algebra todo

53
`lgebra 1. Si los coecientes del polinomio a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 cumplen la relacin de recurrencia a 1 =1;a k+1 =3a k +1; para k 1 entonces a 5 es igual a: Solucin Usando el algortmo a k+1 =3a k +1 tenemos que el nœmero siguiente se obtiene multiplicando el anterior por tres y agregÆndole uno, as los coecientes seran: a 1 = 1 a 2 = 3 (1) + 1 = 4 a 3 = 3 (4) + 1 = 13 a 4 = 3 (13) + 1 = 40 a 5 = 3 (40) + 1 = 121 2. La expresin algebraica (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 es igual a: Solucin Recordemos de los productos notables que (x + y) 3 = x 3 +3x 2 y +3xy 2 + y 3 entonces podemos escribir (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = x 3 +3x 2 y +3xy 2 + y 3 3x 2 y 3xy 2 = x 3 + y 3 + 3x 2 y 3x 2 y + 3xy 2 3xy 2 = x 3 + y 3 +0+0 = x 3 + y 3 1 Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R.

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Page 1: Algebra Todo

Álgebra

1. Si los coe�cientes del polinomio a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1 cumplen larelación de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k � 1 entonces a5 esigual a:

Solución

Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente seobtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno, así los coe�cientesserían:

a1 = 1

a2 = 3 (1) + 1 = 4

a3 = 3 (4) + 1 = 13

a4 = 3 (13) + 1 = 40

a5 = 3 (40) + 1 = 121

2. La expresión algebraica (x+ y)3 � 3x2y � 3xy2 es igual a:

Solución

Recordemos de los productos notables que

(x+ y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

entonces podemos escribir

(x+ y)3 � 3x2y � 3xy2 =

�x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

�� 3x2y � 3xy2

=�x3 + y3

�+�3x2y � 3x2y

�+�3xy2 � 3xy2

�= x3 + y3 + 0 + 0

= x3 + y3

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Page 2: Algebra Todo

3. Si x4 � y4 = z3 y x2 + y2 = 8; entonces z3

8 es igual a:

Solución

Recordemos la diferencia de cuadrados

x2 � y2 = (x+ y) (x� y)

aplicando esto a la primera igualda tenemos

x4 � y4 =�x2 + y2

� �x2 � y2

�= z3

sustituyendo en esta última igualdad x2 + y2 = 8�x2 + y2

� �x2 � y2

�= z3

(8)�x2 � y2

�= z3

aplicando nuevamente diferencia de cuadrados

(8)�x2 � y2

�= z3

(8) (x+ y) (x� y) = z3

(x+ y) (x� y) =z3

8

despejando y reordenando nos resulta que

z3

8= (x+ y) (x� y)

4. Si x < 2; entonces jx� 2j+ jx� 3j es igua a:

Solución

Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto denúmero reales

f1; 0;�1;�2;�3; :::g

2

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Page 3: Algebra Todo

en todo caso ocurre que (x� 2) < 0; es decir el resultado es un númeronegativo, luego su valor absoluto será

jx� 2j = � (x� 2) = 2� x

Analogamente ocurre para x � 3; si se resta cualquier número de los quepuede tomar x con tres, entonces (x� 3) < 0 luego su valor absoluto

jx� 3j = � (x� 3) = 3� x

Y �nalmente la suma será

jx� 2j+ jx� 3j = (2� x) + (3� x)= 5� 2x= �2x+ 5

5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1se debe cumplir:

Solución

Sean los polinomio de grado 2

a1x2 + a2x+ c

b1x2 + b2x+ c0

Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es�a1x

2 + a2x+ c1�+�b1x

2 + b2x+ c2�= kx+ c3

entonces debe ocurrir que�a1x

2 + b1x2�= 0

(a2x+ b2x) = kx(c1 + c2) = c3

Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce

a1x2 + b1x

2 = 0

a1x2 = �b1x2

a1 = �b1

luego, los coe�cientes principales (los de x2) deben ser opuesto.

3

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Page 4: Algebra Todo

6. Dado el polinomio lineal f (x) = x� 12 ; la suma f (x)+ f

�x+ 1

4

�+ f

�x+ 2

4

�+

f�x+ 3

4

�es igual a:

Solución

f (x) = x� 12

f

�x+

1

4

�=

�x+

1

4

�� 12= x� 1

4

f

�x+

2

4

�=

�x+

2

4

�� 12= x+ 0

f

�x+

3

4

�=

�x+

3

4

�� 12= x+

1

4

Luego la suma buscada es

x� 12+ x� 1

4+ x+ 0 + x+

1

4= 4x� 1

2

7. Si multiplicamos n2 + 1 veces el número real a, el reultado �nal es:

Solución

La de�nición de potencia nos dice que

n�vecesz }| {a � a � a � a � a � � � a = an

Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos

n2+1�vecesz }| {a � a � a � a � a � � � a = an

2+1

8. El polinomio p (x) = x3 � x2 + x � 1 se anula en 1, luego p (x) es divisiblepor.

Solución

4

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Page 5: Algebra Todo

Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene un factor x � c si y sólo sif(c) = 0

Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que

p (1) = 13 � 12 + 1� 1= 1� 1 + 1� 1= 0

entonces p (1) = 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisiblepor) x� 1: (sug. haga la división)

9. Las primeras 17 letras en la alineación del genoma humano son

A C A A T G T C A T T A G C G A T

donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consider-amos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto"yuxtaposición", estas 17 letras pueden reducirse al monomio:

Solución

Recordemos quen�vecesz }| {

a � a � a � a � a � � � a = an

Secuencia original

A C A A T G T C A T T A G C G A T

A C A2 T G T C A T 2 A G C G A T

Aplicando la propiedad conmutativa

C A A2 T T G C A A T 2 C G G A T

aplicando potenciación

C A3 T 2 G C A2 T 2 C G2 A T

Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenación

A A3 A2 C C C G G2 T 2 T 2 T

FinalmenteA6 C3 G3 T 5

5

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Page 6: Algebra Todo

10. Si x+ y = 1 y xy = 1, ¿Cuál será el valor de x3 + y3?

Solución

El cubo de un binomio es

(x+ y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

A partir de esto podemos escribir

(1)3= x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 (�)

Por otro lado podemos calcular cada variable

xy = 1! x =1

y

xy = 1! y =1

x

Sustituyendo estas dos últimas igualdades en (�) y reduciendo, tenemos

1 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2

1 = x3 + y3 + 3x2�1

x

�+ 3

�1

y

�y2

1 = x3 + y3 + 3x+ 3y

1 = x3 + y3 + 3 (x+ y)

1 = x3 + y3 + 3 (1)

1 = x3 + y3 + 3

1� 3 = x3 + y3

x3 + y3 = �2

11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57: Determinar la sumaa+ b:

Solución

6

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Page 7: Algebra Todo

Por simple inspección es facil notar que

25 = 32

52 = 25

25 + 52 = 32 + 25

25 + 52 = 57

a partir de este cálculo podemos escribir que

a ! 2 y b! 5

a+ b = 2 + 5

a+ b = 7

12. Dada la expresión algebraica x3y2+x2y2; los valores de x e y para obtener�64 son:

Solución

x3y2 + x2y2 = x2y2 (x+ 1) = �64

y2 =�64

x2 (x+ 1)

Como �64 es un número par, entonces los número x y y deben ser númerospares. Fijemos x = �2 (nótese que lo elegimos negativos, puesto que 64 tambiénlo es )

y2 =�64

x2 (x+ 1)

y2 =�64

(�2)2 (�2 + 1)

y2 =�64

(4) (�1)

y2 =�64�4

y2 = 16py2 =

p16

y = �4

7

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Page 8: Algebra Todo

Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada

x3y2 + x2y2 = (�2)3 (�4)2 + (�2)2 (�4)2 = �64

luego los número buscados son x = �2 y y = �4:

13. Los valores naturales de x e y para la expresión 1 + x + xy + x2y2 dé elmenor número par positivo son:

Solución

El menor número par positivo es 2

1 + x+ xy + x2y2 = 2

x+ xy + x2y2 = 2� 1x�1 + y + xy2

�= 1

1 + y + xy2 =1

x

y + xy2 =1

x� 1

y + xy2 =1� xx

Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser neg-

ativo, discriminando el numerador es fácil ver que x debe ser 1; así

y + xy2 =1� xx

y + y2 = 0

y (1 + y) = 0

y = 0 ó y = �1

Evaluando los números x = 1 y y = 0 para comprobar

1 + x+ xy + x2y2 = 2

1 + 1 + (1) (0) + (1)2(0)

2= 2

1 + 1 = 2

2 = 2

8

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Page 9: Algebra Todo

14. Si a = �1; b = 3; c = 5; entonces

a+ b� ja� bjjaj+ jbj+ jcj

es igual a:

Solución

De�nition 1 El valor absoluto de un número real, a; representado por jaj ; sede�ne como sigue.

1) si a � 0; entonces jaj = a:

2) si a < 0, entonces jaj = �a:

a+ b� ja� bjjaj+ jbj+ jcj =

(�1) + 3� j(�1)� 3jj�1j+ j3j+ j5j

=(�1) + 3� j�4jj�1j+ j3j+ j5j

=2� 4

1 + 3 + 5

= �29

15. La expresión 3pan3+3n2+5n+3; a 2 R y n 2 N; es:

Solución

Por la propiedad de la potencia ax+y = ax � ay, podemos escribir3pan3+3n2+5n+3 =

3pan3+5n+3n2+3

=3pan3+5n � 3

pa3n2 � 3

pa3

=3pan3+5n � an

2

� a (�)

la anterior simpli�cación nos acaba de arrojar luz sobre los dos últimos radi-cales, los cuales tiene raiz cúbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica

3pan3+5n

Tomemos el exponente n3+5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos:

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Page 10: Algebra Todo

n n3 + 5n1 ! 13 + 5 (1) = 1 + 5 = 62 ! 23 + 5 (2) = 8 + 10 = 183 ! 33 + 5 (3) = 27 + 15 = 424 ! 43 + 5 (4) = 64 + 20 = 84

Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresión n3+5n siempreda un número múltiplo de 3, esto es

3jn3 + 5n! n3 + 5n = 3k (��)

luego en el radical3pan3+5n =

3pa3k = ak

Esto signi�ca que la expresión 3pan3+3n2+5n+3 es raíz cúbica exacta.

Nota: Demostración de 3jn3 + 5n 8n 2 N

Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre n:

3jn3 + 5n es equivalente a n3 + 5n = 3k

Para n = 1; tenemos 13 + 5(1) = 6 = 3 � 2, de donde 3jn3 + 5n es verdaderopara n = 1:

Hipótesis inducctiva 3jn3 + 5n 8n 2 N es verdadero.

Tesis de inducción 3j (n+ 1)3 + 5 (n+ 1) 8n 2 N

(n+ 1)3+ 5 (n+ 1) = n3 + 3n2 + 3n+ 1 + 5n+ 5

=�n3 + 5n

�+�3n2 + 3n

�+ 6

�n3 + 5n

�es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción,

�3n2 + 3n

�= 3

�n2 + n

�es evidente que es múltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma detres múltiplos de 3 es un múltiplo de 3; esto es 3j (n+ 1)3+5 (n+ 1) 8n 2 N es

verdadero. �

16. Las raíces de la ecuación ax2 + bx+ c = 0 serán recíprocas si:

Solución

10

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Page 11: Algebra Todo

Supongamos las raíces x1 y x2; ambas raíces de la ecuación dada, ahoravamos a reducir la ecuación dada, así

ax2 + bx+ c = 0a

ax2 +

b

ax+

c

a= 0

x2 +b

ax+

c

a= 0 (�)

la ecuación (�) es la ecuación reducida de la ecuación ax2 + bx + c = 0;obsérvese que la ecuación (�) es de la forma

x2 + px+ q = 0

y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos números quemultiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus raíces, digamosx1 y x2; entonces �

x1 � x2 = qx1 + x2 = p

Aquí podemos tomarb

a= p

c

a= q

Si la condición es que x1 = 1x2, es decir que sean recíprocas las raíces,

entonces

x1 =1

x2! x1 � x2 = 1

x1 � x2 = q = 1c

a= 1

c = a

17. Si n es un entero positivo, la igualdad�m4 � km2n+ n2

�n=�m2 � n

�2nse cumple si k toma el valor:

Solución

Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, asíh�m2 � n

�2in=�m4 � 2m2n+ n2

�n11

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Page 12: Algebra Todo

ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente teníamos�m4 � km2n+ n2

�n=�m4 � 2m2n+ n2

�nraíz n-ésima a ambos lados y listo

n

q(m4 � km2n+ n2)

n= n

q(m4 � 2m2n+ n2)

n

m4 � km2n+ n2 = m4 � 2m2n+ n2

k = 2

18. El producto (px+ y +

px+ y � z) (px+ y �px+ y � z) es igual a:

Solución

Obsérvese con atención que lo que tenemos es una diferencia de cuadradosde la forma (a+ b) (a� b) = a2 � b2; luego al hacer el producto resulta�px+ y +

px+ y � z

� �px+ y �

px+ y � z

�=

�px+ y

�2 � �px+ y � z�2= x+ y � (x+ y � z)= x+ y � x� y + z= z

19. El coe�ciente del término lineal del producto (ax� b) (cx+ d)x es:

Solución

Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresión

(ax� b) (cx+ d)x = acx3 + adx2 � bcx2 � bdx= acx3 + (ad� bc)x2 � bdx

aquí el término lineal es �bdx; luego su coe�ciente es �bd:

Observación:

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Page 13: Algebra Todo

Si el producto es simplemente (ax� b) (cx+ d) ; omitiendo la x que apareceal �nal tendriamos

(ax� b) (cx+ d) = acx2 � bd+ adx� bcx= acx2 + (ad� bc)x� bd

en este caso el término lineal es (ad� bc)x; luego su coe�ciente es ad � bc:(esta es la respuesta de la guía, tenga en cuenta la aclaración)

20. Si 2 es raíz del polinomio x3 � x2 � 14x + 24, entonces la factorizacióncompleta de éste es:

Solución

Theorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x� c si y sólo si f (c) = 0

Si 2 es raíz de x3�x2�14x+24; entonces anula al polinomio cuando x = 2:Así podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x� 2:Hacemos ahora la división

x3 � x2 � 14x+ 24� x� 2

resulta como cociente el polinomio x2 + x� 12; luego podemos escribir

x3 � x2 � 14x+ 24 = (x� 2)�x2 + x� 12

�= (x� 2) (x+ 4) (x� 3)

lo cual es su factorización completa.

21. El polinomio x4 � 1 se descompone completamente en el producto de:

Solución

Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados

x4 � 1 =�x2 � 1

� �x2 + 1

�luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados

x4 � 1 =�x2 � 1

� �x2 + 1

�= (x� 1) (x+ 1)

�x2 + 1

�así la descomposición completa de x4 � 1 es el producto de 3 binomios.

13

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Page 14: Algebra Todo

22. La factorización de (x+ 1)3 + (y + 6)3 es:

Solución

Apliquemos la factorización para la suma de cubos

a3 + b3 = (a+ b)�a2 � ab+ b2

(x+ 1)3+ (y + 6)

3= (x+ 1 + y + 6)

h(x+ 1)

2 � (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

= (x+ y + 7)h(x+ 1)

2 � (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado

(x+ 1)2= x2 + 2x+ 1

� (x+ 1) (y + 6) = �6x� y � xy � 6(y + 6)

2= y2 + 12y + 36

sumando y reduciendo términos semejantes nos queda

(x+ 1)3+ (y + 6)

3= (x+ y + 7)

h(x+ 1)

2 � (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

= (x+ y + 7)�x2 + 2x+ 1� 6x� y � xy � 6 + y2 + 12y + 36

�= (x+ y + 7)

�x2 � xy � 4x+ y2 + 11y + 31

23. Un factor de 5t� 12 + 2t2 es t+ 4 y el otro es

Solución

Es su�ciente con hacer la división para encontrar el otro factor

2t2 + 5t� 12 t+ 4�2t2 � 8t 2t� 3�3t� 123t+ 120

luego el cociente de esta diviión, 2t� 3; es el factor buscado.

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Page 15: Algebra Todo

24. Si el producto de los monomios x2nyn y xmy es igual a x�2y3; entonces losvalores de m y n son respectivamente:

Solución

Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la función exponencial,tenemos �

x2nyn�(xmy) = x�2y3

x2n+myn+1 = x�2y3

como las bases son invariantes, resulta�2n+m = �2n+ 1 = 3

resolviendo este sistema resulta,

n+ 1 = 3! n = 3� 1n = 2

2n+m = �22 (2) +m = �24 +m = �2

m = �2� 4m = �6

Así, los números buscados son, m = �6 y n = 2:

25. Para que la factorización de 2y2+9y� s sea (2y + k) (y � 2k) ; s y k debenvaler respetivamente:

Solución

Hagamos el producto directo de (2y + k) (y � 2k) ; esto es

(2y + k) (y � 2k) = 2y2 � 3ky � 2k2

Ahora igualando término a término los dos polinomios, resulta

15

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Page 16: Algebra Todo

2y2 + 9y � s# # #2y2 � 3ky � 2k2

como la factorización es única resulta claro pensar que

�3ky = 9y

k = �93

k = �3

�s = �2k2

s = 2k2

s = 2 (�3)2

s = 2 (9)

s = 18

luego s = 18 y k = �3:

26. El resultado de (am+n + bm�n) (bm�n � am+n) es:

Solución

Apliquemos la diferencia de cuadrados�bm�n + am+n

� �bm�n � am+n

�=

�bm�n

�2 � �am+n�2= b(2)(m�n) � a(2)(m+n)

27. El producto de�ap2 � b 13

�3con

�ap2 + b

13

�3es igual a:

Solución

Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta�ap2 � b 13

�3 �ap2 + b

13

�3=h�ap2 � b 13

��ap2 + b

13

�i3

16

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Page 17: Algebra Todo

luego lo que está dentreo del corchete es una diferencia de cuadradosh�ap2 � b 13

��ap2 + b

13

�i3=

��ap2�2��b13

�2�3

a esta última expresión aplicamos el cubo del binomio��ap2�2��b13

�2�3=

��ap2�2�3

� 3��ap2�2�2 ��

b13

�2�+ 3

��ap2�2� ��

b13

�2�2���b13

�2�3= a6

p2 � 3a4

p2b

23 + 3a2

p2b

43 � b2

28. Al simpli�car la expresión

1

2� 1x2

�2x

1 + 1x

obtenemos:

Solución

Resolvamos el denominador de la primera fracción compleja

2� 1

x2=2x2 � 1x2

luego1

2� 1x2

=1

2x2�1x2

=x2

2x2 � 1

Ahora resolvemos el denominador de la segunda fracción compleja

1 +1

x=x+ 1

x

luego2x

1 + 1x

=2xx+1x

=2

x+ 1

17

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Page 18: Algebra Todo

�nalmente

1

2� 1x2

�2x

1 + 1x

=x2

2x2 � 1 �2

x+ 1

=x2 (x+ 1)� 2

�2x2 � 1

�(2x2 � 1) (x+ 1)

=x3 + x2 � 4x2 + 2(2x2 � 1) (x+ 1)

=x3 � 3x2 + 2

(2x2 � 1) (x+ 1)

29. El inverso multiplicativo de la fracción algebraica�x2 + 1

�2(x+ y)

(x4 � 1)2 (x2 � y2)

en su forma más simpli�cada es:

Solución

El invero multiplicativo de esta fracción es sencillamente el recíproco, esdecir �

x4 � 1�2 �

x2 � y2�

(x2 + 1)2(x+ y)

=

�x4 � 1

� �x4 � 1

�(x+ y) (x� y)

(x2 + 1) (x2 + 1) (x+ y)

=

�x4 � 1

� �x4 � 1

�(x� y)

(x2 + 1) (x2 + 1)

=

�x2 + 1

� �x2 � 1

� �x2 + 1

� �x2 � 1

�(x� y)

(x2 + 1) (x2 + 1)

=�x2 � 1

� �x2 � 1

�(x� y)

=�x2 � 1

�2(x� y)

30. La expresión �2x�1 + 3y�1

�5x�1 � 7y�1

��1en su forma simpli�cada es:

Solución

18

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Page 19: Algebra Todo

�2x�1 + 3y�1

�5x�1 � 7y�1

��1=

�5x�1 � 7y�12x�1 + 3y�1

=� 5x �

7y

2x +

3y

=

�5y�7xxy

2y+3xxy

=�5y � 7x2y + 3x

31. Si f (x) = 10x�1 ; x1 = 1 +

1k ; x2 = 1 +

1k2 ; donde k 6= 1; k 2 Z

+; entonces

Solución

f (x) =10

x� 1 ! f (x1) =10

1 + 1k � 1

=101k

= 10k

f (x) =10

x� 1 ! f (x2) =10

1 + 1k2 � 1

=101k2

= 10k2

luegof (x1) < f (x2)

32. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuaciòn

ax2 + bx+ c; (a 6= 0)

la expresiòn1

x21+1

x22

expresada en funciòn de las raíces, es igual a:

Solución

Note antes que todo que la expresiòn puede reescribirse como

1

x21+1

x22=x22 + x

21

x21 � x22(�)

19

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Page 20: Algebra Todo

La idea fundamental aquì serà calcular tanto numerador como denomiadorpor separado y luego realizar la divisiòn.Toda raíz de una ecuacón cuadrática puede escribirse en la forma

x =�b�

pb2 � 4ac2a

Luego para cada raíz dada tenemos

x1 =�b�

pb2 � 4ac2a

(2ax1)2=

��b�

pb2 � 4ac

�24a2x21 = 2b2 � 4ac� 2b

pb2 � 4ac (1)

si consideramos la raíz x1 eventualmente encontraremos al análogo a lo an-terior, esto es

4a2x22 = 2b2 � 4ac� 2b

pb2 � 4ac (2)

Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2)

4a2x21 = 2b2 � 4ac� 2bpb2 � 4ac

4a2x22 = 2b2 � 4ac� 2bpb2 � 4ac

4a2�x21 + x

22

�= 4b2 � 8ac (�4)

a2�x21 + x

22

�= b2 � 2ac

Después de todas esas simpli�caciones encontramos que

x21 + x22 =

b2 � 2aca2

que es precisamente el numerador de (�) :

Ahora volvamos a considerar nuestra ecuación original ax2 + bx + c; y en-contremos su ecuación reducidad dividiéndola toda por a:

ax2 + bx+ c �! a

ax2 +

b

ax+

c

a

�! x2 + px+ q

20

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Page 21: Algebra Todo

con p = ba y q =

ca ; si x1 y x2 son raíces de la ecuación original, también lo

son de su ecuación reducida. Recordemos que al resolver la ecuación reducidapor factorización encontramos que

x1 � x2 = q

x1 + x2 = p

la primera de estas condiciones es lo que necesitamos

x1 � x2 = q �! (x1 � x2)2 = q2

(x1 � x2)2 =� ca

�2�! x21 � x22 =

c2

a2

y asì tenemos el denominador de nuestra esxpresión (�) ; �nalmente

1

x21+1

x22=x22 + x

21

x21 � x22=

b2�2aca2

c2

a2

=

�b2 � 2ac

�c2

21

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Page 22: Algebra Todo

33. Si�r + 1

r

�2= 3 entonces r3 + 1

r3 es igual

Solución. Consideremos el desarrollo de�r + 1

r

�3esto es�

r +1

r

�3= 3r +

3

r+1

r3+ r3

=

�r3 +

1

r3

�+ 3

�r +

1

r

�(�)

Ahora consideremos la expresión�r + 1

r

�3como sigue�

r +1

r

�3=

�r +

1

r

�2�r +

1

r

la expresión al cuadrado es 3; así, podemos escribir�r +

1

r

�3= 3

�r +

1

r

Igualando esta última expresión con (�) ; resulta�r3 +

1

r3

�+ 3

�r +

1

r

�= 3

�r +

1

r

��r3 +

1

r3

�= 3

�r +

1

r

�� 3

�r +

1

r

��r3 +

1

r3

�= 0

34. El valor de la expresiónq24px4 + y4 es:

Solución. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los índicesde los radicales, es decir, n

pmpx = n�m

px; luegoq

24px4 + y4 = 22

qpx4 + y4

= 4 4px4 + y4

22

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Page 23: Algebra Todo

35. La racionalización del denominador de la expresión

1

x23 � y 23

da como resultado:

En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales

1

x23 � y 23

=1

3px2 � 3

py2

como la expresión a racionalizar es un radical de índice 3, multiplicaremosnumerador y denominador por la expresión 3

px4 + 3

px2y2 + 3

py4; esto es

13px2 � 3

py2

=1

3px2 � 3

py2�

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

=3px4 + 3

px2y2 + 3

py4�

3px2 � 3

py2��

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4�

=3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

x2 � y2

=x43 + x

23 y

23 + y

43

x2 � y2

36. La simpli�cación de la expresión

6

q(x� y + z)2 6

r1

x� y + z �1

46px� y + z +

px� y + z � 3

px� y + z

da como resultado:

Solución. Como la expresión no tiene paréntesis, entonces tomamos en cuentalos ordenes de prioridad, primero división y multiplicación luego suma yresta.

6

q(x� y + z)2 6

r1

x� y + z �1

46px� y + z +

px� y + z � 3

px� y + z

6

r1

x� y + z (x� y + z)2 � 1

46px� y + z + 6

q(x� y + z)3 � 6

q(x� y + z)2

6px� y + z � 1

46px� y + z + 6

px� y + z

2 6px� y + z � 1

46px� y + z

7

46px� y + z

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Page 24: Algebra Todo

37. La expresiónn2pa � a33 � a53 � � � a(2n�1)3 es igual a:

sugerencia: 13 + 33 + � � �+ (2n� 1)3 = n2�2n2 � 1

�Solución. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma

base, así que podemos escribir

n2pa � a33 � a53 � � � a(2n�1)3 =

n2pa13+33+���+(2n�1)

3

=n2pan2(2n2�1)

=n2q�a(2n2�1)

�n2= a(2n

2�1)

38. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de�a2 + b2

�es igual a:

Solución. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje común, y procedemosanidando las raices hacia atras.

5

s4

rqp(a2 + b2) = 80

p(a2 + b2)

=�a2 + b2

� 180

39. Dadas las ecuaciones 2x+ 3y = 4 y 2kx+ 3ky = 4k; k 6= 0; el conjunto detodas las soluciones es:

Solución. La segunda ecuación es múltiplo de la primera en un factor k; asíestas serán rectas paralelas. Luego

2x+ 3y = 4

3y = 4� 2x

y =4� 2x3

x; puede tomar valores arbitrarios y los de y están determinados por y =4�2x3 : Así, el conjunto solución será

��x; 4�2x3

�: x 2 R

y = 4�2x

3

24

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Page 25: Algebra Todo

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­2

­1

1

2

3

4

x

y

40. El conjunto solución del sistema de ecuaciones es:�jx� 1j+ jy � 5j = 1y � jx� 1j = 5

Solución. Recordemos la de�nición de valor absoluto

jaj =�

a; si a = 0�a; si a < 0

Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos.Primero que los valores absolutos sean positivos�

(x� 1) + (y � 5) = 1y � (x� 1) = 5

Reduciendo �x+ y = 7y � x = 4

resolviendo este sistema por eliminación

2y = 11

y =11

2

si y = 112 ; entonces

x+ y = 7

x = 7� y

x = 7� 112

x =3

2

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Page 26: Algebra Todo

sol.�32 ;

112

�La segunda combinación es

jx� 1j+ jy � 5j = 1

� (x� 1) + (y � 5) = 1

�x+ 1 + y � 5 = 1

�x+ y = 5

Para la segunda ecuación

y � jx� 1j = 5

y � [� (x� 1)] = 5

y + x� 1 = 5

x+ y = 6

Así formamos el sistema de ecuaciones��x+ y = 5x+ y = 6

eliminando x; resulta

2y = 11

y =11

2

si y = 112 ; entonces

x+ y = 6

x = 6� y

x = 6� 112

x =1

2

luego, sol.�12 ;

112

La solución al sistema original es

��32 ;

112

�;�12 ;

112

�:

41. Hallar tres números, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en lamisma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el productode los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.

Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

26

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Page 27: Algebra Todo

x1 : primer número

x2 : segundo número

x3 : tercer número

x2 > x1 y x3 > x2x2x1

=x3x2

x1 � x2 = 85 (1)

x2 � x3 = 115 (2)

Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primerodividamos las dos ecuaciones

x2 � x3x1 � x2

=115

85x3x1

=23

17

x3 = x1

�23

17

�(�)

Por otro lado consideremos la proporción

x2x1

=x3x2

x22 = x1 � x3 (��)

Sustituyendo (�) en (��) resulta

x22 = x1

�x1

�23

17

��x22 = x21

�23

17

�x2 = x1

r23

17(�)

27

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Page 28: Algebra Todo

Sustituyendo (�) en (1)

x1 � x2 = 85

x1

x1

r23

17

!= 85

x21 �r23

17= 85

x21 =85q2317

x1 =

vuut 85q2317

x1 = 8:5

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta

x1 � x2 = 85

(8:5) � x2 = 85

x2 =85

8:5x2 = 10

x2 � x3 = 115

(10) � x3 = 115

x3 =115

10x3 = 11:5

Sol. (8:5; 10; 11:5)

42. El sistema

�kx+ y = 1x+ ky = 5

tiene solución única si:

Solución. Recordemos que según la regla de Cramer, un sistema de dos vari-ables tiene solución única si el determinante de la matriz de coe�cientesno es cero, esto es

28

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Page 29: Algebra Todo

�k 11 k

�6= 0�

k 11 k

�= k2 � 1 6= 0

k2 � 1 6= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y �1:k 6= 1;�1

43. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor elcociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:

Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x1 : primer número (mayor)

x2 : segundo número (menor)

x1 + x2 = 666 (1)

x1 = 5x2 + 78 (2)

x1 + x2 = 666

x1 � 5x2 = 78

Resolvemos el sistema por eliminación, multilplicando por (�1) la ecuación(2) para eliminar x

x1 + x2 = 666

�x1 + 5x2 = �78

6x2 = 588

x2 =588

6x2 = 98

Sustituyendo en (2)

x1 � 5x2 = 78

x1 = 78 + 5x2

x1 = 78 + 5 (98)

x1 = 568

Sol.(568; 98)

29

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Page 30: Algebra Todo

44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste secalcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre elefecto fotoeléctrico era:

Solución. El coe�ciente intelectual (IQ), edad mental (EM) y la edad cronológ-ica (EC)

IQ =EM

EC� 100

Si publicó su teroría del efecto fotoeléctrico en 1905 y según su biografíanació en 1879; entonces su edad cronológica era

1905� 1879 = 26

Luego,

IQ =EM

EC� 100

EM =IQ

100� EC

EM =170

100� 26

EM = 44:2

45. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años eracuatro veces más joven. ¿cuántos años tiene?

Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x : edad actual del padre

y : edad actual del hijo

Planteamos el sistema �x = 3y

x� 5 = 4 (y � 5)Simpli�cando �

x� 3y = 0 (1)x� 4y = �15 (2)

Resolvemos por eliminación, multiplicando por (�1) la ecuación (1) paraeliminar x:

30

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Page 31: Algebra Todo

��x+ 3y = 0

x� 4y = �15 (2)�y = �15y = 15

luego, el hijo tiene 15 años.

46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lopusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban apagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada unole tocó pagar 1 córdoba más. ¿cuántas personas conformaban el grupooriginal?

Solución. Digamos que x representa el número de personas en el grupo

nx = 36 (n lo consumido por cada uno)

(x� 3) (n+ 1) = 36 (se van 3 y agregan un córdoba)

Despejemos n de la primera ecuación y sustituimos en la segunda, así

nx = 36 �! n =36

x

(x� 3) (n+ 1) = 36 �! (x� 3)�36

x+ 1

�= 36

�! (x� 3)�36

x+ 1

�= 36

�! (x� 3)�36 + x

x

�= 36

�! (x� 3) (36 + x) = 36x�! 36x+ x2 � 108� 3x = 36x�! x2 � 3x� 108 = 0

Llegamos a una ecuación cuadrática, factorizando resulta en

x2 � 3x� 108 = 0

(x� 12) (x+ 9) = 0

x = 12 _ x = �9

tomamos la solución positiva, así habían 12 personas.

31

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Page 32: Algebra Todo

47. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que sucastigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allídentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caídobien.

Preso:¡vamos! ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendréque estar en este lugar?

Carcelero:¿cuántos años tienes?

Preso: veinticinco

Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños

Carcelero: Increíble. ¡también es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda tediré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente eldoble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿cuánto tiempo dura la condena delpreso?

Solución.

Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sería

x = 54

y = 25

Luego podemos establecer una relación entre las edades

x� y = 54� 25x = 29 + y

recordemos, que el preso saldrá cuando la edad del carcelero sea el doble quela del preso, es decir

2y = 29 + y

2y � y = 29

y = 29

lo que signi�ca que saldrá cuando tenga 29 años, así la condena dura 4 años.

32

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Page 33: Algebra Todo

48. La suma de las cuatro raíces de la ecuación ax2+bx+c = 0 y ax2�bx+c = 0;con a 6= 0 y b2 � 4ac > 0 es igual a:

Solución. Las raíces de toda ecuación cuadrática están dadas por

x =�b�

pb2 � 4ac2a

Para la primera ecuación las raíces serán

x1 =�b�

pb2 � 4ac2a

Para la segunda ecuación, tenemos

x2 =� (�b)�

pb2 � 4ac

2a

Luego la direncia será

x1 + x2 =

�b�

pb2 � 4ac2a

!+

b�

pb2 � 4ac2a

!x1 + x2 = 0

49. El número de soluciones de la ecuación x2 � 5 jxj+ 2 = 0; si x 6= 0 es:

solución. Recordando la de�ción de valor absoluto podemos plantear lo sigu-iente

x2 � 5x+ 2 = 0

x2 + 5x+ 2 = 0

hemos obtenido dos ecuaciones cuadráticas distintas, como cada una tiene 2soluciones, la ecuación original poseerá 4 soluciones.

50. Si x es un número real distinto de cero, la solución de la proporción jxj18 =

x�712 es:

33

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Page 34: Algebra Todo

Solución.

jxj18

=x� 712

12 jxj = 18 (x� 7)12 jxj = 18x� 126

12 jxj � 18x+ 126 = 0

Por la de�nición de valor absoluto, podemos plantear

12x� 18x+ 126 = 0

�12x� 18x+ 126 = 0

Resolviendo la primera ecuación

12x� 18x+ 126 = 0

�6x+ 126 = 0

�6x = �126

x =�126�6

x = 21

Para el segundo caso

�12x� 18x+ 126 = 0

�30x+ 126 = 0

�30x = �126

x =�126�30

x =21

5

Evaluando la primera solución en la proporción resulta

jxj18

=x� 712

j21j18

=21� 712

21

18=

14

1221� 12 = 18� 14

252 = 252

34

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Page 35: Algebra Todo

Para la segunda solución se obtiene�� 215

��18

=215 � 712

21

40=

�730

Lo cuál es falso, así la solución que veri�ca la proporción es x = 21.

51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabode algunos años. Después de saludarse,

Daniel: ¿cuántos hijos tienes?Arturo: Tres hijosDaniel: ¿Qué edades tienen?Arturo: Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36:

Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesitamás datos.Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa

que tenemos enfrente, Daniel mira el número de la casa que le indica Arturoy quedándose pensativo durante un par de minutos. ¡No es posible!- responde,con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta unadato más.Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de

arturo?

Solución. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 36

1� 9� 4 = 36

3� 3� 4 = 36

2� 2� 9 = 36

2� 6� 3 = 36

6� 6� 1 = 36

18� 2� 1 = 36

12� 3� 1 = 36

36� 1� 1 = 36

35

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Page 36: Algebra Todo

Ahora sumamos estos números

1 + 9 + 4 = 14

3 + 3 + 4 = 10

2 + 2 + 9 = 13

18 + 2 + 1 = 21

12 + 3 + 1 = 16

36 + 1 + 1 = 38

2 + 6 + 3 = 11

6 + 6 + 1 = 13

¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer lasedades de tus hijos. Está exclamación resulta porque él conoce el número dela casa, la decisión no se puede tomar porque el número debe ser el númerorepetido 2 + 2+ 9 = 13 y 6 + 6+ 1 = 13; luego la mayor toca el piano, esto nosobliga a elegir (2; 2; 9) :

52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.¿cuál es el mayor de esos tres números?

Solución. Si tenemos tres números consecutivos entonces

x1 : 1er número

x1 + 1 : 2do número

(x1 + 1) + 1 : 3er número

Si su producto es 3360 entonces

(x1) (x1 + 1) (x1 + 2) = 3360

Su suma es 45; es decir

x1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 45

3x1 + 3 = 45

3x1 = 45� 3

x1 =42

3x1 = 14

36

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Page 37: Algebra Todo

Luego los número buscados son

x1 = 14

x1 + 1 = 15

x1 + 2 = 16

El mayor desde luego es 16:

53. Un autobús comienza su trayecto con cierto número de pasajeros. En laprimera parada descienden 1

3 de los pasajeros y suben 8: En la segundaparada descienden 1

2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. Eneste momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los quellevaba al principio del trayecto. ¿cuántos pasajeros habia al principio?

Solución.

Llamemos x al número de pasajeros que había al inicio:

1ra parada quedan en el bus x� 13x+ 8 =

23x+ 8

2da parada quedan en el bus23x+8

2 + 2 = 13x+ 6 =

x2

Luego resulta que;

1

3x+ 6 =

x

2x

2� 13x = 6

3x� 2x6

= 6

x = 36

54. En navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. Enesta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero loshombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compañerosy la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemosque el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Sien total se han dado 38 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?

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Page 38: Algebra Todo

Solución.

Llamemos x al número de hombres de la empresa y y al número de mujeres,luego

Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número dehombres

2y = x+ 6

Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signi�ca que una da un regalo alas demás, excepto a ella misma, así como hay y entonces el número de regalosque dan las mujeres serán.

y (y � 1)En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compañeros y

la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. La mitad de loshombres dan un regalo asu compeñero, excepto a si mismo, luego

x

2(x� 1)

La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cadamujer esto es,

x

2(y)

La ecuación �nal para los regalos es

y (y � 1) + x2(x� 1) + x

2(y) = 318

resolviendo esta ecuación resulta

y2 � y + x2

2� x2+xy

2= 318

2y2 � 2y + x2 � x+ xy2

= 318

2y2 � 2y + x2 � x+ xy = 636

despejamos x de la primera ecuación

2y = x+ 6

x = 2y � 6y sustituimos

2y2 � 2y + x2 � x+ xy = 636

2y2 � 2y + (2y � 6)2 � (2y � 6) + (2y � 6) y = 636

2y2 � 2y + 4y2 � 24y + 36� 2y + 6 + 2y2 � 6y = 636

8y2 � 34y + 42� 636 = 0

8y2 � 34y � 594 = 0

4y2 � 17y � 297 =

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Page 39: Algebra Todo

Aplicando la fórmula general, tenemos

y =� (�17)�

q(�17)2 � 4 (4) (�297)2 (4)

y =17�

p289 + 4752

8

y =17�

p5041

8

y =17� 718

y1 =17 + 71

8=88

8= 11

y2 =17� 718

=�548

tomamos solución y = 11; para el caso la que tiene sentido, sustituimos estaen la primera ecuación para encontar x:

x = 2y � 6x = 2 (11)� 6x = 22� 6x = 16

luego la solución es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas.

55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a� b) 6= 0; a 6= 0^ b 6= 0; a 6= �b

�(a� b)x+ (a+ b) y = 1 (1)

xa�b +

ya+b =

1a2�b2 (2)

la solución que se obtiene es:

Solución.

Recordemos que a2 � b2 = (a+ b) (a� b) ; luego multiplicamos la ecuaciónnúmero (2) por a2 � b2

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Page 40: Algebra Todo

((a� b)x+ (a+ b) y = 1

(a2�b2)xa�b +

(a2�b2)ya+b =

1(a2�b2)a2�b2�

(a� b)x+ (a+ b) y = 1 (1)(a+ b)x+ (a� b) y = 1 (2)

Ahora multiplicamos la ecuación (1) por [� (a+ b)] y la ecuación (2) por(a� b) ; así�

[� (a+ b)] (a� b)x+ [� (a+ b)] (a+ b) y = [� (a+ b)](a� b) (a+ b)x+ (a� b) (a� b) y = (a� b)

Eliminando resulta �[� (a+ b)] (a+ b) y = [� (a+ b)](a� b) (a� b) y = (a� b)�

�ya2 � 2yab� yb2 = �a� bya2 � 2yab+ yb2 = a� b

�4yab = �2by = �2b

�4aby = 1

2a

Sustituyendo para encontrar x

(a+ b)x+ (a� b) y = 1

(a+ b)x+ (a� b)�1

2a

�= 1

(a+ b)x = 1� (a� b)2a

(a+ b)x =2a� a+ b

2a

(a+ b)x =a+ b

2a

x =1

2a

Así, la solució al sistema es�12a ;

12a

�56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a

la derecha el número resultante es divisible exactamente por un númeroque sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos16.

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Page 41: Algebra Todo

Solución.

Llamemos x al número buscado, luego añadimos 5 a su derecha y resultax5: Ahora vamos a escribir estos número en su representación decimal (con dosdígitos, de no resultar debe de seguirse con tres dígitos y así).

x = a1 � 10 + a0x5 = a1 � 102 + a0 � 10 + 5

Usando el algoritmo de la división (p = q � k + r) resulta que:

a1 � 102 + a0 � 10 + 5 = (a1 � 10 + a0 + 3) (a1 � 10 + a0 � 13)= a20 + 20a0a1 � 10a0 + 102a21 � 102a1 � 39= 102a1 (a1 � 1) + 10a0 (2a1 � 1) + a20 � 39

a1 � 102 + a0 � 10 + 5 = 102a1 (a1 � 1) + 10a0 (2a1 � 1) + a20 � 39

Segúnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, así

a1 � 102 = 102a1 (a1 � 1)1 = a1 � 1a1 = 2

a0 � 10 + 5 = 10a0 (2a1 � 1) + a20 � 39a0 � 10 + 5 = 10a0 (2 (2)� 1) + a20 � 39a0 � 10 + 5 = 40a0 � 10a0 + a20 � 39a0 � 10 + 5 = 30a0 + a

20 � 39

a20 + 20a0 � 44 = 0

(a0 + 22) (a0 � 2) = 0

a0 = �22 _ a0 = 2

Para a0 tomamos el valor positivo así el número buscado es

x = a1 � 10 + a0x = (2) � 10 + 2x = 20 + 2

x = 22

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Page 42: Algebra Todo

La solución de mayor valor numérico de la ecuación jxj+ x3 = 0 es:

Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para estaecuación los casos que siguen:

jxj+ x3 = 0

x3 = � jxjx3 = �x ó x3 = � (�x)

Resolviendo la primera ecuación

x3 = �xx3 + x = 0

x�x2 + 1

�= 0

x = 0 _�x2 + 1

�= 0

nótese que la ecuación�x2 + 1

�= 0 no tiene solución en los números reales.

Para el segundo casos tenemos

x3 = � (�x) = xx3 � x = 0

x(x2 � 1) = 0

x = 0 _ x2 � 1 = 0

Resolviendo la ecuación x2 � 1 = 0;

x2 = 1

x = 1 _ x = �1

Luego las soluciones de la ecuación original son: �1 y 0; luego la soluciónde mayor valor numérico es 0:

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Page 43: Algebra Todo

58. Para que la ecuación x2 � 2x + k = 0 (�) no tenga solución en R debecumplirse que:

Aplicando la fórmula general para esta ecuación tenemos

x =� (�2)�

q(�2)2 � 4 (1) (k)2

x =2�

p4� 4k2

x =2�

p4(1� k)2

x =2� 2

p(1� k)2

x = 1�p(1� k)

Luego analizando el discriminantep(1� k); resulta que para que la ecuación

(�) no tenga solución debe ser k > 1; asíp(1� k) =2 R:

59. Si los valores de R1; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcularel recíproco de R2 utilizando la ecuación 1

R =1R1+ 1

R2+ 1

R3se obtiene:

Se trata de despejar 1R2de la expresión para la resistencia, así

1

R=

1

R1+1

R2+1

R31

R2=

1

R� 1

R1� 1

R3

60. Una solución irracional de la ecuación�x2 + 1

� �2x2 � 8

� �x2 � �

�(x� 2:5) = 0

es:

Recordemos que un número irracional es aquel que no puede expresarsecomo un cociente indicado de dos números enteros, luego las soluciones de estaecuación serán: �

x2 + 1�= 0

x2 = �1x = �

p�1

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Page 44: Algebra Todo

las cuales son soluciones imaginarias en los números complejos.�2x2 � 8

�= 0

2x2 = 8

x2 =8

2

x2 = 4

x = �p4

x = �2las cuales son soluciones reales.

�x2 � �

�= 0

x2 = �

x2 = �

x = �p�

las cuales son raices irracionales, puesto que � es irracional.

x� 2:5 = 0

x = 2:5

la cual es una solución racional.

Por lo tanto una solución irracional esp�:

61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuación de segundo grado.

1� 2b

x� a =a2 � b2

a2 + x2 � 2ax

Primero simpli�camos la expresión

a2 � b2x2 � 2ax+ a2 +

2b

x� a = 1

a2 � b2

(x� a)2+

2b

x� a = 1

a2 � b2 + 2b (x� a)(x� a)2

= 1

a2 � b2 + 2b (x� a) = (x� a)2

a2 � b2 + 2bx� 2ba = x2 � 2ax+ a2

x2 � 2ax� 2bx+ b2 + 2ab = 0

x2 � (2a+ 2b)x+�b2 + 2ab

�= 0

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Page 45: Algebra Todo

En este punto aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas

x =(2a+ 2b)�

q[� (2a+ 2b)]2 � 4 (1) (b2 + 2ab)

2

x =(2a+ 2b)�

p4a2 + 8ab+ 4b2 � 4b2 � 8ab

2

x =(2a+ 2b)�

p4a2

2

x =(2a+ 2b)� 2a

2x = a+ b� a

separando las raices resulta que

x1 = 2a+ b ^ x2 = b

62. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de lasde x2 + 2x� 8:

Resolviendo esta ecuación por factorización tenemos.

x2 + 2x� 8 = (x+ 4) (x� 2)(x+ 4) (x� 2) = 0

(x+ 4) = 0 _ (x� 2) = 0x1 = �4 _ x2 = 2

x31 = �64 _ x32 = 8

Luego la ecuación buscada debe tener por raíces a �64 y 8:

Consideremos la forma de una ecuación cuadrática factorizable

x2 + bx+ c = 0

sabemos que puede escribirse en la forma de dos productos lineales

(x+m) (x+ n) = 0

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Page 46: Algebra Todo

donde n y m tienen las propiedades siguientes

m� n = c

m+ n = �b

si �64 y 8 son soluciones de una ecuación cuadrática, entonces podemos escribir

(�64) (8) = �512� [(�64) + (8)] = 56

así, la ecuación buscada es

x2 + 56x� 512:

63. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x2+ bx+ c = 0:Si los coe�cientes b y c son números primos, el valor de 3c� b es:

Si �1 es solución de la ecuación 3x2 + bx+ c = 0; entonces

3 (�1)2 + b (�1) + c = 0

3� b+ c = 0

c� b = �3b� c = 3

entonces se trata de encontrar dos números primos cuya diferencia sea 3; porinspección podemos elegir b = 5 y c = 2; ambos primos y además 5 � 3 = 2;luego

3c� b = 3 (2)� 5= 6� 5= 1

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Page 47: Algebra Todo

64. Cada letra representa un número en el siguiente arreglo. La suma de cua-lesquiera tres números consecutivos es 18. ¿cuánto vale H?

3 B C D E 8 G H I

Podemos plantear las siguientes relaciones

3 +B + C = 18

de dondeB + C = 15

Luego

B + C +D = 18

15 +D = 18

D = 18� 15D = 3

siguiendo el mismo argumento

D + E + 8 = 18

3 + E = 18� 8E = 10� 3E = 7

para las siguientes tres letras

E + 8 +G = 18

7 + 8 +G = 18

G = 18� 15G = 3

y �nalmente

8 +G+H = 18

8 + 3 +H = 18

H = 18� 11H = 7

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Page 48: Algebra Todo

65. El conjunto de las soluciones positivas de la inecuación jx+ 5j < �4 es:

Recordemos la siguiente propiedad del valor absoluto

jaj < b() �b < a < b

aplicando esta propiedad tenemos

jx+ 5j < �4() � (�4) < x+ 5 < �44 < x+ 5 < �4

4� 5 < x+ 5� 5 < �4� 5�1 < x < �9

sol: (�1;�9)

nótese que este conjunto solución no satisface a la inecuación original, bastacon tomar un valor de prueba, digamos k = �3; al evaluar resulta

jx+ 5j < �4j�3 + 5j < �4

j2j < �42 < �4

lo que es absurdo, luego el conjunto solución de la inecuación es el conjuntovacío, �:

66. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excedeen dos el número de decenas y que el producto del número deseado por lasuma de sus dígitos es 144.

Sabemos que es un número de dos cifras, escibamos su desarrollo decimal

10x+ y

donde x es el número de las decenas y y el de las unidades. Como el número delas unidades excede en dos al de las decenas, entonces

y � x = 2 (1)

por otro lado, si el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es144, entonces

(10x+ y) (x+ y) = 144 (2)

podemos emplear la ecuación (1) y reducir términos

y � x = 2

y = 2 + x

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Page 49: Algebra Todo

sustituimos en la ecuación (2)

(10x+ y) (x+ y) = 144

(10x+ (2 + x)) (x+ (2 + x)) = 144

(11x+ 2) (2x+ 2) = 144

22x2 + 26x+ 4 = 144

22x2 + 26x� 140 = 0 (3)

Resolvemos la ecuación (3) usando la fórmula general para ecuaciones cuadráti-cas

x =�26�

q(26)

2 � 4 (22) (�140)2 (22)

x =�26�

p676 + 12320

44

x =�26�

p12996

44

x =�26� 114

44

x1 =�26 + 114

44= 2

x1 =�26� 114

44= �35

11

tomamos para x el valor entero y positivo, 2; y lo sustituimos en la ecuación (1)

y � x = 2 (1)

y � 2 = 2

y = 2 + 2

y = 4

Así el número buscado es

10x+ y = 10 (2) + 4 = 20 + 4 = 24

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67. Si x < y y z es un número real diferente de cero, entonces la proposiciònfalsa es:

a) (�z)2 x < (�z)2 y b)�1 + z2

�x <

�1 + z2

�y c) z2x > z2y d) 1

z2x <1z2 y

Nótese que en el inciso c) z está al cuadrado, así que este valor (z2) siempreserá positivo, luego

x < y; z2 > 0

entonces por propiedades de las desigualdades se cumple que

z2x < z2y

de donde c) resulta der falsa.

68. Si x > 1; entonces se cumple que:

a)px2 + x+ 4 > x+ 2 b)

px2 + x+ 4 = x+ 2 c)

px2 + x+ 4 < x+ 2 d) x = 0

Tomando a) y eliminando el radical obtenemos�px2 + x+ 4

�2> (x+ 2)

2

x2 + x+ 4 > x2 + 4x+ 4

x > 4x

como x > 1 esto no puede ser.

Tomando b) y eliminando el radical obtenemos�px2 + x+ 4

�2= (x+ 2)

2

x2 + x+ 4 = x2 + 4x+ 4

x = 4x

por el mismo razonamiento b) tampoco es posible.

Del mismo modo para c)�px2 + x+ 4

�2< (x+ 2)

2

x2 + x+ 4 < x2 + 4x+ 4

x < 4x

Gracias a la condición x > 1; c) si es posibles. Evidentemente d) es absurdo.

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Page 51: Algebra Todo

69. Si 0 < x < 1, entonces se cumple la relación

a) 1x < 1 b) 1

x >1x2 c) 1

1+x+x2 <1

1+x d) 1x =

1x2

Partiendo de la desigualdad dada como hipótesis tenemos

0 < x < 1

x2 < x

1 + x2 < 1 + x

al agregar x sólo al lado izquierdo de la desigualdad, entonces el signo se invierte

1 + x+ x2 > 1 + x

luego tenemos que

1 + x+ x2

1 + x+ x2>

1 + x

1 + x+ x2

1 >1 + x

1 + x+ x2

1

1 + x>

1 + x

1 + x+ x2� 1

1 + x1

1 + x>

1

1 + x+ x2�o

1

1 + x+ x2<

1

1 + x

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Page 52: Algebra Todo

70. Al resolver la ecuaciónp2�

p2 + x = x; se obtiene que el valor de x es:

Primero eliminamos los radicales de la ecuación�q2�

p2 + x

�2= x2

2�p2 + x = x2�

�p2 + x

�2=

�x2 � 2

�2x+ 2 = x4 � 4x2 + 4

x4 � 4x2 � x+ 2 = 0

De lo que resulta una ecuación de cuarto grado.

Tengamos presente el siguiente teorema

Theorem 3 Si el polinomio

f(x) = anxn + an�1x

n�1 + an�2xn�2 + � � �+ a0

tiene coe�cientes enteros y c=d es un cero racional de f(x) tal que c y d noposean un factor primo común, etonces i) el denominador c del cero es unfactor común del término constante a0, ii) el denominador d del cero es un

factor del coe�ciente inicial an:

Para la ecuación que nos ocupa tenemos

opciones para el denominador c �1;�2opciones para el numerador d �1opcines para c=d �1;�2

Al efectual la división por el factor x+ 1; resulta la descomposición

x4 � 4x2 � x+ 2 =�x3 � x2 � 3x+ 2

�(x+ 1) = 0�

x3 � x2 � 3x+ 2�(x+ 1) = 0

de donde una raiz de la ecuación es

x+ 1 = 0

x = �1

de forma análoga resolvemos la ecuación cúbica�x3 � x2 � 3x+ 2

�= 0

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Page 53: Algebra Todo

al dividir por el factor x� 2; resulta la descomposición�x2 + x� 1

�(x� 2) = 0

de donde otra raiz es

x� 2 = 0

x = 2

�nalmente resolvemos la ecuación cuadrática

x2 + x� 1 = 0

x =�1�

p12 � 4 (1) (�1)2 (1)

x =�1�

p5

2

x1 =�1 +

p5

2= �1

2+

p5

2

x2 =�1�

p5

2= �1

2�p5

2

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