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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Ingeniería en telecomunicaciones, sistemas y electrónica

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Álgebra Vectorial 1. Vectores en el plano y en el espacio 1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones. 1.2. Vector dirigido 1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio. 1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales. 1.5. Definición de vector de posición 1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales. 2 Operaciones con vectores 2.1. Igualdad de vectores 2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones 2.3. Sustracción de vectores 2.4. Multiplicación por un escalar 2.5. Propiedades de las operaciones 2.6. Vector nulo y vector unitario 2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores 3. Producto escalar de dos vectores 3.1. Vectores unitarios i, j, k 3.2. Forma trinómica de un vector 3.3. Definición de producto escalar 3.4 Ortogonal 3.5. Angulo entre dos vectores 3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro 3.7. Cosenos directores 4. Producto vectorial de dos vectores 4.1. Interpretación geométrica y propiedades 4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades 4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo 4.4. Definición de producto mixto 4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto. 5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.

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Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán

Ingeniería en telecomunicaciones, sistemas y electrónica

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Page 3: Algebra Vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN

INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES SISTEMAS Y ELECTRÓNICA

ALGEBRA VECTORIAL

GEOMETRÍA ANALITICA

PRIMER SEMESTRE

GRUPO 1161

Page 4: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 3

0. INDICE

0. INDICE ............................................................................................................................................................................. 3

1. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO .......................................................................................................... 5

1.1. SIMETRÍA DE PUNTOS EN LOS SISTEMAS COORDENADOS DE DOS Y TRES DIMENSIONES. ............................................... 5

1.2. VECTOR DIRIGIDO ....................................................................................................................................... 11

1.3. COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR DIRIGIDO SOBRE LOS EJES COORDENADOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. ....... 12

1.4. EL VECTOR COMO PAREJA Y COMO TERNA ORDENADA DE NÚMEROS REALES. ......................................................... 13

1.5. DEFINICIÓN DE VECTOR DE POSICIÓN .............................................................................................................. 15

1.6. MÓDULO DE UN VECTOR COMO CONJUNTO ORDENADO DE NÚMEROS REALES. ....................................................... 16

2 OPERACIONES CON VECTORES.............................................................................................................................. 20

2.1. IGUALDAD DE VECTORES .............................................................................................................................. 20

2.2. ADICIÓN DE VECTORES EN DOS, TRES Y N DIMENSIONES ...................................................................................... 21

2.3. SUSTRACCIÓN DE VECTORES.......................................................................................................................... 23

2.4. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ................................................................................................................ 23

2.5. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ............................................................................................................... 26

2.6. VECTOR NULO Y VECTOR UNITARIO................................................................................................................. 26

2.7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS COMO EL MÓDULO DE LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES........................................... 28

3. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES .......................................................................................................... 31

3.1. VECTORES UNITARIOS I, J, K .......................................................................................................................... 31

3.2. FORMA TRINÓMICA DE UN VECTOR ................................................................................................................ 31

3.3. DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR ............................................................................................................... 32

3.4 ORTOGONAL .............................................................................................................................................. 33

3.5. ANGULO ENTRE DOS VECTORES ..................................................................................................................... 33

3.6. DEFINICIÓN DE COMPONENTE VECTORIAL Y PROYECCIÓN DE COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO. ......... 34

3.7. COSENOS DIRECTORES ................................................................................................................................. 37

4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES ...................................................................................................... 41

4.1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y PROPIEDADES ................................................................................................ 41

4.2. DEFINICIÓN DE PARALELISMO GEOMÉTRICO Y PROPIEDADES ................................................................................ 44

4.3. APLICACIÓN DEL PRODUCTO VECTORIAL AL CÁLCULO DE ÁREAS DE UN PARALELOGRAMO ........................................... 45

4.4. DEFINICIÓN DE PRODUCTO MIXTO .................................................................................................................. 46

4.5. CALCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE EL PRODUCTO MIXTO. ................................................................................ 47

5. USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO COMO INSTRUMENTO VERIFICADOR DE RESULTADOS Y

HERRAMIENTA DE VISUALIZACIÓN EN CONCEPTOS. .......................................................................................... 51

6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................................... 56

Page 5: Algebra Vectorial
Page 6: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 5

ALGEBRA VECTORIAL

La representación de objetos geométricos para el espacio de tres dimensiones, se

simplifica grandemente si se utilizan las cantidades vectoriales (vectores) como apoyo para

determinar las condiciones especiales que deberán satisfacer los puntos que pertenecen a dicho

objeto.

Un vector en Geometria es un ente geométrico definido por un segmento orientado de

recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes vectoriales.

Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una

punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por

la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama

punto de aplicación.

1. Vectores en el plano y en el espacio

1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos

y tres dimensiones.

En el espacio de dos dimensiones, los puntos están definidos por una pareja ordenada

de números reales; tienen dos coordenadas. Pueden representarse geométricamente en el

plano determinado por dos ejes perpendiculares llamados coordenados, que se cortan en un

origen común. Por facilidad, se acostumbra dibujar los ejes con direcciones horizontales y

verticales, hacia la derecha y hacia arriba respectivamente; a dichos ejes se les denomina por lo

general como ejes X y Y.

A la distancia desde el eje Y a cualquier punto del plano. Se llama la abscisa del punto.

A la distancia desde el eje X a cualquier punto del plano se le llama la ordenada del punto y se

representa por el símbolo (x, y).

La abscisa es positiva cuando el punto está a la derecha de eje Y, y negativa cuando

está a la izquierda. La ordenada es positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X, y

Page 7: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 6

negativa cuando se localiza abajo. En esta forma en cada punto del plano, puede hacerse

corresponder una pareja ordenada de valores (x, y), y a cada pareja ordenada de valores (x, y)

puede hacerse corresponder un punto del plano.

Al sistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de dos

dimensiones.

A si por ejemplo, los puntos pueden representarse

geométricamente como se muestra en la Figura 1.1.

En un plano de tres dimensiones, los puntos están

definidos por una terna ordenada de números reales; tienen

tres coordenadas. En este caso suele utilizarse como sistema

de referencia para la representación geométrica de un punto,

el definido por tres ejes perpendiculares entre sí (cada una de

ellos perpendiculares a los otros dos), que se cortan en un

origen común. A este sistema se le conoce como sistema

cartesiano en el espacio de tres dimensiones. Los ejes se

llaman coordenados y se denominan normalmente con las

letras X, Y y Z. los ejes X y Y se acostumbra dibujarlos en el

plano horizontal y el eje Z quede por tanto, vertical.

Si las direcciones positivas de los ejes coordenados corresponden a las mostradas en la

Figura 1.2 el sistema se llama derecho. Un sistema izquierdo es el de la Figura 1.3. En general es

más común utilizar sistemas de coordenados derechos.

.

Figura 1.1.

Figura 1.2 Sistema Derecho

Figura 1.3 Sistema Izquierdo

Page 8: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 7

Figura 1.4 Ejes y Planos Coordenados

Los tres ejes definen tres planos llamados Planos

Coordenados, que dividen al espacio tridimensional en

ocho partes llamadas octantes. El plano XY contiene a los

ejes X y Y, el plano XZ contiene a los ejes X y Z y el plano

YZ contiene a los ejes Y y Z, Figura 1.4.

Un punto cualquiera del espacio tridimensional queda

definido si se conocen sus tres distancias dirigidas a los

tres planos coordenados. La distancia del punto a plano YZ se llama abscisa o coordenada X; su

distancia de XZ se le llama ordenada o coordenada Y; por último, su distancia al plano XY se

llama cota o coordenada Z. En esta situación a cada punto del espacio puede hacerse

corresponder una terna ordenada de valores (X, Y, Z), y a cada terna ordenada de valores (X, Y,

Z) puede hacerse corresponder un punto del espacio. Así por ejemplo, la representación

geométrica del punto P de coordenadas (2, 3, 3) puede hacerse como se muestra en la Figura

1.5.

Para espacios de mas de tres dimenciones, los puntos no se pueden representar

gometricamente.

Para establecer la simetria de puntos en el espacio de tres dimenciones, es necesario

revisar algunos conceptos geometricos.

P

X

Y

Z

2 3

3

Figura 1.5. Representación de puntos en el espacio

Page 9: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 8

DEFINICION 1. Dados puntos y son simetricos con respecto a un tercero 0,

si este es un punto medio del segmento .

DEFINICION 2. Dados puntos son simetricos con respecto a una recta L,

si esta es mediatriz del segmento .

DEFINICION 3. Dos puntos son simetricos con relacion a un plano , si

éste es normal bisector del segmento .

Con base a la definicion una, a todo punto P(X, Y, Z) del espacio de tres dimenciones le

corresponde un simetrico (-X, -Y, -Z) con respecto al origen (Figura 1.9).

P 0 𝑃

Figura 1.6. Simetría con respecto a un punto

90° M

P

𝑃

𝑃𝑀 = 𝑀𝑃 L

Figura 1.7. Simetría con respecto a una recta

90° M

𝑃𝑀 = 𝑀𝑃

𝜋

𝑃

P

Figura 1.8. Simetría con respecto a un plano

Page 10: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 9

Como consecuencia inmediata de la definicion dos, a todo punto del espacio

de tres dimensiones le corresponde un simetrico con respecto al eje X (Figura

1.10)

Los puntos y son simetricos con respecto al eje X, pues este

eje es mediatriz del segmento . Tambien el punto punto tiene sus simetricos

respecto a los ejes Y y Z que son y .

A si mismo, como consecuencia de la definicion tres a todo punto del espacio de

tres dimenciones le corresponde un simetrico con respecto al plano ordenado

XY (Figura 1.11).

Y

X

Z

𝑃 𝑥 𝑦 𝑧

P(x, y, z)

Figura 1.9. Simetría con respecto al origen.

Y

Z

𝑃 𝑥 𝑦 𝑧

P (x, y, z)

X

90°

Figura 1.10. Simetría con respecto al eje X

Page 11: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 10

Los puntos y son simetricos con respecto al plano XY, pues

este plano es normal bisector del segmento . Ademas el puntos tiene sus

simetricos respecto a los planos YZ y XZ que son y

respectivamente.

Ejemplo 1.1

Dado el punto Q (-1, -4, 2) encontrar sus simétricos respecto al origen, ejes y planos del

sistema de referencia.

Solución:

Respecto al origen, (1, 4, -2)

Respecto al eje X, (-1, 4, -2)

Respecto al eje Y, (1,-4, -2)

Respecto al eje Z, (1, 4, 2)

Respecto al plano XY, (-1, -4, -2)

Respecto al plano YZ, (1, -4, 2)

Respecto al plano XZ, (-1, 4, 2)

90°

𝑃 𝑥 𝑦 𝑧

P (x, y, z)

X

Y

Z

Figura 1.11. Simetría con respecto al plano XY.

Page 12: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 11

1.2. Vector dirigido

En ingenieria es frecuente encontrarsecon cantidades que poseen magnitud y direccion;

entre éstas se tienen la fuerza, la velocidad, la aceleracion, el desplazamiento, etc. A este tipo

de cantidades se le denomina cantidades vectoriales o vectores.

Cabe aclarar que existen muchos entes matematicos que tambien se definen como

vectores, pero en este curso el concepto de vector lo restringiremos exclusivamente a las

cantidades que poseen magnitud y direccion.

Para representar geometricamente a un vector se utiliza el segmento dirigido, el cual es

un segmento de recta entre dos puntos al que se le asigna un sentido de recorrido. Por

ejemplo, en la Figura 1.12 se muestra un segmento dirigido entre los puntos P y Q; a este

segmento dirigido se le designa como , en donde la primera letra indica el punto inicial

llamado origen y la segunda el punto final llamado extremo.

Es facil ver que los segmentos dirigidos

presentan las caracteristicas de un vector a saber:

direccion, dada por la direccion de la recta y por el

sentido de recorrido (la flecha) y magnitud , dada

por la longitud del segmento.

A fin de describirlos vectores desde un punto de

vista analítico, es conveniente considerar que dos

vectores son iguales si tienen la misma magnitud y

la misma direccion, es decir se establece que un

vector no se latera si se mueve paralelamente a si

mismo, Figura 1.13.

Bajo la consideracion anterior, el origen de

cualquier vector se puede hacer coincidir con el

correspondiente de un sistema coordenado

rectangular, con lo que es factible establecer una

descripcion de un vector en forma exclusivamente

numerica.

Q (extremo)

P (origen)

Figura 1.12 Vector dirigido

�� ��

Figura 1.13. �� = ��

Page 13: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 12

1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los

ejes coordenados en el plano y en el espacio.

Considerese un vector representado graficamente por un segmento dirigido cuyo

punto inicial es el origen del sistema y con punto final , véase figura 1.14.

A los tres numeros reales se les denomina las componentes escalares del

segmento dirigido sobre los ejes coordenados; y dado que representa graficamente al

vector , se dice que estos numeros son las componentes de dicho vector y en esta forma el

vector se expresa como : = , donde es la componente X, es la

componente Y y es la componente Z. si se considera ahora a un vector representado

geometricamente por el segmento dirigido , las coordenadas de R y S son respectivamente

( , entonces se dice que dicho vector tiene componente a, =

. Como se puede observar e la Figura 1.8, los vectores tienen la misma

magnitud y direccion por lo que son iguales, y por otra parte de la misma figura se tienen que:

= = =

De esta forma sepuede establecer que si dos vectores cualesquiera son iguales, tienen

las mismas componentes; e inversamente, dos vectores con las mismas componentes son

necesariamente iguales en magnitud y direccion. Asimismo se concluye que un vector queda

Figura 1.14. Componentes de un segmento dirigido.

Page 14: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 13

completamente determinado especificando, en forma ordenada, los tres numeros reales que

constituyen sus componentes.

Una ecuación vectorial = , donde = y = , es una forma

breve de representar las siguientes tres igualdades entre números reales:

= = =

Para el caso de vectores definidos en el

plano, estos tienen dos componentes. Así por

ejemplo en el vector = es la primera

componente o componente X y es la segunda o

componente Y, Figura 1.15.

1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de

números reales.

Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja

de números reales puede ser representada por un punto en el plano y una terna de números

reales puede ser representada por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una

representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas.

Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que

en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del

espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio

de n dimensiones.

X

Y

𝑐

𝑐 𝑐

Figura 1.15. Vectores en el plano

Figura 1.16a.

Figura 1.16b.

Page 15: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 14

Definición Una n-tupla de números reales se denota por donde cada es un

número real. Las n-tuplas de números reales y son iguales sí.

El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales

ordenadas se denota por, es decir

= { }

Definición Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma como la n-tupla

se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos

anteriormente a cada punto del plano coordenado se le puede asociar

un vector fijo. Si es una pareja ordenada de números reales (un vector

de) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el

origen de coordenadas O y por punto terminal X.

Figura 1.16c.

Figura 1.17.

Page 16: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 15

1.5. Definición de vector de posición

Definición. Sea el punto A en el espacio de tres dimensiones, cuyas

coordenadas son ; se llama vector de posición de

este punto al representado por el segmento dirigido que va del

origen del sistema a dicho punto.

Designado por al vector de posición de punto A, sus componentes son: =

= = entonces como se ve, los componentes

del vector de posición son siempre iguales a las coordenadas del punto, como se ilustra

en la Figura 1.18.

Entonces puede establecerse una relación de correspondencia uno a uno entre

el conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones, y el conjunto de vectores de

posición en el mismo espacio. Es decir a cada punto del espacio de tres dimensiones le

corresponde uno y solo un vector de posición, y viceversa. Esta misma situación se

presenta para los conjuntos de puntos y vectores de posición en el plano. En general

esta correspondencia existe, cualquiera que sea la dimensión del espacio en que se

trabaje.

Es importante mencionar que en el espacio de tres dimensiones, tanto los puntos como

los vectores están dados por una terna ordenada de números reales. Sin embargo la

terna de números reales que representa a un punto determina la posición del punto en

el sistema de referencia. Por otra parte, la terna ordenada de números reales que

�� = 𝐴 = 𝑎 𝑎 𝑎

A 𝑎 𝑎 𝑎

0

X

Y

Z

Figura 1.18. Vectores de posición del

punto A

Page 17: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 16

representa a un vector son sus componentes, es decir, las proyecciones dirigidas del

vector sobre los ejes coordenados del sistema de referencia.

1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de

números reales.

El módulo de un vector, es la magnitud del mismo. El símbolo | | se utilizara

para denotar el modulo del vector .

Una forma simple de deducir la expresión para calcular el modula de un vector a

partir de sus componentes, es como se muestra a continuación.

Para cada caso de un vector definido en el espacio de tres dimensiones, véase la

siguiente Figura:

Se tiene:

Del triángulo rectángulo 0MN, aplicando el teorema de Pitágoras:

= √ = √

Y del triángulo rectángulo 0AN, por el teorema de Pitágoras:

Z

Y

X N 𝑎

𝑎

𝑎 ��

A

M

0

1

Figura 1.19. Módulo de un vector

Page 18: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 17

|𝑐| = √𝑐 𝑐

𝑐

𝑐

Y

X

𝑐

𝑐

𝑐 |𝑐 |

Figura 1.20. Módulo de un vector en el plano

| | = = √ = √

Por lo tanto, el modulo del vector , es:

Para el caso de vectores definidos en el plano, como se observa de la Figura 1.20, aplicando el

teorema de Pitágoras, el modulo vector es:

Ejemplo 1.2

Determinar el módulo de los siguientes vectores:

= = =

Solución:

| | = √ = √

| | = √ = √

| | = √ =

| | = √

Page 19: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 18

Figura 1.21.

Ejemplo 1.3

Demostrar que los puntos A (7, 5), B (2, 3), C (6, -7) son los vértices de un triángulo rectángulo,

Figura 1.21.

Solución:

Definiendo los siguientes vectores sobre los lados del

triángulo:

= = = =

= = = =

= = = =

Los módulos de estos vectores, o longitudes de los lados

del triángulo, son:

| | = √ = √

| | = √ = √

| | = √ = √

Como se cumple que:

| | = | | | |

145 = 29 + 116

El concepto de un vector, puede extenderse a espacios con más de tres dimensiones,

no así su representación geométrica. En el espacio de n dimensiones, un vector se define como

sigue:

DEFINICION: Un vector en el espacio de n dimensiones se define como una n-ada de

números reales, es decir, un arreglo ordenado de n números reales

. Al i-ésimo numero de este arreglo, se le llama i-ésima

componente del vector.

Al conjunto de todos los vectores de n dimensiones se le llama espacio de n

dimensiones o simplemente, espacio n. Obsérvese que la definición dada es consistente con la

Entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, es un triángulo rectángulo.

Page 20: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 19

descripción geométrica, mencionada previamente, para los vectores en los espacios de dos y

tres dimensiones.

Asimismo el concepto de módulo de un vector que es la longitud o magnitud del

mismo, se puede hacer extensivo para vectores definidos en espacios mayores de tres

dimensiones. En general el módulo de un vector en el espacio de n dimensiones, | | , se

obtiene como:

| | = √

Por ejemplo supóngase que tenemos un vector en el espacio de seis dimensiones.

=

El modulo del vector esta dado por la expresión:

| | = √

= √

| | = √

En espacios mayores de tres dimensiones, los vectores y sus características no tienen

interpretación geométrica.

Ejercicios

1) Halla el módulo del vector u= (-3,4).

Solución:

| | = | | = √

| | = √ = √ =

2) Hallar el módulo de los siguientes vectores:

(√

)

Solución:

| | = = √

Page 21: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 20

| | = √ = √

| | = = √

| | = √ = √ = √

| | = (√

) = √(

)

(√

)

| | = √ √

= √

= √

= √ =

2 Operaciones con vectores

2.1. Igualdad de vectores

Dos vectores se llaman iguales, si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Para decir que dos vectores son iguales sus componentes correspondientes deben ser idénticas.

Por ejemplo:

a= {1; 2; 4}

b= {1; 2; 2}

c= {1; 2; 4}

a=c así que sus coordenadas son iguales;

a≠b así que sus coordenadas no son iguales.

Este es un ejemplo de igualdad de

vectores todos tienen la misma

magnitud y misma dirección,

solamente están ubicados en

diferentes lugares y tienen

diferente grosor (son

bidimensionales).

Page 22: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 21

Ejemplo 2:

Verificar que los vectores a y b son iguales, donde a parte del punto A y llega a B y b parte de

C y llega a D;

A (-1, 3,4) B (4, 2,6) C (1,-2,-6) D (6,-3,-4)

a= AB= (4, 2,6) - (-1, 3,4)= (5,-1,2)

b= CD= (6,-3,-4) - (1,-2,-6)= (5,-1,2)

2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones

Métodos algebraicos

Para obtener la suma de los vectores de n dimensiones, solamente se suman sus componentes

correspondientes.

Ejemplo en dos dimensiones

U= (5,4) V= (10,4)

U+V= (5+10,4+4)

U+V= (15,8)

Ejemplo en tres dimensiones

Encontrar el vector c dado los vectores A y B.

A= (3, 2, 3) B= (2, 2, 0)

A+B= (3+2 ,2+2, 3+0)

A+B = (5, 4, 3)

Representación gráfica por método de paralelogramo.

Ejemplo en n dimensiones

En n dimensiones: u= (u1,u2,..,un) v = (v1, v2,.., vn) u + v= (u1 + v1, u2 + v2,..,un+ vn)

Page 23: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 22

Dados los vectores u= (2,4, 6,8) y v = (1,3, 6,8)

u + v = (2+1, 4+3, 6+6, 8+8)

u + v= (3, 7, 12, 16)

Métodos gráficos

Solamente se pueden utilizar en las sumas de dos y tres dimensiones.

Ejemplo del método del paralelogramo en tercera dimensión.

Se trazan paralelas a los vectores originales

para construir un paralelogramo y después

sacar la diagonal de este y esa es la suma de

los vectores.

Solamente se trazan los vectores uno sobre

otro, es decir el punto final de uno con el

punto inicial del otro y posteriormente se une

el origen del inicial con el final del segundo la

resultante será la suma de los vectores.

a

b

Page 24: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 23

2.3. Sustracción de vectores

Método algebraico

La sustracción de vectores u-v, se puede definir a partir de la adición como:

u – v= u + (-v)= (u1, u2,… un)+ (-v1,-v2,…-vn)

u – v= (u1-v1, u2-v2,… un-vn)

Al vector resultante de la sustracción de dos vectores se le conoce como la diferencia de los

vectores u y v.

Ejemplo:

Hallar u-v

u= (-2,6) v= (2,5)

u-v= (-2-2, 6-5)= (-4, 1)

Método grafico

Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo.

2.4. Multiplicación por un escalar

Para obtener la resta de

vectores por este método se

traza el opuesto del segundo

vector, posteriormente se suma

el primer vector con el opuesto

del segundo, donde la diagonal

resultante será el vector u-v.

Page 25: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 24

El resultado de multiplicar un real k por un vector v, expresado analíticamente por kv es otro

vector.

Si el escalar a es mayor que uno el resultado de la multiplicación será un vector con la misma

dirección de u, pero con módulo mayor que a. au; a>1

Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno el resultado será un vector con la misma

dirección de a, pero con módulo menor. au; 0<a<1

Cuando el escalar es mayor que menos 1 pero menor que cero se obtendrá un vector paralelo

al vector a, pero con dirección opuesta y módulo menor.

au; -1<a<0

Finalmente si el escalar es menor que menos uno el resultado será un vector paralelo al vector

a, pero con dirección opuesta y modulo mayor. au; a<-1

Algebraicamente tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del

vector.

Aquí se muestran ejemplos

de un vector multiplicado por

escalares tanto negativos

como positivos y se observa

que la magnitud y dirección

ahora depende del escalar

que está multiplicando a

nuestro vector.

Page 26: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 25

Ejemplo 1:

Dados el vector u = (1, 2, 4) y escalar 7 encontrar el producto 7u

7*u= (7*1, 7*2, 7*4)

7*u= (7, 14, 28)

Ejemplo 2:

Dados los puntos A (2,-1,3) y B (0,-5,-4) y los vectores p= (2, 2,-1) y q= (-2, 0,3), encontrar el

vector: 3p-2q+5BA+3b-2a, siendo a y b los vectores de posición de los puntos A y B

respectivamente.

3p= 3(2, 2, -1) = (6, 6, -3)

2q= 2(-2, 0, 3) = (-4, 0, 6)

BA= (2,-1,3) – (0,-5,-4)= (2, 4, 7)

5BA= 5 (2, 4, 7)= (10, 20, 35)

3b= 3(0,-5,-4) = (0, -15, -12)

2a= 2(2, -1, 3) = (4, -2, 6)

3p-2q+5BA+3b-2a = (6, 6, -3)-(-4, 0, 6) + (10, 20, 35) + (0,-15,-12) - (4,-2,6)

= (6+4+10-4, 6+20-15+2, -3-6+35-12-6)= (16, 13, 8)

Ejemplo 3:

Dados tres puntos colineales en el espacio de tres dimensiones, p1 (-2, 1, -3), p2 (1, 4, 0) y p3

(2, 5, 1). Determinar el escalar k que cumpla con la siguiente condición.

k* p1p2 = p1 p3

p1p2 = (1, 4, 0) - (-2, 1, -3) = (3, 3, 3)

p1 p3 = (2, 5, 1) - (-2, 1, -3) = (4, 4, 4)

k* (3, 3, 3) = (4, 4, 4)

(3*k, 3*k, 3*k)= (4, 4, 4)

3*k=4

K = 4/3

Page 27: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 26

2.5. Propiedades de las operaciones

Propiedades de la suma

Cerradura: Si ay b son vectores en el espacio de n dimensiones entonces a+b también

es un vector del espacio de n dimensiones.

Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Se tiene que cumplir porque la suma de los correspondientes de los vectores tiene que

ser igual no importando posición.

Identidad aditiva: Existencia de elemento o vector neutro por lo cual todas sus

componentes son 0, vector nulo (0, 0,0).

a+0= 0+a= a para todo vector a.

Inverso aditivo: para cada vector a existe un elemento opuesto,–a

Entonces –a= (-a1,-a2, -an)

Y siempre se cumple que: a+ (-a)=0 (-a)+a=0

propiedad conmutativa:a + b = b + a

Propiedades de la multiplicación por un escalar.

Cerradura: Al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector del

mismo espacio.

Conmutativa:k*v = v*k

Distributiva:

Un escalar por dos vectores: k (u + v) = k*u + k*v

Dos escalares por un vector: (k1+ k2) v = k1*v+ k2*v

Elemento neutro (1): 1* v = v

Elemento simétrico(-1): -1 * v = -v

Elemento nulo (0): 0 * v = 0

2.6. Vector nulo y vector unitario

Vector nulo

Es el vector cuyo modulo es 0. No tiene dirección ni sentido por lo cual todas sus coordenadas

son 0. Por ejemplo en el plano sus coordenadas serian (0,0), en el espacio serian (0, 0, 0) hasta

n dimensiones. Este vector ya había sido mencionado con anterioridad en las propiedades de la

suma.

Se puede observar que todo vector diferente del vector nulo tiene un módulo positivo, esto es,

a> 0 si a≠ 0

Page 28: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 27

Vector unitario

Se dice que es unitario cuando su módulo es igual a la unidad. Para cualquier vector a ≠ 0,

siempre es posible determinar el vector unitario en su misma dirección.

U=(

| |) U=(

| |) U=(

| |

| |

| |)

Para encontrar las magnitudes de un vector

Ejemplo 1:

Encontrar el vector unitario en la misma dirección del vector.

a= (2, -3, 7)

│a│= √ = √ =√

Por lo tanto el vector unitario es:

U=(

√ )

Ejemplo 2:

Determina un vector q, con la misma magnitud del vector

P= 3a - 2b + c

Y en dirección opuesta a la resultante de los vectores d y e.

a= (2, 1, -3), b= (-1,-1,-1), c= (3,-2,4), d= (1,-2,8) y e= (2,-1,3)

El vector p es:

P=3a - 2b + c= 3(2, 1, -3) – 2(-1,-1,-1) + (3,-2,4)

(6, 3, -9) – (-2, -2, -2)+ (3, -2, 4)

P= (6+2+3, 3+2-2, -9+2+4) = (11, 3, -3)

Page 29: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 28

La magnitud da p es:

│p│= √ = √ =√

Resultante de:

d + e= (1,-2,8) + (2,-1,3) = (3, -3, 11)

Vector unitario de la dirección

│d + e│=√ = √ =√

(d+e) u = (

√ )

Po lo tanto el vector unitario en la dirección opuesta es:

- (d+e) u = -(

√ )

Y finalmente q = -│p│ (d+e) u = √ (

√ )

q= (-3, 3 -11)

2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la

diferencia de dos vectores.

Módulo de un vector

El modulo v es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las coordenadas del

vector.

Ejemplo:

Sea el vector v= (5,4)

│v│= √

│v│=√

│v│=√

Método grafico

c= √ c= √ c=√ c=√

Observando que el modulo es la longitud de

la hipotenusa de un triángulo rectángulo

cuyos catetos son las coordenadas del

vector aplicamos el teorema de Pitágoras.

Page 30: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 29

Distancia entre puntos

La distancia entre dos puntos A y B, d(A, B), es el modulo del vector AB.

La distancia entre los puntos del plano A (-2,1) y B (3,5) es:

d(A, B)=√

d(A, B)=√

d(A, B)=√

d(A, B)=√

El modulo es de √

Ejercicios

1) Considere el vector = ⟨ ⟩encuentre la magnitud o norma del vector.

| | = √ = √ = √

2) Encontrar el vector unitario en la dirección del vector =

│ │= √ = √ =√

U=(

√ )

Page 31: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 30

3) Encontrar un vector con magnitud 10 con dirección contraria al vector

=

-10* = = (10,-20, -40)

4) Dados los vectores = ⟨ ⟩ y = . Hallar

3

Soluciones

= = =

=

= (

)

= (

)

= (

)

= (

) = (

)

= =

= =

= =

Page 32: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 31

3. Producto escalar de dos vectores

3.1. Vectores unitarios i, j, k

En ocasiones es conveniente expresar un vector en

términos de los vectores unitarios i, j, k que se muestran

en la siguiente figura.

En términos de sus componentes, los vectores unitarios

quedas expresados como:

= ⟨ ⟩

= ⟨ ⟩

= ⟨ ⟩

3.2. Forma trinómica de un vector

El vector = ⟨ ⟩ puede expresarse como:

= ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

=

Esta expresión define al vector en la llamada forma trinómica.

*Ejemplos

Poner en forma trinómica los siguientes vectores

= ⟨ ⟩ =

= ⟨ ⟩ =

= ⟨ ⟩ =

Page 33: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 32

3.3. Definición de producto escalar

El producto escalar de dos vectores en el espacio de dimensiones = y

= denotado por denotado por , que se lee punto se define como:

=∑ =

*Por ejemplo

*El producto escalar de = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ es:

=

*El producto escalar de = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ es:

=

*⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = =

*⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = =

*⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = =

Propiedades del producto punto

1. = ‖ ‖

2. =

3. =

4. ( ) = = =

5. =

*Ejemplos

Dados = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ y = ⟨ ⟩

a)

b)( )

c)

d)‖ ‖

a) = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = =

b)( ) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

c) ( ) = ( ) = =

d)‖ ‖ = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = =

Page 34: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 33

3.4 Ortogonal

Dos vectores y son ortogonales si y solo si =

Ejemplos:

Cuál de los siguientes vectores son ortogonales:

1) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

2) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

1) = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = = No existe ortogonalidad

2) = ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = =

Determine el número α tal que ā= (1,-2,3) es ortogonal a ƃ= (1, α, 4)

1-2α+7=0 -2α=-8 α=4

Determine todos los números α y β tales que los vectores ā= (4, α, 2) y ƃ= (1, 1, -2β)

4+α+-4β=0 α=+4β-4

3.5. Angulo entre dos vectores

| | = | | | | | || |

| || | =

| | =

| | =

| | = | | | | | | = | | | |

= {

[

]} =.

{

[

]}=.

{

}.=

{

}=

=

= | || |

El ángulo ʘ es el ángulo que forman los vectores al considerar la siguiente figura

Si se despeja de la expresión anterior a cos ʘ se tiene

Page 35: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 34

=

| || |

Es decir:

= (

| || |)

Esta expresión calcula el ángulo que forman 2 vectores al considerar un origen común.

A continuación se muestran las orientaciones posibles de dos vectores

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman los vectores = y =

=(

√ √ )=(

√ √ ) =

√ √

=

√ = (

√ ) =

3.6. Definición de componente vectorial y proyección de

componente escalar de un vector sobre otro.

Sean dos vectores cualesquiera y en un espacio de tres dimensiones. A partir de estos se

puede definir:

Un vector unitario , en la dirección

Un escalar tal que el vector es ortogonal a

La relación geométrica entre los elementos mencionados se representa en la siguiente figura:

Page 36: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 35

La componente vectorial de un vector sobre otro vector , la cual se simboliza

es un vector en el cual es un vector en la direccion de , y es un escalar tal que

es ortogonal a .

Al escalar se le llama componente escalar de sobre , la que se simboliza .

La componente vectorial de sobre otro vector esta dada por la expresión:

=

| |

| | = (

| | ) .

La componente escalar de sobre esta dada por la expresión:

=

| |.

Regresando a la figura anterior en el triángulo rectángulo se tiene que:

= | |

| |.

Sustituyendo el valor de se tiene:

=

| | | |

| |=

| || |.

Dónde:

= | || |

Esto significa que el producto escalar de dos vectores diferentes del vector nulo, es igual al

producto del módulo , por el módulo de , por el coseno del ángulo entre y son no

negativos pero cosʘ puede ser positivo, negativo o cero. Por tanto el producto escalar es

negativo únicamente cuando cosʘ es negativo es decir, únicamente cuando .

Proyección de a ortogonal sobre b

Los vectores a y proyba son la hipotenusa y un lado del triángulo rectángulo, respectivamente.

El segundo lado del triángulo es entonces

a- proyba

Éste es un vector que es ortogonal a b y se le denomina proyección de a ortogonal a b.

Ejemplo

*En cada uno de los casos siguientes calcular , y proyección

ortogonal de a sobre b.

a) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

b) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

a1) =

| |=

√ =

√ =

√ √

√ =

√ = √

a2) =

| |

| |=

√ =

= =

Page 37: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 36

a3) =

b1) =

| |=

√ =

√ =

b2) =

| |

| |=

√ =

= (

) = (

)

c2) (

) = (

).

*Sean los puntos A (5,2,6); B(1,2,3) y C(9,4,9). Determina la componente vectorial de en la

dirección de y representar gráficamente en la figura

Solución:

= = =

= = = )

=

| |

| |=

√ =

.

= = O =

*Sea los vectores

= = =

Determinar los valores de b y c tales que la componente escalar de en la dirección sea igual

a √ y la de en la dirección sea igual a √ .

= √ .

| |= √ .

√ = √ = .

= √ .

| |= √

√ = √ = =

Resolviendo sistema de ecuaciones entre:

b-5c=27

b-4c=18

Se obtiene c=-9 y b=-18

*El ángulo entre los vectores y es ʘ=30°. Si =2 y =7 calcular:

a) b) c)

Page 38: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 37

a) = | || | = | || | = = (√

) =

b) = | || | = | || | = = =

c) = | || | = | || | = = =

*Una lancha de 400 kg se encuentra sobre una rampa inclinada 30°,

como se muestra en figura ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la

lancha resbale cuesta abajo por la rampa?

Solución:

F=(400kg)(-9.8m/s2)=-3920N

= =√

= = (

| | ) = = (

) = (

).

La magnitud de la furza que requiere para sostenerse es de 3920N

Trabajo

Supongase que la fuerza constante de un vector es = que apunta a alguna dirección. Si

la fuerza mueve al objeto P a O, entoces el vector de desplazamiento de = . El trabajo

hecho por esta fuerza se define como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de

D y la distancia recorrida

= | | | |

En forma escalar:

= | | | | =

Ejemplo

*Un carrito es jalado una distancia de 150m a lo largo de una trayectora horizontal de una

trayectora horizontal por una fuerza de 90N. La manija del carro se matiene en un angulo de

30° sobre la horizontal.

= = | || |

=(90N)(150)cos30°=11691.34

*Una fuerza esta dada por un vector F=3i+4j+5k y mueve una particula del punto P(2,1,0) al

punto Q(4, 6, 2). Encuentre el trabajo hecho.

= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩=6+20+10=36 W=36 Joules

3.7. Cosenos directores

Para describir la dirección de un vector = usualmente se hace considerando tres

ángulos y conforme a lo siguiente:

Page 39: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 38

Los ángulos directores de un vector son los ángulos y que respectivamente forma el

vector con los vectores unitarios i, j y k

La expresión para calcular ángulos directores es la

siguiente:

= | | =

| || | =

| |

= | | =

| || | =

| |

= | | =

| || | =

| |

Los cosenos directores de un vector no pueden ser arbitrarios y su relación se puede establecer

como:

=

| |

| |

| | =

| | =| |

| |

=

Que es otra expresión que se relaciona a los cosenos directores del vector

Ejemplos

*Encontrar los ángulos directores de los siguientes vectores

a) =

| | = √ = √ = √ =

Por tanto los cosenos directores son:

=

, =

, =

, = = =

*Sea el vector ā, dos de cuyos cosenos directores son:

=

=

.

Obtener un vector ƃ cuyo módulo sea igual a 18 unidades y que tenga la misma dirección del

vector ā. Solución:

=

= . =

.

=

.. =

..

= (

).

= √

Page 40: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 39

EJERCICIOS PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

1) Convertir a forma trinomica los siguientes vectores

a) = ⟨ ⟩

b) = ⟨ ⟩

c) = ⟨ ⟩

2) De los siguientes ejercicios hallar: a) , b)‖ ‖ c)

a) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

b) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

c) = =

d) = =

3) ¿Cuál de los siguientes vectores son ortogonales?

a) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

b) = =

c) = =

d) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

4) Determine el número α tal que ā= (4,-2,-1) es ortogonal a ƃ= (1, 5, α)

5) Determine todos los números α y β tales que los vectores ā= (1,- 3α, 12) y ƃ= (4β, 5, -7)

6)En cada uno de los casos siguientes calcular , y y proyección

ortogonal de a sobre b.

a) = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

b) = =

7) Sea los vectores = = = . Determinar los valores

de b y c tales que la componente escalar de en la dirección sea igual a √ y la de en la

dirección sea igual a √ .

8) Un camión de 5000 kg está estacionado sobre una pendiente de 10° .Si se supone que la

única fuerza a vencer es la de la gravedad, hallar a)Diagrama b) la fuerza requerida para evitar

que el camión ruede cuesta abajo y c) Fuerza perpendicular a la pendiente.

9) Un carro se remolca usando una fuerza de 1 600 newtons. La cadena que se usa para jalar el

carro forma un ángulo de 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al remolcar

el carro 2km.

Page 41: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 40

10) Una fuerza esta dada por un vector F=7i+j-2k y mueve una particula del punto P(3,1,2) al

punto Q(3, 2, 2). Encuentre el trabajo hecho.

11)El ángulo entre los vectores y es ʘ=120°. Si =4 y =8 calcular:

a) b) c )

12)Calcula a) b) c) , si =8 y =5 y ʘ=

13) Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u =αi+βj y v=βi-αj son

ortogonales.

14) Hallar el ángulo ʘ entre los siguientes vectores

a) = =

b) = =

c) = =

d) = (

) (

) = (

) (

)

e) = (

) (

) = (

) (

)

15) Encontrar cosenos directores de los siguientes vectores

a) =

b) =

c) =

d) =

16) Hallar las componentes de un vector con módulo igual a 3 y cuyos ángulos directores son

iguales.

17) Si un vector tiene ángulos directores α= π/4 y β= π/3 encuentre el tercer director γ

18) Sea el vector ā, dos de cuyos cosenos directores son:

=

=

.

Obtener un vector ƃ cuyo módulo sea igual a 18 unidades y que tenga la misma dirección del

vector ā.

Page 42: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 41

4. Producto Vectorial de dos vectores

4.1. Interpretación geométrica y propiedades

El producto vectorial de dos vectores es otro vector que se designa por o

y que se obtiene del siguiente modo:

1º Si y son dos vectores no nulos y no proporcionales es un vector de:

• Módulo es igual a:

• Dirección es perpendicular a los dos vectores

• Sentido igual al avance de un sacacorchos al girar de a .

2º Si ó ó y son proporcionales se tiene que

Interpretación geométrica del producto vectorial

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del

paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

El área del paralelogramo es el producto de la base

por la altura

Page 43: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 42

Propiedades del producto vectorial

1. Anti conmutativa

2. Homogénea

3. Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.

=

5. El producto vectorial es perpendicular a y a .

Propiedades Geométricas Del Producto Vectorial

Sean y vectores distintos de cero en el espacio, y sea el ángulo entre y

1. u x v es ortogonal tanto a u como a v

2. ll u x v ll = ll u ll ll v ll sen α

3. u x v = 0 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro.

4. ll u x v ll = área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.

Expresión analítica del Producto Vectorial

Sea una base ortonormal de V3.

Aplicando la definición de producto vectorial

Siendo nulos todos los productos de un vector consigo

mismo

Page 44: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 43

Sean dos vectores cualesquiera

Y

Su producto vectorial será:

Y sustituyendo los productos entre los vectores de la base se llega a:

Esta expresión se puede escribir como el siguiente determinante de orden 3

`

Ejercicio

Dados hallar cada uno de

los siguientes productos

vectoriales:

`

Page 45: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 44

Ejercicio

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida

a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de esta fuerza

respecto al punto P cuando α = 60˚.

Si se representa la fuerza de 50 libras como F = -50k y la

palanca como

El momento de F respecto a P está dado por

La magnitud de este momento es 25 libras-pie.

Ejercicio

Calcular u x v, v x u y v x v

U= -2i + 4j

V= 3i + 2j +5j

a= (7, 3, 2)

b= (1, -1, 5)

4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades

Dos rectas son paralelas o perpendiculares si lo son sus vectores directores

Paralelismo: el vector v, de

componentes (v1,v2), es

paralelo al vector u, de

componentes (u1,u2) si

tienen la misma dirección,

es decir si v = t·u:

Page 46: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 45

Es decir, son paralelos cuando sus componentes respectivas son proporcionales.

Perpendicularidad: el vector v,

de componentes (v1,v2), es

perpendicular al vector u, de

componentes (u1,u2) si su

producto escalar es cero:

v·u = 0; (v1,v2)·(u1,u2) = v1·u1 +

v2·u2 = 0

Por lo tanto para estudiar el

paralelismo o la

perpendicularidad de dos rectas

sólo hay que obtener sus respectivos vectores directores y hacer el anterior estudio.

4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de

un paralelogramo

Área de un paralelogramo

Área de un triángulo

Page 47: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 46

Ejemplo

4.4. Definición de producto mixto

Hablamos de producto mixto porque intervienen el producto escalar y el producto vectorial y

esto ya nos orienta a que deben intervenir 3 vectores.

Se trata del producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos,

obteniendo un resultado numérico como el procedente del cálculo del volumen de un

paralelepípedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos).

Sean los vectores. El producto es el producto mixto de tres

vectores.

El resultado no varía en el caso de que permutemos los factores en el mismo sentido de giro:

Page 48: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 47

En realidad, estamos multiplicando escalarmente, un vector por el producto vectorial de dos

vectores, que sería como decir: multiplicamos el área de la base por la altura que equivale al

volumen de un paralelepípedo.

Sirviéndonos de lo ya estudiado tendríamos, suponiendo las coordenadas de los vectores:

4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.

El volumen de un ortoedro, como la de cualquier otro paralelepípedo se obtiene multiplicando

el área de la base por la altura. Sabiendo que los vectores que forman la base corresponden

a: y las componentes de la altura son:

¿Cuál es el valor de este ortoedro?

Respuesta:

Solución

Dibujamos la figura y colocamos los datos que conocemos:

Page 49: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 48

Lo resolvemos:

21.69 Tenemos tres vectores cuyas componentes son:

Responde, tras comprobar, si el valor escalar de es igual a

Respuesta: Sí, son iguales a

Solución

La permutación exige que el factor que tomamos lo coloquemos por detrás “empujando” hacia

la izquierda a los otros dos.

Si no se respeta el sentido del giro produciremos un error.

Page 50: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 49

Ejercicio

Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado en la figura, que tiene u= 3i – 5j + k,

v= 2j - 2k y w= 3i + j + k como aristas adyacentes.

Ejercicios

Calcular el producto vectorial de los vectores unitarios y dibujar su resultado

1. j x i

2. i x j

3. j x k

Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores adyacentes:

1. u= j

v= j + k

2. u= (3, 2, -1)

v= (1, 2, 3)

Verificar que los puntos son los vértices de un paralelogramo y calcular su área

1. A (0, 3, 2), B(1, 0, 3), C(-3, 2, 0)

2. A (2, -3, 1), B(6, 5, -1), C(7, 2, 2), D(3, -6, 4)

Calcular el área del triángulo con los vértices dados

3. A (0,0,0), B(1, 0 ,3), C(-3, 2, 0)

4. A (2,-3,4), B(0, 1, 2), C(-1, 2, 0)

5. A (2, -7,3), B(-1, 5, 8), C(4, 6, -1)

6. A (1, 2, 0), B(-2, 1, 0), C(0, 0, 0)

Calcular u ∙ (v x w)

3. u= i + j + k

v= j + k

4. u= (2, -1, 0)

v= (-1, 2, 0)

4. k x j

5. i x k

6. k x i

Page 51: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 50

Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen de los siguientes paralelepípedos:

Page 52: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 51

5. Uso de software matemático como

instrumento verificador de resultados y

herramienta de visualización en

conceptos. El software que se usara como verificador de resultados herramienta visualizador en conceptos

será maple.

MAPLE

Visualizador de vectores:

Page 53: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 52

Poner mas de un vector:

Page 54: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 53

Suma de vectores

Producto punto de vectores

Page 55: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 54

Proyección de vectores

Producto Cruz de dos vectores

Page 56: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 55

Page 57: Algebra Vectorial

UNAM FESC ITSE Algebra Vectorial 56

6 Bibliografía

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