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El alumno al trmino de la unidad deber:1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representacin, en los diferentes espacios en que se encuentre.2. Explicar correctamente la Naturaleza de un plano en V3 as como la deduccin de todas las formas de representacin.3. Formular y expresar matemticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos rectas y planos, as como la proyeccin geomtrica de dichas relaciones.En1788, Lagrangepublicsuobra"McaniqueAnalytique", quemostrlagranflexibilidady grandes alcances de utilizar mtodos analticos en el estudio de la mecnica.Posteriormente, William Rowan Hamilton (1805-1865), introdujo su "Theory of Quaternions", la cual contribuy a la comprensin del Algebray de la Fsica.La unin de las ms notables caractersticas del anlisis de los cuaterniones y de la geometra cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925),dando lugar a la llamada lgebra Vectorial.El uso del lgebra vectorial permiti la exposicin y simplificacin de muchos conceptos geomtricos y fsicos, de ah la importancia de su estudio en este curso.Debido a que, el alumno no est familiarizado a trabajar con vectores, se recomienda, de modo especial, el estudio de este captulo, el cual le permitir conocerla naturaleza del vector y cmo se opera con ellos.1LA : Recta de accin (Direccin)(Norma)//A//

O2

(a)(b)(c) (d)

La idea de emplear un nmero para situar un punto A = ( a1) en una recta fue conocida por los antiguos griegos (figura 2.1 (a)).En 1637, Descartes extendi esta idea utilizando un par de nmerosA = (a1,a2) para situar un punto en el plano (figura 2.1 (b)), y una terna de nmeros A = (a1,a2,a3) para situar el punto en elespacio (figura 2.1 (c)).En el siglo XIX, los matemticosA. Cayley(1821-1895)yH. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse en las ternas de nmeros. Se puede tambin considerar, en general, una n-plasde nmeros reales:A = (a1,a2,....,an),para todo enteronNUna taln-plase le llama punto n-dimensional. Cuya representacin geomtrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 2.1 d. Por tanto un punto puede representarse de tres maneras diferentes, de forma algebraica a travs de la letramayscula A, de forma analtica a travs de sus coordenadas (a1,a2,....,an) y mediante su forma geomtrica representada en la Fig. 2.1 dEstamosacostumbradosaconsiderarmagnitudes, tantoenGeometracomoenFsica, quepuedansercaracterizadas por un nico nmero real referido a una unidad de medida apropiada: el permetro de unafigura, el rea de una superficie, el volumen, la temperatura, el tiempo, etc.A dichas magnitudes se les llamamagnitudes escalares, denominndose escalar el nmero real asociado a cada una de ellas.Existenotrasmagnitudesfsicasygeomtricasenlasqueintervieneladireccinyquenopuedensercaracterizadas de forma completa mediante un nico nmero real: la fuerza, la velocidad, la aceleracin, etc.Adichas magnitudes seles llamamagnitudesvectoriales, denominndosevectoral objetomatemtico utilizado para describir cada una de ellas.Las caractersticas fundamentales de un vector son: su mdulo, su direcciny su sentido. Es, por tanto,naturalrepresentarunvectorgeomtricamentepormediodeunsegmentoorientado, correspondiendola longitud, direccin y sentido del segmento orientado al mdulo, direccin y sentido del vector.Descripcin de un vector: por ser un segmento de recta, es una porcin de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido, a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de accin que me define la direccin, y a su longitudNorma ,o Mdulo, como se ilustra en la figura siguiente:

2LA : Recta de accin (Direccin)A Flecha (Sentido)O (cola)(Norma)//A//

yO2

(a)(b)(c) (d) a1a1a2yxzAa303O1xA0nAAa1 xya2z

AxO1O2xAyAO3x0nA(a)(b)(c) (d)yzxLos vectores que vamos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo largo de su recta de accin o trasladarse paralelamente a si mismo.Definiremos un vectorAcomo el conjunto de todos los segmentos orientados del espacio n-dimensional que poseen una longitud, direccin y sentidodados. Al vector que coincide con un segmento orientado cuyo extremo inicial es el origen de coordenadas y su extremo final en el punto A, se llama vector posicinOA. Que llamaremos simplemente A, y cuya explicacin la veremos ms adelante. a) ALGEBRAICA: los vectores se designan con las letras maysculas: A, B, C , D , ...b)GEOMTRICA: En base a su representacin grfica en un sistema de coordenadas (slo es posible hasta en tres dimensiones; ver figura 2.4). Para los sistemas de 4 ms dimensiones con precisin solo podramosrepresentarel origendel sistema, ylaflechadel vectordefinidaporel puntoAquelo tomaramosdemaneraarbitrariacomosemuestraenlafigura. Pararepresentargeomtricamentealvector A, en primer lugar esnecesario definir el punto A, como se mostr en la figura 2.1, luego el vectorA ser el vector que tiene su cola en el origen y su flecha en el punto A, vemos que la figura 2.4 solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.c)ANALTICA: Se realiza haciendo uso de las letras minsculas llamadoscomponentes del vector:

A = (a1,a2,...,an),B = (b1,b2,...,bn) yC = (c1,c2,...,cn)Para convertir Vnen una estructura algebraica, introducimos la igualdad de vectores y dos operaciones: la adicinde vectores, la multiplicacin por escalaresy un cuerpo de nmeros reales R. La palabra escalar se usa aqu como sinnimo de nmero real.Dos vectores A y B de Vn son iguales, si son iguales todas sus componentes que ocupan la misma posicin.Estoes,si A = (a1,a2,...,an)yB = (b1,b2,...,bn)3

Q1Q2P1P2' n nn j y i j ib ab ab ab ab a si B A Entonces....3 32 21 1..., , 2 , 1Tomemos un ejemploenelespacio bidimensionalparaentender mejor esta definicin.SiP1Q1yP2Q2 sondossegmentosorientadosconla misma longitud, direccin y sentido, diremos que representan el mismo vector.Un segmento orientado tiene una ubicacin particular; un vector no.Las flechas en lafigura 2.3 representan el mismo vector.

cAOnPROPIEDADES:1. Reflexiva:Todovector es igual a s mismo, esto esA = A2. Simetra:SiA = BentoncesB = A3. Transitiva:SiA = ByB = C entoncesA = C Si c es un escalar tal que cR y Aun vector tal que A Vn , el producto cA se define como el vector que resulta de multiplicar cada componente deApor el escalar c, esto es:ANLISIS DEL VECTOR cA:Para facilitar el estudio vamos a considerar un vector Ade V1tal como A = ( 4 ), de modo que el vector cA = ( 4c ), y vamos a darle a c distintos valores de R, para poder ver como afecta a su mdulo, direccin y sentido, para esto elaboramos la siguiente tabla:c -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2cA -2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A(4c) (-8) (-6) (-4) (-2) (0) (2) (4) (6) (8)Representando dichos vectores geomtricamente:

Al observar los resultados de la tabla y de la figura 2.4a,podemos apreciar que cuando c>0 el sentido de cA es el mismo que el de A, pero cuando c1 y c00: )var )11 var1: )c si A de al opuesto Esc si si A de al igual EsSentido El cR c todo para a no direccin La bc si contrae Sec si a Noc si dilata SeMdulo El a Portanto podemos describir al vector cA como el vector que tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de accin de A como se ilustra en la figura 2.5.4cA = (ca1 , ca2 , ca3 , ... , can )On

//B// - -2A-3A/2-A-A/20A/2 A3A/22A-8 -6 - 4 -20 2 46 8a) PARALELISMO ENTRE DOS VECTORESDos vectoresAyBde Vn son paralelos s y slo s tienen igual direccin. Esto es, si tienen la misma recta deaccin o sus rectas de accin son paralelas.

EstacondicinnospermiteafirmarquecuandodosvectoresAyBsonparalelossuscomponentesson proporcionales. Esto es:nn332211n n3 32 21 1ba.. ..........bababaccb a.........cb acb acb acB A : B // A Si ' b)VECTOR CEROEs el vector generado por el vector cA al darle a c el valor cero, (c = 0).Como el escalar afecta comofactor a cada una de las componentes de A,todas las componentes del vector cero sern cero: Las caractersticas de este vector son: Su mdulo o longitud //0//=0, su direccin la misma del vector que loorigina, ya que lo que el escalar no podr jams es sacar al vector A de su recta de accin, es importante queel alumno vea que como el vector A es un vector cualquiera de Vn , y por lo anterior el vector cero tiene la direccin del vector que lo origina, en consecuencia el vector 0 tiene todas las direcciones posibles. Y su sentido tiene carcter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero t 0=0, dado que 0 por cualquier nmero es cero. Desde el punto de vista geomtrico el vector cero est representado por un punto, esto es,. elorigen del sistema.. Es adems el vector que sumado a un vector A me da el vector A, por esto, al vector cero sele llama elemento neutro en la suma de vectores, como se ver ms adelante.c)VECTOR OPUESTOEl vector opuesto es aquel vector generado por el vector cA, cuandoc = -1:La grfica sera:

Otra propiedad importante del vector -Aes la de ser el vector que sumado al A me da el vector cero, y que la estudiaremosdespus de estudiar la suma de vectores.5Enlafigurasemuestranlos dos casos mencionados anteriormente, Ay Bson paralelos y tienen la misma recta de accintambin C es paralelo a A y a B y sus rectas de accin son paralelas.Vector Opuesto de A = (-1)A = -A = ( -a1,-a2,...,-an)Vector Cero=0= ( 0,0,0,..........,0 )Lascaractersticasdeestevectorson:Esunvector queexisteporqueexisteelvectorA, tieneelmismo mdulo y direccin que A, pero sentido opuesto.Luego decimos que si A//B entonces A = cBA0n-ACBAOn

//B// - Dados dos vectores A y B de Vn distintos del vector cero, tal como A = (a1,a2,...,an)y B = (b1,b2,...,bn)Definicin: LasumadeA+Bsedefinecomoel vectorcuyascomponentesseobtienensumandolas componentes de losvectores parciales como se ilustra a continuacin: Adems la suma de vectores cumple la regla del