algebra lineal - tema i determinants i matrius

JosA.Montero,XavierSevillano,JoanClaudiSocor1/09/2011

lgebralinealTemaI:Determinantsimatrius


lgebralinealApuntsdeclasse 20112012

ndexdecontinguts 0. CONCEPTES BSICS DE MATRIUS ....................................................................... 31. DETERMINANTS I MATRIUS .................................................................................. 5

1.1 Concepte de determinant i propietats ..................................................................... 51.2 Clcul de determinant per adjunts ......................................................................... 71.3 Rang duna matriu ................................................................................................. 81.4 Inversa duna matriu .............................................................................................. 8

PROBLEMES PROPOSATS ......................................................................................... 10Problema P.1 ............................................................................................................... 10Problema P.2 ............................................................................................................... 10Problema P.3 ............................................................................................................... 10Problema P.4 ............................................................................................................... 10Problema P.5 ............................................................................................................... 10Problema P.6 ............................................................................................................... 10Problema P.7 ............................................................................................................... 11Problema P.8 ............................................................................................................... 11Problema P.9 ............................................................................................................... 11Problema P.10 ............................................................................................................. 11Problema P.11 ............................................................................................................. 11Problema P.12 ............................................................................................................. 12Problema P.13 ............................................................................................................. 12Problema P.14 ............................................................................................................. 12Problema P.15 ............................................................................................................. 12Problema P.16 ............................................................................................................. 13Problema P.17 ............................................................................................................. 13Problema P.18 ............................................................................................................. 13Problema P.19 ............................................................................................................. 14Problema P.20 ............................................................................................................. 14

PROBLEMES RESOLTS .............................................................................................. 15Problema R.1 .................................................................................................................. 15Problema R.2 .................................................................................................................. 16


3 0.Conceptesbsicsdeconjunts

0.CONCEPTESBSICSDEMATRIUSDenotemperMnxmalconjuntdematriusdenfilesimcolumnes.ElselementsdunamatriuAMnxmelsexpressemperaijoni=1..nNotacisimblica:A=(aij) j=1..mSuma:

A a M

B b M

A B C c

ij nxm

ij nxm

ij

= = + = =

( )

( )

( ) on c = a + bij ij ij

Propietats:Associativa:(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+Celementneutre:N=(nij)onnij=0elementoposat:A=(aij)onaij=aijProducteperunescalar:

A a M

k p CkA B b

ij nxm

ij

= = =

( )

,( ) on b = kaij ij

Propietats:k(A+B)=kA+kB(k+p)A=kA+pAk(pA)=(kp)A

Productedematrius:

==

==

m

1=kkjikij ba=con

)(

)()(

nxpij

mxpij

nxmij

McCBAMbBMaA

Propietats: Associativa:A(BC)=(AB)C Distributivarespectelasuma:

A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC NOscommutativaABBA


4 0.Conceptesbsicsdeconjunts

TipusdematriusAcolumna:AMnx1Afila:AM1xmAquadrada:AMnxnAtrasposta:LatraspostadeAMnxmsAT=(aji)MmxniesformacanviantfilespercolumnesAconjugada:LaconjugadadeAMnxmsA*=(a*ij)MnxmiesformaconjugantelselementsdeAAhermtica:siA*=ATAsimtrica:siA=ATAdiagonal:siaij=0ijMatriuidentitat:IMnxnonaij=0ij aij=1i=jAinversa:LainversadeAMnxmsA1queverificaqueAA1=A1A=IAortogonal:siA1=ATAregular:sidetA0Asingular:sidetA=0Aidempotent:siA2=AAtriangularsuperior:siAMnxniaij=0i>jAtriangularinferior:siAMnxniaij=0i


5 1.Determinantsimatrius

1.DETERMINANTSIMATRIUS

1.1ConceptededeterminantipropietatsEldeterminantdunamatriuquadradaAMnxnsunnicnescalarKcoscommutatiuquesassociaaAmitjanantunaregladeclcul

det( )A

a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

=11 12 1

21 22 2

1 2

KK

M M O MK

Casosparticulars:

n=1 a a11 11= n=2 a aa a a a a a

11 12

21 2211 22 21 12=

n=3

a a aa a aa a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 32 13 12 23 31 31 22 13 32 23 11 21 12 33= + +

RegladeSarrus

Propietatsdelsdeterminants:

Sigui ( )Aa a aa a a

a a a

C C C

n

n

n n nn

n=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

KK

M M O MK

K onCislacolumnaiessima

demaneraque C

aa

a

i

i

i

ni

=

1

2

M

1.) ( )det C C C Cj j n1 1 10 0K r K + = siunacolumnastotzeros det( )A = 0 2.) ( )det C C C Ci i n1 0K K K = siduescolumnessniguals det( )A = 0 3.) ( )det C C C Cj n i i

ii j

n

11

0K K = == si C j

sialgunacolumnasC.L.(combinacilineal)delaresta det( )A = 0



4.)

( )

( )det

det

C C KC C C

K C C C C C

j j j n

j j j n

1 1 1

1 1 1

K K

K K +

+

==

det(kA)=kndetA5.)

( )( ) ( )

det

det det

'

'

C C C C C C

C C C C C C C C C C

j j j j n

j j j n j j j n

1 1 1

1 1 1 1 1 1

K K

K K K K +

+ +

+ == +

6.) ( ) ( )det detC C C C C C C Ci j n j i n1 1K K K K K K= sipermutem2columnes,eldeterminantcanviadesigne

7.) ( )det detC C C C C C Cj n j i iii j

n

n1 11

K K K K= +

=

siaunacolumnalisumemunaC.L.delaresta,eldeterminantnocanvia.8.)det(AB)=detAdetBA,BMnxn9.) det( )

det( )A

A =1 1 sidetA0

10.)detA=detATles7primerespropietatsreferentsacolumnes,tambsncertesperfiles

Exercici:Esdefineixenlessegentsmatrius:

A=(C1C2C3C4)B=(C1C2+3C1C3C3C4)D=(C15C2+3C1C3C3C4)E=(C13C1C3C3C4)F=(C4C3C2C1)

CalculaeldeterminantdelesmatriusA,B,D,EiFenfuncideldeterminantdelamatriuA.



1.2ClculdedeterminantperadjuntsSigui(aij)Mnxn,lADJUNTdelelementaijs: adj{aij}=(1)i+jdet(Aij) onAijM(n1)x(n1)slamatriuquesobtsuprimintlafilaiilacolumnajalamatriuA.Clculdet(A):

det( ) ( )

( )

A a adj a

a adj a

ik ikk

n

kj kjk

n

=

= =

=

amb "i" una fila qualsevol

amb " j" una columna qualsevol

1

1

NOTA:selmtodedeclculdedeterminantshabitualperamatriusdordre>3.Exemple:

det( )A

a a a aa a a aa a a aa a a a

= =11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

+ + + ++ + + +

desenvolupemdet(A)perlafila1

= + +

+ +

+ +

+ +

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

111 1

22 23 24

32 33 34

42 43 44

121 2

21 23 24

31 33 34

41 43 44

131 3

21 22 24

31 32 34

41 42 44

141 4

21 22 23

31 32 33

41 42 43

1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

normalment,saplicaaquestapropietatfinsaobtenirmatriusdordre3onapliquemlaRegladeSarrus.Exercici:Demostrarperadjuntselfetqueeldet(A),quanAsunamatriuquadradatriangular,escalculafentelproductedelselementsdeladiagonal.



1.3RangdunamatriuSiguiAMnxmnonul.la,rang(A)sunnnaturalassociataAquedeterminaunacaractersticaseva,rang(A)NMENORDORDREp(pn,pm)dunamatriuAMnxmseldeterminantdunamatriuquadradaMpxpquesobtsuprimintnpfilesimpcolumnesalamatriuADiemRANG(A)alordredelmenormsgrandeAquesiguidiferentde0.NOTA:SiunamatriuAsnonullarang(A)1,jaqueexisteixalgunmenordordre10.Exemple:Calculeuelrangdelasegentmatriu

A =

5 1 11 1 02 3 33 2 2

1.4InversadunamatriuSiguiAMnxnquadradaidet(A)0,aleshoresexisteixA1Mnxn(INVERSAdeA)talque:

AA1=A1A=IdMtodesperalclculdA1:

a)Tradicionalb)Gauss (esveureneltemasegent)

Mtodetradicional:

[ ]A-1 = =1 1det( ) ( ) det( ) ( )A Adj A A Adj AT T onAdj(A)MnxnslamatriuquesobtsubstituintcadaelementdeApelseuadjunt.



Exemple:Invertiulasegentmatriu

A =

1 0 12 1 11 2 1


10 Problemesproposats

PROBLEMESPROPOSATSProblemaP.1Raona(senseaplicarSarrus),quelesarrelsdelsegentpolinomisn5,7i12:

ProblemaP.2Elmateixquelexercicianterior,peraraambarrelsa,b,i(a+b):

ProblemaP.3Demostraaplicantnomspropietatsdelsdeterminants:

ProblemaP.4Resollequacisegentmitjananttransformacionsdeldeterminant(aplicantpropietats):

ProblemaP.5Demostralasegentigualtataprofitantelmximnombredepropietatsdelsdeterminants:

ProblemaP.6CalculaenfuncidN,aib,eldeterminantdunamatriudeNxNamblasegentestructura:

p (x) =x 7 77 x 55 5 x

p (x) =x a aa x bb b x

x 3 3 33 x 2 22 2 x 91 1 1 1

= (x 2)(x 3)(x 9)

x 2x + 1 2x + 12x + 1 3x 1 4x3x 1 4x 6x 1

= 0

x 1 x2 1 x3 12x 4 x2 4 x3 83x 9 x2 9 x3 27

= 2x(x 1)(x 2)(x 3)



ANxN = (ai j) = a i = jb i j

ProblemaP.7Demostra,aplicantlespropietatsdelsdeterminants,lasegentigualtat:

ProblemaP.8Demostralasegentafirmaci:

LacondicinecessriaisuficientperaqueunamatriuA(dedimensionsnxn)siguiinvolutivas:

ssentIlamatriuidentitatdordreNiBlamatriunulladordreN.

ProblemaP.9Comprovamitjanantlespropietatsdelsdeterminants:

1 a b + c1 b c + a1 c a + b

= 0 a, b, c

ProblemaP.10TrobaeldeterminantdelamatriuA:

SOLUCI: Det(A)=6.

ProblemaP.11Demostralasegentigualtat:

1 x x21 y y21 z z2

= (x y)(y z)(z x)

(I A) (I + A) = B

A =0 1 + i 1 + 2i

1 i 0 2 3i1 2i 2 + 3i 0

1 + a 1 1 11 1 + b 1 11 1 1 + c 11 1 1 1 + d

= abcd + bcd + acd + abd + abc



ProblemaP.12Comprovamitjanantlespropietatsdelsdeterminants:

ProblemaP.13DonadeslesmatriusI,A:

Calcula: a)LainversadeIAb)LainversadeI+A

c)(I+A)(IA)1SOLUCI:

a)(IA)1=

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

b)(I+A)1=

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

c)(I+A)(IA)1=

1 2 2 20 1 2 20 0 1 20 0 0 1

ProblemaP.14Trobaelrangdelessegentsmatrius:

a) b) c) d)

SOLUCI:a)rang=3b)rang=2 c)rang=3 d)rang=4

ProblemaP.15Troba,enelcasquesiguipossible,lesmatriusinversesde:

4 1 1 1 11 4 1 1 11 1 4 1 11 1 1 4 11 1 1 1 4

= 0

I =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

A =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

1 1 02 1 13 0 2

2 1 3 41 0 1 26 2 4 4

1 0 3 51 0 3 53 1 5 92 2 1 1

2 3 5 1 31 1 1 2 12 1 3 1 45 1 2 8 1



a) b) c) d)

Feshoper2mtodesdiferents.

SOLUCI:a)

112011001

b)det=0 c)381

14416647101852017213149

d)det=0

ProblemaP.16Siguilamatriu:

= 21

31A

Trobalamatriu X de22delementscomplexesquesatisflasegentigualtat:

NIAXA =++2 essentIlamatriuidentitatdordre2,iNlamatriunulladordre2.

SOLUCI:

== 114127

511AAX

ProblemaP.17Trobeu,aplicantelmtodedereduccideGaussJordan,elrangdelesmatriussegents:

SOLUCI:rang(A)=4,rang(B)=4,rang(C)=2.

ProblemaP.18Demostralasegentigualtat,aplicantelmximdepropietatsdelsdeterminants:

b a c bb c a ac c a b

abc+

++

= 4

1 0 01 1 01 1 1

1 2 31 0 10 1 2

1 2 1 11 1 2 11 0 3 11 2 1 4

1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 1

A =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

B =

1 2 3 41 3 6 101 4 10 201 5 15 35

C =

1 0 1 0 10 1 0 1 02 0 2 0 2



ProblemaP.19CalculaeldeterminantdelasegentmatriugenricadordreN:

A

NNN

N N N

MN N=

1 2 32 1 2 13 2 1 2

1 2 1

LKL

M M M O MK

ProblemaP.20CalculaeldeterminantdelasegentmatriugenricadordreN:

A

a a a ab a a ab b a a

b b b a

MN N=

LLL

M M ML


15 Problemesresolts

PROBLEMESRESOLTS

ProblemaR.1Demostralasegentigualtat,aplicantnomspropietatsdelsdeterminants:

( )( )( )x

xx x x x

3 3 33 2 22 2 91 1 1 1

2 3 9=

SOLUCI:Apliquemunadelespropietatsdelsdeterminants:

Siaunacolumna(ofila)lisumemunacombinacilinealdelesaltrescolumnes(ofiles),eldeterminantnovaria.

pertransformareldeterminantdelenunciatenundeterminanttriangularinferior(0spersobredelasevadiagonalprincipal):

111192200210003

11119222230003

1111922223333

Fila) 2(4 - Fila 2Fila) 3(4 - Fila 1

xx

x

xx

x

xx

x

1111097700210003

Fila) 9(4 - Fila 3

xx

x

Resolentaraperadjunts:

1111097700210003

xx

x

=( )( )( )x x x 3 2 9 1

Daltrabanda,aplicantlapropietatdelsdeterminantsquediuqueeldeterminantdequalsevolmatrius0siaquestatdoscolumnesofilesiguals,podemdeduirque:

six = 9 lacolumna3i4deldeterminantsniguals 0)9( = p six = 2 lacolumna2i3deldeterminantsniguals 0)2( = p six = 3lacolumna1i2deldeterminantsniguals 0)3( = p

Pertant )3)(2)(9()( = xxxxp


16 Problemesresolts

ProblemaR.2Trobaelrangdelessegentsmatrius:a)b)c)d)

1 1 02 1 13 0 2

2 1 3 41 0 1 26 2 4 4

1 0 3 51 0 3 5

3 1 5 92 2 1 1

2 3 5 1 31 1 1 2 12 1 3 1 45 1 2 8 1

SOLUCI:a) AplicantlaregladeSarruspertrobarelseudeterminant:

det(M)=

1 1 02 1 13 0 2

= 2+34 0

Sidet(M) =0 3Rang M( ) Sidet(M)= 0 2Rang M( ) Comeldeterminantdelamatrius 0,elseurangselmateixdelordredelamatriu,sadir,3. b) Com lamatriunoesquadradael seu rang ser lordredelmenorms granque tinguiun

determinantdiferentde zero.Daquestamatriupodemobtenirels segentsquatremenorsdordre3:

2 1 31 0 16 2 4

01 3 40 1 22 4 4

02 1 41 0 26 2 4

02 3 41 1 26 4 4

0

=

=

=

=; ; ; ;

Totselsdeterminantsdelsmenorssnzero;aixvoldirque ( ) 2MRang .Calculemeldeterminatdelsmenorsdordre2,siundellssdiferentdezeroelrangser2.Perexemple;

0 22 4

4 0 = c) Trobarem el determinant de la matriu mitjanant el clcul del determinant per adjunts.

Definim un cofactor o adjunt de lelement Ai j de lamatriu (M) com adjunt de lelement{ } ( ) { }jijiji Ma det1 = + .On Mi j slamatriuqueresultadesuprimirlafilaiilacolumnaj.

Aixdoncsresolemsegonshemdefinit:

RANG(M)=2


17 Problemesresolts

( ) ( ) ( ) 0122513301

15122

913501

130112

951530

11det 542 =

+

++

=M

det(M)=0rang(M) 4 ,sadir,rang(M) 3 Calculemelsmenorsdordre3,sialguntdeterminant 0 ,aleshoresrangM=3.Comelsdeterminantsdelsmenorsdordre3anteriorssndiferentsdezeropodemdir: d) Comsunamatriunoquadrada [ ]M 4 5 el 4RangM .Agafaremundelsmenorsdordre4i

elresoldremperadjunts.Perexemple:

( ) ( ) ( ) ( ) 032215312111

11815112211

51825132211

31821131211

21

8215131221111532

det 5432 =+++=

Comeldeterminantdaquestmenordordrequatresdiferentdezero,elrangdelamatrius4.NOTA:ElrangdunamatriutambespotcalcularpelmtodedeGauss,deformaqueelrangserigualalnmerodefilesdiferentsdezerodelamatriuresultantdesprsdacabarelprocsdeeliminaciGaussiana.

RANG(M)=3

RANG(M)=4

algebra lineal - tema i determinants i matrius

Documents