eneltrabajo[3].Bibliografa[1] Bhattacharyya, S.P., H. Chapellat, L.H. Keel. (1995) RobustControl: TheParametricAp-proach, Prentice-Hall.[2] Gantmacher, F.R. (1959) Matrix Theory (vol. I y II), AMS Chelsea Publishing.[3] Hurwitz, A. (1895)UberdieBedingungen,unterwelcheneineGleichungnurWurzelnmitnegativen reellen Teilen besitzt, Math. Ann., vol. 46 pp. 273-84.[4] Lancaster, P. andMironTismenetsky. (1985) TheTheoryof Matrices withapplications,Academic Press.[5] Loredo, Carlos. (2004) Criterios paradeterminar si unpolinomioes polinomioHurwitz.Reporte de los seminarios de investigacion I y II, UAM-Iztapalapa, Mexico, D.F.[6] Uspensky, J.V. (1990) Teora de Ecuaciones, Limusa.BALTAZAR AGUIRRE,CARLOS LOREDOXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas12Nivel: Secundaria De la percepcin a la conjetura: un viaje a travs de la geometra dinmica David Bentez MojicaLizet Aime Castaeda Valdez [email protected] [email protected] Autnoma de Coahuila Resumen.Elprincipalpropsitoesmostraralgunosresultadosdeunainvestigacinrealizadaa alumnos de segundo ao de secundariacon temas de geometra. El trabajo esta conformado por dos fases.Enlaprimerasepresentaunestudiodiagnosticoendondesedocumentasobrelascreencias que tienen los alumnos sobre el ngulo, sus componentes y propiedades. En la segunda, se disea e implementan actividades con el apoyo del software educativo Cabri Gomtre para impactar en las creencias que tienen los alumnos y para propiciar un ambiente en la clase donde los alumnos estn en posibilidad de construiry explorar invariantes geomtricas. 1. Introduccin La Matemtica Moderna ha sufrido reformas desde los 40sbuscando nuevas alternativas a la problemtica de la enseanza de las matemticas, surgiendo en Rusia y despus en Estados Unidos de Norteamrica. En Mxico estas reformas iniciaron a principios de los 70s. a la que se lellamoReformadelasmatemticasmodernas;lasautoridadesfederalesyestatalesno obtuvieronlosresultadosesperados.Tratandodeencontrarsolucinalosproblemassobrela enseanzaaprendizajedelasmatemticas, en 1975se creo un grupo de investigacin el cual se llamo Seccin Matemtica Educativa (SME) por parte del CINVESTAV.LaSecretariadeEducacinPblicadeMxico(SEP)solicitapoyoacentrosde investigacinsobrelaproblemticadelaenseanzaaprendizajedelasmatemticas (DepartamentodematemticaeducativoDMM,Centrodeinvestigacindeestudiosavanzados delpolitcnicoNacionalCinvestav-IPN)solicitandounproyectorelacionadoconlaReforma Educativa. En un principio los investigadores estaban en contra de la Matemtica Moderna pero aceptelretodeelaborarPlanes,Programasylibrosdetextoparalaeducacinprimariay despus incorporando secundarias. Los investigadores participantes quedaron inconformes ya que noseprepararonadecuadamentealosdocentesyestoprodujoquenosedieranlosresultados esperados, desfavoreciendo al aprendizaje. Esevidentequeexistelanecesidaddeproveercondicionesfavorablesparaquelos estudiantes de nivel medio bsico, aprendan temas relacionados con geometra. Sin embargo, se observaqueserequieredelaparticipacinyesfuerzodedocentesparaelaboraractividades dondeseilustreclaramentelaimportanciadeestudiaryaplicarlageometrayloquesepuede lograr al aprenderla. Laformacindelosmaestros,elcurrculo,lainfraestructuradelaescuela,los materiales de apoyo, (libros, software, etc) y ciertosaspectos delambiente familiar son algunos componentes que influyen enla educacin de los estudiantes 1 Estasituacinnosobligaaprestarunaespecialatencinalanlisisdelasformasde enseanza-aprendizajedelageometraenlasecundaria.Destacamosconmsfuerzalas 1 Manuel Santos Trigo y Cristbal Vargas. Ms all del uso de exmenes estandarizados. Avance y Perspectiva vol. 22. Pag. 11 XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas13dificultades que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la Geometra, donde deben trabajar con propiedades y demostraciones de teoremas. Cuandoseintroducenlasherramientastecnolgicasenlaclasedematemticas,se reconocequenoesesatecnologaensmismaelobjetocentraldeinters,sinoelpensamiento matemtico que pueden desarrollar los estudiantes con la ayuda de ella. En este sentido, uno de lospropsitosdelpresentetrabajo,esdocumentarsobreloselementosquepuedanayudara propiciar en el aula un ambiente que permita contribuir al desarrollo de algunas de las habilidades del pensamiento matemtico de los alumnos de secundaria. Para ello, se disean e implementan unconjuntodeactividadessobreeltemadengulosentreparalelascortadasporunasecante utilizando la tecnologa y especficamente el software educativo Cabri-Gomtre. La tecnologa puede ayudar a mejorar la actitud de los estudiantes hacia las diferentes ramas delamatemtica;yaquenospermitetrabajarconcantidadesgrandesypequeas,generar patrones, explorar propiedades, formular y probar hiptesis, desarrollo de conceptos y resolucin de problemas con datos reales.Latecnologaesmuchomsque un sustituto para efectuar clculos en lpiz y papel; es una ayuda didctica para desarrollar conceptos y explorar. A esto nos hace referencia Manuel Santos, CristbalVargas en su artculoMs all del uso de exmenes estandarizados Esimportantequeelpropioestudianteidentifique,explore,pruebeycomunique distintasrelacionesmatemticas.Conlaayudadelatecnologa,losmismosestudiantes participan en el proceso de formulacin o descubrimiento de relaciones matemticas..2

2. Sujetos Procedimientos y Tcnicas El programa EMAT-Coahuila (Enseanza de las Matemtica Asistida con Tecnologa) se creparaeducacinsecundariapblica,conelfindequeprofesoresyestudiantesdiscutan aspectosdelamatemticaapoyadosporlatecnologacomputacional(Calculadorasy Computadoras) y con Hojas de Trabajo diseadas para favorecer el autoaprendizaje3. El estudio que se reporta en el presente escrito, se divide en tres fases: La diagnstica general, la fase diagnstica local y la implementacin didctica. 2.1 Fase diagnstica general.En esta fase seaplic un examen a 26000 alumnos de las secundariaspblicasdelEstadodeCoahuila.Elexamensesubiaunservidorydesdeel laboratorio de cmputo de la escuela, cada alumno contest preguntas de aritmtica, pre-lgebra y geometra. Los temas que evalu la prueba son contenidos del programa oficial de secundaria y el tiempo de aplicacin fue de una hora. La prueba tena 32 preguntas, 12 de las cuales eran de geometra. Una de las preguntas relacionada con geometra es la siguiente: En la siguiente figura se han dibujado los ngulos AOB y COD. 2 2 Manuel Santos Trigo y Cristbal Vargas. Ms all del uso de exmenes estandarizados. Avance y Perspectiva vol. 22 3 Programa de Enseanza de las Matemticas Asistidas con Tecnologa. EMAT. David Bentez Mojica. Facultad de Matemticas y CIMA. Universidad Autnoma de Coahuila D. BENTEZ MOJICA,L. A. CASTAEDA VALDEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas14 Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? A.La medida del ngulo AOB es MAYOR que la medida del ngulo COD. B.La medida del ngulo AOB es IGUAL que la medida del ngulo COD. C.La medida del ngulo AOB es MENOR que la medida del ngulo COD. D.No s. Larespuestacorrectaeslaopcinbysoloel43%delosalumnoscontestaron correctamente y el mayor nmero de alumnos (57%) contesto incorrectamente.

2.2. Fase Diagnstica Local Alobservarlosresultadosobtenidoseneldiagnstico,serealizunainvestigacin, utilizandolamismabateradepreguntasaungrupodesegundoaodesecundariade38 alumnos. Este grupo no particip en la fase diagnstica general. Al responde la actividad que se present en la seccin anterior, los resultados que se obtuvieron son los siguientes: Incorrecto Correcto 49%51% Alcompararlosporcentajesseobservoquesonmuysemejantes.Prestemosatencinen algunas de las justificaciones que los alumnos dan sobre su respuesta.

DE LA PERCEPCIN A LA CONJETURAXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas15 Con las justificaciones que nos dan los alumnos se puedeafirmar que un alto porcentaje dealumnostienencriteriosperceptales(forma,tamao,posicin)paracontestar.Deacuerdo conelmodelodeVanHielelosalumnosseencuentranenelprimerniveldelpensamiento geomtrico: visualizacin. Hitt Espinosa (1997) seala, con respecto a las representaciones, "La manipulacin, por parte del estudiante, de representaciones matemticasles proporciona los medios para construir imgenes mentalesdeunobjetooconceptomatemtico,ylariquezadelaimagenconceptualconstruida dependerdelasrepresentacionesqueelestudiantehayautilizado.Deahlaimportanciaque debe darse al uso de diversas representaciones matemticas en la enseanza de las matemticas y en los libros de texto." Enotrapregunta,selepresentanalosestudiantesdostringuloscongruentes,unocon marcas de ngulos pequeas y otro con marcas grandes y se les pide que comparen la suma de las medidas de los ngulos internos . Se encontr que el 52.6% de los alumnos contestan de manera incorrecta.Nuevamente,hayunainfluenciadelapercepcinparatomarladecisin.Por ejemplo, un alumno contesta de la siguiente manera: Observemosalgunasdelasexplicacionesdelossiguientesalumnos,lascualesnos permite observar que la percepcin visual es muy fuerte. Suma de la medida de los ngulos internos de un tringulo34.21%65.79%0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%Correcto Incorrecto D. BENTEZ MOJICA,L. A. CASTAEDA VALDEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas162.3 Fase didctica Alverlagraninfluenciaperceptualquetienenlosalumnosconrespectoaltema,serealiz exploracin dinmica cuyo principal objetivo es que los alumnos conozcan algunas propiedades del ngulo. Paralograrelobjetivo,lahojadetrabajocontieneunaseriedeactividadesapoyadasconel softwareCabri.Losalumnosbuscaronpatrones,hicieronconjeturas,generalizaron,revisaronla solucin y formularon contraejemplos, entre otras actividades. Alosalumnosencuestadosselesdiounaintroduccindeaspectosesencialesparael manejo del software Cabri en una clase de 90 min. La aplicacin de esta hoja se llev acabo en 90 min. en un centro de computo el cual contiene 22 computadoras y los alumnos trabajaron en parejas, pero cabe mencionar que cada alumno tena unahoja de trabajo. Enlaactividadlosalumnos(84.21%)lograrondisminuirsuscreenciaserrneassobrela medida de un ngulo. En una de las actividades se les peda que midieran los ngulos marcados en las semirrectas. A continuacin se muestran algunas respuestas: Con las respuestas anteriores se demuestra que la interaccin de las hojas de trabajo y el software Cabri-Gometr se logra que los estudiantes vayan pasando de una fase perceptual a una msterica.Haciendoexploracionesdinmicas,losalumnospuedensuperarloserrores, conflictosyobstculosheredadosdelapercepcin,paraconstruirunconocimientomatemtico ms slido. Las generalizacionesa las que llegan los alumnos, son el resultado de la observacin y el razonamiento inductivo. Se realizaron varias actividades; el alumno construir con sus propias palabras una regla para la sumadelamedidadelosngulosinternosdeuntringulo.Acontinuacin,algunasconjeturas que redactan los alumnos: DE LA PERCEPCIN A LA CONJETURAXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas17 Otro alumno conjetura lo siguiente: Segn se observ en las anteriores figuras donde se muestran las conclusiones de los alumnos, los objetivosfueronlogradosperoel11.11%delosalumnosnopudieronllegaralaconjetura correcta. 3. Conclusiones Seencontraronevidenciasparaafirmarqueunaltoporcentajedealumnos(aproximadamente 50%)tienecriteriosperceptuales(forma,tamao,posicin).Tomandoencuentalasrespuestas deldiagnsticoylashojasdetrabajoseconcluyequeesnotableladificultadquetienenlos alumnos de segundo ao de secundaria para comunicar sus ideas matemticas Lashojasdetrabajoylasentrevistasrealizadasalosalumnossonlaevidenciaqueexistepara concluirquelautilizacindeentornosdegeometradinmicaayudasignificativamentea erradicar las creencias errneas que tienen los alumnos. Lainteraccinconlashojasdetrabajoyconlosaspectosnotablesdelsoftware-talescomoel arrastre, la medida, la animacin, entre otras- permite ver que los estudiantes que participaron en el estudio estn en capacidad de encontrar invariantes geomtricas y construir conjeturas. Deestamanerasepuedeconstruirunpuenteparaquelosalumnosdesecundariaviajendelo perceptual a lo terico. Bibliografa Hitt, F. (1998). Investigaciones enmatemtica Educativa II. Grupo Editorial Iberoamrica. Mxico. NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Santos, T.L. y Vargas, C.82002) . Ms all del uso de exmenes. Avances y Perspectivas vol. 22 SEP (1997). Libro para el maestro de matemticas. Mxico. D. BENTEZ MOJICA,L. A. CASTAEDA VALDEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas18Nivel Superior ESTUDIO BIOECONMICO MEDIANTE UN MODELO DE PARMETROS VARIABLES Dora Julia Borbn Gonzlez Departamento de Matemticas, Universidad de Sonora Resumen SerealizunestudiobioeconmicoenlapesqueradeanchovetanorteadelacostaoestedeBajaCalifornia utilizando un modelo de produccin en el cual dos de sus parmetros varan en el tiempo simultneamente. Se us unageneralizacindelaecuacinGompertz-Foxparamodelarlatasadevariacindelabiomasarespectoal tiempo;enstaseexpresalatasaintrinsecadecrecimientodelapoblacinylacapacidaddecargadelsistema como funciones del tiempo. Se consider como objetivo del presente estudio la maximizacin del valor presente de los ingresos netos totales derivados de la explotacin del recurso y como variable de control al esfuerzo pesquero. Lautilizacindeunmodelodeproduccindeparmetrosquevaraneneltiempo,ascomodevariables econmicasdependientesdeltiempo,enelanlisisbioeconmicodelapesquerapermitiobservarelefectodel esfuerzo pesquero ejercido sobre el nivel ptimo del stock y la posible influencia de variables ambientales. INTRODUCCIN Antecedentes de Bioeconoma en pesqueras Lateoraeconmicadeunapesqueradeaccesoabiertoodepropiedadcomnfue desarrollada por H. S. Gordon (1954). El modelo de Gordon, es un modelo de equilibrio esttico basado en la curva de esfuerzo pesquero-produccin, construida a partir de la ecuacin logstica. Elresultadoprincipaldeestemodelobioeconmicoestablecequeenlapesqueradeacceso abiertoelesfuerzotiendeaalcanzarunequilibrio(equilibriobionmico)aunniveldeesfuerzo pesquero en el cual el ingreso total se iguala al costo total, lo cual significa arribar a un punto en el cual se disipa la utilidad. Otro enfoque al problema se debe a C.Clark (1990), quien establece que la conservacin de recursos productivos es grandemente un problema de uso ptimo de stos en el tiempo y que lateoradelaconservacindebeestablecersesobremodelosmatemticosexplcitosdelos procesosbiolgicosinvolucradosytratarsecomounproblemadeoptimizacindinmica.Bajo esteenfoque,enpesqueraselproblemadecontrolptimoatiempocontinuosedefine especificandoinicialmenteunsistemadinmicoqueexpresalatasadecambiodelabiomasa explotadax t ( ) medianteelbalancedelosfactoresquedeterminansucrecimientonaturalyel efecto asociado a los procesos de extraccin (Clark, 1990; Cohen, 1987). La explotacin se lleva a cabo en un intervalo de tiempo, horizonte temporal, finito o infinito. Se incluyen generalmente unacondicininicialyunafinal( ) x 00= x () x T xT= sobreelniveldebiomasax t ( ) , respectivamente,enlosextremosdelintervalo.Elsistemadinmicoincluyeunafuncinde controlpertenecienteaunconjuntodeadmisibilidadu t ( ) U,conunarestriccinsobrela variacin de la funcin de control( ) ( )U u t t , = 0; se puede incluir una restriccin sobre variacin deestado.Finalmente,sedesearesolverelproblemadeobtenerelmximo(o mnimo)valorposibledeunafuncionaldefinidaentrminosdelafuncindecontrol,la respuesta ( ) ( )B x t t , = 0u t ( )x t ( ) ylacondicinterminalparalabiomasadelrecurso(Clark,1989,1990).Las condicionesnecesariasdeoptimalidadparaelproblemadecontrolplanteadoenestetrabajo XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas19fueronderivadasporPontryagin,BoltyanskiiyGamkrelidze;stassonconocidascomunmente como Principio de Pontryagin (Fleming y Rishel, 1975). El valor del recurso en el tiempo El concepto econmico estndar para reflejar el valor del tiempo es el llamado descuento. De acuerdo a la teora econmica,elpropietario de un stock deun recurso natural debera estar motivadoparaseleccionarunaestrategiadeproduccinquemaximizarasuvalorpresente,esto es,elvalordelstockdescontado(Clark,1989;Hannesson,1993).Porloanterior,lafuncional objetivo en el problema de control planteado para una pesquera equivale al valor presente de los ingresosnetosdescontadosderivadosdelaexplotacindelrecurso(Clark,1989;McKelvey, 1989).Enestetrabajosedesigncomovariabledecontrolalesfuerzopesquero;la caracterizacin de la estrategia de control que permite obtener el mayor beneficio social derivado delaexplotacindeunrecursopesqueroseobtuvomediantelaaplicacindelprincipiodel mximo de Pontryagin. METODOLOGA Lainformacindelapesquerautilizadaenesteestudio,capturascomerciales,esfuerzo pesqueroejercidoylainformacineconmica(serieshistricasdepreciodeharinadepescado cotizada a nivel internacional, costo por viaje de pesca realizado y tasa de descuento) se reporta en Borbn-Gonzlez y Cota-Villavicencio (1999).La tasa de crecimiento de la biomasa se model con la ecuacin ( ) ) ( , ), ( t u t t x f dt dx = , estoes,elmodeloparaladinmicapoblacionalesdelaforma) ( ) ( )) ( ( t x t qE t x F dt dx = , particularmente: ( ) ( ) t x t qEt Kt xt x t rdtdx=) () (ln ) ( ) ( (1) sujeta a la condicin inicial, donde( )00 x x = dt dxes la razn de cambio de la biomasa respecto al tiempo, la tasa de esfuerzo pesquero, r(t) es la tasa de crecimiento especfica de la poblacin, K(t) es la capacidad de carga del sistema y q es el coeficiente de capturabilidad. ) ( ) ( t E t u =Elmodelodadoporlaecuacin(1)esunageneralizacindelaecuacindecrecimiento deGompertzqueademsincluyeeltrminodeextraccindebiomasa,poresaraznnos referimos al mismo como modelo de produccin de Gompertz-Fox generalizado(Fox, 1970). Laidentificacindelosparmetrosdelmodelo(1)serealizpreviamentealpresente trabajo (Borbn Gonzlez, 2002), estos valores se usaron junto con la informacin econmica en laaplicacindeelementosdeteoradecontrolptimoenelestudiodelabioeconomadela pesquera. La variable de control, el esfuerzo pesquero E(t), se sujet a las restricciones maxE t E ) ( 0(2) Lafuncionalobjetivo eslaexpresinparalosingresosnetos totales descontados derivados de la explotacin del recurso durante todo el horizonte temporal: =Tdt t u t t x g t E t t x J0)] ( , ), ( [ )} ( , ), ( { =Ttdt t E x C t x q t p t x q e t E t t x J0) ( )} ( ) ( ) ( ) ( { )} ( , ), ( { (3) donde p(t) es el precio de una unidad del recurso cosechado, C(x) es igual a el costo de cosecha unitario cuando el nivel de la poblacin es x, es dado por la expresin ) () (t qxcx C =donde c es el DORA JULIA BORBN GONZLEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas20 costo por unidad de esfuerzo, el cual se estim en base al consumo de diesel marino de un barco estndar para esta pesquera; > 0 es una constante que denota la tasa de descuento, la cual en el casogeneralseconsiderunafuncin del tiempo, (t).Precioseexprescomounafuncindel tiempo,p(t);seutilizunaseriehistricadepreciodelaharinadepescadocotizadaanivel internacionalparalaidentificacindeparmetrosdeestafuncin(Borbn-GonzlezyCota-Villavicencio, 1999). Para efectuar la maximizacin de la funcional objetivo sobre el espacio de variacin de la variabledecontrol,seaplicaronlascondicionesdeoptimalidadexpresadasenelprincipiodel mximodePontryagin(Pontryaginetal.,1962).Elprincipiodelmximoesms convenientementeformuladoentrminosdelasiguienteexpresinllamadaelHamiltoniano (Clark, 1990), [ ] [ ] [ ] ) ( , ), ( ) ( ) ( , ), ( (t) u(t); t, x(t), H t u t t x f t t u t t x g + = , (4) en trminos de las variables econmicas y pesqueras: [ ] [ ] [ ] )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ), ( t x F t t E t x t q t x t x t qP t t t E t x H + = Aqu (t) es una funcin adicional desconocida llamada la variable adjunta. La funcines dadaporlafuncindecrecimientodeGompertz,definidaenlaecuacin(1)y )) ( ( t x F =tdz z t0) ( exp ) ( Siu(t)esuncontrolptimoyx(t)eslacorrespondienterespuesta,elprincipiodelmximo afirma la existencia de la variable adjunta (t) tal que se satisfacen las siguientes ecuaciones, para todo t en0 t T:

xH =dtd(5) [ ] [ ] (t) u; t, x(t), H max (t) u(t); t, x(t), H tU u (6) Laecuacindiferencial(5)esllamadalaecuacinadjuntaylaecuacin(6)esreferidaella misma como el principio del mximo (Clark, 1990); sta afirma que para cada tiempo dado t, el valoru(t)delcontrolptimodebemaximizarelvalordelaexpresinhamiltonianasobretodos los valores u(t) admisibles, satisfaciendo las restricciones de control. Aplicando (5) y (6) se obtuvo la expresin implcita para la variable respuesta que define la senda ptima xs, la cual viene dada por la expresin:

))) ( ( ) ( ()) ( ( )) ( () ( )) ( (t x C t pdtdpt x C t x Ft t x Fss ss + = (7) dondees la derivada deen x )) ( ( t x Fs )) ( ( t x Fs,)) ( ( t x Cses la derivada del costo por unidad de biomasa ydt dpes la derivada de la funcin precio. Lafuncinimplcitaparaelniveldebiomasaptimo ,obtenidaapartirdela ecuacin (7), es la siguiente ) (t xsESTUDIO BIOECONMICO MEDIANTE UN MODELO DE PARMETROS VARIABLESXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas21 0 1) () () ) ( ( ) ( ) () (ln) (ln = + ++t rtc t p x q t rdtdpx qc t p x qt Kxct Kxsssss, (8) dondelatasaintrnsecadecrecimientodelapoblacinr(t)ylacapacidaddecargadelsistema K(t) estn dadas por las siguientes ecuaciones, respectivamente: ) 625 . 0 ( 206 . 0 ) 625 . 0 ( 324 . 0 ) ( t Cos t Sen t r + = (9) (10) ) 625 . 0 ( 168 . 0) (t Cose K t K =A partir la ecuacin (8) se calcularon los valores de biomasa ptima utilizando el paquete de cmputo MAPLE. ) (t xs RESULTADOS EnlaFigura1semuestralavariacindelabiomasaestimadaapartirdelasolucindela ecuacin(1),cuandolatasaintrnsecadelapoblacinylacapacidaddecargadelsistemason dados por las ecuaciones (9) y (10), cuando se incluye el trmino de extraccin de biomasa como cuando ste no se incluye en (1). biomasa conpescabiomasa sin pescaAOBIOMASA (t.m.) 0400000800000120000016000002000000240000028000001970 1976 1982 1988 1994 2000 Figura1.BiomasacalculadaparaanchovetanorteaapartirdelageneralizacindelmodelodeGompertz-Fox, incluyendo y sin incluir el proceso de extraccin por pesca. En la Figura 2 se muestra la variacin de la biomasa ptima en el tiempo, calculada a partir de la ecuacin (8), esto es, la senda ptima. Se incluye en esta figura la grfica de la biomasa estimada del recurso con datos de captura por unidad de esfuerzo (CPUE), para fines de comparacin. En DORA JULIA BORBN GONZLEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas22 laFigura3semuestralavariacindelesfuerzoptimo,elcualmantendraalabiomasadel recurso sobre la senda ptima, tambin se muestra el esfuerzo real aplicado en la pesquera. biomasa ptima(senda ptima)biomasa con pescaAOSBIOMASA (t.m.)050000010000001500000200000025000003000000350000040000001970 1976 1982 1988 1994 2000 Figura2.Biomasaptima(cuandoelcostoporunidaddeesfuerzoc=3,000dlares/viajeyprecioytasade descuento varan en el tiempo) y biomasa calculada bajo el modelo de Gompertz-Fox generalizado (ecuacin 1).

AOESFUERZO PESQUERO (viajes/ao)-200002000400060008000100001200014000160001970 1976 1982 1988 1994 2000EsfuerzoptimoEsfuerzo ejercido Figura 3. Esfuerzo real ejercido en la pesquera y esfuerzo ptimo Es bajo el modelo de Gompertz-Fox generalizado con r(t) y K(t). ESTUDIO BIOECONMICO MEDIANTE UN MODELO DE PARMETROS VARIABLESXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas23En la Figura 4 se muestra la estrategia de control ptimo que se construy en el intervalo [t0, T]; se considera que al inicio la biomasa del recurso es menor que la biomasa ptima. Figura 4. Estrategia de control ptimo para el casox xs 00 < ( ) . Cuando el valor inicial de la respuesta es menor que suspendemos la explotacin para permitir que la biomasa se incremente hasta alcanzar en untiempo la senda ptima. A partir de la explotacin continuar en el modo de control singular hasta un tiempo, a partir del cual suspendemos nuevamente la explotacin para permitir que la condicin final se satisfaga a un tiempo x0xs( ) 0tax ts( ) tatbxTT .

DISCUSIN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES Delasolucindelaecuacin(1)segeneraronlasgrficasparalabiomasadeanchoveta,al considerar la extraccin de biomasa por la pesca y sin considerar sta. En la Figura (1) se observa que las variaciones en el tiempo de la biomasa, con y sin pesca, prcticamente se superponen en gran parte del horizonte de explotacin de la pesquera, lo cual podra indicar que las oscilaciones enlosvaloresdebiomasanoson atribuiblesalefectodelapescayquelasvariacionespodran deberse a efectos ambientales. Al analizar la variacin en el tiempo de la biomas ptima, obtenida apartirdelanlisisbioeconmico,seobservanvaloresmnimosenlosaos1977,1982,1987, 1992y1997(Figura2).Algunosdeestosvaloresmnimoscoinciden,eneltiempo,conlos valoresmnimosqueseobservanenlagrficadelabiomasadelrecursocalculadaconla solucindelaecuacin(1),particularmenteenlosaos1982y1992.Porotraparte,enla literaturacientficasehanreportadoeventosclimticosimportantesparaelPacficoEste,tales como El Nio Oscilacin del Sur (eventos ENSO, por sus siglas en ingls), para todos estos aos. Uno de los ms intensos que se han reportado ha sido el de 1982 (Kerr, 1998; McPhaden, 1999). SehareconocidoaElNiocomounafuenteprimariadevariabilidadinteranualquetiene grandesefectossobrelosecosistemasmarinos,particularmenteparaelecosistemapelgico (Lynnetal.1998),astambin,sehareportadoqueesteeventoclimticopuedeafectarlos parmetros reproductivos de la anchoveta y las condiciones de habitat de las diferentes especies marinas.Porloanterior,esposiblesuponerqueatravsdelosparmetros,tasaintrnsecade crecimientoycapacidaddecargadelsistemacomofuncionesdeltiempo,selogracaptarenel modelo la influencia de la variabilidad ambiental sobre la biomasa del recurso, lo cual se refleja DORA JULIA BORBN GONZLEZXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas24 enlasfuertesdisminucionesdelabiomasadelrecursoenaosElNio,astambinenla biomasa ptima ya que en el clculo de sta intervienen r(t) y K(t). Se ha aceptado que aunque la presin intensa de pesca permanece como la razn principal de que muchas pesqueras se conviertan en improductivas e incosteables y que la pesca no es ni la nica ninecesariamentelafuerzaprimariadetrsdeesasgrandesfluctuacionespelgicasdelas regionesdesurgenciadelascorrientesdefronteraEste(Schwartzloseetal.,1999),los aparentementeinevitablescolapsospoblacionalesseaceleranporexplotacinintensa.Enlos resultadosobtenidosenelestudiobioeconmico,enrelacinalesfuerzoptimocalculado,se observa(Figura3)queaunquestepresentavaloressuperioresalesfuerzorealejercidoenla pesqueraenlamayorpartedelhorizontedeexplotacin,enalgunosaos,1972,1977,1982, 1987, el esfuerzo real excede al esfuerzo ptimo, por lo que es posible suponer que en esos aos defuerteestrsambientallaexplotacinintensapudoagudizarlabajaenlosnivelesde abundanciadeanchovetaocasionandolacaidadelapesqueraenaosposteriores.Loanterior parececonfirmarsealanalizarlasgrficasdebiomasa(Figura2)alaluzdelaestrategiade controlptimoconstruida(Figura4);seobservaqueparaparagranpartedelperiodode explotacin, particularmente en los aos El Nio 1972, 1982 y 1992, la biomasa del recurso tiene prcticamentevaloresmenoresquelabiomasaptimaporloquedeacuerdoalaestrategia mencionada no debi haberse pescado durante esos aos. De lo anterior se puede concluir que el estudiobioeconmico,bajounmodelodeproduccindeparmetrosvariables,permitiel anlisisretrospectivodelaoptimalidaddelesfuerzopesqueroejercidoenlapesqueraysu posible influencia en el declinamiento en las capturas de anchoveta. Bibliografa Borbn-Gonzlez, D. J. y Cota-Villavicencio, A. 1999. Indicadores bsicos de la pesquera de la anchoveta nortea (Engraulismordax)enlacostaoccidentaldeBajaCalifornia,Mxico.InformeTcnico.Comunicaciones Acadmicas, Serie Ecolgica, CICESE 17 p. CITECT9908. Clark,C.W. 1989.Bioeconomicmodelingand resource management.pp: 11-57.En:SimonA.Levin,ThomasG.Hallam y Louis J. Gross (eds.). Applied Mathematical Ecology. Springer-Verlag, New York. Clark, C.W. 1990. Mathematical Bioeconomics: The optimalmanagement of renewable resources. Second Edition. John Wiley & Sons, New York. 386 pp. Cohen,Y.1987.Areviewofharvesttheoryandapplicationsofoptimalcontroltheoryinfisheriesmanagement. Canadian Journal of Fisheries Aquatic Science, 44: 75-83 Fleming, W.H. y R.W. Rishel. 1975. Deterministic and Stochastic Optimal Control. Springer-Verlag. New York.Fox, W. 1970. An exponential surplus-yield model for optimizing exploited fish populations, Trans. Amer. Fish. Soc. 1: 80-88. Gordon, H.S. 1954. The theory ofa common property resource: the fishery. J. of Political Economy 62, 124-142. Hannesson, R. 1993. Bioeconomics Analysis of Fisheries. Halsted Press, New York. 138 pp. Kerr, R.A. 1998. Models win big in forecasting El Nio. Science 280(5363): 522-523. Lynn, R.J., T. Baumgartner, J. Garca, C.A. Collins, T.L. Hayward, K.D. Hyrebach, A.W. Mantyla, T. Murphree, A. Shankle,F.B.Schiwing,K.M.SakumayM.J.Tegner.1998.ThestateoftheCaliforniaCurrent,1997-1998: transition to El Nio conditions. CalCOFI Rep., 39, 25-49. McKelvey, R. 1989. Common property and the conservation of natural resources. En: Simon A. Levin, Thomas G. Hallam y Louis J. Gross (eds.). 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LPEZ MARISCALXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas30ANLISIS MATEMTICO DEL TIEMPO DE CORRIMIENTO Y ACELERACINXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas31J. A. CRDENAS HARO, G. GALAVIZ YAES, G. LPEZ MARISCALXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas32Nivel Medio Superior y Superior Proyectos Integrados de Aprendizaje para Matemticas Dr. Jos Lus Daz Gmez y L. M. Paulina Danae Lpez Ceballos. Universidad de Sonora Resumen EnestaponenciaplanteamosloquedenominamosProyectosIntegradosdeAprendizaje(PIA) para las Matemticas. Estos se definen como una estrategia metodolgica cuyo eje central es la resolucindeproblemasvinculadosalaprofesinelegidayquesuscitanlaintervencin conjunta de otras reas. Los proyectos integrados de aprendizaje se definen como proyectos en los que se plantean una serie de problemas para cuya resolucin es necesario dar una serie de pasos,realizarunproceso.LosPIAademsincidendirectamenteenlacomprensinporparte del alumno de la necesidad de estudiar y aprender matemticas, puesto que le ven la utilidad de manera inmediata. I. Introduccin. EnelnuevoMarcoCurriculardelaReformaEducativadelaUniversidaddeSonoradestaca entrelosprincipiosdeintervencineducativa,elaprendizajeintegradoeinterdisciplinario, partiendodelabasequeloquemotivaprincipalmentealosjvenesacursarunacarreraesel aprendizajedeunaprofesin,entendiendoenmuchasocasionessta,enunsentido reduccionista, como el aprendizaje puramente tcnico-profesional. Desde nuestro punto de vista, en un aprendizaje integrado, se propone que la intervencin de los educadores debe facilitar que el aprendizaje de los contenidos formativos se lleve a cabo de una formaglobal,integrandounosyotros, tal como se encuentran en la vida diaria y en la prctica profesional. Por lo tanto, se propone que las propuestas educativas presenten de una forma clara larelacinentrelosaprendizajesqueinteresanmsdirectamentealosestudiantes,ytodoslos dems necesarios para facilitar una formacin adecuada, as como la relacin entre unos y otros para llegar a conseguir los objetivos que se pretenden: la insercin laboral y participacin en la vida activa. Surgeaslaintegracincomounapropuestametodolgicaquedarespuestaalanecesidadde presentarloscontenidosdeaprendizajedeformainterrelacionada,dondelafuncionalidadse alcancenecesariamenteatravsdeltrabajosobrelosdiferentesaspectosformativos.Los contenidosmsinstrumentales(comolaexpresinmatemtica)cobransentidoencuantoson tilesparaeltrabajodeotrosmstcnicos.Paraqueesteenfoqueintegradorseaeficazes necesario que la tarea est bien organizada, que las partes que la componen y las interrelaciones entre ellas sean claras.EnestaponenciaplanteamosloquedenominamosProyectosIntegradosdeAprendizaje(PIA), estos se definen como una estrategia metodolgica cuyo eje central es la resolucin de problemas vinculados a la profesin elegida y que suscitan la intervencin conjunta de otras reas. En los PIA se parte de situaciones de aprendizaje reales, definidos como proyectos en los que se plantean una serie de problemas para cuya resolucin es necesario dar una serie de pasos, realizar unproceso.Eneseprocesosernecesariorecurriracontenidosdeotrasreasdistintasala matemtica(qumica,fsica,biologa,ecologa,informtica,etc.),ascomorealizaracciones para la resolucin de los problemas, por ejemplo: recoger informacin necesaria de forma oral o 33XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticaspor escrito y asesorarse adecuadamente con otros profesores. Adems tendrn que comunicar al restodelgruposusideaseinformacionesycmolashanobtenido,quprocedimientoshan realizado, qu materiales han utilizado, etc. Para lograr lo anterior y optimizar los procesos de enseanza aprendizaje ser necesario tener en cuenta una serie de principios metodolgicos que se derivan de la concepcin constructivista del aprendizaje. Mencionamos algunos de los que conforman nuestra propuesta. II. Principios Metodolgicos. 1.-Elaprendizajeesunprocesoindividualqueseproduceeninteraccinconelmedio, pero que no est totalmente condicionado por ste. El aprendizaje de conocimientos es el resultado de un proceso de construccin personal. Para que enelentornoeducativoseproduzcanaprendizajesesnecesariopartirdelasexperienciasde acontecimientoscotidianosydelosdatosdelarealidadaquetienenaccesolosalumnosy alumnas.Esnecesarioqueelsaberyelsaberhacerestnintegrados,quetenganuna intencionalidadclara,conocidaymotivadora,deformaquepermitaalosalumnosyalumnas implicarse en la accin, y que todo ello se produzca en situaciones de interaccin social, en las cuales se desarrollan numerosos intercambios y comunicaciones. 2.- No todos aprendemos de la misma manera. Lasdiferenciasindividualesalahoradeaprendersonunacondicininherentealserhumano; todoslosalumnossondistintosenaspectoscomosucapacidadyritmodeaprendizaje,sus preferencias,intereses,motivacionesyexpectativasanteelaprendizajeescolar,susestilosde aprendizaje e incluso sus ideas, experiencias y actitudes previas. 3.-Loqueelindividuopuedellegaraaprenderestcondicionadoporsusconocimientos previos. Losposiblesefectosdelasexperienciaseducativasescolaressobreeldesarrollopersonaldel alumnoestnigualmentecondicionadosengranmedidaporlosconocimientosprevios pertinentes con los que inicia su participacin en las mismas. Estos conocimientos pueden ser a suvezelresultadodeexperienciaseducativasanteriores(escolaresonoescolares)ode aprendizajesespontneos;tambinpuedenestarmsomenosajustadosalasexigenciasdelas nuevas tareas de aprendizaje y ser ms o menos correctos. 4.-Elaprendizajedebesersignificativo,paraloqueesnecesario:queelmaterialtengauna significatividadlgica,quelopresentadotengasignificatividadpsicolgicayquehayauna actitud positiva por parte de los que van a realizar el aprendizaje. Hablamosdeaprendizajesignificativocuandoelnuevomaterialdeaprendizajeserelacionade una forma sustantiva y no arbitraria con lo que el alumno ya sabe, es decir, cuando es asimilado ensuestructuracognitivaylopuedeenlazaroencadenaraconocimientosprevios;porel contrario, cuando se establece una relacin arbitraria nos referimos al aprendizaje memorstico. 5.- El profesorado tiene una funcin mediadora en el aprendizaje. Laexplicacinconstructivistadelaprendizajequeasumimosesunaposicindistintaalas propuestasquetomancomoejelaactividadmentalconstructivistadelalumnoydondeel proceso de construccin del conocimiento se identifica como un proceso de interaccin exclusivo entre el sujeto que aprende y el objeto de aprendizaje,comosifuera un fenmeno bsicamente individual, impermeable a la influencia del profesor.34J. L. DAZ GOMEZ,P. D.LPEZ CEBALLOSXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasEn la concepcin anterior el profesor debe asumir unas ambiguas funciones de gua o facilitador, sin interferir en el proceso de aprendizaje del alumno, que se centra en su exploracin autnoma del objeto de conocimiento. III. Proyecto Integrado de Aprendizaje. Cuandoseenseaseacostumbrapasardirectamentedelosobjetivosy/ocontenidosalas actividadessinquemedieningunaconsideracinsobreelpapeldelasdistintasactividades utilizadas,loscriteriosqueseutilizaronparaseleccionarlas,lasrelacionesdeunasactividades con otras y la forma en que stas permitirn la adquisicin de los conocimientos planteados. Enlaprctica,laaplicacindeestetipodeprogramacin,dondenosehaanalizadoni reflexionado sobre el porqu y el para qu se hacen las cosas, queda reducida a un activismo que nofavorecelamaduracinintelectualdelalumno,lacomprensindelosconocimientos,nila vinculacinentrelosconocimientosadquiridosdurantelaetapaeducativaylaprctica profesional real. Todo ello conlleva a una desvinculacin en el proceso de aprendizaje, tanto del alumnoquepasadeunaactividadaotrasinsaberporquycmoserelacionan,comodel profesorquenoencuentraunhiloconductorquelepermitavinculardemaneraasertiva contenidos y actividades. Resultamuydifcilvalorarlaeficaciadeunaprcticaeducativadeestetipo,enlaquecon frecuenciaexisteungranabismoentreloqueelprofesorcreeestarpotenciando(objetivosy contenidos) y los resultados reales (conocimientos aislados y desvinculados).Para potenciar los aprendizajes significativos es necesario desarrollar una prctica alternativa de enseanza y aprendizaje donde se disponga de un mtodo de trabajo que permita la consecucin yvinculacindelasfinalidadeseducativasylosobjetivosdeaprendizaje,proponemospara lograrlolametodologadelosProyectosIntegradosdeAprendizaje(PIA).Laeleccindeesta metodologanoimplicaquesealanicaposible,sinoquedesdeelpuntodevistadeuna formacinbsica,deladiversidaddeaprendizajespreviosdelosjvenes,ascomodelos objetivosacadmicosquesedebencumplir,seconsideraqueesunadelasestrategias metodolgicas que ms posibilidades formativas ofrece. Estametodologaesopuestaalostratamientosacadmicosclsicosdelcurrculo,dondela estructuracin de los tiempos, de los espacios y de los contenidos se ven como compartimentos fijosyaislados.Entrelascaractersticasdeunproyectointegradodeaprendizajedestacanlas siguientes: Separtedeunamotivacinligadaalentorno,alaproblemticarealenloscamposde trabajo o a las necesidades e intereses del alumnado El alumno realiza un aprendizaje activo La accin es constante El profesor es impulsor, coordinador y mediador de los aprendizajes. LosPIAsonunaestrategiametodolgica,quetienencomobaselaresolucindeproblemas, estos problemas estn vinculados al desarrollo personal y profesional y son los que van a generar las intervenciones desde todas las reas. En este sentido lo que se potencia es una estructura de trabajoconlosestudiantes,deformaquealavezqueaprendediferentestcnicas,habilidades, conceptos etc., incorpora estrategias para afrontar y resolver problemas que pueden surgir, tanto en su vida profesional como en su vida personal. El proceso de elaboracin de un PIA requiere desarrollar una serie de pasos de planificacin con laperspectivadeuncursocomohorizonteinmediatoquepuedanirseadaptandoy 35PROYECTOS INTEGRADOS DE APRENDIZAJEXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticasperfeccionandosucesivamenteenlaprcticacotidianadeltrabajoeducativoenlaescuela,yen los tiempos de revisin de la propuesta curricular que configuran los planes de estudio. En todo caso stos no son algo cerrado esttico e inmutable sino que son propuestas abiertas, hiptesis de trabajo o formas estructuradas de organizar la practica educativa. Estapropuestacurricular,basadaenunplanteamientointegradoratravsdelosplanesde estudioydeotrasestructurasintegradorasdeaprendizaje,tienecomofinalidadcubrirlos contenidosdeunadeterminadareadeaprendizaje(carrera),duranteunperododetiempo determinado,siendonecesarioqueestdetalformaplanificadoquenogenerelagunas importantes en los contenidos que deben asimilar los alumnos y alumnas. Atenderaestosrequisitosprecisareflexionarsobrelafilosofadelproyecto,lasestrategias didcticas,lastareasqueofertar,losrecursosdidcticos,lasmodalidadesdeevaluaciny experimentar las propuestas que se vayan construyendo, antes de su implementacin definitiva. EnlaelaboracindeunPIAenmatemticas,seutilizanproblemasrealesobtenidosdeuna cienciaylamatemticacomoherramientaparaelplanteamiento,anlisisyresolucindelos mismos.UnapropuestadeesquemadelospasosaseguirparalaelaboracindeProyectos Integrados de Aprendizaje para la matemtica es el siguiente. Para ilustrar el uso de un PIA en matemticas veremos un ejemplo adaptado de un problema de Sanderfur y Dance, donde slo se presentar la gua para el profesor, omitimos intencionalmente la del estudiante por limitaciones del espacio. IV. Un Ejemplo para el tema de Funciones.Un Estudio de la Anemia Falciforme: La anemia falciforme es una enfermedad hereditaria de los glbulos rojos. Se caracteriza por episodios de dolor, anemia (falta de glbulos rojos), infecciones serias y dao en rganos vitales. Introduccin (Matemticas tratadas en el proyecto). Esta investigacin de la gentica de clulas falciforme a travs de un modelo matemtico utiliza: probabilidad,propiedadesdelasfuncionescuadrticasyelconceptodeoptimizacindeuna funcin.Las propiedades de las funciones cuadrticas que surgen en esta investigacin son: La relacin entre los ceros de una funcin y sus factores. La relacin entre los ceros y la localizacin de su vrtice. 36J. L. DAZ GOMEZ,P. D.LPEZ CEBALLOSXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasLa simetra de su grfica y la localizacin de sus puntos extremos. Y factores cuadrticos de la forma ax2 + bx. Al incluir el uso de la formula cuadrtica para modelar a una poblacin con riesgo de malaria y elefectoquetienecambiarloscoeficientesdeunafuncinsobrelalocalizacindelmximo valor, los estudiantes obtienen mucha experiencia en: Desarrollar un modelo matemtico a partir de una informacin dada. Utilizar las funciones. Cuandoseestudiaporqulosalelosdeclulasfalciformesonormalesseestabilizanenla proporcinptima,seexploraelsistemadinmicoquerepresentaunprocesogenticoylos estudiantespodrnobservarqueelvalordeequilibriodelsistemaeselmismovalornque maximizaelnmerodepersonasque sobreviven ala madurez y ayudar a clarificar el proceso biolgico detrs de los resultados algebraicos. Preparacin del proyecto. Pararealizarlasimulacincadagrupo de tres o cuatro estudiantes requieren: una taza, 7 fichas deuncolory6fichasdeotrocolor,estasfichasdebendeseridnticasexceptoporelcolor, debensermsomenoscuadradasmsqueredondasparaquenoruedenfueradelasmesasde trabajodelosestudiantes.Sinoesposible tener fichas, se podra por ejemplo utilizar monedas de una misma denominacin, por ejemplo monedas de a un peso pintadas con un marcador. En la simulacin suponemos que dos tercios de las clulas normales (N) mueren de malaria. Organizacin. Laprimeraactividadparaelestudiantesonlecturasquesedejancomotareaantesdeiniciarla modelacin.EstaslecturasproporcionaninformacinacercadelCarcterdelasClulas Falciformes y sobre la Malaria. Lasegundaactividadparaelestudianteesunasimulacindelprocesogenticodescritoenla introduccin.Elpropsitodelasimulacinesayudaracomprenderelproblema,noseintenta ensear matemticas y parecera que puede prescindirse de ella, pero creemos que se debe hacer porquelaexperienciaprcticaayudaalosestudiantesavisualizarelprocesoparaelcual posteriormentedesarrollarnunmodelomatemtico.Cuandohayancompletadolasimulacin asegrese de que los estudiantes saben lo siguiente: Cadapersonanacecondosgenes,unodecadapadre,quedeterminansitienenclulasde hemoglobina falciformes o clulas de hemoglobina normal. El alelo normal se etiqueta con N, y la clula falciforme se etiqueta con S. La probabilidad de que un alelo sea normal, N, es la fraccin de N alelos de la informacin gentica total de los padres; y la denotamos con n. Laprobabilidaddequeunaleloseadefectuoso,S,eslafraccindeSdealelosdela informacin gentica total de los padres; y la denotamos con s Todos lo alelos son N, o, S, as que, n + s = 1. Toda persona es NN, NS, o SS. (No distinguiremos entre NS y SN). Ennuestroejemplo,delosniosNNmuerendemalariaantesdetenerlaedadpara reproducirse.TodoslosniosSSmuerendeAnemiaFalciformeantesdeteneredadpara reproducirse. Todos los nios NS viven hasta una edad como para reproducirse.37PROYECTOS INTEGRADOS DE APRENDIZAJEXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasUnanicaclulafalciformenoresultaenunaanemiafalciformeyunnicoalelocreauna condicin que permite la proteccin contra la malaria. Laterceraactividad,ModelacinMatemticadelaPoblacin,conducealosestudiantesa desarrollar funciones para el nmero esperado de sobrevivientes adultos de una cierta poblacin denacimientos.Lafuncinquedesarrollanesunacuadrtica,conunarazenelorigen.Los estudiantes encuentran las races y utilizan la simetra para encontrar el vrtice. Enlacuartaactividad,UnModeloMatemticodeClulasFalciformesconunaTasade Supervivencia Variable, los estudiantes resuelven un problema utilizando lo que han aprendido. Desarrollanunaecuacincuadrticasinracesyutilizanlasimetraparaencontrarelvrtice. Estacuadrticapuedefactorizarseconfacilidad,peropuedendarsevariacionesenlasquese requiera utilizar la frmula general para encontrar las races.Enlaquintaactividad, UnaFamiliade Funciones para Modelar la Tasa de Variacin de la Malaria,losestudiantesresuelvenproblemasenloscualeslasfuncionescuadrticasincluyen parmetros.Losestudiantesexplorarcomoafectanlosparmetrosalaformayposicindela parbola. Laltimaactividad,PorqulasClulasFalciformesylasNormalesseEstabilizanenla ProporcinOptima,proporcionaunaoportunidaddeobservarlasituacindesdeuna perspectiva matemtica diferente.V. Conclusiones. Esteejemplomuestracmoloscontenidosmatemticospuedenestudiarseyaprenderse utilizandodidcticasqueincidendirectamenteenlacomprensinporpartedelalumnodela necesidaddeestudiaryaprendermatemticas,puestoquelevenlautilidaddemanera inmediata, al resolver problemas reales con los que se pueden enfrentar en el futuro. Adems se favoreceelgustoporelaprendizajedelasmatemticasyasuvezsedesarrollanhabilidadesy destrezas diversas, tanto tcnicas como sociales.Bibliografa. 1. Jurjo Torres. Globalizacin e interdisciplinariedad: el currculum integrado. Ediciones Morata. Madrid 1994. 2. ngel de Carlos y colegas, Gua para la elaboracin de proyectos integrados de aprendizaje en los programas de garanta social. Eusco Jaularitza, Gobierno Vasco. 3.James Sandefur y Rosalie Dance. Hands on Activities for Algebra at College. http://www.georgetown.edu/projects/handsonmath/. 38J. L. DAZ GOMEZ,P. D.LPEZ CEBALLOSXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en MatemticasNivel: Medio Bsico, Nivel Medio Superior y Superior El concepto de variable en los libros de texto Dr. Jos Lus Daz Gmez y P. M. C. Lina Morales Peral. Universidad de Sonora Resumen. Se han encontrado evidencias de que estudiantes, tanto de primaria como de universidad, tienen dificultadespararesolverciertostiposdeproblemasdelgebra.Loserroresquemanifiestan subyacenenparte,enunatenueymaldefinidaconcepcindeloquesonlasvariablesydel papel que juegan en la resolucin de problemas. Parte de esta problemtica tiene que ver con el hecho de que los libros de texto dedican muy poco espacio y tiempo a la discusin y definicin delconceptodevariable,ascomoalaformaenquesedefine.Conelpropsitodebuscar respuestas a estas dificultades se realiz un anlisis de libros de texto. Se examin la forma en la que la definicin de variable se presenta en diferentes textos, sus caractersticas y elementos que se utilizan para definirla. En este artculo presentamos resultados de este anlisis. 1. Introduccin. En los cursos de Matemticas de todos los niveles educativos, los libros de texto y los materiales escritossonlosprincipales,yclsicos,materialesdeapoyoparalaenseanza.Laproduccin abundantedeestosmateriales,ysufuncincomotransmisoresdecontenidossocialmente aceptados, hace que resulte interesante estudiar la contribucin que han tenido en el aprendizaje de los conceptos matemticos.Aspues,podemosconsideraralostextoscomoimportantesrecursosinstruccionales,que caracterizan de alguna manera la enseanza y el aprendizaje. La forma en que los libros de texto reflejandeterminadosaspectosdelosconceptospuedeinfluirenloquelosalumnosaprenden (qu y cmo), si admitimos que proporcionan la mayor parte del contenido matemtico que los estudiantes deben aprender.Desdeunpuntodevistasuperficial,puedeobservarseelgranesfuerzorealizadoporlas editorialesenactualizarelformatoylapresentacindelostextos.Encambio,resultadifcil determinarsienellossehaincorporado,ydequmanera,losresultadosobtenidosen investigacionessobrelaformaen que se aprenden algunas nociones matemticas, realizadas en el campo de la Matemtica Educativa. Conelpropsitodeobservarhastaquepuntosehadadoestaincorporacinenrelacinconel concepto de variable efectuamos una somera revisin de algunos libros de lgebra. Esta revisin nosmuestraquealgunoslibroslededicanalomsunapginaparaexplicarelconceptode variable, pero otros generalmente mucho menos, e incluso algunos no definen el concepto. Esto a pesar del hecho de que la matemtica contenida en ellos se basa en la existencia de variables, y que estas predominan virtualmente en cada pgina de los textos, sin contar, que las definiciones que se encuentran en ellos son distintas y utilizan diferentes formas para definirlas. 2. Problema. VariosinvestigadorescomoMatz(1975), Kieran. (1980), Trigueros y Ursini (1999) entre otros hanencontradoevidenciaconvincentedequemuchosestudiantes,tantodeprimaria,comode universidadtienendificultadespararesolverciertostiposdeproblemaselementalesdelgebra. La evidencia muestra que los errores manifestados por los estudiantes subyacen, en parte, en una XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas39 tenue y mal definida concepcin de lo que son las variables y qu papel juegan en la resolucin deproblemas.Enparticular,deacuerdoconnuestrarevisinpreliminar,creemosquepartede esta problemtica tiene que ver con el hecho de que los libros de texto dedican muy poco espacio ytiempoaladiscusinydefinicindelconceptodevariable,ascomoalaformaenquese define este concepto,. As pues, con el propsito de buscar respuestas a estas dificultades realizamos una revisin ms profundadealgunoslibrosdetextoenelmbitoenelquetrabajamos.Creemosqueaunquela revisindelabibliografanoesexhaustiva,presentaunaampliagamadeestilosdela presentacin y del contenido.El anlisis de libros de texto se ha llevado a cabo en diferentes mbitos de investigacin. En este artculosepresentanlosresultadosdeunarevisindelibrosdetextodematemticas.Dicha revisin se centr en un aspecto del currculo: la presentacin del concepto de variable. Pero para hacerestarevisinnosdocumentamosacercadecmosehavenidorealizandoestetipode trabajo, encontrando que hay varias maneras de revisar textos. 3. Diferentes formas de analizar los textos. Centrndonosenelcampodelaeducacinmatemtica,Howson(1995)distingueentre investigaciones realizadas sobre textos a posteriori, es decir, la forma en que se ha usado un libro detexto,cmohacontribuidoalprocesodeaprendizajeyquobstculossehanpresentado;y lasrealizadasapriori.EntreestasltimassemencionaeltrabajodeChevallard(1985),enlos que aparece la nocin de transposicin didctica, es decir, la transformacin de la matemtica en el contenido escolar, que se refleja fundamentalmente en los libros de texto. Por otro lado, se han desarrollado dos lneas de actuacin en relacin al anlisis de los libros de texto, las cuales comentaremos brevemente (Garca y Llinares, 1995). Podemos considerar: I.Estudioscentradosenelanlisisdelaformaenquesereflejanenellosloscontenidos, adoptndose dos puntos de vista: 1.Los que se han ocupado del propio instrumento de anlisis que se aplica al texto. Entre ellos mencionamos: VanDormolen(1986)yOtte(1986)ponennfasisenloquetransmiteeltexto,las relacionesentreelconocimientoysurepresentacintextualylasvariacionesenlas interpretaciones.Sanz(1990)secentraenlanecesidaddeconsiderarlosmodosde representacinutilizados,pararealizarinferenciasrelativasalsignificadodelasideas matemticas que los textos transmiten. 2.Los que eligen un tpico concreto y examinan la forma en que este contenido particular se contemplaendiferentestextos.ComoKchemann(1987),queintentavercmounmismo tpico (razn y proporcin) se caracteriza en diferentes libros de texto.II. Estudioscentradosenelusoquesehacedelostextosenlassituacionesdeenseanza. FreemanyPorter(1989)describendiferentesestilosenelusodeloslibrosdetextode matemticasporlosprofesores,enelniveldeenseanzaprimaria,yexaminanel solapamiento entre el contenido enseado y el contenido que apareca en los textos. El trabajo que aqu presentamos se encuadra dentro de aquellos que eligen un tpico y examinan lasdiferentesformasenquestesepresenta.Examinamoslaformaenlaqueladefinicinde variablesepresentaendiferentestextos,suscaractersticasyelementosqueseutilizanpara definirla.Sindudaqueelanlisispudierasermuchomscompleto,sinembargo,paranuestro trabajo el que realizamos es suficiente. J. L. DAZ GMEZ,L. MORALES PERALXV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas40 4. Metodologa. 1.Serecopilaronlibrosdeprimaria,secundaria,preparatoriayuniversidad,ademsdealgunas enciclopedias recomendadas para diversos niveles. 2.Seanalizcadalibrobuscandoladefinicindevariablequepresentaellibroolapgina donde aparece por primera vez la palabra variable. 3. Conlosdatosanterioresseformunatabladedatosquecontienelainformacindela definicin que contiene el texto y la referencia del texto. 4. Se realiz un anlisis de las definiciones buscando regularidades sobre el enfoque con que se presenta y trminos matemticos que intervienen en la definicin. 5.Serealizunanlisisdelasdefinicionesparaclasificarelusoqueseledaenlostextosde acuerdo con la clasificacin siguiente: como incgnita, como nmero general, como variable, como relacin funcional. A continuacin mostramos algunas definiciones representativas. LaletraxsellamavariableyelconjuntoRcuyoselementoslaremplazansellamaconjunto satisfactor.Cadavezqueseusaunavariable,debeunosaberculeselconjuntosatisfactor. Lovaglia, F. M. 1972. lgebra. Harla. Pg. 8 9. Unaexpresinalgebraicaesunacoleccindeletrasllamadasvariablesynmerosreales organizados de alguna manera utilizando sumas, restas multiplicaciones divisiones y radicales. Larson, R, Hostetler R. 1985. College Algebra. D.C. Hearth and Co. Pg. 30.Lasecuaciones3x-5=x+3;x=x+1;b2 =4.Contienenunaletracomovariable.Si reemplazamoslaletraconunnmero,obtenemosunaexpresinqueesfalsaoverdadera. Thompson R. 1976. Intermediate Algebra. Prindle, Weber & Schmidt, Inc. Pg. 38.5. Resultados El total de libros revisados fue de 99, y la revisin de las definiciones dadas en ellos nos muestra queelconceptodevariablesedefinecondiferentesenfoquesyparadefinirlaoexplicarlase utilizan varios trminos que mencionamos abajo, as como el nmero de libros que los sustentan: 1.Elconjuntodereemplazo.Elconjuntodereemplazodeunavariablesecomponedetodos los elementos que se puedan sustituir por la variable. Este conjunto puede estar compuesto por cosas,porunnmerooporunconjuntodenmeros.Enellgebradelasecundariael conjunto de reemplazo es casi siempre el conjunto de los nmeros reales, pero en el lgebra Linealelconjuntopuedeestarformadoporvectores,enlasEcuacionesDiferencialespor funcionesyenTopologa,elconjuntodereemplazoparalasvariablesconfrecuenciason conjuntos de conjuntos. Sinembargo,alintroducirelconceptodevariablenosepresentaunadefinicinque comprenda todas las posibilidades del conjunto de reemplazo, sino que slo se menciona que lavariablerepresentanmeros,haciendopocoabstractoesteconcepto.Lassiguientesson algunasdelasformascomunesenquesedescribeelconjuntodereemplazoenlostextos revisados: a)El conjunto de reemplazo es un conjunto de cosas. Una definicin muy general es la que da Mazani y colegas (p. 34, 1968): Las letras tales como a, b, c, que pueden representar cualquier(definido,peronoespecificado)elementodeunconjunto(Esteconjuntopuede estar formado por cualquier tipo de objetos; personas, nmeros, funciones, etc.) se llaman variables. 11 libros. EL CONCEPTO DE VARIABLE EN LOS LIBROS DE TEXTO XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas41 b) Elconjuntodereemplazoesunconjuntodenmeros.Generalmentenmerosreales, peroestehechosepierdeenmuchosestudiantes,porquedeacuerdoconKieran(1980)y Matz(1979)losestudiantesvenlasvariablescomoetiquetasparasimbolizarentidades concretas,envezdecosasabstractasdenmeros.LadefinicindeBarnet(p.234,1960), est dentro de esta categora,define: Una variable en lgebra es una letra que representa cualquiernmerodeunconjuntodenmerosbajodiscusincuandoelconjuntocontiene ms de un nmero. 46 libros. c)Lavariablesereemplazaporunniconmero.Enestecasonohayreferenciaaun conjuntoytampocohayunareferencia a la naturaleza mltiple de la variable. En el libro MatemticasAplicacionesyConexiones(Glencoe,p.12,1999)semenciona;Algunas ecuaciones adems contienen variables. La ecuacin x + 9 = 17 no es ni verdadera ni falsa hastaquexsesustituyaconunnmeroquelahaceverdadera.Resuelveslaecuacin cuando reemplazas la variable con un nmero que la hace verdadera. 6 libros. d)Los que utilizan otro tipo de enfoques que no caen en a), b), c). En algunos textos el autor introduce las variables y utiliza el smbolo de guardalugarpara representar la variable. En el libro Graficas y Relaciones y Funciones, de la NCTM (p. 13, 14, 1979), se utilizan adems del smbolo , los smbolos,n, x para representar la variable. 6 libros. Qu aspecto tiene en matemticas una proposicin abierta?. He aqu algunas: 2362>5xnx+ = A, B > C, escribimos como, CMp = CCp + (A+C) 4 ( 1/6p )( 2B 4 [A+C] ).(VII) InterpretandogeomtricamenteestafrmulavemosqueDeMoivrealacuadraturade Simpson,CCp,leestsumandolasreasdelosrectngulosmencionadosarriba:el rectngulo, RI, a la izquierda y el de la derecha, RD, y est restando un trmino, TM, donde TM = ( 1/6p )( 2B 4 [A+C] ).(VIII) As,notemosentoncesquelacorreccinhechaporDeMoivrealafrmula conocida por sus contemporneosconsisti en sumar reas de dos rectngulos y restar otro trmino.Deaquconfirmamos,porunlado,de(VII),quealsumar,sebuscabael cumplimiento de la desigualdad CCp CMp ; y por otro lado,comparando (V) y (VII), que alrestar,sebuscabaCMp