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El alumno al trmino de la unidad deber:1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representacin, en los diferentes espacios en que se encuentre.2. Explicar correctamente la Naturaleza de un plano en V3 as como la deduccin de todas las formas de representacin.3. Formular y expresar matemticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos rectas y planos, as como la proyeccin geomtrica de dichas relaciones.En1788, Lagrangepublicsuobra"McaniqueAnalytique", quemostrlagranflexibilidady grandes alcances de utilizar mtodos analticos en el estudio de la mecnica.Posteriormente, William Rowan Hamilton (1805-1865), introdujo su "Theory of Quaternions", la cual contribuy a la comprensin del Algebray de la Fsica.La unin de las ms notables caractersticas del anlisis de los cuaterniones y de la geometra cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925),dando lugar a la llamada lgebra Vectorial.El uso del lgebra vectorial permiti la exposicin y simplificacin de muchos conceptos geomtricos y fsicos, de ah la importancia de su estudio en este curso.Debido a que, el alumno no est familiarizado a trabajar con vectores, se recomienda, de modo especial, el estudio de este captulo, el cual le permitir conocerla naturaleza del vector y cmo se opera con ellos.1LA : Recta de accin (Direccin)(Norma)//A//

O2

(a)(b)(c) (d)

La idea de emplear un nmero para situar un punto A = ( a1) en una recta fue conocida por los antiguos griegos (figura 2.1 (a)).En 1637, Descartes extendi esta idea utilizando un par de nmerosA = (a1,a2) para situar un punto en el plano (figura 2.1 (b)), y una terna de nmeros A = (a1,a2,a3) para situar el punto en elespacio (figura 2.1 (c)).En el siglo XIX, los matemticosA. Cayley(1821-1895)yH. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse en las ternas de nmeros. Se puede tambin considerar, en general, una n-plasde nmeros reales:A = (a1,a2,....,an),para todo enteronNUna taln-plase le llama punto n-dimensional. Cuya representacin geomtrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 2.1 d. Por tanto un punto puede representarse de tres maneras diferentes, de forma algebraica a travs de la letramayscula A, de forma analtica a travs de sus coordenadas (a1,a2,....,an) y mediante su forma geomtrica representada en la Fig. 2.1 dEstamosacostumbradosaconsiderarmagnitudes, tantoenGeometracomoenFsica, quepuedansercaracterizadas por un nico nmero real referido a una unidad de medida apropiada: el permetro de unafigura, el rea de una superficie, el volumen, la temperatura, el tiempo, etc.A dichas magnitudes se les llamamagnitudes escalares, denominndose escalar el nmero real asociado a cada una de ellas.Existenotrasmagnitudesfsicasygeomtricasenlasqueintervieneladireccinyquenopuedensercaracterizadas de forma completa mediante un nico nmero real: la fuerza, la velocidad, la aceleracin, etc.Adichas magnitudes seles llamamagnitudesvectoriales, denominndosevectoral objetomatemtico utilizado para describir cada una de ellas.Las caractersticas fundamentales de un vector son: su mdulo, su direcciny su sentido. Es, por tanto,naturalrepresentarunvectorgeomtricamentepormediodeunsegmentoorientado, correspondiendola longitud, direccin y sentido del segmento orientado al mdulo, direccin y sentido del vector.Descripcin de un vector: por ser un segmento de recta, es una porcin de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido, a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de accin que me define la direccin, y a su longitudNorma ,o Mdulo, como se ilustra en la figura siguiente:

2LA : Recta de accin (Direccin)A Flecha (Sentido)O (cola)(Norma)//A//

yO2

(a)(b)(c) (d) a1a1a2yxzAa303O1xA0nAAa1 xya2z

AxO1O2xAyAO3x0nA(a)(b)(c) (d)yzxLos vectores que vamos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo largo de su recta de accin o trasladarse paralelamente a si mismo.Definiremos un vectorAcomo el conjunto de todos los segmentos orientados del espacio n-dimensional que poseen una longitud, direccin y sentidodados. Al vector que coincide con un segmento orientado cuyo extremo inicial es el origen de coordenadas y su extremo final en el punto A, se llama vector posicinOA. Que llamaremos simplemente A, y cuya explicacin la veremos ms adelante. a) ALGEBRAICA: los vectores se designan con las letras maysculas: A, B, C , D , ...b)GEOMTRICA: En base a su representacin grfica en un sistema de coordenadas (slo es posible hasta en tres dimensiones; ver figura 2.4). Para los sistemas de 4 ms dimensiones con precisin solo podramosrepresentarel origendel sistema, ylaflechadel vectordefinidaporel puntoAquelo tomaramosdemaneraarbitrariacomosemuestraenlafigura. Pararepresentargeomtricamentealvector A, en primer lugar esnecesario definir el punto A, como se mostr en la figura 2.1, luego el vectorA ser el vector que tiene su cola en el origen y su flecha en el punto A, vemos que la figura 2.4 solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.c)ANALTICA: Se realiza haciendo uso de las letras minsculas llamadoscomponentes del vector:

A = (a1,a2,...,an),B = (b1,b2,...,bn) yC = (c1,c2,...,cn)Para convertir Vnen una estructura algebraica, introducimos la igualdad de vectores y dos operaciones: la adicinde vectores, la multiplicacin por escalaresy un cuerpo de nmeros reales R. La palabra escalar se usa aqu como sinnimo de nmero real.Dos vectores A y B de Vn son iguales, si son iguales todas sus componentes que ocupan la misma posicin.Estoes,si A = (a1,a2,...,an)yB = (b1,b2,...,bn)3

Q1Q2P1P2' n nn j y i j ib ab ab ab ab a si B A Entonces....3 32 21 1..., , 2 , 1Tomemos un ejemploenelespacio bidimensionalparaentender mejor esta definicin.SiP1Q1yP2Q2 sondossegmentosorientadosconla misma longitud, direccin y sentido, diremos que representan el mismo vector.Un segmento orientado tiene una ubicacin particular; un vector no.Las flechas en lafigura 2.3 representan el mismo vector.

cAOnPROPIEDADES:1. Reflexiva:Todovector es igual a s mismo, esto esA = A2. Simetra:SiA = BentoncesB = A3. Transitiva:SiA = ByB = C entoncesA = C Si c es un escalar tal que cR y Aun vector tal que A Vn , el producto cA se define como el vector que resulta de multiplicar cada componente deApor el escalar c, esto es:ANLISIS DEL VECTOR cA:Para facilitar el estudio vamos a considerar un vector Ade V1tal como A = ( 4 ), de modo que el vector cA = ( 4c ), y vamos a darle a c distintos valores de R, para poder ver como afecta a su mdulo, direccin y sentido, para esto elaboramos la siguiente tabla:c -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2cA -2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A(4c) (-8) (-6) (-4) (-2) (0) (2) (4) (6) (8)Representando dichos vectores geomtricamente:

Al observar los resultados de la tabla y de la figura 2.4a,podemos apreciar que cuando c>0 el sentido de cA es el mismo que el de A, pero cuando c1 y c00: )var )11 var1: )c si A de al opuesto Esc si si A de al igual EsSentido El cR c todo para a no direccin La bc si contrae Sec si a Noc si dilata SeMdulo El a Portanto podemos describir al vector cA como el vector que tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de accin de A como se ilustra en la figura 2.5.4cA = (ca1 , ca2 , ca3 , ... , can )On

//B// - -2A-3A/2-A-A/20A/2 A3A/22A-8 -6 - 4 -20 2 46 8a) PARALELISMO ENTRE DOS VECTORESDos vectoresAyBde Vn son paralelos s y slo s tienen igual direccin. Esto es, si tienen la misma recta deaccin o sus rectas de accin son paralelas.

EstacondicinnospermiteafirmarquecuandodosvectoresAyBsonparalelossuscomponentesson proporcionales. Esto es:nn332211n n3 32 21 1ba.. ..........bababaccb a.........cb acb acb acB A : B // A Si ' b)VECTOR CEROEs el vector generado por el vector cA al darle a c el valor cero, (c = 0).Como el escalar afecta comofactor a cada una de las componentes de A,todas las componentes del vector cero sern cero: Las caractersticas de este vector son: Su mdulo o longitud //0//=0, su direccin la misma del vector que loorigina, ya que lo que el escalar no podr jams es sacar al vector A de su recta de accin, es importante queel alumno vea que como el vector A es un vector cualquiera de Vn , y por lo anterior el vector cero tiene la direccin del vector que lo origina, en consecuencia el vector 0 tiene todas las direcciones posibles. Y su sentido tiene carcter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero t 0=0, dado que 0 por cualquier nmero es cero. Desde el punto de vista geomtrico el vector cero est representado por un punto, esto es,. elorigen del sistema.. Es adems el vector que sumado a un vector A me da el vector A, por esto, al vector cero sele llama elemento neutro en la suma de vectores, como se ver ms adelante.c)VECTOR OPUESTOEl vector opuesto es aquel vector generado por el vector cA, cuandoc = -1:La grfica sera:

Otra propiedad importante del vector -Aes la de ser el vector que sumado al A me da el vector cero, y que la estudiaremosdespus de estudiar la suma de vectores.5Enlafigurasemuestranlos dos casos mencionados anteriormente, Ay Bson paralelos y tienen la misma recta de accintambin C es paralelo a A y a B y sus rectas de accin son paralelas.Vector Opuesto de A = (-1)A = -A = ( -a1,-a2,...,-an)Vector Cero=0= ( 0,0,0,..........,0 )Lascaractersticasdeestevectorson:Esunvector queexisteporqueexisteelvectorA, tieneelmismo mdulo y direccin que A, pero sentido opuesto.Luego decimos que si A//B entonces A = cBA0n-ACBAOn

//B// - Dados dos vectores A y B de Vn distintos del vector cero, tal como A = (a1,a2,...,an)y B = (b1,b2,...,bn)Definicin: LasumadeA+Bsedefinecomoel vectorcuyascomponentesseobtienensumandolas componentes de losvectores parciales como se ilustra a continuacin: Adems la suma de vectores cumple la regla del paralelogramo, de modo que el vector suma A + B se representa geomtricamente como la diagonal del paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha delos vectores parciales, paralelas a las rectas de accin del otro, como se muestra en la figura siguiente:

Como se trata de vectores libres podemos trasladar el vector Aparalelamente a s mismo, hastaque su colacoincida con la flecha de B, pero podemos hacer lo mismo con B,de modo que elvector suma A+B, tendr su cola en la cola del primero y su flecha en la flecha del segundo. Dado que el primero puede ser A opuede ser B, y lo mismo sucede conel segundo.Los datos del problema son los vectores A y B, por tanto conocemos su norma , su direccin y sentido y porconsiguiente conocemos el ngulo definido por A y B, es decir ..En la figura 2.8 trasladamos al vectorA paralelamente a s mismo hasta que su cola coincida con la flecha de B, formndose el tringulo On B - (A +B), endondeconocemosdoslados//A// y//B// yel ngulocomprendidoser -, porquees suplementario aun ngulo que es igual a por ser correspondiente al ngulo formado por A y B, como semuestra en la figura 2.8. a)Ahoravamos a calcular la norma //A + B//: Aplicando la Ley del Coseno:Coseno del Ley la por ) cos( B A B A B A : deduce se . figura la De + + 2 8 22 2 2 cos sen sen cos cos ) ( Cos que Sabemos + b) Definidalanormapasamosadefinirladireccin,paraesto, bastadefinirsurectadeaccinpor consiguientenecesitamos un punto de paso y una direccin, lo primero ya lo tenemos vienea ser el On, luego nos queda definir su direccin.Las rectas de accin de los vectores A y B al pasar por el origen del sistema Ondeterminan un plano, en dondeseencuentratambinelparalelogramodefinidoporstos, altrazarporcadaunadelasflechas paralelas a las rectas de accin del otro. Por lo tanto el vector suma A + B por ser la diagonal de dicho paralelogramo tambin se encuentra en dicho plano. En la figura 2.8observamos que , la recta de accin de A + Bforma un ngulo con la recta de accin de A.De modo que la recta de accin de A + B, ser larecta que pasa por el origen O, se encuentra en el plano definido por La y Lb y forma un ngulo con La.. 6A + B = ( a1+ b1 , a2+ b2 ,... ... , an+ bn) cos B A B A B A : primera la en emplazando Re 22 2 2+ + +On

B//B// - //A//AA+B//A+B// //A//

//A+B// //B//

a) PRIMER CASO: cuando los vectores tienen igual direccin y sentidoNIORMA: Del esquema geomtrico se desprende al compararlo con el caso general que el ngulo =0, por tanto cos=1, reemplazando en la expresin de la norma.De donde:// A + B // 2= //A// 2 + //B// 2 + //A// //BSacando raz cuadrada:/ //A+B// / = ///A// + //B///Como las normas son siempre positivas://A// > 0y //B// > 0 Luego //A// + //B// > 0, por tanto://A + B //= //A// + //B// Luego lanormadel vector A + Bserigualala suma de las normas de los vectores parciales.A+B//A+B////B////A//ABPor tanto tenemos que calcular .: Para el clculo de dicho ngulo acudimos nuevamente a la figura2.8, en donde podemos ver que dicho ngulo es igual al ngulo que se opone a //B// en el tringulo On-B-(A+B) por ser ngulos alternos internos, luego aplicando la Ley de los Senos:c)Por ltimo nos queda definir el sentido de A + B, como hemos dicho el vector suma tiene su cola en la cola del primero, y su flecha en la flecha del segundo, por lotanto la flecha de A + Bqueda definida por la flecha del segundo. Al quedar definida la flecha de A + Bqueda definido el sentido de A + B. Loscasosquevamosaestudiarsebasaranenlovistoenelcasogeneral, esdecir, aplicaremoslosresultados encontrados a las situaciones concretas definidas en los casos a analizar. DIRECCION: Para determinar la direccin imponemos la condicin = 0 Si = 0entonces la recta de accin del vector A + B ser igual a la recta de accin del vector A, por lo tanto el vector A + B tendr la misma direccin de A y de B.SENTIDO: Por ltimo, como el vector suma tiene su flecha en la flecha del segundo, el sentido del vectorA + B lo dar el vector B, como A y B tienen el mismo sentido, entonces A + B tendr el sentido de A o de B.b)SEGUNDO CASO: cuando los vectores tienen la misma direccin pero sentido contrario:70 tan 0 0 0 senB ABsen + to por sen luego-B

,_

++ + +B ABsen . arc donde de senB ABsen : emplazando Resen cos sen cos sen ) ( sen Como) ( senB ABsen : que deduce se donde desenB) ( senB A

//A+B// //B//

NORMA: Observando la figura y comparndola con el caso general podemos afirmar que el ngulo queforma A y B, esto es =por tantocos = -1,reemplazando en la expresin de la norma tendremos://A + B// 2 = //A//2+ //B// 2- 2 //A// //B//De donde: //A + B// 2 =(//A// -//B//) 2

Sacando raz cuadrada:///A + B // / = / //A// - //B// /Por definicin de Valor Absoluto:Si// A // - // B // > 0 / // A // - // B // / = // A // - // B //Si// A // - // B // < 0 / // A // - // B // / = // B // - // A//Demodoquelanorma delvector A + Bserigualala diferencia de las normas parcialesDIRECCION: Para determinar la direccin, debemos calcular el ngulo , como = entonces sen=0, reemplazando en la ecuacin correspondiente tendremos:Este caso presenta a la vez dos alternativas que aparecen debido a que la norma de A puede ser mayor que lanorma de B y viceversa, como ya se vio en el estudio de la norma.En ambos casos la recta de accin del vector suma A + B coincide con la recta de accin del vector A por lotanto se concluye que la direccin del vector suma es igual a la direccin de los vectores parciales.SENTIDO:El sentido del vector A + B lo da el vector de mayor longitud, debido a que al hacer el traslado correspondiente de modo que la cola del menor coincida con la flecha del mayor, el sentido del mayorprevalece. En la figura 2.11se puede observar uno de estos dos casos, en donde la norma de A es mayor que la normade B, al realizar la suma hemos trasladado el vector B hasta que su cola coincida con la flecha de A, de modo que el vector suma A + B tendr su cola en la cola de A y su flecha en la flecha de B, prevaleciendo as elsentido de A.Vamos a enunciar las propiedades de modo conjunto debido a razones de tipo didctico, dados los vectores A,B y C de Vny c y d R:Propiedad Suma A + B(sigla) Producto cA (sigla)1. UniformidadSi A y B Vn A + B Vn(PUSV) Si A V cA Vn (PUPEV)2. Conmutativa A + B= B + A(PCSV) cA = Ac(PCPEV)3. Asociativa ( A + B ) + C =A + ( B + C)(PASV) (cd)A = c(dA ) = d(cA) (PAPEV)4. Elemento Neutro A + 0=A(PENSV)Si c = 1cA = A (PENPEV)5. Elemento Inverso A + (-A) = 0 (PEISV)Si c = 0 cA = 0(PEIPEV)6. Distributividad Vectorial: c( A + B )= cA + cB (PDV)8 + o to tan por sen luego 0 senB ABsen 0 0 0-B entonces B A cuando y entonces B A 0

BAB//A+B// A+B//B////A//0 = B//A-B////B//

On //A// A

Escalar: ( c + d )A =cA + dA (PDE)Definido el producto de un escalar por un vector cA, y la suma de los vectores A + B, podemos determinar elvector A - B, transformando la diferencia en una suma entre el vector A y el vector (-1)B, es decir, el opuestode B, de modo que A B = A + ( -B ).Los datos del problema son A = ( a1,a2,...,an )y B = ( b1,b2,...,bn ) luego B = ( -b1,-b2,...,-bn )De modo que: Paratener unaideams clarade este vector vamos hacer unanlisis geomtricode loexplicado anteriormente, tenemos los vectores A y B, definimos el opuesto de B, esto es, -B y se lo sumamos al vector A,obteniendo de esta manera el vector A - B

Podemos concluir que el vector diferencia es el vector que tiene su cola en B y su flecha en A, esto es, el vectorque va de B a A, esta caracterstica permite explicar la razn por la cual el vector OA = A,dadoqueOA = A -0 = A. ANLISIS DEL VECTOR A B:Direccin: Para determinar su direccin hacemos lo mismo que hicimos en la suma, definimos su recta deaccin, en este caso el punto de paso es el punto B y se encuentra en el plano definido por las rectas de accin de A y B , luegotenemos que determinar solo , para esto aplicamos la Ley de los Senos: Sentido: Por ltimo para definir el sentido, por lo dicho anteriormente, su flecha esta definida por la flecha deA, como se muestra en la figura 2.13Ejemplo 2.1:9A - B =( a1 - b1 , a2 - b2 ,... ... , an - bn )El hechodequelasumadevectores cumplala regla del paralelogramo y sean vectores libres nos permite definir la siguiente caracterstica, el vector diferencia A-B ser el vector que sumado al vector B me da el vector A, esto es:B + ( A B ) = B + A-B =(B-B)+A = 0+A =A, de modo que el vectorA B = BABAA-BOn-B BXcAy0AdBxDescomponer el vector X = (-1, 18) en dos vectores C y D,talesque Cesparalelo aAy Desparalelo a B, donde A = (-1, 4)yB = (1, 3).Luego: X = C + DSi C // AC = c Ay siD // B D = d BPortanto: C = c (-1,4) = (-c,4c) , D = d (1,3) = (d, 3d)X = C + D = ( -c + d,4c + 3d ) = (-1, 18)

Norma: Aplicando la Ley del Coseno al tringulo OnBA:De la figura 2.13 se deduce://A + - B// 2 = //A//2 + //B//2 - 2//A// //B// cos senB ABsen que deduce se donde desenBsenB A:

B BACPor igualdad de vectores:( -c + d, 4c + 3d ) = ( -1, 18 )' + + 18 3 41d cd cResolviendo:c =3, d = 2Por lo que: C = ( -3, 12),D = ( 2, 6 )Ejemplo 2.2: Dadoel tringuloABCylasrelaciones:BD=hBC,CE=hCA,AF=hAB, siendotalesvectores representativos de las direcciones correspondientes y"h"un escalar. Demostrar que:AD+BE+CF=0Solucin:Construimos un tringuloABC, en el cual vemos que (figura2.15):BC + CA + AB = ( C B ) + ( A C ) + ( B A ) = = ( C B ) + ( B - A) + ( A C ) = /PCSV = C B + B A + A - C= /PASV = C + 0 + 0 - C= /PEISV =C C =/PENSVBC + CA + AB= 0/PEISVlqqdCalcularemos la suma pedida y demostraremosque es el vector cero: AD + BE + CFAplicando las propiedades de la suma de vectores tenemos:AD + BE + CF = ( D A ) + ( E B ) + ( F C ) = ( D B ) + ( E C ) + ( F A ) = BD + CE + AF= hBC + hCA + hAB = h(BC + CA + AB) = h0 = 0 .AD + BE + CF = 0l.q.q.dEjemplo 2.3:Aplicando el lgebra vectorial, demuestre que las medianas de un tringulo se cortan en un punto que dista de cada vrtice 2/3de la longitud de la mediana respectiva.Solucin:Dado el tringuloABC, ubicamos los pies de las medianas(figura2.16):Ma = .( B + C ) ;Mc =.( A + B ) Definimos:AMa = Ma- A = B + C - AAI = tAMa = ( t/2 )B + ( t/2 )C - tACMc = Mc - C = A + B - CCI = sCMc = ( s/2 )A + ( s/2 )B sC Observamosque:AI = AC + CI = ( C A ) + ( s/2 )A + ( s/2 )B sC -tA + (t/2)B + (t/2)C = ( s/2 1 )A + (s/2)B - (1 s )CIgualando los coeficientes de los vectores:

; s ts ts t1 2 /2 / 2 /1 2 / Resolviendo:s = t = 2/310ACBIMC

Se da un paralelogramoABCD.Se sabe queEes un punto medio de CDy F est a 2/3 de AE en el sentido de A haciaE. Considerando el sentido deB haciaC, demostrar queFest a2/3deBC(ver figura 2.15).Lo cual quiere decir que la longitud del segmento que une un vrtice con el punto de interseccin de lasmedianas es los 2/3de la mediana respectiva: AI = (2/3)AMa,CI = (2/3)CMcComo se puede trabajar con cualquier par de medianas, anlogamente:BI = (2/3)BMbEjemplo 2.4:Demostrar la propiedad conmutativa : A + B= B + A

A + B = (a1 + b1, a2 + b2 + a3 + b3, ........., an + bn ) / Def. de A+BB + A = (b1 + a1, b2 + a2 + b3 + a3, ........., bn + an ) / Def. de A+BLuegoA + B = B + A :'+ ++ ++ ++ +n n n n3 3 3 32 2 2 21 1 1 1a b b a.. .......... ........... .......... ..........a b b aa b b aa b b a/ Igualdad de VectoresComo la suma de nmeros reales es conmutativa, entonces las n igualdades se cumplen , por tantose cumpleque A + B = B + A.Ejemplo 2.5: Demostrar la propiedad de distributividad escalar: ( c + d ) A = cA + dAcA = ( ca1 , ca2 , ca3 ,...........,can ) ydA = (da1 , da2 , da3 ,...........,dan )/ Def. de cA Luego la suma de cA + dA= ( ca1 + da1 , ca2 + da2 , ca3 + da2 ,...........,can + dan) / Def.de A + B=[( c + d )a1 ,( c + d )a2 ,( c + d )a3 ,...........,( c + d )an]/ PDPNR= ( c + d ) A / Def. cAPor tanto:( c + d ) A = cA + dA1) Dados los vectores:A = (a,-3p)yB = (2p,-b), hallar a, byppara que:A + B = (8,-4)yA sea paralelo a B.2) Demostrar que los tres puntos:(2,0,-1), (3,2,-2)y (5,6,-4)son colineales.3) Demostrar que los puntos (4,0,1), (5,1,3), (3,2,5)y (2,1,3)son los vrtices de un paralelogramo. 4) Demostrar que siD = B + C, B//AyD//A, entonces C//A.5) Sean:A = (a1,a2)yB = (b1,b2)dos vectores del plano que no tienen la misma direccin y distintos del vector cero.Probar que para cada vectorC = xA + yB, existen los escalaresx e y, y expresarxe ypor medio dec1yc2.6) Si un cuadrilteroOABCdeV2es un paralelogramo que tiene a A y Ccomo vrtices opuestos,demostrar que:A+.(C-A)=B. Quteoremarelativoalosparalelogramospuedededucirsedeesta igualdad?Enunciarlo.7)11

C EDABF8) Dados dos vectores:A = (a1,a2) y B = (b1,b2), demostrar que:-a1b2 + a2b1 = 0si y slo siA y B son paralelos.En los ejercicios del 9-12, se dan las coordenadas de dos puntos A y B.A es el extremo inicial y B es el extremo final de la representacin de un vector.Decir cul es el vector correspondiente en cada caso.9) A = (3, 5),B = (6, 8)10) A = (6, -4) , B = (-1, 5)11) A = (4, -2) , B = (-3, 6)12) A = (-5, -2) , B = (-5, 6)13) Demostrar que al unir los puntos medios de un cuadriltero plano, se obtiene un paralelogramo.14) Los puntos (1, 2), (3,1) y (8, 4) son tres vrtices de un paralelogramo.Calcular las tres posiblesposiciones del cuarto vrtice.15) Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.16) Demostrar vectorialmente que el segmento de la recta que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado, y su longitud es la mitad de este ltimo.17) Demostrar quelospuntos(2, 9, 1), (3,11, 4), (0, 10, 2) y(1, 12, 5) sonlos vrticesdeunparalelogramo.En los ejercicios del 18-22, seanA = (1, 2, 3), B = (2,2, -1) y C = (4, 0, -4).Hallar:18) A - B y B - A19) A - B + 2C20) 2A + 4B - C21) D, siendo 2D - 3A = C22) D, siendo 2A + B - C + 3D = 023) Representar el vector A = (8, 8, 6) y hallar un vector B tal que:a)B tiene igual direccin y sentido que A, pero la mitad de su mdulo.b)B tiene igual direccin, pero sentido opuesto a A, siendo su mdulo la cuarta parte de A.24) Demostrar que si D= B + C y Bes paralelo a A, entonces Des paralelo a A, si y slo si C es paralelo a A. Ilustrar este resultado grficamente.25) Dibujar los vectores A = (2, 1) y B = (1, 3) partiendo del origen en el plano. En la misma figura dibujar el vector C = A + tB para cada uno de los valores siguientes de t: t = 1/3, t = , t = 1, t = 2, t = -1,t = -2.26) En una nueva figura dibujar los vectores A y B del ejercicio anterior. Sea C = xA + yB donde x e y son nmeros reales. 12a)Dibujar el vector C para los siguientes pares de valores: (1/2, ), (1/4, ), (1/3, 2/3), (2,-1), (3, -2), (-1/2, 3/2), (-1, 2).b)Dgase cual es el lugar geomtrico de C cuando x e y recorren independientemente losintervalos 0 < x < 1, 0 0siA 0 / PPPE (positividad)lqqd A . A to tan Por n ,........, , i todo para a entonces a A . Asumatoria de . Def / a a A . Ainiinii i0 2 1 02121> > SiAyBson dos vectores deVn,,tenemos: (A.B) (A.A)(B.B)Adems el signo de la igualdad es el vlido si y slo si uno de los vectores es igual al producto del otro por un escalar, esto es, si A = cB.Demostracin:.14 + + + nii i n nb a b a b a b a B A12 2 1 1........ .

a2 0

//A//

B oHaciendo:C = xA - yB, dondex = B.Be y = A.BVeamos la naturaleza del vector C:Como B es un vector cualquiera de Vn,, entonces B . B0x0 / PPPE y PNPESi y = R B . A R bi y a como b a B . Ainii i 1 y RSi x0 e y R C 0 yC = 0PRIMER CASO: cuando C = 0:Se da cuando A = B = 0ytambin si yB es el opuesto de xA, esto ltimo exige que A y B sean paralelos,esto es, que A = cBB = cA, ya que un vector y su opuesto tienen la misma direccin.Peropodemoscomprobarqueestaltimacondicinincluyealaprimera, dadoqueelvectorcerose genera a travs del vector cA,o cB, cuando hacemos c = 0, esto es, el vector cero es paralelo a cualquier vector de Vn, por lo tanto si A = 0 B = 0 si los dos son iguales al vector cero, es equivalente a decirque A = cBA . B = ( cB ) . B = c( B.B ); A .A = ( c B ) . ( cB ) =) . (2B B c ; B . B = B . BReemplazando en la desigualdad de Cauchy Schwarz:[ ]2 2 2 2) . ( ) . )( . ( ) . ( B B c B B B B c B B c Por tanto cuandoA = cBsecumple la igualdad.SEGUNDO CASO:si C 0 :Se dar cuandoA cBycuandoAyB 0Si es as entoncesC . C > 0/ PPPEC . C= ( xA yB ) . ( xA yB ) =x (A . A) - 2xy (A . B) + y (B . B)> 0/ PDPEyPCPEReemplazando los valores de "x"e"y"enla desigualdad y operando:(B . B)(A . A) - 2(B . B)(A . B) + (B . B)(A . B) = (B . B)(A . A) - (B . B)(A . B)> 0 (B . B)(A . B)< (B . B)(A . A) ComoB . B > 0 (A . B)< (B . B)(A . A) lqqd

Vamos a dar la definicin de Norma de un vector, estudiando en primer lugar los casos ms particulares para luego inducir el caso general.En la figura 2.18se tiene un vector A = ) (1a en V1 En donde 0 01< > ser puede a

15

a2 0

//A//

0/ A// AA AB AA oPor tanto la //A// = /1a/ Luego:21a // A // La figura 2.19muestra el vector posicin del puntoA enV2; por el teorema de Pitgoras sabemos que:Pitgoras T a a A . / // //22212+ Luego:2221a a // A // + La figura2.20extiende el caso aV3:Pitgoras T a a d . /22212+ 232221232 2232 2// // : Re// //a a a a d A emplazandoa d A+ + + + 232221a a a // A // donde De + + Teniendo en cuenta los casos particulares vistos anteriormente, es muy fcil afirmar que, siAes un vector enVn, su longitud o norma que se designa conA se define como la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes,mediante la igualdad:A A a a a a A entonces a a a A Sinii n nn. .. .......... : ) ........., , , (12 2 2 21 2 12 + + + De donde:SiAes un vector enVny"c"un escalar, se cumplen las siguientes propiedades:1) A> 0 si A 0 positividad(PPN)2) A= 0 si A = 0 nulidad(PNN)3) cA = cAhomognea(PHN)4) A + B A + Bdesigualdad triangular(DTN)

Para un par de vectores cualesquieraA y B de Vn, se cumpleque:A+B =(A+B).(A+B) =A.A + 2A.B + B.B =A + B + 2A.B(1)16Si tenemos dos vectores de Vn ortogonales, como se muestra en la figura 2.21, podemos observar que las normas de dichos vectores y la norma delvectorsuma, formanuntringulorectngulo, endondelahipotenusa es //A+B//. De modo que:2 2 2// // // // // // B A B A + +/ T. Pitgoras(2)Aplicando la propiedad transitiva en (1)y (2):

a2 0A//A//yxa1

xzyAd//A//

A+B//B//0/ A// AA AB //A+B//A A A .20 . 0 . 2 : tan// // // // . 2 // // // //2 2 2 2 + + +B A entonces B A to lo PorB A B A B ALuego: Ejemplo 2.6: Si:A = (2,1,-1)yB = (6,-1,2), determinar un vectorCde modo que:C//AyB.C = 18SiC // A: C = cA = c (2, 1, -1) = (2c, c, -c)SiB . C = 18B .C = (6,-1,2) . (2c, c, -c) = 12c c -2c = 9c = 18luego c =2Por tanto:C = ( 4, 2, -2)Ejemplo 2.7: Suponiendo que en lugar de definir el producto escalar de dos vectoresAyBdeVnpor la frmula:nii ib a B A1. usamos la definicin siguiente: / / .1nii ib a B AVer si cumple las propiedades conmutativa, distributiva y de positividad.a) Conmutativa(s cumple):. Def / / b a / ...... .......... / b a / / b a / / b a / B . An nnii i+ + + 2 2 1 11cumple A B B A LuegoDef A B a b a b a b b a B APCPNR a b a b a b b a B An nnii in nnii i. . :. / . / / ...... .......... / / / / / / ./ / / ...... .......... / / / / / / .2 2 1 112 2 1 11 + + + + + + b) Distributiva (no cumple):+ +nii i i/ ) c b ( a / ) C B ( . A1: definicin de producto escalar y suma de vectores.17Si A BA . B = 0 . . . ) ( .. . / ) / / / / ) / / / / / / ) ( // / / / / / / / / ) ( / :/ ) ( / .. .......... / ) ( / / ) ( / / ) ( / ) ( .1 1 1 1 12 2 2 1 1 11cumple no C A B A C B AC A B A c a b a c a b a c a b a c b ar dTriangula Desigualda c a b a PDPNR c a b a c b a Comoc b a c b a c b a ci b a C B Anii inii inii i i inii i i inii i ii i i i i i i i i i in n nnii i+ ++ + + + ++ + ++ + + + + + + + c )Positividad:Si A 0 A.A>0nii iDef a a A A1. / / / .0 / / 02 2> > i i i i i i i ia a a a a y a a a ComoPor tanto: cumple . / a a /nii i >10Ejemplo 2.8: Demostrar la propiedadhomognea y ladesigualdad triangular para la norma de un vector.a)Homognea: cA=cAcA2 = [( c.A )( cA )] /Def. de //A//cA2= [ c ( A . A ) ]/PHPE= (c)(A.A) /PDPNR Sacando raz cuadrada:cA=cA dadoque//A//>0 c) Desigualdad triangular:0 < A+B A + B como las normas son siempre positivasElevando al cuadrado: A + B ( A + B )el signo de la desigualdad no vara.(1)Desarrollando ambos miembros de la desigualdad:A+B = (A + B) .(A + B) = A . A + 2A . B + B . B = A + 2A.B + B (2) ( A+ B ) = A + 2AB+ B (3)Reemplazando (2) y (3) en (1):A +A .2A . B + B A + 2A B+ B Simplificando: A . B // A // // B //y nuestro problema se reduce a demostrar esta ltima desigualdad. Por la desigualdad deCauchy-Schwarzsabemos que:(A . B)(A . A)(B . B)de donde: (A . B) A B , sacando raz cuadrada: A . B ABPor propiedad del valor absoluto:- //A////B//A . B //A////B//18

Esta desigualdad corresponde a la de Cauchy Schwarz, expresada en funcin de la norma, vemos que sta incluye a la desigualdad triangular, por lo tanto podemos afirmar quees verdadera.Ejemplo 2.9:Se tiene queA = (m,2m), B = (2m,p), B//A. Determinar B , si80 = AB // //SiB = tA = t(m,2m) = (mt,2mt) = (2m,p) 'p mtm mt22 /Igualdad de vectoresResolviendo:t = 2y p = 4m entonces:B = (2m, 4m) AB=B-A=(2m, 4m)-(m, 2m)=(m, 2m)B-A =AB . AB=m + 4m = 5m = 80 por tantom = 4entoncesB = (8,16)Luego:5 8 = 320 = 256 + 64 = B // // Ejemplo 2.10:SeanA, B y Cvectores deVn diferentes al vector cero.SiA y Bson paralelos yAes ortogonal aC,demostrar queBtambin es ortogonal aC.Los datos son: A, B, C 0 ; B = tAyA .C = 0producto escalar: B.C=(tA).C=t(A.C)=t(0)=0

Como ningn vector es nulo y el producto escalar es cero, demostramos queB y Cson ortogonales.Ejemplo 2.11: Dados los vectores A = ( 2, -1, 1),B = (1, 2, -1), yC =(1, 1, -2)deV3.. Hallar los vectoresDde la forma xB +yCortogonales aAy de longitud unidad.ComoD = xB + yC= x(1, 2, -1) + y(1, 1, -2) = (x + y,2x + y,-x - 2y )Como D A:D . A = 02(x+ y) (2x +y) + (-x - 2y)= 0-x - y =0x =-ypor tanto:D= (0, -y, -y)Si//D//=1 //D// =22 2y y y +Por la transitiva: 2 y=1 y =22t ; En consecuencia: D = (0, 22t , 22t )

Ejemplo 2.12 : Si A= (1, -1, 2) y B = (2, 1, -1). Hallar un vector no nulo C de V3que sea ortogonal a Ay a B.SiA C A . C =0 y siB C B . C = 0Si hacemosC= (x, y, z):A . C = x y + 2z = 0 yB . C = 2x + y z = 019

Haciendo z = t: ' + t y xt y x22Resolviendo en funcin de t: x = -t/3ey = x + 2t = -t/3 + 2t = 5t/3Por lo tanto:C = ( -t/3, 5t/3, t ) = t( -1/3, 5/3, 1 ) siendo t un nmero real cualquiera.Ejemplo 2.13: Demostrarsies o no cierta la siguienteproposicinreferenteavectoresdeVn. SiA . B = A . C = 0y A 0,entonces B = C.SiA . B = A . C A . B A . C = 0 A . ( B C ) = 0/PDPEPara que esta igualdad sea cero, A = 0B C = 0,como A 0 por hiptesis entonces B C =0 luego B = Cque es lo que queramos demostrar.Ejemplo 2.14:Demostrar si es o no cierta las siguientes proposiciones:a) SiA es ortogonal a B,// A + xB // // A // para todo real x.Si A B A . B = 0 Como // A + x B // // A //> 0/PPNsi elevamos al cuadrado el signo de la desigualdad no cambia:norma de . Def / // A // A . A ) xB A .( ) xB A ( // A // // xB A //2 2 2 + + +norma de . Def y PCPE / // A // // B // x ) B . A ( x // A // ) xB A .( ) xB A (norma de . Def y PHPE / ) B . B ( x ) A . B ( x ) B . A ( x // A // ) xB A .( ) xB A (PDPE / ) xB ).( xB ( A ). xB ( ) xB .( A A . A ) xB A .( xB ) xB A .( A ) xB A .( ) xB A (2 2 2 22 22 + + + ++ + + + ++ + + + + + + +. x de valortodo para verdadera es d desigualda la , cuadrado al elevados estn como // B // x B . A Como// B // x ) B . A ( x : ndo Simplifica0 00 22 22 2 +b) Si // A + xB // // A // para todo real x,A es ortogonal a BPor el apartado anterior tenemos que:0 // // ) . ( 22 2 + B x B A x[ ]'' < < + 2 2// //. 20// //. 20BB Ax xBB Ax x, conjuntoque no abarca todo el campo real, por lo tanto si se quiere que x sea cualquier real es necesario que A.B=0

20//B// //A//

PyQ60Qx36) SeanA = (5, 2), B = (-3, -4)yC = (4, 7).Calcular:a) A . Bb) (2A + 3B ).Cc) (B + C).(B - C)37) Si:A = (2, 1, -1)yB = (1, -1, 2), hallar un vector Cno nulo de modo que: A .C = B .C = 038) Si:A = (2, -1, 2)yB = (1, 2, -2):a)Hallar dos vectores C y D deV3quesatisfaga todas las condiciones siguientes: A - D = C , B.D = 0y queCtenga la misma recta de accin queB.b) Hallarlosvaloresposiblesde xeytales que C = xA + yBy queB.C = 039) Suponiendo que enV2se define el producto escalar de dos vectoresA = (a1,a2)yB = (b1b2) con la frmula:A.B = 2a1b1 + a2b2 + a1b2 + a2b1a) Demostrar que son vlidas las propiedades distributiva y de positividad.b) Es vlida la desigualdad de Cauchy-Schwarz?40) Setienen losvectores: A = rP,B = tQ y C = (-3, 22).Calcular AyBsiC = rP + tQ (ver figura 2.22)41) Tres vectores deVn(A, ByC)si se cumple que A + B - C = A + B + C. Deter-minar cuanto vale (A + B).Cy diga que se puede afirmar de estos vectores.42) Qu punto sobre el ejeyequidista de (3, -2) y (5, 6)?43) Demostrar la verdad o falsedad de la siguiente proposicin relativa a vectores de Vn: " si A es ortogonal aB, entoncesA + xB Apara todo nmero real x ". 44) Un vector de A de Vn tiene longitud 6 y otro B tiene la propiedad de que, para todo par deescalaresx e y, los vectoresxA + yBy4yA - 9xBson ortogonales. Calcular las longitudes deByde2A + 3B.45) Demostrar vectorialmente que el ngulo inscrito en una semicircunferencia es90.46) Demostrar mediante un contraejemplo que:A.B = A.Cno implica ni queB = Cni que A = 0.47) Demostrar que si A + B = A - B, entonces A y B son perpendiculares.48) Demostrar que (A - B).(A + B) = A - B.49) Demostrar que los nicos vectores unitarios ortogonales al vector unitario U = (a, b) son V1 = (b,-a) y V2 = (-b, a).50) Qu es lo que puede concluirse si se sabe que un vector es perpendicular a s mismo?51) Demostrar que A - B A-B para todo A,B perteneciente a Vn.21//B// //A//

0P B A

//A// 52) Si A =(2, -1, 1) y B =(3, -4, -4) , hallar un puntoCtal que A, B, y C son los vrtices de untringulo rectngulo.53) Sean A =(1, 2) y B =(3, 4) dos vectores de V2. Hallar los vectores P y Q tales que A =P + Q,sabiendo que P // B,y Q es ortogonal a B.54) Dados dos vectores A = (1, 2, 3, 4, 5) y B = (1, , 1/3, , 1/5). Hallar dos vectores C y D que satisfacen las tres condiciones siguientes:Cparalelo aA,D es ortogonal a A,yB = C + D.55) Formando el producto escalar de los vectores A = cos i + sen j y B = cos i + sen j, deducir la identidad trigonomtrica:cos ( ) = coscos + sen sen 56) Demostrar que dos vectores de Vn cumplen la siguiente proposicin:// A + B // + // A B // =2 // A // + 2 // B //Qu teorema de Geometra referente a los ladosy diagonales de un paralelogramo se puede deducirde esta identidada?57)Sean A =(1, 2, 3, 4), B = (-1, 2, -3, 0) y C =(0, 1, 0,1) tres vectores de V4,. Calcular cada uno de los siguientes productos: a) A . B; b)B . C; c) A . C; d) A .(B + C);e) (A - B) . C58) DadostresvectoresA=(2,4,-7), B=(2,6,3), yC=(3,4,-5). Encadaunadelas expresiones siguientes se puedenintroducir parntesis de unasolamaneraparaobtener una expresin que tenga sentido. Introducir dichos parntesis y efectuar las operaciones . a) A . BC;b)A . B + C ;c)A + B .C;d)A B . C59) Demostrar si es o no cierta la proposicin siguiente referente a vectores en Vn: Si A.B = A.C y A 0, esB = C.60) Demostrar si es o no cierta la proposicin siguiente que se refiere a vectores en Vn:Si A.B=0 para todo B,es A = 0?61) Si A =(1, -2, 3) y B =(1, 2, -2), hallar los escalares x e y tales que C = xA + yB es un vector no nulo y que C . B = 062) Si A =(2, -1, 2) y B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V3 .Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores: a) A + B; b) A - B; c) A + B - C; d) A B + C63)Si A =(1, 2, 3, 4, 5) y B =(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5), hallar dos vectores C y D de V5 que satisfagan todas las condiciones siguientes:B = C + 2D,D . A = 0yCparaleloaA.64) Sean A =(2, -1, 5), B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V5.Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores: a) A + B; b)A - B: c)A + 2B; d)A - 2B; e)2A - B65) En cada caso hallar un vector B de V2tal que B . A = 0y//B// = //A//si: a) A = (1, 1);b) A =(1, -1); c) A =(2, -3);d)A =(a, b)66)Sean A = (1, -2, 3) y B =(3, 1, 2) dos vectores de V3.En cada caso, hallar un vector C de longitud unidad paralelo a:22A+B//B// A//A+B//0 PB//A//

0P B A

//A// a) A +B; b) A - B;c) A + 2B; d) A - 2B;e)2A- -B67)Dados los vectores de V3 A = (4, 1, -3), B =(1, 2, 2), C =(1, 2, -2), D =(2, 1, 2) y E =(2, -2,-1).Determinar todos los pares ortogonales.68)Hallar todos los vectores de V2 que tienen la misma longitud que A y le son ortogonales si:

a) A = (1, 2),b) A = (1, -2);c)A =(2, -1);d) A =(-2, 1)69)Si A =(1, -1, 2)y B = (2, 1, -1), hallar un vector no nulo C de V5ortogonal a Ay a B.70)Dados los vectores A =(2, -1, 1), B =(1, 2, -1), y C =(1, 1, -2) de V3.Hallar los vectores D de la forma xB + yC ortogonales a Ay de longitud unidad.71) Demostrar que para dos vectores A y B se tiene la identidad:A B A B A B y por tanto A B si y slo si A B A B + + 2 24 0 . .Interpretar este resultado geomtricamente en V2; las diagonales de un paralelogramo son igualessi y slo si el paralelogramo es un rectngulo.72) UnvectordeVntienelongitud6. UnvectordeVntienelapropiedaddequeparatodoparde escalares x e y los vectoresxA + yBy yA - 9xB son ortogonales.Calcular las longitudes de B y de 2A + 3B.73)Dados en Vndos vectores A y B no nulos y no paralelos, demostrar que existen vectores C y D quesatisfacen las tres condiciones del ejercicio 21 y expresar C y D en funcin de Ay B.74)Demostrar si es o no cierta cada una de las proposiciones siguientes relativas a vectores en Vn:a) Si A es ortogonal a B,, //A + xB// //A// para todo nmero real x.b) Si //A+ xB// //A//para todo nmero real x, A es ortogonal a B.El ngulo que forman dos vectores, es aquel que tiene en su vrtice la cola de los dos vectores, como se muestra en la figura 2.23. Al estudiar el vector suma A + B, se dedujo que su mdulo era igual a: cos // //// // 2 // // // // // //2 2 2B A B A B A + + +23

0P B A

//A// j 1

0 jy oi k 1 i

i

iPor definicin de norma sabemos que: B A B A B A B A B A . 2 // // // // ) ).( ( // //2 2 2+ + + + +Aplicando la propiedad transitiva, tenemos: cos // //// // 2 // // // //2 2B A B A + +=B A B A . 2 // // // //2 2+ +De donde se deduce que:A . B = //A// //B// cos Luego: Dados dos vectores A y B de Vn, tal que AcB, definimosvector proyeccin de A sobre el vector B, como elvector que tiene su cola en la cola de B y su flecha en el pie de la perpendicular bajada de la flecha de A a larecta de accin de B.Eliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros de la igualdad por B:B . A = B . (cB+ PA) = B . (cB) + B . PA =c(B . B) + 0/PA ByPHPEBBB AP to porBB Ac que deduce se donde De ,_

2 2// //.tan// //.: a) Mdulo del vector proyeccin:BB ABBB ABBB ABBB ABBB AP. . .. .// //222 2

,_

BB AP Luego.: 24Segn la definicin el vector proyeccin de A sobre B, es un vector cB,como se muestra en la figura 2.24, de donde se deduce que, P = cB,luego nuestro problema se reduce a calcular c. Para poder relacionar este vector con el vector A, nos inventamos elvector PA, que es ortogonal al vector B, y por lo tanto PA . B=0.Este vector permite afirmar que el vectorA = P + PAComo P = cB:A = cB + PA

,_

// // // //.cos .// // // //.cosB AB AarcB AB A B O1 Ab1a13Sentido del vector proyeccin:Como el vector proyeccin, es un vector P = cB, su sentido depender del signo de c, como c es igual a 2// //.BB Ac y comoA . B = //A// //B// cos :cos// //// //// //cos // // // //2BABB Ac Como las normas son siempre positivas, el signo de c depender exclusivamente del cos, luego para facilitar ver la variacin del coseno, hacemos su grfica, que se adjunta.0/2 3 /2 2 x x1-1y = cosxy(+) (+) ( + )(-) - )j 1

0 jy oi k 1 i

i

iEn consecuencia tenemos que:'< < < >232022320 0 : as ser esto y cos el cuando , negativo ser: cuando as ser esto y cos cuando , positvo ser: c::c)Direccin del vector proyeccin: como P = cB, entonces la direccin del vector proyeccin P. Ser igual ala direccin del vector B.

Los vectores coordenados unitarios son aquellos que tienen su cola en el origen, tienen como recta de accin los ejes coordenados, su sentido coincide con el positivo de stos y su longitud es la unidad. Por lo tanto habrtantos vectorescomoejesysi el sistemaesortogonal losvectorescoordenadosunitarios sern ortogonales entre si.Teniendo en cuenta la descripcin anterior, los vectores coordenados unitarios en Vn, sernlos "n" vectores E1 = (1, 0, 0, ... , 0, 0), E2 = (0, 1, 0, ......, 0, 0),......En = (0, 0, 0, ... , 0, 1), en donde elk-simo componente deEkes igual a 1y todos los dems componentes son cero.Obsrvese que: ' ::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: 0 . :......., 3 , 2 , 1 1 // // : ) ( 1j i si E E si entre s ortogonale Sonn K para E unitaruio a igual mdulo Tienenj iKTeorema:LosvectorescoordenadosunitariospermitenexpresartodovectorX=(x1x2,....,xn)deVncomo combinacin lineal de ellos, esto es:Tesis + + + nii i n n nE x E x E x E x x x x X Si12 2 1 1 2 1.......... ) , .......... , , (

Demostracin: Determinando los productos xE: + + + nii i n nnin i in n n nlqqd E x E x E x E x X LuegoX x x x E xigualdades las miembro a miembro Sumando x x E xx x E xx x E x12 2 1 112 12 2 2 21 1 1 1........ :) ......., .......... , , (: ) ........, , 0 , 0 , 0 ( ) 1 ,......., 0 , 0 , 0 (........ .......... ..........) 0 ........, , 0 , , 0 ( ) 0 ,......., 0 , 1 , 0 () 0 ........, , 0 , 0 , ( ) 0 ,......., 0 , 0 , 1 (Debido a que los sistemas ms usuales son el bidimensional y el tridimensional, vamos a convenir la siguientesimplificacin, llamando a k E a y j E i E 3 2 1,, de modo que:- EnV2:i = (1,0), j = (0,1) figura 2.25 a

25 B O1 Ab1a131 Aa1 x2 1//A//a2yEn V2 en cambio se tiene dos ejes y todo vector formar con cada uno de los ejes un ngulo, por lo tanto tendremos dos ngulos directores.Dado el vector A = ( a1 , a2 )Vemos que el vector Aforma con el eje XX un ngulo 1y conel eje YY2,que correspondenasus ngulos directores.j 1

0 jy oi zxyxk 1 1(b)1(a)i

i

i1- EnV3:i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0) ,k = (0,0,1)figura 2.25 b 1

Luego un vectorA = ( 2, 3) = 2i + 3jy siB = (2, -3, 5) = 2i - 3j + 5k Son los ngulos que un vector forma con cada uno de los ejes coordenados.Por lo tanto habr tantos nguloscomo ejes tenga el sistema, p.e. si estamos en Vn tendremos n ejes y por lo tanto el vector formar con cada uno de estos ejes n ngulos, llamados directores, debido a que definen la direccin del vector.Anlisis: vamos a realizar un estudio inductivo acerca de este tema y empezaremos en V1: En V1todos los vectores de dicho espacio tienen la misma recta de accin y por lo tanto todos ellos forman con su nico eje un solo ngulo cuyo valor es 0 , no se da otra alternativa. En la figura siguiente se ilustra considerando el vector A =(a1 ) y el vector B = (b1 ), de modo que el vector A tiene como ngulo director 1 = 0yB1 = .

Yaspodemosseguirhasta llegar al espacio Vn , de modo que un vector en dicho espacio formar n ngulos directores. Dichos ngulos sern: 1 , 2 , 3 , ............, nrespectivamente.26 B O1 Ab1a1EnV3tenemostresejesluegoel vectorformartres ngulos ysern: a1, a2 y a3como se muestra en la figura 2.28a1a3a2yzx//A//dA1231 Vienen a ser los cosenos de los ngulos directores.El valor de dichos cosenos se puede inducir, haciendo un anlisis de los casos particulares.EnV1como el ngulo es igual a 0 entonces los cosenos directores de todos los vectores de este espacioson iguales a 1 1.Portantosepuededecirquecos1= 11aaelcualser1o1dependiendodel valorquetengala componente, sia1 0 entoncescos1 = 1 En V2apoyndonos en la figura anterior se puede deducir que: Aacos yAacos2211 Podemos hacer lo mismo en V3de modo que: AayAaAa332211cos cos ; cos

Luego enVnunvector A = (a1 , a2 , ......, an )tendr n cosenos directores que se pueden sintetizar de la manera siguiente al observar los casos particulares:De donde: Aacos .. .......... .......... .......... .......... .......... ..........Aacos ;Aacosnn 2211Se conviene usar la designacin , ,ycuando trabajamos en V2yen V3.3De donde se deduce que: Ac1como c>0 entonces/c/ = c = A1Por lo tanto:Au = cA = ( )nnAaAaAaAA cos ....., , cos , cos .., .......... ,.. ,,2 12 1

,_

Vemos que el vector unitario del vector A es un vector cuyas componentes son los cosenos directores de dicho vector.27El vectorunitariodeunvector dado A =(a1 , a2 ,......., an ) de Vn, es aquel vector que tiene la misma direccin y sentido que A pero su mdulo es la unidad.Dicho vector se designa como Au Por lo anterior se tiene que A// Aluego: Au = cA y// Au //=// cA //= /c/ // A //y // Au // = 1Aplicando la transitiva :/c/ // A // = 1 0P B

n iiiAa......, , 2 , 1cos Au = ( )nnAaAaAa cos ....., , cos , cos .., .......... ,.. ,,2 12 1

,_

AAU1 Ejemplo 2.15:Tres vectoresA, ByC deVnsatisfacen las condiciones siguientes:// A // = // C // = 5,/ / B // = 1, //A- B + C // = // A + B + C //. Si el ngulo que formanAyBes/8, hallar el que formanByC.Solucin:Llamando al ngulo que forman B y C, y elevando al cuadrado la ltima igualdad para evitar races cuadradas tenemos // A B + C // = ( A B + C ).( A B + C ) = A.A + B.B + C.C - 2A.B - 2B.C - 2A.C // A + B + // = ( A + B + C ).( A + B + C ) =A.A + B.B + C.C + 2A.B + 2B.C + 2A.CIgualando y simplificando:-A.B = B.C-//A// //B//cos(/8) = //B// //C//cosentonces cos = -cos (/8)luego = 7/8Ejemplo 2.16:a) Sean:A = ( a, b, c )y , , los ngulos queAformaconlosvectorescoordenadosunitarios i,jyk, respectivamente.Calcularcos ,cos ,cos . Estos se llaman cosenos directores deA.b) Hallar todos los vectores deV3de longitud1paralelos aA.Solucin:a)A .i = ( a, b, c ). (1, 0, 0) = a (1)A .i = //A////i//cos //A//1 0 0 1 // //2 2 2 + + i yc+b+a=2 2 2 A.i = cos c b a2 2 2+ +(2) Igualando(1)=(2) se deduce: c+b+aa=2 2 2 cos Anlogamente: c+b+ab=2 2 2 cos;c+b+ac= cos2 2 2 b) Sea:Au = tAun vector unitario de A:1 =c+b+a| t | = // A // | t | = // A //2 2 2u u de dondec+b+a1= t2 2 2tPor lo que: c+b+ac) b, (a,_ + = A2 2 2u=

,_

+ + + + + +t2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,c b acc b abc b aa

Luego:) , , ( = Au t cos cos cosEjemplo 2.17Determinar la proyeccin de A sobre B si A = (1,2,3) y B = (1,2,2)28 0P B

Por definicin sabemos que P = cB,y que P + PA = Asiendo PA BEliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros por B:B . ( P + PA ) = B . AB . P + B . PA = B . Asabemos queB . PA = 0Y comoP = cB:B . (cB) = B . Adespejando:( )) 2 , 2 , 1 (911tan9114 4 16 4 1 .2 2+ ++ + P to PorBB Ac75) En cada uno de los siguientes casos, expresarAcomo la suma de un vector paralelo a B y un vectorortogonal aB.a) A = (-5,8) , B = (1,1)b) A = (1,2,3) , B = (0,0,1)c) A = (1,2,3) , B = (1,1,0)d) A = (2,1,1) , B = (1,2,0)76) En cada uno de los siguientes casos, calcular el componente y la proyeccin deAsobreB.a) A = (1,1,1) , B = (1,0,1)b) A = (1,0,1) , B = (1,1,1)c) A = (1,2,-3,6),B = (1,0,1,0)d) A = (a1,a2,a3) , B = (0,a2,0) 77) Dados tres vectores no nulosA, ByCdeVn, suponer que el ngulo que formaA y Ces igual al que formanB y C.Demostrar queCes ortogonal al vector//B// A - //A// B78) Formando el producto escalar de los dos vectores (cos a, sen a) y (cos , sen ), deducir laidentidad trigonomtrica:cos(a-) = cos a.cos + sen a.sen . 79) Dados los vectores:U = 3i-jyV = ai+4j ,a) Determinar "a" de forma queUyVsean ortogonales.b) Determinar "a" de forma queUyVtengan sentidos opuestas.80) Dados tres vectoresA, ByCdeV2, siendoAortogonal aCdel mismo mdulo, demostrar que: //A////B// = (A.B) + (C.B) a) Probar que: U=( 2 2 , 2 2 )i+( 2 2 )j y V=(- 2 2 )i+( 2 2 )j,son vectores unitarios perpendiculares.b)Expresarien la formaxU + yV.c) Expresarjen la formaxU + yV.d) Expresar-2i + 3jen la formaxU + yV.81) Demostrar que para vectores cualquiera A,B y C de Vn, siendo //B// =//C// = 1yB.C = 0, se cumple: A = (B.A)B+(C.A)C29 0P B

A82) DemostrarqueparatresvectorescoplanaresA, ByCdeVn, , siendoByCperpendiculares, y //B//=//C//,se cumple:a) //B//A = (B.A)B+(C.A)Cb) //B// //A// = (B.A)+(C.A)83) Para dos vectores cualesquiera A y B de Vn, demostrar que:a) Si: A = tB y t > 0, entonces (A.B) / (//A// //B//) = 1.b) Si: A = tB y t < 0, entonces (A.B) / (//A//// //B//) = -1.84) Sean: A =(a1,a2), B =(b1,b2)yC =(c1,c2). Demostrar que b1=c1, si A.B = A.CyA es paralelo al eje X.85) Tres vectoresA, B, C de V3 satisfacen las propiedades siguientes: //A//=//C//=5;//B//=1; // A B + C //=// A + B + C //. Si el ngulo que forman A y B es /8,hallar el que forman B y C.86) Demostrarqueel nguloqueformanA = (1, 2, 1)y B = (2, 1, -1)esel dobledelque forman C = (1, 4, 1)yD = (2, 5, 5).87) Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo son perpendiculares.88) Dados dos vectores A = ( cosa,- sena )yB = ( sena,cosa ) de V2.a. Demostrar que A y B son ortogonales de longitud unidad. Haga un dibujo en el que A y B formen un ngulo = /6.b. Hallar todos los vectores (x, y) de V2tales que (x,y) = xA + yB.Asegurarse de que seconsideran todos los posibles valores de .89) La identidad A . B = //A// //B// cosda lugar a una interpretacin geomtrica del producto escalarenel espaciode3dimensiones. Estaidentidadsugiereunamaneradedefinirngulosentre vectores en un n espacio.Sean A y B dos vectores del n espacio. Demostrar que: a)1.1 B AB A b) Existe exactamente una , 0 tal que A . B = //A// //B// cos . Esta se denominangula entre A y B.c) Es vlida la Ley del Coseno en un n espacio?90) En relacin con elejercicio 58, sean A = (1, 1, .., 1)yB = (1, 2, 3, ., n):a)Demostrar que:2 / 1123cos++nnb)Encontrar el lmite del valor de cuando n crece indefinidamente ( es decir, cuando1/n 0)91) Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior cuando, A = (2, 4, 6,.,2n)y B=(1, 3, 5, ..,2n-1).92) Dados los vectores A = 2i j + k,B = i + 2j k,C = i + j 2kencontrar todos los vectores delongitud unidadque sean combinacin lineal de B y C y perpendiculares a A.93) Si A = 2i j + k y B = 3i 4j 4k encontrar un vector C en el espacio V3 tal que los extremos de A, B y C sean los vrtices de un tringulo rectngulo.Proyecciones, ngulos y vectores coordenados unitarios30

Comoelescalarnuncapodrcambiarla direccin a A B, cA no podr ser opuesto de dB

SiA = e B, existeun real e tal que - A =eBLuego A+ eB=A + ( - A )= 094) Determinar la proyeccin de A sobre B si A =(1, 2, 3) yB =(1, 2, 2).95) a) Sean A =(6, 3, -2) y a, b, c los ngulos directores de A. Calcular los cosenos directores.b) Hallar todos los vectores de V3 de longitud unidad paralelos a A.96) Demostrar que el ngulo que forman A=(1, 2,1) y B =(2, 1,-1) es el doble del que forman C =(1, 4,1) y D =(2, 5, 5).97) Determinar vectorialmente los cosenos de los ngulos del tringulo en el espacio de 3 dimensionescuyos vrtices son los puntos A =(2, -1, 1), B =(1, -3, -5) y C =(3, -4, -4).98)Dados los puntos A =(1, 0, 0), B =(2, 0, 1), C =(1, 2, 2) y D =(0, 1, 1). Se pide:a) Hallar el volumen del tetraedro de vrtices A, B, C y Db) Determinar el rea del tringulo de vrtices B, C y D.c) Calcular la distancia del vrtice A a la cara BCD.AntesdedefinirlaEnvolventeLineal, esnecesariodefiniralgunosconceptospreviosquenospermitirnentenderconmayorfacilidadloprimero, porloqueserecomiendaalalumnoponeratencinybastante esfuerzo para asimilarlos.Se puede decir que es uno de los temas que presentan mayor dificultad en el lgebra Vectorial y su aprendizaje requiere tiempo y esfuerzo por parte del alumno.Se tiene un conjunto finito S = { A1, A2, A3, , Ak } de kvectores de Vnyci R.. Se dice que X es un vectorgeneradopor S, si X se expresa como combinacin linealde los k vectores de S, esto es: Luego decimos que X depende linealmente de los k vectores de S, tambinque X es una combinacin linealdeloskvectoresdeS, sonformasdedecirlomismoyqueel alumnodeberfamiliarizarseconesaterminologa.Cuando estudiamos el vector cA, vimos que cuando c = 0 entoncescA = 0, esto es, generamos el vector cero a partirdel vector cAhaciendo c = 0.Ennuestrocaso generaremosalvectorcero atravs deX, luego X = 0sici = 0para todo i = 1,2,....,k.,esto es,si0 c .. .......... c ck 2 1 . LuegoX= ci A1, + ci A2+ ci A3, ,+ ci Ak= 0A1 + 0A2 + .+ 0Ak = 0 + 0 + + 0 = 0A esta generacin del vector cero se le llama forma trivial, y la disfruta todo conjunto de vectores S de Vn. Ya que su generacin depende exclusivamente del escalar ci, esto es, de hacer ci= 0 y no de los vectores que conforman S. Por tanto afirmamos que, todo conjunto Sfinito de vectores de Vn, genera al vector cero de modo trivial.Se aconseja al alumno estudiar detenidamente el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.31

Comoelescalarnuncapodrcambiarla direccin a A B, cA no podr ser opuesto de dB

SiA = e B, existeun real e tal que - A =eBLuego A+ eB=A + ( - A )= 0 + + + kii i k kA c X entonces A c A c A c X12 2 1 1.. ..........Esnecesariohacernotarquelageneracin del vectorcero de modo trivial,se origina por elhechodequeAyBsonparalelos,estoes, A = eB. Teniendo en cuenta lo que estamos estudiandopodemos decirque el vectorAes un vector generado por B, o que el vector A depende linealmentedeB, porlotantoAyBsondosvectores dependientes, en consecuencia elconjunto S = {A, B} ser un conjunto de vectores linealmente dependiente. Perosi A eB, esdecir, tienendiferente direccin, esto haceimposiblequeel vector cA sea el opuesto de dB. Por tanto no existen valores reales de c yddistintos de ceroque hagan que X = 0En este caso el conjunto S genera al vectorcerodeunasolamanera, yesamaneraesla forma trivial, esto es,cuandolosescalaresc y d son iguales a cero.En este caso decimos que el conjuntoSgeneraal vector cerocon unicidad.. Supongamos que S ={ A, B } de Vn, entonces el vector generado por S ser X = cA + dB, luego decimos que X es un vector que depende linealmente de A y B, o que X es un vector generado por A y B.Ahora si A y B son vectores distintos del vector cero, el conjunto S podr generar al vector cero de dosmaneras, que corresponden a las dos operaciones presentes, el producto de un escalar por un vector y la suma de vectores.1. La primera se da por el producto de un escalar por un vector y que corresponde a la forma trivial, que es elmodo de generar al vector cero que goza todo conjunto S. Es decir si hacemos que c = d = 0 entonces X = 0A + 0B = 0por tanto X = 0.2. La otra manera de generar al vector cero se da por la suma de vectores, dado que X = cA + dB,es necesarioque el vector dB sea el opuesto del vector cA. Pero para que esto sea posible A y B deben tenerla misma direccin ( A = eB ),yaque lo quejamspodrhacer el escalar sobre elvectores cambiarleladireccin.Por tanto sidBesel opuesto decA,entoncesresultaque X = cA + dB = 0, en este casoel alumno podr observar que c y d son distintos de cero, y por lo tanto la generacin no se realiza delmodo trivial. Para que el alumno lo entienda mejor lo haremos de otra manera.Operando matemticamente tendramos:SiX = cA + dB, y comoA = eB,entonces:X = c( eB ) + dB = ceB + dB = ( ce + d )BComolageneracindelvectorcerome exige queX= 0 entoncesce + d= 0, dadoque B 0,entoncesce = - d.Es decir, basta que se cumpla esta igualdad para que X = 0.En este caso vemos que el conjunto S genera al vector cero, de un modo no trivial, dado que los escalares cy d son distintos de cero.

Al ser A eB, decimos que A no es generado por B y por lo tanto A y B son dos vectores linealmente independientes, en consecuencia el conjunto S = { A, B } ser un conjunto de vectores linealmente independiente..De esta manera hemos introducido dos conceptos nuevos, la generacin del vector cero con unicidad y la independencia lineal de un conjunto finito de vectores.32

Comoelescalarnuncapodrcambiarla direccin a A B, cA no podr ser opuesto de dBBAOnSiA eB

SiA = e B, existeun real e tal que - A =eBLuego A+ eB=A + ( - A )= 0SiA = eBAOBeBc2B c1A AB + cA

Decimos que un conjunto S de k vectores de Vn, genera con unicidad al vector cero si dicho conjunto S genera al vector cero de una nica manera, esto es, del modo trivial.1.Decimos que un conjunto S de k vectores de Vn, es linealmente independiente si genera con unicidad al vector cero. 2. En caso contrario decimos que S es un conjunto de vectores linealmente dependiente. Vamos a resolver dos ejemplos que ilustren al alumno estos conceptos:Ejemplo 2: Dado el conjunto S ={ i, j, k } de V3, formado por los vectores coordenados unitarios, demostrar que dicho conjuntoes linealmente independiente.El vector generado por S ser: X = ci + dj + ek = (c, d, e) / Def. de vector generadoComo la generacin del vector cero debe hacerse a travs de X = (0,0,0)Entonces por la transitiva: (c, d, e) = (0, 0, 0) '000edcpor igualdad de vectoresPor tanto la generacin del vector cero me exige que c = d = e = 0, luego la generacin se realiza de modo trivial, en consecuencia el conjunto S es linealmente independiente.Ejemplo 3: Dado el conjunto S = { i,j, 2i j } de V2, se pide estudiar el conjunto S y decir si es linealmenteindependiente o no.El vector generado por S ser: X =c i + d j + e( 2i - j)/ Def. de vector generadoOperando tenemos: X = (c + 2e)i + ( d - e)j= (c + 2e,d - e)Como la generacin del vector cero debe hacerse a travs de X = 0 = (0, 0)Entonces por la transitiva tenemos: (c + 2e,d-e) = (0, 0) ' +00 2e de c / por igualdad de vectoresResolviendo tenemos que d = e y que c = -2e, luego para generar el vector cero basta que se cumplan dichas igualdades.Ahora como c, dy e son escalares, existen infinitos valores de c, d yeque satisfacen dichas condiciones.Por ejemplo si hacemos e = 1 entonces d = 1 y c = - 2, estos valores al ser reemplazados en nuestro vector nosdeber dar el vector cero: X = (c + 2e,d - e)=(- 2 + 2x1, 1-1) = (0, 0) y as podramos seguir dando valores reales a e y obtener valores de d y c, que tambin hacen X = 0, luego existen infinitas formas de generar alvector cero.Si el conjunto S no genera con unicidad al vector cero, decimos que S es linealmente dependiente.33c2B c1A AB + cA

Este estudio nos permite ver que existe dos tipos de conjuntos finitos de vectores, los que son linealmenteindependientes y los que son linealmente dependientes.Vamos avolver aconsideraralvectorX definido aliniciodel apartado, parapoderentendermejor este concepto.Anlisis delvector kii iA c X1Para conocer bien el vector X estudiaremos su generacin. Vemos que X es un vector que se obtiene sumando vectores cA.Como sabemos un vector cA, se caracteriza por tener su cola en el origen y su flecha en cualquierpunto de la recta de accin de A. Luegoel primer sumandosuponeinfinitos vectores quetienenqueser sumados coninfinitos vectorescorrespondientes al segundo sumando y as sucesivamente hasta el k-simo sumando.Esto nos lleva a vislumbrar que se generan infinitos vectores X, que resultan de todas las combinacionesposibles de sumar lasinfinitas alternativas de cada uno de los k sumandos entre si. La Envolvente Lineal de un conjunto finito de vectores S se define, como el conjunto de todos los vectores generados por S.. Se designa como L(S) = { X }{ } kii i n k ,A c X Entonces V de A .., .......... , A , A S Si12 1{ };' kii iA c X ) S ( L to tan lo por y1La envolvente de S se puede designar de tres maneras diferentes:1.Algebraica: L(S)2. Analtica simplificada:{X} Vamosatratardeexplicaresteconceptodebidoaladificultadquepresentasuconcepcin, paraesto empezaremos su estudio,viendolos casos ms simples:Ejemplo 4.Primer Caso: SiS = { A } deVnEntonces X = cA por tantoL( S ) = { X } ={ cA }En este caso la envolvente lineal del conjunto S es el conjunto de todos los vectores cA, que se caracterizan portener su cola en el origen y su flecha en cualquier puntode su recta de accin, esto es,un espacio equivalente al unidimensional. En este caso la recta de accin de Ahace de soporte de la envolvente. Desde el punto de vista geomtrico decimos que todos los vectores de dicha envolvente son colineales. 34;'kii iA c da desarrolla Analtica 3.10nAcA

c3CC

A 0n c1ALAc2B Bc1 AA0nM0c1A AB + cA

LBLALATomamos una alternativa c2B por ejemplo si c2= 1 entonces c2B = B y le sumamos todos los vectoresc1A,trasladndolosparalelamente a si mismoshasta quesu cola coincida con la flecha de B, entonces: losvectores B + c1A tendrn su cola en la cola de B,esto es, enel origen y suflecha en cualquierpunto dela recta de accin deA, pero en la nuevaposicin ya que ha sido trasladada, esto es LA.Desde el punto de vista geomtrico lo que hemos hecho es, hacer pasar por el punto B una recta LAparalela a LA.Tambin podemos observar que la generacin del vector cero,se dacuandoc = 0, esto es,cA = 0sic = 0,luegoSgeneraconunicidadal vector ceroypor lotantoSes unconjuntode vectores linealmenteindependiente.Ejemplo 5.Segundo Caso: Si S = { A, B } de Vn EntoncesX = c1A + c2Bpor tantoL(S) = {X} ={ c1A + c2B }Como se vio en elejemplo 1, se dan dos situaciones:1. Cuando S es linealmente independiente.2. Ycuando no lo es.Veamos el primero, cuando A tB, esto es, cuando tiene distinta direccin, por lo tanto el conjunto S esLinealmente Independiente.En este caso vemos que ya no es tan fcil definir la envolvente. Para determinar la naturaleza de los vectores X se hace necesarioun anlisis previo.Procedemos a definir a cada uno de los sumandos, esto es, c1A y c2 B como aparecen en el esquema grficoadjunto. Teniendo en cuentaquelos vectoresse suman punta con colay quetodoslos vectores c1A tienen su cola en el origen, hacemos lo siguiente:Es importante tener en cuenta, que en la suma el primer vector es B, y todos estos vectores tienen sucola en elorigen, por lo tanto la cola de los vectores suma B + cA, tendrn su cola en la cola del primero, esto es, de B ysu flecha en cualquier punto de la recta LA.Ahora bien, lo que hemos hecho con B lo tenemos que hacer con todos los vectores dB. Esto implicara, ya que cada punto de la recta de accin de B (LB ) es una flecha de un vector dB, desde el punto de vista geomtrico hacer pasar por cada punto de dicha recta una recta paralela a la recta de accin de A (LA). Hacer esto es equivalente a imaginar lo siguiente, manteniendo a LB como gua, deslizamos LAparalelamente a simismaapoyndose sobre LB, hacer estosupondra la generacindel planoM. Elalumno deber tener presente que los puntos de cada una de stas rectas me definirn las flechas del vector suma, ya que cA es elsegundo y adopta las posiciones descritas.De ese modo los vectores suma dB + cA tendrn su cola en la cola de dB, esto es el origen, y su flecha en cualquier punto del plano M definido por LA al deslizarse paralelamente a si misma apoyndose en LB. En este caso el soporte de la envolvente es el plano M.Luego la envolvente lineal de S sera, el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al bidimensional, esto es, el plano Mdefinido por LA y LB.En este caso todos los vectores serancoplanares.35

c3CC

A 0n c1ALAComoX = cA + dB y A =tB, entonces:X = c (tB) + dB = (c t +d) B como c, ty d son escalares,c t + dser otro escalar que llamaremos e,luegoX = e BPortantolaenvolventelineal deS, L(S)={eB}quecorrespondeala EnvolventeLineal de B,ahora como A =t B, tambin podemosdecir que es igual a la envolvente lineal de A, esto es,L(A),en consecuencia L(S) = L(A) = L(B).anlisis previo, y demodo anlogoal caso anterior, se define en primer lugar acada unodelos sumandos de X,esto esc1 A, c2 Byc3 C, comose ilustraen la figura.El estudio del caso anterior nos permite saber como son los vectoresc1A + c2B, ,luegonos quedarasumrselosalosvectoresc3C. Parahaceresto, procedemosde manerasimilar. Consideramos una primera alternativade c3C, esto esc3 =1demodo que c3 C = Cy le sumamos a este vector los infinitos vectores c1A + c2B,trasladndolos demodo quela cola de estosvectores coincidaconla flechade C, de modo que los vectores suma C + c1A + c2B, tendrn su cola en el origen y su flechaen cualquier puntodelplano M.Veamos la segunda situacin, que se da cuando A = tB, esto es, cuandotienen la misma direccin. Por lo tantoel conjunto S es Linealmente Dependiente.Vemos que en este caso la envolvente lineal del conjunto formado por los vectores A y B, se reduce a la envolvente lineal de un conjunto de vectores formado slo por A o slo por B. Esto se explica por el hecho deque uno de los vectores depende del otro.Ejemplo 6.Tercer Caso: Si S = {A, B, C}de Vn, EntoncesX = cA + dB + eCyL(S) = {X}Este estudio presenta dos situaciones:a) Si los vectores de S son Linealmente Independientes.b) Si los vectores de S son Linealmente Dependientes, sta contiene dos situaciones:1. Si son colineales2. Si son coplanaresa) Si los vectores de S son Linealmente Independientes: La definicin de la envolvente lineal requiere deun Desde el punto de vista geomtrico lo que hemos hecho es hacer pasar por C un plano M paralelo a M0.Como cada punto de Lces una flecha de un vector c3 C,significa que debemos hacer pasar porcada uno de los puntos de LC un plano paralelo al plano M definido por LAy LB, la realizacin de esto supondra la generacin dentro del espacio Vn,un espacio equivalente al espacio V3.Por tanto la envolvente lineal de S sera el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al espacio tridimensional.El alumno deber realizar un esfuerzo para imaginar lo que acabamos de definir, debido a que el espacio tridimensional prcticamente satura nuestra visin espacial.No podemos imaginar como sera un espacio decuatro dimensiones, y de igual manera no sabemos como seria el espacio n-dimensional Vn, sin embargo analticamente si podemos trabajar en esos sistemas. 36AB0nLA = LB

M LBB c2 B M0LCc3CC

A 0n c1ALAC2BLBPuede ayudar a entender un poco mejor si hacemos la siguiente analoga, que V3es a Vncomo V1es a V3.Detenindonos en lo ltimo podemos ver que V1 esta contenido en V3, esto es, estando en V3 yo puedo trabajar comosi estuvieseenV1, estoloconsigosi hagoquelasegundayterceracomponentedel vectorsean permanentemente iguales a cero (0). Por ejemplo A = (a,0,0) siendo a un nmero real cualquiera, de esa manera el vector A tiene como recta de accin el eje XX, y por lo tanto los vectores que estudiar tienen lamisma direccin, que corresponde a un espacio equivalenteal espacio unidimensional. De la misma manera el espacio V3 contiene al espacio V2, si hacemos permanentemente la tercera componente igual a cero,esto esenun vector A = (a,b,0),luegoeste vectorse movera en el planoXY,que es loequivalente al espacio V2.As como V1 y V2 se encuentran contenidos en V3, todos los espacios inferiores al n-dimensional, estn contenidos en Vn.. Volviendo al caso tercero, cuando decimos que L(S) es el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al V3, definido por LA, LB y LC, tenemos que pensar que por el hecho de que nos movemos en Vn, el espacio mencionado es una porcin de este. Dicha envolvente no satura al espacio n-dimensional, aunque no podamos imaginar geomtricamente como es.b1) Si son colineales:En este caso se dan los siguientes subcasos:a) A = fCyB = gCb) A = fByC= gB c) B = fAyC= gA Resolviendo para a):ComoX = cA + dB + eC : X = c( fC ) + d( gC ) + eC = ( cf + dg +e )CComo c, d, e, fy g son escalares la suma de ellosme dar otro escalar, por tantocf + dg + e = hEn consecuenciaX = hCy la envolvente de S, esto es , L ( S ) = { hC } = L( C )Si resolvemos para los otros casos, siguiendo el mismo proceso,tendremos que L(S) ser tambin iguala L(A)y L(B).Por tanto: L(S) = L(A) = L(B) = L(C).b2) Si son coplanares se dan los siguientes subcasos:a) C = fA + gBb) B = fA + gCc) A = fC + gBResolviendo para a):ComoX = cA + dB + eC :X = cA + dB + e( fA + gB)Entonces:X = ( c + ef )A + ( d + eg ) B Como c, d, e, fy g son escalares la suma de ellos me dar otro escalar, por tanto:c + ef = h1yd + eg = h2 En consecuenciaX = h1A + h2B. y la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B } =L( A, B ).37OCBAOnABCLA = LB = LCAhora si resolvemos los otros casos tendremos que L(S) tambin ser igual a L( B, C ) y L( A,C ).Por tanto:L( S ) = L( A, B ) = L(B, C ) = L( A, C )Ejemplo 7.Cuarto Caso: SiS = { A, B, C, D }de Vn, Luego X= cA + dB + eC + fD y L( S ) = { X },en este estudio presenta dos situaciones:a) Si los vectores de S son Linealmente Independientes.b) Si los vectores de S son Linealmente Dependientes, sta contiene, a la vez,tres subcasos:1. Si son colineales2. Si son coplanares3. Si son tridimensionalesa)Si son Linealmente Independientes:Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos inducir que la envolvente lineal de S, es el conjunto de todos losvectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto de un espacio equivalente al espacio tetra-dimensional.b1) Si son colineales: En este caso se presentan cuatro subcasos:a) A = fD;B = gDy C = hDb) A = fC;B = gCy D= hCc) A = fB;C = gB y D= hB d) B = fA;C = gA y D= hAResolviendo para a) ComoX = cA + dB + eC +uD: X = c(fD) + d(gD) + e(hD) + uD = (cf + dg + eh + u)CComo c, d, e, f , g ,h y u son escalares la suma de ellos me dar otro escalar, por tantocf + dg + eh + u= vEn consecuenciaX = vDy la envolvente de S, esto es , L (S) = { vD } = L(D).Ahora si resolvemos el problema para los casos b, c y d se tendra que L(S) ser igual a L(A) y L(B) y a L(C), Por tanto: L(S) = L(A) = L(B) = L(C)= L(D).Los vectores de la envolvente lineal de S dependeran de uno de los vectores que conforman dicho conjunto.b2) Si son coplanares se presentan los siguientes subcasos: a) D =fA + gB yC= fA + gBb) D =f1 A + g1C yB = f1A +g1Cc) B =f2 A + g2D yB = f2A +g2Dd) A = f3 B + g3C yD= f3B+g3Ce) A = f4 B + g4D yC= f4B+g4Df) A = f3 B + g3C yD= f3B+g3Cg) A = f5 C + g5D yD= f5C+g5DResolviendo para a):38OnABCLA = LB = LCOCBAComoX = cA + dB + eC+ uD :

X = cA + dB + e( fA + gB) + u(fA + gB ) Entonces:X = (c + ef + uf )A + (d + eg+ug) B Como c, d, e, f , g , f, ygson escalares la suma de ellos medar otro escalar, por tanto:c + ef +uf = k1y d + eg+ug = k2 ,En consecuenciaX = k1A + k2By la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B } =L(A, B,) Si hacemos lo mismo para los otros subcasosveremos que L(S), tambin ser igual a L(B, C) y L(A, C),L(C,D), L(A, D), y L(B, D)esto es:L(S) = L(A, B,) = L(B, C) = L(A, C)= L(A,D)= L(B, D)= L(C, D)Es decir, que los vectores de la envolvente lineal de S, dependern de dos vectores cualesquiera de S y por lo tanto sern coplanares.b3) Si son tridimensionales se dan los casos siguientes:a)D = f A + g B + h C b)C = f A + g B + h Dc)B = f A + g C + h Dd)A = f B + g C + h DResolviendo para a):ComoX = c A + d B + e C+ u D :

X = c A +d B + e C + u ( fA + g B +h C)Entonces:X = (c + u f)A + (d + u g) B + (e + u h)CComo c, d, e, f , g , h y u son escalares la suma de ellos me dar otro escalar, por tanto:c + u f=k1,d + u g =k2 ye+ u h=kEn consecuenciaX = k1A + k2B + k3C. y la envolvente lineal de S , esto es:, L (S) = { h1A + h2B + k3C } =L(A,B, C).Si resolvemos los otros casos tendremos que L(S)tambin ser igual a L(B, C, D) y L(A, C, D),L(A, B, D), Por tanto:L(S) = L(A, B, C) = L(B, C, D) = L(A, C, D)= L(A, B, D) luego los vectores de la envolvente sernvolumtricosGeneralizando: SiS es un conjunto de vectores{ }n nV de A A A S ...... ,......... ,2 1 linealmente independientes su envolvente lineal L(S) ser el conjunto de todos los vectores que tienen su cola en el origen y su flecha en cualquier punto del espacio n-dimensional. Esto significa que L(S) = Vn. 39OnDBACUn conjunto S = {A1, ... ,Ak} de vectores de Vn genera a X con unicidad si se cumplen estas doscondiciones:1)SiSgenera aX.2) k1 ii ik1 ii iA d X y A c X Si implicaci = diEsta definicin lleva al siguiente teorema: Un conjuntoSgenera con unicidada todovector deL(S) , si y slo siS genera con unicidad al vectorcero.Demostracin:Si L(S) = { X } y si S genera con unicidad a todo vector X: kii ikii iA d X y A c X1 1 para todo ci = diPor la definicin anterior. Como la generacin del vector cero se realiza a travs de X: X X = 0 (1)Reemplazando el valor de X con las formas que asume este en(1): kii i ikii ikii iA ) d c ( A d A c X X1 1 1= 0 / PASSComo ciydi son dos escalares:ci di = ei ser otro escalar.Por tanto: 01 1 kii ikii i iA e A ) d c (Comoci = di para todo i: ci di = 0luegoei = 0para todo iEn consecuencia la generacin del vector cero se da cuando ei= 0 por tanto S genera al vector cero con unicidad. SeaS = { A1 , ... , Ak }un conjunto linealmente independiente dekvectores deVn, y seaL(S)la envolvente lineal deS.Todo conjunto dek + 1vectores deL(S)es linealmente dependiente.Demostracin:Primero, vamos a demostrar que los vectores de S pertenecen a L(S).El vector generado por S es:k kkii iA c .... .......... A c A c A c X + + + 2 2 1 11Luego si hacemosc1 = 1y todos los dems ci = 0para todos los i 1:X = A1Luego si hacemosc2 = 1y todos los dems ci = 0para todos los i 2:X = A2..Luego si hacemosck = 1y todos los dems ci = 0para todos los i k:X = AkComo los vectores del conjunto pedido debe tener (k + 1) vectores de L(S), y estos son vectores X, entonces la situacin ms desfavorable para el conjunto S( k + 1)es que los k primeros vectores sean los k vectores de S, dado que estos son Linealmente Independientes por Hiptesis y el (k + 1)- simo vector tiene que ser un vector X, por tanto:S(k + 1) = { A1, A2, , Ak, X }40Como k kkii iA c .... .......... A c A c A c X + + + 2 2 1 11, esto es, depende de los k vectores de S, entoncesel conjunto S(k + 1)ser Linealmente Dependiente. Lqqd.Un conjuntoS = { A1 , ... , Ak }deVnse denomina ortogonal siAi.Aj = 0siempre quei j.Dicho de otro modo, dos vectores distintos cualesquiera de un conjunto ortogonal son perpendiculares. Cualquier conjunto ortogonal de vectores S = { A1 , ... , Ak }no nulos deVnes linealmente independiente.Adems, siSgenera un vectorX =cin1 = iAientonces los escalares c1,.....,ckvienen dados por la frmulas: cj =j jjA . AX . Aparaj = 1, ..., kDemostracin:Como el conjunto S es ortogonal se cumple que:Ai . Aj = 0 para todo losi jLuego si se quiere calcular c1 se multiplica a X por A1:X . A! = 1 2 2 1 1 11A ). A c .... .......... A c A c ( A ). A c (k kkii i+ + + =X . A! = 1 111 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1A . AA . Xc donde de A . A c A . A c .... .......... A . A c A . A ck k + + +Luego si se quiere calcular c2 se multiplica a X por A2:X . A2 = 2 2 2 1 1 21A ). A c .... .......... A c A c ( A ). A c (k kkii i+ + + =X . A! = 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1A . AA . Xc donde de A . A c A . A c .... .......... A . A c A . A ck k + + +Luego si se quiere calcular ck se multiplica a X por Ak:X . Ak = k k k kkii iA ). A c .... .......... A c A c ( A ). A c ( + + + 2 2 1 11=X . Ak = k kkk k k k k k k k kA . AA . Xc donde de A . A c A . A c .... .......... A . A c A . A c + + +2 2 1 1De donde se puede inducir como ley general, lo siguiente: cj = j jjA . AX . Aparaj = 1, ..., kUn conjuntoS = { A1 , ... , Ak }de vectores deVnes una base paraVnsiSgenera todo vector deVncon unicidad.Si, adems, Ses ortogonal, entoncesSse denomina base ortogonal.Es decir, una base es un conjunto linealmente independiente que genera todo el espacio deVn.Un ejemplo de base es el conjunto de vectores coordenados unitarios que, adems, es una base ortogonal.41 En un espacio vectorial dadoVn, las bases tienen las propiedades siguientes:a)Toda base contiene exactamentenvectores.b)Cualquier conjunto de vectores linealmente independiente es un subconjunto de una cierta base.c)Cualquier conjunto denvectores linealmente independiente es una base.99) SiA = (2,-1,1)yB = (1,2,-1)son vectores deV3, hallar unos escalaresx e ytales queC = xA + yB, en el caso que:a)C = (2,-11,7).b)C = (2,11,7).c)Qu se concluye en cada caso?100) Hallar todos los nmeros realestpara los cuales los dos vectores(1+t,1-t)y(1-t,1+t)deV2sean linealmente independientes.101)Hallar todos los nmeros realestpara los cuales los tres vectores siguientes deV3son independientes:(t,1,0),(1,t,1), (0,1,t)102)a) Demostrar que un conjuntoSde tres vectores deV3es una base paraV3si y slo si su envolvente lineal L(S)contiene los tres vectores coordenados unitariosi, j, k.b) Establecer y demostrar la generacin de la partea)paraVn.103) Considerar los siguientes conjuntos de vectores deV3:S = {(1,1,1) , (0,1,2) , (1,0,-1)}T = {(2,1,0) , (2,0,-2)} U = {(1,2,3) , (1,3,5)}a) Demostrar queL(T) L(S) b)Determinar todas las relaciones de inclusin que existen entre los conjuntosL(S),L(T), L(U).104) Designemos conA y Bdos subconjuntos finitos de vectores en un espacio vectorialVn, y conL(A)y L(B)sus envolventes lineales.Probar cada una de las proposiciones siguientes:a) SiA B, entoncesL(A) L(B)b) L(A B) L(A) L(B)105)Sean:A = (1,1,0), B = (0,1,1)yC = aA + bB.a) Representar A y B.b) Si C = 0, demostrar que a y b se anulan.c) Hallar a y b tales que C = (1,2,1).d) Demostrar que no pueden elegirse a y b de forma que se tengaC = (1,2,3).106) a) Determinarlosvaloresdet quehagaquelosvectores(1t,1,-1), (2,-t,-2) y(1,-1,-1-t) sean linealmentedependientes.b) Determinar todas las soluciones no triviales para cada uno de los valores de t encontrados.107) Demostrar que si los vectores:A1 , ... , Ak son linealmente independientes, entonces dichos vectores son distintos del vector cero.42

//B// //AxB//

En los ejercicios del 10-13, determinar si los siguientes vectores son linealmente independientes o no.108) (2, 5, -1) , (3, -7, 0) , (0, 29, -3).109) (3, -7, 5) , (6, -5, 2).110) (1, 1, 1) , (1, -1, 1) , (1, 1, -1).111) (12, 52, -9) , (2, 6, -1) , (1, -5, 2).112) San A, B C, tres vectores del espacio tridimensional que verifican la siguiente propiedad: Si x, y, z son escalares tales xA + yB + zC = 0 entonces x = y = z = 0.a) Demostrar que ninguno de los vectores A, B, C pueden expresarse como combinacin lineal de losotros dos.b) Si V es un vector cualquiera de V3, probar que existen tres nmeros reales x, y, z tales que V = xA + yB + zC.Para cada V hay una terna x, y, z (es decir, el conjunto de tres vectores linealmentesconstituyen una base del espacio tridimensional.c)Determinar x, y, z en b) cuando A = i, B = i + j, C = i + j + 3ky V= 2i 3j + 5k113) Dados tres vectores del espacio tridimensional, perpendiculares dos a dos, probarquesonlinealmenteindependientes. Esteresultado, juntoconel apartadob) ejercicioanteriordemuestraquetresvectoresformanunabasedel espaciotridimensional, quesedenominaBase Ortogonal. Por quuna base ortogonal parece ms conveniente que las otras? En las aplicaciones de los vectores en el espacio tridimensional a problemas de geometra y de mecnica, esfrecuentementenecesarioconstruirunvectornonulo perpendicular a dos vectores dadosA y B.Esto se consigue con el producto vectorialA x B

SeanA = (a1 ,a2, a3)yB = (b1, b2, b3)dos vectores deV3.Su producto vectorialA x B(en este orden) se define como el vector:A x B = (a2 b3 - a3b2,,a3 b1- a1 b3, a1b2 - a2b1)= (a2b3 - a3b2 )i+(a3b1-a1b3)j + ( a1b2 - a2b1)kAplicando las propiedades de los determinantes:

3 2 13 2 13 2 13 2 12 12 13 13 13 23 22 12 11 31 33 23 2b b ba a ak j iB x Ab b ba a ak j ikb ba ajb ba aib ba akb ba ajb ba aib ba aB x A + + + Para todos los vectoresA, B y CdeV3y para todo nmero realctenemos:a)A x B = - (B x A) (simetra alternada)(PSAPV)b)A x (B + C) = A x B + A x C (ley distributiva)(PDPV)c)c(A x B) = (cA) x B(homognea) (PHPV)43

A

//B// //AxB//

d)A.(A x B) = 0 (ortogonalidad respecto a A)(PORAPV)e)B.(A x B) = 0 (ortogonalidad respecto a B)(PORBPV)f)//A x B// = //A// //B// -(A.B) (identidad de Lagrange)g)A x B= 0si A // B (condicin de paralelismo) Teoremas:SeanAy Bdosvectores linealmente independientes deV3se tiene:a) Los vectoresA, B, AxBson linealmente independientes.b)Todo vectorNdeV3ortogonal aA y Bsimultneamente, es el producto de un escalar porAxB.Las demostraciones de estos dos teoremas se encuentran ms adelante en el apartado 2.14Procederemos a demostrar algunas de las propiedades, el alumno deber realizar las demostraciones que faltan:a)Simetra alternada:A x B = - (B x A)Por definicin sabemos que A x B= 3 2 13 2 1b b ba a ak j i= -BxAa a ab b bk j i 3 2 13 2 1La conmutacin de dos lneas trae consigoun cambio de signo.d)Ortogonalidadrespecto a A :A.( A x B ) = 0A x B = kb ba ajb ba aib ba a2 12 13 13 13 23 2+

32 12 123 13 113 23 23 2 12 12 13 13 13 23 2ab ba aab ba aab ba a) a , a , a .(b ba a,b ba a,b ba a) B x A .( A + 11]1

03 2 13 2 13 2 1 b b ba a aa a a) B x A .( ADado que undeterminante que tiene dos lneas iguales su valor es cero.g)Condicin de paralelismo:A x B = 0si A // BSiA // Bentonces A = cB luego:'3 32 21 1cb acb acb apor definicin de igualdad de vectoresLuego:A x B =3 2 13 2 1b b ba a ak j i = 0b b bb b bk j icb b bcb cb cbk j i3 2 13 2 13 2 13 2 1 44

A

De la Identidad de Lagrange tenemos que://A x B// = //A// //B// -(A.B) (1)Y sabemos que A.B = //A// //B// cos, luego elevando al cuadrado ambos miembros:(A .B)= //A// //B//cos , reemplazando en (1)://A x B// = //A// //B// -//A// //B// cos = //A// //B// (1 - cos )

B//B//h= //B//sen//A// A//AxB//

AxBLaspropiedadesutilizadas, sonlahomogneayladeundeterminantecondoslneasiguales.a) Mdulo del vector A xB:Por tanto: //A x B// = ///A// //B//(sen ) /=//A// //B/// sen/Como //A// > 0y //B// > 0entonces:// A x B // = //A// //B// / sen /Interpretacin geomtrica de //A x B//:En la figura 2.41, se deduce que en elparalelogramo que se forma al trazar por cada flecha una paralela a ladireccin del otro, se tiene que su base es //A// y su altura es //B//sen, luego el rea del paralelogramo ser:Ap = //A// //B//senPodemos concluir que la norma del vector A x B coincidecon el valor del rea del paralelogramo, esta coincidencia abre un campo de estudioadicional al lgebra de vectores, ya que podemos calcular reas.b) Direccin del vector AxB:c) Sentido del vector A x B:45

MBxAA

BAxBOPara definir la direccin basta definir la recta de accin, para esto bastadeterminar un punto de la recta y su direccin.Considerando las propiedades deortogonalidadrespecto de A y B, podemos afirmar que el vector A x B es ortogonal a la vez a A y a By por lo tanto ortogonal alplano definidopor las rectas de accin LAy LB. Si se tiene un plano cualquiera podemos trazarinfinitas rectas perpendiculares a este, pero todas ellas son // entresi, yportantotienenlamismadireccin. En consecuenciasepuedeafirmar queladireccinortogonal al plano es nica y en consecuencia si el plano esta definido lo estar su direccin . Respecto al punto, este ser el origen. Alquedardefinidoel puntoysudireccin, larectadeaccin quedar definida.

AxBB0A

El sentido del vector producto es convencional, y se elige la regla del tornillo, esto es, si el giro es a laizquierda el vector va hacia arriba, y si el giro es a la izquierda el sentido del vector es hacia abajo. En la figura 2.42 se puede apreciar que el producto va de A hacia B, luego el giro es hacia la izquierda por lo tanto el vector A x B va hacia arriba como se muestra en la figura. Si el producto fuese B x A, en la figura vemos queal ir de B hacia a A, el giro es hacia la derecha, por lo tanto el sentido de B x A ser hacia abajo.Ejemplo 2.11:Hallar un vector de longitud unidad enV3ortogonal a la vez a:A = i - 2j + 3kyB = - 3i + 2j - k.Primero hallaremos un vector ortogonal aA y Ba la vez:A x B = =1 - 23 -3 2 - 1k j i =(-4, -8, -4)El vector pedido X ser paralelo al vector A x B y su norma igual a la unidad, luego X = c(A x B)y su norma //X // =1Por tanto: X = c(-4, -8, -4) = - 4c(1, 2, 1)ysu norma // X // = /- 4c / /6 = 4/c/6 Como // X // =1 entonces:4 /c/6 =1De donde se obtiene que /c/ =1 / 46 c = t1 / 46LuegoX = t 1 / 46 (-4,-8,-4) = t1/6(-1, -2, -1)Ejemplo 2.12:Dados dos vectores linealmente independientesA y BdeV3y seaC = ( B x A) -B.a)Demostrar queAes ortogonal aB + C.b)Demostrar que el nguloque formanB y Csatisface: /2< < .c)Si//B// = 1y// B x A // = 1, calcular la longitud deC.Solucin:a)SiAes ortogonal aB + C, entonces debe cumplirse que A . ( B + C) = 0.Tenemos que: SiC = (B x A) - B entonces B + C = B x A. Multiplicando escalarmente por A a ambos miembros: A .( B + C) = A .(B x A) = 0, debido a que A esortogonal a B x A.Concluimos que A .( B + C) = 0y por ende A( B + C )b)Calculamos el B.C: sabemos que B .C = //B// //C// cosPor hiptesis sabemos que B = (B x A) - B, luego:B.C = B.(B x A) B .B = 0 - //B// / (PORBPV)cos =0.entonces como B x A = B + C.el vector B x A tendra sentido contrario,como se muestra en la figuray esto no es posible, y por lo tanto no puede ser mayor que .Luego / 2