algebra lineal para contadores

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOSPRESENTACIONPresentacin del formadorHola, te doy la bienvenida a este curso de Algebra Lineal.Tu servidor ser el formador que te guie y apoye en el aprendizaje de los temas de esta asignatura. Mis datos son:Nombre: Miguel ngel Espinoza Zrate.Docente del rea de Ciencias Bsicas.Estudios: Ingeniera Elctrica y Maestra en Ciencias de Ingeniera en Electrnica.rea de especialidad: Programacin NeuroLingistica, Electrnica Digital, Diseo de Sistemas, Redes de Computadoras, Calculo Integral.Aprendiendo: Clculo Vectorial, Algebra Lineal, Clculo Diferencial.

Direccin(es) electrnica(s): [email protected]@facebook.com

Presentacin del formandoFormato:Presentando la asignatura.Motivos Para Estudiar ContabilidadRazones y ventajas para estudiar contabilidadUna de las profesiones ms elegidas y estudiadas en lasuniversidadese institutos deestudios superioreses Contabilidad. Si tu eleccin de estudio se inclina por contabilidad es bueno que tengas conciencia sobre la competencia que encontrars en la vida pero si tu preferencia es marcada no encontrars dificultad para desarrollarla.La contabilidad est estrechamente conectada a las matemticas y por eso todo el tiempo estars involucrado en cuentas, revisin impositiva, balances totales, distribucin de utilidades y todo lo que de alguna forma est relacionado con laadministracin de la plata y/o propiedades de una compaa o persona.Ya te lo hemos recordado anteriormente, tendrs que competir con muchos contadores en el rea ; sin embargo, si destacas por tus habilidades y capacidades conseguirs un trabajo slido y con buen sueldo sin dificultad. En el siguiente reporte conversaremos sobre ciertasventajas que hallars estudiando contabilidad.Lista de razones para estudiar contabilidad:BUEN SALARIOLas personas que eligencontabilidad consiguen sueldos que les posibilita una vida tranquila y acomodada. En su generalidad, los contadores que han terminado de estudiar su profesin tienen la posibilidad de cubrir sus demandas de familia y tambin sus demandas personales sin ninguna dificultad.Asimismo, cuando estudian contabilidad , estosprofesionaleslogran conseguir un especial control de su dinero y de los gastos que hacen. El sueldo de estas personas estar vinculado con el trabajo que desarrollen logrando en algunos pases sueldos superiores a los $ 30,000.INDEPENDENCIASe considerauna de las principales ventajas al elegir como profesin la Contabilidad que podrn desarrollar su carrera de forma independiente. Tener unacontabilidad es insustituible en todo negocio, oficina o empresa y t mismo la puedes controlar desde tu oficina que a la vez puede estar incorporada en tu propia casa, y as puedes trabajar y a la vez dirigir tu propio trabajo y horario. Tendras un trabajo bajo de presiones, con el control en tus manos dirigiendo los pasos de tu labor.DIVERSIDADLas personas que estudian laprofesin de contabilidadpueden desarrollarse en diversas reas del ambiente de trabajo. Entre otros, tienen el mbito privado, el mbito pblico, el sector de la investigacin y la posibilidad de ser maestro en unauniversidad. De todos los sectores que hemos informado, el mbito pblico y privado son los que cuentan con ms profesionales del ramo.OPORTUNIDADESUna ventaja muy importante que encontrars cuando estudies contabilidad es la facilidad de conseguir incluirte en el rea laboral de la profesin o prcticas pre profesionales rpidamente estando como estudiante de ltimos ciclos, tanto de la universidad como del instituto donde te ests formando como contador/a.Existe unanecesidad permanente de contadores en las empresasy por ello siempre se les solicitar, las compaas privadas prefieren a los que han egresado recientemente para labores como asistentes de contabilidad; de esta forma comenzaran a conocer paso a paso todo el circuito de la contabilidad de la compaa y as ms adelante podrn recibir el encargo de tareas ms complicadas.TIEMPOParaestudiar contabilidad requieres de 4 a 5 aosy puedes ejercerla desde que comienzas a estudiarla. Pasa lo mismo que en otras profesiones y carreras, cunto ms pronto el profesional practique y ejerza su profesin, ms ser considerado en superfil profesionaly obtendr mayores reconocimientos.http://www.datosgratis.net/motivos-para-estudiar-contabilidad/Adicionalmente a lo anterior, desde el punto de vista personal, todo profesional debe tener como competencia profesional la solucin de problemas. Sin embargo, los egresados del nivel bachillerato (nivel medio superior, en Mxico) son profesionales. Entonces, Cul es la diferencia entre un profesional tcnico y uno de nivel licenciatura?Siguiendo con la concepcin personal, un profesional tcnico es un profesional que tiene como competencia profesional la solucin de problemas de sistemas de su especialidad por medio de actividades de instalacin, operacin y mantenimiento de dichos sistemas, y los profesionales de nivel licenciatura tienen como competencia profesional la solucin de problemas de su especialidad por medio de la actividad de diseo o rediseo de los propios sistemas. Es decir, los profesionales tcnicos resuelven problemas instalando, operando o manteniendo sistemas y los profesionales de nivel licenciatura resuelven problemas diseando sistemas de su especialidad.Seg lo anterior, Cul, consideras, debe ser la competencia de un oficinista o un obrero con estudios menores del nivel bachillerato?Considero que las competencias laborales de un oficinista/obrero son:

Si un Contador Pblico es un profesionista que soluciona problemas diseando sistemas de contabilidad para la organizacin que lo ocupa, en qu momento del diseo del sistema contable requiere de las herramientas intelectuales que le proporcionan los estudios de las matemticas?La respuesta obvia es: en todo el proceso.En general, la aritmtica es una herramienta bastante utilizada por todos los profesionistas y personas en general. LA MATEMTICA EN LA CONTABILIDAD

Yanet Fernndez Haber (CV)Luca Caridad Domnguez Delgado (CV)[email protected] definimos la Matemtica como la ciencia de los nmeros sera dar una definicin inexacta, pues mantendramos al margen todos los dems elementos que componen dicha ciencia y que tiene por objeto el clculo, la cantidad, o sea, los nmeros, las figuras y los movimientos.Los conocimientos matemticos permiten investigar los procesos y las leyes de la naturaleza, la sociedad y la tcnica, as como, resolver los problemas prcticos que se presentan en la vida diaria en dichos campos.El clculo matemtico es cada vez ms necesario para los profesionales del mundo financiero a todos los niveles. Muchas de las operaciones financieras no pueden ultimarse ni explicarse sin recurrir a conceptos matemticos, por lo general relativamente sencillos, pero en los que intervienen por lo menos los clculos de inters y a veces conceptos estadsticos.Desde 1494, ao en el que fue escrito el primer libro contable La Summa de Fray Luca Pacciolo, se puede decir que la matemtica y la contabilidad estn estrechamente ligadas ya que este libro result ser un tratado fundamental de matemticas, principalmente de lgebra y aritmtica.Las herramientas simblicas de las que se vale la contabilidad son innatas del conocimiento lgico matemtico; el hombre para su actividad econmica y para sus negocios desde la antigedad estuvo obligado a hacer numerosos clculos donde el resultado de estas operaciones dependa totalmente del uso adecuado de los procedimientos que pudiera brindarle la matemtica.Todos los miembros de la sociedad (entidades econmicas, instituciones, personas fsicas) se relacionan con el dinero, que circula de unos a otros, incrementndose o disminuyendo. Por consiguiente, es necesario tener clara visin sobre ciertos aspectos relacionados con ese intermediario general: de qu fuentes puede obtenerse y en qu cantidad; las condiciones en que se obtiene; cmo administrarlo del modo ms eficiente posible; cunto y cundo se pagar o se cobrar. Todo esto es posible con el empleo de algoritmos matemticos que brinden informacin para la adopcin de medidas aceptadas.

Fernndez Haber y Domnguez Delgado: "La matemtica en la contabilidaden Contribuciones a la Economa, agosto 2010, enhttp://www.eumed.net/ce/2010b/

DESARROLLOLa utilizacin de los nmeros reales para medir precios, cantidades, ingresos, tipos impositivos, tipos de inters y costos medios, entre otras cosas es el ejemplo ms claro de la aplicacin de la matemtica a la contabilidad. Segn estudios realizados, la contabilidad no ha logrado expresar con la terminologa matemtica todos los procedimientos y leyes que dominan su prctica concreta, sera ideal que todo fenmeno contable sea identificado con un modelo matemtico.En muchos trabajos de Contabilidad vemos elementos de matemtica, por ejemplo la Teora de Redes y el lgebra de Matrices para la representacin y el tratamiento de flujos contables en la Contabilidad de Costos, en la Financiera y en el Planeamiento Financiero.El libro "Costos. Contabilidad, Anlisis y Control", que es considerado de gran valor aborda casi todos los temas de Contabilidad de Costos con una ptica innovadora utilizando las tcnicas analticas cuantitativas ms elaboradas, por ejemplo, se revisan Tcnicas de Presupuestacin y Contabilidad por reas de Responsabilidad utilizando la Teora de las Cadenas de Markov, en el prorrateo de Costos Indirectos utiliza el clculo matricial y se hace un estudio sobre Costos Estndar con la ayuda del Clculo Infinitesimal. Adems de estos elementos tambin emplean el Anlisis Combinatorio, las Lneas de Espera, la Programacin Lineal, el Muestreo Estadstico, la Programacin Dinmica y el Anlisis Insumo-Producto.El Modelo Matemtico Contable surge como muestra de la relacin entre ambas ciencias, es decir, la representacin de un problema contable a travs de un modelo matemtico; aqu la utilizacin de las matrices en su concepcin matemtica se ve asociada al problema donde las filas estn relacionada con los dbitos y las columnas con los crditos, garantizando as una representacin concisa y uniforme.De la informacin generada por los registros contables se apoya la llamada Matemticas Financieras, que como bien lo dice su nombre, es la aplicacin de la matemtica a las finanzas, donde tiene su centro en el estudio del valor del dinero en el tiempo, para obtener un rendimiento o inters combinando el capital, la tasa y el tiempo y que con ella se resuelven problemas econmicos que tienen que ver con la sociedad como es el caso de ajustes econmicos, presupuesto, decisiones de inversin, etc.Hay modelos econmicos que manejan las funciones compuestas, es el caso de variables econmicas importantes como son la oferta y la demanda que responden a cambios en parmetros como los precios se pueden ver expresadas matemticamente por funciones definidas implcitamente por un sistema de ecuaciones.Los rendimientos de las funciones de produccin estn evaluados tambin con el grado de homogeneidad de dicha funcin, terminologa matemtica sta, es decir, se catalogan como rendimientos constantes, decrecientes a escala o crecientes a escala en dependencia del valor que tome ste.Los problemas de optimizacin econmicos ya sean de maximizar o minimizar requieren de varias variables y pueden ser descritos matemticamente por una funcin objetivo la cual hay que optimizar y que puede estar sujeta o no a restricciones; conduciendo as a un problema de programacin lineal que es una tcnica matemtica de inmensa importancia.La programacin no lineal est tambin presente en los problemas econmicos como es el caso de hallar niveles no negativos de actividad a los cuales hay que hacer operar los procesos de produccin para obtener la mayor cantidad posible del bien, teniendo en cuenta la imposibilidad de usar ms recursos de los que se dispone en total.La teora de las ecuaciones diferenciales es uno de los campos ms fascinantes de las matemticas, sta comprende muchos resultados sobre el comportamiento general de las soluciones. En la contabilidad la vemos asociada a problemas como es el caso del crecimiento econmico que se necesita de una ecuacin diferencial para describir la acumulacin del capital a lo largo del tiempo y en un rea importante de la optimizacin dinmica, la llamada clculo de variaciones, donde la condicin de primer orden para ptimo necesita de una ecuacin diferencial de segundo orden.Al clculo diferencial est ligada la llamada integracin, herramienta til para los econmicos que le ayuda en determinados razonamientos como es el caso del clculo de magnitudes importantes como son el de las reservas del flujo de divisas de un pas, el clculo de rentas de las personas fsicas y la influencia de la distribucin de la renta en la demanda, su valor actual, el futuro y el descontado.A travs de las estadsticas se pueden hacer mediciones cuantificables para controlar y proyectar sus operaciones financieras y el lgebra Lineal facilita la descripcin de un modelo econmico por un sistema de ecuaciones lineales del cual es importante saber si tiene solucin y cuando esta es nica.Las series numricas, otro elemento matemtico, tienen gran aplicacin en la economa y las finanzas en clculos como el del Valor del dinero a travs del tiempo y flujos de pagos.La lgica, que a pesar de ser una rama de la matemtica es considerada como ciencia y arte de encontrar la verdad, de discernir lo verdadero de lo falso tambin encuentra su aplicacin en la contabilidad.Estos ltimos aos han sido protagonistas de la aparicin de ms productos de los que el mundo del comercio y del dinero hubiese creado jams, resultando evidente su aceleracin cada minuto que pasa. Y es que aparejado a estas innovaciones desenfrenadas se ha desarrollado evolutivamente otro aspecto de este campo: el de los instrumentos matemticos.CONCLUSIONESNo se concibe la economa ni la contabilidad sin habilidades matemticas, ya que el desarrollo de modelos matemticos ofrece enormes posibilidades de avance cientfico para la Contabilidad y la Contabilidad y son la base para extraer las informaciones que sustentan a los registros contables, el contenido de los estados financieros, as como su anlisis e interpretacin.Son las matemticas, por lo tanto, un admirable complemento de la Contabilidad moderna, ya que al desarrollarse sta tan rpidamente ha ensanchado considerablemente su campo de accin, necesitndose en la solucin de los muchos problemas que en la prctica se presentan, y con el fin de obtener un considerable ahorro de esfuerzo y tiempo, de las relaciones que ella investiga en el campo de las finanzas.BIBLIOGRAFA1. Arenas Herrera, Jess. La modelacin matemtica como base de la autonoma cientfica de la contabilidad.2. Ballestero, Enrique 1975 La Nueva Contabilidad Madrid, Alianza Editorial, S.A. 1979 Teora y Estructura de la Nueva Contabilidad. Madrid, Alianza Editorial, S.A.Corcoran, A. Wayne 1983 Costos. Contabilidad, Anlisis y Control. Mxico, Editorial Limusa.Cyert, H.J. et altri 1962 Estimation of the allowance for doubtful accounts by Markov Chains. Management Science.3. En http://www.alfinal.com/consultor/management/modelacionmatematica.shtml, 10-03-20044. En http://ciberconta.unizar.es/LECCION/estatuto/estatuto.pdf.5. Griffin, Charles - WILLIAMS, Thomas. Un anlisis comparativo de la contabilidad y las matemticas. Pgs. 333-340-6. Kleiman, Ariel y Kleiman, Elena K. De 1973 Matrices. Aplicaciones matemticas en Economa y Administracin. Mxico, Editorial Limusa.7. Mepham, M.J. 1966 Matrix Algebra and Accounting - I. The Accountant8. Revista Contadura - Universidad de Antioquia No. 26-27. Marzo-septiembre de 1995. Pg. 68.9. Shank, John K. 1972 Matrix methods in Accounting Reading, Massachusetts, Addison-Wesley Publishing Company.10. Springer, Clifford H. et altri 1972 Inferencia Estadstica. Mxico, Unin Tipogrfica Editorial Hispanoamericana, Serie de Matemticas para la Direccin de Negocios, Tomo III.11. Thierauf, Robert J. 1982 Introduccin a la Investigacin de Operaciones Mxico, Editorial Limusa12. Tua Pereda, Jorge, El concepto de la contabilidad a travs de sus definiciones, Cap. 3, pg. 124 Ibid., p. 166 (http://www.eumed.net/ce/2010b/fhdd.htm)

En este curso se abordar el estudio del Algebra Lineal y se analizar su aplicacin en las reas correspondientes de la contabilidad al establecer un sistema contable, por ejemplo, el subsistema de determinacin y clculo de costos. En ese contexto, lo ms importante es la habilidad de manejar los conceptos de: matrices y sistemas de ecuaciones lineales, sus propiedades y sus operaciones. Es evidente que para el aprendizaje de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, se hace necesario saber, con antelacin los conceptos de ecuacin lineal. Lo que implica el conocimiento y la experiencia en el uso de aritmtica, geometra analtica y trigonometra.Por ello es importante que analizar los conocimientos que se solicita adquirir en este curso de Algebra Lineal y se reflexione sobre el plan a seguir para cumplir con dicho requerimiento.TemasSubtemas

1 Nmeros complejos.1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos.1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.1.3 Potencias de i, mdulo o valor absoluto de un nmero complejo.1.4 Forma polar y exponencial de un nmero complejo.1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extraccin de races de un nmero complejo.1.6 Ecuaciones polinmicas.

2 Matrices y determinantes.2.1 Definicin de matriz, notacin y orden.2.2 Operaciones con matrices.2.3 Clasificacin de las matrices.2.4 Transformaciones elementales por rengln. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.2.5 Clculo de la inversa de una matriz.2.6 Definicin de determinante de una matriz.2.7 Propiedades de los determinantes.2.8 Inversa de una matriz cuadrada a travs de la adjunta.2.9 Aplicacin de matrices y determinantes.

3 Sistemas de ecuaciones lineales.3.1 Definicin de sistemas de ecuaciones lineales.3.2 Clasificacin de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucin.3.3 Interpretacin geomtrica de las soluciones.3.4 Mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.3.5 Aplicaciones.

4 Espacios vectoriales.4.1 Definicin de espacio vectorial.4.2 Definicin de subespacio vectorial y sus propiedades.4.3 Combinacin lineal. Independencia lineal.4.4 Base y dimensin de un espacio vectorial, cambio de base.4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt.

5 Transformaciones lineales.5.1 Introduccin a las transformaciones lineales.5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal.5.3 La matriz de una transformacin lineal.5.4 Aplicacin de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin.

Actividad de aprendizaje:Investigar la aplicacin de cada uno de los temas en la prctica profesional del contador Pblico. Y realizar el reporte en escritura manual en el siguiente formato:Reporte de actividad de aprendizaje.Aplicacin de los temas de Algebra Lineal en la prctica profesional de los contadores pblicos.Nombre:TemasAplicaciones

1 Nmeros complejos.

2 Matrices y determinantes.

3 Sistemas de ecuaciones lineales.

4 Espacios vectoriales.

5 Transformaciones lineales.

En el aprendizaje del Algebra Lineal para los Contadores Pblicos, se debe enfatizar la importancia de las matrices ya que se aplican, por lo general como herramienta para la solucin de problemas que involucran la aplicacin de los sistemas de ecuaciones lineales. Qu es una matriz?Para responder a esta pregunta, se analiza previamente y se reflexiona en grupo la definicin del concepto.Definicin de concepto.Losconceptosson construcciones oimgenes mentales, por medio de las cualescomprendemoslasexperienciasque emergen de la interaccin con nuestroentorno. Estas construcciones surgen por medio de la integracin enclasesocategoras, que agrupan nuestros nuevos conocimientos y nuestras nuevas experiencias con los conocimientos y experiencias almacenados en la memoria. (http://es.wikipedia.org/wiki/Concepto)

El concepto como constructo mentalEl concepto es una representacin grfica de la simbologa representativa de las palabras; son "construcciones" mentales de todo lo que nos rodea y podemos percibir como efectivamente lo hacemos, con smbolosque definen elmundoque nos rodea y en el que nos encontramos. (http://es.wikipedia.org/wiki/Concepto)Actividad de aprendizaje.Mi concepto de concepto

Actividad de aprendizaje.Investigar tres definiciones de matriz y escribir el concepto personal de matriz.Definicin1 de matriz.

Fuente:

Definicin2 de matriz.

Fuente:

Definicin3 de matriz.

Fuente:

Concepto de Matriz:

Nombre:

Actividad de aprendizaje. Leer el siguiente artculo de historia.HistoriaCronologa1

AoAcontecimiento

200a.C.EnChinalos matemticos usan series de nmeros.

1848d.C.J. J. Sylvesterintroduce el trmino "matriz".

1858CayleypublicaMemorias sobre lateora de matrices.

1878Frobeniusdemuestra resultados fundamentales en lgebra matricial.

1925Werner Heisenbergutiliza la teora matricial en lamecnica cuntica

El origen de las matrices es muy antiguo. Loscuadrados latinosy loscuadrados mgicosse estudiaron desde hace mucho tiempo. Uncuadrado mgico, 3 por 3, se registra en laliteratura chinahacia el650a.C.2Es larga la historia del uso de las matrices para resolverecuaciones lineales. Un importante texto matemticochinoque proviene del ao300a.C.a200a.C.,Nueve captulos sobre el Arte de las matemticas(Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del mtodo de matrices para resolver unsistema de ecuaciones simultneas.3En el captulo sptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto dedeterminanteapareci por primera vez, dos mil aos antes de su publicacin por el matemticojaponsSeki Kwaen1683y el matemticoalemnGottfried Leibnizen1693.Los "cuadrados mgicos" eran conocidos por los matemticosrabes, posiblemente desde comienzos delsiglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemticos y astrnomos de laIndia, junto con otros aspectos de las matemticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino deChina. Los primeros "cuadrados mgicos" de orden 5 y 6 aparecieron enBagdaden el983, en laEnciclopedia de la Hermandad de Pureza(Rasa'il Ihkwan al-Safa).2Despus del desarrollo de la teora dedeterminantesporSeki KowayLeibnizpara facilitar la resolucin deecuaciones lineales, a finales delsiglo XVII,Cramerpresent en1750la ahora denominadaregla de Cramer.Carl Friedrich GaussyWilhelm Jordandesarrollaron laeliminacin de Gauss-Jordanen elsiglo XIX.FueJames Joseph Sylvesterquien utiliz por primera vez el trmino matriz en1848/1850.En1853,Hamiltonhizo algunos aportes a la teora de matrices.Cayleyintrodujo en1858lanotacin matricial, como forma abreviada de escribir un sistema demecuaciones lineales connincgnitas.Cayley,Hamilton,Hermann Grassmann,Frobenius,Olga Taussky-ToddyJohn von Neumanncuentan entre los matemticos famosos que trabajaron sobre la teora de las matrices. En1925,Werner Heisenbergredescubre el clculo matricial fundando una primera formulacin de lo que iba a pasar a ser lamecnica cuntica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecnica cuntica.Olga Taussky-Todd(1906-1995), durante laII Guerra Mundial, us la teora de matrices para investigar el fenmeno deaeroelasticidadllamadofluttering.Fin de la historia

Si consideramos que:Enmatemticas, unamatrizes un arreglobidimensionaldenmeros. Cul es tu concepto de nmero?Mi concepto de nmero

Historia del concepto de nmeroCognitivamente el concepto de nmero est asociado a la habilidad decontary comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es ms numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisin cuantos elementos formaban una coleccin de cosas. Esos problemas podan ser resuletos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenmeno simple, aunque la mayora de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mnimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material siemple, slo disponen de trminos para los nmeros 1, 2 y 3 y usualmente usan el trmino "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 ms 3 y otros 3" cuando es necesario.Elconteose debi iniciar mediante el uso de objetos fsicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas enhuesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 aos de antigedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 aos de antigedad. Ambos casos constituyen una de las ms antiguas marcas de cuenta conocidas habindose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.2En cuanto al origen ordinal algunas teoras lo sitan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayora de familias lingsticas reflejan que la operacin de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razn por la cual los sistemas de base decimanl y vigesimal son los ms abundantes), aunque estn testimoniado el empleo de otras bases numricas adems de 10 y 20.El paso hacia los smbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparicin de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocrticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estara en primitivos smbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez haban venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000a.C.) Los smbolos numerales ms antiguos encontrados se sitan en las civilizaciones mesopotmicas usndose como sistema de numeracin ya no solo para la contabilidad o el comercio sino tambin para la agrimensura o la astronoma como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.3En conjunto, desde hace 5.000 aos la mayora de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los nmeros (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Bsicamente la podemos clasificar en tres categoras:1. Sistemas de notacin aditiva. Acumulan los smbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el nmero. Aunque los smbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posicin (de ms a menos). De este tipo son los sistemas de numeracin:Egipcio, hitita, cretense,romano, griego, armenio y judo.2. Sistemas de notacin hbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 smbolos de 100, en stos se utiliza la combinacin del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeracin: Chino clsico, asirio, armenio, etope ymaya. Este ltimo utilizaba smbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Ao 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dgitos.3. Sistemas denotacin posicional. La posicin de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas adems de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: Elsistema Chino (300a.C.)que no dispona de 0, elsistema Babilnico (2000a.C.)con dos smbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300a.C.http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeroConcepto general de nmero

Tipos de nmerosLos nmeros ms conocidos son losnmeros naturales. Denotados mediante, son conceptualmente los ms simples y los que se usan para contar unidades discretas. stos, conjuntamente con los nmeros negativos, conforman el conjunto de losenteros, denotados mediante(del alemnZhlen'nmeros'). Los nmeros negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos nmeros naturales.Otro tipo de nmeros ampliamente usados son nmeros fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como nmeros mixtos (un conjunto de unidades ms una parte inferior a la unidad). Los nmeros fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los nmeros fraccionarios es el conjunto de los nmeros racionales(que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de nmeros de designa como.Los nmeros racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prcticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geomtricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son nmeros no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solucin numrica de una ecuacin polinmica cuyos coeficientes son nmeros racionales, usualmente es un nmero no racional. Puede demostrarse que cualquier nmero irracional puede representarse como una sucesin de Cauchyde nmeros racionales que se aproximan a un lmite numrico. El conjunto de todos los nmeros racionales y los irracionales (obtenidos como lmites de sucesiones de Cauchy de nmeros racionales) es el conjunto de losnmeros reales. Durante un tiempo se pens que toda magnitud fsica existente poda ser expresada en trminos de nmeros reales exclusivamente. Entre los reales, existen nmeros que no son soluciones de una ecuacin polinomial o algebraica, que reciben el nombre detranscendentales. Ejemplos famosos de estos nmeros son el nmero (Pi)y elnmero e(este ltimo base de loslogaritmos naturales), los cuales estn relacionados entre s por laidentidad de Euler.Uno de los problemas de los nmeros reales es que no forman uncuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solucin planteados en trminos de nmeros reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron losnmeros complejos, que son el mnimocuerpoalgebraicamente cerrado que contiene a los nmeros reales. Adems algunas aplicaciones prcticas as como en las formulaciones estndar de la mecnica cuntica se considera til introducir losnmeros complejos. Al parecer la estructura matemtica de los nmeros complejos refleja estructuras existentes en problemas fsicos, por lo que en fsica terico y en diversas aplicaciones los nmeros complejos se usan en pie de igualdad con los nmeros reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados nicamente como un artificio matemtico sin relacin con la realidad fsica. Todos los conjuntos de nmerosfueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexin con problemas planteados en problemas fsicos o en el seno de la matemtica elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad fsica.Fuera de los nmeros reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de nmeros que generalizan an ms y extienden el concepto de nmero de una manera ms abstracta y responden ms a creaciones deliberadas de matemticos. La mayora de estas generalizaciones del concepto de nmero se usan slo en matemticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas fsicos. Entre ellos estn losnmeros hipercomplejosque incluyen a loscuaternionestiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos comooctonionesy lossedeniones.A un nivel un poco ms abstracto tambin se han ideado conjuntos de nmeros capaces de tratar con cantidadesinfinitaseinfinitesimalescomo loshiperrealesy lostransfinitos.

Nmeros complejosMi concepto de nmero complejo

1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos.Actividad de aprendizaje: leer el siguiente articulo (abrir con click derecho).

OrigenEl primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico italianoGirolamo Cardano(15011576) quien los us en la frmula para resolver las ecuacionescbicas. El trmino nmero complejo fue introducido por el gran matemtico alemnCarl Friedrich Gauss(17771855) cuyo trabajo fue de importancia bsica enlgebra,teora de los nmeros,ecuaciones diferenciales,geometra diferencial, geometra no eucldea,anlisis complejo,anlisis numricoymecnica terica, tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos.

Concepto general de nmero complejo

1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.

DefinicinDefiniremos cada complejozcomo unpar ordenadode nmeros reales (a,b) (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones: Suma Producto por escalar Multiplicacin Igualdad A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes: Resta Divisin

Al primer componente (que llamaremosa) se le llamaparte realy al segundo (que llamaremosb),parte imaginaria. Se denominanmero imaginario puroa aquel que esta compuesto slo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que.http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

Nmeros complejosNmeros complejos en forma binmicaUnnmero complejoenforma binmicaesa + bi.El nmeroaes laparte realdelnmero complejo.El nmerobes laparte imaginariadelnmero complejo.

Sib = 0elnmero complejose reduce a unnmero real, ya que a + 0i=a.Sia = 0elnmero complejose reduce abi, y se dice que es unnmero imaginario puro.

El conjunto de losnmeros complejosse designa por.

Operaciones de complejos en forma binmicaSuma de nmeros complejos(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta de nmeros complejos(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

( 5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) == (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i=7 + 7i

Multiplicacin de nmeros complejos(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i( 5 + 2i) ( 2 3i) ==10 15i+ 4i 6i2= 10 11i+ 6 =16 11i

Divisin de nmeros complejos

Ejemplos:1. 2. 3. 4. 5. 6. Resolucin de ejemplos:

Resolucin de ejercicios propuestos1.3 Potencias de i, mdulo o valor absoluto de un nmero complejo.Potencias de la unidad imaginariai0= 1i1=ii2= 1i3= ii4= 1Los resultados de laspotencias de la unidad imaginariase repiten de cuatro en cuatro.Para saber cunto vale una determinada potencia dei, se divide el exponente entre 4, y elrestoes elexponentede la potencia equivalente a la dada.i22

i22= (i4)5i2= 1i27= i

Ejercicios:

Calcular las siguientes potencias:1. 2. 3. 4.

Resolucin de ejercicios propuestos1.4 Forma polar y exponencial de un nmero complejo.Nmeros complejos en forma polarMdulo de un nmero complejoEl mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por|z|.

Argumento de un nmero complejoEl argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa porarg(z)..Expresin de un nmero complejo en forma polar.z = r|z| = rres elmdulo.arg(z) =es elargumento.

Operaciones de complejos en forma polarMultiplicacin de complejos en forma polar

645 315=1860

Producto por un complejo de mdulo 1Al multiplicar un nmero complejo z = rpor 1se gira z un ngulo alrededor del origen.r 1= r +

Divisin de complejos en forma polar

645: 315=230

Nmeros complejos en forma trigonomtricar (cos +isen )

Binmicaz = a + bi

Polarz = r

trigonomtricaz = r (cos +isen )

Pasar a la forma polar y trigonomtrica:

z = 260z = 2 (cos 60 + i sen 60)

z = 2120z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z = 2240z = 2 (cos 240 + i sen 240)

z = 2300z = 2 (cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20z = 2 (cos 0 + i sen 0)

z = 2

z = 2180z = 2 (cos 180 + i sen 180)

z = 2i

z = 290z = 2 (cos 180 + i sen 180)

z = 2i

z = 2270z = 2 (cos 270 + i sen 270)

Escribe en forma binmica:z = 2120z = 2 (cos 120 +isen 120)

z =10=1z =1180= 1z =190=iz =1270= iResolucin de ejercicios

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extraccin de races de un nmero complejo.

Potencias de complejos en forma polar

(230)4=16120Frmula de Moivre

Raz de complejos en forma polar

k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)

Resolucin de ejercicios.1.6 Ecuaciones polinmicas.Anlisis de races de ecuaciones polinomialesEn el caso del anlisis de races de ecuaciones polinomiales, es muy importante el estudio deTeorema fundamental del algebra,elTeorema del residuo,y elTeorema del factorque vamos a enunciar a continuacinTeorema fundamental del algebraToda ecuacin polinomial de grado mayor o igual a uno tiene al menos una raz, es decir que el teorema fundamental del algebra (TFA) asegura la existencia de al menos una raz para cualquier ecuacin polinomial de grado mayor o igual a uno.Teorema del residuoEl residuo de dividir el polinomioDe gradon 1 entre x-b, donde b es cualquier constante, es igual(b).Teorema del factorSi el residuo de dividir el polinomio(x) (de grado mayor o igual a uno) entre x-b es cero, entonces x-b es un factor de(x) entonces el residuo de dividir(x) entre x-b es cero.Ejemplos:El polinomio, tiene una raz real a saber: -0.9112547456Al dividirel resultado es 145Cmo se obtuvo este resultado?El resultado se obtuvo por medio de una divisin sinttica, la cual consiste en lo siguiente:Se ordena el polinomio en orden decreciente.Se separan los coeficientes poniendo ceros donde no hay trmino correspondiente.Se cambia de signo al trmino independiente que esdivisor.El primer trmino del cociente es el primer coeficiente del trmino de mayor grado.A partir de ese momento se multiplican los cocientes por el divisor hasta el ltimo trmino del dividendo.El nmero final que queda es el residuo.Ejemplo:Tomando el polinomio anterior, se tiene:Este es el residuoDe acuerdo con el teorema del factor el polinomiotiene factor x+3, esto se comprueba por que al efectuar la division deentre x+3 el residuo es ceroSolucin de una ecuacinDefinicin:La solucin de una ecuacin es el nmero de o conjunto de nmeros reales o complejos que al sustituirlo en lugar de la variable satisface a la igualdad ejemplo: la solucin de la ecuacintiene como solucinComo sepodr observar a partir de este momento, por cada raz compleja que es solucin de la ecuacin, se tiene su conjugado.Hay que observar que el nmero total de races que tiene un polinomio, por el TFA corresponde al grado del trmino mayor del polinomio. En el ejemplo, el grado del polinomio es 3 y tiene 3 races.La pregunta es, del nmero total de races que tiene un polinomio cuntas se pueden esperar que sean reales y cuntas complejas, adems de las reales cuntas podran ser positivas y cuntas sern negativas? esta pregunta se puede contestar con la regla de los signos de Descartes.Regla de los signos de DescartesLa ecuacin polinomial de grado ncon 0, en donde todos sus coeficientes son nmeros reales y 0, es decir que el cero no es una raz de la ecuacin entonces:1.El nmero de races positivasde(x)=0 contadas cada una tantas veces como indique su multiplicidad, es igual al nmero de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio o es menor que este nmero disminuido en una cantidad par.2.El nmero de races negativas de(x)=0 contadas cada una tantas veces como indique su multiplicidad, es igual al nmero de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio valuado en ---x, es decir(-x) o es menor que este nmero disminuido en una cantidad par.Ejemplo:Seano tiene ningn cambio de signo, por lo tanto no se espera ninguna raz real positiva. Haciendoveamos que tiene tres cambios de signo, por lo tanto esperamos tres races reales negativas o una raz real negativa.Races reales positivasRaces reales negativasRaces complejas

032

014

Resolviendo para:=0Se tiene { 0.2995457166 0.6279304552i, 0.2995457166 +0.6279304552i, 0.04804288559 2.483977456i, 0.04804288559 + 2.483977456i, -0.6951772044} la solucin presentada cumple claramente con la regla de los signos de Descartes, pues tiene una raz real negativa y cuatro races reales complejas.Ntese como se dijo, cuando hay una raz compleja esta viene por pares es decir que para cada raz compleja se tiene su conjugado.

Las matrices se usan generalmente para describirsistemas de ecuaciones lineales,sistemas de ecuaciones diferencialeso representar unaaplicacin lineal(dada unabase). Las matrices se describen en el campo de lateora de matrices.Las matrices se utilizan para mltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de lossistemas de ecuaciones linealeso para representar lasaplicaciones lineales; en este ltimo caso las matrices desempean el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que tambin las hace un concepto clave en el campo dellgebra lineal.

Breve historia de los Numeros Complejos 1

Breve historia de los Numeros Complejos

Teniendo conocimiento de como la raza hu-mana ha adquirido su sabidura sobre ciertoshechos y conceptos, estaremos en mejor dis-posicion de juzgar como los ninos adquierental conocimiento.George Polya (1887-1985)

Primeras referencias: SI-SXIILa primera referencia escrita de la raz cuadrada de un numero negativo la encontramos en la

obra Stereometra de Heron de Alejandra (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I.

Es este trabajo comparece la operacion81 144 aunque es tomada como144 81, no sabiendose

si este error es debido al propio Heron o al personal encargado de transcribirlo.

La siguiente referencia sobre esta cuestion se data en el ano 275 en la obra deDiophantus (aprox.

200-284) Arithmetica. En su intento de calculo de los lados de un triangulo rectangulo de permetro

12 y area 7, Diophantus planteo resolver la ecuacion 336x2+24 = 172x, ecuacion de races complejas

como puede ser comprobado facilmente.

Son los matematicos hindues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas.

Mahavira, alrededor del ano 850, comenta en su tratado de los numeros negativos que como en

la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raz

cuadrada. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:

El cuadrado de un numero, positivo o negativo, es positivo; la raz cuadrada deun numero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe razcuadrada de un numero negativo ya que un numero negativo no es un cuadrado.

Primeros estudios: SXVI

J. Cardan (1501 - 1576)

En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matematico, fsico y filosofo italiano, publica

Ars Magna (El Gran Arte) en el cual describe un metodo para resolver ecuaciones algebraicas de

grado tres y cuatro. Esta obra se converta as en el mayor tratado de algebra desde los Babilonicos,

3000 anos antes, que dedujeron como resolver la ecuacion cuadratica.

Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:

Analisis Matematico VI - Curso 2006/2007


Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente queesta cuestion es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.

Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x+ y = 10, xy = 40 dando como

soluciones 5 +15 y 515. Por multiplicacion probaba Cardan que el producto era 40. Esta

es la primera constancia escrita de la raz de un numero negativo y de su manejo algebraico.

Cardan tambien tropieza con estas races en las soluciones que presenta de la ecuacion cubica

x3 = ax+ b. Tales soluciones vienen dadas por:

x =3

b2+

(b

2

)2(a3

)3+

3

b2(

b

2

)2(a3

)3.

Para la ecuacion x3 = 15x+ 4 esta formula da como solucion x = 32 +

121 + 32121,

la cual Cardan dio por valida. Como esta ecuacion tiene las races 4, 2+3 y 23, interesaba larelacion con las propuestas por la formula de Cardan. Fue el ingeniero hidraulico Rafael Bombelli

(Italia, 1526 - 1572), unos treinta anos despues de la publicacion de la obra de Cardan, quien introdujo

un razonamiento que el mismo catalogo de un tanto salvaje. Planteo que como 2 + 121 y2121 solo se diferencian en un signo, lo mismo deba suceder con sus races cubicas. As escriba

3

2 +121 = a +b y 3

2121 = ab,

donde por calculo directo obtena que a = 2 y b = 1, luego

3

2 +121 + 3

2121 = (2 +1) + (2 +1) = 4.

As Bombelli daba sentido a las expresiones sin sentido de Cardan.

Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli

desarrollo un calculo de operaciones con numeros complejos que se ajusta a los que conocemos en la

actualidad.

Comentar en este punto que comunmente se dice que fue la ecuacion cuadratica la que forzo la

definicion de los numeros complejos. Con lo expuesto anteriormente debemos asignar a la ecuacion

de orden tres tal papel.

A pesar de lo aportado por Bombelli, su trabajo sobre esta materia (LAlgebra) fue ampliamente

ignorado y considerado como misterioso e incierto. Simon Stevin apunto en 1585 lo siguiente en esta

direccion:

Tiene toda la legitimidad el que uno se ejercite en otras tareas y no pierda el tiempoen inexactitudes.

Dos siglos y medio cubrieron las dudas sobre el significado y la autenticidad de los numeros

complejos. No obstante, fueron estudiados por un gran numero de matematicos.

Consolidacion del area: SXVII-SXVII-SXIX



A principios de 1620, Albert Girard sugiere que las ecuaciones de grado n tienen n races. Esta

premonicion del teorema fundamental del algebra estaba en este caso planteada de forma vaga y sin

rigor.

Rene Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizo con el nombre de imaginarios a los nuevos

numeros, apunto tambien que toda ecuacion deba tener tantas races como indica su grado, aunque

numeros no reales podan ser alguna de ellas.

R. Descartes (1596-1650) G. W. Leibniz (1646-1716)

La siguiente referencia destacable data de 1673 con una carta de Christian Huygens (Holan-

da, 1629-1695) a Gottfried von Leibniz (Alemania, 1646-1716). En ella expresa la impresion del

primero sobre la identidad1 +

3 +1 +

3 = 6, que le haba mencionado Leibniz en unacarta anterior. Huygens se expresa en los siguientes terminos:

Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando sonsumadas da una cantidad real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno nuncacreera que esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensiblepara m.

Los numeros complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan Ber-

noulli (Suiza, 1667-1748) usaron numeros imaginarios en la resolucion de integrales. Por ejemplo,1

x2 + a2dx =

1

(x+ ai)(x ai) dx = 1

2ai

(1

x+ ai 1

x ai)

dx = 12ai

(log(x+ai)log(xai)).

Este tipo de razonamientos generaron la polemica sobre la existencia del logaritmo de numeros

negativos y complejos. Un acalorado debate tuvieron Bernoulli y Leibniz donde este ultimo pos-

tulo que log i = 0 argumentando que como 2 log(1) = log(1)2 = log 1 = 0 entonces 2 log i =log i2 = log(1) = 0. Bernoulli propona por contra, log i = i/2. La controversia fue resuelta porLeonhard Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad ei = 1.



L. Euler (1707-1783)

Los numeros complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean DAlembert

en hidrodinamica y por Euler, DAlembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas erroneas del teorema

fundamental del algebra. Euler fue el primero en usar la notacion i =1, haciendo ademas un uso

fundamental de los numeros complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonometricas

por la expresion eix = cosx + i senx. Euler se expresaba en los siguiente terminos:

Como todos los numeros imaginables son mayores, menores o iguales a cero, en-tonces es claro que la raz cuadrada de un numero negativo no puede ser uno de estosnumeros,[...] y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales numeros, que porsu naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o numerosfalsos, porque solo existen en la imaginacion.

Incluso en gran Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1856), en cuya tesis doctoral (1797) se

daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del algebra, apunto a finales de 1825 que

la verdad metafsica de1 es elusiva.

C. F. Gauss (1777-1856)

Esto ilustra en parte que la satisfaccion logica sobre los numeros complejos entraba a finales del

siglo XVIII mas en el terreno de la filosofa que en el de las matematicas. Todo lo bueno que tuvo la

Era de la Razon para todas las areas, fue en parte perturbador para esta materia.

Pedagogicamente tambien se planteaban dudas. La Universidad de Cambridge como ejemplo, a

principios del siglo XIX, se preguntaba que logica rega sobre las operaciones con numeros complejos

que permitiese su ensenanza. As surgan preguntas como i 2 = 2 i?, es ab = ab paracualquier a y b negativos?, no obtenan respuestas satisfactorias.



En el siglo XIX ya proponen algunos matematicos, de Cambridge principalmente, que deba

haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para

muchos.

La representacion geometrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en

los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand.

No obstante sera la referencia de Gauss de 1831 la que tendra el impacto suficiente.

En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera definicion algebraica

rigurosa de los complejos como pares de numeros reales.

A.-L. Cauchy (1789-1857)

El 1847 es Agoustin-Louis Cauchy (Francia, 1789-1857) quien da una definicion abstracta de

los numeros complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basandose en las clases de

congruencias de enteros dada por Gauss.

Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los numeros complejos

ya han desaparecido, aunque haya textos del siglo XX que aun huan de utilizarlos.

La presencia de los numeros complejos en diversas areas de las matematicas en este siglo puede

ser clasificadas de manera muy generica de la siguiente forma:

a) ALGEBRA. La solucion de ecuaciones algebraicas motivo la introduccion de los numeros com-

plejos. Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado donde muchos problemas

de algebra lineal y otras areas del algebra abstracta encontraron solucion.

b) ANALISIS. El siglo XIX fue testigo del desarrollo de una poderossima y bellsima rama de las

matematicas, la teora de funciones complejas. Uno de los elementos mas sorprendentes es que

la condicion de diferenciable implica la de infinitamente diferenciable, hecho sin analogo en las

funciones reales.

c) GEOMETRIA. Los numeros complejos introdujeron generalidad y propiedades de simetra en

varias ramas de la geometra, tanto en la eucldea como la no eucldea.

d) TEORIA DE NUMEROS. Ciertas ecuaciones diofanticas pueden ser resueltas con el uso de

complejos.

Hadamard deca que el camino mas corto entre dos verdades en el campo real pasa a traves

del campo complejo. Un ejemplo de este autor es altamente ilustrativo: el producto de la suma



de cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, y lo probaba de la siguiente forma:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (a + bi)(a bi)(c + di)(c di)= [(a+ bi)(c + di)][(a bi)(c di)]= (u + iv)(u iv)= u2 + v2

Bibliografa:I. Kleiner, Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral), The Mathe-

matics Teacher, 81:7 (1988), 583-592.

D. E. Smith, History of Mathematics (Vol I-II). Dover. 1958. New York.


algebra lineal para contadores

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