algebra vectorial

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Page 1: Algebra Vectorial

El alumno al término de la unidad deberá:

1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre.

2. Explicar correctamente la Naturaleza de un plano en V3 así como la deducción de todas las formas de representación.

3. Formular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos rectas y planos, así como la proyección geométrica de dichas relaciones.

En 1788, Lagrange publicó su obra "Mécanique Analytique", que mostró la gran flexibilidad y grandes alcances de utilizar métodos analíticos en el estudio de la mecánica. Posteriormente, William Rowan Hamilton (1805-1865), introdujo su "Theory of Quaternions", la cual contribuyó a la comprensión del Algebra y de la Física. La unión de las más notables características del análisis de los cuaterniones y de la geometría cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925), dando lugar a la llamada Álgebra Vectorial.

El uso del álgebra vectorial permitió la exposición y simplificación de muchos conceptos geométricos y físicos, de ahí la importancia de su estudio en este curso. Debido a que, el alumno no está familiarizado a trabajar con vectores, se recomienda, de modo especial, el estudio de este capítulo, el cual le permitirá conocer la naturaleza del vector y cómo se opera con ellos.

1

Page 2: Algebra Vectorial

La idea de emplear un número para situar un punto A = ( a1 ) en una recta fue conocida por los antiguos griegos (figura 2.1 (a)). En 1637, Descartes extendió esta idea utilizando un par de números A = (a 1,a2) para situar un punto en el plano (figura 2.1 (b)), y una terna de números A = (a1,a2,a3) para situar el punto en el espacio (figura 2.1 (c)). En el siglo XIX, los matemáticos A. Cayley (1821-1895) y H. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse en las ternas de números. Se puede también considerar, en general, una n-plas de números reales:

A = (a1,a2,....,an), para todo entero nN

Una tal n-pla se le llama punto n-dimensional. Cuya representación geométrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 2.1 d.

Por tanto un punto puede representarse de tres maneras diferentes, de forma algebraica a través de la letra mayúscula A, de forma analítica a través de sus coordenadas (a1,a2,....,an) y mediante su forma geométrica representada en la Fig. 2.1 d

Estamos acostumbrados a considerar magnitudes, tanto en Geometría como en Física, que puedan ser caracterizadas por un único número real referido a una unidad de medida apropiada: el perímetro de una figura, el área de una superficie, el volumen, la temperatura, el tiempo, etc. A dichas magnitudes se les llama magnitudes escalares, denominándose escalar el número real asociado a cada una de ellas.

Existen otras magnitudes físicas y geométricas en las que interviene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un único número real: la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. A dichas magnitudes se les llama magnitudes vectoriales, denominándose vector al objeto matemático utilizado para describir cada una de ellas.

Las características fundamentales de un vector son: su módulo, su dirección y su sentido. Es, por tanto, natural representar un vector geométricamente por medio de un segmento orientado, correspondiendo la longitud, dirección y sentido del segmento orientado al módulo, dirección y sentido del vector.

Descripción de un vector: por ser un segmento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido, a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de acción que me define la dirección, y a su longitud Norma , o Módulo, como se ilustra en la figura siguiente:

2

LA : Recta de acción (Dirección)

A Flecha (Sentido)

O (cola)

(Norma) //A//

y

O2

(a) (b) (c) (d)

a1

a1

a2

y

x

z

A

a3

03

O1

xA

0n

A

A

a1 x

y

a2

Page 3: Algebra Vectorial

z

Ax

O1O2

x

A

y

A

O3

x

0n

A

(a) (b) (c) (d)

y z

x

Los vectores que vamos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo largo de su recta de acción o trasladarse paralelamente a si mismo.

“Definiremos un vector A como el conjunto de todos los segmentos orientados del espacio n-dimensional que poseen una longitud, dirección y sentido dados”.

Al vector que coincide con un segmento orientado cuyo extremo inicial es el origen de coordenadas y su extremo final en el punto A, se llama vector posición OA. Que llamaremos simplemente A, y cuya explicación la veremos más adelante.

a) ALGEBRAICA: los vectores se designan con las letras mayúsculas: A, B, C , D , ...b) GEOMÉTRICA: En base a su representación gráfica en un sistema de coordenadas (sólo es posible hasta en tres dimensiones; ver figura 2.4). Para los sistemas de 4 ó más dimensiones con precisión solo podríamos representar el origen del sistema, y la flecha del vector definida por el punto A que lo tomaríamos de manera arbitraria como se muestra en la figura. Para representar geométricamente al vector A, en primer lugar es necesario definir el punto A, como se mostró en la figura 2.1, luego el vector A será el vector que tiene su cola en el origen y su flecha en el punto A, vemos que la figura 2.4 solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.

c) ANALÍTICA: Se realiza haciendo uso de las letras minúsculas llamados componentes del vector:

A = (a1,a2,...,an), B = (b1,b2,...,bn) y C = (c1,c2,...,cn)

Para convertir Vn en una estructura algebraica, introducimos la igualdad de vectores y dos operaciones: la adición de vectores, la multiplicación por escalares y un cuerpo de números reales R. La palabra escalar se usa aquí como sinónimo de número real.

Dos vectores A y B de Vn son iguales, si son iguales todas sus componentes que ocupan la misma posición. Esto es, si A = (a1,a2,...,an) y B = (b1,b2,...,bn)

3

Q1

Q2P1

P2

Tomemos un ejemplo en el espacio bidimensional para entender mejor esta definición. Si P1Q1 y P2Q2 son dos segmentos orientados con la misma longitud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo vector. Un segmento orientado tiene una ubicación particular; un vector no. Las flechas en la figura 2.3 representan el mismo vector.

Page 4: Algebra Vectorial

cA

On

PROPIEDADES:

1. Reflexiva: Todo vector es igual a sí mismo, esto es A = A2. Simetría: Si A = B entonces B = A3. Transitiva: Si A = B y B = C entonces A = C

Si c es un escalar tal que cR y A un vector tal que A Vn , el producto cA se define como el vector que resulta de multiplicar cada componente de A por el escalar c, esto es:

ANÁLISIS DEL VECTOR “cA”:

Para facilitar el estudio vamos a considerar un vector A de V1 tal como A = ( 4 ), de modo que el vector cA = ( 4c ), y vamos a darle a c distintos valores de R, para poder ver como afecta a su módulo, dirección y sentido, para esto elaboramos la siguiente tabla:

c -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2cA -2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A(4c) (-8) (-6) (-4) (-2) (0) (2) (4) (6) (8)

Representando dichos vectores geométricamente:

Al observar los resultados de la tabla y de la figura 2.4a, podemos apreciar que cuando c0 el sentido de cA es el mismo que el de A, pero cuando c0 el sentido es el opuesto de A. En cuanto a la dirección observamos que para todo cR, el vector cA tiene la misma recta de acción que A, luego podemos concluir que lo que no podrá nunca c es cambiar la dirección de cA, esto es, sacarlo de su recta de acción, esta propiedad es de suma importancia y por lo tanto tenemos que tenerla muy presente. En cuanto al módulo vemos que cuando c1 y c-1, este se dilata y cuando –1 c 1 se contrae, de manera proporcional al valor del escalar, por ejemplo si c = 2 la longitud del vector 2A es el doble de la de A y si c = ½ la longitud del vector A/2 es la mitad de la de A.

En general podemos afirmar que sí A Vn :

“Por tanto podemos describir al vector cA como el vector que tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2.5.”

4

cA = (ca1 , ca2 , ca3 , ... , can )

-2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A

-8 -6 - 4 -2 0 2 4 6 8

Page 5: Algebra Vectorial

a) PARALELISMO ENTRE DOS VECTORES

Dos vectores A y B de Vn son paralelos sí y sólo sí tienen igual dirección. Esto es, si tienen la misma recta de acción o sus rectas de acción son paralelas.

Esta condición nos permite afirmar que cuando dos vectores A y B son paralelos sus componentes son proporcionales. Esto es:

b) VECTOR CERO

Es el vector generado por el vector cA al darle a c el valor cero, (c = 0). Como el escalar afecta como factor a cada una de las componentes de A, todas las componentes del vector cero serán cero:

Las características de este vector son: Su módulo o longitud //0//=0, su dirección la misma del vector que lo origina, ya que lo que el escalar no podrá jamás es sacar al vector A de su recta de acción, es importante que el alumno vea que como el vector A es un vector cualquiera de Vn , y por lo anterior el vector cero tiene la dirección del vector que lo origina, en consecuencia el vector 0 tiene todas las direcciones posibles. Y su sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero 0=0, dado que 0 por cualquier número es cero. Desde el punto de vista geométrico el vector cero está representado por un punto, esto es,. el origen del sistema.. Es además el vector que sumado a un vector A me da el vector A, por esto, al vector cero se le llama elemento neutro en la suma de vectores, como se verá más adelante.

c) VECTOR OPUESTO

El vector opuesto es aquel vector generado por el vector cA, cuando c = -1:

La gráfica sería:

Otra propiedad importante del vector -A es la de ser el vector que sumado al A me da el vector cero, y que la estudiaremos después de estudiar la suma de vectores.

5

En la figura se muestran los dos casos mencionados anteriormente, A y B son paralelos y tienen la misma recta de acción también C es paralelo a A y a B y sus rectas de acción son paralelas.

Vector Opuesto de A = (-1)A = -A = ( -a1,-a2,...,-an )

Vector Cero = 0 = ( 0,0,0,..........,0 )

Las características de este vector son: Es un vector que existe porque existe el vector A, tiene el mismo módulo y dirección que A, pero sentido opuesto.

Luego decimos que si A//B entonces A = cB

A

0n-A

C

B

A

Page 6: Algebra Vectorial

Dados dos vectores A y B de Vn distintos del vector cero, tal como A = (a1,a2,...,an) y B = (b1,b2,...,bn)

Definición: La suma de A + B se define como el vector cuyas componentes se obtienen sumando las componentes de los vectores parciales como se ilustra a continuación:

Además la suma de vectores cumple la regla del paralelogramo, de modo que el vector suma A + B se representa geométricamente como la diagonal del paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha de los vectores parciales, paralelas a las rectas de acción del otro, como se muestra en la figura siguiente:

Como se trata de vectores libres podemos trasladar el vector A paralelamente a sí mismo, hasta que su cola coincida con la flecha de B, pero podemos hacer lo mismo con B, de modo que el vector suma A+B, tendrá su cola en la cola del primero y su flecha en la flecha del segundo. Dado que el primero puede ser A o puede ser B, y lo mismo sucede con el segundo.

Los datos del problema son los vectores A y B, por tanto conocemos su norma , su dirección y sentido y por consiguiente conocemos el ángulo definido por A y B, es decir .. En la figura 2.8 trasladamos al vector A paralelamente a sí mismo hasta que su cola coincida con la flecha de B, formándose el triángulo O n – B - (A +B), en donde conocemos dos lados //A// y //B// y el ángulo comprendido será -, porque es suplementario a un ángulo que es igual a por ser correspondiente al ángulo formado por A y B, como se muestra en la figura 2.8.

a) Ahora vamos a calcular la norma //A + B//: Aplicando la Ley del Coseno:

b) Definida la norma pasamos a definir la dirección, para esto, basta definir su recta de acción por consiguiente necesitamos un punto de paso y una dirección, lo primero ya lo tenemos viene a ser el On, luego nos queda definir su dirección.

Las rectas de acción de los vectores A y B al pasar por el origen del sistema O n determinan un plano, en donde se encuentra también el paralelogramo definido por éstos, al trazar por cada una de las flechas paralelas a las rectas de acción del otro. Por lo tanto el vector suma A + B por ser la diagonal de dicho paralelogramo también se encuentra en dicho plano. En la figura 2.8 observamos que , la recta de acción de A + B forma un ángulo con la recta de acción de A. De modo que la recta de acción de A + B, será la recta que pasa por el origen O, se encuentra en el plano definido por L a y Lb y forma un ángulo con La..

6

A + B = ( a1 + b1 , a2 + b2 ,... ... , an + bn )

On

B

//B//

-

//A//

A

A+B

//A+B//

//A//

Page 7: Algebra Vectorial

a) PRIMER CASO: cuando los vectores tienen igual dirección y sentido NIORMA: Del esquema geométrico se desprende al compararlo con el caso general que el ángulo =0, por tanto cos=1, reemplazando en la expresión de la norma.

De donde: // A + B // 2 = //A// 2 + //B// 2 + “ //A// //B Sacando raíz cuadrada: / //A+B// / = / //A// + //B// /Como las normas son siempre positivas: //A// > 0 y //B// > 0 Luego //A// + //B// > 0, por tanto:

//A + B // = //A// + //B// “Luego la norma del vector A + B será igual a la suma de las normas de los vectores parciales.”

A+B

//A+B//

//B//

//A//

A

B

Por tanto tenemos que calcular .: Para el cálculo de dicho ángulo acudimos nuevamente a la figura 2.8, en donde podemos ver que dicho ángulo es igual al ángulo que se opone a //B// en el triángulo On-B-(A+B) por ser ángulos alternos internos, luego aplicando la Ley de los Senos:

c) Por último nos queda definir el sentido de A + B, como hemos dicho el vector suma tiene su cola en la cola del primero, y su flecha en la flecha del segundo, por lo tanto la flecha de A + B queda definida por la flecha del segundo. Al quedar definida la flecha de A + B queda definido el sentido de A + B.

Los casos que vamos a estudiar se basaran en lo visto en el caso general, es decir, aplicaremos los resultados encontrados a las situaciones concretas definidas en los casos a analizar.

DIRECCION: Para determinar la dirección imponemos la condición = 0

Si = 0 entonces la recta de acción del vector A + B será igual a la recta de acción del vector A, por lo tanto el vector A + B tendrá la misma dirección de A y de B.

SENTIDO: Por último, como el vector suma tiene su flecha en la flecha del segundo, el sentido del vector A + B lo dará el vector B, como A y B tienen el mismo sentido, entonces A + B tendrá el sentido de A o de B.

b) SEGUNDO CASO: cuando los vectores tienen la misma dirección pero sentido contrario:

NORMA: Observando la figura y comparándola con el caso general podemos afirmar que el ángulo que forma A y B, esto es = por tanto cos = -1, reemplazando en la expresión de la norma tendremos:

7

Page 8: Algebra Vectorial

//A + B// 2 = //A//2 + //B// 2 - 2 //A// //B//

De donde: //A + B// 2 =( //A// - //B// ) 2

Sacando raíz cuadrada: / //A + B // / = / //A// - //B// /

Por definición de Valor Absoluto:

Si // A // - // B // > 0 → / // A // - // B // / = // A // - // B //

Si // A // - // B // < 0 → / // A // - // B // / = // B // - // A//

De modo que la norma del vector A + B será igual a la diferencia de las normas parciales

DIRECCION: Para determinar la dirección, debemos calcular el ángulo , como = entonces sen=0,

reemplazando en la ecuación correspondiente tendremos:

Este caso presenta a la vez dos alternativas que aparecen debido a que la norma de A puede ser mayor que la norma de B y viceversa, como ya se vio en el estudio de la norma.

En ambos casos la recta de acción del vector suma A + B coincide con la recta de acción del vector A por lo tanto se concluye que la dirección del vector suma es igual a la dirección de los vectores parciales.

SENTIDO: El sentido del vector A + B lo da el vector de mayor longitud, debido a que al hacer el traslado correspondiente de modo que la cola del menor coincida con la flecha del mayor, el sentido del mayor prevalece.

En la figura 2.11 se puede observar uno de estos dos casos, en donde la norma de A es mayor que la norma de B, al realizar la suma hemos trasladado el vector B hasta que su cola coincida con la flecha de A, de modo que el vector suma A + B tendrá su cola en la cola de A y su flecha en la flecha de B, prevaleciendo así el sentido de A.

Vamos a enunciar las propiedades de modo conjunto debido a razones de tipo didáctico, dados los vectores A, B y C de Vn y c y d R:

Propiedad Suma A + B (sigla) Producto cA (sigla)1. Uniformidad Si A y B Vn A + B Vn (PUSV) Si A V cA Vn (PUPEV)2. Conmutativa A + B = B + A

(PCSV)cA = Ac (PCPEV)

3. Asociativa ( A + B ) + C =A + ( B + C) (PASV) (cd)A = c(dA ) = d(cA) (PAPEV)4. Elemento Neutro A + 0 =A (PENSV) Si c = 1 cA = A (PENPEV)5. Elemento Inverso

A + (-A) = 0 (PEISV) Si c = 0 cA = 0 (PEIPEV)

6. Distributividad Vectorial: c( A + B ) = cA + cB (PDV)Escalar: ( c + d )A = cA + dA (PDE)

8

entoncesBAcuandoyentoncesBA 0

B

A

B

//A+B//

A+B

//B//

//A//

0

Θ = π

Page 9: Algebra Vectorial

θ α

B

//A-B////B//

On //A// A

Definido el producto de un escalar por un vector cA, y la suma de los vectores A + B, podemos determinar el vector A - B, transformando la diferencia en una suma entre el vector A y el vector (-1)B, es decir, el opuesto de B, de modo que A – B = A + ( -B ).

Los datos del problema son A = ( a1,a2,...,an ) y B = ( b1,b2,...,bn ) luego – B = ( -b1,-b2,...,-bn )

De modo que:

Para tener una idea más clara de este vector vamos hacer un análisis geométrico de lo explicado anteriormente, tenemos los vectores A y B, definimos el opuesto de B, esto es, -B y se lo sumamos al vector A, obteniendo de esta manera el vector A - B

Podemos concluir que el vector diferencia es el vector que tiene su cola en B y su flecha en A, esto es, el vector que va de B a A, esta característica permite explicar la razón por la cual el vector OA = A, dado que OA = A -0 = A.

ANÁLISIS DEL VECTOR A – B:

Dirección: Para determinar su dirección hacemos lo mismo que hicimos en la suma, definimos su recta de acción, en este caso el punto de paso es el punto B y se encuentra en el plano definido por las rectas de acción de A y B , luego tenemos que determinar solo , para esto aplicamos la Ley de los Senos:

Sentido: Por último para definir el sentido, por lo dicho anteriormente, su flecha esta definida por la flecha de A, como se muestra en la figura 2.13

Ejemplo 2.1:

9

A - B = ( a1 - b1 , a2 - b2 ,... ... , an - bn )

El hecho de que la suma de vectores cumpla la regla del paralelogramo y sean vectores libres nos permite definir la siguiente característica, el vector diferencia A-B será el vector que sumado al vector B me da el vector A, esto es:

B + ( A – B ) = B + A -B =(B-B)+A = 0+A =A, de modo que el vector A – B = BA

B

A

A-B

On

-B

B

X

cA

y

0

A

dB

x

Descomponer el vector X = (-1, 18) en dos vectores C y D,tales que C es paralelo a A y D es paralelo a B, donde A = (-1, 4) y B = (1, 3).

Luego: X = C + DSi C // A C = c A y si D // B D = d B

Por tanto: C = c (-1, 4) = (-c, 4c) , D = d (1, 3) = (d, 3d)X = C + D = ( -c + d, 4c + 3d ) = (-1, 18)

Norma: Aplicando la Ley del Coseno al triángulo OnBA:

De la figura 2.13 se deduce:

//A + - B// 2 = //A//2 + //B//2 - 2//A// //B// cosθ

sen

BA

Bsenquededucesedondede

sen

B

sen

BA:

Page 10: Algebra Vectorial

BB

A

C

Por igualdad de vectores: ( -c + d, 4c + 3d ) = ( -1, 18 )

Resolviendo: c =3 , d = 2

Por lo que: C = ( -3, 12) , D = ( 2, 6 )

Ejemplo 2.2: Dado el triángulo ABC y las relaciones: BD = hBC, CE = hCA, AF = hAB, siendo tales vectores representativos de las direcciones correspondientes y "h" un escalar. Demostrar que:

AD + BE + CF = 0

Solución: Construimos un triángulo ABC, en el cual vemos que (figura2.15):

BC + CA + AB = ( C – B ) + ( A – C ) + ( B – A ) = “ = ( C – B ) + ( B - A) + ( A – C ) = /PCSV “ = C – B + B – A + A - C = /PASV “ = C + 0 + 0 - C = /PEISV “ = C – C = /PENSV

BC + CA + AB = 0 /PEISV lqqd

Calcularemos la suma pedida y demostraremos que es el vector cero: AD + BE + CF

Aplicando las propiedades de la suma de vectores tenemos:

AD + BE + CF = ( D – A ) + ( E – B ) + ( F – C ) = ( D – B ) + ( E – C ) + ( F – A ) = BD + CE + AF= hBC + hCA + hAB = h(BC + CA + AB) = h0 = 0 .

AD + BE + CF = 0 l.q.q.d

Ejemplo 2.3:

Aplicando el álgebra vectorial, demuestre que las medianas de un triángulo se cortan en un punto que dista de cada vértice 2/3 de la longitud de la mediana respectiva.

Solución: Dado el triángulo ABC, ubicamos los pies de las medianas (figura2.16):

Ma = ½.( B + C ) ; Mc =½.( A + B )

Definimos:AMa = Ma- A = ½B + ½C - AAI = tAMa = ( t/2 )B + ( t/2 )C - tACMc = Mc - C = ½A + ½B - CCI = sCMc = ( s/2 )A + ( s/2 )B – sC

Observamos que: AI = AC + CI = ( C – A ) + ( s/2 )A + ( s/2 )B – sC

-tA + (t/2)B + (t/2)C = ( s/2 – 1 )A + (s/2)B - (1 – s )C

Igualando los coeficientes de los vectores:

Resolviendo: s = t = 2/3

10

A

C

B

I

MC

Page 11: Algebra Vectorial

Se da un paralelogramo ABCD. Se sabe que E es un punto medio de CD y F está a 2/3 de AE en el sentido de A hacia E. Considerando el sentido de B hacia C, demostrar que F está a 2/3 de BC (ver figura 2.15).

Lo cual quiere decir que la longitud del segmento que une un vértice con el punto de intersección de las medianas es los 2/3 de la mediana respectiva: AI = (2/3)AMa , CI = (2/3)CMc

Como se puede trabajar con cualquier par de medianas, análogamente: BI = (2/3)BMb

Ejemplo 2.4:

Demostrar la propiedad conmutativa : A + B = B + A A + B = (a1 + b1, a2 + b2 + a3 + b3, ........., an + bn ) / Def. de A+B

B + A = (b1 + a1, b2 + a2 + b3 + a3, ........., bn + an ) / Def. de A+B

Luego A + B = B + A : / Igualdad de Vectores

Como la suma de números reales es conmutativa, entonces las n igualdades se cumplen , por tanto se cumple que A + B = B + A

.Ejemplo 2.5:

Demostrar la propiedad de distributividad escalar: ( c + d ) A = cA + dA

cA = ( ca1 , ca2 , ca3 , ...........,can ) y dA = (da1 , da2 , da3 , ...........,dan ) / Def. de cA

Luego la suma de cA + dA = ( ca1 + da1 , ca2 + da2 , ca3 + da2 ,...........,can + dan ) / Def. de A + B= [( c + d )a1 ,( c + d )a2 ,( c + d )a3 ,...........,( c + d )an ] / PDPNR= ( c + d ) A / Def. cA

Por tanto: ( c + d ) A = cA + dA

1) Dados los vectores: A = (a,-3p) y B = (2p,-b), hallar a, b y p para que: A + B = (8,-4) y A sea paralelo a B.

2) Demostrar que los tres puntos: (2,0,-1), (3,2,-2) y (5,6,-4) son colineales.

3) Demostrar que los puntos (4,0,1), (5,1,3), (3,2,5) y (2,1,3) son los vértices de un paralelogramo.

4) Demostrar que si D = B + C, B//A y D//A, entonces C//A.

5) Sean: A = (a1,a2) y B = (b1,b2) dos vectores del plano que no tienen la misma dirección y distintos del vector cero. Probar que para cada vector C = xA + yB, existen los escalares x e y, y expresar x e y por medio de c1 y c2.

6) Si un cuadrilátero OABC de V2 es un paralelogramo que tiene a A y C como vértices opuestos, demostrar que:A + ½.(C-A) = ½B. ¿Qué teorema relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta igualdad? Enunciarlo.

7)

11

C E D

A B

F

Page 12: Algebra Vectorial

8) Dados dos vectores: A = (a1,a2) y B = (b1,b2), demostrar que: -a1b2 + a2b1 = 0 si y sólo si A y B son paralelos.

En los ejercicios del 9-12, se dan las coordenadas de dos puntos A y B. A es el extremo inicial y B es el extremo final de la representación de un vector. Decir cuál es el vector correspondiente en cada caso.

9) A = (3, 5) , B = (6, 8)

10) A = (6, -4) , B = (-1, 5)

11) A = (4, -2) , B = (-3, 6)

12) A = (-5, -2) , B = (-5, 6)

13) Demostrar que al unir los puntos medios de un cuadrilátero plano, se obtiene un paralelogramo.

14) Los puntos (1, 2), (3, 1) y (8, 4) son tres vértices de un paralelogramo. Calcular las tres posibles posiciones del cuarto vértice.

15) Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

16) Demostrar vectorialmente que el segmento de la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado, y su longitud es la mitad de este último.

17) Demostrar que los puntos (2, 9, 1), (3,11, 4), (0, 10, 2) y (1, 12, 5) son los vértices de un paralelogramo.

En los ejercicios del 18-22, sean A = (1, 2, 3), B = (2, 2, -1) y C = (4, 0, -4). Hallar:

18) A - B y B - A

19) A - B + 2C

20) 2A + 4B - C

21) D, siendo 2D - 3A = C

22) D, siendo 2A + B - C + 3D = 0

23) Representar el vector A = (8, 8, 6) y hallar un vector B tal que:

a) B tiene igual dirección y sentido que A, pero la mitad de su módulo.

b) B tiene igual dirección, pero sentido opuesto a A, siendo su módulo la cuarta parte de A.

24) Demostrar que si D = B + C y B es paralelo a A, entonces D es paralelo a A, si y sólo si C es paralelo a A. Ilustrar este resultado gráficamente.

25) Dibujar los vectores A = (2, 1) y B = (1, 3) partiendo del origen en el plano. En la misma figura dibujar el vector C = A + tB para cada uno de los valores siguientes de t: t = 1/3, t = ½, t = 1, t = 2, t = -1, t = -2.

26) En una nueva figura dibujar los vectores A y B del ejercicio anterior. Sea C = xA + yB donde x e y son números reales.

12

Page 13: Algebra Vectorial

a) Dibujar el vector C para los siguientes pares de valores: (1/2, ½), (1/4, ¾), (1/3, 2/3), (2, -1), (3, -2), (-1/2, 3/2), (-1, 2).

b) Dígase cual es el lugar geométrico de C cuando x e y recorren independientemente los intervalos 0 < x < 1, 0<y<1 y dibújese este lugar.

27) Sean A =(1, 3, 6), B =(4, -3, 3),, y C =(2, 1, 5) tres vectores de V3. Determinar los componentes de cada uno de los vectores:

a) A + B; b) A - B; c) A + B - C; d) 7A - 3C; e) 2A +3 B – C

28) Sean A =(2, 1) y B =(1, 3). Demostrar que todo vector C =(c1, c2) de V2 puede expresarse en la forma C =xA + yB. Expresar x e y en función de c1 y c2.

29) Sean A=(1, 1, 1), B=(0, 1, 1) y C =(1,1,0) tres vectores de V 3 y D =xA + yB + zC, donde x, y , z son escalares.

a) Determinar las componentes de D.

b) Hallar x, y , z tales que D =(1 2, 3)

c) Si D =0, demostrar que x = y = z =0

30) Sean A =(1,1,1), B=(0,1,1) y C =(2,1,1) tres vectores de V3, y D = xA + yB + zC, en donde x, y y z son escalares.

a) Determinar los componentes de D

b) Hallar x, y ,z no nulos tales que D = 0

c) Demostrar que ninguna elección de x, y y z hace D =(1, 2, 3)

31) Sean A =(1,1,1,0), B =(0,1,1,1), C =(1,1,0,0) tres vectores de V4, y D =xA + yB + zC siendo x, y y z escalares.

a) Determinar los componentes de D.

b) Si D =0, demostrar que x = y = z = 0

c) Hallar x, y y z tales que D =(1, 5, 3, 4)

d) Demostrar que ninguna elección de x, y z hace D =(1, 2, 3, 4)

32) En Vn demostrar que dos vectores paralelos a un mismo vector son paralelos entre sí.

33). Dados cuatro vectores no nulos A, B, C, D de Vn tales que C =A + B y A es paralelo a D. Demostrar que C es paralelo a D si y sólo si B es paralelo a D.

34) a) Demostrar, para los vectores de Vn las propiedades de la adición y de la multiplicación por escalares.

b) Mediante vectores geométricos en el plano representar el significado geométrico de las dos leyes distributivas (c + d)A = cA + dA y c(A + B) = cA + cB.

13

Page 14: Algebra Vectorial

35). Si un cuadrilátero OABC de V2 es un paralelogramo que tiene A y C como vértices opuestos, demostrar que A + (C - A)/2 = B/2. ¿Qué teorema relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta igualdad?

Introduzcamos un nuevo tipo de multiplicación, llamado producto escalar o interior de dos vectores en Vn. Si A = (a1, ... , an) y B = (b1, ... , bn) son dos vectores de Vn, su producto escalar se representa por A.B y se define con la igualdad:

a) A . B = B . A “conmutativa” (PCPE)b) A.( B + C) = A.B + A.C “distributiva” (PDPE)c) c(A . B ) = ( cA ). B = A . ( cB ) “homogénea” (PHPE)d) A . A > 0 si A ≠ 0 “positividad” (PPPE)e) A . A = 0 si A = 0 “nulidad” (PNPE)

Demostraremos dos de éstas propiedades para facilitar al alumno la demostración de las otras:

a) A.B = B.A

d) A . A > 0 si A 0 / PPPE ( positividad)

Si A y B son dos vectores de Vn,, tenemos: (A.B)² (A.A)(B.B)

Además el signo de la igualdad es el válido si y sólo si uno de los vectores es igual al producto del otro por un escalar, esto es, si A = cB.

Demostración: .

14

Page 15: Algebra Vectorial

Haciendo: C = xA - yB, donde x = B.B e y = A.B

Veamos la naturaleza del vector C:

Como B es un vector cualquiera de Vn,, entonces B . B 0 x 0 / PPPE y PNPE

Si y = y R

Si x 0 e y R C ≠ 0 y C = 0

PRIMER CASO: cuando C = 0:

Se da cuando A = B = 0 y también si – yB es el opuesto de xA, esto último exige que A y B sean paralelos, esto es, que A = cB ó B = cA, ya que un vector y su opuesto tienen la misma dirección.

Pero podemos comprobar que esta última condición incluye a la primera, dado que el vector cero se genera a través del vector cA, o cB, cuando hacemos c = 0, esto es, el vector cero es paralelo a cualquier vector de Vn, por lo tanto si A = 0 ó B = 0 ó si los dos son iguales al vector cero, es equivalente a decir que A = cB

A . B = ( cB ) . B = c( B.B ); A .A = ( c B ) . ( cB ) = ; B . B = B . B

Reemplazando en la desigualdad de Cauchy – Schwarz:

Por tanto cuando A = cB se cumple la igualdad.

SEGUNDO CASO: si C ≠ 0 :

Se dará cuando A cB y cuando A y B 0

Si es así entonces C . C > 0 / PPPE

C . C = ( xA – yB ) . ( xA – yB ) = x² (A . A) - 2xy (A . B) + y² (B . B) > 0 / PDPE y PCPE

Reemplazando los valores de "x" e "y" en la desigualdad y operando:

(B . B)²(A . A) - 2(B . B)(A . B)² + (B . B)(A . B)² = (B . B)²(A . A) - (B . B)(A . B)² > 0

(B . B)(A . B)² < (B . B)²(A . A)

Como B . B > 0 (A . B)² < (B . B)(A . A) lqqd

Vamos a dar la definición de Norma de un vector, estudiando en primer lugar los casos más particulares para luego inducir el caso general.

En la figura 2.18 se tiene un vector A = en V1

En donde

15

A A

o

Page 16: Algebra Vectorial

Por tanto la //A// = / /

Luego:

La figura 2.19 muestra el vector posición del punto A en V2; por el teorema de Pitágoras sabemos que:

Luego:

La figura 2.20 extiende el caso a V3:

Teniendo en cuenta los casos particulares vistos anteriormente, es muy fácil afirmar que, si A es un vector en Vn, su longitud o norma que se designa con ║A║ se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, mediante la igualdad:

De donde:

Si A es un vector en Vn y "c" un escalar, se cumplen las siguientes propiedades:

1) A> 0 si A 0 “positividad” (PPN)2) A = 0 si A = 0 “nulidad” (PNN)3) cA = │c│A “homogénea” (PHN)4) A + B A + B “desigualdad triangular” (DTN)

Para un par de vectores cualesquiera A y B de Vn, se cumple que:

A+B² = (A+B).(A+B) = A.A + 2A.B + B.B = A² + B² + 2A.B (1)

16

Si tenemos dos vectores de Vn ortogonales, como se muestra en la figura 2.21, podemos observar que las normas de dichos vectores y la norma del vector suma, forman un triángulo rectángulo, en donde la hipotenusa es //A+B//. De modo que:

/ T. Pitágoras (2)

Aplicando la propiedad transitiva en (1) y (2):

a2

0

A

//A//

y

xa1

x

z

y

A

d

//A//

A+B

//B//

0 / A// A A A

B

//A+B//

Page 17: Algebra Vectorial

Luego:

Ejemplo 2.6:

Si: A = (2,1,-1) y B = (6,-1,2), determinar un vector C de modo que: C//A y B.C = 18

Si C // A: C = cA = c (2, 1, -1) = (2c, c, -c)Si B . C = 18B .C = (6,-1,2) . (2c, c, -c) = 12c –c -2c = 9c = 18 luego c = 2

Por tanto: C = ( 4, 2, -2)

Ejemplo 2.7:

Suponiendo que en lugar de definir el producto escalar de dos vectores A y B de Vn por la fórmula:

usamos la definición siguiente:

Ver si cumple las propiedades conmutativa, distributiva y de positividad.

a) Conmutativa (sí cumple):

b) Distributiva (no cumple):

: definición de producto escalar y suma de vectores.

c ) Positividad: Si A 0 → A.A > 0

17

Si A B A . B = 0

Page 18: Algebra Vectorial

Por tanto:

Ejemplo 2.8:

Demostrar la propiedad homogénea y la desigualdad triangular para la norma de un vector.

a) Homogénea: cA = c A

cA 2 = [( c.A )( cA )]½ /Def. de //A//

cA 2 = [ c² ( A . A ) ]½ /PHPE= (c²)½(A.A)½ /PDPNR

Sacando raíz cuadrada: cA = c A dado que //A//>0

c) Desigualdad triangular:

0 < A+B A + B como las normas son siempre positivas

Elevando al cuadrado: A + B² ( A + B )² el signo de la desigualdad no varía. (1)

Desarrollando ambos miembros de la desigualdad:

A+B ² = (A + B) .(A + B) = A . A + 2A . B + B . B = A ² + 2A.B + B ² (2)

( A + B )² = A ² + 2A B + B ² (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): A ² + A . 2A . B + B ² A ² + 2A B + B ²

Simplificando:

A . B // A // // B // y nuestro problema se reduce a demostrar esta última desigualdad.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz sabemos que:

(A . B)² (A . A)(B . B) de donde: (A . B)² A ² B ² , sacando raíz cuadrada:

A . B A B

Por propiedad del valor absoluto: - //A////B// A . B //A////B//

Esta desigualdad corresponde a la de Cauchy – Schwarz, expresada en función de la norma, vemos que ésta incluye a la desigualdad triangular, por lo tanto podemos afirmar que es verdadera.

Ejemplo 2.9:

Se tiene que A = (m,2m), B = (2m,p), B//A. Determinar B , si

Si B = tA = t(m,2m) = (mt,2mt) = (2m,p) /Igualdad de vectores

Resolviendo: t = 2 y p = 4m entonces: B = (2m, 4m) AB=B-A=(2m, 4m)-(m, 2m)=(m, 2m)

18

Page 19: Algebra Vectorial

B-A ² =AB . AB = m² + 4m² = 5m² = 80 por tanto m = 4 entonces B = (8,16)

Luego: Ejemplo 2.10:

Sean A, B y C vectores de Vn diferentes al vector cero. Si A y B son paralelos y A es ortogonal a C, demostrar que B también es ortogonal a C.

Los datos son: A, B, C 0 ; B = tA y A .C = 0

producto escalar: B.C = (tA).C = t(A.C) = t(0) = 0 Como ningún vector es nulo y el producto escalar es cero, demostramos que B y C son ortogonales.

Ejemplo 2.11:

Dados los vectores A = ( 2, -1, 1), B = (1, 2, -1), y C =(1, 1, -2) de V 3.. Hallar los vectores D de la forma xB + yC ortogonales a A y de longitud unidad.

Como D = xB + yC = x(1, 2, -1) + y(1, 1, -2) = (x + y, 2x + y, -x - 2y )

Como D A: D . A = 0 2(x + y) – (2x + y) + (-x - 2y) = 0

-x - y =0 x = -y por tanto: D = (0, -y, -y)

Si //D//=1 //D// =

Por la transitiva: =1 y = ; En consecuencia: D = (0, , )

Ejemplo 2.12 :

Si A = (1, -1, 2) y B = (2, 1, -1). Hallar un vector no nulo C de V3 que sea ortogonal a A y a B.

Si A C A . C =0 y si B C B . C = 0

Si hacemos C = (x, y, z): A . C = x – y + 2z = 0 y B . C = 2x + y – z = 0

Haciendo z = t:

Resolviendo en función de t: x = -t/3 e y = x + 2t = -t/3 + 2t = 5t/3

Por lo tanto: C = ( -t/3, 5t/3, t ) = t( -1/3, 5/3, 1 ) siendo t un número real cualquiera.

Ejemplo 2.13:

Demostrar si es o no cierta la siguiente proposición referente a vectores de Vn. Si A . B = A . C = 0 y A 0, entonces B = C.

Si A . B = A . C A . B – A . C = 0 A . ( B – C ) = 0 /PDPEPara que esta igualdad sea cero, A = 0 ó B – C = 0, como A 0 por hipótesis entonces B – C =0 luego B = C que es lo que queríamos demostrar.

19

Page 20: Algebra Vectorial

Ejemplo 2.14:

Demostrar si es o no cierta las siguientes proposiciones:

a) Si A es ortogonal a B, // A + xB // // A // para todo real x.

Si A B A . B = 0

Como // A + x B // // A // > 0 /PPN si elevamos al cuadrado el signo de la desigualdad no cambia:

b) Si // A + xB // // A // para todo real x, A es ortogonal a B

Por el apartado anterior tenemos que:

Luego el conjunto solución será: , conjunto que

no abarca todo el campo real, por lo tanto si se quiere que x sea cualquier real es necesario que A.B=0

36) Sean A = (5, 2), B = (-3, -4) y C = (4, 7). Calcular:

a) A . B

b) (2A + 3B ).C

c) (B + C).(B - C)

37) Si: A = (2, 1, -1) y B = (1, -1, 2), hallar un vector C no nulo de modo que: A .C = B .C = 0

38) Si: A = (2, -1, 2) y B = (1, 2, -2):

a) Hallar dos vectores C y D de V3 que satisfaga todas las condiciones siguientes: A - D = C , B.D = 0 y que C tenga la misma recta de acción que B.

b) Hallar los valores posibles de x e y tales que C = xA + yB y que B.C = 0

20

Page 21: Algebra Vectorial

P

y

Q60°

Qx

39) Suponiendo que en V2 se define el producto escalar de dos vectores A = (a1,a2) y B = (b1b2) con la fórmula: A.B = 2a1b1 + a2b2 + a1b2 + a2b1

a) Demostrar que son válidas las propiedades distributiva y de positividad.

b) ¿Es válida la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

40) Se tienen los vectores: A = rP, B = tQ y C = (-3, 2 ). Calcular A y B si C = rP + tQ (ver figura 2.22)

41) Tres vectores de Vn (A, B y C) si se cumple que A + B - C = A + B + C. Determinar cuanto vale (A + B).C y diga que se puede afirmar de estos vectores.

42) ¿Qué punto sobre el eje y equidista de (3, -2) y (5, 6)?

43) Demostrar la verdad o falsedad de la siguiente proposición relativa a vectores de Vn: " si A es ortogonal a B, entonces A + xB A para todo número real x ".

44) Un vector de A de Vn tiene longitud 6 y otro B tiene la propiedad de que, para todo par de escalares x e y, los vectores xA + yB y 4yA - 9xB son ortogonales. Calcular las longitudes de B y de 2A + 3B.

45) Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es 90°.

46) Demostrar mediante un contraejemplo que: A.B = A.C no implica ni que B = C ni que A = 0.

47) Demostrar que si A + B = A - B, entonces A y B son perpendiculares.

48) Demostrar que (A - B).(A + B) = A² - B².

49) Demostrar que los únicos vectores unitarios ortogonales al vector unitario U = (a, b) son V1 = (b,-a) y V2 = (-b, a).

50) ¿Qué es lo que puede concluirse si se sabe que un vector es perpendicular a sí mismo?

51) Demostrar que A - B A-B para todo A,B perteneciente a Vn.

52) Si A =(2, -1, 1) y B =(3, -4, -4) , hallar un punto C tal que A, B, y C son los vértices de un triángulo rectángulo.

53) Sean A =(1, 2) y B =(3, 4) dos vectores de V2. Hallar los vectores P y Q tales que A =P + Q, sabiendo que P // B, y Q es ortogonal a B.

54) Dados dos vectores A = (1, 2, 3, 4, 5) y B = (1, ½, 1/3, ¼, 1/5). Hallar dos vectores C y D que satisfacen las tres condiciones siguientes: C paralelo a A, D es ortogonal a A, y B = C + D.

55) Formando el producto escalar de los vectores A = cosα i + senα j y B = cosβ i + senβ j, deducir la identidad trigonométrica: cos (α – β) = cosα cos β + senα sen β

56) Demostrar que dos vectores de Vn cumplen la siguiente proposición:

// A + B //² + // A – B //² = 2 // A //² + 2 // B //²

21

Page 22: Algebra Vectorial

¿Qué teorema de Geometría referente a los ladosy diagonales de un paralelogramo se puede deducir de esta identidada?

57) Sean A =(1, 2, 3, 4), B = (-1, 2, -3, 0) y C =(0, 1, 0,1) tres vectores de V4,. Calcular cada uno de los siguientes productos:

a) A . B; b) B . C; c) A . C; d) A .(B + C); e) (A - B) . C

58) Dados tres vectores A =(2, 4, -7), B =(2, 6, 3), y C =(3, 4, -5). En cada una de las expresiones siguientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener una expresión que tenga sentido. Introducir dichos paréntesis y efectuar las operaciones .

a) A . B C; b) A . B + C ; c) A + B .C; d) A B . C

59) Demostrar si es o no cierta la proposición siguiente referente a vectores en Vn: Si A.B = A.C y A0, es B = C.

60) Demostrar si es o no cierta la proposición siguiente que se refiere a vectores en V n: Si A.B=0 para todo B, es A = 0?

61) Si A =(1, -2, 3) y B =(1, 2, -2), hallar los escalares x e y tales que C = xA + yB es un vector no nulo y que C . B = 0

62) Si A =(2, -1, 2) y B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V 3 . Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores:

a) A + B; b) A - B; c) A + B - C; d) A – B + C

63) Si A =(1, 2, 3, 4, 5) y B =(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5), hallar dos vectores C y D de V5 que satisfagan todas las condiciones siguientes: B = C + 2D, D . A = 0 y C paralelo a A.

64) Sean A =(2, -1, 5), B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V 5. Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores:

a) A + B; b) A - B: c) A + 2B; d) A - 2B; e) 2A - B

65) En cada caso hallar un vector B de V2 tal que B . A = 0 y //B// = //A// si:

a) A = (1, 1); b) A =(1, -1); c) A =(2, -3); d) A =(a, b)

66) Sean A = (1, -2, 3) y B =(3, 1, 2) dos vectores de V3. En cada caso, hallar un vector C de longitud unidad paralelo a:

a) A +B; b) A - B; c) A + 2B; d) A - 2B; e) 2A- -B

67) Dados los vectores de V3 A = (4, 1, -3), B =(1, 2, 2), C =(1, 2, -2), D =(2, 1, 2) y E =(2, -2,-1). Determinar todos los pares ortogonales.

68) Hallar todos los vectores de V2 que tienen la misma longitud que A y le son ortogonales si:

a) A = (1, 2), b) A = (1, -2); c) A =(2, -1); d) A =(-2, 1)

69) Si A =(1, -1, 2) y B = (2, 1, -1), hallar un vector no nulo C de V5 ortogonal a A y a B.

70) Dados los vectores A =(2, -1, 1), B =(1, 2, -1), y C =(1, 1, -2) de V 3. Hallar los vectores D de la forma xB + yC ortogonales a A y de longitud unidad.

22

Page 23: Algebra Vectorial

A+B//B//

A

//A+B//

0 P B

//A//

71) Demostrar que para dos vectores A y B se tiene la identidad:

A B A B A B y por tanto A B si y sólo si A B A B 2 2 4 0. .

Interpretar este resultado geométricamente en V2; las diagonales de un paralelogramo son iguales si y sólo si el paralelogramo es un rectángulo.

72) Un vector de Vn tiene longitud 6. Un vector de Vn tiene la propiedad de que para todo par de escalares x e y los vectores xA + yB y yA - 9xB son ortogonales. Calcular las longitudes de B y de 2A + 3B.

73) Dados en Vn dos vectores A y B no nulos y no paralelos, demostrar que existen vectores C y D que satisfacen las tres condiciones del ejercicio 21 y expresar C y D en función de Ay B.

74) Demostrar si es o no cierta cada una de las proposiciones siguientes relativas a vectores en Vn:

a) Si A es ortogonal a B,, //A + xB// //A// para todo número real x.

b) Si //A + xB// //A// para todo número real x, A es ortogonal a B.

El ángulo que forman dos vectores, es aquel que tiene en su vértice la cola de los dos vectores, como se muestra en la figura 2.23.

Al estudiar el vector suma A + B, se dedujo que su módulo era igual a:

Por definición de norma sabemos que:

Aplicando la propiedad transitiva, tenemos:

=

De donde se deduce que: A . B = //A// //B// cos

Luego:

23

Page 24: Algebra Vectorial

0 P B

A

//A//

Dados dos vectores A y B de Vn, tal que A cB, definimos vector proyección de A sobre el vector B, como el vector que tiene su cola en la cola de B y su flecha en el pie de la perpendicular bajada de la flecha de A a la recta de acción de B.

Eliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros de la igualdad por B:

B . A = B . (cB + PA) = B . (cB) + B . PA = c(B . B) + 0 / PA B y PHPE

a) Módulo del vector proyección:

En consecuencia tenemos que:

::

24

Según la definición el vector proyección de A sobre B, es un vector cB, como se muestra en la figura 2.24, de donde se deduce que, P = cB, luego nuestro problema se reduce a calcular c.

Para poder relacionar este vector con el vector A, nos inventamos el vector PA, que es ortogonal al vector B, y por lo tanto PA . B=0. Este vector permite afirmar que el vector A = P + PA

Como P = cB: A = cB + PA

b) Sentido del vector proyección:

Como el vector proyección, es un vector P = cB, su sentido dependerá del signo de c, como c es igual a

y como A . B = //A// //B// cos :

Como las normas son siempre positivas, el signo de c dependerá exclusivamente del cos, luego para facilitar ver la variación del coseno, hacemos su gráfica, que se adjunta.

0 π/2 π 3 π/2 2 π x x

1

-1

y = cosx

y

(+) (+) ( + )

(-) - )

Page 25: Algebra Vectorial

j 1

0 j y o i

z

x

y

x

k 1

1

(b)

1(a) i

i i

1

c) Dirección del vector proyección: como P = cB, entonces la dirección del vector proyección P. Será igual a la dirección del vector B.

“Los vectores coordenados unitarios son aquellos que tienen su cola en el origen, tienen como recta de acción los ejes coordenados, su sentido coincide con el positivo de éstos y su longitud es la unidad. Por lo tanto habrá tantos vectores como ejes y si el sistema es ortogonal los vectores coordenados unitarios serán ortogonales entre si.”

Teniendo en cuenta la descripción anterior, los vectores coordenados unitarios en Vn, serán los "n" vectores E1 = (1, 0, 0, ... , 0, 0), E2 = (0, 1, 0, ......, 0, 0),...... En = (0, 0, 0, ... , 0, 1), en donde el k-ésimo componente de Ek es igual a 1 y todos los demás componentes son cero.Obsérvese que:

Teorema:

“Los vectores coordenados unitarios permiten expresar todo vector X = (x1 x2,....,xn) de Vn como combinación lineal de ellos, esto es”:

Tesis

Demostración: Determinando los productos xE:

Debido a que los sistemas más usuales son el bidimensional y el tridimensional, vamos a convenir la siguiente simplificación, llamando a , de modo que:

- En V2 : i = (1,0) , j = (0,1) figura 2.25 a

- En V3 : i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) figura 2.25 b

1

25

Page 26: Algebra Vectorial

A

a1 x

α2 α1

//A//

a2

yEn V2 en cambio se tiene dos ejes y todo vector formará con cada uno de los ejes un ángulo, por lo tanto tendremos dos ángulos directores. Dado el vector A = ( a1 , a2 )

Vemos que el vector A forma con el eje XX un ángulo α1 y con el eje YY α2, que corresponden a sus ángulos directores.

Luego un vector A = ( 2, 3) = 2i + 3j y si B = (2, -3, 5) = 2i - 3j + 5k

Son los ángulos que un vector forma con cada uno de los ejes coordenados. Por lo tanto habrá tantos ángulos como ejes tenga el sistema, p.e. si estamos en Vn tendremos “n” ejes y por lo tanto el vector formará con cada uno de estos ejes “n” ángulos, llamados directores, debido a que definen la dirección del vector.

Análisis: vamos a realizar un estudio inductivo acerca de este tema y empezaremos en V1: En V1 todos los vectores de dicho espacio tienen la misma recta de acción y por lo tanto todos ellos forman con su único eje un solo ángulo cuyo valor es 0° ó , no se da otra alternativa. En la figura siguiente se ilustra considerando el vector A =(a1 ) y el vector B = (b1 ), de modo que el vector A tiene como ángulo director α1 = 0 y B α1 = .

Y así podemos seguir hasta llegar al espacio Vn , de modo que un vector en dicho espacio formará n ángulos directores.

Dichos ángulos serán: 1 , 2 , 3 , ............, n respectivamente.

“Vienen a ser los cosenos de los ángulos directores“.

El valor de dichos cosenos se puede inducir, haciendo un análisis de los casos particulares.

En V1 como el ángulo es igual a 0° ó entonces los cosenos directores de todos los vectores de este espacio son iguales a 1 ó –1.

Por tanto se puede decir que cos 1 = el cual será 1 o –1 dependiendo del valor que tenga la

componente, si a1 <0 el cos1= -1 y si a1 >0 entonces cos1 = 1

26

B O1 A

b1 a1

En V3 tenemos tres ejes luego el vector formará tres ángulos y serán: a1, a2 y a3 como se muestra en la figura 2.28

a1

a3

a2y

z

x

//A//

d

A

12

3

Page 27: Algebra Vectorial

En V2 apoyándonos en la figura anterior se puede deducir que:

Podemos hacer lo mismo en V3 de modo que:

Luego en Vn un vector A = (a1 , a2 , ......, an ) tendrá “n” cosenos directores que se pueden sintetizar de la manera siguiente al observar los casos particulares:

De donde:

Se conviene usar la designación α, β, y γ cuando trabajamos en V2 y en V3.

3

De donde se deduce que: como c>0 entonces /c/ = c =

Por lo tanto: Au = cA =

Vemos que el vector unitario del vector A es un vector cuyas componentes son los cosenos directores de dicho vector.

Ejemplo 2.15:

Tres vectores A, B y C de Vn satisfacen las condiciones siguientes: // A // = // C // = 5, / / B // = 1, //A- B + C // = // A + B + C //. Si el ángulo que forman A y B es /8, hallar el que forman B y C.

Solución:

27

El vector unitario de un vector dado A =(a1 , a2 ,......., an ) de Vn, es aquel vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es la unidad. Dicho vector se designa como Au

Por lo anterior se tiene que A // A luego:

Au = cA y // Au //=// cA //= /c/ // A // y // Au // = 1

Aplicando la transitiva : /c/ // A // = 1

Au =

A

AU

1

Page 28: Algebra Vectorial

Llamando al ángulo que forman B y C, y elevando al cuadrado la última igualdad para evitar raíces cuadradas tenemos

// A – B + C //² = ( A – B + C ).( A – B + C ) = A.A + B.B + C.C - 2A.B - 2B.C - 2A.C // A + B + //² = ( A + B + C ).( A + B + C ) = A.A + B.B + C.C + 2A.B + 2B.C + 2A.C

Igualando y simplificando: -A.B = B.C

-//A// //B//cos(/8) = //B// //C//cos entonces cos = -cos (/8) luego = 7/8

Ejemplo 2.16:

a) Sean: A = ( a, b, c ) y , ß, los ángulos que A forma con los vectores coordenados unitarios i, j y k, respectivamente. Calcular cos , cos ß, cos . Estos se llaman cosenos directores de A.

b) Hallar todos los vectores de V3 de longitud 1 paralelos a A.

Solución:

a) A .i = ( a, b, c ) . (1, 0, 0) = a (1)

A .i = //A// //i//cos //A//

A.i = (2)

Igualando (1)=(2) se deduce:

Análogamente: ;

b) Sea: Au = tA un vector unitario de A:

de donde

Por lo que: =

Luego:

Ejemplo 2.17

Determinar la proyección de A sobre B si A = (1,2,3) y B = (1,2,2)

Por definición sabemos que P = cB, y que P + PA = A siendo PA B

Eliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros por B:

B . ( P + PA ) = B . A

B . P + B . PA = B . A sabemos que B . PA = 0

28 0 P B

A

Page 29: Algebra Vectorial

Y como P = cB: B . (cB) = B . A despejando:

75) En cada uno de los siguientes casos, expresar A como la suma de un vector paralelo a B y un vector ortogonal a B.

a) A = (-5,8) , B = (1,1)b) A = (1,2,3) , B = (0,0,1)c) A = (1,2,3) , B = (1,1,0)d) A = (2,1,1) , B = (1,2,0)

76) En cada uno de los siguientes casos, calcular el componente y la proyección de A sobre B.

a) A = (1,1,1) , B = (1,0,1)b) A = (1,0,1) , B = (1,1,1)c) A = (1,2,-3,6) , B = (1,0,1,0)d) A = (a1,a2,a3) , B = (0,a2,0)

77) Dados tres vectores no nulos A, B y C de Vn, suponer que el ángulo que forma A y C es igual al

que forman B y C. Demostrar que C es ortogonal al vector //B// A - //A// B

78) Formando el producto escalar de los dos vectores (cos a, sen a) y (cos ß, sen ß), deducir la identidad trigonométrica: cos(a-ß) = cos a.cos ß + sen a.sen ß.

79) Dados los vectores: U = 3i-j y V = ai+4j ,

a) Determinar "a" de forma que U y V sean ortogonales.b) Determinar "a" de forma que U y V tengan sentidos opuestas.

80) Dados tres vectores A, B y C de V2, siendo A ortogonal a C del mismo módulo, demostrar que: //A//²//B//² = (A.B)² + (C.B)²

a) Probar que: U =( , )i+( )j y V=(- )i+( )j,son vectores unitarios perpendiculares.

b) Expresar i en la forma xU + yV.c) Expresar j en la forma xU + yV.d) Expresar -2i + 3j en la forma xU + yV.

81) Demostrar que para vectores cualquiera A,B y C de Vn, siendo //B// =//C// = 1 y B.C = 0, se cumple:

A = (B.A)B + (C.A)C

82) Demostrar que para tres vectores coplanares A, B y C de Vn, , siendo B y C perpendiculares, y //B//=//C//, se cumple:

a) //B//²A = (B.A)B + (C.A)Cb) //B// ²//A//² = (B.A)² + (C.A)²

83) Para dos vectores cualesquiera A y B de Vn, demostrar que:

29

Page 30: Algebra Vectorial

a) Si: A = tB y t > 0, entonces (A.B) / (//A// //B//) = 1. b) Si: A = tB y t < 0, entonces (A.B) / (//A//// //B//) = -1.

84) Sean: A =(a1,a2), B =(b1,b2) y C =(c1,c2). Demostrar que b1=c1, si A.B = A.C y A es paralelo al eje X.

85) Tres vectores A, B, C de V3 satisfacen las propiedades siguientes: //A//=//C//=5; //B//=1; // A – B + C //=// A + B + C //. Si el ángulo que forman A y B es /8, hallar el que forman B y C.

86) Demostrar que el ángulo que forman A = (1, 2, 1) y B = (2, 1, -1) es el doble del que forman C = (1, 4, 1) y D = (2, 5, 5).

87) Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

88) Dados dos vectores A = ( cosa, - sena ) y B = ( sena, cosa ) de V2.

a. Demostrar que A y B son ortogonales de longitud unidad. Haga un dibujo en el que A y B formen un ángulo = /6.

b.Hallar todos los vectores (x, y) de V2 tales que (x, y) = xA + yB. Asegurarse de que se consideran todos los posibles valores de .

89) La identidad A . B = //A// //B// cosθ da lugar a una interpretación geométrica del producto escalar en el espacio de 3 dimensiones. Esta identidad sugiere una manera de definir ángulos entre vectores en un n – espacio. Sean A y B dos vectores del n –espacio. Demostrar que:

a)

b) Existe exactamente una θ, 0 ≤ θ ≤ π tal que A . B = //A// //B// cos θ. Esta θ se denomina ángula entre A y B.

c) ¿Es válida la Ley del Coseno en un n – espacio?

90) En relación con el ejercicio 58, sean A = (1, 1, …….., 1) y B = (1, 2, 3, ……., n):

a) Demostrar que:

b) Encontrar el límite del valor de θ cuando n crece indefinidamente ( es decir, cuando 1/n → 0)

91) Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior cuando, A = (2, 4, 6,…….,2n) y B=(1, 3, 5, ……..,2n-1).

92) Dados los vectores A = 2i – j + k, B = i + 2j – k, C = i + j – 2k encontrar todos los vectores de longitud unidad que sean combinación lineal de B y C y perpendiculares a A.

93) Si A = 2i – j + k y B = 3i – 4j – 4k encontrar un vector C en el espacio V3 tal que los extremos de A, B y C sean los vértices de un triángulo rectángulo.

Proyecciones, ángulos y vectores coordenados unitarios

94) Determinar la proyección de A sobre B si A =(1, 2, 3) y B =(1, 2, 2).

95) a) Sean A =(6, 3, -2) y a, b, c los ángulos directores de A. Calcular los cosenos directores.

b) Hallar todos los vectores de V3 de longitud unidad paralelos a A.

96) Demostrar que el ángulo que forman A=(1, 2,1) y B =(2, 1,-1) es el doble del que forman C =(1, 4, 1) y D =(2, 5, 5).

30

Page 31: Algebra Vectorial

97) Determinar vectorialmente los cosenos de los ángulos del triángulo en el espacio de 3 dimensiones cuyos vértices son los puntos A =(2, -1, 1), B =(1, -3, -5) y C =(3, -4, -4).

98) Dados los puntos A =(1, 0, 0), B =(2, 0, 1), C =(1, 2, 2) y D =(0, 1, 1). Se pide:

a) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y Db) Determinar el área del triángulo de vértices B, C y D.c) Calcular la distancia del vértice A a la cara BCD.

Antes de definir la Envolvente Lineal, es necesario definir algunos conceptos previos que nos permitirán entender con mayor facilidad lo primero, por lo que se recomienda al alumno poner atención y bastante esfuerzo para asimilarlos. Se puede decir que es uno de los temas que presentan mayor dificultad en el Álgebra Vectorial y su aprendizaje requiere tiempo y esfuerzo por parte del alumno.

Se tiene un conjunto finito S = { A1, A2, A3, …………, Ak } de k vectores de Vn y ci є R.. Se dice que X es un vector generado por S, si X se expresa como combinación lineal de los “k” vectores de S, esto es:

Luego decimos que X depende linealmente de los k vectores de S, ó también que X es una combinación lineal de los k vectores de S, son formas de decir lo mismo y que el alumno deberá familiarizarse con esa terminología.

Cuando estudiamos el vector cA, vimos que cuando c = 0 entonces cA = 0, esto es, generamos el vector cero a partir del vector cA haciendo c = 0. En nuestro caso generaremos al vector cero a través de X, luego X = 0 si ci = 0 para todo i = 1,2,....,k., esto es, si .

Luego X = ci A1, + ci A2+ ci A3, …………,+ ci Ak = 0A1 + 0A2 + …….+ 0Ak = 0 + 0 + ………+ 0 = 0

A esta generación del vector cero se le llama forma trivial, y la disfruta todo conjunto de vectores S de Vn. Ya que su generación depende exclusivamente del escalar ci , esto es, de hacer ci = 0 y no de los vectores que conforman S.

“Por tanto afirmamos que, todo conjunto S finito de vectores de Vn, genera al vector cero de modo trivial”.

Se aconseja al alumno estudiar detenidamente el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.

Supongamos que S ={ A, B } de Vn, entonces el vector generado por S será X = cA + dB, luego decimos que X es un vector que depende linealmente de A y B, o que X es un vector generado por A y B.

Ahora si A y B son vectores distintos del vector cero, el conjunto S podrá generar al vector cero de dos maneras, que corresponden a las dos operaciones presentes, el producto de un escalar por un vector y la suma de vectores.

31

Page 32: Algebra Vectorial

Es necesario hacer notar que la generación del vector cero de modo trivial, se origina por el hecho de que A y B son paralelos, esto es, A = eB. Teniendo en cuenta lo que estamos estudiando podemos decir que el vector A es un vector generado por B, o que el vector A depende linealmente de B, por lo tanto A y B son dos vectores dependientes, en consecuencia el conjunto S = {A, B} será un conjunto de vectores linealmente dependiente.

Pero si A eB , es decir, tienen diferente dirección, esto hace imposible que el vector cA sea el opuesto de dB. Por tanto no existen valores reales de c y d distintos de cero que hagan que X = 0

En este caso el conjunto S genera al vector cero de una sola manera, y esa manera es la forma trivial, esto es, cuando los escalares c y d son iguales a cero. En este caso decimos que el conjunto S genera al vector cero con unicidad..

1. La primera se da por el producto de un escalar por un vector y que corresponde a la forma trivial, que es el modo de generar al vector cero que goza todo conjunto S. Es decir si hacemos que c = d = 0 entonces X = 0A + 0B = 0 por tanto X = 0.

2. La otra manera de generar al vector cero se da por la suma de vectores, dado que X = cA + dB, es necesario que el vector dB sea el opuesto del vector cA. Pero para que esto sea posible A y B deben tener la misma dirección ( A = eB ), ya que lo que jamás podrá hacer el escalar sobre el vector es cambiarle la dirección. Por tanto si dB es el opuesto de cA, entonces resulta que X = cA + dB = 0, en este caso el alumno podrá observar que c y d son distintos de cero, y por lo tanto la generación no se realiza del modo trivial. Para que el alumno lo entienda mejor lo haremos de otra manera.

Operando matemáticamente tendríamos:

Si X = cA + dB, y como A = eB, entonces: X = c( eB ) + dB = ceB + dB = ( ce + d )B

Como la generación del vector cero me exige que X = 0 entonces ce + d = 0, dado que B 0, entonces ce = - d. Es decir, basta que se cumpla esta igualdad para que X = 0. En este caso vemos que el conjunto S genera al vector cero, de un modo no trivial, dado que los escalares c y d son distintos de cero.

Al ser A eB, decimos que A no es generado por B y por lo tanto A y B son dos vectores linealmente independientes, en consecuencia el conjunto S = { A, B } será un conjunto de vectores linealmente independiente..

De esta manera hemos introducido dos conceptos nuevos, la generación del vector cero con unicidad y la independencia lineal de un conjunto finito de vectores.

1. “Decimos que un conjunto S de k vectores de Vn, genera con unicidad al vector cero si dicho conjunto S genera al vector cero de una única manera, esto es, del modo trivial.”

32

Como el escalar nunca podrá cambiar la dirección a A ó B, cA no podrá ser opuesto de dB

B

A

On

Si A eB

Si A = e B, existe un real e’ tal que - A = e’BLuego A + e’B = A + ( - A ) = 0

Si A = eB

A

O

B

e’B

Page 33: Algebra Vectorial

2. “Decimos que un conjunto S de k vectores de Vn, es linealmente independiente si genera con unicidad al vector cero”.

3. “ En caso contrario decimos que S es un conjunto de vectores linealmente dependiente”.

Vamos a resolver dos ejemplos que ilustren al alumno estos conceptos:

Ejemplo 2:

Dado el conjunto S ={ i, j, k } de V3, formado por los vectores coordenados unitarios, demostrar que dicho conjunto es linealmente independiente.

El vector generado por S será: X = ci + dj + ek = (c, d, e) / Def. de vector generado

Como la generación del vector cero debe hacerse a través de X = (0,0,0)

Entonces por la transitiva: (c, d, e) = (0, 0, 0) por igualdad de vectores

Por tanto la generación del vector cero me exige que c = d = e = 0, luego la generación se realiza de modo trivial, en consecuencia el conjunto S es linealmente independiente.

Ejemplo 3:

Dado el conjunto S = { i, j, 2i – j } de V2, se pide estudiar el conjunto S y decir si es linealmente independiente o no.

El vector generado por S será: X = c i + d j + e( 2i - j) / Def. de vector generado

Operando tenemos: X = (c + 2e)i + ( d - e)j = (c + 2e, d - e)

Como la generación del vector cero debe hacerse a través de X = 0 = (0, 0)

Entonces por la transitiva tenemos:

(c + 2e, d-e) = (0, 0) / por igualdad de vectores

Resolviendo tenemos que d = e y que c = -2e, luego para generar el vector cero basta que se cumplan dichas igualdades.

Ahora como c, d y e son escalares, existen infinitos valores de c, d y e que satisfacen dichas condiciones.

Por ejemplo si hacemos e = 1 entonces d = 1 y c = - 2, estos valores al ser reemplazados en nuestro vector nos deberá dar el vector cero: X = (c + 2e, d - e)=(- 2 + 2x1, 1-1) = (0, 0) y así podríamos seguir dando valores reales a e y obtener valores de d y c, que también hacen X = 0, luego existen infinitas formas de generar al vector cero.

“Si el conjunto S no genera con unicidad al vector cero, decimos que S es linealmente dependiente.”

Este estudio nos permite ver que existe dos tipos de conjuntos finitos de vectores, los que son linealmente independientes y los que son linealmente dependientes.

Vamos a volver a considerar al vector X definido al inicio del apartado, para poder entender mejor este concepto.

33

Page 34: Algebra Vectorial

Análisis del vector

Para conocer bien el vector X estudiaremos su generación. Vemos que X es un vector que se obtiene sumando vectores cA. Como sabemos un vector cA, se caracteriza por tener su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A.

Luego el primer sumando supone infinitos vectores que tienen que ser sumados con infinitos vectores correspondientes al segundo sumando y así sucesivamente hasta el k-ésimo sumando.

Esto nos lleva a vislumbrar que se generan infinitos vectores X, que resultan de todas las combinaciones posibles de sumar las infinitas alternativas de cada uno de los k sumandos entre si.

“La Envolvente Lineal de un conjunto finito de vectores S se define, como el conjunto de todos los vectores generados por S.. Se designa como L(S) = { X }”

La envolvente de S se puede designar de tres maneras diferentes:

1. Algebraica: L(S)

2. Analítica simplificada: X

Vamos a tratar de explicar este concepto debido a la dificultad que presenta su concepción, para esto empezaremos su estudio, viendo los casos más simples:

Ejemplo 4.

Primer Caso: Si S = A de Vn

Entonces X = cA por tanto L( S ) = X = cA

En este caso la envolvente lineal del conjunto S es el conjunto de todos los vectores cA, que se caracterizan por tener su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de su recta de acción, esto es, un espacio equivalente al unidimensional. En este caso la recta de acción de A hace de soporte de la envolvente.

Desde el punto de vista geométrico decimos que todos los vectores de dicha envolvente son colineales.

También podemos observar que la generación del vector cero, se da cuando c = 0, esto es, cA = 0 si c = 0, luego S genera con unicidad al vector cero y por lo tanto S es un conjunto de vectores linealmente independiente.

Ejemplo 5.

Segundo Caso: Si S = A, B } de Vn

34

0n

AcA

Page 35: Algebra Vectorial

Como X = cA + dB y A = tB, entonces: X = c (tB) + dB = (c t +d) B como c, t y d son escalares, c t + d será otro escalar que llamaremos “e”, luego X = e B

Por tanto la envolvente lineal de S, L(S) = { eB } que corresponde a la Envolvente Lineal de B, ahora como A = t B, también podemos decir que es igual a la envolvente lineal de A, esto es, L(A), en consecuencia L(S) = L(A) = L(B).

c2B

B

c1 AA

0n

M0

c1A A

B + cA

LB

L’A

LA

Tomamos una alternativa c2 B por ejemplo si c2 = 1 entonces c2 B = B y le sumamos todos los vectores c1A, trasladándolos paralelamente a si mismos hasta que su cola coincida con la flecha de B, entonces: los vectores B + c1A tendrán su cola en la cola de B, esto es, en el origen y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A, pero en la nueva posición ya que ha sido trasladada, esto es L’A.

Desde el punto de vista geométrico lo que hemos hecho es, hacer pasar por el punto B una recta L’A paralela a LA.

Entonces X = c1A + c2B por tanto L(S) = X = c1A + c2B }

Como se vio en el ejemplo 1, se dan dos situaciones:

1. Cuando S es linealmente independiente.2. Y cuando no lo es.

Veamos el primero, cuando A ≠ tB, esto es, cuando tiene distinta dirección, por lo tanto el conjunto S es Linealmente Independiente.

En este caso vemos que ya no es tan fácil definir la envolvente. Para determinar la naturaleza de los vectores X se hace necesario un análisis previo. Procedemos a definir a cada uno de los sumandos, esto es, c1A y c2 B como aparecen en el esquema gráfico adjunto. Teniendo en cuenta que los vectores se suman punta con cola y que todos los vectores c1A tienen su cola en el origen, hacemos lo siguiente:

Es importante tener en cuenta, que en la suma el primer vector es B, y todos estos vectores tienen su cola en el origen, por lo tanto la cola de los vectores suma B + cA, tendrán su cola en la cola del primero, esto es, de B y su flecha en cualquier punto de la recta L’A.

Ahora bien, lo que hemos hecho con B lo tenemos que hacer con todos los vectores dB. Esto implicaría, ya que cada punto de la recta de acción de B (LB ) es una flecha de un vector dB, desde el punto de vista geométrico hacer pasar por cada punto de dicha recta una recta paralela a la recta de acción de A (LA).

Hacer esto es equivalente a imaginar lo siguiente, manteniendo a LB como guía, deslizamos LA paralelamente a si misma apoyándose sobre LB, hacer esto supondría la generación del plano M. El alumno deberá tener presente que los puntos de cada una de éstas rectas me definirán las flechas del vector suma, ya que cA es el segundo y adopta las posiciones descritas.

De ese modo los vectores suma dB + cA tendrán su cola en la cola de dB, esto es el origen, y su flecha en cualquier punto del plano M definido por LA al deslizarse paralelamente a si misma apoyándose en LB. En este caso el soporte de la envolvente es el plano M.

Luego la envolvente lineal de S sería, el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al bidimensional, esto es, el plano M definido por L A y LB. En este caso todos los vectores serían coplanares.

Veamos la segunda situación, que se da cuando A = tB, esto es, cuando tienen la misma dirección. Por lo tanto el conjunto S es Linealmente Dependiente.

35

AB

0n

LA = LB

Page 36: Algebra Vectorial

análisis previo, y de modo análogo al caso anterior, se define en primer lugar a cada uno de los sumandos de X, esto es c1 A, c2 B y c3 C , como se ilustra en la figura.

El estudio del caso anterior nos permite saber como son los vectores c1A + c2B, , luego nos quedaría sumárselos a los vectores c3 C. Para hacer esto, procedemos de manera similar. Consideramos una primera alternativa de c3C, esto es c3 =1 de modo que c3 C = C y le sumamos a este vector los infinitos vectores c1 A + c2 B, trasladándolos de modo que la cola de estos vectores coincida con la flecha de C, de modo que los vectores suma C + c1 A + c2B, tendrán su cola en el origen y su

Vemos que en este caso la envolvente lineal del conjunto formado por los vectores A y B, se reduce a la envolvente lineal de un conjunto de vectores formado sólo por A o sólo por B. Esto se explica por el hecho de que uno de los vectores depende del otro.

Ejemplo 6.

Tercer Caso: Si S = A, B, C} de Vn,

Entonces X = cA + dB + eC y L(S) = X}Este estudio presenta dos situaciones:

a) Si los vectores de S son Linealmente Independientes.

b) Si los vectores de S son Linealmente Dependientes, ésta contiene dos situaciones:

1. Si son colineales2. Si son coplanares

a) Si los vectores de S son Linealmente Independientes: La definición de la envolvente lineal requiere de un

Desde el punto de vista geométrico lo que hemos hecho es hacer pasar por C un plano M’ paralelo a M 0. Como cada punto de Lc es una flecha de un vector c3 C, significa que debemos hacer pasar por cada uno de los puntos de LC un plano paralelo al plano M definido por LA y LB, la realización de esto supondría la generación dentro del espacio Vn, un espacio equivalente al espacio V3.

“Por tanto la envolvente lineal de S sería el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al espacio tridimensional”.

El alumno deberá realizar un esfuerzo para imaginar lo que acabamos de definir, debido a que el espacio tridimensional prácticamente satura nuestra visión espacial. No podemos imaginar como sería un espacio de cuatro dimensiones, y de igual manera no sabemos como seria el espacio n-dimensional Vn, sin embargo analíticamente si podemos trabajar en esos sistemas.

Puede ayudar a entender un poco mejor si hacemos la siguiente analogía, que V3 es a Vn como V1 es a V3. Deteniéndonos en lo último podemos ver que V1 esta contenido en V3, esto es, estando en V3 yo puedo trabajar como si estuviese en V1, esto lo consigo si hago que la segunda y tercera componente del vector sean permanentemente iguales a cero (0). Por ejemplo A = (a,0,0) siendo a un número real cualquiera, de esa manera el vector A tiene como recta de acción el eje XX, y por lo tanto los vectores que estudiaré tienen la misma dirección, que corresponde a un espacio equivalente al espacio unidimensional.

36

M’ LB

B c2 B M0

LC

c3C C

A

0n c1A LA

C2B

LB

Page 37: Algebra Vectorial

De la misma manera el espacio V3 contiene al espacio V2, si hacemos permanentemente la tercera componente igual a cero, esto es en un vector A = (a, b, 0), luego este vector se movería en el plano XY, que es lo equivalente al espacio V2. Así como V1 y V2 se encuentran contenidos en V3, todos los espacios inferiores al n-dimensional, están contenidos en Vn.. Volviendo al caso tercero, cuando decimos que L(S) es el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al V3, definido por LA, LB y LC, tenemos que pensar que por el hecho de que nos movemos en Vn, el espacio mencionado es una porción de este. Dicha envolvente no satura al espacio n-dimensional, aunque no podamos imaginar geométricamente como es.

b1) Si son colineales:

En este caso se dan los siguientes subcasos:

a) A = fC y B = gC b) A = fB y C= gB c) B = fA y C= gA

Resolviendo para a):

Como X = cA + dB + eC :

X = c( fC ) + d( gC ) + eC = ( cf + dg + e )C

Como c, d, e, f y g son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto cf + dg + e = h

En consecuencia X = hC y la envolvente de S, esto es , L ( S ) = { hC } = L( C )

Si resolvemos para los otros casos, siguiendo el mismo proceso, tendremos que L(S) será también igual a L(A) y L(B).

Por tanto: L(S) = L(A) = L(B) = L(C).

b2) Si son coplanares se dan los siguientes subcasos:

a) C = fA + gB b) B = fA + gC c) A = fC + gB

Resolviendo para a):

Como X = cA + dB + eC : X = cA + dB + e( fA + gB)

Entonces: X = ( c + ef )A + ( d + eg ) B

Como c, d, e, f y g son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c + ef = h1 y d + eg = h2

En consecuencia X = h1A + h2B. y la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B } = L( A, B ).

Ahora si resolvemos los otros casos tendremos que L(S) también será igual a L( B, C ) y L( A, C ).

Por tanto: L( S ) = L( A, B ) = L( B, C ) = L( A, C )

Ejemplo 7.

Cuarto Caso: Si S = A, B, C, D } de Vn,

37

O

C

B

A

On

A

B

C LA = LB = LC

Page 38: Algebra Vectorial

Luego X = cA + dB + eC + fD y L( S ) = X }, en este estudio presenta dos situaciones:

a) Si los vectores de S son Linealmente Independientes.b) Si los vectores de S son Linealmente Dependientes, ésta contiene, a la vez, tres subcasos:

1. Si son colineales2. Si son coplanares3. Si son tridimensionales

a) Si son Linealmente Independientes:

Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos inducir que la envolvente lineal de S, es el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al espacio tetra-dimensional.

b1) Si son colineales: En este caso se presentan cuatro subcasos:

a) A = fD; B = gD y C = hD b) A = f’C; B = g’C y D= h’C c) A = f’’B; C = g’’B y D= h’’B d) B = f’’’A; C = g’’’A y D= h’’’A

Resolviendo para a)

Como X = cA + dB + eC +uD:

X = c(fD) + d(gD) + e(hD) + uD = (cf + dg + eh + u)C

Como c, d, e, f , g ,h y u son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto cf + dg + eh + u = v

En consecuencia X = vD y la envolvente de S, esto es , L (S) = { vD } = L(D).

Ahora si resolvemos el problema para los casos b, c y d se tendría que L(S) será igual a L(A) y L(B) y a L(C),

Por tanto: L(S) = L(A) = L(B) = L(C)= L(D). Los vectores de la envolvente lineal de S dependerían de uno de los vectores que conforman dicho conjunto.

b2) Si son coplanares se presentan los siguientes subcasos: a) D = fA + gB y C = f’A + g’B b) D = f1 A + g1C y B = f1’A +g’1Cc) B = f2 A + g2D y B = f2’A +g’2Dd) A = f3 B + g3C y D= f3’B+g’3Ce) A = f4 B + g4D y C= f4’B+g’4Df) A = f3 B + g3C y D= f3’B+g’3Cg) A = f5 C + g5D y D= f5’C+g’5D

Resolviendo para a):

Como X = cA + dB + eC+ uD : X = cA + dB + e( f’A + g’B) + u(fA + gB ) Entonces: X = (c + ef’ + uf )A + (d + eg’+ug) B

Como c, d, e, f , g , f’, y g’ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c + ef’ +uf = k1

y d + eg’+ug = k2 ,

En consecuencia X = k1A + k2B y la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B } = L(A, B,)

38

On

A

B

C LA = LB = LC

O

C

B

A

Page 39: Algebra Vectorial

Si hacemos lo mismo para los otros subcasos veremos que L(S), también será igual a L(B, C) y L(A, C), L(C, D), L(A, D), y L(B, D) esto es:

L(S) = L(A, B,) = L(B, C) = L(A, C)= L(A,D)= L(B, D)= L(C, D)

Es decir, que los vectores de la envolvente lineal de S, dependerán de dos vectores cualesquiera de S y por lo tanto serán coplanares.

b3) Si son tridimensionales se dan los casos siguientes:

a) D = f A + g B + h C b) C = f A + g B + h Dc) B = f A + g C + h D d) A = f B + g C + h D

Resolviendo para a):

Como X = c A + d B + e C+ u D : X = c A + d B + e C + u ( f A + g B + h C)

Entonces: X = (c + u f)A + (d + u g) B + (e + u h)C

Como c, d, e, f , g , h y u son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c + u f = k 1 , d + u g = k2 y e + u h = k¿

En consecuencia X = k1A + k2B + k3C. y la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B + k3C } = L(A, B, C).

Si resolvemos los otros casos tendremos que L(S) también será igual a L(B, C, D) y L(A, C, D), L(A, B, D),

Por tanto: L(S) = L(A, B, C) = L(B, C, D) = L(A, C, D)= L(A, B, D) luego los vectores de la envolvente serán volumétricos

Generalizando: “Si S es un conjunto de vectores linealmente

independientes su envolvente lineal L(S) será el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto del espacio n-dimensional. Esto significa que L(S) = Vn.”

Un conjunto S = {A1 , ... , Ak} de vectores de Vn genera a X con unicidad si se cumplen estas dos condiciones:

1) Si S genera a X.

2) implica ci = di

Esta definición lleva al siguiente teorema:

39

On

D

B

A

C

Page 40: Algebra Vectorial

“Un conjunto S genera con unicidad a todo vector de L(S) , si y sólo si S genera con unicidad al vector cero.”Demostración:

Si L(S) = { X } y si S genera con unicidad a todo vector X: para todo

ci = di Por la definición anterior. Como la generación del vector cero se realiza a través de X: X – X = 0 (1)

Reemplazando el valor de X con las formas que asume este en (1):

= 0 / PASS

Como ci y di son dos escalares: ci – di = ei será otro escalar.

Por tanto:

Como ci = di para todo i: ci – di = 0 luego ei = 0 para todo i

En consecuencia la generación del vector cero se da cuando e i = 0 por tanto S genera al vector cero con unicidad.

“Sea S = { A1 , ... , Ak } un conjunto linealmente independiente de k vectores de Vn, y sea L(S) la envol-vente lineal de S. Todo conjunto de k + 1 vectores de L(S) es linealmente dependiente.”

Demostración:

Primero, vamos a demostrar que los vectores de S pertenecen a L(S).

El vector generado por S es:

Luego si hacemos c1 = 1 y todos los demás ci = 0 para todos los i ≠ 1: X = A1

Luego si hacemos c2 = 1 y todos los demás ci = 0 para todos los i ≠ 2: X = A2

………..Luego si hacemos ck = 1 y todos los demás ci = 0 para todos los i ≠ k: X = Ak

Como los vectores del conjunto pedido debe tener (k + 1) vectores de L(S), y estos son vectores X, entonces la situación más desfavorable para el conjunto S( k + 1) es que los “k” primeros vectores sean los “k” vectores de S, dado que estos son Linealmente Independientes por Hipótesis y el (k + 1)- ésimo vector tiene que ser un vector X, por tanto:

S(k + 1) = { A1, A2, ………, Ak, X }

Como , esto es, depende de los “k” vectores

de S, entonces el conjunto S(k + 1) será Linealmente Dependiente. Lqqd.

Un conjunto S = { A1 , ... , Ak } de Vn se denomina ortogonal si Ai.Aj = 0 siempre que i ≠ j. Dicho de otro modo, dos vectores distintos cualesquiera de un conjunto ortogonal son perpendiculares.

40

Page 41: Algebra Vectorial

Cualquier conjunto ortogonal de vectores S = { A1 , ... , Ak } no nulos de Vn es linealmente independiente.

Además, si S genera un vector X = Ai entonces los escalares c1,.....,ck vienen dados por la

fórmulas:

cj = para j = 1, ..., k

Demostración:

Como el conjunto S es ortogonal se cumple que: Ai . Aj = 0 para todo los i ≠ j

Luego si se quiere calcular c1 se multiplica a X por A1:

X . A! = =

X . A! =

Luego si se quiere calcular c2 se multiplica a X por A2:

X . A2 = =

X . A! =

Luego si se quiere calcular ck se multiplica a X por Ak:

X . Ak = =

X . Ak =

De donde se puede inducir como ley general, lo siguiente: cj = para j = 1, ..., k

Un conjunto S = { A1 , ... , Ak } de vectores de Vn es una base para Vn si S genera todo vector de Vn con unicidad. Si, además, S es ortogonal, entonces S se denomina base ortogonal.

Es decir, una base es un conjunto linealmente independiente que genera todo el espacio de Vn. Un ejemplo de base es el conjunto de vectores coordenados unitarios que, además, es una base ortogonal.

En un espacio vectorial dado Vn, las bases tienen las propiedades siguientes:

41

Page 42: Algebra Vectorial

a) Toda base contiene exactamente n vectores.

b) Cualquier conjunto de vectores linealmente independiente es un subconjunto de una cierta base.

c) Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente es una base.

99) Si A = (2,-1,1) y B = (1,2,-1) son vectores de V3, hallar unos escalares x e y tales que C = xA + yB, en el caso que:

a) C = (2,-11,7).b) C = (2,11,7).c) ¿Qué se concluye en cada caso?

100) Hallar todos los números reales t para los cuales los dos vectores (1+t,1-t) y (1-t,1+t) de V2 sean linealmente independientes.

101) Hallar todos los números reales t para los cuales los tres vectores siguientes de V 3 son independientes: (t,1,0),(1,t,1), (0,1,t)

102) a) Demostrar que un conjunto S de tres vectores de V3 es una base para V3 si y sólo si su envolvente lineal L(S) contiene los tres vectores coordenados unitarios i, j, k.b) Establecer y demostrar la generación de la parte a) para Vn.

103) Considerar los siguientes conjuntos de vectores de V3:S = {(1,1,1) , (0,1,2) , (1,0,-1)}T = {(2,1,0) , (2,0,-2)}

U = {(1,2,3) , (1,3,5)}

a) Demostrar que L(T) L(S)b) Determinar todas las relaciones de inclusión que existen entre los conjuntos L(S), L(T), L(U).

104) Designemos con A y B dos subconjuntos finitos de vectores en un espacio vectorial Vn, y con L(A) y L(B) sus envolventes lineales. Probar cada una de las proposiciones siguientes:

a) Si A B, entonces L(A) L(B)

b) L(A B) L(A) L(B)

105) Sean: A = (1,1,0), B = (0,1,1) y C = aA + bB.

a) Representar A y B.b) Si C = 0, demostrar que a y b se anulan.c) Hallar a y b tales que C = (1,2,1).d) Demostrar que no pueden elegirse a y b de forma que se tenga C = (1,2,3).

106) a) Determinar los valores de t que haga que los vectores (1─t,1,-1), (2,-t,-2) y (1,-1,-1-t) sean linealmente dependientes.

b) Determinar todas las soluciones no triviales para cada uno de los valores de t encontrados.

107) Demostrar que si los vectores: A1 , ... , Ak son linealmente independientes, entonces dichos vectores son distintos del vector cero.

En los ejercicios del 10-13, determinar si los siguientes vectores son linealmente independientes o no.

108) (2, 5, -1) , (3, -7, 0) , (0, 29, -3).

42

Page 43: Algebra Vectorial

109) (3, -7, 5) , (6, -5, 2).

110) (1, 1, 1) , (1, -1, 1) , (1, 1, -1).

111) (12, 52, -9) , (2, 6, -1) , (1, -5, 2).

112) San A, B C, tres vectores del espacio tridimensional que verifican la siguiente propiedad: Si x, y, z son escalares tales xA + yB + zC = 0 entonces x = y = z = 0.

a) Demostrar que ninguno de los vectores A, B, C pueden expresarse como combinación lineal de los otros dos.

b) Si V es un vector cualquiera de V3, probar que existen tres números reales x, y, z tales que V = xA + yB + zC. Para cada V hay una terna x, y, z (es decir, el conjunto de tres vectores linealmentes constituyen una base del espacio tridimensional.

c) Determinar x, y, z en b) cuando A = i, B = i + j, C = i + j + 3k y V= 2i – 3j + 5k

113) Dados tres vectores del espacio tridimensional, perpendiculares dos a dos, probar que son linealmente independientes. Este resultado, junto con el apartado b) ejercicio anterior demuestra que tres vectores forman una base del espacio tridimensional, que se denomina Base Ortogonal. ¿Por qué una base ortogonal parece más conveniente que las otras?

En las aplicaciones de los vectores en el espacio tridimensional a problemas de geometría y de mecánica, es frecuentemente necesario construir un vector no nulo perpendicular a dos vectores dados A y B. Esto se consigue con el producto vectorial A x B

Sean A = (a1 ,a2, a3) y B = (b1, b2, b3) dos vectores de V3. Su producto vectorial A x B (en este orden) se define como el vector:

A x B = (a2 b3 - a3b2,, a3 b1 - a1 b3, a1b2 - a2b1)= (a2b3 - a3b2 )i+ (a3b1 - a1b3)j + ( a1b2 - a2b1)k

Aplicando las propiedades de los determinantes:

Para todos los vectores A, B y C de V3 y para todo número real c tenemos:

a) A x B = - (B x A) (simetría alternada) (PSAPV)b) A x (B + C) = A x B + A x C (ley distributiva) (PDPV)c) c(A x B) = (cA) x B (homogénea) (PHPV)d) A.(A x B) = 0 (ortogonalidad respecto a A) (PORAPV)e) B.(A x B) = 0 (ortogonalidad respecto a B) (PORBPV)f) //A x B// ² = //A// ² //B// ²-(A.B) ² (identidad de Lagrange)g) A x B = 0 si A // B (condición de paralelismo)

43

Page 44: Algebra Vectorial

Teoremas: Sean A y B dos vectores linealmente independientes de V3 se tiene:

a) Los vectores A, B, AxB son linealmente independientes.

b) Todo vector N de V3 ortogonal a A y B simultáneamente, es el producto de un escalar por AxB.

Las demostraciones de estos dos teoremas se encuentran más adelante en el apartado 2.14

Procederemos a demostrar algunas de las propiedades, el alumno deberá realizar las demostraciones que faltan:

a) Simetría alternada: A x B = - (B x A)

Por definición sabemos que A x B = = -

La conmutación de dos líneas trae consigo un cambio de signo.

d) Ortogonalidad respecto a A : A.( A x B ) = 0

A x B =

Dado que un determinante que tiene dos líneas iguales su valor es cero.

g) Condición de paralelismo: A x B = 0 si A // B

Si A // B entonces A = cB luego: por definición de igualdad de vectores

Luego: A x B = =

Las propiedades utilizadas, son la homogénea y la de un determinante con dos líneas iguales.

44

Page 45: Algebra Vectorial

De la Identidad de Lagrange tenemos que: //A x B// ² = //A// ²//B// ²-(A.B) ² (1)

Y sabemos que A.B = //A// //B// cos, luego elevando al cuadrado ambos miembros:

(A .B)² = //A// ²//B//²cos² , reemplazando en (1):

//A x B// ² = //A// ²//B// ²-//A// ²//B// ²cos² = //A//² //B// ²(1 - cos² )

//A x B// ²= //A// ²//B// ²(sen² )

B

//B//

h= //B//sen

//A// A

//AxB//

AxB

a) Módulo del vector A xB:

Por tanto: //A x B// = / //A// //B//(sen ) / = //A// //B// / sen /

Como //A// > 0 y //B// > 0 entonces: // A x B // = //A// //B// / sen /

Interpretación geométrica de //A x B//:

En la figura 2.41, se deduce que en el paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha una paralela a la dirección del otro, se tiene que su base es //A// y su altura es //B//sen, luego el área del paralelogramo será:

Ap = //A// //B//sen

Podemos concluir que la norma del vector A x B coincide con el valor del área del paralelogramo, esta coincidencia abre un campo de estudio adicional al álgebra de vectores, ya que podemos calcular áreas.

b) Dirección del vector AxB:

c) Sentido del vector A x B:

El sentido del vector producto es convencional, y se elige la regla del tornillo, esto es, si el giro es a la izquierda el vector va hacia arriba, y si el giro es a la izquierda el sentido del vector es hacia abajo. En la figura 2.42 se puede apreciar que el producto va de A hacia B, luego el giro es hacia la izquierda por lo tanto

45

M

BxA

A

BAxB

O

Para definir la dirección basta definir la recta de acción, para esto basta determinar un punto de la recta y su dirección.

Considerando las propiedades de ortogonalidad respecto de A y B, podemos afirmar que el vector A x B es ortogonal a la vez a A y a B y por lo tanto ortogonal al plano definido por las rectas de acción LA y LB. Si se tiene un plano cualquiera podemos trazar infinitas rectas perpendiculares a este, pero todas ellas son // entre si, y por tanto tienen la misma dirección. En consecuencia se puede afirmar que la dirección ortogonal al plano es única y en consecuencia si el plano esta definido lo estará su dirección . Respecto al punto, este será el origen. Al quedar definido el punto y su dirección, la recta de acción quedará definida.

Page 46: Algebra Vectorial

AxB

B

0A

Y //C// ² = C .C = (B x A – B ). (B x A – B) =

= //B x A// ² - 2(B x A).B + //B// ²

//C// ² = //B x A// ² + // B // ² (relación pitagórica)

El que //B// = //C// equivale decir que //B x A// = 0, lo cual se cumple si A y B son dependientes, lo cual es falso. Por tanto ..

el vector A x B va hacia arriba como se muestra en la figura. Si el producto fuese B x A, en la figura vemos que al ir de B hacia a A, el giro es hacia la derecha, por lo tanto el sentido de B x A será hacia abajo.

Ejemplo 2.11:

Hallar un vector de longitud unidad en V3 ortogonal a la vez a: A = i - 2j + 3k y B = - 3i + 2j - k.

Primero hallaremos un vector ortogonal a A y B a la vez:

A x B = = = (-4, -8, -4)

El vector pedido X será paralelo al vector A x B y su norma igual a la unidad, luego X = c(A x B) y su norma // X // =1Por tanto: X = c(-4, -8, -4) = - 4c(1, 2, 1) y su norma // X // = /- 4c / / = 4/c/

Como // X // =1 entonces: 4 /c/ =1

De donde se obtiene que /c/ =1 / 4 c = 1 / 4

Luego X = 1 / 4 (-4,-8,-4) = 1/ (-1, -2, -1)

Ejemplo 2.12:

Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V3 y sea C = ( B x A) -B.

a) Demostrar que A es ortogonal a B + C.b) Demostrar que el ángulo que forman B y C satisface: /2< < .c) Si //B// = 1 y // B x A // = 1, calcular la longitud de C.

Solución:

a) Si A es ortogonal a B + C, entonces debe cumplirse que A . ( B + C) = 0.

Tenemos que: Si C = (B x A) - B entonces B + C = B x A. Multiplicando escalarmente por A a ambos miembros: A .( B + C) = A .(B x A) = 0, debido a que A es ortogonal a B x A.

Concluimos que A .( B + C) = 0 y por ende A ( B + C )

b) Calculamos el B.C: sabemos que B .C = //B// //C// cos

Por hipótesis sabemos que B = (B x A) - B, luego: B.C = B.(B x A) – B .B = 0 - //B// ² / (PORBPV)

cos = (1) luego / 2 3 / 2

Pero nos dicen que , porqué es así? Asumamos la posibilidad de que = entonces cos =-1 luego si reemplazamos en (1): //B//=//C//

¿Será esto posible? Calculemos la //C//: Como C = B x A - B

46

Page 47: Algebra Vectorial

C

B

A

B + C = B x A

θ

B + C = B x A

Por otro lado vemos que si > entonces como B x A = B + C. el vector B x A tendría sentido contrario, como se muestra en la figura y esto no es posible, y por lo tanto no puede ser mayor que .Luego / 2

c) Sabemos que: //C// ² = //B x A// ² + //B// ² = 4 + 1 = 5

Ejemplo 2.13:

Demostrar la propiedad f ) enunciada en 2.13.2.

//A x B// ² = (A x B).(A x B) = (a2 b3 - a3 b2) ² - (a3 b1 - a1b3 ) ² - (a1 b2 - a2 b1) ²

//A// ²//B// ²-(A.B) ² = (a1²+ a2² + a3²) (b1² + b2² + b3²) - (a1b1 + a2b2 + a3b3) ²

Al desarrollar las operaciones indicadas se verifica que los segundos miembros coinciden, lo cual demuestra la propiedad.

Ejemplo 2.14:

Demostrar los teoremas enunciados en 2.13.2.

a) Si A y B son linealmente independientes, significa que dichos vectores generan a todo vector que se encuentran en el plano definido por las rectas de acción de A y B.

Como A x B es ortogonal a A y a B a la vez, significa que es ortogonal al plano y por lo tanto no puede ser generado por A y B, concluyendo que A, B y A x B son tres vectores linealmente independientes.

Otra forma de demostrar su independencia es demostrando que dichos vectores generan al vector cero con unicidad Para probar la independencia lineal, hagamos la combinación lineal y probemos que los escalares deben ser cero: aA + bB + cA x B = 0

Multiplicando escalarmente ambos miembros por A x B y teniendo en cuenta que A.A x B = B.A x B=0

aA.(A xB) + bB.(A xB) +( cA xB).(A xB ) = 0 + 0 + c//A x B// ² = 0 luego c = 0

Por consiguiente: aA + bB = 0

Para que esta suma sea cero, existen dos alternativas que a = b = 0 ó que aA sea el vector opuesto de bB, para que esto sea posible es necesario que A y B sean paralelos esto es A = cB, pero esto no puede ser ya que A y B son linealmente independientes por hipótesis.

Luego a = b = c = 0, por lo tanto A, B y A x B generan al vector cero de un modo trivial, esto es, con unicidad en consecuencia dichos vectores serán linealmente independientes.

47

Page 48: Algebra Vectorial

b) Todo vector N de V3 ortogonal a A y B simultáneamente, es el producto de un escalar por A x B.

Si A x B es ortogonal a A y a B a la vez, todo vector que goce de la misma característica será paralelo a Ax B, por tanto nuestro vector N = c(A x B)

Ejemplo 2.15

Demostrar que //A x B// = //A// //B// si A y B son perpendiculares.

Solución: Por la la identidad de Lagrange sabemos que: //A x B// ² = //A// ² //B// ² - (A.B) ²

Si A B: A.B =0 entonces //A x B// ² = //A// ² //B// ²- (0) ²= //A// ² //B// ²

Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: / //A x B// / = / //A// //B// /=// //A// //B// /

Como las normas son siempre positivas: //A x B// = //A// //B// lqqd

114) Sean A = - I + 2k, B = 2i + j - k, C = I + 2j + 2k. Calcular en función de i, j, k los siguientes vectores:

a) (A x C) x B.b) (A + B) x (A - C).c) (A x B) x (A x C).

115) En cada caso, utilizar el producto vectorial para calcular el área del triángulo de vértices A,B,C:Luego determine la longitud de sus lados y el valor de los ángulos internos de dichos triángulos.

a) A = (0, 2, 2) ,B = (2, 0, -1), C = (3 ,4 ,0)b) A = (-2 ,3, 1) ,B = (1, -3, 4), C = (1, 2, 1)c) A = (0, 0, 0) ,B = (0, 1, 1), C = (1, 0, 1)

116) Sean: A = 2i – j + 2k y C = 3i + 4j - k.

a) Hallar un vector B tal que A x B = C. ¿Hay más de una solución?

b) Hallar un vector B tal que A x B = C y A .B = 1. ¿Hay más de una solución?

117) Dados dos vectores no paralelos A y B de V3, siendo A .B = 2, //A// = 1, //B// = 4. Sea C = 2(A x B) - 3B. Calcular: A .(B + C), //C// y el coseno del ángulo que forman B y C.

118) Dados dos vectores ortogonales A y B de V3, ambos de longitud unidad. Sea P un vector que satisface la ecuación P x B = A - P. Demostrar cada una de las siguientes proposiciones:

a) P es ortogonal a B y tiene longitud 2 / 2 b) P, B, P x B forman una base para V3c) (P x B) x B = -Pd) P = [A - A x B] / 2

119) Encontrar i x ( i x j) e ( i x i) x j para comprobar con ellos que la propiedad asociativa no se cumple para el producto vectorial.

48

Page 49: Algebra Vectorial

En los ejercicios del 71-75, determinar todos los vectores no nulos ortogonales a:

120) (2, -3, 4) y (-1, 5, 7).121) (1, -2, -4) y (-3, 2, -6).122) (2, 6, -4) y (3, 9, -6).123) (-1 ,1 ,2) y (1, 1, 1).

En los ejercicios del 75-78, calcular las áreas de los paralelogramos que tienen por lados los que se indican:

124) i – j + 5k y 2i + 4j - 8k.125) (1, 3, 7) y (-2, -4, 3).126) 2i + 3j = 5k e i - 2k.127) (-3 ,2 ,-4) y (1, 1, 1).

En los ejercicios del 79 - 82, calcular las áreas de los triángulos con los vértices indicados:

128) 5 i - 4j, 12k - 5j, 8i + 7j.129) (1, 5, 4), (8, 2, 3), (22, -4, 1).130) (0 ,0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1).131) (-2, 3, 1), (1, 2, 1), (1, -3, 4).

132) Sean A y B dos vectores ortogonales en V3, teniendo cada uno longitud unidad.

a) Sea C = (A x B) x A. Demostrar que // C //=1

b) Trazar una figura que muestra la relación geométrica entre A, B y A x B y utilizar esa figura para obtener las relaciones: (A x B) x A = B ; (A x B) x B = -A

133) Dados un vector no nulo A y un vector C ortogonal a A, ambos en V3. Demostrar que existe un solo vector B tal que A x B = C y A .B =1

:

Los productos escalar y vectorial pueden combinarse para formar el producto mixto C.AxB, cuyo significa-do es C .(A x B) exclusivamente. Puesto que es el producto escalar de dos vectores, su valor es un escalar. Observemos que los vectores deben pertenecer a V3.

Sean A = (a1, a2, a3 ) , B = (b1, b2, b3 ) y C = (c1, c2, c3 ) tres vectores de V3.

A x B=

49

Page 50: Algebra Vectorial

Así pues C .A x B es igual al determinante cuyas filas son los componentes de C, A y B, en ese orden y no en otro, esto es, si se conmutan las filas el determinante puede cambiar.

.

En esta figura, cos > 0 porque 0 < < /2. El área del paralelogramo que forma la base es ║A x B║, y ésta también es el área de la sección paralela a la base. Esto conduce a afirmar que el volumen del paralelepípedo es V = //A x B// //C// cos , es decir, el producto del área de la base por la altura.

Pero sabemos por el producto escalar que : C.A x B = //A x B// //C// cos

Es decir, el producto mixto C .A x B coincide con el valor del volumen del paralelepípedo que forman A, B y C. Esta interpretación geométrica permite entender la independencia lineal o no de tres vectores en V3.

Vamos a demostrar que una permutación cíclica de los vectores deja inalterado el producto mixto:

A x B.C = C x A.B = B x C.A

También, como el producto escalar es conmutativo, tenemos: A x B.C = B x C .A = C x A .B

Para tratar de aclarar un poco más este tema podemos expresar cada producto mixto de la siguiente manera:

AxB.C = // AxB // // C // cos α; BxC.A = // BxC // // A // cos β y CxA.B = // CxA // // B // cosγ

Como la norma del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por dichos vectores, se puede entender que la primera expresión corresponde al cálculo del volumen del paralelepípedo tomando como base la cara definida por los vectores A y B, la segunda tomando como base el paralelepípedo definido por B y C y la tercera por C y A.

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C

0

Volumen = C..A x B

AxB

Altura = //C//cos //C// B

Area de la base = //A x B// A

En la figura 2.45 se muestra un paralelepípedo determinado por tres vectores geométricos A,B y C no situados en el mismo plano. Su altura es //C// cos , siendo el ángulo que forman A x B y C

Page 51: Algebra Vectorial

Tres vectores A, B, C de V3 son linealmente dependientes si y sólo si A.BxC = 0.

Demostración:

Para que A, B y C sean linealmente independientes se tiene que cumplir cualquiera de los siguientes casos:

Que los tres vectores sean colineales o coplanares, en ambos casos los vectores no forman un paralelepípedo y por lo tanto V = 0, y en consecuencia su producto mixto será cero.

Ejemplo 2.16:

Haciendo uso del producto mixto, hallar los números reales t para que los tres vectores (1,t,1), (t,1,0), (0,1,t) sean linealmente dependientes.

Solución:

La dependencia se cumple si el producto mixto de los tres vectores es cero:

│ 1 t 1 ││ t 1 0 │ = (1)(t - 0) + (t)(0 – t ²) + (1)(t - 0) = 2t – t ² = t(2 - t) = 0 │ 0 1 t │

La independencia lineal se da para valores de t = 0 y t = 2.

Ejemplo 2.17:

Demostrar que: ix ( A x i) + j x (A x j) + k x (A x k) = 2A

Supongamos un vector A = .

Axi = ix(Axi)=

Axj = jx(Axj)=

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Page 52: Algebra Vectorial

Axk = kx(Axk)=

Sumando miembro a miembro:

i x (A x i) + j x (A x j) + k x (A x k) = + + =

Ejemplo 2.18:

Demostrar que el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D es: (1/6)│(B-A).(C-A)x(D-A)│

Solución: Sabemos que el volumen de un tetraedro es:

V = (1/3) Base x Altura (1) en la figura 2.47 notamos:

Reemplazando (2) y (3) en(1):

Ejemplo 2.19

Hacer uso de las propiedades algebraicas, de los productos escalar y vectorial, para demostrar las siguientes proposiciones:

a) (A + B).(A + B) x C = 0

Como el producto mixto se expresa como un determinante de 3x3, en donde las filas vienen a ser los componentes de los vectores que intervienen en el producto, entonces como en nuestro producto el vector A+B se repite, quiere decir que nuestro determinante tendrá dos filas iguales y por lo tanto será igual a cero.

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A

C

B

D

AC x AD

H = altura = //AB// cos

Base=1/2//ACxAD//

Base = área del triángulo ADC

(2)

Esto es, la mitad de la base del paralepípedo ACC’DCuyo valor coincide con la //ACxAD//=//(C-A)x(D-A)// Altura =proyección de B-A sobre (C-A)x(D-A): coincide con la altura del paralepípedo.

El volumen del paralepípedo estará dado por el producto:

Vp=(B-A).(C-A)x(D-A), luego:

Altura= Vp/Ap = (3)

Page 53: Algebra Vectorial

b) A .B x C = - B . A x C

134) Calcular el producto mixto en cada caso:

a) A = (3 ,0, 0) , B = (0, 4, 0) , C = (0, 0, 8).b) A = (2, 3, -1) , B = (3 ,-7, 5) , C = (1, -5, 2).c) A = (2, 1, 3) , B = (-3, 0, 6) , C = (4, 5, -1).

135) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: i + j, j + k, k + i.

136) Hallar los vectores ai + bj + ck que satisfacen la relación:

(ai + bj + ck).kx(6i +3j +4k) = 3

Este ejercicio esboza una demostración de la identidad vectorial: A x (B x C) = (C.A)B - (B.A)C,que algunas veces se llama fórmula "cab menos bac". Sean B = (b1 ,b2, b3) y C = (c1, c2 , c3).

Demostrar que: i x ( B x C ) = c1 B - b1 C (1)

Esto demuestra la identidad en el caso particular A = i. Demostrar las fórmulas correspondientes para A = j y A = k, y combinarlas luego para obtener la identidad.

Para facilitar al alumno la demostración, se procederá a demostrar (1):

137) Calcular el volumen del tetraedro formado por los puntos:

A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 2), C = (0, 3, 0) y D = (4, 0, 0).

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Page 54: Algebra Vectorial

137) Utilizar la fórmula “cab menos bac” del ejercicio anterior para demostrar las siguientes proposiciones vectoriales:

a) (A x B) x (C x D) = (A x B.D)C – (A x B.C)Db) A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =0c) A x (B x C) =(A x B) x C si y sólo si B x (C x A)=0

138) Cuatro vectores A, B, C y D que satisfacen las relaciones: A x C . B = 5, A x D . B = 3, C + D = i + 2j + k, C – D = i- k.

Calcular (A x B) x (C x D) en función de i, j , k.

Sugerencia aplicar la fórmula cab-bac, a la expresión (A x B) x (C x D) haciendo A = (A x B) , B = C y C = D

De modo que: (A x B) x (C x D)=(D .A x B) C – (C . A x B )D

139) Demostrar si o no cierta la siguiente proposición vectorial:

Sugerencia: aplicar cab-bac a Ax(AxB)=(B.A)A-(A.A)B=(A.B)A - reemplazar y continuar.

En los ejercicios del 93-96, determinar los volúmenes de los tetraedros de aristas:

140) (5,0,16), (1,-1,1), (8,2,3).141) (1,5,4), (1,1,0), (1,-3,4).142) (2,6,-4), (1,1,0), (1,-3,4).143) (2,5,-2), (1,4,2), (1,3,0).

144) Obtener el volumen del paralelepípedo de lados adyacentes dados por: A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1) y C = (1, 0, 1).

145) Hallar el volumen del paralelepípedo cuyos vértices son: (0,0,0), (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1), (2,0,5), (5, 0, 5), (2, 5, 6), (5, 5, 6).

146) Hallar la altura del paralelepípedo con A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1) y C = (1, 0, 1) si la base es el paralelogramo determinado por A y B.

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