algebra u1

Álgebra

Unidad 1. Números reales

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Logística y Transporte 1

Ingeniería en Logística y Transporte

Programa de la asignatura:

Álgebra


Universidad Abierta y a Distancia de México

Álgebra



Índice

II. Desarrollo de contenidos por unidad ....................................................................................... 3

Unidad 1. Números reales ........................................................................................................... 3

Presentación de la unidad ........................................................................................................... 3

Propósito ..................................................................................................................................... 3

Competencia específica .............................................................................................................. 4

1.1. Sistemas de numeración posicionales .................................................................................. 4

1.1.1. Propiedades y representación ........................................................................................ 4

Actividad 1. Conversión de bases y operaciones ................................................................... 9

1.1.2. Operaciones en ℤn ......................................................................................................... 9

Actividad 2. Propiedades de ℤn .............................................................................................. 13

1.2. Propiedades de los números reales ................................................................................... 13

1.2.1. Propiedades de campo ................................................................................................ 14

Actividad 3. Uso de propiedades de campo .......................................................................... 21

1.2.2. Propiedades de orden .................................................................................................. 21

1.2.3. Propiedades de completez ........................................................................................... 22

Actividad 4. Trascendencia de las propiedades ................................................................... 24

Autoevaluación .......................................................................................................................... 25

Evidencia de aprendizaje. Propiedades de campo ............................................................... 25

Autorreflexión ............................................................................................................................ 25

Cierre de la unidad .................................................................................................................... 26

Para saber más ......................................................................................................................... 26

Fuentes de consulta ……………………………………………………………………………………27

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II. Desarrollo de contenidos por unidad


Presentación de la unidad

Aunque parezcan simples, los números reales resultan ser la base de todos los estudios que

involucran cantidades y modelación a lo largo de las asignaturas que componen tu formación

profesional como Ingeniero(a) en Logística y transporte. En este caso los números comparten

dos características (por lo menos) con las herramientas multifuncionales como es el caso de la

muy conocida “navaja suiza”:1

Por un lado son muy potentes porque se pueden aplicar en una gran cantidad de

situaciones, así que se vuelven comunes y hasta imperceptibles (“invisibles” dirían

algunos), por lo que incluso se les llega a menospreciar.

Por otro lado, esa misma potencia hace que su comprensión cabal, y por tanto la

posibilidad de aprovechar todos sus rasgos, sea más difícil de lograr. Esto implica que

su estudio requiere de un trabajo y de una reflexión que no es para nada simple y trivial.

En esta unidad estudiarás las propiedades de los números reales que soportan toda el Álgebra

que utilizarás en la carrera. Para tu comprensión se está considerando una aproximación

basada en el estudio de las propiedades de los sistemas numéricos posicionales que facilitan

un contexto y un sentido a la existencia misma de objetos algebraicos como los polinomios y las

ecuaciones.

Propósito

El propósito de esta primera unidad es que te familiarices con los números reales como

estructura algebraica, es decir, como un conjunto de números que tiene propiedades muy

importantes cuando se consideran las dos operaciones básicas (la suma y la multiplicación).

Como ya conoces estos números y los has utilizado toda la vida hay que aclarar que esta

“familiarización” se refiere a la explicitación de propiedades que se utilizan y que le darán

sentido al manejo de expresiones algebraicas a lo largo de este curso y de otras asignaturas de

la carrera.

1 La expresión “navaja suiza” se refiere a esas navajas plegables desarrolladas originalmente para el ejército suizo que incluyen no sólo la navaja en sí, sino todo un conjunto de herramientas que pueden ser utilizadas para labores de mecánica, supervivencia, pesca, etcétera.

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Competencia específica

Utilizar la estructura de los números reales, para identificar su uso en el manejo de polinomios y

ecuaciones, mediante el análisis de sistemas de numeración.

1.1. Sistemas de numeración posicionales

En este primer tema de la unidad 1, revisarás qué son los sistemas de numeración como

estructuras para expresar cantidades, en particular aquellos en los que su posición de los

símbolos afecta el valor de éstos.

Además estudiarás sus propiedades para así poder generalizarlas en el uso de los números

reales y de otros objetos algebraicos como son los polinomios y las ecuaciones que verás en

las dos unidades siguientes.

Es muy importante que seas consciente de las propiedades de los números como estructuras

algebraicas más que como conjuntos de objetos. Esto será para que puedas aplicarlas de

manera explícita en las siguientes unidades y así comprender el manejo y la naturaleza de los

objetos algebraicos que utilizarás como herramientas para diversos cursos de tu formación

como ingeniero.

1.1.1. Propiedades y representación

Los sistemas de numeración son conjuntos de símbolos con sus reglas que permiten expresar

las cantidades que utilizamos. Esto se puede representar de la siguiente manera:

RSN , ,

donde N es el sistema de numeración en cuestión, S es el conjunto de símbolos utilizados y R

es el conjunto de reglas utilizadas para determinar cuáles combinaciones de los elementos de S

son válidas.

Esta forma de expresarse puede parecer innecesaria, pero es importarte que la consideres en

el sentido de que lo que trabajaremos son representaciones no arbitrarias y cuyas reglas

tendrán implicaciones no sólo en este curso, sino en otros durante la carrera. Como un ejemplo

considera que la expresión “1,450.732” representa un número (“mil cuatrocientos cincuenta con

setecientos treinta y dos milésimos”)2, mientras que la expresión “1.450.732” no representa un

número.

2 En México utilizamos esta notación o bien “1 450.732”, pero en otros países como España este número se expresaría como “1.450,732”. Es decir, para algunos el símbolo para separar los enteros de los decimales es un punto y para otros es una coma.

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Otra cosa que tienes que tomar en consideración es la palabra “sistema”. ¿Se te ha ocurrido

pensar en por qué utilizamos esta palabra en la expresión “sistema de numeración” y no la

palabra “conjunto”? La respuesta es porque mientras un conjunto se refiere a una colección de

objetos, en el caso del sistema dicha colección de objetos tiene al menos una relación entre sí.

Esto implica que mientras un conjunto es la “suma de las partes”, en el caso del sistema ocurre

que éste no es sólo la “suma de las partes”, sino de las relaciones entre las partes. Esto es

relevante por el hecho de que primero se hablará en el curso de sistemas de numeración y

después de los números reales como un sistema (que se llamará “estructura algebraica”).

A lo largo de la historia de la humanidad se han desarrollado muchos sistemas de numeración y

éstos se pueden clasificar utilizando, entre otros, dos criterios:

Si son posicionales, si no lo son o mixtos.

Según la base.

La diferencia fundamental entre los sistemas posicionales y los no posicionales es que en los

primeros el valor de un símbolo (una cifra) depende de la posición que ocupa dentro del

número en total. Esto tiene muchísimas ventajas prácticas y es lo que ha permitido el desarrollo

del Álgebra y su aplicación en otras ramas matemáticas (como el Cálculo) y no matemáticas.

En cambio, los sistemas no posicionales se basan esencialmente en los principios de adición y

de sustracción, pues una cantidad se puede representar a partir de otra añadiendo o quitando

símbolos. Los egipcios antiguos y los romanos utilizaron sistemas no posicionales, mientras que

los babilonios y los mayas clásicos utilizaron sistemas posicionales mixtos, y actualmente

utilizamos un sistema posicional que aprendemos a utilizar desde la escuela primaria.

El otro criterio, la base, se refiere al tamaño del conjunto que se toma como referencia para

estructurar el sistema de numeración. Los comunes han sido los de base 10 ó 20, como es el

caso del romano y del maya, respectivamente, aunque se han considerado algunos con base

60, como en el caso del babilónico. Respecto a los sistemas de numeración posicional la base

es la cantidad de símbolos permitidos y actualmente utilizamos sistemas con tres bases: El

decimal, el binario y el hexadecimal (base 16), aunque éstos dos últimos se utilizan

básicamente en las computadoras.

A partir de este momento sólo debes concentrarte en los sistemas de numeración posicional.

Nuestra notación es decimal porque sólo utiliza 10 símbolos y es posicional porque cada

posición determina el valor de las cifras o guarismos que aparecen en un número. Por ejemplo,

si decimos 34,546 el primer “4” no vale lo mismo que el segundo. Como lo aprendiste en la

primaria y en la vida, la lectura de los números enteros es de derecha a izquierda y lo hacemos

“juntando montones” de dieces (por ser decimal) de la siguiente manera:

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34 546 = 3 decenas de miles + 4 miles + 5 cientos + 4 dieces + 6 unos =

= (3 10 000) + (4 1 000) + (5 100) + (4 10) + (6 1) =

= (3 104) + (4 103) + (5 102) + (4 10) + (6 1)

Esta es la notación desarrollada de un número entero y ya se aplicó una simplificación en los

dieces. La base es 10, por lo que cada uno de las cifras se multiplica por una potencia de 10

para que se le proporcione el valor que corresponde a su posición. Si consideramos que

10 = 101 y que 1 = 100 entonces tenemos la notación desarrollada de la siguiente manera:

34 546 = (3 104) + (4 103) + (5 102) + (4 101) + (6 100)

El cero, por su parte, juega un papel muy importante en esta notación. Por ejemplo, si no

existiera un símbolo para representar un “vacío” en alguna posición sería difícil diferenciar el

ciento nueve del diecinueve.

Quizá esto resulte trivial, pero es la razón de ser de los algoritmos de las operaciones

aritméticas y es la base fundamental para el trabajo en el Álgebra y, por ende, del desarrollo

matemático avanzado en la parte analítica.

Por ejemplo, ¿qué pasaría con los que desarrollan programas de computadora para convertir

números a letra a fin de imprimir los cheques de cada quincena si no tuviéramos un sistema

posicional? La respuesta es que se complicaría mucho el algoritmo.

Otra ventaja es que se pueden hallar patrones gracias a las propiedades del sistema de

numeración posicional. Algunos de estos patrones nos permiten identificar cuándo un número

entero es divisible. Por ejemplo, considera cualquier número entero menor a 100,000 que

puede ser expresado de la forma:

N = 10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e,

donde a, b, c, d y e son elementos del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Observa la divisibilidad

entre 2:

25505005000

22

10

2

100

2

1000

2

10000

2

10100100010000

2

edcba

edcba

edcbaN

Así que 2

N será un número entero si

2

e es un número entero, así que N es divisible entre 2 si y

sólo si e es divisible entre dos (e es par).

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Considera ahora el caso de la divisibilidad entre 3:

33333333333

333333333333333

333

9

33

99

33

999

33

9999

33

)19(

3

)199(

3

)1999(

3

)19999(

3

10100100010000

3

edcbadcba

edcbadcba

eddccbbaa

edcbaedcbaN

En otras palabras, el resultado de 3

N será entero si la suma de las cifras del número es

divisible entre 3. Así se puede continuar con otras propiedades, pero te las dejamos para que

puedas verificarlo. ¿Qué ocurre con el 7?

El considerar la notación desarrollada permite acceder al estudio de los números enteros

expresados en bases diferentes a la de 10. Consideremos al 4 como base del sistema de

numeración, entonces cada posición (de derecha a izquierda) está relacionada con las

cantidades de cuatros y, además, no se podrán utilizar más de cuatro símbolos, a saber 0, 1, 2

y 3. Por ejemplo, el número 302 en base 4 (que se representará como 3024 para no confundirlo

con nuestro “tradicional” 30210) indica:

3124 = 3 conjuntos de conjuntos de cuatro + 1 conjunto de cuatros + 2 unos.

Es decir, en notación desarrollada:

3124 = (3 42) + (1 41) + (2 100) =

= (3 16) + (1 4) + (2 1) = 4810 + 410 + 210 = 5410.

Podemos considerar otras bases, pues en realidad podríamos tomar casi cualquier número

entero, pero no es la intención en este momento. (¿Será posible considerar un sistema de

numeración posicional base 1?)

Consideremos otros dos ejemplos. Cuando se toma la base 2 sólo se admiten dos símbolos: 0 y

1. Se puede ver a qué número equivale en base 10 el número 110112:

110112 = (1 24) + (1 23) + (0 22) + (1 21) + (1 20) =

= (1 16) + (1 8) + (0 4) + (1 2) + (1 1) = 1610 + 810 + 210 + 110 = 2710.

La base 16 se utiliza para cuestiones de Informática. ¿Alguna vez te ha tocado ver mensajes de

error de las computadoras que hacen referencia a una combinación de números y letras? Como

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son necesarios 16 símbolos puedes utilizar letras como si fuesen cifras:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F }. Así que un número como 5A0F16 se expresaría en base como

sigue:

5A0F16 = (5 163) + (A 162) + (0 161) + (F 160).

Pero como A16 = 1010 y F16 = 1510 sustituimos:

5A0F16 = (5 163) + (10 162) + (0 16) + (15 1) = 20 48010 + 2 56010 + 1510 =

= 23 05510.

Rápidamente puedes ver que entre menos símbolos se tengan mayor será la longitud del

número expresado: 3124 tiene más cifras que 5410, pero por la diferencia de bases expresan la

misma cantidad.

Utilizando el procedimiento anterior podemos expresar en base 10 un número que está

expresado en otra base. En cuanto al procedimiento inverso (expresar en una base diferente al

10 un número que originalmente está expresado en base 10) existen varios procedimientos.

Consideremos, por ejemplo, el número 29510 y su conversión para expresarlo en base 6. Esto

quiere decir que, en notación desarrollada, el número debe poderse expresar de la forma:

29710 = (a · 63) + (b · 62) + (c · 61) + d = (a · 216) + (b · 36) + (c · 6) + d.

Puedes notar que sólo se está utilizando hasta 63 porque 64 = 1 296 y esto excede al 297.

Ahora bien el trabajo consiste en hallar los valores de a, b, c y d.

A la pregunta de ¿cuántos “montones” de 63 hay en el 297?, la respuesta es 1 pues 63 = 21610.

Esto quiere decir que a = 1. (Se puede verificar que 1 0006 = 21610.) Así que se toma 216 de

297 y queda 81 (297 – 216 = 81).

Ahora para la siguiente posición se considera el 36, por lo que se consideran cuántos

“montones” de 62 hay en 81 y la respuesta es 2 (b = 2) y sobran 9. Nuevamente se consideran

cuántos “montones” de 6 hay en 9 y la respuesta son 1 y sobran 3, por lo que c = 1. Finalmente

los 3 que sobraron corresponden a las unidades (d = 3). Así que tenemos como resultado que

29710 = 12136.Todo esto se puede resumir en la siguiente serie de operaciones:

Para a: 293 63 = 1 y sobran 81,

Para b: 81 62 = 2 y sobran 9,

Para c: 9 61 = 1 y sobran 3,

Para d: 3 60 = 3.

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(Los números en negritas indican los valores buscados y los números subrayados son los que

pasan al siguiente renglón de operaciones.)

Algo que podría ser interesante es ver si se pueden desarrollar reglas para determinar

rápidamente la divisibilidad de números enteros expresados en bases diferentes al 10 como las

que se mencionar más arriba. Por ejemplo, ¿cuál podría ser una regla para determinar

rápidamente si un número en base 3 es divisible entre 103 (es decir, entre 310)?

Actividad 1. Conversión de bases y operaciones

La siguiente actividad te permitirá ejercitar las nociones relacionadas con los sistemas de

numeración e identificar algunas propiedades que utilizarás en está y la siguiente unidad.

1. Descarga el documento Act1. Conversión de bases y operaciones

2. Resuelve los ejercicios que se te piden.

3. Cuando concluyas los ejercicios guárdalos en un archivo .doc con el nombre

LALG_U1_A1_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

1.1.2. Operaciones en ℤn

Para generalizar los algoritmos de las operaciones con números expresados en bases

diferentes no sólo decimales vas a considerar algo que se le llama ℤn o bien los “enteros

módulo n”.3

Considera la carátula de un reloj de manecillas “normal” que aparece abajo a la izquierda

(aunque se cambió el 12 por el 0 debido a que es la hora cero, el 10 por el A y el 11 por B como

en el ejemplo de la base 16 de la sección anterior). Si queremos considerar un reloj base 4

sería como el de abajo a la derecha porque sólo tendría cuatro horas el medio día. Las flechas

indican el inicio y la dirección en que se cada reloj.

3 El símbolo utilizado (ℤ) es la inicial de la palabra alemana “Zahl” que significa “cifra” o “guarismo”.

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Para establecer la relación de estos dos ejemplos con los sistemas de numeración que se han

estado utilizando consideremos los siguientes ejemplos:

Para el reloj de la izquierda las horas van en este orden: después de la hora A sigue la B,

después la hora 0, luego la hora 1 y después la 2. Paralelamente en la base 12 resulta que

después si al número B12 (el 11 de nuestros relojes) le añadimos otro nos daría 1210, ¡pero en

base 12 sólo hay 12 símbolos y ese ya no existe! Así que la solución es convertirlo y entonces

el 1210 es 1012 que en notación desarrollada es:

1210 = (1 121) + (0 120) = 1012.

En otras palabras, en el reloj de la izquierda se cumple la suma:

B + 1 = 0. (Después del B se “avanzó” una hora.)

Y el cero de esta suma corresponde a las unidades del 1012.

En el reloj de la derecha ocurre que después de la hora 3 sigue la hora 0, después la 1 y así

sucesivamente. En general ocurre algo similar que en el caso anterior. Si consideramos el 410

como el número siguiente al 310 en la base 4 pasa lo siguiente:

410 = (1 41) + (0 40) = 104.

De manera similar al ejemplo anterior, la hora 0 que se obtiene al avanzar una hora a partir de

la hora 3 (3 + 1 = 0) es el cero de las unidades del 104.

Así pues, podemos considerar las dos operaciones básicas con estos dos ejemplos. Éstas son

la suma y la multiplicación que denotaremos por “+” y “×” por comodidad. Los relojes se utilizan

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como si fueran las rectas numéricas utilizadas en la primaria y así podemos calcular para el

reloj de la izquierda (correspondiente a ℤ12) sumas como las siguientes:

1 + 5 = 6

3 + 9 = 0

8 + 2 = A

B + 7 = 6

De igual manera podemos calcular multiplicaciones como sumas abreviadas:

1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

3 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3

7 6 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 6

Esto queda resumido en las siguientes tablas (una para cada operación):

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1

2 0 2 4 6 8 A 0 2 4 6 8 A

3 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2

3 0 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9

4 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3

4 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

5 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4

5 0 5 A 3 8 1 6 B 4 9 2 7

6 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5

6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6

7 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6

7 0 7 2 9 4 B 6 1 8 3 A 5

8 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7

8 0 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4

9 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 0 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3

A A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 0 A 8 6 4 2 0 A 8 6 4 2

B B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A

B 0 B A 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Para el caso de ℤ4, al que le corresponde el reloj de la derecha, las tablas quedarían como

sigue:

+ 0 1 2 3

0 1 2 3

0 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 1 2 3 0

1 0 1 2 3

2 2 3 0 1

2 0 2 0 2

3 3 0 1 2

3 0 3 2 1

Hay dos cosas que te podemos señalar:

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En primer lugar, hay una manera rápida para obtener los resultados. Considera los resultados

de las siguientes operaciones que se tienen en base 10 y en las tablas de operaciones de ℤ4:

Operación Resultado en base 10

Resultado en ℤ4

3 + 2 5 1

1 + 2 3 3

3 + 1 4 0

2 3 6 2

3 3 = 32 9 1

2 2 = 22 4 0

En términos formales, se dice que cada uno de los números de la segunda columna es

congruente con su correspondiente módulo 4. Por ejemplo, 5 es congruente con 1 módulo 4, 4

es congruente con 0 módulo 4 y 9 es congruente con 1 módulo 4. Esto se denota 5 1 (mod 4),

4 0 (mod 4) y 9 1 (mod 4), respectivamente.

Puedes observar de manera rápida que los números de la tercera columna se obtienen con el

residuo de la división de los números respectivos de la segunda columna entre la base o

módulo. Por ejemplo, 5 4 = 1 y sobra 1, 4 4 = 1 y sobra 0, 9 4 = 2 y sobra 1.

En segundo lugar es interesante que prestes atención en los productos de las dos tablas de

multiplicación (de ℤ12 y de ℤ4) ya que aparece el cero en varias ocasiones, no sólo en el primer

renglón y la primera columna. Por ejemplo en ℤ12 se cumple que

6 2 = 3 8 = 9 x 4 = 0.

Y en ℤ4 se cumple que

2 2 = 22 = 0.

Esto no ocurre en los números que utilizas normalmente, pues para que el producto sea 0 es

necesario que al menos uno de los factores sea cero. Esto puede parecer curioso, pero tiene

amplias repercusiones en el manejo algebraico que posteriormente realizarás. Por lo pronto

harás algunos ejercicios y observaciones que te permitirán ampliar estas nociones hacia otros

conjuntos de números.

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Actividad 2. Propiedades de ℤn

Con la intención de que ejercites tus conocimiento acerca de las propiedades Zn, realiza lo

siguiente:

1. Descarga el documento Act2. Propiedades de Zn

2. Analiza y resuelve el ejercicio con tablas de suma y multiplicación

3. Ingresa al Foro. Propiedades de ℤn e intercambia opiniones con tus compañeros(as) en

torno a las siguientes preguntas:

¿En todos los casos de las tablas de las operaciones importa el orden en que se

hagan las sumas o las multiplicaciones?

Hay algunos ℤn en los que en sus tablas de multiplicación aparece el 1 en todos y

cada uno de sus renglones, pero ¿cuál es la característica de la n para estos

conjuntos para saber si un ℤn cumple con esta propiedad sin tener que hacer toda la

tabla de multiplicación?

¿Todos los ℤn tienen en sus tablas de la suma y de la multiplicación números que

dejen a la suma y a la multiplicación igual?

*Recuerda que tu participación en el foro debe ser argumentada, es decir, que tienes que

exponer las razones que apoyen tus opiniones.

4. Revisa la Rúbrica general de participación en foros disponible en la sección Material e

apoyo del aula virtual.

1.2. Propiedades de los números reales

Los números reales son los que puedes utilizar de manera directa, en la vida cotidiana de tu

desarrollo profesional. Éstos están constituidos por los números racionales e irracionales, es

decir, los que se pueden escribir como fracciones y los que no. Juntos pueden ser utilizados

para resolver ecuaciones de diversos grados, así como modelar situaciones al considerar

cantidades no conocidas utilizando objetos algebraicos. Esto lo harás tanto en las siguientes

unidades como en tus siguientes cursos.

Los números reales no sólo son un conjunto de números, sino que además tienen propiedades

que están basadas en dos operaciones definidas y por ello se convierten en una estructura

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algebraica. Como te imaginarás, las dos operaciones que permiten hacer tal conversión son la

suma y la resta.

Además, las propiedades de los números reales se pueden verificar y comprender a partir de

las actividades del tema 1.1 que recién estudiaste. Ahora lo ampliarás, explicitarás y aplicarás

para comprender el manejo de las herramientas algebraicas que estudiarás en las siguientes

unidades y en otros cursos de Matemáticas de tu carrera.

1.2.1. Propiedades de campo

En las actividades previas has estado observando lo que ocurre con las tablas de sumas y de

multiplicaciones de varios conjuntos que se han llamado ℤn porque se basan en el conjunto de

los números enteros y se toma a n como base del sistema. Formalmente el nombre que reciben

estas estructuras algebraicas, como conjuntos de números que están relacionados por dos

operaciones (suma y producto), es el de anillos.

Es interesante hacer notar que algunas de las regularidades que estuviste observando en las

actividades previas son les llaman axiomas4 y forman parte de las propiedades de estas

estructuras algebraicas. A continuación se hará una recapitulación de sus propiedades.

En primer lugar cuando se llevan a cabo las sumas y las multiplicaciones no importa el orden de

los sumandos o de los factores. En términos de las tablas de las operaciones esto quiere decir

que al buscar una solución no importa si empezamos por identificar la columna correspondiente

y luego el renglón o si primer se busca el renglón y luego la columna correspondiente. Por

ejemplo, para ℤ7 si se quiere el resultado de 5 + 3 se puede considerar la columna y el renglón

de la tabla de la izquierda, o bien se puede considerar la columna y el renglón de la tabla de la

derecha que corresponde a 3 + 5 porque en ambos casos el resultado es 1.

5 + 3 3 + 5

+ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

+ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

4 Un axioma en Matemáticas es una proposición que se acepta sin demostración para que así se pueda llevar a cabo el desarrollo formal y axiomático del conocimiento matemático a través de razonamientos válidos.

Álgebra



Con esto se plantean dos axiomas:

Axioma 1. Conmutatividad de la suma. Dados dos elementos a y b en ℤn se cumple que

a + b = b + a.

Axioma 2. Conmutatividad de la multiplicación. Dados dos elementos a y b en ℤn se cumple

que

a b = b a.

Aunque estos dos axiomas parecen evidentes, en el próximo curso de Álgebra Lineal te

encontrarás con conjuntos que al multiplicarse no se cumple esta propiedad de conmutatividad.

Otra propiedad que tienen estos conjuntos es la posibilidad de asociarse, es decir, que cuando

se tienen tres sumandos o tres factores se obtiene el mismo resultado si se hace la operación

primero con los dos primeros sumandos (o dos factores) y luego aplicar la operación con el

tercer sumando (o factor) o si se hace la operación con los últimos dos números y luego se

aplica la operación al primero. En términos simbólicos es como sigue:

Axioma 3. Asociatividad de la suma. Dados tres elementos a, b y c en ℤn se cumple que

(a + b) + c = a + (b + c).

Axioma 4. Asociatividad de la multiplicación. Dados tres elementos a, b y c en ℤn se cumple

que

(a × b) × c = a × (b × c).

Además existe la posibilidad de combinar las dos operaciones en la siguiente propiedad:

Axioma 5. Distributividad. Dados tres elementos a, b y c en ℤn se cumple que

a × (b + c) = a × b + a × c

(a + b) × c = a × b + a × c.

En primer lugar este axioma toma este nombre porque el producto se distribuye en cada uno de

los sumandos de uno de los factores. En segundo lugar, este axioma te lo vas a encontrar

reiteradamente en la siguiente unidad como parte de los productos y de las factorizaciones de

polinomios y de expresiones algebraicas.

Ahora bien, en la actividad Propiedades de ℤn observaste también que en todas las tablas de

sumas que se hicieron existe un número que sirve como neutro aditivo, es decir, como un

Álgebra



número que al sumarlo a cualquier otro el resultado es éste último. Este número es el cero. Lo

mismo ocurrió con en las tablas de multiplicaciones: existe un número que al multiplicarlo por

otro siempre da como resultado ese otro número. Este número es el neutro multiplicativo y es el

uno. Esto se puede expresar como sigue:

Axioma 6. Elemento neutro para la suma. En ℤn existe un elemento neutro para la suma, el 0,

de tal manera que para cualquier elemento a en ℤn se cumple que

a + 0 = 0 + a = a.

Puedes notar que en sistemas de numeración no posicional como el romano o el egipcio no es

posible expresar esto.

Axioma 7. Elemento neutro para la multiplicación. En ℤn existe un elemento neutro para la

multiplicación, el 1, de tal manera que para cualquier elemento a en ℤn se cumple que

a × 1 = 1 × a = a.

Los dos neutros son importantes en los números, pues de hecho son elementos del conjunto

cuya identificación permite la existencia de otros elementos del conjunto. Por ejemplo, en todas

las tablas de sumas que construiste ocurre que en todos y cada uno de los renglones (o

columnas) aparece por lo menos una vez el neutro de la suma (el 0). Esto quiere decir que para

todos los elementos de cualquier ℤn existe otro que al sumarse con el primero se anula, es

decir, es su respectivo inverso aditivo. Expresado como se ha estado escribiendo lo pondremos

como sigue:

Axioma 8. Inverso aditivo. Para todos y cada uno de los elementos de ℤn existe algún

elemento del mismo conjunto (que puede ser el mismo u otro) que es su inverso aditivo. Si

denotamos a un elemento del conjunto por a, entonces su inverso queda denotado por –a, y se

cumple que

a + (–a) = (–a) + a = 0.

Por ejemplo, en la tabla de ℤ7 de la página 14 puedes ver que el número que sumado al 5 da 0

es el 2, y que el número que sumado al 3 da 0 es el 4. En otras palabras, el inverso aditivo de 5

es 2 (o bien –5 = 2) y el inverso aditivo de 3 es 4 (o bien –3 = 4).

Esta propiedad tiene una gran relevancia para resolver ecuaciones, pues es la que nos permite

encontrar el valor de x en ecuaciones como x + 5 = 4, incluso cuando se utiliza algún ℤn y no los

números reales. Por ejemplo para ℤ7 habría que preguntarse cuál es el inverso aditivo del 5 y

Álgebra



así aplicarlo como sigue (en la columna de la derecha aparecen los axiomas que se están

utilizando en cada renglón):

x + 5 = 4

x + 5 + (– 5) = 4 + (– 5) Le sumamos el inverso aditivo del 5 (el –5) a cada miembro

de la igualdad.

x + 5 + 2 = 4 + 2 Sustituimos el –5 por el 2 porque es el inverso aditivo del 5.

x + (5 + 2) = 4 + 2 Aplicamos el axioma 3 de asociatividad de la suma.

x + 0 = 6

Aplicamos el axioma 8 en el que la suma de un número y su

inverso aditivo producen el 0. Además, se hizo la operación

del miembro derecho.

x = 6 Aplicamos el axioma del elemento neutro de la suma.

En resumen, ¿qué numero en ℤ7 sumado al 5 da 4? Podemos ver la tabla de las sumas (porque

es pequeña) pero también podemos aplicar los axiomas como si fuesen reglas y así establecer

que la respuesta es 6. ¿Qué pasaría si tuviéramos una tabla de sumas extremadamente grande

o de tamaño infinita?

Otra relevancia tiene que ver con la resta. Hasta ahora se han mencionado dos operaciones

básicas, pero no la resta y la división. El problema se resuelve utilizando la suma y la

multiplicación, pero por lo pronto sólo nos dedicaremos a la resta.

Para poder utilizar las propiedades recién mencionadas de manera cómoda es más fácil

considerar a la resta como una suma del minuendo (a) y del inverso aditivo del sustraendo (b).

En otras palabras, la resta se puede expresar como:

a – b = a + (–b).

Esto permite aplicar las propiedades como la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad

sin problemas (aunque a veces inventamos atajos para utilizarlas). De esta manera, para ℤ7,

podemos ejemplificar esto con las siguientes operaciones:

5 – 4 = 5 + (–4) = 5 + 3 = 1

6 – 2 = 6 + (–2) = 6 + 5 = 4

0 – 3 = 0 + (–3) = (–3) + 0 = 4 + 0 = 4 (aquí se aplicó también la conmutatividad)

1 – 5 = 1 + (–5) = 1 + 2 = 3.

Nota que con esto también puedes trabajar con restas en donde el sustraendo es mayor que el

minuendo.

Álgebra



Ahora bien, como ya se dijo los conjuntos que cumplen con estas propiedades son llamados

anillos. Muchas de estas propiedades, repito, pueden parecer triviales y mucho las del inverso

aditivo, pero te podrías estar preguntando: “¿qué pasa con el inverso multiplicativo?”

Si tomamos la tabla de la multiplicación de ℤ6 se podría plantear la pregunta: ¿qué número

multiplicado por 4 da 5? Esto equivale a plantear la siguiente ecuación:

4x = 5.

La tabla de la multiplicación para ℤ6 es la siguiente y la pregunta anterior es equivalente a

buscar al 5 como resultado del renglón del 4:

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

La respuesta es que ninguno. Sin embargo si cambiamos la pregunta a: ¿qué número

multiplicado por 5 da 4? (Sólo intercambiamos números en la ecuación 5x = 4.) La respuesta es

que sí existe ese número y es 2.

Esto es posible porque en el renglón del 5 aparece el 1 como resultado (52 = 1), mientras que

en el renglón del 4 no aparece el 1 como resultado. En el primer caso se dice que el 5 tiene

inverso multiplicativo y es el mismo 5, mientras que el 4 no tiene inverso multiplicativo.

Resulta que no todos los ℤn cumplen con la propiedad de que todos sus elementos,

exceptuando el 0, tienen inverso multiplicativo. ¿Reconociste la característica en común de los

ℤn que cumplen con esta propiedad? Resulta que si n es un número primo5 entonces el

respectivo ℤn cumple con el siguiente axioma:

Axioma 9. Inverso multiplicativo. Para todos los elementos diferentes de 0 que están en ℤn,

existe algún elemento del mismo conjunto (que puede ser el mismo u otro) que es su inverso

multiplicativo. Si denotamos a un elemento del conjunto con a, entonces su inverso

multiplicativo queda denotado con a–1 y se cumple que

a a–1 = a–1 a = 1.

5 Los números primos son números enteros positivos que sólo tienen dos divisores: la unidad y él mismo.

Álgebra



Es muy importante que quede claro que el 0 no puede tener inverso multiplicativo y, de

hecho, al observar las tablas de multiplicar que construiste en todos los casos los renglones (o

columnas) del 0 tenían ceros como resultados (y ningún uno).

Esta propiedad, al igual que la del inverso aditivo, permite definir a la división a partir de la

multiplicación: Una división es el producto del dividendo y del inverso multiplicativo del divisor.

a b = a b–1.

De esta manera se puede considerar en ℤ7 la división 5 4 se puede expresar como 5 4–1.

Además, como el inverso multiplicativo de 4 es 2 (4 2 = 1) tenemos el siguiente desarrollo:

5 4 = 5 4–1 = 5 2 = 3.

A los conjuntos que bajo dos operaciones (binarias) cumplen con los nueve axiomas

mencionados se les llama campo.

Un campo muy importante que has estado trabajando desde varios años es el campo de los

números reales, que se denota por ℝ. Este campo incluye a la cantidad infinita de números

enteros (positivos, negativos y el cero), así como todos los que se pueden escribir como

fracciones (llamados racionales y denotados por ℚ) y los que no se pueden escribir como

fracciones (llamados irracionales y denotados por ℚ’). En la siguiente sección retomaremos

estos conjuntos.

Todo el trabajo con los anillos ℤn ha sido introductorio para comprender los axiomas de campo

que rigen a los números reales porque las tablas de sumas y multiplicaciones en los ℤn que

trabajamos son finitas (y pequeñas), mientras que en el caso de los números reales tendrían

que ser infinitamente grandes y no se podrían verificar u observar las propiedades de campo o

los axiomas de campo que se han mencionado.

Los números reales cumplen con los nueve axiomas mencionados y ello permite aplicarlos para

abordar algunas otras propiedades que se trabajan. Por ejemplo, ¿qué nos garantiza que si

tenemos una expresión x + z = x + y podemos “quitar” la x en cada miembro y afirmar que z = y?

Recuerda que la cantidad de números reales es infinita y no tenemos tiempo para estar

verificando todas las posibilidades. ¿Es posible que en algún momento alguien se encuentre

alguna tercia de números que no cumplan con esto? La respuesta es negativa y por lo

siguiente:

Álgebra



x + z = x + y

(–x) + x + z = (–x) + x + y

Le sumamos el inverso aditivo de x a ambos miembros de la

igualdad porque tenemos la garantía de que existe por el

axioma 8.

[(–x) + x] + z = [(–x) + x] + y Aplicamos el axioma 3 de asociatividad de la suma.

0 + z = 0 + y Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo.

z = y Aplicamos el axioma 6 del elemento neutro para la suma.

Esta es la que comúnmente se le llama ley de cancelación de la suma. De manera similar

existe una ley de cancelación de la multiplicación.

Es importante hacer hincapié en la potencialidad de estas ideas. Podemos garantizar un

hecho que ocurre para todos los elementos de en un conjunto infinito y hacer afirmaciones

sin miedo sin tener que verificar todos los casos posibles porque no podríamos.

Otro ejemplo es ver si podemos garantizar que cualquier número multiplicado por 0 da 0. En

otras palabras, que para cualquier elemento x de los números reales se tiene que x·0 = 0. Eso

ocurriría así:

0 = 0 Esta es una propiedad de la igualdad (todo elemento es

igual a sí mismo).

0 + 0 = 0 Aplicamos el axioma 6 del elemento neutro para la suma.

x (0 + 0) = x·0 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por x, un

número real cualquiera.

x·0 + x·0 = x·0 Aplicamos el axioma 5 de distributividad en el miembro

izquierdo.

(x·0 + x·0) + (–x·0) = x·0 + (–x·0)

Como tenemos la garantía de que x·0, como número real,

tiene inverso aditivo gracias al axioma 8, sumamos a

ambos miembros de la igualdad dicho inverso aditivo, es

decir, (–x·0).

x·0 + [x·0 + (–x·0)] = x·0 + (–x·0) Aplicamos el axioma 3 de la asociatividad de la suma.

x·0 + [x·0 + (–x·0)] = 0 Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo en el miembro

derecho de la igualdad.

x·0 + 0 = 0 Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo en el miembro

izquierdo de la igualdad.

x·0 = 0 Aplicamos el axioma 6 del neutro aditivo.

Álgebra



No hay peligro con los números reales de que al multiplicar uno de ellos por 0 nos dé algo

diferente al cero (y eso que hay más números reales que granos de arena en todas las playas

del planeta).

Actividad 3. Uso de propiedades de campo

Esta actividad te permitirá identificar una sucesión de ideas para mostrar la validez de un

enunciado sobre los números reales.

1. Descarga el documento Act3. Uso de propiedades de campo.

2. Resuelve los ejercicios que se plantean.

3. Revisa la escala de evaluación de esta actividad, que se encuentra en el documento Criterios de evaluación de actividades U1.

4. Cuando concluyas tu actividad guárdala en un archivo .doc con el nombre LALG_U1_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

1.2.2. Propiedades de orden

El conjunto de los números reales está ordenado, es decir, cuando se comparan dos números

diferentes entre sí se puede establecer si alguno está “antes” o “después”. Esto se denota más

fácilmente utilizando los símbolos de desigualdad “>” y “<” que denotan las relaciones mayor

que y menor que, respectivamente. Las expresiones del tipo “a > b” y “a < b” se llaman

desigualdades.

Estas relaciones quedan definidas de la siguiente manera:

a > b significa que a – b es positivo.

a < b significa que b – a es positivo.

Como propiedades generales tenemos que:

a > 0 si y sólo si a es positivo.

a < 0 si y sólo si a es negativo.

Dada la generalidad en el uso de las literales como representaciones de números cualesquiera

tenemos que al comparar cualesquiera dos números reales se cumple la ley de la tricotomía:

Si a y b son números reales (a, b ∈ ℝ) entonces ocurre uno y sólo uno de los siguientes casos:

Álgebra



a = b, a > b o bien a < b.

Asimismo, dos números reales tienen el mismo signo sin ambos son positivos o negativos, y

tienen signos opuestos si uno es positivo y el otro negativo. Esto nos lleva a unas propiedades

ampliamente utilizadas pero que vale la pena recordar y que son las leyes de los signos:

Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y b

a son positivos.

Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y b

a son negativos.

Considera que, finalmente, la división es un producto, ya que 1 bab

a, y entonces todo este

tipo de propiedades que afectan a la multiplicación afectan automáticamente a la división.

Es por esto que se dice que los números reales (ℝ) es un campo ordenado, lo cual no ocurre

con todos los campos (al final del curso se mencionará uno de éstos).

1.2.3. Propiedades de completez

Otro de los axiomas que cumplen los números reales es el de completez o de continuidad.

Este axioma se puede expresar como sigue:

Dados dos conjuntos de números reales A y B que cumplan que todos los elementos de A son

menores que todos los elementos de B, existe al menos un número real c que cumple

a < c < b,

donde a está en A y b en B (a ∈ A y b ∈ B).

Representado esto gráficamente utilizando la recta numérica queda como sigue:

Recuerda que en el tema1.2.2 se mencionó que los números reales contienen a otros conjuntos

de números (los racionales, los enteros, los irracionales) y vamos a recapitular al respecto.

Álgebra



En primer lugar están los números naturales (ℕ = {1, 2, 3, 4, …}) que en la recta numérica

dejan muchísimo espacio sin tomar en cuenta porque ni el cero, ni lo que está a su izquierda, ni

los puntos entre cada uno de los números naturales son tomados en cuenta. Además, es fácil

notar que no cumplen con varios axiomas: el 6 sobre la existencia del neutro para la suma, el 8

sobre la existencia de los inversos aditivos y el 9 sobre la existencia de los inversos

multiplicativos.

Para compensar algunos problemas prácticos se amplían los números naturales en los

números enteros que ya has estado trabajando (ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}). Estos

números en la recta numérica siguen dejando grandes huecos entre cada uno de ellos y

además sigue sin cumplirse el axioma 9 sobre la existencia de inversos multiplicativos.

Para compensar dicho axioma 9 se amplían los números enteros a los números racionales (ℚ)

que son los que se pueden expresar como razones (fracciones) donde en el numerador y en el

denominador aparecen números enteros. Los hay positivos, negativos y el cero. Además

incluyen a todos los enteros porque cada entero puede expresarse como una razón (si p es un

número entero se puede expresar como 1

p). También es posible expresar los números

racionales con la notación decimal y entonces sucede que, una de dos, o la serie de decimales

es finita (como en, por ejemplo, 25.04

1 ), o la serie de decimales es infinita pero periódica

o repetitiva (como en, por ejemplo, 1428570.57...142857142828571428570.142857147

1 ).

Uno podría pensar que ya con esto se “rellenaron” los huecos en la recta numérica, pues se

están considerando los números que están entre todos los enteros. Sin embargo no es así,

¿dónde quedan, por ejemplo, números como y 2 ? Éste último es la solución a la ecuación

de primer grado x2 = 2 que, como verás, tiene como coeficientes únicamente números enteros,

así que para ampliar el conjunto de números de tal manera que se incluyeran a las soluciones

de este tipo de ecuaciones y otros números importantes se añaden los números irracionales

(ℚ’) que son aquellos que no se pueden expresar como razones de números enteros.

Con la unión de estos dos conjuntos (los racionales y los irracionales) se eliminan los “huecos” y

entonces el conjunto resultante, los números reales (ℝ), cumple con el axioma de completez.

Dicho de otro modo: Este axioma garantiza que entre dos números reales siempre existe otro

número real.

Recordando un poco lo que trabajaste en las secciones anteriores, si verificas con cualquier ℤn

que observaste te vas a dar cuenta de que aunque n sea primo (y entonces el conjunto es un

campo con las operaciones consideradas como con ℤ7) no se cumple el axioma de completez:

Álgebra



Si escoges dos elementos cualesquiera no siempre te vas a encontrar otro elemento del

conjunto (por ejemplo entre el 3 y el 4 no hay ningún elemento).

Una observación sobre los irracionales: A diferencia de lo que ocurre con los racionales, en la

notación decimal la serie de decimales es infinita y no periódica, es decir, que aunque

podemos pensar en un número irracional como concepto, no podemos expresar todos sus

decimales (o expresar su valor exacto) porque su serie de decimales no va a tener un patrón

previsible. Es por ello que, en realidad, nosotros en la práctica trabajamos con números

racionales nada más, pero los irracionales son necesarios también y en muchas ocasiones

conviene dejar el valor exacto (escribir, por ejemplo, “ 2 ” y no “1.4142”).

Al margen de esta situación práctica, ¿te has puesto a pensar cuál de los dos conjuntos (ℚ y ℚ’)

tiene más elementos? Considera que si tomamos un solo número irracional como 2 y todos

los números racionales (que representaremos por a) se tiene que cada una de las expresiones

que se obtienen de la forma 2 + a son números irracionales. Ahora prueba con otros

irracionales como , 3 , 3 2 , etcétera, y súmales todos los a posibles.

Actividad 4. Trascendencia de las propiedades

Después de revisar los ejercicios, axiomas y propiedades del tema 1.2. Propiedades de los

número reales, pudiste observar que en los números reales y en general en todos los campos

la división entre cero no está definida (esto lo vas a encontrar mucho en tus cursos de

Cálculo). El cero tiene inverso aditivo pero no tiene inverso multiplicativo. ¡Es momento de

opinar acerca de esto!

1. Ingresa al Foro. Trascendencia de las propiedades y comenta sobre la necesidad de que existan los axiomas de campo, el orden en los números reales y el axioma de completez, para ello considera las siguientes preguntas:

¿Qué pasaría si se permitiera que todos los números reales tuvieran inverso

multiplicativo?

¿Qué pasaría si no se cumpliera el axioma de completez o el orden en los

números reales?

¿Qué pasaría si se cambiaran los axiomas de campo?

Si tenemos dos números reales diferentes, ¿cómo obtendrías otro que

estuviese entre los dos originales?

2. Justifica tus opiniones y no sólo des argumentos circulares, intercambia puntos de vista

por lo menos con dos compañeros(as).

3. Revisa la Rúbrica de participación en foros para que tus aportaciones sean más acertadas.

Álgebra



Autoevaluación

Ah llegado el momento de verificar el logro de tu aprendizaje, durante la unidad 1 de esta

asignatura, te invitamos a resolver el ejercicio de autoevaluación, para ello ingresa al aula

virtual.

Evidencia de aprendizaje. Propiedades de campo

Sabemos con certeza que has comprendido y practicado los conceptos y formulaciones que

has estudiado en esta unidad, pero ahora tendrás la oportunidad de realizar una evidencia de

tu aprendizaje.

1. Descarga el documento EA. Propiedades de campo

2. Resuelve las operaciones planteadas

3. Revisa la Escala de evaluación para que sepas cuáles criterios te van a evaluar.

4. Cuando concluyas tu evidencia guárdala en un archivo .doc con el nombre

LALG_U1_EA_XXYZ y envíala a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

Autorreflexión

Además de enviar tu Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas

de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) presente. A partir de ellas,

debes elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto. Posteriormente envía tu archivo

mediante la herramienta Autorreflexiones.

Recuerda que si respondes las preguntas en las tres unidades, obtendrás el 10% de la

evaluación de la asignatura.

Álgebra



Cierre de la unidad

En esta unidad revisaste las propiedades básicas de los números que manipulamos en la vida

diaria y que utilizarás ampliamente a lo largo de los estudios de tu carrera. Estas propiedades

son tan comunes para nosotros que a veces nos resulta innecesario considerarlas de manera

explícita; pero para poder entender muchas de las propiedades, aplicaciones y procedimientos

que se abordarán más adelante es necesario estar conscientes de ellas.

De esta manera iniciamos con los sistemas de numeración y las operaciones en los anillos ℤn

como un medio para explicitar estas propiedades sin tener que revisar todas las posibilidades

en los números reales (ℝ) porque es un conjunto infinito.

Los sistemas de numeración, particularmente la notación desarrollada en el sistema decimal,

los retomarás en la próxima unidad, pues los polinomios están íntimamente relacionados con

los números enteros en su notación desarrollada y entonces los algoritmos de sus operaciones

son semejantes.

Por otro lado, la aplicación de las propiedades de campo las retomarás en las dos unidades

siguientes, pues de hecho son las reglas que te permitirán llevar a cabo procesos como

productos y factorizaciones de expresiones algebraicas (incluidos los polinomios) y de despejes

de ecuaciones para hallar sus soluciones.

Para saber más

Con la finalidad de ampliar tus conocimientos sobre los temas abordados en esta primera

unidad te recomendamos los siguientes materiales relacionados con la asignatura, para que los

puedas revisar en algún momento:

Para profundizar en el manejo de los sistemas de numeración puedes revisar los

capítulos 1 “Diversión con matemáticas”, 2 “Sistemas de numeración” y 3 “Sistemas

matemáticos” del libro de B.E. Meserve y M.A. Sobel. (2002). Introducción a las

matemáticas. México: Reverté Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve

&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-

3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEw

Aw

También consulta el capítulo 4 del libro “Matemáticas para los estudiantes de

humanidades” de Morris Kline, contiene mucha información al respecto que te puede ser

útil. Hay fragmentos de la versión en inglés original que están disponibles en

http://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-

http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAw




http://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iXoBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Álgebra



0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iX

oBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=on

epage&q&f=false

Para profundizar en el estudio de los axiomas de campo de los números reales puedes

ver el capítulo 1 “Conceptos fundamentales de álgebra” del libro de E.W. Swokowski y

J.A. Cole (2009) Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Cengage

Learning. Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&printsec=frontcover&dq=swoko

wski+algebra+y+trigonometria&source=bl&ots=qrOzRKMdcJ&sig=iIlmr_1ARSIY5q2L-

zw5qDmxIXA&hl=es&sa=X&ei=LQBvUL38CqrfyQHCkYHIBA&sqi=2&redir_esc=y

Si te interesa ampliar tu conocimiento sobre los ℤn puedes ver la página Aritmética

modular en Wikipedia que está disponible en

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular

Fuentes de consulta

Básica

Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco y Tomàs, Francisco (2007). Álgebra

superior. México: Editorial Trillas.

Meserve, Bruce E. y Sobel, Max A. (2002). Introducción a las matemáticas. Nueva

México: Reverté. Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve

&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-

3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEw

Aw

Oteyza, Elena, et al. (2003). Álgebra. México: Pearson Educación. Disponible

parcialmente en: http://books.google.com.mx/books?id=we3f-

zkpAesC&printsec=frontcover&dq=oteyza&source=bl&ots=ikCSUrD63b&sig=kx4-

9pf511VaxtN0mNp_ns6QVQ0&hl=es&sa=X&ei=NF1yUMP1K4eliQLM9ICABA&ved=0CD

oQ6AEwAg#v=onepage&q=oteyza&f=false

Swokowski, E.W. y Cole, Jeffery A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría

analítica. (12ª edición.) México: Cengage Learning. Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&printsec=frontcover&dq=swoko

wski&source=bl&ots=qrOzQMMdiK&sig=ObpN1ZDOGnX1BmHv8SOa3K3Y18Y&hl=es&

sa=X&ei=6sdtUIfpE4qxygH4moGQBQ&redir_esc=y




http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&printsec=frontcover&dq=swokowski+algebra+y+trigonometria&source=bl&ots=qrOzRKMdcJ&sig=iIlmr_1ARSIY5q2L-zw5qDmxIXA&hl=es&sa=X&ei=LQBvUL38CqrfyQHCkYHIBA&sqi=2&redir_esc=y



Álgebra



Complementaria

Courant, Richard y Robbins, Herbert (2002). ¿Qué son las matemáticas? México: Fondo

de Cultura Económica. Revisado por Ian Stewart. (Existen fragmentos en internet de la

versión original en inglés:

http://books.google.com.mx/books?id=_kYBqLc5QoQC&printsec=frontcover&dq=courant

&source=bl&ots=qOR8BMxWxI&sig=7Mn8zy0v_HdoIN8cmKvk_TyNdZ8&hl=es&sa=X&e

i=3v5uULilBOSzygGSPA&redir_esc=y).

Gustafson, R. y Frisk, P. (2005). Álgebra intermedia. México: Thomson. Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=S3S--

2pULbgC&printsec=frontcover&dq=Gustafson&source=bl&ots=xRPjZzbQ8D&sig=r8_TIa

AV8SySQwHFn-1a-ZfiFeU&hl=es&sa=X&ei=nf5uUIqRBaazywH1xIHgBg&redir_esc=y

Kline, Morris (1992). Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México: Fondo

de Cultura Económica. (Existen fragmentos en internet de la versión original en inglés:

http://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-

0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iX

oBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=on

epage&q&f=false).

Rees, Paul K. y Sparks, Fred W. (1998). Álgebra. México: Reverté S.A. de C.V.

http://books.google.com.mx/books?id=_kYBqLc5QoQC&printsec=frontcover&dq=courant&source=bl&ots=qOR8BMxWxI&sig=7Mn8zy0v_HdoIN8cmKvk_TyNdZ8&hl=es&sa=X&ei=3v5uULilBOSzygGSPA&redir_esc=y







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