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Problemas de AlgebraFacultad de Ciencias Qumicas Departamento de Matemticas lgebra

Captulo 1: Espacios vectoriales.

Captulo 1: Espacios vectoriales.Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R3 es subespacio vectorial: (a) S1 = f(x; y; z ) 2 R3 : x = 0g; (b) S2 = f(x; y; z ) 2 R3 : x 3y + 2z = 0g 3 (c) S3 = f(x; y; z ) 2 R : x = 3y = z g; (d) S4 = f(x; y; z ) 2 R3 : x = y y = zg (e) S5 = f(x; y; z ) 2 R3 : y + 2x = 0; z = 5xg; (f ) S6 = f(x; y; z ) 2 R3 : x2 y 2 = 0g (g ) S7 = f(x; y; z ) 2 R3 : x y = 1g; (h) S8 = f(x; y; z ) 2 R3 : xy = 0g: (a) Para ver si S1 es subespacio vectorial, tenemos que probar que u + v 2 S1; 8u; v 2 S1 y que u 2 S1 ; 8u 2 S1 : Sean pues u; v 2 S1: Por pertenecer a S1 ; deben ser de la forma u = (0; y1 ; z1) ; v = (0; y2; z2 ) : Por tanto u + v = (0; y1; z 1) + (0; y2; z2 ) = (0; y3; z 3) ; u = (0; y1; z1 ) = (0; y1; z1) ; y por tanto, S1 es subespacio vectorial. (b) Usando la misma tcnica que en el apartado anterior, tenemos para w = u + v = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2 ) que; x1 + x2 3 (y1 + y2) + 2z 1 + 2z2 = x1 3y1 + 2z1 + x2 3y2 + 2z2 = 0 + 0 = 0; x1 3y1 + 2z1 = (x1 3y1 + 2z 1) = 0: (c) Este conjunto tambien es subespacio y de hecho es la forma continua de una recta. (d) Este conjunto no es un subespacio lineal. V amos a buscar un contraejemplo. Los vectores (1; 1; 0) y (0; 1; 1) pertenecen a S4 ; pero su suma (1; 1; 0)+ (0; 1; 1) = (1; 2; 1) ; no pertenece al conjunto. (e) En este caso, nos estan dando una recta de forma implicita. (f) De nuevo no es subespacio, y vamos a buscar un contrejemplo. Los vectores que nos sirven en este caso son el (1; 1) y el (1; 1) que pertenecen al subespacio, pero cuya suma, (0; 1) ; no. (g) Este conjunto es un subespacio ya que es la forma implicita de un plano. (h) Aqu nos encontramos con un conjunto que no es subespacio ya que los vectores (1; 0) y (0; 1) pertenecen al conjunto y su suma no 2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R 3: (a) u1 = (1; 1; 0); u2 = (1; 3; 1) ; u3 = (5; 3; 2): Calculemos su determinante. Tenemos 1 1 5 1 3 =0 3 0 1 2 1.

luego son linealmente dependientes. una base del subespacio, simplemente Para calcular 1 1 tenemos que tomar el menor A = , cuyo determinante es distinto de cero. Por 1 31

Problemas de Algebra

Captulo 1: Espacios vectoriales.

tanto u1 y u2 son l.i. y forman base del subespacio. Podemos completar esta base a una de R3 si le aadimos el vector e3 = (0; 0; 1) ; ya que el determinante de la nueva matriz es el del menor A: Para encontrar las ecuaciones cartesianas, solo tenemos que buscar los vectores que sean l.d. con u1 y u2, es decir los vectores u = (x; y; z ) tales que 1 1 x 1 3 y = 0 ) x + y + 4z = 0: 0 1 z Para las ecuaciones parametricas solo tenemos que escribir los vectores como combinaciones lineales de los elementos de la base, es decir 8 < x = + y = + 3 8; 2 R: : z =

v1 = (2; 2; 1) ; v2 = (4; 4; 1); v3 = (1; 0; 1): En este caso el determinante vale 6 luego los vectores son linealmente independientes, por lo que forman base de R3 y no tienen ecuaciones paramtricas ni cartesianas. (c) w1 = (3; 1; 2); w2 = (2; 1; 3); w3 = (0; 1; 1): Calculemos de nuevo el determinante. Tenemos que 3 2 0 1 1 1 = 0; 2 3 1(b)

8 < x = 2 y = + : : z = 3 + Una base de R3 que contenga a esta es B = f(1; 0; 0) ; (2; 1; 3) ; (0; 1; 1)g : 3. Determina una base B y las ecuaciones paramtricas del subespacio S de R4 dado por las ecuaciones: 8 > x y +z t = 0 > < 2x +2y z t = 0 4x +z = 0 > > : 3x + y +t = 0 4 Determina una base de R que contenga a B . Tenemos que resolver el sistema. Podemos hacerlo de varias formas. Lo primero es hallar el determinante que es 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 =4 2 1 1 + 2 2 1 4 0 = 0; 1 0 0 1 0 3 1 1 3 1 0 1 luego B debe contener al menos un vector. Como el primer menor de la suma es distinto a cero, sabemos que hay tres ecuaciones l.i. por lo que la base contiene un slo vector. Para hallarlo2

y las paramtricas

luego son linealmente dependientes, por lo que las ecuaciones cartesianas son x 2 0 y 1 1 = 0 ) x +y z = 0 z 3 1

Problemas de Algebra

Captulo 1: Espacios vectoriales.

por lo que y = 3; t = 0; con lo que B = f(1; 3; 4; 0)g : Otra forma de hacer esto es reducir el sistema mediante el mtodo de Gauss. Operando, tenemos 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 2 1 1 C 2F1 B 3 1 C 4F 1 B 3 1 C 3F 1 B C F2! B 0 4 C F3! B0 4 C F 4! @ 4 0 A @ A @ A 1 0 4 0 1 0 0 4 3 4 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 4 3 1 C F4 B 3 1 C F3 B 3 1 C B C F3! B0 4 C F2! B 0 4 C: @ 0 4 A @ A @ 3 4 0 4 3 4 0 0 0 4 A 0 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 De la tercera fila llegamos a que t = 0; y con esto en la segunda fila obtenemos y = 3; z = 4; con lo que x = y z = : 4. Sea P2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Comprueba que p1(x) = x; p2(x) = x 1; p3(x) = (x 1)2 forman una base de P2(x) y determina las coordenadas de p( x) = 2x2 5x + 6 respecto de esa base. Para verificar si estos elementos forman base, vamos a calcular su Wronskiano. Tenemos que x x 1 (x 1)2 x x1 =2 W (x) = 2 (x 1) 1 1 = 2 1 1 0 0 2 luego efectivamente son l.i. y como la dimensin de P2 ( x) es 3; forman base. Para calcular las coordenadas en esta base, planteamos 2x2 5x + 6 = 2ax + bx b + cx2 2cx + c; e igualando grados llegamos al sistema 0 10 1 0 1 0 0 1 a 2 @ 2 1 2 A @ b A = @ 5 A 0 1 1 c 6

sumamos la primera y la ltima ecuacin, obteniendo 4x + z = 0: Tomando x = ; tenemos que z = 4: Ahora de las ecuaciones dos y cuatro tenemos el sistema y + t = 3 2y t = 6

cuya solucin es a = 5=2; b = 4; c = 2: 5. Sea F (R; R ) el espacio de todas las funciones de R en R . Estudia si W es un subespacio de F (R; R) donde: (a)W = ff 2 F (R; R) : f (1) = 0g; (b) W = ff 2 F (R; R) : 2f (0) = f (1)g; (c) W = ff 2 F (R; R) : f ( x) = f (x)g Recordemos que para que W sea subespacio se debe cumplir que Vamos a verificar estas dos condiciones en los tres casos para funciones f; g 2 W y 2 R: (a) Para la primera condicin tenemos que f (1) = 0 = 03 8 u 2 W; 8 2 R ; u 2 R 8 u; v 2 R ; u + v 2 R:

Problemas de Algebra y para la segunda

Captulo 1: Espacios vectoriales.

En el espacio vectorial E = C 2 (R; R) de todas las funciones continuas con segunda derivada continua se considera para a; b 2 R; el subconjunto F = ff 2 E : f 00 + af 0 + bf = 0g: Prueba que F es un subespacio de E: Sean f; g 2 F y ; 2 R: Tenemos que verificar que f + g 2 F: Vamos a introducir este termino y la ecuacin y a operar. Tenemos (f + g ) 00 + a (f + g )0 + b (f + g ) = f 00 + g 00 + af 0 + g 0 + bf + bg = = (f 00 + af 0 + bf ) + (g 00 + ag 0 + bg ) = = 0 + 0 = 0: luego efectivamente es un subespacio vectorial. 7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes: (a) fe2x ; x2; xg F (R ; R): Calculemos el Wronskiano 2x 2 e 1 x2 x 2x x x = e 2x 2 2x 1 = e2x 2 + 4x 4x2 : 2 e 2 x 1 W (x) = 2x 4e 4 2 0 2 0 6.

f (1) + g (1) = 0 + 0 = 0 luego efectivamente es un espacio vectorial. (b) En este caso tenemos 2f (0) = f (1) y por otro lado f (1) + g (1) = 2f (0) + 2g (0) = 2 (f (0) + g (0)) : (c) Por ltimo f ( x) + g (x) = f (x) g (x) = (f (x) + g (x)) :

tomando t = 1=2; tenemos que W = (2 ( 1) 0 0) = 2: 2 Como hay un valor para el que el Wronskiano no es cero, son l.i. 8. Encuentra una base de R4 que contenga a los vectores (0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1). Vamos a ir ampliando esta base de la forma ms sencilla posible. Ponemos estos vectores en forma de matriz 0 1 0 1 B 1 1C C A1 = B @ 1 0 A: 1 1 Como el primer menor es distinto que cero, aadimos un vector tal que el determinante de un

Como no es identicamente cero, las funciones son l.i. (b) fsen t; sen 2tg C [0; 1] donde C [0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0; 1] con valores en R. Calculando el Wronskiano otra vez, sin t sin 2 t W (t) = cos t 2 cos 2t = (2 sin (t) cos (2t) sin (2t) cos (t))

4

Problemas de Algebra nuevo menor 3 3 coincida con el anterior, llegando a 0 1 0 1 0 B 1 1 0C C A2 = B @ 1 0 1A 1 1 0 Aadiendo la ltima columna llegamos a 09.

Captulo 1: Espacios vectoriales.

que se resuelve directamente al ser una matriz triangular, con el resultado a = 358; b = 92; c = 156; d = 46; e = 5: 10. Estudia si los siguientes subconjuntos de M22 ( R) son subespacios vectoriales de M22 (R): (a) S = fA 2 M22 (R) : r (A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A: No, porque el cero no pertenece a S: Podemos adems buscar un contraejemplo de la forma 1 0 1 0 0 0 a= ; r (a) = 1; b = ; r (b) = 1; a + b = ; r (a + b) = 0: 0 0 0 0 0 0(b)

Demuestra que B n = f1; (x 2); (x 2)2 ; :::; (x 2)ng es una base de Pn(x). Si n = 4, halla las coordenadas del vector p(x) = 5x4 + 6x3 4x + 2 respecto de la base B4 : Calculemos el wronskiano 1 (x 2) (x 2) 2 (x 2)n n 1 0 1 2 (x 2) n(x 2) n 2 : 0 0 2 n (n 1) (x 2) WB (x) = . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 n! Como la matriz es diagonal, el determinante es el producto de la diagonal principal, y por tanto, es distinto de cero. Por tanto para hallar las coordenadas pedidas debemos encontrar a; b; c; d; e tales que 5x4 + 6x3 4x + 2 = a + b(x 2) + c(x 2) 2 + d(x 2)3 + e(x 2) 4 y desarrollando esto, tenemos que 5 x4 + 6 x3 4 x + 2 = = a + bx 2b + cx2 4cx + 4c + dx3 6dx2 + 12dx 8d + ex4 8ex3 + 24ex2 32ex + 16e = ex4 + (d 8e) x3 + (c 6d + 24e) x2 + (b 4c + 12d 32e) x + a 2b + 4c 8d + 16e; y en forma de sistema 0 10 1 0 1 1 2 4 8 16 a 2 B0 1 B C B C 4 12 32 C B C B b C B 4 C B0 0 B C B C 1 6 24 C B CB c C =B 0 C @0 0 A @ A @ 0 1 8 d 6 A 0 0 0 0 1 e 5

0 B1 A2 = B @1 1

1 1 0 1

0 0 1 0