algebra problemas

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Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales. Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra Capítulo 1: Espacios vectoriales. 1. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R 3 es subespacio vectorial: (a) S 1 = f(x; y; z ) 2 R 3 : x =0g; (b) S 2 = f(x; y; z ) 2 R 3 : x ¡ 3y +2 z =0g (c) S 3 = f(x; y; z ) 2 R 3 : x =3 y = ¡z g; (d) S 4 = f(x; y; z ) 2 R 3 : x = y ó y = zg (e) S 5 = f(x; y; z ) 2 R 3 : y +2x =0;z =5 xg; (f ) S 6 = f(x; y; z ) 2 R 3 : x 2 ¡ y 2 =0g (g) S 7 = f(x; y ; z ) 2 R 3 : x ¡ y =1 g; (h) S 8 = f(x; y; z ) 2 R 3 : xy =0g: (a) Para ver si S 1 es subespacio vectorial, tenemos que probar que u + v 2 S 1 ; 8u; v 2 S 1 y que ¸u 2 S 1 ; 8u 2 S 1 : Sean pues u; v 2 S 1 : Por pertenecer a S 1 ; deben ser de la forma u = (0;y 1 ;z 1 ) ;v = (0;y 2 ;z 2 ) : Por tanto u + v = (0 ;y 1 ;z 1 ) + (0;y 2 ;z 2 ) = (0;y 3 ;z 3 ) ; ¸u = ¸ (0;y 1 ;z 1 )= ¸ (0 ;¸y 1 ;¸z 1 ) ; y por tanto, S 1 es subespacio vectorial. (b) Usando la misma técnica que en el apartado anterior, tenemos para w = u + v =(x 1 + x 2 ;y 1 + y 2 ;z 1 + z 2 ) que; x 1 + x 2 ¡ 3(y 1 + y 2 )+2z 1 +2z 2 = x 1 ¡ 3y 1 +2z 1 + x 2 ¡ 3y 2 +2z 2 =0+0=0; ¸x 1 ¡ 3¸y 1 +2¸z 1 = ¸ (x 1 ¡ 3 y 1 +2 z 1 )=0: (c) Este conjunto tambien es subespacio y de hecho es la forma continua de una recta. (d) Este conjunto no es un subespacio lineal. Vamos a buscar un contraejemplo. Los vectores (1; 1; 0) y (0; 1 ; 1) pertenecen a S 4 ; pero su suma (1 ; 1; 0)+(0; 1 ; 1) = (1; 2; 1) ; no pertenece al conjunto. (e) En este caso, nos estan dando una recta de forma implicita. (f) De nuevo no es subespacio, y vamos a buscar un contrejemplo. Los vectores que nos sirven en este caso son el (1; 1) y el (¡1; 1) que pertenecen al subespacio, pero cuya suma, (0; 1) ; no. (g) Este conjunto es un subespacio ya que es la forma implicita de un plano. (h) Aquí nos encontramos con un conjunto que no es subespacio ya que los vectores (1; 0) y (0; 1) pertenecen al conjunto y su suma no 2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R 3 : (a) u 1 = (1; ¡1; 0); u 2 = (1 ; 3; ¡1) ; u 3 = (5; 3; ¡2): Calculemos su determinante. Tenemos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 5 ¡1 3 3 0 ¡1 ¡2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =0 luego son linealmente dependientes. Para calcular una base del subespacio, simplemente tenemos que tomar el menor A = μ 1 1 ¡1 3 , cuyo determinante es distinto de cero. Por 1

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Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

Facultad de Ciencias Químicas

Departamento de Matemáticas

Álgebra

Capítulo 1: Espacios vectoriales.

1. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R3 es subespacio vectorial:(a) S1 = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g; (b) S2 = f(x; y; z) 2 R3 : x¡ 3y + 2z = 0g(c) S3 = f(x; y; z) 2 R3 : x = 3y = ¡zg; (d) S4 = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ó y = zg(e) S5 = f(x; y; z) 2 R3 : y + 2x = 0; z = 5xg; (f ) S6 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 ¡ y2 = 0g(g) S7 = f(x; y; z) 2 R3 : x ¡ y = 1g; (h) S8 = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g:

(a) Para ver si S1 es subespacio vectorial, tenemos que probar que u + v 2 S1; 8u; v 2 S1 yque ¸u 2 S1; 8u 2 S1: Sean pues u; v 2 S1: Por pertenecer a S1; deben ser de la formau = (0; y1; z1) ; v = (0; y2; z2) : Por tanto

u+ v = (0; y1; z1) + (0; y2; z2) = (0; y3; z3) ;¸u = ¸ (0; y1; z1) = ¸ (0; ¸y1; ¸z1) ;

y por tanto, S1 es subespacio vectorial.(b) Usando la misma técnica que en el apartado anterior, tenemos para

w = u + v = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2)que;x1 + x2 ¡ 3 (y1 + y2) + 2z1+ 2z2 = x1 ¡ 3y1 + 2z1 + x2 ¡ 3y2 + 2z2 = 0 +0 = 0;

¸x1 ¡ 3¸y1 + 2¸z1 = ¸ (x1 ¡ 3y1 + 2z1) = 0:(c) Este conjunto tambien es subespacio y de hecho es la forma continua de una recta.(d) Este conjunto no es un subespacio lineal. Vamos a buscar un contraejemplo. Los vectores

(1; 1; 0) y (0; 1; 1) pertenecen a S4; pero su suma (1; 1; 0)+(0; 1; 1) = (1; 2; 1) ; no perteneceal conjunto.

(e) En este caso, nos estan dando una recta de forma implicita.(f) De nuevo no es subespacio, y vamos a buscar un contrejemplo. Los vectores que nos sirven

en este caso son el (1; 1) y el (¡1; 1) que pertenecen al subespacio, pero cuya suma, (0; 1) ;no.

(g) Este conjunto es un subespacio ya que es la forma implicita de un plano.(h) Aquí nos encontramos con un conjunto que no es subespacio ya que los vectores (1; 0) y

(0; 1) pertenecen al conjunto y su suma no2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R3:

(a) u1 = (1;¡1; 0); u2 = (1; 3;¡1); u3 = (5; 3;¡2):Calculemos su determinante. Tenemos¯̄

¯̄¯̄1 1 5¡1 3 30 ¡1 ¡2

¯̄¯̄¯̄ = 0

luego son linealmente dependientes. Para calcular una base del subespacio, simplemente

tenemos que tomar el menor A =µ

1 1¡1 3

¶, cuyo determinante es distinto de cero. Por

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Page 2: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

tanto u1 y u2 son l.i. y forman base del subespacio. Podemos completar esta base a una deR3 si le añadimos el vector e3 = (0; 0; 1) ; ya que el determinante de la nueva matriz es el delmenor A: Para encontrar las ecuaciones cartesianas, solo tenemos que buscar los vectoresque sean l.d. con u1 y u2, es decir los vectores u = (x; y; z) tales que¯̄

¯̄¯̄1 1 x¡1 3 y0 ¡1 z

¯̄¯̄¯̄ = 0 ) x+ y+ 4z = 0:

Para las ecuaciones parametricas solo tenemos que escribir los vectores comocombinacioneslineales de los elementos de la base, es decir8

<:x = ¸+ ¹y = ¡¸ + 3¹z = ¡¹

8¸; ¹ 2 R:

(b) v1 = (2; 2;¡1); v2 = (4; 4; 1); v3 = (1; 0;¡1):En este caso el determinante vale 6 luego los vectores son linealmente independientes, porlo que forman base de R3 y no tienen ecuaciones paramétricas ni cartesianas.

(c) w1 = (3;¡1; 2); w2 = (2; 1; 3); w3 = (0;1; 1):Calculemos de nuevo el determinante. Tenemos que¯̄

¯̄¯̄3 2 0¡1 1 12 3 1

¯̄¯̄¯̄ = 0;

luego son linealmente dependientes, por lo que las ecuaciones cartesianas son¯̄¯̄¯̄x 2 0y 1 1z 3 1

¯̄¯̄¯̄ = 0 ) x + y ¡ z = 0

y las paramétricas 8<:x = 2¸y = ¸ +¹z = 3¸+ ¹

:

Una base de R3 que contenga a esta es B = f(1; 0; 0) ; (2; 1; 3) ; (0; 1; 1)g :3. Determina una base B y las ecuaciones paramétricas del subespacio S de R4 dado por las

ecuaciones: 8>><>>:

x ¡y +z ¡t = 02x +2y ¡z ¡t = 04x +z = 03x +y +t = 0

Determina una base de R4 que contenga a B.Tenemos que resolver el sistema. Podemos hacerlo de varias formas. Lo primero es hallar eldeterminante que es¯̄

¯̄¯̄¯̄

1 ¡1 1 ¡12 2 ¡1 ¡14 0 1 03 1 0 1

¯̄¯̄¯̄¯̄= 4

¯̄¯̄¯̄

¡1 1 ¡12 ¡1 ¡10 1 0

¯̄¯̄¯̄ +

¯̄¯̄¯̄1 ¡1 ¡12 2 ¡13 1 1

¯̄¯̄¯̄ = 0;

luego B debe contener al menos un vector. Como el primer menor de la suma es distinto a cero,sabemos que hay tres ecuaciones l.i. por lo que la base contiene un sólo vector. Para hallarlo

2

Page 3: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

sumamos la primera y la última ecuación, obteniendo 4x + z = 0: Tomando x = ¸; tenemosque z = ¡4¸: Ahora de las ecuaciones dos y cuatro tenemos el sistema½

y+ t = ¡3¸2y ¡ t = ¡6¸

por lo que y = ¡3¸; t = 0; con lo que B = f(1;¡3;¡4; 0)g :Otra forma de hacer esto es reducir el sistema mediante el método de Gauss. Operando, tenemos0BB@

1 ¡1 1 ¡12 2 ¡1 ¡14 0 1 03 1 0 1

1CCAF2¡2F1!

0BB@

1 ¡1 1 ¡10 4 ¡3 14 0 1 03 1 0 1

1CCAF3¡4F1!

0BB@

1 ¡1 1 ¡10 4 ¡3 10 4 ¡3 43 1 0 1

1CCAF4¡3F1!

0BB@

1 ¡1 1 ¡10 4 ¡3 10 4 ¡3 40 4 ¡3 4

1CCAF3¡F4!

0BB@

1 ¡1 1 ¡10 4 ¡3 10 4 ¡3 40 0 0 0

1CCAF2¡F3!

0BB@

1 ¡1 1 ¡10 4 ¡3 10 0 0 40 0 0 0

1CCA :

De la tercera fila llegamos a que t = 0; y con esto en la segunda fila obtenemos y = 3¸; z = 4¸;con lo que x = y¡ z = ¡¸:

4. Sea P2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales.Comprueba que p1(x) = x; p2(x) = x ¡ 1; p3(x) = (x ¡ 1)2 forman una base de P2(x) ydetermina las coordenadas de p(x) = 2x2 ¡ 5x+ 6 respecto de esa base.Para verificar si estos elementos forman base, vamos a calcular su Wronskiano. Tenemos que

W (x) =

¯̄¯̄¯̄x x¡ 1 (x ¡ 1)2

1 1 2 (x¡ 1)0 0 2

¯̄¯̄¯̄ = 2

¯̄¯̄ x x ¡ 11 1

¯̄¯̄ = 2

luego efectivamente son l.i. y como la dimensión de P2 (x) es 3; forman base. Para calcular lascoordenadas en esta base, planteamos

2x2 ¡ 5x+ 6 = 2ax+ bx¡ b+ cx2 ¡ 2cx+ c;e igualando grados llegamos al sistema0

@0 0 12 ¡1 ¡20 ¡1 1

1A

0@abc

1A =

0@

2¡56

1A

cuya solución es a = ¡5=2; b = ¡4; c = 2:5. Sea F(R;R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudia si W es un subespacio de

F(R;R) donde:(a)W = ff 2 F(R;R) : f(1) = 0g; (b)W = ff 2 F(R;R) : 2f (0) = f(1)g;(c)W = ff 2 F(R;R) : f(¡x) = ¡f (x)g

Recordemos que para queW sea subespacio se debe cumplir que8u 2 W; 8¸ 2 R; ¸u 2 R8u; v 2 R; u + v 2 R:

Vamos a verificar estas dos condiciones en los tres casos para funciones f; g 2W y ¸ 2 R:(a) Para la primera condición tenemos que

¸f (1) = ¸ ¢ 0 = 0

3

Page 4: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

y para la segundaf (1) + g (1) = 0 + 0 = 0

luego efectivamente es un espacio vectorial.(b) En este caso tenemos

2¸f (0) = ¸f (1)y por otro lado

f (1) + g (1) = 2f (0) + 2g (0) = 2 (f (0) + g (0)) :(c) Por último

f (¡x) + g (¡x) = ¡f (x)¡ g (x) = ¡ (f (x) + g (x)) :6. En el espacio vectorial E = C2 (R;R) de todas las funciones continuas con segunda derivada

continua se considera para a; b 2 R; el subconjunto F = ff 2 E : f 00 + af 0 + bf = 0g:Prueba que F es un subespacio de E:Sean f; g 2 F y ¸; ¹ 2 R: Tenemos que verificar que ¸f + ¹g 2 F: Vamos a introducir estetermino y la ecuación y a operar. Tenemos(¸f + ¹g)00 + a(¸f +¹g)0 + b (¸f + ¹g) = ¸f 00 +¹g00 + a¸f 0 + ¹g0 + b¸f + b¹g =

= ¸ (f 00 + af 0 + bf ) + ¹ (g00 + ag0 + bg) == 0+ 0 = 0:

luego efectivamente es un subespacio vectorial.7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes:

(a) fe2x; x2; xg ½ F(R;R):Calculemos el Wronskiano

W (x) =

¯̄¯̄¯̄e2x x2 x2e2x 2x 14e2x 2 0

¯̄¯̄¯̄ = e2x

¯̄¯̄¯̄1 x2 x2 2x 14 2 0

¯̄¯̄¯̄ = e2x

¡¡2 + 4x¡ 4x2

¢:

Como no es identicamente cero, las funciones son l.i.(b) fsen¼t; sen 2¼tg ½ C [0; 1] donde C[0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0; 1]

con valores en R.Calculando el Wronskiano otra vez,

W (t) =¯̄¯̄ sin¼t sin 2¼t¼ cos ¼t 2¼ cos 2¼t

¯̄¯̄ = ¼ (2 sin (¼t) cos(2¼t) ¡ sin (2¼t)cos (¼t))

tomando t = 1=2; tenemos que

W³¼2

´= ¼ (2 ¢ (¡1) ¡ 0 ¢ 0) = ¡2¼:

Como hay un valor para el que el Wronskiano no es cero, son l.i.8. Encuentra una base de R4 que contenga a los vectores (0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1).

Vamos a ir ampliando esta base de la forma más sencilla posible. Ponemos estos vectores enforma de matriz

A1 =

0BB@

0 11 11 01 1

1CCA :

Como el primer menor es distinto que cero, añadimos un vector tal que el determinante de un

4

Page 5: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

nuevo menor 3£ 3 coincida con el anterior, llegando a

A2 =

0BB@

0 1 01 1 01 0 11 1 0

1CCA

Añadiendo la última columna llegamos a

A2 =

0BB@

0 1 0 01 1 0 01 0 1 01 1 0 1

1CCA

9. Demuestra que Bn = f1; (x¡2); (x¡ 2)2; :::; (x¡ 2)ng es una base de Pn(x). Si n = 4, hallalas coordenadas del vector p(x) = 5x4 +6x3 ¡ 4x+ 2 respecto de la base B4:Calculemos el wronskiano

WB (x) =

¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄

1 (x¡ 2) (x ¡ 2)2 ¢ ¢ ¢ (x¡ 2)n0 1 2 (x¡ 2) ¢ ¢ ¢ n(x ¡ 2)n¡10 0 2 ¢ ¢ ¢ n (n¡ 1)(x ¡ 2)n¡2...

...... .. . ...

0 0 0 ¢ ¢ ¢ n!

¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄:

Como la matriz es diagonal, el determinante es el producto de la diagonal principal, y por tanto,es distinto de cero. Por tanto para hallar las coordenadas pedidas debemos encontrar a; b; c; d; etales que

5x4 + 6x3 ¡ 4x+ 2 = a + b(x¡ 2) + c(x ¡ 2)2+ d(x ¡ 2)3 + e(x ¡ 2)4

y desarrollando esto, tenemos que5x4 +6x3 ¡ 4x+ 2 =

= a + bx ¡ 2b+ cx2 ¡ 4cx+ 4c+ dx3 ¡ 6dx2 + 12dx¡ 8d + ex4 ¡ 8ex3 + 24ex2 ¡ 32ex+ 16e= ex4 + (d¡ 8e) x3 + (c¡ 6d+ 24e) x2 + (b¡ 4c+ 12d ¡ 32e) x+ a¡ 2b+ 4c¡ 8d +16e;y en forma de sistema0

BBBB@

1 ¡2 4 ¡8 ¡160 1 ¡4 12 320 0 1 ¡6 240 0 0 1 ¡80 0 0 0 1

1CCCCA

0BBBB@

abcde

1CCCCA

=

0BBBB@

2¡4065

1CCCCA

que se resuelve directamente al ser una matriz triangular, con el resultado a = ¡358; b =¡92; c = 156; d = 46; e = 5:

10. Estudia si los siguientes subconjuntos de M2£2 (R) son subespacios vectoriales de M2£2 (R):(a) S = fA 2M2£2 (R) : r(A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A:

No, porque el cero no pertenece a S: Podemos además buscar un contraejemplo de la forma

a =µ

1 00 0

¶; r (a) = 1; b =

µ¡1 00 0

¶; r (b) = 1; a+ b =

µ0 00 0

¶; r (a + b) = 0:

(b) T = fA 2 M2£2 (R) : traza(A) = 0g; donde traza(A) denota la suma de los elementos dela diagonal principal.

5

Page 6: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

El cero pertenece al conjunto luego puede ser un subespacio. Tomemos a =µa11 a12a21 a22

¶;

b =µb11 b12b21 b22

¶; con a; b 2 T y ¸; ¹ 2 R. Tenemos que comprobar que ¸a + ¹b 2 T:

Para ello vamos a desarrollar esta operacióntraza (¸a +¹b) = ¸a11+ ¹b11 + ¸a22 + ¹b22 = ¸ (a11 + a22) +¹ (b11 + b22) = ¸ ¢ 0 + ¹ ¢ 0 = 0

luego efectivamente es un subespacio.11. Se considera el subconjunto P de Rn formado por todas las n-uplas de números reales, tales que

los elementos de cadan-upla forman una progresiónaritmética. Prueba que P es un subespaciovectorial de Rn y determinar una base del mismo. Calcula respecto de la base hallada lascoordenadas del vector v = (4; 7; 10; ::::; 3n + 1).Una progresión geométrica tiene la forma a + bn: Para ver que es subespacio, solo hay quever que la suma de dos progresiones geométricas tambien lo es. En efectos si tenemos dosprogresiones geométricas de la forma a + bn y c + dn; entonces

¸ (a + bn) + ¹ (c+ dn) = (¸a + ¹c) + (¸b +¹d) n:Para buscar la base tenemos que calcular el número de vectores que necesitamos. Estamos traba-jando con n-uplas, luego los vectores tendrán n componentes. Además tenemos dos parámetroslibres que son a y b; por lo que necesitaremosdos vectores. Esta base es B = f(1; 1; :::; 1) ; (1; 2; 3; :::; ny las coordendas de v en esta base son (1; 3)B :

12. Determina una base para la suma y la intersección de los espacios F y G engendrados porf(1;¡1; 1; 2); (0; 1; 3; 1)g; f(1; 0; 4; 3); (1; 1; 0;¡1)g:

Lo más difícil es calcular la intersección, por lo que vamos a empezar calculando la unión, queva a venir engendrada por los vectores l.i. del conjunto resultante de juntar los dos vectores.Calculemos el determinante ¯̄

¯̄¯̄¯̄

1 0 1 1¡1 1 0 11 3 4 02 1 3 ¡1

¯̄¯̄¯̄¯̄= 0:

Tomemos ahora el menor formado por las columnas 1,2,4 y las filas 1,2,3 y calculemos su de-terminante ¯̄

¯̄¯̄1 0 1¡1 1 11 3 0

¯̄¯̄¯̄ = ¡7

luego la dimensión de la unión es 3, por lo que la dimensión de la intersección debe ser uno.Para calcular la intersección, lo más cómodo es calcular las ecuaciones paramétricas de lossubespacios y buscar así su intersección. Si hacemos esto tenemos que resolver el sistema0

BB@

1 0 ¡1 ¡1¡1 1 0 ¡11 3 ¡4 02 1 ¡3 +1

1CCA

0BB@

abcd

1CCA =

0BB@

0000

1CCA

cuya solución es (1; 1; 1; 0) : Si sustituimos estos valores en las ecuaciones paramétricas de G;tenemos que ~x = (1; 0; 4; 3)

13. Sea P = f1; sen2x; cos2 x; sen 2x; cos 2xg.(a) Estudia la dependencia e independencia lineal de P:

6

Page 7: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

Si calculamos el wronskiano directamente, es difícil resolver un determinante tan grande,por lo que vamos a buscar alguna relación directamente. Sabemos que sin2 x = 1¡ cos2 x;y que cos2 x = 1+cos 2x

2 . Formemos ahora el wronskiano con los restantes.

W (x) =

¯̄¯̄¯̄1 sin 2x cos 2x0 2 cos 2x ¡2 sin 2x0 ¡4cos 2x ¡4cos 2x

¯̄¯̄¯̄ =

¯̄¯̄ 2cos 2x ¡2 sin 2x

¡4 sin 2x ¡4cos 2x

¯̄¯̄ = ¡8

¡cos2 x + sin2 x

¢= ¡8

(b) Da una base del subespacio L(P ).Como hemos visto en el apartado anterior, una base de L (P ) esta compuesta por B =f1; sin 2x; cos 2xg ;

(c) Calcula, respecto de la base encontrada en (b), las coordenadas de:f(x) = cos 2x+ sen2x;

En esta base las coordenadas de este vector son (0; 1; 1)14. Demuestra que R3 es suma directa de los siguientes subespacios vectoriales:

(a) W1 = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y+ z = 0g; W2 = f(t; 2t; 3t) 2 R3 : t 2 Rg:El primer subespacio es un plano y el segundo una recta, por lo que sus dimensiones son 2y 1. Si probamos que solo se intersectan en el cero, formaran suma directa. Como el vectordirector de la recta es v = (1; 2; 3) y este no pertenece al plano, forman suma directa.

(b) U1 = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg; U2 = f(0; y; z) 2 R3 : y; z 2 Rg:En este caso U1 es una recta y U2 un plano. Como el vector director de la recta no perteneceal plano forman suma directa.

(c) V1 = f(x; x; 0) 2 R3 : x 2 Rg; V2 = f(0; y; y) 2 R3 : y 2 Rg V3 = f(z; z; z) 2 R3 : z 2Rg:Estas son tres rectas cuyos vectores directores son v1 = (1; 1; 0) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 =(1; 1; 1) : Si son l.i. su intersección sera el cero y como su unión tiene dimensión 3 formaransuma directa. Tenemos pues que¯̄

¯̄¯̄1 0 11 1 10 1 1

¯̄¯̄¯̄ = 1 ¢ 0 ¡ 1 ¢ (¡1) = 0;

luego son l.i.15. Se considera en R3 el subespacio W = f(x; y; z) : x + y ¡ z = 0; x + y + z = 0g.

(a) Halla la ecuación de un suplementario de W .Lo mejor para hacer este ejercicio es buscar el vector director de esta recta. En este casoes muy sencillo ver que es el v = (¡1; 1; 0) y por tanto el espacio suplementario a este es¼ : x¡ y = 0:

(b) Descompón según W y el suplementario hallado en (a); el vector (¡1; 3; 4) de R3.Una base de R3 compuesta por vectores deestos subespacios esB = f(¡1; 1; 0) ; (1; 1; 0) ; (0; 0; 1)Para descomponer el vector tenemos que buscar los valores a; b; c tales que0

@¡134

1A = a

0@

¡110

1A+ b

0@

110

1A + c

0@

001

1A ;

que son a = 2; b = 1; c = 416. Consideramos en R3 los subespacios V1 = f(0; ¸2; ¸3) : ¸2; ¸3 2 Rg; V2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3)g.

Determina una base de V1 + V2; V1 \ V2 y obten las ecuaciones paramétricas e implícitas de

7

Page 8: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

V1 + V2 y V1 \ V2.Vamos a empezar buscando una base de V1 + V2: Para ello tomamos los vectores de una basede cada subespacio y calculamos el subespacio generado por estos vectores, para despues tomaruna base suya. Una base de V1 es BV1 = f(0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g y por tantoV1 + V2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3); (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g = f(1; 1; 1); (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g = R3:

Como la dimension de la union es 3, la dimensión de la intersección debe ser uno. Para hallaresta base, solo tenemos que hallar un vector de V2 que pertenezca a V1:Si restamos los elementosde la base de V2; obtenemos el vector v = (0; 1; 2) 2 V1 por ser su primera componente cero.En cuanto a las ecuaciones cartesianas y paramétricas, ya sabemos que el primero no tiene. Encuanto al segundo, unas posibles ecuaciones cartesianas serían½

x1 = 02x2 ¡ x3 = 0 :

17. Consideramos los subespacios V y W contenidos en R3:

V =

8<:x1 =¸+ °x2 =¹+ °x3 =¸+ ¹+ 2°

; W ´ x1 ¡ x2+ 2x3 = 0

(a) Determina una base de V; V +W; V \W .De las ecuaciones de V; se observa que x1 + x2 = x3; por lo que una posible base es BV =f(1; 0; 1) ; (0; 1; 1)g : Una base de W es BW = f(1; 1; 0) ; (1;¡1;¡1)g : Como V + W =Lf(1; 0; 1) ; (0; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1;¡1;¡1)g y¯̄

¯̄¯̄1 0 10 1 11 1 0

¯̄¯̄¯̄ = ¡2;

entonces V +W = R3. En cuanto a V \W; como sabemos las ecuaciones cartesianas delos dos subespacios, solo tenemos que resolver el sistema½

x1 ¡ x2 + 2x3 = 0x1 + x2 ¡ x3 = 0

Sumando estas ecuaciones llegamos al sistema equivalente½x1 ¡ x2 + 2x3 = 02x1 + x3 = 0 ;

por lo que el vector (1; x2;¡2) satisface la segunda ecuación. Si introducimos este vectoren la primera ecuación, llgamos a que v = (1;¡3;¡2) ; forma la base de V \W:

(b) Encuentra unas ecuaciones implícitas para V \W .De el vector v sacamos las relaciones½

3x1 + x2 = 02x1 + x3 = 0 :

(c) Determina una base de un suplementario de V \W .Una base de un suplementario estaría formada por dos vectores l.i. que fueran l.i. con v:En este caso, podrían ser e2 y e3. Otro ejemplo nos viene dado por el plano del que v esvector normal que tiene por ecuaciones x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3 = 0; del que una posible base seríaf(3; 1; 0) ; (0; 2;¡3)g :

18. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespa-

8

Page 9: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

cios y bases de éstos. Verifica la verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes:(a) f(a; b) 2 R2 : a = ¡1g ; base f(¡1; 3)g :

Falso ya que no es un subespacio al no estar el cero.(b) fp(x) 2 P3 : (x¡ 1) divide a p(x)g ; base fx¡ 1; x2 ¡ 1g:

Si es un subespacio ya que si tomamos dos polinomios que sean divisibles por (x¡ 1) ;cualquier combinación lineal suya tambien lo es. Sin embargo no es una base ya que el poli-nomio (x¡ 1)3 pertenece al subespacio, pero no se puede poner como c.l. de los elementosde la base. Como todos estos polinomios son de la forma p (x) = (x¡ 1) (ax2 + bx + c) ;un base del subespacio sería B = f(x¡ 1) ; (x¡ 1) x; (x¡ 1)x2g :

(c) com(B) = fA 2M2£2=BA = ABg con B =µ

2 10 2

¶; base B =

½µ2 10 2

¶;µ

0 11 0

¶¾:

Para ver si es subespacio tomemos dos matrices C;D 2 com(B) y veamos que H = ¸C +¹D 2 com(B): Para ello tenemos que ver que HB = BH: Calculando,HB = (¸C + ¹D)B = ¸CB + ¹DB = ¸BC +¹BD = B (¸C + ¹D) = BH:

En cuanto a que si esta es una base, formulemos las ecuaciones que cumplen estas matrices.

Para ello tomamos una matriz A =µx yz t

¶y forcemos que pertenezca al subespacio, es

decir queµ2 10 2

¶µx yz t

¶=

µx yz t

¶ µ2 10 2

¶)

µ2x + z 2y+ t2z 2t

¶=

µ2x x +2y2z z +2t

obteniendo las ecuaciónes8>><>>:

2x + z = 2x2y + t = x +2y2z = 2z2t = z + 2t

z = 0x¡ t = 0

obteniendo la base B0 =½µ

1 00 1

¶;µ

0 10 0

¶¾; o labaseB00 =

½µ1 00 1

¶;µ

2 10 2

¶¾

pero nunca la base B:19. Halla en cada uno de los ejemplos siguientes la suma y la intersección del par de subespacios

dados y comprueba que se verifica la ecuacióndim(V1) + dim(V2) = dim(V1 + V2) + dim(V1 \ V2):

(a) V1 = comµ

2 10 2

¶; V2 = com

µ2 00 2

¶: (Ver el ejercicio anterior).

Del ejercicio anterior ya sabemos que V1 tiene dimension 2. Como B2 = 2 ¢ I; y todas lasmatrices conmutan con la identidad, V2 = M2£2 (R) ; por lo que tiene dimensión 4. Ademáscomo V1 ½ V2 ) V1 + V2 = V2; y V1 \ V2 = V1; por lo que se cumple la formula de lasdimensiones.

(b) V1 = fp(x) 2 P3 : (x +1) divide a p(x)g; V2 = fp(x) 2 P3 : (x ¡ 1) divide a p(x)g:Ya sabemos que ladimensiones deV1 y V2 son 3, al ser sus bases B1 = fx ¡ 1; (x ¡ 1) x; (x ¡ 1) x2y B2 = fx+ 1; (x+ 1)x; (x +1) x2g : Como x +1 es l.i con los vectores de B1; ya que noes divisible por x ¡ 1; la base BV1©V2 = fx¡ 1; x+ 1; (x¡ 1) x; (x¡ 1)x2g es un base deP3 (x) y tiene dimensión 4. Para construir la base de la intersección solo tenemos que verque los polinomios de la intersección tiene que tener la forma p = (x +1) (x¡ 1) (ax + b)y por lo tanto tenemos la base BV1\V2 = f(x ¡ 1) (x+ 1) ; (x+ 1)(x ¡ 1)xg :

9

Page 10: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

20. Demuestra que el subespacio vectorial de las funciones pares yel de las impares son subespaciossuplementarios del espacio vectorial de las funciones f : R ¡! R.Para esto solo tenemos que separa una función cualquiera en su parte par y en su parte imparmediante la expresión

f (x) =f (x) + f (¡x)

2| {z }G(x)

+f (x) ¡ f (¡x)

2| {z }H(x)

donde G (x) es par y H (x) es impar.21. Sea P2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales.

Se consideran dos subconjuntos suyos, F = fp (x) 2 P2 (x) : p (x) = ax2 ¡ ax + 2a; a 2 Rgy G = fp (x) 2 P2 (x) : p (x) = (2® ¡ ¯) x2 + ®x¡ 2¯; ®; ¯ 2 Rg: Se pide(a) Probar que F y G son subespacios vectoriales de P2 (x). Halla sus dimensiones.

Vamos a probarlo para F: Tenemos que ver que 8f; g 2 F; 8¸; ¹ 2 R; ¸f + ¹g 2 F: Sihacemos la cuenta tenemos que¸f +¹g = ¸a1

¡x2 ¡ x+ 2

¢+¹a2

¡x2 ¡ x+ 2

¢= (¸a1 + ¹a2)

¡x2 ¡x + 2

¢=

= ®¡x2 ¡ x +2

¢

por lo que es subespacio. Las dimensiones serían 1 y 2; al tener respectivamente uno y dosparametros libres. Las bases son

F =©x2 ¡ x+ 2

ª; G=

©2x2 + x; x2 + 2

ª:

(b) Determina F \G y F + G.Vamos a calcular primero la suma. Para ello formamos el wronskiano con todas los vectoresde las bases

w (x) =

¯̄¯̄¯̄x2 ¡ x +2 2x2 + x x2+ 22x ¡ 1 2x +1 2x2 2 2

¯̄¯̄¯̄ = 2x2 ¡ 4

por lo que son l.i. luego F + G= P2 (x) ; F \G = 0:22. Halla la matriz de paso de la base B = f(1; 0); (0; 1)g a la base B0 = f(2;3); (¡3;¡4)g y

la matriz de paso de B0 a B. Si el vector ~x tiene por coordenadas (1; 1)B en la base B, ¿Quécoordenadas tiene en la base B0? Si el vector ~y tiene por coordenadas (5; 0)B0, en la base B0,¿qué coordenadas tiene en la base B?.Para calcular la matriz de paso de B0 a B tenemos que poner los vectores de la base B0 en formade vectores columna, obteniendo

MB0B =µ

2 ¡33 ¡4

¶;

siendo la matriz de paso de B a B0 la inversa deMB0B; es decir

MBB0 =µ

2 ¡33 ¡4

¶¡1=

µ¡4 3¡3 2

¶;

siendo ahora las coordenadas de ~x en B0

MBB0

µ11

B=

µ¡4 3¡3 2

¶ µ11

B=

µ¡1¡1

B0

10

Page 11: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 1: Espacios vectoriales.

siendo las cordenadas de ~y en B

MB0B

µ50

B0=

µ2 ¡33 ¡4

¶ µ50

B0=

µ1015

B23. Halla la matriz de paso de la base B = f1; xg de P1(R) a la base B0 = f2+ 3x; ¡4+5xg. El

polinomio p(x) = 2¡x, ¿qué coordenadas tiene en la base B0?. El polinomio de coordenadas(5; 5)B0 en la base B0, ¿qué coordenadas tiene en la base B?.Analogamente al ejercicio anterior, tenemos que

MB0B =µ

2 ¡43 5

¶;MBB0 = (MB0B)¡1 =

µ2 ¡43 5

¶¡1=

122

µ5 4

¡3 2

por lo que las coordenadas de p (x) en B0 son

MBB0µ

2¡1

B= 1

22

µ5 4

¡3 2

¶ µ2

¡1

B=

µ311

¡ 411

B0;

y las coordendas de (5; 5)B0 en B;µ2 ¡43 5

¶µ55

B0=

µ¡1040

B24. En el espacio vectorial de matrices 2 £ 2 con coeficientes reales, M2£2(R), halla las coorde-

nadas de la matriz A en la base B siendo

A =µ

2 ¡14 6

¶y B =

½µ1 1

¡1 0

¶;µ

2 03 1

¶;µ

0 1¡1 0

¶;µ

0 ¡20 4

¶¾

Como B es una base, deben existir a; b; c; d 2 R tales queµ2 ¡14 6

¶= a

µ1 1

¡1 0

¶+ b

µ2 03 1

¶+ c

µ0 1

¡1 0

¶+ d

µ0 ¡20 4

y ordenando esto en forma de sistema8>><>>:

a+ 2b = 2a+ c¡ 2d = ¡1¡a +3b¡ c = 4b+4d = 6

2e+3e)

8>><>>:

a+ 2b = 2a+ c¡ 2d = ¡13b¡ 2d = 3b+ 4d = 6

resolviendo las dos últimas filas, tenemos que b = 127 ; d =

1514 por lo que como a = 2¡2b = ¡10

7y c = ¡1 + 2d ¡ a = 18

7 :

11

Page 12: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

Facultad de Ciencias Químicas

Departamento de Matemáticas

Álgebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

1. Determina una base ortonormal para el subespacio de R3 generado por:(a) u1 = (1;¡1; 0); u2 = (5; 3;¡2); u3 = (1;¡1; 0):

Como es obvio, u1 = u3; luego el subespacio U; vendrá generado por los vectores u1 y u2es decir

U :

¯̄¯̄¯̄1 5 x¡1 3 y0 ¡2 z

¯̄¯̄¯̄ = 0 ) U : x + y + 4z = 0

Tenemos ahora que tomar dos vectores l.i. y ortogonales. Para ello fijamos la x y la ytomando el vector v1 = (1;¡1; 0) que está en el subespacio. Un vector ortoganal a estees v2 = (1; 1; z) y para que pertenezca a U; debemos fijar z = ¡1

2 o lo que es lo mismov2 = (2; 2;¡1) : Ahora un base ortonormal de este subespacio sería

BU =½

1p2(1;¡1; 0) ; 1

3(2; 2;¡1)

¾:

(b) v1 = (1; 1; 1); v2 = (1; 0; 1); v3 = (3; 2; 3):El determinante de estos vectores vale¯̄

¯̄¯̄1 1 31 0 21 1 3

¯̄¯̄¯̄ = 0;

luego son l.d. Vamos ahora a ortogonalizar estos vectores mediante el metodo de Gram-Schmidt

(c) w1 = (3;¡1; 2); w2 = (1; 0; 2); w3 = (¡2; 1; 0):Encuentra además las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementario or-togonal.

2. En R4 con su producto escalar usual se pide(a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1; 2; 1; 0) ; (0;¡1; 1; 0) y

(1; 1;¡2; 1) :(b) Obtén por el método de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales para

V = L f(1; 2;¡1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (1; 0;¡2; 1)g :3. En el espacio vectorial E = C [¡1; 1], con el producto escalar

< f; g >C =Z 1

¡1f(x)g(x)dx;

se consideran los vectores u1(x) = 1; u2(x) = x; u3(x) = 1+x: Calcula el ángulo que formanentre sí.Como sabemos, el angulo entre dos vectores se define como

cos µ =hu; vijuj jvj ;

12

Page 13: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

luego necesitamos conocer los productos cruzados y las normas de estos vectores, obteniendo(a) hu1;u1i

hu1;u1i =Z 1

¡11dx = 2:

(b) hu1;u2ihu1;u2i =

Z 1

¡1xdx = 0:

(c) hu1;u3ihu1;u3i =

Z 1

¡1x2dx =

23:

(d) hu2;u2ihu2;u2i =

Z 1

¡1x2dx =

23:

(e) hu2;u3ihu2;u3i =

Z 1

¡1x3dx = 0:

(f) hu3;u3ihu3;u3i =

Z 1

¡1x4dx =

25:

Por lo que si llamamos µi;j al angulo entre ui y uj; entonces como

cos µi;j =hui;ujijuij jujj

tenemos que

cos µ1;2 = 0; cos µ1;3 =23p2q

25

=13p5; cos µ2;3 = 0:

4. Se considera en el espacio P3 (x) el subconjunto de los cuatro primeros polinomios de Cheby-chev, T = f1; x; 2x2 ¡ 1; 4x3 ¡ 3xg: Demuestra:(a) Los polinomios son linealmente independientes.

Para ver esto formamos el wronskiano de esta base obteniendo

w (x) =

¯̄¯̄¯̄¯̄

1 x 2x2 ¡ 1 4x3 ¡ 3x0 1 4x 12x2 ¡ 30 0 4 24x0 0 0 24

¯̄¯̄¯̄¯̄6= 0

luego son l.i.(b) Los polinomios son ortogonales con el polinomio 1 respecto al producto escalar ponderado

< f; g >T =Z 1

¡1

f(x)g(x)p1¡ x2

dx:

Para ver esto tenemos que resolver las integrales siguientes(I) < 1; x >T

< 1; x >T =Z 1

¡1

xp1 ¡ x2

dx =½

t = 1 ¡ x2

dt = ¡2xdx

¾= ¡1

2

Z 0

0

dtpt:

de aquí no podemos deducir que la integral sea cero porque tenemos una discontinuidad por lo que

13

Page 14: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

resolvemos la integral indefinida que es

¡12

Zdtp

t= ¡

pt + C =

p1 ¡ x2 + C

y ahora hp1 ¡ x2

i1

¡1= 0 ¡ 0 = 0:

(II) < 1; 2x2 ¡ 1 >T

< 1; 2x2 ¡ 1 >T =Z 1

¡1

2x2 ¡ 1p1 ¡ x2

dx

y la indefinida esZ

2x2 ¡ 1p1 ¡ x2

dx = 2Z

x2p

1 ¡ x2dx ¡

Z1p

1 ¡ x2dx

y comoZ

x2p

1 ¡ x2dx =

½u = x2 dv = 1p

1¡x2 dxdu = 2xdx v = arcsinx

¾= x2 arcsinx ¡ 2

Zarcsin x

5. Demuestra que si 2 vectores son ortogonales, son linealmente independientes.Supongamos que no lo son. Entonces existen a; b 2 R; distintas de ceros, tales que au+bv = 0:Multiplicando esta ecuación por u; tenemos que

a hu;vi+ b hv;vi = 0;pero los vectores son ortogonales y distintos de cero, luego

b hv;vi = 0 ) b = 0por tanto a = 0; lo que nos lleva a contradicción.

6. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones un = xn del espaciovectorial E = P (x), con el producto escalar < f; g >C, y normaliza los polinomios obtenidos.(Para n = 0; 1; 2; 3 y x 2 (¡1; 1)).

7. Demuestra que las funciones fukg son ortonormales dos a dos con el producto escalar< f; g >Cen [0; 1] siendo

uk =p2 sin (k¼t) :

8. Sea H el subespacio de R4 definido por las ecuaciones:8<:x+ 2y ¡ z ¡ 2t = 02x+ y ¡ 2z ¡ t = 02x+ 7y¡ 2z ¡ 7t = 0

(a) Determina las ecuaciones paramétricas de H, y una base ortonormal suya.(b) Calcula la proyección ortogonal sobre H del vector u = (2;¡2; 3;¡3).(c) Determina una base ortonormal de R4 que contenga a la base de H hallada anteriormente.(d) Repite lo mismo en R3 con el sistema½

2x+ y = 0z = 0 y u = (1; 1; 1):

9. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar< f; g >C en [¡1; 1] ; se pide:(a) Proyección ortogonal del polinomio p(x) = x+3 sobre el subespacio engendrado por x+2.(b) Calcula una base ortonormal a partir de la base f1; xg.

10. Sea S2 el subespacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con la base " y la matriz

14

Page 15: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

A; donde

" =½µ

1 00 0

¶;µ

0 11 0

¶;µ

0 00 1

¶¾; A =

0@

1 0 10 2 11 1 2

1A :

Definimos el producto escalar hu; vi como hu; vi = utAv para todo u; v 2 S2: Se pide

(a) Determina el módulo de la matriz u =µ

1 ¡1¡1 2

¶: Determina el ángulo que forman las

matrices v =µ

1 00 ¡1

¶y w =

µ0 11 0

¶:

En esta base la matrizµ

1 ¡1¡1 2

¶se escribe como (1;¡1; 2) ; por lo que

kuk2 = hu;ui = (1;¡1; 2)

0@

1 0 10 2 11 1 2

1A

0@

1¡12

1A = (1;¡1; 2)

0@

304

1A = 11

En cuanto al ángulo, tenemos que

kvk2 = hv;vi = (1; 0;¡1)

0@

1 0 10 2 11 1 2

1A

0@

010

1A = (1; 0;¡1)

0@

021

1A = ¡1

(b) Halla el subespacio suplementario ortogonal del subespacio S2 generado porµ

1 00 0

¶y

µ0 11 0

¶:

11. Utilizando el producto escalar usual de R3 y R4, encuentra el complemento ortogonal de W ,siendo:

a)W = L(u;v) con u = (1; 0; 1); v = (2;¡1; 1); b) W ´½x1 ¡ x2 + x3 + x4 = 02x1 ¡ x2 = 0

12. En el espacio vectorial E = C [¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C , se considera la funciónf (x) = ex. Busca el polinomio p(x) de grado menor o igual que dos más próximo a f y Calculakf (x) ¡ p (x)kC.

13. Sea H el subespacio de R3 definido por la ecuación cartesiana x+ 2y ¡ z = 0:(a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal suya.(b) Calcula el vector de H más próximo a u = (1; 1; 1) y la distancia de u a H.(c) Encuentra una base ortonormal de R3que contenga a la base hallada anteriormente.

14. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones f1 = x; f2 = x2 yf3 = x3del espacio vectorial E = fv : [0; 1] ! R; v es derivable; v(0) = 0g con el producto

escalar < f; g >=Z 1

0f 0(x)g0(x)dx.

15. Calcula los coeficientes de Fourier1 de la función f(x) = e¡x y la norma de la mejor aproxi-mación de f (x)como combinación lineal de las funciones obtenidas anteriormente.

1 Los coeficientes de Fourier son las coordenadas de la proyección de la función sobre el subespacio considerado

15

Page 16: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

16. Prueba que para todo número real µ, la transformación T : R3 ¡! R3 definida por

T (x) = A

0@xyz

1A ; donde A =

0@

sen µ cos µ 0¡ cos µ sen µ 0

0 0 1

1A

es una isometría.17. ¤ Dado el subespacio S, generado por los vectores: f(1; 0; 0); (¡1; 1; 0); (2; 1; 0)g, calcula la

proyección ortogonal del vector v = (1; 1; 1) sobre S .18. Sean a y b dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector c del

plano existen ® y ¯ tal que c = ®a+¯b:Usa el producto interno para encontrar ® y ¯ en funciónde a y b.

19. Dado P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y el productoescalar < f; g >C en [¡1; 1] ; se pide:(a) Comprueba que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos polinomios arbitrar-

ios de orden dos. (Toma dos cualesquiera y haz las cuentas).(b) Demuestra que

Z 1

¡1p (x) dx · 2

µZ 1

¡1(p (x))2 dx

¶12

para todo polinomio p (x) 2 P2 (R) :20. Sea R2

+¡ el espacio formado por los vectores de R2 con la métrica (no es un producto escalar)hu; vi = ut ¢ A ¢ v siendo A la matriz

A =µ

1 00 ¡1

¶:

Comprueba, encontrando un ejemplo, que se verifican las siguientes propiedades.

(I) Existen vectores con hu; ui < 0 (Vectores temporales).(II) Existen vectores con hu; ui = 0 (Vectores luz).

(III) Existen vectores con hu; ui > 0 (Vectores espaciales).(IV) Comprueba con un ejemplo que para vectores de los apartados a y b la desigualdad de Cauchy-Schwartz

toma la otra dirección, es decir que

kuk ¢ kvk · jhu ¢ vijNota: Este espacio es una versión dos-dimensional del espacio cuatridimensional de

Minkowski, que es donde trabaja la teoría de la relatividad especial de Einstein. Este es el ejemplomás sencillo de espacio vectorial no euclídeo.

16

Page 17: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Facultad de Ciencias Químicas

Departamento de Matemáticas

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Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

1. ¤ Dada la aplicación lineal:T : R4 ! R2 T (x; y; z; w) = (x ¡ 2z; 2y + 3w)

(a) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas.(b) Halla su núcleo y su imagen.(c) Calcula la imagen por T de un vector ortogonal a v = (1; 1; 1; 1).(d) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en R4 y la base B =

f(1; 3); (2; 1)g en R2.2. Estudia si la aplicación lineal f : R2 ¡! R2 definida por

f (x; y) =µ35x+

45y;

45x¡ 3

5y¶

es una transformación ortogonal.3. Sea P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que dos y f :

R3 ! P2 la aplicación lineal que cumple:f(1; 1; 1) = 2¯ +®x; f(0;¡1; 1) = ®x+ ¯x2; f (0; 0; 1) = ¯ + (® ¡ 1)x

donde ® y ¯ son números reales. Se pide:(a) Halla ® y ¯ para que f no sea inyectiva.(b) Halla ker f e Im f en función de ® y ¯.(c) Sea el subespacio U = f(a; b; c) 2 R3 : a = bg. Halla el subespacio f(U) y su dimensión

dependiendo de los valores de ® y ¯.4. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados:

(a) MB : M2£2(R) ¡!M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B =µ

¡11

¶:

(b) MB : M2£2(R) ¡!M2£2(R) dada por SB(A) = A+ B con B 2M2£2(R) fija:(c) A : Pn(x) ¡! Pn(x) dada por A(p(x)) = p(x +1):(d) A : Pn(x) ¡! Pn(x) dada por A(p(x)) = p(x) + 1:

5. Sea f : R3 ¡! R3 dada por f(x1; x2; x3) = (x1 ¡ x2; x1; x1 ¡ x3). Encuentra la matriz de frespecto a la basecanónica. Halla la imagen mediante f de los siguientes subespacios vectorialesde R3:(a) V1 = f(x1; x2; x3) 2 R3 : x1 ¡ x2 + x3 = 0g:(b) V2 = f(0; x2; x3) 2 R3 : x2; x3 2 Rg:(c) V3 = f(x1; x2; x3) = t(¡1; 1; 1) : t 2 R3g:

6. Sabiendo que la aplicación f transforma los vectores u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 =(1; 1; 1) de R3 en los vectores w1 = (2; 1; 2), w2 = (3; 1; 2), w3 = (6; 2; 3) respectivamente,encuentra la matriz de f en las siguientes bases:(a) La base canónica de R3.(b) La base fu1;u2;u3g.

17

Page 18: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

7. Halla las ecuaciones del núcleo y de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicandosi son inyectivas, suprayectivas o biyectivas:

(a) MB : M2£2(R) ¡!M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B =µ

¡11

¶:

(b) f : P3(x) ¡! P3(x) tal que; f(1) = x2 +1; f(x) = x+ 2; f (x2) = x3 ¡ x; f(x3) = 1:(c) La aplicación derivación de Pn(x) en Pn¡1(x):

8. Sea V un espacio vectorial real yW1 yW2 dos subespacios vectoriales de V y f una aplicacióndeW1 £W2 en V definida por: f(x; y) = x+ y.(a) Demuestra que f es una aplicación lineal.(b) Demuestra que kerf = f(x;¡x)=x 2W1 \W2g:(c) Demuestra que kerf es isomorfo aW1 \W2.

9. Demuestra que si f es una aplicación lineal de V en V 0, y g es una aplicación lineal de V 0 enV 00, entonces ker(g ± f ) = f¡1(ker g)

10. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, f y g endomorfismos de V . Demuestra que:ker(g ± f) = f¡1(kerg \ Im f):

11. Demuestra que si f es un endomorfismo de un espacio vectorial V , entonces f 2 = 0 si, y sólosi, f(V ) ½ ker f .

12. Sea f : V ¡! V un endomorfismo. Demuestra que si f2 = f entonces se verifica queV = ker f © Imf:

13. Demuestra que si un endomorfismo de V es idempotente, es decir, f2 = f , entonces se verifica:(a) x 2 Im f , x = f(x):(b) 1¡ f es idempotente.(c) ker(1¡ f ) = Im f:(d) kerf = Im (1 ¡ f):

14. Sea f un endomorfismo del espacio vectorial V . Demuestra que:(a) Si dim V = 2n + 1; entonces ker f 6= Im f:(b) Si dim V = 2n; entonces ker f = Im f , si, y solo si, f2 = f y dim Im f = n.

15. En R3 se considera la base B = fu1;u2;u3g. Clasifica el endomorfismo f dado por f(u1) =au1 + u2 +u3; f(u2) = u1 + u2 + u3; f(u3) = u1+ bu2 +u3:

16. Se consideran 3 espacios vectoriales A; B; C; cuyas bases respectivas sonBA = fu1;u2;u3g; BB = fb1;b2g;BC = fv1;v2;v3g

y dos homomorfismos dados respectivamente porf : A ¡! B y g : B ¡! C

u1 ¡! b1 ¡ b2 b1 ¡! v1 ¡ v2 +v3u2 ¡! b2 b2 ¡! v1 ¡ v2u3 ¡! 2b2

Se pide:(a) Matriz del homomorfismo h = g ± f : A ¡! C .(b) Encontrar el conjunto h¡1(1; 1; 1), donde (1; 1; 1) 2 C.(c) Núcleo de h.

18

Page 19: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

(d) Imagen del subespacio intersección de los subespacios siguientes:

V1 ´

8<:x1 = 2® + ¯x2 = ® ¡ ¯x3 = ¡®

; V2 ´ x1 ¡ x2 + 2x3 = 0

17. Determina en la base canónica de R3 la matriz del endomorfismo f definido por las siguientescondiciones:(a) La aplicación f , restringida al plano que tiene por ecuación x+y+z = 0, es una homotecia

de razón 3.(b) La aplicación f transforma en sí misma la recta de ecuaciones½

2x+ 4y+ 3z = 0x+ 2y + z = 0 :

18. Demuestra que si f es una aplicacion ortogonal, entonces es un isomorfismo.19. En R3 se considera la base B = fu1;u2;u3g y el endomorfismo f definido respecto a la base

B por:f(x1u1+ x2u2 + x3u3) = (x2 + x3)u1 + (x1 ¡ x2)u2+ (x2 + x1)u3:

Se pide:(a) Expresión analítica de f respecto a la base B.(b) Ecuaciones de ker f y de Im f:(c) Determina una base de ker f y ampliarla a una base B1 de R3.(d) Halla la expresión analítica de f respecto de la base B1:

20. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión 3. Para cada a 2 R, se considera el endomor-fismo fa : V ¡! V cuya matriz respecto a una base fija B de V es,

A =

0@a 0 ¡10 1 1a 1 a

1A

Estudia los endomorfismos fa según los valores de a:21. Consideremos la base de R3, B = fu1 = (1; 0; 0);u2 = (¡1; 3; 5);u3 = (¡2; 1; 2)g y seaT : R3 ¡! R3 la aplicación lineal tal que

T(u1) = 2u1 + u2;T(u2) = u1 ¡ u2 + u3;T(u3) = 4u1 ¡ u2 + 2u3:

(a) Determina la matriz de la transformación respecto de la base canónica y las ecuaciones carte-sianas del ker T referida a la base canónica y a la base B = fu1;u2;u3g:

(b) Las ecuaciones cartesianas del subespacioL engendrado por u1 y u2 y la proyección ortog-onal de u3 sobre L.

22. Hallar una aplicación lineal f : R3 ¡! R3 tal que:(a) f(1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).(b) f2 = f(c) La ecuación de ker f es x + z = 0

23. Sea f : R4 ¡! R4 el homomorfismo definido porf (1; 1; 1; 1) = (0; 0; 1); f(1; 0; 1; 0) = (1; 1;¡1);

19

Page 20: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

f (1; 1; 1; 0) = (0; 0;¡1); f (¡1;¡2; 0; 0) = (1; 1; 1):

(a) La matriz de f respecto de las bases canónicas.(b) Dimensión y ecuaciones cartesianas de ker f e Im f:

24. Se considera el homorfismo f : R3 ! R2 que hace corresponder a los vectores (1,0,1), (0,1,0),(,1,1,0) los vectroes (1; 0); (0; 2); (1; 1) respectivamente. Se pide:(a) Matriz asociada a f en las bases canónicas de R3 y R2.(b) Subespacio transformado de V ´ 5x1 ¡ 3x2 ¡ x3.(c) Ecuación de f (V ) en la base B ´ f(1; 1); (2; 0)g:

25. En un espacio vectorial V de dimensión n se considera un endomorfismo f tal que f n = 0 yf n¡1 6= 0: Sea v tal que fn¡1 (v) 6= 0(a) Demuestra que v,f (v) ; f2 (v) ; :::; fn¡1 (v) es una base de V .(b) Halla la matriz de f respecto dicha base.

26. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientesreales . Se considera la aplicación u : Pn¡1 ! Pn tal que u (P ) = Q con Q definido por

Q (x) = ex2 ddx

³e¡x

2P (x)

´; x 2 R:

(a) Demuestra que la aplicación es lineal.(b) Halla el núcleo de u:(c) Halla la dimesión de la imagen de u.(d) Determina la matriz de u en las bases canónicas.

27. Sea la aplicación lineal f : R3 ! R3definida porf (x; y; z) = (x+ z; y+ z) :

Determina las bases B1 y B2 de R3 y R2 respectivamente, tales que la matriz de f respecto a B1

y B2 seaµ

1 0 00 1 0

¶:

28. Sea la matriz de orden n con coeficientes en R;

A =

0BBBB@

0 0 ¢ ¢ ¢ 0 10 0 ¢ ¢ ¢ 1 0

. . .0 1 ¢ ¢ ¢ 0 01 0 ¢ ¢ ¢ 0 0

1CCCCA:

Halla Ap pasando a endomorfismos de Rn; (p 2 Z) :29. Se considera el homorfismo f : P3 ! M2£2 (R) definido por

f¡ax3 + bx2 + cx + d

¢=

µa b + dc+ d 0

¶:

(a) Halla la matriz del homorfismo en las bases canónicas.(b) Da las ecuaciones implícitas del subespacio imagen.(c) Calcula una base del núcleo.

30. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operacionesusuales, y f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:– f (1 + x) = 2¡ x.– El núcleo de f coincide con la imagen.

20

Page 21: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Se pide:(a) Matriz del endomorfismo f en la base B = f1; xg.(b) Calcula una base de f(W ), siendoW el subespacio de ecuación

x1 +2x2 = 0:(c) Imagen inversa del conjunto f(1; 1); (0; 0)g.

31. Halla una aplicación lineal f : R3 ¡! R3 tal que:(a) f(1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).(b) f2 = f:(c) La ecuación de ker f es x + z = 0:

32. Sean f; g : R3 ¡! R3 tales que

f(e1 ¡p3e3) = ¡e3; g(e1) = e1;

f(e2) = e2; g(e2) = ¡e2;f(

p3e1+ e3) = 2e1; g(e3) = e3:

(a) Estudia si f y g son ortogonales.(b) Halla h = f ± g:

33. Sea f : R ! R la aplicación lineal cuya matriz respecto a la base canónica viene dada por

A =

à p22 ¡aa

p22

!

con a 2 R . Determina para que valores de a la matriz A es ortogonal.

21

Page 22: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 4: Valores y vectores propios.

Facultad de Ciencias Químicas

Departamento de Matemáticas

Álgebra

Capítulo 4: Valores y vectores propios.

1. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de Rn en Rn queestán dadas por las siguientes matrices:

a =µ

4 6¡3 ¡5

¶; b =

µ5 ¡14 1

¶; c =

µ2 ¡13 1

¶; d =

µ¡1 00 ¡1

e =

0@

0 0 ¡11 ¡2 ¡1

¡2 3 1

1A ; f =

0@

2 2 ¡10 ¡2 1

¡1 0 0

1A ; g =

0@

2 ¡1 10 1 0

¡1 1 0

1A ; h =

0@

0 ¡1 20 ¡1 0

¡1 1 ¡3En los casos que sea posible halla una base de Rn formada por vectores propios, y la matriz enesa base, de las aplicaciones dadas en el ejercicio anterior.

2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta unamatriz de cambio de base P :

a =

0@

¡1 3 ¡1¡3 5 ¡1¡3 3 1

1A ; b =

0@

4 ¡1 ¡11 2 ¡11 ¡1 2

1A ; c =

0BB@

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

1CCA :

3. Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivación D, en P3(x).4. Determina para que valores a; b 2 R la matriz A es diagonalizable en R siendo A

A =

0@a b 00 ¡1 00 0 1

1A :

5. Estudia para que valores reales de ® la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea,encuentra su forma diagonal , J; y una matriz P tal que P¡1AP = J; siendo

A =

0@

1 ¡2 ¡2¡ ®0 1 ®0 0 1

1A :

6. Demuestra que si x es vector propio de f para el valor propio ¸, entonces x es vector propio def n para el valor propio ¸n; n 2 N . ¿Qué ocurre si además f es invertible?.

7. En R3, consideramos el endomorfismo f dado porf(x; y; z) = (2x+ y + z; 2x +3y + 2z; x + y + 2z)

y sea A la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: vectores propios, valorespropios, diagonalización y matriz de paso.

8. En R3, consideramos la aplicación f (x; y; z) = (3x+y;¡x+y; 0). Halla los valores y vectorespropios. ¿Es diagonalizable?.

9. Sea E un espacio vectorial sobre R y f un endomorfismo de E tal que f2 = f . Demuestra que:(a) E = Im f © ker f:(b) f es diagonalizable.

22

Page 23: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 4: Valores y vectores propios.

10. Si dim(E) = 3 y B = fu;v;wg es una base de E tal quef(u) = u ¡w; f(v) = v¡ 2w; f (w) = 0

determinar una base B0 de E respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.11. Estudia si es diagonalizable el endomorfismo de R2 definido por f(a; b) = (a + b; b):12. Sea f : R3 ¡! R3 el endomorfismo cuyaexpresión analítica respectode la base B = fe1; e2; e3g

es 0@y1y2y3

1A =

0@

1 1 ¡10 2 ¡10 1 0

1A

0@x1x2x3

1A :

(a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados.(b) ¿Se puede encontrar otra base B0, tal que respecto a ella sea f diagonalizable?.

13. Sea f : R3 ¡! R3 el endomorfismo definido por:f (x; y; z) = (x+ 2y ¡ z; 2y + z; 2y + 3z):

(a) Halla la matriz de f respecto de la base B = fe1; e2; e3g.(b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespacio suma

de estos subespacios es suma directa.14. Sea f : R3 ¡! R3 el endomorfismo cuyaexpresión analítica respectode la base B = fe1; e2; e3g

es 0@y1y2y3

1A =

0@

1 2 21 2 ¡1

¡1 1 4

1A

0@x1x2x3

1A

Encuentra una nueva base B 0 tal que respecto de ella la expresión analítica de f venga dada poruna matriz diagonal.

15. Eleva A a la potencia enesima siendo

A =

0@a b bb a bb b a

1A :

16. Demuestra que una matriz A y su traspuesta At tienen el mismo polinomio característico.17. SeaA una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos.

Halla la condición necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales.18. Halla todas las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales que tengan por valores

propios 1 y ¡1.19. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea V = W1©W2 donde dim(W1) = m. Encuentra

el polinomio característico de la proyección ¼1 de V sobreW1.20. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que tres se define la

aplicación f dada por f (p(x)) = p(x) + p0(x):(a) Demuestra que f es un endomorfismo.(b) Halla la matriz A asociada al endomorfismo f respecto de la base canónica.

(c) Sea la matriz J =

0BB@

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

1CCA y la matriz B = A + J: Prueba que las matrices

I; B;B2; B3 y B4 son linealmente independientes.(d) Halla la matriz inversa de B.

23

Page 24: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 4: Valores y vectores propios.

21. Se considera la matriz

J =

0BB@

1 1 1 11 1 ¡1 ¡11 ¡1 1 ¡11 ¡1 ¡1 1

1CCA :

Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalización.22. Encuentra una matriz C tal que C2 = A, siendo

A =µ

26 ¡10¡10 26

¶:

23. Calcula, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, la inversa de la matriz

A =

0@

1 2 0¡1 3 10 1 1

1A :

24. Sea B = fe1; e2; e3g una base de IR3 y A la matriz de un endomorfismo referido a dicha base.En dicho endomorfismo, los subespacios

V1 ´ x + y + z = 0; V2 =nx ¡ y = 0x ¡ z = 0

están asociados respectivamente a los vectores propios ¸ = 1 y ¸ = 1=2. Se pide:(a) Diagonaliza la matriz A.(b) Calcula la matrizM = 2A4 ¡ 7A3 + 9A2 ¡ 5A+ I.(c) Calcula la matriz N = A¡3 ¡ 4A¡2 + 5A¡1 + 4I.

25. Estudia para que valores reales de t, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo

A =µ

cos t sen tsen t cos t

¶:

26. Encuentra una forma canónica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientesmatrices:

D =

0@

3 2 ¡20 4 ¡10 1 2

1A ; E =

0@

0 ¡1 ¡21 3 11 0 3

1A ; F =

0@

¡2 0 ¡1¡1 ¡1 ¡11 0 1

1A ; G =

0@

3 2 ¡34 10 ¡123 6 ¡7

1A :

27. Diagonaliza las siguientes matrices simétricas

A =

0@

3 ¡1 0¡1 3 00 0 2

1A ; B =

0@

1020 ¡ 10201

1A ; C =

0@

0 1 11 0 11 1 0

1A ;

calculando una matriz de paso P ortogonal que permita escribir su forma diagonal A0 comoA0 = P tAP:

28. Sea B = fe1; e2; e3; e4; e5g una base del espacio vectorial R5. Sea f un endomorfismo de R5

del que se conoce– f (e2) = ¡e2:– f (e3 + e4) = e3 + e4:– f (e5) = 2e5 + e1 ¡ e2:– El polinomio característico de f tiene la raíz triple 2.

24

Page 25: Algebra Problemas

Problemas de Algebra Capítulo 4: Valores y vectores propios.

– Las ecuaciones implícitas, respecto de la base B, del núcleo del endomorfismo f ¡ 2I son8><>:

x1 + x2 + x3 = 0x3 + x4 = 0x5 = 0:

Se pide(a) Matriz de f respecto de la base B.(b) La forma canónica de Jordan de f y una matriz de paso P .

29. Dada la matriz A:

A =

0@

¡1 ® 00 ¡1 ¯0 0 2

1A

donde ® y ¯ son dos números reales. Se pide(a) Estudia para que valores de ® y ¯ la matriz A es diagonalizable.(b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan

y la matriz de paso correspondiente en función de ® y ¯.30. Estudia para qué valores de los parámetros a y b, reales, la matriz

A =

0@

5 0 00 ¡1 b3 0 a

1A

es diagonalizable, calculando:(a) Forma canónica de Jordan y la matriz de paso para los valores a = ¡1 y b = ¡1.(b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129.

31. Sea f un endomorfismo de R3. Se sabe que una base del núcleo del endomorfismo está consti-tuida por los vectores (1; 1; 0) y (1; 0; 1) y que la imagen del vector (0; 2; 1) es el vector (1; 1; 0).Se pide(a) Valores propios y subespacios invariantes de f .(b) Diagonaliza el endomorfismo f .(c) Clasifica dicho endomorfismo.(d) Obten los subespacios invariantes de f n.

25