algebra superior

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ndice general1. Lgica matemtica 91.1. Formas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1. Operaciones entre proposiciones lgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Construccin de tablas de verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1. Operaciones con frmulas lgicas y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . 231.2.2. Tautologas y falacias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3. Transformacin de frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.2. Consecuencias lgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4. Expresiones de la lgica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4.1. Leyes de la lgica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.2. Interpretacin de frmulas en la lgica de predicados. . . . . . . . . . . . . 451.4.3. Forma normal prenexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502. Teora de conjuntos 522.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.1.1. Formas de expresar un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2. Conjuntos nitos e innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.1. Conjunto nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2. Conjunto innito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.3. Nocin de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.4. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.5. Conjuntos vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.6. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.7. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.8. Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.9. Conjunto de partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.10. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.1. Unin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.2. Propiedades de la unin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.3. Interseccin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.4. Propiedades de la interseccin conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.5. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591NDICE GENERAL 22.3.6. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.7. Propiedades del complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.8. Diferencia simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.9. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653. Nmeros reales 763.1. Nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2. Nmeros primos y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3. Nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4. Nmeros racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8. Nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.9. Igualdades y desigualdades numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.11. Smbolo sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.12. Smbolo producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.13. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14. Induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.15. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.16. Factorial y frmula del binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.17. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.18. Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.19. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504. Expresiones algebraicas 1564.1. Expresin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.3. Potencia con exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5. Potencia con exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.7. Potencia de un nmero positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.9. Magnitudes directa e inversamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.10. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.10.1. Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.10.2. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.10.3. Proporcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.11. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.12. Regla de tres y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.12.1. Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.12.2. Regla de tres compuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.12.3. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.13. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212NDICE GENERAL 35. Polinomios 2155.1. Deniciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.2. Suma, resta y producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.3. Produtos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.5. Divisin de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.5.1. Mtodo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.5.2. Mtodo de coecientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.5.3. Mtodo de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.5.4. Regla de Runi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.5.5. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.7. Mtodos de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.7.1. Factor comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.7.2. Mtodo de identidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.7.3. Mtodo del aspa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.7.4. Mtodo de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385.7.5. Mtodo de articios de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.7.6. Factorizacin recproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.9. Mximo comn divisor y mnimo comn multiplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455.9.1. Divisiones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.9.2. Por factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.11. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.12. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 2586.1. Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656.3. Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones en dos incgnitas . . . . . . . . . 2696.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2736.5. Sistemas de ecuaciones lineales de ms de 2 variables. . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.7. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.9. Ecuaciones cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986.11. Ecuacin simtrica de tercer y cuarto grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3026.12. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3046.13. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3056.14. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3096.15. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.16. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3277. Desigualdades e inecuaciones 3567.1. Desigualdades con una incgnita y de primer grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3567.1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3567.1.2. Segmentos, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3567.1.3. Operaciones entre desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359NDICE GENERAL 47.1.4. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3597.2. Desigualdades de primer grado con una incgnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3627.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3677.4. Desigualdad de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.6. Desigualdades de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3837.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3858. Funciones algebraicas 3898.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3898.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.3. Funcin inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4098.4. Paridad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4138.6. Monotona de una funcin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4158.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4208.8. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4288.9. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4318.10. Grca de una funcin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4338.11. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4429. Funciones exponenciales y logartmicas 4449.1. Expresiones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4449.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4509.3. Ecuaciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4549.5. Desigualdades exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4599.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4629.7. Funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4659.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47310.Funciones hiperblicas 47510.1. Funciones hiperblicas directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47510.1.1. Funcin seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47810.1.2. Funcin coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47910.1.3. Funcin tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48010.1.4. Funcin cotangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48210.1.5. Funcin secante hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48310.1.6. Funcin cosecante hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48310.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48411.Funciones trigonomtricas 48711.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48711.1.1. Medicin del ngulo en grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48811.1.2. Medida radial del ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48811.2. Crculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49011.3. Funciones trigonomtricas de un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49311.4. Identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50811.5. Frmulas de adicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51511.6. Frmulas de arcos dobles y mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530NDICE GENERAL 511.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54011.8. Ecuaciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54911.9. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55511.10.Desigualdades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56011.11.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56211.12.Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56311.12.1.Funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56411.12.2.Funcin Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57111.12.3.Funcin Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57411.12.4.Funcin Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57611.13.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57811.14.Expresiones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58111.15.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58711.16.Ecuaciones trigonomtricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58911.17.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59011.18.Funciones trigonomtricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59211.18.1.Funcin arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59311.18.2.Funcin arco coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59611.18.3.Funcin arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59711.18.4.Funcin arco cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59911.19.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60012.Curvas dadas implcitamente 60312.1. Deniciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60312.2. Curvas implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60412.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60613.Curvas dadas paramtricamente 60713.1. Ecuaciones parametricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60713.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60813.3. Curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60913.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61214.Curvas dadas en coordenadas polares 61414.1. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61414.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61614.3. Grca en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61814.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62114.5. Interseccin de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62314.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62415.Nmeros complejos 62515.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62515.2. Operaciones con los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63815.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64715.4. Potencia de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66015.4.1. Potencia de la unidad imaginaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66015.4.2. Potenciacin de un nmero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66115.4.3. Extraccin de la raz cuadrada de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . 66215.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664NDICE GENERAL 615.6. Forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67715.6.1. Forma trigonomtrica de un nmero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . 67715.6.2. Producto de nmeros complejos dados en forma trigonomtrica. . . . . . . 68415.6.3. Divisin de nmeros complejos dados en forma trigonomtrica . . . . . . . 68515.6.4. Potenciacin de un nmero complejo dado en forma trigonomtrica . . . . . 68615.6.5. Radicacin de nmeros complejos dados en forma trigonomtrica . . . . . . 68815.6.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69515.7. Forma exponencial de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70115.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705IntroduccinHe aqu una obra de colaboracin, en que se pretende aunar experiencias diversas de publica-ciones anteriores y practica docente, mediante una labor de conjunto y critica mutua. Destinado ellibro a servir de base a cursos formativos de iniciacin universitaria en el Departamento de CienciasExactas,laseleccindelmaterialsehaguiadoporlosplanesdeestudiodelasUniversidadesyEscuelas Politcnicas, pero sin sujetarse a ningn programa determinado, antes bien, con afn desuperacin y aliento renovador.Uncursoesunarelacindecuestionesfundamentales, lgicamenteencadenadas; esunaex-cursinexploradoraporel campodeunaciencia; escomounplanoquesirvedepreparacinygua para el estudio de los tratados. Un tratado general debe contener, en cambio, una exposicinsistemticadelorganismodeunaciencia;debeserlacanteradedondepuedanextraersecursosvariados.Pero un tratado no debe ser una enciclopedia, ni puede ser un libro de historia de la ciencia. Nobusque, pues, el lector en estas pginas multitud de cuestiones con las que acaso est encariado,peroqueporsuintersmuysecundariooexclusivamentehistriconodebengurarenunlibromoderno; pues, adems de distraer la atencin, quitan tiempo y espacio preciosos para poder llegaren plazo prudencial hasta los problemas actuales de la matemtica superior.Tambin he puesto especial cuidado en omitir toda clase de detalles superuos o secundarios,que slo cansancio y desorientacin producen. Detenindose solamente en las estaciones principales,es posible llegar en poco tiempo bastante lejos; mientras que perderse en una selva de minucias ycasos particulares, que confunden y oscurecen los troncos primarios, es condenarse voluntariamentea no salir nunca de lo elemental.No busque tampoco el lector en estas pginas disquisiciones metafsicas sobre los nmeros ir-racionales,imaginarios,etc.Pasadayalapocasubsiguienteatodaampliacindelconceptodenmero; vencida la inevitable resistencia que la inercia opone siempre a todo concepto nuevo, estasnociones han perdido desde hace casi medio siglo todo su antiguo misterio.Huyendo de la general tendencia a elevar por abstraccin los asuntos elementales, he prescindi-do de todo formalismo, esforzndome por el contrario, en elementalizar las cuestiones difciles sinmenoscabo del rigor.El rigor constituye hoy un mandato imperativo en todo libro de matemtica. Toda demostracinno rigurosa se considera como un valor nulo.En un curso de Algebra, el alumno dispone bsicamente de tres recursos: el profesor, el libro yel tiempo que dedique al trabajo duro. Este ltimo es el ms importante. Es durante ese tiempo,7NDICE GENERAL 8cuando trata de resolver problemas y utiliza el libro para aprender a resolverlos, cuando obtieneel mayorprovecho. EstelibrodeAlgebraSuperior, estdiseadoparautilizarseestudiandolosejemplos que facilitan el aprendizaje de las tcnicas del lgebra.El objetivo fundamental de este trabajo, es proporcionar un libro a partir del cual, el estudi-ante de Algebra adquiera en el curso la mayor destreza y profundidad en la resolucin de problemas.El estudiante, que por s solo utiliza una coleccin de problemas, ha de ser su propio corrector;por tanto, debe observar con el mayor cuidado si no ha omitido alguna parte del razonamiento, ydebe ser, adems, muy exigente consigo mismo.Este trabajo lo dedico a la memoria de mis padres:Lus Garca y Gladys Arcos.Para consultas y sugerencias, remitirse a [email protected] Garca ArcosProfesor de MatemticasEscuela Politcnica del EjrcitoSangolqu, Marzo de 2011Captulo 1Lgica matemtica1.1. Formas proposicionalesLalgicamatemticaseocupadel anlisisdelasproposicionesydemostracionesdel razon-amiento lgico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusin deductiva,desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribucin esencial al desarrollo del pensamientocientco y creador. Esto se maniesta, por ejemplo, en la correcta comprensin de las estructuraslgicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenmenoslgicos, enlaaplicacindelasleyesyreglaslgicasyenlapretensindeclaridad, sencillezyeconoma en la expresin lingstica.Una de las propiedades de la forma de expresin matemtica, es la de representar los objetos,las imgenes mentales, los vnculos y las relaciones mediante smbolos (signos), y combinarlos entres.Denicin 1.1 ConstanteUna constante es un signo que tiene una determinada signicacin ja.Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigacin o en la solucin de unatarea, siempre la misma signicacin.Denicin 1.2 VariableUnavariableesunsignoquerepresentacualquierelementodeundominiobsicopreviamenteestablecido.Estoquieredecirqueunavariablesepuedesustituirporel signodecualquierelementodeldominiobsico. Entoncessehabladelasustitucindelavariable, odelainterpretacindelavariable.Denicin 1.3 TrminoPor trmino entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos deoperacin y los signos tcnicos.Lostrminosson, portanto, lasdenominacionesdelosobjetosmatemticosolascombina-ciones de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediantela interpretacin de las variables se omiten en las designaciones de los objetos matemticos. El ob-jeto matemtico, identicado como un trmino, y en cuya denominacin se omite este calicativo9CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 10despus de la interpretacin de las variables, se conoce como valor del trmino.Las proposiciones son estructuras lingsticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. Lalgica clsica, a travs de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el con-tenido de verdad de una proposicin. El principio de la bivalencia expresa: Toda proposicin o esfalsa o es verdadera.De este principio se pueden deducir dos teoremas.1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:Toda proposicin es falsa o verdadera.2. El teorema de la contradiccin excluida, expresa:Ninguna proposicin es falsa y verdadera al mismo tiempo.En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, ex-presan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede procedera la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibil-idad excluida y del principio de la contradiccin excluida.A cada proposicin se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es poresta razn que tambin se habla de una lgica bivalente. La asignacin de los valores de verdad F oV de una proposicin, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia seexpresa claramente que una proposicin es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente sicada proposicin es falsa o verdadera. En matemticas existen actualmente muchas proposicionesquehastael momentonohanpodidoserdemostradas, concebida, lademostracin, comounaaseveracin de la verdad, a continuacin se dan dos ejemplos de este tipo de proposiciones.Ejemplo 1.1 Laproposicin:Todonmeroparqueseamayorque4,sepuederepresentarcomo la suma de dos nmeros primos, excepto el 2, existe desde el ao 1742. Hasta el momentono se ha podido demostrar si es una proposicin falsa o verdadera. (Suposicin de Goldbach).Denicin 1.4 Forma proposicionalUna estructura lingstica que contiene por lo menos una variable libre, se convierte en una proposi-cin, cuando se sustituyen todas las variables por smbolos, que denotan objetos del dominio bsico,recibe el nombre de forma proposicional.Ejemplo 1.2 8+xyimplicax2>y2paratodax, y R.Surespuesta debe ser un par ordenado;b) Cmo debe restringirx ey para que sea verdadera la proposicin de la parte a)?Resp: a) ; b) .16. Exprese en forma simblica cada uno de los enunciados, suponiendo quex,y,z R y queP : x < y, Q : y< z, R : x < z:a) Six < y, entoncesy z; b) Si(x < y ey< z), entoncesx < z;c) Si(x y ey< z), entoncesx z;d) Si no es verdad que(x < z ey< z), entoncesx z;e) x < y si y slo si(y< z yx < z);f ) Si es falso que(x < y y (ya seax < y oy< z)), entonces(x y, entoncesx < z).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) .17. Cules de las proposiciones P, Q, R deben ser verdaderas y cules falsas para que((P P) Q) Rsea verdadera?Resp: .18. Representesimblicamentecadaunadelasproposicionescondicionalesdadasacontin-uacin. Escriba su recproca, inversa y contrapositiva tanto con smbolos como con palabras.Determinetambinel valordeverdadparalaproposicincondicional, parasurecproca,inversa y para su contrapositiva:a) Si4 < 6, entonces9 > 12; b) Si4 > 6, entonces9 > 12;c) [1[ < 3 si 3 < 1 < 3; d) [4[ < 3 si 3 < 4 < 3.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .19. Proporcione la recproca, inversa y contrapositiva de cada una de las siguientes proposi-ciones:a) Six +y= 1 entoncesx2+y2 1; b) Si 2 + 2 = 4 entonces 3 + 3 = 8.Resp: a) ; b) .20. Considere la proposicin: six > 0 entoncesx2> 0 parax N:a) Proporcione la recproca, inversa y contrapositiva de la proposicin;b) Cul de las siguientes proposiciones es verdadera: la proposicin original, la recproca,la inversa o la contrapositiva?Resp: a) ; b) .CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 2121. Determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:a) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 8; b) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 8;c) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 6; d) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 6;e) Si la tierra es plana, entonces Vicente Rocafuerte fue el primer presidente de Ecuador;f ) Si la tierra es plana, entonces Sixto Durn-Ballen es presidente de Ecuador en el perido92 - 96;g) Si Sixto Durn-Ballen es presidente de Ecuador en el perido 92 - 96, entonces la tierraes plana;h) Si Sixto Durn-Ballen es presidente de Ecuador en el perido 92 - 96, entonces 2 + 2 =4.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) .22. Supngase que sabemos que P Q es falso. Proporcione los valores de verdad para:a) P Q; b) P Q; c) Q P; d) P Q; e) P Q;f ) Q P; g) Q P; h) P Q; i) P Q; j) (P Q).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) ; i) ; j) .23. UnlgicoledijoasuhijoSi noterminastucena, teirsdirectoadormirynoverstelevisin. Termin su cena y fue enviado directamente a la cama. Disctalo.Resp: .24. Alapreguntadecul detresestudiantesestudiabalgicafueobtenidaunarespuestacorrecta: si la estudiaba el primero, tambin lo haca el tercero, pero no era cierto que si laestudiaba el segundo lo haca asmismo el tercero. Quin estudiaba lgica?Resp: .25. Luis, Carlos, Joe, Fredocuparonenlaolimpiadadematemticas los cuatroprimerospuestos. Cuandolespreguntaronacercadeladistribucindelospuestos, dieronlastressiguientes respuestas:a) Fred - primero, Carlos - segundo; b) Fred - segundo, Luis - tercero;c) Joe - segundo, Luis - cuarto.Cmo se distribuyeron los puestos si en cada una de las respuestas slo una de las arma-ciones era verdadera?Resp: a) ; b) ; c) .26. Determine cul de cuatro estudiantes dio el examen si sabemos que:a) Si lo dio el primero, el segundo tambin;b) Si lo dio el segundo, el tercero tambin o bien el primero no lo dio;c) Si no lo dio el cuarto, lo dio el primero, pero el tercero no;d) Si el cuarto lo dio, el primero tambin.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .27. ParaunaexpedicindeochopretendientesA, B, C, D, E, F, G, Hhayqueelegirseisespecialistas: bilogo, hidrlogo, sinptico, radista, mecnicoymdico. Lasfuncionesdelbilogo pueden ser realizadas por E y G, las del hidrlogo, B y F. Las del sinptico, F y G,las del radista, C y D, las del mecnico, C y H, las del mdico, A y D. Aunque algunos de lospretendientestienendosespecialidades,enlaexpedicincadaunopuederealizarslounafuncin. Quin y en calidad de qu ha de incluirse en la expedicin si F no puede ir sin B,D sin H y sin C, C no puede ir simultneamente con G, y A no puede ir junto con B?Resp: .CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 221.2. Construccin de tablas de verdadEl enunciado G = P [(Q R) Q] incluye tres proposiciones: P, Q y R, cada una puedeser verdadera o falsa de manera independiente. Existen en total23= 8 combinaciones posibles delos valores de verdad para P, Q y R y la tabla de verdad para G deber dar el valor de verdad deG para cada uno de los casos.Denicin 1.14 CombinacionesSi unaproposicincompuestaGconstadenenunciados, habr2ncombinacionesdevaloresdeverdad, es decir, n las en la tabla de verdad de G.Unatablaquedespliegatodoslosvaloresdeverdaddeunafrmula,paratodaslasposiblesinterpretacionesquepuedatener,sedenominatabladeverdaddelafrmula.Estatablapuedeconstruirse sistemticamente de la siguiente manera:1. Las primeras n columnas se encabezan con las variables proposicionales; y se construyen mscolumnas para las combinaciones parciales de enunciados y se culmina con el enunciado dado.2. Bajo cada una de las primeras n columnas, se enlistan las2nn-adas posibles de los valores deverdad de los componentes del enunciado G. Cadan-tupla se enlista en una la separada.3. Para cada la se calculan sucesivamente los valores de verdad restantes.Ejemplo 1.21 SeaG= (P Q) (P Q), construir la correspondiente tabla de verdad:P Q P QP Q GV V V V VV F F V FF V V V VF F V V FEjemplo 1.22 SeaG= [(P Q) Q] P), construir la correspondiente tabla de verdad:P Q P Q (P Q) Q GV V V F VV F F F VF V V V VF F F F VEjemplo 1.23 SeaG= [(P Q) P] Q), construir la correspondiente tabla de verdad:P Q P Q (P Q) P GV V V F VV F V F VF V V V VF F F F VEjemplo 1.24 Sea G= (P Q) (Q P), construir la correspondiente tabla de verdad:P Q P QQ P GV V V V VV F F F VF V V V VF F V V VCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 23Ejemplo 1.25 SeaG= (P Q) [(P Q) (Q P)],construirlacorrespondientetablade verdad:P Q P Q P Q Q P (P Q) (Q P) GV V V V V V VV F F F V F VF V F V F F VF F V V V V V1.2.1. Operaciones con frmulas lgicas y sus propiedadesEnelestudiodelasfuncionesproposicionaleshemosutilizadolasvariablesP,Q,R,...paradesignarlasproposiciones. Estasvariablespodemosinterpretarlasconelementosdeundominiobsico, esdecir, conproposiciones. Sudominioestformadosolamentepordoselementos, losvalores de verdad V y F. Las constantes en este caso las constituyen los conectores lgicos. Medianteel enlace lineal de las variables con valores de verdad P, Q, etc., y conectores, as como mediantela aplicacin de los signos tcnicos (parntesis), podemos formar series de signos.Denicin 1.15 Frmula bien formadaUnafrmulabienformada,sedenedentrodelalgicaproposicional enlossiguientestrminosrecursivos:1) Las variables P, Q, ... son frmulas.2) a) Si P es una frmula, entonces P tambin es una frmula.b) Si P y Q son frmulas entonces P Q, P Q, P Q, P Q tambin son frmulas.3) Una serie de signos P, Q, ... es una frmula solo cuando se trata de los casos 1 y 2.Enlarepresentacinsimblicaseinterpretanlossignos , , , , ,querecibenelnom-bre de conectores, como signos de funciones proposicionales y tambin como signos de funcionesveritativas. AlosliteralestalescomoP, Q, R,... quesonusadosparadenotarproposicionessedenominan frmulas atmicas o tomos. No es difcil reconocer que expresiones como P , P noson frmulas. Cuando no exista confusin se suprimen los parntesis asignando rangos decrecientesa los conectores proposicionales de la siguiente manera; , , , ,de manera que al conectorproposicional con mas alto rango se lo evalue al nal.Ejemplo 1.26 1) P Q R = P (Q R);2) P Q R S = P Q (R S) = P [Q (R S)].Ahora vamos a establecer una relacin entre los valores de verdad y las funciones veritativaspor una parte y las expresiones, por otra. Las variables P, Q, ... las utilizamos ahora como variablesdel valor de verdad, y de igual forma los conectores proposicionales , , , , como signos delas funciones veritativas clsicas.SobrelabasedelasarmacioneshechaspodemosindicarelcorrespondientevalordeverdadparacadainterpretacindelasvariablesP, Q, ... conlosvaloresdeverdad. Enlasexpresionescomplicadas de la lgica proposicional tambin es posible calcular de esta forma, en nitos pasos,los valores de verdad, al hacer las diferentes interpretaciones de las variables.Comparando las tablas de verdad podemos decidir si dos frmulas G y H tienen la misma tablade valores de verdad. Con esto tambin podemos mostrar si una frmula formada a partir de GyH,esunaidentidaddelalgicaproposicional.Laigualdaddelastablasdevaloresdeverdady la identidad de la lgica proposicional, sin embargo, no son exactamente lo mismo. La igualdadCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 24delatabladevaloresdeverdadesunarelacinentredosfrmulas; ylapropiedaddeserunaidentidad es una peculiaridad de una frmula. Cuando nos interesamos por la igualdad de la tabladevaloresdeverdad, entoncescomparamoslosvaloresdeverdaddedosfrmulasentodaslassustitucionesposibles.Cuandonosinteresamosporlavalidezgeneraldeunafrmula,queremosestablecer si esta determinada frmula toma, en cada interpretacin, el valor de verdad V. En estecaso, se determina el valor de verdad de una nueva frmula formada a partir de las frmulas G yH en todas las sustituciones posibles. De las frmulas con las mismas tablas de verdad, G y H, sepueden formar siempre identidades de la lgica proposicional, es decir, frmulas de validez general.Teorema 1.3 Una frmula doblemente negada tiene la misma tabla de valores de verdad que lacorrespondiente frmula dada, es decir;P = P es una identidad de la lgica proposicional.DemostracinPPPV F VF V FTeorema 1.4 Para la conjuncin, la disjuncin y la equivalencia se cumplen la ley conmutativay la ley asociativa con respecto a la igualdad de las tablas de valores de verdad. Para la implicacinno se cumple ni la ley asociativa, ni la ley conmutativa.DemostracinP Q P Q Q P P Q Q P P Q Q PV V V V V V V VV F V V F F F FF V V V F F F FF F F F F F V VDado que G1 = (P Q) R y G2 = P (Q R), entoncesP Q R (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) G1G2V V V V V V V V VV V F V V F F F FV F V V V F F F FV F F V V F F V VF V V V V F F F FF V F V V F F V VF F V V V F F V VF F F F F F F F FEn lgica las proposiciones idnticamente verdaderas o bien idnticamente falsas desempeanimportante papel. Las proposiciones idnticamente verdaderas son siempre verdaderas independi-ente de si las proposiciones que las forman son verdaderas o falsas.Teorema 1.5 Para las proposiciones idnticamente verdaderas e idnticamente falsas, con todoP son ciertas las siguientes frmulas:P P= V; P V= V; P F= PP P= F; P V= P; P F= FDemostracinCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 25P P Q P V P F P P P V P FV V V V F V FF V V F F F FTeorema 1.6 Las equivalencias siguientesP Q= Q P; P Q= Q PP Q= Q P; P Q= Q Pson identidades de la lgica proposicional.DemostracinP Q P QQ PP QQ PV V V V V VV F F F V VF V V V V VF F V V F FP Q Q PP Q Q PF F V VV V V VV V F FV V V VTeorema 1.7 Las equivalencias siguientes(P Q)= P Q; (P Q)= P Q(P Q) P= P; (P Q) P= P(P Q) Q= Q; (P Q) Q= QP Q= P Q; P Q= (P Q) (Q P)son identidades de la lgica proposicional.DemostracinP Q (P Q)P Q (P Q)P Q (P Q) P (P Q) PV V F F F F V VV F F F V V V VF V F F V V F FF F V V V V F F(P Q) Q (P Q) Q P QP Q P Q (P Q) (Q P)V V V V V VF F F F F FV V V V F FF F V V V VTeorema 1.8 Laconjuncines, conrespectoaladisjuncinenamboslados, distributivayviceversa, es decir, que las siguientes frmulas son identidades de la lgica proposicionalP (Q R)= (P Q) (P R); (Q R) P= (Q P) (R P)P (Q R)= (P Q) (P R); (Q R) P= (Q P) (R P)DemostracinCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 26P Q R P (Q R) (P Q) (P R) (Q R) P (Q P) (R P)V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F F F F FF V V F F F FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F FP (Q R) (P Q) (P R) (Q R) P (Q P) (R P)V V V VV V V VV V V VV V V VV V V VF F F FF F F FF F F FTeorema 1.9 Conjuntamente con la distributividad se cumple que la implicacin, con respectoa las dems funciones veritativas, es distributiva a la derecha, pero no distributiva a la izquierda,es decir, que las siguientes frmulas son de validez generalP (Q R)= (P Q) (P R); P (Q R)= (P Q) (P R)P (Q R)= (P Q) (P R); P (Q R)= (P Q) (P R)DemostracinP Q R P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R)V V V V V V VV V F F F V VV F V F F V VV F F F F F FF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F V V V VP (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R)V V V VF F F FV V F FV V V VV V V VV V V VV V V VV V V VCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 27Teorema 1.10 Si la conclusin, segundo miembro, de una implicacin es igualmente una impli-cacin, entonces las dos premisas (primeros miembros), se pueden unir formando una sola premisaP (Q R)= (P Q) R; (P Q) R= (P R) (Q R)DemostracinP Q R P (Q R) (P Q) R (P Q) R (P R) (Q R)V V V V V V VV V F F F F FV F V V V V VV F F V V V VF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F V V V VEjemplo 1.27 Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar que:(P Q) (P Q)= (P Q) (P Q).Solucin(P Q) (P Q)= [(P Q) (P Q)] [(P Q) (P Q)]= [(P Q) (P Q)] [(P Q)) (P Q)]= [(P Q) (P Q)] [(P Q) (P Q)]= (P Q P Q) [(P Q) (P Q)]= [(P P) (Q Q)] [(P Q) (P Q)]= (V V) [(P Q) (P Q)]= V [(P Q) (P Q)]= (P Q) (P Q).Ejemplo 1.28 Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar que:[(P Q) P] Q= Q P.Solucin[(P Q) P] Q= [(P Q) P] Q= [(P Q) P] Q= (P) Q= P Q= Q P.Ejemplo 1.29 Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar que:[(P Q) (P R)] (Q R)= Q (P R).CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 28Solucin[(P Q) (P R)] (Q R)= [(P Q) (P R)] (Q R)= (P Q) (P R) (Q R)= (P Q) (P R) Q R= Q R (P R)= Q [(R P) (R R)]= Q [(R P) V]= Q (R P)= Q (P R).Ejemplo 1.30 Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar que:[(P Q) R] [(Q P) R]= (P Q) R.Solucin[(P Q) R] [(Q P) R]= [(P Q) R] [(Q P) R]= [(P Q) R] [(Q P) R]= [(P Q) R] [(Q P) R]= [(P Q) R] [(Q P) R]= [(P Q) (Q P) R] [R (Q P) R]= [(P Q Q) (P Q P)] R V= [(P Q) (P Q)] R= (P Q) R= (P Q) R= (P Q) R.Ejemplo 1.31 Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar que:[(P Q) P] (P Q)= P Q.Solucin[(P Q) P] (P Q)= [(P Q) P] (P Q)= [(P Q) P] (P Q)= P P Q= P Q= P Q.1.2.2. Tautologas y falaciasDenicin 1.16 TautologaSiunaproposicincompuestaessiempreverdaderabajotodassusinterpretaciones,independien-temente de los valores de vericacin de sus componentes, decimos que la proposicin compuestaes una tautologa.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 29Esdecir, aunenunciadoqueesverdaderoparatodoslosvaloresposiblesdesusvariablesproposicionalesseledenominatautologa. Cuandosecompruebaqueunaequivalenciaesunatautologa, signicaquesusdospartescomponentessonsiempreoambasverdaderasoambasfalsas,paracualesquiervaloresdelasvariablesproposicionales.Portantolosdosladossonslodiferentes maneras de proponer el mismo enunciado y se dice que son logicamente equivalentes.Denicin 1.17 FalaciaUna frmulaG es una falacia, si G es una tautologa.Ejemplo 1.32 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = (P Q) (P Q)es tautologa.SolucinP Q P QP Q (P Q) ( P Q)V V V V VV F F F VF V V V VF F V V VPor lo tanto G si es tautologa.Ejemplo 1.33 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = (Q P) (P Q)es tautologa.SolucinP Q Q P P Q (Q P) (P Q)V V V V VV F V F FF V F V VF F V V VPor lo tanto G no es tautologa.Ejemplo 1.34 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = (P Q) (Q P)es tautologa.SolucinP Q P QQ Q (P Q) ( Q P)V V V V VV F F F VF V V V VF F V V VPor lo tanto G si es tautologa.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 30Ejemplo 1.35 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = (P Q) [(P Q) (Q P)]es tautologa.SolucinP Q P Q (P Q) (Q P (P Q) [(P Q) (Q P)]V V V V VV F F F VF V F F VF F V V VPor lo tanto G si es tautologa.Ejemplo 1.36 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = [(P Q) (Q R)] (P R)es tautologa.SolucinP Q R (P Q) (Q P P Q [(P Q) (Q R)] (P R)V V V V V VV V F F F VV F V F V VV F F V F VF V V V V VF V F F V VF F V V V VF F F V V VPor lo tanto G si es tautologa.Ejemplo 1.37 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la frmulaG = [P (Q R)] [(P Q) R]es tautologa.SolucinP Q R (P (Q R) (P Q) R [P (Q R)] [(P Q) R]V V V V V VV V F F F VV F V V V VV F F V V VF V V V V VF V F V F FF F V V V VF F F V F FPor lo tanto G no es tautologa.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 311.2.3. Tarea1. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:a) (P Q) [(P Q) (P Q)]; b) [(P Q) R] (P Q);c) [(P Q) (P R)] (Q P)]; d) P P; e) (P Q) R;f ) (P P) P; g) P Q; h) (P Q).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) .2. Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demostrar queP Q= (P Q) (P Q)Resp: .3. Utilizando las leyes de la lgica proposicional, demuestre o refute:a) P Q= (P Q) (P Q); b) P (Q R)= (P Q) (P R);c) (P Q) R= P (Q R).Resp: a) ; b) ; c) .4. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) P (P Q)] (P Q); b) (P Q) [(R P) Q].Resp: a) ; b) .5. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) (R Q) (P Q R) (P Q R); b) (P Q) (R Q);c) (P Q) Q [(R Q) P].Resp: a) ; b) ; c) .6. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) (P Q) (R S) (P S); b) (P Q) (P R) R;c) (P Q) (P R) (Q S).Resp: a) ; b) ; c) .7. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) (P Q) Q (P R); b) (P Q) (P R) (Q R);c) (P Q) Q (P (R S)].Resp: a) ; b) ; c) .8. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) (P S) (P Q) [(S R) T] (Q R);b) P (Q P) [(Q R) S];c) (P Q) (R Q) (R S) [(S P) T].Resp: a) ; b) ; c) .9. Simplique las siguientes frmulas y diga cuales son tautologas y cuales falacias:a) (P Q) [(P Q) (Q P)]; b) [(P Q) (Q R) P] R;c) [P (Q R)] (Q R) [(S R) P] S.Resp: a) ; b) ; c) .1.3. Transformacin de frmulasLaigualdaddelosvaloresdeverdaddedosproposicioneslahemosdemostradohastaahorautilizando las tablas completas de valores de verdad. Con su ayuda pudimos decidir si una frmulaCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 32dada es o no una identidad de la lgica proposicional.Por esta va hemos conocido mumerosas frmulas con las tablas de valores. Otras identidades,es decir; las leyes de la lgica proposicional, las obtenemos a partir de las frmulas dadas y medi-ante sustituciones o transformaciones en frmulas equivalentes.En esta seccin veremos cmo obtener equivalencias e implicaciones lgicas sin utilizar tablasde verdad. Tambin explicaremos el signicado de teorema y de demostracin. Empezaremos condos reglas tiles, que sin embargo deben manejarse con cuidado.Teorema 1.11 Si enunafrmuladevalidezgeneral, esdecir, enunaidentidaddelalgicaproposicional, se sustituye una variable proposicional por una frmula cualquiera en todos los lu-gares donde se presenta la frmula correspondiente, entonces se obtiene nuevamente una frmulade validez general.Teorema 1.12 Cuando en una frmula G se sustituye una cierta subfrmulaG1por una fr-mulaG2, que toma los mismos valores de verdad queG1, entonces la frmula obtenida F tiene losmismos valores de verdad que la frmula G. La frmula G, una vez sustituidaG1debe sustituirseporG2en todos los lugares donde esta se presenta.Ejemplo 1.38 Consideremos la proposicinG= [P (P Q)] Qque es una tautologa. Si reemplazamos, cada vez que apareceP, por la proposicinG1 = Q Robtenemos la tautologaH= [(Q R) ((Q R) Q)] Q.Si en cambio reemplazamosQ, cada vez que aparece, porG1, obtenemos la tautologaH= [P (P (Q R))] (Q R).Ejemplo 1.39 Consideremos la proposicinG= [(P Q) (P R)] [Q (P R)]que no es una tautologa. Obtenemos proposiciones lgicamente equivalentes si reemplazamos P Qporsuequivalencialgica P QosireemplazamosunaolasdosvecesqueapareceP RporP R. Podemostambinreemplazar(P Q) (P R)porP (Q R). DeestamaneraGes lgicamente equivalente a las siguientes proposiciones entre otras:[(P Q) (P R)] [Q (P R)][(P Q) (P R)] [Q (P R)][(P (Q R)] [Q (P R)].Denicin 1.18 Frmula vlidaUnafrmulaGes vlidaoconstituyeunatautologa, si yslosi es verdaderabajotodas lasinterpretaciones. En caso contrario la frmula G es invlida.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 33Denicin 1.19 Frmula inconsistenteUnafrmulaGsedenominainconsistenteoinsatisfactible, si yslosi esfalsabajotodaslasinterpretaciones. En caso contrario la frmula G es consistente o satisfactible.De las deniciones anteriores, las observaciones siguientes son obvias:1. Una frmula es vlida, si y slo si su negacin es inconsistente.2. Una frmula es inconsistente, si y slo si su negacin es vlida.3. Una frmula es invlida, si y slo si hay por lo menos una interpretacin bajo la cual lafrmula es falsa.4. Una frmula es inconsistente, si y slo si hay por lo menos una interpretacin bajo la cualla frmula es verdadera.5. Si una frmula es vlida, entonces es consistente pero no viceversa.6. Si una frmula es inconsistente, entonces es invlida pero no viceversa.Ejemplo 1.40 Vericar la validez o inconsistencia de la frmula:[(P Q) (Q R)] (P R)SolucinP Q R (P Q) (Q R) P R [(P Q) (Q R)] (P R)V V V V V VV V F F F VV F V F V VV F F V F VF V V V V VF V F F V VF F V V V VF F F V V VPor lo tanto G es una frmula vlida.Ejemplo 1.41Vericar la validez o inconsistencia de la frmula:[(P (Q R)] [(P Q) R]SolucinP Q R (P (Q R) (P Q) R [(P (Q R)] [(P Q) R]V V V V V VV V F F F VV F V V V VV F F V V VF V V V V VF V F V F FF F V V V VF F F V F FPor lo tanto G no es una frmula vlida.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 341.3.1. Formas normalesEn lgica matemtica es muy importante el poder transformar frmulas de una forma a otra,especialmente a las denominadas formas normales. Para lograr estas transformaciones de frmulas,se utiliza el concepto de equivalencias de frmulas.Denicin 1.20 Frmulas equivalentesLas frmulas G y H son equivalentes si los valores de verdad de G y H son los mismos bajo todaslas interpretaciones de estas frmulas.Por supuesto que nuestro inters no se limita a estudiar una simple clasicacin de los enun-ciados del lenguaje; pero tampoco intentamos internarnos en el fascinante mundo de la deduccinlgicasinantesestarsegurosdeconocerycomprenderalgunosconceptoselementales. Lasdosformas normales que nos interesa obtener y que son utilizadas en prueba mecnica de teoremas,son la forma normal conjuntiva y la forma normal disjuntiva.Denicin 1.21 Forma normal conjuntivaUna frmula G se dice que est en forma normal conjuntiva si y slo si G tiene la formaG= G1 G2 Gnn Ndonde cada una de las frmulasG1,G2, ...,Gn, se expresan como una conjuncin de literales.Ejemplo 1.42 Expresar la frmulaG= (Q P) (P Q)en forma normal conjuntiva.Solucin(Q P) (P Q)= (Q P) (P Q)= (Q P) (P Q)= (Q P) (P Q)= [Q (P Q)] [P (P Q)].Ejemplo 1.43 Expresar la frmulaG= (P Q) [(P Q) (Q P)]en forma normal conjuntiva.Solucin(P Q) [(P Q) (Q P)]= (P Q) (P Q)= [(P Q) (P Q)] [(P Q) (P Q)].Denicin 1.22 Forma normal disjuntivaUna frmula G se dice que est en forma normal disjuntiva si y slo G si tiene la formaG= G1 G2 Gnn Ndonde cada una de las frmulasG1,G2, ...,Gn, se expresan como una disjuncin de literales.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 35Ejemplo 1.44 Expresar la frmulaG= (Q P) (P Q)en forma normal disjuntiva.Solucin(Q P) (P Q)= (Q P) (P Q)Ejemplo 1.45 Expresar la frmulaG= (P Q) [(P Q) (Q P)]en forma normal conjuntiva.Solucin(P Q) [(P Q) (Q P)]= (P Q) (P Q)= [(P Q) (P Q)] [(P Q) (P Q)]= (P Q) (P Q)= (P Q) (P Q)Un hecho que es muyimportante anotar, es quecualquier frmula de lalgica proposicionalpuede ser transformada a una de las formas normales, utilizando las leyes de la lgica proposicional.1.3.2. Consecuencias lgicasDenicin 1.23 Consecuencia lgicaDadas las frmulasG1, G2, ..., Gny una frmula G, G se denomina consecuencia lgica deG1,G2, ..., Gnsi y slo si para cualquier interpretacin en la cual G1 G2 Gnes verdad, Gtambin lo esG1,G2, ...,Gnse denominan axiomas de G.Teorema 1.13 DadaslasfrmulasG1, G2,..., GnyunafrmulaG,Gesunaconsecuencialgica deG1,G2, ...,Gnsi y slo si la frmula(G1 G2 Gn) G es vlida.Demostracin SupongaqueGesunaconsecuencialgicadeG1, G2, ..., Gn. SeaIunainterpretacinar-bitraria. Si G1, G2, ..., GnsonverdaderosenI, entoncespordenicindeconsecuencialgicaGesverdaderoenI. Entonces (G1 G2 Gn) GesverdaderoenI. Porotraparte, siG1, G2, ..., GnsonfalsosenI, entonces (G1 G2 Gn) GesverdaderoenI. As, de-mostramos que (G1 G2 Gn) Ges verdaderobajocualquier interpretacin. Estoes,(G1 G2 Gn) G es una frmula vlida.Supongamos que (G1 G2 Gn) G es una frmula vlida. Para cualquier interpretacinI, si G1 G2 Gnes verdadero en I, G debe ser verdadero en I. Por consiguiente G es unaconsecuencia lgica deG1,G2, ...,Gn.Ejemplo 1.46 SeanG1P (Q R)G2(P S) RG QPruebe si G es consecuencia lgica deG1yG2.SolucinCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 36Debemosprobarquelafrmula [P (Q R)] [(P S) R] Q, esverdaderaofalsa,decir:[P (Q R)] [(P S) R] Q= [P (Q R)] [P S R] Q= [(P Q R) (P S R)] Q= (P Q R) (P S R) Q= (P Q R) (P Q R) S= V.Lo cual indica que G es consecuencia lgica deG1 yG2.Ejemplo 1.47 SeanG1P Q)G2Q RG3RG RPruebe si G es consecuencia lgica deG1,G2yG3.SolucinDebemos probar que la frmula[(P Q) (Q R) R] R, es verdadera o falsa, decir:[(P Q) (Q R) R] R= [(P Q) (Q R) R] R= (P Q) (Q R) (R R)= V.Lo cual indica que G es consecuencia lgica deG1,G2 yG3.Teorema 1.14 DadaslasfrmulasG1, G2,..., GnyunafrmulaG,Gesunaconsecuencialgica deG1,G2, ...,Gnsi y slo si la frmulaG1 G2 Gn G es inconsistente.DemostracinPorelteoremaanterior,GesunaconsecuencialgicadeG1, G2,..., Gnsiyslosilafrmula(G1 G2 Gn) G es vlida. As, G es una consecuencia lgica deG1,G2, ...,Gn si y slosi la negacin de(G1 G2 Gn) G es inconsistente[(G1 G2 Gn) G]= [(G1 G2 Gn) G]= (G1 G2 Gn) G= (G1 G2 Gn) G= G1 G2 Gn GPor lo tanto, concluimos que el teorema es verdadero.Ejemplo 1.48 SeanG1P (Q R)G2(P S) RG QPruebe si G es consecuencia lgica deG1yG2.SolucinCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 37Debemosprobarquelafrmula [P (Q R)] [(P S) R] Q,esverdaderaofalsa,decir:[P (Q R)] [(P S) R] Q= [(P Q R) (P S R)] Q= (P Q R) (P Q R) S= (P Q R) (P Q R) S= F.Lo cual indica que G es consecuencia lgica deG1 yG2.Ejemplo 1.49 SeanG1P Q)G2Q RG2RG RPruebe si G es consecuencia lgica deG1,G2yG3.SolucinDebemos probar que la frmula[P Q) (Q R) R] R, es verdadera o falsa, decir:[P Q) (Q R) R] R= (P Q) (Q R) (R R)= F.Lo cual indica que G es consecuencia lgica deG1,G2 yG3.1.3.3. Tarea1. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales lassiguientes frmulas::a) [P (P Q)] (P Q);b) (P Q) [(R P) Q];c) (R Q) (P Q R) (P Q R);d) (P Q) Q [(R Q) P].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .2. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales lassiguientes frmulas:a) (P Q) (R S) (P S);b) (P Q) (P R) R;c) (P Q) (P R) (Q S);d) (P Q) Q (P R);e) (P Q) (P R) (Q R);f ) [(P Q) (Q R) P] R.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) .3. Determine la validez o inconsistencia, luego transforme a una de sus formas normales lassiguientes frmulas:a) (P Q) Q [P (R S)];b) (P S) (P Q) [(S R) T] (Q R);c) P (Q P) [(Q R) S];CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 38d) (P Q) (R Q) (R S) [(S P) T];e) (P Q) [(P Q) (Q P)];f ) [P (Q R)] (Q R) [(S R) P] S.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) .4. Decir cual de los siguientes enunciados son consecuencia lgica:a)G1(P Q) R)G2S TG3U LG4P UG5S LG Rb)G1(P Q) RG2R SG3(P Q)G4(S T) UG Uc)G1(P Q) (R S)G2(P Q)G3(R S) (T U)G T UResp: a) ; b) ; c) .5. Losalumnossonestudiososolosestudiososreprueban. Si losestudiososreprueban, en-tonces los inteligentes son felices o los alumnos no son estudiosos. Los alumnos son estudiososy los inteligentes no son felices. No es verdad que los inteligentes son felices. Los estudiantesno reprueban?Resp: .6. Juego ftbol o estudio. Si paso el examen no estudio. Sucede que no voy a jugar ftbol.En consecuencia no pas el examen.Resp: .7. La lgica es fcil. Si el lgebra es hermosa, entonces la Lgica no es fcil o la Matemticaes la reina de las ciencias. El Algebra es hermosa. En consecuencia, la Matemtica es la reinade las ciencias.Resp: .8. Ayer no fue mircoles o maana no es martes. Hoy es jueves y ayer fue mircoles. Hoy eslunes si y slo si maana es martes. En consecuencia, hoy es lunes.Resp: .CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 399. LuisharunviajeaEuropasi lograterminarsucarrera. Luisterminasucarrera, ysihace un viaje a Europa, entonces no asiste a nuestra reunin anual. En consecuencia, Luisno asistir a nuestra reunin anual.Resp: .10. Si faltan ejercicios o encuentro premisas, entonces acabo la tarea. Si el libro est claro y nome falta creatividad, entonces encuentro premisas. No acabo la tarea. En consecuencia mefalta creatividad o el libro no est claro.Resp: .11. Si ganamosel campeonato, recibimosel premio. Si jugamosyganamosel campeonato,recibiremos el premio. Jugaremos y ganaremos el campeonato. En consecuencia, recibiremosel premio.Resp: .12. Repruebo el examen o sigo mis estudios. Si repruebo el examen, perder la beca y me irde la ciudad. No perder la beca o no me ir de la ciudad. Luego, seguire estudiando.Resp: .13. Los aviones son veloces o las diligencias respetan los semforos. Si los hombres vuelan y lasbicicletas no contaminan, entonces no es verdad que las diligencias respetan los semforos.Los hombres vuelas y las bicicletas no contaminan. En conclusin, los aviones son veloces.Resp: .1.4. Expresiones de la lgica de predicadosEl clculo proposicional es una teora de la lgica, completa y autnoma, pero totalmente inade-cuada para la mayor parte de las matemticas. El problema reside en que el clculo proposicionalno permite el uso de un nmero innito de proposiciones. Adems, la notacin es difcil para mane-jar un gran nmero nito de proposiciones.Por ejemplo, con frecuencia encontramos una sucesin innita de proposiciones P(x) con ndicesen N. La armacin informal P(x) es verdadera para todax signica P(0) es verdadera,P(1)es verdadera, P(2) es verdadera, etc. El nico simbolismo que podramos utilizar, segn el clculoproposicional seraP(0) P(1) P(2) ..., pero no es aceptable en el clculo proposicional.En forma similar, la armacin informal P(x) es verdadera para algunax correspondera alinaceptado P(0) P(1) P(2) .... Para darle la vuelta a este problema, necesitamos dos smbolosnuevos: uno que signique para todo y otro que signique para algn.Entonces necesitamos saber las reglas para utilizar los nuevos smbolos y combinarlos con losviejos. Este sistema de smbolos y reglas se llama clculo de predicados. Los nuevos smbolos queintroduciremos se llaman cuanticadores.Supongamosque P(x)/x UesunafamiliaconndicesenunconjuntoUquepuedeseinnito; el conjuntoUse llama el dominio de individuos o universo de individuos.Mediante la introduccin de existe ... es conrmada la existencia de por lo menos un elementodel conjunto base que satisface la forma proposicional dada. Esta proposicin es una proposicinexistencial.Proposicionesconlaformulacinunaparte,casitodo,lamayora,algunos,etc.,sonCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 40tambinproposicionesexistenciales.Cuandohablamosdeproposicionesexistenciales,nosreferi-mostambinaproposicionesparticulares, yaqueestasnosereerenatodosloselementosdelconjuntoquenosinteresa,sinosoloaunaparte.Enestecasodenominamosalacuanticacin,particularidad.De forma anloga, se denomina a las proposiciones en que aparece la formulacin para todos,proposiciones universales o generales, ya que estas se reeren a todos los elementos del conjunto devariables. Tal cuanticacin se denomina tambin generalizacin. La cuanticacin particularidady generalizacin son operaciones de la lgica de predicados.Partiendodelas formas proposicionales relacionadas previamenteconlos operadores, talescomoexiste..., paratodo..., noexisteningn..., hemosobtenidoproposicionesfalsasoverdaderas. Para estos operadores denominados tambin cuanticadores, se han introducido en lalgica matemtica signos especiales.El cuanticador existencial (particularizador) existe (por lo menos) un ... es simbolizado con?. Si el smbolo ? se encuentra ante una forma proposicionalP(x), esto quiere decir que existepor lo menos un elemento del conjunto fundamental que posee la propiedad reejada en la formaproposicionalP(x). Utilizamos las escrituras x P(x).La tachadura vertical o la relacin que se establece entre el smbolo y el smbolo ,, debeexpresar que no existe ningn elemento del conjunto fundamental que posea la propiedad indicadaen la forma proposicionalP(x).El cuanticador universal (operador universal, generalizador) para todo ... se representa conel smbolo. Si el smboloseencuentraanteunaformaproposicional P(x), estoquieredecirquelapropiedadreejadaenlaformaproposicional P(x)esaplicableparacadaelementodel dominio de individuos. El cuanticador universal forma pareja con una variable, x, signica,para todo x ....La tachadura vertical o la relacin que se establece entre el cuanticador universal y el smbolo, debe expresar que la propiedad reejada en P(x) no es aplicable para todos los elementos deldominio de individuos.Lalgicadepredicadosolgicadeprimergrado,nosenseaqueparalacuanticacinsloson admisibles las variables de individuos. Las variables de individuos cuanticados dejan de servariables libres para convertirse en variables ligadas. Para crear expresiones de la lgica de predi-cados utilizamos adems de los smbolos para las variables de individuos, constantes de individuos,variables predicativas, cuanticadores y los conectores de la lgica proposicional.En la lgica proposicional comprobamos el valor de verdad de una expresin mediante la susti-tucin de las variables de dicha expresin por sus valores de verdad, teniendo en cuenta las disposi-ciones correspondientes. El valor de verdad de una expresin de la lgica de predicados dependeno solo del cuanticador sino tambin de las variables de individuos y del conjunto de individuostomado como base, as como de la sustitucin o interpretacin de las variables predicativas.A la proposicin compuesta x P(x) se le asignan valores de verdad de la manera siguiente: x P(x) es verdadero siP(x) es verdadero para todax enU; en cualquier otro caso x P(x) esfalsaCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 41La proposicin compuesta x P(x) tiene los siguientes valores de verdad: x P(x) es verdadero siP(x) es verdadera para al menos unax enU; x P(x) es falso siP(x)es falsa para todax enUAnalicemoslaproposicin xP(x)demaneramsdetallada. LaexpresinP(x)sellamapredicado. Para formar una oracin hay que tener un sujeto. Por ejemplo, el predicado ... es maspoblada que Quito se transforma en la oracin Guayaquil es mas poblada que Quito al dar co-mo sujeto Guayaquil. Si llamamos Pal predicado la oracin podra escribirse como P(Guayaquil).Cada sujeto da una oracin.En nuestra lgica simblica dar un predicado es establecer una funcin que produce una proposi-cin siempre que le demos un elemento del dominio de individuos, esto es, una funcin proposicional- valuada con dominio de individuosU. Seguimos nuestra prctica usual y denotamos tal funcinporP(x). LavariablexenlaexpresinP(x)sellamavariablelibredel predicado. EntantoxvaraenUlosvaloresdeverdaddeP(x)puedenvariar. Encontraste, laproposicin xP(x)tieneunsignicadojoyunvalordeverdadquenovaraconx.Lavariablexen xP(x)sellama variable acotada; est acotada por el cuanticador . Como x P(x) tiene un signicado joy un valor de verdad sera intil y poco natural cuanticarla de nuevo. Esto es, sera vano intro-ducir x[ x P(x)] y x[ x P(x)] ya que sus valores de verdad son los mismos que los de x P(x).Podemos tambin considerar predicados que son funciones de ms de una variable, posiblementede ms de un dominio de individuos, y en tales casos el uso de varios cuanticadores resulta natural.Ejemplo 1.50 Conestosejemplosenmentevamosadarunadescripcinmsdetalladayformal. SeanU1, U2, ..., Unconjuntosnovacos. UnpredicadodenargumentossobreU1xU2x... xUnesunafuncinP(x1, x2, ..., xn)condominiodeindividuos U1xU2x... xUnylosvalores de la funcin son proposiciones. Las variables x1, x2, ..., xn para P(x1, x2, ..., xn) son todasvariables libres para el predicado y cada xj vara en su correspondiente dominio de individuos Uj. Eltrmino libre es la abreviacin de libre para sustitucin, queriendo decir que la variable xj estdisponible en caso de que queramos sustituir un valor particular deUjcada vez que aparezcaxj.Si sustituimosxjpor un valor, digamos que por ejemplo sustituimosx1 pora, enP(x1, x2, ..., xn)obtenemos el predicadoP(a, x2, ..., xn) que es libre en las restantesn 1 variablesx2, ...,xn peroya no lo es en x1. Al aplicar un cuanticador xj o xj a un predicado P(x1, x2, ..., xn) obtenemosun predicado xjP(x1, x2, ..., xn) o xjP(x1, x2, ..., xn) cuyos valores dependen nicamente de lasrestantes n1 variables. Decimos que el cuanticador liga la variable xj, haciendo que xjsea unavariable acotada para el predicado. Al aplicar n cuanticadores, uno para cada variable, obtenemosque todas las variables estn acotadas y obtenemos una proposicin cuyo valor de verdad puededeterminarse aplicando las reglas para x y x, para los dominios de individuosU1,U2 , ...,Un.Ejemplo 1.51 Anteriormente notamos que un predicado den argumentos se transforma enun predicado de(n 1) argumentos cuando se liga una de las variables con un cuanticador. Suvalordeverdaddependedelosvaloresdeverdaddelasrestantes (n 1)variableslibresyenparticular no depende de qu nombre elijamos para llamar la variable acotada. De esta manera siP(x)espredicadodeunargumentocondominiodeindividuosU,entonces xP(x), yP(y)yzP(z) tienen todas el mismo valor de verdad, es decirP(n), es verdadero para todan enUyfalso en cualquier otro caso. De manera semejante, siQ(x, y) es un predicado de dos argumentoscon dominio de individuosUyV , entonces yQ(x, y), tQ(x, t) y sQ(x, s) describen todas elmismo predicado de un argumento, a saber, el predicado que es verdadero para unax dada enUsi y slo si Q(x, V ) es verdadero para alguna Ven Vque es el dominio de la segunda variable. Porotro lado, el predicado xQ(x, x), no es el mismo que los tres ltimos. La diferencia consiste enCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 42que el cuanticador en este caso liga las dos variables libres.Otra prctica comn es dar una descripcin del dominio de individuos justo despus de la variablecuanticada. Porejemplo, enlugardeseaRel dominiodeindividuos... xP(x)podramosescribi x R P(x). De manera similar, x R n P(xn> x) se lee como hay un nmero realx tal que para todan en P,xn> x o como hay un nmero realx tal quexn> x para todan enP.1.4.1. Leyes de la lgica de predicadosLas ideas de demostracin y de teorema que se discuti para el clculo proposicional, puedenextenderse al mbito del clculo de predicados. No es sorprendente que con ms expresiones posi-blestengamostambinmayorescomplicaciones. Unarelacinmoderadamentecompletadeestetema puede formar una parte sustancial de otro libro. En esta seccin nos limitaremos a discutiralgunasdelasms bsicas ytilesconexionesentreloscuanticadoresylosoperadores lgicos.Enel captuloanteriorutilizamoslaexpresinproposicincompuestademanerainformal paradescribir proposiciones construidas a partir de proposiciones ms simples.Las leyes de la lgica de predicados que no se pueden obtener por medio de la sustitucin delas leyes de la lgica proposicional, son por ejemplo:1. x P(x) P(a)xP(x) P(a) pruebaque, si cadaindividuodeunconjuntoposeeunadeterminadapropiedad P, entonces existe tambin un individuo determinado a que posee esta propiedad.2. P(a) x P(x)P(a) xP(x)pruebaque, si unindividuodeterminadodeunconjuntodeindividuosposee una determinada propiedadP, existe entonces, por lo menos un individuo a con estapropiedad.Toda expresin de la lgica proposicional con validez general puede convertirse en una expresinde la lgica de predicados con validez general, pero el recproco es falso.Podramos intentar obtener, por medio de la ssustitucin de una expresin de la lgica proposi-cional satisfactible sin validez general, una expresin de la lgica de predicados igualmente satis-factible, pero sin validez general. Pongamos por ejemplo en la neutralidad de la lgica proposicionalP Q para la variable proposicionalP = x[P(x) P(x)]y paraQ= x[P(x) P(x)]de esta forma obtenemos la expresinx[P(x) P(x)] Q= x[P(x) P(x)].Esta expresin es una contradiccin.Porelcontrarioresultaque:Todaexpresindelalgicaproposicional,noejecutable,satis-factible, es tambin una expresin de la lgica de predicados, no ejecutable, satisfactible.Algunas equivalencias de la lgica de predicados, que expresan la relacin que se establece entrelos cuanticadores y reciben especial atencin. Una equivalencia de la lgica de predicados tieneCAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 43tanta validez general como una equivalencia de la lgica proposicional, si coinciden en cada casolos valores de verdad de ambos trminos en iguales sustituciones de sus variables.Se obtiene una proposicin verdadera en cada sustitucin de las variables del dominio, a partirde un conjunto no vaco dado, y en cada sustitucin de las variables del predicado P. Esta expre-sin es una forma, en la lgica de predicados del conocido teorema del tercer excluido de la lgicaproposicional.Las identidades de la lgica de predicados (leyes) se pueden obtener de las identidades lgicasproposicionales si las variables son sustituidas por formas proposicionales de la lgica de predicadosen las expresiones de la lgica proposicional correspondiente.Enmuchoscasosnosencontramosqueestasexpresionestienenqueverconformasproposi-cionales, que se han obtenido mediante la combinacin de dos o ms proposiciones como dos formasproposicionales. La traduccin de expresiones de la lgica de predicados en el lenguaje comn esgeneralmentemsfcil quelatraduccinendireccincontraria. Sobretodoexistendicultadescuando se presentan, por ejemplo, dos o ms operadores.Teorema 1.15 Las siguientes equivalencias son vlidas:x yP(x, y)= y x P(x, y) y x yP(x, y)= y x P(x, y)DemostracinParademostrarque x yP(x, y) = y xP(x, y)esunatautologa,debemosrevisarqueestaproposicinesverdaderaparatodoslosdominiosdel discursoposibles. Porladenicinde ,necesitamos revisar solamente que y xP(x, y) es verdadera para un dominio dado si y slo six yP(x, y) es verdadera para ese dominio.Supongamosque x y P(x, y)tienevalorverdadero. Entonces y P(x0, y)esverdaderaparaalgunax0 en el universo, por lo tantoP(x0, y0) es verdadera para algunay0 en el dominio. De ahque x P(x, y0) es verdadera y por lo tanto y x P(x, y) es verdadera. La implicacin en la otradireccin es similar.Msan,lasdosproposiciones x yP(x, y)y y xP(x, y)sonlgicamenteequivalentesalaproposicin (x, y) P(x, y) donde (x, y) vara sobre D1 x D2, con D1 y D2 los dominios del discursode las variablesx ey respectivamente.Teorema 1.16 Es vlida la siguiente identidad:x yP(x, y)= y x P(x, y)DemostracinParapoderdemostraresteteorema, asumimosquesi laparteizquierdadeestaproposicinesverdaderoentoncesexistex0enel dominiodediscursotal que y P(x0, y)esverdaderoyasP(x0, y)esverdaderoparatoday.Porlotanto,paracaday, xP(x, y)esverdadero;dehechola mismax0sirve para cada y. Como xP(x, y) es verdadero para toda y, el lado derecho de laproposicin tiene valor de verdad verdadero. De esta manera la proposicin es una tautologa.Por otra parte el recproco de esta proposicin, es decir y xP(x, y) = x yP(x, y) no es engeneral verdadero. Para enfatizar la diferencia, supongamos quex ey varan sobre un dominioDde tres elementos, digamos D = a, b, c. El predicado de 2 argumentos P(x, y) tiene nueve posiblesvalores;P(a, a); P(a, b); P(a, c); P(b, a); P(b, b); P(b, c); P(c, a); P(c, b); P(c, c).CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 44Entonces x yP(x, y) es verdadero si yP(x0, y) es verdadero para algunax0. Comox0tieneque ser igual a a, b o c vemos que x yP(x, y) es verdadero si y slo si todas las proposiciones deuna de las las dadas arriba son verdaderas. En contraste, y x P(x, y) sera verdadera siempreque al menos una proposicin de cada columna sea verdadera.Por ejemplo si consideramos un predicadoP(x, y) con valores de verdadP(a, a) P(a, b) P(a, c) P(b, a) P(b, b) P(b, c) P(c, a) P(c, b) P(c, c)V F F F F V F V Ventonces y xP(x, y)serverdaderaentantoque x yP(x, y)serfalsa.ParaestaeleccindepredicadoP(x, y), xP(x, y)esverdaderaparatodayperolaxadecuadadependedelay,ningunax nica sirve para today.Teorema 1.17 Las identidades siguientes son vlidas:x P(x)= x [P(x)]; x P(x)= x [P(x)];x P(x)= x [P(x)]; x P(x)= x [P(x)].Ejemplo 1.52 Las leyes de DeMorgan pueden utilizarse repetidamente para negar cualquierproposicin cuanticadaw x y zP(w, x, y, z)es sucesivamente lgica equivalente aw[x y zP(w, x, y, z)]; w x[y zP(w, x, y, z)];w x y[zP(w, x, y, z)]; w x y z[P(w, x, y, z)];Esto ilustra la regla general: La negacin de un predicado cuanticado es lgicamente equiva-lente a la proposicin que se obtiene al sustituir cada por y cada por y reemplazando elmismo predicado por su negacin.Ejemplo 1.53 La negacin dex y z(x < z< y) es x y z[(x < z< y)].Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negacin es lgicamente equivalente ax y z[(z x) (z y)]Ejemplo 1.54 La negacin dex y(x < y x2< y2) es x y[(x < z x2< y2)].Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negacin es lgicamente equivalente ax y[(x < y) (x2 y2)]CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 451.4.2. Interpretacin de frmulas en la lgica de predicadosEn la lgica proposicional una interpretacin es una asignacin de valores de verdad a tomos.En la lgica de predicados, puesto que hay variables involucradas, hay que hacer ms que eso. Paradenir una interpretacin para una frmula en la lgica de predicados, tenemos que especicar doscosas, el dominio y una asignacin a constantes, smbolos de funcin y smbolos de predicado queocurren en la frmula. A continuacin se da la denicin formal de interpretacin de una frmulaen la lgica de predicados.Denicin 1.24 Interpretacin de una frmulaUnainterpretacindeunafrmulaGenlalgicadepredicados, consictedeundominioDnovaco, y una asignacin de valores a cada constante, smbolos de funcin, y smbolos de predicadoque ocurre en G de la siguiente manera:1. A cada constante asignamos un elemento en D;2. A cada smbolo de funcin asignamos una aplicacin de Dna D, Dn= x1, x2, ..., xn D3. A cada smbolo de predicado asignamos una aplicacin deDna V, F.Algunas veces para enfatizar el dominio D, hablaremos de una interpretacin de la frmula sobreD. Cuando evaluamos el valor de verdad de una frmula en una interpretacin sobre el dominioD, x ser interpretada como para todos los elementosx en D, y x como hay un elemento enD. Para cada interpretacin de una frmula sobre un dominio de individuos D, la frmula puedeser evaluada a V o F de acuerdo a las siguientes reglas:1. Si los valores de verdad de las frmulas H y G son evaluadas, entonces los valores de verdadde las frmulas H, H G, H G, H G, H G son evaluadas de la siguiente manera:H GH H G H G H G H GV V F V V V VV F F V F F FF V V V F V FF F V F F V V2. x H es evaluada a V si el valor verdadero de H es valuado a V para cadad D, de otramanera es evaluado a F.3. x H es evaluado a V si el valor de verdad de H es V para por lo menos und D, de otramanera es evaluada a F.Sepuedenotar fcilmentequecualquier frmulaconteniendovariables libres nopuedeserevaluada. En adelante asumiremos, ya sea que las frmulas no contienen variables libres o que lasvariables son tratadas como constantes.Ejemplo 1.55 Considere la frmula x yP(x, y), D = 1, 2P(1, 1)= V ; P(1, 2)= F; P(2, 1)= F; P(2, 2)= V.Si x=1, podemosverquehayunytal queP(1, y)esverdadero. Si x=2haytambinunydenominado 2 tal que P(2, y) es verdadero, por consiguiente en las interpretaciones de arriba, paracadaxenDhayunytal queP(x, y)esverdadero, estoes x yP(x, y)esverdaderoenestainterpretacin.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 46Ejemplo 1.56 Considere la frmula x [P(x) Q(f(x), k)]. Hay una constante k, un smbolode funcinfde un lugar, un smbolo de predicado P de un lugar, y un smbolo de predicado Q dedos lugares. La siguiente es una interpretacin I. Dominio D = 1, 2.Asignacin parak:a = 1.Asignacin paraf:f(1) = 2;f(2) = 1.Asignaciones para P y Q:P(1) = F; P(2) = V ; Q(1, 1) = V ; Q(1, 2) = V ; Q(2, 1) = F; Q(2, 2) = V.Six = 1, entoncesP(x) Q(f(x), k) = P(1) Q(f(1), k) = P(1) Q(2, 1) = F F= V.Six = 2, entoncesP(x) Q(f(x), k) = P(2) Q(f(2), k) = P(2) Q(1, 1) = V V= V.Puesto queP(x) Q(f(x), k) es verdadero para todos los valores dex en D, la frmulax [P(x) Q(f(x), k)]es verdadera bajo las interpretaciones I.Ejemplo 1.57 Evaluarlosvaloresdeverdaddelassiguientesfrmulasbajolasinterpreta-ciones dadas en el ejemplo anterior.1. x [P(f(x)) Q(x, f(k))];2. x [P(x) Q(x, k)];3. x y[P(x) Q(x, y)].Para 1): Six = 1, entoncesP(f(x)) Q(x, f(k)) = P(f(1)) Q(1, f(1)) = P(2) Q(1, f(1)) = P(2) Q(1, 2) = V V= V.Six = 2, entoncesP(f(x)) Q(x, f(k)) = P(f(2)) Q(2, f(1)) = P(1) Q(2, 1) = F F= F.Puesto que hay un elemento en el dominio D, esto es x = 1 tal que P(f(x))Q(x, f(k)) es verdadero,el valor de verdad de la frmula x [P(f(x)) Q(x, f(k))] es verdadera bajo la interpretacin I.Para b): Six = 1, entoncesP(x) Q(x, k) = P(1) Q(1, 1) = F V= F.Six = 2, entoncesP(x) Q(x, k) = P(2) Q(2, 1) = V F= F.Puesto que no hay elemento en el dominio D tal queP(x) Q(x, k) sea verdadero, la frmulax [P(x) Q(x, k)]es evaluada a falsa bajo la interpretacin I.Para c): Six = 1, entoncesP(x) = P(1) = F.Por consiguienteP(x) Q(x, y) = Fparay= 1 ey= 2. Puesto que existe unx, que esx = 1, lafrmula y[P(x)Q(x, y)] es falsa, la frmula x y[P(x)Q(x, y)] es falsa bajo la interpretacinI, esto es, la frmula es falsicada por I.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 47Denicin 1.25 Frmula consistenteUnafrmulaGesconsistente(satisfactible)siyslosiexisteunainterpretacinItal queGesevaluada verdadero en I. Si una frmula G es verdadera en una interpretacin I, decimos que I esun modelo de G e I satisface a G.Denicin 1.26 Frmula vlidaUna frmula G es vlida si, y slo si cada interpretacin de G satisface a G.Denicin 1.27 Frmula inconsistenteUnafrmulaGes inconsistente(insatisfactible) si yslosi, noexisteunainterpretacinquesatisface a G.Las relaciones entre validez (inconsistencia) y consecuencias lgicas, como se indica en la lgicaproposicional, son tambin verdaderas para la lgica de predicados. En efecto, la lgica de predica-dos puede ser considerada como una extensin de la lgica proposicional. Cuando una frmula enla lgica de predicados no contiene variables y cuanticadores, puede ser tratada justo como unafrmula en la lgica proposicional.Ejemplo 1.581. x P(x) y P(y) es inconsistente;2. x P(x) yP(y) es vlido;3. P(k) x P(x) es consistente;4. x P(x) y P(y) es vlido.En la lgica de predicados, puesto que hay un nmero innito de elementos en el dominio D, engeneral, hay un nmero innito de interpretaciones de una frmula. Por consiguiente al contrario dela lgica proposicional, no es posible vericar la validez e inconsistencia de una frmula, evaluandola frmula bajo todas las posibles interpretaciones.1.4.3. Forma normal prenexaEn la lgica proposicional hemos introducido dos formas normales, la forma normal conjuntivaylaformanormal disjuntiva. Enlalgicadepredicadoshayunaformanormal llamadaformanormal Prenexa. La razn para considerar una forma normal Prenexa de una frmula es simplicarprocedimientos de prueba.Denicin 1.28 Forma normal prenexaUna frmula G en la lgica de predicados se dice que es una forma normal Prenexa si y slo si, lafrmula G est en la forma(Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn)(M)dondecada(Qixi), i =1, 2, ..., nyasea xio xi, yMesunafrmulaquenocontienecuan-ticadores, (Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn)esllamadael prejoyMesllamadalamatrizdelafrmulaG.Dada una frmula G, consideraremos un mtodo de transformarla en una forma normal Prenexa.Esto se logra primero considerando algunos pasos bsicos de frmulas equivalentes en la lgica depredicados. Recordemos que dos frmulas G y H son equivalentes si, y slo si los valores de verdadde G y H son los mismos bajo cada interpretacin.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 48Los pares bsicos de frmulas equivalentes dadas en la lgica proposicional son todava verdadpara la lgica de predicados, adicionalmente hay otros pares de frmulas equivalentes conteniendocuanticadores, y que se estudiaron en secciones anteriores. Consideraremos estos pares adicionalesde frmulas equivalentes.Sea G una frmula que contiene una variable libre x, para enfatizar que la variable libre est enG, representamos G por G[x]. Sea H una frmula que no contiene variable x, tenemos los siguientespares de frmulas equivalentes, donde Q es ya sea o :1. (Qx)G[x] H = (Qx)(G[x] H);2. (Qx)G[x] H = (Qx)(G[x] H);3. (xG[x])= x(G[x]);4. (xG[x])= x(G[x]).Lasleyes1y2sonobviamenteverdaderaspuestoqueHnocontienex, porconsiguientepuede ser introducida enel alcance del cuanticador Q. Lasleyes 3 y 4 no son difciles deprobar. Sea I cualquier interpretacin arbitraria sobre el dominio D.Si (xG[x])esverdaderaenI,entonces xG[x]esfalsaenI.EstosignicaquehayunelementodenDtal queG[d] esfalso. Estoes G[d] esverdaderoenI. Porconsiguiente,x (G[x]) es verdadera en I. Por otra parte si (x G[x]) es falsa en I, entonces x G[x] esverdadera en I. Esto signica que G[x] es verdadera para cada elemento x en D, esto es G[x]es falso para cada elementox en D, por consiguiente, x(G[x]) es falsa en I. Puesto que(xG[x]) y x(G[x]) siempre asume el mismo valor de verdad para cada interpretacinarbitraria, pordenicin, (xG[x]) = x(G[x]). As laley3esprobadaeigualmentepodemos probar la ley 4.Supongamos queF[x] yG[x] son dos frmulas que contienenx,5. x F[x] x G[x]= x (F[x] G[x])6. x F[x] x G[x]= x (F[x] G[x])Estoes, el cuanticador universal yel existencial , puedendistribuirsesobre y ,respectivamente. Sin embargo el cuanticador universal y existencial no pueden distribuirsesobre y respectivamente. Esto esx F[x] x G[x] ,= x (F[x] G[x])x F[x] x G[x] ,= x (F[x] G[x])Para casos como estos tenemos que hacer algo especial. Puesto que cada variable ligada enunafrmulapuedeserconsideradacomounavariablerenombrable,cadavariablexpuedeser renombradaz, y la frmula x G[x] se transforma en zG[z].Supongamos que escogemos la variablez que no aparece enF[x]. Entoncesx F[x] x G[x]= x F[x] zG[z]= xz(F[x] G[z])Similarmente, renombrando todas lasx que ocurren en x G[x] comoz, podemos tenerx F[x] x G[x]= x F[x] zG[z]= xz(F[x] G[z])CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 49Por consiguiente, para estos dos casos podemos todava pasar todos los cuanticadores a laizquierda de la frmula. En general, tenemos7. (Q1x)F[x] (Q2x)G[x]= (Q1x)(Q2x)(F[x] G[z])8. (Q3x)F[x] (Q4x)G[x]= (Q3x)(Q4x)(F[x] G[z])dondeQ1,Q2,Q3 yQ4 son ya sea o , yz no aparece enF[x].Naturalmente si Q1=Q2= yQ3=Q4= , entonces no tenemos que renombrar lasx en(Q2x)G[x] o(Q4x)G[x]. Podemos usar las leyes 5 y 6 directamente. Usando las leyes de la lgicaproposicional y las leyes 1 - 8, podemos siempre transformar una frmula dada en forma normalPrenexa.La siguiente es una gua del procedimiento de transformacin:PASO 1: Use las leyes1. F G= (F G) (G F);2. F G= F G;Para eliminar las conectividades lgicas y .PASO 2: Repetidamente use las leyes3. (F)= F;4. (F G)= F G;5. (G G)= F G;6. (x F[x])= x (F[x]);7. (x F[x])= x (F[x]);para traer los signos de negacin inmediatamente antes de los tomos.PASO 3: Renombrar las variables ligadas si es necesario.PASO 4: Use las leyes8. (Qx)F[x] G= (Qx)(F[x] G);9. (Qx)F[x] G= (Qx)(F[x] G);10. x F[x] x G[x]= x (F[x] G[x]);11. x F[x] x G[x]= x (F[x] G[x]);12. (Q1x)F[x] (Q2x)G[x]= (Q1x)(Q2x)(F[x] G[z]);13. (Q3x)F[x] (Q4x)G[x]= (Q3x)(Q4x)(F[x] G[z]).paramoverloscuanticadoresalaizquierdadelafrmulayobtenerunaformanormalPrenexa.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 50Ejemplo 1.59 Transformar la frmula x P(x) x Q(x) en forma normal prenexa.Solucinx P(x) x Q(x)= x P(x) x Q(x)= xP(x) x Q(x)= x [P(x) Q(x)].Ejemplo 1.60 Transformarlafrmula x y z [P(x, z) P(y, z)] uQ(x, y, u)enforma normal Prenexa.Solucinx yz[P(x, z) P(y, z)] u Q(x, y, u)= x yz[P(x, z) P(y, z)] u Q(x, y, u)= x yz [P(x, z) P(y, z)] u Q(x, y, u)= x y z u P(x, z) P(y, z) u Q(x, y, u).1.4.4. Tarea1. Sea A = 1, 2, 3, 4 el conjunto universal. Determine el valor de verdad de cada enunciado:a) x : x + 3 < 6; b) x : x210 8; c) x : x2> 1 x + 2 = 0;d) x : 2x2+x = 15.Resp: a) Falso; b) Verdadero; c) Verdadero; d) Falso.2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo N el universo:a) x y(2y= x); b) y x (2x = y); c) x y(2x = y);d) y x (2y= x); e) x y[(2y= x)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo:a) x y(xy= 1); b) x y[(x + y)2= x2+ y2]; c) x y(x2+ y2+ 1 = 2xy);d) x y[(x + 2y= 4) (2x y= 2)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo:a) x R x2 x; b) x R 2x = x; c) x R2x14x2=12;d) x R x2+ 2x + 1 0.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .5. Negar los siguientes enunciados:a) yp(y)x(q(x)); b) x(p(x)) x q(x); c) x y(p(x, y) q(x, y)).Resp: a) yp(y) x q(x); b) x p(x) x(q(x)); c) y(p(x, y) q(x, y)).6. Negar las siguientes armaciones:a) x y[(x +y es impar) (x es impar y es impar)];b) x y(x +y= 5 y= x); c) x y(x < y x2 y);d) x y z(x < y x +z= y).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .7. Averiguar el valor de verdad siendo U= R:a) x R (x < 0 x < 3); b) x R (x2 0 x4= x3);c) x R, y R (x2+y2= 1); d) x R, y R (y< x 2y< 10).Resp: a) Verdadero; b) Verdadero; c) Falso; d) Falso.CAPTULO 1. LGICA MATEMTICA 518. Considere el universo U de todos los profesores de ciencias bsicas. Sea P(x) el predicadoax le gusta la lgica matemtica:a) Exprese la proposicin no a todos los profesores de ciencias bsicas les gusta la lgicamatemtica, utilizando smbolos de la lgica de predicados;b) Hagalomismoparaatodoslosprofesoresdecienciasbsicasnolesgustalalgicamatemtica;c) Escriba el signcado de x P(x)= x [P(x)] para U y P(x);d) Haga lo mismo con x P(x)= x [P(x)].Resp: a) ; b) ; c) ; d) .9. Escriba la negacin de las siguientes frmulas:a) x P(x, x) [y z P(y, z) x P(x, x)];b) x y x P(f(x, y), y) [x P(f(x, y), y) z[f(z, x) = y];c) x [P(x) Q(x)] [x P(x) x Q(x)];d) x yP(x, y) yP(f(x, y), y);e) x yP(x, y) yP(y, y);f ) x [y x P(x, y) Q(x)] [y x P(x, y) Q(f(y, y))].Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) .10. Considere la siguiente interpretacin:D = 1, 2.Asignaciones a las constantesk yt:k = 1 yt = 2.Asignaciones para la funcinf:f(1) = 2 yf(2) = 1.Asignaciones para el predicadoP:P(1, 1) = V ;P(1, 2) = V ;P(2, 1) = F;P(2, 2) = F.Evale el valor de verdad de las siguientes frmulas en cada interpretacin:a) P(k, f(k)) P(t, f(t)); b) x yP(y, x); c) x y[P(x, y) P(f(x), f(y))].Resp: a) ; b) ; c) .11. Dadas las siguientes frmulas, hallar la correspondiente forma normal prenexa:a) x y[P(x, y) P(y, x)]; b) x y [P(x) P(y)] x = y;c) x y(x = y) [x P(x) x P(x)].Resp: a) ; b) ; c) .12. Escriba la negacin de las siguientes frmulas:a) x [P(x) Q(x)] [x P(x) x Q(x)];b) x yP(x, y) yP(f(x, y), y);c) x yP(x, y) yP(y, y);d) x [y x P(x, y) Q(x)] [y x P(x, y) Q(f(y, y))];e) x [P(x) Q(x)] [P(x) Q(x)];f ) x yP(f(y, x), x) yP(f(y, f(z, x)), f(z, x));g) x P(x, x) [y z P(y, z) x P(x, x)];h) x y x P(f(x, y), y) [x P(f(x, y), y) z[f(z, x) = y].Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) .Captulo 2Teora de conjuntos2.1. ConjuntosCasi todos los objetos matemticos sonante todoconjuntos, independientemente de otrapropiedad adicional que posean. Por consiguiente, la teora de los conjuntos es, en cierto sentido,la base sobre la cual se construye toda la matemtica. A pesar de esto, la teora de los conjuntos,se aprende, y se usa fcilmente.Denicin 2.1 ConjuntoUnconjuntoescualquiercoleccinbiendenidadeobjetosllamadoselementosomiembrosdelconjunto.Se usan letras maysculas comoA,B,C, ..., para indicar conjuntos y letras minsculas comoa,b,c, ..., para indicar miembros o elementos de los conjuntos.Ejemplo 2.1 Son ejemplos de conjuntos, los siguientes:a. Las letras de alfabeto.b. Los nmeros pares.c. Los miembros de un equipo de ftbol.A continuacin se enuncian las siguientes condiciones para denir un conjunto:1. Los elementos que forman el conjunto han de ser entes bien denidos.2. Para cada uno de estos elementos no hay otra alternativa que la de pertenecer o no al conjunto.3. Para cada par de elementos a considerar no hay otra alternativa que la de estar formado o nopor elementos distintos.2.1.1. Formas de expresar un conjuntoHay dos caminos para denir o determinar un conjunto, mtodos que los lgicos designan porextensin y por comprensin.Por extensinPara expresar que el conjuntoS consta de los elementosa,b,c, escribiremosS= a, b, c, conello damos la extensin del conjunto S al enunciar cada uno de los elementos que lo componen. Esdecir, se declara individualmente todos los elementos del conjunto.52CAPTULO 2. TEORA DE CONJUNTOS 53Por comprensinPor otra parte, los conjuntos innitos slo pueden denirse por comprensin, es decir, dandoun criterio que permita reconocer para cada ente arbitrario, si pertenece o no al conjunto. Es decir,se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.2.2. Conjuntos nitos e innitos2.2.1. Conjunto nitoDenicin 2.2 Conjunto nitoAquel conjuntoqueconstadeciertonmerodeelementosdistintoscuyoprocesodeconteotienelmite, se denomina conjunto nito.Ejemplo 2.2 SeaA = x/x = provincias de EcuadorQue se lee A es el conjunto de las x, tales que x son las provincias de Ecuador. A es un conjuntonito porque si es posible contar todas las provincias de Ecuador.2.2.2. Conjunto innitoDenicin 2.3 Conjunto i