algebra lineal - numeros complejos

8/3/2019 Algebra Lineal - Numeros Complejos

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LOS NMEROS COMPLEJOS

por Jorge Jos Oss Recio

Departamento de Matemticas - Universidad de los Andes Bogot Colombia - 2004

Cuando se estudi la solucin de la ecuacin de segundo grado 2 0ax bx c+ + = se analiz el signo deldiscriminante 2 4b ac- y su relacin con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que laecuacin no tena races reales sino que las races eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar

los nmeros complejos que nos darn la idea completa de la solucin de la ecuacin de segundo grado yuna extensin de los conjuntos numricos. Realizaremos lo que se llama la definicin axiomtica delconjunto de los nmeros complejos.

Seccin 1

Definicin y operaciones en el conjunto de los nmeros complejos.Definicin. Llamamos conjunto de los nmeros complejos y lo denotamos con la letra al conjunto delos pares de nmeros reales ( ),a b en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma. ( ) ( ) ( ), , ,a b c d a c b d + = + +

Multiplicacin. ( ) ( ) ( ), , ,a b c d ac bd ad bc= - +

En el nmero complejo ( ),a b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la

suma y producto de pares no est definida en 2 .

Dos propiedades que cumplen los pares de nmeros reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad. ( ) ( ), ,a b c d a c b d = = =

Multiplicacin por un escalar. ( , ) ( , )a b a b=a a a donde a .

Ejemplo. Dados ( )2,1 y ( )0, 3- , hallar:

a) ( ) ( ) ( ) ( )2,1 0, 3 2 0,1 ( 3) 2, 2+ - = + + - = -

b) ( )( ) ( ) ( )2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6- = - - - + = -

c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8- - - = - + - = -

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Como los nmeros complejos son pares de nmeros reales podemos efectuar una representacin de losmismos mediante el plano 2 (Grfica 1) En esta representacin se le dice eje real(Re) al eje de las x yeje imaginario (Im) al eje de las y .

Grfica 1: Representacin del nmero complejo ( , )a b .

Podemos considerar que los nmeros reales estn contenidos en los nmeros complejos puesto que en el

plano 2 el nmero complejo ( ), 0a coincide con el nmero real a . De este modo tenemos ( , 0 )a a=

cuando a . Los nmeros complejos de la forma (0, )b son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicacin por un escalar a :

( ) ( ), ,a b a b=a a a

Para eso escribimos el nmero real a en la forma ( ), 0a y aplicamos la definicin de multiplicacin:

( ) ( )( ) ( ) ( ), , 0 , 0 , 0 ,a b a b a b b a a b= = - + =a a a a a a .

Denotaremos el nmero complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fcil

demostrar que 2 1i = - .

( )2 2(0,1) (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) ( 1,0) 1i = = = - + = - = -

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuacin 2 1 0x + = .

2 2 2 21 0 1 x x x i x i+ = = - = =

Forma binmica de un nmero complejo

Sea ( , ) z a b= un nmero complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

( , ) ( , 0) (0, ) (1, 0) (0,1) z a b a b a b= = + = +

Pero como (1, 0) 1= y (0,1) i= , entonces ( , )a b a bi= + . En este caso a bi+ se llamaforma binmica obinomia del nmero complejo.

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Suma y multiplicacin de nmeros complejos en la forma binmica

( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + , puesto que , , ,a b c d son todos nmeros reales.

( ) ( ) ( ) ( )2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = - + + porque 2 1i = - .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;por lo que la realizacin de las operaciones de suma y multiplicacin con nmeros complejos se puederealizar en la forma de pares o en la forma binmica , con la ventaja a favor de la forma binmica que setrabaja con las reglas del lgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si 1 (3,2)z = y 2 (4, 1)z = - , halle 1 2z z+ y 1 2z z .

( ) ( )1 2 (3, 2) (4, 1) 3 2 4 7 z z i i i+ = + - = + + - = +

2

1 2 (3, 2) (4, 1) (3 2 )(4 ) 12 3 8 2 (12 2) ( 3 8) 14 5 z z i i i i i i i= - = + - = - + - = + + - + = +

Conjugado de un nmero complejoSi z x yi= + es un nmero complejo llamaremos conjugado del nmero z, al nmero z x yi= - , esdecir, al nmero complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si 3 2z i= + , entonces 3 2z i= - y si 3 2z i= - , entonces 3 2z i= + .

Mdulo y argumento de un nmero complejo

Sea ( , ) z a b a bi= = + un nmero complejo cualquiera. Llamaremos mdulo del nmero complejo z, al

nmero real dado por 2 2a b+ y lo denotaremos por z . El mdulo se interpreta como la distancia al

origen del nmero z (Grfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del nmero complejo z a bi= + , al ngulo comprendido entre el

eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( )z y se calcula

mediante la expresin:

arg( ) arctanb

za

=

.

Grfica 2: Mdulo y argumento de un nmero complejo.

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Propiedad:2

z z z =

Demostracin:

( ) ( )

2 2 2

22 2 2 2 2 2

( )( )

0

z z a bi a bi a abi abi y i

a b ab ab i a b i a b z

= + - = - + - =

= + + - + = + + = + =

Divisin de nmeros complejos

La divisin de nmeros complejos se realiza mediante la multiplicacin y divisin por el conjugado deldenominador:

1

2 2 2

2 2

( ) ( ) z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i

z c di c di c di c d z

+ + - + + - + + + - += = = =

+ + - +

Ejemplo. Dados 1 2 3z i= - y 2 1 2z i= - + , halle: (a) 2z y (b) 12

z

z .

(a) Como 2 1 2z i= - + entonces 2 1 2z i= - -

(b) Para hallar 1

2

z

zmultiplicamos y dividimos por el conjugado 2z .

1

2

2

2 2

2 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )

1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )

2 4 3 6 8 8 1

5 5 5( 1) (2)

z i i i i i

z i i i i i

i i i ii

- - - - - - -= = =

- + - + - - - + - -

- - + + - -= = = - -

- +

Races complejas de la ecuacin de segundo grado

Si el discriminante de la ecuacin 2 0ax bx c+ + = es negativo, debe sustituirse el signo negativo por 2i yde esa forma se obtienenlas races complejas de la ecuacin.

Ejemplo. Resolver la ecuacin 2 2 6 0x x- + = .

Aplicando la frmula de la ecuacin cuadrtica:

2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 20

2(1) 2 2x

- - - - - -= = =

Se puede ver que el discriminante es 20- lo cual puede escribirse como 220 i . Por lo tanto:

22 20 2 20 2 2 51 5

2 2 2

i ix i

- = = = =

As, las races complejas de la ecuacin son:1 1 5x i= - y 2 1 5x i= + .

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Ejercicios de la Seccin 1.

1) Dados los nmeros complejos (3,2)z= y ( 1, 4)w = - - , halle:

(a) z w+ , (b) z w , (c) 3 4z w- , (d) ( 1, 0)w- , (e) (0, 2)z- .

2) Muestre que (0,0) es el elemento neutro para la suma de nmeros complejos.

3) Muestre que (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicacin de nmeros complejos.

4) Calcule:

(a) 3i , (b) 4i , (c) 5i , (d)1

i, (e)

2

1

i.

5) Calcule:

(a) 4ni , (b) 4 1ni + , (c) 4 2ni + , (d) 4 3ni + .

6) Dado el nmero complejo ( , )x y halle el par ( , )u v tal que ( , ) ( , ) (1,0)x y u v = . Al par se le llama

inverso multiplicativo de ( , )x y . Concluya que el par ( , )u v es nico y que el (0,0) no tiene inversomultiplicativo.

7) Verifique que z z= .

8) Verifique que uv y uv son conjugados.

9) Calcule:

(a)3 3

2 4

i

i

+

-, (b)

1 3

2 2

i

i

-

- -.

10) Resuelva la ecuacin ( 2 ) 3i z i- + = + .

11) Halle z tal que (2 )(1 ) 2i i z i+ + = + .

12) Calcule y represente en el plano complejo los nmeros z x yi= + , tales que:

(a) 5z = , (b) 5z .

13) Calcule y represente en el plano complejo los nmeros z x yi= + tales que:

(a) 2 5z- , (b) z i z i- + , (c)2

z z z + = .

14) Resuelva la ecuacin cuadrtica 2 3 3 0x x+ + = .



17) Resuelva la ecuacin 4 213 36 0x x+ + = .

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Seccin 2

Forma trigonomtrica o polar de un nmero complejoLa forma trigonomtrica de un nmero complejo se establece observando el tringulo amarillo de laFigura 3:

Grfica 3: Forma trigonomtrica de un nmero complejo.

En este caso se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) t any

z

x

- = =

q .

Luego:

sin sin

cos cos

yy r

r

xx r

r

= =

= =

q q

q q

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin ) z x y x yi r i r r i= = + = + = +q q q q

sta es la llamada forma trigonomtrica o polar del nmero complejo, la cual est en trminos delmdulo y el argumento. Se denota comnmente por cisz r= q .

Ejemplo: Halle la forma trigonomtrica de 1z i= - .

Hallemos 2 2(1) ( 1) 2r = + - = y1 1

tan1 4

- - = = -

pq .

Note que q est en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

1 2 cos sin 2 cos sin 2 cis4 4 4 4 4

z i i i = - = - + - = - =

p p p p p.

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Multiplicacin de nmeros complejos en su forma trigonomtrica

Sean cisu r= a y cisv s= b , entonces ( ) ( )cisu v rs= +a b . En otros trminos:

( )( )cos( ) sin( )uv rs i= + + +a b a b

Demostracin:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

cis cis

cis cis

cos sin cos sin

cos cos cos sin sin cos sin sin

cos cos sin sin (cos sin sin cos )

cos( ) sin( )

( ) cis( )

u v r s

rs

rs i i

rs i i i

rs i i

rs i

rs

=

=

= + +

= + + +

= - + +

= + + +

= +

a b

a a

a a b b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b

a b

Por lo tanto, la multiplicacin de dos nmeros complejos en su forma trigonomtrica da como resultadoun nmero complejo cuyo mdulo es igual al producto de sus mdulos y cuyo argumento es igual a lasuma de los argumentos.

Ejemplo. Sea 2cis4

u

=

py 3 cos 3

4 4 4v i sen cis

= - = -

p p p.

Entonces ( )6 cis(0) 6 cos(0) sin(0) 6u v i= = + =

Frmula de Moivre

Empleando el resultado delEjercicio 3b de esta seccin, cis( )n n z r n= q , y tomando 1r = , tenemos:

( )cos sin cos( ) sin( )n

i n i n+ = +q q q q .

Esta expresin es la llamadafrmula de Moivre.

Forma exponencial de un nmero complejo

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los nmeros reales, los conceptos de funcin,derivadas, series, etc. Vamos a demostrar lafrmula de Euler:

cos sinie i= +q q q .

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la funcin0 !

nx

n

xe

n

=

= , suponiendo que sea vlido paracuando la variable x es un nmero complejo z.

2 3

01 ..... ...! 1! 2! 3! !

n n

z

n

z z z z z e

n n

== = + + + + + +

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Si tomamos z i= q , nos queda:

2 3

0

2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ..... ...

! 1! 2! 3! !

1 ...

1! 2! 3! 4! 5!

1 ....1! 2! 3! 4! 5!

n ni

n

i i i i ie

n n

i i i i i

i i i

=

= = + + + + + +

= + + + + + +

= + - - + + +

q q q q q q

q q q q q

q q q q q

Agrupando tendremos:

2 4 3 5

1 .... ....2! 4! 1! 3! 5!

ie i

= - + + + - + +

q q q q q q

Estos son los desarrollos de cosq y sinq respectivamente. As que cos sinie i= +q q q .

Sea (cos sin ) z r i= +q q un nmero complejo donde r es su mdulo y q su argumento. Entoncesmediante el empleo de la frmula de Euler se obtiene:

(cos sin )i

z r i r e= + = qq q .

Esta expresin es la llamadaforma exponencialdel nmero complejo. Note que la forma exponencial esequivalente a la trigonomtrica pues dependen de los mismos elementos: mdulo y argumento del nmerocomplejo z. Esta forma es muy cmoda pues podemos efectuar la multiplicacin, divisin y potenciacinempleando las leyes del lgebra.

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos en su forma exponencial

Sean iu re= a y iv se= b . Entonces:

( ) ( )i i iu v re se rs e += =a b a b

( )i

i

i

u re r e

v sse

- = =

aa b

b

Ejemplo: Sea 46

i

u e=

py 4

3

i

v e=

p. Entonces 2

18 6

i

u v e i= =

py (0 )2 2i

ue

v= = .

Ejercicios de la Seccin 2.

1) Represente:

(a) en la forma trigonomtrica el nmero complejo 3 3i- + .

(b) en la forma binmica el nmero complejo ( )2 cos sini-p p .

2) Represente:

(a) en la forma trigonomtrica el nmero complejo 2 2i- - .

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(b) en la forma binmica el nmero complejo 2 cos sin3 3

i +

p p.

3) Multiplicando el mismo nmero complejo n veces, efecte y emplee identidades trigonomtricas paracomprobar que si

1 1 1 1(cos sin ) z r i= +q q ,

2 2 2 2(cos sin )z r i= +q q, ,

(cos sin )n n n n z r i= +q q

entonces

(a) ( )2 21 1 1 1cos(2 ) sin(2 ) z r i= +q q

(b) ( )1 1 1 1cos( ) sin( )n n z r n i n= +q q

(c) ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... cis ...n n n z z z r r r = + + +q q q .

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.

4) Calcule:

(a) ( )9

1 3i- - , (b)( )

7

1

2 2i+

5) Dados 2 2u i= + y 2 2v i= - , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

6) Dados 2 2u i= + y 2 3v i= - , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

7) Halle( )

( )

4

6

3

1 3

i

i

+

- +.

8) Halle( )

( )

84

9

1

1

i

i

+

- -

9


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Seccin 3

Races n-simas de un nmero complejo

En la forma binmica de un nmero complejo la representacin es nica, mientras que en la formatrigonomtrica o exponencial un mismo nmero complejo tiene infinitas representaciones diferentes,

( 2 )i kz r e += q p con k . Para cada valor de k habr una representacin diferente del nmero complejoz.

Definamos la radicacin como la operacin inversa de la potenciacin, esto es:

nnz w z w= = .

Supngase que iw re= q es un nmero complejo de mdulo r y argumento q y que i z se= f un nmerocomplejo de mdulo s y argumento f . Entonces nz w= equivale a:

( 2 )n n i n i i k z s e re r e w

+= = = =f q q p .

De esta manera:

(1) ns r=

(2) 2n k= +f q p

Por lo tanto, i z se= f donde ns r= y2k

n+= q pf , con 1, 2, ,k n= K .

Estas son las frmulas para hallar las n races n-simas de cualquier nmero complejo. Compruebe quepara todo otro valor de k , con k , se obtienen las mismas n races que para 0,1, , 1k n= -K .

Ejemplo. Hallar 1 i+ .

41 2i

i e+ =p

. Por lo tanto 42 2s = = y2

4

2

k+=

p pf , con 0,1k = . Entonces:

Para 0k = , tenemos 4 81

2i

z e=p

.

Para 1k = , tenemos9

4 82

2i

z e=p

.

El logaritmo de un nmero complejo

Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un nmero complejo como la operacininversa de la exponencial, esto es:

logz

z w e w= = .Supngase que iw re= q es un nmero complejo de mdulo r y argumento q , entonces:

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( 2 ) ln ( 2 ) z i k e r e w z r i k += = = + +q p q p .

Ejemplo. Sea (0)1 1 ie= . Por tanto log (1) ln(1) (2 ) 2i k k i= + =p p , con k .

Ejercicios de la Seccin 3

1) Halle las races cuadradas de 1- y verifique que son i y i- .

2) Halle las races cbicas de 1.

3) Halle las races cbicas de 1- .

4) Halle las races cuadradas del nmero 1 3+ i y exprselas en la forma binmica.

5) Halle las races cbicas del nmero 1 3i- - y exprselas en la forma binmica.

6) Halle las races cuadradas de 2 2i- - y represntelas en el plano complejo.

7) Muestre que log( 1) i- = p .

8) Halle:

(a) log( )e , (b) log( )i , (c) log( )ei- .

9) Muestre que1

log(1 ) ln 22 4

i i- = - p .

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Respuestas

Seccin 1

1) a) (2, 2)- , b) (5, 14)- , c) (13,22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)-

6) ( )2 2 2 2

, ,x y

u v x y x y

-=

+ +

9) a)3 9

10

i- +

11) 3 i+

13) a) ( )2 22 25x y- + , crculo de radio 5 centrado en (2,0) y su interior.

15)1

12

i-

17) 2 , 3i i

Seccin 2

1 a) 33 2 ci s4

p

5) a) 2, b) i

7)10

31

4

i

e-

Seccin 3

3) 1 3

2 2i

5)4 10 16

9 9 92 , 2 , 2i i i

e e ep p p

8) a) 1 2k i+ p , c) 12

i-p

Tomado de http://temasmatematicos.uniandes.edu.co

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