Álgebra - luis zegarra a

Capıtulo 1

Introduccion a la logica

matematica y a la teorıa de

conjuntos

1.1. Introduccion

En el algebra actual tiene importancia y muy especialmente en el calculoque se efectua con procesadores electronicos, el analisis del lenguaje desdeun punto de vista logico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomarformas complicadas, pero el analisis de sus partes ofrece la alternativa dedesentranar la esencia de la logica de las formas expresivas mas complejas.

En estas notas, que no pretenden ser mas que una introduccion, no ten-drıa sentido extenderse en la consideracion de los problemas de la logicamatematica sobre los cuales el lector interesado podra consultar obras debuen nivel indicadas en la bibliografıa.

Aquı nos interesaremos en un tipo especial de proposiciones como por ejem-plo 5 es un numero, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para

todo real x, . . . notemos que a estas expresiones se les puede asignar unvalor, segun sean verdaderas o falsas. Quedaran excluıdas de nuestra con-

1

Luis Zegarra A. Introduccion a la logica matematica y a la teorıa de conjuntos 2

sideracion, expresiones tales como: Abre la ventana, Estudia con dedicacion,...

1.2. Elementos de logica

Proposicion. Una proposicion es una expresion de la cual se puede decirsiempre si es verdadera o es falsa (V o F).

Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar queno compete a la logica establecer el valor de verdad de las proposiciones, esdecir, se consideraran las proposiciones simples con su valor ya asignado.

Notacion. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediantelas letras: p, q, r, . . .

Convencion. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posi-bles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U ,se denotan por p ∈ U .

Conectivos o sımbolos. Ocuparemos los siguientes sımbolos, llamadostambien conectivos logicos

∼ : Negacion∧ : Conjuncion∨ : Disyuncion⇒ : Implicacion⇔ : Doble implicacion∨ : Disyuncion excluyente

Antes de definirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere lossiguientes comentarios.


La relacion que establece la conjuncion “y”simbolicamente por “∧.entre dosproposiciones en el lenguaje comun es perfectamente clara, es decir, no dalugar a ninguna ambiguedad.

Por ejemplo, consideramos las proposiciones el 5 es un numero (p), el caballoes un animal (q), al decir el 5 es un numero y el caballo es un animal (decimoslas dos cosas), esta relacion se simboliza en logica: p ∧ q.

La relacion ∧ permite definir una operacion algebraica entre proposiciones,en rigor

p ∈ U y q ∈ U es (p ∧ q) ∈ U.

En cambio, la relacion establecida entre dos proposiciones por la disyunciono, ya no es tan clara. En efecto, si analizamos un poco veremos que, en ellenguaje corriente no tiene significado preciso y unico.

Por ejemplo, si consideramos el sabado ire al cine o al estadio, para cualquieraresulta claro que si voy a un lugar no ire al otro, es decir, que una de lasacciones que realizare excluye la otra.

Si en cambio se dice, regalare los zapatos viejos o los zapatos negros, seentiende que los zapatos que regalare son los viejos y tambien los negros(aunque no sean viejos). El o no es en este caso excluyente.

Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir, es por el sentidogeneral de la frase, pero desde el punto de vista logico sı nos preocupamosexclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos inter-pretaciones diferentes para la relacion establecida entre proposiciones poro.

En forma simbolica, entonces, consideramos ∨ para el o excluyente y ∨ parael o inclusivo.

Dada una proposicion p, simbolizamos mediante ∼ p la negacion de estaproposicion.

Por ejemplo, si p es: el 6 es un numero par, ∼ p sera: el 6 no es un numero

par.


Definicion. Sean p y q dos proposiciones, definiremos las proposiciones∼ p, p ∧ q, p ∨ q y p∨q mediante las llamadas tablas de verdad.

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p∨qV V F V V FV F −− F V VF V V F V VF F −− F F F

Equivalencia. Las tablas de verdad permiten definir la equivalencia oigualdad entre operaciones: dos operaciones seran equivalente si y solo siposeen la misma tabla de verdad.

La equivalencia la simbolizaremos por “≡”.

Implicacion. Otra operacion con proposiciones puede definirse a partirde: si p entonces q que simbolizaremos por: p ⇒ q y se acostumbra a llamarrelacion de implicacion o condicional.

Sin considerar el contenido de la operacion entre proposiciones y de lascuales solo interesan el valor de verdad, p ⇒ q sera V si p y q son verdaderasy sera falsa si p es verdadera y q falsa. La tabla de verdad de la operacion secompleta conviniendo siempre que p sea falsa, el valor de verdad de p ⇒ qsera V.

Lo anterior se resume en

p q p ⇒ qV V VV F FF V VF F V


Trataremos de explicar en lo posible la arbitrariedad de esta definicion.

El lector puede probar sin dificultad que: p ⇒ q ≡∼ p ∨ q.

El uso del condicional para vincular proposiciones sin relacion entre si, puedehacer ver como paradojales, por ejemplo,

Si la escalera es de madera, entonces el perro es un mamıfero

se trata de una proposicion compuesta, verdadera si las dos proposicionessimples son verdaderas. Sin embargo, debe recordarse que la proposicioncompuesta anterior no tiene ni mas ni menos significado que lo que resultaaplicando la conjuncion de las mismas dos proposiciones simples,

La escalera es de madera y el perro es un mamıfero.

Lo importante es indicar que cuando el condicional se usa para expresar queuna proposicion implica logicamente otra, lo que se expresa al escribir:p ⇒ qsignifica que q es verdadera en todos los casos logicamente posible en que

p es verdadera. En tal caso, el condicional no es una operacion entre dosproposiciones simples sino una relacion entre la proposicion simple p y lacompuesta p ⇒ q. Por tanto, p ⇒ q debe entenderse como: Si p es verdadera

implicara q verdadera si y solo si el condicional p ⇒ q es logicamente ver-

dadero. Dicho de otra forma, p ⇒ q significa, q es verdadera siempre que psea verdadera.

Teoremas. En Matematica la relacion de implicacion se usa como unmetodo de razonamiento: p ⇒ q significa ahora q se deduce logicamente de

p.

En general, un teorema expresa: si p es verdadera entonces q es verdadera,ası se dice que p es una hipotesis y q es una tesis.

p ⇒ q puede leerse de las siguientes maneras: si p entonces q, p es condicionsuficiente para q, q es condicion necesaria para p, q si p, p solo si q.


Si p ⇒ q se llama un teorema directo

q ⇒ p se llama al teorema recıproco

∼ p ⇒∼ q se acostumbra a llamar el teorema inverso

∼ q ⇒∼ p se llama finalmente el teorema contrarecıproco.

Notese que sus tablas de verdad son facilmente construibles, es decir:

p q p ⇒ q q ⇒ q ∼ p ⇒∼ q ∼ q ⇒∼ pV V V V V VV F F V V FF V V F F VF F V V V V

De estas tablas se tiene que los teoremas directo y contrarecıproco tienen elmismo valor de verdad, como tambien los teoremas recıproco e inverso.

Notese tambien que como p ⇒ q ≡∼ p ∨ q≡ q∨ ∼ p≡∼ (∼ q)∨ ∼ p≡∼ q ⇒∼ p

como era de esperar.

Ejemplo. Sea el teorema directo: si n2 es par, entonces n es par, n ∈ N

(verdadero).

Esto puede expresarse en forma equivalente diciendo:

1. Que n2 sea par es condicion suficiente (pero no necesaria) para que nsea par.

2. Que n sea par es condicion necesaria (pero no suficiente) para que n2

sea par.

3. n es par si n2 es par.


4. n2 es par solo si n par.

El teorema recıproco: del directo dado sera si n es par entonces n2 es par(verdadero).

El teorema inverso: si n2 es impar (no es par) entonces n es impar (ver-dadero).

El teorema contrarecıproco: si n es impar entonces n2 es impar (verdadero).

La demostracion de este teorema directo la haremos por el teorema con-trarecıproco, es decir:

Si n es impar ⇒ n = 2k − 1 ⇒ n2 = 4k2 − 4k + 1, k ∈ N

⇒ n2 = 2(2k2 − 2k) + 1⇒ n2 = 2p + 1, p = 2k2 − 2k, p ∈ N0

por tanto, n2 es impar.

Notese que el teorema del ejemplo anterior puede completarse como:

n2 es par si y solo si n es par (verdadero)

En matematica el si y solo si simbolicamente se expresa por ⇔ que se llamabicondicional o doble implicacion y se expresa tambien por p es condicion

necesaria y suficiente para que q

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

de donde su tabla de verdad facilmente es

p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ qV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V


Volviendo al teorema n2 es par ⇔ n es par (*).

La demostracion de: si n es par entonces n2 es par, es trivial.

Notemos por ultimo que en una proposicion como (*) que es verdadera,todos los teoremas: directo, recıproco, inverso y contrarecıproco son ver-daderos. No ocurre ası en un teorema directo del tipo p ⇒ q (verdadero),tal es el caso del ejemplo siguiente:

Si el △ ABC es equilatero, entonces el △ ABC es isosceles. (Verdadero)

El recıproco e inverso son falsos (compruebelo Ud.).

En resumen:

Para formalizar la demostracion de muchas proposiciones en matematicaque se presentan en la forma p ⇒ q o q ⇒ p, se tiene los siguientes casos:p ⇒ q es V, o q ⇒ p es V, o ambas son verdaderas. Es decir:

1. Si p ⇒ q es V (p es condicion suficiente para q).

2. Si q ⇒ p es V (p es condicion necesaria para que q).

3. Si p ⇒ q ∧ q ⇒ p son verdaderos entonces se dice que p es condicionnecesaria y suficiente para q y se ocupa p ⇔ q tambien se dice p si y

solo si q o p ssi q.

Formas de demostracion. En concreto hay dos formas de demostracion:

1. Forma directa: p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn)︸︷︷︸

Hipotesis

⇒ q︸︷︷︸

Tesis

2. Forma indirecta (reduccion al absurdo): este metodo consiste en negarla tesis y considerarla como hipotesis y se trata de inferir validamentela negacion de alguna de las hipotesis pi, i = 1, 2, . . . , n.


(∼ q)︸︷︷︸

Negacion de la tesis

∧p1 ∧ p2 . . . pi−1 ∧ pi+1 . . . ⇒∼ pi para algun i,

i = 1, 2, . . . , n

En efecto:

∼ [∼ q ∧ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pi−1 ∧ pi+1 ∧ . . . ∧ pn)]∨ ∼ pi

⇔ q∨ ∼ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pi−1 ∧ pi−1 ∧ pi+1 ∧ . . . pn)∨ ∼ pi

⇔ q∨ ∼ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pi−1 ∧ pi ∧ pi+1 ∧ . . . ∧ pn)

⇔ ∼ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) ∨ q ⇔ [p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn] ⇒ q

Ejemplos.

1. Vamos a demostrar por los dos metodos la siguiente implicacion logica:

(p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q)

Forma directa:

(p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q) ≡ ∼ (p ∧ q) ∨ (p ∨ q)

≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ (p ∨ q)

≡ (∼ p ∨ p) ∨ (∼ q ∨ q) ≡ V

Forma indirecta:

(∼ p∧ ∼ q) ∧ (p ∧ q) ⇒∼ (p ∧ q) ≡ (∼ p ∧ p) ∧ (∼ q ∧ q) ⇒∼ (p ∧ q)

≡ F ⇒∼ (p ∧ q)

≡ V ∨ ∼ (p ∧ q) ≡ V

2. (Clasico). Vamos a probar que√

2 no es un numero racional. La de-mostracion es por el metodo por reduccion al absurdo (forma indirec-ta).

Suponemos que√

2 es racional, existen p y q primos entre sı, p, q ∈ Z,q 6= 0, tal que

p

q=

√2 ⇔ p =

√2q ⇔ p2 = 2q2 ⇒ p2 par ⇒ p es par.


Ahora, sea p = 2k, k ∈ Z ⇔ 4k2 = 2q2 ⇔ 2k2 = q2 ⇔ q2 es par ⇒q es par, por tanto, p y q contienen al factor 2, lo que contradice quep y q sean primos entre sı, por tanto, lo supuesto no es valido, ası

√2

no es racional.

Hemos visto como vincular entre sı dos proposiciones simples mediante lossimbolos: ∼,∨,∧,∨,⇒ y ⇔. A estas nuevas proposiciones les hemos llama-do compuestas y naturalmente en este mismo contexto se pueden estudiarproposiciones compuestas de tres o mas proposiciones simples, por ejemplo:

∼ (p ∧ q) ⇒ (p∨q) ∨ (∼ q)

(p ∧ q) ⇔ (q∨ ∼ p)

((p ∨ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

Definiciones

1. Diremos que una proposicion es una tautologia si la columna final desu tabla de verdad solo tiene V . O bien, si para cualquier valor deverdad para las proposiciones simples que la componen, su valor finales equivalente con V .

2. Diremos que una proposicion es una contradiccion si la columna finalde su tabla de verdad solo tiene F .

3. Diremos que dos proposiciones p y q son equivalentes, en sımbolosp ≡ q, si y solo si p ⇔ q es una tautologıa.

Note que esta nueva definicion es equivalente a la que se diera ante-riormente.

Propiedades. A continuacion daremos una lista de algunas equivalenciasde uso frecuente. Sus demostraciones se dejan al lector.

1. p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F


2. p ∨ V ≡ V ; p ∨ F = p

3. p ∧ p ≡ p; p ∨ p ≡ p

4. ∼ (∼ p) ≡ p; ∼ F ≡ V ; ∼ V ≡ F

5. p ∧ (∼ p) ≡ F ; p ∨ (∼ p) ≡ V

6. p ∧ q ≡ q ∧ p; p ∨ q ≡ q ∨ p

7. p ∧ (q ∧ r) ≡ ((p ∧ q) ∧ r); p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r);

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

9. ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q; ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q

10. p ∧ (p ∨ q) ≡ p; p ∨ (p ∧ q) ≡ p

1.3. Formas proposicionales

Deciamos anteriormente que una proposicion es una expresion que puedeser verdadera o falsa. Para aclarar esta observacion frecuentemente, enmatematicas, escribimos afirmaciones tales como:

a) x + 1 = 3

b) x2 − 5x + 6 = 0

c) x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)

d) x2 = 25 ∧ x + 1 = 6

De estas afirmaciones no es posible decir si son verdaderas o falsas, porqueaun no hemos fijado el valor de x, ası en:

a) Es verdadera para x = 2 y falsa para otro valor de x.


b) Es verdadera para x = 2 ∨ x = 3 y falsa para otros valores de x.

c) Verdadera para todos los valores numericos de x; falsa para ningun x.

d) Verdadera para x = 5 y falsa para otro valor de x.

Definicion. Una forma proposicional o proposicion abierta, es una afir-macion que contiene a una o mas variables, la cual llega a ser proposicioncuando se especifican los valores de las variables.

Observaciones.

1. Las formas proposicionales pueden contener dos o mas variables.

2. La definicion anterior no es completa, en tanto que se refiere a lasvariables, las cuales hasta ahora no han sido definidas.

Cuando nos encontramos ante el problema de asignar valores a x, debemosdecidir que valores de x son posibles. Esto es, debemos tener ideas clarassobre un conjunto de numeros, figuras geometricas, gente, etc. que seranobjeto de analisis. A este conjunto se acostumbra a llamar conjunto universoU .

Definicion. Una variable es un elemento en una afirmacion que puede serreemplazada por un elemento del conjunto U .

Las variables, comunmente pero no en exclusiva, se representan por lasletras minusculas del final del alfabeto, es decir, x, y, z.

Definicion. Una constante es un elemento que se fija de antemano de unconjunto dado.


Definicion. El conjunto verdadero de una forma proposicional es el con-junto de elementos del conjunto universo U , cuya sustitucion por x, con-vierte la forma proposicional en una proposicion verdadera.

En un estudio mas formal utilizaremos notaciones tales como: px o p(x), qx,rx, . . . etc. para representar formas proposicionales con variable x, al con-junto verdadero de px se denotara por {x / px}. Naturalmente los sımboloslogicos antes definidos para proposiciones simples o compuestas, se extien-den para las formas proposicionales.

1.4. Cuantificadores

Observe el siguiente par de ejemplos:

1. Si k es un numero entero impar, entonces k2 es un numero enteroimpar.

2. x2 = 1 si y solo si (x − 1)(x + 1) = 0, para todo x numero real.

Como vimos anteriormente en el caso de 1) escribimos: Si pk entonces qk omas simplemente, pk ⇒ qk entonces

pk : k es un numero entero impar.

qk : k2 es un numero entero impar.

pk y qk son formas proposicionales.

En el caso de 2), simplemente escribimos px ⇔ qx.

No obstante, algo se nos ha escapado y que a menudo se ignora para 1): sik es un entero impar, entonces k2 es un entero impar, realmente queremosdecir, para todos los enteros x, si es un entero impar, entonces k2 es unentero impar.


En otras palabras, nuestras implicaciones son proposiciones generales quetienen que ser verdaderas para todos los valores de la variable incluida,escribiremos esta situacion en la forma

∀ x ∈ U : px ⇒ qx (*)

en la que se lee: para todos los x en U, si px entonces qx.

El sımbolo ∀ se lee para todo y se llama cuantificador universal. Notemos que(*) ya no es una forma proposicional, sino una proposicion que es verdaderao falsa.

Analizando un poco mas (*), se tienen:

1. Si qx es verdad para cada x, para la que px es tambien verdad, entonces∀ x ∈ U : px ⇒ qx es verdad.

2. Si hay, por lo menos, un valor de x para el cual px es verdad y qx esfalso, entonces ∀ x ∈ U : px ⇒ qx es falso.

En resumen, “para todo x ∈ U , px es verdadero”se simboliza por: “∀ x ∈U : px”. Ahora, notemos el siguiente ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4}, existe en U un elemento cuyo cuadrado es 4. En sımbo-los se acostumbra a representar por:

∃ x ∈ U : x2 = 4, px (px : x2 = 4)

∃ se conoce con el nombre de cuantificador existencial.

Notemos que para este ejemplo la proposicion es verdadera.

Ası pues: “existe x ∈ U tal que px es verdadera”se denota por “∃ x ∈ U : px”.

Otro ejemplo, hay un elemento en U que es mayor que todos los demas, asi,

(∃ x ∈ U)(∀ y ∈ U)(x > y), U = {1, 2, 3, 4}.

Esta proposicion es falsa.


En general, la verdad o falsedad de proposiciones como las que hemos escritodepende del conjunto Universo y de las operaciones definidas en este.

Ejemplo. Averiguamos el valor de verdad de los siguientes enunciados:

p : ∀ x ∈ Q,∃ y ∈ Q : 2x + y = 0q : ∃ y ∈ Q,∀ x ∈ Q : 2x + y = 0

Para p:

Si x = 1

2∃ y = −1 : 21

2+ (−1) = 0 (V )

Si x = −5 ∃ y = 10 : 2(−5) + 10 = 0 (V ),

es decir, para cualquier x ∈ Q existe y = (−2x) tal que 2x + y = 0, portanto p es V.

Para q: si y = 1

2la igualdad 2x + 1

2= 0 no se cumple ∀ x ∈ Q, por tanto q

es F.

Negacion de cuantificadores. La regla general para construir la ne-gacion de una forma proposicional es la siguiente: Los ∀ se cambian por

∃ y los ∃ se cambian por ∀ y despues se niega la forma proposicional. Lanegacion de la forma se construye mecanicamente del mismo modo como serealiza la negacion de una proposicion.

Ejemplos.

1. ∼ {∀ x ∈ U,∃ y ∈ U : x + y = 5 ⇒ x = y} ≡ ∃ x ∈ U,∀ y ∈ U :

∼ [∼ (x + y) = 5 ∨ (x = y)] ≡ ∃ x ∈ U,∀ y ∈ U : x + y = 5 ∧ x 6= y

2. ∼ {∀ x ∈ U,∀ y ∈ U,∃ z ∈ U(x < y ⇒ x + z = y)}≡ ∃ x ∈ U,∃ y ∈ U,∀ z ∈ U(x < y ∧ x + z 6= y).


1.5. Ejercicios Resueltos

1. Siendo p los precios son bajos y q los precios no suben, escribir enlenguaje corriente las expresiones simbolicas siguientes:

a) ∼ qb) p ∧ qc) p∧ ∼ q

d) ∼ p∧ ∼ qe) ∼ (p∨ ∼ q)

Solucion.

a) ∼ q: los precios suben

b) p ∧ q: los precios son bajos y los precios no suben

c) p∧ ∼ q: los precios son bajos y los precios suben

d) ∼ p∧ ∼ q: los precios no son bajos y los precios suben

e) ∼ (p∨ ∼ q): no es cierto que los precios son bajos o los preciossuben

2. Sean p tengo un loro y q tengo un gato, escribir en lenguaje corrientey luego simplificar,

∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p)

Solucion.

Notemos previamente que:

∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡∼ [(∼ p∨ ∼ (∼ q)) ∨ (∼ p)]

lo cual se puede escribir como: No es cierto que no tengo un loro o no

es cierto que no tengo un gato o bien, no tengo un loro (*)

Simplificando,

∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡ (p∧ ∼ q) ∧ p ≡ p ∧ (∼ q ∧ p) ≡

p ∧ (p∧ ∼ q) ≡ (p ∧ p)∧ ∼ q ≡ p ∧ (∼ q)

Asi, (*) es equivalente a afirmar: tengo un loro y no tengo un gato.

3. Pruebe que:


a) (p ∧ q) ⇔∼ (p ⇒ (∼ q))

b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [p ∧ (∼ q) ⇒ r]

Solucion.

La haremos mediante tablas de verdad, luego:

a)(p ∧ q) ⇔ ∼ ( p ⇒ ∼ q)V V V V V V F FV F F V F V V VF F V V F F V FF F F V F F V V

b)[p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ ∼ q ) ⇒ r]V V V V V V V F F V VV V V V F V V F F V FV V F V V V V V V V VV F F F F V V V V F FF V V V V V F F F V VF V V V F V F F F V FF V F V V V F F V V VF V F F F V F F V V F

4. Pruebe que:

a) [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c)

b) (a ⇒ b) ⇒ [(c ∨ a) ⇒ (c ∨ b)]

Solucion.

La haremos tambien por medio de Tablas de Verdad.


a)[(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c)V V V V V V V V V V VV V V F V F F V V F FV F F F F V V V V V VV F F F F V F V V F FF V V V V V V V F V VF V V F V F F V F V FF V F V F V V V F V VF V F V F V F V F V F

b)(a ⇒ b) ⇒ [(c ∨ a) ⇒ (c ∨ b)]V V V V V V V V V V VV V V V F V V V F V VV F F V V V V V V V FV F F V F V V F F F FF V V V V V F V V V VF V V V F F F V F V VF V F V V V F V V V FF V F V F F F V F F F

Como se podra dar cuenta las pruebas mediante el uso de tablas deverdad son sencillas, a modo de ejercicio Ud. puede verificar medianteestas, todas las pruebas de las propiedades del algebra de proposicionesestablecidas anteriormente.

5. Siendo p y q proposiciones cualesquiera, la proposicion, (p ⇒ q) ⇔[(p ∨ q) ⇔ q],

a) ¿Es siempre verdadera?

b) ¿Es verdadera si y solo si p lo es?

c) ¿Es verdadera si y solo si q es falsa?

d) ¿Es verdadera si y solo si p y q lo son?

Solucion.

Construyendo su tabla de verdad, tenemos:


(p ⇒ q) ⇔ [(p ∨ q) ⇔ q]V V V V V V V V VV F F V V V F F FF V V V F V V V VF V F V F F F V F

La tabla de verdad de esta proposicion nos indica que siempre esverdadera (tautologıa).

6. Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que:

a) p ∧ (∼ q)) ⇒ r ≡ (∼ p) ∨ (q ∨ r)

b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ (r ∧ (∼ q))

Solucion.

a) Teniendo presente las propiedades del algebra de proposicionesenunciadas anteriormente, tenemos:

(p∧(∼ q)) ⇒ r ≡∼ (p∧(∼ q))∨r ≡ ((∼ p)∨q)∨r ≡ (∼ p)∨(q∨r).

b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ [(p ∧ q) ∧ (∼ q)] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡≡ [p ∧ (q ∧ (∼ q))] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡ [p ∧ F ] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡≡ F ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡ (r ∧ (∼ q)).

7. ¿Cual es la relacion que existe entre las proposiciones siguientes?:

p ⇒ [p∧ ∼ (q ∨ r)] y ∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r).

Solucion. Transformando la primera expresion, tenemos:

p ⇒ [p∧ ∼ (q ∨ r)] ≡ (∼ p) ∨ [p ∧ ((∼ q) ∧ (∼ r))] ≡≡ [(∼ p) ∨ p] ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r)] ≡ V ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r)] ≡≡ (∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r).

Con lo que podemos afirmar que entre estas dos proposiciones hayuna relacion de equivalencia.

8. Se define ∆ como la conjuncion negativa, es decir, p∆q se lee ni p ni

q.


a) Construya la tabla de verdad de p∆q.

b) Pruebe que:

i) ∼ p ≡ p∆p

ii) p ∨ q ≡ (p∆q)∆(p∆q)

iii) p ∧ q ≡ (p∆p)∆(q∆q)

iv) (p ⇔ q)∧ ∼ (p ∧ q) ≡ p∆q

Solucion.

a) Notese que p∆q es verdadero si no es verdadero p ni lo es q, luego

p q p∆qV V FV F FF V FF F V

b) i) p ∼ p p∆pV F FF V V

ii) Por i) p ∨ q ≡∼ (p∆q), por tanto,

p q p ∨ q p∆q ∼ (p∆q)V V V F VV F V F VF V V F VF F F V F

iii) Por i) es suficiente probar p ∧ q ≡∼ p∆ ∼ q

p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ p∆ ∼ qV V F F V VV F F V F FF V V F F FF F V V F F


iv) p ⇔ q∧ ∼ (p ∧ q) ≡ [p ⇒ q ∧ q ⇒ p] ∧ (∼ p∨ ∼ q)≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q)≡ (∼ p ∨ q) ∧ [∼ q ∨ (p∧ ∼ p)] ≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q)≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q) ≡∼ p∧ ∼ q ≡∼ (p ∨ q)≡∼ (∼ (p∆q) ≡ p∆q

9. Simplifique la siguiente expresion: [(∼ p) ∨ (∼ q ⇔ p)] ⇒ q.

Nosotros usaremos que: (∼ q ⇔ p) ≡ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q). Ustedverifıquelo a modo de ejercicio, luego:

[(∼ p) ∨ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q)] ⇒ q; y como a ⇒ b ≡∼ a ∨ b

∼ [∼ p∨ (q ∨ p)∧ (∼ p∨ ∼ q)]∨ q ≡∼ [(∼ p∨ q)∨ p∧ (∼ p∨ ∼ q)]∨ q

≡∼ [(q∨ ∼ p)∨p∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡∼ [q∨(∼ p∨p)∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡≡∼ [q ∨ V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ [V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ (∼ p∨ ∼q) ∨ q ≡≡ (p ∧ q) ∨ q ≡ (p ∧ q) ∨ (V ∧ q) ≡ (p ∨ V ) ∧ q ≡ V ∧ q ≡ q

10. Simplifique las siguientes expresiones:

a) (p ∨ q) ⇒ (∼ p ∧ q)

b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q)

c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q)

Solucion.

a) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡∼ p ∧ (∼q ∨ q) ≡∼ p ∧ V ≡∼ p.

b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ (p ∧ q) ∧ (∼ q) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ p ∧ (q∧ ∼q) ∨ (r∧ ∼ q)

≡ (p ∧ F ) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ F ∨ (r∧ ∼ q) ≡ (r∧ ∼ q).

c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q) ≡∼ [(p ⇒ q) ⇒ q] ∨ (p ∨ q) ≡≡∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡∼ [(p∧ ∼ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡≡ [∼ (p∧ ∼ q)∧ (∼ q)]∨ (p∨ q) ≡ [(∼ p∨ q)∧ (∼ q)]∨ (p∨ q) ≡≡ [(∼ p∧ ∼ q)∨ (q∧ ∼ q)]∨ (p∨q) ≡ [(∼ p∧ ∼ q)∨F ]∨ (p∨q) ≡≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (p ∨ q) ≡∼ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q) ≡ V ,

esto quiere decir que la proposicion es una tautologıa.


11. Sea A = {1, 2, 3, 4} el conjunto universal. Determinar el valor de ver-dad de cada enunciado:

a) ∀ x : x + 3 < 6

b) ∀ x : x2 − 10 ≤ 8

c) ∃ x : 2x2 + x = 15

d) ∃ x : x2 > 1 ⇒ x + 2 = 0

Solucion.

a) Falso, porque si x = 4 : 4 + 3 = 7 6< 6

b) Verdadero. 12−10 = −9 ≤ 8; 22−10 = −6 ≤ 8; 32−10 = −1 ≤ 8;42 − 10 = 6 ≤ 8

c) Falso. No existe x ∈ A : 2x2 + x = 15

d) Verdadero, porque si x = 1 : 1 > 1 ⇒ 1 + 2 = 0, (F ⇒ F ≡ V ).

12. Negar los siguientes enunciados:

a) ∃ y p(y) ⇒ ∀ x(∼ q(x))

b) ∃ x(∼ p(x)) ∨ ∀ x q(x)

c) ∃ x ∀ y (p(x, y) ⇒ q(x, y))

Solucion.

a) ∃ y p(y) ⇒ ∀ x(∼ q(x)) ≡∼ (∃ y p(y)) ∨ ∀ x (∼ (q)), ahoranegando: ∼ [∼ (∃ y p(y)) ∨ ∀ x(∼ q(x))] ≡ ∃ y p(y) ∧ ∃ x q(x).

b) ∼ [∃ x(p(x)) ∨ ∀ x q(x)] ≡ ∀ x p(x) ∧ ∃x(∼ q(x))

c) ∼ [∃ x ∀ y(p(x, y) ⇒ q(x, y))] ≡ ∀ x ∃ y ∼ [p(x, y) ⇒ q(x, y)] ≡∀ x ∃ y ∼ [∼ p(x, y) ∨ q(x, y)] ≡ ∀ x ∃ y(p(x, y)∧ ∼ q(x, y)).

13. Se sabe que:

Si Pedro no es alumno de la U.C. o Juan es alumno de la U.C., entoncesJuan es alumno de la U. Ch.

Si Pedro es alumno de la U.C. y Juan no es alumno de la U. Ch.,entonces Juan es alumno de la U.C.


Se desea saber en que universidad estudia Juan.

Solucion.

Sean p: Pedro es alumno de la U.C.q: Juan es alumno de la U.Ch.r: Juan es alumno de la U.C.

Sabemos que:

{[(∼ p ∨ r) ⇒ q] ∧ [(p∧ ∼ q) ⇒ r]} ≡ V

{[∼ (∼ p ∨ r) ∨ q] ∧ [∼ (p∧ ∼ q) ∨ r]} ≡ V

{[∼ (∼ p ∨ r) ∨ q] ∧ [(∼ p ∨ q) ∨ r]} ≡ V

{[∼ (∼ p ∨ r) ∧ (∼ p ∨ r)] ∨ q} ≡ V

[F ∨ q] ≡ V ⇔ q ≡ V

Luego, Juan es alumno de la U.Ch.

14. Negar la siguiente expresion:

(∀ ǫ > 0)(∃ δ > 0)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − ℓ| < ǫ)

Solucion.

Previamente:

(∀ ǫ > 0)(∃ δ > 0)(∼ (0 < |x − x0| < δ) ∨ |f(x) − ℓ| < ǫ)

ahora negando resulta:

(∃ ǫ > 0)(∀ δ > 0)(0 < |x − x0| < δ ∧ |f(x) − ℓ| ≥ ǫ)

15. A partir del algebra proposicional, demostrar la validez del siguienteargumento:

Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primoo 5 es divisor de 9. Ademas, 11 es primo. Por tanto, 2 es impar.

Solucion.

Sean:


p : 2 es parq : 5 es dividor de 9r : 11 es primo

y el argumento se expresa por:

{[(p ⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q)] ∧ r} ⇒∼ p

lo que es verdadero, pues:

{[(p ⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q)] ∧ r}⇔ {[[∼ (∼ q) ⇒ (∼ p)] ∧ (r ⇒ q)] ∧ r} contrarecıproco

⇔ {(q ⇒∼ p) ∧ [(r ⇒ q) ∧ r]}⇔ {r ∧ (r ⇒ q) ∧ (q ⇒∼ p)} conmutatividad

pero como r ∧ (r ⇒ q) ⇒ q, (*) se tiene que:

⇒ {q ∧ (q ⇒∼ p} ⇒∼ p (hemos aplicado nuevamente (*))

16. Demuestre:

a) p∨q ≡ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)

b) ∼ [p ⇒∼ (q∨ ∼ p)] ⇔ (p ∧ q)

Demostracion.

a) Es simple, verificar mediante tablas.

b) Tenemos que:

∼ [p ⇒∼ (q∨ ∼ p)] ⇔ [p ∧ (q∨ ∼ p)∧ ∼ (q∧ ∼ p)]⇔ [p ∧ (q∨ ∼ p) ∧ (∼ q ∨ p)]⇔ {[(p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ p)] ∧ (∼ q ∨ p)}⇔ (p ∧ q) ∧ (∼ q ∨ p) ⇔ p ∧ [q ∧ (∼ q ∨ p)]⇔ p ∧ [(q∧ ∼ q) ∨ (q ∧ p)] ⇔ p ∧ (q ∧ p) ⇔ p ∧ q

1.6. Ejercicios propuestos

1. Siendo p: Jose es estudioso y q: Juan es estudioso, escribir en formasimbolica:


a) Jose es estudioso y Juan no es estudioso.

b) Jose no es estudioso y Juan es estudioso.

c) Jose y Juan, no son estudiosos.

d) No es cierto que Juan o Jose sean estudiosos.

Respuestas.

a) p ∧ (∼ q)

b) (∼ p) ∧ q

c) ∼ p∧ ∼ q

d) ∼ (q ∨ p)

2. En cual de sus significados esta “o”(no excluyente) en las siguientesproposiciones:

a) Si ganase mucho dinero o ganara la loterıa, harıa un viaje.

b) El lunes ire a la estacion de trenes o al terminal de buses.

c) x = 3 o x = −2

Respuesta.En a)

3. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuales de las siguientes proposi-ciones son equivalentes:

a) p∨ ∼ q;

b) ∼ p ∨ q;

c) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q);

d) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)

Respuesta.Son equivalentes a), c) y d).

4. Encuentre el valor de verdad de

[∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ (r ⇒∼ p)

si p: el numero 2 es par, q es F y r: los gatos tienen 5 patas.

Respuesta.V


5. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

a) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇔ (p∨ ∼ q)

b) p∨(q ∨ r)

c) ∼ (∼ p ⇔ q)

d) ∼ (∼ p ⇔ q)

e) (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ p ∨ q)

f ) [p ∧ (∼ q ⇒ p)] ∧ [(p ⇔∼ q) ⇒ (q∨ ∼ p)]

6. Pruebe que son tautologıas:

a) [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p]

b) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q)

c) q ⇒ (p ⇒ q)

d) (p ∧ q) ⇒ r ⇔ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)

e) p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)]

f ) (p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r))

g) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p

7. Probar las siguientes equivalencias:

a) p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r

b) p ∧ (q∨r) ≡ (p ∧ v)∨(p ∧ r)

c) p ∨ q ≡ (p∨q)∨(p ∧ q)

d) p ∧ q ≡ p∨(p∧ ∼ q)

e) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

f ) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q

g) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

8. Averiguar si son equivalentes las proposiciones:

(p ∧ q) ⇒ r y [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

Respuesta.No.


9. Encuentre el valor de verdad de: [(p ⇒ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) si

a) p es V, q es V, r es F

b) p, r son F, q es V

c) p es F, q es F y r es F

d) si todas son verdaderas

10. Simplificar las siguientes proposiciones:

a) p ∧ (q∧ ∼ p)

b) (p ∧ q) ∨ p

c) (p ⇒ q)∨ ∼ p

d) (p ⇒ q) ∨ p

e) (q ⇒ p) ⇒ p

f ) (p ⇒ q) ⇒ p

g) (p ⇒∼ q) ∨ q

h) p∧ ∼ (q ⇒ p)

i) [p ∨ (q ⇔∼ p)] ⇒∼ q

j ) [∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ [r ⇒ (p ∨ r)]

k) ∼ p ∧ (q ∧ p)

l) {p ⇒ (∼ p ∨ r)} ∧ {r ⇒∼ p}m) {∼ (p ⇒ q) ⇒∼ (q ⇒ p)} ∧ (p ∨ q)

Respuestas.

a) Fb) pc) p ⇒ qd) Ve) p ∨ qf) ∼ qg) V

h) Fi) ∼ pj) Vk) Fl) ∼ pm) q

11. Derive a partir de las equivalencias elementales, las siguientes equiv-alencias:


a) ((p ∧ q) ⇒ r) ≡ ((p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r))

b) ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒∼ p ≡ q ⇒∼ p

12. Demostrar sin el uso de tablas de verdad:

a) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

b) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

c) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡∼ p

d) ∼ (p ⇒∼ q) ⇔ (p ∧ q)

e) (p∧ ∼ q) ⇒ r ≡∼ p ∨ (q ∨ r)

f ) [{(p ⇒ q)∧ (p ⇒ t)}∨{(r ⇒ q)∧ (r ⇒ t)}] ≡ {(p∧ r) ⇒ (q∧ t)}

13. Exprese en sımbolos logicos y despues niegue las siguientes oraciones:

a) Todo multiplo de 4 es numero primo.

b) Si 2 es par entonces todos los numeros son pares.

c) Todo numero mayor que 2 es la suma de dos numeros primos.

14. Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escribir en sımbolos y averiguar el valor deverdad de:

a) Hay un elemento que es mayor que todos.

b) Existe un unico elemento cuyo cuadrado es 4.

c) Para todos los elementos de A, sea x el elemento que sumado1 unidad, siempre es mayor que cero entonces su cuadrado esmenor que 35.

d) Para cada elemento existe otro que es menor o igual que el.

15. Si las proposiciones a y b son tales que la proposicion ∼ (a∧b) ⇒ (a∨b)es verdadera, determinar el valor de verdad de (a ∧ b) ∨ (a ∨ b).

16. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}.

a) Hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados

b) Negar estos enunciados:

1) (∃ x ∈ A)(x + 3 = 10)


2) ∀ x ∈ A)(x + 3 < 10)

3) (∃ x ∈ A)(x + 3 < 5)

4) (∀ x ∈ A)(x + 3 ≤ 7)

5) (∃! x ∈ A)(x2 − 3x + 2 = 0

17. Escribir en sımbolos las siguientes expresiones. Considere como uni-verso el conjunto de los numeros naturales.

a) Todo numero es mayor o igual que sı mismo.

b) Si el numero x es menor que y, entonces no es mayor que 9.

c) x sumado con algun numero resulta x.

d) El producto de x con y es mayor que x, y mayor que y.

18. ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) Si p ∨ q ≡ F entonces ∼ [(∼ q ⇒ p)∧ ∼ p] es una tautologıa.

b) Es suficiente que p∨q sea falsa para que p y q sean equivalentes.

c) No es necesario que p sea verdadera y q sea falsa para que [p ∨(q∧ ∼ p)]∨ ∼ q sea verdadero.

Respuesta.a), b) y c) son verdaderas.

19. Demuestre las siguientes equivalencias sin uso de tablas de verdad.

a) (p ⇒ q) ≡ {(p∧ ∼ q) ⇒ q}b) (p ⇔ q) ≡ (∼ p ⇔∼ q)

c) {p ⇒ (q ∧ r)} ≡ {(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)}d) {(p ∧ q) ⇒ r} ≡ {(p∧ ∼ r) ⇒∼ q}e) {p ⇒ (p∧ ∼ (q ∨ r))} ≡∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r)

f ) [(∼ p ∨ q) ∨ (∼ r∧ ∼ p)] ≡ (q∨ ∼ p)

20. Indique en cuales de los siguientes casos p es condicion suficiente paraq; y en cuales p es condicion necesaria y suficiente para q.

a) p: A es multiplo de 4q: A es numero par


b) p: A y B son pares,q: A + B es par.

Respuestas.

a) p es condicion suficiente para q pero p no es condicion necesariapara q.

b) Mismas conclusiones para i).

21. Si las proposiciones compuestas

i) p ⇔ (∼ q∨ ∼ r) y

ii) ∼ p∨q

son siempre verdaderas. Demuestre que la proposicion [∼ r∧(p∨s)] ⇒s ∨ q es tambien verdadera.

22. Negar las siguientes afirmaciones:

a) ∀ x∃ y (x + y = 5 ⇒ y = −x)

b) ∀ x∀ y [(x + y es impar) ⇒ (x es impar ∨ y es impar)]

c) ∃ x ∀ y (x < y ∧ x2 ≥ y)

d) ∀ x ∀ y ∃ z (x < y ⇒ x + z = y)

23. Averiguar el valor de verdad siendo U = R.

a) ∀ x ∈ R (x < 0 ⇒ x < 3)

b) ∃ x ∈ R (x2 ≥ 0 ⇒ x4 = x3)

c) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R (x2 + y2 = 1)

d) ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R (y < x ⇒ 2y < 10)

Respuestas. a) V b) V c) F d) F

24. Dada la proposicion, 8 no es impar divisible por 2, porque 9 no es

multiplo de 3. Determinar el valor de verdad de la proposicion y ne-garla.

Respuesta.Siendo p : 8 es impar, q : 8 es divisible por 2 y r : 9 esmultiplo de 3, ası: ∼ r ⇒ (∼ p ∧ q).


25. Dadas las proposiciones abiertas p(x) : x2 ≥ x y (x) : x ≥ 0. Deter-mine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

i) [p(1

2⇒ q(1)] ⇒ [p(x) ∧ q(x)]

ii) ∀ x ∈ R :∼ p(x) ⇒∼ q(X)

26. Si la proposicion (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ r ⇒∼ t) es falsa, determine el valorde verdad de la proposicion (p ∧ t) ⇒ (r ∨ q) ⇒ (u ⇔ v).

Respuesta.V

27. Demostrar:

a) Si n es par y m es impar, entonces (n + m) es impar, n,m ∈ N).

b) Si xy = 0 entonces x = 0 ∨ y = 0.

c) Si ab es impar, entonces a es mpar y b es impar.

28. Determine el valor de verdad de las siguienes proposiciones:

a) ∀ x ∈ R : x2 ≥ x

b) ∃ x ∈ R : 2x = x

c) ∀ x ∈ R : 2x−1

4x−2= 1

2

d) ∃ x ∈ R : x2 + 2x + 1 ≤ 0

e) ∀x ∈ R : −x2 + 4x − 5 > 0

29. Se define p ∗ q ≡ [(p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)].

Mediante el algebra de proposiciones demuestre que el conectivo “∧.es

distributivo con respecto a “x”pasa por la derecha.

Capıtulo 2

Relaciones y Funciones

2.1. Producto Cartesiano

Definicion

El producto cartesiano de A y B, se define por

A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}

A y B conjuntos dados , A × B se lee A cruz B(a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par y b esel segundo, en consecuencia (a, b) 6= (b, a)

Numero de elementos

Sea m el numero de elementos de A (es decir su cardinalidad) y n el numerode elementos de B, entonces mn es el numero de elementos de los productosA × B y B × A

Grafico

Como los elementos de A × B son pares ordenados se acostumbra graficardicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir

32

Luis Zegarra Relaciones y funciones 33

0

y

x

(a,b)

a

b

elementosde b

elementosde a

Figura 2.1: Sistema de coordenadas

Ejemplo1

Los graficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados.Notemos que en el caso de la figura 2.2 el numero de elementos de AxB esfinito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras 2.3 y 2.4 dichonumero es infinito.

0

y

xx

x

x

x

x

xx

0

y

x0

y

x

.

Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4

Propiedades 1

1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

3. A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

2.2. Relaciones

Definicion

R es una relacion de A en B si y solo si: R ⊆ A × B.Ası, notemos que los elementos de una relacion son pares ordenados.


Notacion

1. R es una relacion de A en B, tambien se denota por R : A → B

2. Si el par (x, y) pertenece a la relacion R, se acostumbra a denotar por(x, y) ∈ R ∨ xRy ∨ y = R(x)

Dominio y Recorrido

Sea R ⊆ A × B una relacion, se definen:

Dominio de R por el conjunto

Dom R = {x ∈ A/∃y ∈ B : (x, y) ∈ R}

Recorrido de R por el conjunto

Rec R = {y ∈ B/∃x ∈ A : (x, y) ∈ R}

Es claro que Dom R ⊆ A y que Rec R ⊆ B

Ejemplo 2

Sea R : A → A una relacion, donde A={1, 2, 3..., 10} dada por

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (7, 6)}esta relacion tiene un numero finito de elementos. Note que: Dom R={1,2,7}y Rec R={1,2,3,4,5,6}

Ejemplo 3

Sea S : R → R , definida por

S = {(x, y)/x + 2y = 12}

esta es una relacion con infinitos elementos y que Dom S = Rec S = R

Ejemplo 4

Sea S : Z → Z , definida por

(x, y) ∈ S ⇔ x2 + y2 = 1

Notese que x e y son enteros por tanto esta relacion solo consta de 4 elementos,que son: (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1), donde Dom S = {−1, 0, 1} = Rec SEn este mismo ejemplo si en lugar de Z se toma R la relacion contiene infinitospares ordenados yDom S = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 1}Rec S = {y ∈ R/ − 1 ≤ y ≤ 1}


Definicion

Sean R : A → B y S : B → C dos relaciones. Se define la composicion deR con S, que se denota por S ◦ R, como

S ◦ R = {(x, y)/∃z ∈ B : (x, z) ∈ R ∧ (z, y) ∈ S}

Ejemplo 5

Sean A={1,2,3,4,5} , B={1,2,3} y C={1,4,5,8} y R={(1,2),(3,2),(4,1)} yS={(2,1),(3,1),(2,4),(3,5)} Note que (1,2) ∈ R ∧ (2,1) ∈ S ⇒ (1,1) ∈ S ◦ R.

Ası se obtiene que S ◦ R={(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)}

Ejemplo 6

Sean R y S relaciones en R, definidas por

R = {(x, y)/y = 2x + 1}S = {(x, y)/x2 = y}

ası, (x, y) ∈ SoR ⇔ ∃ z ∈ R : (x, z) ∈ R ∧(z, y) ∈ S ⇔ z = 2x + 1 ∧ y = z2

de donde y = (2x + 1)2, luegoS ◦ R = {(x, y)/y = (2x + 1)2}

Propiedades

Sea R : A → A una relacion, se define las siguientes propiedades

1. Refleja ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R

2. Simetrica x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R

3. Transitiva x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R

4. Antisimetrica x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y

5. Irrefleja ∀x ∈ A : (x, x) /∈ R

Definicion

Sea R : A → A una relacion

1. Se dice que R es una relacion de equivalencia si y solo si, es: Refleja,Simetrica y Transitiva.

2. Se dice que R es una relacion de orden parcial si y solo si, es: Refleja,Antisimetrica y Transitiva.

3. Se dice que R es una relacion de orden total (estricto) si y solo si, esIrrefleja, Transitiva y Antisimetrica.


2.3. Clase de equivalencia

Definicion

Sea R : A → A una relacion de equivalencia, se define la clase de equiva-lencia del elemento x, por

Cx = {y ∈ A/(x, y) ∈ R}

Ejemplo 7

En Z , se define la relacion R, por

R = {(x, y)/(x− y) es multiplo de 3}

vamos a verificar que esta relacion es: refleja, simetrica y transitiva,por tanto es de equivalencia , luego determinaremos la clase del elemento2, finalmente todos los pares (2,y) ∈ R tales que 3 ≤ y ≤ 18 Notese que:(x, y) ∈ R ⇔ x − y = 3k, k ∈ Z

Refleja: ∀x ∈ Z, x − x = 3 · 0, 0 ∈ Z

Simetrica: (x, y) ∈ R ↔ x − y = 3k, k ∈ Z

⇔ y − x = 3(−k),−k ∈ Z

⇔ (y, x) ∈ RTransitiva: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇔ ∃k1, k2 ∈ Z/x − y = 3k1 ∧ y − z = 3k2

Sumando miembro a miembro se obtiene x − z = 3(k1 + k2), k1 + k2 = k conk ∈ Z ⇒ x − z = 3k, k ∈ Z ⇔ (x, z) ∈ R

Ası C2 = {y ∈ Z/(2, y) ∈ R} ⇒ C2 = {...,−4,−1, 2, 5, 8, 11, ....}o bien C2 = {y = 2−3k, k ∈ Z} todos los pares (2, y) ∈ R tales que 3 6 y 6 18,son {(2,2),(2,5),(2,8),(2,11),(2,14),(2,17)}

2.4. Relacion inversa

Relacion inversa

Sea R : A → B una relacion dada. Se define R−1 : B → A como:

R−1 = {(x, y) ∈ B × A : (y, x) ∈ R}

Notese que Dom R−1 = Rec R y Rec R−1 = Dom RTambien que si: (x, y) ∈ (R−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R por tanto(R−1)−1 = R

Ejemplo 8

Sea R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} entonces de inmediatoR−1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)}


Ejemplo 9

Sea R definida en los racionales porR = {(x, y)/2x+y = 12} entonces su relacion inversa es R−1 = {(x, y)/2y+x =12}

2.5. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Sean A, B y C conjuntos no vacıos. Demostrar que

a) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

b) (A − B) × C = (A × C) − (B × C)

Demostraciona) Sea (x, y) ∈ [(A ∩ B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ C)⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) ∈ (B × C)⇔ (x, y) ∈ [(A × C) ∩ (B × C)]luego (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

b)i) Sea (x, y) ∈ [(A − B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ Bc) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ x /∈ B⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C)⇒ (x, y) ∈ [(A × C) − (B × C)]Luego se demostro que (A − B) × C ⇒ (A × C) − (B × C) (1)

ii)(x, y) ∈ (A × C) − (B × C) ⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C)⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x /∈ B ∨ y /∈ C)⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y /∈ C)⇒ (x ∈ (A − B) ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ F )⇒ (x, y) ∈ [(A − B) × C] (2)Luego por (1) y (2) se tiene que: (A − B) × C = (A × C) − (B × C)

Ejercicio 2

Sean S, T relaciones de X → Y , pruebe que:

a) (S−1)−1 = S

b) (S ∩ T )−1 = S−1 ∩ T−1


Prueba

a) (x, y) ∈ (S−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ S−1 ⇔ (x, y) ∈ Sb) (x, y) ∈ (S ∩ T )−1 ⇔ (y, x) ∈ (S ∩ T )⇔ (y, x) ∈ S ∧ (y, x) ∈ T⇔ (x, y) ∈ S−1 ∧ (x, y) ∈ T−1 ⇔ (x, y) ∈ (S−1 ∩ T−1)Luego (S ∩ T )−1 = S−1 ∩ T−1

Ejercicio 3

Sea R una relacion de equivalencia de A en A. Demuestre que R−1 tambienes una relacion de equivalencia.

Demostracion:i) Refleja: ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R ⇔ (x, x) ∈ R−1

Luego R−1 es refleja

ii)Simetrica: (x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R ⇔ (x, y) ∈ Rpor ser R simetrica, como (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R−1

luego R−1 es simetrica.

iii)Transitiva: (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R ∧ (z, y) ∈ R deaquı (z, x) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R−1 esto prueba que R−1 es transitiva.

Ejercicio 4

Sean S : A → B y R : B → C dos relaciones demostrar que:(R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1

Demostracion:

∀(x, y) ∈ (R ◦ S)−1 ⇔ (y, x) ∈ (R ◦ S) ⇔ ∃z ∈ B : (y, z) ∈ R ∧ (z, x) ∈ S⇔ (z, y) ∈ R−1 ∧ (x, z) ∈ S−1

⇔ ∃z ∈ B : (x, z) ∈ S−1 ∧ (z, y) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ S−1 ∧ (z, y) ∈ R−1 ⇔(x, y) ∈ (S−1 ◦ R−1)luego (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1

Ejercicio 5

Sea R : N2 → N

2 definida por (a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + cpruebe que R es una relacion de equivalencia (N2 = N × N) y determine laclase del elemento (1, 2)

Prueba

i)Relfleja: ∀(a, b) ∈ N × N ⇔ a + b = b + a ⇔ (a, b)R(a, b)


ii)Semetrica: (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c ⇔ c + b = d + a ⇔ (c, d)R(a, b)

iii)Transitiva:(a, b)R(c, d) ∧ (c, d)R(e, f) ⇔ a + d = b + c ∧ c + f = d + esumando miembro a miembro resulta a + d + c + f = b + c + d + e de dondea + f = b + e ⇔ (a, b)R(e, f)

C(1,2) = {(n, m)/(1, 2)R(n, m); n, m ∈ N}C(1,2) = {(n, m)/1 + m = 2 + n} = {(n, m)/m − n = 1}

Ejercicio 6

Sea R : N → N una relacion definida por:

R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N}

a) Exprese R como un conjunto de pares ordenadosb) Hallar Dom R y el Rec Rc) Determine R−1

Solucion

a) R = {(9, 1), (6, 2), (3, 3)}

b) Dom R = {3, 6, 9} , Rec R = {1, 2, 3}

c) R−1 = {(1, 9), (2, 6), (3, 3)} o bien R−1 = {(n, m)/m + 3n = 12, n, m ∈ N}

Ejercicio 7

Sea R una relacion de equivalencia en A = {a, b, c, d, e} demuestre que si:

(a, c), (b, d) y (b, c) ∈ R ⇒ (d, a) ∈ RDemostracion

Por hipotesis R es refleja, simetrica y transitiva.Por ser simetrica: (b, d) ∈ R ⇒ (d, b) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R ⇒ (c, a) ∈ RPor ser transitiva: (d, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (d, c) ∈ REntonces (d, c) ∈ R ∧ (c, a) ∈ R ⇒ (d, a) ∈ R

Ejercicio 8

Sean R y S dos relaciones dadas por

R = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3), (c, 3)}S = {1, x), (2, x), (3, y)}Determine: S ◦ R , R−1 ◦ S−1 y S−1 ◦ R−1

Solucion:

Notese que Dom R = {a, b, c} = A, Rec R = {1, 2, 3} = B


Dom S = B y Rec S = {x, y} = C

Ası: R : A → B y S : B → C, S ◦ R : A → C

S ◦ R = {(u, v) ∈ A × C : ∃y ∈ B/(u, y) ∈ R ∧ (y, v) ∈ S}luego S ◦ R = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, y)}analogamente como R−1 = {(1, a), (2, a), (3, a), (2, b), (3, b), (3, c)} yS−1 = {(x, 1), (x, 2), (y, 3)} se tiene que R−1◦S−1 = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (y, c)}note que (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S−1 (Ver ejercicio 4)S−1 ◦R−1 es vacıa pues si (x, y) ∈ S−1 ◦R−1 con R−1 : B → A∧ S−1 : C → By A 6= C.

Ejercicio 9

Si R : A → A es transitiva demuestre que R−1 tambien es transitiva.

Demostracion:Por demostrar que si:

(x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1 ⇒ (x, z) ∈ R−1

(x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R ∧ (z, y) ∈ R ⇔(z, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ (z, x) ∈ R → (x, z) ∈ R−1 como se querıa

Ejercicio 10

Sea R : Z → Z definida por

(k, p) ∈ R ⇔ ∃m ∈ Z+ : k = mp

demuestre que R es una relacion de orden parcial.Demostracion

Debemos demostrar que R es: refleja, transitiva y antisimetrica.

Refleja:∀z ∈ Z, ∃1 ∈ Z

+ : 1z = z ⇔ (z, z) ∈ R

Transitiva:(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇔ ∃m1, m2 ∈ Z

+/a = m1b ∧ b = m2c ⇔a = m1m2c , sea m1m2 = m; m ∈ Z

+ ⇔ a = mc ⇔ (a, c) ∈ R

Antisimetrica:(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇔ ∃m1, m2 ∈ Z

+/a = m1b ∧ b = m2a ⇔∃m1, m2 ∈ Z

+/a = m1m2a , ahora:Si a 6= 0 ⇒ m1m2 = 1 como m1 ∧ m2 ∈ Z

+ ⇒ m1 = m2 = 1 en cuyo casoa = b.Si a = 0 ⇔ b = 0, ∀m1, m2 ∈ Z

+ ası tambien a = b

Ejercicio 11

En el conjunto de los numeros reales se define la siguiente relacion T :

(x, y) ∈ T ⇔ k2 − kx + x2 = 4 + ky − y2


a)Determinar los valores de k para los cuales T es simetrica

b)Determinar los valores de k para los cuales T es refleja.

Solucion:

a)(x, y) ∈ T ⇔ k2−kx+x2 = 4+ky−y2 note que si k = −2 ⇒ 4+2x+x2 =4 − 2y − y2 ⇔ 4 + 2y + y2 = 4 − 2x − x2 ⇔ (y, x) ∈ T

b)∀x ∈ R se debe tener (x, x) ∈ T , esto es que se cumpla k2 − kx + x2 =4 + kx − x2 ⇔ k2 − 2xk + 2x2 − 4 = 0k = x±

√4 − x2 ecuacion solo valida para ciertos valores de x, lo que contradice

el ∀x ∈ R, por lo que no existe k.

Ejercicio 12

Sea f : A → A una funcion , se define la relacion en A por

aRb ⇔ f(a) = f(b)

demuestre que R es una relacion de equivalencia.Demostracion:

i) ∀x ∈ A : f(x) = f(x) ⇔ xRx lo que prueba que R es refleja.ii)xRy ⇔ f(x) = f(y) ⇔ f(y) = f(x) ⇔ yRx ⇒ R es simetrica.iii)xRy ∧ yRz ⇔ f(x) = f(y) ∧ f(y) = f(z) ⇒ f(x) = f(z) ⇒ xRz ⇒ R estransitiva.

Ejercicio 13

Sea S una relacion en el conjunto de los numeros reales definida por:

xSy ⇔ 0 ≤ x − y ≤ 1

Graficar: S y S−1

Solucion:

xSy ⇔ x − y ≥ 0 ∧ x − y ≤ 1 graficamos primero las fronteras de S, esdecir: x−y = 0∧x−y = 1 para luego considerar las desigualdades, ver graficode la figura 2.5

Para S−1 hacemos la simetrıa de grafico de S con respecto a la recta y = x,ver grafico de la figura 2.6, note que xS−1y ⇔ 0 ≤ y − x ≤ 1 por definicion deinversa.


10

y

x

x-y=0

-1

x-y=1

Figura 2.5: Grafico de S

1

0

y

x

x-y=0

-1

x-y=1

Figura 2.6: Grafico de S−1

Ejercicio 14

En R se dan las relaciones

R = {(x, y)/y ≥ x2}S = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}

a) Grafique: R ∩ S, R−1, S−1 y R−1 ∩ S−1

b) Determine: Dom (R ∩ S), Rec (R ∩ S)Solucion:

R ∩ S = {(x, y)/y ≥ x2 ∧ x2 + y2 ≤ 1}

-1 0

y

x

x+y=1x=y2

1

1

Figura 2.7: Grafico de R ∩ S

Note que el dominio de R ∩ S esta dado por la interseccion de sus fronteras,es decir, la solucion del sistema:

y = x2

x2 + y2 = 1

⇒ x2 + x4 = 1 ⇒ x2 =−1 ±

√5

2⇒ x ≃ ±0,79

ası Dom R ∩ S = {x/ − 0,79 ≤ x ≤ 0,79}y el Rec R ∩ S = {y/0 ≤ y ≤ 1}R−1 = {(x, y)/x ≥ y2} y S−1 = {(x, y)/y2 + x2 ≤ 1} = S


0

y

x

x=y2

Figura 2.8: Grafico deR−1

-1

y

x

x2+y2=1

1

1

Figura 2.9: Grafico deS−1

0

y

x

1

Figura 2.10: Grafico deR−1 ∩ S−1

Ejercicio 15

Graficar las siguientes relaciones definidas en los reales

a) R = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 2 ∧ −1 ≤ y < 1}b) S = {(x, y)/y ≤ 1

2x + 2}

c) T = {(x, y)/|x|+ |y| ≤ 1}d) L = {(x, y)/x2 + y2

4≤ 1}

Solucion:

0

y

x21

y=-1

x=21

-1

Figura 2.11: Grafico de R

0

y

x

2

-2-4

Figura 2.12: Grafico de S

Para T six e y > 0 ⇒ x + y ≤ 1

x < 0 e y > 0 ⇒ −x + y ≤ 1x > 0 e y < 0 ⇒ x − y ≤ 1

x e y < 0 ⇒ −x − y ≤ 1

-x+y=1

x0

x+y=1

x-y=1-x-y=1

Figura 2.13: Grafico de T


Para L, su frontera es una elipse con centro en el origen, cuyo semieje mayoresta sobre el eje Y , y es igual a 2, y el menor sobre el eje X y es igual a 1, luego:

x0

2

-2

-1 1

Figura 2.14: Grafico de L


1. Sea R una relacion en A = {2, 3, 4, 5} definida por “x e y son primosrelativos”, esto es “el unico divisor comun de x e y es 1”

i) Escribir R como un conjunto de pares ordenados.

ii) Representar R en un diagrama de coordenadas A × A.

2. Sea R una relacion definida en los naturales,

R = {(x, y) : 2x + 3y = 13; x, y ∈ N }

i) Escribir R como un conjunto de pares ordenados.

ii) Hallar el dominio y recorrido de R.

iii) Determine R−1

3. Sea R una relacion de R en R definida por:

i) R = {(x, y) (−2 ≤ x < 2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2) ∨ (−5 < x < −1) ∧(−1 < y ≤ −3)}

ii) R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 16 }iii) R = {(x, y) : x2 + y2 − 2x ≤ 0 }iv) R = {(x, y) : x2 + 2y < 1 }v) R = {(x, y) : x + y ≥ 0 }

Representar cada relacion en un diagrama de coordenadas R × R ydetermine su dominio y recorrido.

4. Sean R ⊆ N × N y S ⊆ N × N dos relaciones definidas por:

R = { (n, m) : n + m = 17 }; S = { (n, m) : n m = 36 }

Encuentre el dominio y recorrido de: R, S y R ∩ S.


5. Sea A = { 0, 1, 2, 3, · · · · ·}, sean a, b ∈ A y R definida por aRb si ysolo si al dividir a y b por 5 dan el mismo resto. Averigue si R es unarelacion de equivalencia.

6. Considere las siguientes relaciones en R :

R1 = { (x, y) : x2+y2 ≤ 25 }; R2 = { (x, y) : y ≥ 34x } y R3 = { (x, y) :

y ≥ 49x2 }

Representar: R1 ∩R2, R1 ∩R3, R1 ∩Rc

3 y Rc

1 ∪R2 en un diagrama decoordenadas R×R estableciendo el dominio y recorrido de cada una deellas.

7. Sea R una relacion en R × R definida por:

(a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c ∧ b ≤ d

Demostrar que R es: refleja, antisimetrica y transitiva.

8. Sea R una relacion en A.

a) Si R es simetrica y transitiva, averiguar si R es refleja.

b) Si R es refleja y transitiva, averiguar si R−1 es tambien refleja ytransitiva.

c) ¿Es, R ∩ R−1 una relacion de equivalencia?

9. Siendo R1 y R2 dos relaciones de A → B, probar que

Rec(R1 ∩ R2) ⊆ Rec R1 ∩ Rec R2

10. Sea R una relacion en A. Demostrar que R es simetrica si y solo siR = R−1

11. En Z se define la relacion R mediante: aRb ⇔ ( ∃k ∈ Z : a− b = 3 k )

Probar que R es de equivalencia.

12. 12. Averiguar las propiedades que tiene la relacion R definida en R+ ×

R+,por:

(a, b)R(c, d) ⇔ a d = b c

¿Es posible determinar R−1? en caso afirmativo encuentrela.

2.7. Funciones

Definicion

Sea f : A → B una relacion, se dice que f es una funcion si y solo si

∀x ∈ A, ∃!y ∈ B : y = f(x)

∃! se lee existe un unico.Este concepto, de funcion, tambien se puede definir mediante


1. Domf = A

2. (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2

Note que una funcion es antes que nada una relacion, es por esto que el Domfy Recf se encuentran ya definidos, tambien otros conceptos y propiedadesdefinidas anteriormente. Quizas hay que recalcar que

Domf = A y Recf ⊆ B

En y = f(x) formula tıpica por cada funcion

x ∈ Domf e y o f(x) ∈ Recf

A, x se le llama pre-imagen y a y o f(x) imagen de x, ası una vez mas, de ladefinicion es importante hacer notar que para cada pre-imagen x se tiene unay solo una imagen y.

Funciones por tramos

Definicion

Una funcion por tramos se puede definir como:Sea f : A → B una funcion. A = A1 ∪ A2 ∪ · · · · · ∪ An en que Ai ∩ Aj =∅, ∀ i 6= j y tal que fi : Ai → Bi es una funcion ∀ i = 1, 2, · · · · ·n y Bi ⊆ B.(Ver ejemplos 11 y 12)

Ejemplo 10

Dadas las relaciones en R

a) y = 2x + 1

b) y2 = x2 + 2

Ambas se pueden escribir tambien porf(x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2f es una funcion pues ∀x ∈ R, ∃!y ∈ R : y = 2x + 1g no es una funcion pues por ejemplo para x =

√2 existen y1 = 2 e y2 = −2 ,

y1 6= y2

Ejemplo 11

Sea f : R → R, definida por f(x) = 2x−5x+1

esta relacion ası definida no esuna funcion pues Dom f 6= R, x = −1 no tiene imagen.


Ejemplo 12

Sea f : R → R, definida por tramos mediante

f(x) =

{

x + 2 si x 6 3,

−2x si x > 3.

Notamos que f no es una funcion pues f(3) no tiene una sola imagen.

Ejemplo 13

Sea f : R → R, definida por

f(x) =

2 si x 6 −1

−x + 3 si −1 < x < 2

−x2 + 5 si x > 2

f(x) = 2, ∀x 6 −1 se llama funcion constantef(−1) = 2 , f(0) = 3 , f(10) = −102 + 5 = −95f(f(2)) = f(1) = −1 + 3 = 2

f(2x) =

2 si 2x 6 −1

−2x + 3 si −1 < 2x < 2

−(2x)2 + 5 si 2x > 2

⇔

f(2x) =

2 si x 6−12

−2x + 3 si −12

< x < 1

−4x2 + 5 si x > 1

Propiedades

Funcion Inyectiva o uno a uno

Sea f : A → B una funcion. f es uno a uno si y solo si : ∀x1, x2 ∈ A, x1 6=x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) o bien es equivalente a decir f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.Note la importancia del sentido de las implicaciones.

Ejemplo 14

Sea: f : R − {−1} → R definida por f(x) = 2x−1x+1

.Esta funcion es uno a uno pues

∀x1, x2 ∈ R − {−1} si f(x1) = f(x2) ⇔2x1 − 1

x1 + 1=

2x2 − 1

x2 + 1⇔

2x1x2 + 2x1 − x2 − 1 = 2x1x2 + 2x2 − x1 − 1 ⇔ x1 = x2


Ejemplo 15

Sea: f : R → R definida por

f(x) =

{

3x + 2 si x ≤ 02 − x si x > 0

Note que esta funcion aparentemente es uno a uno pues ∀x > 0 lo es, comotambien ∀x ≤ 0, pero no es suficiente pues por ejemplo, para y = −1 se tienendos preimagenes que son x = −1 o x = 3.

Funcion sobre o epiyectiva

Sea: f : A → B una funcion. f es sobre si y solo si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A :f(x) = y o bien es equivalente a decir que Rec f = B.

Ejemplo 16

La funcion del ejemplo 14 no es sobre pues, para y = 2 no tiene pre imagen,lo que contradice el ∀y ∈ R

Ejemplo 17

Sea f : R → [1, +∞) definida por

f(x) =

{

x + 2, si x > 0x2 + 1, si x ≤ 0

0

y

x

y=x+2y=x2+1

Figura 2.15: Grafico de f(x)

Esta funcion es sobre, pues:Si x ≤ 0 ⇒ y = x2 + 1 ⇔ x = ±√

y − 1 como x ≤ 0 ⇒ x = −√y − 1 lo que es

valido solo si y − 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ 1 (1)

Si x > 0 ⇒ y = x + 2 ⇔ x = y − 2 como x > 0 ⇒ y − 2 > 0 ⇔ y > 2 (2)

Luego, efectuando la union de (1) y (2) resulta que el Rec f = [1, +∞) loque prueba que f es sobre.


Funcion biyectiva

Sea: f : A → B una funcion. f es biyectiva si y solo si es : uno a uno ysobre.

2.8. Grafico de una funcion

Dada f : A → B una funcion. Su grafica se esboza en un sistema coorde-nado rectangular y esta definido mediante un conjunto de puntos

Gf = {(x, y)/∃x ∈ A, ∃y ∈ B : y = f(x)}

Debido a la definicion de la funcion, el grafico Gf de f esta limitado a curvasen el plano xy, y lamentablemente no toda curva es una funcion. (1) es unafuncion en tanto que (2) no lo es.

0

y

x

Figura 2.16: (1)

0

y

x

Figura 2.17: (2)

Observacion

Esbozar la grafica de f(x) actualmente es un problema resuelto, si es elcaso que se ocupa para ello un computador. En este libro y en el siguiente deCalculo I, no es la idea ocupar un procesador para graficar f , sino mas bien esseguir ciertos conceptos, como por ejemplo, determinar: Dom f , interseccionescon los ejes, signos de f(x), si f(x) es primer grado, o de segundo, o de otropara x, considerar extremos de x o bien singulares con respecto a su dominio.En resumen, considerar a f(x) y sus conceptos fundamentales.Graficar f(x) no es un problema sencillo en un principio, pero en ningun casoimposible.

2.9. Funcion inversa

Propiedad

Sea: f : A → B una funcion, f es una biyeccion si y solo si f−1 es unafuncion


Demostracion

Sea : f uno a uno y sobre vamos a probar que f−1 es una funcion.Como f es sobre todos los elementos de B tienen una pre imagen, ası que∀y ∈ B, ∃!x ∈ A esto por ser uno a uno, tal que f−1(y) = x lo que asegura quef−1 es una funcion, la implicacion recıproca queda propuesta para Ud.La afirmacion de esta propiedad, que existe f−1 equivale a decir que la ecuaciony = f(x), donde y ∈ B, tiene una y solo una solucion, x ∈ A. Como hemosindicado esta solucion se representa por f−1(y) ası entonces x = f−1(y) dondey es la variable independiente y x es la variable dependiente. La definicion defuncion inversa es analoga a la de relacion inversa con ciertas precauciones.

Grafico de f−1

Sea f : A → B una funcion biyectiva tal que su grafica esta dada por lospuntos.

Gf = {(x, y)/∀x ∈ A, ∃y ∈ B : y = f(x)}

El grafico de f−1 puede considerarse el mismo conjunto de puntos que formala grafica de f y que esta viene representada por la ecuacion x = f−1.Si se quiere dejar la letra x, para la variable independiente (e y para la variabledependiente), la inversa de f vendra representada por la ecuacion y = f−1(x).En tal supuesto, la grafica de f−1 resulta simetrica con respecto a la rectax = y, de la grafica de f

b

0

y

x a

b

a

x=y

f

f -1

Figura 2.18: Grafico de f y f−1

2.10. Composicion

Sean las funciones g : A → B y f : B → C, Rec g ⊆ B

∀x ∈ A, ∃z ∈ B/z = g(x) (2.1)

∀z ∈ Rec g, ∃y ∈ C/y = f(z) (2.2)


De (1) y (2) se concluye que y = f(g(x)) lo cual tambien se acostumbra denotarpor y = (f ◦ g)(x) luego (f ◦ g) = f(g(x)).

Ejemplo 18

En R sean las funciones f(x) = 2x + 5 y g(x) = x2 − 1.Note que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 − 1) = 2(x2 − 1) + 5 = 2x2 + 3 y

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 5) = (2x + 5)2 − 1 = 4x2 + 20x + 24

Este ejemplo es suficiente para hacer notar que en general f ◦ g 6= g ◦ f

Propiedad

Sea: f y g dos funciones, entonces f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.La demostracion queda propuesta para Ud.

Ejemplo 19

En R, sean las funciones:

f(x) =4

x, x 6= 0 y g(x) =

1 − x

x, x 6= 0

Vamos a determinar los dominios de f ◦ g y g ◦ f

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1 − x

x) =

4x

1 − x⇒ Dom f ◦ g = R − {0, 1}

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(4

x) =

1

4(x − 4) ⇒ Dom g ◦ f = R − {0}

2.11. Algebra de funciones

Definicion

Sean: f : A → B y g : A → C cuyos dominios son Dom f y Dom g sedefinen:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)(

f

g

)

(x) =f(x)

g(x)

El dominio de f + g, f − g y fg es el conjunto de todos los elementoscomunes a los dominios de f y gDom (f + g) = Dom (f − g) = Dom fg = Dom f ∩ Dom gPara Dom f

g= Dom f ∩ Dom g, excepto para aquellos x para los cuales

g(x) = 0.


Ejemplo 20

Sea: f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 − 1 entonces:

f(x) + g(x) = 2x + x2

f(x) − g(x) = 2x − x2 + 2

f(x)g(x) = (2x + 1)(x2 − 1),

Dom f + g = Dom f − g = Dom f · g = R

f(x)

g(x)=

2x + 1

x2 − 1, Dom

f

g= R − {±1}


1. Sea f(x) = a x + b una funcion en R, a y b constantes. Determine a yb en los siguientes casos:

i) (1,−2) ∈ f ∧ f(0) = 4

ii) f(1) = g(1) ∧ f(−1) = 43

donde g(x) = 2x+2

Solucion.

i) (1,−2) ∈ f ⇒ f(1) = −2 ⇔ a + b = −2 por otra parte f(0) = 4⇔ b = 4 con lo que resulta a = −6. Ası f(x) = −6 x + 4

ii) f(1) = g(1) ⇒ a + b = 23

∧ f(−1) = 43⇒ −a + b = 4

3de donde

resolviendo este sistema de ecuaciones resultan: a = −13

∧ b =1 ⇒ f(x) = −1

3x + 1

2. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones definidassobre los reales

a) f(x) = 3 x2 − 1

b) f(x) = x2 − 4x + 1

c) f(x) = xx−2

d) f(x) = 1√x−2−2

e) f(x) = 1|x|−1

f) f(x) = x2−4x2

g) f(x) = x2−2x4−x2

Solucion.

a) Dom f = R, para el recorrido y = 3 x2 − 1 ⇒ 3 x2 = y + 1 como 3x2 ≥ 0 ⇒ y + 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ −1 ⇒Rec f = [−1, +∞]

b) Dom f = R, para el recorrido x2−4x+1 = y ⇒ (x−2)2 = y+3 ⇒y ≥ −3 ⇒Rec f = [−3, +∞]


c) Dom f = R−{2}, para el recorrido y = xx−2

⇒ x = 2y

y−1⇒Rec f =

R − {1}d) Dom f ⇒

√x − 2 − 2 6= 0 ∧ x − 2 ≥ 0 ⇒Dom f = [2, 6) ∪

(6, +∞), para el recorrido se tiene√

x − 2 = 1y+2 ⇒ 1

y+2 ≥ 0 para

todo x del dominio, lo que nos da Rec f = (−∞,−12] ∪ (0, +∞).

e) Dom f = R − {±1}, para el recorrido se tiene |x| = y+1y

que debe

ser ≥ 0 por la condicion del modulo⇒Rec f = (−∞,−1]∪ (0, +∞)

f) Dom f = R − {0}, ahora como x2 = 41−y

≥ 0 ⇒ y < 1 ⇒Rec f =

(−∞, 1)

g) Dom f = R−{±2}, para todo x del dominio se tiene x = −2y

y+1⇒

y 6= −1 pero note que si x = 2 ⇒ y = −12

que tampoco debe estaren el recorrido pues x 6= 2, por tanto Rec f = R − {−1

2,−1}

3. Sea f : R → R una funcion definida por

f(x) =

2x + 5 si x > 9x2 − |x| si −9 ≤ x ≤ 9x + 2 si x < −9

a) Calcule: f(0), f(−9), f(−12), f(10) y f(f(3))

b) Hallar el Rec f .

Solucion.

a) f(0) = 02−|0| = 0 f(−9) = (−9)2−|−9| = 72, f(−12) = −12+2 =−10, f(10) = 2 · 10 + 5 = 25 f(f(3)) = f(32 − |3|) = f(6) =62 − |6| = 30

b) i) ∀ x > 9 ⇒ y = 2x+5 ⇒ x = 12(y−5) como x > 9 ⇒ 1

2(y−5) >

9 ⇒ y > 23 (1)

ii) ∀ x : −9 ≤ x ≤ 9 ⇒ y = x2−|x| ⇔ (|x|−12)2 = y+ 1

4⇒ y ≥ −1

4

(∗) , y ahora considerando 0 ≤ x ≤ 9 ⇒ (|x|−12)2 = y + 1

4⇔

x = 12

+√

y + 14

note que el signo (−) no se puede considerar,

luego se debe tener 0 ≤ 12

+√

y + 14≤ 9 ⇒

√

y + 14≤ 17

2⇒

y ≤ 72 (∗∗)

Analogamente ∀ x :−9 ≤ x < 0 ⇒ (|x|−1

2)2 = y + 1

4⇔ (−x − 1

2)2 = y + 1

4⇔

−x − 12

= ±√

y + 14⇒ −x = 1

2+

√

y + 14

note que esta ultima implicacion es por ser x negativo, luego

se debe tener−9 ≤ −12−

√

y + 14

< 0 ⇒√

y + 14≤ 17

2lo mis-

mo que en (∗∗), por tanto de (∗) y (∗∗) resulta:−1

4≤ y ≤ 72 (2)


∀x : x < −9 ⇒ y = x + 2 ⇒ x = y − 2 ⇒ y − 2 < −9 ⇒y < −7 (3)

Por tanto el recorrido de f es la union de los conjuntos dadosen: (1) , (2) y (3) ;es decir Rec f = (−∞ ,−7) ∪ [−1

4, +∞).

4. Dadas en R,

f(x) =1

x2 − 3y g(x) =

√x2 − 1

i) Hallar el dominio y recorrido de f y g.

ii) Hallar el dominio de f ◦ g y tambien de g ◦ f

Solucion.

i) Dom f = R − {±√

3 }, para el recorrido se tiene x2 = 1y

+ 3 como

x2 ≥ 0 ⇒ 1y

+ 3 ≥ 0 ⇒Rec f = (−∞,−13] ∪ (0, +∞).

Dom g ⇒ x2 − 1 ≥ 0 ⇒Dom g = (−∞,−1] ∪ [1, +∞) . Ahora comox2 − 1 ≥ 0

∀x ∈ Dom g ⇒ y ≥ 0 ⇒Rec g = [0, +∞)

ii) (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = f(√

x2 − 1) ahora si x es tal que (x ≤−1 ∨ x ≥ 1) ⇒= 1

x2−4⇒ x 6= ±2 por tanto Dom f ◦ g = (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪

[1, 2) ∪ (2, +∞)

(g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g( 1x2−3

) de aquı x 6= ±√

3 entonces

= 1|x2−3|

√4 − x2 el dominio obliga a −2 ≤ x ≤ 2 por tanto finalmente

Dom g ◦ f = [−2,−√

3 ) ∪ (−√

3,√

3 ) ∪ (√

3, 2]

5. Determine f y la constante a de modo que

f(x − a)f(x + a) = x2 − 2x − 1,5 a

donde f es una funcion polinomica de grado 1.

Solucion.

Sea f(x) = b x+c la funcion que se indica b y c constantes reales f(x−a)f(x + a) = [ b(x − a) + c ][ b(x + a) + c ] = x2 − 2x − 1,5 a de donde seobtiene b x2 + 2 bc x + c2 − b2 a2 = x2 − 2x− 1,5 a ⇒ b = 1, 2 bc = −2y c2 − b2 a2 = −1,5 a, luego b = 1, c = −1 y a = 2 ∨ a = −1

2por

tanto f(x) = x − 1

6. Sean f y g dos funciones definidas en R, por:

f(x) =

{

x − 1 si x ≥ 12 − x si x < 1

g(x) =

{

1 si x > 01 − 2x si x ≤ 0


i) Hallar una formula para (f ◦ g) (x)

ii) Grafique: f, g y f ◦ g.

Solucion.

i) f(g(x)) =

f(1) si x > 0

{

0 si 1 ≥ 1

1 si 1 < 1

f(1 − 2x) si x ≤ 0

{

−2x si 1 − 2x ≥ 1

1 + 2x si 1 − 2x < 1

Note que: (x > 0 ∧ 1 ≥ 1) ⇒ x > 0; (x > 0 ∧ 1 < 1) ⇒ ∅;(x ≤ 0 ∧ 1 − 2x ≥ 1) ⇒ x ≤ 0; (x ≤ 0 ∧ 1 − 2x < 1) ⇒ ∅ portanto

f(g(x)) =

{

0 si x > 0

−2x si x ≤ 0

ii)

7. Sea f : R − {−2} → R − {2} una funcion dada por

f(x) =2x − 1

x + 2

Demuestre que existe f−1 y encuentre una formula para ella.

Solucion.

Por demostrar que f es uno a uno y sobre

i) Uno a uno: ∀x1, x2 ∈ R−{−2}, f(x1) = f(x2) ⇔ 2x1−1x1+2

= 2x2−1x2+2

⇔2 x1x2 + 4x1 − x2 − 2 = 2 x1x2 + 4x2 − x1 − 2 ⇔ x1 = x2 lo que

prueba que f es uno a uno.

ii) Sobre: ∀ y ∈ R − {2}, ∃x = 1+2y

2−y/ f(x) =

2( 1+2y

2−y)−1

1+2y

2−y+2

= 5y

5= y , lo

que prueba que f es sobre.

Por tanto existe f−1 y la formula que la define es f−1(x) =1+2x2−x

, f−1 : R − {2} → R − {−2}.

8. Sean f : R → R ∧ g : [−1, +∞) dos funciones dadas por:

f(x) =

{

2 − x si x ≤ 2

4 − 2x si x > 2g(x) =

{

−1 si x ≤ 0

x − 1 si x > 0

Demuestre que f es invertible y halle una formula para (f−1 ◦ g) (x)

Solucion.

Uno a uno: Debemos considerar necesariamente 3 casos:

i) x1, x2 ∈ (−∞, 2], f(x1) = f(x2) ⇔ 2 − x1 = 2 − x2 ⇒ x1 = x2

ii) x1, x2 ∈ (2, +∞], f(x1) = f(x2) ⇔ 4 − 2x1 = 4 − 2x2 ⇒ x1 = x2


iii) x1 ∈ (−∞, 2] ∧ x2 ∈ (2, +∞], como x1 6= x2 vamos a demostrarque f(x1) 6= f(x2); supongamos que f(x1) = f(x2) para x1 yx2 indicados, esto implica que 2−x1 = 4−2x2 ⇒ x1 = 2x2−2 perox1 ≤ 2 ⇒ 2x2−2 ≤ 2 ⇒ x2 < 2 lo que contradice la hipotesis, luegolo supuesto es erroneo por tanto f(x1) 6= f(x2) ∀ x1 6= x2

Sobre: ∀x ≤ 2 ⇒ y = 2 − x ⇒ x = 2 − y ⇒ 2 − y ≤ 2 ⇒ y ≥ 0, (1)

∀x > 2 ⇒ y = 4 − 2x ⇒ x = 12(4 − y) ⇒ 1

2(4 − y) > 2 ⇒ y < 0, (2)

luego por (1) y (2) se tiene que Rec f = R, lo que prueba que f essobre.

Intercambiando x por y en (1) y (2), se tiene:

f−1(x) =

{

2 − x si x ≥ 0

2 − x2

si x < 0

Formula para (f−1 ◦ g) (x)

(f−1◦g) (x) =

f−1(−1) si x ≤ 0

{

2 − (−1) si − 1 ≥ 0

2 − (−1)2

si − 1 < 0

f−1(x − 1) si x > 0

{

2 − (x − 1) si x − 1 ≥ 0

2 − x−12

si x − 1 < 0

Ahora como: (x ≤ 0 ∧ −1 ≥ 0) ⇒ ∅; (x ≤ 0 ∧ −1 < 0) ⇒ x ≤ 0;

(x > 0 ∧ x − 1 ≥ 0) ⇒ x ≥ 1; (x > 0 ∧ x − 1 < 0) ⇒ 0 < x < 1)

luego

(f−1 ◦ g) (x) =

52

si x ≤ 0

5−x2

si 0 < x < 1

3 − x si x ≥ 1

9. Dadas en R : f(x) = x2, g(x) = 1x

y h(x) = sen x

a) Calcule: (f+g)(−2), (fg)(

π3

)

,(

hg

)

(

π2

)

, (f ◦ h)(

π6

)

y (g ◦ h)(

π3

)

b) Hallar el dominio de: f + g, g ◦ h, h ◦ g, g ◦ g y g

fh

Solucion.

a) (f + g)(−2) = f(−2) + g(−2) = (−2)2 + 1−2

= 72

(fg)(

π3

)

= f(

π3

)

g(

π3

)

=(

π3

)2 3π

= π3

(

hg

)

(

π2

)

=h(π

2 )g(π

2 )=

sen π

22

π

= π2

(f ◦ h)(

π6

)

= f(h(π6)) = f(senπ

6) = f(1

2) = 1

4

(g ◦ h)(

π3

)

= g(h(π3)) = g(senπ

3) = g(

√3

2) = 2√

3


b) Como Dom (f + g) =Dom f∩Dom g; Dom f = R, Dom g = R −{0} entonces

Dom (f + g) = R − {0}Dom (g ◦ h) = { x ∈ R : x ∈Dom h ∧ h(x) ∈Dom g }, como(g ◦ h) (x) = g(sen x)

= 1sen x

⇒Dom (g ◦ h) = { x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z }, de igual formacomo

(h ◦ g) (x) = sen(

1x

)

⇒Dom (h ◦ g) = { x ∈ R : x 6= 0 }( g◦g) (x) = g( 1

x) = x, aparentemente ∀ x ∈ R, pero de la definicion

x ∈Dom g ⇒Dom (g ◦ g) = R − {0}.

10. Sean f y g dos funciones definidas en R por:

f(x) = x+|x|2

, g(x) =

{

x si x < 0

x2 si x ≥ 0

Demuestre que: f ◦ g = g ◦ f

Solucion.

Recordemos que: |x| =

{

x si x ≥ 0

−x si x < 0

i) ∀ x < 0, (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = f(x) = x+(−x)2

= 0

∀ x ≥ 0, (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = x2+|x2|2

= x2, por otraparte

ii) ∀ x < 0, (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g(0) = 02 = 0

∀ x ≥ 0, (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g(x) = x2

Por i) y ii) se concluye que: (f ◦g) (x) = (g ◦ f) (x) =

{

0 si x < 0

x2 si x ≥ 0

11. Dados a, b, c y d constantes reales, donde f(x) = ax + b; g(x) = cx +d. Encuentre la condicion necesaria y suficiente para tales constantes demodo que f ◦ g = g ◦ f

Solucion.

(f ◦ g) (x) = (g ◦ f) (x) ⇔ f(cx + d) = g(ax + b) ⇔ a(cx + d) + b =c(ax + b) + d

⇔ acx + ad + b = cax + cb + d ⇔ ad + b = cb + d, que es la condicionpedida.

12. Se define f : R → R, por f(x) =

{

x2 − 3x si x ≥ 2

x − 4 si x < 2

a) Pruebe que f es biyectiva

b) Determine una formula para f−1 y luego grafique f y f−1en elmismo sistema.


Solucion.

a) Debemos probar que f es: uno a uno y sobre⇒ f es biyectiva,

Uno a uno:

i) ∀x1, x2 ≥ 2, f (x1) = f (x2) ⇔ x21 − 3x1 = x2

2 − 3x2 ⇔(x1 − x2) (x1 + x2 − 3) = 0, ahora notemos que x1 + x2 − 3 ≥1 pues x1, x2 ≥ 2 entonces x1 = x2

ii) ∀x1, x2 < 2, f (x1) = f (x2) ⇔ x1 − 4 = x2 − 4 ⇔ x1 = x2

iii) ∀x1 ≥ 2 ∧ x2 < 2 como x1 6= x2 probaremos que f (x1) 6=f (x2) suponiendo para ello que f (x1) = f (x2) ⇔ x2

1 −3x1 =x2 − 4 ⇔ x2 = (x1 − 3

2)2 + 7

4pero x2 < 2 ⇒ (x1 − 3

2)2 + 7

4<

2 ⇒ (x1 − 32)2 < 1

4⇒ x1 < 2 lo que contradice la hipotesis,

luego f (x1) 6= f (x2), ∀ x1 6= x2.Por i), ii) y iii) se concluye que f es uno a uno.

Sobre:

i) ∀ x ≥ 2 ⇒ y = x2 − 3x ⇔ (x− 32)2 − 9

4= y ⇔ x = 3

2±

√

y + 94

como x ≥ 2 ⇒ 32

+√

y + 94≥ 2 ⇒

√

y + 94≥ 1

2⇒

y ≥ −2, (1)

ii) ∀x < 2 ⇒ y = x− 4 ⇔ x = y + 4 pero x < 2 ⇒ y + 4 < 2 ⇒y < −2, (2)Por (1) y (2) concluimos que el Rec f = R, lo que prueba quef es sobre.

b) De (1) permutando x por y se tiene y = 32

+√

x + 94, ∀x ≥

−2 analogamente de (2) se tiene y = x + 4, ∀x < −2, en resumen

f−1(x) =

{

32

+√

x + 94

si x ≥ −2

x + 4 si x < −2

y

x1

2

2

-2

3

-2-4

y=x2-3x y=x

y= + x+32

34

Figura 2.19: Graficos de f y f−1

13. El perımetro de un rectangulo de lados x e y es dado, determine lafuncion que calcula el area del rectangulo en terminos del lado x.

Solucion.

Sea P el perımetro del rectangulo de lados x e y y A su area, entonces


P = 2x+2y (1) , por otra parte A = x y (2) , de (1) y = P2−x ⇒ A =

x(P2− x) note que 0 < x < P

2

14. Un espejo rectangular de lados 80 cm. ×100 cm. se rompe en una esquinacomo se indica en la Figura 2.20. Determine el area de la seccion achuradaen la Figura 2.21 en terminos de una sola variable (x o y).

12

10

100

80

Figura 2.20: Espejo roto

12

10

100-y

80-x

0

y

100

xy

(x,y)

x

Figura 2.21: Area a calcular

Solucion.

Notemos que la funcion que determina el area esta dada por A = (80−x)(100 − y) Por otra parte de la fig. (2) se tiene x

2= 12−y

12⇔ y =

12 − 65x por lo tanto A(x) = (80 − x)

(

100 − 12 + 65x)

= (80 − x) (88 +65x) con 0 ≤ x ≤ 10.

15. En el cuadrado ABCD de lado AB = 2 se traza una recta MN perpendiculara la diagonal AC. Sea x la distancia desde el vertice A a la rectaMN, expresar en funcion de x el area S del triangulo AMN que sesaca del cuadrado por medio de la recta MN. Hallar esta area parax =

√2

2y para x = 2.

Solucion.

2

2

A

BC

D

N

M

x

Figura 2.22: Cuadrado ABCD

Observese que AC = 2√

2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2√

2

= 4 − (2√

2 − x)2 ⇒ S (x) = −x2 + 4√

2x − 4, por tanto

S (x) =

{

x2 si 0 ≤ x ≤√

2

−x2 + 4√

2x − 4 si√

2 ≤ x ≤ 2√

2

Como:√

22

<√

2 ⇒ S(√

22

)

= (√

22

)2 = 12

S (2) = −22 + 4√

2 · 2 − 4 = 8(√

2 − 1)


16. Se quiere unir dos puntos A y B mediante un cable de fibra optica,los que se encuentran separados por un rıo de orillas paralelas, A en unaorilla y B en la otra distantes 50 km. entre si, el rıo es de 1 km. deancho. Si se sabe que el costo por km. de cable por el agua es, el doblemas caro que por tierra. Determine la funcion de costo que se puedeplantear.

x50

1+x2 1

A

B

Figura 2.23: Ejercicio 16

Solucion. Sean $ p el costo de km. de cable por tierra, entonces $ 2p elcosto de km. de cable por el agua y sea C(x) la funcion de costo adeterminar.

Por tanto se tiene:

C (x) = 2p√

1 + x2 + p (50 − x ), con 0 ≤ x ≤ 50 fig.

17. Un triangulo isosceles tiene uno de sus vertices en el punto (0, 1) y losotros dos vertices en la parabola y = 4 − x2, determine la funcion quecalcula el area del triangulo en terminos de la variable x.

y

x2

1

4

-2

(x,y)

Figura 2.24: Ejercicio 17

Solucion.

De la figura se tiene:

A(x) = 2 x(y − 1) = 2 x(4 − x2 − 1),si 0 ≤ x <√

3

= 2 x (3 − x2)

A(x) = 2 x(1 − y) = 2 x(x2 − 3), si√

3 ≤ x < 2,

en resumen:

A(x) = 2 x |3 − x2|, ∀x : 0 ≤ x ≤ 2

2.13. Ejercicios Propuestos

1. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas enlos reales.


a) f(x) = 4 − 2x2

b) f(x) = x2 − 2x

c) f(x) = |x2 − 2 x |d) f(x) = x−2

x

e) f(x) = 12−

√1−x

f) f(x) = x2−1x2+1

g) f(x) =√

4 − |x|h) f(x) = 4

2−|x+1|

Respuestas.

a) Dom f = R, Rec f = (−∞, 4]

b) Dom f = R, Rec f = [−1,+∞)

c) Dom f = R, Rec f = [0,+∞)

d) Dom f = R − {0}, Rec f = R − {1}e) Dom f = (−∞,−3) ∪ (−3, 1), Rec f = (−∞, 0) ∪ [1

2, +∞)

f) Dom f = R, Rec f = R − {1}g) Dom f = [−4, 4], Rec f = [0, 2]

h) Dom f = R − {−3, 1},Rec f = (−∞, 0) ∪ [2, +∞).

2. Dada la relacion f en R, por f (x) = x2+x−6x2−9

a) ¿Es funcion? si no lo es encontrar el mayor subconjunto de R, talque sea su dominio para que sea una funcion.

b) Determine el dominio y recorrido de f tal que sea biyectiva y en-cuentre una formula para f−1(x).

Respuesta.

a) Dom f = R − {±3},b) Dom f = R − {±3}, Rec f = R − {5

6, 1}; f−1(x) = 3x+2

1−y

3. Sean las funciones f y g tales que f (x) = x2−2 x−2 y g (x) = a x+b.

Determine a y b, de modo que f ◦ g = g ◦ f, ∀ x ∈ R .

Respuesta.

( a = 0 ∧ b = 3±√

172

) ∨ ( a = 1 ∧ b = 0 )

4. Sea f : R → R una funcion definida por f (x) = 3 x + 4, demuestreque f es biyectiva y encuentre una formula para f−1.

Respuesta.

f−1 (x) = 13(x − 4)


5. Sea f : R−{−12} → R−{1

2} una funcion dada por f (x) = x−3

2x+1probar

que f es uno a uno y sobre y luego hallar una formula para f−1.

Respuesta.

f−1 (x) = x+31−2x

6. Sean f y g funciones de R → R, definidas por:

f(x) =

{

x + 2 si x ≤ 2

2 x si x > 2g(x) =

{

1 si x > 1

0 si x ≤ 1

a) Demostrar que f es biyectiva.

b) Hallar formula para f−1.

c) Grafique f y f−1 en un solo sistema.

d) Determine una formula para g ◦ f−1

Respuesta.

c)

y

x2

2

-2

4-2

y=2xy=x

6

4 y= x2

y=x+2

Figura 2.25: Grafico de f y f−1

d)(g ◦ f−1) =

{

1 si x > 3

0 si x ≤ 3

7. Sean A = [−4, 4]; B = [0, 4] y C = [−4, 0]; R1 : A → B; R2 : A → C;

R3 : B → A y R4 : B → C. Dada Ri = { (x, y) : x2 + y2 = 16 } ∀ i =1, 2, 3, 4 representar Ri en un plano cartesiano y establecer si la relaciones o no una funcion.

Respuesta.

R1, R2 y R4 son funciones.

8. Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones de R → R,justifique. Grafique R1, R2 y R3.

a) R1 = { (x, y) : 3x + 5y = 8 }b) R2 = { (x, y) : x2 + y2 > 1 }c) R3 = { (x, y) : x = y }


d) R4 = { (x, y) : y2 − x2 = 0 }e) R5 = { (x, y) : y3 − x3 = 0 }

Respuesta.

R1, R3 y R5 son funciones.

9. Cada una de las siguientes formulas define una funcion de R → R. Hacerel grafico de cada una de ellas en el plano cartesiano.

a) f (x) = 2x − 1

b) f (x) = x2 − 2x − 1

c) f (x) = |x2 − 2x − 1|d) f (x) = |x|2 − 2 |x| −1

e) f (x) =

x2 si x ≥ 2

4 si − 6 ≤ x < 2

x + 10 si x < −6

f ) f (x) =

{

|x + 1|−2 si |x| ≤ 2

1 − x si |x| > 2

10. Dadas las funciones f (x) = x2 +1; g (x) = sen x y h (x) =√

x − 1

Hallar: f (5) ; g(

π6

)

; h (10) ; (f ◦ g)(

π2

)

; (g ◦ f) (1) ; (f ◦ h) (17) ; (f ◦ g ◦h) (x) ;

(f◦h◦g) (x) ; (g◦f◦h) (x) ; (f+g) (x) ; (h−g) (x) ; ( g

f) (x) ; [h◦(f+g)] (x)

f(x + k) − f (x) ; 1k[h(x + k) − h (x)].

Respuesta.

f (5) = 26; g(

π6

)

= 12; h (10) = 3; (f ◦ g)

(

π2

)

= 2; (g◦f) (1) = sen 2; (f◦h) (17) = 17; (f ◦ g ◦ h) (x) = sen2

√x − 1 + 1; (f ◦ h ◦ g) (x) = sen x

note que en este caso x = 2kπ + π2, k ∈ Z luego (f ◦ h ◦ g) (x) = 1;

(g ◦f ◦h) (x) = sen x , ∀x ≥ 1; (f +g) (x) = x2 +1+sen x; (h−g) (x) =√x − 1 − sen x; ( g

f) (x) = sen x

x2+1; [h ◦ (f + g)] (x) =

√x2 + 1 + sen x

f(x + k) − f (x) = 2kx + k2; 1k[h(x + k) − h (x)] = 1√

x+k−1−√

x−1

11. Sea f : R → R definida por

f (x)=

{

2 − x si x ≤ 2

2x − x2 si x > 2

Pruebe que f es biyectiva y luego encuentre una formula para f−1.

Respuesta.

f−1(x) =

{

2 − x si x ≥ 0

1 +√

1 − x si x < 0


12. Sean f : X → Y y g: Y → X funciones tales que g ◦ f es laidentidad en X.

Pruebe que f es uno a uno y g es sobre.

13. Averigue si la funcion f : R → R definida por

f (x)=

{

x2 si x ≤ 3

2x − 1 si x > 3

tiene funcion inversa ∀ x ∈ R.

Respuesta.

No tiene inversa, pues no es sobre.

14. Sean f y g dos funciones en R, dadas por:

g (x) =

{

2 − x2 si − 2 ≤ x ≤ 2

2 si x < −2 ∨ x > 2

determine una formula para (f ◦ g)(x).

Respuesta.

(f ◦ g)(x) =

{

1 si 1 ≤ |x| ≤√

3

0 si |x| >√

3 ∨ |x| < 1

15. Sea f ◦ g : R → R definida por (f ◦ g)(x) = a x + b; f y g polinomiosde grado 1

i) Si f (x) = c x + d, c 6= 0; determine la funcion g(x).

ii) Si g(x) = p x, p 6= 0; determine f (x).

Respuesta.

i) g (x) = 1c(a x + b − d)

ii) f (x) = apx + b

16. Sea f : R → R dada por f (x) = 13x + 3 y f ◦ g ◦ f : R → R tal que

(f ◦ g ◦ f) (x) = 6 x − 9. Determine g (x), si g es un polinomio de grado1.

Respuesta.

g (x) = 54 x − 198.

17. Para que numeros a, b, c, y d la funcion f(x) = ax+dcx+b

satisface

(f ◦ f) (x) = x, ∀x ∈ R.

Respuesta.

(a = b 6= 0 ∧ c = d = 0) ∨ (a = −b con a2 + cd 6= 0)

18. a) Suponga f(x) = x + 1. ¿Existen funciones g(x) tales que f ◦ g =g ◦ f?


b) Suponga que f es una funcion constante. ¿Para que funciones g secumple que f ◦ g = g ◦ f?

c) Supongase que f ◦g = g ◦f para todas las funciones g. Demostrarque f es la funcion identidad.

Respuesta.

a) y b) g(x) = x

19. Demostrar que si: f : A → B y g : B → C son funciones uno a uno,entonces la funcion g ◦ f : A → C es uno a uno.

20. Sea A = [0, +∞) y dadas las funciones f, g y h de A → A porf (x) = x2;

g (x) = x3 + 1 y h (x) = x − 2 ¿Cual(es) de estas funciones es sobre?

Respuesta.

Solo f .

21. Sea f : R → R+ ∪ {0} dada por

f(x) =

{

2(1 − x) si x ≤ 1

x + 1 si x > 1

Averiguar si f es uno a uno o sobre.

Respuesta.

f es sobre pero no es uno a uno.

22. Sea f definida en R por

f(x) =

{

x2 si x ≤ −1

−(2x + 1) si x > −1

Demuestre que existe f−1 y luego determine una formula para ella,grafique f y f−1.

Respuesta.

f−1(x) =

{

−√x si x ≥ 1

−12(x + 1) si x < 1

23. Sea f : R → R una funcion tal que:

f (x) = 3x si x ≤ 1 ∧ f−1(x) = x2 − 8 si x > 3 demuestre que f esbiyectiva.

24. En R se definen las funciones f y g por

f (x) =

{

x2 + 2 si x > 0

x + 2 si x ≤ 0g (x) =

{

2x + 5 si x > 3

x2 si x ≤ 3

a) Muestre que f es biyectiva y que g no lo es.

b) Determine f ormulas para: f ◦ g y g ◦ f .


Respuesta.

b) (g ◦ f) (x) =

2x2 + 9 si x > 1

(x2 + 2)2 si 0 < x ≤ 0

(x + 2)2 si x ≤ 0

25. Demostrar que si f : A → B y g : B → C tienen inversas, entonces

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

26. a) Demostrar que para la funcion f(x) = 1 − | 2x − 1 |, con 0 ≤ x ≤1 se tiene f (x) = f(1 − x)

b) Sea g (x) = 2x + 5, ∀x ∈ R calculese f ◦ g y g ◦ f siendo f lafuncion definida en a).

27. Dada f (x) = ax−bcx+d

, determine las condiciones necesarias y suficientesentre las constantes a, b, c y d para que se verifique (f ◦ f−1) =x indicando ademas el dominio y recorrido de f .

Respuesta.

ad + bc 6= 0; Dom f = R − {− bc}, Rec f = R − { a

c}, c 6= 0.

28. Una ventana tiene la forma de un rectangulo coronado por un semicırcu-lo. Si el perımetro es de 5m., encontrar la funcion que expresa el area dela ventana en terminos de la longitud de la base del rectangulo.

Respuesta.

A(x) = 52x − 1

8( 4 + π) x2.

29. Un rectangulo se encuentra inscrito en una circunferencia de radio r. Determinela funcion que calcula su area en terminos de la longitud de uno de suslados.

Respuesta.

A (x) = x√

4 r2 − x2, 0 < x < 2 r.

30. Un triangulo tiene dos de sus vertices en los puntos (0, 0) y (4, 0) .Sutercer vertice se encuentra en la curva x2y = 1. Determine la funcion quecalcula el area del triangulo en terminos de la abscisa del tercer vertice.

Respuesta.

A (x) = 2x2 , x > 0.

31. La funcion f(x) esta definida para 0 ≤ x ≤ 1. ¿Cuales son los dominiosde definicion de las funciones siguientes?: f(3 x2), f(x − 5), f(2x + 3) ,f(1 + |x|) y 3f(x).

Respuesta.

− 1√3≤ x ≤ 1√

3, 5 ≤ x ≤ 6, − 3

2≤ x ≤ −1, x = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

Capıtulo 3

Sucesiones, induccion y

sumatorias

3.1. Sucesiones

Definicion 1

Una sucesion es una funcion definida de N → R que se acostumbra a denotarpor an en lugar de f(n), costumbre que tambien adoptaremos en este texto,ası,

an ∈ R, ∀ n ∈ N

an: se llama termino n–esimo o termino de lugar n.a1: es el primer termino de la sucesion.ak: es el k–esimo termino de la sucesion.

Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los topicos de las matematicas,de ahı su importancia. Eventualmente, n ∈ N0, N0 = N ∪ {0}.

Ejemplo 1

Vamos a dar algunas sucesiones definidas por su termino n–esimo, o bien, en

74

Luis Zegarra A. Sucesiones, induccion y sumatorias 75

forma recursiva.

1. an = 2n−1n2+1

2. an = 2n − 1

3. an = (−1)n

4. an = cos(nπ)

5. an = 1 + 2 + 3 + . . . + n

6. an = 1n

7. a1 = 1, a2 = 2, . . . , an+2 = an+1 + an

8. a1 =√

2, a2 =√

2 +√

2, . . . , an+1 =√

2 + an

Dada la sucesion a1, a2, . . . , an, su k–esimo termino es ak, el siguiente termi-no es ak+1 tambien llamado sucesor, el anterior al k–esimo termino es ak−1

tambien llamado antecesor.

Ejemplo 2

Dada la sucesion an = 2n−1

3n+1, determine el k–esimo termino, su siguiente y

anterior termino.

De inmediato se tiene que:

ak = 2k−1

3k+1es el k–esimo termino.

ak = 2k−1−1

3(k−1)+1= 2k−2

3k−2es su anterior termino.

ak = 2k+1−1

3(k+1)+1= 2k

3k+4es su siguiente termino.

El grafico de una sucesion, aunque no es relevante, es un conjunto discretode puntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrantede los ejes cartesianos, es decir:


DIBUJO

Observacion.

Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes,etc., no se abordaran en este texto. Para ellos consultar en el texto de Calculo

Integral y Diferencial en una Variable.

3.2. Ejercicios resueltos

1. Dada la sucesion: 1, 12, 1

3, . . .

a) Determine su termino n–esimo.

b) Pruebe que ak − ak+1 = 1k(k+1)

.

c) Calcule a1 − an+1.

Solucion.

a) De inmediato an = 1n

b) ak − ak+1 = 1k− 1

k+1= k+1−k

k(k+1)= 1

k(k+1)

c) a1 − an+1 = 11− 1

n+1= n

n+1

2. Dada la sucesion 1, 1 + 12, 1 + 1

2+ 1

3. . .

a) Determine el termino de lugar n.

b) Determine el siguiente termino al n–esimo.

c) Demuestre que an+1 > an, ∀ n ∈ N.

Solucion.

a) De inmediato se tiene que:

an = 1 + 12

+ 13

+ . . . + 1n

b) an+1 = 1 + 12

+ 13

+ . . . + 1n

+ 1n+1


c) an+1−an = 1+ 12+ 1

3+. . .+ 1

n+ 1

n+1−(

1 + 12

+ 13

+ . . . + 1n

)

= 1n+1

,

pero como n ≥ 1 ⇒ an+1 − an > 0 ⇒ an+1 > an.

3. Dada la sucesion: 11, 1

3, 1

5, . . .

a) Determine el termino n–esimo.

b) Determine el anterior y siguiente termino al n–esimo.

c) Calcule a2k − a2k+1.

Solucion.

a) an = 12n−1

.

b) an−1 = 12n−3

y an+1 = 12n+1

c) a2k − a2k+1 = 12(2k)−1

− 12(2k+1)−1

= 216k2−1

4. Desarrolle la siguiente sucesion definida recursivamente y de aquı de-duzca el n–esimo termino: a1 = 2, . . . , an+1 = 2an + 1.

Solucion.

a1 = 2

a2 = 2a1 + 1 = 2 · 2 + 1 = 22 + 1

a3 = 2a2 + 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1

a4 = 2a3 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an = 2an−1 + 1 = 2n + 2n−2 + 2n−3 + . . . + 22 + 2 + 1

Mas adelante, en el capıtulo de progresiones, estaremos en condicionespara efectuar esta suma, cuyo resultado es an = 3 · 2n−1 − 1.

5. Si a1 = 1 . . . an+1 = an + 1n+1

demuestre que:

a) a1 + a2 = 3(a3 − 1) y que a1 + a2 + a3 = 133

b) an = 1 + 12

+ 13

+ . . . + 1n


Solucion.

a) a1 = 1

a2 = a1 + 12

= 1 + 12

= 32

a3 = a2 + 13

= 32

+ 13

= 116

a1 + a2 = 1 + 32

= 52

y 3(a3 − 1) = 3(

116− 1)

= 52

luego, a1 + a2 = 3(a3 − 1), finalmente, a1 + a2 + a3 = 133.

b) a2 − a1 = 12

a3 − a2 = 13

a4 − a3 = 14

...an−1 − an−2 = 1

n−1

an − an−1 = 1n

Sumando miembro a miembro se tiene:

an − a1 =1

2+

1

3+

1

4+ . . . +

1

n

an = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . . +

1

n


1. Escriba los cuatro primeros terminos, el termino k–esimo, el terminoanterior y siguiente del termino k–esimo de las siguientes sucesionescuyo termino n–esimo es:

a) n2

b) 2n − n

c)3n − 5

n + 2

d) (−1)nn

e) (−1)n+132n

f)(

1 + 1n

)n


Respuestas.

a) 12, 22, 32 y 42; k2, (k − 1)2 y (k + 1)2

b) 1, 2, 5, 12; 2k − k, 2k−1 − (k − 1) y 2k+1 − (k + 1)

c) −23, 1

4, 4

5, 7

6; 3k−5

k+2, 3k−8

k+1, 3k−2

k+3

d) −1, 2,−3, 4; (−1)kk, (−1)k−1(k − 1), (−1)k+1(k + 1)

e) 32,−34, 36,−38; (−1)k+132k, (−1)k32k−2, (−1)k32k+2

f ) 2,(

32

)2,(

43

)3,(

54

)4;(

1 + 1k

)k,(

1 + 1k−1

)k−1,(

1 + 1k+1

)k+1.

2. Escriba el termino n–esimo de las siguientes sucesiones:

a) 1, 3, 5, 7, . . .

b) 3,−9, 27,−81, . . .

c) 11·2

, 12·3

, 13·4

, 14·5

+ . . .

d) 5 · 1, 11 · 3, 17 · 5, 23 · 7, . . .e) 3

1·2, −7

3·3, 11

5·4, −15

7·5, . . .

f ) 1 − x2, 5 + x3, 9 − x4, 13 + x5, . . .

g) 1 · (p − 1), 3 · (p − 2), 5 · (p − 3), . . ., p constante.

Respuestas.

a) an = 2n − 1

b) an = (−1)n−13n

c) an = 1n(n+1)

d) an = (6n − 1)(2n − 1)

e) an = (−1)n−1(4n−1)(2n−1)(n+1)

f) an = 4n − 3 + (−1)nxn+1

g) an = (2n − 1)(p − n);

1 ≤ p ≤ n

3. Desarrollar las siguientes sucesiones definidas recursivamente y deter-mine el termino k–esimo:

a) a0 = 0, an+1 = (1 − x)an + nx, x ∈ R, x 6= 1.

b) µ0 = 1; µn = nµn−1


Respuestas.

a) a0 = 0, a1 = 0, a2 = x, a3 = (1 − x)x + 2x, . . .

ak = (1 − x)k−2x + (1 − x)k−32x + (1 − x)k−43x + . . .+(1 − x)(k − 2)x + (k − 1)x

b) µ0 = 1µ1 = 1µ0 = 1µ2 = 2µ1 = 2 · 1µ3 = 3µ2 = 3 · 2 · 1µ4 = 4µ3 = 4 · 3 · 2 · 1..........................................µk = kµk−1 = k(k − 1)(k − 2) . . . 3 · 2 · 1 = k!

4. Determine el termino n–esimo de las siguientes sucesiones definidasrecursivamente:

a) µ1 = 2, . . . , µn = µn−1 + 2

b) µ0 = 2, µ1 = 3, . . . , µn+1 = 3µn − 2µn−1

c) µ1 =√

2, µ2 =√

2√

2, . . . , µn+1 =√

2µn

Respuestas.

a) µn = 2n

b) 2, 3, 5, 9, 17, . . . , µn = 2n + 1, n ≥ 0

c) µ1 = 21

2 , µ2 = 23

22 , µ3 = 27

23 , . . . , µn = 22n−1

2n , es decir, µn = 21− 1

2n

5. En cada una de las siguientes sucesiones, cuyo termino general es an,determine si son consecutivos o no los dos terminos que se indican, encaso de no serlo indique cuales son:

a) an = 2n; 2k − 2 y 2k

b) an = 2n − 1; 2k y 2k + 1

c) an =√

n + 1 +√

n; 1√

k+1−√

ky√

k − 1 +√

k


Respuestas.

a) y c) son consecutivos.

b) no son consecutivos, los posibles consecutivos son: 2k + 1 y 2k + 3o 2k − 1 y 2k + 1.

3.4. Induccion

Axioma de Induccion. Sean m ∈ N0, N0 = N ∪ {0} y A el conjunto delos naturales que son iguales o mayores que m, es decir:

A = {n / n ≥ m, m ∈ N0}.

Si S es un subconjunto de A con las siguientes dos propiedades:

1. Contiene a m,

2. ∀ k ∈ A: si k ∈ S,

entonces (k+1) ∈ S, luego el conjunto S es igual a A. En muchas aplicacionesde este axioma se tiene que m = 1, por tanto N = A.

Cuando se use este axioma para demostrar propiedades del tipo que estamosconsiderando, el conjunto A y la forma proposicional p(n), n ∈ N, nos lodan en la proposicion de la propiedad. Se toma S como el subconjunto de Aque contiene aquellos naturales para los cuales p(n) es verdad. Ası podemosvolver a formular el axioma como un proceso operacional que se acostumbraa llamar Principio de Induccion Matematica.

Principio de Induccion. Sea A = {n / n ≥ m, m ∈ N0} una proposi-cion de la forma ∀ n ∈ A : p(n), probaremos la verdad de esta proposicionestableciendo lo siguiente:

1. p(m) es verdad.


2. ∀ n ∈ A, la implicacion p(n) ⇒ p(n + 1) es verdad.

Notemos que usualmente m = 1, luego A = {n / n ≥ 1}} = N. Tambiensuponer la verdad de p(n), se acostumbra a llamar hipotesis inductiva (H.I).

Ejemplo 3

Demostrar ∀ n ∈ N, que

1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + . . . +1

n(n + 1)=

n

n + 1

Demostracion.

Se tiene que: m = 1, A = {n / n ≥ 1},

p(n) :1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . . +1

n(n + 1)=

n

n + 1

1. p(1) es verdad, pues 11·2

= 11+1

2. p(n) es verdad, es decir, se cumple

1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . . +1

n(n + 1)=

n

n + 1(H.I.)

entonces p(n + 1), es decir, debemos establecer que:

1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · ·+ 1

n(n + 1)+

1

(n + 1)(n + 2)=

n + 1

n + 2(T.)

En efecto:1

1 · 2 +1

2 · 3 + . . . +1

n(n + 1)+

1

(n + 1)(n + 2)=

n

n + 1+

1

(n + 1)(n + 2)

=n(n + 2) + 1

(n + 1)(n + 2)

=(n + 1)2

(n + 1)(n + 2)

=n + 1

n + 2


Ejemplo 4

Demostrar ∀ n ∈ N, que

an = 11n+2 + 122n+1

es divisible por 133.

Demostracion.

Se tiene que: m = 1, A = {n / n ≥ 1}

an = 11n+2 + 122n+1 = 133p, ∀ p ∈ Z+

1. a1 = 113 + 123 = 3059 = 133 · 23, es verdad.

2. Seaan = 11n+2 + 122n+1 = 133p, p ∈ Z

+ (H.I.)

entonces,

an+1 = 11n+3 + 122n+3 sea divisible por 133 (T.)

En efecto:

an+1 = 11n+2 · 11 + 122n+1 · 122

an+1 = 11(11n+2 + 122n+1) + 122n+1122 − 11 · 122n+1

an+1 = 11an + 122n+1(122 − 11)

an+1 = 11 · 133p + 122n+1 · 133

an+1 = 113 · (11p + 122n+1)

lo que prueba la tesis.

Principio General de Induccion.



1. Demuestre que si n es cualquier entero positivo, 13(n3+2n) es un entero.

Demostracion.

Sea S = {n ∈ N / 13(n3 + 2n) es un entero}.

i) 1 ∈ S, pues 13(13 + 2 · 1) = 1 y 1 es un entero.

ii) Si n ∈ S se tiene que 13(n3 + 2n) es un entero. (H.I.)

Por demostrar que (n + 1) ∈ S.

En efecto,

1

3[(n + 1)3 + 2(n + 1)] =

1

3(n3 + 3n2 + 3n + 1 + 2n + 2)

=1

3(n3 + 2n) + (n2 + n + 1)

es un entero, pues 13(n3 +2n) lo es por (H.I.) y n2 +n+1 es un entero,

pues n lo es, ası n ∈ S ⇒ (n + 1) ∈ S, por tanto, S = N.

Nota: en adelante vamos a dejar de formular al conjunto A o bienS, dejandolo sobreentendido, pero el lector, si es su deseo, bien puedehacerlo.

2. Si ui+1 = 2ui + 1, i ∈ N. Demostrar que un + 1 = 2n−1(u1 + 1).

Demostracion.

i) Para n = 1 ⇒ u1 + 1 = 21−1(u1 + 1) = u1 + 1.

ii) Hipotesis Inductiva: para n = k ⇒ uk + 1 = 2k−1(u1 + 1).

Por demostrar para n = k + 1, o sea, uk+1 + 1 = 2k(u1 + 1).

En efecto, en la hipotesis del problema hagamos i = k, luego

uk+1 = 2uk + 1 ⇒ uk+1 + 1 = 2uk + 2 = 2(uk + 1),

usando la hipotesis inductiva:

⇒ uk+1 + 1 = 2(2k−1(u1 + 1)) = 2k(u1 + 1).


3. Sabiendo que: 4 = 3u1

= u1 + 3u2

= u2 + 3u3

= . . . = un + 3un+1

.

Demostrar: un = 3n+1−33n+1−1

.

Demostracion.

i) Para n = 1 ⇒ u1 = 34; u1 = 31+1−3

31+1−1= 9−3

9−1= 3

4.

ii) Hipotesis inductiva: para n = k ⇒ uk = 3k+1−33k+1−1

, por demostrar

para n = k + 1, o sea, uk+1 = 3k+2−33k+2−1

.

En efecto, por hipotesis del problema tenemos:

4 = uk +3

uk+1⇒ uk+1 =

3

4 − uk

;

ahora, usando la hipotesis inductiva:

uk+1 =3

4 − (3k+1 − 3)/(3k+1 − 1)

=3(3k+1 − 1)

4 · 3k+1 − 4 − 3k+1 + 3

uk+1 =3k+2 − 3

3k+1(4 − 1) − 1

=3k+2 − 3

3k+2 − 1

4. Si u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx, ∀ n ∈ N, demostrar que:

un =1

x[1 + nx − (1 + x)n], x 6= 0.

Demostracion.

i) Para n = 1, u1 = 0; u1 = 1x[1 + x − (1 + x)] = 1

x· 0 = 0.

ii) Hipotesis inductiva. Para n = k ⇒ uk = 1x[1 + kx− (1 + x)k], por

demostrar para n = k + 1, o sea,

uk+1 =1

x[1 + (k + 1)x − (1 + x)k+1].


En efecto, hacemos n = k en la hipotesis del problema uk+1 = (1 +x)uk − kx, ahora reemplazando la hipotesis inductiva:

uk+1 = (1 + x)1

x[1 + kx − (1 + x)k] − kx

⇒ uk+1 =1

x[(1 + x) + (1 + x)kx − (1 + x)(1 + x)k] − kx

=1

x[1 + x + kx + kx2 − (1 + x)k+1 − kx2]

⇒ uk+1 =1

x[1 + x + kx − (1 + x)k+1]

=1

x[1 + (1 + k)x − (1 + x)k+1]

5. Demuestre ∀ n ∈ N, que: 2n+4 > (n + 4)2.

Demostracion.

i) Para n = 1; 21+4 > (1 + 4)2 ⇒ 25 > 52 ⇒ 32 > 25.

ii) Hipotesis inductiva, para n = k ⇒ 2k+4 > (k + 4)2.

Por demostrar para n = k + 1, o sea, 2k+5 > (k + 5)2.

En efecto, como

2k+4 > (k + 4)2 ⇒ 2k+4 · 2 > (k + 4)2 · 2⇒ 2k+5 > 2k2 + 16k + 32

⇒ 2k+5 > k2 + 10k + 25 + k2 + 6k + 7 y como

k2 + 10k + 25 + k2 + 6k + 7 > k2 + 10k + 25 ⇒2k+5 > k2 + 10k + 25 ⇒ 2k+5 > (k + 5)2.

6. Demuestre ∀ n ∈ Z; n ≥ 1; h ≥ −1; que:

(1 + h)n ≥ 1 + nh

Demostracion.

i) Para n = 1; (1 + h)1 ≥ 1 + h ⇒ 1 + h = 1 + h.


ii) Hipotesis inductiva, para n = k ⇒ (1 + h)k ≥ 1 + kh.

Por demostrar para n = k + 1, o sea, (1 + h)k+1 ≥ 1 + (k + 1)h,.

En efecto, como (1 + h) ≥ 0, tenemos:

(1 + h)k(1 + h) ≥ (1 + kh)(1 + h)

⇒ (1 + h)k+1 ≥ 1 + h + kh + kh2 ≥ 1 + h + kh pues kh2 ≥ 0

⇒ (1 + h)k+1 ≥ 1 + (k + 1)h

7. Demostrar que los numeros de la forma un = 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 sondivisibles por 54.

Demostracion.

i) Para n = 1; u1 = 23 − 9 + 3 − 2 = 0 y 0 es divisible por 54.

ii) Hipotesis inductiva, para n = k ⇒ uk = 22k+1 − 9k2 + 3k − 2 esdivisible por 54.

Por demostrar para n = k + 1, o sea que uk+1 = 22k+3 − 9(k +1)2 + 3(k + 1) − 2 sea divisible por 54.

En efecto:

uk+1 − uk = 2k+1(22 − 1) − 18k − 6 = 3(22k+1 − 6k − 2),

sumando y restando 27k2, tenemos:

uk+1 − uk = 3[22k+1 − 9k2 + 3k − 2] + 27k2 − 27k

⇒ uk+1 − uk = 3uk + 27(k)(k − 1)

ahora como el producto de dos numeros consecutivos es par, podemosponer

k(k − 1) = 2S, (S ∈ N),

luego:uk+1 − uk = 3uk + 54S ⇒ uk+1 = 4uk + 54S

como por hipotesis inductiva

4uk = 54p, (p ∈ N) ⇒ uk+1 = 54(S + p)

con lo que uk+1 es divisible por 54.


8. Demostrar que un = 34n+2 + 52n+1 es multiplo de 14.

Demostracion.

i) Para n = 1, u1 = 34·1+2 + 52·1+1 = 854, es multiplo de 14.

ii) Hipotesis inductiva, para n = k ⇒ uk = 34k+2 + 52k+1 es multiplode 14.

Por demostrar que para n = k + 1 ⇒ uk+1 = 34k+6 + 52k+3 esmultiplo de 14.

En efecto, sea:

uk+1 − uk = 80 · 34k+2 + 52k+1 · 24

= 24(34k+2 + 52k+1) + 56 · 34k+2

uk+1 − uk = 24uk + 14 · 4 · 34k+2 ⇒uk+1 = 25uk + 14S, S = 4 · 34k+2

Como uk es multiplo de 14, ambos sumandos son multiplos de 14, luegouk+1 es multiplo de 14.

9. Demostrar que ∀ n ∈ N; f(n) = 10n + 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9.

Demostracion.

i) Para n = 1; f(1) = 101 + 3 · 41+2 + 5 = 207.

ii) Por hipotesis inductiva, para n = k ⇒ f(k) = 10k + 3 · 4k+2 + 5 esdivisible por 9.

Por demostrar que para n = k + 1 ⇒ f(k + 1) = 10k+1 + 3 · 4k+3 + 5sea divisible por 9. En efecto, sea:

f(k + 1) − f(k) = 10k(10 − 1) + 3 · 4k+2(4 − 1)

= 9 · 10k + 9 · 4k+2

⇒ f(k + 1) = 9(10k + 4k+2) + f(k)

como f(k) es divisible por 9 y tambien 9(10k + 4k+2), tenemos quef(k + 1) es divisible por 9.


10. Demostrar:

cos α · cos 2α · cos 4α · . . . · cos 2n−1α =sen 2nα

2n sen α

(α 6= kπ, k ∈ Z).

Demostracion.

i) Para n = 1, cosα = sen 2α2 sen α

= 2 sen α cos α2 sen α

= cosα

ii) Hipotesis inductiva, para n = k:

cos α · cos 2α · cos 4α · . . . · cos 2αk−1α =sen 2kα

2k sen α

Por demostrar, para

n = k + 1 ⇒ cos α · cos 2α · cos 4α · . . . · cos 2kα =sen 22k+1α

2k+1 sen α

en efecto, multiplicando la hipotesis inductiva por cos 2kα, tenemos

cos α · cos 2α · . . . · cos 2k−1α · cos 2kα =sen 2kα

2k sen α· cos 2kα

⇒ cos α · cos 2α · . . . · cos 2kα =2 sen 2kα cos 2kα

2 · 2k sen α

=sen 2(2kα)

2k+1 sen α

=sen 2k+1α

2k+1 sen α

11. Demostrar que cos(nπ) = (−1)n.

Demostracion.

i) Para n = 1, cosπ = (−1)1 ⇔ (−1) = (−1)

ii) Hipotesis inductiva, para n = k; cos(kπ) = (−1)k.


Por demostrar, para n = k + 1 ⇒ cos[(k + 1)π] = (−1)k+1. En efecto,como:

cos(kπ) = (−1)k

cos(kπ)(−1) = (−1)k(−1)

cos(π + kπ) = (−1)k+1

cos[(k + 1)π] = (−1)k+1

12. Demostrar ∀ n ∈ Z; n ≥ 4, que 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! > 2n.

Demostracion.

i) Para n = 4: 1 · 2 · 3 · 4 > 24 ⇒ 24 > 16.

ii) Hipotesis inductiva, para n = k, k ≥ 4: k! > 2k

Por demostrar, para n = k + 1 ⇒ (k + 1)! > 2k+1, en efecto, como

1 · 2 · 3 · . . . · k > 2k ⇒ 1 · 2 · 3 · . . . · k · (k + 1) > 2k(k + 1)

⇒ (k + 1)! > 2k(k + 1) (*)

Dado que,

∀ k ≥ 4 ⇒ k + 1 > 4 ⇒ 2k(k + 1) > 4 · 2k

⇒ 2k(k + 1) > 4 · 2k > 2 · 2k ⇒ 2k(k + 1) > 2k+1 (**)

luego, por (*) y (**) concluimos (k + 1)! > 2k+1.

13. Se definen los numeros a1, a2, a3, . . . mediante a1 =√

2 y an+1 =√

2an.Demostrar que an < 2 para todo n.

Demostracion.

a) Para n = 1, a1 =√

2 < 2.

b) Hipotesis inductiva, para n = k : ak < 2, por demostrar paran = k + 1, o sea: ak+1 < 2. En efecto, como ak < 2 ⇒ 2ak < 4 ⇒√

2ak <√

4 ⇒ por definicion√

2ak = ak+1 luego ak+1 < 2.


14. Demostrar ∀ n ∈ N, que

1

2+

2

22+

3

23+ . . . +

n

2n= 2 − n + 2

2n

Demostracion.

i) Para n = 1 ⇒ 12

= 2 − 1+22

= 12

verdadero.

ii) Sea valido para n, o sea se verifica que

1

2+

2

22+

3

23+ . . . +

n

2n= 2 − n + 2

2n(H.I.)

Por demostrar para n + 1, o sea que:

1

2+

2

22+

3

23+ . . . +

n

2n+

n + 1

2n+1= 2 − n + 3

2n+1(T)

En efecto:

1

2+

2

22+

3

23+ . . . +

n

2n+

n + 1

2n+1= 2 − n + 2

2n+

n + 1

2n+1

= 2 − 2(n + 2) − (n + 1)

2n+1

= 2 − n + 3

2n+1

15. Si a1 = 1, a2 = 3, . . . , an+2 = 12(an+1 + an), probar que:

i) a1 < a3 < a5 < . . . y a2 > a4 > a6 > . . .

ii) an = 73− 4

3

(

−12

)n−1

iii) an+2 − an =(

−12

)n−1y an+2 − an+1 = 2

(

−12

)n

Prueba.

i) Vamos a demostrar que a2n−1 < a2n+1.

1) Para n = 1, a1 < a3 ⇔ 1 < 2 que es verdad.


2) Sea valido para n, o sea, se cumple a2n−1 < a2n+1 (H.I.)En efecto,

a2n−1 < a2n+1 ⇔ 1

2(a2n + a2n−1) <

1

2(a2n+1 + a2n)

⇔ a2n+1 < a2n+2 ⇔ 2a2n+1 < a2n+2 + a2n+1

⇔ a2n+1 <1

2(a2n+2 + a2n+1)

⇔ a2n+1 < a2n+3,

analogamente se establece:

a2 > a4 > a6 > . . .

ii) 1) Para n = 1 ⇒ a1 = 73− 4

3= 1 que es verdad.

2) Sea valido para n, o sea, que se verifica

an =7

3− 4

3

(−1

2

)n−1

(H.I.)

Por demostrar para n + 1, o sea, an+1 = 73− 4

3

(

−12

)n(T)

En efecto, como an+1 = 12(an + an−1) y tomando en cuenta el

principio general de induccion,

an+1 =1

2

(

7

3− 4

3

(

−1

2

)n−1

+7

3− 4

3

(

−1

2

)n−2)

an+1 =7

3− 1

2

4

3

(

−1

2

)n−1

(1 − 2)

an+1 =7

3−(

−1

2

)

4

3

(

−1

2

)n−1

=7

3− 4

3

(

−1

2

)n

iii) Como en ii) esta establecida la validez de la formula para todo nse tiene:

an+2 − an =7

3− 4

3

(

−1

2

)n+1

−[

7

3− 4

3

(

−1

2

)n−1]

=4

3

(

−1

2

)n−1(

1 −(

−1

2

)2)

=

(

−1

2

)n−1

Analogamente para an+2 − an+1 = 2 ·(

−12

)n.


16. Demuestre que x2n − y2n es divisible por x + y, ∀ n ∈ N.

Demostracion.

Sea S = {n ∈ N / x2n − y2n es divisible por x + y}.

i) 1 ∈ S pues x2 − y2 = (x + y)(x− y) es divisible por (x + y).

ii) Si n ∈ S se tiene que x2n − y2n es divisible por x + y (H.I.)

Por demostrar que (n+1) ∈ S, o sea, x2(n+1) − y2(n+1) sea divisible por(x + y) (T)

En efecto:

x2(n+1) − y2(n+1) = x2n+2 − y2n+2

= x2(x2n − y2n) + x2y2n − y2n+2

= x2(x2n − y2n) + y2n(x − y)(x + y)

es divisible por (x + y) pues x2n − y2n lo es por hipotesis y el terminoque se suma contiene a (x + y), por tanto, (n + 1) ∈ S, luego S = N.


1. Si a1 = 1 y ak+1 = 2ak + 1, probar que an = 2n − 1.

2. Si u1 = 0 y uk+1 = (1 − x)uk + kx, ∀ k ∈ N, pruebe que

un =1

x[nx − 1 + (1 − x)n], x 6= 0.

3. Probar que si u0 = 2, u1 = 3, . . . , uk+1 = 3uk−2uk−1, entonces ∀ n ≥ 0,un = 2n + 1.

4. Siendo u1 = c y uk+1 = 2uk+1, ∀ k ≥ 1, probar que un+1 = 2n−1(c+1).

5. Se definen los numeros de Fibonacci inductivamente por:

u0 = 0, u1 = 1, . . . , uk+1 = uk + uk−1,

pruebe que:


a) un+1 ≤(

1+√

52

)n

b) un+1 · un−1 − u2n = (−1)n

c) un+1 = u0 + u1 + . . . + un−1 + 1

d) un+p−1 = un−1up−1 + unup

6. Se define u1 = 1 y uk+1 = uk + 1k+1

.

Pruebe que u1 + u2 + . . . + un = (n + 1)un − n.

7. Pruebe que:

a) 9 divide a (3n + 1)7n − 1

b) 15 divide a 24n − 1

c) 2304 divide a 72n − 48n − 1

d) 8 divide a 32n − 1

e) 5 divide a 7 · 16n + 3

f ) 64 divide a 72n + 16n − 1

g) 48 divide a 72n − 1

h) 64 divide a 9n − 8n − 1

8. Pruebe que:

a) xn − yn es divisible por x − y

b) x2n−1 + y2n−1 es divisible por x + y

9. Demuestre que ∀ n ∈ N, que:

a) 2n ≥ 1 + n

b) (2n)! < 22n(n!)2, n > 1

c) 32− 1

n+ 1

n2 < 112 + 1

22 + . . . + 1n2 < 2 − 1

n, n > 1

d) 1n+1

+ 1n+2

+ . . . + 12n+1

≤ 56

e) n! > 2n, n ≥ 4

10. Probar que 24 divide a n(n2 − 1) si n es impar.

11. Demuestre: n(n + 1)(n + 2) . . . (n + p − 1) es divisible por p.


12. Pruebe que:

13 + 33 + . . . + (2n + 1)3 = (n + 1)2(2n2 + 4n + 1), n ≥ 0

13. Probar que el producto (2n+1) numeros reales negativos es un numeronegativo.

14. Probar que para n > 2, la suma de los angulos interiores de un polıgonoregular de n lados es (n − 2)π.

15. Determine la falla del metodo de induccion en la demostracion de: ∀n ∈ N la formula p(n) = n2 − n +41 proporciona solo numeros primos.

16. Demostrar:

a) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = 13n(4n2 − 1)

b) 2 + 5 + 13 + . . . + (2n−1 + 3n−1) = 12(2n+1 + 3n − 3)

c) 11·3

+ 13·5

+ 15·7

+ . . . + 14n2−1

= n2n+1

d) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n + 1) = (n + 1)2

e) 51·2

· 13

+ 72·3

· 132 + 9

3·4· 1

33 + . . . (n terminos) = 1 − 1(n+1)3n

f ) 83·5

− 125·7

+ 167·9

− . . . (n terminos) = 13

+ (−1)n−1 12n+3

g) 14− 1

42 + 143 − . . . + (−1)n−1 1

4n = 15

(

1 − 1(−4)n

)

17. Demostrar que:

a)(

1 − 12

) (

1 − 13

) (

1 − 14

)

. . .(

1 − 1n+1

)

= 1n+1

b) (1 − x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22

) . . . (1 + x2n

) = 1 − x2n+1

c)(

1 − 122

) (

1 − 132

) (

1 − 142

)

. . .(

1 − 1(n+1)2

)

= n+22(n+1)

18. Demuestre que:

12 − 22 + 32 − . . . + (−1)n−1n2 = (−1)n−11

2n(n + 1)

19. Sean µ1 = 10, µ2 = 47 . . . µn = 23µn−1 − 60µn−2, n ≥ 3. Pruebe que:µn = 20n−1 + 3n+1


20. Dado que a0 = 12, a1 = 11, . . . , an+2 = an+1 + 6an, n ≥ 0. Demuestreque an = 7 · 3n + 5(−2)n.

21. Sean a1 = 0, a2 = 1, . . . , an+1 = n(an + an−1), n ≥ 2. Demostrar que:

an = n!

(

1

2!− 1

3!+ . . . +

(−1)n

n!

)

22. a1 = a, a2 = b, a3 = 13(a1 + 2a2), a4 = 1

3(a2 + 2a3), . . . a, b ∈ R, a 6= b.

Demostrar que:

an = a − 3c

c + 3

[

(

−c

3

)n−1

− 1

]

, c = b − a.

3.7. Sumatorias

Una sumatoria es un sımbolo que se ocupa para denotar en forma comprimidala suma sucesiva de los terminos de una sucesion.

Definicion 2

Se define el sımbolo∑

(que se lee sumatoria) inductivamente, por

1.1∑

i=1

ai = a1

2.

n+1∑

i=1

ai =

n∑

i=1

ai + an+1, donde an es una sucesion cualquiera.

De esta definicion se desprende facilmente que,

n+1∑

i=1

ai =

1∑

i=1

ai + a2 + a3 + . . . + an + an+1 = a1 + a2 + a3 + . . . + an+1


Note que

n∑

i=1

ai representa a una suma desde el primer termino de la sucesion

a1 para i = 1 hasta el ultimo termino que en este caso es an para i = n. Esdecir, en i = 1 se inicia la suma de los sucesivos terminos de ai e i = n indicadonde se finaliza la suma.

Nota. En este texto se estudiaran las sumatorias finitas simples y dobles,que deberıan llamarse series finitas.

En un curso posterior es estudiaran las sumatorias infinitas de los terminosde una sucesion, a estas se suelen llamar series.

Numero de Terminos.

Dadan∑

i=p

ai con 0 ≤ p ≤ n, p ∈ N ∪ {0} el numero de terminos siempre es

igual a n − p + 1 para el caso particular de p = 1, dicho numero es n.

Propiedades.

1.

n∑

i=1

ai =

n∑

j=1

aj =

n∑

k=1

ak

El valor de la sumatoria no depende del sımbolo que se use como ındice.

2.

n∑

i=p

c = c(n−p+1), 0 ≤ p ≤ n, c es una constante real que no depende

del ındice i.

Para el caso particular den∑

i=1

1 = n.

3.

n∑

i=1

cai = c

n∑

i=1

ai, c es una constante.

4.

n∑

i=1

(ai + bi) =

n∑

i=1

ai +

n∑

i=1

bi


5. Propiedad Telescopica:

n∑

i=p

(ai+1 − ai) = an+1 − ap; 0 ≤ p ≤ n,

tambienn∑

i=p

(ai − ai+1) = ap − an+1, 0 ≤ p ≤ n.

6. a)

n∑

i=p

ai =

n−r∑

i=p−r

ai+r; p − r ≥ 0, 0 ≤ p ≤ n

b)

n∑

i=p

ai =

n+r∑

i=p+r

ai−r; 0 ≤ p ≤ n

7. Sea p ≤ n, entoncesn∑

i=p

ai =n∑

i=1

ai −p−1∑

i=1

ai

Observacion.

Todas estas propiedades se prueban en forma sencilla, en base a la definiciono bien por induccion.

Sumatorias Notables

1.

n∑

k=1

k =1

2n(n + 1)

2.

n∑

k=1

k2 =1

6n(n + 1)(2n + 1)

3.n∑

k=1

k3 =

[

1

2n(n + 1)

]2


4.

n∑

k=p

rk−1 = rp−1rn−p+1 − 1

r − 1, r 6= 1, 0 ≤ p ≤ n

Observacion.

Todas estas sumas se prueban por induccion, algunas de ellas se encuentranen los ejemplos o bien en los ejercicios resueltos.

Ejemplo 5

Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)8∑

k=4

k(2k − 1) b)n−1∑

k=0

(−1)k+12k + 1

k + 2

De la definicion se tiene:

a)

8∑

k=4

k(2k − 1) = 4 · 7 + 5 · 9 + 6 · 11 + 7 · 13 + 8 · 15,

note que son 5 = 8 − 4 + 1 terminos como deberıa ser.

b)n−1∑

k=0

(−1)k+12k + 1

k + 2= −20 + 1

2+

21 + 1

3+ . . . + (−1)n 2n−1 + 1

n + 1.

Note que en este caso se tiene n − 1 − 0 + 1 = n terminos.

Ejemplo 6

Escribir usando∑

, las siguientes sumas:

1. 12 + 32 + 52 + . . . (hasta n + 1 terminos)

2. 2 · 7 + 5 · 9 + 8 · 11 + . . . + 422 · 287

3. 83·5

− 125·7

+ 167·9

− . . . (hasta p terminos).


De inmediato se tiene:

1.n∑

k=0

(2k + 1)2, note que n − 0 + 1 = n + 1 terminos.

2. Notemos que ak = (3k − 1)(2k + 5), k = 1, 2, . . . la sumatoria debeterminar en 3k − 1 = 422 ∧ 2k + 5 = 287 de donde en ambos casos

k = 141, por tanto141∑

k=1

(3k − 1)(2k + 5).

3. De inmediato se tiene

p∑

k=1

(−1)k−1 4(k + 1)

(2k + 1)(2k + 3).

Ejemplo 7

Sea a1 = 3, . . . , an = 6n − 3 calcular6∑

k=3

ak−1ak+1.

Note que la sumatoria consta de cuatro terminos, ası,

6∑

k=3

ak−1ak+1 = a2a4 + a3a5 + a4a6 + a5a7

= 9 · 21 + 15 · 27 + 21 · 33 + 27 · 39 = 2340

Ejemplo 8

Vamos a calcular las siguientes sumatorias, aprovechando para ello la propiedadtelescopica.

a)20∑

i=1

(

1

i + 2− 1

i + 1

)

b)n+1∑

i=p

(

1

2i − 1− 1

2i + 1

)


Por tanto, se tiene para:

a)

20∑

i=1

(

1

i + 2− 1

i + 1

)

=1

20 + 2− 1

1 + 1=

1

22− 1

2= − 5

11

b) Note que en este caso los terminos son consecutivos aunque aparente-mente parecen no serlo, lo importante es que:

ai =1

2i − 1y ai+1 =

1

2i + 1,

ası pues,n+1∑

i=p

(

1

2i − 1− 1

2i + 1

)

=1

2p − 1− 1

2n + 3

3.8. Sumatorias dobles

Sea aij una sucesion tal que i, j ∈ N × N, ası se definen

1.

n∑

i=1

m∑

j=1

aij =

n∑

i=1

(

m∑

j=1

aij

)

=

m∑

j=1

(

n∑

i=1

aij

)

; n, m ∈ N.

Note que enn∑

i=1

(

m∑

j=1

aij

)

, la sumatoria entre parentesis suma sobre j

manteniendo i constante, analogamente param∑

j=1

(

n∑

i=1

aij

)

suma sobre

i y j la considera constante.

2. Si es el caso que aij = bicj, entonces

n∑

i=1

m∑

j=1

aij =n∑

i=1

m∑

j=1

bicj =

(

n∑

i=1

bi

)(

m∑

j=1

cj

)


3. Ahora si se trata den∑

i=1

i∑

j=1

aij entonces,

n∑

i=1

i∑

j=1

aij =

n∑

i=1

(

i∑

j=1

aij

)

y en este caso la sumatoria indicada entre parentesis es la que se debeefectuar necesariamente en primera instancia.

Nota.

Para el calculo o desarrollo de una sumatoria doble se aprovechan las propiedadesy las sumas notables de las sumatorias simples.

Ejemplo 9

Desarrollaremos y calcularemos

a)3∑

k=1

2∑

j=1

(

1

j+ k

)

b)2∑

i=1

i∑

j=1

2ji

Ası, para a) se tiene:

3∑

k=1

2∑

j=1

(

1

j+ k

)

=3∑

k=1

(

2∑

j=1

1

j+

2∑

j=1

k

)

=

3∑

k=1

(

1

1+

1

2+ k · 2

)

=

3∑

k=1

3

2+ 2

3∑

k=1

k

=3

2· 3 + 2(1 + 2 + 3) =

33

2.


Para b), el desarrollo se puede efectuar como sigue:

2∑

i=1

i∑

j=1

2ji =1∑

j=1

2j +2∑

j=1

4j = 2 · 1 + 4 · 1 + 4 · 2 = 14

el calculo tambien se puede hacer en la forma:

2∑

i=1

i∑

j=1

2ji =2∑

i=1

(

2ii∑

j=1

j

)

=2∑

i=1

2i1

2i(i + 1) =

2∑

i=1

i2(i + 1)

= 12 · 2 + 22 · 3 = 14


1. Calcular las siguientes sumatorias:

a)

2n∑

k=1

k b)

n∑

k=3

k c)

2n−1∑

k=n+1

k

Solucion.

a)2n∑

k=1

k =1

22n(2n + 1) = n(2n + 1)

b)n∑

k=3

k =n∑

k=1

k − (1 + 2) =1

2n(n + 1) − 3

c)2n−1∑

k=n+1

k =2n−1∑

k=1

k −n∑

k=1

k =1

2(2n − 1)(2n − 1 + 1) − 1

2n(n + 1)

= n(2n − 1) − 12n(n + 1)

2. Si ak = 13k(k + 1)(k + 2) demuestre que ak − ak−1 = k(k + 1) y de

aquı calcule el valor de

n∑

i=1

i(i + 1).


Solucion.

ak − ak−1 = 13k(k + 1)(k + 2) − 1

3(k − 1)(k(k + 1)

= 13k(k + 1)(k + 2 − k + 1) = k(k + 1).

Luego,n∑

i=1

i(i + 1) =

n∑

i=1

(ai − ai−1) = an − a0

=1

3n(n + 1)(n + 2) − 1

30(0 + 1)(0 + 2)

=1

3n(n + 1)(n + 2)

3. Dadan∑

i=1

i(i + 1) =1

3n(n + 1)(n + 2)

Calculen∑

i=1

i(i − 1) y2n+1∑

k=n

k(k + 1).

Solucion.

Por la propiedad 6), se tiene:n∑

i=1

i(i − 1) =

n−1∑

i=0

(i + 1)(i + 1 − 1)

=

n−1∑

i=1

i(i + 1)

=1

3(n − 1)n(n + 1)

2n+1∑

k=n

k(k + 1) =2n+1∑

k=1

k(k + 1) −n−1∑

k=1

k(k + 1)

=1

3(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) − 1

3(n − 1)n(n + 1)

=1

3(n + 1)[(2n + 1) · 2(2n + 3) − (n − 1)n]

=1

3(n + 1)(7n2 + 17n + 6)


4. Calcular:

a)

n∑

j=1

(j + 1)3 b)

n∑

k=1

(n − k + 1)

Solucion.

a)n∑

j=1

(j + 1)3 =n+1∑

j=2

j3 =n+1∑

j=1

j3 − 1 =1

4(n + 1)2(n + 2)2 − 1

b)

n∑

k=1

k(n − k + 1) = (n + 1)

n∑

k=1

k −n∑

k=1

k2

= (n + 1)12n(n + 1) − 1

6n(n + 1)(2n + 1)

= 16n(n + 1)(n + 2)

5. Calcule la sumatoria y luego verifique su calculo por induccion.

n+1∑

k=1

(1 + 2k−1)

Solucion.

n+1∑

k=1

(1 + 2k−1) =n+1∑

k=1

1 +n+1∑

k=1

2k−1

= (n + 1) + 1 · 2n+1 − 1

2 − 1= n + 2n+1

Ahora, por induccion vamos a demostrar que:

n+1∑

k=1

(1 + 2k−1) = n + 2n+1


i) Para n = 0 ⇒1∑

k=1

(1 + 2k−1) = 0 + 2 ⇔ 1 + 20 = 2 por tanto se

cumple.

ii) Sea valido para n, o sea, se verifica que:

n+1∑

k=1

(1 + 2k−1) = n + 2n+1 (H.I.)

Por demostrar para n + 1, o sea que:

n+2∑

k=1

(1 + 2k−1) = n + 1 + 2n+2 (T)

En efecto:

n+2∑

k=1

(1 + 2k−1) =

n+1∑

k=1

(1 + 2k−1) + (1 + 2n+2−1)

= n + 2n+1 + 1 + 2n+1

= n + 1 + 2 · 2n+1 = n + 1 + 2n+2

6. Demostrar que:n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n

n + 1

Demostracion.

i) Para n = 1:

n∑

k=1

1

k(k + 1)=

1

1(1 + 1)=

1

1 + 1⇒ 1

2=

1

2

ii) Hipotesis inductiva, para n = p:

p∑

k=1

1

k(k + 1)=

p

p + 1


Por demostrar para n = p + 1 ⇒:

p+1∑

k=1

1

k(k + 1)=

p + 1

p + 2.

En efecto, como:

p∑

k=1

1

k(k + 1)=

p

p + 1⇒

p∑

k=1

1

k(k + 1)+

1

(p + 1)(p + 2)=

p

p + 1+

1

(p + 1)(p + 2)

p+1∑

k=1

1

k(k + 1)=

p(p + 2) + 1

(p + 1)(p + 2)=

(p + 1)2

(p + 1)(p + 2)=

p + 1

p + 2

7. Demostrar:p∑

i=0

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+ (−1)n−1 1

2n + 3

Demostracion.

i) Para n = 1:

1∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+ (−1)1−1 · 1

2 · 1 + 3⇒

(−1)1−1 4(1 + 1)

(2 · 1 + 1)(2 · 1 + 3)=

4(2)

3 · 5 ⇔ 8

15=

8

15

ii) Hipotesis inductiva, para n = k:

k∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+(−1)k−1 1

2k + 3(H.I.)

Por demostrar, para n = k + 1:

⇒k+1∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+ (−1)k 1

2k + 5. (T.)


En efecto, como:

k∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+ (−1)k−1 1

2k + 3

⇒k∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)+ (−1)k 4(k + 2)

(2k + 3)(2k + 5)

=1

3+ (−1)k−1 1

2k + 3+ (−1)k

4(k + 2)

(2k + 3)(2k + 5)

k+1∑

i=1

(−1)i−1 4(i + 1)

(2i + 1)(2i + 3)=

1

3+

(−1)k−1(2k + 5) + (−1)k4(k + 2)

(2k + 3)(2k + 5)

=1

3+ (−1)k

(−2k − 5 + 4k + 8)

(2k + 3)(2k + 5)=

1

3+ (−1)k

1

2k + 5

8. Demuestre y calcule:2n∑

k=1

(−1)kk2 =n∑

k=1

(4k − 1).

Demostracion.

a) Desarrollando:

2n∑

k=1

(−1)kk2 = −12 + 22 − 32 + 42 − 52 − . . . − (2n − 1)2 + (2n)2

=n∑

k=1

(2k)2 −n∑

k=1

(2k − 1)2

=

n∑

k=1

[(2k)2 − (2k − 1)2]

=

n∑

k=1

[(2k)2 − (2k)2 + 2(2k) − 1]

=

n∑

k=1

(4k − 1)


b)

2n∑

k=1

(−1)kk2 =

n∑

k=1

(4k − 1) = 4

n∑

k=1

k −n∑

k=1

1

= 4n(n+1)2

− n = 2n2 + n

9. Calcular: S =n∑

k=1

1

(2k − 1)(2k + 1)

Solucion.

Por fracciones parciales

1

(2k − 1)(2k + 1)=

A

2k − 1+

B

2k + 1⇔ 1 = A(2k + 1) + B(2k − 1)

k = 12⇒ A = 1

2; k = −1

2⇒ B = −1

2, ası:

S =

n∑

k=1

1

2

[

1

2k − 1− 1

2k + 1

]

=1

2

[

1

2 · 1 − 1− 1

2n + 1

]

=n

2n + 1

10. Calcular: S =

n∑

k=1

k4 + k2 + 1

k4 + k

Solucion.

k4 + k2 + 1

k4 + k= 1 +

k2 − k + 1

k4 + k(division de polinomios)

k4 + k2 + 1

k4 + k= 1 +

k2 − k + 1

k4 + k= 1 +

1

k(k + 1),

ası:

S =

n∑

k=1

[

1 +1

k(k + 1)

]

=

n∑

k=1

1 +

n∑

k=1

1

k(k + 1)= n +

n∑

k=1

[

1

k− 1

k + 1

]

S = n +

[

1

1− 1

n + 1

]

=n(n + 2)

n + 1


11. Calcular: S =

n∑

k=1

2k + 1

k2(k + 1)2

Solucion.

S =n∑

k=1

k2 + 2k + 1 − k2

k2(k + 1)2=

n∑

k=1

[

(k + 1)2

k2(k + 1)2− k2

k2(k + 1)2

]

S =

n∑

k=1

[

1

k2− 1

(k + 1)2

]

=1

12− 1

(n + 1)2

12. Calcular:

S =

n∑

k=1

log

(

k + 1

k

)k

Solucion.

S =

n∑

k=1

log

(

k + 1

k

)k

, desarrollando tenemos:

S = log2

1+ log

(

3

2

)2

+ log

(

4

3

)3

+ . . . + log

(

n + 1

n

)n

S = log

(

2

1· 32

22· 43

33. . .

(n + 1)n

nn

)

= log(n + 1)n

n!

13. Calcular:

S =n∑

k=1

log

(

1 +1

k2 + 2k

)

Solucion.

S =n∑

k=1

log(k + 1)2

k(k + 2)=

n∑

k=1

[2 log(k + 1) − log(k)(k + 2)]

S =n∑

k=1

(log(k + 1) − log k) −n∑

k=1

[log(k + 2) − log(k + 1)]

S = log(n + 1) − log 1 − (log(n + 2) − log 2) = log2(n + 1)

(n + 2)


14. Calcular:

S =

n∑

k=1

k

1 + k2 + k4

Solucion.

Haciendo 1 + k2 + k4 = 1 + 2k2 + k4 − k2 = (1 + k2)2 − k2 se tiene:

S =

n∑

k=1

(

k

(1 + k2 − k)(1 + k2 + k)

)

.

Por otra parte:

k

(1 + k2 − k)(1 + k2 + k)=

Ak + B

(1 + k2 − k)+

Ck + D

1 + k2 + k

k = (Ak + B)(1 + k2 + k) + (Ck + D)(1 + k2 − k)

k = (A + C)k3 + (A + B − C + D)k2 + (A + B + C − D)k + B + D

A + C = 0A + B − C + D = 0A + B + C − D = 1B + D = 0

A = C = 0B = 1

2

D = −12, de donde

S =n∑

k=1

( 12

1 + k2 − k−

12

1 + k2 + k

)

=1

2

n∑

k=1

(

1

1 + k2 − k− 1

1 + (k + 1)2 − (k + 1)

)

=1

2

(

1 − 1

1 + n2 + n

)

15. Calcular:

S =

n∑

k=2

(√

5k + 3 −√

5k − 2√25k2 + 5k − 6

− 3k−46k − 4

2k+2

)


Solucion.

S =

n∑

k=2

( √5k + 3

√

(5k + 3)(5k − 2)−

√5k − 2

√

(5k + 3)(5k − 2)

)

−n∑

k=2

3k−42k3k − 22

2k+2

S =

n∑

k=2

(

1√

(5k − 2)− 1√

(5k + 3)

)

− 1

4

n∑

k=2

32k−4 +

n∑

k=2

1

2k

S =1√8− 1√

5n + 3− 1

4

(

(32)n−1 − 1

9 − 1

)

+1

4

(

12

)n−1 − 112− 1

S =1√8− 1√

5n + 3− 1

32(32n−2 − 1) +

1

2−(

1

2

)n

16. Calcular:

S =n+2∑

j=2

(j − 1)4 −n∑

k=1

k4

Solucion.

Haciendo j − 1 = k en la primera sumatoria y para j = 2 ⇒ k = 1;j = n + 2 ⇒ k = n + 1, luego

S =

n+1∑

k=1

k4 −n∑

k=1

k4 =

n∑

k=1

k4 + (n + 1)4 −n∑

k=1

k4 = (n + 1)4.

17. Calcular: S = 4 · 7 + 7 · 12 + 10 · 17 + . . . + 157 · 262.

Solucion.

Notese que S =?∑

k=1

(3k + 1)(5k + 2), tal que:

3k + 1 = 1575k + 2 = 262

}

⇒ k = 52,


con lo que

S =

52∑

k=1

(3k + 1)(5k + 2)

S =

52∑

k=1

(15k2 + 11k + 2)

S = 1552 · 53 · 105

6+ 11 · 52 · 53

2+ 2 · 52 = 738712

18. Calcular:

S =1

8+

1

15+

1

24+ . . . +

1

6240

Solucion.

S =1

2 · 4 +1

3 · 5 +1

4 · 6 + . . . +1

78 · 80

S =?∑

k=1

1

(k + 1)(k + 3), tal que

k + 1 = 78k + 3 = 80

}

⇒ k = 77, ası:

S =

77∑

k=1

1

(k + 1)(k + 3).

con ayuda de fracciones parciales:

1

(k + 1)(k + 3)=

A

k + 1+

B

k + 3⇔ 1 = A(k + 3) + B(k + 1)


Si k = −3 ⇒ B = −12; si k = −1 ⇒ A =

1

2, luego:

S =1

2

77∑

k=1

[

1

k + 1− 1

k + 3

]

=1

2

[

77∑

k=1

(

1

k + 1− 1

k + 2

)

+

77∑

k=1

(

1

k + 2− 1

k + 3

)

]

S =1

2

[

1

2− 1

79+

1

3− 1

80

]

= 0,404087553

19. Calcular:

Sn =5

1 · 2 · 1

3+

7

2 · 3 · 1

32+

9

3 · 4 · 1

33+ . . .

Solucion.

Sn =n∑

k=1

2k + 3

k(k + 1)3k, de donde

2k + 3

k(k + 1)=

A

k+

B

k + 1⇔

A = 3 y B = −1, ası:

Sn =n∑

k=1

[

3

k− 1

k + 1

]

· 1

3k=

n∑

k=1

[

1

k3k−1− 1

(k + 1)3k

]

Sn =1

1 · 30− 1

(n + 1)3n= 1 − 1

(n + 1)3n

20. Probar por induccion que:

∗2n∑

k=n+1

1

k=

2n∑

j=1

(−1)j+1

j; n ≥ 1

Prueba.

i) Para n = 1 ⇒2∑

k=2

1

k=

2∑

j=1

(−1)j+1

j⇔ 1

2= 1 − 1

2=

1

2


ii) Sea valido para n, o sea, se cumple ∗∀ n ≥ 1. Por probar paran + 1, o sea,

2n+2∑

k=n+2

1

k=

2n+2∑

j=1

(−1)j+1

j,

en efecto:

2n+2∑

k=n+2

1

k=

2n∑

k=n+1

1

k− 1

n + 1+

1

2n + 1+

1

2n + 2

=2n∑

j=1

(−1)j+1

j+

1

2n + 1− 1

2n + 2

=2n∑

j=1

(−1)j+1

j+

(−1)(2n+1)+1

2n + 1+

(−1)(2n+2)+1

2n + 2

=

2n+2∑

j=1

(−1)j+1

j

Notese que (2n + 1) + 1 es par y que (2n + 2) + 1 es impar.

21. Sabiendo que (a+1)5 = a5 +5a4 +10a3 +10a2 +5a+1, demostrar que

S =n∑

k=1

k4 cumple con la ecuacion:

(n+1)5 = 1+5S+10

[

n(n + 1)

2

]2

+10n(n + 1)(2n + 1)

6+5

n(n + 1)

2+n

encuentre el valor de S cuando n = 5.

Solucion.

Haciendo a = 1, a = 2, a = 3, . . . , a = n en el desarrollo dado, tenemos:

(1 + 1)5 = 25 = 15 + 5 · 14 + 10 · 13 + 10 · 12 + 5 · 1 + 1

(2 + 1)5 = 35 = 25 + 5 · 24 + 10 · 23 + 10 · 22 + 5 · 2 + 1

(3 + 1)5 = 45 = 35 + 5 · 34 · 4 + 10 · 33 + 10 · 32 + 5 · 3 + 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·


(n + 1)5 = (n + 1)5 = n5 + 5n4 + 10 · n3 + 10 · n2 + 5n + 1

sumando miembro a miembro y simplificando, obtenemos:

(n + 1)5 = 1 + 5(14 + 24 + . . . + n4) + 10(13 + 23 + . . . + n3) +

+10(12 + 22 + . . . + n2) + 5(1 + 2 + . . . + n) + 1 · n

(n + 1)5 = 1 + 5S + 10

[

n(n + 1)

2

]2

+ 10n(n + 1)(2n + 1)

6+

+5n(n + 1)

2+ n,

despejando S y para n = 5 se tiene

S =1

5

[

65 −(

1 + 10 · 302

4+ 10

330

6+ 5

30

2+ 5

)]

= 979

22. Si f(k) = 1k2

a) f(k) − f(k + 1) = 2k+1k2(k+1)2

b) Aproveche a) y calcule la suma de n terminos

3

12 · 22+

5

22 · 32+

7

32 · 42. . .

Solucion.

De inmediato,

f(k) − f(k + 1) =1

k2− 1

(k + 1)2=

(k + 1)2 − k2

k2(k + 1)2

=(k + 1 − k)(k + 1 + k)

k2(k + 1)2=

2k + 1

k2(k + 1)2

Observe que 2k+1k2(k+1)2

nos va generando los terminos de la suma, luego:

n∑

k=1

2k + 1

k2(k + 1)2=

[

n∑

k=1

f(k) − f(k + 1)

]

= f(1) − f(n + 1) = 1 − 1

(n + 1)2


23. Demuestre por induccion

n∑

k=1

k(n − k + 1) =1

6n(n + 1)(n + 2)

Demostracion.

i) Para n = 1,n∑

k=1

k(2 − k) = 1(2 − 1) = 1 =1

61(1 + 1)(1 + 2).

ii) Sea valido para n = j, se verifica que:

j∑

k=1

k(j − k + 1) =1

6j(j + 1)(j + 2)

Por demostrar para n = j + 1, o sea,

j+1∑

k=1

k(j + 1 − k + 1) =1

6(j + 1)(j + 2)(j + 3)

En efecto:

j+1∑

k=1

k(j + 1 − k + 1) =

j+1∑

k=1

[k(j − k + 1) + k]

=

j+1∑

k=1

k(j − k + 1) +

j+1∑

k=1

k

=

j∑

k=1

k(j − k + 1) + (j + 1)(j − (j + 1) + 1)

+1

2(j + 1)(j + 2)

=1

6j(j + 1)(j + 2) +

1

2(j + 1)(j + 2)

=1

6(j + 1)(j + 2)(j + 3)


24. Si

n∑

i=1

ui = 2n2 + 3n, calcule el valor de

2n∑

i=n+1

ui y un.

Solucion.

2n∑

i=n+1

ui =

2n∑

i=1

ui −n∑

i=1

ui = 2(2n)2 + 3(2n) − (2n2 + 3n),

ası,2n∑

i=n+1

ui = 3n(2n + 1), ahora como

n∑

i=1

ui −n−1∑

i=1

ui = un ⇒ 2n2 + 3n − [2(n − 1)2 + 3(n − 1)] = un

simplificando se llega a un = 4n + 1.

25. Demostrar que:

2n+1∑

k=1

(−1)k−1k2 = (n + 1)(2n + 1)

Demostracion.

i) Para n = 1:

3∑

k=1

(−1)k−1k2 = (1 + 1)(2 · 1 + 1) ⇒ 1 − 4 + 9 = (2)(3) ⇒ 6 = 6

ii) Hipotesis inductiva, para n = j:

2j+1∑

k=1

(−1)k−1k2 = (j + 1)(2j + 1).

Por demostrar para n = j + 1, o sea,

2j+3∑

k=1

(−1)k−1k2 = (j + 2)(2j + 3).


En efecto, como:

2j+1∑

k=1

(−1)k−1k2 = (j + 1)(2j + 1) ⇒

2j+1∑

k=1

(−1)k−1k2 + (−1)(2j+2)−1(2j + 2)2 + (−1)(2j+3)−1(2j + 3)2

= (j + 1)(2j + 1) + (−1)2j+1(2j + 2)2 + (−1)2(j+1) · (2j + 3)2

como 2j + 1 es impar y 2(j + 1) es siempre par, entonces:

2j+3∑

k=1

(−1)k−1k2 = (j + 1)(2j + 1) − (2j + 2)2 + (2j + 3)2

= 2j2 + 3j + 1 − (4j2 + 8j + 4) + (4j2 + 12j + 9)

= 2j2 + 3j + 1 + 4j + 5

= 2j2 + 7j + 6

= (j + 2)(2j + 3)

26. Se define 0! = 1, 1! = 1, . . . , (n + 1)! = n!(n + 1). Por tanto, (n + 1)! =1 · 2 · 3 . . . n · (n + 1).

Calcular:

a)

n∑

k=1

kk! b)

n∑

k=1

(k2 + 1)k!

Solucion.

a)n∑

k=1

kk! =n∑

k=1

(k + 1 − 1)k! =n∑

k=1

[(k + 1)k! − k!]

=

n∑

k=1

[(k + 1)! − k!] = (n + 1)! − 1!


b)

n∑

k=1

(k2 + 1)k! =

n∑

k=1

[(k + 1)2 − 2k]k!

=

n∑

k=1

(k + 1)2k! − 2

n∑

k=1

kk!

=n∑

k=1

(k + 1)(k + 1)! − 2[(n + 1)! − 1!]

=

n+1∑

k=2

kk! − 2(n + 1)! + 2

=

n+1∑

k=1

kk! − 1 · 1! − 2(n + 1)! + 2

= (n + 2)! − 1! − 1 · 1! − 2(n + 1)! + 2

= (n + 2)! − 2(n + 1)! = (n + 1)!n

27. Calcular:

a)

2n−1∑

k=n+1

k

(k + 1)!b)

n−1∑

k=0

k + 1 − k2

(k + 1)!

Solucion.

a)2n−1∑

k=n+1

k

(k + 1)!=

2n−1∑

k=n+1

k + 1 − 1

(k + 1)!=

2n−1∑

k=n+1

(

1

k!− 1

(k + 1)!

)

= 1(n+1)!

− 1(2n)!

b) Con el fin de evitar artificios algebraicos como el efectuado en a),a continuacion damos un metodo similar al de fracciones parcialespara separar en fracciones terminos que contienen factoriales.

k + 1 − k2

(k + 1)!=

A

(k + 1)!+

B

k!+

C

(k − 1)!(1)

Tres constantes pues el grado del numerador es dos, dos constantessi el grado es uno como en a) y los denominadores decrecientes apartir de (k + 1)! uno por cada constante.


Ası, de (1) se tiene que k + 1 − k2 = A + B(k + 1) + Ck(k + 1).

Si k = −1 ⇒ A = −1.

Si k = 0 ⇒ A + B = 1 ⇒ B = 2.

Si k = 1 ⇒ A + 2B + 2C = 1 ⇒ C = −1.

Se obtienen los mismos resultados por igualdad de coeficientes,por tanto queda

k + 1 − k2

(k + 1)!=

−1

(k + 1)!+

2

k!− 1

(k − 1)!,

con lo que

n−1∑

k=0

k + 1 − k2

(k + 1)!= 1 +

n−1∑

k=1

k + 1 − k2

(k + 1)!

= 1 +

n−1∑

k=1

( −1

(k + 1)!+

2

k!− 1

(k − 1)!

)

= 1 +

n−1∑

k=1

(

1

k!− 1

(k + 1)!

)

+

n−1∑

k=1

(

1

k!− 1

(k − 1)!

)

= 1 +1

1!− 1

n!+

1

(n − 1)!− 1

0!

= 1 − 1

n!+

1

(n − 1)!

28. Calcular:

1 · 21

3!+

2 · 22

4!+

3 · 23

5!+ . . . (n terminos)

Solucion.

Notemos que ak = k(k+2)!

2k, k = 1, 2, . . . , n siguiendo el metodo delproblema anterior se tiene:

k

(k + 2)!=

A

(k + 2)!+

B

(k + 1)!,

de donde k = A + B(k + 2).


Si k = −2 ⇒ A = −2 y si k = 0 ⇒ B = 1, luego

n∑

k=1

2k + 1

(k + 2)!2k =

n∑

k=1

(

1

(k + 1)!− 2

(k + 2)!

)

2k =

n∑

k=1

(

2k

(k + 1)!− 2k+1

(k + 2)!

)

finalmente para la propiedad telescopica se tiene que:

n∑

k=1

2k + 1

(k + 1)!2k =

(

2!

2!− 2n+1

(n + 2)!

)

= 1 − 2n+1

(n + 2)!

29. Calcular:

Sn =

n∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2) . . . (k + p), p 6= 0.

Solucion.

Notese que:

A

k(k + 1) . . . (k + p − 1)+

B

(k + 1)(k + 2) . . . (k + p)=

1

k(k + 1) . . . (k + p)

⇔ A(k + p) + Bk = 1

Si k = 0 ⇒ A = 1p

y si k = −p ⇒ B − 1p, luego:

Sn =

n∑

k=1

1

p

[

1

k(k + 1) . . . (k + p − 1)− 1

(k + 1)(k + 2) . . . (k + p)

]

Sn =1

p

[

1

1 · 2 . . . p− 1

(n + 1)(n + 2) . . . (n + p)

]

.

Notese que:

uk =1

k(k + 1) . . . (k + p − 1)y uk+1 =

1

(k + 1)(k + 2) . . . (k + p)


30. Calcular:

n∑

i=1

n∑

j=2

(ai + bj), a, b constantes.

Solucion.

n∑

i=1

n∑

j=2

(ai + bj) =n∑

i=1

(

ain∑

j=2

1 + bn∑

j=2

j

)

=

n∑

i=1

[

ai(n − 1) + b

(

n(n + 1)

2− 1

)]

=1

2a(n − 1)n(n + 1) +

1

2bn[(n(n + 1) − 2)]

31. Calcule:

n∑

j=1

7∑

i=1

(2i2j − 20).

Solucion.

n∑

j=1

(

7∑

i=1

(2i2j − 20)

)

=n∑

j=1

(

2j7∑

i=1

i2 − 207∑

i=7

1

)

=

n∑

j=1

[

2j7(7 + 1)(14 + 1)

6− 20 · 7

]

= 280n∑

j=1

j − 140n∑

j==1

1

= 140n(n + 1) − 140n

= 140n2

32. Calcule:

n∑

i=1

i∑

j=1

2j

3i.


Solucion.

n∑

i=1

i∑

j=1

2j

3i=

n∑

i=1

(

i∑

j=1

2j

3i

)

=

n∑

i=1

(

1

3i·

i∑

j=1

2j

)

=n∑

i=1

1

3i· 22i − 1

2 − 1= 2

n∑

i=1

[

(

2

3

)i

−(

1

3

)i]

= 2

(

2

3

(

23

)n − 123− 1

)

− 21

3

(

13

)n − 113− 1

=

(

1

3

)n

− 4

(

2

3

)n

+ 3

33. Calcular la suma de n–terminos de:

a) 1 · 2 + (1 · 2 + 2 · 3) + (1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4) + . . .

b) 2 · 1

1 · 2 + 3 ·(

1

1 · 2 +1

2 · 3

)

+ 4 ·(

1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4

)

+ . . .

c)n + 1

n(n + 1)+

[

n + 2

n(n + 1)+

n + 2

(n + 1)(n + 2)

]

+

+

[

n + 3

n(n + 1)+

n + 3

(n + 1)(n + 2)+

n + 3

(n + 2)(n + 3)

)

+ . . ..

Solucion.

a) Sn =n∑

k=1

k∑

j=1

j(j + 1) =n∑

k=1

(

k∑

j=1

j2 +k∑

j=1

j

)

=n∑

k=1

[

1

6k(k + 1)(2k + 1) +

1

2k(k + 1)

]

= 13

n∑

j=1

(k3 + 3k2 + 2k) =1

12n(n + 1)(n + 2)(n + 3)


b) Sn =n∑

k=1

k∑

j=1

k + 1

j(j + 1)=

n∑

k=1

(k + 1)k∑

j=1

(

1

j− 1

j + 1

)

=n∑

k=1

(

1 − 1

k + 1

)

(k + 1) =n∑

k=1

k =1

2n(n + 1)

c) Sn =

n∑

k=1

k∑

j=1

n + k

(n + j − 1)(n + j)

=n∑

k=1

(n + k)k∑

j=1

(

1

n + j − 1− 1

n + j

)

=n∑

k=1

(n + k)

(

1

n− 1

n + k

)

=n∑

k=1

k

n=

1

2(n + 1)

34. Calcule:(

1

1− 2

1

)

+

(

2

1 + 2− 2

2

)

+

(

3

1 + 2 + 3− 2

3

)

+. . .+

(

n

1 + 2 . . . + n− 2

n

)

.

Solucion.

Note que la suma se puede expresar por:

n∑

k=1

kk∑

j=1

j

− 2

k

=

n∑

k=1

(

k12k(k + 1)

− 2

k

)

= 2

n∑

k=1

(

1

k + 1− 1

k

)

= 2

(

1

n + 1− 1

1

)

= − 2n

n + 1

35. Calcular:

a)

n+1∑

i=2

i∑

j=1

2i+j b)

n∑

k=1

m∑

i=2

k + 1

i2 − 1c)

n∑

k=1

k∑

j=2

(

j∑

i=1

i

)−1

(k + 1)


Solucion.

a)

n+1∑

i=2

i∑

j=1

2i+j =

n+1∑

i=2

2i

i∑

j=1

2j =

n+1∑

i=1

2i · 22i − 1

2 − 1

= 2n+1∑

i=2

(22i − 2i) = 2n+1∑

i=2

22i − 2n+1∑

i=2

2i

= 2 · 2422n − 1

22 − 1− 2 · 222n − 1

2 − 1

=1

3(22n+5 − 25) − 2n+3 + 23

b)n∑

k=1

m∑

i=2

k + 1

i2 − 1=

n∑

k=1

(k + 1)m∑

i=2

1

(i − 1)(i + 1)

=

(

n∑

k=1

k +n∑

k=1

1

)

1

2

m∑

i=2

(

1

i − 1− 1

i + 1

)

=

[

1

2n(n + 1) + n

]

1

2

[

m∑

i=2

(

1

i − 1− 1

i

)

+m∑

i=2

(

1

i− 1

i + 1

)

]

=1

4n(n + 3)

[(

1

1− 1

m

)

+

(

1

2− 1

m + 1

)]

c)n∑

k=1

k∑

j=1

(

j∑

i=1

i

)−1

(k + 1) =n∑

k=1

k∑

j=1

(

2

j(j + 1)

)

(k + 1)

=n∑

k=1

2(k + 1)k∑

j=1

(

1

j− 1

j + 1

)

=

n∑

k=1

2(k + 1)

(

1 − 1

k + 1

)

=

n∑

k=1

2k = n(n + 1)

36. Calcule la suma de todos los numeros del siguiente cuadro

11 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 + 2 + 3 + + . . . + n


Solucion.

Primera forma: Sumando por filas.

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + . . . + (1 + 2 + . . . + n)

es decir, expresandolo como doble sumatoria, queda:

n∑

i=1

i∑

k=1

k =

n∑

i=1

1

2i(i + 1)

=1

2

(

n∑

i=1

i2 +

n∑

i=1

i

)

=1

2

(

1

6n(n + 1)(2n + 1) +

1

2n(n + 1)

)

=1

6n(n + 1)(n + 2)

Segunda forma: Sumando por columnas.n∑

k=1

1 +n−1∑

k=1

2 +n−2∑

k=1

3 + . . . +1∑

k=1

n

= 1 · n + 2 · (n − 1) + 3 · (n − 3) + . . . + n · 1

=n∑

i=1

i(n − i + 1) = (n + 1)n∑

i=1

i −n∑

i=1

i2

= (n + 1)1

2n(n + 1) − 1

6n(n + 1)(2n + 1)

1

6n(n + 1)(n + 2)

naturalmente da el mismo resultado.

37. Calcular:

Sn =n∑

i=1

i∑

j=1

jxi−1 con x 6= 1

Expandiendo la doble suma se tiene:


Sn = 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + 15x4 + . . . +n(n + 1)

2xn−1

xSn = x + 3x2 + 6x3 + 10x4 + 15x5 + . . . +(n − 1)n

2xn−1 +

n(n + 1)

2xn.

Restando miembro a miembro, resulta:

(1 − x)Sn = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + . . . + nxn−1 − n(n + 1)

2xn

x(1 − x)Sn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + . . . + (n − 1)xn−1 + nxn − n(n + 1)

2xn+1.

Restando miembro a miembro nuevamente:

(1 − x)2Sn = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1 − n(n + 1)

2xn

−nxn +n(n + 1)

2xn+1

(1 − x)2Sn =xn − 1

x − 1− n(n + 3)

2xn +

n(n + 1)

2xn+1

Sn =1

(1 − x)2

[

xn − 1

x − 1− n(n + 3)

2xn +

n(n + 1)

2xn+1

]

38. Calcular la suma del siguiente cuadro:

13 5 7

9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31

(n + 1) filas.

Solucion.

La suma se puede expresar como sigue:

1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + . . .

o bien,1∑

k=1

(2k − 1) +

4∑

k=2

(2k − 1) +

9∑

k=5

(2k − 1) + . . .


Luego, la suma pedida es:

n∑

i=0

(i+1)2∑

k=i2+1

(2k − 1) =

n∑

i=0

(i+1)2∑

k=1

(2k − 1) −i2∑

k=1

(2k − 1)

=

n∑

i=0

[(i + 1)4 − i4] = (n + 1)4


1. Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)

6∑

k=3

32k − 1

k + 2b)

n∑

k=1

(−1)k(n + 1)k! c)

2n+1∑

k=n+1

k

(n − k)

Respuesta.

a) 36−15

+ 38−16

+ 310−17

+ 312−18

b) −(n + 1)1! + (n + 1)2! − (n + 1)3! + . . . + (−1)n(n + 1)n!

c) n+1−1

+ n+2−2

+ n+3−3

+ . . . + 2n+1−(n+1)

2. Escribir usando el sımbolo∑

las siguientes sumas:

a) 1 · 1 + 3 · 2 + 5 · 3 + . . . hasta n terminos.

b) 1 +1

3+

1

32+ . . . +

1

3n.

c) −1 · 1 + 3 · 21 + 7 · 22 + . . . + 223 · 256

Respuesta.

a)

n∑

i=1

(2i − 1)i


b)

n+1∑

k=1

1

3k−1

c)

57∑

j=1

(4j − 5)2j−1

3. Calcular:

a)

n∑

k=2

(k − 1)(k + 1) b)

n∑

k=10

(k − 3−k) c)

2n+1∑

k=n

(n − k)

Respuesta.

a) 16n(n − 1)(2n + 5)

b) 12n(n + 1) + 1

2· 1

3n − 45 − 12·39

c) n(n + 2) − 12(3n2 + 7n + 2)

4. Calcular:

a)

n∑

i=20

(

1

i + 1− 1

i + 2

)

b)n−1∑

k=2

(

3

2k− 3

2k + 2

)

c)n−1∑

i=0

(

ai − ai+1

a2i+1

)

, a 6= 0.

d)

60∑

k=4

k

(k + 1)!

Respuesta.

a) 121

− 1n+2

b) 32

(

12− 1

n

)

c) 1an+1 − 1

d) 14!− 1

61!


5. Determine el termino que falta en las siguientes igualdades:

a)n∑

k=1

(

1

6k−?

)

=1

6− 1

6n + 6

b)

n∑

k=1

(

? − 3

2k + 5

)

=3

2n + 7− 3

7

c)2n∑

i=0

22i+1 =2n+4∑

i=?

?

d)

n∑

k=1

1

k(2k + 1)=

n+1∑

k=2

?

Respuesta.

a) 16k+6

b) 32k+7

c) i = 4 y 22i−7

d) 1(k−1)(2k−1)

6. Calcular:

a) 2 · 5 + 4 · 6 + 6 · 7 + . . . + 480 · 244

b) 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 9 + . . . + 28 · 57

c) 33 − 43 + 53 − 63 + . . . − 463

Respuesta.

a) 9543600

b) 15831

c) −50248

7. Calcular:

a)

2n+1∑

k=1

(−1)kk


b)

2n+1∑

k=0

(−1)kk2

Respuesta.

a) −(n + 1)

b) (n + 1)(2n + 1)

8. Calcule la suma de n terminos de:

a) 12 + 2 · 22 + 32 + 2 · 42 + . . . + n2, para n impar.

b) 1 · n2 + 2(n − 1)2 + 3(n − 2)2 + . . .

Respuesta.

a) 12(n + 1)n2

b) 112

n(n + 1)2(n + 2)

9. Sumar 2n terminos de:

a) 2 · 5 + 3 · 6 + 4 · 7 + . . .

b) 3 · 6 + 5 · 10 + 7 · 14 + . . .

Respuesta.

a) 43n(n + 2)(2n + 5)

b) 43n(16n2 + 24n + 11)

10. Sumar 2n + 1 terminos de:

13 − 23 + 33 − 43 + 53 − . . .

Respuesta.

4n3 + 9n2 + 6n + 1


11. Calcular la suma de n terminos de:

a)3

1 · 3 +17

2 · 43 +11

3 · 532 +15

4 · 633 + . . .

b)1

1 · 2 · 3 +1

2 · 3 · 4 +1

3 · 4 · 5 + . . .

c) 1 +4

3+

7

32+

10

33+ . . .

d)12

2 · 34 +22

3 · 442 +32

4 · 543 + . . .

e)170

5 · 7 · 1

56+

194

6 · 8 · 1

57+

218

7 · 9 · 1

58+ . . .

Respuesta.

a) 12

(4n+5)3n

(n+1)(n+2)− 5

4

b) 14

n(n+3)(n+1)(n+2)

c) 32

+ 14

3n+1−6n−53n−1

d) 13

(n−1)4n+1+2n+4n+2

e) 76· 1

55 − 6n+35(n+5)(n+6)

· 15n+5

12. Determine el numero natural n para el cual se cumpla:

3

n−1∑

k=1

(k − 4) + 6 =

2n−1∑

k=n

(k − 4)

Respuesta.

n = 4

13. Calcular:

a)

n∑

i=1

i∑

j=1

4j

i

b)m∑

j=4

n∑

i=1

3i+j


c)

m∑

i=n+1

n−1∑

j=1

4j2 + 1

4j2 − 1, m > n

d)n∑

k=1

n∑

i=1

i(k − i)

e)

n∑

k=1

k∑

j=1

n + k

(n + j − 1)(n + j)

f )n∑

j=1

j∑

k=1

k2k+j

g)

n∑

j=2

j∑

k=1

(

k +2j

j

)

Respuesta.

a) n(n + 3)

b) 2434

(3m−3 − 1)(3n − 1)

c) (m − n)(

n − 12n−1

)

d) 12n2(n + 1)(1 − n)

e) 12(n + 1)

f ) 13(n − 1)22n+3 − 32

9(22(n−1) − 1) + 4(2n − 1)

g) 16n(n + 1)(n + 2) + 2n+1 − 5

14. Demostrar por induccion:

a)2n∑

k=n

1

k(k + 1)=

1

2n

b)

n∑

i=1

1

(n + i − 1)(n + i)=

1

2n

c)

n∑

k=1

log

(

1 +1

k

)

= log(n + 1)


d)n∑

k=1

(

k∑

j=1

1

j

)

=n∑

j=1

n + 1 − j

j

e)n∑

k=1

cos(2k − 1)x =sen 2nx

2 sen x

f )

n∑

k=1

k(k+1)(k+2) . . . (k+p) =1

p + 2n(n+1) . . . (n+p+1), p ∈ N.

15. Calcular:

a)n+1∑

k=2

k2

k2 − 1

b)

n∑

k=1

k3 + k2 + 1

k2 + k

Respuesta.

a) 14(4n + 3) − 1

2(n+1)− 1

2(n+2)

b) 12n(

n + 1 + 2n+1

)

16. Calcule la suma de n–terminos de:

a) 1 · 2 + (1 · 2 + 2 · 3) + (1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4) + . . .

b) 2(−1) + (2(−1) + 4 · 0) + (2(−1) + 4 · 0 + 6 · 1) + . . .

c) 12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + . . .

Respuesta.

a) 112

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

b) 16n(n + 1)(n + 2)(n − 3)

c) 112

n(n + 1)2(n + 2)


17. Determine la suma de n terminos (los que se encuentran entre parente-sis).

(2+4+6)+(8+10+12+14+16+18)+(20+22+24+26+28+30+32+34+36)+. . .

Respuesta.

32n(n + 1)

[

32n(n + 1) + 1

]

18. Demostrar:n∑

j=1

j∑

k=1

k2 =

n∑

i=1

i(n − i + 1)2

19. Si Sk =

∞∑

i=1

k

(

1

k + 1

)i−1

; k = 1, 2, . . . , n. Demuestre que:

2n∑

j=n+1

Sj = 3n∑

k=1

(n − k + 1).

20. Hallar el numero de esferas en un apilamiento sobre una base rectan-gular cuyos lados contienen 15 y 20 esferas, si el tope es una lınea.

Respuesta.

1840.

21. Demuestre que la suma de todos los naturales impares que son menoresque 6n y que no son multiplos de 3, es 6n2.

22. Probar que la suma de los productos en parejas (distintas) de los nprimeros numeros naturales impares es:

1

6n(n − 1)(3n2 − n − 1).

23. Demuestre que la suma de los productos de todas las parejas de numerosdistintos que se pueden sumar con los n primeros numeros naturaleses:

1

24n(n2 − 1)(3n + 2).


24. Esferas iguales son apiladas en forma de una piramide de base cuadrada.Hallar el numero de esferas en una piramide incompleta que tiene ncapas si cada lado de la base contiene 2n esferas.

Respuesta.

16n(2n + 1)(7n + 1).

25. Sea la sucesion definida por:

a1 = 1, a2 = 2, . . . , an = 2an−1, ∀ n ≥ 2.

a) Examinando algunos valores, conjeture una formula para an, luegoverifıquela por induccion.

b) Calcular2n+1∑

k=4

kak para n ≥ 2.

Respuesta.

b) n22n+2 − 16.

26. Calcular:

a)n∑

k=1

k2 + k − 1

(k + 2)!

b)

n∑

k=1

k2 − 2

(k + 2)!

c)

n∑

k=1

k2 + 5k + 5

(k + 4)!

Respuesta.

a) 12− n+1

(n+2)!

b) − n(n+2)!

c) 18− 1

(n+4)(n+2)!


27. Si ai = i2(i−1)2(2i−1), simplifique ai+1−ai y aplıquela para calcular:n∑

k=1

k4.

28. Si Si =

i∑

j=1

j demuestre que:

n∑

j=1

SiSn−i+1 =1

120n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

29. Ocupe la identidad

cos

(

n +1

2

)

x − cos

(

n − 1

2

)

x = −2 sen(nx) senx

2,

para demostrar que:

n∑

k=1

sen(kx) =cos2 x

2− cos

(

n + 12

)

x cos x2

sen x.

Capítulo 4

Progresiones

4.1. Progresiones Aritméticas

Definición 1

Se dice que una sucesión es una progresión aritmética si y solo si se+ T ÞEÞ8 a bpuede expresar por

+ œ + 8 " .8 " a bdonde y son reales.+ ."

Como bien sabemos es el primer término de la sucesión, en este caso de la+"

progresión y se acostumbra a llamar diferencia simétrica de ella..

Ejemplo 1

+ œ %8 ( T ÞEÞ + œ "" 8 " %8 8es una pues se puede expresar como notea bque en este caso: y .+ œ "" . œ %"

Propiedad 1

Una sucesión de números reales tal como

+ ß + ß + ß † † † †" # $

representa a una si y solo si T ÞEÞ . œ + + ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8 "Ñ5" 5

Demostración.

+ + œ + 5 . œ .5" 5 " a b+ 5 " ." a bEjemplo 2

La sucesión: es una pues" " "

" B " Bß ß ß † † † † B Á " T ÞEÞ" BÈ È a b

. œ œ œ" " " "

" B " B " B" B " B

BÈ È ÈObservaciones 1

1) Nótese que para cualquier T ÞEÞ + œ + .ß a 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8 "Ñ5" 5

2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la ternaen en otros el cuarteto yT ÞEÞ À + .ß +ß + . + $.ß + .ß + .ß + $.así sucesivamente. (Ver ejercicios resueltos: 2 )

Propiedad 2

La suma de los primeros términos de una cuyo primer término es y su8 T ÞEÞß +"

diferencia es:.ß

W œ Ò #+ 8 " . Ó8

#8 " a b

Demostración.

W œ + 5 " .8 "5œ"

8! a ba b a b! !œ + 8 .Ö 5 " × œ + 8 .Ö 8 8 " 8×" "5œ" 5œ"

8 8"#

œ8

#Ò #+ 8 " . Ó" a b

Interpolación

Cuando se pide interpolar medios aritméticos entre y reales dados, significa: + ,que: los números en cuestión y deben estar en .+ß : , T ÞEÞ


1. El tercer término de una es y el término de lugar 21 es con yT ÞEÞ + + $' ,ß +, ß T ÞEÞreales dados no nulos a la vez. Determine la .

Solución.

Por hipótesis de donde+ œ + #. œ + • + œ + #! . œ + $' ,$ " #" "

resolviendo el sistema para y se obtiene y por tanto+ . + œ + %, . œ #," "

resulta que es la pedida.+ œ #, 8 + ', T ÞEÞ8

2. La suma de tres números en es y su producto es Determine talesT ÞEÞ "# %)Þnúmeros.

Solución.

Conviene tomar como los tres números en pues de su suma+ .ß +ß + . T ÞEÞigual a 12 se obtiene de inmediato que 4 y por tanto de + œ Ð% .Ñ %Ð% .Ñ œ %)ß . œ „ #ß #ß %ß ' ” 'ß %ß #Þ se obtiene así los números son

3. Dada la . Calcular sabiendo que existenT ÞEÞ $&Bß Þ Þ Þ Þ ß $Bà B − ß B Á ! +‘ 8

17 términos entre los extremos. El problema tambien se puede enunciar como:Interpolar 17 medios aritméticos entre y $&B $BÞ

Solución.

De inmediato y por+ œ $&B + œ $B Í $&B "). œ $B Í . œ B"*

*" "*

tanto: + œ $&B 8 " B"*

*8 a b

4. Encontrar el número de términos de la si T ÞEÞ À "#ß "'ß #!ß Þ Þ Þ W œ #!)Þ8

Solución.

Como y entonces la raíz+ œ "# . œ % Ò #% 8 " % Ó œ #!) Ê 8 œ )8

#" a b

negativa se descarta pues 8 "

5. Determine la suma de los 100 primeros términos de una cuyo tercer términoT ÞEÞes 4 veces el primero y su sexto término es 17.

Solución.

+ œ %+ + œ "( + #. œ %+$ " ' " "y conducen a resolver el sistema

de donde+ &. œ "("

+ œ # . œ $ß W œ &! Ò% ** † $ Ó œ "&!&!Þ" "!!y por tanto

6. En una si los términos de lugares y son respectivamente: y T ÞEÞ :ß ; < +ß , -ÞDemuestre que

a b a b a b; < + < : , : ; - œ !

Solución.

Por hipótesis se tienen: + : " . œ + "" a b a b + ; " . œ , #" a b a b

+ < " . œ - $" a b a bDe y se obtienen: y de aquía b a b a b" ß # $ + . œ + :. œ , ;. œ - <."

: ; œ + , %". a b a b

; < œ , - &". a b a b

< : œ - + '". a b a b

Multiplicando por por y por se tiene:a b a b a b% -ß & + ' ,

a b a b a b; < + < : , : ; - œ !

7. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000, que sean divisibles por14.

Solución.

El primer número, después de 100, divisible por es luego "% ""#ß + œ ""#" y. œ "%ß + œ ""# 8 " "% "!!! Ê 8 '%Þ%$ 8 œ '%entonces luego con8 a blo que W œ $#Ò # † ""# '$ † "% Ó œ $&$*#Þ'%

8. Si la suma de términos de una es a la suma de términos, como es a7 TÞEÞ 8 7#

8 Þ# Demostrar que

+ #7 "

+ #8 "œ

7

8

Demostración.

W 7 7Ò #+ 7 " . Ó 7

W 8 8Ò #+ 8 " . Ó 8œ Í œ Í . œ #+

7 "

8 "

# #

# # "a ba b

entonces:

+ + 7 " . + 7 " #+ #7 "

+ + 8 " . + 8 " #+ #8 "œ œ œ

7 " " "

8 " " "

a b a ba b a b9. En una cuyo primer término es si la suma de los primeros términos esT ÞEÞ +ß :

cero, demuestre que la suma de los siguientes términos es;

+ : ; ;

" :

a bSolución.

Por hipótesis tenemos: W œ Ò#+ : " .Ó œ !ß : Á ! Ê #+ : " . œ !:

#: a b a b

de donde por otra parte es la suma de los. œ ß : Á "à W œ W W ß W#+

" ::; :

; W œ ! Êsiguientes términos, ahora como :

W œ W œ Ò#+ : ; ": ; + : ; ;

# " ::; a b a b#+

" :Ó œ

10. Si la suma de los primeros términos de una es y la suma de los : T ÞEÞ ; ;primeros términos es Demuestre que la suma de los primeros términos es:Þ : ; Ð : ;ÑÞ

Demostración.

Nos dicen que: W œ Ò#+ : " .Ó œ ; • W œ Ò#+ ; " .Ó œ :ß: ;

# #: " ; "a b a b

resolviendo éste sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos:

y . œ + œ # : ; Ò; : " : ; Ó

:; :;

a b a ba b"

#

por tanto y remplazando los valores de yW œ .Óß +:; ": ;

#Ò#+ : ; "" a b

.ß W œobtenemos luego de simplificación algebraica, que: :; Ð : ;ÑÞ

11. La suma de los primeros términos de una es y la de los &! T ÞEÞ #!! &!siguientes Determine el primer término y la diferencia#(!!Þ Þ

Solución.

W œ #& Ò#+ %*.Ó œ #!! "&! " a b tambien

W W œ &! Ò &! Ò"!! &! #+ **.Ó #!! œ #(!! Í #+ **.Ó œ #*!! # ß" " a bresolviendo el sistema formado por y resultan: y a b a b" # ß + œ . œ "Þ

%"

#"

12. Dada la T ÞEÞ À %ß "#ß #!ß #)ß Þ Þ Þ Þ

a) Demuestre que la suma de términos de la sucesión es un cuadrado perfecto.8

b) Calcule en base a lo anterior.È%'#%

c) Determine si <ß + + œ W< <" "'

Solución.

a) W œ Ò# † % 8 " )Ó œ #888#

#a b a b b) %'#% œ #8 Í 8 œ $% Ê %'#% œ W Í %'#% œ W œ # † $% œ ')a b È È#

$% $%

c) W œ "!#% œ Ò% < " )Ó Ò% <)Ó Í "!#% œ "' < Í < œ '%Þ"' a b

13. Hallar la relación entre e , de manera que el medio aritmético de lugar entreB C <ßB #Cß < #B CÞ 8y sea el mismo que el medio aritmético de lugar entre e Habiendo medios aritméticos interpolados en cada caso.

Solución.

Para el primer caso: #C œ B Ð8 "Ñ . Í . œ Ê + œ B < .#C B

8 "" " < "

para el segundo caso C œ #B 8 " . Í . œ Ê + œ #B <.C #B

8 "a b # # #<

w

Ahora por hipótesis de donde+ œ +<w<

B < Í B 8 < " œ C<C #B

8 "

#C B

8 "œ #B < a b

14. En una se conoce la suma de los primeros términos y la suma deT ÞEÞ W 7 W7 8

los primeros términos. Calcular la diferencia de la 8 T ÞEÞÞ

Solución.

De inmediato y de dondeW œ Ò#+ 7 " . Ó W œ Ò#+ 8 " . Ó7 8

# #7 " 8 "a b a b

#8W œ #87+ 8 7 " . #7W œ #87+ 7 8 " .7 " 8 "a b a by

sumando miembro a miembro resulta

# 7W 8W œ .78 7 8 Í . œ ß 7 Á 8# 7W 8W

78 7 8a b a b a ba b8 7

8 7

15. Si están en demostrar que 691 Bß 691 Bß 691 B T ÞEÞß 8 œ 585 7 8

5# 691 7a bDemostración.

691 Bß 691 Bß 691 B T ÞEÞ Í 691 B 691 B œ 691 B 691 B Í5 7 8 7 5 8 7

en

llevando a base se tiene: "! œ #691 B 691 B 691 B

6917 691 5 691 8

Í #691 5 691 8 œ 6917 691 8 6917 691 5

Í 691 8 œ 691 7 691 8 691 5 Í 8 œ 58# # 691 75

5a b a b

16. Una persona debe pagar una deuda de en cuotas que forman una$'!Þ!!! %!T ÞEÞ $!cuando de los pagos están cubiertos la persona fallece, dejando la terceraparte de la deuda sin pagar. Calcule el valor del primer pago.

Solución.

Sean y el primer término y la diferencia de la en cuestión, entonces:+ . T ÞEÞ"

W œ #! Ò #+ $*. Ó œ $'!!!! "%! " a b W œ "& Ò #+ #*. Ó œ † $'!!!! #$! "

#$ a b

de donde resolviendo el sistema formado por y se obtiene:a b a b" #

. œ #!! + œ &"!!Þy "

%Þ$Þ Progresiones Geométricas

Definición 1

Se dice que una sucesión es una progresión geométrica si y solo si se+ T ÞKÞ8 a bpuede expresar por

+ œ + <8 "8"

donde y son reales.+ <"

Como bien sabemos es el primer término de la sucesión, en este caso de la+"

progresión y se acostumbra a llamar razón constante<

Ejemplo 1

+ œ T ÞKÞ + œ" " "

# # #8 8

8 8"Œ Œ es una pues se puede expresar como note que

en este caso: y + œ < œ" "

# #"

Propiedad 1

Una sucesión de números reales tal como

+ ß + ß + ß † † † †" # $

representa a una si y solo si T ÞKÞ < œ ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8 "Ñ+

+5"

5

Demostración.

+ + <

+ + <œ œ <

5" "

5 "

5

5"

Ejemplo 2

La sucesión: es una pues" " ## $ *

#ß Bß B ß † † † † B Á ! T ÞKÞa b < œ œ œ B

B B

B

#

$

" #$ *" "# $

#

Observaciones 1

1) Nótese que para cualquier T ÞKÞ + œ < + ß a 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8 "Ñ5" 5

2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la terna

en (Ver ejercicios resueltos: 3 )T ÞKÞ À ß +ß +<+

<

Propiedad 2

La suma de los primeros términos de una cuyo primer término es y8 T ÞKÞß +"

razón es:<ß

W œ + ß < Á "< "

< "8 "

8 a bDemostración.

W œ W œ8 85œ" 5œ"

8 8! !+ < " ß " < < + < #" "5" 5a b a b a b multiplicando por se tiene

Restando miembro a miembro de a b a b a b" # À < " W œ + < + <8 " "5 5"! !

5œ" 5œ"

8 8

a b ˆ ‰< " W œ + Ð< < Ñ œ + < < Í8 " "5 5" 8 !" a b

5œ"

8

8 "

8

W œ + ß < Á "< "

< "

Interpolación

Cuando se pide interpolar medios geométricos entre y reales dados,: + ,significa que: los números en cuestión y deben estar en .+ß : , T ÞKÞ

Serie geométrica.

Una serie geométrica no es más que la suma de infinitos términos de una esT ÞKÞßdecir:

+ +< +< +< † † † † œ +<# $ 8"

8œ"

_!

Como bien sabemos la suma de los primeros términos es8

, W œ + < Á "< "

< "8 "

8 a bSi y considerando que cuando entonces " < " Í l<l " < Ä ! 8 Ä _8

la suma de infinitos términos, con esta razón es < À+

" <"

Si dicha suma tiende a o bien no existe.l<l " „_

4. . Ejercicios Resueltos%

1. Interpolar tres medios geométricos entre y * %

% *

Solución.

Así los tres medios son: + œ < Í œ < Í < œ ß ß "ß* % * # $ #

% * % $ # $&

% %

2. La suma de los 6 primeros términos de una es 9 veces la suma de los tresT ÞKÞprimeros términos, determine su razón.a b+ Á !ß < Á ""

Solución.

W œ *W Í + œ *+ Í < " < " œ * < "< " < "

< " < "' $ " "

' $$ $ $ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

como < Á " Ê < " œ * Í < œ ) Í < œ #$ $

3. El producto de tres números en es y la suma de sus recíprocos es T ÞKÞ #( $ÞEncuentre tales números.

Solución.

En este caso conviene tomar como los tres números en por tanto:+

<ß +ß +< T ÞKÞ

luego de+ < " "

< $ $ $<† + † +< œ #( Ê + œ $ß œ $ Ê < )< " œ !#

donde y los números son: < œ % „ "& ß $ß $ % „ "& Þ$

% „ "&È ÈÈ Š ‹

4. En una si los términos de lugares y son respectivamente: y T ÞKÞ :ß ; < +ß , -ÞDemuestre que

+ , - œ "a b a b a b;< <: :;

Demostración.

Sea el primer término e la razón de la luego:B C T ÞKÞß

B C œ +ß B C œ ,ß B C œ -:" ;" <"

de donde obtenemos: + œ B Ca b a b a ba b;< ;< :" ;<

, œ B Ca b a b a ba b<: <: ;" <:

- œ B Ca b a b a ba b:; :; <" :;

multiplicando miembro a miembro, finalmente

+ , - œ "a b a b a b;< <: :;

5. Demostrar que el término de lugar de una cuyo primer término es Ð8 "Ñ T ÞKÞ +y el tercer término es es igual al término de lugar de otra cuyo,ß #8 " T ÞKÞa bprimer término es y cuyo quinto término es + ,Þ

Demostración.

De la primera se tiene: T ÞKÞ + < œ , Í < œ Ê + œ +, ,

+ +#

8"Œ Œ " 8# #

De la segunda T ÞKÞ À + < œ , Í < œ Ê + œ + œ +, , ,

+ + +%

#8"Œ Œ Œ " #8 8% % #

6. Calcular la suma

W œ # † † † † + , + , + ,

+, + , + ,

# # 8 8

# # 8 8

Solución.

W œ " † † † " † † †" " " " "

+ + + , ,# 8 #

"

,8

œ œ " " + " , "

+ + " , , "

ˆ ‰ ˆ ‰a b a b

" "+ ,

" "+ ,

8" 8" 8" 8"

8 8 " "

7. Si están en demostrar que+ß ,ß -ß . T ÞKÞß

a b a b a b a b, - - + . , œ + .# # # #

Demostración.

+ß ,ß -ß . T ÞKÞ Í œ œ Í , œ +- • - œ ,. • ,- œ +., - .

+ , - en # #

Ahora,

a b a b a b, - - + . , œ #, #- + . #+- #,- #,.# # # # # # #

œ #+- #,. + . #+- #+. #,.# #

œ + . #+. œ + .# # #a b8. Calcular la suma indicada, hasta términos.8

W œ " † † † †$ & (

# % )8

Solución.

Observemos que + œ Ê W œ Í W œ ß#8 " #5 " " #5 "

# # # #8 8 88" 5" 5

5œ" 5œ"

8 8" "de aquí

W W œ " " #5 " #5 " #8 "

# # # #8 8

5œ# 5œ"

8 8"

5" 5 8" "

" #Ð5 "Ñ " #5 " #8 "

# # # #W œ " 8

5œ" 5œ"

8" 8"

5"" 5 8" "

" # #8 " #8 "

# # # #W œ " œ "

Ð Ñ "

"8

5œ"

8"

5 8 8

"#

8"

"#

" W œ ' %

" #8 "

# #8

8"

8"Œ

9. Si como resolver:B À C # À "ß

% "' % "' % "' œ "$'&#B C %B C 'B C" " $# # #

Solución.

Agrupando covenientemente y observando que se forman dos se tiene:T ÞKÞß

% % % "' "' "' œ "$'&#B %B 'B C C C" " $# # #

% "' œ "$'& Í % "' œ &"' " "' "

"& "&#B C #B C

$ $" "# #

Í % #! % '% œ ! Ê % œ #! „ "#"

##B B B a b de donde se obtienen:

B œ # • C œ "à B œ " • C œ"

#" " # #

10. Demostrar que el número que tiene cifras y E œ """Þ Þ Þ ""#)))Þ Þ Þ )*'ß 8 " 8 "

cifras es un cuadrado perfecto; Calcular tambien para )ß Eß 8 œ %ÞÈDemostración.

Notemos que tiene cifras, expresando en potencias de se tieneE # 8 " E "!a bE œ "! "! † † † "! # † "! ) † "! ) † "! † †#8" #8 8# 8" 8 8"

† † ) † "! * † "! '#

E œ "! "! "! † † † " # † "! 8# 8" 8# 8"a b ) † "! Ð"! † † † "Ñ *'# 8#

E œ "! † "! " # † "! ) † "! † "! "8# 8 8" # 8"" "* *a b a b

E œ Ð"! "! ) † "! ) † "! ") † "! )'%Ñ"*

#8# 8# 8" # 8"

E œ Ð"! "'! † "! '%Ñ œ Ò "! ) Ó Ê E œ "! )" " "* $ $

#8# 8 8" # 8"a b a bÈpara 8 œ %à E œ """"#)))*' œ "! ) œ $$$$'ÞÈ È a b"

$&

""Þ 8 Encuentre la suma de términos de la sucesión cuyo k-ésimo término es

+ œ #5 " #55a b

Solución.

W œ W œ8 85œ" 5œ"

8 8! !a b a b#5 " # Í # #5 " #5 5" de donde restando miembro a

miembro estas sumas, se tiene

# #5 " # #5 " #W W œ8 85œ" 5œ"

8 8! !a b a b5" 5

W œ #8 " # #5 " # #5 " # $ † #88" 5" 5a b a b a b! !

5œ" 5œ#

8" 8

W œ #8 " # #5 " # #5 $ # $ † #88" 5" 5"a b a b a b! !

5œ" 5œ"

8" 8"

W œ #8 " # 88"a b !a b

5œ"

8"5" # # '

W œ # '85œ"

8"5#a b#8 " # 8" !

W œ8 a b#8 " # ) ' œ 8# # ## "

# "8" 8# 8"

8"

12. Calcular los ángulos de un cuadrilátero sabiendo que estos ángulos están en yT ÞKÞque el ángulo mayor es 9 veces el segundo.

Solución.

Supongamos los ángulos son y tales que< " Ê +ß +<ß +< +<# $

+ +< +< +< *+< œ +< Í < œ $# $ $y . Por otra parte de la geometríaelemental sabemos que

+ +< +< +< œ $'! Ê + $+ *+ #(+ œ $'! Í + œ *# $ ° ° °, luego losángulos resultan ser: °, °, ° y °.* #( )" #%$

Si se supone y ° y resultan los mismos ángulos.< " ß < œ + œ #%$"$

13. En un cuadrado de lado se inscribe otro cuadrado cuyos vértices dividen los+lados del primer cuadrado en la razón En el segundo cuadrado se inscribe un" À "Þtercer cuadrado que divide a los lados del anterior en la misma razón y asísucesivamente. Encontrar la suma de los perímetros y áreas de de estos8cuadrados, cuáles son estas sumas si 8 Ä _Þ

Solución.

Perímetro; T œ %+ß T œ % +ß T œ % +ß Þ Þ Þ ß T œ %# # #

# # #" # $ 8

# 8"È È È

W œ %+Ò " T8

È È È Š ‹# # #

# # # † † † Ó œ %+

"

"

# 8" ##

8"

##

ÈÈ

Si 8 Ä _ Ê W œ +)

# #

T È Área;

E œ + ß E œ + ß E œ + ß Þ Þ Þ ß E œ +# # #

# # #" # $ 8

# # # #

# % # 8"

È È È a b

si W œ + Ò Óà 8 Ä _ Ê W œ #+"

" E # E #8

"#

8

"#

ˆ ‰ˆ ‰

14. Se deja caer una pelota de goma desde una altura en el primer rebote la pelota2ßsube hasta el tercio de la altura en el segundo rebote sube hasta el tercio de la2ßnueva altura y así sucesivamente. Calcule la distancia que recorre la pelota antes dedetenerse.

Solución.

Se debe tener que: L œ 2 2 2 2 † † † †" " " " " "$ $ $ $ $ $

ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ œ 2 Ò" † † † Ó" " "

$ $ $

# $ˆ ‰ ˆ ‰Se trata de una serie geométrica de razón por tanto la suma de infinitos< œ "ß"

$

términos será

L œ 2 œ 2" $" #"

$

4.5. Progresiones Armónicas

Definición 1

Se dice que la sucesión es una progresión armónica si y+ ß + ß + ß Þ Þ Þ Þ T ÞLÞ" # $ a bsolo si la sucesión está en progresión aritmética

" " "

+ + +ß ß ß Þ Þ Þ Þ

" # $

Ejemplo 1

Es una progresión armónica

"ß ß ß ß Þ Þ Þ Þ" " "

# $ %

Nota.

Se sabe que, no es posible una fórmula elemental, tal como en las y T ÞEÞ T ÞKÞpara calcular la suma de los primeros términos de un 8 T ÞLÞ

Interpolación

Cuando se pide interpolar medios armónicos entre y reales dados, significa: + ,que: los números en cuestión y deben estar en .+ß : , T ÞLÞ


1. Interpolar medios # armónicos entre y & ""Þ

Solución.

Se debe tener que si están en están en&ß + ß + ß "" T ÞLÞ Í ß ß ß" " " "

& + + ""# $

# $

T ÞEÞ luego

" " " " # & +

+ & "" + + "! + œ œ Ê

# $ $ $

$" " "! + "

+ + & + "" Ê + œ œ

$ # $#

$ y

+ œ + œ&& &&

( *$ # y

2. Dados y encontrar números tales que+ , 8 + ß + ß Þ Þ Þ Þ +" # 8

estén en y +ß + ß + ß Þ Þ Þ Þ + ß , T ÞLÞ + , Á !" # 8 a bSolución.

+ß + ß + ß Þ Þ Þ Þ + ß , T ÞLÞ Í ß ß ß Þ Þ Þ Þ ß ß T ÞEÞ" " " " "

+ + + + ," # 8

" # 8están en están en

de aquí " " + , " " + ,

, + +, 8 " + + +, 8 "œ 8 " . Í . œ Ê œ 5 "a b a ba b a b5

de donde

+ œ8 " +,

5 " + 8 5 ,5

a ba b a bPara el caso particular de un medio armónico entre y , hacemos + , 5 œ # •

8 œ $ Ê + œ#+,

+ ,#

3. En una si los términos de lugares y son respectivamente: y T ÞLÞ :ß ; < +ß , -ÞDemuestre que

a b a b a b; < ,- < : -+ : ; +, œ !

Demostración.

Siendo y el primer término y diferencia de la correspondiente, se tiene:B . T ÞEÞ

y de donde" " "

+ , -œ B : " .ß œ B ; " . œ B < " .ßa b a b a b

a b a b a ba b; <

+œ ; < B ; < : " .

a b a b a ba b< :

,œ < : B < : ; " .

a b a b a ba b: ;

-œ : ; B : ; < " .

Sumando estas tres expresiones, se tiene:

a b a b a b; < < : : ;

+ , - œ !

amplificando por finalmente+,-ß

a b a b a b; < ,- < : -+ : ; +, œ !

4. Si es medio armónico entre y demostrar que, + -ß

" " " "

, + , - + - œ

Demostración.

, + - Í , œ#+-

+ - medio armónico entre y por tanto

" " " " + - + -

, + , - + - + - + - œ œ

+ -#+- #+-+- +-

a b a b œ + - Ò Ó œ + - œ

" " " " "

+ - + - - + +- + -a b a ba b a b

5. Si están en demostrar que +ß ,ß - T ÞLÞß œ+ + -

+ , + -

Demostración.

Si están en están en sumando+ß ,ß - T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ Ê , + - œ #+-" " "

+ , -a b

+# ambos miembros se tiene

,+ ,- + œ #+- + Í + +- œ + +, +- ,- Í# # # #

+ + - œ + - + , Í œ+ + -

+ , + -a b a ba b

6. Si el término de lugar de una es igual a y el término de lugar es7 TÞLÞ 8 8

igual a demuestre que el término de lugar es igual a 7ß 7 878

7 8a b

Demostración.

Sean y el primer término y la diferencia de la correspondiente luego:+ . T ÞEÞ ß

en están en entonces" " "

+ 8 7ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß Þ Þ Þ Þ7 T ÞLÞ Ê +ß Þ Þ Þ Þ ß ß Þ Þ Þ ß T ÞEÞ

+ œ + 7 " . œ ""

87 a b a b

+ œ + 8 " . œ #"

78 a b a b

resolviendo y para y obtenemos: por tanto,a b a b" # + .ß + œ . œ"

87

esto implica+ œ + 7 8 " . œ 7 8 " œ" " 7 8

87 87 8778 a b a b

que para la se tendráT ÞLÞ , œ78

7 878

7. Si están en demostrar que+ß ,ß - T ÞLÞß

691 + - 691 + #, - œ # 691 + -a b a b a bDemostración.

Si están en están en +ß ,ß - T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ Ê , œ Í" " " #+-

+ , - + -

#, œ Í + #, - œ + - Í%+- %+-

+ - + -

a ba b a b+ - + #, - œ + - # de donde aplicando logaritmos y sus propiedadesse obtiene

691 + - 691 + #, - œ # 691 + -a b a b a b8. Determine el valor de para que y estén en progresión armónica.5 5ß 5 ' 5 )

Solución.

Si 5ß 5 ' 5 ) T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ" " "

5 5 ' 5 )y están en están en luego

se debe cumplir que de donde se obtiene" " " "

5 ' 5 5 ) 5 ' œ

5 œ "#

9. Si están en progresión armónica entonces con y +ß ,ß -ß . + . , - +ß ,ß - .positivos.

Demostración.

Si están en están en por tanto:+ß ,ß -ß . T ÞLÞ Ê ß ß ß T ÞEÞ" " " "

+ , - .

de donde" " " " " "

, + - + . +œ ;à œ #;à œ $;

" " # " "

, - + + . œ $; œ Í

, - # $+; + . " # $+; " # $+;

,- + +. ,- + , - +. + + .œ œ Ê œ • œa b a b

por otra parte

" " " " " ;

, - + + + +† œ ; #; œ $ #; "Œ Œ a b

##

" " " " " ;

+ . + + + +† œ $; œ $ #Œ a b

#

de y se puede implicar que y por tantoa b a b" # " "

,- +.

# $+; # $+;

+ , - + + . Í + . , -a b a b

4.7. Ejercicios Resueltos P.A. , P.G. y P.H.a b1. La suma de tres números en es si los extremos son amplificados por yT ÞKÞ (!ß %

el del medio por la serie está en Hallar los números.&ß T ÞEÞÞ

Solución.

Sean los tres números en luego +ß +<ß +< T ÞKÞß + " < < œ (! "# #a b a btambien nos dicen que están en %+ß &+<ß %+< T ÞEÞ Ê#

&+< %+ œ %+< &+< Í #< &< # œ ! Ê < œ # < œ ß# #" #

"#y de donde pora b" + œ "! + œ %!obtenemos; y luego los números resultan ser:" #

"!ß #!ß %! ” %!ß #!ß "!

2. Hallar una cuyo primer término es y tal que los términos de lugares T ÞEÞ "ß #ß "!y se encuentran en $% T ÞKÞÞ

Solución.

De inmediato se tiene que: y + œ " .ß + œ " *. + œ " $$.# "! $%

además en + ß + ß + T ÞKÞ Ê Ð+ Ñ œ + + Í# "! $% "! # $%#

a b a b a b" *. œ " . " $$. Í %) . "' . œ ! Ê . œ ! ” . œ# # "$

Así resultan: y 1, las dos correspondientes."ß "ß "ß Þ Þ Þ Þ ß ß #ß Þ Þ Þ Þ T ÞEÞ% &$ $

3. Demostrar que si se encuentran en entonces " "# #a b a b+ , ß ,ß , - T ÞLÞ +ß ,ß -

lo están en T ÞKÞÞ

Demostración.

Si están en lo están en " " # " #

# # + , , , -+ , ß ,ß , - T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞa b a b

luego"

,

# # " " " "

+ , , - , , + , , -œ Í œ Í

+, +- , ,- œ +, ,- #, Í , œ +- Ê +ß ,ß - T ÞKÞ# # # están en

4. Si están en demuestre que están en + ß , ß - T ÞEÞß , -ß + -ß + , T ÞLÞÞ# # #

Demostración.

Si están en + ß , ß - T ÞEÞ Í , + œ - , Í# # # # # # #

a ba b a ba b, + , + œ - , - , Í œ Í, + - ,

, - + ,

- , + - + - , + Ð- ,Ñ Ð+ -Ñ Ð+ -Ñ Ð, +Ñ

Ð, -Ñ + - Ð+ ,Ñ + - Ð, -Ñ + - Ð+ ,Ñ + -œ Í œa b a b a b a b

Í

están en " " " " " " "

+ - , - + , + - , - + - + , œ Í ß ß T ÞEÞ Ê

, -ß + -ß + , T ÞLÞÞestán en

5. Si están en demostrar que están en " " "

, + #, , -ß ß T ÞEÞß +ß ,ß - T ÞKÞÞ

Demostración.

Si están en " " " " " " "

, + #, , - #, , + , - #,ß ß T ÞEÞ Ê œ Í

œ Í , +, -, +,- œ , -, +, +,- Í+ , , -

, ,- , ,-# #$ # # $ # #

están en , œ +,- Í , œ +- Í +ß ,ß - T ÞKÞÞ$ #

6. Si demostrar que están en si en si + , +

, - .œ ß +ß ,ß - T ÞEÞ + œ .à T ÞKÞ , œ .

y en si T ÞLÞ - œ .Þ

Demostración.

Si están en + œ . Ê œ " Í + , œ , - Í +ß ,ß - T ÞEÞ+ ,

, -

Si están en , œ . Ê œ Í , œ +- Í +ß ,ß - T ÞKÞ+ , +

, - ,#

Si - œ . Ê œ Í +- ,- œ +, +- Í œ Í +ß ,ß -+ , + " " " "

, - - , + - ,están en T ÞLÞÞ

7. Si es el producto de números en su suma y la suma de sus7 8 T ÞKÞß : ;recíprocos, demuestre que

7 œ:

;#

8Œ Demostración.

Sean los números en por tanto:+ß +<ß +< ß Þ Þ Þ Þ ß +< 8 T ÞKÞß# 8"

+ † +< † +< † † † † +< œ 7 "# 8" a b + +< +< † † † +< œ : ## 8" a b

" " " "

+ +< +< +< † † † œ ; $

# 8"a b

De a b" À + < œ 7 Í + < œ 78 "# ††† 8" 8 8" 8a b a b"#

Í + < œ 7#8 8" 8 #a b

De y de se obtiene: de donde resultaa b a b# À + œ : $ œ ;< " "

< " +

"

"

8 "<"<

8

dividiendo miembro a miembro : :

; ;œ + < Í œ + < œ 7 Þ# 8" #8 8" 8 #

8Œ a b

8. Si los términos de lugares y de una están en y7 "ß 8 " < " T ÞEÞ T ÞKÞ7ß 8 < T ÞLÞß .y están en demuestre que el cuociente entre la diferencia de la

T ÞEÞ +ß Þ#

8y su primer término es igual a

Demostración.

Por demostrar .+ œ ß#8 en efecto:

están en + œ + 7.ß + œ + 8.ß + œ + < .ß T ÞKÞ Ê7" 8" <"

+ 8. + <. . 7 < #8

+ 7. + 8. + 8 7<œ Í œ Í œ " ß

" 8 " <

" 7 " 8

. .+ +. .+ +

#a b

por otra parte: , en en luego7ß 8 < T ÞL Í ß ß T ÞEÞ" " "

7 8 <

finalmente remplazando en resulta:" " " " 7<

8 7 < 8 8 œ Í 7 < œ # " ßa b

= . # 8 7< #

+ 8 7< 8 8 7< 8œ œ Þ

# #87<8# #

#a ba b

9. Sea un número dado. Encontrar los números sabiendo que 5ß 5 Á ! ß +ß ,ß - +ß ,ßa b- T ÞKÞà +ß , 5ß - T ÞEÞ + 5ß , 5ß - T ÞKÞestán en están en y están en

Solución.

Por hipótesis se tienen: +ß ,ß - T ÞK Í , œ + - " en # a b en +ß , 5ß - T ÞEÞ Í # , 5 œ + - #a b a b en + 5ß , 5ß - T ÞKÞ Í , 5 œ - + 5 $a b a b a b#

de donde resolviendo el sistema formado por y para y a b a b a b" ß # $ +ß , -obtenemos:

y + œ 5ß , œ 5 " „ # - œ 5 $ „ #Š ‹ Š ‹È È

10. Si el medio aritmético entre y es el doble que el medio geométrico entre y+ , +,, demostrar que

+ # $ + # $

, ,œ ” œ

# $ # $

È ÈÈ È

Solución.

Nos dicen que: "

#+ , œ # +, Í + , œ "' +, Í + "%+, , œ !a b a bÈ # # #

Í "% Ð Ñ " œ !+ +

, ,Š ‹#

resolviendo esta ecuación de 2° grado obtenemos:

tomando la raíz positiva, resulta + +

, ,œ ( „ % $ œ # $ œÈ ÈŠ ‹# # $

# $

ÈÈ

analogamente con la raíz negativa + # $

,œ

# $

ÈÈ

11. Si entre dos números cualquiera se han interpolado medios aritméticos # E ß E à" #

dos medios geométricos y dos medios armónicos Demostrar que:K ßK L ßL Þ" # " #

K K E E

L L L Lœ

" # " #

" # " #

Solución.

Sean y los números cualquiera, entonces:+ ,

están en +ß E ßE ß , T ÞEÞ Í E + œ , E Í E E œ + , "" # " # " # a b están en +ß K ßK ß , T ÞKÞ Í œ Í K K œ + , #

K ,

+ K" # " #

"

#a b

están en +ß L ßL ß , T ÞLÞ Í œ Í œ Í" " " " " " " "

L + , L L L + ," #

" # " #

remplazando y en ésta última expresión se tieneL L + ,

L L +,œ à " #

" #

" #a b a b

L LL L K K

E E " # " #

" # " #

" # " #

" # " #œ Í œ

K K E E

L L L L


1. En una cuyo primer término es y el de orden Si la suma de los T ÞEÞ % 8ß $%Þ 8primeros términos es determine y la diferencia #%(ß 8 .Þ

Respuesta.

13 y &#

2. Sumar términos de la sucesión: "* ß ß ß Þ Þ Þ$ # (

% $ "#

Respuesta.

0

3. Interpolar medios aritméticos entre y * " $*

% %

Respuesta.

ß ß ß ß ß ß ß ß Þ$ ( "" "& "* #$ #( $" $&

% % % % % % % % %

4. Sumar 25 términos de la sucesión: $ %

& &ß ß &ß Þ Þ ÞÈ È È

Respuesta.

15È&

5. La suma de números enteros de una es y su producto es Hallar% T ÞEÞ #% *%&Þlos números.

Respuesta.

$ß &ß ( y 9.

6. Encontrar la suma de todos los números entre y 84 inclusive extrayendo los"%múltiplos de $Þ

Respuesta.

""&#

7. Dados tres números en con diferencia se sabe que uno de ellos esT ÞEÞ .ß . − àmúltiplo de Demostrar que el producto de ellos es divisible por .Þ '. Þ$

8. Si están en y en que es una función+ß ,ß - T ÞEÞ 0 B œ : B ; 0 À Äa b ‘ ‘con Demuestre que también están en : Á !Þ 0 + ß 0 , ß 0 - T ÞEÞÞa b a b a b

9. En la ecuación determinar tal que susB $7 % B 7 " œ ! 7% # #a b a braíces estén en T ÞEÞÞ

Respuesta.

7 œ #Þ

10. Si la suma de términos de una es igual a la suma de los siguientes 7 TÞEÞ 8términos y también a la suma de los siguientes términos, entonces demostrar que::

a b a bŒ Œ 7 8 œ 7 : " " " "

7 : 7 8

11. La suma de cinco términos en una es y el producto entre el mayor y elT ÞEÞ #!menor es ¿Cuáles son los términos? #!Þ

Respuesta.

#ß "ß %ß (ß "! "!ß (ß %ß "ß #Þo bien

" Þ T ÞEÞ2 Demuestre que la suma de un número impar de términos consecutivos de un es igual al término central multiplicado por el número de términos.

13. Una sucesión satisface la igualdad Demuestre+ ß + ß Þ Þ Þ ß + + œ $8 #8Þ" # 8 55œ"

8#!

que la sucesión es una progresión aritmética y encuentre una expresión para en+8

términos de únicamente.8

Respuesta.

+ œ '8 "8

14. Si en una la suma de los primeros términos es igual a la suma de los T ÞEÞ 7 8primeros términos, demostrar que la suma de los términos es nula.a b7 8

15. En un triángulo rectángulo los lados están en Demostrar que la diferencia deT ÞEÞÞla progresión es igual al radio de la circunferencia inscrita al triángulo.

16. La suma de tres números en es y la suma de sus recíprocos es nula.T ÞEÞ *Determine la suma de los primeros términos de esta #! T ÞEÞÞ

Respuesta.

30Š ‹È# „ "( $

17. Una persona contrae una deuda que debe pagar en tres años en cuotas mensualesque se incrementan cada més en una cantidad fija. Si al término de las dos primerosaños la persona ha pagado la mitad de la deuda y la primera cuota del tercer año esde $122000. Determine el total que la persona paga al final de los tres años.

Respuesta.

$Þ%&'Þ!!!

18. En una de términos, la razón es la cuarta parte del primer término y laT ÞKÞ &suma de los dos primeros términos es Hallar tales términos.#%Þ

Respuesta.

) "' $# '% "#) "#ß $' "!)ß $#%ß *(#Þ, , , , o bien

19. Interpolar medios geométricos entre y ' "% (

'%

Respuesta.

(ß ß ß ß ß( ( ( ( (

# % ) "' $#

20. La suma de los primeros términos de una es y la suma de los& T ÞKÞ %##ßtérminos segundo al sexto es 633. determine la T ÞKÞÞ

Respuesta.

$#ß %)ß (#ß "!)ß "'#

21. Dividir el número en tres partes que formen una de modo que el tercer##" T ÞKÞnúmero sobrepase al primero "$'Þ

Respuesta.

"(ß &"ß "&$Þ

22. Si están en y en que es una función+ß ,ß - T ÞKÞ 0 B œ / 0 À Ä Þa b B ‘ ‘Demuestre que también están en 0 + ß 0 , ß 0 - T ÞKÞÞa b a b a b

23. La suma de números de una de razón es y el último término es5 T ÞK Þ # "&$$(')Þ 5Determine los números y luego calcule la suma de 10 primeros términos dela T ÞKÞÞ

Respuesta.

5 œ *ß + œ $ß W œ $!'*Þ" "!

24. Si cada término de una se resta del término siguiente, demostrar que lasT ÞKÞdiferencias sucesivas forman otra con la misma razón que la primera T ÞKÞ T ÞKÞ

25. Si demuestre que+ œ !ß + œ "ß Þ Þ Þ ß + œ + + à" # 8 8" 8#"# a b

+ œ Ò" Ó8# "$ #

8"ˆ ‰26. Demostrar que, si:

#? œ + ,ß #? œ , ? ß #? œ ? ? ß Þ Þ Þ Þ" # " $ " #

entonces $ ? œ +Ò" Ó ,Ò# Ó8" "# #

8 8ˆ ‰ ˆ ‰27. Si es la suma de números en progresión geométrica y es la suma de losW 8 W w

recíprocos de dichos números, entonces es el producto del primer númeroW À W w

por el último.

28. Si son las sumas de las series geométricas de primeros términos W ß W ß Þ Þ Þ ß W "ß" # :

#ß Þ Þ Þ ß : ß Þ Þ Þ ß respectívamente y de razones , respectivamente, demuestre" " "# $ :"

que:

W W Þ Þ Þ W œ : : "" # :"# a b

29. Si es el medio armónico entre y demostrar queL + ,ß

" " " "

L + L , + , œ

30. Si están en demuestre +ß ,ß - T ÞLÞ œ+ , +

, - -

31. Encuentre la suma de términos de la sucesión8

+ #+ß + %+ß + '+ß + )+ß Þ Þ Þ Þ# % ' )

Respuesta.

+ 8 8 " ++ "

+ "#

#8

#a b

32. Un químico tiene un pricipitado compuesto de gramo de una sustancia y 1 gramo"de impureza. En cada lavado el logra reducir las impurezas en la mitad. ¿Cuántoslavados son necesarios para que la impureza sea menor que gr.!Þ!!!"

Respuesta.

14 lavados.

33. Una y una tienen iguales los términos de lugares noT ÞKÞ T ÞLÞ 7ß 8ß <consecutivos que son y Probar que+ß , -Þ

+ , - 691 + , - + 691 , - + , 691 - œ !a b a b a b34. Demostrar que el medio armónico entre el medio aritmético y el medio geométrico

de y es:+ ,

# + ,

Ò Ó

a bˆ ‰ ˆ ‰+ ,, +

"Î% "Î% #

35. Si están en demuestre que están en+ß ,ß - T ÞLÞß #+ , ß ,ß #- ," " "# # #a b a b

T ÞKÞ

36. Determinar para que valores de es posible calcular el valor de la serie geométricaBy calcule el valor de la serie.

" † † † †" ""B "Ba b#

Respuesta.

B # ” B !ß " "B

37. Calcular la suma de términos, de:8

a) W œ " %B *B "'B † † † †8# $

b) W œ # )B ")B $(B † † † †8# $

Respuesta.

a) ""B

#B "B"B

# 8 # 8"a b a b#

8

Ò " 8 " B 8 B Óa b b)

"% Ò" #B Ó )

$ " #B $

" B

" B

a b ˆ ‰8 "#

8

"#

38. En un cuadrado de lado se inscribe otro cuadrado cuyos vértices dividen los+lados del primer cuadrado en la razón En el segundo cuadrado se inscribe un" À #Þtercer cuadrado que divide a los lados del anterior en la misma razón y asísucesívamente. Encontrar la suma de los perímetros y áreas de de estos8cuadrados, cuáles son estas sumas si 8 Ä _Þ

Respuesta.

T œ %+ à 8 Ä _ Ê T œ"

"

"#+

$ &

Š ‹È

ÈÈ&

$

8

&$

si

si E œ + Ò" Óà 8 Ä _ Ê E œ +* & *

% * %# #

8Œ 39. Si [ es la suma de términos de una en que es el primer término yWÓ 5 T ÞEÞ <<a b#< " es su diferencia, demuestre que

[! a b<œ"

8

<"#WÓ œ 58 58 "

40. En un triángulo equilátero de lado se unen los puntos medios de sus lados y se+forma un triángulo equilátero. En este segundo triángulo se repite el procedimientoy así, sucesívamente. Calcule la suma de los perímetros de todos los triángulosequiláteros así obtenidos y además la suma de sus áreas.

Respuesta.

T œ '+à E œ +# $$ #

#É41. Tres números están en si el segundo se aumenta en los números quedanT ÞKÞß )

en pero si en ésta última el tercer término se aumenta en la progresiónT ÞEÞß '%vuelve a ser geométrica. Encontrar los números.

Respuesta.

%ß "# ß#! "!!

* *y 36 o bien ,

49

42. Una progresión aritmética y otra progresión geométrica de términos cada una$tienen el mismo primer término y también el 2° término es el mismo, pero%

desconocido. El tercer término de la es del tercer término de la T ÞKÞ T ÞEÞÞ#&

"'Determinar las progresiones.

Respuesta.

T ÞEÞ À %ß "!ß "' %ß ß "Þ T ÞKÞ À %ß "!ß #& %ß ß& & #&

# # "'y y

43. En una circunferencia de radio se inscribe un cuadrado. En este cuadrado se<inscribe una circunferencia, en esta se inscribe otro cuadrado y así sucesivamente.Calcule:

La suma de las áreas y perímetros de todos los cuadrados y círculos así formados.

Respuesta.

Círculos: Cuadrados: E œ # < à T œ E œ %< à T œ% < )<

# # # "1

1# #È È44. Si están en progresión aritmética y están en progresión armónica,+ß ,ß - +ß ,ß .

demuestre que:

- + ,

. , +œ " # Ò # Ó

45. Dadas las sumas de infinitos términos, con l<l " À

W œ + † † † †+ +

< <#

T œ , † † † †, ,

< <#

U œ - † † † †- -

< <# %

Demuestre que WT +,

U -œ

46. Calcule la suma de términos:8

a) " $B 'B "!B † † † † †# $

b) ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰" " " † † † † †" " "B B B

# # ## $

c) ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰#8 &8 " )8 # † † † †" " "# ' ")

Respuesta.

a) " " B " "

" BÒ 8 8 $ B 8 8 " B Ó

" B # #a b a b a b#

88 8"

b) 8 B " B "

B " B B " B

8 #8

8 # #8a b a b c) " " $ "

# # ) $# 8

8 $8 " 8 8 " Ò " Óa b a b ˆ ‰47. Un empresario contrata un obrero con un sueldo mensual de $150000 y le ofrece

dos alternativas de aumento para el futuro.

a) Un aumento variable anual, equivalente al 10% del sueldo del añoinmediatamente anterior; y

b) Un aumento fijo anual, equivalente al 20% del sueldo inicial de contratación.

El obrero eligió la segunda alternativa, critique su elección 10 años después.

Respuesta.

Perdió.

48. Un campesino vendió al primero de sus compradores la mitad de sus manzanas másla mitad de una manzana, al segundo, la mitad de las restantes más manzana, al"

#

tercero, la mitad de las que quedaron más manzana, y así sucesivamente. El"#

décimo comprador adquirió también la mitad de las manzanas restantes más "#

manzana, agotando con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino?

Respuesta.

1023

49. Si demuestre que W œ 4 à 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 W œ 8 8 $" "

4 " #4 5

5œ" 5œ"

_ 85"" "Œ a b50. Si en una de tres términos, se le suma al primer término y se resta alT ÞKÞ "" &'

tercero resulta una y si en esta última se le suma al tercer término resultaT ÞEÞ "nuevamente una Determinar los términos de cada una de estas tresT ÞKÞÞprogresiones.

Respuesta.

&ß #!ß )!à "'ß #!ß #%à "'ß #! #& ß ß à ß ß à ß ß& $& #%& %* $& #" %* $& #&

% % % % % % % % %o bien

51. Sea una progresión aritmética con un número par de términos. La suma de lostérminos que ocupan lugares impares es y la suma de los términos que ocupan"'"lugares pares es Además el último término de la progresión excede al primero"')Þ

en Determine la diferencia y el número de términos#(

#Þ . .

Respuesta.

. œ ß 8 œ "%"

#

52. Si están en y los términos de lugares de una se6ß7ß 8 T ÞKÞ 6ß7ß 8 T ÞEÞencuentran en , demuestre que:T ÞLÞ

+ 7 8 +

+ 6 7 .œ • œ 7 "

8

7

donde es el término de orden de la su primer término y su+ 8 T ÞEÞß + .8

diferencia constante.

53. Un criador de caballos vende un caballo en $3.000.000. Un potencial compradorencuentra que el precio es excesivo, por lo cual el granjero le hace la siguienteproposición: el caballo tiene 7 clavos por cada pata y Ud. debe pagarme $20 por elprimer clavo, $30 por el segundo clavo, $45 por el tercero, $67,5 por el cuarto y asísucesivamente hasta completar el último clavo. Si el comprador acepta estaproposición, ¿gana o pierde en el negocio?¿Cuanto?.

Respuesta.

Pierde, $ %!))'(Þ(#

54. Una deuda de $840.000 se paga en meses con un reajuste mensual constante de#"$ Si después de pagar las primeras cuotas queda una deuda todavía de $+Þ "&307.500. Determine el valor de la última cuota.

Respuesta.

&&!!!Þ

55. La suma de tres números en es si los números extremos se disminuyenT ÞEÞ $*ßen y el del medio se disminuye en los números quedan en . Determine$ ( T ÞKÞlos números que se encuentran en T ÞEÞÞ

Respuesta.

&ß "$ß #" #"ß "$ &Þ o bien y

56. Una persona tiene un plan de ahorro mensual, mediante el cual el primer mes ahorra$ y cada mes ahorra el 2% más que lo ahorrado el mes anterior.E

a) Exprese en términos de y el ahorro correspondiente al k-ésimo mes.5 E

b) Calcule el monto total ahorrado al cabo de meses.5

Respuesta.

a) b) E "Þ!# &!EÒ "Þ!# " Óa b a b5" 5

57. Dada la ¿Cuál es el máximo número de términos que esT ÞEÞ ß ß ß ß † † †" * "$ "(% #! #! #!

posible sumar sin que la suma supere 2000?.

Respuesta.

"%!

58. La suma de los primeros términos de una cuyo primer término es y la#8 T ÞKÞß +

razón es , es igual a la suma de los primeros términos de otra progresión< 8geométrica cuyo primer término es y la razón Demuestre que es igual a la, < Þ ,#

suma de los dos primeros términos de la primera T ÞKÞÞ

59. Exprese en forma de fracción los siguientes números

a) b) 0.34279279279 . . .#Þ$&")$&")$&")Þ Þ Þ

Respuesta.

a) b) #$&"' ('"

**** ###!

60. Si es la suma de los primeros términos de una demuestre que:W 5 T ÞKÞß5

W ÐW W Ñ œ ÐW W Ñ8 $8 #8 #8 8#

61. Si par yW œ " < < † † † † ::#

#: %: a b y W œ " < < † † † † † W œ " < < † † † † †:

: #: : #::w

Demuestre W W œ: :w

W :#

Capítulo 5

Teorema del Binomio

5.1. FactorialesDefinición 1

Sea Vamos a definir inductívamente (se lee factorial) mediante8 − Ö!×Þ 8x 8

"Ñ !x œ "

#Ñ Ð8 "Ñx œ 8x 8 "a bEjemplo 1

$x œ #x † $ œ "x † # † $ œ !x † " † # † $ œ " † # † $ œ '

8x œ 8 " x † 8 œ 8 # x † 8 " 8 œ "x † # † $ † † † † 8 # 8 " 8a b a b a b a ba b8x œ " † # † $ † † † † 8 " † 8a b

5. . Coeficientes Binomiales#

Definición 1

Sean Se define el símbolo (se lee " sobre ") mediante8 − ß 5 − Ö!×Þ ß 8 58

5 Š ‹

si

si Š ‹ Û

ÚÜ a b8

5œ

8x

8 5 x 5x5 Ÿ 8

! 5 8

Ejemplo 1

Œ Œ & &x " † # † $ † % † & #

$ #x $x " † # † " † # † $ $œ œ œ "! œ !,

Š ‹ Š ‹8 8x 8 8x

! 8x † !x 8 !x † 8xœ œ "ß œ œ "ß

Š ‹ a ba b8 8x 8 " x8

" Ð8 "Ñx † "x 8 " xœ œ œ 8

Notación.

Tambien es usual denotar al coeficiente binomial por Cˆ ‰85 5

8ß

Propiedad 1

a 5 Ÿ 8ß œ8 8 † 8 " † † † † 8 5 "

5 " † # † $ † † † † 5 Š ‹ a b a b

Nótese que, en ésta fracción hay en el numerador factores decrecientes a partir de58ß 5 "Þy en el denominador, los mismos factores crecientes a partir de

Demostración.

Š ‹ a b a ba ba b a b8 8x " † # † $ † † † 8 5 8 5 " † † † 8 " 8

5 8 5 x 5x " † # † $ † † † 8 5 † " † # † $ † † † † 5œ œ

œ8 † 8 " † † † † 8 5 "

" † # † $ † † † † 5

a b a bEjemplo 2

Œ & & † % † $

$ " † # † $œ œ "!

Œ a b a b5 5 5 " "

# " † # #œ œ 5 5 "

Propiedad 2

1) Š ‹ Š ‹8 8

5 8 5œ

2) Š ‹ Œ Œ 8 8 8 "

5 5 " 5 " œ

3) 5 œ 8 ß 5 "8 8 "

5 5 "Š ‹ Œ

Demostración.

a 5 8ß

1) Š ‹ Š ‹a b a b a b8 8x 8x 8

5 8 5 x 5x Ò8 8 5 Óx 8 5 x 8 5œ œ œ

2) Š ‹ Œ a b a b8 8 8x 8x

5 5 " 8 5 x 5x 8 5 " x Ð5 "Ñx œ

œ 8x œ5 " 8 5 8x 8 "

8 5 x Ð5 "Ñx Ò8 " 5 " Óx 5 " xa b a b a ba b

œ8 "

5 "Œ

3) 5 œ 5 œ 58 8x 8 " x 8

5 8 5 x 5x 8 5 x 5 " x 5Š ‹ a b a b a ba b

œ 8 œ 88 " x 8 "

8 5 x 5 " x 5 "

a ba b a b Œ es inmediato.a 5 8ß

El cuadro de números que aparece a continuación se llama triángulo de Pascal, que,como veremos se puede expresar mediante los coeficientes binomiales.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

† † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † †

ˆ ‰!!

ˆ ‰ ˆ ‰" "! "

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰# # #! " #

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰$ $ $ $! " # $

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰% % % % %! " # $ %

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰& & & & & &! " # $ % &

† † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † †

Observemos que las propiedades de los coeficientes binomiales se cumplen en ésteúltimo cuadro, tales como la propiedad "Ñ como la 2) por ejemplo: la propiedad 1)se encuentra en cada linea del triángulo y la propiedad 2) para construir una fila enbase a la anterior, exceptúandose el primer y último elemento de la fila, es decirsupongamos construído el triángulo hasta la cuarta fila , cada elemento de la quinta

fila (excepto el primero y último que son 1) lo construímos sumando los dosnúmeros inmediatos a él en la fila precedente, así:

Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ % % & % % & % % &

! " " " # # # $ $ œ ß œ ß œ ß Þ Þ Þ

Þ

Ejemplo 3

Demostrar que

Š ‹ Š ‹ Œ Œ 8 8 8 8 #

5 " 5 5 " 5 " # œ

Demostración.

Partiendo del primer miembro, se tiene

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹Œ Œ 8 8 8 8 8 8 8

5 " 5 5 " 5 " 5 5 5 " # œ Ò Ó Ò Ó

œ œ8 " 8 " 8 #

5 5 " 5 "Œ Œ Œ

Ejemplo 4

i) Š ‹ Œ Œ Œ Œ 8 8 " 8 " 8 " 8 #

8 8 8 " 8 8 " œ œ

ii) Š ‹ Œ Œ Œ Œ Œ 8 8 " 8 # 8 # 8 # 8 $

8 8 8 8 " 8 8 " œ œ

El ejemplo 4, nos sugiere la siguiente propiedad

Propiedad 3

"Œ Œ 5œ!

8 8 5 #8 "

8 8 "œ

Demostración.

"Œ Œ Œ Œ Œ Š ‹5œ!

8 8 5 8 8 " 8 # #8 " #8

8 8 8 8 8 8œ † † † †

œ † † † † 8 " 8 " 8 # #8 " #8

8 " 8 8 8 8Œ Œ Œ Œ Œ

œ † † † † 8 # 8 # #8 " #8

8 " 8 8 8Œ Œ Œ Œ

œ † † † † 8 $ 8 $ #8 " #8

8 " 8 8 8Œ Œ Œ Œ

œ † † † † 8 % 8 % #8 " #8

8 " 8 8 8Œ Œ Œ Œ

† † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † †

œ #8 # #8 # #8 " #8

8 " 8 8 8Œ Œ Œ Œ

œ œ œ#8 " #8 " #8 #8 #8 #8 "

8 " 8 8 8 " 8 8 "Œ Œ Œ Œ Œ Œ

Propiedad 4

"Œ Œ 5œ!

8 5 8 "

< < "œ

Demostración.

" "Œ Œ Œ 5œ! 5œ<

8 85 5 5

< < <œ œ ! 5 < pués cuando

Entonces vamos a demostrar por inducción que "Œ Œ 5œ<

8 5 8 "

< < "œ

i) Para se tiene lo que es8 œ "ß œ Í œ5 # " #

< < " " #"Œ Œ Œ Œ 5œ<

"

verdadero. Note que en éste caso no puede tomar otro valor que no sea 1.<

ii) Sea válido para con luego se cumple8ß 8 <

"Œ Œ a b5œ<

8 5 8 "

< < "œ LÞMÞ

Por demostrar para o sea que8 "ß

"Œ Œ a b5œ<

8 "+ 5 8 #

< < "œ X Þ

En efecto

" "Œ Œ Œ Œ Œ Œ 5œ< 5œ<

8 " 8+ 5 5 8 " 8 " 8 " 8 #

< < < < " < < "œ œ œ Þ

5. . Teorema del Binomio$

Teorema.

Sea y reales. Entonces,8 − ß +ß ,

a b "Š ‹+ , œ + ,8

58

5œ!

885 5

Demostración.

Por inducción.

i) Para 8 œ "ß + , œ + , Í + , œ + ," " "

5 ! "a b a b"Œ Œ Œ

5œ!

""5 5

que es verdadero.

ii) Sea válido para o sea se cumple que,8

a b a b"Š ‹+ , œ + , LÞMÞ8

58

5œ!

885 5

Por demostrar para , esto es8 "

a b a b"Œ + , œ + , X Þ8 "

58"

5œ!

8"8"5 5

En efecto,

a b a b "Š ‹+ , œ + , + ,8

58"

5œ!

885 5

œ + , + ,8 8

5 5" "Š ‹ Š ‹5œ! 5œ!

8 88"5 5 85 5"

œ + + , + , ,8 8

5 58" 8"5 5 85 5" 8"

5œ" 5œ!

8 8"" "Š ‹ Š ‹ œ + + , + , ,

8 8

5 5 "8" 8"5 5 8Ð5"Ñ 5 8"

5œ" 5œ"

8 8" "Š ‹ Š ‹

œ + Ò Ó + , ,8 8

5 5 "8" 8"5 5 8"

5œ"

8" Š ‹ Š ‹ œ + + , ,

8 "

58" 8"5 5 8"

5œ"

8"Œ œ + ,

8 "

5"Œ 5œ!

8"8"5 5

Propiedad 5

1) a b a b" Š ‹+ , œ " + ,8

58 5

5œ!

885 5

2) "Š ‹5œ!

888

5œ #

Demostración.

1) a b a b a b"Š ‹+ , œ Ò + , Ó œ + ,8

58 58 85

5œ!

8

œ " + ,8

5"a b Š ‹5œ!

85 85 5

2) Eligiendo se tiene+ œ , œ "

a b " "Š ‹ Š ‹" " œ " " Í œ #8 8

5 58

5œ! 5œ!

8 885 5 8


1. En el desarrollo Hallar:Ð B Ñ Þ$ "

# $B# *

a) El quinto términoÞ

b) El término que contiene a B Þ&

c) El término independiente de BÞ

Solución.

El término de orden en éste caso está dado por5 "ß

X œ* *

5 55" Œ Œ Ð B Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ B "

$ " $ "

# $B # $# *5 5 *5 5 ")$5 , a b

Por tanto:

a) El quinto término Ê 5 " œ & Í 5 œ % Ê X œ Ð Ñ Ð Ñ B* $ "

% # $&

& % 'Œ b) En se debe tener que lo que nos indica que noa b" ß ") $5 œ & Í 5 œ

"$

$existe tal término pués no puede ser fraccionario.5

c) De igual forma que en b), se debe tener lo que en este") $5 œ ! Í 5 œ 'caso si existe tal término que resulta ser

X œ*

'( Œ Ð Ñ Ð Ñ œ

$ " (

# $ ")$ '

2. Encontrar el coeficiente de enB ß8

ˆ ‰a b" B B " B# #8"

Solución.

Note que

a ba b a b a b a b" B B " B œ " B B " B B " B# ##8" #8" #8" #8"

Debemos buscar el coeficiente de: , y en asíB B B " B ß8 8" 8# #8"a b El coef. de en es el coef. de es B " B ß B

#8 " #8 "

8 8 "8 8"#8"a b Œ Œ

y el de es B Þ#8 "

8 #8# Œ

Por tanto el coeficiente de resulta: B #8 " #8 " #8 "

8 8 " 8 #8 Œ Œ Œ

3. Si se encuentra en el desarrollo de hallar su coeficiente.B ÐB Ñ ß"

B< 8

Solución.

Como ÐB Ñ œ B Ð Ñ œ B" 8 " 8

B 5 B 58 85 5 8#5

5œ! 5œ!

8 8" "Š ‹ Š ‹ El exponente de tomará el valor cuando B < 8 #5 œ < Í 5 œ

8 <

#

luego el coeficiente pedido resulta solo hay solución si es par oŒ 8ß 8 <8<

#

cero.

4. Probar que los coeficientes de y en el desarrollo de son:B B B #B ## $ # 8a b y # 8 8 8 " # Þ8" # # 8""

$ a bPrueba.

ˆ ‰ ˆ ‰" ""Š ‹ Š ‹ Œ B #B # œ # B #B œ # # B8 8 5

5 5 4# 85 # 85 54 548 5

5œ! 5œ!

8 8 5

4œ!

œ # B8 5

5 4" "Š ‹Œ 5œ!

8 5

4œ!

84 54

Para obtener el coeficiente de se debe tener esto es para:B 5 4 œ #à 4 Ÿ 5#

4 œ !ß 5 œ # 4 œ "ß 5 œ " y por tanto dicho coeficiente resulta ser

Š ‹ Š ‹Œ Œ 8 # 8 "

# ! " "# # œ 8 #8 8" # 8"

De igual manera para el coeficiente de esto es:B ß 5 4 œ $à 4 Ÿ 5$

4 œ !ß 5 œ $ 4 œ "ß 5 œ # y por tanto

Š ‹ Š ‹Œ Œ ˆ ‰8 $ 8 # "

$ ! # " $# # œ 8 8 " #8 8" # 8"

5. Demuestre que

" #

† † † † œ8ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰8 8

" #8 8 8! " 8"

88 Œ 8 "

#

Solución.

" " "ˆ ‰ˆ ‰ a b5œ" 5œ" 5œ"

8 8 8858

5"

8x85 x5x

8x85" x 5" x

5œ œ 8 5 "

5 a ba b a b

œ 8 8 " † † † # " œ 5 œ œ8 8 " 8 "

# #a b " a b Œ

5œ"

8

6. Encuentre el valor de si 8ß Š ‹8

8 #œ "!

Solución.

Por la propiedad simétrica ˆ ‰ ˆ ‰8 88# # #

8 8" #œ œ œ "! Í 8 8 #! œ ! Êa b y , entre estas dos soluciones solo se considera 8 œ & 8 œ % 8 œ &Þ" #

7. Encuentre el término central de Œ B "

B

"#

Solución.

Notemos que tiene 13 términos, luego el término central resulta elŒ B "

B

"#

séptimo es decir para en5 œ '

por tanto X œ B Ð Ñ œ B X œ"# " "# "#

5 B 5 '5" (

85 5 "##5Œ Œ Œ

8. Hállese la relación que debe existir entre y para que los coeficientes de los< 8ß

términos de lugares y en el desarrollo de sean iguales.$< < # " B ßa b#8Solución.

En el desarrollo ; el término de lugar es paraa b !ˆ ‰" B œ B $<#8

5œ!

#8#85

5

5 œ $< " < # 5 œ < " y el término de lugar es para luego se debe cumplirque

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹#8 #8 #8 #8 #8$<" <" $<" #8Ð$<"Ñ <"œ Í œ œ Í #8 $< " œ < "

de donde 8 œ #<Þ

9. Demuestre que

Œ a b#8 " † $ † & † † † #8 "

8 8xœ

Demostración.

Œ a b a b a b#8 #8 x " † # † $ † † † 8 8 " † † † #8 " † #8

8 8x 8x 8x 8xœ œ

œ †" † $ † & † † † #8 " # † % † ' † † † #8

8x 8x

a b œ # †

" † $ † & † † † #8 " " † # † $ † † † 8

8x 8x

a b 8

œ" † $ † & † † † #8 "

8x#

a b 8

10. Demostrar para a 8 − ß™

a) 8 " B œ # B † † † † 8 B8 8 8

" # 8a b Š ‹ Š ‹ Š ‹8" 8"

b) 1# # # 8" 8#Š ‹ Š ‹ Š ‹ a b8 8 8

" # 8 # † † † † 8 œ 8# 8 8 " #

c) " # $ † † † † " 8 œ !8 8 8 8

" # $ 8Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b8"

Demostración.

a) a b "Œ " B œ B8 "

58"

5œ!

8"5

8 " B œ 8 B8 "

5a b " Œ 8"

5œ!

8"5

œ B8 8 " x

Ð8 " 5Ñx5x" a b5œ!

8"5

œ B œ 58 8 " x5 8x

Ò8 " Ð5 "ÑÓxÐ5 "Ñx5 Ð8 5Ñx5x" "a b5œ" 5œ"

8 85"

œ 5 œ # B † † † † 8 B8 8 8 8

5 " # 8" Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹5œ"

88"

b) " " " "Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ˆ ‰ a b a b5œ" 5œ" 5œ" 5œ"

8 8 8 8# #8 8 8 8

5 5 5 55 œ 5 5 5 œ 5 5 5 " ‡

Para la primera sumatoria, haciendo en la parte a) se obtieneB œ "

! ˆ ‰5œ"

885

8"5 œ 8#

Para la segunda sumatoria

! a b a b a ba bˆ ‰ " "Š ‹ Œ 5œ"

885

5œ# 5œ!

8 8#

5 5 " œ 5 5 " œ 5 # 5 "8 8

5 5 #

œ 5 # 5 "8x

8 5 # x 5 # x"a ba ba b a b5œ!

8#

œ 5 # 5 "8 8 " 8 # x

8 5 # x 5 # x"a ba b a ba ba b a b5œ!

8#

œ 8 8 " œ 8 8 "8 # x 8 #

8 5 # x 5 x 5a b a b" "a ba b a b Œ

5œ! 5œ!

8# 8#

œ 8 8 " #a b 8#

Luego, remplazando en resultaa b‡ "Š ‹ a b

5œ"

8# 8" 8#8

55 œ 8# 8 8 " #

c) 8 " B œ 8 B œ 8 B8 " 8 "

5 5 "a b " "Œ Œ 8"

5œ! 5œ"

8" 85 5"

œ B œ B8 8 " x 5 5 8x

8 5 x 5 " x 5 8 5 x 5x" "a ba b a b a b5œ" 5œ"

85" 5"

8

œ 5 B8

5" Š ‹5œ"

85"

Haciendo se tiene; de dondeB œ " ! œ 5 "! ˆ ‰a b5œ"

885

5"

" # $ † † † † " 8 œ !ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰a b a b8 8 8 8" # $ 8

8"

11. Demostrar ’ “! !ˆ ‰ ˆ ‰5œ! 5œ!

8 #88 #85 5

#

œ

Demostración.

Se sabe que ! ! !ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰’ “5œ! 5œ! 5œ!

8 8 #88 8 #85 5 5

8 #8#

œ # Í œ # œ

12. Usando la identidad demuestre quea b a b a b" B œ " B B " ß#8 8 8

Š ‹ Š ‹ Š ‹ a ba b

8 8 8 #8 x

! " 8 † † † † œ

8x

# # #

#

Demostración.

Como el coeficiente de es a b a b"Œ Œ a ba b" B œ B B œ "

#8 #8 #8 x

5 8 8x

#8

5œ!

85 8

#

Por otra parte el coeficiente de enB8

a b a b " " " "Š ‹ Š ‹Œ Œ " B B " œ B B œ B8 8 8 8

5 4 5 48 8

5œ! 5œ!

8 8 8 85 84

4œ! 4œ!

854

se obtiene para con y por tanto dicho coeficiente en5 œ 4ß 5 4 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ ß 8este caso resulta

Š ‹ Š ‹ Š ‹ a b8 8 8

! " 8 † † † † #

# # #

Como y ambos, son coeficientes de entoncesa b a b" # B8

Š ‹ Š ‹ Š ‹ a ba b

8 8 8 #8 x

! " 8 † † † † œ

8x

# # #

#

13. Demostrar:

a) 1Š ‹ Š ‹ Š ‹ Œ 8 8 8 #8 "

" # 8 8 # † † † † 8 œ 8

# # #

b) Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8

! # % " $ & † † † † œ † † † †

Demostración.

a) 8 " B œ 8 B œ 8 B œ 5 B "8 " 8 " 8

5 5 " 5a b a b" " "Œ Œ Š ‹8"

5œ! 5œ" 5œ"

8" 8 85 5" 5"

por otra parte

a b a b"Œ " B œ B #8

48

4œ!

84

multiplicando miembro a miembro y resultaa b a b" #

8 " B œ 5 B8 8

5 4a b " " Š ‹Œ #8"

5œ"

8 8

4œ!

54"

Ahora, el coeficiente de en esB 8 " B8" #8"a b 8 œ 8 $

#8 " #8 "

8 " 8Œ Œ a b

en se obtiene para " " Š ‹Œ 5œ"

8 8

4œ!

54"5 B 5 4 " œ 8 " Í 5 4 œ 88 8

5 4

esto es: .5 œ 8 • 4 œ !à 5 œ 8 " • 4 œ "à † † † ß 5 œ " • 4 œ 8 "

luego dicho coeficiente es

8 8 " † † † † "8 8 8 8 8 8

8 ! 8 " " " 8 "Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹a b

y por la propiedad simétrica

8 8 " † † † † "8 8 8 8 8 8

8 8 8 " 8 " " "Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹a b

es decir: 1 Š ‹ Š ‹ Š ‹ a b8 8 8

" # 8 # † † † † 8 %

# # #

finalmente y representan al mismo coeficiente, en este caso de a b a b$ % B8"

entonces

1Š ‹ Š ‹ Š ‹ Œ 8 8 8 #8 "

" # 8 8 # † † † † 8 œ 8

# # #

b) De inmediato

Ò" Ð "ÑÓ œ " Í ! œ "8 8

5 58

5œ" 5œ"

8 85 5" "Š ‹ Š ‹a b a b

de aquí: † † † † œ !8 8 8 8 8

" # $ % &Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹

finalmente

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8

! # % " $ & † † † † œ † † † †

14. Probar que:

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8

" $ & # % ' $ & † † † œ # % ' † † † œ 8 #8#

Prueba.

Previo estableceremos que:

para lo cuál W œ # $ † † † " 8 œ !ß8 8 8 8

" # $ 88

8"Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a bW œ " 5 œ 8 " œ 8 "

8 8 " 8 "

5 5 " 58

5œ" 5œ" 5œ!

8 8 8"5" 5" 5" " "a b a b a bŠ ‹ Œ Œ

por tantoœ 8 Ò" " Ó œ !ßa b 8"

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8

" $ & # % ' $ & † † † œ # % ' † † † œ Eß

y de aquí: pero sabemos queŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8

" # $ % # $ % † † † † œ #E

ejercicio 10)Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹"8 8 8 8 8

" # $ 8 5 # $ † † † † 8 œ 5 œ 8# Ð

5œ"

88"

entonces , luegoE œ 8#8#

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8

" $ & # % ' $ & † † † œ # % ' † † † œ 8 #8#

15. Demuestre que:

" " " "Œ Œ a b Š ‹3œ! 4œ" 3œ!

8" 8 8 5"8" 8 3

5œ"

8 " 8 8

3 4 5œ # # " œ $

Demostración.

" " " " "Œ Œ Œ Œ Œ Š ‹3œ! 4œ" 3œ! 4œ" 4œ!

8" 8 8" 8 88"8 " 8 8 " 8 8 8

3 4 3 4 4 !œ œ # Ò Ó

œ # # "8" 8a b " " " " "Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹

5œ" 5œ" 5œ" 5œ"

8 5" 8 8 8

3œ!

3 55

$ œ Ð Ñ œ Ö $ ×8 $ " 8 " 8 8

5 $ " 5 # 5 5

œ Ö " $ " Ð# "Ñ× œ Ð% # Ñ œ # # "" "

# #a b a b8 8 8 8 8" 8

16. Demuestre que:

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a ba ba b8 8 8 8 8 # #8 " x

! " # 8 8x 8 " x # $ † † † † 8 " œ

# # # #

Demostración.

Notemos que

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a b8 8 8 8

! " # 8 # $ † † † † 8 " œ

# # # #

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 8 8 8 8

" # $ 8 ! " 8 # $ † † † 8 Ò † † † Ó

# # # # # # #

œ 8 #8 " #8

8 8Œ Œ

Observemos que se han ocupado los resultados de los problemas 13. a) y 12.

17. Demuestre que el coeficiente del término central de es igual a la sumaa b" B ß#8

de los coeficientes de los dos términos centrales de a b" B #8"

Demostración.

El término central de se obtiene para es el coef. dela b Œ " B 5 œ 8 Ê#8

8#8

término central.

Analogamente en los términos centrales se obtienen paraa b" B #8"

y para con lo que sus5 œ œ 8 " 5 œ œ 8ß#8 " " #8 " "

# # # #coeficientes son respectívamente:

y luego +Œ Œ Œ Œ Œ #8 " #8 " #8 " #8 " #8

8 " 8 8 " 8 8œ Þ

18. Demostrar que:

a) "a b a b a bŠ ‹5œ!

85 8"5 " B œ " B Ò" 8 " BÓ

8

5

b) "a b a bŠ ‹5œ!

85 8"#5 " & œ ' "!8 '

8

5

Demostración.

a) " " "a bŠ ‹ Š ‹ Š ‹5œ! 5œ! 5œ!

8 8 85 5 55 " B œ 5 B B

8 8 8

5 5 5

œ 8 B " B8 "

5 "" Œ a b5œ"

85 8

œ 8 B " B8 "

5"Œ a b5œ!

8"5" 8

œ 8 " B B " Ba b a b8" 8

œ " B Ò" 8 " BÓa b a b8"

b) " " "a b a bŠ ‹ Š ‹ Š ‹5œ! 5œ! 5œ!

8 8 85 5 5#5 " & œ 5 " & 5 &

8 8 8

5 5 5

Para la primera sumatoria se hace en el resultado de la parte a)B œ &ß

œ ' &8 ' 8 &8 "

5 "8" 5

5œ"

8a b "Œ œ ' &8 ' 8 &

8 "

58" 5"

5œ!

8"a b "Œ œ ' &8 ' &8 " & œ ' "!8 '8" 8"8"a b a b a b

19. Demostrar que

"a b a bŠ ‹5œ!

88"+ 5. œ #+ 8. #

8

5

Demostración.

" " " "a bŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Œ 5œ! 5œ! 5œ! 5œ"

8 8 8 88+ 5. œ + . 5 œ + # .Ò 8 Ó

8 8 8 8 "

5 5 5 5 "

œ +# .8 œ + # . 8# œ #+ 8. #8 "

5 "8 8 8" 8"

5œ!

8""Œ a b

20. Demuestre que

Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ a ba b a b8 8 8 8 8 8 #8 x

! " " # 8 " 8 8 " x 8 " x † † † † œ

Demostración.

a b a b " " " "Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹" B B " œ B B œ B8 8 8 8

5 3 5 38 8

5œ! 5œ!

8 8 8 85 83 853

3œ! 3œ!

en esta expresión por una parte ela b " "Š ‹Š ‹" B œ B à8 8

5 3#8

5œ!

8 8

3œ!

853

coeficiente de es por otra parte el mismo coeficiente se obtieneB ß#8

8 "8" Œ

para

lo que se dá para los siguientes casos de y8 5 3 œ 8 " Í 3 5 œ " 3

de donde resulta5 À 5 œ ! • 3 œ "ß 5 œ " • 3 œ #ß Þ Þ Þ Þ ß 5 œ 8 " • 3 œ 8

que éste coeficiente es ß † † † † 8 8 8 8 8 8

! " " # 8 " 8Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹

como ambos números son el coeficiente de , entonces deben ser iguales, asíB8"

Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ a ba b a b8 8 8 8 8 8 #8 x

! " " # 8 " 8 8 " x 8 " x † † † † œ

21. Demuestre que

" Š ‹ a ba b5œ!

8 8"" 8 " 8#

5 # 5 8 " 8 #œ

Demostración.

" "Š ‹ a ba ba ba ba b a ba ba b5œ! 5œ!

8 8" 8 8x 8 " 8 # 5 "

5 # 5 5 # 8 5 x 5x 5 " 8 " 8 #œ

œ 5 "" 8 #

8 " 8 # 5 #a ba b "Œ a b5œ!

8

œ 5 # " 8 # 8 #

8 " 8 # 5 # 5 #a ba b "’ “Œ Œ a b5œ!

8

œ 5 # " 8 # 8 #

8 " 8 # 5 # 5 #a ba b ’ “" "Œ Œ a b5œ! 5œ!

8 8

œ 8 # " 8 " 8 #

8 " 8 # 5 " 5 #a ba b ’ “" "Œ Œ a b5œ! 5œ!

8 8

œ 8 # " 8 " 8 #

8 " 8 # 5 5a ba b ’ “a b" "Œ Œ 5œ" 5œ#

8" 8#

œ 8 # # " # " 8 # 8 #

8 " 8 # " !a ba b’ “a bˆ ‰ ˜ ™Œ Œ 8" 8#

œ Ò8 # "Ó"

8 " 8 #a ba b 8"

22. Demuestre que

Œ Œ Œ Œ Œ Œ #8 %8 #8 %8 # #8 %8 %

! #8 " #8 # #8 † † † † œ %8

Demostración.

Usando la identidad [ se tienea b a b" B " Ó œ B # B# #8#8 #8

[ a b a b a b"Œ " B " Ó œ " B "#8

5# %8#5 5#8

5œ!

#8

œ " B#8 %8 #5

5 4" "a b Œ Œ 5œ!

#8 %8#55

4œ!

4

Para obtener el coeficiente de se debe tener con lo que resultaB ß 4 œ #8#8

"a b Œ Œ 5œ!

#85 " œ

#8 %8 #5

5 #8Œ Œ Œ Œ #8 %8 #8 %8 #

! #8 " #8 † † †

note que 5 Ÿ 8Þ

Por otra parte el coeficiente de en B ß#8 [ a b a b" B " Ó œ # B B# #8#8 #8

se obtiene para y esto dá œ # B ß 4 œ ! # œ %#8 #8

4 !"Œ Œ 4œ!

#8#84 #84 #8 8

Por tanto

Œ Œ Œ Œ Œ Œ #8 %8 #8 %8 # #8 %8 %

! #8 " #8 # #8 † † † † œ %8


"Þ Sinplificar:

a) b) c) 8x %8 $8 #8

Ð8 "Ñx $8 #8 8

ˆ ‰ˆ ‰ Œ Œ Œ 8"$8#

d) e) ˆ ‰ˆ ‰ a b a b8"<"8<

8 " x 8 " x

8x

Respuesta.

a) b) c) d) e) 8 8 " 8 " " 8" "$ <" 8

%8 x

8xa b a ba b%

2. En el desarrollo

ÈB $

$

# B

*

Determine: a) El séptimo término.

b) El término que contiene a .B(

c) La suma de los coeficientes de los dos términos centrales.

Respuesta.

a) b) No existe. c) &'( "%(

"' "'

3. Determinar el coeficiente de en el desarrolloB"&

Œ $B B

'

$ *

Respuesta.

#)$Þ&

4. Encuentre el término independiente de en los desarrollos:B

a) b) c) Œ Œ Œ Œ a bB B B #B " " " " " #

B B B B#

$8 $ & (!!

Respuesta.

a) b) 0 c) a b a ba b " #)!"$8 x

8x #8 x8

5. Encuentre el coeficiente de en el desarrollo de"

B

a bŒ " B " "

B

8

Respuesta.

a ba b#8 x

8 " x Ð8 "Ñx

6. Determine el valor de si los coeficientes de y de en el desarrollo5 B B5 5"

a b$B # "* son iguales.

Respuesta.

5 œ ""

7. Encuentre el coeficiente de en:B%

a) b) a ba b a ba b" B " B " B " B& 8

Respuesta.

a) b) & 8 8 " 8 # 8 ("

#%a ba ba b

8. Encuentre el coeficiente de en el desarrolloB8

Œ B "

B#

#8

Respuesta.

Œ #8

8

9. Encuentre el término central en el desarrollo

Œ B "

B

#8

Respuesta.

Œ #8

8

10. Demuestre que el término independiente de en el desarrollo deB

Œ a b" " B"

B

#8

esta dado por Œ 8 #

#

11. Encuentre el coeficiente de en:B † † † † † †<

a) b) a ba b a ba b" B " B " #B B " B8 8#

Respuesta.

a) b) 1

8x 8 #< " 8 # x

<x 8 < x <x 8 < # x

a b a ba b a b12. Demuestre que:

a) Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Œ 8 8 8 8 8 $

5 5 " 5 # 5 $ 5 $ $ œ

b) " "Œ 3œ! 4œ!

8 38"3

4œ # "

13. Si entoncesa b# $B œ + + B + B † † † + B ß(! " # 8

# 8

+ #" $5

+ #5 #œ

5"

5

y de aquí demuestre que: + + + + + + + +! " # $ % & ' (y

14. Calcular el valor de tal que la suma de los coeficientes centrales sea+ß + − à‘igual al término independiente de , enB

Š ‹B +

B#

*

Respuesta.

+ œ „" ""# "#

É15. Determine el coeficiente de en el desarrolloB#

a bŒ " B " "

B

#%

Respuesta.

"(%)Þ

16. Demuestre que

1" 8 " 8 " 8 " 8 # "

! # " $ # 8 " 8 8 " † † † † œŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ 8"

17. Demostrar que

"ˆ ‰Š ‹ a b5œ"

8# 5" 8 8" % % † † † † % œ & #

8 "

5 $

18. Determine el valor de para que los términos de los desarrollos y8ß B "

BŒ #

8

sean igualesŒ B Þ"

B$

#

8

Respuesta.

8 œ %

19. Pruebe que el producto de los primeros números impares es 8 8x" #8

# 8Œ Œ 8

20. Demostrar quea7 8ß

Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹Œ a ba b a b7 7 7 7 7 7 #7 x

! 8 " 8 " 7 8 7 7 8 x 7 8 x † † † † œ

21. Demostrar que

" # † † † † 8 " œ # $8 † # 8 8 " #8 8 8

! " 8# # 8 8" 8##Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b

22. Pruebe que

" # $ † † † † 8 " œ " 8 # #8 8 8 8

# $ % 8Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b 8"

23. Encuentre el valor de

Š ‹ Š ‹È ÈB # B #% %

Respuesta.

# B "#B %a b% #

24. Sean y números naturales tales que: y Ocupe la identidad7ß8 < < Ÿ 7 < Ÿ 8Þ

para probar quea b a b a b" B " B œ " B7 8 78

Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Œ 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8

< ! < " " < # # ! < < † † † œ

25. Demuestre que

"Œ Œ a ba b5œ#

8 5 " "

# 5 "## œ 8 8 " %8 (

26. Demuestre que

" 8 "

" ! #Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹a b8 " 8 " 8 "

" $ # 8 " 8 8 " † † † " œ8

27. Probar que

Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ a ba b a b8 8 8 8 8 8 8 8 #8 x

! # " $ # % 8 # 8 8 # x 8 # x † † † œ

28. Demuestre que

"a b a bŒ Œ 5œ!

#85 8

#

" œ "#8 #8

5 8

Sugerencia:determine el coeficiente de en cada uno de los miembros de laB#8

identidad y luego iguale.

a b a b a b" B " B œ " B#8 #8 # #8

29. Si el término del centro del desarrollo de es el mayor término, probara b" B #8

que:

" B " " "

8 " 8

30. Sea y si están ena b a b" B " B œ G G B G B † † † † G ßG ßG# ## 8! " # ! " #

T ÞEÞ 8ßentonces hay sólo dos valores posibles para encuéntrelos.

Respuesta.

8 œ # ” 8 œ $

31. Considerando el desarrollo

a b !" B B œ + B# 58

5œ!

#8

5

demuestre i) + œ +#85 5

ii) # + œ $ +!5œ!

8"

5 88

Capítulo 6

Combinatoria

6.1 Introducción

Se trata de contar el número de elementos de un conjunto finito caracterizado por

ciertas propiedades.

Principios fundamentales

1. Principio de la multiplicación

Supongamos que un procedimiento, puede hacerse de maneras.� �� Supongamos que un segundo procedimiento se puede hacer de � �� maneras.También supongamos que cada una de las maneras de efectuar puede� ��ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar Entonces el� �� procedimiento que consta de seguido por se puede efectuar de � � � �� maneras.

2. Principio de la suma

Supongamos que un procedimiento, puede hacerse de maneras.� �� Supongamos que un segundo procedimiento, puede hacerse de maneras� �� Supongamos además que no es posible que y se hagan juntos.�� Entonces el número de manerascomo se puede hacer o es � � � ��

6.2 Permutaciones

Sea un conjunto con elementos y � � � � ��

Definición 1.

Llamaremos una -permutación de los elementos de a cualquier relación de � elementos de en el cual importa el orden relativo. El número total de -� permutaciones que se puede formar se denotará por � ��

Teorema 1.

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � ��

Demostración.

Se desea escoger de esos elementos u objetos, y permutamos el � � � � elegido. Se trata de llenar una caja que tiene compartimentos, y nos detenemos�después que se ha llenado el compartimento -ésimo. Así, el primer compartimento puede llenarse de maneras, el segundo de maneras, . . . .� � � �� y el -ésimo compartimento de maneras. Por tanto por el principio de � � � � ��la multiplicación se puede efectuar el proceso completo de

� � � � � � � � � � � � � �� y usando la notación factorial se puede escribir

� ��

� � ��

Definición 2.

En el caso la -permutación se llama permutaciones y su número se � �� denota simplemente por � ��

Teorema 2.

� � ��

La demostración es inmediata, se deja propuesta.

Permutaciones con repetición.

Sea el número de permutaciones en el caso en que se acepta� �

repetición de los elementos.

Teorema 3

� � ��

Demostración.

Es análoga a la demostración del teorema 1, solo que como se acepta

la repetición de los elementos, entonces el primer compartimento puede

llenarse de maneras, el segundo de maneras, . . . . y el -ésimo� � compartimento de maneras. Por tanto por el principio de la multiplicación�

��

-veces

Si los elementos de no son todos distintos si no que hay iguales� ��

entre si, iguales entre si, hasta iguales con y� � � � � � ��

� � � � � � � � � � �� entonces el número de permutaciones de

los elementos es: � � ��

Teorema 4.

� ��

� � � � � � � � ��

� � � �

Demostración.

Se deja propuesta.

6.3 Combinaciones

Sea un conjunto con elementos y � � � � ��

Definición 3

Llamaremos una -combinación de los elementos de a cualquier selección de � elementos de en la cual no importa el orden relativos. El número de -�

combinaciones que se forman se denotará por o ��

� � �

Teorema 5

� � � ��

� � � � ��

Demostración.

El número de maneras de elegir objetos entre y permutar los elegidos es �

igual a Sea el número de maneras de elegir entre , sin considerar��

� � ��

el orden. Observe que una vez que se han escogido los objetos hay maneras � �de permutarlos. Por tanto, aplicando nuevamente el principio de la multiplicación,

se tiene

� � ��

� � ��

Así el número de maneras de elegir entre objetos diferentes, sin considerar �el orden está dado por

� ��

� � � �� Sea el número de combinaciones de elementos que se puede� �

formar con elementos en el caso en que está permitido la repetición�de los elementos.

Teorema 6.

� ��

Demostración.

La demostración se deja propuesta.

6.4 Particiones

Los problemas que intentaremos tratar conducen a las particiones de un conjunto,

es decir que los elementos u objetos que intervienen deben particionarse en dos o

más conjuntos que verifican ciertas condiciones. Es usual confundirlas con las

permutaciones y combinaciones con repetición, por la similitud de sus fórmulas,

pero los problemas en si son distintos.

Es conveniente, en lugar de dividir los elementos de un conjunto es pensar que

deben ser separados en cajas.

Teorema 7.

El número de maneras en que se puede dividir objetos distintos en cajas, de� modo que la primera contenga elementos, la segunda la última � � � � � � � ��

elementos, de modo que � � � � � � � � � � ��

Demostración.

Se debe seleccionar elementos de los objetos, esto es posible hacerlo de� ��

� � � �

� ��

� ��

� maneras; de los restantes debemos seleccionar mediante y

así sucesivamente. Luego por el principio de la multiplicación, el número de

maneras es

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � ��

� � � � �

� � �

Teorema 8.

El núnero de maneras en que se puede dividir objetos distintos en cajas� distintas es � �

Demostración.

Se deja propuesta.

Teorema 9.

El número de maneras en que se pueden repartir objetos iguales en � conjuntos ordenados es

��

Demostración.

Notemos que podemos pensarlo que son permutaciones con repetición de� �� elementos, en que se repiten y elementos, o sea que

� � ��

��

� ��

��

6.3 Ejercicios Resueltos

1. ¿Cuántos números de 3 cifras con se pueden formar?��

a) Sin repetición.

b) Con repetición.

c) Cuántos son impares.

d) Cuántos son pares

Solución.

a) Primera forma.

Vamos a calcular pues importa el orden, éste es el número total de números� ��

con 3 cifras, a los que debemos restar aquellos números de 3 cifras y cuya primera

cifra es el es decir��

� � � � � � ��

��

Segunda forma.

Llenamos los casilleros el primer casillero lo podemos llenar de 4� � �

maneras pues el cero no debe estar), el segundo de de maneras el cero puede� � �estar) y el tercero de maneras, y por el principio de la multiplicación se obtiene�� maneras.

b)

Llenamos los casilleros el primer casillero lo podemos llenar de� � � �

maneras no incluye el el segundo y tercero de incluye el cero y podemos� �� repetir los dígitos entonces el número total es de maneras.� ��

c)

Se debe tener dos grupos (hay dos impares):

� � � � � � � � � � � � ��

d)

De inmediato: ��

2. ¿Cuántos números menores que y divisibles por se pueden formar con los�� dígitos: ?.��

a) Sin repetición.

b) Con repetición.

Solución.

a) Vamos a separar en dos grupos, los que terminan en y los que lo hacen en�� además note que el no puede iniciar ninguno de estos números y luego

aplicamos ambos principios.

Terminan en Terminan en � �

Con una cifra = = � � � �

Con dos cifras � � � � � � � �

Con dos cifras � � � � ��

Con tres cifras � � � � � ��

luego el número total de números es:

��

b)

Si terminan en o en ambos casos se dá el esquema siguiente:� ��

�

� �

� � �

� � � �

Por tanto el total de números es: ��

3. De un naipe de 52 cartas, se extraen al azar 3. Se pide:

a) El número de maneras de hacerlo.

b) El número de maneras de extraer exactamente un As.

c) El número de maneras de extraer a lo menos un As.

d) El número de maneras de extraer a lo más un As.

Solución.

a) Como no importa el orden se trata de combinaciones en grupos de o sea��

maneras. ��

� � � � � ��

b) Podemos escoger un As de maneras y las dos restantes de , luego � ��

� �

por la regla de la multiplicación maneras. � ��

� ��

c) Pensando en la misma forma, a lo menos un As significa que uno, dos o tres,

luego:

maneras. � ��

� � � � � ��

También podría pensarse del total menos que salgan tres cartas distintas o que no

salga ningún As, es decir

��

� � ��

d) De inmediato:

� ��

� � � ��

4. Cuántas cantidades distintas de dinero pueden formarse con monedas diferentes.�

Solución.

Se trata de combinaciones en grupos de: o sea que��

� � � � � ��

� � ��

5. Cuántas diagonales tiene un polígono de lados. ¿Cual es el polígono que tiene el�mismo número de diagonales que lados?.

Solución.

Primera forma

Como un polígono de lados tiene vértices, podemos trazar de un vértice� �cualquiera diagonales no consideramos los dos vértices adyacentes ni al�� mismo Como son vértices por el principio de la multiplicación se debe tener�� pero en este razonamiento estamos considerando 2 veces cada diagonal,

luego el número de diagonales es �

��

Para la segunda cuestión hacemos de donde por tanto solo�

��

el pentágono tiene diagonales y lados� � �

Segunda forma

Podemos pensar que son todas las combinaciones puntos tomados del total de�� menos las lineas entre vértices sucesivos lados que son o sea que

� ��

� ��

6. Cuántas fichas componen un dominó que incluye desde la blanca doble al doble.�

Solución.

Simplemente se trata de combinaciones de elementos tomados de a 2� �� más los dobles, es decir� ��

� � � ��

� ��

Es claro que para el dominó tiene 28 fichas según este resultado, como� � �debe ser.

7. En un plano hay puntos de los cuales son colineales, � � � � ��

a) Determine cuántas rectas se pueden trazar uniendo estos puntos y sabiendo que

excluyendo los puntos mencionados no hay conjuntos de más de 2 puntos�colineales.

b) ¿Cuántos triángulos se formarán?

Solución

a) Son todas las combinaciones de puntos tomados de menos las� �combinaciones de los puntos colineales tomados de más la recta que une los� ��puntos colineales, o sea

� � � ��

� ��

b) Razonando de igual manera el número de triángulos es�

| � � � ��

� ��

8. Calcular la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que se pueden

formar con los dígitos: y ��

Solución.

Con el núnero 1, hay maneras de colocar el resto de los números el puede�� ir en: unidades, decenas, centenas, miles, decimil . Por ejemplo: 1, � ��

Sumando estos números suponiendo las cifras son ceros, se tiene

� � ��

� � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

luego la suma pedida resulta

� � � � ��

�

�

� � �!!!!��

9. De cuántas maneras pueden sentarse personas alrededor de una mesa redonda si�2 personas desconocidas insiten en sentarse una al lado de otra.

Solución.

El número de escoger personas desconocidas de un total de es � � ��

�

supongamos una de estas personas se sienta en cualquier lugar, su acompañante�

tiene posibilidades, luego y el resto tiene una permutación de � � ��

�

maneras, luego por la regla de la multiplicación 6!.��

�

10. De cuántas maneras pueden arreglarse en un estante libros de Construcción, de� �Arquitectura, de Economía y Astronomía de modo que todos los libros de una� �materia queden juntos.

Solución.

Considerando que queden juntos, los de construcción se pueden ordenar de ��los de Arquitectura los de Economía y los de Astronomía 4!, a su vez estos�� 4 grupos se pueden ordenar de maneras, entonces por el principio de la��multiplicación los libros pueden arreglarse de ��

11. Cuántas señales diferentes de pueden hacer con 10 banderines; si 2 son rojos, 3

azules, 2 blancos y 3 negros.

Solución.

Son permutaciones de 10 objetos, de los cuales , , y repetidos, entonces� � � �

� � � ��

�� 10

12. En una pastelería se venden tipos de pasteles ¿De cuántas maneras se pueden�comprar una docena?, ¿De cuántas maneras si cierto pastel debe estar siempre

contenido en la docena?.

Solución

En este problema se aplica el teorema 6, con y así� � � � ��

� � � � ��

��

��

� � � � � � ��

Considerando que un tipo de pastel siempre conforma el grupo de 12, quedan por

elegir 11 de los 4 tipos restantes, esto es y así� � � � ��

� � � ��

� � � � ��

13. ¿Cuántos grupos de personas se pueden formar con damas y varones,� " �debiendo haber por lo menos un varón en cada grupo?.

Solución.

Una forma de resolver este problema es �� "

� ��

Otra manera de resolver el problema es

" � " � " � " �

� � � � � � � ��

14. De personas y detalle los grupos si en cada caso se eligen se� #�$��%�&� 'eligen personas.�

a) Sin restricciones

b) Si es elegido.#

c) Si o son elegidos.# $

d) Si y son elegidos.# $

Solución.

a) De inmediato ��

� ��

( � )#$��#$%�#$&�#$' �#�%�#�&�#�' �#%&�#%' �#&' �

$�%�$�&�$�' �$%&�$%' �$&' ��%&��%' ��&' �%&'*

b) ��

� ��

( � )#$��#$%�#$&�#$' �#�%�#�&�#�' �#%&�#%' �#&'*

c) � �

� ��

( � )#$��#$%�#$&�#$' �#�%�#�&�#�' �#%&�#%' �#&' �

$�%�$�&�$�' �$%&�$%' �$&'*

d) ��

� �

( � )#$��#$%�#$&�#$'*

� �5 Hay 12 maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño

defecto y 10 maneras en las cuales puede tener un defecto mayor. ¿De cuántas

maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? ¿2 defectos menores y 2

defectos mayores?

Solución.

Un defecto menor y otro mayor puede ocurrir de ��

� ��

Dos defectos menores y dos mayores puede ocurrir de ��

� �� !"�

16. De cuántas maneras se pueden ubicar personas en puestos de trabajo, si en el�� primer puesto deben haber personas, en la segunda y en la tercera las� �restantes.

Solución.

Se deben seleccionar personas de entre las es decir de las� ��

�

restantes debemos seleccionar , o sea y finalmente y por el� ��

� �

principio de la multiplicación, el número de maneras en que las 10 personas se

pueden ubicar es: ��

� � ��

17. ¿De cuántas maneras se pueden repartir juguetes de tipo I, de tipo II y de� � �tipo III, entre niños?�

Solución. ( Ejercicio que ilustra el teorema 9 )

Repartiendo primero los juguetes tipo I, según el teorema 9 dicho número es

! " �

� � ��En forma análoga los juguetes tipo II de y los de tipo III de y

por la regla de la multiplicación el número de maneras resulta

! " �

� � �� !��

18. ¿En cuántas formas pueden ordenarse en una de las repisas de un estante, 8 libros

diferentes si tres libros determinados siempre deben quedar juntos?

Solución.

Como tres de ellos siempre deben quedar juntos estos sepueden considerar como

un solo elemento y se pueden ordenar entre ellos de formas, entonces todas las��ordenaciones son ��

19. Cuántas palabras, no necesariamente pronunciables, de letras cada una se pueden�formar con consonantes diferentes y vocales diferentes, si las vocales y� �consonantes deben ir alternadas sin repetición.

Solución.

Se puede pensar en dos grupos los que empiezan en consonante y los que

empiezan en vocal, por el principio de la suma, se tiene:

� � � � " � � � � � � � � � � � " � � � ��

20. Sebastián invita a cenar a su casa cada vez exáctamente a 10 amigos que se

encuentran en dos grupos, el primer grupo consta de 15 personas y el segundo es

más exclusivo de solo 8 personas. El tiene la costumbre de invitar siempre a lo

menos 3 personas de cada grupo. ¿Cuál es el número total de grupos que pueden

formarse en estas condiciones

Solución.

Evidentemente se trata de selecciones, puede invitar 3 del primer grupo y 7 del

otro, 4 y 6, y así . . . entonces el total de grupos resulta ser

��

� " � � � � � � " ��

21. De un conjunto de alumnos, de los cuales son mujeres, se seleccionan �� alumnos. ¿De cuántas maneras distintas puede ocurrir que en el grupo seleccionado

haya exactamente mujeres? ��

Solución.

Si se seleccionan alumnos, debemos contar de cuántas maneras de ellos son�� mujeres, por tanto el resto deben ser hombres es decir ��

Como no importa el orden en los grupos seleccionados, la selección de las mujeres

se hace de maneras y para los hombres de maneras y por el �� "�

�� principio de la multiplicación el número de maneras es

�� "�

��

6. Ejercicios Propuestos�

1. Cuántos números inferiores a y que sean múltiplos de pueden formarse con�� las cifras Sin repetir los dígitos.��

Respuesta.

66.

2. Dados los números y ¿Cuántos números de 4 dígitos divisibles por �� se pueden formar

a) Sin repetición.

b) Con repetición.

c) De los números contabilizados en b), ¿Cuantos tienen repetida una cifra?

Respuesta.

a) . b) . c) .��

3. Suponga que en una fiesta hay personas, al terminar la fiesta todos se dan la�mano. ¿Cuántos apretones de manos se efectuaron al término de la fiesta�

Respuesta.

.�

��

4. De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse las letras de la palabra

CARACAS.

Respuesta.

.��

5. Cuatro personas entran a un vagón del Metro en el que hay asientos��desocupados.

a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse?.

b) Suponga que hay 16 asientos dobles y 8 simples. ¿De cuántas maneras pueden

sentarse si las dos personas que entran primero deben quedar juntas?.

Respuesta.

a) . b) ��!�� !!�

6. De doce libros. ¿De cuántas maneras puede hacerse una selección de ?.�

a) Si un libro determinado se incluye siempre.

b) Si un libro determinado se excluye siempre

Respuesta.

a) b) ��

7. Con 7 consonantes y 4 vocales. ¿Cuántas palabras pueden formarse?

a) Conteniendo cada una 3 consonantes 2 vocales.

b) De modo que no haya 2 consonantes juntas.

c) De modo que no haya 2 vocales juntas.

Respuesta.

a) 252000. b) 2520 c) 15120

8. Florencia desea invitar a comer a 6 de sus amigos de los cuales 4 son ingenieros y 2

arquitectos. ¿Cuántas habitaciones diferentes puede hacer si desea que uno de los

ingenieros asista a todas las invitaciones?.

Respuesta.

21.

9. Cuántos números pueden formarse con los dígitos tales que los�� dígitos impares ocupen siempre los lugares impares.

Respuesta.

18.

10. Determine cuántos números enteros positivos y menores que pueden��formarse con los dígitos y Sin repetir los dígitos.�� "�

Respuesta.

.��

�� " � � De un grupo formado por hombres y mujeres hay que escoger un comité de

personas.

a) ¿De cuántas maneras puede hacerse si en el comité debe haber por lo menos dos

mujeres?

b) ¿Cuántos comités se pueden formar en que no estén juntos el señor y la+señorita ?.,

Respuesta.

a) . b) 84.�"�

12. Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone

verter un líquido en un estanque y agregar sucesivamente los otros líquidos. Todas

las combinaciones posibles se deben probar para establecer cuál da mejor resultado.

¿Cuántas pruebas deben hacerse?

Respuesta.

120

13. Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en 3 partes

¿de cuántas maneras puede suceder?

Respuesta.

455

14. Determine el número de maneras en las cuales objetos, de los cuales son� similares, pueden arreglarse en orden circular.

Respuesta.

siempre que ��

� - �

15. De un conjunto de elementos, de los cuales tienen cierta característica. Se� �seleccionan elementos del conjunto y se quiere determinar de cuántas maneras.puede haber exáctamente elementos con la característica dentro de la muestraseleccionada.

Respuesta.

� ��

. �

16. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse jóvenes en una fila si ellos deben estar� �separados

Respuesta.

��

�

17. Sean un conjunto de niños y niñas. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse?" �

a) ¿De cuántas maneras pueden ordenarse en una fila?

b) ¿De cuántas maneras pueden hacerlo, si los niños deben estar juntos y las niñas

deben estar juntas?

c) ¿De cuántas maneras si las niñas deben estar juntas?

Respuesta.

a) b) d) �� "� � �� "� � ��

18. Doce jugadores de tenis de mesa van a jugar partidos. ¿De cuántas maneras�pueden elegirse los rivales?

Respuesta.

��!�

19. ¿De cuántas maneras pueden repartise las 28 fichas de un dominó entre 4

jugadores?

Respuesta.

��

�"��

20. Calcular la suma de todos los números de cifras diferentes que se pueden formar�con los dígitos: ��

Respuesta.

�

��

Capítulo 7

Números Reales

Desigualdades e Inecuaciones

7.1 Números reales.

Suponemos la existencia de un conjunto a cuyos elementos se llaman números‘

reales

Axiomas de suma

En , se define una operación que se llama suma que verifica , reales‘ a Bß C Darbitrarios los siguientes axiomas:

S " ÐB CÑ − ‘

S # B C œ C B

S $ B C D œ B C Da b a bS El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y% ‘

que verifica B ! œ B

S El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por& ‘ B

y que verifica B B œ !a b

Axiomas de multiplicación

Análogamente, en definimos una segunda operación llamada multiplicación‘que verifica y reales arbitrarios los siguientes axiomas:a Bß C D

M " a bB C − ‘

M # B C œ C B

M $ B C D œ B C Da b a bM El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por y% ‘ "

que verifica B " œ B

M El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por&"‘ B

con y que verifica B Á ! BB œ ""

Axioma de distribución

Para todo y reales arbitrarios se tiene Bß C D B C D œ BC B Da bNota 1.

Asi , con estas operaciones definidas y axiomas constituye un cuerpo. A partir‘de estos axiomas se fundamentan los reglas del álgebra elemental de reales, queexpondremos a continuación como teoremas.

Teorema 1

1) El elemento neutro 0 es único.

2) El opuesto para cada real es único.Ð BÑ Bß

3) El opuesto de es es decir Ð BÑ Bß B œ Ba b4) Si B D œ C D Ê B œ C

5) Dados existe un único tal que el cual se acostumbra aBß C D B D œ Cß

denotar D œ C B

6) B C œ BC œ B Ca b a b a b( B C D œ BC B D) a b) ! B œ !)

* B C œ ! Ê B œ ! ” C œ !)

"!Ñ " El elemento neutro es único

11) El inverso de es únicoB B Á !"

12) El inverso de es es decir B Bß ÐB Ñ œ B" " "

"$Ñ B D œ C D Ê B œ C Si

14) Dados existe un único tal que el cual se acostumbra a denotarBß C D B D œ Cß

por o con CB

"C B B Á !

15) a Bß C Á ! à B C œ B Ca b" " "

16) a Bß C Á ! à œŠ ‹BC B

"C

17) a B Á ! à B œ ÐB Ñ œ Ba b" " "

Nota 2.

Algunas de las demostraciones de este teorema se encuentran en ejercicios resueltosy el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.2 Orden en los realesÞ

Sea un un subconjunto de llamado conjunto de los reales positivos, cuyos‘ ‘

elementos satisfacen los siguientes axiomas

Axiomas de orden

O " ! Á ‘

O y # a Bß C − ß ÐB CÑ − B C −‘ ‘ ‘a b

O con $ aB − ß B Á ! à B − ” B −‘ ‘ ‘

Teorema 2

1) " − Ð Á gÑ‘ ‘

#Ñ Á g‘

$Ñ ! Â ‘

%Ñ œ g‘ ‘

&Ñ Ö!× œ‘ ‘ ‘

Observe que garantiza que cada real es: negativo, nulo o es positivo es decir&Ñ

a B − À B − ” B œ ! ” B −‘ ‘ ‘

Nota 3.

Algunas de las demostraciones del teorema 2 se encuentran en ejercicios resueltos yel resto se dejan como ejercicios propuestos

Definición 1.

a Bß C − se definen las relaciones; " "(mayor que), " "(menor que),‘" "(mayor o igual que) y " "(menor o igual que) por:

i) B C Í B C −a b ‘

ii) B C Í C B

iii) B C Í B C − ” B œ Ca b a b‘

iv) B Ÿ C Í C B

Observación 1.

A partir de los axiomas de orden y de la definición 1 se derivan todas las reglas paraoperar con desigualdades, las cuales se expondran en el teorema 3.

Teorema 3

"Ñ a Bß C − ‘ se tiene una y solo una de las siguientes relaciones:

B C ” B œ C ” B C

2) Si B C • C D Ê B D

$Ñ B C Í B D C D

4) Si B C • D ! Ê BD C D

&Ñ B C • D ! Ê BD C D Si

'Ñ B Á ! aB − ß Ê B !Si , ‘ #

(Ñ B C ! Ê ÐB ! • C !Ñ ” ÐB ! • C !ÑSi

)Ñ B C • D A Ê B D C ASi

9) Si B ! Ê B !"

10) Si B C ! Ê C B" "

""Ñ B C ! • D A ! Ê BD CASi

12) se tiene aBß C − À B C #B C‘ # #

13) Si existe tal que B Cß D − ß B D C‘

"%Ñ B C • C B Ê B œ C Si

Nota 4.

Algunas de las demostraciones del teorema 3 se encuentran en ejercicios resueltos yel resto se dejan como ejercicios propuestos

Tambien hacemos notar que ahora el cuerpo de los reales, es ordenado.

Desigualdades notables

I.

QE QK QL Ô

" 88 †††a b ÈB B † † † B B B † † † B " # " #8 8

8" " "B B B" # 8

II. De Cauchy-Schwarz

Si son números reales arbitrarios, entonces+ ß + ß Þ Þ Þ ß + , ß , ß Þ Þ Þ ß ," # 8 " # 8y

Œ Œ Œ ! ! !5œ" 5œ" 5œ"

8 8 8

5 5# #

5 5

#

+ , + ,

Valor absoluto

El valor absoluto o módulo de un número real se define porB

sisisi

lBl œB B !! B œ !

B B !

ÚÛÜ

Teorema 4.

aBß C − ‘ , se tiene:

1) lBl !

2) =lBl l Bl

3) lBl œ lB l œ B# # #

4) lBCl œ lBllCl

5) ¸ ¸BC

BCœ ß Á !l ll l a C

6) lBl Ÿ +ß + ! Í + Ÿ B Ÿ +

7) lBl + Í B Ÿ + ” B +

8) lB Cl Ÿ lBl lCl

Nota 5.

Como es habitual algunas de las demostraciones del teorema 4 se encuentran enejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.3. Ejercicios Resueltos.

1. Si + , œ ! • + - œ ! Ê , œ -

Demostración.

Por S y S se tiene $ # À , + - œ , + - Ê , + - œ + , -a b a b a b a bde donde utilizando las hipótesis dadas , ! œ ! - Ê , œ -

2. Demuestre que si entonces B + œ , B œ , +

Demostración.

B + œ , Í B + + œ , + Í B Ò + + Ó œ , + Ía b a b a bB ! œ , + B œ , +Þluego

3. Demuestre que el elemento neutro es único!

Demostración.

Supongamos que en además del hay otro elemento tal que:‘ß ! ! w

B ! œ Bß a B − entoncesw ‘

por tanto el es único.! œ ! ! œ ! ! œ ! !w w w

4. Demuestre que:

a) B œ Ba b b) a b a b a b B C œ B C

Demostración.

a) Se tiene que donde esta ecuación nos indica que es elB B œ !ß Ba bopuesto de esto es, como se quería.a b a b B B œ B

b) Para evitar acumulación de paréntesis sea y luegoB œ B C œ Càw w

a b a b a bB C B C œ ÒÐ B CÑ B Ó C œ Ò B C B Ó C œw w w w w w

Ò B B C Ó C œ Ò B B C Ó C œ ! C C œ C C œ !a b a b a bw w w w w w ahoracomo es el inverso de la suma de entoncesB C œ B C B Cßw w a b a bconcluímos que

B C œ B C Þa b a b a b5. Demuestre que:

a) ! B œ !

b) B C œ BC œ B Ca b a b a b c) a bB C œ B C ß a Bß C Á !" " "

Demostración.

a) ! B œ !B Í ! ! B œ !B Í !B !B œ !B Í !B œ !B !B œ !a bb) Previamente haremos ver que a b " B œ Ð BÑß

B " B œ "B " B œ Ò " " Ó B œ !B œ !a b a b a b y como B B œ ! " B œ Ð BÑa b a b, se concluye que , entonces tenemos

B C œ B Ò " CÓ œ Ò B " Ó C œ Ò " BÓ C œ " B C œ BCa b a b a b a b a ba b a banálogamente se prueba que con lo que B C œ BC B C œ B Ca b a b a b a bc) Notemos que a ba b a b a b a bB C B C œ Ò B C B Ó C œ Ò B B C Ó C œ Ò B B CÓ" " " " " " "

C œ C C œ " B C B C" " " "con lo que el inverso de resulta ser , y comoa b a btambién el inverso de es tenemos que por unicidad del inversoa b a bB C B C ß"

a bB C œ B C" " "

6. Demuestre que À a) B C • C D Ê B D b) B C • D ! Í BD CD c) B C ! • D A ! Ê BD CA

Demostración.

a) por axioma 1 la sumaÐB C • C DÑ Í Ö B C − • C D − ×ßa b a b‘ ‘

está en , por tanto ‘ ‘ a bB D − Í B DÞ

b) , por axioma 2 el producto ÐB C • D !Ñ Í Ö B C − • Ð DÑ − ×a b ‘ ‘

está en , luego‘

a ba b a bB C D − Í CD BD − Í‘ ‘ BD Cz

c) a bB C ! • D A ! Í

Ö Öa b a bB C − • Bß C − × • D A − • Dß A − ×ß‘ ‘ ‘ ‘ por axioma 2 setiene: y ahora por axioma 1 se tiene a b a bB C D − • D A C −‘ ‘ B D CA

7. Demuestre que:

a) lBCl œ lBllCl

b) lBl Ÿ +ß + ! Í + Ÿ B Ÿ +

Demostración.

a) Si Bß C ! Í lBCl œ BC œ lBllClß

si finalmenteBß C ! Í lBCl œ BC œ B C œ lBllClßa ba b si e B ! C ! Í lBCl œ BC œ B Ð CÑ œ lBllClÞa b b) Si B ! Ê lBl œ B Ÿ +ß + ! "a b si luego por y se tieneB ! Ê lBl œ B Ÿ + Í B +ß # " #a b a b a b + Ÿ B Ÿ +Þ

8. Demuestre que:

lB Cl llBl lCll

Demostración.

Sea B C œ D Ê B œ D C Ê

lBl œ lD Cl Ÿ lDl lCl Ê lBl Ÿ lB Cl lCl Ê lB Cl lBl lClß de aquí lB Cl Ÿ lCl lBl Ÿ lC Bl œ lB Clß lB Cl como 0 entonceslB Cl llBl lCll

9. Si demuestre que + , ! + + , +, ," ## a b È

" "+ ,

Demostración.

+ , Í #+ + , Í + + , ""# a b a b , por otra parte

a b a b a b a bÈ+ , ! Í + , #+, Í + , %+, Í + , +, # ß# ## # "#

ahora como a b a b a bÈ+ , %+, Í + , +, %+ , Í + , +, #+,# # # #

Í +, + , Í +, , Í #+, , +,È #" "

+ ,

a b3 , tambien como # #

Í , Í , % Þ " ß # ß $ %#+,+, #

" "+ ,

a b a b a b a b a b Finalmente por y se tiene lo

pedido.

10. Demuestre que para todo positivos se tiene+ß ,

+ , + , +,$ $ # #

Demostración.

Analizando la tesis induce a partir de ß + , + , ! Êa b a b#

a ba b+ , + , ! Ê# # + , + , +,$ $ # #

11. Para todo reales positivos demuestre+ß ,ß -

a) + , - +, ,- -+# # #

b) a b+ , - $ Ð+, ,- -+Ñ#

Demostración.

a) Como analogamentea b+ , ! Í + , #+,ß# # #

, - #,- - + #+-ß# # # #y y sumando miembro a miembro estasdesigualdades y simplificando se obtiene + , - +, ,- -+# # #

b) Sumando a la desigualdad demostrada en a) se tiene lo#+, #,- #-+pedido.

12. Si demostrar que+ , œ B C œ "ß# # # #

+B ,C Ÿ "

Demostración.

a b+ B ! Í + B #+B# # #

a b, C ! Í , C #,C# # #

sumando miembro a miembro ahora ocupando la+ B , C #+B #,C# # # #

hipótesis y simplificando se llega a +B ,C Ÿ ".

13. Si reales demuestre+ß ,ß -

, - - + + , +,- + , -# # # # # # a bDemostración.

Como análogamentea b+ , ! Í + , #+,à# # #

y de donde:, - #,- - + #+-# # # #

a b a b a b+ , - #+,- à , - + #,- + - + , #+-, ß# # # # # # # # # # # # y

sumando miembro a miembro estas 3 expresiones, obtenemos:

# #+,- + , - Ía b a b, - - + + ,# # # # # #

, - - + + , +,- + , -# # # # # # a b

14. Si reales positivos y , demuestre que+ß ,ß - distintos entre si

+ , - +, ,- -+

$ $ +,-Œ a b"

# "$

Demostración.

Como: ; y + , #+, , - #,- - + #+-# # # # # #

Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene

+ , - +, ,- -+ Í# # #

+ , - #+, #,- #-+ $Ð+, ,- -+Ñ Í# # #

a b a bŒ + , - $Ð+, ,- -+Ñ Í "+ , - +, ,- -+

$ $#

"#

Ahora, de la desigualdad notable se tieneQÞEÞ QÞKÞ

+, ,- -+ +, ,- -+

$ $ + , - Í +,- #È Œ a b a b$

"# "

$# # #

finalmente de y se obtienea b a b" #

+ , - +, ,- -+

$ $ +,-Œ a b"

# "$

15. Si son cantidades positivas, demostrar+ß ,ß -

+ , , - - +

+ , , - - + + , -

# # # # # #

Demostración.

Como: + , #+, Í # + , + , Í# # # # #a b a b + , + ,

+ , # "

# # a b

analogamente: , - , - - + - +

, - # - + # # à $

# # # #a b a b sumando miembro amiembro y se obtienea b a b a b" ß # $

+ , , - - +

+ , , - - + + , -

# # # # # #

16. Si son reales positivos y , demuestre+ß ,ß - distintos

a) a ba b+ , - +, ,- -+ *+,-

b) + , - , - + - + , '+,-# # #a b a b a bDemostración.

a) Aplicando la desigualdad notable se tiene:QE QK QLß

"3 a b a bÈ È+ , - +,- +, ,- -+ +, ,- -+ y multiplicando miembro$ $"

$

a miembro se tiene lo pedido.

b) Aplicando la misma desigualdad notable se tiene de inmediato lo pedido.

17. Demostrar para reales positivos cualquiera, que+ß ,ß Bß C

a ba b+, BC +B ,C %+,BC

Demostración.

a) Aplicando la desigualdad notable tenemos:QE QK QLß

y +, BC

# # +,BC +B,CÈ È+B ,C

multiplicando miembro a miembro se tiene a ba b+, BC +B ,C %+,BC

18. Si demostrar que: B C D œ 'ß B C D "## # #

Demostración.

Como ya sabemos: B C #BCà C D #CDà D B #DB# # # # # #

ahora sumando miembro a miembro B C D BC CD DB "# # # a b Por otra parte de B C D œ ' Í B C D #BC #CD #DB œ $' Í# # #

BC CD DB œ ") B C D"#

# # #a b finalmente remplazando en se obtienea b"

B C D "## # #

19. Si son reales positivos y , demuestre que+ß ,ß - distintos

# + , - ,- , - -+ - + +, + ,a b a b a b a b$ $ $

Demostración.

De a b a b a b+ , ! Í + , +, +, Í + , +, + , " ß# # # $ $

de igual modo ; À , - ,- , - # - + +- + - $$ $ $ $a b a b a b a b sumando miembro a miembro y se obtienea b a b a b" ß # $

# + , - ,- , - -+ - + +, + ,a b a b a b a b$ $ $

20. Si demostrar que+ß ,ß -ß Bß Cß D − ß‘

Š ‹È È ˆ ‰È È ÈÈ ÈB + C , D - + B , C - D * +,-BCD

Demostración.

Aplicando la desigualdad notable obtenemos:QE QK QLß

y B +C ,D - + B, C- DÈ È ÈÈ È È

$ $ BCD +,- +,- BCDÉ È É È$ $

Multiplicando miembro a miembro estas dos expresiones

Š ‹È È ˆ ‰È È ÈÈ É ÈB + C , D - + B , C - D * +,-BCD +,-BCD œ$

* Ð+,-BCDÑ œ * +,-BCDÉÈ È$ $

21. Si son reales positivos y , demuestre que+ß ,ß - distintos

* # # # " " "

+ , - + , , - - + + , -

Demostración.

Aplicando se tiene:QÞEÞ QÞLÞ

a b a b a b+ , , - - + $

$ Í

" " "+, ,- -+

# Œ " " " *

+ , , - - + + , - Í

* # # #

+ , - + , , - - + "a b

Por otra parte: y también+ , # #

# # + , Í # ß

" "+ ,

" "+ , a b

" " " ", - - +

# , - # - + $ à %

# #a b a b sumando y a b a b a b a b# ß $ % À &

# # # " " "

+ , , - - + + , -

Finalmente de y y por la propiedad transitiva, se concluyea b a b" &

* # # # " " "

+ , - + , , - - + + , -

22. Si son los lados de un triángulo, demostrar que+ß ,ß -

" " " " " "

+ , - , - + - + , + , -

Demostración.

Por hipótesis À

+ , - Ê + , - œ B !à , - + œ C !à - + , œ D !

Por ejercicio anterior y considerando que los lados de un triángulo puede seriguales, se tiene:" " " # # #B C D BC CD DB ß B C œ #,à C D œ #-à D B œ #+ pero

luego: " " " # # # " " "

+ , - , - + - + , #, #- #+ + , - œ

23. Si y son reales positivos con demostrar:+ , + , œ %ß# #

a) + , Ÿ %# #

b) + , " " "(

+ , #% %

% %

Demostración.

a) Como y 4 + , #+, #+, Í# # + , œ % Ê + , Ÿ %# # # #

b) Sea E œ + , œ + , #+ , " " " " #

+ , + , + ,% % # # # #

% % # # # #

##ˆ ‰ Œ

Ahora por a) como al restar una cantidad positiva mayor#+ , Ÿ )ß# #

a b8 en lugar de la expresión se hace mayor, luego#+ , E# #

;E + , ) " " #

+ , + ,ˆ ‰ Œ # # #

# # # #

#

además y es positivo y al eliminarlo se haceˆ ‰ Œ + , œ "' E" "

+ ,# # #

# #

#

aún mayor, por tanto

, con lo que E "' ) + , " " " "(

# + , #% %

% %

24. Si son números reales positivos, demostrar+ß ,ß -ß .

Š ‹È È ÈÈ È È È a b+ , - . +, ,- -+ Ÿ + , - .$#

Demostración.

Aplicando se tiene:QÞEÞ QÞKÞ

+ , , - - + + .

# # # # +, à ,- à -+ à +. àÈ È ÈÈ

, . - .

# # ,. à -.ßÈ È

sumando miembro a miembro estas 6 expresiones y factorizando convenientementeobtenemos

Š ‹È È ÈÈ È È È a b+ , - . +, ,- -+ Ÿ + , - .$#

25. Demostrar para reales positivos y distintos entre si, que:Bß Cß D

a) a b a ba ba bB C D #( B C D C D B D B C$

b) BCD B C D C D B D B Ca ba ba bDemostración.

a) Préviamente demostraremos a b a b+ , - #( +,- "$

lo que resulta de inmediato pués +,-$

$ +,- Í + , - #( +,-È a b$

Ahora haciendo en resulta+ œ B C Dà , œ C D Bà - œ D B C "a b .a b a ba ba bB C D #( B C D C D B D B C$

b) Préviamente demostraremos a ba ba b+ , , - - + ) +,-

que también resulta de aplicar pués para positivosQÞEÞ QÞKÞß +ß ,ß -

+ , , - - +

# # # +, à ,- à -+È È È

multiplicando miembro a miembro, se tiene a ba ba b a b+ , , - - + ) +,- #

Ahora de la parte a) y + , œ #Cà , - œ #D - + œ #Bß

finalmente en y simplificando, se tienea b# .BCD B C D C D B D B Ca ba ba b

26. Si demuestre que la expresiónB C D !ß

es positiva.E œ B B C B D C C D C B D D B D C# # #a ba b a ba b a ba bDemostración.

E œ B C Ò B B D C C D Ó a b a b a b# # D D B D C#a ba b œ B C ÒB C B D C D Ó D D B D Ca b a ba b$ $ # # #

œ B C Ò B BC C BD CD Ó D B D C Da b a ba b# # # #

œ B C Ò B B D C C D BC Ó D B D C Da b a b a b a ba b# #

Expresión que resulta positiva pués por hipótesis se tiene .B C D !

27. Si demostrar que+ß ,ß - − ß‘

# + , - + , - + , - "& +,-a ba b# # # $ $ $

Demostración.

Aplicando es fácil demostrar que:QÞEÞ QÞKÞ

y de donde+ , - , - + - + , '+,- + , - $+,-ß# # # $ $ $a b a b a b y#+ , - #, - + #- + , "#+,-# # #a b a b a b ahora sumando miembro a miembro#Ð+ , - Ñ + , - $+,-ß$ $ $ $ $ $

# + , - "& +,-a b+ , - + , - , - + - + ,$ $ $ # # #a b a b a b $ $ $

finalmente de aquí, # + , - + , - + , - "& +,-a ba b# # # $ $ $

28. Si distintos entre si, demostrar que+ß ,ß - − ‘

a ba b+ , - + , - Ð+ , - Ñ$ $ $ # # # #

Demostración.

Aplicando la desigualdad de Cauchy- Schwarz a los números:

B œ + ß B œ , ß B œ - à C œ + ß C œ , ß C œ - ß" # $ " # $$ $ $È ÈÈ È È È

se tiene de inmediato

a ba b+ , - + , - Ð+ , - Ñ$ $ $ # # # #

29. Si son reales positivos tales que, + ß + ß Þ Þ Þ Þ ß + + † + † † † † + œ "" # 8 " # 8

demostrar que a ba b a b" + " + † † † † " + #" # 88

Demostración.

Como: de aquí "+3# 3 3 3 + ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 " + # +È Èa b

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se tiene8

a ba b a b È" + " + † † † † " + # + + † † † † + œ #" # 8 " # 88 8

30. Si demostrar+ + +$ # "

l B + l l B + l l B + l + +" # $ "$

¿Para que valores de se cumple la igualdad?B

Demostración.

l B + l l + B l l + + l" # # "

l B + l l + B l l + + l# $ $ #

sumando miembro amiembro:l B + l l + B l l + + lß$ " " $

# l B + l l B + l l B + l l + + l l + + l l + + lßa b" # # " $ # " $$

aplicando las hipótesis se tiene:

# l B + l l B + l l B + l + + + + Ð+ + Ñ œ # + +a b a b" # # " $ # " $ $ "$

luego l B + l l B + l l B + l + +" # $ "$

La igualdad se cumple para B œ + Þ#

31. Si demostrar que8 − ß 8 "à

a) a b8 " # 8x8 8

b) a b ˆ ‰8x 8$ 8 8"#

#8

Demostración.

a) Aplicando la desigualdad notable a los primeros númerosQÞE QÞKÞ 8Þpares, se tiene

# % ' † † † #8

8 # † % † ' † † † #8 ÍÈ8

# " # † † † 8 8 # " † # † † † † 8 Í 8 " # † 8xa b a b a bÈ È8 88 8

Í a b8 " # 8x8 8

b) Analogamente

" # † † † 8 " "

8 8 # " † # † † † 8 Í Ò 8 8 " Ó 8x

$ $ $$ $ $ # $È a b a bÉ8 8

8Ò 8 " Ó 8x Í 8x 8 Þ" 8 "

# #a b a b a bÉ Œ # 8$ $

#88


" † † † # " " " "

# $ 8 8# # #

Demostración.

Observando que: " " " "

8 8 8 " 8 " 8 œ ß 8 "

# a b se tiene:

" "

# # "

#

" " "

$ # $

#

† † † † † † †

" " "

8 8 " 8

#

sumando miembro a miembro y agregando a ambos miembros, se recibe"

" † † † # " " " "

# $ 8 8# # #

33. Si demuestre que:+ß , − ß + Á ,à‘

È È8 8"+ , + ,8 8 8" 8"

Demostración.

a b a b a b a b a b+ , œ + , + , œ + , + + , ,8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88" " " "8 8 8 8

+ , œ + ,a b a b8 8 8" 8"" "8 8

por tanto a b È È+ , + , Í + , + ,8 8 8" 8" 8 8 8" 8"8"8 8 8"


a b8 " # 88" 8" 8

Demostración.

Tomando la sucesión: y + œ ß + œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß + œ + œ" " " "

8 8 8 8" 8"# 8

y aplicando QÞEÞ QÞKÞ

ˆ ‰ Ê Ê" " " "8 8 8 8 † † † " "" " "

8 8 8† † † †

8 " 8 " 8 Í

8 † "8" 8"

8

Í Í Í 8 " # 8# " # "

8 " 8 88 "Ê a b a b8"

8 8

8"

8"8" 8" 8

35. Si demostrar que8 − ß

# " 8 #8 8"ÈDemostración.

Como es habitual aplicamos a la sucesión: QÞEÞ QÞKÞ "ß #ß # ß Þ Þ Þ ß ## 8"

" # # † † † #

8 " † # † # † † † # Í

# 8"# 8"È8

"

## " Ò# Ó Í # " 8Ò # Ó Ía b8 "# † † † Ð 8"Ñ 8 8 8"" " "

8 # 8a b

# " 8# Í # " 8 #8 8" 8 8""# a b È

36. Si demostrar que8 − ß

" " † $ † & † † † #8 "

# # † % † ' † † † #8Ÿ "Ê a b8

Demostración.

Para 8 " Í 8 " ! Í #8 " 8 Í "#8 " "

#8 #a b

por otra parte " ! Í #8 " #8 Í #8 #8 " Í " ##8 "

#8a b

De y se tiene: ahora dando valores a obtenemos:a b a b" # Ÿ "ß 8ß" #8 "

# #8

" "

# #Ÿ "

" $

# #Ÿ "

† † † † † † †

" #8 "

# #8Ÿ "

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

Œ a b a bÊ" " † $ † & † † † #8 " " " † $ † & † † † #8 "

# # † % † ' † † † #8 # # † % † ' † † † #8Ÿ " Í Ÿ "

88

37. Si demostrar que8 #ß

Ò 8 " Ó 8x"#

8a bDemostración.

De inmediato " # † † † † 8 8 "

8 # " † # † † † † 8 Í 8xÈ a b8

"8

Í Ò 8 " Ó 8x"#

8a b

38. Si y demostrar que 8ß 5 − 8 5 "ß 8x 8 a b# 8

Demostración.

8 5 • 5 " ! Ê 8 5 " 5 5 " Í 85 8 5 5 Ía b a b #

85 5 5 8 Í 5 8 5 " 8ß# a b de donde dando valores a obtenemos:5

" † 8 8

# † 8 " 8a b $ † 8 # 8a b † † † † † † † † † †

8 " 8

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

( ) " † # † † † † 8 8 8 " 8 # † † † # † " 8 † 8 † † † † 8 Í 8x 8x 8 Ía ba b 8

a b8x 8 Þ# 8

39. Si demostrar que8ß < − ß™

ˆ ‰ ˆ ‰" " < <8 8"

8 8"

Demostración.

Sea la sucesión: + œ "ß + œ + œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß + œ " " # $ 8"<8

y aplicando se tieneQÞEÞ QÞKÞ

" " " † † † "

8 " 8 8 8 " " † † † "

< < <ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ÊŠ ‹Š ‹ Š ‹< < <8 8 8 8"

Í " Í " " 8 "

8 " 8 8 " 8

< " 8 < <ˆ ‰ Ê ÊŠ ‹ Š ‹<8

8 88" 8"

Í " " Í " " < < < <

8 " 8 8 8 "ÊŠ ‹ Š ‹ Œ 8"

8 8 8"

40. Sean reales positivos y su suma. Demuestre que+ ß + ß Þ Þ Þ Þ Þ ß + W" # #!

"3œ"

#!

3

"*W

+ WŸ %!!

Demostración.

Aplicando , como sigue a continuaciónQÞEÞ QÞKÞ

W+ W+W W W

W+

W W WW+ W+ W+

" # #!

" # 8

† † † †

#!

#!

† † † †

#!W Ð+ + Þ Þ Þ Þ Þ + Ñ #!

#!W

W

W +

" # #!

3œ"

#!

3

"

"*W #! W %!! "*W

#!W W + "* + W Í Í Ÿ %!!

W

W +"

" "3œ"

#!

3

3œ" 3œ"

#! #!

3 3


1. Para y números reales, averiguar el valor de verdad de las siguientes+ ,afirmaciones

a) Si b) Si + œ #, Ê + , +, + , Ê + $+ , ," "% %

# # a bc) Si d) + ! • , ! Ê + , +, + , # +,"

## #a b È

Respuesta.

a) Falsa; b), c) y d) Son verdaderas.

2. Si so reales positivos tales que . Demuestre que +ß ,ß -ß . + - + + - -

, . , , . .

3. Si , demuestre que +ß , − + , Ÿ + ,‘ È È È4. Si y distintos, demuestre+ß , − ‘

+ , + , +,% % $ $

5. Sean reales positivos, demuestre que:+ß ,ß -

a) + ,

, + #

b) + + #" "

+ +$

$

c) a b a b+ , - % +, ,- -+#

d) a ba b+ , - , - + Ÿ -#

6. demuestre que a + !ß + + " "

+ +$ #

$ #

7. , demuestre que:a + − ‘

a) b) c) + # + " + % "

+ " # Ÿ Ÿ

" + # #+ "

# #

# % #È a b8. Si reales positivos, demuestre que:+ß ,ß -

a) a ba ba b+ , , - - + )+,-

b) a b a b+ , - $ +, ,- -+#

c) a b a b a b+ , - , - + - + , +, ,- -+# # #

d) + " , , " - - " + '+,-# # # # # #a b a b a b e) +, + , ,- , - -+ - + Ÿ # + , -a b a b a b a b$ $ $

f) a ba b+ , - +, ,- -+ *+,-

g) + , - #+, #,- #-+

+ , , - - +

9. Si reales positivos, demuestre que:+ß ,ß -ß .

a) + , - .

, - . + %

b) -. + , Ÿ +. ,- +- ,.a b a ba b#

c) + , - . %+,-.% % % %

d) a b a b+ , - . Ÿ "' + , - .$ $ $ $ $

e) a b+ , - . )"+,-.# # # # #

10. Si son reales positivos tales que, demuestre que+ß ,ß -ß . W œ + , - .

)" +,-. Ÿ W + W , W - W .a ba ba ba b11. Si demuestre que+ , - œ B C D œ "ß# # # # # #

+B ,C -D Ÿ "

12. Si y son reales positivos tales que , demuestre que+ , + , œ "

i) %+, Ÿ "

i) + , "

)% %

iii) Œ Œ + , " " #&

+ , #

# #

13. Si demostrar que+ !ß

691 + Ÿ 8 + "ˆ ‰È814. Si Si , demuestre que+ß , − ‘

# + , + , + ,a b a ba b* * % % & &

15. Si reales positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 8, entonces+ß ,ß -

+ , - "'$ $ $ #$

É16. Si reales positivos tales que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero,+ß ,ß -

demuestre

a ba ba b+ , - , - + - + , +,-

17. Demostrar que para todo 8 − ß se tiene que:

a) ( ) b) " † # † † † † 8 Ÿ " † # † † † † 8 Ÿ # Ð Ñ8" 8# #

8 8"

18. Demostrar que para todo entero positivo se tiene:

a) È È È È8 " 8 8 8 ""# 8È

b) # 8 # " † † † †È "

#È # 8 ""8È È

19. Si están en demostrar+ß ,ß - T ÞLÞß

[ + , - ,

#+ , #- , Ó %

20. Pruebe las siguientes desigualdades, para todo reales:Bß C

a) B BC C !# #

b) B B C † † † † B C C !ß 8 −#8 #8" #8" #8

c) a b a bB C Ÿ '% B C( ( (

21. Si la suma de números positivos es constante, demostrar que su producto es8máximo cuando dichos números son iguales.

22. Si con reales positivos. Demuestre que+ , - œ " +ß ,ß -

a) a ba ba b" + " , " - )+,-

b) el mínimo valor de es " " "

+ , - *Þ

23. Sea demuestre que8 − ß 8 "à

" "

# $8 " Ð" † # † † † † 8 #8 "a b a b" # 8Ñ

#8 8"a b

Ayuda: Aplique a los númerosQÞEÞ QÞKÞ QÞLÞ

"ß #ß #ß $ß $ß $ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß 8ß Þ Þ Þ Þ ß 8

24. Sea demuestre que8 − ß 8 "à

# $8 † # "#8 8"

Ayuda: aplique a los númerosQÞEÞ QÞKÞ

%ß % ß % ß Þ Þ Þ Þ ß %# $ 8

25. Sea demuestre8 − ß

a b a b#8 x # 8x#8 #

Ayuda: ocupe el teorema del binomio

7.5. Inecuaciones

Definición "

Una inecuación es una relación de desigualdad para una o más variables reales, quepuede ser verdadera o falsa según sean los valores que puedan tomar dichasvariables.

Nota ."

En este texto solo abordaremos las inecuaciones con una variable real,eventualmente lo haremos también con dos variables.

Notación.

Una inecuación de una variable real la denotaremos por:

0 B ! ” 0 B ! ” 0 B Ÿ ! ” 0 B !a b a b a b a bDe la solución.

Supongamos una inecuación de la forma 0 B ! "a b a b

Resolver esta inecuación es, determinar un conjunto de números reales para loscuáles sea verdadera.a b"

Por tanto con es solución de si y solo si B œ +ß + − " 0 + !‘ a b a bDefinición 2

Dos inecuaciones son equivalentes si y solo si toda solución de una de ellas essolución de la otra.

Teorema 1

Las inecuaciones:

a) 0 B 1 B • 0 B 2 B 1 B 2 Ba b a b a b a b a b a b b) con 0 B 1 B • 0 B 2 B 1 B 2 B ß 2 B !ß a B −a b a b a b a b a b a b a b ‘

c) con 0 B 1 B • 0 B 2 B Ÿ 1 B 2 B ß 2 B !ß a B −a b a b a b a b a b a b a b ‘

d) con l0 B l Ÿ 1 B • 1 B Ÿ 0 B Ÿ 1 B ß 1 B !ß a B −a b a b a b a b a b a b ‘

e) l0 B l 1 B • Ö 0 B Ÿ 1 B ” 0 B 1 B ×a b a b a b a b a b a b son equivalentes.

Demostración.

Se dejan propuestas.

Observación 1

En general, tal como para las ecuaciones no hay un método único para resolver unainecuación, todo depende de la destreza algebraica y de la aplicación adecuada delos teoremas y definiciones precedentes.

Nota 2.

módulosLas inecuaciones conteniendo se resuelven aplicando la definición demódulo y en algunos casos aplicando el teorema precedente incisos d) o e).

Método de los puntos críticos.

Una gran parte de las inecuaciones que resolveremos lo haremos por el siguientemétodo, el cuál hemos llamado para el que,método de los puntos críticos daremos el siguiente algoritmo.

Resolver: 0 B ! ” 0 B ! ” 0 B Ÿ ! ” 0 B !a b a b a b a b 1) Se determinan los puntos críticos de 0 B Þa b

Se dice que es un punto crítico de si y solo si no B 0 B 0 B œ ! ” 0 B! ! !a b a b a bexiste.

2) Se ordenan todos los puntos críticos obtenidos en el eje real.

Si es el caso de un punto crítico de: 0 B ! ” 0 B Ÿ !a b a b tal que 0 B œ !a b!dicho punto debe considerarse en la solución.

Si es el caso de un crítico de: , estos aparecen en el eje real0 B ! ” 0 B !a b a bcomo referencia, no deben estar en la solución.

Si es un punto crítico tal que existe, dicho punto en ningún caso debe0 Ba b! no considerarse en la solución.

3) Se determinan los signos de en los intervalos determinados entre puntos0 B ßa bcríticos.

4) Si la inecuación en cuestión es: 0 B ! ” 0 B !a b a b la solución seencuentra en los intervalos señalados con signo a b Þ

la solución se encuentraSi la inecuación en cuestión es: 0 B Ÿ ! ” 0 B !a b a ben los intervalos señalados con signo a b Þ

Debe considerarse para la solución lo expuesto en el inciso 2).

Inecuaciones de 2° grado

Sea y su discriminante 0 B œ +B ,B -ß + Á ! œ , %+-a b # #?

y sean también y sus raíces reales. B B B B" # " #a b I) i) + ! • !à 0 B ! Í B B ” B B? a b " #

ii) 0 B ! Ía b B B B" #

II) + ! • œ !à 0 B ! Í aB − ß B Á B œ B? ‘ i) a b " #

ii) Ningún 0 B ! Í BÞa b III) + ! • !à 0 B ! Í aB −? ‘ i) a b Ningún ii) 0 B ! Ía b BÞ

IV) i) + ! • !à 0 B ! Í B B B? a b " #

ii) 0 B ! Í B B ” B Ba b " #

V) + ! • œ !à 0 B ! Í BÞ? i) Ningún a b

ii) 0 B ! Ía b aB − ß B Á B œ B‘ " #

VI) i) Ningún + ! • !à 0 B ! Í BÞ? a b ii) 0 B ! Ía b aB − ‘.


1. Resolver en ,™

(B # #B &

% # " B

Solución.

(B # % %B "! %B Í (B # )B "! Í B "#

luego la solución en ™, resulta: Ö ""ß "!ß *ß Þ Þ Þ ×

2. Resolver en , el sistema:‘

)B & ""&B )

#a b

# #B $ &B #$

%a b a b

Solución.

Resolvemos y en forma independiente y sus soluciones se intersecan entrea b a b" #si, en efecto:

a b" À "'B "! "&B ) Í B # Ê W œ ÖB − Î B # ×" ‘

a b# À "'B #% #!B $ Í B Ê W œ ÖB − Î B ×#" #"% %# ‘

luego Sol. œ W W œ g" #

3. Resolver en , el sistema de inecuaciones:‘ &

" $

B B "a b

B B

$ # " # #a b

" B " ! $"

&a b a b

! B " B " %" "

( *a b a b a b

B Ÿ B &( $

$ (a b

Solución.

a b" À B !à B !" $

B B Í B $B Í note que se ha multiplicado por #

a b# ÀB B ")

$ # & " # Í #B ' "# $B Í B

a b$ À & B " ! Í B %" B " ! Í"

&a b

a b a b a b% À ! B " B " Í ! *B * (B ( Í B )" "

( *

a b& À B Ÿ B Í %*B Ÿ * #"B Í B ( $ *

$ ( (!

luego intersecando estas soluciones resulta ß W œ ÖB − Î Ÿ B ! ×‘ *(!

4. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones:

a) ÐB $B %Ñ B " !# #a b b) lB "l #B B Ÿ !# #a b c)

#B #

B $B B %

#

d) #B " "

B B " B " Ÿ !

# $

e) B $ $

B %B & " B " Ÿ

#

#

Solución.

a) Como B " ! ÐB $B %Ñ # #esto obliga a que 0 sus puntos críticos son

y 4 " Ê ì ì Sol. .Ê œ Ð _ß " Ó Ò %ß_Ñ " %

b) Tambien como 0 lB "l Ê #B B Ÿ ! Ê# #a b ì ì 0 2 Sol. œ Ð _ß ! Ó Ò #ß_Ñ Ö"×

Notemos que en la solución hemos incluído al pués el módulo tambien se"ß

se anula para él y en la solución indicada no está indicado.

c) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene %B "#B&B $B

#

# ! sus puntos

críticos son y 0 À $ß ß Ê5# #

" ‰ ‰ ‰ ‰

$ !& "# #

Ê œSol. Œ Œ $ß ß !& "

# #

d) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene sus puntos BÐ#B "Ñ

B "Ÿ !

$

críticos son: y !ß " Ê Ê"

# ì ì ‰

0 1"#

Sol. .œ Ð _ß ! Ó Ò ß "Ñ"#

e) Primero resolvemos , para luegoB $ $

B %B & " B " " Ÿ

#

# y luego

intersecar sus solucionesÞ

De la primera inecuación se tiene , único crítico # #B " "

B %B & # !

a b#

pues es siempre positivo por tanto Sol.B %B & ! ß " œ Ð ß_Ñ"

## a b a b?

Para la segunda inecuación B #

" B ! Ê Ê ì ‰

# "

Sol.a b# œ Ò #ß "Ñ

Finalmente intersecando la solución y se obtiene, Sol. ( ) a b a b" # œ ß " Þ"

#

5. Resolver en , el sistema:‘

B " B " "È a b

( '

B " B " Ÿ & #

#a b

Solución.

a b" À Las condiciones previas antes de elevar al cuadrado son:

ÐB " ! • B " !Ñ Í ÐB " • B "Ñ Í B " ‡a bBajo esta condición y elevando al cuadrado resulta B #B " B " Í#

intersecando conB B $ ! Ê Ê ÐB ! ” B $Ña b ‰ ‰ ! $a b‡ W œ ÖB − Î B $ ×resulta " ‘

Después de las simplificaciones correspondientes obtenemosa b# À

a ba ba ba bB # &B $

B " B " ! Ê ‰ ñ ‰ ñ Ê

" " #$&

W œ ÖB − Î B " ” Ÿ B " ” B #×$

&# ‘

De donde Sol. œ W W œ ÖB − Î B $ ×Þ" # ‘

6. Determine los signos de

0 B œ % "

B # B "a b

Solución.

Note que los signos de se refiere a; para que valores de0 B œ 0$ B #

B # B "a b a ba ba b

B 0 B ! 0 B !: o bien por tanto se tiene dea b a b ‰ ‰ ñ Ê 0 B ! Í Ð # B " ” B #Ñàa b

# " # 0 B ! Í ÐB # ” " B #Ña b7. Resolver

a) 6

¸ ¸#B "

Bœ %

b) ¸ ¸#B "

BŸ %

6c) l B " l #B l B $ l

Solución.

a) #B " #B " #& #$

B B ' #œ % ” œ % B œ ” B œ

6 6de donde se obtiene

b) ¸ ¸#B " #B "

B BŸ % Í % Ÿ Ÿ %

6 6Ê

Sol. 6#B " 'B #& #&

B ' B 'Ÿ % Í Ÿ ! Ê " œ Ð _ß Ó Ð'ß_Ña b

Sol. luego6

% Ÿ Í ! Ê # œ Ð _ß 'Ó Ð ß_Ñß#B " #$ #B #$

B ' B #a b

Sol Sol Sol. .œ " # œ Ð _ß Ó Ð ß_Ñ#& #$

' #a b a b

c) Puntos críticos de los módulos y 1, luego $

, luegoa B Ÿ $ Ê B " #B B $ Ê B #a b a b Sol.a b a bB Ÿ $ • B # Ê " œ Ð _ß $Ó

luegoa $ B Ÿ " Ê B " #B B $ Ê B ß"

#a b

Sol.Œ a b $ B Ÿ " • B Ê # œ Ð $ß Ó" "

# #

luego la intersección de ésteaB " Ê B " #B B $ Ê B #ßa b a b tramo es vacía.

Finalmente la solución es Sol. Sol.a b a b" # œ Ð _ß ÓÞ"

#

8. Hallar los reales tales queBß

" $B &

B #¸ ¸

Solución.

I. ¸ ¸B & B & B & B &

B # B # B # B # $ Í $ $ Í Ð $ • $ Ñ

a b" À $ Í ! ÊB& ""#BB# B# ‰ ñ Ê ÐB # ” B Ñ W""

# "a b # ""

#a b a b# À $ Í ! Ê Ê ÐB ” B # Ñ WB& %B" "B# B# % # ‰ ‰

"% #

luego: Sol. Ia b œ W W œ Ð _ß Ñ Ð ß_Ñ" ""

% #" #

II. ¸ ¸B & B & B &

B # B # B # " Í Ð " ” "Ñ

a b$ À " Í ! ÊB & #B $

B # B # ‰ ‰ Ê Ð B #Ñ W

$

#a b$

#$#a b a b% À " Í ! Ê ÐB # Ñ W

B & (

B # B #%

Por tanto: Sol. IIa b œ W W œ Ð ß #Ñ Ð#ß_Ñß$

#$ %

Finalmente Sol. Final Sol. I Sol. IIœ œ Ð ß Ñ Ð ß_ÑÞ$ " ""

# % #a b a b

9. Resolver el sistema:

¹ ¹ a bB # B # "

B $ $B B $ "

#

a b a b#B " B " "

B &B ' B # #

#

Solución.

a b ¹ ¹" À Í B # B # " " B # B # "

B $ $B B $ $ B $ $B B $# #de donde

I. puntos críticos:B # B # " #ÐB $B $Ñ

B $ $B B $ $B B $ Í !ß

#

#

a b y luego; $ß !Þ(*ß ! $Þ(* Ê ‰ ‰ ‰ ‰

$ !Þ(* ! $Þ(* Sol. Ia b œ Ð $ß !Þ(*Ñ Ð!ß $Þ(*ÑÞ

II. puntos críticos: Í !ß $ß ß" B # B # %B ' $

$ B $ $B B $B B $ ##

#

a b Ê!ß ÊÉ $

# luego; ‰ ‰ ‰ ‰

$ !É É$ $# #

Sol. IIa b É Éœ Ð _ß $Ñ Ð ß !Ñ Ð ß_Ñ$ $# #

Así: Sol. Sol. I Sol. IIa b a b a b Ê Ê" œ œ Ð ß !Þ(*Ñ Ð ß $Þ(*ÑÞ$ $

# #

a b a ba ba b a ba ba b# À Í ! Ê B # B $ !#B " B " " # B "

B &B ' B # B # B $#

#

pués por tanto Sol.B " ! Ê # œ Ð _ß #Ñ Ð$ß_Ñ# ‰ ‰ a b # $

Luego: Sol.Final Sol. Sol. 9).œ " # œ Ð ß !Þ(*Ñ Ð ß #Ñ Ð$ß $Þ(a b a b É É$ $# #

10. Probar que la inecuación

lB &l l" Bl %

no tiene solución.

Prueba.

Aplicando la definición de módulo, considerando los puntos críticos 1 y se tiene:&ß

Si con lo que enB " Ê ÐB &Ñ Ð" BÑ % Í #B ' % Í B "este caso no hay solución posible pués se contradice con la condición inicial.

Si que no es posible." Ÿ B Ÿ & Ê ÐB &Ñ Ð" BÑ % Í % %ß

Si 0 también contradicción.B & Ê ÐB &Ñ Ð" BÑ % Í #B " Í B &ß

luego se h a probado que la inecuación no tiene solución.

11. Hallar los valores de que hacen reales las raíces de la ecuación5ß

5B # 5 " B 5 " œ !# a bSolución.

Para obtener raíces reales, debe cumplirse que de donde? œ , %+- !ß#

4a b a b5 " % 5 " 5 ! Í $5 " ! Í 5 # "$

12. Determine los valores de de modo que: 7 0 B œ 7B 7 7 " B #7ßa b a b#

sea negativo a B − Þ‘

Solución.

0 B !ß a B − Í Ð+ ! • !Ñß 0 B œ +B ,B -a b a b si por tanto:‘ ? #

7 ! " ß • 7 7 " )7 ! Í 7 7 #7 ( !ß comoa b a b a b# # # ##

7 ! Ê 7 #7 ( ! " # # " # ## # puntos críticos: y luegoÈ È ‰ ‰ Ê Ð" # # 7 " # # Ñ # ßÈ È a b

" # # " # #È È Intersecando y obtenemos {a b a b È" # 7 − Î " # # 7 !×Þ‘

13. Hallar los valores de para que la expresión7

a b a b7 " B # 7 $ B 7 $#

se cumpla a B − Þ‘

Solución.

Se debe tener que a b a b7 " B # 7 $ B 7 $ !ß a B − Þ# ‘

Si entonces ( luego0 B œ 7 " B # 7 $ B 7 $ + ! • !Ña b a b a b# ?

7 " ! Í 7 " " ß • % 7 $ % 7 " 7 $ ! Ía b a b a ba b#

# 7 $ ! Í 7 $ # ßa b a b Intersecando y obtenemos {a b a b" # 7 − Î 7 $×Þ‘

"%Þ Resolver el sistema:

B "

B 'B "!Ÿ " "

#

#a b

691 B #B # " #"!ˆ ‰ a b#

Solución.

a b" À Ÿ " Í Ÿ ! ÊB " 'B *

B 'B "! B 'B "!

#

# #

puntos críticos: ß $ "*ß $ "* Ê Ê$

#È È ñ ‰ ‰

$ "* $ "*$#

È ÈSol.a b" œ Ð _ß Ó Ð

$

#$ "*ß $ "*ÑÈ È

solo si a b a b# À 691 B #B # " Í B #B # "! B #B # !"!

# # #

puntos críticos: luegoB #B # "! Í B #B ) ! Ê #ß %# #

y , pués ‰ ‰ Ê Ð #ß %Ñ à B #B # ! a B −a b a b! ‘ "#

# %( por tanto + ! • !Ñ œ Ð #ß %ÑÞ? ! "Sol.a b# œ a b a b

finalmente Sol. œ Ó Ð$

#Sol. Sol.a b a b" # œ Ð #ß $ "*ß %ÑÞÈ

15. Para que valores de la ecuación5ß

a b a b5 # B # 5 # B #5 " œ !#

tendrá al número en el intervalo determinado por sus raíces."ß

Solución.

Sea concretamente se pueden dar dos0 B œ 5 # B # 5 # B #5 "a b a b a b#

casos:

I) II) 5 # ! • 0 " ! 5 # ! • 0 " !a b a b I) caso que no da solución.5 # • &5 ( ! Í 5 # • 5 ß(&

II) que és la solución.5 # • &5 ( ! Í 5 #ß(&

16. Resolver

a) B &B ' B %

B (B "# B $

#

#

b) B B

# B " B B

B (B "

B " B #

$ # "(

# % #

#

# #

ˆ ‰È a b

a ba bŠ ‹È

Solución.

a) puntos críticos: B &B ' B % B "!

B (B "# B $ B % B $ Í !ß "!ß $ß %

#

# a ba bÊ œ Ò "!ß $Ñ Ð%ß_Ñ ñ ‰ ‰ Ê Sol.

"! $ %

b) B B B B ( ÐB Ñ

# B " B B Í !

B (B "

B " B # B " B #

$ # # #" "( (

# % #

#

# # # #

ˆ ‰È a b

a ba b a bŠ ‹ Š ‹È È

a b

Puntos críticos: por tanto resulta!ß (ß ß ß (È ÈÉ É" "( (

‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Ê

( ! (È ÈÉ É" "( (

Sol. œ Ð _ß (Ñ Ð ß !Ñ Ð ß ( ÑÈ ÈÉ É" "( (

17. Para que valores de las raíces de la ecuación tiene:7 œB $B 7 "

#B " 7 "

#

a) Raíces reales y distintas.

b) Raíces reales y ambas positivas.

c) Raíces reales de signo contrario, siendo negativa la mayor en valor absoluto.

Solución.

a) Notemos que la ecuación es igual a: a b a b a b7 " B &7 " B 7 " œ !#

Para que la ecuación dada tenga raíces reales y distintas se debe tener Ð+ Á !

• !Ñß? por tanto:

+ œ 7 " Á ! Í 7 Á "à œ &7 " % 7 " ! Í? a b a b# #

La ecuación siempre tiene raíces#"7 "!7 & œ ! Ê œ $#! Ê# ?

reales, luego solo .7 Á "

b) Sean y las raíces de la ecuación, considerando a) se tiene B B 7 Á "" #

y de donde se obtienen:ÐB B œ ! • B B œ !Ñ7 " &7 "

7 " 7 "" # " #

( (7 " ” 7 "Ñ • Ð7 " ” 7 Ñ Í 7 " ” 7 "Ñ"

&

c) Además de , siendo las raíces de la ecuación, entonces:7 Á " B ß B" #

B † B œ ! Ê " 7 "7 "

7 "" #

así resulta: B B œ ! Ê " 7 ß " 7 &7 " " "

7 " & &" #

18. Resolver el sistema:

lB "l l#B $l

$B % ! "a b

lB Bl B " ## a bSolución.

a b" À lB "l l#B $l • $B % !Podemos considerar dos casos: i) 0

ii) 0 lB "l l#B $l Ÿ • $B % !

i) Notemos que si 0$B % ! Í B Ê ÐB "Ñ Ð#B $Ñ Í B Ÿ %%

$

por tanto Sol iÐB • B Ÿ %Ñ Ê g œ gÞ%

$a b

ii) elevando al cuadrado se recibe ,lB "l Ÿ l#B $l $B "%B ) !#

puntos críticos y % Ê Ê ÐB Ÿ % ” B Ñ# #$ $ ñ ñ

% #$

intersecando con resulta Sol iiB œ Ð _ß %Ó Ò ß Ñ% # %

$ $ $a b

Luego Sol. Sol i Sol iia b a b a b" œ œ Ð _ß %Ó Ò ß ÑÞ# %

$ $

a b# À lB Bl B " Í lB Bl " B Í# #

laÐB B B " ” B B " BÑ Í Ò ÐB "Ñ ! ” B " ! Ó# # # #

primera inecuación conduce a , y la segunda a g ÐB " ” B "Ñß

por tanto: Sol. .a b# œ Ð _ß "Ñ Ð"ß_Ñ

Finalmente, Sol. Final Sol. Sol.œ " # œ Ð _ß %Ó Ð"ß ÑÞ%

$a b a b

19. Para que valores de los trinomios y B 0 B œ B B ' 1 B œ B &B %a b a b# #

tienen distinto signo.

Solución.

Se debe tener 0 B 1 B ! Ê ÐB B 'ÑÐB &B %Ñ ! Ía b a b # #

a ba ba ba bB # B $ B " B % !ß #ß "ß $ Êpuntos críticos: y 4

Sol. ‰ ‰ ‰ ‰ Ê œ Ð #ß "Ñ Ð$ß %ÑÞ # " $ %

20. Sean y dos funciones definidas en .0 B œ lBl B 1 B œ B "a b a bÈ È ‘Encuentre el dominio de 1 ‰ 0Þ

Solución.

De inmediato lo que exige, quea ba b a ba b ˆ ‰È1 ‰ 0 B œ 1 0 B œ 1 lBl BÈlBl B ! Ê lBl B ! Í lBl B Ê aB − ß‘ luego

de aquí se debe tener 0 1 lBl B œ lBl B " ß lBl B " Íˆ ‰È È ÈÉ como ambos términos son positivos podemos elevar al cuadrado,ÈlBl B "ß

obteniendose ( ), de la primeralBl " B Í B Ÿ " B ” B " Ba b inecuación se tiene y la segunda inecuación no aporta más soluciones,B Ÿ "

#

por tanto el Dom.0 œ ÖB − Î B Ÿ ×Þ‘ "#

#"Þ 0 ß 0 B œ ß a B Á „ "#

lBl "Determine el recorrido de la función definida por a b

Solución.

Como, pero como 0, ; entoncesC œ Í lBl œ ß lBl aB −# # C

lBl " C‘

# C

C #ß ! Ê Ê0, puntos críticos: ñ ‰

# ! Rec.0 œ ÖC − Î C Ÿ # ” C ! ×Þ‘

22. Resolver

lB Bl lBl lB "l !#

Solución.

La inecuación se puede expresar como , puntoslBllB "l lBl lB "l !críticos para aplicar la definición de módulo, son: 0 y 1.

Para B Ÿ ! Ê B Ò B " Ó B B " ! Í B B " ! Êa b a b a b #

pero como entonces ñ ñ Ê ÐB Ÿ ” B Ñ B Ÿ !" & " &# #

È È " & " &

# #

È È

queda B Ÿ " à" &#

È a b Para ! B Ÿ " Ê B " B B B " ! Í B $B " Ÿ ! Êa b #

ñ ñ Ê Ò Ð$ & Ñ B Ð$ &ÑÓ" "# #

È È pero como ! B Ÿ "

$ & $ &# #

È È

entonces queda "# Ð$ & Ñ Ÿ B Ÿ # àÈ a b1

Para lo que es verdadB " Ê BÐB "Ñ B ÐB "Ñ ! Í B B " !#

, pués luego solo queda a B − + œ " ! • ˜ !ß B " $ Þ‘ a b Finalmente uniendo y se tiene Sol.a b a b a b" ß # $ œ Ð _ß Ó Ò ß_ÑÞ" & $ &

# #

È È

23. Determinar para que valores de se verifica5ß

$ #ß a B −B 5B #

B B "

#

#‘

Solución.

a b" À $ Í !ßB 5B # %B Ð5 $ÑB "

B B " B B "

# #

# #ahora como

, se debe tener B B " !ß a B − Ê %B Ð5 $ÑB " ! Ð + ! •# #‘

esto es ? ? !Ñ + œ % ! • œ Ð5 $Ñ "' ! Í 5 ( 5 " !ß# a ba b de donde se obtiene Sol.a b" œ Ö5 − Î " 5 ( ×Þ‘

se debe tener tambiéna b a b# À # Ê B 5 # B % !ßB 5B #

B B "

#

##

por tanto Ð + ! • !Ñ + œ " ! • œ 5 # "' ! Í? ? a b# de donde a ba b5 # 5 ' ! œ Ö5 − Î ' 5 # ×Þ# ‘

Finalmente Sol. Final Sol. Sol. œ " " œ Ö5 − Î " 5 # ×Þa b a b ‘

24. Sean y si si

si si

0 B œ 1 B œB B Ÿ "

B " B "B " ! Ÿ B Ÿ "

B # B ! ” B "a b a bœ œÈ

#

Encuentre y a ba b a ba b0 ‰ 1 B 1 ‰ 0 B Þ

Solución.

si 0

si 1

si

si si

si

a ba bÚÝÝÝÛÝÝÝÜ

È È ÈÈœa b

0 ‰ 1 B œ

0Ð B "Ñ Ÿ B Ÿ "B " B " Ÿ

B B " "

0ÐB #Ñ B ! ” B "B # B # Ÿ "

B # " B # "#

Ahora: (0 1) Ÿ B Ÿ " • B " Ÿ Ê B œ !È (0 1) Ÿ B Ÿ " • B " Ê ! B Ÿ "È ÐB ! ” B " • B # Ÿ "Ñ Ê B Ÿ "

ÐB ! ” B " • B # "Ñ Ê " B ! ” B "

Luego queda;

si si 0si si

a ba bÚÝÝÛÝÝÜ

0 ‰ 1 B œ

" B œ !B B Ÿ "B # B Ÿ "

B %B $ " B ! ” B "#

Procediendo en forma análoga para se obtienea b1 ‰ 0 ß

si

si

si

si

a ba bÚÝÝÝÛÝÝÝÜ

È ÈÈ1 ‰ 0 B œ

B # B !

B " ! Ÿ B Ÿ "

B " B Ÿ #

B " B ##

25. Hallar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:

a) 0 B œ % l" lB "l Bla b È b) 0 B œ E<-=/8 691 Ba b a bÈ

#

c) 0 B œ 691 691 691 Ba b# $ %

d) 0 B œ # " "

B B #a b ÈE<-=/8B

e) 0 B œ -9= =/8B E<-=/8" B

#Ba b a bÈ #

Solución.

a) Se debe tener que 0 4 % l" lB "l Bl Í l" lB "l Bl Ÿ Í % Ÿ " lB "l B Ÿ % Í Ð % Ÿ " lB "l B • " lB "l B Ÿ %Ñ

a b a b" À % Ÿ " lB "l B Í lB "l B & Í

ÒB " Ÿ B & ” B " Ÿ B & Ó Í ÒB # ” " Ÿ & Ó Ía bSol.a b" œ ‘

a b a b# À " lB "l B Ÿ % Í lB "l Ÿ $ B Í $ B Ÿ B " Ÿ $ B Í

Sol.Ð $ Ÿ " • B Ÿ # Ñ Ê # œ Ð _ß #Óa b Luego Dom Sol. Sol.ß 0 œ " # œ Ð _ß #Óa b a b b) Se debe tener que 0 0 1E<-=/8 691 B Í Ÿ 691 B Ÿ Í " Ÿ B Ÿ #a b

# #

c) La función está definida para de donde 1 0 B 691 691 B ! 691 B Ía b$ % %

luego DomB %ß 0 œ Ð%ß_ÑÞ

d) Debe satisfacerse simultaneamente y loÀ B Á !ß " Ÿ B Ÿ " B # !que nos dá como resultado el conjunto vacío.

e) Se debe tener en este caso; ( 0 la primera-9= =/8B • " Ÿ Ÿ "Ñ" B

#Ba b #

condición se satisface , y la segunda para Por tantoaB − lBl œ "Þ‘Dom0 œ Ö „ "×Þ

26. Hallar los intervalos en que la función crece y en los0 B œ +B ,B -ß + Á !a b #

que decrece y sus valores máximo y mínimo.

Solución.

0 B œ +B ,B - œ +ÐB Ñ ß, %+- ,

#+ %+a b # #

#

Si aumentará para aquellos tales que es decir+ !ß 0 B B B !ß,

#+a b

B ß B !ß B ß, , ,

#+ #+ #+y disminuirá para es decir de aquí que para

la función toma su valor mínimo. Note que para este caso B œ 0 B 0 B,

#+a b a b

no tiene un valor máximo.

Analogamente, si aumenta para y disminuye para+ !ß 0 B B ,

#+a b

B B œ 0 B, ,

#+ #+ y en la función toma su valor máximo.a b

27. Hallar el rectángulo de área máxima, entre todos los rectángulos de perímetro dado.

Solución.

Sea la longitud del perímetro del rectángulo buscado, y la longitud de uno#: B

de sus lados iguales.

Por tanto el Área viene dada por o sea el problemaEß E œ B : B œ :B B ßa b #

se reduce a determinar el máximo de la función de inmediato porE œ :B B ß#

el problema anterior , tiene un máximo para , y+ ! Ê E B œ œ: :

# " #a bcomo luego el rectángulo de mayor área, para un perímetro dado: B œ : ß

:

#es un cuadrado.


1. Resolver en ,‘

a) b) $ # B #B # " B $B % B B &" "

# %a b a b a b#

c) B &B ' Ÿ !# d) B # $ B

%B $ !

a be) f)

2#B $ B #B

B # B B $ $

#

# !

g) h) " ! Ÿ $"& (B #B $

B B ' B "# #

Respuesta.

a) b) c) d) e) [ [ (B # #ß _Ñ 'ß "Ó _ß 'ß _ #ß $ÓŠ ‹ a b$%

f) g) h) con [B Ÿ ! ” B # B $ ” B # B Á $ ß !Ñ#$

2. Resolver en ,‘

a) b) È È a bB # B ' ) B B (B "# !% #

c) d) " Ÿ !' ' B B *

B $B # B # B "#

#a b e) f) a ba bB $B % B ) ! " #

$B "

B $# #

g) B B #

B $B # B $B # Ÿ !

# #

h) #B #& #B "" #

B #B $ B " B $

# #

Respuesta.

a) b) B ' # B $ ” ! B $ ” B #È È c) d)B # ” " B " ” B # ! Ÿ B Ÿ $ ” $ Ÿ B "

e) f) B Ÿ % ” B " & B "

g) h) " B Ÿ ” " B # $ Ÿ B " ” B ""#

3. Resolver en ,‘

a) b) c) l #B $ l " # # l B $B l Ÿ 'B #

B %¸ ¸ #

d) # l B " l l # B l "

Respuesta.

a) b) c) ,B Ÿ " ” B #ß B ' ” B ß " Ÿ B Ÿ %"!

$

d) ( _ß Ñ Ò &ß _Ñ"

$

4. Resolver en ,‘

a) b) l" Bl B ! B Ÿ '"

B¸ ¸

c) d) ¸ ¸ a bB #B $ "

B &B ' & l B # 'l $

#

#

#

e) f) ¸ ¸B #

* B " l#B %l $ B

g) h) " & "B # lB #l l$B 'l

B " B "¸ ¸

i) j) & lB #l B " B

B " B #B B # & Ÿ

# #¸ ¸

k) l) lB %B &l Ÿ lB $B 'l lB $l lB #l lB "l# #

Respuesta.

a) b) Ð _ß Ó Ð$ )ß $ )Ñ Ð $ )ß $ )Ñ"#

È È È Èc) d) e) )‘ Ö#ß $× Ð "ß # $Ñ Ð# $ß &Ñ Ð _ßÈ È "

#

f) g) h) Ð _ß_Ñ Ð ß "Ñ Ð _ß *Ó Ò ß "Ñ" $

# &

i) j) Ò ß "Ñ Ð"ß Ó Ð _ß Ñ Ð#ß_Ñ" "'" " "'" " &

"! "! #

È È È

k) l) Ð _ß Ó Ò ß ""Ó ( %" ( %"

% %

È ÈÐ _ß_Ñ

5. Resolver los sistemas siguientes

a) b) a ba bB " B # ! B #B $& !

#B " B B B #B %) Ÿ !# #

#

c) d) B $B # ! Ÿ "B

ÐB #ÑŸ !

B #

B 'B "!ÐB B "ÑÐB %Ñ B " B

B & B " B &B ' !

#

#

#

#

# #

# $ #

a ba b a ba b

e) f) B " Ÿ B B B ' B " #B &

" Ÿ "$B %

B (

B lBl "

$ # È È È

g) h) B "

B 'B "!Ÿ " B #( !

691 ÐB #B #Ñ "B "$B "# Ÿ !

#

#

#

$

' #

"!

Respuesta.

a) b) c) ] con Ò "ß Ó Ò 'ß &Ó Ò(ß ) Ð _ß "Ñ B Á #$ "$

#

Èd) e) f) g) h) Ò #ß !Ó Ò ß "Ó g Ð #ß Ó Ò #ß #Ó

"" ""

# '

6. Resolver en ,‘

a) b) È ÈB &B ' B & B &B ' B# #

c) d) #B " B $B # )B $ Ÿ ÐB 'ÑÐB *ÑÈ È#

Respuesta.

a) b) c) d) g Ð _ß Ñ Ð ß "Ó Ò#ß_Ñ Ð _ß "Þ"%'(Ñ' " "$

& '

È7. Sean en los reales las funciones: y 0 B œ B # 1 B œ lBl B BÞa b a bÈ È

Encuentre el dominio de: y 0 ‰ 1 1 ‰ 0Þ

Respuesta.

Dom. Dom.0 ‰ 1 œ Ò Ð$ &Ñß_Ñß 1 ‰ 0 œ Ò #ß _ÑÞÈ8. Dadas en Determine‘, las funciones: y 0 B œ # 1 B œ

B " B "

B B "a b a bÊ¹ ¹

#Þ

el dominio de .0 ‰ 1

Respuesta.

Dom.0 ‰ 1 œ ÖB − ‘ Î Ð $ Ÿ B "Ñ ” Ð " B !Ñ ×

9. Sea encontrar los tales que: y0 B œ B % ß B ß 0 B !##B #!

B %B &a b a b

#− ‘

también aquellos para los que Bß 0 B !Þa bRespuesta.

0 B ! Í Ð & B Ÿ ! ” B "Ñà 0 B ! Í ÐB & ” ! B "Ña b a b10. Sean y funciones definidas en , por:0 1 ‘

si si si si

0 B œ 1 B œB " B " " # Ÿ B Ÿ #

B " B " B " B # ” B #a b a bœ œ# #

Determine una fórmula para 0 ‰ 1.

Respuesta.

(0 ‰ 1 B œ# lBl Ÿ #

B lBl #)

si si

a b œ #

""Þ Hallar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:

a) b) 0 B œ 0 B œ 0 B œ#B $ B

B #B $ 691 " Ba b a b a bÈ a b#

"!

c) 0 B œ $ B E<--9=B #

$a b È

Respuesta.

a) c) ‘ b) Ð "ß_Ñ • B Á ! Ò "ß $Ó

12. Hallar el recorrido de las funciones siguientes:

a) 0 B œ 0 B œB

" B

B $ B !

B #B $ B !a b a b œ# # b)

si si

Respuesta.

a) b) Ò ß Ó Ò#ß_Ñ" "

# #

13. Dados los números: determine el valor de para el cuál la función+ ß + ß Þ Þ Þ ß + B" # 8

0 B œ B + B + † † † † B +a b a b a b a b" ## # #

8

toma su valor mínimo.

Respuesta.

B œ +"

8"3œ"

8

3

14. Hallar el valor máximo de la función 0 B œ#

#B %B $a b È #

Respuesta.

Máx. œ 0 " œ #a b15. Una ventana de forma rectangular coronada por un semicírculo, de m. de%

perímetro. Determinar sus dimensiones para que proporcione la máximailuminación posible.

Respuesta.

Radio œ%

%1

" ‚6. Un espejo de forma rectangular de 90 80 cm., se rompió en un esquina de modoque, el trozo de menor tamaño es de la forma de un triángulo rectángulo de catetos

12 y 10 cm.. Determinar el espejo rectangular de área máxima que se puedeobtener del trozo mayor.

Respuesta.

87 72.5 cm.‚

17. Resolver

" "

691 B 691 B " "

# #

Respuesta.

Ð! B " Ñ ” ÐB #ÑÞ

18. Determine los valores de de modo que tenga7ß #7B #B $7 # œ !# a buna raíz menor y otra mayor que "Þ

Respuesta.

Ð7 % Ñ ” Ð7 !Ñ

19. Determine los valores de para los cuáles la ecuación7ß

%B 7 # B 7 & œ !# a b tiene raíces reales diferentes menores que #Þ

Respuesta.

7 ' ” 7 "%($

20. Determine los valores de para que las raíces de la ecuación5ß

#B 5 $ B $ 5 œ !# a b estén comprendidas en el intervalo Ð #ß $ÑÞ

Respuesta.

' Ÿ 5 Ÿ & ” $ Ÿ 5 Ÿ"(

$

21. Determine los valores de de modo que sea5ß 0 B œ $B #5B "#a b #

siempre negativo aB − Þ‘

Respuesta.

' 5 '

22. En la ecuación determine de modo quea b a b7 # B # 7 " B 7 $ œ !ß 7#

sus raíces sean ambas positivas.

Respuesta.

"Þ)& 7 #Þ

23. Determinar para qué valores de la ecuación 5ß B 5 B $ œ B #5 B #a ba b a ba btiene como conjunto solución a W œ ÖB − Î B # ×‘

Respuesta.

" 5 #

24. Si hallar el mayor que satisface la desigualdad B − Ò ß Óß 7 7" $

% #

B #

B %

Respuesta.

7 œ"

&

25. Determinar los valores de para los cuales posea7ß 7B 7 " B 7 "# a b a braíces reales y distintas.

Respuesta.

" 7 "

$

26. Determinar los valores de real que satisfaceB

a) ¸ ¸B # B #

B # B #œ

b) l B %B $ l œ B %B $# #ˆ ‰c) l B %B * #B $ l œ l B %B * l l #B $ la b a b# #

Respuesta.

a) b) c) B # ” B #ß " Ÿ B Ÿ $ß B $

#

27. La necesidad diaria de agua calculada para cierta ciudad está dada por l - $(#& l "!! -donde es el número de galones de agua utilizados por día. Determinar la

mayor y menor necesidad diaria de agua.

Respuesta.

$'#& - $)#&

28. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo, un lado se alarga2 cm. y el otro 6 cm. El área del rectángulo resultante debe ser menor que 130 cm#

y mayor que 80 cm ¿ Cuáles son las posibles longitudes del lado del cuadrado#

original?

Respuesta.È È)% % B "$% % Bsiendo el lado del cuadrado.

29. ¿Qué número entero se puede añadir al numerador y denominador de la fracción$ "

&ß si se quiere que la nueva fracción esté comprendida entre: y (ambos

3 94

extremos incluídos)

Respuesta.

#

30. La altura de un triángulo es cm. mayor que la base. Hallar la base de modo que# ,el área del triángulo sea mayor que cm .#! #

Respuesta.

, %" "È31. Graficar el poliedro de soluciones o zona factible definida por las siguientes

desigualdades: y y encuentre las%B $C Ÿ "#ß B C Ÿ #ß B ! C !Þ"

$coordenadas de sus vértices.

Respuesta.

Vértices: E !ß ! ß F !ß % ß G ß ß H #ß !' "#

& &a b a b a bŒ

32. La suma de tres números reales positivos es , si la suma de dos de ellos se"#encuentra en el intervalo determine la variación del tercero.Ò"ß &Ó

Respuesta.

( Ÿ D Ÿ "".

.

Capítulo )

Números Complejos

) ". . El cuerpo de los complejos

Con los números reales en el horizonte vamos a presentar un cuerpo que seacostumbra a denotar por y llamar números complejos.‚

Definición 1.

El cuerpo está formado por todos los pares ordenados de números reales, en‚éste cuerpo se definen las operaciones siguientes:

Suma a b a b a b+ß , -ß . œ + -ß , .

Multiplicación a b a b a b+ß , † -ß . œ +- ,.ß +. ,-

Igualdad

Como acabamos de definir los números complejos como pares ordenados se tieneque:

a b a b+ß , œ -ß . Í + œ - • , œ .

Nota 1.

Con estas definiciones es posible verificar los , cuya tareaaxiomas de cuerpodejaremos al lector.

Nótese que À a +ß , −a b ‚

El neutro de la suma es el .a b!ß !

El inverso de la suma es .a b +ß ,

El neutro de la multiplicación es a b"ß ! Þ

El inverso de la multiplicación es Œ + ,

+ , + ,ß Þ

# # # #

Nota 2.

Las propiedades o teoremas de todo cuerpo, como las que se expusieron para elcaso de los números reales en el capítulo anterior, también los cumple .‚

Notación

Al inverso multiplicativo para cada elemento de , lo denotaremos por:D œ +ß ,a b ‚

[D œ +ß , Ó" "a bDefinición 2.

Sean D ß D D D D Ð D Ñ" # " # " #− ß œ‚ definiremos:

D

Dœ D †

"

#" D#

"

Definición 3.

Dado se llama parte real de a la primera componente del par yD œ +ß , D +ß ,a b a bparte imaginaria a la segunda componente, las que se acostumbran a denotar por:

, V/ D œ + M7D œ ,

Los complejos de la forma se acostumbran a llamar reales puros ya b+ß !simplemente se denotan por es decir . A su vez los de la forma +ß +ß ! œ + !ß ,a b a bse llaman imaginarios puros y se denotan por ,3Þ

Note que si , œ " Ê Þ3 œ !ß "a bTambién que 3 œ !ß " † !ß " œ ! † ! " † "ß ! † " " † ! œ "ß ! œ "# a b a b a b a b

) #. . Representación gráfica.

Complejo Conjugado.

Como se han definido los complejos como pares ordenados, es posiblerepresentarlos gráficamente en el plano cartesiano, por tanto el complejo D œ +ß ,a bestá representado por el par ordenado fig. 1a b+ß , Þ

y

x

( )baz ,=

a

b

o

fig. 1

Definición 4.

Sea definimos el producto de un real por un complejo mediante:D œ +ß ,a b 5 D œ 5 +ß , œ 5+ß 5,a b a bPropiedades 1.

Sean y entoncesD ß D − 5ß : −" # ‚ ‘

1. 5 D −" ‚

2Þ 5 :D œ 5: Da b a b" "

3Þ 5 : D œ 5D :Da b " " "

4Þ 5 D D œ 5D 5Da b" # " #

5. " D œ Dß " − ‘

Demostración.

Todas son inmediatas por tanto se dejan propuestas.

Forma canónica.

Notemos que para todo complejo se tiene:D œ Bß Ca b lo que se justifica por laD œ Bß C œ B "ß ! C !ß " œ B " C3 œ B C3 ßa b a b a b definición y notación establecida con anterioridad.

Por tanto se llama forma canónica de un complejo a:Dß

D œ B C 3ß Bß C − ‘

Con respecto a las operaciones definidas anteriormente, se tienen:

1. D D œ Ð+ ,3Ñ - .3 œ + - , . 3" # a b a b 2. se usó D D œ Ð+ ,3Ñ - .3 œ Ð+- ,.Ñ +. ,- 3ß 3 œ "" #

#a b a b 3. 5 D œ 5 Ð+ ,3Ñ œ 5+ 5,3ß a 5 − Þ" ‘

Los inversos de la suma y multiplicación de son:+ ,3

y + ,3 3+ ,

+ , + ,# # # #

Complejo conjugado.

Definición 5.

Sea D œ + ,3 Dß Dse llama complejo conjugado de simbólicamente y se definepor D œ + ,3

Propiedades 2.

Sean y Dß A − ‚ 5 − ‘

1. D œ D

2. 5D œ 5 D

3. D A œ D A

4. DA œ D A

5. Š ‹D D

A Aœ

Demostración.

Son todas sencillas, solo demostraremos dos de ellas.

Sean luego$Þ D + ,3 • A œ - .3œ

D A œ + - , . 3 œ + - , . 3 œ + ,3 - .3 œ D Aa b a b 4. DA œ Ð+ ,3Ñ - .3 œ +- ,. +. ,- 3 œ +- ,. +. ,- 3a b a b a b œ +- +.3 ,-3 ,. œ + ,3 - .3 œ D Aa ba b

) $. . Módulo.

Sea D œ + ,3 Dß lDlßse define el módulo del complejo simbólicamente alnúmero real

lDl œ + ,È # #

Note que si el complejo es su módulo coincide con su .real puro valor absoluto

Propiedades 3.

1. lDl lDl œ ! Í D œ ! !30,

2. l5Dl œ l5llDlß a 5 − ‘

3. lDl œ l Dl œ lDl

4. lDl œ D D#

5. lDAl œ lDllAl

6. ¸ ¸D lDl

A lAlœ ß A Á ! !3

7. l V/ D l Ÿ lDlà l M7 D l Ÿ lDl

8. lD Al Ÿ lDl lAl

Demostración.

Solo demostraremos algunas de ellas, dejando el resto para su ejercicio.

4. D D œ + ,3 + ,3 œ + , 3 œ + , œa ba b # # # # # lDl#

6. ¸ ¸ ¸ ¸ a bD "

A - .3 - .œ œ l+- ,. ,- +. 3l à -ß . Á !

+ ,3# #

œ +- ,. ,- +. œ + , - ." "

- . - .# # # #

# # # # # #Éa b a b a ba bÈ œ œ

+ , lDl

- . lAl

ÈÈ

# #

# #

8. lD Al œ D A Ð D AÑ œ D A D A œ D D DA AD AA# a b a ba b œ lDl # V/ D V/A M7D M7A lAl# #a b pero œ lDl #V/ ÐDAÑ lAl ß V/ ÐDAÑ Ÿ lD Al œ lDllAl# #

Ÿ lDl # lDllAl lAl œ lDl lAl# # #a b luego: lD Al Ÿ lDl lAl

Propiedad 4.

no es un cuerpo ordenado.‚

Demostración.

Lo demostraremos por contradicción, supongamos existe que cumpla los‚

axiomas de cuerpo ordenado.

Como entonces 3 Á ! 3 − ” 3 −‚ ‚ a b

Supóngase que (*)3 − Ê 3 † 3 œ 3 œ " − Ê " Â‚ ‚ ‚ #

pero lo que se contradice con (*), luego a ba b " " − Í " − 3 Â‚ ‚ ‚

en forma análoga se prueba que a b 3 Â Þ‚

Por tanto no es un cuerpo ordenado y solo pueden usarse desigualdades entre‚partes reales o partes imaginarias o módulos de complejos, pero no entre estos.

. . Complejos y vectores.) %

Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un par ordenadoa b+ß , ßen el plano cartesiano pero tambien se acostumbra a representarlo no por unpunto sino por el vector que va desde el origen hasta el punto , introduciendoa b+ß ,con ello la representatividad de complejos por medio de vectores geométricos contodo el potencial que implican tratarlos como tales. fig. 2a b

Es más, estos complejos representados así se consideran vectores deslizantes es poreso que cada complejo no tiene solamente un vector que loD œ + ,3representa. fig. 3a b

En el plano cartesiano al eje se acostumbra a llamar eje real, eje en el que se\ubica la parte real del complejo , y a su vez al eje se llama eje+ + ,3 ]imaginario y en el que se ubica la parte imaginaria de . , + ,3

biba+

a

iba+

x

y y

xx

xo o

b

a

fig. 2 fig. 3

Suma y ponderación.

La típica suma y ponderación fig. 4 definida entre los vectores geométricos, sea bdefine naturalmente para los complejos considerados como vectores, con todas lasconsecuencias que llevan estas definiciones .

z

wz+

zw−w

10, <<kzk

z

0, >kzk

z−

y

x

y

x

fig.4

Consecuencias tales como por ejemplo: la ponderación de un número real por uncomplejo representa el alargamiento o acortamiento con o sin cambio5Dß 5 − ‘de sentido del complejo según sean los valores del real 5Þ

Con respecto al módulo del complejo coincide con la magnitud del vector .D D

La distancia entre los complejos y está dada por D A lD Al

) &. . Forma Trigonométrica.

Sea el ángulo orientado, medido desde el eje real al vector en sentido) Dantihorario, de la fig. 5 para cualquier se tiene:)

y

x

ibaz +=

a

b

θo

ρ

fig. 5

+ œ lDl -9= ß , œ lDl =/8 Ê D œ + ,3 œ lDlÐ -9= 3 =/8 Ñ) ) ) )

a ésta última expresión se llama forma trigonométrica del complejo , qué tambiénDse suele denotar por

donde D œ -3= à œ3 ) 3 lDlß -3= œ -9= 3 =/8) ) )

El ángulo se acostumbra a llamar "argumento de " y su valor etá comprendido) Dentre 0 y # Þ1

También de la figura se obtiene la fórmula no menos importante, que>1 œ,

+)

nos permite calcular el argumento , note que la ubicación del argumento según el)cuadrante es importante, así se tiene:

Si I cuadrante+ ! • , ! Ê −)

Si II cuadrante+ ! • , ! Ê −)

Si III cuadrante+ ! • , ! Ê −)

Si IV cuadrante+ ! • , ! Ê −)

Si Si + œ ! • , ! Ê œ ß + œ ! • , ! Ê œ ” œ # # #

$) ) )

1 1 1

Si Si + ! • , œ ! Ê œ !ß + ! • , œ ! Ê œ) ) 1

Multiplicación y Cuociente

Dados y entoncesD œ -3= D œ -3= à œ lD lß œ lD l" " # # " " # #3 ! 3 ! 3 3

1) D D œ -3= " # " #3 3 ! "a b 2)

D

Dœ -3=

" "

# #

3

3! "a b

Demostración.

D D œ -9= 3 =/8 -9= 3 =/8" # " #3 3 ! ! " " a ba b œ Ò-9= -9= =/8 =/8 Ð=/8 -9= -9= =/8 Ñ3Ó3 3 ! " ! " ! " ! "" #

œ Ò-9= 3 =/8 Ó œ -3= 3 3 ! " ! " 3 3 ! "" # " #a b a b a b

D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 -9= 3 =/8

D -9= 3 =/8 -9= 3 =/8œ œ

" " "

# # ## # #

3 ! ! 3 ! ! " "

3 " " 3 " "

a b a ba ba b a b œ Ò-9= -9= =/8 =/8 Ð=/8 -9= -9= =/8 Ñ3Ó

3

3! " ! " ! " ! "

"

#

œ Ò-9= 3 =/8 Ó œ -3= 3 3

3 3! " ! " ! "

" "

# #a b a b a b

Potenciación.

Fórmula de Moivre.

Dado entonces D œ Ò-9= 3 =/8 Ó D œ Ò-9= 8 3 =/88 Ó ß 8 −3 ! ! 3 ! ! 8 8

Para obtenemos la fórmula de es decir3 œ " Moivre

Ò-9= 3 =/8 Ó œ -9= 8 3 =/88! ! ! !8

Demostración.

Por inducción,

i) Para se tiene lo que es verdadero8 œ "ß D œ Ò-9= 3 =/8 Ó3 ! !

ii) Sea válido para , o sea: H.I.8 D œ Ò-9= 8 3 =/88 Ó8 83 ! !

Por demostrar para o sea qué8 "ß

( T.D œ Ò-9= 8 "Ñ 3 =/8 Ð8 "Ñ Ó8 8+1 +13 ! !

En efecto, D œ D D œ Ò-9= 8 3 =/88 Ó Ò-9= 3 =/8 Ó8 8 8+1 3 ! ! 3 ! !

œ ÒÐ-9= 8 -9= =/88 =/8 Ñ Ð=/88 -9= -9= 8 =/8 Ñ3Ó3 ! ! ! ! ! ! ! !8"

œ 3 ! ! ! !8"Ò-9= Ð8 Ñ =/8Ð8 ÑÓ

œ Ò-9= 8 "Ñ 3 =/8 Ð8 "Ñ Ó3 ! !8+1 (

Observación.

Si es negativo también se cumple la fórmula de Moivre, pués8

Sean , con D œ -9= 3 =/8 8 œ 7 7 −! !

D œ Ò-9= 3 =/8 Ó œ Ò-9= 3 =/8 Ó8 8 7! ! ! !

D œ œ8 " "Ò-9= 3 =/8 Ó -9=7 3 =/87! ! ! !7

Radicación.

Dado , D œ Ð-9= 3 =/8 Ñ œ lDl3 ! ! 3

entonces È È a b8 8D œ Ò-9= 3 =/8 Óß 5 œ !ß "ß # Þ Þ Þ Þ 8 "3 #5 #5 8 81 ! 1 !

Demostración.

È8 D <Ð-9= 3=/8 Ñ es de suponer que es un complejo de la forma por tanto) )

È8 "8D œ Ð Ò-9= 3 =/8 ÓÑ œ <Ð-9= 3=/8 Ñ3 ! ! ) ) de donde obtenemos

3 ! ! ) )Ð-9= 3 =/8 Ñ œ < Ð-9= 8 3=/88 Ñ8 ahora, por igualdad de complejos

cos 3 ! )œ < -9= 8 "8 a b 3 ! )=/8 œ < =/88 #8 a b elevando al cuadrado y sumando se obtiene en resulta3 3# #8œ < Í < œ "È a b8

notemos que estos valores de -9= 8 œ -9= Ê 8 œ #5 Í œ) ! ) ! 1 ) )! 1#58

verifican la ecuación en consecuencia se tienea b# È È a b8 8D œ Ò-9= 3 =/8 Óß 5 œ !ß "ß # Þ Þ Þ Þ 8 "3 #5 #5

8 81 ! 1 !

Notación de Euler.

La siguiente notación de un número complejo tiene su justificación en losdesarrollos en serie, tópico que excede las intenciones de éste texto, sin embargodaremos una definición con el fin de poder ocuparla en los ejercicios que procedan.

Definición.

El complejo se puede expresar comoD œ Ò-9= 3 =/8 Ó3 ) )

donde D œ / / œ -9= 3 =/83 ) )3 3) )

" " es la base de los logaritmos naturales./

Propiedad 5.

1. / † / œ /3 3 3 ) ) ) )" # " #a b #Þ / œ /ˆ ‰3 3") )

$Þ œ ///

3 3 "

3 #" #

)

)a b) )

%Þ / œ / ß 5 −3 #5 3a b) 1 ) ™

&Þ / œ / ß 5 −ˆ ‰3 355) ) ™

Demostración

Todas son sencillas de demostrar, solo mostraremos una de ellas el resto quedanpara su ejercitación.

1. / † / œ -9= 3 =/8 -9= 3 =/83 3" " # #

) )" # a ba b) ) ) )

œ Ò-9= -9= =/8 =/8 Ð=/8 -9= -9= =/8 Ñ3Ó) ) ) ) ) ) ) )" # " # " # " #

œ Ò-9= 3 =/8 Ó œ /a b a b) ) ) )" # " #3 a b) )" #

) '. . Ejercicios Resueltos

1. Calcular:

a) a ba b$ (3 & #3

b) & %3 "

& '3 '" 3 $ #3a b

Solución.

a) a ba b a b$ (3 & #3 œ "& '3 $&3 "%3 œ #* #*3 œ #* " 3#

b) & %3 " & %3 & '3 # $

& '3 '" #& $' '" '" 3 $ #3 œ 3a b a ba b

œ Ð%* "!3Ñ 3 œ %( "$3" # $ "'" '" '" '" a b

2. Expresar en la forma + ,3

a) D œ$ &3 # 3

%3 "

a ba ba b$

b) A œ 3 #

" 3 3 3 "a bSolución.

a) D œ œ $ &3 # 3 %3 "$ &3 # 3 "

%3 " "(

a ba ba b a b a b a b$$

œ $ &3 # ""3 %3 " œ * "$3"

"(a ba ba b a b

b)

A œ œ œ œ œ $ 33 # 3 # 3 # 3 # " 3 "

" 3 3 3 " " 3 " 3 " 3 " 3 #a b a ba b a b#

3. Calcular el módulo de:

a) D œ# $3 " 3

& 3

a b a ba b% $

b) A œ 3à < −3 < $

" #3< %‘

Solución.

a) lDl œ œ œ œ #' "$l Ð "$ Ñ Ð # Ñ "$ # #

l& 3l #' # "$

# $3l l" 3l% $ È È ÈÈ È È È% $ #

b) lAl œ ¸ 3 < $

" #3< % 3¸

œ œ œ œ%3 %< $3 '< 3 " " %< " "

% " #3< % l" #3<l % %

l#< 3l

%< "¸ ¸a b

ÈÈ

# #

#

4. Demostrar que

lD Al lD Al œ # ÐlDl lAl Ñ# # # #

e interpretar geométricamente esta igualdad.

Demostración.

lD Al lD Al œ D A D A D A D A# # a ba b a ba b œ lDl lAl D A AD lDl lAl D A AD# # # #

œ # ÐlDl lAl Ñ# #

Nótese de la fig. 6, que el resultado anterior indica que la suma de los cuadrados delas diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados desus ladosÞ

z

wz+

wz−w

y

xo

fig. 6

5. Expresar en la forma el complejo + ,3 D œ ( #%3ÈSolución.

Sea de aquí se obtienenÈ ( #%3 œ B C 3 Í ( #%3 œ B C #BC3# #

de donde resolviendo resultan e B C œ ( • #BC œ #% B œ „$ C œ „%# #

luego D œ „ $ %3a b!5

3œ / ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þß Ð8 "Ñ#581

6. Determinar un complejo tal que: D

lDl œ œ l" Dl"

lDl

Solución.

Sea de la igualdad dada se obtienen:D œ B C3ß

lDl œ " Í B C œ " "# # # a b lDl œ l" Dl Í B C œ " B C # # # ##a b a b

De , luego a b È È# ß B œ Ê C œ „ D œ „ 3

" $ " $

# # # #

7. Demostrar que si es real, entonces D M7 D œ ! ”"

Da b lDl œ "

Demostración.

Sea entonces D œ B C3ß B C3 œ B C3 B C3D œ"D

" "BC3 B C# # a b

D œ B ÐC Ñ3ß" BD B C B C

C# # # # para que este complejo sea un real puro se

debetener C œ ! Í C " œ ! Í C œ ! ” " œ !ßCB C B C B C

" "# # # # # #Š ‹

Si y si C œ ! Ê M7 D œ ! " œ ! Êa b "B C# # lDl œ "

8. Demostrar que a DßA − À‚

a) V/ D A œ V/ D V/ Aa b a b a bb) M7 D A œ M7 D M7 Aa b a b a bc) V/ DA œ V/ D V/ A M7 D M7 Aa b a b a b a b a bd) M7 DA œ V/ D M7 A M7 D V/ Aa b a b a b a b a b

Demostración.

Sean D œ B C3ß A œ + ,3

a) V/ D A œ V/ÒB + C , 3Ó œ B + œ V/ D V/ Aa b a b a b a bb) Se demuestra como a).

c) V/ DA œ V/ÒB+ C, ÐC+ B,Ñ3Ó œ B+ C,a b œ V/ D V/ A M7 D M7 Aa b a b a b a bd) M7 DA œ B, C+ œ V/ D M7 A M7 D V/ Aa b a b a b a b a b

9. Demostrar que

V/Ð Ñ V/Ð Ñ œ "D A

D A D A

Demostración.

Por la parte a) del problema anterior se tiene:

V/Ð Ñ V/Ð Ñ œ V/Ð Ñ œ V/Ð"Ñ œ "D A D A

D A D A D A D A

10. Si demuestre quelDl œ "ß Dß A − à‚

¹ ¹D A

DA "œ "

Demostración.

Recordemos: además entonceslDl œ D Dß lDl œ lDl D D œ " œ "ß# #

¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸D A D A D A " "

DA " DA D D D ÐA DÑ D lDlœ œ œ œ œ "

11. Sean complejos cada uno de módulo 1, tales que D ß D ß D D D D œ !ß" # $ " # $

probar que " " "

D D D œ !

" # $

Prueba.

D D œ " Í D œ ß D D D D D œ !"

D" " " # $ " # $

"análogamente para y entonces

Í œ ! Í Ð Ñ œ ! œ !" " " " " "

D D D D D D

" # $ " # $

12. Determinar el lugar geométrico de un complejo que verifica laD œ B C3

condición l " 3 D " $3 l Ÿ "a b a bSolución.

l " 3 D " $3 l Ÿ " Í l " 3 ÐB C3Ñ " $3 l Ÿ " Ía b a b a b a b

lÐB C "Ñ ÐB C $Ñ3l Ÿ " Í ÐB C "Ñ ÐB C $Ñ Ÿ " ÍÈ # #

#B #C )B %C "! Ÿ " Í B %B C #C Ÿ ! Í*

## # # #

así el lugara b a b a b a bB # C " & Ÿ ! Í B # C " Ÿ ß* "

# ## # # #

geométrico del complejo es un círculo de centro y radio D #ß "a b "

#È

13. Determinar la curva que debe recorrer el complejo para que seaD A œD "

D "imaginario puro

Solución.

Sea , entonces:D œ B C3

para que este complejo seaA œ œ œ ßD " B " C3 B C " #C3

D " B " C3 B " C

# #

# #a bimaginario puro se debe tener que luego debe recorrer unaB C " œ !ß D# #

circunferencia de centro y radio 1.a b!ß !

14. Sea un complejo fijo y un complejo que recorre la rectaD œ + ,3 D œ B C3" #

C œ 7B 8Þ D œ D D ÞDeterminar la curva que recorre el complejo " #

Solución.

Sea D œ ? @3 œ D D œ + ,3 B C3 œ + ,3 B Ð7B 8Ñ3 Í" #

? @3 œ + B Ð, 7B 8Ñ3 Í ? œ + B • @ œ , 7B 8

eliminando entre estas dos ecuaciones, se tiene B @ œ 7? , 8 7+ ßa becuación que nos indica que recorre una recta paralela a la recta D C œ 7B 8

15. Sea demuestre que D œ B C3ß lDl # lBl lClÈDemostración.

Como Ð ÐlBl lClÑ ! Í lBl lCl # lBCl Í #ÐlBl lCl Ñ lBl lClÑ# # # # # #

de donde extrayendo raíz cuadrada se tiene .lDl # lBl lClÈ

Obsérveseque la igualdad se verifica para C œ „BÞ

16. Aprovechando las raíces cúbicas de la unidad, factorice en tresB + ß + − à$ $ ‘

factores de primer grado.

Solución.

B + œ ÐB +ÑÐB B+ + Ñ œ ÐB +ÑÐB +AÑÐB +A Ñ$ $ # # # pués

pero y comoÐB +AÑÐB +A Ñ œ B +ÐA A Ñ + A ß A œ "# # # # $ $

A A " œ ! Í AA œ "Þ# #

17. Si es una raíz cúbica compleja de la unidad, probar que:A

a) a b" A œ A# %

b) a ba b" A A " A A œ %# #

c) a b# #A &A œ (#*# '

Prueba.

Por ser una raíz cúbica compleja de 1, satisface: A A œ " • A A " œ !$ #

a) a b a b" A œ A œ A A œ A# $% %

b) a ba b a ba b" A A " A A œ #A #A œ %A œ %# # # $

c) a b a b# #A &A œ Ò#Ð" AÑ &A Ó œ Ð #A &A Ñ œ $A# # ' # # ' #' '

œ $ ÐA Ñ œ (#*' $ #

18. Demostrar que si la ecuación tiene una raíz realD + ,3 D - .3 œ !ß# a b se verifica . +,. , - œ !# #

Solución.

Sea la raíz real entonces< ß

< + ,3 < - .3 œ ! Í# a b eliminando < +< - œ ! • ,< . œ !ß <#

entre las dos últimas ecuaciones se obtiene . +,. , - œ !# #

19. Hallar la forma trigonométrica de los siguientes complejos:

a) b) È È$ 3 $ 3

c) 17 d) 3 "$

e) f$ % 3 Ñ #3

Solución.

a) luego 3 ) ) )1 1

œ % œ #à >1 œ ß − M Ê œ à D œ # -3= œ # /"

$ ' 'È È 3 1'

b) luego 3 ) ) )œ #à >1 œ ß − MM Ê œ à D œ # -3= œ # /" & &

$ ' '3È 1 1 &

'1

c) luego 3 )œ "(à + œ ! • , œ "( Ê œ à D œ "( -3= œ "( /1 1# #

3 1#

d) luego 3 )œ "$à + œ "$ • , œ ! Ê œ ! à D œ "$ -3= ! œ "$ /3!

e) 3 ) ) )œ &à + œ $ • , œ % Ê œ E<- >1Ð Ñß − MZ à D œ & -3= Þ%

$

f) luego 3 )1 1

œ #à + œ ! • , œ # Ê œ à D œ # -3= œ # /$ $

# #3 $#1

20. Calcular:

a) b) Š ‹Š ‹$ -3= # -3=' # ' -3=

$ -3=1 1 # &'

'

1

1

Solución.

a) Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹a b$ -3= # -3= œ $ -3= % -3= œ "# -3= œ "# -3=' # ' ' '

(1 1 1 1 11 1

#

b) $ -3=

' -3= # ' ' # $œ -3= œ -3=

" & " #&'

'

1

1 Œ 1 1 1

21. Hallar

a) b) c) È ÈÈ$ && )3 " $#

Solución.

a) Sea luego D œ )3 Ê œ )ß œ D œ ) -3= ß 5 œ !ß "ß #$

# $

#53 )

1 1È È$ $

$#1

Con lo que, resultan: y D œ # -3= ß D œ # -3= D œ # -3=" # $# ' '( ""1 1 1

b) Sea luego de donde seD œ " Ê œ "ß œ ! D œ -3= ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %3 ) È& #5&1

obtienen:

y D œ -3= !ß D œ -3= ß D œ -3= ß D œ -3= D œ -3=" # $ %# % ' )& & & &1 1 1 1

c) Sea luego D œ $# Ê œ $#ß œ D œ $#-3= ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %3 ) 1 È È& & #5 &1 1

de donde se obtienen:

y D œ #-3= ß D œ #-3= ß D œ #-3= ß D œ #-3= D œ #-3=" # $ %& & & &$ ( *1 1 1 11

22. Sea probar que es igual a si es múltiplo deE œ Ð Ñ Ð Ñ ß E # 8" $ 3 " $ 3# #

8 8È È$ "y es igual a si es cualquier otro número.a b

Prueba

Por el teorema de Moivre, sean:

D œ œ "à >1 œ ß − MM Ê œ à D œ -3=" $ 3#

ÈÊ 3 ) ) )

È$" $ $

# #88 luego 1 1

A œ Ê" $ 3#

È3 ) ) )œ "à >1 œ ß − MMM Ê œ à A œ -3= $

" $ $% %88È 1 1luego

de donde E œ D A œ8 8 -3= -3= œ # -9=#8 %8 #8

$ $ $

1 1 1.

Si 8 œ $5 ß 5 − Ê E œ # -9= #5 œ #ß™ 1

Si es cualquier otro número, puede ser: 8 8 œ $5 " ” 8 œ $5 #ß 5 − à™

E œ D A$5" $5"

œ -9= Ð#5 Ñ 3 =/8 Ð#5 Ñ -9= Ð%5 Ñ 3 =/8 Ð%5 Ñ# # % %

$ $ $ $1 1 1 1

1 1 1 1

œ 3 3 œ "" $ " $

# # # #

È ÈAnálogamente, si también se recibe 8 œ $5 # E œ "

23. Resolver À œ #" 3 " 3

# # È È ÈB B

Solución.

De inmediato a b a bÈ È" 3 œ # -3= • " 3 œ # -3= Ð Ñ% %

1 1

luego queda ˆ ‰ ˆ ‰ È-3= -3= Ð Ñ œ # Í1 1% %

B B

-9=Ð BÑ 3 =/8Ð BÑ -9=Ð BÑ 3 =/8Ð BÑ œ # Í% % % %

1 1 1 1 È

# -9=Ð BÑ œ # Í B œ -9= Ð Ñ œ #5 „ Í B œ )5„"ß 5 − Þ% % # %

#1 1 11 ™È È

"

24. Si Demostrar que D œ # -9= Þ D œ # -9= 8" "

D D! !8

8

Demostración.

Como resolviendo esta ecuaciónD œ # -9= Í D # -9= D " œ !ß"D

#! !

obtenemos D œ -9= „ 3 =/8 ß! !

luego D œ -9= 8 „ 3 =/88 • D œ -9=8 … 3 =/888 8! ! ! !"

Dœ

8

de donde finalmente D œ # -9= 8"

D8

8!

25. Si son las raíces de demostrar que:: • ; D # D # œ !ß#

[ donde "

: ;B : B ; Ó œ =/88 -9=/- ß -9>1 œ B "Þa b a b8 8 89 9 9

Demostración.

Resolviendo D # D # œ ! : œ " 3ß ; œ " 3à# obtenemos

por otra parte así resultaB œ -9>1 "9

[ " "

: ; #3B : B ; Ó œ ÒÐ-9>1 3Ñ Ð-9>1 3Ñ Óa b a b8 8 8 89 9

œ ÒÐ Ñ Ð Ñ Ó" -9= 3=/8 -9= 3=/8

#3 =/8 =/8

9 9 9 9

9 98 8

œ ÒÐ-9= 8 3 =/88 Ñ Ð-9= 8 3 =/88 ÑÓ"

#3 =/8899 9 9 9

œ =/88 -9=/-9 98

26. Si es un entero positivo , demostrar que:8

a b a b" 3 " 3 œ # -9=8

%8 8 "8

#1

Demostración.

Como luegoa b a bÈ È" 3 œ # -3= • " 3 œ # -3= Ð Ñ1 1% %

a b a b" 3 " 3 œ # Ò -9= 3 =/8 -9= Ð Ñ 3 =/8Ð ÑÓ8 8 8 8

% % % %8 8 8

#1 1 1 1

œ # # -9= œ # -9=8 8

% %

8 8# #

1 1"

27. Demostrar que:

=/8 ( œ (=/8 &' =/8 ""# =/8 '% =/8! ! ! ! !$ & (

Demostración.

Como y por otra parte,Ð-3= Ñ œ -3= ( œ -9= ( 3 =/8( " ß! ! ! !( a bÐ-3= Ñ œ -9= -9= =/8 3 -9= =/8 3 ! ! ! ! ! !( ( ' & # #( ( (

! " #ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰

-9= =/8 3 -9= =/8 3 -9= =/8 3 ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰( ( ($ % &

% $ $ $ % % # & &! ! ! ! ! !

-9= =/8 3 =/8 3ˆ ‰ ˆ ‰( (' (

' ' ( (! ! !

Por igualando partes imaginarias entre si, en este caso obtenemosa b" =/8 ( œ! ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰( ( ( (

" $ & (' % $ # & (-9= =/8 -9= =/8 -9= =/8 =/8! ! ! ! ! ! !

simplificando esta expresión y recordando que se recibe-9= œ " =/8# #! !

=/8 ( œ (=/8 &' =/8 ""# =/8 '% =/8! ! ! ! !$ & (

28. Encontrar la parte real, la parte imaginaria y el módulo de

D œ" -9= 3 =/8

" -9= 3 =/8

9 9

) )

Solución.

Ocupando las fórmulas " -9= œ # -9= • =/8 œ # =/8 -9=# # #

! !! ! !#

resulta: D œ œ# -9= 3# =/8 -9= -9= Ð-9= 3=/8 Ñ

# -9= 3# =/8 -9= -9= Ð-9= 3=/8 Ñ

## # # # # #

## # # # # #

9 9 9 9 9 9

) ) ) ) ) )

luegoœ œ -3= ß-9= -3= -3=Ð Ñ -9=

-9= -3= -3=Ð Ñ -9=

#

9 9 9

) ) ) )

)# # # #

# # # #

9 )

y lDl œ ß V/ D œ -9= M7D œ =/8-9= -9= -9=

-9= -9= -9=

# #

9 9 9

) ) )# # #

# # #

9 ) 9 )

29. Dado + 3 , œ Ð Ñ" 3 $

#8 8

8È

Demuestre que + , + , œ $"

#8" 8 8 8"

ÈDemostración.

+ 3 , œ Ð Ñ œ Ð-3= Ñ œ -3= Í + œ -9= • , œ =/88 8 8 8" 3 $

# $ $ $ $8 8 8 8 8È 1 1 1 1

por tanto + , + , œ -9= =/8 -9= =/8Ð8 "Ñ 8 8 Ð8 "Ñ

$ $ $ $8" 8 8 8"

1 1 1 1

œ =/8Ò Ó œ =/8 œ $8 Ð8 "Ñ "

$ $ $ #

1 1 1 È

30. Expresar en la forma la suma+ ,3ß

W œ " † † † † " " "

" 3 " 3 " 3a b a b# #)

Solución.

Observe que los términos de la suma forman una así:T ÞKÞß

W œ œ " Ò "Ó 3 "" 3 " "

" 3 " " 3

a ba b a b a b#*

" #)

Ahora, luego en a b a bÈ" 3 œ Ð # -3= Ñ œ # -3= ( œ # ß "%

#) #) "% "%11

W œ " Ò # "Ó 3 œ " Ò# "Ó 3"% "%

31. Expresar en la forma y probar que $

# -9= 3 =/8+ ,3 lDl œ %V/ D $

) )#

Solución.

$ # -9= 3 =/8 ' $ -9= $ =/8

# -9= 3 =/8 # -9= 3 =/8 & % -9= & % -9=œ 3

) ) ) ) ) )

) ) ) )

que es de la forma , ahora+ ,3

lDl œ Ð Ñ Ð Ñ œ "' $ -9= $ =/8 *

& % -9= & % -9= & % -9=# # #) )

) ) ) a b

por otra parte

%V/ D $ œ % Ð Ñ $ œ #' $ -9= *

& % -9= & % -9=

)

) ) a b

finalmente por y se tiene: a b a b" # lDl œ %V/ D $#

32. Pruebe que es divisible por si y solo sia bB " B " B B "8 8 #

8 − ß $Þ impar no múltiplo de

Prueba.

Sea las raíces de deben satisfacer a : B œ B " B " ß B B " : Ba b a b a b8 8 #

o sea y asíB œ 3 B œ 3"" "# # # #

$ $È È#

: B œ 3 3 "ßa b Š ‹ Š ‹"" "# # # #

$ $8 8È È

ocupando la forma trigonométrica

: B œ -9= 3 =/8 -9= 3 =/8 "a b ˆ ‰ ˆ ‰"8 8 #8 #8$ $ $ $1 1 1 1

: B œ Ð-9= -9= "Ñ Ð=/8 =/8 Ñ 3a b" 8 #8 8 #8$ $ $ $1 1 1 1

Sea y con para se tiene8 œ $5ß 8 œ $5 " 8 œ $5 # 5 − ß 8 œ $5™

: B œ -9= 5 -9= #5 " Ð=/8 5 =/8 #5 Ñ 3a b" 1 1 1 1

: B œ " " " Á !ß 8 Á $5Þa b a b"5 luego debe ser

Sea 8 œ $5 "

: B œ -9=Ð 5 Ñ -9= Ð#5 Ñ " Ò=/8 Ð 5 Ñ =/8Ð#5 ÑÓ3a b" $ $ $ $# #1 1 1 11 1 1 1

: B œ " -9= -9= " Ò " =/8 =/8 Ó 3a b a b a b"5 5

$ $ $ $# #1 1 1 1

Si par impar no múltiplo de queda5 Ê 8 $ß

: B œ " œ !a b" " "# # # #

$ $È ÈAnálogamente resulta para como también para la raíz 8 œ $5 #ß B Þ#

33. Demostrar que uniendo los complejos y con el origen se forma un ánguloD Arecto si y solo si

es imaginario puro D

A” D A D A œ !

Demostración.a bfig. 7

a bÊ œ ß D œ -3= • A œ -3=#

Sea 9 9 3 9 3 91

" # " " # #

D D

A # Aœ -3= Ð Ñß œ Ê œ 33 1 3

3 39 9 9 9

" "

# #" # " #como imaginario puroa b

O bien,

D œ 3 A Í D œ 3 A D A D A œ 3 A A 3 AA œ !3 3 3 33 3 3 3" " " "

# # # # luego

y

x

zw

o

1ρ2ρ

1φ2φ

fig. 7

a bÉ œ , 3 ” D A D A œ !ßD

A Por hipótesis sean por definición

D

A #œ -3= Ð Ñ œ , 3 Ê -9= Ð Ñ œ ! Ê œ ß3 3 1

3 39 9 9 9 9 9

" "

# #" # " # " # también

observe que: D A D A œ ! Í # -9= Ð Ñ œ ! Ê œ Þ3 3 9 9 9 9" # " # " # #1

34. Si es una raíz cúbica compleja de la unidad, probar que los puntosA

D œ " Aß D œ A A ß D œ A "" # $# #

son los vértices de un triángulo equilátero

Prueba.

Si es una raíz cúbica compleja de la unidad entonces luegoA A œ -3= ß#$1

D œ A A œ " A A œ D -3=# "# #

$a b 1

D œ A " œ A A œ A A A œ D -3=$ ## # $ # #

$a b 1

Note que y tienen el mismo módulo que es y que es rotado enD ß D D $ D D" # $ # "# #$ $$ # " # $1 1 y es rotado en , por tanto y son los vértices de unD D D ß D D

triángulo equilátero

35. Sea una raíz quinta compleja de la unidad y sea ! ! ! ! !B œ • B œ " #% # $

Calcular Dedúzcase de ello que y son raíces de unaB B • B B Þ B B" # " # "# # # #

#

ecuación de cuarto grado con coeficientes enteros.

Solución.

! ! ! ! ! ! !& % $ #œ " Í " " œ ! Á Êa ba b pero 1

! ! ! ! ! ! ! ! !% $ # # # & ) # $" " œ ! B œ # œ #ahora y también

B œ #ß B B œ % œ " % œ &# " ## % # # % $ #! ! ! ! ! !de donde

y B B œ &" ## #

Por otra parte, si si +D ,D - œ ! Ê D D œ • D D œ D œ B# #" # " #

, -+ +

entonces la ecuación buscada resulta ser B &B & œ !Þ% #

36. Probar que el producto de las raíces de la ecuación es 8 B œ + " +ß + !8 8"a bPrueba.

B œ + œ + -3= œ B à 5 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ ÞÞ ß 8 "Þ#5

8È È8 8

15

el producto de estas raíces será:

0 È È È È a b "8 8 8 8+ -3= † + -3= † + -3= † † † + -3= œ + -3= Ð Ñ

# % # 8 " #5

8 8 8 8

1 1 11

5œ!

8"

+ Ð-3= Ñ œ + " œ + " œ + "1!5œ!

8"#58 #

8 #8" 8a b a b a ba b

8" 8"

37. Calcular la suma

W œ =/8 585œ!

885

!ˆ ‰ a b! "

Solución.

Sea G œ -9= 585œ!

885

!ˆ ‰ a b! "

G 3W œ Ò-9= 5 3 =/8 5 Ó œ /8 85œ! 5œ!

8 88 85 5

3 5! !ˆ ‰ ˆ ‰a b a b! " ! " a b! "

œ / / œ / " / "3 35 3 3

5œ!

885

8! " ! "!ˆ ‰ ˆ ‰ a bPor otra parte

ˆ ‰ ˆ ‰a b" / œ " -9= 3 =/8 œ # -9= 3 #=/8 -9=3 #8 8# # #

8" " " "" "

œ # -9= -9= 3 =/8 œ # -9= / #8 8 8 8 38# # # #

8" " " "ˆ ‰ a b"#

Ahora, remplazando en se tienea b a b# "

G 3W œ # -9= / œ # -9= Ò-9= 8 3 =/8 8 Ó8 88 8 3Ð 8 Ñ 8 8

# # # #" " " "! "

# ˆ ‰ ˆ ‰! !

luego, W œ # -9= =/8 888 8

# #" "ˆ ‰!

)Þ(. Ejercicios Propuestos

1. Exprese en la forma los complejos siguientes:+ ,3ß

a) b) a b% $3"

& $3#

c) d) $ #3 # $'3 ( #'3

$ #3 ' )3 $ %3

e) [ f) " 3

#Ó %+, #3 + ,È È a b% # #

Respuesta.

a) b) c) d) 8 e) ( #%3 3 3 "& $ & "#

$% $% "$ "$

f) „ Ò+ , + , 3Óa b2. Resolver para y complejos el sistemaD A

a b" 3 D 3A œ # 3

a b a b# 3 D # 3 A œ # 3

Respuesta.

D œ ' *3 ß A œ "' ""3" "

"$ "$a b a b

3. Encontrar e reales tales que:B C

" #

B 3C B 3C œ " 3

Respuesta.

B œ !Þ$ß C œ !Þ*

4. Simplifique las expresiones siguientes:

a) a b a b+ ,3 + ,3# #

b) a b a b" +3 " +3% %

c) + ,3 + ,3

- .3 - .3

Respuesta.

a) b) c) # + , # "#+ #+# +- ,.

- .a b a b# # # %

# #

5. Si es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar:A

a) a ba ba ba b" A " A " A " A œ *# % &

b) " A A $

B " B A B A B " œ

#

# $

6. Si es una raíz séptima de la unidad distinta de 1, demostrar:!

! ! !

! ! !" " " œ #

# % '

# $

7. Demostrar que la suma de las raíces cúbicas de es nula.D œ #$ " 3 $Š ‹È8. Demuestre que

a b a bŠ ‹È È ˆ ‰" 3 " $ 3 -9= 3 =/8 œ # # -3= 9 9 9("#1

10. Demuestre que

[ Ð $ "Ñ Ð $ "Ñ 3Ó œ #È È '! *!

11. Calcule

a) a b" 3 ß 8 −)8

b) a b" -9= =/8 3 ß 8 −9 9 8

c)

Ð Ñ" $ 3

" 3

È"!)

Respuesta.

a) b) c)# # -9= / #%8 8 8 3 &%#9 8

#9

12. Resolver

a) D # Ð" #3Ñ D "" #3 œ !# a b b) a b a b" 3 D ( "$ 3 D # '! 3 œ !#

c) È$ D D 3 œ !#

Respuesta.

a) b) c)# 3ß % $3 ( #3ß $ &3 3ß 3$ " $ "

# # ' #

È È13. Calcular las raíces cuadradas de los siguientes números complejos:

a) b) D œ " % $ 3 %' "% $ 3È ÈRespuesta.

a) b) „ # $ 3 „ ( $ 3Š ‹ Š ‹È È14. Precisar donde se encuentran las imágenes de los complejos tales que:Dß

a) b) lD 3l Ÿ " lDl D œ # 3

Respuesta.

a) Puntos interiores y en la frontera de la circunferencia de centro y a b!ß " < œ "

b) ˆ ‰$% ß "

15. Hallar el lugar geométrico de la imagen del complejo que verifica:D

a) b) lDl œ # lD "l lD "l Ÿ # lD "l

Respuesta.

a) Circunferencia de centro y radio ˆ ‰%$ ß ! #ß

a) Puntos exteriores y en la frontera de la circunferencia de centro yˆ ‰ ß !&$

< œ "

16. Si demuestre quelD l œ lD l œ † † † † œ lD l œ "" # 8

l D D † † † † D l œ † † † " " "

D D D" # 8

" # 8

¸ ¸17. Determinar las partes real e imaginaria de

D œ " $ 3 " $ 3 ß 8 −Š ‹ Š ‹È È$8 $8

Respuesta.

V/ D œ # ß$8" M7D œ !

18. Simplifique

a) b) ’ “ Œ " 3 >1 " =/8 3 -9=

" 3 >1 " =/8 3 =/8

! ) )

! ) )

8 8

Respuesta.

a) b) -9= 8 3 =/88! ! -9= 8 3 =/88 ˆ ‰ ˆ ‰1 1# #) )

19. Determine los valores que toma la expresión E œ " 3 " 3Š ‹ Š ‹" "

$ $

8 8

È È según sea el valor de Deduzca de lo anterior que, si es múltiplo de8ß 8 − Þ 8a b

6,

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰a b8 8 8 8" $ $ $ & 8"

" " " † † † " œ !#

8#

20. Los complejos y son las raíces de la ecuaciónD D" #

D ) &3 D ) #' 3 œ !# a b Determine un complejo tal que el triángulo formado por y seaD ß D ß D D$ " # $

equilátero.

Respuesta.

) # $ % $ 3à ) # $ % $ 3È È È È21. Si y Encontrar tres complejos? œ # $ 3ß ? œ " 3 ? œ " # 3Þ D ß D" # $ " #

y queD$ verifiquen el sistema

? œ D D D" " # $

? œ D A D A D# " " # # $

? œ D A D A D$ " # # " $

Donde y son las raíces cúbicas de la unidad en orden creciente de sus"ß A A" #

argumentos.

Respuesta.

D œ " 3 ß D œ % $ $ # $ ( 3ß" ## " "$ ' 'a b Š ‹ Š ‹È È

D œ % $ $ # $ ( 3$" "' 'Š ‹ Š ‹È È

22. Si y donde es una raíz cúbicaB œ + ,ß C œ +A ,A D œ +A ,Aß A# #

compleja de la unidad, demostrar que:

a) B C D œ + ,$ $

b) B C D œ ' +,# # #

23. Calcular en que es una de las raíces cúbicas complejasa b a b" A " A ß A8 # 8

de la unidad.

Respuesta.

#-9= 8 1$

24. Determinar y de manera que sea una raíz de la ecuación+ , D œ " 3

D +D , œ !& $

Respuesta.

+ œ #ß , œ )

25. Demostrar que el número satisface cada una de las ecuacionesD œ " $ 3#

Èsiguientes:

a) $ "D" D œ "

b) D D D D D œ ") ( ' #

26. Demostrar que si es real o bien imaginario puro.D œ ÐDÑ ß D# #

27. Calcular:

a) Las raíces quintas de $#Þ

b) Las raíces cuadradas de 3Þ

Respuesta.

a) b) D œ # / ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ D œ / ß 5 œ !ß "Þ5 53 Ð5 Ñ3

a b#5"& %

1 11

28. Resolver las siguientes ecuaciones:

aÑ D D " œ !% %a b

b) D " 3 œ !'

Respuesta.

a) D œ ß œ / ß 5 œ "ß #ß $Þ"

"!!

55

5 31#

b) D œ # / ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß &ÞÈ"# %a b)5" 31

29. Dado el complejo calcular D œ =/8 =/8 Ð-9= -9= Ñ 3ß D Þa b! " ! " #!

Respuesta.

# Ð=/8 Ñ -3= "! #! #!#

! " a b! "

30 Resolver las siguientes ecuaciones:Þ

aÑ D 3 D 3 œ !a b a b8 8

b) Š ‹ Š ‹È È" " D œ " " D# #8 8

c) D œ D "8 8a bRespuesta.

a) D œ ß œ / ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þß Ð8 "ÑÐ "Ñ3

"

!

!!

5

55

3#581

b) D œ „ ß œ / ß 5 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ Þß Ð8 "ÑÈÈ #

" 53

!5

#58!1

c) D œ ß œ / ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þß Ð8 "Ñ"" 5

3!5

#58!1

31. Demostrar que si y solo si y dibuje los puntos delV/ D ! lD "l lD "lßplano complejo que satisfacen esta relación .

32. Demostrar que la ecuación tiene cuatro raíces imaginarias, dos$# D œ D "& &a bde las cuales están en el segundo cuadrante y dos en el tercero. Demostrar tambienque todas las raíces están sobre la circunferencia ˆ ‰B C œ Ð Ñ" #

$ $

# # #

33. Demostrar que:

a) -9= & œ -9= "! -9= =/8 & -9= =/8) ) ) ) ) )& $ # %

b) -9= =/8 œ Ð-9= ) #) -9= % $&Ñ) ) "'%) ) ) )

34. Si es múltiplo demostrar que8 %ß

" #3 $3 † † † † 83 œ " 3# 8" 8# a b

35. Para se tieneD Á "

" D D † † † † D œ" D

" D# 8

8"

aproveche esta igualdad para demostrar

" a b5œ!

8#

#

-9= 5 œ ß"

#

=/8 #8 "

# =/8)

)

)

" a b5œ!

8#

#

=/8 5 œ -9>1 ß ! #"

# #

-9= #8 "

# =/8) ) 1

) )

)

36. Demostrar que si los puntos y son los vértices de un triángulo equilátero,D ß D D" # $

entonces D D D œ D D D D D D" " "# # #

" # # $ $ "

37. Sean y son los vértices de un triángulo isósceles, siendo D ß D D œ œ Þ" # $#" # 1 !

Demostrar que: ÐD D Ñ œ % D D D D =/8$ # $ " " ## #

#a ba b !

38. Sea el complejo con real, probar que cuando varía describeD œ E " > 3 > > Da buna recta que pasa por y perpendicular a E SEÞ

39. Probar que la ecuación con real, representa a una recta queD D D D 5 œ !ß 5! !

es perpendicular a la dirección D Þ!

40. Los complejos variables y verifican siempre DeterminarD A A œ D +ß + − Þ# ‘el lugar geométrico de cuando recorre:Aß D

i) La circunferencia B C œ "# #

ii) La recta C œ B

41. Probar que una circunferencia de centro y radio se puede expresar por- <ß

: œ - <à > −" 3 >

" 3 >‘

Capítulo *

Polinomios y Ecuaciones

*Þ"Þ Polinomios

Definición 1.

Sea una función, se dice que es un polinomio en una variable, y: À Ä : B‚ ‚ a bes de la forma

: B œ + + B + B † † † † + B œ + Ba b !! " # 8 3# 8 3

3œ!

8

donde 8 − ß + − Þ ‚3

Los se acostumbran a llamar coeficientes del polinomio, si se dice que+ + Á !3 8

el polinomio es de grado 8Þ

Nota. 1

Debemos agregar que no siempre la variable de un polinomio es un númerocomplejo, pueden ser también entre otras: una matriz, una funcion, . . . . etc. queobviamente requieren de otra definición, pero que, no trataremos en este texto.

*Þ#Þ Igualdad

Sean : B œa b ! !a b3œ! 3œ!

8 8

3 8 3 83 3+ B + Á ! • ; B œ , B , Á !con con

: B œ ; B Í + œ , ß a 3 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8a b a b 3 3

Demostración.

: B ; B œ Ð+ , Ñ B œ !ßa b a b !3œ!

8

3 33 aceptando la independencia lineal de

{ que dice: "ß Bß B ß Þ Þ Þ Þ ß B × - - B - B † † † † - B œ ! Í# 8 # 8! " # 8

- œ - œ † † † † œ - œ ! + , œ ! Í + œ ,! " 8 3 3 3 3entonces se tiene

La parte es inmediata.+ œ , Ê : B œ ; B3 3 a b a b

*Þ$Þ Suma y Producto

Sean : B œa b ! !a b3œ! 3œ!

8 7

3 8 3 73 3+ B + Á ! • ; B œ , B , Á !con con supóngase que

8 7ß entonces:

donde, grado o bien grado 0.a ba b a b a b a b: ; B œ : B ; B : ; Ÿ 8

donde grado a ba b a b a b a b: † ; B œ : B † ; B ß : † ; œ 7 8

Propiedad 1.

Sean con con tales que: B œ + B + Á ! • ; B œ , B , Á !a b a b! !3œ! 3œ!

8 7

3 8 3 73 3

: B † ; B œ !ß a B − ß : B œ ! ” ; B œ !a b a b a b a b‚ entonces

Demostración.

Si entonces tanto como tienen grado, luego: B Á ! • ; B Á ! : B ; Ba b a b a b a btambién : B † ; B : † ; Ba b a b a ba b entonces no es el polinomio 0, lo que contradicela hipótesis.

Propiedad 2.

Sean y tres polinomios tales que : B ß ; B < B : B Á !Þa b a b a b a bSi entonces : B † ; B œ : B † < Ba b a b a b a b ß a B − ß ; B œ < B Þ‚ a b a b

Demostración.

Como pero y: B † ; B œ : B † < B Í : B Ò; B < B Ó œ ! : B Á !a b a b a b a b a b a b a b a bpor, propiedad 1. se implica ; B < B œ ! Í ; B œ < B Þa b a b a b a b

Definición 2.

Sean y dos polinomios tales que Se dice que divide a: B ; B ; B Á !Þ ; Ba b a b a b a b: B ; B : B = Ba b a b a b a bo que es un factor de , si y solo si existe un polinomio tal que: B œ = B † ; Ba b a b a b.Como ; B Á ! : B œ = B † ; B Í œ = B

: B

; Ba b a b a b a b a ba ba by

Ejemplo 1.

Los polinomios y son factores del polinomio B B " B " : B œ B "# $a b

pués note que en este caso también: B œ B " œ B " B B "a b a ba b$ #

Š ‹ a b 3 : B Þ"# #

$Èes un factor de

Observación 1.

La definición 2 dá a lugar un gran número de factorizaciones importantes, una deellas es la del ejemplo 1, otras como por ejemplo son:

1) B + œ ÐB +Ñ B B + † † † † B + +8 8 8" 8# 8# 8"a b#Ñ B + œ B + B +#8 #8 8 8 8 8a ba b$Ñ B + œ B + B + B + B +) ) # # % %a ba ba ba b%Ñ B " œ B #B " B #B "% # #Š ‹Š ‹È È

Nota 2.

A los polinomios con coeficientes reales los llamaremos, .polinomios reales

Definición 3.

Un polinomio real se dice que es primo si y solo si no es posible factorizarlo enpolinomios reales.

Ejemplo 2.

no es primo, en cambio es primo.(Ud. puede: B œ B $B % ; B œ B "a b a b# #

fácilmente comprobarlo).

Propiedad 3.

Sean y dos polinomios, con entonces existen dos únicos: B ; B ; B Á !ßa b a b a bpolinomios y tales que donde el grado de= B < B : B œ = B ; B < B ßa b a b a b a b a b a b< B ; B < B œ !Þa b a b a bes menor que el grado de ó

Demostración.

Se deja propuesta.

Notas 3.

1) Es costumbre llamar a como el polinomio dividendo, a como el: B ; Ba b a bpolinomio divisor, a el polinomio cuociente y a el polinomio resto.= B < Ba b a b

2) Si en caso de ser se acostumbra a decir que la división de por< B œ !ß : Ba b a b; Ba b es exacta.

3) Si y se dice que es factorizable y que< B œ ! Ê : B œ = B ; B : Ba b a b a b a b a b= B ; Ba b a by son sus factores.

4) De la propiedad 3, como ; B Á ! Ê œ = B : B < B

; B ; Ba b a ba b a ba b a b

*Þ$ Algoritmo de la División

grado de grado de : B < B

; B ; Bœ = B ß Ð : B ; B Ñ

a b a ba b a ba b a b a b 1. Se ordenan los términos de y en orden decreciente de sus potencias.: B ; Ba b a b

2. Se divide el término de mayor potencia de por el término de mayor: Ba b potencia de sea este resultado denotado por que puede ser constante); B ß Ða b !B

3. Se multiplican cada uno de los términos de por obtenido en 2. y se; B ßa b !B

restan del polinomio obteniéndose que és un grado menor que: B : B ßa b a b"

: Ba b4. Se repite el proceso(1, 2, y 3) para obteniéndose y así: B ß : B" #a b a b sucesívamente, hasta que el grado de sea menor que el grado de : B ; B Þ3a b a b5. Si grado de grado de entonces por otra parte : B ; B < B œ : B ß = B3 3a b a b a b a b a b es la suma de todos los !B Þ

Ejemplo 3.

Dividir por : B œ #B 'B 'B (B "! ; B œ B #Ba b a b% $ # #

#B 'B 'B (B "! ƒ B #B œ #B %B #% $ # # #

#B #B% $

%B 'B (B "!$ #

%B )B$ #

#B (B "!#

#B %B#

""B "!

Notemos que de aquí:

< B œ ""B "!a b = B œa b #B %B ##

Por tanto À œ #B %B # : B

; B B #B

a ba b ##

""B "!

O bien: : B œ Ð#B %B #ÑÐB #BÑ ""B "!a b # #

*Þ%Þ Teorema del Resto

El resto de dividir por es : B B : ß − Þa b a b a b! ! ! ‚

Demostración.

Note que el resto de la división por a bB E! es una constante. Sea estaconstante, entonces en esta ecuación haciendo : B œ = B B E B œa b a ba b! !obtenemos E œ : Þa b!

Ejemplo 4.

El resto de dividir por es: B œ $B (B # B #3a b $

: #3 œ $Ð #3Ñ (Ð #3Ñ & œ & #3 &a b a b$

*Þ&Þ División Sintética

Se trata de un método que permite efectuar la división de un polinomio por: Ba ba bB ß − Þ! ! ‚

Sea : B œa b + + B + B † † † † + B! " # 8# 8 entonces por el teorema del resto

podemos expresar

(: B œ B a b a b! - - B † † † † - B Ñ :! " 8"8" a b! de donde por igualdad de

polinomios, obtenemos:

: œ + - ßa b! !! !

- œ + - ß! " "!

- œ + - ß" # #!

Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ

- œ + -8# 8" 8"!

- œ +8" 8

de aquí note que como era: œ + - œ + + + † † † † +a b! ! ! ! !! ! ! " # 8# 8

de esperar.

En forma esquemática, los resultados precedentes los expresaremos mediante

+ + + † † † † † † + + +8 8" 8# # " !

! ! ! ! ! !¸ - - † † † † † † - - -8" 8# # " !

+ - - † † † † † † † - - :8 8# 8$ " ! a b!

*Þ'Þ Raíz de un polinomio

Definición 4.

Sea , Se dice que: B œa b + + B + B † † † † + B + − ß + Á !Þ! " # 8 3 8# 8 ‚

! ‚ !− : B : œ !Þ es una raíz de si y solo si a b a bEjemplo 5.

Los números y son raíces de pués; #ß #3 #3 : B œ B #B %B )a b $ #

: # œ : #3 œ : #3 œ !a b a b a bPropiedad 4.

! ! es una raíz de si y solo si es un factor de : B B : B Þa b a b a bDemostración.

Por el teorema del resto : B œ = B B : Þa b a ba b a b! !

Por tanto es una raíz de ! : B Ía b : œ !Þa b!Si y solo si : B œ = B B Ía b a ba b! a b a bB : B Þ! es un factor de

*Þ(Þ Teorema fundamental del Álgebra

Todo polinomio no constante tiene por lo menos una raíz.

Demostración.

La demostración de este teorema excede las intenciones de este texto, se dejarápropuesta. Puede consultar entre otros el texto:

*Þ)Þ Multiplicidad

Definición 5.

Sea una raíz de Se dice que es una raíz de multiplicidad si y! ! : B Þ 5 ß 5 −a bsolo si divide a pero no lo divide.a b a b a bB : B B ! !5 5"

Observación 2.

1) La división sintética es un buen argumento para encontrar raíces con ciertogrado de multiplicidad.

2) Esta definición de multiplicidad, en el Álgebra lineal es llamada multiplicidadalgebraica para no confundirla con la de multiplicidad geométrica, en el tema devalores y vectores propios.

Propiedad 5.

Sean todas las raíces de de grado 1, y sean ! ! !" # < " #ß ß Þ Þ Þ Þ Þ ß : B 8 7 ß7 ß Þ Þ Þa bÞ Þ ß7< sus multiplicidades respectivas, entonces

7 7 † † † † 7 œ 8" # <

Demostración.

Se debe tener que son factores dea b a b a bB ß B ß Þ Þ Þ ß B ! ! !" # <7 7 7" # <

: B ßa b por tanto:

: B œa b a b a b a b a b a bB B ß Þ Þ Þ ß B † = B ‡! ! !" # <7 7 7" # <

Note que no puede tener otras raíces, pués también lo serían de por= B : Ba b a btanto necesáriamente es constante, porque de lo contrario contradice el= Ba bteorema fundamental del Álgebra. Con lo que el grado del polinomio del segundomiembro de es y como es igual al grado de a b a b‡ 7 7 † † † † 7 : B ß" # <

se tiene que esta suma vale 8

Nota 4.

La propiedad 5, comúnmente se enuncia como:

Todo polinomio de grado tiene exactamente raíces, entre complejas y reales no8 8necesariamente distintas.

Observación 3.

Relaciones entre los coeficientes de unLa siguiente observación se conoce por polinomio y sus raíces.

Sea : B œa b + + B + B † † † † + B 8! " # 8# 8 un polinomio de grado

Ð+ Á !Ñ ß ß Þ Þ Þ Þ ß8 " # 8con coeficientes complejos y sean sus raíces, no! ! !necesariamente distintas de la factorización : B œ + B B Þ Þ Þa b a ba b8 " #! !a bB !8 al igualar los coeficientes de las distintas potencias se obtienen lassiguientes fórmulas:

La suma de las raíces es igual a +

+8"

8

La suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos es igual a +

+8#

8

La suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres es igual a +

+8$

8

y así sucesivamente hasta terminar con el producto de todas las raíces, igual aa b " Þ8 ++!

8

Propiedad 6.

Sea , un polinomio con todos sus: B œa b + + B + B † † † † + B! " # 8# 8

coeficientes reales y sea una raíz de entonces D œ + ,3ß , Á ! : B ß D œ + ,3a btambién es raíz de y el polinomio es factorizable por : B B + , Þa b a b# #

Demostración.

Por hipótesis se tiene por demostrar que .: D œ : + ,3 œ !ß : D œ !a b a b a b : D œ + + D + D † † † † + Da b ! " # 8

# 8

œ + + D + D † † † † + D! " # 8# 8

œ + + D + D † † † † + D! " # 8# 8

œ + + D + D † † † † + D! " # 8# 8

œ : D œ ! œ !a bAhora, como es raíz de entonces [ lo factoriza,+ ,3 : B B + ,3 Óa b a banalogamente para [ lo factoriza por tanto también+ ,3ß B + ,3 Óa b[ [ B + ,3 Ó B + ,3 Ó œ Ò B + Ð,3Ñ Ó œ B + , Þa b a b a b a b# ## #

Propiedad 7.

Todo polinomio con coeficientes reales y de grado impar tiene por lo menos unaraíz real.

Demostración.

En base a la propiedad 6, y como un polinomio de grado impar tiene un númeroimpar de raíces, el número de raíces complejas es cero o par, luego por lo menostiene una raíz real.

Propiedad 8.

Raíces racionales.

Sea : B œa b + + B + B † † † † + B! " # 8# 8, un polinomio con coeficientes

enteros y sea una raíz de con sin factores comunes. Entonces :

;: B :ß ; − :a b ™

divide a y divide a + ; + Þ! 8

Demostración.

Como :; es una raíz de entonces: Ba b multiplicando por : œ + + + Ð Ñ † † † † + Ð Ñ œ ! ;Š ‹: : : :

; ; ; ;! " # 8# 8 8

resulta

como es factor del+ ; œ : Ò+ ; + : ; † † † † + : Ó :! " # 88 8" 8# 8"

segundo miembro por la igualdad debe ser factor de , luego divide a o+ ; : +! !8

a pero como y no tienen factores comunes, se tiene que divide a ; ß : ; : + Þ8!

Analogamente se tiene + : œ ;Ð+ ; + : ; † † † † + : Ñ8 ! " 8"8 8" 8# 8"

y por argumento similar, se tiene que divide a ; + Þ8

Propiedad 9.

Raíces positivas. Regla de Descartes

Sea : B œ + B + B † † † † + B + ß + Á !a b 8 8" " ! 88 8"

Vamos a denotar por el número de cambios de signo de los coeficientes del?polinomio y por el número de raíces positivas no necesariamente distintas del<polinomio entonces donde {0}: B < œ ? #5 5 − a b ™

Demostración.

Se deja propuesta para el estudiante. En cambio se mostrará un par de ejmplos alrespecto.

La propiedad 9 también se aplica para el caso de raíces negativas de pués: Ba béstas son raíces positivas de : B Þa b

Ejemplo 6.

Sea solo tenemos un cambio de signo: B œ #B #B (B (B %B %ßa b & % $ #

por tanto como es un entero positivo o cero, entonces y < œ " #5 5 5 œ ! : Ba btiene solo una raíz positiva, en tanto que

: B œ #B #B (B (B %B %ßa b & % $ # tiene cuatro cambios de signo portanto o 0 raíces negativas. Notemos que en éste caso< œ % #5 Ê %ß #fácilmente se tiene el segundo factor: B œ B " #B (B %a b a ba b% #

; B œ #B (B % ; Ba b a b% # tiene solo un cambio de signo como también entonces hay exáctamente raíces negativas, por tanto raíces reales# $ Þ

Nota 5.

La regla de Descartes solo da respuestas exactas cuando éstas son cero o uno.

*Þ*Þ Ecuaciones

Llamaremos una ecuación a donde es un polinomio con coeficientes: B œ ! : Ba b a bcomplejos, hay que recalcar que no toda ecuación es de este tipo, es más generalexpresarlas como en que y son funciones racionales.? B œ @ B ? @a b a b

Una función racional la definimos como donde y son0 B œ ß < ;< B

; Ba b a ba b

polinomios con coeficientes complejos, note que el dominio de son todos los0complejos a excepción de las raíces de ; B Þa b

Aún más podemos expresarla como que tiene por? B œ @ B œ< B < B

; B ; Ba b a b a b a ba b a b" #

" #

soluciones las raíces del polinomio para las cualesB < B ; B œ < B ; B! " # # "a b a b a b a b y no se anulan.; B ; B" ! # !a b a b

En general resolver una ecuación tal como es, encontrar aquellos: B œ !a bcomplejos tales que , lo cuál no siempre resulta simple.! !: œ !a b

*Þ"!Þ Ejercicios Resueltos

1. Hallar la relación entre y para que sea divisible+ , : B œ #B (B +B ,a b % $

por a bB $

Solución.

Por el teorema del resto se debe tener que : $ œ ! Í $+ , #( œ !a b2. Demostrar que es divisible por : B œ $# B $$ B " B " Þa b a b"! &

Solución.

Por demostrar que en efecto : " œ !ß : " œ $# † " $$ † " " œ !a b a b "! &

3. Qué número debe agregarse a para que sea divisible por: B œ B #Ba b $ #

a bB % Þ

Solución.

Sea el número buscado, luego entonces se debe tener que5 : B œ B #B 5ßa b $ #

: % œ ! Í 5 œ $#a b%Þ B + : B œ B :B ; ; B œ B <B =ß Si es un factor común de y de a b a b# #

demostrar que + : < œ ; =a bDemostración.

a b a b a b a bB + : B Ê : + œ ! Í + :+ ; œ ! "factor de #

a b a b a b a bB + ; B Ê ; + œ ! Í + <+ = œ ! #factor de #

Restando y resulta .a b a b a b" # + : < œ ; =

5. Dividir por : B œ %B $B &B # B "a b & % $

Solución.

Por división sintética 4 $ & ! ! #

" % ( # # #¹ % ( # # # !¸

La división es exacta pués con lo que< B œ !a b : B œ B " %B (B #B #B #a b a ba b% $ #

6. Determine y de modo que el resto de la división de por sea+ , : B À B "a b #

#B "ß donde

: B œ +B ,B 'B "#B %a b % $ #

y luego resuelva la ecuación : B œ #B "a bSolución.

Sea el resto por el teorema del resto se debe tener:< B œ #B "ßa b: " œ < " : " œ < "a b a b a b a by de donde se obtienen:

+ , & œ ! • + , ## œ !

resolviendo + œ * • , œ "%

Notemos que si admite: B œ #B " Í *B "%B 'B "%B $ œ !a b % $ #

las raíces por tanto las otras raíces son:B œ „ " Ê *B %B $ œ !#

B œ # „ #$ 3 Þ"*Š ‹È

7. Hallar de modo que el polinomio tenga una raíz5 : B œ #B $B %5B %a b $ #

B œ # y luego encuentre las otras raíces.

Solución.

Por el teorema del resto se debe tener que : # œ ! Í )5 œ ) Í 5 œ "a b Ahora por división sintética ß # $ % %

# % # %¹ # " # !¸de donde #B B # œ ! Í B œ " „ "(

"

%# Š ‹È

8. Dada la ecuación Determine y de modoB +B ,B + œ !ß +ß , − Þ + ,$ # ‘que sea una raíz y luego resuelva la ecuación.B œ # 3

Solución.

Se debe tener a b a b a b# 3 + # 3 , # 3 + œ ! Í$ #

%+ #, # %+ , "" 3 œ ! Í %+ #, # œ ! • %+ , "" œ !a b de

donde obtenemos + œ & • , œ *

Así, " & * &

# 3 # 3 ( 3 &¹ " $ 3 # 3 !¸ # 3 # 3 # 3¸ " " !¸finalmente las raíces resultan: y 1# 3à # 3

9. Si admite un factor dela forma demostrar que: B œ B $:B ; B + ßa b a b$ #

; % : œ !Þ# $

Solución.

Por medio de la división sintética, dividiendo por dos veces resulta;a bB +

" ! $: ;

+ + + + $+:¹ # $

" + + $: + $+: ;# $¸ + + # +¹ #

" #+ $+ $:¸ #

Para que el resto sea necesariamente se debe tener que:!ß

+ $+: ; œ ! • $+ $: œ !$ #

de donde eliminando se tiene .+ ; % : œ !# $

10. Si el polinomio admite el factor : B œ B :B ;B < B + B , ßa b a b a b% # $

demuestre que : "#< œ ! • ): #( ; œ !# $ #

Demostración.

Notemos que el resto de la división de por : B ßa b a b a bB + B ,$ debe ser 0.

1 ! : ; <

+ + + + +: + + : +;¹ # $ % #

" + + : + +: ; + + : +; <# $ % #¸ + + #+ $+ +:¸ # $

" #+ $+ : %+ #+: ;# $¸ + + $+¸ #

" $+ '+ :¸ #

, ,¸ " $+ ,¸por tanto:

+ + : +; < œ ! • %+ #+: ; œ ! • '+ : œ ! • $+ , œ !% # $ #

de donde obtenemos; y remplazando en la segunda ecuación+ œ ß : !É :'

resulta 4 ( )É É # : ; œ ! Ê ): #( ; œ !: :' '

$ $ #

finalmente remplazando el valor de y de es términos de en la primera+ ; :ß

ecuación se logra : "#< œ !Þ#

11. Encontrar un polinomio de tercer grado que se anule para y para B œ " B œ #ß

y que tenga los valores y para y para respectivamente.% #) B œ " B œ #

Solución.

Aprovechando que el polinomio se anula para y podemosB œ " B œ #

expresarlo como por otra parte nos dicen que: B œ B " B # +B ,a b a ba ba b: " œ % Í + , œ # " à : # œ #) Í #+ , œ ( # ßa b a b a b a b

resolviendo y se obtiene y así resultaa b a b" # + œ $ , œ "

: B œ $B %B &B #Þa b $ #

12. Demuestre que la condición para que los polinomios : B œ +B ,B -ß + Á !a b #

y puedan tener un factor común de primer grado; B œ + B , B - ß + Á !a b w # w w w

es a b a ba b-+ - + œ ,- , - +, + , Þw w w w w w#

Demostración.

Si es factor de y de entonces de aquíÐB Ñ : B ; B : œ ! œ ;! ! !a b a b a b a b+ , - œ ! • + , - œ !! ! ! ! ! !# w # w w #de donde resolviendo para y

obtenemos ! !# w ww w w w

w w w wœ • œ à +, + , Á !

,- , - -+ - +

+, + , +, + ,

elevando al cuadrado esta última e igualando con la primera resulta

a b a ba b-+ - + œ ,- , - +, + , Þw w w w w w#

13. Demuestre que existe un único polinomio que pasa: B œ +B ,B -ß + Á !a b #

por los puntos y si E B ß C ß F B ß C G B ß C B B B Þa b a b a b" " # " $ $ " # $

Demostración.

Se debe tener B + B , - œ C ""#

" " a b B + B , - œ C ##

## # a b

B + B , - œ C $$#

$ $ a b Debemos mostrar que este sistema para y tiene única solución+ß , -

Restando a b a b a bˆ ‰" C # ß B B + B B , œ C C## #

# " # ""

analogamente, a b a bB B + B B , œ C C$# #

$ # $ ##

Como B B B Ê B B Á ! • B B Á ! Ê" # $ # " $ #

a b a bB B + , œ • B B + , œC C C C

B B B B# " $ #

# " $ #

# " $ #

por último restando entre si estas ecuaciones se obtiene

a bB B + œ ß B B B Ê B B ÁC C C C

B B B B" $ " # $ " $

# " $ #

# " $ #como 0, así existe

+ ,y además es única, analogamente para asegurar para y c.

14. Suponga que se divide por y que el resto es de primer grado,: B B + B ,a b a ba bque se expresa por Determine y E B + F B , ß + Á , E FÞa b a b a b

Solución.

Supongamos que el cuociente sea entonces= B ßa b : B œ B + B , = B E B + F B ,a b a ba b a b a b a bde aquí : + œ FÐa b + ,Ñ Ê F œ ß

: +

+ ,

a b : , œ E , + Ê E œ

: ,

, +a b a b a b

15. Demostrar que si se divide por el resto es de la forma : B B + ß EB Fßa b # #

donde E œ Ò: + : + Óà F œ Ò: + : + Ó" "

#+ #a b a b a b a b

Demostración.

Como se debe tener que: B œ = B B + EB Fßa b a ba b# #

: + œ ! E+ F " • : + œ ! E+ F #a b a b a b a b

sumando y se obtiene a b a b a b a b" # F œ Ò: + : + Ó"

#

y restando E œ Ò: + : + Ó"

#+a b a b

16. Dado el polinomio : B œ + " B ,8B B #ß 8 −a b a b 8 8"

a) Encontrar y de manera que sea divisible por + , : B B $B #Þa b #

b) Encontrados y resuelva la ecuación para + , : B œ !ß 8 œ &Þa bSolución.

a) Notemos que luegoB $B # œ B " B # ß# a ba b: " œ ! Í + 8, # œ ! "a b a b

: # œ ! Í # + 8# , # œ ! #a b a b8 8" 8

De factorizando por que, junto a paraa b a b# # Á ! Ê #+ 8, # œ ! "8"

obtener luego + œ ! • , œ à : B œ B #B B ##

8a b 8 8"

b) Para se tiene como y son raíces8 œ & : B œ B #B B #ß " #a b & %

" # ! ! " #

" " " " " #¸ " " " " # !¸ # # # # #¸ " " " " !¸De aquí que : B œ B " B # B B B "a b a ba ba b$ #

œ B " B # B " B "a ba ba ba b#

œ B " B # B " B 3 B 3a ba ba ba ba bAsí y : B œ ! Ê B œ "ß B œ #ß B œ "ß B œ 3 B œ 3Þa b " # $ % &

17. Resolver la ecuación sabiendo que sus raíces están en%B #%B #$B ") œ !$ #

progresión aritmética.

Solución.

Sean las raíces en ; entonces:T ÞEÞ + .ß +ß + .

a b a b a b+ . + + . œ œ ' " #%

%

a b a b a ba b a b+ . + + + . + . + . œ ##$

%

a b a b a b+ . + + . œ œ $") *

% #

De obtenemos remplazando este valor en resulta con loa b a b" + œ # $ . œ „&

#

que las raíces son: y . ß #" *

# #

18. Resolver la ecuación si se sabe que sus raíces se$B #'B &#B #% œ !ß$ #

encuentran en progresión geométrica.

Solución.

Sean las raíces en entonces es decirT ÞKÞà ß +ß +< † + † +< œ ) Í + œ #ß+ +

< <una raíz es las otras dos las obtenemos por división sintética, luego#ß

$ #' &# #%

# ' %! #%¸ $ #! "# !¸ por tanto la ecuación queda de aquí las raícesa ba bB # $B #!B "# œ !#

resultan: y 6.#$ ß #

19. Encuentre la suma de los cuadrados y cubos de las raíces de la ecuación

B : B ; B < œ !$ #

Solución.

Sean y las raíces de la ecuación, entonces:+ß , -

+ , - œ : "a b +, ,- -+ œ ; #a b + , - œ < $a bElevando al cuadrado se tiene de dondea b a b" + , - # +, ,- -+ œ :# # # #

+ , - œ : #;# # # #

Para obtener la suma de los cubos, como y son las raíces de la ecuación+ß , -deben satisfacerla esto es:

+ : + ; + < œ !$ #

, : , ; , < œ !$ #

- : - ; - < œ !$ #

de donde sumando miembro a miembro estas tres ecuaciones se tiene

+ , - : + , - ; + , - $< œ ! Ê$ $ $ # # #a b a b + , - œ : : #; ; : $< œ : $: ; $<$ $ $ # $a b

20. Resolver la ecuación si dos de sus raíces son iguales.%B #!B #$B ' œ !$ #

Solución.

Sean , y las raíces, entonces ! ! " ! "# œ & "a b ! !"# #$

% # œ #a b ! "# $

#œ $a b De y resultan luego lasa b a b" # Ð œ Ê œ ' Ñ ” Ð œ Ê œ Ñ! " ! "" #$ )

# ' $

raíces son: , y el otro caso no dá solución." "

# # '

21. Resolver la ecuación si el producto de dos de'B #*B %!B (B "# œ !% $ #

sus raíces es #Þ

Solución.

Sean y las raíces, entonces! " # $ß ß

! " # $ œ "#*

'a b

!" !# !$ "# "$ #$ œ #%!

'a b

!"# !"$ !#$ "#$ œ $(

'a b

!" # $ œ # %a bSupongamos que entonces de obtenemos esto en y se!" #$œ # % œ "ß #a b a bllega a ahora sumando a miembro a miembro se # # œ "

(

'! " # $ a b

tiene que de ésta última ecuación junto a finalmente# $ #$ œ # œ "

resultan: analogamente # $ ! "œ " # • œ " # œ • œ Þ% $

$ #È È

22. Demostrar que si la ecuación tiene dos raíces iguales, entoncesB $ ;B < œ !$

< %; œ !Þ# $

Demostración.

Sean , y las raíces, entonces ! ! " ! "# œ ! "a b ! !"# # œ $; #a b ! "# œ < $a bAhora de y se obtiene ß " # + œ ; Í ; œ + %a b a b a b# $ '

analogamente de y finalmente en y se tienea b a b a b" $ ß #+ œ < Í < œ %+ %$ # '

< %; œ !Þ# $

23. Si dos raíces de la ecuación son iguales pero de signosB :B ;B < œ !$ #

contrarios. Demostrar que :; œ <Þ

Demostración.

Sean las raíces: luego! " "ß ß à

! " " œ : "a b !" !" " œ ; ## a b !" "a b a b œ < $

Simplemente y remplazando en resulta a b a b a b" # $ :; œ <Þ

24. Determinar las raíces de si se sabe: B œ #B %B $B +B ,à +ß , −a b % $ # que una de las raíces es " 3Þ

Solución.

Se debe tener que de donde igualando la parte real y la parte: " 3 œ !a bimaginaria a resultan y y luego por división sintética se! ß + œ "% , œ $!tiene:

# % $ "% $!

" 3 # #3 % )3 " "&3 $!¸ # ' #3 ( )3 "& "&3 ¸ !

" 3 # #3 ) )3 "& "&3¸ # ) "& !¸

Por tanto las otras raíces se obtienen de: B œ B #B # #B )B "&a b a ba b# #

#B )B "& œ ! Ê B œ # „ "% 3Þ# "#È

25. Si la ecuación tiene una raíz compleja de móduloB *B $$B '& œ !$ #È"$ß resolver la ecuación.

Solución.

Sean las raíces de la ecuación y con se+ ,3ß + ,3 B ß + , œ "$$# #È È

debe cumplir que a ba b a b+ ,3 + ,3 B œ '& Í + , B œ '& Í "$B œ '&$ $ $# #

de donde luego efectuando la división por se tieneB œ & B &$ a b " * $$ '&

& & #! '&¸ " % "$ !¸

de esto resulta B %B "$ œ ! Ê B œ # $3ß B œ # $3#" #

26. Resolver la ecuación si una de sus raíces esB %B &B #B # œ !% $ #

" 3Þ

Solución.

Como es una raíz, también lo es y la ecuación admite como " 3 " 3

factor a efectuando la divisiónÒB " 3 ÓÒB " 3 Ó œ B #B #a b a b #

por este factor se tiene,

B %B &B #B # ƒ B #B # œ B #B "% $ # # #

B #B #B% $ #

#B $B #B #$ #

#B %B %B$ #

B #B ##

B #B ##

!

luego la ecuación se puede expresar por a ba bB #B # œ !# B #B "#

de donde se obtienen las otras dos raíces, que son: B œ " „ #È

27. Resolver la ecuación

B #B # œ !' $

Solución.

Sea de aquí D œ B Ê D #D # œ ! D œ " 3 ” D œ " 3$ #

de donde se sigue pasando a su formaB œ " 3 Í B œ " 3$ È$

trigonométrica B œ # -3= ß 5 œ !ß "ß ##5 $

$È' 1 1

%

analogamente para B œ " 3$

B œ # -3= ß 5 œ !ß "ß ##5 &

$È' 1 1

%

28. Resolver la ecuación sabiendo que una de susB )B #$B $!B ") œ !% $ #

raíces es compleja y de módulo y otra de ellas es de multiplicidad È#ß #Þ

Solución.

Sea la raíz compleja, entonces por otra parte las raíces deben+ ,3 + , œ #ß# #

ser , , Luego se verifican las siguientes relaciones:+ ,3 + ,3 ß Þ! !

+ ,3 + ,3 œ ) "! ! a b a ba b a b+ ,3 + ,3 œ ") #!!

las otras dos relaciones no son necesarias de ß " Ê + œ %a b !

de a b a b# Ê + , œ # œ ") Í œ „ $# # # #! ! !

Ahora si y que son las raíces.! œ $ Ê + œ " Ê , œ „ " Ê " 3ß " 3ß $ $

Si que no aporta más soluciones.! œ $ Ê + œ (

29. Resolver la ecuación sabiendo que una de susB $B &B #(B $' œ !% $ #

raíces es de la forma con ,3ß , − ß , Á !Þ‘

Solución.

La raíz debe satisfacer la ecuación, de donde se obtiene:,3

a ba b a b, * , % œ ! • , , * œ !# # # como ambas relaciones deben cumplirse a

la vez, se tiene solo dividiendo la ecuación por, * œ ! Í , œ „ $ß#

ÐB $3ÑÐB $3Ñ œ B * B $B % œ B % B " ß# #se obtiene finalmentea ba blas raíces resultan ser: y $3ß $3ß % "Þ

30. Si y son las raíces de la ecuación encuentre el+ß , - B :B ;B < œ !$ #

valor de: y de " " " " " "

+ , - + , , - - +

# # # # # # # # #

Solución.

De inmediato se tienen: + , - œ : "a b +, ,- -+ œ ; #a b +,- œ < $a b

Elevando al cuadrado y remplazando en ésta expresión y se obtiene:a b a b a b# " $

+ , , - - + œ ; #<: %# # # # # # # a bdividiendo por se recibea b% + , - œ <# # # #

" " " ; :

+ , - < < œ Ð Ñ #Ð Ñ

# # ##

Analogamente de dividiendo tambien pora b" À + , - œ : #;ß# # # #

+ , - œ < œ Ð Ñ #Ð Ñ" " " : ;

+ , , - - + < <# # # # #

# # # # # # # finalmente se llega a

31. Determinar el parámetro en la ecuación de modo que una de5 B (B 5 œ !$

sus raíces sea el doble de la otra.

Solución.

Sean las raíces entonces se cumplen:! " "ß ß #

! " " # œ ! "a b !" !" "" # # œ ( #a b # œ 5 $!" " a b

De se sigue en resulta dea b a b" œ $ ß # œ " Í œ „ " Ê œ … $! " " " !#

donde Luego habrán 2 ecuaciones:5 œ „ 'Þ

B (B œ ! B (B ' œ ! $ß "$ $6 y cuyas raíces son respectivamente: y# #ß "ß $Þy

32. Sean y las raíces de formar la ecuación cuyas! " #ß B :B ; œ !à ; Á !ß$

raíces sean: y " " " " " " à Þ

! " " # ! #

Solución.

Se deben tener: ! " # œ ! "a b !" "# #! œ : #a b !"# œ ; $a b

Sea la ecuación buscada, note que se supuso elB EB FB G œ ! "$ #

coeficiente de pués debe ser de tercer grado, así:B$

" " " " " " œ E

! " " # ! #a b%

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ œ F &" " " " " " " " " " " "

! " " # ! " ! # " # ! #a b

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ œ G" " " " " "

! " " # ! #a b'

De se tiene: (a b% # Ñ œ # œ œ E Ê E œ" " " #: #:

; ;! " # !"#

!" "# #!

De ocupando y se llega a:a b a b a b& " #

" " " Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ : :

œ œ œ F Ê F œÐ Ñ ; ;! " # !"#

!" "# #!# # # # # #

# # # # #

Note que:

( ) : œ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ # # # # # #!" "# #! !" "# #! !"# ! " #a b De a b' À † † œ œ œ G Ê G œ

" " "

; ;

# ! "

!" "# !# !"#

Finalmente se llega a:

B B B œ ! Í ; B #:; B : B ; œ !Þ#: : "

; ; ;$ # # $ #

#

#

33. Sea determine y de modo que : B œ B "#B +B ,B - +ß , - : Ba b a b% $ #

admita a como una raíz de multiplicidad B œ " $Þ

Solución.

Debe tenerse que

: B œ B "#B +B ,B - œ B " EB Fa b a b a b% $ # $

œ EB $E F B $E $F B E $F B F% $ #a b a b a bde donde igualando coeficientes, se tiene:

E œ "ß $E F œ "#ß $E $F œ +ß E $F œ , F œ -y

entonces de aquí: y E œ "ß F œ "&ß + œ %#ß , œ %% - œ "&

34. Dado el polinomio : B œ $B (B B "!B "%B )a b & % $ #

a) ¿Cuántas raíces positivas y cuántas negativas tiene ?.: Ba bb) Determine las raíces de si se sabe que tiene una raíz racional negativa y: Ba bque las raíces complejas de la ecuación tambien son raíces de B œ " : B Þ$ a b

Solución.

a) Por la regla de Descartes como hay solo un cambio de signo en la: B ßa bfórmula nos dice esto es válido solo para una raíz positiva< œ " #5 5 œ ! Ê

Ahora si cuatro cambios de: B œ $B (B B "!B "%B )ßa b & % $ #

signo o sea hay 4 ó ó 0 raíces negativas.Ê < œ % #5ß 5 œ !ß " ß # #

b) Por lo que nos afirman en ésta parte es decir que hay una raíz negativa y dos

complejas, necesariamente debe haber otra raíz negativa más.

Las raíces complejas de se obtienen deB œ " Í B " B B " œ !$ #a ba bB B " œ ! : B B B "# #entonces dividiendo por se recibea b= B œ $B %B 'B )a b $ # . Ahora atendiendo a que hay una raíz racional

negativa, sea ésta los divisores de 8 y los divisores de así se debe: :

; ;à Ð : ; $Ñß

elegir entre { y por el teorema„ "ß „ #ß „ $ß „ %ß „ )ß „ ß „ ß „ ß „ ×" # % )$ $ $ $

del resto o división sintética se llega a que dicha raíz resulta ser pués ß%

$: œ !Þ = B œ $B % B # : Bˆ ‰ a b a ba b a b%

$#Por último con lo que las raíces de

resultan ser: $ 3ß $ 3ß ß #ß #Þ" " " " %# # # # $

È È È ÈNote es más inmediato factorizar para obtener igual resultado.= Ba b

*Þ" Þ1 Ejercicios Propuestos

1. Efectúe las divisiones de:

i) por %B #"B #'B #(B "! B &' & $ a bii) por 1(B #B %B & B ( & # a biii) por $B #B "!B 'B "( B B "& % # #

Respuesta.

i) = B œ %B B &B B &B #à < B œ !a b a b& % $ #

ii) = B œ (B (B &B &B &B B "à < B œ %a b a b' & % $ #

iii) = B œ $B B #B (à < B œ "&B "!a b a b$ #

2. Encontrar los valores de para que al dividir por resulte5 B 5 B $ 5 B$% #

como resto 4.

Respuesta.

5 œ & ” 5 œ "'$

3. En el polinomio el coeficiente de es cero y en el: B œ B + B , B - Ba b a ba ba b #

polinomio el coeficiente de es cero. Además el; B œ B + B , B - Ba b a ba ba bcoeficiente de en es igual al coeficiente de en Demuestre que B : B B ; B Þ +a b a b#

solo puede tomar los valores y 1.!

4. Encontrar los valores de y para que el polinomio+ ,

: B œ +B ,B "#B #"B &a b % $ #

sea divisible por #B $B "Þ#

Respuesta.

+ œ ##! , œ #&) y

5. Determine los valores de y para que el resto de la división de+ ,

por sea:: B œ B #B +B ,B "! B B #a b % $ # #

i) ii) %B & &Þ

Respuesta.

i) y ii) y 9

+ œ , œ + œ , œ ( " (

# # # #

6. Por la división sintética hallar el cuociente y el resto, de la división de

: B œ B #B (B )B "& ; B œ B #B $a b a b% $ # #por

Respuesta.

= B œ B % < B œ $a b a b# y

7. Hallar el divisor sabiendo que la división de por; B : B œ B 'B :B 5a b a b % #

; B B #B $ ß ß : 5a b resulta y es exacta indicando el valor de y adecuados.#

Respuesta.

; B œ B #B "$ : œ $# 5 œ $*Þa b # ; y

8. Demostrar que la condición para que los polinomios y: B œ +B ,B -a b $

; B œ + B , B - B ß −a b a bw $ w w tengan un factor común de la forma es! ! ‚

a ba b a b,- -, +, + , œ + - +-w w w w w w# $

9. Si un polinomio es dividido por demostrar que:: B B $B #ßa b #

i) El resto es BÒ: # : " Ó Ò#: " : # Óa b a b a b a bii) El término independiente de en el cuociente es B Ò: ! #: " : # Ó"

# a b a b a b10. Dado un polinomio y como el resto de la división por es : B B + : + Þa b a b a b

Si el cuociente al dividirlo por es y al dividirlo por esa b a b a bB + 1 B B ,

demostrar que 2 B ß 1 , œ 2 + œ: + : ,

+ ,a b a b a b a b a b

11. Determinar para que los polinomios7

y : B œ B 7B ' ; B œ B 7B #a b a b$ #

tengan una raíz en común.

Respuesta.

7 7 " 7 ( œ !Þsatisface la ecuación a ba b#

12. Sea la ecuación determine para que la suma de dos de#B B (B 5 œ !ß 5$ #

sus raíces sea igual a "Þ

Respuesta.

5 œ $

13. Determinar de manera que las raíces de la ecuación5

B #B (B 5 œ !$ #

satisfagan la relación B œ B B# # #" # $

Respuesta.

5 œ #% ” 5 œ "#

14. Determine la condición para que las raíces de la ecuación

+B ,B -B . œ !ß + Á !$ #

estén en progresión geométrica. Verifique para la ecuación y luego resuélvala.

)B %#B '$B #( œ !$ #

Respuesta.

, . - + œ !$ $

15. Determinar y de manera que las raíces de la ecuación5 :

B %B $'B 5B : œ !% $ #

estén en y luego resuelva la ecuación.T ÞEÞ

Respuesta.

5 œ ''ß : œ "!&à &ß "ß $las raíces son: y 7.

16. Si las raíces de la ecuación están en progresiónB $:B $;B < œ !$ #

armónica, demuestre que #; œ < $:; <$ a b

17. Resolver la ecuación si una raíz es $B "!B %B B ' œ ! $ 3" "

# #% $ # È

Respuesta.

Las raíces son: ß $ß $ 3ß $ 3# " " " "

$ # # # #È È

18. Si son las raíces de la ecuación . Encuentre el valor de:! " #ß ß B ;B < œ !$

i) Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ" # # ! ! "# # #

ii) Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ" # # ! ! "" " "

Respuesta.

i) ii) ';;

<

19. Encuentre la suma de los cuadrados y la de los cubos, de las raíces dela ecuación

B ;B <B = œ !% #

Respuesta.

#; $<Þy

20. Resolver la ecuación si se sabe que admite a comoB 'B #%B "' œ ! #% $

una de sus raíces y las otras tres, están en progresión geométrica.

Respuesta.

Las raíces son: #ß $ &ß #ß $ &ÞÈ È21. Si el producto de dos de las raíces de la ecuación esB :B ;B <B = œ !% $ #

igual al producto de las otras dos, pruebe que < œ : =Þ# #

22. Si son las raíces de la ecuación encuentre la ecuación! " #ß ß B :B < œ !ß$

cuyas raíces sean: ! " # ! # " " # ! # ß # ß # Þ

Respuesta.

B *:B #(< œ !$

23. Si el polinomio : B œ B :B ;B ")B "#a b % $ #

se divide por el resto es determine y a ba bB " B $ #B $ß : ;Þ

Respuesta.

: œ %ß ; œ #Þ

24. Hallar la relación entre los coeficientes de la ecuación si una deB :B ; œ !ß$

sus raíces es la suma de las inversas de las otras dos.

Respuesta.

: ; " œ !#

25. Resolver sabiendo que es una de sus raíces.B #B B B #B " œ ! 3( & % $ #

Respuesta.

Las raíces son: y cada una de multiplicidad dos ,3 3 "ß $3ß $3" " " "# # # #

È È26. Sean y los restos de las divisiones de un polinomio por y5 : : B B +a b a ba b a b a ba bB , Þ : B B + B , ßDemostrar que el resto de la división de por es

5 : ß Ð+ Á ,ÑB , B +

+ , , +

27. Determinar de modo que la ecuación tenga dos raíces y 7 B &B 7 œ !$ ! "tales que Hallado resolver la ecuación.! " !" œ # Þ 7ß

Respuesta.

7 œ ß & & ß & & ß #& " " &) % % #las raíces son: Š ‹ Š ‹È È

28. Sea : B œ #B "*B &&B %*B (B "!a b & % $ #

i) Sin calcular las raíces determine el número máximo de raíces positivas ynegativas de : B Þa bii) Determine las posibles raíces racionales de : B Þa biii) Factorice en productos de polinomios reales.: Ba biv) Encuentre todas las raíces de : B Þa b

Respuesta.

i) Máximo 4 raíces positivas, y exáctamente una raíz negativa.

ii) y "# ß # &Þ

iii) : B œ #B " B # B & B " # B " # Þa b a ba ba bŠ ‹Š ‹È Èiv) "# ß # ß &ß " # ß " #ÞÈ È

29. El polinomio debe cumplir que : B œ B + B $+ , B + , : ! œ !a b a b a b$ # #

y que dividido por deje resto Encuentre y y las raíces dela bB " %Þ + ,ßpolinomio.

Respuesta.

+ œ , œ $ß !ß * "!& ß * "!& Þlas raíces son: " "# #Š ‹ Š ‹È È

Álgebra - luis zegarra a

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