algebra lineal - eduardo espinoza ramos

Eduardo Espinoza Ramos G r a d u a d o y T i t u l a d o e n M a t e m á t i c a P u r a .

C a t e d r á t i c o d e l a s p r i n c i p a l e s

U n i v e r s i d a d e s d e ¡ a C a p i t a l

RAS PUBLICADAS

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Eduardo E/pinozci Romo/limo - Perú

ALGEBRA LINEAL

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERU

IMPRESO EN EL PERU

25 - 08 - 2006

2da. Edición

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.

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Escritura Pública : N° 4484

p r ó l o g o

El estudio del A lgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado nada más a los estudiantes de M atem ática y Física, aquellos que necesitaban

conocim ientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística multivariada.

En el A lgebra Lineal se estudia ahora en m uchas disciplinas debido a la invención de las com putadoras de alta velocidad y el aum ento general de las aplicaciones de la m atem ática en áreas que por tradición no son técnicas.

En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los

planos en R * , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a Transform aciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, D im ensión, Operaciones, M atriz Asociada a una Transform ación y en los Capítulos V y VI, se trata del producto interno, el proceso de GRAM - SCHM ITD y las Form as Bilineales.

La Lectura del presente trabajo requiere del conocim iento de un curso de m atem ática básica así com o el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en esta obra esta con la m ayor claridad posible.

Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas

sugerencias.

♦ Lic. Juan Bem uy Barros ♦ D octor Pedro Contreras Chamorro.♦ Lic. A ntonio Calderón. ♦ Lic. Guillerm o M ás Azahuanche.

Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis

publicaciones

ED U A R D O E SP IN O Z A R A M O S

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

R O N A L D , JO R G E y D IA N A

Q ue Dios ilum ine sus cam inos para que puedan ser G uías de sus Prójimo

INDICE

CAPÍTULO I

1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TRIDIMENSIONAL ____________ _________

1.1 Sistem a de Coordenada Rectangular en el Espacio.

1.2 D istancia entre Dos Puntos.

1.3 División de un Segmento según una Razón dada.

1.4 Á ngulos D irectores, Cosenos Directores y N úm eros Directores.

1.5 Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determ inados

por Dos de sus Puntos.

1.6 Relación entre los Cosenos D irectores de una Recta.

A. LA RECTA

1.7 La Recta en el Espacio Tridimensional.

1.8 Ecuación Vectorial de la Recta.

1.9 Ecuación Param étrica de la Recta en el Espacio.

1.10 Ecuación Simétrica de la Recta.

1.11 Rectas Paralelas y Ortogonales.

1.12 Á ngulo entre Dos Rectas.

1.13 D istancia M ínim a entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).

1.14 Teorema.

1.15 Teorema.

1.16 Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta.

1.17 Ejercicios Desarrollados

1

2

3

5

7

8

8

9

9

1011

1214

16

16

18

19

2122

I» EL PLANO 38

I.IS Definición. 38

1.19 Ecuación Vectorial del Plano. 38

1.20 Ecuaciones Param étricas del Plano. 40

1.21 Ecuación General del Plano. 40

1.22 Planos Paralelos y Ortogonales. 41

1.23 Intersección de Planos. 43

1.24 Ecuación B iplanar de la Recta. 43

1.25 Intersección entre Recta y Plano. 45

1.26 Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta. 46

1.27 Familia de Planos. 48

1.28 Ecuaciones Incom pletas del Plano. 49

1.29 Distancia de un Punto a un Plano 5 1

1.30 Ángulo entre Recta y P lano 53

1.31 Proyección O rtogonal de un Punto sobre un Plano, 54

3.32 Proyección O rtogonal de una Recta sobre un Plano, 55

1.33 D istancia M ínim a entre un Plano y una Recta que no está contenida

en el Plano, 58

1.34 Á ngulo entre dos Planos, 59

1.35 Ejercicios Desarrollados. 59

1.36 Ejercicios Propuestos. 75

CAPÍTULO II

104

104

2.2. Propiedades de dos Conjuntos 104

2.3. Relación Binaria 104

2. CONCEPTOS BÁSICOS2.1. Producto de dos Conjuntos

2.4. A plicación de X en Y 104

2.5. Clases de Funciones 105

2 .6 . Conjunto Imagen y Conjunto Im agen Inversa 105

2.7. Com posición de Funciones 106

2 .8 . Leyes de Com posición Interna y Extem a 107

2.9. Cam po o Cuerpo 107

CAPÍTULO III

3. ESPACIOS VECTORIALES 111

3.1. Definición 111

3.2. E jem plos de Espacios Vectoriales 113

3.3. Propiedades de los Espacios Vectoriales 117

3.4. Espacio Vectorial de Funciones 119

3.5. Espacio Vectorial de las M atrices mxn 121

3.6. Ejercicios Propuestos 127

3.7. Sub - espacios Vectoriales 130

3.8. O peraciones con Funciones 153

3.9. C om binaciones Lineales 168

3.10. Conjunto de Com binaciones Lineales 171

3.11. Sub - espacio Generado 173

3.12. Independencia y D ependencia Lineal 178

3.13. Sistem a de Generadores 184

3.14. Base de un Espacio Vectorial 186

3.15. Dim ensión de un Espacio Vectorial 191

3.16. D im ensión de la sum a 195

3.17. Dim ensión de la suma Directa 199

3.18. Teorem a 208


i CAPÍTU LO IVTRANSFORMACIONES LINEALES 229

4. i . Definición 229

4.2. Interpretación G eom étrica 230

4.3. Teorem a 230

4.4. Proposición 237

4.5. Clasificación de las Transform aciones Lineales 239

4.6. Proposición 242

4.7. Núcleo o Im agen de una Transform ación Lineal 247

4.8. Teorema 252

4.9. D im ensiones del Núcleo y de la Im agen 255

4.10. Teorem a Fundam ental de las Transform aciones Lineales 260

4.11. Coordenadas o Com ponentes de un V ector 266

4.12. M atriz A sociada a una Transform aciones Lineales 268

4.13. A lgebra de las Transform aciones Lineales 275

4.14. Com posición de las Transform aciones Lineales 278

4.15. Transform aciones Lineales Inversibles 282

4.16. Teorem a 287

4.17. Isom orfism o Inducido por una Transform ación Lineal 289

4.18. Cambio de Base y Semejanza de M atrices 296


CAPITULO V

5. PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD 3215.1. Definición 321

5.2. Definición 323

5.3. Teorem a 327

5.4. O rtogonalidad - Conjunto O rtogonal - Conjunto O rtonorm al 329

3335.5. Teorem a333

5.6. Corolario5.7. Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT 335

5.8. Corolario

5.9. Definición

5.10. Teorem a

5.11. Ejercicios Propuestos

6.

CAPÍTULO VI

6.1. D efinición

6.2. V alores y V ectores Propios de una Matriz

6.3. Definición

6.4. Teorem a

6.5. Polinomio Característico de una M atriz

6.6. M atrices Semejantes y Diagonalización

6.7. Teorem a

6.8. M atriz Diagonable

6.9. Teorem a

6.10. Teorem a de Cayley - Hamilton


6.12. Form as Bilineales

6.13 M atriz Bilineal Sim étrica

6.14. Form a Bilineal Simétrica

6.15. Formas Cuadraticas


BIBLIOGRAFÍA

338

339

339

342

VALORES Y VECTORES PROPIOs] 343343

344

345

350

353

355

356

356

358

364

369

379

380

381

383

385

387

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional !

CAPÍTULO!

1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL___________________________

P R E -R E Q U IS IT O S .- Para la com prensión adecuada de este tem a de rectas y planos en R3, se requiere de los conocim ientos previos de:

Sistema de coordenadas en el plano.

Solución de sistem as de ecuaciones.

Elem entos de geom etría del espacio.

O B JE T IV O S .- Establecer los fundam entos necesarios para el trazado de

planos y rectas en el espacio, respecto a un sistem a de

coordenadas. Al term inar este capítulo el alum no debe ser capaz de:

Describir el sistema coordenado en el espacio.

Situar puntos en el sistem a coordenado del espacio.

R ecordar las distintas formas de la ecuación general de un plano.

Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geom étricam ente.

Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geom étricas.

Recordar que dos ecuaciones lineales sim ultáneas representan una recta

en el espacio. (Sistem a Com patible).

Representar gráficam ente una recta en el espacio.

Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones

geom étricas dadas.

2 Eduardo Espinoza Ramos

1.1. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL _____ ESPACIO.-

Considerem os tres planos m utuam ente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se

cortan en un mismo punto O. En la figura identificam os los siguientes elem entos geom étricos.

I k u

Pyz

a) E JE S C O O R D E N A D O S .- Los ejes generalm ente son identificados por

las letras X, Y, Z y se habla

frecuentem ente del eje X , del eje Y y del

eje Z, donde:

El eje X es la recta determ inada por la

intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje

Y es la recta determ inada por la

intersección de los planos Pxy y Pyz y el

eje Z es la recta determ inada por la

intersección de los plano Pxz y Pyz.

La dirección positiva se indica por m edio de una flecha. Los ejes

coordenados tom ados de dos en dos determ inan tres planos, llamadosplanos coordenados.

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 3

b) PLA N O S C O O R D E N A D O S .-

Z

/

I

I

L

_qo,oJz)_/ i

El plano coordenado XY que denotarem os

por Pxy, es determ inado por las rectas: eje

X y el eje Y.

|P(x,y,4)

I I------ 1------- 7

Y A(x,0 ,0 )

El Plano coordenado XZ que denotarem os

por Pxz, es determ inado por las rectas: eje

X y el eje Z.

/ B(0>y'0) ^ e i plano coordenado YZ que denotarem os

por Pyz, es determ inado por las rectas: eje

Y y el eje Z.

Los planos coordenados dividen al espacio tridim ensional en 8 sub-

espacios llamados ociantes.

C onsiderem os un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridim ensional,

a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a

cada uno de los ejes coordenados.

Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X,

B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea

C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.

1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-

T E O R E M A .- La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xi ,y, ,z ,) y p2

(x2 ,y2 ,z2) del espacio tridim ensional está dado por:

d ( P \ > P 2 ) - J ( x 2 _ * l ) ‘ + (^2 ~ y ¡ y + (z 2 - Z 1 ) '

D em ostración

Eduardo Espinoza Ramos

Sea a = p^p^ un vector de origen pi y extrem o

P2, entonces:

—> ----->a = P]Pl = p 2 ~ p¡ = (x2 - x , , y 2 ~ y , , z 2 - z ¡ )

—>por lo tanto la longitud del vector a es:

d(P\ -Pi ) =11 a II =yj(x2 - *] f + (y2 ” J i f + (z2 - z,)2

E jem plo .- H allar la distancia entre los puntos r>, (-1,-2,2) y p2 (2 ,4 ,-1)

Solución

Sea a = p¡p 2 = p 2 - p ¡ = (2 ,4 ,-1 ) - ( - 1 ,-2 ,2 ) = (3 ,6 ,-3 )

d ( P u P 2 ) = II a II = V 3 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 = \ /9 + 36 + 9 = >/54

d ( p ], p 2) = 3y[6

E jem plo .- D em ostrar que los puntos p, (-2,4,-3), p2 (4,-3,-2) y p3 (-3,-2,4 )

son los vértices de un triángulo equilátero.

Solución

Los puntos pi , p2 y p3 son los vértices de un triángulo equilátero si:

d(pi,p2) = d(p],p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias:

^ (P , > P ,) = V ( 4 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ) ) 2 = V 3 6 + 4 9 + 1 = / 8 6

^ ( p , , p 3 ) = V ( - 3 - ( - 2 ) ) 2 i+ ( - 2 - 4 ) 2 + ( 4 - ( - 3 ) ) 2 = V I+ 3 6 + 4 9 = V s6

Rectas Planos en el Espacio Tridimensional 5

¿ ( P 2 >P3) = -\/(—3 ~ 4 ) 2 + (—2 — (—3) ) 2 + ( 4 - ( - 2 ) ) 2 * V49 + l + 36 = >/86

Com o las distancias son iguales, entonces los puntos p, , p2 y p 3 son los

vértices de un triángulo equilátero.

1.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN DADA- _____________________________________________

T E O R E M A .- Si los puntos p, (x, ,y, ,z ,) y p2 (x2 ,y2 ,z2) son los extrem os

de un segm ento dirigido p ,p 2 ; las coordenadas de un

punto p(x,y,z) que divide al segmento p tp 2 en la Razón r = p jp + PP2 es:

jfj + rx2 z l + rz2y 1 + r y 2* = — -------- > y = ~~, ’ z =

1 + r 1 + r________ 1 + r, r * - \

Demostración

Del gráfico se tiene: p ,p / / p p , = > 3 r e R

P 2^ 2 ’^ 2 ’Z 2 ) tal que: P |P = r p P 2 ’ de dondep - p t = r ( p 2 - p ) al despejar p se tiene:

P ( x ,y ,z ) + r p , ) , ahora reem plazam os por1 + r

sus coordenadas respectivas:

(x , y , z ) = y ^ r ( ( * i <yi >z i ) + r (x 2 ’y 2 ’z 2))

( x , y , z ) = ( ^ Y por igualdad se tiene: 1+ r 1+ r 1+ r

x i+ rx2 y x+ry2x = --------, y = — r r — - z =1+ r 1+ r 1 + r

r & — 1

E jem plo.- H allar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento

cuyos extrem os son (5,-1,7) y (-3,3,1)

Solución

P i<5 --1’7 ) P ,(-3 3,1)-------------- 1--------— ------------»----------------- --------- -------------- -

A B

Calculando las coordenadas del punto A se tiene:

p,A P |A lr “ - — - T----- = ~ entonces r = 'A. por lo tanto se tiene:

A p: 2p ,A 2

7 - ' 4 I3) 1 , 5 7 , 15

— ■‘ i - * - — * * ? ? 7 >2 2 2

Ahora calculem os las coordenadas del punto B donde: r = = = • = — = 2B p2 B p2

entonces r = 2

_ 5 + 2 (-3 ) 1 -1 + 2(3) 5 7 + 2 m Q 1 5 9

C O R O L A R IO .- Si p(x,y,z) es el punto medio del segm ento p , p , ,

P¡Pentonces r - ■=■ = 1. Luego las coordenadas del punto

PP2medio son:

.V, + .V2 r*

+

i _ z | + z 2

2> y -

2, z —

2

E jem plo .- Los puntos extrem os de un segm ento son p, (-2 ,1 ,4) y p3 (3,2,-1).

Hallar la coordenadas del punto medio del segm ento P|P->

Solución


Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces:

x ¡ + x 2 - 2 + 3 1 y i + y 2 _ 1 + 2 _ 3

2 ~ 2 ~ l ' y 2 2 2 2 2 2

1 3 3 entonces p( — )

2 2 2

1.4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS DIRECTORES.- ___________________________

—>Considerem os el vector a = ( a , , a 2 , a 3) en el espacio tridim ensional y los

ángulos a , P y y form ados por los ejes coordenadas positivos y el vector -» -> -> -* -* -* ~*n ra = ( a , ,a 2,<J3) ; es decir: a = ¿ ( i , a ) , p = ¿ ( j , a ) , y = ¿ ( k , a ) . Si a I I L

—►(recta) donde a = ( a , , a 2 , a 3) direm os que:

i) ai, a2, a3 son los núm eros directores de la recta L.

ii) Los ángulos a , P y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son

formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta,

respectivamente.

Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: 0 o < a , p, y < 180°

iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a ,

eos p, eos y, se denom inan cosenos directores.

1.5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNTOS.-

puntos pi (x y, ,z,) y p 2 (x2 ,y2 .z2).

s í d (p ,, p 2> =!! P 1P 2 II y a ’ P y y son los

ángulos directores de la recta L, entonces se

• » x 2 ~ x ¡ tiene: c o s a = — ---------¿(P i ,p2)

eos p = -7^— — , eos y - —¿(Pl>P2) ¿ (P 1.P2 )

1.6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA.-

T E O R E M A .- La sum a de los cuadrados de los cosenos directores de una

recta L es igual a 1, es decir: eos2 a + eos2 p + eos2 y = 1

D em ostración

Aplicando la parte 2.5. se tiene:

x-y x 1 y'y y 1 ^2 ~c o s a = — — , e o sp ------- :— , e o s / = — -— , de donde

Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 9

d = - x x)2 + {y 2 - j , ) 2 + ( z 2 - z , ) 2 , por lo tanto:

cos a + eos" p + eos y =(jc2- x , ) 2 ( y 2- y \ Y ( z 2- z l y d 2

cos a + eos P + eos y = l

O B S E R V A C IÓ N .- Si a = (a,, a2, a3) es un vector dirección de la recta L,

donde || a || = -y/a2 + a j + a] , entonces:

c o s a =1 . a a1

P = /C( j , a ) => c o sP =

-> —>Il a II l | a | |

-> -¥

, j - * a 2-¥ -¥

Il a II l | a | |

—► —►k . a . fl3

—►Il a II l | a | |

a, = a c o s a

a 2 = || a II cos P

a} =|l a I le o s /

a = (|| a | |c o s a , || a ||c o s /? , || a | |c o s y )= || a || (eos a , eos/?, eos y ) .

A . L A R E C T A .-

1.7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.-

Dado un punto p 0(x0 , y 0 , z 0 ) y un vector a = ( a , , a 2,a3) no nulo,

llamaremos recta que pasa por p 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) paralela al vector —>a = ( a | , a 2, a 3) al conjunto.

L = { p e R i / p = p 0 +t a, t e R\

IO Eduardo Espinoza Ramos

t .8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.-

Z '

\ l

Sea L la recta que pasa por el punto Po(x o<yo’zo) paralelo al vector —►a = >^2,a 3)

sP(x.y.z) Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualquiera de la

ka = | a x)a 2, a 3) recta ^ entonces el vector p Qp es paralelo al

L = (P = p 0 + 1 a /t e R }

f o = (xo-yo'zo) vector a , es decir: p 0p / l a o 3 t e R tal

— —► —►que: poP = t a > de donde p - p 0 = t a

entonces p = f o + 1 a , por lo tanto la recta L

es dado por:

ecuación vectorial de la recta L.

E jem plo .- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto—►

(4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3)

Solución—>

Como la ecuación vectorial de la recta es: L - { p 0 +t a/1 s R }

reem plazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + f ( l , - l ,3 ) / / e R\

O B S E R V A C IÓ N .- Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo

una recta que pasa por ellos.

E jem plo .- H allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos

P , ( l ,3 ,5 ) y P 2 (4,2,7).

Solución

La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x +t p ]p 2 /1 e R },

donde p {p 2 = (3,—1,2) ¿ = {(1,3,5)+ /(3 ,—1 , 2 ) / / e /?}

Rectas y P lanos en el Espa ció Tridimensional 11

O B S E R V A C IÓ N , Considerem os la recta L = { p 0 + t a / t e R }. Un punto

P de R3 pertenece a la recta L si p = p 0 +t a paraalgún t en R, es deci r:

P e L <=> P = Pp + 1 a para algún t real

1.9. ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO.-

Considerem os la ecuaci ón vectorial de lanecta L: L = {Pn + t a / t e R )

De la observación anteri o r se tiene: | P e l o P = P0 + t a , para algún t e R

de donde, al reem plazar j ror las coordenadas de P, P0 y de las com ponentes del —►

vector a se tiene: (x,y,;z) = (x0, y0, Zq) + 1 (a ,, a2, a3), es decir:

L :

\ x = x 0 +a¡t

>' = >’o + «2í . * e R■z = z 0 + a 3t

Las cuales se conocen con el nom bre de ecuaciones param étricas de la recta L.

Ejemplo.- H allar las ecuaciones param étricas de la recta L que pasa por el

punto (5,3,2), paralela a! vector a = (4,1,-1)

Solución

Las ecuaciones param étricas de la recta L son: L :

x = 5 + 4/

y = 3 + t , t e R

2 = 2 - /

O B S E R V A C IÓ N .- Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por

el par de puntos P, (x, ,y , „ z ,) y P2(J:2>>'2’Z2) es(á

dado por:

L :

JC = X1 + ( * 2 - X , )í

3' = > 'l+ (>’2 - > ' |V , t € R

2 = Z, + ( Z 2 - Z , ) /

E jem plo .- H allar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa

por los puntos Pj (1,2,1) y P2 < 5 ,-l,l)

Solución

D e acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones param étricas de la

recta L son:

L:

x = l + ( 5 - l )/

>' = 2 + ( - l - 2 ) / , t e R esd ec ir: L :

z = 1 + ( 1- 1)/

x = 1 + 4/

y = 2 - 3 / , t € R

z = 1 + 0 /

1.10. ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA.-

Considerem os las ecuaciones param étricas de la recta L.

L :

x = x 0 + a ,f

y = y 0 + a 2t , U R

z = z 0 + a 3i

Suponiendo que a¡ * 0 , a2 * 0 , a%* 0 , despejando el parám etro t de cada

X - X Q y - y 0 z ~ z o ecuación tenem os: t = --------- = ---------- = --------- , de donde por igualdad

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional13

Que se denom ina ecuación sim étrica de la recta L.

E jem p lo .- Encontrar las ecuaciones sim étricas de la recta paralela al

vector a = ( 4 , -3 ,2 ) q u e pasa por e l punto (2 ,5,-1)

Solución

x - 2 v — 5 z + 1x - x o = se tie n e L , ------- = ^ — = —

com o L. - á - 3 2a¡ a 2 a 3

O B S E R V AC IÓ N .-

© Si a3 = 0, la ecuación s i m é t r i c a de la recta L se escribe en la forma

x - x 0 y - y o ______L: --------- = A o

© Si a, = 0 a a3 = 0 . La ecuación sim étrica de la recta L se escribe en la

forma:L: x = x0 a z - z o

E jem plo .- H allar la ecuación sim étrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1)

paralela al vector a = ( 2 ,0 ,1)

Solución

x - x0 y - y 0 _ ecuación sim étrica de la recta L y comocom o L: - -

= 0 , la ecuación de esta recta es L.x xl = 1 3 - A y = y Q , ahora

a-.“ 3X + l Z - 1 _ j

reem plazam os por los datos se tiene. L. |

14Eduardo Espinoza Ramos

jygC TAS PARALELAS Y O R T O C O M i rv

Las relaciones de paralelism o y ortogonalidad entre dos rectas se da com parando sus vectores direccionales.

Considerem os las ecuaciones vectoriales de dos rectas.

—yL\ = { p 0 + t í i / t e R } y l 2 = { q 0 + A b / Á e R }

U recia L, y la recta L , son paralelas (L, // L ,) s, y sólo si, sus vcctores

direccionales son paralelo, es decir: I I IL, <=> a*H~b

O B S E R V A C IÓ N .-

® Si L, y L , son paralelas (L, // L2), entonces L, = L, ó L , n L 2 = <¡>.

© Si L, y L2 no son paralelas (L, K U ) , entonces L, n L2 = <¡> (las rectas

se cruzan) ó L, n L, consta de un solo punto.


E jem plo .- La recta L, = {(1,2,-1) + /(5 - 2 , - 3 ) / t e R\ es paralela a la recta

L2 = {(1,-3,2) + Á ( - 10,4,6) / Á e R} puesto que el vector dirección

de L , , a = (5,-2,-3) es paralelo al vector b = (-10,4,6) que es el vector

dirección de la recta L 2 ■

E jem plo .- H allar la ecuación de la recta L que intercepta en ángulo

recto a la recta L, = {(1,2,3) + 1(2,1 ,-1 )/ t s R J y que pasa por el

punto A (2 ,0 ,l).

Solución

1(2t - 1, 2 + 1, 2 - 1 ) . (2,1,-1) = 0 r=> 4 t - 2 + 2 + t - 2 + t = 0 : = > / = -

-> 1 7 5 1por lo tanto A P = (— —, —, —) = —(—1,7,5).

3 3 3 3

Luego L = {(2,0,1) + A.(-1,7,5) / k e R¡

1.12. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.-

Considerem os las ecuaciones de dos rectas

L \={ P o + ‘ a / t e R } y L2 = { q Q+ t b / 1 e R )

Un ángulo entre las rectas L, y L 2 se define com o el—>

ángulo formado por sus vectores direccionales a y —> —> —> b , es decir: ¿ ( L , , L2) = a , b ) = # , y es dado pol

la fórmula.

eo s# ■ — — — , 0 < 0 < k

E jem plo .- Encuéntrese un ángulo form ado por las rectas

£, = {(1,3,-2) + í( 3 ,- 6 ,9 ) / / e /?} y = {(2,1,7) + ¿ ( 1 , -3 ,4 ) / /l e /?}

Solución

Como 6' = ¿ :(¿ ], ¿ 2) = ^ ( a - * ) donde a = ( 3 , - 6 ,9 ) , /? = (l,-3 ,4 ) entonces

a . b (3, —6, 9).(1, —3,4) 3 + 18 + 36 57eos tí = ------------— ---------- P=.............. = -------- ==--- = ---- = 7

¡ i r n n í i ¡ 6 V 5 T

eos 0 = 0.99587 de donde 0 = arccos (0.99587)

1.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE CRUZAN).-_______________________

Si ={ p 0 + t a / t e R } y L2- { q 0 + A h / A e R } son dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas L¡ y L2

denotarem os por d ( L }, L 2) y es definido como el segmento perpendicular-

común a am bas rectas.

Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 17

Si las rectas L- y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que

contienen a las rectas L| y L 2 respectivam ente.

Si d es la distancia entre los planos P, y P 2 donde N es la norm al al plano P 2; —> —> —>

por lo tanto TV es ortogonal a los vectores a y b entonces N = a x b

—>A hora considerem os el vector unitario en la dirección de la norm al N ;

HN = ------- y com o 6 = ¿ ( / / v - entonces

\ V N \ \

j u K . A C u N . A C c o s # = — — ------------- = ——--------, de donde M n . A C =4\ A C \\ eos O (1)

II IIII ¿C || II AC || ;

por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:

d = || A C || co s# ... (2)

de donde al com parar ( 1 ) y (2 ) se tiene: d (L[, L2) — | fXN . A C |

1.14. TEOREMA. -

Sean Lx- { p Q+t a i t e. R \ y L2 ={ <y0 + A b i A e R } dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan).

Dem uestre que la distancia m ínim a entre L| y L2 está dado por:

D em ostración

Presentarem os en un gráfico, en forma

intuitiva a Ir- dos rectas que se cruzan sin

2 interceptarse y sm ser paralelas del gráfico

observam os que la distancia m ínim a entre

las rectas L| y L-, es: “ La longitud del

vector proyección de sobre a v b , lo

cual es expresado en form a m atem ática por:

( a x b ) | | , de donde d { L MI (a v b) ||

E jem plo .- Calcule la distancia perpendicular entré las dos rectas-v - 1 y — 2 1

oblicuas dadas por las ecuaciones L,:-------= :...... . = ------ , y5 3 2

x + 2 y + 1 z - 3L2:

-3

Solución

Escribiendo las rectas dadas en form a vectorial se tiene:

= { (1 ,2 -1 ) + 1(5,3,2) i t g R \ y = {(-

distancia entre L; y L? es dado por:

,3) + / ( 4 ,2 ,-3 ) / A e R¡ , la

Herías y Planos en el Espacio Tridimensional 19

d ( L\ , ¿ 2 ) —^ 5 ^ , donde: p0 (1 ,2 ,-1 ) , q0 (-2 ,-l,3 ) =(-3,-3,4)

| ( a * 6)1

adem ás a = (5 ,3 ,2 ), b =(4,2,■-3), entonces:

a x b =

i j k.

5 3 2

4 2 - 3

= ( -1 3 ,2 3 ,-2 ) => | |a x ¿ | |= V 7 0 2

Po% . a x b = 3 9 - 6 9 - 8 = - 3 8 , por lo tanto:

, , , r | p Qqo . a x b \ _ [—38| _ 38

( A ’ 2 ) = " ^ 0 2 m|| ( a jc o ) |1

O B S E R V A C IÓ N .- Si las rectas L x y L 2 son paralelas, entonces

d ( L ], L 1) = d ( P , L 2 ) , donde P es un punto cualquiera

de la recta Z.¡.

1.15. TEOREMA.-

D em ostrar que la distancia del punto P a la recta / .¡ { Pq + 1 a ! t 6 R ¡es dado

por:

d ( p , L ) = (ul l A ^ l ñ l a if - ( P o P - z Y

D em ostración

Hacem os un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo

A P0P se tiene:


p\ p p\ ror

d(P,L)

A 1 0K L

0 - ¿ ( p Qp , a ) => e o s9 = -. P— }

II PoP\\\\ a

además sen 0 - ~ P '

Wp o p W

de donde d ( P , L ) =|| ~p^p || sen B

d (^ - ¿ ) - l l PoP\\ sen-9=\\ p 0p \ \ 2 ( 1 - e o s 2 Ñ)

2 n ___ (PoP-a )" , „ — >„2 (, a )2i PoP\\ ( 1 -

I PoP\\2\\ a II2-) HI P o P II

= II A)/7 INI a II2 ~(Pi ,P-a )2 l/W>ll2| | a ||2 -iPoP-a)2

E jem plo.- Hallar ¡a distancia del punto P (3 ,l,-2 ) a la recta x + \ y +2 z + l

L r

Solución

Escribimos la recta en forma vectorial: L = {(-1,-2 , - í ) + t( 1, 1, 1) / 1 s R¡

La d(p,L) es dada por: d ( p , L ) = a I H P o /? - 3 )-

donde p0 (-1.-2.-1) y p (3 ,l-2 ) entonces p 0p = (4 ,3 ,- l) ,a = (1, 1, 1),


d(p,L) =J l/W » l? l|a ||-(PoP-*)2 v/26(3)-36 _ Í42

= £ ~ U:VÍ4

1.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA.-__________________________________________

—>Considerem os una recta ! ,= { p ü + 1 a / 1 e R } y un punto p, que no pertenece a

la recta L.

Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de

seala recta L, al cual denotarem os p r o y rL de tal m anera que el vector A P

ortogonal a la recta L.

Observando el gráfico se tiene:

P0A = p r o y Pf de donde A - P 0 = p r o y Pfa a

A = P0 + p r o y Pf , Ósea:a

.-. A = pr oy ’¿ = p {) + p r o y ™ pa

E jem plo .- Hallar la proyección ortogonal del punto P (2 ,-1,3) só b re la

recta L = {(0.-7,2) + 1 (3,5,2) / 1 e R}

Solución

A - Po + proy1"p , dondep Qp = (2,6,1)a

a = (3,5,2) => a = V 38

(2,6,1).(3,5,2)A = (0 ,-7 ,2 ) + -

38.(3,5,2)

i i Eduardo Espinozu Rumos

6 + 3 0 + 2■I (0 ,-7 ,2 )+ .(3,5,2) entonces A = (0,-7,2) + (3.5.2) = (3 ,-2,4)

38

■ A (3,-2,4)

1.17. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

H allar ia ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,-2) y es,. , , x + 1 v + 2 z +1

peipendicular y corta a la recta L: ------ = --------= —I 1 1

Solución

Escribiendo en forma vectorial a la recta L = {(-1 ,-2, -1) + t (1,1,1) / 1 e R}

La recta pedida pasa por A (3 ,l,-2 ) cuya ecuación es:

¿i = {(3,1,-2) + A ( a , b , c ) / A e R\

com o L ± L¡ => (1,1,1) (a,b,c) = 0 => a + b + c = 0

a + b + c = 0

Sea p e L a L, entonces p e L a p e L, de donde

Si p e L =í> p (-l + 1, -2 + t, -1 + t ) , p e L, => p(3 + l a , 1 + Xb, -2 + Xc),

entonces: (-1 + 1, -2 + 1, -1 + 1) = (3 + /.a, 1 + A.b, -2 4 Ác) de donde:

-5— 1 + / — 3+ Áü - 2 + t = \ + M

[ -1 + í = - 2 + i c

a - c

A = -b - a

a - c b - aentonces c = 5b - 4a ...(2)


de (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c) = (2b, b.-3b) = b (2 ,l ,-3)

por lo tanto la recta pedida es: L = {(3,1,-2) + X (2,1 ,-3) / X e R<

( ? ) H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3.4) y es perpendicular

.v + 2 y - 3 z + 2 a cada una de las rectas L ]: ------- =

! -1 x - 3 2 y - 7 3 -z_

1 2 -3Solución

A las ecuaciones dadas escribirem os en form a vectorial

L, = {(-2,3,-2) + t (2,-1,5) / t e R ¡, y L2 = {(3,7/2,3) + l (1,1,3) / ^ e R}.

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir:

L = {(3,-3,4) + p (a,b,c) / p e R}

com o L J_ L | , L2 entonces (a,b,c) 1 (2,-1,5),(1,1,3) entonces

í(2 ,-l,5 .(a ,¿> ,c ) = 0 Í 2 a - ¿ + 5c = 0

j ( l , l ,3 ) . ( a ,¿ ,c ) = 0 (a + ¿ + 3c = 0

3a a a 3a ade donde c = - — , b = — , ( a ,b , c ) = (a , — , - — ) = —(8 ,1 -3 )

8 8 8 8 8

.-. L = {(3,-3,4) + 1 (8 ,1,-3) / 1 e R}

© H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (-l,2 ,-3) es perpendicular

-> x - 1 y + 1 z — 3al vector a = (6 ,-2,-3) y se corta con la recta L , : -------= ------- = -------

3 2 - 5

Solución

©

Escribiendo a la recta

x - 1 y +-i • en form a vectorial

3 2se tiene:

L = {(1,-1,3) + t(3 ,2 ,-5 ) / t e R}

Sea p e L j A L = > p e L i A P £ L .

Si p e L t p (l + 3 t, -1 + 2t, 3 - 5t) para algún t e R

com o b - M P = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6)

—> ~► —+ —►adem ás a X 6 = = > a .¿ = 0 => (6 ,-2 ,-3 ).(3 t + 2 , 2 t - 3 , -5 t +6)=0

6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0 => t = 0, b = (2 .-3 ,6 )

por lo tanto: L = {(-l,2 ,-3 ) + 1 (2,-3,6) / t e R}

Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta

L = {(1,-1,1) +1( 1,1,0) / t e RJ tal que Z ( A B , A C ) = 60°

Solución

Sea C e L => C (1 + t , -1 + 1, 1)

—► —► — —>A B . A C =11A B mi A C || eos 6 0 " , donde

—> —AB = (0 ,-3 ,3 ), A C = ( t - 2 , / - 2 ,0 )

*11 AB ||= 9 + 9 = 3 2 4 9 + 9

\\AC\\= 2 ( t - 2 ) 2 = 2 t ~ 2


—► — —y —>Com o A B . A C =|| A B \\\\AC || c o s6 0 ° , reem plazando:

6 - 3 / = 3>/2. j 2 \ t - 2 \ — 11 — 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 com o t < 22

entonces C(1 + 1, -1 + t, 1), para t < 2.

© U na recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra—

recta pasa por el punto Q (2 ,l,0 ) y es paralela al vector b = (3,8,13), Dem ostrar

que las dos rectas se cortan y determ inar su punto de intersección.

Solución

Sean L, = {(1,1,1) + t ( l , 2 ,3 ) / t e R} y L2 = {(2,1,0)+k (3,8,13) / X e R}.

Las rectas L| y L2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P () e L t a L2 como

Po e L 1 a L2 Po e L ¡ a Pq e L2

Si Po e L| => Po (1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )

P0 e L2 =i> P0 (2 + 3A., 1 + U , 13^)

com o P0 es punto com ún a L¡ y L2

entonces: (1 + t, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8A., 13A.)

1 + / = 2 + 3/i

* 1 + 2 / = 1+ SA resolviendo el sistem a se tiene t=4, >.= 1

1 + 3/ = 13a

L1 Luego el punto de intersección es P0 (5 ,9 ,13)

@ Dadas las rectas L ,= {(3,1,0) + t (1 ,0 ,1 )/1 e R} y L2={( 1,1,1)+*. (2 ,l,0 )/> .eR },

Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, adem ás

hallar ésta distancia.


Solución

- . _x3 b = (2 ,1 ,0 )

Q

Sea A e L i => A (3 + t, 1, t), B e L2

^2—>

B( 1 +2A , 1 +A , 1), A B = B - A = ( 2 A - t - Z A, 1 - / )

a ± A B => a . A B = 0 ,(1 ,0 ,1 ).(2A-t-2,A, 1 -t)=0, J

IT = ( 1 ,0 ,1 )

L,A

—> —> —> —>

1 de donde 2A - 2t - 1 = 0 ... ( 1)

b ±AB=> b . A B = 0 => (2,1,0).(2A - 1 - 2, A, 1 - 1) = 0 => 5A - 2t - 4 = 0 ... (2)

Í 2 A ~ 2 r - l = 0form ando el sistem a de ( 1) y (2 ) se tiene: i

¡ 5 / Í ~ 2 / - 4 = 0

resolviendo el sistema se tiene t = —, >1 = 12

~ , A + B 13 3 3com o Q es punto equidistante de A y B entonces Q(------- ) = Q(------------ )

2 4 2 4

T J' • • ^La distancia mínima d = — d ( A , B ) = -----2 4

( ? ) Dadas las tres rectas L, = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R}

L2 = {(2,2,0) + A.(1 ,-1 ,1 )/ á. e R ¡.

L3 = {(0,3,-2) + r (5 ,0 ,2 )/ r € R¡

Hallar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L ,, L2, L3 en M, N—► —>

y P respectivam ente de tal m anera que M N = NP.

Solución


M e L, = {(1,1,2) + t (1 ,2 ,0 )/ t e R} => M (1 + t, 1 + 2t, 2)

N e L2 = {(2 ,2 ,0)+ > .(1 ,-1 ,1 )/ A e R} => N (2 + A, 2 - A, A)

P s L , = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R} => P (5r, 3, -2 + 2r)

— —y ^com o M N = N P entonces se tiene: M N = N - M =(A - 1+ 1, -A. - 2 t+ 1, A. - 2)

N P = P - N = (5r - A - 2, 1 + A, 2r - A - 2), de donde

(A-t+1, -A-2t+l, A-2)=(5r-A-2, 1+A, 2r-A-2), por igualdad de vectores se tiene:

A ~ t + l = 5 r - A ~ 2 - A - 2 t +1 = 1 + A A - 2 = 2 r - A - 2

5 r - 2 A + t = 3 ...(1 )2 A + 2 t = 0 . ..(2 )

2 r - 2 A = 0 ...(3 )

de (2) y (3) se tiene A = - 1 , r = A ahora reem plazam os en la ecuación (1).

7 1 3 , ,15r =T¡ ' L u e g o M (- —. - 2 , 2 ), P ( y , 3 ,-1 )

L = { ( - ^ . - 2 , 2 ) + / ( 8 ,5 , - l ) / í e /? }


Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las

rectas L, = {(5,0,-1) + 1 (1,1,1) / 1 eR } , y L2 = {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R¡

Solución

B e L2 = {(-1,2,2!) + X (-2 ,1 ,0) I X e R} => B (-2X - l . X + 2 , 2 )

com o los punto P, A, B son colineales, entonces.

—> —► —> —>P A / / A B =>3 r e R tal que PA = r A B de donde A - P = r(B - A)

que al reem plazar por sus coordenadas se tiene:

( t - 14, t , t - 1) = r(-2X - 1 - 6 , J t - t + 2, -t + 3)

/ - 1 4 = - 2 r A - r / - 6 / - ...(1)

t = Z r - r t + 2r ...(2 )

t - \ = - r t + 3r ...(3)

por igualdad de vectores se tiene:

3r + l r_1 , , mde la ecuación (3) y (2) se tiene: t ---------- , A = ------- de la ecuación (1)r + l r

(1 + r) t + 2rX + 6 r = 14 reem plazando t y X se tiene:

3r + 1 + 2(r - 1) + 6r = 14 => r =15

111

t =28

13

4Á = —

15


luego a = P A = (t - 14, t, t - 1) para / = — , a = ( - —- ! , — )13 13 13 13

.-. L = {(19,0,0) + t (-154, 2 8 ,1 5 ) / 1 e R}

® Encuentre el punto de intersección de las rectas: L ,= {-1,7,17)+ t(-l,2 ,3 )/teR } x - 7 y z

y L2 : ------- = - = —4 1 - 5

Solución

Escribiendo la ecuación L2 en forma vectorial. L2 = {(7,0,0)+X(4,l,-5)/A.e R}

Sea p e L] a L2 «entonces p ¡e L| a p e L2 .

Si p e Li => p (- l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a p e L2 entonces p (7 + 4/1, X, -5X)

com o p e Li a L2 =» (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3 t) ==(7 + 4X, X, -5X)

- l - / = 7 + 4 /t

7 + 2 t = k entonces t = - 4 , X = -1. Luego: p ( 3 , - l ,5 )

.17 + 3/ = - 5 A

D adas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3),

, x - \ y + 2 z - 3 r x - l 3 - z x - 1 y + 2 z - 3L i : — ; ¿ 2:— = —— A y = - 2 , L i :—— = 1------ = --------.

2 2 1 3 -A 2 1 2

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y formaángulos iguales con las rectas dadas.

Solución

Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. L, ={(1,-2,3)+ t(2 ,2 ,l) / t e R ¡,

L2= {(1,3,-2) + A. (3 ,0 ,4 ) /A. e R} y L3 = {(1,-2,3) + r (2,1,2) / r e R}

Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4,2,6) es decir:

1 I(-4,2,6)+ t(a,b,c) / te R } , com o 8 { L i,L )= ¿ (L2, L ) = ¿ (L3,L) entonces:

„ (a ,b, c) .( 2,2,1) 2« + 2¿ + ceo s# = — = = = = = =. ... (1)

3 v a +b + c 3 v a + ¿ ~ + c

(a,b, c) , ( 3,0,4) 3a + 4ceos <9 = 2 = _ . . . (2)

5 v a + 6 + c sVtf + & + c

„ (a ,6 ,c ) .(2 ,l ,2 ) 2 a + b + 2cco s 0 = = ... (3)3 \ a + ¿> + c 3y a +b + c

de (1) y (2) se tiene: a + 10b - 7c = 0

de (2) y (3) se tiene: a + 5b - 2c = 0

de (1) y (3) se tiene: b = c

com o b = c entonces a = -3c, L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R}

L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R}

Encontrar la ecuación de ia recta que pasa por el puístiV p(7,-2,9) y es

x - 2 y z + 3 x + 4 y - 2 zperpendicular a las rectas L , :--------= — = -------- , y :-------- = -------- = — .

1 2 - 2 3 2 5 - 2

Solución—► —►

Los vectores direcciones de L¡ y L2 son a = (2,-2.3), ¿>= (2,5,-2)

respectivam ente.

Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta—> —> —►

pedida L = {(7,-2,9) + t e / te R } , pero com o L JL L¡ , L2 entonces c .L a ,—>b entonces:


c = a x b =1 J2 -22 5

■ (-11 ,10 ,14 ).

Por lo tanto: L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}

H allar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las

rectas L, = {(3,3,4) + 1 (2,2,3) / t e R} , L2 = {(1,6,-1) + k (-1,2,0) / 1 e R}.

Solución

Sean A e L | => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t),

B e L2 => B (1 - \ , 6 + 2 k , - \ )

A . 1-,U *

B 1 h L2L

com o A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es

a = A B = B - A de donde se tiene:

a = (-2 - 2t - A., 3 + 2X - 2t, -5 - 3t) como L _L L, , L2 entonces:

a .(2 ,2 ,3 ) = 0

a . ( - 1, 2 ,0 ) = 0

-1 7 / + 2A = 13

- 2 t + 5/1 = - 8resolviendo el sistema se tiene t= - 1, X--2,

por lo tanto los puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A - (-2,-1,2).

Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es:

L = {(1,1,1) + 1 (-2,-1,2) / t e R }

Determ inar una recta L tal que con las rectas L, = { (2 ,l ,4 )+ t( l ,l ,0 ) /te R}

y L2 = {(2+ d , 1 + a , 3 + a ) / a e R} determ inan un triángulo de área 5u2.

Solución

Sea p e L | a L2 => p e Li a p e L2 ]

Si p e L | => p(2 + t, 1 + 1, 4)

p e L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a )

com o p e L] a L2 , entonces:

( 2 + t, 1 + t, 4) = (2 + a , 1 + a , 3 + a )

de donde: \ l + t - \ + a al resolver el sistema se tiene que: t = a = l

4 = 3 + a

por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tom em os en t cercano a p así com o i

t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4),

adem ás B € Li => B(2 + a , 1 + a , 3 + a ) entonces se tiene:

—> —> —> —►a = A B = B - A = ( a - 2, a - 2, a - 1) por otra parte b = A P - P- A=(-1,-1,0) 1

j —> —> —;■/ —> además el área A = —1| a x b ||= 5 de donde || a x b ||=10 entonces |

*a 1 - 2 a - 49 = 0 de donde se tiene: a , = 1 - S i / I , a 2 - 1 + S-Jl por lo tanto |

las rectas pedidas son: L = {(4 ,3 ,4)+ f ( - l + 5-</2, - I + 5V 2 , 5 y ¡ 2 ) / t e R )

L = {(4,3,4) + / ( - l - 5 > / 2 , - 1 - 5 V I , - 5 - J l ) / 1 e /?}

Í 4) Sea A ( l ,l ,2 ) un punto y supongam os que la recta L tiene por ecuaciones

param étricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R, encontrar un punto B

en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular.

Solución

[ 2 + / = 2 + ar

Kretas .v Planos en el Espacio Tridimensional 33

Sea L = {(4,5,3) + t ( - l , 3 , l ) / t e R}

b = P0A = A - P 0 = (-3 ,-4 ,-1 )

h a . b -*•PoB - p r o y ~ ~ a

P0B =(—1,3,1). (—3,—4 ,-1 )

11.(-1 ,3 ,1)

3 - 1 2 - 1 10 10 30 10P R = --------------= — (-1,3,1) = (— ,— ,— )0 11 11 11 11 11

10 30 10 10 30 10K B = B - P 0 =( — IH 4 + 7 7 .5 - — , 3 - — )

11 11 11 11 11 11

54 25 23 .. « ( — ,— ,— )

11 11 11

D eterm inar los ángulos entre una recta L paralela al vector a -(1 ,1 ,1 ) y los

ejes coordenadas.Solución

Sea L = {P0 +t a /< € /? } , donde

—>a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y

|| a ]| = ,entonces:

a, 1 1 .eos a = — — = - 7= => a = arccos( - j = )

, „ 7 1, sÍ3 v3


n a -) 1 „ , 1 -eos/? = — — = —= => p = arccos(-7=-)

ni» ^

eos y = a 3 _ 141

y = arccos( -~j )

Hallar la longitud del m enor segm ento horizontal (paralelo al plano X Y ) que

ú n e las rectas = {(1,2,0)+ í( 1 ,2 ,1 )/1 e /?} y = {(°*°.0) + /í( l, 1,1)/>1 e /?}

S olución

£, = { ( l ,2 ,0 )+ /( l ,2 , l) / /e /? }

¿2 = {(0.0,0) + ¿ ( l . U ) / *}

com o A B I ! d plano XY entonces X = t.

Luego A ( l + t , 2 + 2 t , t) y B (t, t, t)

d=\\ AB ||= yjl + (t + 2)2 + 0 de donde / ( / ) = \ t 2 +4t +5

> ? = - 2 número critico.t+ 2

/ ' ( 0 = ~ - = o+ 4í + 5

¿ = n i « ¡|= V i + o + o = i => ¿ = 1

Dadas las rectas £, = {(1,—2,5) + /(2 ,3 ,—4 ) / f e /?}

L2 = {(-2,1,2) + >1(0,1,2) / A e fl}. H allar la ecuación de la perpendicular com ún.

S olucióü

Las rectas L ( y L2 no son paralelas, es decir L | X L2.


Ahora verem os si 3 p e L , a L2 ^ p e L | a p e L¡.

Si p e Li => p (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4 t ) , p e L2 => p (-2, 1 + X, 2 + 2X)

(1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + X, 2 + 2X) de donde

l + 2 í = - 2

- 2 + 3/ = 1 + i => i

5 - 4 / = 2 + 2 A

215

213

A = — 2

por lo tanto las rectas L t y L2 son rectas que se cruzan.

a =i i *2 3 - 4

0 1 2= 10 i - 4 j + 2 k

L = {(1 ,-2 ,5)+ t (1 0 ,-4 ,2 ) / t e R} ; V = {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / X e R}

18) Determ inar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneam ente una partícula

desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L = {(0, 1 + /., -/.) / l e R ¡ para que lo

alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = 4 ^ u / seg.

Solución

Sea B e L => B(0, 1+ X, -X) para algún

X e R. adem ás e = vt donde e = d(A ,B) para

t = 2 seg. V = 4 l u , e = 2-\/3

d ( A , B ) = ^ 4 + ( A - ] ) 2 + ( - A - 3 ) 2 = l 4 l

de donde X2 + 2X + 1 = 0 => X = -1


Luego B (0,0 ,1) entonces está dado por el vector AB - B - A = ( - 2 , - 2 , - 2 )

•. AB = ( - 2 - 2 - 2 )

( Í^ ) Determ inar la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de AB y corta

bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,Q),

B(0,0,-2), R(3,3,3), S (-1,3,3).

Solución

El punto medio del segmento AB es M (l,2 , -1), y

observando el gráfico este problem a tiene dos

soluciones.

La ecuación de la recta L\ que pasa por R y S es:

L | = {(-1,3,3) + t (1,0,0) / t e R}

Sea N el punto de intersección de L con L¡ es

decir:

Si N e L | => N (-l + t, 3, 3) pasa algún t e R Definim os

b = M N = N - M = (t - 2 ,1,4), c o m o 6 0 °= ¿C (L ,L |)= ¿ ( a , b ) entonces:

eos 60° =a . b

a IIII b I; donde a = (1 ,0 ,0 ) y b = (t - 2, 1 ,4 )

eo s60° = “ 2 , 1,4 ) - 1 J ' - 2

+ 1 + 16 vV -2r + 17

y J ( t - 2 ) 2 +\ + \6 = 2 ( 1 - 2 ) => (/ — 2 )2 +17 = 4 ( / - 2 ) 2

Mecías y Planos en el Espacio Tridimensional 37

4)3 ( / - 2 ) 2 = 17 => ¡ = 2 ± J y =* í, = (± J y ’1’

Luego las soluciones al problem a son:

I = { ( l , 2 , - l ) + A ( ^ y , X 4 ) / A e / ? } ; L '={ (1 ,2 ,-1 ) + r ( - ^ y , K 4 ) / r e R }

@ Dados los vértices de un triángulo A (3 ,- l ,- l) , B (l,2 ,-7 ) y C (-5 ,14,-3). Hallar

las ecuaciones sim étricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.

Solución

Tom em os los vectores unitarios u y v en las

direcciones de BA y B C , respectivam ente

donde BA = ( 2 , - 3 ,6 ) , BC = (-6 ,1 2 ,4 )

-» BA 1 , , - „ BC \ ,u = ------------------------------------ = - ( 2 , - 3 , 6) y v = - = - ( - 3 ,6 ,2 )

|| BA || 7 II SC II

entonces sea b = « + v el vector dirección de la bisectriz B D es decir:

¿ _ l ( _ i 3 8 ) = _ i ( l , - 3 , - 8 ) . Luego los núm eros directores de la bisectriz 7 7

1)D son 1,-3, -8 . Si B (l,2 ,-7 ) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones

x - 1 y - 2 : + lsim étricas son: L : -

1 - 3 - 8

__EL PLANO.-

1.18. DEF1NICIÓN.-

Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Si existe un punto3

Po(x0,yo,z0) de R y dos vectores no paralelos a = (a{,a2,a^) y—>b - (¿ | ,¿)2 , ¿ 3 ) de R3 de tal m anera que:

P = < P ( x , y , z ) e R / P ( x , y , z ) = P0(x0 , y 0 , z 0) + t a +A b, t ,A e R

8.19. ECUACIÓN VECTORIAL PEL PI Oh

z -

/ / Po r T iT //

/t------------ ---------------- »

p = p 0 +t a + A b , luego

Considerem os un plano P que pasa por el

punto po(xo,yo..zo) y que es paralelo a los—>

vectores a = ( a 1,a 2,a 3) y b = (b1,b2 ,b3) .

Sea p e P entonces existen t, X e R tai-----------> —> —>

que: p 0p = t a + A h , de donde—► —►

p - p 0 - 1 a + A b entonces:

-» ”1 P = {p0 + t a + A b / t tA e R]

Q ue es la ecuación vectorial del plano P

E jem plo . H allar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3,4,-5) y es—► —>

paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b = (1 .-2,1).

S olución

Com o la ecuación del plano es P = {p0 +t a + A b¡ t ,A e R} donde


p 0= M (3,4,-5) y a = (3 ,1 ,-1 ), b = (1 ,-2,1), por lo tanto al reem plazar se tiene:

P = {(3,4,-5) + 1 (3,1,-1) + X (l,- 2 ,1 ) /U e R)


Q l^ De la ecuación vectorial del plano P = {p0 + 1 a + A b/1, A e R) se obtiene

la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano:

N = a x b

\ 2 j Si N es una normal al plano P = {/q + / a + A a / t , A e R} y si pi, P2 e P

entonces N es ortogonal a P i P 2 - Pi ~ P\

ortogonal a TV entonces p e P.

N


Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuación

de! plano es: P: N . ( p - p 0) = 0

Es la ecuación del plano que pasa por p0 y cuya norm al es N

| l ^ ECUACIONES PARAMÉTRICASDEL PLA N oJ

Considerem os el plano. P = {P0 + t a + À b l t , X e R)

—► —►Si p e P entonces p = p0 +t a + A b para t, k e R, reem plazando por sus

respectivas com ponentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Z o ) + t ( a i , a2, a¡)+ b.2, b 3)

de donde por igualdad se tiene:

X = x0 + a¡t + b\A

y = y0+a2t + b2Á z = z0 + a ^ + bìÀ

t , À, £ R

Que son las ecuaciones param étricas del piano P.

1,21. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.-

Sea P el plano que pasa por el punto p 0(x0 , j 0 , z 0 ) cuyo vector normal es:—N = (A,B,C). Si p e P entonces:

p 0p l N , de donde p 0p . N = 0 entonces _ >

N - ( p - p 0 ) = 0. A hora reem plazando por sus componentes:


(A ,B ,C).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - Zo) = 0

Ax t By + Cz + (-A x0 - By0 - Czo) = 0, de donde P: A x + By + C z + D = 0

Que es !a ecuación general del plano P.

E jem plo .- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con—>

vector normal A" =(2,3,4).

Solución

—►La ecuación del plano es dado por P : N .((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,

P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0, P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0

.'. P: 2x + 3y + 4z - 12 = 0

1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-

Considerem os los planos: Pj : A\X + B^y + C¡z+ D¡ = 0

P 2: A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 , donde = ( A ¡ , B¡ , C , ) y N 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) son sus normales, respectivam ente, entonces:

—>i) El plano P] es paralelo al plano P 2 (P i // P 2) si y solo si sus norm ales N \

—>y N 2 son paralelas, es decir:

P , /7 P j » N i U N i

Si A''i U N 2 => 3 r e R tal que N \ = t N 2 , lo que quiere decir que los

coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser

proporcionales, o sea que debe cumplirse:

A \ c \ _

A ¡ Zr' T 1 ~C~2 ~ r

E jem plo .- Los planos P¡: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x + lOy - 14z + 5 = 03 5 - 7 1

son paralelos porque: — = — = ------= — = r6 10 -1 4 2

Si los planos Pi y P2 son paralelos puede ocurrir que: P ( = P 2 ó Pi n P 2 = <|>,

es decir:

P,//P, o P, = P, ó P, n P, = (|>

ii) El plano P¡ es ortogonal al plano P2 (Pi -L P2) si y solo si sus norm ales—> —>N ] y N 2 son ortogonales, es decir:

P |_ L P 2 • » Ny 1 N 2

Si TVi -L N 2 => N ¡ . N 2 = 0 => Ai A2 + 82 + Ci C2 = 0, por lotanto

P, i . P2 <=> A , A2 + B i B2 + C i C2 = 0


E jem plo .- El plano P i: 4x - y+2z= 7 es ortogonal al plano P 2: x+ 6y + z = 16

porque N \ . N 2 — 0. En efecto com o A^i= (4,-1,2), N 2= (1,6,1), se

tiene: N \ . N 2 = (4,-1,2).( 1,6,1) = 4 -6+ 2= 0 .

1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.-

Considerem os los planos: P ,: Atx + B^y + C ^ - t D , = 0 y

P2: A2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 . Si el plano P¡ no es paralelo al plano P 2

(P] X P 2) entonces la intersección de Pi y P 2 nos da una recta L, es decir:

L24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.-

A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denom ina

ecuación biplanar de la recta y se expresa en la form a siguiente:

j A xx + Bxy + C,z + Z), =* 0

1Á2x + B 2y + C2z + D 2 = 0

La ecuación biplanar de la recta se expresa en form a vectorial, param étrica y—>

simétrica. El vector dirección a de la recta se determ ina en la forma siguiente:


a = N \ x N 2 , donde N \ y N 2 son las

norm ales de los planos P, y P 2

respectivamente:

a = N t x N 2 =i j k

A¡ B , C,

A-, B-, C-,

*(0,0,0)

El punto p 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) por donde pasa la recta se determ ina resolviendo el

sistema de ecuaciones de los planos P , y P 2.

E jem plo .- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección

de los planos P t : 3x + y - 2z = 5 ; P 2 : x + 2y + z + 5 = 0.

Solución

—>Calculando el vector dirección a de la recta L.

a =i J 3 1

1 2= (5, -5 ,5 ) = 5(1,-1,1)

ahora calculam os un punto de la recta L, para esto resolvem os el sistem a de

ecuaciones.

\ 3 x + y - 2 z = 5 í 5x + 5_y = -5entonces 1 , sim plificando

[x + 2 y + z + 5 = 0 U + = - l

ahora dam os un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejem plo para

x = 0, y = - l , z = -3 entonces pu (0,-1,-3).

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

Luego la ecuación de la recta L en form a vectorial es:

L = {(0,-1,-3) + 1 (1 ,-1,1) / 1 e R}

Otra form a de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de la

variables en función de la tercera variable y para esto se elim ina una de las

variables del sistema.

[ 3x + y - 2z = 5\ entonces x + y = - l de donde y = - l - x[x + 2 y + z = - 5

ahora se tom a cualquiera de las ecuaciones.

x + 2y + z = -5 => x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x

com o (x,y,z) e L => (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x)

(x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l , - l , l )

Luego: L = {(0,-1,-3) + 1 (1 ,1 ,1 ) / 1 e R}

1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.-

Considerem os la ecuación general de un plano:

P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación—►

vectorial de la recta L = {p0 + 1 a / 1 e /?} .

Si L y P no son paralelos entonces al

intersectarse nos da un punto Q, es decir:

L n P = { Q } .

Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones

de la recta L y el plano P.

x + 2 z — 4

-1E jem plo .- H allar el punto de intersección de la recta L:

y el plano P: 2x + 3y - z + 11 = 0 .

Solución

Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) / 1 e R}

com o L X P o 3 p tal que p e L n P. S i p e L n P entonces p e L n p e P

corno p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún t e R.

además p e P o 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 o t = -3

Luego: p (-11, 3, -2).

íO iT PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO ______ PERPENDICULAR A UNA RECTA.-

Considerem os 1a ecuación general del plano P: Ax + B y + Cz + D = 0,—>

donde N = (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de la recta —► —►

L ~ {Po +t a l t e R} donde a es el vector dirección.

—►La recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal

al vector normal N es decir: L / / P o a 1 N


Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida

en el plano P ó que la intersección es el <|>, es decir:

Si ¿ / /P o ¿ c: P ó L n P = ^

L a recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es

paralelo al vector normal N de P, es decir: L 1 P <=> a // N

E jem plo .- Dem ostrar que la recta L - {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es

paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0

Solución

a = (3,-4,4) ------------».

N=(4,-3,-6)

Para dem ostrar que la recta L es paralelo al

plano P debe de cum plirse que el vector—V

dirección a de la recta es perpendicular al —►

vector norm al N del plano, es decir:

¿ / / P o a ± ÍV = > a.A f = 12 + 1 2 - 2 4 = 0

Luego como a . N = 0 entonces a 1 N . Por lo tanto la recta L es paralelo al

plano P.


1.27, FAMILIA PE PLANOS.-]

En form a sim ilar que en la geom etría analítica plana, en donde se consideraba

una familia de rectas, en este caso se puede considerar una fam ilia de pianos,

por ejemplo, la ecuación 2 x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos—►

paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos im portante,

es el sistem a de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya

ecuaciones se expresan:

P ,: A ^ x + B t f + C ^ z + D y = 0

P^: ^ x + i?2.y+C2z + = 0(1)

Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de

intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación:

X ¡(A¡x + Bl}>+Ciz + D¡) + K 2( A ;ix + B 2y + C 2z + D 2) = 0 ... (2)

donde K) y K2 son núm eros reales cualesquiera excepto que sean ceros

sim ultáneam ente.

Si en la ecuación (2) se tiene que K t 0, entonces a la ecuación (2) se puede

expresar en la forma:

A xx + B xy + Cxz + D X+ K ( A2x + B2y + C2z + D 2) = 0 ...(3 )

A la ecuación (3) se denom ina la familia de planos que pasan por la

intersección de los planos P i y P 2 .

E jem plos.- H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de

los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z - 7 = 0 y por el punto

(1,-2,2).

Solución


A plicando el concepto de familia de planos se tiene:

P: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) = 0

5com o (1,-2,2) e P => 2 + 2 - 2 + 8 + k ( l - 1 2 - 4 - 7) = 0 => k = —

11

5P: 2a - y - z + % + — (x + 6 y - 2 z - l ) = 0 . P: 27 x + 1 9 y - 2 1 z + 53 = 0

E jem plo .- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los

planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al

plano 3x - 4y - 2z = 9

Solución

Sea P„ la familia de planos que pasan por la intersección de los planos

2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1

P a : 2x - y + 3z - 2 + a (4 x + 3 y - z - 1) = 0

P a : (4 a + 2)x + (3 a - 1 )y + (3 - a )z - 2 - a = 0, donde su normal es:

—►N a = (4a + 2 ,3a -1 ,3 - a ) y sea P: 3x - 4y - 2z = 9 cuya normal es:

N = (3 ,-4 ,-2 ) com o P„_LP => N a 1 N => N . N a = 0

(3 ,-4 ,-2 ).(4 a + 2 ,3 a -l,3 -a )= 0 , de donde 12a+6 - 1 2 a + 4 6 + 2 a = 0 a = - 2

P u : 6x + 7y - 5z = 0

| lT 287 I o L \ C I O N E S I N a i M ^ L E T A S D E L P L A N O ^

Consideremos el plano P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A 2 + B" + C 2 * 0,

como A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes

casos:

Eduardo Espinoza Ramas

l*r Si B = C = D = O, A * O emoiices eí plano P: x = 0, que es el plano YZ.

1*° Si A = C = D = 0, B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano XZ

3ro Si A = B = D = 0, C * 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY

4,# Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al plano YZ

5'° Si A = C = 0, el plano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ

ó'“ Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY

7"’° Si C = D = 0, el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al

plano XY

8to Si B = D = 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al

plano XZ

9"° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al eje X y es ortogonal al

plano YZ

10"° Si C = 0, el plano P: A x + By + D = 0, es paralelo al eje Z y adem ás

es ortogonal al plano coordenado XY.

1 l “vo Si B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y adem ás es

ortogonal al plano coordenado XZ

12*™ Si A = 0, el plano P: By + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y adem ás es

ortogonal al plano coordenado YZ

13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de

coordenadas.

E jem plo .- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (7,2,-3) y

B(5,6,-4) y es paralelo al eje X.

Solución


Sea P el plano buscado. P: N .[(x ,> » ,z )-(7 ,2 ,—3)] = 0

com o A, B e P => AB =(-2,4,-1) // P, com o eje X // P => i II P entonces la

norm al es:

N = i . A B =

i j k

1 0 0

- 2 4 -1

= (0,1,4) => P: (0,1,4). (x - 7, y -2, z + 3) = 0

P: y + 4z + 10 = 0

1.29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-

Considerem os la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0

y un punto pi (xi, y t, z¡) que no pertenece al plano P.

considerem os un vector unitario /uN en la dirección del vector norm al, es

decir: n N = ~ z r = i , ' , ' - K g »c )¡| N || v A + B + C

---- ► —► -----> —> ^com o 0 = ¿ ( pqP ^ / J k ) entonces p 0p¡ . \ i N =)] p 0p l ||c o s 0 ...(1 )

En ei triángulo rectángulo se tiene: d ( p x, P ) =)l PoPi IIcos 6 ••• (2)

de (1) y (2) se tiene que:

1d { p x,V) = p 0p v f t N =■ r(/LS,C).(*i-x0, y ¡- y 0, zi~zo)

y¡A2+ B 2+ C 2

A ( x i - x 0)+ B ( y l - v0) + C(z¡ - z 0 ) | Ax¡ + By, + Cz, + ( - Ax0 - By0 - Cz0 )j

í 7 7 b 2+c 2 <Ta 2 + b 2 + c 2

d ( p x, P ) =Ax¡ + Byx + Cz, + £)|

, Ja 2 + b 2 + c 2

E jem plo .- Calcular la distancia del punto A (l,5 ,-4 ) al plano

dado por P: 3x - y + 2z = 6.

Solución

d ( A , P ) =|3x0 - y 0 + 2z0 “ ¡3 — 5 — 8 — 6j 16

16

VÍ4

VÍ4 " V T Í

16d ( A , P ) = -

O B S E R V A C IÓ N .- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos

P i: Ax+ By + Cz + D| =0 y P 2: Ax + By + Cz + D2 = 0,

la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula

d , - d 2«(*1**2/

2 + b 2 + c 2

E jem plos.- H allar la distancia entre los planos paralelos P 4: x - 3y + 4z = 10

y P í : x - 3y + 4z = 6.

Solución


A plicando la fórm ula de la distancia entre dos planos paralelos.

P (: x - 3y + 4z =10 y P 2: x - 3y + 4z - 6 = 0

I A - P 2I 1 - 1 0 - (~6)| 4 2V26¿ ( P „ P 2) =

■JA2 + B 2 + C 2 Vl + 9 + 1 6 " V26 13

2yÍ26■ ■ d ( P „ P 2) =

13

1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.-

Considerem os la ecuación vectorial de una recta L = { p 0 + t a / 1 e R ) y la

ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector norm al es

N = (A,B,C)

Sea 0 = ¿ ( a , N ) ángulo entre los vectores a y N , entonces: -> -»a Ai n

e o s0 = -------------- , adem ás se tiene a = — - 0 , entonces:2

II a IIII N II

sen a = sen(— - 0 ) = e o s # = — ^ por lo tanto:2 l l a l l l l T V I l

sena - -2L.N

II a IIII N II

Que es la expresión para calcular el ángulo a form ado por una recta y un plano


E jem plo .- H allar el ángulo 0 que forma la recta L = { (l,8 ,l)+ t (1,1,2) / teR }

con el plano P: 2x - y + z = 7,

Solución—► —

Sea 0 = ¿C(L, P ) donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y N = (2,-

1,1) el vector normal del plano P. A hora aplicamos la relación para calcular el

ángulo 0.

sen 6 = - a . N (1,1,2 ).(2 ,—1,1) 2 - 1 + 2 1

a II I! A' I

de donde: sen 6 = — entonces 0 = 60°.2

3.31. PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.-

La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + C z + D=

0 con norm al N ~ ( A , B , C ) es el punto p0 del plano P, al cual denotarem os por

Pr oyp , ,de tal m anera que el vec to rp 0p es ortogonal al plano P. Para hallar el

punto p0 trazam os por el punto p una recta L ortogonal al plano P es—>

decir: L = { p + 1 N I t e R} de donde L n P = p ,

¡L

jpÑ *


E jem plo .- Hallar la proyección ortogonal del punto A (l,2 ,3 ) sobre

el plano P: x - y + 3z = 4

I ^ Solución

| A (1 ,2 ,3 ) com o P: x - y + 3z = 4, donde N = (1,-1,3) es

|___________ N - (1 .-1 .3 ) ja norm a] de P y L la recta que pasa por el

/ punto A (l,2 ,3 ) y es perpendicular al plano P

| ® / entonces L = {A + 1 NI t e R) es decir:

' L = {(1,2,3) + t ( l , - l ,3 ) / 1 e R}

Sea B e L n P => B e L a B e P.

Si B e L => B( 1 + t, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t e R

4com o B e P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 t = - —

11

7 26 21de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A

11 1 1 1 17 26 21

sobre el plano P es B (— , — , — ).11 11 11

1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.-___________________________________________

La proyección ortogonal de la recta L = { p 0 + t a / t e R } sobre el

plano P: Ax + By + Cz + D = 0, es la recta V , el cual denotarem os por Pr oy¡,

que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las

proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P

_ / _____I P

A

A'

~L

L'

L '= { P 0 + t P0B / 1 e R] cuando L X P

L ' = { P ' + t ( A ' - P ' ) / t e /?} cuando L // P

E jem plo .- H allar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2t) / teR }

sobre el plano P: x + y + z = 1

Solución

com o L y P no son paralelos, entonces existe un punto de intersección A e L a P.

Si A e L a P entone A e L a A e P

[_' Si A e L => (t, 1 -1, 2t) para algún t e R

c o m o A e P = > t + l - t + 2 t = l => t = 0

=> A (0 ,1,0) por otra parte:

L = {(t, 1 - t, 2t) / teR } = {(0,1.0) + 1 (1,-1,2) / 1 e R}, de donde

a = ^4B =( 1,-1,2)=> B -A =( 1,-1,2), B=A+( 1,-1,2)=<0,1,0)+( 1,-1,2) =>B( 1,0.2)

ahora calculam os el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre

el plano P, para esto trazam os la recta L, que pasa por B perpendicular al plano

P e sd e c ir : L ,= {(1,0,2) + k (1,1.1) / XeR}

Sea C e L i a P => C e L| a C e P


Si C e L| => C (1 + X, X, 2 + A.) para algún X e R.

c o m o C e P => l + X + A. + 2 + A.= l X = —3

de donde C ( - , - —,—) y A C = C - A = — (1 ,-5 ,4) 3 3 3 3

S i£ '= P ro ^ p = { A +1~AC/ 1 e R} de donde/. L'= {(0,l,0) + / ( l , - 5 ,4 ) / í e /?}

E jem plo .- H allar la proyección ortogonal de la recta

L = {(2 + 1,1 - 3t, -5t) / t e R } , sobre el plano P: 2x - y + z = I .

Solución

Li

fi___ l

M - - I -

L= {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R}

Donde l = ~AB = (1 ,-3 ,-5 ) si A (2,l,0)=> B(3,-2,-5)

L' ahora calculam os sus proyecciones ortogonales

sobre el plano P, C = P rqvp y D = P ro v p para

calcular C trazam os la recta L t que pasa por A es

decir: L, = {(2,1,0) + 1 (2,-1,1) / 1 e R}

com o C e L | a P => C e L i A C e P .

Si C e L, => C(2 + 2t, 1 - 1, t) para algún t e R.

1 4 4 1com o C e P => 4 + 4t - 1 + t +t = 1 => / = - - por lo tanto C (—

3 3 3 3

ahora calculam os el punto D, para esto trazam os la recta L 2 que pasa por el

punto B, es decir:

L2 = {(3,-2,-5) + 1 (2,-1,1) / t e R } , como D e L2 a P entonces:

D e Li => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + t) para algún t e R.

com o D e P => 6 + 4t + 2 + t - 5 + t = l de donde3 3 3 3

* 7 3 11 4 4 1 2 17 31 1C Z > . , - — , - — )=, - ( 4 . - l 7 . - 3 l )

, 4 4 1L'= P ro y Lr = , ( 4 ,-1 7 ,3 1 ) / / € R }

3 3 3

1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.-

La distancia mínima entre una recta —►

L = {p0 +t a / t e R} y un plano P:

—►N ( p - Q o ) = 0 , donde la recta L no está

contenida en el plano P y además L es

paralela a P es dado por la fórmula.

d ( L , P ) H comp QoPo I = | I

11*11

E jem plo .- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / t c R )

al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0

Solución

Tom em os un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5

en toncesQ 0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) => Q0p 0 = Q q - P o = ( 7 ,4 -5 )

P ) _ | g o A . - * | _ ; q 4 - 5 ) . ( 4 , - 3 , - 6 ) | |2 8 -1 2 + 30|

l¡ y u >/l6 + 9 + 36 VóT Vól

Mi • i„m »’ Pianos en el Espacio Tridimensional 59

I 14. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.-

( onsiderem os las ecuaciones generales de dos planos Pi:A |X +B iy+ Ci

/> D |= 0 , cuya norm al es N = ( A ¡, B , , C, ) y P 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,

cuya norm al es jV 2 = ( a 2 , B 2 , C 2

El ángulo 0 form ado por los planos P j y P 2

es igual al ángulo entre sus vectores

norm ales N ¡ y N 2 respectivam ente y es

dado por la expresión siguiente.

E jem plo .- H allar el ángulo formado por los planos P t : x - y = 4 y P 2: x+z = 6

Solución

P ,: x - y = 4 de donde N , = (1 ,-1 ,0 ), P 2:x + z = 6 de donde N 2 = (1 ,0 ,1 )

-----* — » „ N. .N *Si 0 = ¿ (P i, P 2) = ¿ ( * 1 , N 2 ) entonces cos<9 = ----- f — — —

Il N x II II N 2 H

(1 ,-1 ,0).(1,0,1) 1 - 0 + 0 1 . 1 t „ „ 0co s^ = i-:— ’ \ \ .— = --------------= —, com o eo s9 = — en to n ces0 = 602 2 2

11.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

( í ) Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A( 1,0,-1) y B (2 ,1,3)

y que además es perpendicular al plano Pi = {(x,y,z) e R 3 / x + y - z + 2 = 0}


Solución

como P I P j => jV, //P , adem ás se tiene

que: A ,B e P => AB II P, AB = (1 ,1 ,4 )

c o m o jV l AB , /V, entonces:

N =

i j k

1 1 4

1 1 -1

= (-5,5,0) = -5(1,-1,0)

©

de donde tenem os que: N = —5(1,-1,0)

—►Luego P: ^ . ( ( x , y, z ) - (x o , y0, zo)) = 0 d ed o n d e . . P : x - y = l

H allar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l ,2,-3) y por

la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY.

Solución

N

P(1,2,3) plano XY es la recta L\\

La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el

(x - y ' 2z = 4

2 = 0

Escribiendo la ecuación de la recta L en forma

vectorial para z = 0 = > x - y = 4 => x = y + 4

Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0)

Luego L = {(4,0,0) + t ( 1 ,1 ,0 ) /1 e R}

ahora calculam os la norm al N = p 0p x a , donde p 0p = (~ 3 ,2 ,-3 ) y

a = (1,1,0) entonces:


N =

i j k

- 3 2 -3

1 1 0

= (3,-3,-5), com o el plano P pasa por p( 1,2,-3)

P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] = 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z + 3) = 0

P: 3x - 3y - 5z = 12

(T ) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos

iguales con las rectas Lj = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje OX, L3 : eje OY

Solución

—> —>El plano pedido es: P: N . ( p - p 0) = 0 , de donde ¿V= (A,B,C) y p0 (3 ,1 ,-2) el

punto por donde pasa el plano.

La condición del problem a es: ¿C (L¡ ,P) = ¿C (L 2 ,P) = ¿C (L3 ,P), donde:

para ¿ (L, ,P) = ¿ (L2 ,P), se tiene:

-» -> —> ^

sen 0 = — 7 - 7 - = > donde 7 = (1,1,1), 6 = (1,0,0), N = { A ,B,C)

\ \N\ \ \ \a\ \ | | / / | | || 6 ||

efectuando operaciones se tiene que: (\[?> - } ) A - B ~ C = Q ... (1)

para ¿ (L2 ,P) = ¿ (L3 ,P) se tiene:

se n 8 = . N : - — = - N -C - , donde 6 = (1 ,0 ,0 ), c = (0,1,1), 7V =(A ,B,C)

I /V|| || 6 || II A/1| || e l

efectuando operaciones se tiene: A = B ... (2)


ahora reem plazam os (2) en (1) se tiene: C = ( J l - 2 )B

com o N = (A ,B,C) = ( B , B , ( - J i - 2 ) B ) = 5(1,1, V 3 - 2 ) B * 0

Por lo tanto P: (1 ,1 ,V 3 -2 ) .(jc- 3 ,> , - 1 , z + 2) = 0

P: x + y + (i¡3 - 2 ) z + 2-Ji - 8 = 0

Sea ju = (a,b,c) y N = (A ,B ,C) vectores no nulos de R tal que-4 —►N ± ju si p0 (x0,yo,Z{)) es un punto del plano Jt = A x + B y + Cz + D = 0.

—>D em ostrar que L = {p0 + t ^ 1 1 e R] está contenida en ti.

Solución

—► —> —► —>Como N -L / / => N . fí = 0 => A a + Bb + Ce = 0 además

L = {p0 + 1 ~¡i! t e R] = {(x0, y0, z0) + 1 (a,b,c) / 1 e R} por demostrar que

L c rc: Ax + By + Cz + D = 0

Sea p e L => p (x0 + t a, y0 + t b, ztí + t c)

com o po e rt => A(xo + t a) + B(yo + 1 b) + C(zo + 1 c) + D = 0

= Ax0 + By0 + Cz0 + D + t ( A a + Bb + Cc) = 0 ,

o

= 0 + t (Aa, Bb, Ce) = 0 + to = 0, entonces p e k luego L c n.

© H allar la ecuación del plano que pasa por el punto A (3 ,4 ,l )y es ortogonal

a los planos P , : x -y = 4, P2 : x + z = 6.

Solución

Redas y Planos en el Espacio Tridimensional 63

Sea P ] : x - y = 4 de donde N t = (1 ,-1 ,0 )

P 2 : x + z = 6 de donde N , = (1,0,1)

P: N .(p - A) = 0 es el plano pedido com o P J_

Pi , P 2 entonces A', , N-, / /P de donde la

norm al ¿Vde P es:

(-1,-1,1)

com o P: A' .(p - A)=0, al reem plazar se tiene, P: (-1 ,-1 ,l).(x - 3, y - 4 ,z -l)= 0

P: x + y - z = 6

( h ) Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano

3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos?

Solución

Sea P,: 3x - y + 2z = 4. donde A7, = (3,-1,2) y P el plano pedido, com o

P // Pi entonces P: 3x - y + 2z + D = 0

pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D = 5

por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. la distancia entre am bos planos

paralelos se tiene:


© Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P ¡ ( l , 0 , - l ) y

P3 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6,

4x - y + 3z = 0

Solución

para determ inar el vector norm al al plano P, prim ero hallarem os el vector

dirección v de la recta de intersección.

v = N x x N 2 =

i j k

3 1 - 2

4 - 1 3

=( 1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)

ahora trasladam os el vector v paralelam ente al plano buscado y con el vector

Px P2 = ( -2 ,2 ,2 ) se obtiene la norm al N al plano P, es decir:

N = P\P2 > v =i j k

-2 2 2-1 7 - 7

(20 ,-12 ,32)

considerando el punto p i ( l ,0,-1) en el plano y la normal N = (20,-12,32)se tiene:

P: N .(p - p i) = 0, reem plazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0

.-. P: 5 x - 3 y + 8z + 3 = 0


(Ñ ) Si P es un plano tal que: P n eje x = {(a,0,0) / a * 0, a e R},

P n eje y = {(0,b,0) / b * 0, a e R}. D em ostrar que P tiene la ecuación.

x y z P: - + t - + - = 1

a b eSolución

Sea a = AB = B - A = (-a,b,0)

b = ~AC = C - A = (-a,0,c)

N = a , b

i j k

- a b 0

- a 0 c

= (bc,ac,ab)

La ecuación del plano es: P: N. ( p - A) = 0 , reem plazando se tiene:

P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe

©x y z

P: - + f + - = 1 a b e

D em ostrar que la ecuación del plano, que pasa por la recta

L: x = x 0 +a¡t, y = y ü + a 2t, z = z0 + a i t , t e R y es perpendicular al

plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma:

x - x 0 y - y 0 z - z 0

a , bx c,

a b e

Solución


En la recta L: x = x 0 + a xt, y = y 0 + a2t, z - z 0 + a 3/ te R el vector dirección

es a - ( a ^ a ^ a ^ ) y en el plano F: ax + by + cz + d = 0, su norm al es]—> —>N = ( a ,b , c ) . Sea P,: N \ . ( p - p 0) = 0 , el plano buscado donde:

N\ = a x N -■

—» -> —»/ j k

a l a2 “ia b c

= íl\ a2 «3 «1 «3 #1

1 Ò C a c9

a b

a2 a 3 «1 «3 «1 a3b C a c a C

Pt : (

P, : ( x - x0 )a, a

)

) . ( x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) = 0

+ ( z - z 0) = 0

' i •

*o y - y o z ~ zo

«ia

= 0

(10) Si A ,B ,C y D son todos no nulos. Dem uéstrese que el tetraedro form ado por

los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volum en

1igual a V = —

D

ABC

Solución

Sean P, Q, R, los puntos de intersección del

plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los

ejes coordenados respectivam ente, es decir:

0 ,0 ) , Q(0 , - ~ , 0 ) y R(0 , 0 , - ^ ) A B C

el volumen V del tetraedro OPQR es:


,

V = ¡ [OP OQ OR] I de donde se tiene:6

D D DOP = {— ,0 ,0 ), OQ = ( 0 ,- — ,0), OR = ( 0 ,0 , - — )

A B C

V = -

0-2- oA

0 0 B

0 oc

-£>3 1 D 3

/IflC 6 AB CV = -

D

AB C

Dados los puntos P ,: 2x + 2 y - 2z + 2 = 0 y P 2: x - 2y - z = 1 y el punto

A (2 ,l,4 ). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es

paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P , .

Solución

—P,: 2x + 2 y ~ 2 z + 2 = 0 , de donde su normal es N { — ( 2 , 2 - 2 )

—P2: x - 2 y - z = 1, de donde su normal es N 2 = (1 ,-2 ,—1)

—> —> —>Sea ¿ = {(2,1,4) + ? u / t e R} donde u = ( a , b , c ) y | |« | |= 1

-* —com o L / /P , => u . N 7 = 0 = > a - 2 £ - c = 0

por otra parte se tiene: Pj ) = 3 0 ° ,entonces sen 30° = •

- (1)-> - > u . N ,

donde

Mi l l i e ¡i

u . t y - — y u II |f ív f 1| => 2a + 2 b - 2 c = ^ - . 2 j ? , => 2a + 2 b - 2 c = 3 ... (2)

como II u |l= l => a" + b 2 + C 1' = 1 ... (3)

!±V2

resolviendo el sistema se tiene: '

a - 2b - c = 02a + 2 b ~ 2 c = 3 entonces

a 2 +b~ +c 2 =1 2 + V2

2±y¡2 1 2±y ¡2 1 i r - r \u = ( a , b ,c ) = (------------------------------) = - 2 ± V 2 , 2 , - 2 ± V 2

4 2 4 4 '

Luego se tiene: L = {(2,1,4) + 1 (2 ± -J2, 2, - 2 ± V ? ) / í e. /?}

( Í2 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al

plano XZ y hace un ángulo 6 = arccos * con el plano x + 2y + 2z = 5.

Solución

P ,: x + 2y + 2z = 5 S ea p , = x + 2 j + 2 z = 5 de donde

= (1,2,2) y P2 = XZ

P3 = ? tal que P31 P 2 y además

Sea N 3 = («,0, e) la norma de P3 puesto -^

que #3 es paralelo al plano XZ y XZ1P3. ¡

--^donde TV, = (1,2,2) y jV3 = (« ,0 ,c)Adem ás eos 9 = -

N t . N 3

n ’ i II II N 3 II

eos 9 =( l ,2, 2) .(a ,0,c )

3V« 2 + c 2

1 a + 2c

3 3>/a2 + c2

V a2 + c 2 = a + 2c entonces se tiene: a = - - - c


por lo tanto <V3 = ( - ~ , 0 , c ) = - -(3,0,-4)

©

Luego P3: JV3.(/?-(0,01)) = 0, al reem plazar se tiene:

P3 : (3,0,~4).(x, y , z - 1 ) = 0 P3 : 3x - 4z + 4 = 0

Un plano pasa por el punto A (3 ,l,-1 ), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = -

4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación.

Solución

—>Sea P ,: 2 x - 2 y + z = - 4 , de donde jV, = (2 ,-2 ,1 ) y P el plano por calcular,

—►Luego com o P ,± P => JV, / /P y com o el intercepto Z con P es -3 entonces

—B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B e P => A B / /P de donde— > ->AB = ( - 3 - 1 - 2 ) com o N {, A B / / P entonces la norm al P es N dado por:

= ( -5 - 1 ,8 )

—» -> —>i j k

N = N { x A B = -3 -1 - 2

2 - 2 1

©

P: N . ( x - 3, y — 1, z + 1) = 0 , de donde P: (-5 ,-l,8 ).(x - 3, y - 1, z + 1) = 0, por

lo tanto: P: 5x + y - 8z - 24 = 0

H allar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del

origen y tiene una norm al que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos

OX y OY.

Solución

Sea P el plano buscado, cuya norm al es N = ( c o s a , eos /?, e o s /)

70 Eduardo Espinoza fiamos

2 ^ com o a = (3 = 60° => eos" a + e o s ' /? + eo s ' y = 1 = > c o s / = ± - y

-* 1 1 -J2 1 1 r—\N = ( - , ~ , ± — ) = - 1,1,±V2

2 2 2 2

La ecuación del plano es: P: x + y ± - J l z + D = 0

com o r f (0 ,P ) = 2 => '° + Q + - —— = 2 de donde i D | = 4= > D = 4 v D = -4]V l + 1 + 2

Si D = 4 entonces P,: x + y ± - J l z + 4 = 0;

D =-4 entonces P2: x + y ± 4 l z - 4 = 0

(^5^ Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga ai

punto (2,2,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano J l x + 2 y - 3z + 2 = 0 j

Solución

La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es

perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La rorm al del plano P e!

N = ( A , B , 0 ) .

Si P,: j 2ix + 2 y - 3 z + 2 - 0 , de donde N x = [ \ 3 ,2 -3 )

El ángulo formado por P, y P es 0=60° que es dado por: eos 0 = -

yPSA + 2B , 1 s¡3A + 2 B ^ I , 2 , D2 _ A , 0cos60° = — , de d o n d e — = — , => 2 y A + B - >j3A + 2 ^

4 y¡A2 + B 2 2 4 \ A + B

4 ( A 2 + B 2) = 3A 2 + 4 B 2 + 4 > /3 AB => A = 4-J1B ... (1)


©

como (2,2,2) e P => 2A + 2B + D = 0 ... (2)

de (1) y (2) se tiene D - - [ s j i + 2]B —(3)

reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0

P: 4>/3ftc + fly-(8>/3 + 2 )5 = 0, B * 0 => P: 4-JÍ x + y - t j l - 2 = 0

La recta ¿ j = {(5 + / , - f , 0 ) / / e /?) se refleja en el plano n: 2x - y + z - 1= 0,

Hallar la ecuación de la recta reflejada.

Solución

Se observa que p2 eL, /vr => p2 e L, a p 2 e n

S i p 2 e ¿ , = > p 2(5 + í, - f , 0) para algún te R

además p2 e n : 2(5 + í) + f + 0 - 1 = 0 => t=-3

de donde P2 (2,3,0) también P, (5,0,0) e Lt—>

como n: 2x-y+z-l= 0, de donde N = (2,-1,1) —> —>

entonces N L n A 7 /£ 3 de donde:

*1

A e L^n/r = > A e L j A A e x

Si A e L} => y4(5 + 2 A - A,A) para algún X e R, además A s n entonces

2(5 + 2X) + k + X - 1 = 0 entonces A = - ^ . de donde:

3 3 3 3 3 3.A(2 , - , - - ) => AP, = ( 3 , - - , - ) => Bp, = p , - B = 2Ap, = 2 ( 3 , - - , - ) = (6,-3,3)

2 2 2 2 2 2

P1P2 = P2 — Pi = (-3 ,3 ,0 ) => Bp2 = p2 - B = (3,0,3) como Bp2//L y p2 e L

entonces L = {(2,3,0) + r(3,0,3) / r e R}


x + 4 5 - zDado ei plano P: x - 2y + 3z = 8 y la recta L: —-— = —— , y = -1. Hallar la

ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2 ,-1) paralela a! plano dado y

corta la recta L.Solución

x + 4 5 - zA la ecuación de la recta —- — = —— , y =

vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) / t e R}.

escribiremos en forma

Sea I , la recta por determinar, es decir: = {(0,2,— 1) + r(a,b,c) I r e /fjcomo

I , corta a L => 3p e L, n L => e L, a p e L

Si p e L, => p(ra, 2 + rb, 1 + re) => p 6 L => p(-4 - 4t, -1, 5 + 3t)

de donde por igualdad (ra, 2 +■ rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces:

- 4 + 4t = ra - 1 = 2 +rb

5 + 3t = -1 + re

i b-

4 t - 4

r6-3/

... (1)

como P: x -2y + 3z = 8 de donde N = (1 ,-2 ,3 ) como L, / /P entonces

a ± iV donde a =(a,b,c) Si a 1 N => a . N = 0 => a - 2 b + 3c = 0 ...(2)

4 f - 4 6 1 8 -9 /reemplazando (1) en (2) se tiene. ■—- + — +----

/• r r- = 0 t = 4

de donde: a = — , b = , c = como a = (a,b,c) = - (4 ,-1 ,-2 )r r r r

I , = {(0,2,-1) + À (4 ,-l,-2 )/ a e


F1 intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y mayor en 2 unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano

y los tres planos coordenados es 15«3, Hallar la ecuación del plano.

Solución

Los puntos por donde pasa el plano n son: (0,0,a), (0,a - 1,0), (a - 3,0,0) y la ecuación del plano es:

n : N.(x ,y ,z ) = d donde N = (A, B,C)

(0, 0, a) e ti => (A,B,C).(0,0,a) = d => aC = d

(0,a - 1,0) e n => (A,B,C).(0,a - 1,0) = d

B (a -l) = d => (a - 3,0,0) e Ti

(A,B,C).(a - 3,0,0) = d =* A(a - 3) = d. de donde

d d d 1A = ,B = ,C = además se tiene que: V = — a - 3 a - Ì a 6 ABC

donde V = 15u3

V = - d d d a - 3 a - \ a

d d d-15 => (a-3)(a-l)a=90 => a=6 de donde A=—,B=—,C=-~,

3 5 6

-* 1 1 1 x y zcomo tt: N . (x , y ,z ) = d => Jt\ d (—, —, — ).(x, v,z) = d n \ — + —+ — = 1

3 5 6 3 5 6

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la

recta 3x = 2y = z, y paralela al plano x + y - z = 0

Solución

Sean L = {(1,-1,1) + X(a,b,c)/>. e R} la recta buscada Lx:3x = 2y = z


entonces: ^ = =» 6 , ( ± , I 1)

1 1/._L¿, => (a ,¿ ,c ) .(—, —, 1) = 0 => 2a + 3¿> + 6c = 0

3 2

como el plano P: x + y - z = 0, de donde iV = (1,1,- 1) por ser

P IIL => N.(a,b,c) = 0

... ( 2)(1,1,-1).(a ,6 ,c) = 0

ahora resolvemos el sistema siguiente:

entonces a + b - c = 0

2a + 3b + 6c = 0

a + b - c = 0

a = 9c

b = -8c

(a,b,c) = (9c,-8c, c) = c(9, -8, 1) por lo tanto L = {(1,-1,1) + ?-(9,-8,l) / X ex - \ y + 1 z - 1

-8 1R¡ lo que es igual a expresar en la forma. L:

Sean n v 3 x + y - z = 1 y n 2: x - y + 3z = 1, dos planos. Hallar las ecuaciones

paramétricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q( 1,1.1)

sobre cada plano.Solución

Del gráfico se observa que la recta L pasa por los puntos A y B que son las proyecciones del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los

puntos A y B.


Para el punto A trazamos la recta L¡, es decir: £, = {(1,1,1) + f(3,1,-1) / 1 e R\

como A e L xr \ K x entonces A e a A e 71 x . Si A e Z-, => A(1 + 3t, 1+ t, 1- t)2

para algún t 6 R, además A 6 TCX => 3(1 + 3t) + 1+ t + t - 1 - 1 => t = - — ,

5 9 13de donde el punto A (— , — , — ). Para el punto B trazamos la recta L 2, es

decir: ¿ 2 = {(1,1,1)+ f(l,-1 ,3 ) // e /?}como B e L 2 n 7T2 => B e L2 a B e n 2

Si Be L2 => B(1 + t, 1 - t, 1 + 3t) para algún t e R

2además Be^T, 1 + t - 1 + t + 3 ( l + 3 t ) = 1 => / = —

9 13 5de donde el punto ¿?(yy, — , — )

Sea a = AB = B - A = — (1,1,-2) 11

11

por lo tanto la recta L pedida es:

5 9 13L = {(— , — , — ) + >1(1,1 -2 ) / A e R] cuyas ecuaciones parametncas es:

L:

x ------ 1- P11

13z = — i p

11

,P z R

1.36. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

( j ) Una recta pasa por el punto A(-2,1,3), es perpendicular e intercepta a la recta

£ = {(2,2,1) + /(1,Ó ,-1)// e /?}. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.

Rpta. L={(-2,1,3) + A.(l,l,l)/X, e R}.


C D P°r l°s puntos A(-6,6,-5) y B(12,-6,l) se ha trazado una recta. Hallar los puntos de intersección de esta recta con los planos coordenadas.

Upta. (9,-4,0), (3,0,-2), (0,2,-3)

Dados los vértices de un triángulo A(3.6,-7), B(-5,2,3) y C(4,-7,-2). Hallar las ecuaciones pararaétricas de su mediana, trazada desde el vértice C.

Rpta. x = 4 + 5 t , y = -7 - 111, z = -2

O Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto A(-l,0,2), es

ortogonal a la recta I , = {(2,2,0) + ¿(5,-2,-3) / 1 e R} y que corta con la rectaX - 1 y 2 -1

L2\ -~— = ^ = —— . Rpta. L={(-l,0,2)+it(32,65,10)/t eR}.

© Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto M(-4,-5,3) y se corta, „ x + l y + 3 2 - 2 x - 2 v+1 z -1

con las dos rectas. L. : ---- = 1—— = ------- ; : --------= 1------ = ------3 - 2 - 1 2 3 - 5

x + 4 y + 5 z - 3Rpta. L :3 3 - 1

Q Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-l,2,-3), es

perpendicular al vector a = ( 6,-2 ,-3 ) y se corta con la recta x ~ 1 _ y +1 2 - 3 x + l y - 2 2 + 3

3 _ 2 p ,a '

© Dadas las rectas Z, = {(3,1,0) + /(1,0,1)/1 e r \ y L2 = {(1,1,1) + A(2,1,0) / X e /?}.Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además

13 3 3 yfbhallar esta distancia. Rpta. 0 {— , ) y d = ------------

H 4 2 4 4

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,0,l) y que intercepta a

la recta Z,, = {(1,2,3) + t(2,2,3) / 1 e R] en ángulo recto.

Rpta. L= {(2,0,1 )+X(-33,18,10)/te R }


( 3 ) La recta L pasa por el punto A(2,l,5) y además intercepta y es peipendicular ax - 1 v + 2 2 - 3 „ . , ,

la recta L , : ------= -------= -------. Determinar la ecuación de la recta L.1 3 4 2

Rpta. L={(2,l,5)+t(28,-l l,-20)/teR}

(ío ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB donde

A(-5,-4,4) y B(3,-2,-4) y que corta a la recta = {(l,l,l) + Z (-3 ,-8 ,-3 )/í e

Rpta. L={(-l,-3,0)+ >.(1,4,2)/ X e R}

( í j ) Detenninar la distancia más corta entre las rectas : 2x = y = 2 ,

L2 : x = y = 26+2 Rpta. d ( L ¡ , L2) = 13V2«

( Í 2) Sean las rectasL¡ = {(5,1,2) + t(2,0 ,2 )/1 L2 = {(3,2,1) + A(2,l,0) / A e R ) ,

Hallar un punto que equidista de ambas rectas una distancia mínima.13 3 3

Rpta. P (— , — )4 2 4

( í¿ ) Una recta L, pasa por los puntos A(2,1,-1) y B(5,-1,3) y otra recta pasa por

los puntos C(-4,2,-6) y corta perpendicularmente a . Hallar la ecuación de

L 2. Rpta. L2 = {(-4 ,2 ,-6 ) + / ( 2 ,l l , - 7 ) / í 6 *}

( Í 4) Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta un ángulo recto a las

rectas Lx ={(3,4,3) +¿(2,2,3)/ í e y L2 = { (l,6 ,- l) + / i( - l ,2 ,0 ) / / le R]

Rpta. L= {(l,6 ,-l)+ t(-2,-l,2)/t e R}

Dado los vértices de un triángulo A(l,-2,-4), B(3,l,-3) y C(5,l,-7). Hallar las ecuaciones paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto.

Rpta. x = 3t + 3, y = 15t+ 1, z = 19t — 3

(ib) Hallar la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(2,l,-1) y

corta a las rectas Lj = {(l,l,l) + í(2 ,4 ,5 )/í s R\ y ¿ 2:e jex .

Rpta. L ={(2,l,-l)+t(13,8,-8)/1 e R}

78 Eduardo Espinozu Ramos

© Dado los vértices de un triángulo A(3,-l, 1), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.

jc- 1 >>-2 z + 7Rpta. L:

l -3 -8

Jjy Dados los vértices de un triángulo A(2,-l,-3), B(5,2,-7) y C(-7,l 1,6). Hallar lasecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo externo al vértice A.

x - 2 y + 1 r + 3Rpta. L: ------ = -------= -------

6 -1 -7

Hallar una recta L que intercepta a las rectas = {(2 ,l,-l) + /(3 ,4 .0 )// e /?} y

¿2 = {(1,1.2) + /(—4,3,0) / r e R\ formando un ángulo Q = arctg>/2 con cada

una de ellas.

Rpta. £, = { ( | i , g f _ i) + í( 1 -7 .5 )// e r \ , U = { ( | i -1 ) + A(-l,7,5)/ A e /?}

C?S) Encontrar la longitud del cordel que se necesita para llegar desde el puntoP(8,6,5) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos A(3,5,3) y

Í6298(8,3,1). Rpta. d(P .L) = ^ - ~

(¿ l) Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto vl( 1,0,2) que es

ortogonal a la recta L¡ = ¡(1 + 2/, 5/, 1 + 1)11 e /?} y que se corta con la recta

^ Z 1 = 1 Z L = — Rpta. L = {(1,0,2) + 1(53,-14,-36) / 1 e R}5 2 - 3

© Las rectas L x y L-, de vectores direccionales (-3,1,2) y (1,2,3)

respectivamente, se interceptan en (4,1,1). Hallar la recta (ó rectas) L} que al

interceptar a las dos primeras, determinan un triángulo isósceles con base en

¿3 y cuya área es 6-J]9 ti2-

Rectas >■ Planos en el Espacio Tridimensional 79

23) Hallar las recta L que pasa por el punto A(5,0,0) que corta al eje y en un punto

B de tal modo que forma con el origen un triángulo de arrea 30 u2.

Rpta. L = {(5,0,0)+ t(-5,±12,0) / 1 e R}

24) Hallar las ecuaciones paramétricas de la perpendicular común a las rectas, dadas por las ecuaciones ¿ , : j t = 3f —7 , y = - 2 t + 4 , z = 3í + 4 y

L2 : x = t +1 , y = 2t - 9 , z = - t - 12. Rpta. L: x = 2t-5 , y = -3t+1, z = -4t

( 25) Una recta que pasa por el punto A( 1,2,3), haciendo un ángulo de 30" con el ejeX y 60° con el eje Y. Hallar su ecuación.

Rpta. L = {(1,2,3) + /(±V 3,1,0)// e /?)

© x - \ y - 1 z - 1Dados un punto A en la recta L¡: -—- = ------= ------ y un punto B en la recta

2 3 4

Lj = {(3,0,8) + /( l,2.5,2)/ í e R\ que determinan un segmento AB que

forma con la recta L x un ángulo de 30°. Hallar la distancia de A a B.

Rpta. || AB ||=10

27) Hallar la ecuación vectorial de la recta L, que intercepta a las rectas

={(l,-2,5) + / ( 2 ,3 , - 4 ) / /e /? | y ¿2 = {(-2 ,l,-2) + /l(0 ,l,2 )/A e R¡ en

9 9 25ángulorecto. Rpta. L = {(- —, - —, — ) + /(—30,197,—137)// e tf}

( 28) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0(3,-3,4)

y que es ortogonal a cada una de las rectas Lx = {(-2,3,-2) + /(2 ,-l,5 ) / / e R }

x - 3 2 y - 7 3 - zy L,: ------ = ---------= ------- . Rpta. x = 3 - 7t, y = -3 + l l t , z = 4 + 5t

1 2 - 3

(29) Dadas las rectas L, que pasa por los punto A(2,1,2) y B(5,4,5) y L2 que pasa

por los puntos C(7,4,3) y D(10,8,5).

a) ¿Cuál es la menor distancia entre ambas rectas?

b) ¿Calcular un vector ortogonal a ambas rectas cuya longitud sea igual a la

distancia menor? Rpta. a) í/ = V6m, b) a =(-2,1,1)

(30) Determinar una recta L tal que con las rectas Lt ={(2,1,4) +<(1,1,0)/ í e R \ ,

¿2 = {(2 + A, 1 + A, 3+ A) / Á 6 /?}. Determine un triángulo de área 5 U2.

Rpta. L = {(4,3,4) + í( l± 5 V 2 ,-1 + 5V2, ±5-s/2)/íe r \

( 3 1 ) La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogramo si lascoordenadas de los tres primeros puntos son A(l,2,3), B(0,-l,4), C(-l,2,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D.

Rpta. L = {(0,5,5)+t(-l,-3,l) / te R}

^ 2) ¿Cuales son los puntos de la recta L = [(x,y,z) e i x = y = zj tales que,

junto con el punto (0,0,2) determinar un triángulo equilátero?.

(33) Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto J°0(0,1,1) y corta a las

rectas = {(l,-2,0) + í(l,2 ,l) / 1 e R¡, L2 = {(jc,y,z) e R* / x = y . x = zj

Rpta. L = {(0,1,1) 3 ,1 ,1 )/t e R)

Dadas las rectas I , = {(2 + í, 6 + 2 í, l ) / í e /?} y ={(1, 6 + r, l ) / r e /?}.

Hallar la recta L que intercepta a Z,, y L 2 determinando un triángulo de una

unidad cuadrada de área, si L pasa por el punto M(3,2,l).

Rpta. L = {(3,2,1) + t(-2,5,0) /t e R[

( 3 } Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta

L ={(2t,3,-t) / t e R¡ tal que con A sean los vértices de un triángulo isósceles

de área igual a 6 ti2. si el lado desigual esta sobre la recta L.

Un las y Planos en el Espacio Tridimensional 81

Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta

L = {(2,-2,2) + t(3 ,l ,l ) / t e R}, tales que con A, sean los vértices de un

triángulo isósceles de arrea igual a 9y¡22 unidades cuadradas, si el lado

desigual esta sobre la recta L.

(»7) Dado el punto Q(6,3,2) y la recta L = {(1,-1,4) + t(0 ,-1,1) / 1 e R} determ inar

las rectas que pasa por Q y cortan a L formando un ángulo de 60°.

3>/2 3>/2R p ta . L x = { (6 ,3 ,2 )+ í ( - 5 , - l + — , - ! - — ) / / e R)

3>/2 3V2L 2 = {(6,3,2)+ / l ( - 5 , - l - — , - l + — ) / A e R)

^ 8 ) Las rectas L x = {(3 ,-2 ,4) + í(0 ,4 ,-4 ) /< e R \ , L , = { (l,- l ,2 ) + ^ ( - 2 ,- l ,0 ) /A e /?(

y ¿ 3 = {(2,6,-3) + a ( 3 -5 ,5 ) l a e R\ contiene 3 aristas de un paralelepípedo.

Encontrar cada uno de los otros vértices de este si (3,-2,4) y (2,6,-3) son dos de

ellos. R p ta . (3 ,-2 ,4),(2 ,6 ,-3),(3 ,0 ,2),(5 ,l,2 ),(5 ,-l,4 ),(0 ,3 ,-l),(0 ,5 ,-3),(2 ,4 ,-l)

(39 ) H allar la ecuación de una recta perpendicular al plano XZ, que una las rectas

L, = {(1,—1,1) + í(2 ,—1,4) / 1 e /?}, L2 = { (1 ,2 ,-3 )+ 4 - 1 .4 ,2 ) / A e /?}

R p ta . L = {(0 ,6 ,-l) + t( 0 ,1,0) / t e R}

(4^ H allar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3,4,-5), corta a la recta

£, = { ( l,3 ,-2 ) + / (4 ,3 ,2 ) / í e rt} y es perpendicular a la recta

x - 4 y + 2L2 : ------- = -------- , z = 5

‘ 2 3

(4T) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,2,3) y que intercepta

perpendicularm ente al segmento de extrem os (2,3,4) y (-3,2,5).


(42) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,1,5) y es perpendicular a los

vectores (1,-1,2) y (2,1,-1).

43) Determ inar la ecuación de la recta que intercepta un ángulo recto a la recta

Z,, = {(l,2,3) + / ( 2 , l , - l ) / f e /?} y que pasa por el punto A (2,0,1).

44) Hallar el punto de intersección de las rectas si existen.

x y —2 x - \ z + 3a) Z,|: — = — = z + 1, L2: = y + 2 =

3 - 1 4 - 3

x - 2 y - 2 x - 3 z + 2b) L : ------- = -------- = z - 3 , -------= v + 5 = —

- 3 6 - 2 ' 4

y z x — 145) Hallar la distancia entre las rectas L : r , L , : --------= v - 4 = z + l

2 3 - 1

,46} Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, es perpendicular

a la recta x = y -5, z = 2y -3, y que intercepta a la recta y = 2x+ 1 a z= x+ 2.

x y zRpta. L\ — = — = —

-1 -1 1

47) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 1,0,1) y corta a las

rectas i , = {(-1,1,1)+ /(2 ,0 , 1 ) / / e 7?}, L2: x - y + z = \ , x + 2 v - z = 0

R pta. L = {(1,0,1)+ A(-6,7,18) /AeR¡

48) H allar una ecuación vectorial de la recta que pasa por P (0 ,1 ,-2) y corta a las

rectas ¿, = {(1,4,3) + /( 1 ,3 ,0 ) //e /?}, = {(jt,_y,z) e R 3/ x - y = 3z a 4 - z = x

R pta . L = {(0,1 ,-2) + t( 13,39,-7) / 1 e R}

49) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3 ,l,2 ) y corta a las

rectas L¡ = { (2 ,4 -1 )+ /(0 ,1,2)/ t e /?}, L2: x - y + z = 4 a 2 . y + z = 6

Rpta. L = {(0,2,6) + t (1,-1,-2 )/te R¡


(50) Hallar una ecuación vectorial de la recta L cuya ortogonal sobre el plano XY

esta dado por z = 0, x - 2 y - 5 = 0 y cuya proyección ortogonal sobre el plano

YZ esta dado por x = 0, y - z + 2 = 0. R p ta . L= {(1 ,-2,0) + t(2 ,1,1) /t e R ¡

51} Sean las rectas Lx. x - y + z - 5 = 0 a jt-3 j> + 6 = 0 ; L2: 2 y + z - 5 = 0 a

4x - 2y + 5z - 7 = 0. Dem ostrar que L , / / ¿ 2 .

(52) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(l,6 ,-5 ) y es

perpendicular a cada una de las rectas.

L y 3.í - 2 y + 3z + 9 = 0 a x + y - 2z + 13 = 0 ;

L2: 2x + 2>’- 5 z + 1 0 = 0 a j c - j > - z + 3 = 0

R p ta . L = {(1,6,-5) + t(-21 ,19 ,-30 )/ t e R}

(53) Encontrar la distancia perpendicular del punto P(-l ,3,1) a la recta x -2 z = l, y = l .

3VÍ0R p ta . d ( p , L ) = --------

(54) H allar la distancia del punto P(6,-3,3) a la recta L :2x+2y+z=0 a 4x-y-3z -5=0

R p ta . d(p,L) = 3

(5?) Las rectas Lx = { (x ,j ,z ) e /?3 ! x - 2 y = 3, z = 2 }, L 2 = {.4 + í ( 3 ,- 5 ,5 ) / í e R \ ,

= [ { x , y , z ) 6 R 3 l x = 3, y + z = 2 J contiene aristas de un paralelepípedo,

uno de cuyos vértices es A (2 ,4 ,-l) encontrar sus otros vértices y su superficie

lateral.

R p ta . a) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3),(5,1,2),(0,3,-1),(2,6,-3),(3,-2,4)

b) (2 -\/2 9 4 + 2 V2 +4-\/6)m2

Demostrar que la condición, según la cual las dos rcc ta ilV~Q| y ~ b i z - c ,

m ,

.v - « , >»-6 , z - c - ,— están situadas en

un plano, se puede expresar de la forma:

a-, — a | 6-, -¿>| c 2 —c |

m, = 0

Halle el punto de intersección de la recta: L: x = 4 + 5t , y = -1 + t, z - 4 - 1

y el plano 3x - y + 7z + 8 = 0. Rpta. P (-3 1 ,-8 ,ll)

Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas cruzad;

¿ , :* + >> + 2 2 - 1 = 0 Í 2 x - v + 2 - 3 = 0 , , Vó

; ¿ 2 = | Rpta. í/ ( ¿ , , ¿ 2 ) = -—- 2 - 1 = 0 l.v + _y + 2 - l = 0 o

H allar la distancia del punto P (-l ,2,3) a la recta: ¿ :x - 1 y + 3 _ 2

Rpta. d ( P , L) - 7

Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas que se cruzanx + 2 y - 2 2 + 1

¿i = {(1 ,-2 ,3) + /(2 ,1 ,1 ) / /e R \ ; ¿ 2 :- 3 1

Hallar la distancia del punto P(7,7,4) a la recta: ¿ :

17 / r 1 Rpta. t / ( ¿ , . ¿ 2 ) = — V3

6 .V + 2 v + 2 - 4 = 0

6 .v - > - 2 2 - 1 0 = 0

R pta . d(P,L) = 11

Hallar la proyección del punto P(2,-l ,3) sobre la recta ¿ :

Rpta. 0(3 .-2 ,4)

* = 3/

>■ = 5/ - 7

2 = 2/ + 2

Ni etas y Planos en el Espacio Tridimensional 85

* = 0

b \ ) D em ostrar que la recta ¿ : ^ v = / , - oo < / < oc

[z = t

a) Esta en el plano 6x + 4y - 4z = 0

b) Es paralela al plano 5x - 3y + 3z = 1 y esta debajo de él.

c) Es paralela al plano 6x + 2y - 2z = 3 y esta arriba de él.

64) U n plano pasa por el punto (3,1,-1), es perpendicular al plano,

2x - 2y + z + 4 = 0 y su intersección con el eje z es -3. H allar su ecuación.

R p ta . 71: 5x + y - 8z = 24

® at+1 y - 1 2 - 2H allar la ecuación del plano que pasa por el recta ¿: ------ = --------= --------, y

3 2 4

es perpendicular al plano n : 2x + y + 2z + 4 = 0. R p ta . P: 2y - z = 0

(6ó) H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos extrem os de los vectores—> —► —►a = ( 2 ,- 3 ,- 1 ) , b = (0 ,-1 ,4 ) , c = (2 ,1 ,-3) si los vectores tienen su origen en

el punto p( 1,0,3). R p ta . 7i: 6x + y + 2z = 19

® x y - 6 2 + 3H allar la ecuación del plano determ inado por la recta ¿ : — = ------ = -------- y

1 2 -1

el punto p(4,-3,2). R p ta . ti: x - 9y - 17z + 3 = 0

(68) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (l,0 ,-1 ) y B(2,0,2) y

forma un ángulo de 60° con el plano 2x - 2y + z + 6 = 0.

Rpta. n\ 21jr + ( 4 0 -3 v T 7 0 ) v -7 2 = 28

*■,: 21x + (40 + 3> /Í70).v -72 = 28


(69) Hallar la ecuación de cada plano que contiene intercepto x en 2. intercepto y

en 3, y se halla a las distancia de — del origen, R p ta . P: 3x + 2y ± 6z = 6

(70 ) Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (-2,5,3) y B(4,8,-8) y

es perpendicular al plano XZ. R p ta . P: l l x + 6z + 4 = 0

71} D eterm inar los puntos de intersección y el ángulo que form an los planos

7vx: 4x + 3>’ + z = 0 ; 7r2: x + y - z = 15

Í 2 x + 2 y + z = 072) Calcular la distancia del punto p(6 ,-3.3) a la recta: L: \

[ 4 x - _ y - 3 z - 1 5 = 0

( t? ) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto p (3 ,2 ,-l) y que

í x - y = 0 Í 2 . r - j + z = 0corta a las rectas. L , : \ y Z,,: \

1 U - z = 0 2 [_y -2z + 2 = 0

(74) Determ inar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de A B y corta

bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por M y N donde A (2,4,0), B(0,0,-¡

2), M (3,3,3), N (-1,3,3).

75} Desde el foco F(0,0,10) se lanza un rayo luminoso el cual se refleja en el

espejo plano n de ecuación x + y + z = 1. H allar la dirección con la cual se

lanzó el rayo, si el rayo reflejado pasa por el punto G (2 ,j.l5 ) .

( 7 ^ Halle la ecuación del plano que contenga a la recta x - 3 = -(y + 5)= -(z + 2) y

el punto (5,0,-4). R p ta . P: x + z = 1

11 j H allar la ecuación del plano que pasa por el punto A (2,2,-4) y es paralelo cada

una de las rectas L x. x + y - z + 11 = 0 a x —y + 2 z — 7 = 0 y

¿ 2 : 2 x - 3 > - 2 z + 8 = 0 a x + 2 y + z - 9 = 0 R p ta . P: 29x + 9y + z - 72 = 0

Rectas y Planos en el Espado Tridimensional 87

Un rayo de luz se dirige por la recta L = {(2 - 1, -t, 1) / 1 e R} al chocar con el

espejo plano 71: 2x - y + z + 2 = 0, se refleja. H allar la recta L x en la cual esta

el rayo reflejado. R p ta . L ] = {(-5 ,-7 ,1 ) + 1,4,1) / A e R}

(v i ) H allar una ecuación del plano que pasa por el punto A (l,-1 ,4 ) y es ortogonal a

cada uno de los planos P ,: 2 x + y - z + 2 = 0 y P 2: x - y + 3 z - \ = 0.

R p ta . P: 2x - 7y - 3z + 3 = 0

£0} H allar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa por los

puntos A( 1,5,-3) y B (-5 ,-4 ,11). R p ta . P: 3 x - 2 y + 7 = 0

81) Dado el plano 7ty x ~ y + 2 z = 2 que representa un espejo, al cual incide un

rayo luminoso que sigue la trayectoria de la recta

jL, = {(0,2,0) + í( 1,1,1) / í e /f} . Hallar el punto de intercepción de la recta

L2 que contiene al rayo reflejado con el plano n: 2x + y + z = 16.

(82) El radio vector normal a un plano tiene una longitud de 5 unidades y dos de

sus ángulos directores son a=45° y p = 60°. H allar la ecuación del plano si este

pasa por el extremo de su radio vector normal. R p ta . n x: J 2 x + y + z - \ 0 = 0

ti 2 : -J2.X + y — z —10 = 0

(83) El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenadas

es 12m3. H allar la ecuación del plano, sabiendo que es paralelo al plano

cuya ecuación es 3x + 2y + 4z + 6 = 0. R p ta . P: 3x + 2y + 4z ± 12 = 0

(8 4 ) H allar la ecuación del plano que contiene a la recta L: x = y = 2z y que

adem ás pasa por el punto A (0 ,1,0). R p ta . P: 2x - z = 0

(8?) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto A (-2 ,3 ,l) y es ortogonal a

los dos planos. P , : 3x + 2 y - z = 1 y P 2 : 2 x - 5 y + Az = 7

R p ta . 3x - 14y - 19z + 67 = 0

8 6 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por los punto A( 1,2,-4), B(4,-

3,2) y C(-4,5,10). Rpta. P: 1 lx + 9y + 2z - 21 = 0

87) H allar la ecuación del plano que pasa por los punto A (2 ,0 ,-l), B{0,2,5) y es

ortogonal al plano 3x + y - z = 7. Rpta. P: x - 2y + z = 1

Hallar la recta L que es paralela a los planos P,: 3.v + 12 v — 3z = 5 yjc + 5 y — 3 z + l

P2 : 3 x - 4y + 9z = - 7 y que corta a las rectas L ¡: -------= - -------= — y

jr — 3 >>+1 z - 2L2 : ------- = - — = ------- R p ta . L = {(-3, -1 ,2 ) + /(—8,3 ,4 ) / / e /?}

- 2 3 4

(S?) El pie de la perpendicular trazada desde el origen al plano P es el punto

A( 1 ,-2,1). H allar la ecuación del plano P. R p ta . P: x - 2 y + z = 6

9 0 ; Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A (l,-2 ,1 ) y es

perpendicular al vector OA , siendo O el origen de coordenadas.

Rpta. P: x - 2y + z = 6

,91[) Hallar la ecuación vectorial de un plano P. Sabiendo que la

recta L = {(1,1,1) + t (0.1,1) / 1 eR } está contenida en el plano P y que el

ángulo que forma el plano P con el plano ji: 3x - y - z = 0 60°.

Rpta. P: (22,5,-5).[(x,y,z) — (1,1,1 )]=0; P': ( -2 2 ,5 ,-5 ) .[ (* ,> > ,z ) - ( t ,l ,l) ] = 0

92) Hallar la proyección ortogonal de la recta. L = {(1 + t, 1 - 2t, 2 + 3t) / t eR}

sobre el plano rc: x - 2y + 3z = 33. Rpta. P< oyf¡ = (3 ,-3 ,8)

93) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los

planos 3x - y + 2z = 5 y 8x + 2y - z = 3 y que contiene al origen.

Rpta. 7i: 3 1 x + 1 3 y - l l z = 0

94) Dos rectas I , = {(3,4,3) + /( -2 ,0 ,1 )/1 e R) y ¿ 2 = {(1,-24,-3 ) + /( l , - 2 ,1 ) / / e /?}

son paralelos a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano. Hallar

el plano P si se sabe que d ( L , , P) = d( L2 , P) = 3


(9? ) U n plano pasa por el punto A (5 ,-1,3) y dos de sus ángulos directores de su

norm al son a = 60° y (3 = 45°. H allar la ecuación del plano.

Rpta. 7t,: x + - j2 y + z - 8 + -Jl = 0 ó n 2: x + - j 2y + z - 2 + -j2 = 0

( íó ) H allar la distancia del punto p al plano 7t donde.

50VÍ3a) p(15,-22,10), ti: x + 10y + 4 z + 15 = 0 Rpta. í / (p , /r ) =

13

63 __b) p(-10,-10,5), 7t: x + 2 y - 3 z = 1 8 Rpta. d ( p , n ) = — -J\4

c) p(3,-2,5), Jt: 2 x - y + z = 0 d) p( 1,1,5), 7t: 2x + 3y - 2z = 4

97) Dados los puntos A (3 ,5 ,1), B (-1,1,3) y C (2 ,4 ,1) del triángulo ABC, donde G es

el centro de gravedad de dicho triángulo y G es la proyección ortogonal de R

sobre el triángulo ABC. Si || GR ||= 6 V2 . H allar la proyección ortogonal de G

3 1sobre el plano BCR. Rpta. (—, 3, - —)

98) H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y forma

un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0 .

Rpta. ti: 4x + 4y + z - 1 6 = 0

99) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta L i : = “ y es

, , , x - 1 y z + lparalela a la recta ¿ 2 : —j— ~~~2 ~ " 5 ' ' Rpt®* 7x + 6 y + z - 4 = 0

( lÓo) Un cubo tiene dos de sus caras en los planos P , : 2x + 6y + 3z - 1 2 = 0 y

P 2: 6x + 1 8y + 9z + 6 = 0 . H allar su área total y su volumen.

Rpta. At = 24w2 , V = 8 u 3

101J Sean los puntos A(2,3,4) y B (3 ,l,6 ) y el plano P: x + y - 4z = 3. H allar un

plano tz que pasa por A y B y que forma con el plano P un ángulo de 45°.

Rpta. ti: 2x - y - 2z = -7

102) H allar la ecuación del plano n paralelo al plano n¡: x + 3 y - 2 z + l 4 = 0 y tal

que la sum a de sus interceptos con los ejes coordenadas sea igual a 5.

Rpta. ti: x + 3y - 2z - 6 = 0

103) H allar la ecuación del plano n que contiene a la recta L : x - y - l = 0

a x + y + z = 2 y que es ortogonal al plano de coordenada X Z.

Rpta. n: 2x + z = 3

( l0 5 j H allar la ecuación del plano que pasa por la recta L ]: —— = —— = — ~ y

104J H allar la ecuación del plano que pasa por la recta x = 2 t + l , y = -3t + 2,

z = 2 t - 3 y por el punto A (2,-2,1) Rpta. n: 4x + 6y + 5 z = l

x - 2 y - 2 z - 1-2

. . , y ~ \ z + ies paralela a la recta L2: —— = — = —— . R pta. 7t: 2 x - 2 y - z + l = 0

fx + j + 3 z - 7 = 0(106) H allar la ecuación del plano P que contiene a la recta L: \ yV 1 [3x + 2 y - z = 0

es perpendicular al plano P , : 2x + y - 2z +1 = 0.

Rpta. P: 19x + 16y + 27z = 70

107) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto de coordenadas A (2 ,- l ,l ) y

es perpendicular a los dos planos 2 x - z + l = 0 , y = 0 Rpta. P: x + 2z - 4 = 0

108} D eterm inar la ecuación de una recta que sea paralela a los planos

P :x + z - 4 = : 0 y Q: x + y = 2 e intercepta a las rectas L¡ = {<(1,0,1) / 1 e R]

y ¿ 2 = {(Q,l,0) + /l(0 ,0 ,3 ) /A € R} Rpta. L = { ( l ,0 ,l ) + t ( l , - l , l ) / t e R}


I09J Tres vértices de un tetraedro regular se encuentra sobre el plano

7t: 5x - 7y+z+2 =0 y el cuarto vértice sobre la recta L = {(l+ t, 2+t,-3+2t)/

1 3te R ¡ . Hallar el volum en de dicho tetraedro. Rpta. V = —m

110) Dados los puntos A( 1,2,3), B (4,5,6) y C(7,8,8). H allar el conjunto M de puntos

O de / f 3 tal que A ,B,C y P sean los vértices de un tetraedro de volum en igual a

6 unidades cuadradas. Rpta. M : x ~ y + 1 3 = 0 ó M : x - y - l l = 0

l l l j H allar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A (-2,-3,5) y B(4,6,-10)

y que es perpendicular al plano XZ. Rpta. P: 5x + 2z = 0

112) H allar las ecuaciones de cada uno de los planos que se hallan a 2 unidades del

origen y tiene una norm al que hace un ángulo de 60° con am bos eje X, eje Y.

Rpta. x + y + >/2z = - 4 ; x + y - J l z = - 4

x + y - 4 l z = 4 ; x + y - y¡2z = 4

113) Determ inar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneam ente una partícula

desde el punto A(2,2,3) hacia la recta L = {(0, 1 + r, -r) / r e R} para que la

alcance al cabo de 2 segundos, siendo su velocidad V = V3u / s e g .

Rpta. A B = ( - 2 - 2 - 2 )

114) U na partícula com ienza a m overse en la dirección en el punto A( 15,-22,10) y—►

se m ueve con una velocidad constante V = (1,1,1) ¿Cuánto tarda la partícula en

alcanzar al plano n: x + 1 0 y + 4z = - 1 5 ? Rpta. t = 10 seg.

115) ¿En qué dirección debería m overse la partícula del problem a anterior para

alcanzar el plano en tiem po m ínim o? si el m ódulo de la velocidad es el mismo

del problem a anterior ¿Cuál es el tiem po mínimo?

R p ta . (1,10,4), tm = l^ > /3 9 seg.


Hallar el ángulo entre la recta de intersección de los planos

3x + y + 3 z = 5 ; x - y + z = 2 y la recta de intersección de los planos

8 x - y + 7z = 3 ; x - y + z = 213

R pta. 6 = árceos ( >

Determinar una ecuación de la recta L que satisfaga a la vez las condiciones

siguientes:

i) Esta contenido en el plano P determinado por los puntos p 0 (0 ,0 ,0),

P l(2,2,0) y p 2(0 ,l ,-2 ) .

x + l y - 1ii) Sea perpendicular a la recta : — — = ^ ~ = 2z .

21 19 4¡i¡) Para por P n L , . R p ta . I = { (- — , - — , ^ —) + í(2 ,- 3 ,1 0 ) /f e /?}

Dem ostrar que la intersección de la recta. L = {Q0 + 1 . a / í e R) y el plano

{ P a - Q o ) N*'■ ( p - p 0 ) .W = 0 ,e s e lp u n to A(Q0 +( ---------------- ) a ) .

a . N

D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto /l(.v0 ,_y0 ,z0) y es

paralela a los dos vectores a = ( a {,a2,a3) y b = (¿>, , ¿ 2 ,¿ 3) se puede expresar

x ~ x 0 y - y 0 z - z 0

en la forma:

ft, b2 bj

= 0

D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A [ x i , y l , z l ) y

B{x2 , y 2 , z2 ) y es paralela al vector a =(a¡,a2,a3) se puede expresar en la

x - x { y - y x z - z x

forma: x 2 ~ x i ^2 ~y¡ z2 ~ z i

a -,

= 0


D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos A ( x l , y u z ]) y

b [ x 2 , y 2 ,z2) y c [ x } , y 3, z3) se puede expresar en la forma:

x - . r , y - y i z - z ,

x ï ~ x \ y * - y \ v

= o

D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto p 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) y

es perpendicular a los dos planos t^ : A , x + B ly + C ¡ Z + D ¡ = 0 ,

ti2 ■ A2x + B2y + C2Z + D2 = 0 se puede representar en la form a siguiente:

x ~ x o y - y 0 z ~ zo

= 0

D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta L: x = x 0 + t a ,

y = y 0 + t b , z = z0 + t c y por el punto a ( , z , ) se puede expresar en la

forma:

x ~ x i y - y i z - z ,

* i - * o y \ - y o z \ ~ z o

a b e

= 0

H allar la ecuación de la recta que pasa por (1,3,2), es paralelo al plano

rt= {(1,4,0)+ *(1,1,1)+ ^(0 ,1 ,2)/ t , Á e R) y forma un ángulo de 60° con la recta

L, = {(1,-2,3) + * (1 ,0 ,1 )// e R } .

Rpta. £ = ¡ (1 ,3 -2 )+ * (3 1 2 ^ 2 , l ± 4 l , 1 ) /* e /?j

H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y que

forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0 .


126) Hallar en el eje x un punto equidistante de los dos planos

7tj: I 2 x - I 6 y + ].5z + 1 = 0 y n 2: 2 x + 2 y - z - l = 0

127; H allar un punto C del plano tí: x - y + z - 3 = 0, tal que con los puntos

A ( 2 , l , l ) y B (l,6 ,4 ) sean los vértices de un triángulo equilátero.

^2x + y — z = 3

[x + 2 y — z — h128) H allar la ecuación general del plano que contiene a la recta L :

y es ortogonal al plano 2x + y - z - 3 = 0 .

R p ta . 4 x - 7 y + z - 9 = 0

129) H allar la ecuación del plano paralelo al plano 2 x - y + 2z + 4 = 0 sabiendo que

el punto (3,2,-1) equidista de am bos planos. R p ta . 2x - y + 2z - 8 = 0

130J Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,4,-6) y es paralelo a

los planos x + 2y -z = 4 , 3x - y + 2z = -6.

R p ta . L= {(3,4,-6) + 1 (-3,5,7) / t e R}

í x + y + z - 2 = 0(131) Hallar la ecuación de la proyección de la recta L : ) sobre el

[x + 2 y + z = 0

plano P: 3x + y + 3z - 1 = 0

132) H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los plano Pj y

P 2 donde P , : 3 x + 1 0 y + 5z + 6 = 0 , P 2: x + 4y + 3z + 4 = 0 y sea paralela

a l a recta L = {(1,5,-1) + 1 (3 ,2 ,-3 )/ t e R}.

133) D eterm inar la ecuación vectorial de la recta que sea paralela a los planos

P ,: x + z - 4 = 0 y P2: x + y = 2 e intercepta a las rectas L,:{/(1,0,1) + / e R} y

L2 = { (0 ,l,0 ) + A (0 ,0 ,3 ) / / le tf}

Krctus y Planos en el Espacio Tridimensional 95

(134) La proyección ortogonal de la recta L sobre el plano P , : x - 2y - 3z = 0 es la

rectas Z,j:{(1 + 5í, 2 + t, t - \ ) / 1 e /?} y la proyección ortogonal de L sobre el

plano P2: x + y + 2z = 6 es la recta ¿ 2:{(l + í, 1 + í, 2 - t ) / t e /?}. H a lla r la s

ecuaciones param étricas de la recta L.

135) H allar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2,6,1) y contiene a

la recta L: — = —; y = -5. R p ta . 8 8 x - 1 3 y - 6 5 = 03 8

I36J H allar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es perpendicular

a los planos x - y = 4 , x + z = 6. R p ta . x + y - z - 6 = 0

137) H allar las ecuaciones de los planos paralelos que cortan en ángulo recto a los

p lanos P ,: x + z - 2 = 0 y P2: x - y + 3 = 0. Sabiendo que uno de ellos pasa por

el punto p( 1,1,1) y e l punto q (2 ,-1,2) equidistan de ambos.

138) H allar la ecuaciones del plano que pasa por la recta de intersección de los

planos P,: x + y - z = 0 , P2: x + 2y + z + 6 = 0 y es paralelo a la recta que pasa

por los puntos A( 1,-1,1) y B (2 ,1,2).

( l3 9 ) Dadas las rectas = {(3,4,5) + /(0 ,1,-2) / 1 e R}, L2 = {(4,-2,1)+ ¿(1 ,2 ,3 )/¿ e R}

y = {(0,0,0)+ /?(2,1,0) / ¡i e R } . H allar la ecuación cartesiana de un plano

que corta a estas rectas en los puntos A ,B y C respectivam ente de tal modo

A B = B C, se sabe adem ás que estos puntos están alineados y que al plano

solicitado es paralelo a la recta x = y = z . R p ta . 19x - 20y + z - 81 = 0

Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 1 2 x - y - 1 7 z = 1 4

R p ta . 12x - y - 1 7z= 6


141) Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A (-l,2 ,0 ) y B (3 ,-l,2 ) y

1que forma ángulo 9 = arccos(- —) con el plano P , : x + y - 4 = 0.

2142J La distancia del punto Q (l,0 ,3 ) del plano P es 3. Si P pasa por la recta

j 5x - 6 y + 2z +15 = 0 L : \ . Hallar la ecuación del plano P.

[ x - 2 > ’ + z + 3 = 0

143] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (3 ,0 ,l) y form a un

ángulo de 60° con la intersección de los planos P , : 2x + y - 2z - 2 = 0 ,

P2 = {(3,2,2) + r(l,2 ,2 ) + ¿(2,1,1) / t , A e /?}

144] Dadas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3)

x — 1 y + 2 z - 3 jc - 1 3 - 2 jc — 1 y + 2 2 - 3L { . -------= - ------= ------- , L2: ------- = ------- , y = -2, I 3: -------= - ------= — /

2 2 1 3 - 4 2 1 2Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto M (-4,2,6) y forma

ángulos iguales con estas rectas. R p ta . 3x - y - z + 20

145] H allar la ecuación del plano n que pasa por A (l,4 ,-2 ), es paralela a

la recta L={(2,6,5)+t (l,-2 ,0 )/teR } y tal que la distancia de n a L sea igual a 1.

3 - y 2 + 3 x + 1 3 — y 2 - 1146) Considerem os las rectas L, : x = -1 ; — — = ------- y : ------ = --------= -------

1 l i l i l í

de m odo que L es una recta que corta ortogonalm ente a L, y L2 ; si 7t ¡ es el

plano que determ ina L2 y L; n 2 es el plano que determ ina L2 y L.

D eterm inar el ángulo formado por 7r, y n 2 ■

147) Dados los planos 7t,: 3x + 2 y + 5 z + 1 = 0 , n 2: x - y + z + 4 = 0 yx - 5 y - 1 z i

t i , : 2jc + 3 v - 2 - 1 3 = 0 y las rectas L : -------- = ----------=3 1 2 1

x + 2 y - 1 2: ------- = --------= —. D eterm inar la ecuación del plano que pasa punto de

' 0 3 4intersección de dichos plano y es paralelo a am bas rectas.


(l-líj) Si L = { ( f - 1, 2 - t , 0 ) / t e /?} y P: x + z - l = 0 un plano. H allar la recta

¿ i , contenida en P , tal que L , L, ) = 60°

Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los

planos 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y paralelo al plano 12x - y - 17z = 4

Rpta. 1 2 x - y - 1 7 z = 1 2

I M)} H allar la ecuación del plano que pasa a través de la recta

L ={(1,8,1) + t ( l ,-3 ,l ) / te R } y forma un ángulo de 60° con el plano 2x-y+z= 7.

Rpta. x + y + 2z = 11 ; 1 lx + 2y - 5z - 22 = 0

(l*¡y Un rayo de luz parte del punto (1,4,2) se refleja en el espejo plano YZ, este

rayo reflejado, se refleja nuevam ente en el espejo plano YZ y este último rayo

reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado.

19 18Rpta. L = {(— ,0, — ) + í(6 ,5 ,2) / 1 e R]

152] H allar las ecuaciones sim étricas de la recta que pasa por el punto M (3,-2,-4)

paralelam ente al plano rc: 3x - 2y - 3z - 7 = 0 y que corta a la recta

x - 2 v + 4 2 - 1 x - 3 y + 2 2 + 4i . ------- -- -------- -- ------- Rpta. -------= -------- = --------

' 3 - 2 2 5 - 6 9

Í x - 2 2 - 3 = 0153] La recta L : ) , intercepta al plano x + 3 y - z + 4 = 0, encontrar el

[ y - 2 z = 0

punto de intersección p y encontrar la ecuación de la recta en éste plano que

jc— 1 y + 2 2 + 1pasa por p y es perpendicular a L. R p ta . ( 1 ,-2,-1 ) ,

- 5

154] H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de

L, = {(9,5,4) + / ( l , l ,2 ) / í e R) y L2 = {(1,2,3) + A (2 , l , l ) /A e R] siendo la

distancia del plano al origen igual a V234 unidades.

R p ta . 11 (x - 11)+ 7(x - 7) + 8(x - 8)= 0


[155J Un hombre se encuentra en 0(0,0,0), lanza una flecha desde A (0,0,16) hacia

un blanco en B (50 ,12,16) que se encuentra sobre el plano 25x - 6y - 1178 = 0, '

haciendo impacto a 0.1 unidades del blanco. Si la flecha fue lanzada con una

trayectoria paralela al plano XY, hallar el ángulo que debió girar el hom bre

para no fallar. R p ta . 3.62°

(156^ Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3,-5,2) y es j

perpendicular a cada uno de los planos 2x + 3y - z - 5 = 0 , x - 2y + 2z - 3= 0. ;

Rpta. 4x - 5y - 7z - 23 = 0

(157J Una puerta rotatoria de un centro com ercial consta de dos planos

P , : 5x + 3 y - z - 9 = 0 y P2: 3 x -2 y + 5 z - 6 = 0, se quiere aum entar un plano

mas a la puerta, tal que pase por la recta de intercepción de am bos planos y que

sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta |

= {(3,1,6) + í( 1,1,0) / í e R ] . Hallar la ecuación de dicho plano.

Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0

( l5 8 j H allar la ecuación de una recta que pasa por (3,1,2) y corta a las rectas

j x - y + z = 4

[ i x + z - 6

R p ta . L = {(3 ,l,2 )+ t (-1,10,1 l) /t eR } -j

(159J Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x + 3y - 5z = 0,

contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y

(2,1 ,-2). Rpta. 5x - 5y - z = 0

L\ = { (2 ,4 ,- l) + í(0 ,l ,2 ) /1 e R}, L2:

160J Hallar una recta en el plano determinado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,0) y

x + \ y - 1C (0 ,1 ,-2) y que corta ortogonalm ente a la recta L : ■ ^ = 2z .

( l 6 l ) D ados los puntos A (l,-3 ,4 ); B(3,-2,2) y el plano ji: 2x - 2y + z = 12. Hallar

los puntos C y D del plano n tal que A ,B,C y D son los vértices consecutivos

de un cuadrado.


® j 5x - 4 y - 2z = 5 Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta L: 1

[x + 2 z - 2 = 0sobre el plano P: 2 x - y + z - l = 0

^ 6 3 ^ H allar la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas que se

x - 2 y + 3 z + 2 Í3x + 2 y + z = - 2interceptan L , : -------= --------= --------, L-,:]

4 - 1 3 [ x - y + 2 z = \

R p ta . 4x + 7y - 3z + 7 = 0

í x + y - 4 z = 0Í164J Cuáles son los puntos B y C de la recta L: \ tales que jun to con[x + .y = 4

el punto A (3,-2,4) detenninan un triángulo equilátero.

Un rayo de luz parte un punto (2,1,6), se refleja en el espejo plano XZ, este

rayo reflejado se refleja nuevam ente en el plano YZ, y este ultim o rayo

reflejado pasa por (3,8,2). Hallar la ecuación de este ultim o rayo reflejado.

13 22R p ta . L = {(0,— ,— ) + í ( 5 ,9 , - 4 ) / í e /?}.

® x - l y + 2 5 - 2 y - 1 z + 2Dadas las rectas L, : -------= -------- = ------- , L 1: x = - 2 , ------ = -------- que se

2 3 4 1 2

cruzan. H allar la ecuación de la recta que pasa por A (-l,-2 ,0 ) que sea

perpendicular a Z., (en el espacio) y corte a L2 .

R p ta . L = {(-1 ,-2,0) + 1 (-l,6 ,4 )/teR }

167J H allar la ecuación del plano n que contiene a la recta L : x - y - l = 0 ,

x + y + z -2 = 0 y que es ortogonal al plano coordenado XZ.

168) Por el punto A( 1,0,1) se traza una perpendicular al plano P: 2 x + y - z = 7. Si B es el pie de dicha perpendicular, determ inar un punto C, en la recta:

L = {(-1,1,0) + t (0,1,5) / 1 e R} de m odo que el volum en del tetraedro cuyos

vértices son A ,B,C y D, es igual a A l f . D es el punto de intersección de la3 25

recta L con el plano P. R p ta . c , ( - l ,0 ,- 5 ) ó c2 (—1,——,—— )


169J Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos

Px \ 5jc + 3>’- 2 - 9 = 0 y P2: 3 x - 2 y + 5 2 - 6 = 0. Se quiere aum entar un plano

mas a la puerta, tal que pase por la recta de intersección de am bos planos y que

sea paralelo este plano a la colum na que describe la ecuación de la recta I , = {(3,1,6) + /(1 ,1 ,0 )// e R } . Hallar la ecuación de dicho plano.

Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0

170J Una partícula com ienza a m overse en el A( 15,-22,10) y se mueve con una

velocidad constante v = (1,1,1). ¿Cuanto tarda la partícula en alcanzar al

plano; x + lOy + 4z = -1 5 ? . Rpta. t = 1 0 s e g .

171) ¿En que dirección debería m overse la partícula del problema anterior paraalcanzar el plano en tiem po mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo

que en el problem a anterior. ¿Cual es el tiempo mínimo?.-» 50 r—

Rpta. a = ( l ,1 0 ,4 ) ,fm = “ V39 seg.

172) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P = (3,2,-1) y queJ x - y = 0 j 2 x - y + z = 0

corta a las rectas: L , : i y L 7: j1 [ j t - z = 0 2 [ > - 2 2 + 2 = 0

173) Dados los planos ¿r,: 3x + 2 y + 5z + l = 0 , n 2 . * - > ’ + 2 + 4 = 0,x - 5 y - 1 z

7t,\ 2x + 3 y - 2 - 1 3 = 0 y las rectas ------------ = ----------= - ; .3 ' 1 2 1

x + 2 z - 1 z . , ,£ : ------- = -------= —. D eterm inar la ecuación del plano que pasa por el p u n to .

0 3 4de intersección de dicho planos y es paralelo a ambas rectas.

Rpta. 5x - 4y + 3z + 13 = 0

174) Se tiene dos túneles que parten de la superficie (Suponer que la superficie es

lisa y es el plano XY) desde los puntos p ¡A(0 ,5 /2 ,0) y p IB(5,2,0) y llegan

respectivam ente, a los puntos p 2A(~7 ) y p 2g (‘“5 ,3 ,-5 ). H allar la

mínima distancia que debe tener un túnel que debe quedar a nivel (paralelo al

plano XY) y va a servir para interconectar a los túneles A y B. R pta. d= 2.457


( n S ) La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogram o. Si las

coordenadas de los tres puntos son A (l,2 ,3 ), B (0 ,-!,4), C (-l,2 ,6 ). H allar la

ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D.

Rpta. L= {(0,5,5)+ t ( - l , -3,1) /teR }

(l7 6 ) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-3,-4) y que intercepta

en los ejes coordenados segm entos de igual m agnitud y diferente de cero.

Rpta. P: x + y + z + 5 = 0

(T7I j H allar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3 ,-l,4 ) y tam bién por la

recta de intersección de los planos x + 2 y - z = 4 ; 2x - 3y + z = 6.

Rpta. 3x - y - 10 = 0

^ 7 8 ) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

3x + y - 2 z + 2 = 0 y x - 3 y - z + 3 = 0 y es perpendicular al plano XY.

Rpta. x + 7y - 4 = 0

179/ H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

2 x - y - 5 z = 4 ; 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z + 14 = 0.

Rpta. 12x - y - 17z - 12 = 0

( l8 0 ) H allar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,4,-6) y es paralelo a

los planos x + 2y - z = 4; 3x - y + 2z = -6.

Rpta. L = {(3,4,-6) + 1(3,-5,-7) / 1 6 R¡

( l £ l ) Determ inar la proyección de la recta L = {(1 ,-2,1) + t ( l , - l , l ) / t e R } sobre el

plano 7t: 4x + 2y - 2z - 1 = 0. Rpta. L n = {(^ ^ , ^ ) + í ( l , - l , l ) / í e /f}

^ 82) H allar la proyección de la recta L = {(1,2,-1) + t(2 ,1 ,-1 )/ t e R } sobre el plano

ti: x + y - z - 8 = 0. Rpta. Ln = {(3,3,—2) + í(2 ,—1 ,1 ) / /e /?}

^83) Un plano es paralelo al plano P: 2x + 2y + z - 1 = 0 y el punto (2,2,2) es

equidistante de am bos planos, hállese la ecuación del plano.

Rpta. n: 2x + 2y + z - 1 9 = 0

184^ Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,2,-3) y es paralelo a las

x - l v +1 z - 1 . .v + 5 y — 2 z + 3 |rectas L : — = ------ = --------, : -------= ------- = --------.

M 2 - 3 3 2 3 - 2 -1

Rpta. 9x + 1 ly + 5z - 16 = 0

( 185) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : <

x = 2t + \

y = -3 / + 2 y por el

z = 2í - 3

punto M (2 ,-2 ,l). Rpta. 4x + 6y + 5z - 1 = 0

¡2x + y - z + l = 0n 2 x + y —z + 1 = u a186) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : < y es

+ v + 2z + l = o

paralelo al segmento lim itado por los puntos P ,(2 ,5 ,-3 ) y (3,—2,2).

Rpta. 9x + 7y + 8z + 7 = 0

^8 ?) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L, : •

x — 3/ +1

y = 2t + 3 y es

z = - t - 2

paralelo a la recta ¿ 2 : "I , ^ • R p ta . 13x - 14y + 1 lz + 51 - 0[x + 2 y - z - 5 = 0

r x - l y + 2 z - 2 J188) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta: L: : — — = —

es perpendicular al plano P: 3x + 2y - z - 5 = O. R p ta . n: x— 8y — 13z + 9 = ffl

189) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

3x - 2y + z - 3 = 0, x - 2z = 0 y es perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 - rt“

R p ta . l l x - 2 y - 1 5 z - 3 = 0


190) H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

x - y + z = 4 , 2x + y - 2 z = 6 y por el origen. Rpta. x + 5y - 7z = 0

191J H allar la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta

L = (1,2,-3) + t( 1 ,-4,2) / t e R} y se encuentra a una distancia de —jL=v41

unidades del punto P(2,-4,-5). Rpta. 6x + 2y + z = 7 ; 30x + 2y - 1 lz = 67

104 Eduardo Espinoza Ram

CAPÍTULO II

___C Q NCJEPTQ S -B Á S IC Q S ^ .

2.1. PRODUCTO DE DOS CON JUNTOS.-

Sean X, Y dos conjuntos cualquiera, llamaremos producto cartesiano de X por

Y al conjunto denotado por XxY y definido así:

XxY = {(x,y) / x e X a y e Y}

2.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.-

0 A x B * B x A © Ax<)) = (¡>xA = <l)

© A x ( B u C ) = A x B u A x C A x ( B n C ) —A x B n A x C

© A x (B C) = A x B - A x C © (A x B) x C =A x (B x C)

© S i A c B => A x C c B x C , V C

( T ) S i A c C y B c D ^ A x B c C x D

2.3. RELACIÓN BINAR1A.-

Dados X,Y dos conjuntos; direm os que R es una relación binaria de X en Y, si

y solo si, R es un subconjunto de X x Y.

2.4. APLICACIÓN DE X EN Y.-

Diremos que f es una aplicación ó función de X en Y, si y solo si, para cada

x e X, existe un único y e Y, tal que y = f(x).

( onceptos Básicos 105

N O T A C IÓ N .- A la aplicación f de X en Y denotarem os por: f: X -»Y , donde D f = X .

E jem plo .- f: [-4,4] —> [0,4] tal que f ( x ) = \ l \ 6 - x 2

[2.5. CLASES DE FUNCIONES.-

Sea f: X -> Y, una función, entonces:

a) f es inyectiva, sí y sólo sí se cumple:

x x, x 2 e X a at, * x 2 => / ( x , ) * f ( x 2)

b) f es suryectiva, sí y sólo sí para todo y e Y, 3 x e X tal que y = f(x).

c) f es biyectiva sí y sólo sí, es inyectiva y suryectiva.

■L6. CONJUNTO IMAGEN Y CONJUNTO IMAGENINVERSA.-_____________________________________________

i) D E F IN IC IÓ N .- Sea f: X -» Y una función y A c X llamaremos

imagen de A según f al conjunto denotado por:

fl;A )= { f ( x ) / x e A j c Y

Q ue viene a ser el conjunto de todas las im ágenes correspondientes a los

elementos del conjunto A a D f = X .

ii) P R O PIE D A D E S D E L C O N JU N T O IM A G E N .-

Sea f : X —» Y una función y A, y B subconjuntos del dom inio X

entonces:

© A c X, B c X, A c B => f(A) c f(B)

© A c X, B c X => f(A u B) = f(A) u f(B)

© A c X , B c X => f ( A n B ) c f ( A ) n f(B)

la igualdad se cumple cuando f es inyectiva.

© A c X . B c X => f(A )- f ( B ) c f ( A - B)

la igualdad se cumple cuando f es inyectiva.

iii) D E F IN IC IÓ N .- Sea f: X -> Y y B c Y , llamaremos pre - im agen o

imagen inversa de B según f, al conjunto denotado por:

f ~ l ( B ) = { x e D f / f ( x ) e B }

Que viene a ser el conjunto de contra imagen correspondiente a elem entos

del conjunto B c Y .

iv) P R O P IE D A D E S DE LA IM AGEN INVERSA D E UN C O N JU N T O .-

Sea f: X -» Y una función y A c Y, B c Y entonces:

© S i A c B r \ A ) < z f ~ \ B )

© f - \ A ^ B ) = r \ A ) v r \ B )

® f ' ( A n B ) = f - ' ( A ) n f - ' { B )

© r l (A' ) = ( f ~ \ A ) y

© f - \ A - B ) = f - \ A ) - r \ B )

2.7. COMPOSICIÓN PE FÜNCIONES.-

Sean f: X -» Y, y g: Y -» W, dos funciones, llamaremos función com posición

de g con f ó f seguido de g, a la función denotada por g o f : X -» W, tal que:

. (gof) (x) = g(f(x)), V . v e D gof


2.8. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA.-

a) D E F IN IC IÓ N .- Sea A * «(>, un conjunto, llam arem os ley de

com posición interna definida en A, a toda aplicación

de A x A en A.

es decir: F : AxA A

(a,b) -> F(a,b) = aFb

b) D E F IN IC IÓ N .- Sea A, k dos conjuntos (k se denom ina conjunto de

operadores o escalares).

L lam arem os ley de com posición externa definida en A y con operadores

en k, a toda aplicación de kxA en A, es decir:

• : k x A A

(A,a) —> »(Xa) = X • a

2.9. CAMPO O CUERPO.-

A un conjunto k * <|) le llam arem os campo o cuerpo si en k están definidas dos

leyes de com posición interna (sum a y producto) y adem ás verifican las

siguientes propiedades.

Ira. Suma: +: k x k -> k

(a,b) - » +(a,b) = a + b

i) a + b = b + a, V a,b e k, conmutativa.

ii) a + (b + c) = (a + b) + c, V a,b,c e k, asociativa

¡ii) Existe 0 e k tal que a + 0 = 0 + a = a , V a e k “0” es llamado el elem ento

nulo o cero.


iv) V a 6 k, 3 - a e k, llamado opuesto o inverso aditivo tal que:

a+(-a) = (-a)+a= 0

2do. Producto: .: k x k -> k

(a,b) -> •(a,b) = a.b

i) a.b = b.a, V a,b e k, conmutativa.

¡i) a.(b.c) = (a.b).c, V a,b,c e k, asociativa.

iii) Existe 1 e k llamado elem ento identidad tal que: 1.a = a .l= a , V a e k .

iv) V a e k , a*0, existe un elem ento a 1 llamado el inverso de a, tal que

a.a~] = 1.

v) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

a.(b + c) = a.b + a.c - (a +b).c = a.c+b.c

E jem plo .- Son cam pos o cuerpos los conjuntos siguientes:

R = conjunto de los núm eros reales.

Q = conjunto de los núm eros racionales.

C = conjunto de los núm eros com plejos.

Ejem plo.- Considerem os el conjunto siguiente:

Q(\ Í2) = {a + b y f l / a ,b e Q ) . Dem ostrar que (Q(y¡2\ +, • )

es un cuerpo.

Dem ostración

Prim ero definirem os las operaciones siguientes:

(a + by¡2) + (c + d y¡2) = (a + c) + (b + d) \¡2


(a +b\Í2.).(c + d \ Í2 ) = (ac + 2bd) + (be + a d )V2

probarem os solam ente la parte iv) del producto que es V a € k, 3 a ' 1 tal que

a.a 1 = 1, los dem ás axiom as son inm ediatos de verificar.

Sea a + b y f l ^ O , (b * 0) debemos probar que existe c + d y í l tal que

(a + b j 2 ) . ( c + d j 2 ) = 1

Pero (a + b j 2 ) . ( c + dy /2) = (ac + 2bd) + (bc + a d ) j l =1

_ , , , ac + 2bd = l .... (1)De donde •{

bc + ad = 0 ... (2)

De (1) y (2) despejam os c, es decir: c = -— — - , c = - — de dondea b

1 — 2 bd ad -> ->-------- - = => b - 2 b 2d = - a 2d

( 2 b2 - a 2 )d = b de donde d = — — - , c =2 b2 - a 2 ’ 2 b 2 - a 2

Luego c + d j 2 = -------^ ^ + — - y¡22b —a 2b2 - a 2

••• 0 (V 2 ) es un campo.

Ejercicio.-

© El conjunto Z( \¡2 ) = {a + b y ¡ 2 / a , b e Z } con las operaciones de adición y

m ultiplicación definidas en el ejemplo anterior no es un campo.

Dado el conjunto Q ( y T S ) = {a + b y ^ l a , b e Q] . Probar que es un

cuerpo con las operaciones de C.

Si a es una raiz de la ecuación x 2 + x + 2 = 0 entonces

Q (a ) = {a + b a / a,b e Q}, es un cuerpo.

Sea a = — (1 — f-v/3), probar que el conjunto Q (a ) - {a + b a / a,b e Q}, es2

un cuerpo.

I \pacios Vectoriales 111

CAPITULO III

b. ESPACIOS VECTOR1ALES.-

3.1. DEFINICIÓN.-

Sean V * <j> un conjunto, k un campo y dos operaciones una de sum a (+) y

la otra de producto (.), entonces direm os que el objeto (V, + k, .) es un espacio

vectorial si se verifican las siguientes condiciones.

A ) E X IS T E UNA A P L IC A C IÓ N SUM A. + : VxV -> V

(x,y) -» +(x,y) = x + y

Llamado ley de com posición interna (la suma de dos vectores es un

vector) y cum ple los axiomas siguientes:

A | .- x + y = y + x, V x,y e V axioma conmutativa.

A 2 ■- x + (y + z) = (x + y) + z, V x,y,z e V, axioma asociativa.

A 3 V x e V, existe 0 e V tal que x + 0 = 0 + x = x donde “0” se

denom ina elem ento neutro aditivo o cero.

A4 .- V x e V, e x is te -x e V, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0, d o n d e -x

se denom ina opuesto de x.

B) E X IS T E UNA A P L IC A C IÓ N PR O D U C TO .-

Llamado ley de com posición extem a (el producto de un escalar por un

vector es un vector) y cum ple con los axiomas siguientes:

5 , a(Px) = (aP)x, V x, a, (3 e k

B2 .- (a + P)x = ax + Px, V x € V, a, p e k

Z?3 a(x + y) = ax + ay, V x,y e V, a e k

B 4 .- V x e V, existe 1 e k elemento idéntico m ultiplicativo tal que

1.x = x.


© Los elem entos de V se llaman vectores y los elem entos de k se llaman

escalares.

© Com o V está definido sobre los elem entos de k, se dice que V es un k

espacio vectorial.

( 3 ) Si k = R, V se llama espacio vectorial real.

( 7 ) Si k = C, V se llama espacio vectorial complejo.

( T ) Un conjunto V * <|> para que sea un espacio vectorial sobre un cam po k '

debe tener definidas dos operaciones “sum a” y “m ultiplicación por un

escalar” y que cum ple las ochos axiom as m encionados, en caso que no

cum pla con alguno de dichas axiom as no es un espacio vectorial.

( ó ) Al conjunto de los polinom ios de grado < 3 con coeficientes com plejosj

denotarem os por k[x] es decir:

k[x] = {P (x )/ P(x) = tf3x3 + a2x 2 +a\X + a0; Oj e k = C}

I \pac ios Vectoriales 113

I '.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES.-

© El conjunto V = R, con las operaciones de sum a y producto de R es un

espacio vectorial sobre R.

( J ) El conjunto V = R 2 = {(x,_y) e R 2 / x e R a y e R) y k = R (el cuerpo)

con la sum a de pares ordenados (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) y el producto

por un escalar: /.(a,b) = (Xa,Xb), X e R

es un espacio vectorial sobre R.

© En R 2 cualquier recta que pase por el origen, es un espacio vectorial

sobre R.

Por ejemplo el conjunto V = { (x , y ) e R 2 / 3 x - 2 y = 0} con las

operaciones de sum a y producto de un escalar con las de R 2 .

© El conjunto V = R^ = {(x, y , z ) / x e R a y e R a z e R} con las

operaciones de un escalar por un elem ento d e /? 3 es un espacio vectorial

sobre R.

© En /?3 cualquier plano que pasa por el origen es un espacio vectorial

sobre R.

Por ejemplo V = { (x ,y , z ) e /?3 / x - y - z = 0}

© El conjunto V = R" = { ( * , , jc2,—, x „ ) / x ¡ e R} es un espacio vectorial.

Con las operaciones usuales de suma, es decir:

(* ,, x 2 ) + (}>,, y 2 , . . . ,y„) = (x¡ + y , , x 2 + y 2 ,...,x„ + y „ )

y el producto por un escalar A ( x ¡ , x 2 , - ; X „ ) = (Axl , A x2 ,.. . ,Ax„ ) , X e R

En el conjunto V = R 2 , definimos las siguientes operaciones:

(a,b) + (c,d) = (b + d, a + c)

>.(a,b) = (Á.a,A.b)

com probar que (V, + , R , .) no es un espacio vectorial.

En efecto: i) Sí u ,v e V => u = (a,b), v = (c,d)

Probarem os que u + v = v + u , V u,v e V

u + v = (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) = (d + b, c + a)

= (c,d) + (a,b) = v + u se cumple

ii) Si u,v,w e V => u = (a,b), v = (c,d), w = (e,f)

u + (v + w) = (u + v) + w

u + (v + w)=(a,b) + [(c,d) + (e,f)]=(a,b) + (d + f, c + e)

= (b + c + e, a + d + f) • • • ( ! )

(u+v)+w = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (b + d, a + c) + (e,f)

= (a + c + f, b + d + e) • ••(2)

de (1) y (2) se tiene: u + (v + w) * (u + v) + w

por lo tanto (V, + ,R , .) no es un espacio vectorial

El conjunto V = { ( x , y ) e R 2 / x + y < 1}, no es un espacio vectorial con

las operaciones de R 2 en esté caso falla el opuesto, pues (3,-9) e V sin

em bargo -(3 ,-9 ) = (-3,9) í V puesto que -3 + 9 * 1.

El conjunto R no es un espacio vectorial sobre k = C, pues si z e C y

a € R entonces az e R, es decir no es una ley de composición extema.

/ spacios Vectoriales 115

ÍO) Probar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales,

P [ x ] = { a nx n + a n_1x n~1 + ... + a ,x + a 0 , n e N , a 0 , a , .....a„ e R} es un

espacio de suma y producto por un escalar del álgebra elemental.

, p (x ) + q(x) = (a0 +b0 ) + (a, + b , ) x + ... + (a„ + b „ ) x n donde

p ( x ) = a 0 + a xx + a 2x 2 +... + a nx n y q(x) = b0 + 6 ,x + b2x 2 +... + bnx"

Áp(x) = Aa0 + Áa¡x + Aa 2x 2 + ... + Áa„x"

Solución

Ahora probaremos las axiomas

1ro. La sum a de polinom ios es conm utativa.

S eap(x) = a0 + a ,x + ...+ a„x" , q (x ) = b0 + blx + ... + bnx" dos elementos de

P[x]

p ( x ) + q (x) = (a0 + ¿ 0 ) + (a, +b¡)x + ( a 2 + b 2) x 2 +... + ( a n + bn ) x ”

= (b0 + a 0 ) + (6, + a, ) x + (b2 + a 2 ) x 2 + ... + (¿>„ + a„ ) x n = q(x) + p(x)

2do. La suma de polinom ios es asociativa

Consideremos polinomios de P[x]

p x(x) = a0 + a¡x + a 2x 2 +... + a Hx"

p 2(x) = b0 + b lx + b2x 2 + ... + bnx"

P i ( x ) = c0 + c lx + c 2x 2 + ... + c nx n

( p x (x) + ( p 2 (x) + P} (x)) = (p , (x) + p 2 (x)) + p } (x) se verifica.


3er. Elem ento neutro para la suma.

El elem ento neutro es el polinom io nulo q(x) = 0, puesto que pa

cualquier p(x) e P[x] se verifica que: p(x) + q(x) = p(x) + 0 = p(x)

4to. El elem ento opuesto para la suma.

Dado cualquier polinom io p (x ) = a 0 + a {x + ... + a nx n de P[x] se verifica

que el polinom io p ( x ) = - a 0 - a lx - . . . - a „ x n es su elem ento opuesto,

puesto que p ( x ) + p ( x ) = q(x) = 0

5to. El producto por un escalar verifica la propiedad distributiva respecto a la sum a de polinomios.

Es decir: Sí p x (x), p 2 (*) e P[x] y a e R

a[Px (x) + P2 (*)] = aP2 (x) + aP2 (x)

6to. La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares.

Es decir: a , P e R y p(x) e P[x].

( a + P)p(x) = a p(x) + P p(X) puesto que

( a + f i ) p ( x ) = ( a + P ) ( a 0 + a ,x + a 2x~ + ... + a nx n )

a ( f l0 + a lx + a 2x 2 +.., + a „ x n ) + f i ( a 0 + a xx + a 2x 2 + ... + a nx " )

= a p(x) + P p(x)

7mo. El producto de un escalar verifica la propiedad asociativa.

Es decir: sí a , p e R y p(x) e P[x]

(a f l ) p (x ) = (aj3)(a0 + a xx + a 2x 2 +... + a „ x ”)

= a[/3a0 +/3alx + / h 2x 2 +.. .+ /3a„x"] = a(P p(x))


8vo. Existe un elem ento unidad 1 e R , tal que l.p (x) = p(x) para

todo polinom io p(x) de P[x] con lo cual se ha probado que el conjunto

P[x] de polinom ios de coeficientes reales es un espacio vectorial sobre R.

3.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES,

Sea (V, +, R , .) un espacio vectorial, entonces se tiene:

i) El elem ento “0” de la propiedad A 3 es único.

Dem ostración

Supongamos 3 9 ' e V tal que O'+u = u , V u,v e V

Por la propiedad A-¡ tenem os que: u + 0 = u, V u e V

0 + 0 ' = e]Se cumple: ¡ pues 0,6>’e V son elem entos neutros de V.

0 '+ 0 = 6 J

Y por la propiedad conm utativa se cumple:

0'= 0 + 0 '= 0'+6 = 0 => 0' = 0 por lo tanto “0” es único.

¡i) El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo, es decir:

V u e V se tiene O.u = 0.

Dem ostración

O.u + u = O.u + l.u = (0 + l)u = l.u = u; sum ando (-u) a cada miem bro

tenemos:

(O.u + u) + (-u) = u + (-u), por la propiedad asociativa tenemos:

O.u + (u + (-u)) = u + (-u), por lo tanto: O.u + 0 = 0 de donde O.u = 0.

118 Eduardo Espinoza Ramoi

üi) Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo entonces el

escalar es “0” o el vector es nulo es decir: Sí A.x = 0 => A. = 0 o x = 0 I

Dem ostración

íe r . caso) Suponiendo que x * 0 y A x = 0 = > A. = 0

.En efecto sí A * 0 A .A = 1, V A g k

Sí Ax = 0 A- l (Ax) = A !# = 6

=> (A~].A)x = 0 => l.x = 0 => x = 0

lo cual es una contradicción entonces X = 0 puesto que x * 0 . 1

2do. caso) Suponiendo que A * 0 y Ax = 0 => x = 0

en efecto sí A * 0 => 3 A 1 => A 1 (Av) = A x6

=> (A-1 .A)x = 0 => 1.x = 0 => x = 0

¡v) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su

producto es decir: sí X e k, x e V, (-A)x = -(Ax):ib a b «3 ,oiun to m v 1$ »3 ío laav la iup le in lóq 0 tbíb383 b b otauboiq 13

D em ostración

Teniendo en cuenta A 4 de 2.1., la suma de opuesto en k y B 4 de 2.1 so

tiene:

ndmaini ebi:o obas'TOií ;u ••• u I ~ u ( ! :-(Ax) + Xx = 0 = 0.x = (-X + A)x

-(Xx) + Ax = (-X)x + Xx => -(Xx) = (-X)x

por lo tanto (-A)x = -(Xx)

Espacios Vectoriales 119

3.4. ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES.-

A1 conjunto de todas las funciones f con dom inio un conjunto X * (¡> y rango un

cuerpo k, denotaremos por k x , es decir:

k x = { / / / : X - + k )

un elem ento que pertenece a k x es una función f : X -> k ahora en k x

definim os la suma de funciones y el producto de un escalar por ftinciones.

i) Sí f , g e k x entonces f + g: X -»k es tal que ( f + g)(x)=f(x) + g(x), V x e X

ii) Sí Agk y / g k x , entonces Xf: X -> k es tal que: (Af)(x) = Af(x),V x g X

Luego el conjunto ( k x ,+ , k , . ) , provisto de dos operaciones suma (+) y

producto (.) es un espacio vectorial sobre k, para esto probarem os los axiomas.

A, : Sean f , g e k x => f , g : X - > k y f + g : X -> k

=> ( f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x), V X g X

de donde f + g = g + f, pues f(x), g(x) g k = (R,Q,C) donde la adición es

conmutativa.

A2 : Sean f , g , h e k x => f,g,h: X ->k, por probar que (f+g)+h = f+ (g + h)

Sea x gX , [(f + g) + h](x) = [(f + g)(x)] + h(x)

= tf(x) + g(x)] + h(x), V x g X . . . (*)

[f + (g + h)](x) = f(x) + [(g + h)(x)] = f(x) + [g(x) + h(x)]

=> [f + (g + h)[(x) = f(x) + [g(x) + h(x)], V x g X .••(* * )

com o f(x), g(x), h(x) e k = (R ,Q,C) entonces de (*) y (**) se tiene:

[(f + g) + h](x) = [f + (g + h)](x), V x e X

( f + g) + h = f + (g + h)

: Sea “0” la función cero, 0: X -> k tal que 0(x) = 0, V x e X

=> V f e k x , f : X —> k se tiene:

( f + OKx) = f(x) + 0(x) = fíx), V x e X

=> ( f + 0)(x) = f(x), V x e X

=> f + 0 = f => V f e k x , 3 f e k x / f + 0 = f

A^\ V / e k x sea - f : X -» k definida por (-f)(x) = -f(x)

=> [f + (-f)](x) — fl(x) + (-f)(x) = fi(x) - f(x) = 0 = 0(x) V x e X

de donde se tiene: f + (-f) = 0

5 , : Sean f , g e k x y l e k = > [X(f + g)](x) = X(f + g)(x) = X(f(x) + g(x))

=> [X (f+ g)](x ) = X[f(x) + g(x)] •••(*)

(Xf + Xg)(x) = (XíXx) + (A.g)(x) = Xfl[x) + *g(x) . . . (**) |

V f e k x , 3 ( - f ) e k x / f + (-{) = 0

Ji[f(x) + g(x)] - Xf(x) + Xg(\ ) pues X, f(x), g(x) e k - (R ,Q ,C M

multiplicación es distributiva respecto a la adición => de (*) y (**) so,

tiene:

[M f + g)](x) = (W + ^g)(x), V x e X entonces A.(f + g) = Xf + Xg

I 'patios Vectoriales121

B2 : Sea / e k x y X, p e k entonces se tiene:

[(X + P)f](x) = (X + P)f(x) = Xf(x) + pf(x)

= (Xf)(x) + (Xg)(x) = (Xf + Xg)(x), V x e X

entonces (X + P )f= X f + p f

B 3 : Sea / e k x y X, p e k entonces se tiene:

[(Xp)f](x) = (XP)f(x) = X(pf(x)) = A.(Pf)(x) = [X(Pf)](x), V x e X

entonces [(Xp)f](x) = [X(pf)](x) (xp)f = X(pf)

B 4 : Sea f e k x y, 1 6 k entonces (1.0(x) = l.f(x)= f¡(x), V xe X

entonces l . f = f por lo tanto V = k x es un espacio vectorial sobre k.

C A S O S P A R T IC U L A R E S .- k x = { / / f : X ^ k)

i) Si X - R y k = R => k x = { f / f : R -+ R} espacio vectorial sobre R.

ii) Si X - [a,b] y k - R => k x = { f / f . [a ,b] -> R) espacio vectorial

sobre R.

Mi) X = R, k = R, f es continua, entonces

* R —> R es continua} espacio vectorial sobre R.

j.l.S. ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES mxn.- 1

a) D E F IN IC IÓ N .- Sean m,n enteros positivos fijos X = {(ij) /1 k )

Sí f e k x => f : X - > k

(í, j ) -> / ( / , y) = f y ; f es una matriz de orden mxn sobre R.

Casos particulares: m = 3, n = 2 entonces

X = {(i,j) /1 X = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

Sí f e k x => f : X -» k

( l , l ) - > / ( l , l ) = / n

(1,2) -> /(1 ,2 ) = f \ 2

(2,1) —> /(2 ,1 ) = f 2\

(2,2) -> / ( 2 ,2 ) = / 22

(3.1) —> (3,1) = / 3)

(3.2) -» (3,2) = / 32

Luego se tiene: / =

/¡1 /12

/21 f l 2

/31 /3 2 . 3 2

A hora para 1 < i < m y 1 < j < n se tiene: / -

/11 7i2 ••• /ln

/ 2I /22 — f i n

fm\ fnm2 /m


b) IGUALDAD DE M ATRICES.- Sea / , g e * * , entonces:

7 , i -/¡2 — /¡n ’ i l l «12 •- An

/21 /22 — /2n *21 £22 • *2«

/ = 8 =

_fm\ f'm2 — _£ml &m2 Smn _

f = g <=> f ij ~ 8 ij V 1 f \2 ¿>12 > * * *» / « . = 8 mn

c) SUM A DE M ATRICES:

f + g =

f \ \ + 8\\ f \ 2 + 8\2 — f \ n + 8\n

f l \ + S l \ f l 2 + 822 "• f 2n + 8 2n

m\ ^~8ml fm2 8m2 fmn 8m

d) M ULTIPLICACIÓ N DE UN ESCALAR POR UNA M ATRIZ.

Sean f e k y y X e k = R entonces

A f u ^ /l2 A.f\n

^ f l \ ^Í22 — ¿ f 2 n

* / =

Afm\ A f m 2 ... A f m


Luego el conjunto de todas las m atrices de orden mxn sobre k = R

denotado por k x = R mxn está provisto de dos operaciones sum a (+) y

producto (.).

Probarem os que (k x ,+, k, .) es un espacio vectorial sobre R = k.

A, : Sea f , g e R x => f,g: X R de donde

7 ., f \2 • ■ f in g il • 8\n

/21 Í22 • ■ Í2n g2\ £22 • &2 n

/ = , g =•

_fml fm2 - fmn _ _&ml Sm2 &mn _

f u + g \ \

/2 l + g2\

f \ 2 + g\2

Í 2 2 + g22

f in 8ln

f2n g2n

./mi 8ml J m2 8m2 J mu gmn

g u + f u

g2\ + /21

g \ 2 + f \2 •

^ 22+ /22

gln fin

g2n f 2 n

gm\ fml gm2 fm2 gmn fmn

por lo tanto f + g = g + f


A 2 : Sean f yg , h & R x => f ,g ,h :X - » R

f + ( g + h) =

' f n f\2 - f u g \2 + ^ 2 •■■ s \ „ + K ~f2\ f22 — Í2n #21 + 21 g 22 +^22 •" 82 n +h2n

_fm\ fm2 - fmn. _á»ml ^mi 8 m2 ^m2 8 nm ^ mn _

f u + (£ n +Ai i ) f n + ( g \ 2 + h \ i ) - f \ n + ( g \ „ + h u )

f l \ + ( g 2 \ + h2\) Í22 + (822 + h22 ) - Í2n + (#2« + h2n )

_fml + (Sml + hml) f m 2 + (8 m 2 + hm2) ••• fmn + (8mn + ^mn) _

asociando los f y + (g y + h y ) y descom poniendo como sum a de dosi

f + ( g + h) = ( f + g ) + hmatrices se tiene:

A3 : Sea la matriz 0 =

0 0 ... 0

0 0 ... 0

0 0 0 0

tal que V / e R x se tiene:

f u f n - f in 0 0 . . 0 '

/21 f22 ■■ f2n 0 0 . . 0

. .

+.

. fm l f m2 ■ fmn _ 0 0 . ° .

= /

\ / f e R x , 3 O e R x / f + 0 = f

A4 : V f e R x sea - / =

~ f i \ ~J \ j —

~ f i \ ~ f i t —

~An

—f i n

fm\ f m2 *’* fmn _

/ + ( - / ) =

f l \ ~ f u f \2 ~ f\2 — fin — f\n 0 0 . . 0'

/ 2 1 ~ f 2 \ f22 ~ fr2 — f l n ~ f 2 n

_

0 0 . . . . 0

-3•

• 1t f m2 ~~ fm2 fmn — fmn _ 0 0 .

• ° _

Luego V / e R x , 3 - / e R x / f + (-Í) = 0

B x \ Sea / e R x , X,P e R se tiene: (X .p)f=M Pf)

B 2 : Sea / e R x , X,P e R se tiene: (X + P )f = X i + p f

B3 : Sean f , g e R x , X e K se tiene X(f + g) = + X.g

B a \ V / e R x , 3 / e R x tal que f l = f

estas propiedades se prueban en form a sim ilar a las primeras propiedades,

Por lo tanto se tiene que el conjunto de matrices R de orden mxn provisto d

las dos operaciones de sum a y producto es un espacio vectorial sobre R.


.1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS,-

© A veriguar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales:

a) V = {(x,y ) e R 2 / x + y = 1} con las operaciones de R 2 .

b) V - {(x, y) e R 2 / x < y ) con las operaciones de R 2 .

c) W = {(x ,y ) e R 2 / x - y e Z } con las operaciones de R 2 .

d ) V - {(<,2?, e ‘ ) / 1 € R} con las operaciones de R 3 .

e) IV = { ( x , y , z ) e / x + y = z} con las operaciones de .

Rpta. a) N o es espacio vectorial b) No es espacio vectorial,

c) N o es espacio vectorial d) No es espacio vectorial

e) Es espacio vectorial

Sea V = {Ax + fie* / A,J3 e R ] , de donde f(x) =x, g (x ) = e x son funciones

reales, probar que V es un espacio vectorial sobre R.

6 ) Sea V un espacio vectorial sobre k y F un sub-conjunto de k, dem ostrar que V

tam bién es un espacio vectorial sobre F.

f f ) Sean U y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo k. Sea

V = {(u,w) / u e U, w e W}. Demostrar que: V es un espacio vectorial sobre k.

Probar que V = { (x ,y , z ) e R 2 l - 2 x + 3 y - z = 0} es un espacio vectorial con

las operaciones de R 3 .

©

©

©

©

Sean V = R 2 , k = R, la adición definida en R 2 por (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

y el producto de un núm ero real por un elem ento de R 2 definido m ediante

A.(a,b) = (X.a,>.b). Probar que ( R 2 ,+, R,.) es un espacio vectorial.

Sean V = R 2 , k = R, la adición en R 2 definida por (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

y el producto definido m ediante A.(a,b) = (a,a), averiguar si (R ' ,+, R,.) es o no

espacio vectorial.

Sea V = R 2 y k = R, la adición en R 2 definida por

(a,b) + (c , d ) = + + y el producto definido mediante.

X(a,b) = (Xa,Ib). Determ inar si ( R 2,+, R,.) es un espacio vectorial.

Considerando V - R r o sea el conjunto de las funciones reales con variable

real y k = R, investigar si son espacios vectoriales sobre R los conjuntos

siguientes:

i) El conjunto de las funciones continuas.

¡i) El conjunto de las funciones derivables.

iii) El conjunto de las funciones pares, o sea las funciones f e R r tales que

f(x) = f(-x).

iv) El conjunto de las funciones impares, es decir, las funciones / e R R tales

que f(-x) = -f(x).

v) El conjunto de las funciones constantes.

vi) El conjunto de las funciones positivas.


©

©

®

©

Probar que V = {A e R lx2 / T r (A) = 0} es un espacio vectorial con las

operaciones de R 2x2.

Probar que V = {A e R 2x2 / A ‘ = - A } es un espacio vectorial con las

operaciones de R 2x2.

© Probar que V = {x y

0 z/ x , y , z e R} es un espació vectorial con las

operaciones de R

Probar que V = {

2x2

0 0 a

0 b 0

c 0 0

/ a , b , c e R } es un espacio vectorial con las

operaciones de R .

En cada uno de los conjuntos siguientes no son espacios vectoriales indicar las

propiedades que no se cumple:

i) V = {(x, y) e R 2 1 y < 3} con las operaciones de R 2 .

ii) V = {(x, y ) 6 R 2 / xy = 0} con las operaciones de R 2 .

iii) V = { (x ,y) e R 2 / 1 x | + 1 y |< 1} con las operaciones de R 2

Determ inar si (C 2,+, C ,.) es un espacio vectorial, definiendo

( Z l , Z 2) + ( Z ¡ + Z l2 ) = ( Z l + Z ,¡, Z 2 + Z l2)

Z ( Z ¡ , Z 2) = ( Z Z ¡ , Z Z 2)

Si V c R n es un conjunto no vacio, probar que

V 1 = {u e R" / m .v = 0, para todo v e V} es un R - espacio vectorial.

130 Eduardo Espinoza Rami

3.7. SUB-ESPACIOS VECTORIALES.

a) D E F IN IC IÓ N .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial cualquier!

direm os que W * «(>. W c V es un sub espacio vectori;

de V sí y sólo sí (W ,+,k,.) con las operaciones definidas por V es un

espacio vectorial.


© Fijado un espacio vectorial V , los subconjuntos ((> y V son subespacioi

llam ados sub espacios triviales.

( T ) Cualquier sub espacios diferente de los triviales se denom ina sub espacM

propio.

( T ) U n espacio vectorial tiene muchos sub espacios por ejem plo todas lasi1 vjj

rectas que pasan por el origen en el plano R .

( 7 ) Para probar que un sub conjunto W de un espacio vectorial V sea un sub

espacio es suficiente probar las operaciones de sum a y producto, las]

dem ás axiomas definidas en V también se cum plen en W y esto veremaj^

en el siguiente teorema.

b) T E O R E M A .- Sean (V,+,k,.‘) un espacio vectorial, y W * (j>, W c V,j

direm os que (W ,+,k,.) es un sub espacio vectorial de]

(V ,+,k,.) sí y sólo sí:

i) V x,y e W => x + y e W íi) V l e k , V x e W ^ h e W j

D em ostración

o ) Si w es un sub-espacio de V entonces se cum ple (i), (ii) esto es inmediato^

de verificar

/ *pacios Vectoriales 131

<=) Por hipótesis tenem os que si se cum ple (i), (ii) probarem os que (w,+,k,.)

es un espacio vectorial.

A , : x + y = y + x, V x,y e W esto se verifica, pues x,y e W c V y en V se

cum ple A ¡ .

A2 : (x + y) + z = x + (y + z), V x ,y ,ze W, esto se verifica pues x,y,z e W c V

y en V se cum ple A.2 .

A 3 : V x e W , 3 0 e W tal que x + 0 = 0 + x = x,

En efecto x e W => ( - l)x = -x e W por (ii) entonces x+ (-x) = 0 e W

por (i)

A 4 : V x e W , 3 (-x) e W tal que x + (-x) = 0 en virtud de (i), (ii).

En form a sim ilar se puede verificar que (W ,+,k,.) cum ple las condiciones

restantes de espacio vectorial.

c) E JE M P L O D E S U B E SPA C IO S V E C T O R IA L E S ,-

(T ) Sea ( R 3,+,R,.) un espacio vectorial, averiguar ¿Cuál de los siguientes sub

conjuntos son sub espacios vectoriales?

a) IV = { ( x , y , z ) e R 3 / 2x + y - z = 0}

Solución

i) W * <(> puesto que (1,-1,1) e W verificar 2( 1 ) - 1 - 1 = 0

ii) ( x ¡ , y 1, z l ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) e f V => (x, , y x , z , ) + ( x 2 , y 2 , z 2) e W

(por verificar)

132 Eduardo Espinoza Rann

s¡ f ( w l ) e JF ^ sumandQ\ ( x 2, y 2, z 2) e W | 2 x 2 + y 2 ~ z2 = °

2(x, + x 2) + (.y, + y 2) - (z, + z2 ) = O

=> (*i + *2>.>'i +>’2 .Z1 + z 2 ) e « '

=> ( x i , y l , z i ) + ( x 2 , y 2 , z 2) c f V

iii) Sea A € R, (x,y,z) e W => A(x,y,z) e W, por probar:

Si (x,y,z) e W => 2 x - y + z = 0

A(2x - y + z) = A(0)

2(Ax) - (Ay) + (Az) = 0

=> (Ax,Ay,Az) e W

=> A(x,y,z) e W

Luego de (ii), (iii) se concluye que W es un sub espacio de R * .

b) W = { ( x , y , z ) e R i ! x = z}

Solución

i) W * <j) pues (1,0,1) e W

ii) ( x i , y u z l ) , ( x2 , y 2 , z 2 ) e f V => ( x {, y ¡ , z i ) + ( x 2, y 2, z 2) e W

(por verificar)

í ( - W l > Zl ) e f FSi(x2, y 2, z 2) e W

*1 = z \

X, = Z 7sumando

*1 +X2 = z¡ + z 2

í spacios Vectoriales

=> ( x x + x 2 , y i + y 2 , z { + z 2) e W

=> ( x l , y l , z ]) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) e W

iii) Sea A e R, (x,y,z) e W => A(x,y,z) e W (por verificar)

Si (x,y,z) e W => x = z

Ax = Az

=> (Ax,Ay,Az) e W => A(x,y,z) e W

por lo tanto W es un sub espacio de R 3 .

c) W = { (x , y , z ) e R 3 / z = x + 2)

Solución

i) W 4> puesto que (1,2,3) e W

ii) ( x í , y í , z l ) , ( x 2 , y 2, z 2 ) e W => (x, , y x, z¡ ) + ( x 2, y 2 , z 2 ) e

(por verificar)

Si(x2, y 2, z 2) e W

[z, = x , + 2

\ z 2 = x 2 + 2sumando

z¡ + z 2 = x¡ + x 2 + 2 + 2

=> (x¡ + x 2 ,y¡ + y 2 , z , + z 2 ) t W

=> ( x l , y l , z l ) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) e l V

Por lo tanto W no es un sub espacio de R 3 .

d) W = { ( x , y , z ) e R 3 / \ x \ = \ y \ }

Solución

i) W ^ <(» puesto que (1,-1,4) g W

ii) Cx ], y i , z ¡ ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) e l V => ( x u y l , z l ) + ( x 2 , y 2, z 2) e W

Si 0 ' ' ' I - ' « ' , sum and„[(x 2, y 2, z 2) e W [1*2 1 = 1 !

1 * 1 1 + 1 * 2 M - V l 1 + 1 ^ 2 I

I *1 + x 2 I * I y\ + y 2 I Por desigualdad triangular

=> (x, + x 2 , y¡ + y 2 , z, + z 2) e W por definición de W

( x 1, y i , z i ) + ( x 2, y 2, z 2) e f V

Por lo tanto W no es un sub espacio de /?3 .

( 2 ) Sea V = R 2 un espacio vectorial sobre R y W = {(x,y) / x e Z) ¿W es un sub

espacio de V?

Solución

i) W * <() puesto que (2,a) e W , a e R

¡i) ( x l , y l ) , ( x 2 , y 2 ) e W => ( x , , y ¡ ) + ( x 2 , y 2) e W (por verificar)

s¡ Ux ^ y Oe W ^ U e Z \ ( x 2, y 2) e w ) x 2 e Z

x¡ + x 2 e Z

(x¡ + x 2 , y 1+ y 2) e W por definición de W

( x l , y l ) + ( x 2 , y 2 ) e W se cum ple

I spacios Vectoriales 135

iíi) Sea X e R, (x,y) e W => Á(x,y) e W (por verificar)

Si (x,y) e W => x e Z

1 X=> I x í Z por ejem plo A = - , — t Z

2 2

Por lo tanto W no es un sub espacio de V.

( ¿ ) Sea V - { { x , y ) / x , y e R] = R~ y W - {(*, j ) e R 2 / x + y = 0} probar que W

es un subespacio de V.

Solución

i) W * <(> puesto que (0,0) e W => 0 + 0 = 0

») (x i>y i )Áx 2 >y2 ) e w => (x i>y[) + (x 2 >y2 ) e W (por com probar)

c . J (* i , y i ) e w u + y ^ oM 1, ■> => 1 „ sumando

[(*2 . ^ 2) \x 2 + y2 = 0

(x, + x 2) + 0 'i + .y2 ) = 0

=> ( x l + x 2 , y i + y 2) e f V por definición de W

=> (*i > y \ ) + (* 2 . y 2 ) e w se cum ple

iii) X e R, (x,y) e W => A.(x,y) e W

Si (x,y) e W => x + y = 0

=> Xx + Xy = 0

=> (Xx,Xy) e W por definición de W

=> M x , y ) e W

por lo tanto W es un subespacio de V.

136 Eduardo Espinoza Rana

( 4 ) Sea V = { ( x , y ) ! x , y e R} = R 2 y = {{x, y) e R 2 / x + y = 3} probar que W j

no es un subespacio de V.

Solución

i) W *■ (j) puesto que (2,1) e W => 2 + 1 = 3

») ( x l , y l ) , ( x 2, y 2) e W => ( x l , y l ) + ( x 2 , y 2 ) e t V (porverificar)

c . ¡ { x i , y i ) e W ¡ x l +>>, = 3Si < => < , sumando

[(*2,.y2) e J F 1 x2 + ^2 = 3

(x , + * 2 ) + 0 'i + _y2 ) = 6 * 3

=> (x, + x 2 , _y, + y 2 ) i W por definición de W

=> ( x l , y i ) + ( x 2 , y 2 ) e W

por lo tanto W no es un subespacio de V.

D em ostrar que el conjunto W = { ( x , y ) e R 2 / y = mx} es un subespacio de R 2 .

Solución

i) W # <j> puesto que (0,0) e W ya que 0 = m(0) = 0

ü) ( x i , y i ) , < x t * y i ) e W => ( x l , y {) + ( x 2, y 2 ) e W

(por probar)

Si =» l » " “ ' sum ando[(x2, y 2) e W \y 2 = m x 2

y \ + y i = m (x 1 + x 2 )

=> (xj + x 2 , y¡ + y 2 ) e W por definición de W

=> ( x l , y l ) + ( x 2 , y 2) e W


iii) A. e R, (x,y) e W => Á.(x,y) e W (por probar)

Si (x,y) e W y = mx

=> Xy = m(Ax)

=> (kx,Xy) e W por definición de W

o A.(x,y) e W

por lo tanto W es un subespacio de R 1 .

N O TA .- W geom étricam ente es el conjunto de rectas en R 2 que pasan por el

origen de lo cual se puede afirm ar que toda recta que pasa por el

origen es un subespacio vectorial.

ft) Sea P[x] el conjunto de todos los polinom ios de grado m enor o igual a tres,

indicar si el conjunto W = {peP / p(2)=p(-2) = p(0) = 0} es un subespacio de P.

Solución

i) W * <|> es inmediato

ii) Si p, q e W => p + q e W (por probar)

\ p e W f p (2 ) = p ( - 2 ) = p(0) = 0Si i => 1 „ sumando

[ 1 € W | g(2) = g ( -2 ) = g(0) = 0

P(2) + q(2) = p(-2) + q(-2) = p(0) + q(0) = 0

(p + qX2) = (p + q)(-2) = (p + q)(0) = 0

=> p + q e W por definición de W

iii) A. e R, p e W => X . p e W (por probar)

©

©

Si p e W => p(2) = p(-2) = p(0) = O

=> A.p(2) = >„p(-2) = >,p(0) = X.0

=* (Ap)(0) = (A.p)(-2) = (Ap)(0) = O

=> I p e W por definición de W.

por lo tanto W es un subespacio de P.

Sea P[x] el conjunto de todos los polinom ios de grado m enor o igual a tres, j

indicar si el conjunto W = {p e P / p(0) = 1} es un subespacio de P[x].

Solución

i) W # (j) es inmediato

ii) Si p,q e W => p + q e W (por probar)

í p e W I p ( 0) = 1Si

q e W q{ 0) = 1sumando

P(0) + q(0) = 2

(P + q)(°) = 2 * 1

=> p + q í W por definición de W

por lo tanto W no es un subespacio de P[x].

Sea V = F espacio vectorial de todas las funciones de variable real, averiguar si

el conjunto definido por: W = {f e F / f(a + b) = f(a) + f(b) a f(Aa) = A.f(a)}


Solución

i) W # puesto que la función cero pertenece a W

ii) f,g e W => f + g e W (porprobar)


í f e W í f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) a f ( A a ) = Á f ( a )Si 1 => i , , , , x „ sum ando

[g e W | g(fl + ¿>) = g (a ) + g (¿ ) a g(/ífl) = Ag(a)

f(a+b) + g(a+b) = (f(a)+g(a)) + (f(b)+g(b)) a f(>,a)+ g( la) = Af(a) + Ag(a)

(f+g)(a+b) = ( f + g)(a) + ( f + g)(a) + ( f + g)(b) a ( f + g)(Aa) = X( f+ g)(a)

=> f + g e W por definición de W

iii) X. e R, f e W => W e W (porprobar)

Si f e W => f(a + b) = f(a) + f(b) a f(A.a) = Af(a)

=> af(a + b) = af(a) + af(b) a af(/.a) = a(Xf(a))

=> (a f)(a + b) = (af)(a) + (af)(b ) a X(af(a)) = A.(af)(a)

entonces a f e W p o r definición

por lo tanto W es un subespacio de F.

( 9 ) Sea V = C = { f / f : R - * E e s continua} y considerem os los siguientes:

W¡ = { f e C / í f ( t ) d t = 0} ; W2 = { / e C /

averiguar si los subconjuntos Wx y W2 son subespacios de V.

Solución

Analizando al conjunto Wt .

i) W i * <(> puesto que tV¡ a V

ii) f , g e W \ => f + g e W | (por probar)

f 7 ( ^ = 1}

Si/ e t f ' ig e W ¡

f ( t ) d t = 0

sumando

g(í)í/í = 0

jV(í)<*+|ár(0<* = o

í í<( / + g)(<)A = 0 => Z + g e f F ,

iii) A. e R, / e JF, => A f e .Wx por probar

Sí / e f F , => f / ( í ) < * = 0l

íi f ( t ) d t - ¿ (0 )

í(A/X0<* = 0 =>.

por lo tanto fí7, es un subespacio de V.

ahora analizarem os al conjunto W2 .

i) W2 *(¡> puesto que W2 c V

ii) f , g & W 2 => f + g e W 2 (po rp robar)

I */tactos Vectoriales 141

Si í ' * w‘ g e W :2

f ( t ) d t = 1

sum ando

g( t )d t = 1

ípor lo tanto no es un subespacio de V.

Sea V = el espacio vectorial de las m atrices cuadradas de orden

sobre el campo R, definim os los conjuntos:

T = { A e R m , / a v = a j l , V i , j } ; 5 = {A e R m / a y = ~ a f i , V i j )

D eterm inar si los conjuntos T y S son subespacios de V.

Solución

A nalizando al conjunto T.

i) T * <j) puesto que la matriz nula es un elemento.

ii) A,B g T => A + B e T (por verificar)

í A e T \ ai j = aj¡Sl 1 Q ^ ^ V ‘J sumando[.B e T [b'j = bJ¡

d i j+ b y = a j i +b ji

=> ta y + by ] e T ■=> [a¡j] + [by]e. T

=> A + B e T

nxn

iii) A. e R, A e T => A. A e T (por verificar)

Si A e T => a0 = a j ¡ , V i j

=> Aa¡j = ÁaM, V i j

=> [Aa j¡ ] e T por definición de T

=> A[a0 ] e T , de donde X A e T

por lo tanto T es un subespacio de V.

ahora analizarem os al conjunto S.

i) S * <() pues contiene al vector nulo.

ii) A, B e S => A + B e S (por com probar)

Si i => { 'J J‘ V i j sumando1 .B e S \ b y ~ - b j ,

a i j + b,i = - ( « , , +hji)

=> [a¡j + b¡j ] e S por definición de S

=>

=> A + B e S

iii) l e R , A e S => X A e S (por verificar)

Si A e S => a¡j = - a j ¡ , V i j

=> Aa¡j = - A ojí , V i j

142 ' Eduardo Espinoza Ramot Vlacios Vectoriales 143

=> [ A d j ^ e S por definición de S

=> A[a¡j ] e S , de donde X A e S

por lo tanto S es un subespacio de S.

l) Sea V = { / / / : [0,1] -> R} un espacio vectorial real y sean

T = { f e V / f ( 0 ) + f ( l ) = 0} y H = {f e V / f(x) > 0}

D eterm inar si los conjuntos T y H son subespacios de V.

Solución

A nalizando el conjunto T.

i) T * <(> puesto que T c V

ii) f,g e T => f + g e T (por verificar)

j f e T í / ( 0 ) + / ( l ) = 0Si { => < V i j sumando

\ g s T | g (0 ) + g (l) = 0

f(0) + g(0) + f ( l ) + g ( l) = o

( f+ g ) (o ) + ( f + g X D = o

=> f + g e T por definición de T.

iii) X e R, f e T => X f e T (por verificar)

Si f e T => f(0) + f ( l) = 0

=> A.f(0) + A,f(l) = X(0)

=> (>J)(0) + (>J)(1) = 0

=> X f e T por definición de T.

por lo tanto T es un subespacio de V.

144 Eduardo Espinoza Ramo

Ahora analizarem os el conjunto H.

i) H * <|) por lo m enos contiene a la función cero.

¡i) f, g e H => f + g e S por verificar

Si í / s i = , / W 2 0 sumandog e S l g ( * ) ^ 0

f(x) + g(x) > 0

( f + g)(x) > 0

=> f + g e H por definición de H

iii) A e R, f e H => A f e H por verificar

Si f e H => f(x) > 0

A. f(x) > 0 si A > 0

X fl[x) < 0 si X < 0, de donde X f e H

por lo tanto H no es un subespacio de V.

Si V = F conjuntos de todas las funciones definidas en R. dem ostrar que el

conjunto de todas las funciones f que satisface la ecuación diferenci

f " ( x ) + 5 f (x ) = 0 es un subespacio de V = F

Solución

Sea H = { f e V I / " ( * ) + 5 / ( x ) = 0}

Probarem os que H es un subespacio de V

i) H * <(> pues contiene a la función cero.

ii) f,g e H => f + g e H por verificar


c . I f e H [ / " ( * ) + / ( * ) = 0^ i => 1 „ sum ando

[ g e H | g (*) + g(-*j = 0

( / " W + g " W ) + ( / W + g W ) = 0

( / + g ) " W + ( / + g ) W = 0

=> f + g e H por definición de H.

iii) A. e R, f € H => A f e H por verificar

Sí f e H / " ( * ) + / ( * ) = 0

=> V " ( x ) + M x ) = A(0)

=> ( A f ) " (x ) + (Af ) (x ) = 0

=> A f e H por definición de H

por lo tanto H es un subespacio de V.

© O O ClSea V = R x el espacio vectorial de todas las matrices de la forma

b adonde a,b son reales cualquiera es un subespacio de V.

Solución

Sea / / = {a b

b a/ a , b e R)

Probarem os que H es subespacio de V.

i) H * (j> pues por lo m enos tiene a la matriz nula.

ii) A ,B e H = > A + B e H por verificar

SíA e H

B e H

A =

B =

a b

b a

c d

d c

A + B =a b c d a + c b + d

+ =b a d c b + d a + c

A p

P *e H A + B e H por definición de H.

iii) U R , A e H = > A A e H por verificar

Sí A e H => A =a b

b a

AA =Aa Ab 'a ' b'~

Ab Aa b' a 'e H por definición de H

Por lo tanto H es un subespacio de V = R 2x2

Sea V = { f : [0,1] -» R / f es una función} el espacio vectorial de las funciones

reales, analizar si el conjunto W = { / e V I / ( —) = ^ es un

subespacio de V.Solución

i) W * (j>, puesto que contiene por lo m enos la función cero.

ii) f,g e W => f + g e W por verificar


o- í / e » rSi r g e W

f ( K / ( 0 ) + / ( D 2 21 /ax sumando

. g ( 0 ) + g ( l )2 2

+ e ( L = / ( ° ) + / 0 ) + g (Q )+ g (D J 2 2 2 2

( / + s X i ) , ( £ l l M ± ( £ l í X ! )

=> f + g 6 W por definición de W

iii) A e R , f e W => A f e W por verificar

Sí f 6 W =>2 2

1 A f ( 0 ) + A f ( \ )2 2

( , l / ) ( l ) ( ^ / X ° ) + ^ / K i )

=> A. f e W por definición de W.

P or lo tanto W es un subespacio de V.

© Dado el espacio vectorial ( R 4 ,+,R,.) investigar si4

S = {(x t , x 2, x 3, x 4) 6 R 4 / x, = 1} es un subespacio de R 4 .í=i

Solución

i) S * <(> puesto que (1,0,0,0) e S

el conjunto

ii) X = ( x l , x 2, x i , x i ) , Y = ( y i , y 2 , y J , y A) e S => x + y e S

por com probar si se cumple

SiX = (x[, x 2,x i , x 4) e S

í , = (.V|,>'2.>'3.>'4)e 5

i=l4 sumando

= i

i=i

X * ' + Z / =i=i i=i

2 * 1

i=i

=> ( x i + y l , x 2 + y 2 , x J + y i , X t + y A) e S

=> ( x l , x 2 , x 3, x 4 ) + ( y i , y 2, y 3,A ) * S

=> x + y í S, por lo tanto S no es subespacio de R 4 .

d) E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S .-

Q Analizar si W es un subespacio de R 3 en cada uno de los siguientes casos:

a) W = { ( x , y , z ) & R 3 ! x = 2y}

c) W = {(*, y, z) e R / x .y = 0}

e) (F = {(V l i ) € / ! 3 / * = y ¡

b) ^ = { ( x , > - , z ) e / ? 3 / x < > ’ <z}

d) W = { ( x , y , z ) z R ^ ! x = y = z)

f) IV = { (x , y , z) e /?3 / k ¡x + k 2 + k 3z = 0, A:, e /?}


5 ) Considerem os 5 = {(*, v) e R 2 / x > y } . investigar si S es un subespacio de

(/?2 ,+ ,/?,.)

C\) Considerem os el espacio vectorial ( R 2,+, R , ) y los subconjuntos

W = {(.r, y ) e R 1 t y = 2.r} y T = {(.y, y) e R 2 I y = .* + 1} averiguar si son

subespacio de R 2

y ) D eterm inar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 2 .

T = { ( x , y ) e R 2 / ( x - y ) 2 = ( x + y ) 2} ; 5 = { (x , y ) e R 2 l ^ + y = x - ^ }

f f ) D eterm inar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 3 , donde:

a) W = { ( x , y , z ) e R* / z = 0} b) W = { ( x , y , z ) e R 3 / z = 3x +y}

c) W = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z a .y = 3}

d) W = { ( x , y , z ) e R / x + 3 y + z = 2}

(*} Probar que S = {(*,, x 2, . . . , x„)e R" / a,x, = 0, a, e /?} es un subespacio

de /? " .

i=i

(? ) D em ostrar que el siguiente subconjunto, definido en la forma:

S = [ ( x , y , z ) e R* / x + y - z = 0 a x + 2 y + 3z = 0} es un subespacio de R 3 .

C onsidérese el espacio vectorial ( R 3,+, R,.) analizar cual de los siguientes

conjuntos son subespacios de R 5 .

150 Eduardo Espinoza Ramm

©

©Í2 ¡

a) S = { (x , .y ,z )e /J 3 / x = y + z} b) W = { ( x , y , z ) e R 3 1 | x + z | = z} l

c) H = {(x, y , z) e R ' / xz = 0}

Sea V -- R r = { / e R r / / : /? —> Z?} espacio vectorial sobre R:

a) Probar que W = {f e V / f es acotada} es un subespacio vectorial de V. 1

b) Probar que W = {f e V / f(-x) = f(x), V x e R} es un subespacio de V. I

c) Probar que W = {f e V / f(-x) = -f(x), V x e R ) es un subespacio de V, w

d) Probar que W = {f e V / f es continua} es un subespacio de V.

¿Cuál de los siguientes conjuntos dados son subespacios de R ” (n > 3)?

a) W = {{xx, x 2 , . . . ,xn ) e R n /x , > 0}

b) W = {(xl , x 2 , . . . , x „ ) s R " / x x + 3 * 2 = x 3}

c) W = {{x x, x 2,...,x „ ) b R ” / x 2 = x ¡ }

A naliza rsi W = {(x, , x 2 , . . . ,x„ ) e R" / x n e Z} es un subespacio de R" . |

Sea V = M 2x2(R) espacio vectorial de m atrices cuadradas sobre R y s c q fl

w \ = { [ a ¡ j ] e M lx2( R ) l a n + a {2 = 0 } , W2 = {[a,y ] e M 2x2{ R ) l a u + a 2l =0)

D em ostrar que IV¡ y W2 son subespacios de V. j

Dado el espacio vectorial ( M 2x2(R),+, R, .). D iga Ud. sí los s ig u ie n tB

a bsubconjuntos: S = {A e M 2x2( R ) / A =

-b c, a , b , c e R}

T = {A<e M 2x2( R ) / A =a 1 + a

0 0a e R } . Son subespacios de M 2x2 ( R)

I s/iacios Vectoriales 151

( m A nalizar sí los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios de R 4 .

S = {(x, y , z , u ) e R 4 / x 2 + y 2 > 0 , x 2 + w < 0 }

T — {(x,_y,z , u ) e R 4 / 2 x - y = u v x - 2 > ’ = z}

( l i'J D eterm inar si los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios.

7’ = {(x1, x 2 , x 3, x 4 ) e / ? 4 / p o r lo m enos en x¡ es cero}

S = { (x ,, x 2, x3, x 4 ) e R 4 / x, x 4 = 0}

(l(>) D em uestrese que los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios.

a) W = { { x , y , z , t ) e R 4 I x + y = 0 , z - t = 0}

b) W = { { x , y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - t = 0 , z = 0}

(l A nalizar cuales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 4 .

a) W = {{x , y, z , u ) e R 4 / | u |> u , x = u}

b) W = { ( x , y , z , u ) e R 4 / x 2 + y 2 + u 2 =0}

( |h) Sea V = {f: [a,b] -> R / f es continua} el espacio vectorial de las funciones

continuas analizar si S = { / 6 V I f ( x ) d x * 0} es un subespacio de V.

U <*) D em ostrar que (S,+ ,R ,.) es un subespacio de R , siendo S el conjunto de las

matrices triangular superior.

Sea el espacio vectorial ( R r ,+, R, ) donde R r = { / € R r / / : R —> R } .

Averiguar cual de los siguientes subconjuntos de R r son subespacios

vectoriales.

1)1 !a) W = { f e R r / / (O ) + / ( l ) = 0} b) W = { f e R r / / ( O ) = /( ! )}

c) W = { f e R R / J \ x ) > 0}

d) W = { f e R R / f ( x 2) = ( f ( x ) ) 2 }

e) W = { / e R r / / ( 3 ) = l + / ( - 5 ) }

(2?) Dem ostrar que S = {(z, w) e C 2 / Z = ¡u’} es un subespacio de (C 2 ,+, C,.) • ■

(22^ Considerando (C " ,+ , /?,.) el espacio vectorial de los pares ordenados d f l

núm eros com plejos sobre el cuerpo de los reales, investigar si los siguiente®

conjuntos son subespacios del mismo.

a) S = {(z,w) e C 2 / z 2 + u 2 = 0} b) S = { ( z , u ) e C 2 1z + 2u e R]U

c) 5 = }(z , m) e C 2 / Re( z ) = Re(«)}

d) 5 = { ( z , « ) e C 2 / I m( z ) = 0 a R e (z -w ) = lm(z)}

(23) Sean F¡ y V2 dos vectores en R 2 . D em uestre que—> —> ► —■>

H = {V /V = a V l + b V 2 ', a ,b e /?} es un subespacio de R 2

(24) Sean , F2 , . . . , Vn vectores arbitrarios en un espacio vectorial en V. Sea

H = {V e V / V = a¡ V¡ + a 2 V2 + ... + an V„; a¡,a2,...,a„ e R} D em uestre que h ]


(25) Sea H = {(x, y , z, w) e R 4 / ax + by + cz + dw = 0} donde a, b, c y d son núm eros

reales no todos nulos. D em uestre que H es un subespacio propio de R 4 (a H se]

le conoce com o un hiperplano en R 4 ).

152__________________________ Eduardo Espinoza Ru vicios Vectoriales 153

Sea H - { x t , x 2,...,x„ s R n / a]x l + a 2x2 +... + a„xn =0} donde a},a2,:..,an son

núm eros reales, no todos nulos. Dem uestre que H es un sub-espacio propio de

R" (a H se le conoce com o un hiperplano en R" ).

Si A es una matriz de orden nxm y H = {x e R m / Ax = 0} D einuestr que H es

un subespacio de R"‘ (a H se le conoce com o el núcleo de la matriz A)

Indicar si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los

espacios vectoriales que se indican en cada caso.

a) W = { (jc, _y) e R 1 1 x > 0 e y > 0} de R 2

b) W = { ( x , y , z ) e R i / x 2 + y 2 - z = 0} de R 3

de R 2

R p ta . N o son subespacios vectoriales.

c) W = { ( x , y ) & R 2 ! e x + y = 0} de R 2

\.H. OPERACIONES CON SUBESPACIOS.-

a) IN T E R S E C C IÓ N DE SU B -E SPA C IO S.- Sea {5,} lW una familia de

subespacios del espacio

vectorial (V,+,k,.), a la intersección de dicha familia de subespacios

denotarem os por S = •

¡=i

T E O R E M A .- La intersección de toda familia {S,},e/ de subespacios del

espacio vectorial (V ,+,k,.) es un subespacio de V.

D em ostración

Sea S = P ' j S¡ la intersección de la familia de subespacios de V.

154 Eduardo Espinoza Ramúñ

Probarem os que (S,+,k„) es subespacio de (V ,+,k,.)

i) 0 e S ¡ , Vi por ser subespacios de V entonces 0 e S¡ =

definición de intersección de donde S * <(>.

¡i) x, => x + y e S = S¡ po rp ro b a r

i=i

<=i i = i

Sí x e S a y € S => x e f ' j s , a y e , V i e I

<=i i=i

=> x e S¡ a y e S¡¡, V i e 1

=> x + y e S j , Vi por ser subespacios

=> x + y e , , = S definiendo n

í=i

Luego x + y e S

ii¡) X e k, x e S = => A x e S = por probar

/=! i=l

Si x e S = S¡ , Vi =í> x e S ¡ , Vi, definiendo n

=> Ax e S¡ por ser subespaciosi=i

Ax e S¡ = S definiendo n

i=ipor lo tanto X x e S

Luego S = es subespacio de V

S por

tu/lacios Vectoriales 155

E jem plo .- En el espacio vectorial ( R 2,+,R,.) considerem os los subespacios

T = { ( x , y , z ) e R 3 / z = 0} y H = { ( x , y , z ) e R i / x - 0 } , la

intersección de estos subespacios es: T n H = {(x, y , z) e R' / x = 0 a z = 0}

esto significa que los puntos genéricos de T a H es (0,y,0) es decir

T n H = { (0 ,> ',0 )s /? 3 / y e R } = e j e Y

E jem plo.- W es un subespacio de V <=>

i) 0 e W (W * <(>) y

ii) v,w e W => av + bw e W, V a,b e k

Solución

=>) Como W es un subespacio de V => 0 e W por que todo subespacio

contiene al cero v,w e W y a,b e k => av e W, bw e W (por la

condición (ii) de subespacio) entonces av + bw e W.

se cum ple (i), (ii)

<=) Supongamos que W cum ple i) y ii) =>

i) O e W => W * <)>, Sí v, w e W = > v + w = l . v + l . w e W por (ii) d

v + w e W

S í v e W y l s k X \ = A,v + Ov e W por (ii) => X \ e W

Luego W es un subespacio de V.

E jem plo .- Sean U y W dos subespacios de un espacio vectorial V=> U n W

es tam bién un subespacio de V.

Solución

Com o U y W son dos subespacios d e V => O e U y 0 e W (por que todo

subespacio contiene al cero)

=> O e U n W . . . ( 1 )

Sean v,w e U n W => v,w e U a v ,w e W

=> av + bw e U a av + bw e W, V a,b e k

puesto que U y W son subespacios

=> au + b w e U n W , por lo tanto

U n W es un subespacio de V.

b) U N IÓ N D E SU B E SP A C IO S .-

Si T y H son dos subespacios de (V ,+,k,.) entonces T u H no

necesariam ente es subespacio de V, esto la ilustrarem os con el siguiente

ejem plo, considerem os el espacio vectorial ( R 2,+,R,.) y los subespacios

T y H que se m uestran en la figura.

\¡>acios Vectoriales 157

Tenem os que x e T => x e T u H

y e T => y e T u H

pero x + y í T u H

con el cual se tiene que T u H n o necesariam ente es un subespacio.

c) SU M A Y SUM A D IR E C T A D E SU B -E S PA C IO S.-

D E F IN IC IÓ N .- Sean y W2 dos subespacios de (V,+,k,.).

Se llam a la sum a de los subespacios W¡ y W2 al

conjunto definido por:

W = W, + fV2 = {x e V / x = X] + x 2 , Xj e W¡ a x 2 e W 2)

T E O R E M A .- La sum a de dos subespacios de (V,+,k,.) es un

subespacio de V.

D em ostración

Sean W¡ y W2 dos subespacios de (V ,+,k,.) debem os probar que

W = W¡ + W2 es un subespaeio de V

i) Q ue W * <|), pues

OefV, a 0 e lV 2 => 0 + 0 = 0 e Wx + W 2

=> 0 e W => W*<|>

i¡) Sí x , y e W = WX+ W 2 => x + y e W = Wx + W 2

\ x e W = W\ +W2 ¡ x = x i + x 2> x \ e t v x A * 2 e W 2 .

158 Eduardo Espinoza Ramc

\ y e l V = W{ +W2 {y = y, + y 2 , y, e Wx a y 2 e W2

X + >' = ( x , + > ' 1) + (^2+>' 2) . x l + y l e W l A X2 + y 2 e W z

por lo tanto x + y e W = WX + W2

iii) A. e k, x e W = WX+ W 2 => A x e .W = Wx + W 2

U k a x e W => A e k a x = x x + x 2 , x x e f V x a x 2 e W 2

=> Ax = Axx + Áx2 , Axx e f V x a Ax2 e f V 2

=> Á x e . W - W x + W 2

Luego W = Wx + W2 es un subespaeio de (V,+,k,.)

E jem plo .- En el espacio vectorial ( R 3 ,+, R,.) considerem os los subespacios

W, = { (x lt0 , z , ) e R 3 / x , , z , e R } y W2 * { ( 0 , y 2, z 2 ) e R 3 / y 2 , z 2 e R }

entonces el subespaeio suma:


W = Wx + W2 = {(x, y, z) e R 3 / ( x ,y, z) = (x ,,0, z ,) + (0, y 2, z 2) é W,

( x , 0 , z x) e Wx y (0 ,y 2 , z 2) g W2 í

es decir que está form ado por todos los térm inos de la forma

( x , y , z ) = ( x 1, y 2 , z ¡ + z 2) es decir que es R 3 luego W = W¡ + W2 = R 3

D E F IN IC IÓ N .- Sea V un espacio vectorial sobre k, Wx y W2 dos

subespacios de V, direm os que V es la sum a directa de

Wx y W2 sí:

i) V = Wx + W 2 ii) Wx n W 2 = {0}

y denotarem os por W¡ (BfV2 - V . En resumen:

V = Wx © W2 = {u + v / u e Wx a v e W 2} y W¡ n W 2 - { 6 }

En general V * W¡ © W2

160 Eduardo Espinoza Kamo.1

¡os

,arE jem plo .- En ( R 2,+,R,.) considerem os los subespacios §

W \ = { ( x , y ) e R 2 ¡ y = x} y W2 = { ( x , y ) e R 2 / y = - x \ probi

que R 2 =W, ® W 2 .

Solución

i) Todo elemento (x , y ) e R 2 se puede expresar com o :

( , , J ) = (£ ± Z , ^ Z ) + ( £ Z Z , Z ^ )

es decir: R 2 = ÍVl + W2 obsérvese que

y ( ^ Z , ^ ) e W 2

ii) Ahora probarem os que Wx n W 2 = {(0,0)} com o {(0,0)} c W¡ n W2

siem pre se cumple

sea ( x , y ) e W ] n W 2 => ( x , y ) e f V : a ( x , y ) e f V 2

=> y = x a y = -x

de donde x = y = 0 => (x,y) e {(0,0)}

Luego Wx n W 2 c {(0,0)} Wx n W 2 = {(0,0)}

por la parte (i), (ii) y la definición se tiene: R 2 = ® W 2

E jem plo .- En ( R 2,+,R,.) considerem os los subespacios

W, = { ( x , y ) e R 2 / y = 0} y W2 = { (x , y ) e R 2 / x = 0} p robar]

que R 2 = W X ® W 2 .


Solución

i) Probarem os que R 2 = Wx + W 2

para esto, todo elem entos (x, y ) e R 2 , se expresa como

(x,y) = (x,0) + (0,y) se observa que:

R 2 = W X+ W 2 y (x,0) e W¡ a (0 , y ) e R 2

ii) Sea (x, y ) e W l n W 2 => (x , y ) e W¡ a (x, y ) e W2

=> y = 0 a x = 0

=> (x,y) = (0,0)

de donde W¡ r \W 2 = {(0,0)}

por lo tanto de (i), (ii) y la definición R 2 = Wx © W2

E jem plo .- En ( R 3,+, R ,.) considerem os los subespacios

w \ = { ( x , ^ , z ) e / ? 3 ! y = 0} y W2 = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z = 0}.

D em ostrar que R 3 = © W2 .

Solución

i) Todo elem ento (x, y , z ) e R 3 se puede expresar como

(x,y,z) = (x,0,z) + (0,y,0) donde (x ,0 ,z ) e W, a (0 ,y ,0 ) e W2

R 3 = W , + W 2

ii) Sea (x, y, z ) e W¡ n W 2 => (x, y , z ) e f V , a (x, y, z) e W2

í ( x , y , z) € W,Sí \ => (x,0,z) = (0,y,0) => x = y = z = 0

[ ( x , y , z ) e W 2

Luego (x,y,z) = (0,0,0) => W¡ n W 2 = {(0,0,0)}

por la parte (i), (ii) y la definición. .'. R 3 = W¡ © W2

E jem plo .- En ( R 3,+,R,.) considerem os los subespacios

W, = { ( x , y , z ) e R 3 / x = 0} y W2 = { ( x , y , z ) e R 3 1 y = 0}

¿ R 3 = W, 0 W2 ?

Solución

i) Todo elem ento (x, y , z ) e R 3 se puede expresar como

(x, y , z ) = (0, y , ) + (x, 0, ~ ) donde R 3 = W¡ + W2

ii) Sea a e R 3 => a = (x,y,z) de donde

a e W¡ n W2 => a eW¡ a a e W2


a eW, Sí 1

[ c c e W 2

a = (0 , y , bde donde

a = (x ,0 , - | )

(0 ,> -,^ ) = ( x , 0 , | ) => x = y = 0, z = z

Luego a = (0,0,z) = z(0 ,0 ,1) => V z í O

a * (0,0,0) => Wy n W 2 * {(0,0,0)} por lo tanto R 3 * W ¿ ®tV2

I lacios Vectoriales 163

E jem plo .- Sea V = { / / / : R -> R) el espacio vectorial de todas las

funciones de R en R. Sea Vp = { / e V / / ( - x ) = / ( x )} el

subespacio de todas las funciones pares y

Vi = { / e V / / ( - x ) = - / ( x ) } el subespacio de todas las

funciones impares. Com probar que V - Vp © V¡

Solución

i) D ebem os probar que V = Vp +V¡, esta condición se cum ple del hecho

que cualquier función de R en R se puede expresar como:

f ( x ) = I [ /(X ) + / ( - x ) ] + 1 [ /(X ) - / ( -X ) ]

donde ^ [ / ( x ) + / ( - x ) ] es una función par, y - ^ [ / ( x ) - / ( - x ) ] es una

función impar. Por lo tanto V = Vp + V¡

ii) Probarem os que Vp n V¡ = {&)

Sea f e V p n V ¡ => f e V p a f eV¡

=> f(-x) = f(x), V x e R a f(-x) = -f(x), V x e R

=> 2f(-x) = 0, V x e R => f = 0

por lo tanto Vp n V¡ = {0}

Luego de (i) y (ii) y la definición V = Vp © V¡

164 Eduardo Espinoza Rann

E jem plo .- Sea V = {A = [a¡j ]nxn / a¡j e R} el espacio vectorial de la

matrices cuadradas sobre el cam po R y co n s id erem o i

U = {A e V / A = A 1} , el espacio de las matrices sim étricas y

W = {A <=V / A = - A 1} el subespacio de las m atrices j

antisim étricas. D em ostrar que V = U © W

Solución

i) D em ostrem os que V = U + W

Sea A una matriz arbitraria de orden n, a la m atriz A es posible expresarla)

com o

A = - ( A + A‘ ) + - ( A - A ' )2 2

donde probarem os que ^ ( A + A ' ) e U y ~ ( A - A 1) e W es decir

[ L ( A + A ' ) f = ± [ A ‘ + ( A ‘y ] = ^ ( A + A ‘ )

Luego - i (A + A l ) es sim étrica => ^ ( A + A ‘ ) e U

= ^ [ A ‘ - ( A ! y ] = ~ ( A - A f )

Luego (A - A 1) es antisim étricas => ~ ( A - A1) e W de donde V -U + W j

H) D em ostrarem os que U n W = {0}


Sea A e U n W => A e U a A e W

=> A = A ‘ a A = - A '

=> A = A ‘ a A ~ - A 1

=> A = 0 Luego U n W = { 0 J

Luego de (i) y (ii) y la definición: V = U © W

N O TA .- Extenderem os la definición de la suma de subespacios al caso en que

n > 2.

D E F IN IC IÓ N .- La sum a de los subespacios W¡ , W2 Wn de (V ,+,k,.) es el

conjunto

n nW = W, + W 2 + ... + WN = ^ W , ■ = { x e V / x = ' £ x i a x¡ eW¡}

1=1 Z=1

n

Luego resulta que W = ^ W¡ un subespacio de (V ,+,k,.) además, si tales í=i

subespacios son disjuntos dos a dos, ósea i * j => Wt n Wf = {6\ entonces

direm os que W es la sum a directa de ellos, y escribirem os

W = Wi ® W 2 ® W i ®. ..@W„

T E O R E M A .- Sean V un espacio vectorial sobre k, V¡ y V2 subespacios sí

y sólo sí para todo a e V, se puede expresar de m odo único en

la forma a = a , + a 2 donde a¡ eV¡ a a 2 e V 2 .

D em ostración

=>) Supongamos que V = V , ® V 2 => i) V = V¡ + V2 , ii) V, n V2 = {0}

Sea a e V ¡ + V 2 => 3 a , e F , a a 2 e V 2 tal que a = a x + a 2M

deseam os dem ostrar que a = a[ + a'2 donde a[ eV¡ a a'2 e V2

=> a ¡ + a 2 = a¡+ a2 => a x-a [ = a '2 - a 2

com o a l , a [ e V l => a ¡ - a [ e V l (pues K, es un subespacio de V) 1

a 2,a'2 e V 2 => a 2 - a 2 e V 2 (pues V2 es un subespacio de V)

=> a x - a [ = 0 a a'2 - a 2 = 0 => a = a \ a a 2 = a 2

Luego a e V = V¡ + V2 tiene una representación única.

<=) Sea a e V a = a¡ + a 2 donde a ¡ eV¡ a a 2 e F2 esto se ]

representa de m odo único.

v = v + 0 donde v e V ¡ a O e V 2 a v = 0 + v donde

0 e V¡ a v € V2 => com o una suma para v es única => v = 0 :

F| r \V 2 = {0} entonces V = V¡ ® V2

E jem plo .- Sean

U = { (x , y , z) e R 3 / x + y + z = 0} , V = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z } ,

W = {(0,0, z) e R 3 / z e R) sub espacios de R 3 .

Probar que i) R 3 = U + W ii) R 3 = V + W iii) R 3 = U + V

¿ R 3 = U @ W ? ¿ R 3 = V ® W ? ¿ R 3 = U ® V ?

Solución


i) U = { ( x , y , z ) e R 3 / x + y + z = 0}, W = {(0,0,z) e R 3 / z e R)

Sea a e R 3 => a = (x,y,z) que se puede expresar como:

a = (x,y,z) = (x, y, -x - y) + (0, 0, x + y + z) y com o

(x, y, -x - y) e U a (0, 0, x + y + z) e W entonces R 3 = U + V

Sea a e U n W => a e U A a e W => x + y + z = 0 A x = y = 0

=> 0 + 0 + z = 0 => z = 0

=> a = (0,0,0) luego U n W = {(0,0,0)}

.-. R 3 = U ® W

ii) V = { { x , y , z ) e R 3 l x = z) y W = {(0,0,z ) € R 3 / z e R}

sea a e R 3 a = (x,y,z) = (x,y,x) + (0,0,z - x)

donde (x,y,z) e V a ( 0 ,0 ,z - x ) e W entonces R 3 = V + W

Sea a e V n W => a e V a a e W de donde

x = z a x = y = 0 => x = y = z = 0

entonces a = (0,0,0) luego V n W = {(0,0,0)}

R 3 = V @ t V

iii) U = {(jc, y , z ) e R 3 / x + y + z = 0} y V = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z}

Sea a e R 3 => a = (x,y,z) = (0, x - z, z - x) + (x,y - x + z,x)

Donde (0,x - z,z - x) e U a (x,y - x + z,x) e V

Entonces R 3 = U + V

Sea a e U n V => a e U a a e V

=> x + y + z = O A x = z

=> 2x + y = O => y — -2x

como a = (x,y,z) = (x,-2x,x) = x( 1,-2,1)

V x ^ O => a * (0,0,0) => U n V * {(0,0,0)}

por lo tanto R 3 * U © V

E jem plo .- Supongam os que U, V y W son subespacios de un espacio

vectorial, probar que: ( U n V ) + ( U n W ) c U n ( V + W ) í

Solución

(U n V) + (U n W ) = {u + v / u e U n V a v e U n W}

sea a e (U n V) + (U n W ) => 3 u e U n V y v e U n W / a = u + v

\ u e U r > V [u e U a u e Vcomo

v e U n W v e U a v e Wu + v e U a u + v e V + W

=> u + v e U n (V + W ) => a e U n (V + W)

de donde ( U n V ) + ( U n W ) c U n ( V + W )

3.9. COMBINACIONES LINEALES.-

D E F IN IC IÓ N .- Sea (V ,+,k,.) un espacio vectorial y A * <(> donde

A = {Vj , v2 v„ } c= V una familia o conjunto de vecto res |

de V, llam arem os com binación lineal de elementos de A. a todo vector de la

forma a,v,. = a¡v¡ + a 2v2 +... + a„vn, a¡ e k , v¡ e Ai-1

/ \pacios Vectoriales 169

D E F IN IC IÓ N .- Diremos que el vector v e V es una com binación lineal de

los elem entos de A, si existen escalares a¡ , a 2 e k ,

tal que

E jem plo .- Sea ( R 2,+,R,.) un espacio vectorial, expresar en cada caso, si

es posible, el vector v com o com binación lineal de v , , v2 donde:

1) v = (72 ,-1 ), v, = (73,2), v2 = (-76 ,2)

Solución

v es combinación lineal de v, y v2 si existen a, (i e R tal que

v = av, + pv2 ósea

(72,-1) = «(73,2)+ (-76 ,2)

(7 2 ,- l) = (73«-76 /? , 2 a + 2/3) de donde

2 7 2 - 7 6

7 3 a - y fb p = \¡2

2a + 2p = - \

a -2(73 + 76)

2 7 2 -7 3 2(73 + 76)

Luego el vector v se puede expresar como combinación lineal de los vectores y v2.

272 - 76 272 - 73V = ---- -7=----- =r- V, H-------= ----- = - V-,

2(73+76) 2(73+76)


2) v = (2,4), v, = ( -1 ,3 ) , v2 = (2 ,-6 )

Solución

v es com binación lineal de los vectores v, y v2 si existen a,p e R tal

que v = av, + /3v2 ósea: (2,4) = a ( 1 -,3) + P(2,-6)

(2,4) = ( -a + 2p, 3 a - 6P) de donde

- a + 2/7 = 2

3c t - 6/} = 4

-2>a + 6J3 = 6

3 a - 6 / ? = 4

0 * 10

Luego 2 a,p e R tal que v = arv, + /3\'2

Por lo tanto v no se puede expresar en com binación lineal de los vectore

v, y v2 .

E jem p lo .- Sea (R 2x2 ,+, /?,.) el espacio vectorial de las m atrices de orden 2,|

y considerem os las matrices A =1 0" "1 0 ‘

, B =0 1 1 0

C =0 o

1 1

la m atriz nula N.

. Determ inar todas las com binaciones lineales de A,B y C que den

Solución

Debem os de obtener a ,P y y en R, tales que: a A + pB + yC = N o sea

, efectuando la multiplicación'1 0'

+ P'1 0‘ '0 on '0 0'

a + y =0 00 1 1 0 1 1

a 0 P 0 0 0 0 0+ + —0 a ¡i 0 7 y 0 u J

efectuando la sum a

/ * parios Vectoriales 171

a + P 0 _0 0'P + y a + y 0 0 por igualdad de matrices

a + p = 0P + y = 0 de donde a = p = 0

a + y = 0

Luego la única com binación lineal que satisface la relación propuesta es la

trivial

l u o . CONJUNTO DE COMBINACIONES LINEALES.-

Sea A * (|) un conjunto de vectores de (V,+,k,.) ahora form arem os el

subconjunto de V cuyos elem entos sean todas las com binaciones lineales de los

vectores de A, a este conjunto denotarem os con el sím bolo A , que se lee “A

raya”

Si A = {v¡, v2 v „} un conjunto de vectores de V entonces A se escribe así:

E jem plo .- El conjunto de todas las com binaciones lineales de los vectores

v, = (1,—2,0) y v2 = (2 ,-2 ,-1 ) de R 3 es

A = {a(l, - 2 ,0 ) + p( 2 , - 2 , -1 ) / a , p e R]

O s e a A = {(a + 2 p , - 2 a - 2 p , ~ p ) / a , p e. R}

Com o A e R 3 => (x , y , z ) e A de donde (x,y,z) = ( a + 2p, -2 a - 2p, -P)

172 Eduardo Espinoza Hu mot

a + 2(5 = x

• - 2 a - 2/? = y => <

- P = z

de donde 2x + y + 2z = 0 por lo tanto A = { ( x , y , z ) e R? I 2 x + y + 2 z = 0} j

T E O R E M A .- Sea (V ,+,k,.) un espacio vectorial y >4 = {v1,v 2 ,...,v„} c V i

dem ostrar que el conjunto de las com binaciones lineales de la I

fam ilia de vectores de A es un subespacio del m ism o es decir (A ,+ ,k ,.) es un

subespacio de V.

D em ostración

i) Siendo = l.v, + 0 .v 2 + ... + 0.v„ es decir v, e A => A*<¡>.

ii) Poí definición se tiene:

nv e A = > 3 a¡ , a 2, e k / v = ' ' y ' a iv\ a v¡ e A

i=i

n=> v = ^ a¡ v, a a , e k a v¡ e V , puesto que A c V

í=i

Luego v e /í => v e V, Por lo tanto A cz V

iii) Si u , v e A => « + v £ ^ por probar

n

1=1 entonces:

2 a + A p = 2x

- 2 a - 2 p - y

- 0 = z

2 f i = 2x + 7

- 2 z = 2x +

P\ parios Vectoriales 173

n n

^ A v, = 2^ («, + P i > i ~ ™ => u + v e Aí=1 (=1 i=1 i=l

iv) Si a e k , v e ^ => a v e A por probar

nS í a e k a v€ í4 => a e k a v = ^ a ; vf

i=i

Al »

=> a v = a i « ,v, = ^ ( a « i ) V ;1 = 1 / = 1

n

=> a v = ^ ' $ v, => a v e Aí = i

por lo tanto (A +, A,.) es un subespacio de V.

A l l . SUB-ESPACIO GENERADO.-

a) D E F IN IC IO N .- Sea V un espacio vectorial sobre k y A c V un

subconjunto de V no vacío, el conjunto de todas las

com binaciones lineales de un núm ero finito de elem entos de A es un

subespacio de V y se denom ina el subespacio generado por A y se denota

por:n

L ( A ) = a,v , / a ¿ e k, v¡ e A}¡=i

Si A es finito, por ejem plo A = {v,, v2 v „ } decimos que U = L(A) es

un subespacio finitam ente generado.

174 Eduardo Espinoza Ramoí

E jem p lo .- En el espacio vectorial ( /? \+ , /? „ ) considerem os A = {(1,2,-1

(3,0,1)}, hallar el subespacio L(A).

Solución

Sea A = {v ,, v2} donde v, = (1,2,—! ) , v2 =»(3,0,1)

IM ) = {«v, + P » 2 ! a , f i s R ) = {a(l,2,-l) + P (3 ,0 ,l)/a ,P 6 R}

com o L ( A ) c z R 3 entonces (x,y,z) e L(A)

^ (x,y,z) = a ( l ,2 , - l ) + p (3 ,0 ,l) = ( a + 3p, 2 a , - a + P) de donde

a + 3/) = x

2 a = y

- a + P - z

- + 3 P = x

- U p = z 2

=> x - 2y - 3z = 0

Luego L(A) = {(*, y , z ) e R 3 / x - 2 y - 3z = 0}

E jem plo .- Determ inar el subespacio de (/?3,+, R, ) generado por la fam i‘‘J

A cuyos elem entos son los vectores v, = (2,1,2) y v2 = (1,2,1).

Solución

¿( A) = {av, + P»2 l a >P* R } = {«(2,1,2) + « 1 ,2 ,1 ) / a ,p e R}

com o L(A) cz / f 3 => (x,y,z) e L(A) entonces:

(x,y,z) = a (2 ,l ,2 ) + P( 1,2,1) = (2 a + p, a + 2p, 2 a + P) de donde

x = 2 a + Py = a + 2P => x = z , y 6 R

\/>acios Vectoriales 175

Luego el espacio generado por los elementos A es:

L{A) = { ( x , y , z ) e R \ ' x = z}

E jem plo .- Dem ostrar que los siguientes conjuntos de vectores de

R l generan el mismo subespacio A = {(1,0,-1), (0,-2 ,l)} ,

B = {(1 ,-2,0), (2,-2,-1)}

Solución

Por dem ostrar que L(A) = L(B)

A genera el subespacio L(A) de R 3 entonces:

L(A) = { a ( l ,0 ,- l) + P (0 ,-2 ,l) / a , p e R}

Com o L(A) c 5 3 => (x ,y ,z)e L(A) de donde (x,y,z) = a ( l , 0,-1) + P(0,-2,1)

(x,y,z) = (a , -2p, - a + p) por igualdad se tiene:

x = a

y = - 2 p

z = - a + p

x = a

y n \ x + — +Z = 0=> -I 2

z = - a + p[2x + y + 2z - 0

Luego L(A) = { ( x , y , z ) e R } / 2x + y + 2z = 0} ...(1 )

B genera el subespacio L(B) de R 3 entonces

L(B) = { a(l,-2 ,0 ) + P (2 ,-2 ,-l) / a , p e R}

Com o L(B) c R 3 => (x,y,z) e L(B) entonces

(x,y,z) = a ( l,-2 ,0 ) + p (2 ,-2 ,-l) = ( a + 2p, -2 a - 2p, -p}, por igualdad se tiene:


x = a + 2 f i

y = - 2 a - 2 f S

z = - P

x = a + 2 P

§ — /»

z — P

x + — + z = 0 2

2x + y + 2z = 0

Luego I ( 5 ) = { ( x , j , z ) e / ? 3 / 2 x + _v + 2z = 0} -..(2 )

Por lo tanto de (1) y (2) se tiene: L(A) = L(B)

E jem plo .- Hallar un vector en R 3 que genera la intersección de U y W

donde U es el plano XY: U = {(x,>»,0) e R 3 / x , y e R] y W es

el espacio generado por los vectores (1,2,3) y (1 ,-1,1)

Solución

Sea (x,y,z) e U a W => (x,y,z) e U a (x,y,z) e W => z = 0 y com o

(x,y,z) = (x,y,0) e ' W => (x,y,0) = a ( 1,2,3) + P( 1,-1,1)

(x,y,0) = ( a + p, 2 a - p, 3 a + P) de donde

x + y = 3 ax = a + P

y = 2 a - p =>

0 = 3 a + P 3 a + /? = 0

= ax + y

3P = - 3 a

(x, y , 0) = ^ (1 ,2,3) - ( x + >>)(1, -1 ,1)

x + y 2 , . .= (— i - j c - y , - ( x + y ) + x + y , x + y - x - y )

= [ - - ( * + y l - (* + y ). 0] = ( -2 ,5 ,0 ) = a = ( -2 ,5 ,0 )3 3 3

El vector que genera la intersección de U y W es (2,-5,0).

/ x/iacios Vectoriales 177

b) P R O P O S IC IÓ N .- Sea el espacio vectorial (V,+,k,.), A * (|>,

^ - { vi»v2>—, v „ } c : F Y {w«}«e/ una fam ilia de

subespacios tales que / i c w , , para todo i e I, entonces: ¿ ( / í ) = f h

ielD em ostración

i) Probaremos que ¿ ( / í ) = o

iel

sea v e L(A), entonces existen escalares a , , a 2,.. .,a „ e k tal que:

y = y ^ « ; Vy , Vy e / 1 , V j = l,2 ,... ,n

y=i

pero como ^ c w,., V i 6 I, Vj = l ,2 ,... ,n

n

=> v = ^ « y v7 ; v „ v 2.....V .6W ,., V i e l

7=1

v e w ,, V i e I => v e w, => ¿ (> 4 )c O

ie/ í€/

ii) Ahora verificarem os que p | c L(A)

iel

A cL (A ), en efecto, para v y e A , j = l , . . . ,n se puede escribir siempre:

Vj = O.v, + ...+ 0.vy_i + l . v y + 0 .Vy+1 + ... + 0.vn , V j = l,2 ,... ,n

=> A c L(A) => H A ) = wio para algún i0 e /

178 Eduardo Espinoza Ramm

=> P'j h> c w¡ = L(A) => p j w, c L(A)

ilei /e/

Luego de (i) y (ii) se tiene: L(A) = n-/e/

O B S E R V A C IÓ N .- A la proposición que se dem uestra tam bién podemflB

enunciar diciendo que L(A) es el m enor de todos i H

subespacios que contiene a A. |

3.12. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL.-

a) D E F IN IC IÓ N .- Un conjunto de vectores { r , , v2 ,..., v„} * <j> de n |H |

espacio vectorial V sobre un cam po k, direm os que e f ln

linealm ente (l.i) sí y sólo sí a ivi = 0 => á [ = 0 , V i = 1,2,.. .,n 1 M

í=i

Si { v ,,v2 ,í..,v„} no cum ple esta condición direm os que { v |,v 2,...,v„j

es linealmente dependiente (l.d) es decir:

n''J T a¡v¡ = 0 y a i 0 para algún i entre 1 y n .

i=i

E jem plo .- Determ inar la dependencia o independencia lineal de loíj

siguientes conjuntos de vectores:

1) V = R 2 , k = R, v , = ( 2 , 4 ) , v2 = (0 ,3 )

Solución

Sea av l + b v2 = (0 ,0 ), la com binación lineal

\spacios Vectoriales 179

a(2,4) + b(0,3) = (0,0), de donde (2a, 4a + 3b) = (0,0)

Í2a = 0 a = 0por igualdad se tiene: < =>

[4 a + 3¿ = 0 4 a + 36 = 0 => b = 0

com o a = b = 0 por lo tanto v¡ = (2 ,4 ) , v2 = (0 ,3) son l.i

2) F = * \ k = R , v, = (1 ,3 ,7 2 ) , v2 = ( 0 ,0 ,0 ) ,v3 = (1 ,0 ,1 0 )

Solución

ov¡ + bv2 + cv3 = (0,0,0) la com binación lineal

a (l, 3 ,7 2 ) + ¿»(0,0,0) + c ( ~ , 0,10) = ( 0 ,0 ,0 ) , de donde

(a + , 3a, \Í2a + 10c) = (0 ,0 ,0 ) , por igualdad

■ 3a = 0 • => c = 0

7 2 a + 10c = 0 ¿ * 0

com o a = c = 0 y b * 0 por lo tanto: v , , v2 , v3 son l.d.

O B S E R V A C IÓ N .- Toda combinación lineal que contiene al vector cero es

l.d.

3) F = J ? 3 , k = R, v, = (1 ,2 ,-3 ) , v2 = (2 -1 ,1 ) y v3 = ( - 1 ,8 -1 1 )

Solución

180 Eduardo Espinoza Ra

ov, + /A'2 + yv} = (0,0,0) la com binación lineal:

a ( 1,2,-3) + P (2 ,- l ,l) + y (-l,8 ,-l 1) = (0,0,0), de donde:

( a + 2p - y, 2 a - p + 8y, -3 a + P - 1 ly) = (0,0,0), por igualdad se tiene:

a + 2 B - y =0 , a = ~ —0r ' a 0 « + 15/? = 0 2

2 a - B + 8 y = 0 =5 .- 3 a + p - l l y = 0 p

- 3 a + / ? - l l r = 0 1 ^

para P = -2, a = 3, y = -1 luego 3v, - 2v2 - v3 = (0,0,0)

por lo tanto son l.d.

4) V = C 2 , k = C, a ,;= (i,0) , a 2 = ( 0 , / ) , i 2 = -1

Solución

Sea a e V = C 2 => a = (u,v) pero u,v € C entonces

u = a + bi y v = c + di con a,b,c,d e R => a = (a + bi, c + di) como

a , = ( / , 0 ) , a 2 = ( 0 , í ) e C J => a , = (0 + /, 0 + 0./') y a 2 = (0 + 0./, 0 + / )

O e C 2 => 0 = (0 + O.i, 0 + O.i)

Sea la com binación lineal: a a { + b a 2 = (0 ,0 ), con a,b e C

=> ( a x +¿>1/)(/,0) + («2 + ¿ 20(0,1) = (0 + 0./, 0 + 0,/)

=> ( a xi — bx, 0) + (0, a 2i - b 2 ) = (0 + 0 j , 0 + 0./)

=> (a xi - b x, a 2, - ^2) = (0 + 0 J > 0 + 0./')

=> a x. i - b x = 0 + 0./' a a 2i - b 2 = 0 + 0./'

a , = 0 , a 2 = 0 , Z>2 = 0 , bx = 0 de donde a , , a 2 son l.i


E jem plo .- En el espacio vectorial de funciones (R R ,+, k,.) el conjunto de

funciones es \ e ‘ , e 2' } , determ inar si son linealm ente

independiente.

Solución

a e ' + f i e2' = 0 , la com binación lineal

com o a e ‘ + P e21 = 0 , derivando se tiene: a e ‘ + 2 p e 2' = 0

resolviendo el sistema a = p = 0

por lo tanto {e ' , e 2' } son linealm ente independiente.

E jem plo .- En ( R r ,+,R,.) donde I = [0,1] determ inar si los vectores

v, = se n / y v2 = c o s t son linealm ente independiente.

Solución

f a sen t + p eos t = 0 a v x + p v 2 = 0 , la com binación lineal i , derivando

[ a eos t - p sen t = 0

ahora resolviendo el sistem a se tiene:

a =

0 eos t

0 - sen t 0-0

sen t eos t

eos t - sen t-sen 2 f - c o s 2 t

= 0

P =

se n i 0

COSÍ 0

se n / COSÍ

co s í -- s e n í

0-0

- s e n 2 t - eos2 1= 0

Luego la única solución es: a = p = 0

Por lo tanto {sen t, eos t} es linealmente independiente.

E jem p lo .- Sabiendo que dos vectores V] y v2 son linealm e

independiente en (V\+,k,.) dem ostrar que v, + v2 y v2s<

linealmente independiente.

Solución9

Considerem os la com binación lineal de la fam ilia de vectores {v, + v2 , v2} qu

sea igual al vector nulo con escalares a y P que determinaremos.

« (y , + v2) + fh ’2 = 0 , por distributividad respecto de la suma en k

av | + ( a + /?)v2 = 6 , com o v, y v2 son l.i entonces a = 0 a a+P = 0

de donde a = P = 0

por consiguiente + v2 , v2 son linealmente independiente.

b ) P R O P O S IC IÓ N .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial:

® . . .U n vector v e V e s l.i si y solo si v * 0.

( T ) Si v , ,v 2 ,...,v n son l.i. entonces v,,v2,...,vm donde 1 < m < n

tam bién son l.i.Solución

© =>) asum am os que V es l.i. en V.

por el absurdo supongam os que v = 0 entonces av = 0, Va e k, en

particular si elegim os a = 1, tenem os que l.v = 0 lo cual es un

contradicción con el hecho que V es l.i. Luego v 0


<=) A hora asum iendo que v * 0

av = 0 => a = 0 v v = 0

pero com o v * 0 por hipótesis, resulta que a=0 y en consecuenciasV es l.i.

n n n

© 2 a,v, = a¡Vj + a¡v¡ = 6/=1 i= l i=m+\

=> a¡ = 0 , para todo i = 1 ,2 ,..,,n por ser v¡ , v 2 , . . . ,vn linealmente

independiente

=> a¡ = 0 , para todo i = 1,2,...,m pues m < n

v,,v2,...,vm son linealmente independiente.

c) Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial, S c V, direm os que S es linealmente

independiente, si todo subconjunto finito de S es linealm ente independiente.

En caso contrario direm os que S es linealm ente dependiente.

d) P R O P O S IC IÓ N .- Sea S y 5" subconjuntos de V tal que S a S ' ,

entonces

O Si S' es linealmente independiente, entonces S tam bién lo es.

( 7 ) Si S es linealmente dependiente, tam bién lo es S ' .

D em ostración

Ejercicio para el lector

184 Eduardo Espinoza Ramo»

3.13. SISTEMA DE GENERADORES.-

a) D E F IN IC IÓ N .- Considerem os un espacio vectorial (V ,+ ,k,.) la familia 5

A = {v{, v2 v „ } * <t> de vectores de V es un sis tem a®

de generadores de V sí y sólo sí todo vector de V puede expresarse c o m f l

com binación lineal de los vectores de A, o b ien A es un sistem a

generadores de V sí y sólo sí el subespacio generado por A es V.

N O T A C IÓ N .-

La abreviatura de “sistema de generadores es S.G.

La abreviatura de “com binación lineal’ es C.L.

Expresando en form a sim bólica la definición se tiene:

n

A es un S.G. de V o v e V => v = a i v ¡ 0 bien. |<=i

A es un S.G. de V ■» L(A) V

E jem plo .- D eterm inar si el conjunto de vectores A {(1,1,1), (1,1,0), (1 ,0 ,0)1

de (7?3,+ ,/? ,.) constituye un sistema de generadores de R } .

Solución

V erem os si se cum ple L(A ) = R* para que sea S.G.

(.x , y , z ) s R i => (x,y,z) = a ( l , l , l ) + P(LL0) + y( 1,0,0)

x = a + P + y

(x,y,z) = ( a + P + y, a + p, a ) dedonde \ y = a + f iz = a

... (1)

a = z

P - y ~ z y = x - y

I ja c io s Vectoriales185

reem plazando los valores de a ,p y y en (1)

(x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0)

Luego (x , y , z ) e R 3 se puede expresar com o com binación lineal de los

vectores (1,1,0), ( 1, 1,0 ) u ( 1,0 ,0)

Por lo tanto genera a R 3 es decir L(A) = R }

Entonces A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} es S.G.

O B S E R V A C IÓ N .- El concepto de sistem a de generadores de un espacio

vectorial es independiente de la independencia odependencia lineal del. sistema, ósea un sistem a de generadores puede serlinealm ente independiente o no.

b) P R O P O S IC IÓ N .- Si la familia A = {v,, v2 v „ } es un S.G., L.D. de

V entonces existe v; e A tal q u e ^ - { v ; } es un

S.G. de V.

D em ostración

Por ser A un sistema de generadores de V, se define

n

v e V => v = ^ a , v , . . . (1)

como A es linealm ente dependiente entonces algún vector de A, digamos

v , , es com binación lineal de los restantes, ósea

r

3 Vj tal que Vj = . . . ( 2 )

>=j

teniendo en cuenta (1) y (2) se puede escribir

r r r r r

v = a j vJ +Xar,V/- a ^ +Xa,V| + a ‘ )V¡ = 5/<V<i*j i*j i* i i i* j

En consecuencia, A - {v , } es un sistema de generadores de V.

3.14. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-

a) DEFINICIÓ N.- Una base de un espacio vectorial V es un conjunti

A c V, A * <(> tal que:¿ '

i) A es un conjunto linealm ente independiente.

ii) A genera a V es decir L(A) = V.

Ejem plo.- Probar que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de ( R l ,+,R,.)

Solución

Probarem os que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es linealm ente independiente

a ( 1,0,0) + P (0 ,1,0) + y(0,0,1) = (0,0,0) la com binación lineal

(a ,p ,Y) = (0,0,0) =* a = p = y = 0

Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es un conjunto linealm ente independiente

A hora probarem os que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} genera a /?3

Es decir que ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) = /?3 pero ¿{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} c R } j esto siem pre es cierto y para probar /?3 c ¿{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}

sea (x, y , z ) e R (x,y,z) = x( 1,0,0) + y (0 ,1,0) + z(0 ,0 ,1)

entonces (x,y,z) e L{( 1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

de donde R c ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

por lo tanto R y = ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de /?3 .

E jem p lo .- Hallar una base para A = {(*, y , z ) e R } / 2 x + y + 2z = 0}

subespacios de (/?3,+ , /?,.)

Solución

Sea (x,y,z) e A => 2x + y + 2z = 0 => y = -2x - 2z, luego

(x,y,z) = (x, -2x - 2z, z) = (x, -2x, 0) + (0,-2z,z) = x (l,-2 ,0 ) + z(0 ,-2 ,l), x,z e R

A = L {(l,-2 ,0 ), (0,-2,1)}

El conjunto {(1 ,-2,0), (0 ,-2 ,l)} es una base, pues:

i) {(1 ,-2,0), (0,-2,1)} es linealmente independiente.

ii) A = L {(l,-2 ,0), (0,-2,1)}

b) PRO PO SICIÓ N.- Un conjunto de elem entos {v, ,v2 ,...,vn } del espacio

vectorial V sobre un cam po k form a una base sí y

sólo sí V v e V , v puede ser expresado de una única forma com o

com binación lineal de v , , v2 ,..., v „ .

Dem ostración

=>) Asum am os que v |,v 2,...,v n es una base, sabemos que V v e V se

puede expresar com o una com binación lineal de v , , v2 ,..., v„ .

lep a d o s Vectoriales x 18'

Supongamos que v se puede expresar de dos formas es decir:

n n

v = 2 > , = • entonces: -b ¡ )vi = 0 . pe1-0 como1*1 1*1 i*l

v , , v2 v„ son l.i. entonces a¡ - b¡ = 0 , V i = 1 ,2 ,...,n de donde

= b¡ , V i — 1,2,.. -,n

<=) Recíprocamente. Asumamos que v , ,v 2 ,...,v„ tiene la propiedad

que V v e V, v puede ser expresado de una única forma como

combinación lineal de los vectores v1,v 2 ,...,v )l por lo tanto es

¿ { v ,, v2 v„} = V , nos resta probar que v , , v2 v,, son l.i.

n nSupongamos que a¡ v, = ^ ^ 0 .v ( , entonces, por . la unicic

i'=l i=l

a ¡= 0 , V i = 1,2...... n. Luego {v ,, v2 v„} forma una base.

c) LEM A.- Sea S = {v ,,v 2 ...v„} un conjunto de generadores para el

espacio vectorial (V,+,k,.).

nSea v * 0, v e V tal que v = ^ a , v, sí a, * 0 para algún i, entonce

>=i iV = L{S¡} donde S¡ = i u { v } u { v , ) , S¡ = { v ,,v 2 ......... vi_I ,v ,v l+1,...,v m}

D em ostración

Sea u e V un elem ento arbitrario, m ostraremos que u se puede expres

com o una com binación lineal de elem entos de S ¡ .

n

Por hipótesis v = L{s} => u = ^ ^ b ¡ v ¡ . . . (1)i = i

I upados Vectoriales 189

" nAdemás tenemos que: 6 * v = a¡ v¡ => v = ^ o , vj + a, v¡

>=i j*¡

nV a ¡

=>V' = — + X ( ~ — )v7 - ( 2 )fl' r f a‘

reemplazando (2) en (1) se tiene:

nu = b lvi + . . . + * . ( - l + y ( - — )v ) + ... + 6„V)(

a> T ? a -

= ( * i )V , + (¿> 2 - ^ ) V 2 + . . . + ( — )V j + ...+ (b„ )V „a¡ ai a¡

denotando c, = ¿ , , c2 = b2 , . . . , c„ = bna¡ a¡ a,

de donde se tiene u = c,v , + c 2v2 +... + c ¡ v + ..£ nvn

V = L {S i }

d) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) un espacio vectorial,

S = {v,, v2,..., v „} c V y S '= {«,, u 2 ,..., um} c L { S } .

Si 5" es linealm ente independiente, entonces m < n.

D em ostración

Considerem os v, = ¿{5}

Sea «i e v ,*i e v\i = i

n

u\ = X / ' V'

Eduardo Espinoza Ramón -------------------------------------------------------------- ------------------ ----------------- = |

Supongamos que ct\ * 0 (reordenando si fuera necesario) y por el lema

anterior L{ux, v2 ,..., v „} = F,

ahora sea d * u 2 e F, => u 2 = bxu x + b2v2 + — + b„v„ => b¡ * 0 , i > 2;

pues de suponer lo contrario resultaría u 2 = b 2u x que es una.

contradicción ya que u 2 es linealmente independiente .

Suponemos que b2 * 0 (reordenando si fuera necesario) y aplicando!

nuevamente el lema anterior tenemos que:w.*

L = {«i , m2, v3 v „ } = v, afirmación m < n

por el absurdo, supongamos que m > n, entonces el proceso anterior s f l

podría seguir inductivamente hasta obtener L{ux, u 2 , u „ } = v, Ipero s i m > n => m > n + 1 => u„+x por estar en V¡ s e n a

combinación lineal de u x, u 2, . . . ,u„, lo que es una contradicción con e | |

hecho de que {ux , u 2 es l.i., dicha contradicción proviene de a v f l

supuesto que m > n.

C O R O L A R IO .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial. M

5 = {v ,,v2,...,v„} y S '= {ux, u 2,.. . ,um} son bases de ||

espacio vectorial V, entonces n=m.

D em ostración

i) S base de V => L{S} = V por otra parte, S 'c F = L { S } , y 5 1

linealmente independiente por ser base de V, en virtud de f l

proposición (d) m < n.


ii) A nálogam ente, S' base de V => L{S'} = V com o S c z V = L { S ’¡ y

S linealm ente independiente por ser base de V, aplicando

nuevam ente la proposición (d) resulta que n < m.

Luego de i) y ii) se sigue que m = n.


© Del corolario podem os observar que si V tiene una base infinita, entonces

cualquier otra base tiene un núm ero infinito de números.

© 7 odo espacio vectorial posee una base finita o infinita.

( ¿ ) Todas las bases de un m ism o espacio vectorial son coordinables, quiere

decir que existe una bisección B: <-> B2

| U 5. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.

a) D E F IN IC IÓ N .- El espacio vectorial V se denomina finita dim ensional

(o de dim ensión finita) si posee una base constituida

por un núm ero finito de vectores (es decir sí tiene una base finita).

E jem plo .- 1) V = k " , S = {ex, e 2 , . . . ,en}

2) V = Af 2x2( R ) , k=R, S =1 0

0 0

0 1

1OO

0 0»

1 0>

0 0

0 1

b) D E F IN IC IÓ N .- Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo k de

dim ensión finita y {v,, v2,..., v„} una base de V,

entonces por definición la dim ensión del espacio vectorial V es el núm ero

“n” lo cual denotam os por d im Á. V = n (donde “n” es núm ero de vectores

que constituyen una de las bases de V)

192 Eduardo Espinoza Ramot


Si V tiene como único elem ento el vector nulo, convenim os que f l

dim ensión de V es cero, es decir dim k {#} = 0 .

( I ) Si V tiene una base infinita, la dim ensión de V denotam os por

dim* V = qo .

E jem plo .-

1) Una base de R 3 es {(1,0,0),(0 ,1,0),(0,0,1)} entonces su dim ensión es:

d im * R l = 3 .

2) Si V = k n un espacio vectorial sobre k donde {ei , £ 2,—, £ n } es una base I

de k n entonces dim* k n = n .

3) Si V = M 2x2(R) el espacio vectorial de m atrices cuadradas, k = R y f j

dim¿ M 2xA(R) = 4 .

E jem plo .- D eterm inar una base del espacio vectorial

V = { ( x , y , z ) e R i / x - y = 0, x, y e R) de dimensión finita.

Solución

Calculando una base de V.

Si (x,y,z) e V => x - y = 0 => y = x

(x,y,z) = (x,x,z) = (x,x,0) + (0,0, z)

(x,y,z) = x( 1,1,0) + y (0 ,0 ,l)

com o {(1,1,0),(0,0,1)} son Li. entonces es una base de V y dim * V = 2.

10 1001

>0 0 ’ 1 0 ’

0 0

0 1} una base de M 2x2(R) entone

-


c) P R O P O S IC IÓ N .- Sea (V ,+,k,.) un espacio vectorial finito

dim ensional (asum am os que dim k V = n ) se

cumple:

i) Si S = {ii¡ . u 2 ,■•■,«„,} c: V , donde m > n, entonces S es l.d. sobre k.

ii) Sí S = {uu u 2 , .. . ,um} c V donde m < n entonces L{S} g V

iii) Si S = {«,, m2 u„ } es l.i. sobre k, entonces S es una base para V.

iv) Si S = { » ,,u 2, ...,«„} genera V, entonces S es una base para V:

Dem ostración (Q ueda com o ejercicio)

d) L E M A .- Sea S = {v1,v 2 ,...,v m} un subconjunto l.i. de un espacio

vectorial V sobre un cam po k, si 0 * v e V es un vector que

v g L{S} entonces S '= {v¡,..., vm, v} es tam bién l.i. sobre k.

D em ostración

Sea ar,v, + a 2v2 +... + a mvm +cc\’ = 9 , la com binación lineal afirm am os

que a = 0, pues si suponem os que a * 0 tenem os

v = —— Vj - — v2 - . . . -----— vm => v e L{S}, lo cual es unaa a a

contradicción ya que por hipótesis se tiene v g L{S} entonces a = 0 y

com o a , = a r2 = ... = «,„ = 0 resulta que S' es l.i.

e) T E O R E M A .- (C o m plem en tac ión de Bases)

Sea V un espacio vectorial sobre un cam po k, tal que: dim t V = n , W

subespacio de V y {v,, v2 vm} es base de W , entonces se cum ple:

¡) m < n

¡i) Si m < n, entonces existen vr a + 1 vn e V tal q u |

{v,, v2 vm, vm + 1 v„} es una base para V.

D em ostración

i) Sea { « ,,u 2,. . . ,un } una base para V entonces V = L {u x, u 2 , . . . ,u„\

para L{u l , u 2, . . . ,un } r> {v1,v 2 ,...,v m} y en virtud de la p roposiciód

(d) de (3.14.) se tiene que m < n pues como {v ,,v2 ,...,v m} es ba

en l.i.

ii) Si m < n, entonces W £ V , luego existe vm+l € V tal que:

v m+le W => vm+1 fÉl{v1,v 2 ,..ilvm} => por el lema (d) se tiem

f ' ' i ,v 2v , v („ ,v „ t I } es l.i.

Si ¿ { v ,, v2 ,..., v„,, vm+1 } = V , entonces la prueba finaliza.

En caso contrario, esto es si L{v, , v2,...,v m, vm+l} q. V , exist^j

v m+2 e V tal que vm+2 £ .¿{v l ,v 2,...,v m,v m+2} entonce

nuevam ente en virtud del lema d) se tiene {v,, v2,..., vm, vm+1, vm+J

es l.i.

Si ¿{v1,v 2 ,...,:vm,v m+|, v m+2} = K , entonces la demostraciói

concluye, en caso contrario seguim os el proceso anterior pero

hipótesis la d im ;, V = n , entonces existirán solo un núm ero fin:

vm+| , vm + 2 vm+p € V tal que {v, \ v2 ...Vv,,, j vm+1;..., vm+p}

una base cuando m + p = 0 ya que para n = m + |

{v,, v2 v „ , vO T + l v,„+P} es l.i. y adem ás genera V.

spacios Vectoriales 195

f) C O L O R A R IO .- Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre

k entonces se verifica que:

V = W <=> d i mt F = d im k W

D em ostración

i) Si el subespacio W es el m ism o V, entonces es obvio que

dim ¿ W = dim* V .

ii) Supongam os que W es un subespacio de V y que verifica dim* W = dim^ V .

Si la dim ensión com ún es 0, entonces tan to W com o V tienen un

único elem ento al vector nulo y son idénticos.

Si la dim ¿ W = dim ^ V = n > 0 entonces considerem os una base de

W, {w ,,w 2 ,... , w n } estos n vectores son l.i. en V y de acuerdo al

corolario (e) de (3.14.) constituye una base de V entonces son un

S.G. de V lo cual nos dice que todo vector de V pertenece a W, o sea

V c W y por la definición de subespacios W c V, resulta que W = V.

I <■ 16. DIMENSIÓN DE LA SUMA.-

TEO R EM A .- Sean U y W dos subespacios de (V ,+,k,.) y la dim ensión de V

es finita, entonces se verifica que:

dim* (U + W) = dim* U + dim* W - dim* (U n W)

D em ostración

Com o V es de dim ensión finita sobre k, sea dim* U = p , dim ¿ W = q y

dim k ( U n W ) = r .

Considerem os U n W *(¡>y {v, , v2 vr } una base para U n W , com o Ü n l

es un subespacio de U y W respectivamente, por el teorem a d f l

com plem entación de bases, com pletam os la base {vt , v2 vr } a bases para ■

y W . Sean: {v,, v2,..., vr u p_r } b a s e para U y { v ,,v2 ,...,v r ,w ,,. . . ,w 4_ , l

base para W.

A F IR M A C IÓ N .- El conjunto {v, , v2 vr , « i , - , u p_r , w u . . . ,wq_r } es una

base para U + W.

La dem ostración de esta afirm ación es:

i) Que sea linealm ente independiente.

Considerem os la com binación lineal

1 = 1 1 = 1 1 = 1

i=i i=i i=i

- d )

... (2)

=> e U n f V , pues de l a r e l a c i ó n (2), por un lado por ser igua

Í=1 — a una com binación lineal de elem entos de {v1,v 2 ,...,v r ,M |,...,u p_r } , e s t a

en U y por otro lado por una combinación lineal de elem entos de

{ v , v r , w , wq_r }, está en W.

=> 2 c,vv' = £ </,v' (3)í=i i=i

entonces reem plazando (3) en ( 1 ) tenemos


r p -r r r p-r

y \ v, = g =* + b> ¡ + / , b.u‘ =<9i=i i=i i=i i=i i=i

ía¡ + b¡ = 0 , Vi = 1 ,2 ,..., r=> i . . . ( 4 )

[ b¡ = 0 , Vj = 1,2,..., p - r

pues { v j v r , ,..., up _r } es una base para U => com o b¡ = 0 ,

Vi = 1 ,2 ,..., p - r en (1) se tiene:

V 1 V 1 o ( «y = 0 , V / = l ,2 , . . . , r . . . (5 )> a¡ v, + > c¡w¡ -- 0 {

L u " L * ' ' 1A ,= 0 , Vi = l , 2 , . . . , q - r . . . (6 )1=1 /=1

pues {v |,...,v /. ,w 1,..., wq_r } es una base para W.

=> de (4), (5) y (6) resulta que:

a ,; = 0 , V i = l , . . . , r , b¡ = 0 , V i = l , . . . , p - r , c , = 0 , V i = l , . . . , q - r

{vi , . . . ,vr , u í , . . . ,up_r , w l , . . . ,wv_r } e s l.i .

ii) Q ue genera a U + W.

Sea v 6 U + W , por definición de subespacio suma:

v = u + w, donde u e U y w € W

P-r,v; + > d¡w,pero u = a¡ v, + b¡ t/j y w = ^ c, v,

i=i i=i i=i i=i

r p -r r q-r

=> v = ( ^ a , v í + y + c,v, + }d,w,) i=l 1=1 1=1 1=1

Eduardo Espinoza RamM I \pacios Vectoriales 199

= X ( a<+) V|+£ b‘ + £ d> w‘i=l i=l

=> (v, , v 2,. . . ,vr , Up_r , w t ,..., w ,_r } genera a U + W d e (i) y (ii) I f l l

afirm ación queda dem ostrada com o I

(vi , , v2 >•••> vr ’u i<—, u p_r , W [ wq_r } es una base de U + W c s u l f l

que 1 !d i mk (U + fV) = r + ( p r) + (</-r) = P + q - r H

= d im k U + d im k W - d im k (U r* IV)

E jem plo .- D eterm inar la dim ensión de la sum a de los s ig u ie n te !

subespacios de (R*,+,R, . ) , U = { (x , y , z ) e R / x + y - z = 0} I

W = { ( x , . y , z ) e R i / x - z = 0} |

Solución I

Por calcular dim(U + W ) = ? i

Com o dim (U + W ) = dim U + dim W - dim(U o W ) 9

Calculando una base para U, sí (x,y,z) e U entonces x + y - z = 0 => z = x + ■

Luego (x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,1) I

com o {(1,0,1),(0,1,1)} es linealm ente independiente entonces {(1,0,1),(0,1,1)|

es una base de U de donde dim U = 2

Calculando una base para W, si (x,y,z) e W entonces x - z - 0 Z _ 5 M

Luego (x,y,z) = (x,y,x) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,0)

Com o {(1,0,1),(0,1,0)} es iinealmente independiente entonces {(1,0,1),(0,1,0)} es una base de W de donde dim W = 2

A hora calculando una base para U n W

í x + y - z = 0 y = 0

lit!

Sí (x,y,z) e U n W( * - Z = 0 Z=; c

Sí (x,y,z) e U n W => (x,y,z) = (x,0,x) = x( 1,0,1)

Luego {(1,0,1)} es una base de U n W => dim U n W = 1

Por lo tanto se tiene: Dim (U+W ) = dimU + dim W - dim U n W = 2 + 2 - 1 = 3

dim (U + W) = 3

DIMENSIÓN DE LA SUMA DIRECTA.- |

Si U y W son dos subespacios del espacio vectorial (V ,+,k„). Sí U n W = {0}

(conjuntos disjuntos) entonces dim (U ® W) = dim U + dim W.

Es decir que la dim ensión de la suma directa es igual a la sum a de lasdim ensiones de U y W.

En este caso U n W = {0}, entonces dim U n W = 0

E jem plo .- Si A = {(1,0,1,0),(1,0,1,1)} es un sistem a de generadores de U de

^4 (^ ) y B = {(3,0,2,1)} es un sistema de generadores de W de

V4( R ) . Probar que dim (U ® W ) = dim U + dim W

Solución

Com o U = L{A} = { a ( l ,0 ,1 ,0 )+ p ( l ,0 ,1 ,1 )/ a ,p e R}

Com o U c V4(R) => (x,y,z,w) = a ( l ,0 , l ,0 ) + P ( l ,0,1,1)

200 Eduardo Espinoza kamoá

(x,y,z,w) = ( a + p, 0, a + P, a ) por igualdad

x = a + p

y = a + P 0* x = y, z = 0, w e Rz = 0

w = a

U = {(*, y , z , w ) e R 4 / x = y , z = 0} , calculando una base de U

Sí (x,y,z,w) e U => ( x , y , z , w ) = (x,x,0,w) = x( 1,1,0,0) + w(0,0,0,1)

Luego una base de U es {(1,1,0,0),(0,0,0,1)}, de donde dim U = 2

Com o W = L{B¡ = {a(3,0,2,1) / a e R}

Si (x,y,z,w) e W => (x,y,z,w) = a (3 ,0,2,1)

x = 3 ax = 3w

V = 0=> = 0

z = 2 az = 2w

w — a

Luego W = { ( x , y , z , w ) e R 4 / w = ^ = ^ , y = 0} una base de W será:

Si (x,y,z,w) = (3w,0,2w,w) = w (3 ,0 ,2 ,l) entonces una base de W es:

{(3,0,2,1)}, de donde d i m W = l

Calculando U n W es decir: U = {(*, y , z, w) € R 4 / x = y , z = 0}

W = { ( x , y , z , w ) e R * ! z = 2 w , x = 3 w , y = 01

com o z = 0, w = 0, y = 0, x = 0 entonces

/ '•fiados Vectoriales 201

U n W = {(0,0,0,0)} => dim U n W = 0

dim U ® W = dim U + dim W = 2 + 1 = 3

E jem plo .- Sean los subespacios vectoriales de V4(R)

A = i ( x , y , z , w ) e R A / x + y - z + w = 0} y

B = { ( x , y , z , w ) e R 4 / x - y - z - w = 0}

Determ inar a) U na base de A y dim A

b) Una base de B y dim B

c) Una base de A n B y dim A n B

d) Calcular dim (A + B)

Solución

a) Calculando una base para el subespacio A

x + y - z + w = 0 => z = x + y + w

Sí (x,y,z,w) e A entonces

(x, y, z, w) = (x, y, x + y + w, w) = (x, 0, x, 0) + (0, y, y, 0) + (0, 0, w, w)

(x, y, z, w) = x( 1,0,1,0) + y (0 ,1,1,0) + w (0 ,0 ,1,1)

Luego A = L {(1,0,1,0),(0 ,1,1,0),(0 ,0 ,1,1)} es decir que :

{(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} es un sistem a de generadores y adem ás es

linealmente independiente (probarlo)

Por lo tanto una base de A es {(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} y dim A = 3

b) Calculando una base para el subespacio B

202 Espacios Vectorial4

x - y - z - w = 0 => x = y + z + w

Sí (x,y,z,w) e B entonces

(x, y, z, w) = (y + z + w, y, z, w) = (y, y, 0, 0) + (z, 0, z, 0) + (w , 0, 0, w )j

(x, y, z, w) = y( 1,1,0,0) + z( 1,0,1,0) + w( 1,0,0,1)

Luego B = L = {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}, es decir que:

{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} es un sistema de generadores y adem ás soj

linealm ente independiente (probarlo)

Por lo tanto una base para B e s {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} y su dim B=*|

c) Calculando una base para el subespacio A n B

x + y - z + w = 0

x - y - z - w = 0

x = 0

y + z + w = 0

x = 0

w = — y — z

Sí (x ,y ,z ,w )e A n B => (x,y,z,w) = (0,y,z, -y - z) = (0,y,0,-y) + (0,0,z,-z);

(x,y,z,w) = y (0 ,1,0,-1) + z(0 ,0 ,1,-1)

Luego A n B = L{(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}, es decir que {(0,1,0,-1 ),(0 ,0 ,1.-1 )} |

es un sistem a de generadores y adem ás linealm ente in d ep en d ien te

(probarlo)

Por lo tanto una base para A n B es {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)} y su*

dim A n B = 2

d) Calculando dim (A + B)

dim (A + B ) = dim A + dim B - dim (A n B) = 3 + 3 - 2 = 4 (por la partd |

a,b,c)

dim (A + B) = 4


E jem plo .- Si U está generado por {(1,2,1),(0,1,2)} y W está generado por

{(1,0,0),(0,1,0)}

a) H allar una base para U n W

b) D eterm inar dim (U + W )

Solución

Calculando los subespacios generados

U = L{( 1,2,1),(0,1,2)} = { a ( l ,2 , l ) + p ( 0 , l ,2 ) / a ,p e R}

Si (x,y,z) e U => (x,y,z) = a ( 1,2,1) + p (0 ,l,2 )

(x,y,z) = (a, 2a + p, a + 2P) por igualdad

X = ° \ y - 1 * = P _ z - x• y = 2 a + p => • £ Z x = => V 2

z = a + 2 p 2 2 y - 4 x = z - x

3x - 2y + z = 0

Luego U = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - 2 y + z = 0¡

C alculando una base de U: 3 x - 2 y + z = 0 => z = 2 y - 3 x

(x,y,z) e U => (x,y,2y - 3x) = (x,0,-3x) + (0,y,2y) = x( 1,0,-3) + y (0 ,1,2)

Luego U = L {(1,0 ,-3),(0 ,1,2)} es decir que {(1,0,-3),(0,1,2)} es un sistema de

generadores y adem ás es linealmente independiente por lo tanto una

base U es {(1,0,-3),(0 ,1,2)} y dim U = 2

W = L{(1,0,0),(0 ,1,0)} = { a ( l ,0,0) + p (0 ,l ,0 ) / a ,p e R}

Si (x,y,z) e W => (x,y,z,) = a ( 1,0,0) + p (0 ,l,0 )

(x,y,z) = (a ,p ,0 ) o x = a , y = p , z = 0

W = { ( x , y , z ) g R 3 / z = 0} es el plano XY luego una base para W es 1

{(1,0,0),(0,1,0} y dim W = 2

a) Calculando una base para U n W

• 3 1com o 3x - 2y + z = 0 y z = 0 => .V = ~ *

si (x,y,z) e U n W => y = ^ x , z = 0

(x, y , z ) = (x, | x, 0) = ^ (2 ,3 ,0 )

Luego U n W = L {(2,3,0)} => una base d e U n W es L {(2,3,0)} y

dim U n W = 1

b) Calculando dim (U + W)

dim (U + W ) = dim U + dim W - dim (U n W ) = 2 + 2 - 1= 3

dim (U + W ) = 3

E jem plo .- Sean V = { a x " + b x + c / a , b , c e R } , S = L{x , ( x - 1) } y

r = I{ (x + l ) 2 } . Dem ostrar que: V = L { S } © L{T}

D em ostración

i) La inclusión L{S} + L{T} c V es fácil de ver

ii) Probarem os la inclusión V c L{S} + L{T}

a x 2 +bx + c = a x 2 + / ? ( x - l ) 2 + y ( x + l ) 2 , donde

/ ¡parios Vectoriales 205

a x 2 + ¡ 3 ( x - l ) 2 e 5 a y ( x + \ )2 &T

a x 2 +bx + c = (cc + P + y ) x 2 + ( 2 y - 2 p ) x + p + y

por igualdad de polinom ios tendrem os que:

a + P + y = a

2 y - 2 p = b resolviendo el sistem a hallam os los valores de a , p y y: P + y - c

_ b + c 3c - ba = a - c , P -------- , y = ---------4 4

ptir lo tanto se tiene V = S + T de (i) y (ii)

¡ii) A hora verem os que S n T = {0}

sea P(x) e (S n T) => P(x) e S a P(x) e T

=> a x 2 + P ( x - \ ) 2 = y ( x + 1)2 => ( a + p ) x 2 - 2 px + p = yx2 + 2 y x + y

de donde

a + p = y- 2 P = 2 y => a = p = y = 0 por lo tanto S n T = {0} P = y

Luego como V= S + T y S n T = {0} entonces se tiene V = S ® T

E jem p lo .- Sea V = R 3 es el espacio vectorial sobre R.

U = { ( x , y , z ) e R i / x + 2 y - z = 0} y W = {(x , .y , z ) e R 3 ! x - y = -3z}

calcular dim (U n W)

Solución

206Espacios Vectoriala

- z = o A x - y = -3 z JU n W = {(x,y,z) € V / x + 2y - z

x + 2 y - z = 0 3y = 4 z ^ x = y - 3 zx - y + 3z = 0

_ 5 z3x = 3 y - 9 z = -5z => x = 3

U n W = {(x,y,z) e V / 3y = 4z a x = -5z}

C alculando una base de U n W

(x,y,z) e (U n W ) => 3y = 4z a 3 x = -5z

4 1=> ^ = A X ~ 3^

( * , y , * ) * ( - | * , | z , z ) = | ( - : 5 ,4 ,3 ) I

Luego U n W = L{(-5,4,3)} es decir que U n W es generado por (-5,4,3) J

que es l.i.

Luego « -5 ,4 ,3 « es una ta s e de U n W de donde din, {(2,-1)} e su n a base para W c R

. . . P 2 v cea 1(2,-1),(2,1)} definim os U = L {(2 ,1 )||Com pletando dicha base para R y sea H

y R 1 = W ® U


E jem plo .- Sea el espacio vectorial ( R 3,+,R,. ) y

W = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - y + z = 0}

a) H allar una base para W.

b) Encontrar un subespacio U de R 3 tal que R 3 = IV (BU

Solución

a) W = { (x ,y , z ) e R 3 / 3 x - y + z = 0¡

Calculando una base para el subespacios de W.

Sí (x,y,z) e W => 3 x - y + z = 0 => y = 3x + z

(x,y,z) = (x, 3x + z, z) = (x,3x,0) + (0,z,z) = x( 1,3,0) + z (0 ,l ,l )

Luego una base de W es {(1,3,0),(0,1,1)}

b) Ahora com pletarem os la base {(1,3,0),(0,1,1)} de W a una base de R 3 y

sea {(1,3,0),(0,1,1),(1,0,0)} definim os U = L{(1,0,0)} y R 3 = W ® U

E jem plo .- En el espacio vectorial ( R 2x2,+, /?,.) considerem os

W = {A e R 2*2 / Tr (A) = 0}

a) H allar una base para W.

b) Construir U subespacio de R 2x2 tal que R 2x2 = W ® U

Solución

a) Calculando una base para W

Sí A e R 2x2 => A =u II u, 2

a2\ a22e W => « i, +«22 = 0

208 Espacios V e c to r ia l

1

Js NJ1

a\\ a\2 «11 0 "0 a\2 ‘ 0 0'= — = + +

_a2\ a22 _ _a2\ _G11. 0 ~au_ 0 0 a21 0

"1 0 ' 'o r

o

an 0 -1+ a,2

0 0+o21

1 0

Luego W = L j1

Oi I01

-

iO O

i7O

|

> 0 0y

1 0

i

O1 1o•

'0 0“ —

1 7o 1

0 0 y 1 0

de donde

} es una base de W y su dim ensión es: dim W *

b) Se conoce que d im R 2l2 = 4 , luego com pletarem os la base de W coi

una matriz mas de R 2x2, que sea linealm ente independien®

1 0

0 0e R 2x2

{1 0

0 -1

0 1 0 0

0 0»

1 0 ’1 o

o o

U = L{1 0

0 0

} es una base para R lxl d e tln irem ^

} y se cum ple que R lxl = W @U

3.18. TEOREMA.-

Sea V un espacio vectorial sobre k de dim ensión finita, si W es un subespaclw

propio de V, entonces:

dim (— ) - dim V - dim W W

D em ostración

Sean dim V = n y dim W = m, donde m < n

h/iacios Vectoriales 209

Considerem os { v |,v 2 ,...,vm} una base para W, entonces por el teorem a de

com plem entación de bases, extenderem os dicha base para V, esto es

existen vm+1,...,v„ elem entos de V tal que {v,, v2 ,..., vm, vm+1,.. . ,v „ } es una

base para V.

A F IR M A C IÓ N : {vm+1 + w ,...,v„ + w} es una base de — prueba de laW

afirmación.

i) Q ue sea linealm ente independiente.

ySea a m+)(vm+1 + w) + ... + a n(vn + w) = & + w = w (w es el caso de — )

W

y(a m+ivm+i + w) + ... + (a„v„ +w) = w (def. d e (* )e n — )

w

v=> («m+ivm+i + - + a nvn ) + w = w (def. de (+) en •— )

w

=> a m+ivm+i + - + a„v„ e W d edonde

a m+ivm+i + - + « nv„ = a ,v , +... + a mvm (por ser {v1,v 2,...,v m})

a \v \ + ~ + a n,vm ~ a m+ivm+\-■■■~a„vn = 0 entonces

ü i = ••• = a rn = a rn+1 = .. . = = 0 puesto que {v,,..., vm, vm+1,..., vn } es

base de V y por lo tanto es linealmente independiente.

Luego como a m+] = a m+2 =... = a„ = 0 se tiene que {vm+1,...,v„} es

linealm ente independiente

-x ~ Vii) Que genera a —

210 Espacios Vectoriali

Sea v + w e — , com o v e W se puede expresar W

1=1 1=1 i = m + 1

m n "i nv + w = ( ^ ¡ T a¡v¡ + a¡v¡) + w = a¡v¡ + w) + ( a¡v, + w'

,=1 ¡=m+l i=I í=m+l

« w

= W + ( ¿ > + W ) P U e S a i V ¡ e W

i = m + 1 »=1

= a.v, + w , puesto que w es el caso de —

i= m + l

- ( a m + l v m + \ + v v ) + — + ( a n v n + H )

= «m+i(v m+i+ w ) + ... + a „ ( v „ + w )

entonces, para todo v + w e — , se tiene que

v + w = a m+1(vm+1 + w ) + ... + a„(v„ + w )

Luego — = L{vm+¡ + w ,...,v„ +w} de (i) y (ii) la afirm ación qu< W

probada

De la afirm ación se tiene que: dim — = n - m - dim V - dim WW

\pacios Vectoriales 211

E jem plo .- En el espacio vectorial ( R 4 ,+,R, .) , considerem os los

subespacios U = { ( x , y , z , t ) e R 4 H x + y - z = /} y

W = { ( x , y , z , t ) e R 4 / x - y + z = 0 a x = 2 t } .

Hallar: a) dim (U + W )

b) U na base paraR 4 R 4 R 4

U W U r \ W

Solución

a) Calculando dim U, dim W y dim (U n W)

P araU : Com o U = { (* ,y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - z = í} entonces

(x,y,z,t) e U => 2x + y - z = t de donde se tiene

(x,y,z,t) = (x,y,z,2x + y - z) = (x,0,0,2x) + (0,y,0,y) + (0,0,z,-z)

= x( 1,0,0,2) + y (0 ,1,0,1) + z(0 ,0 ,1,-1)

Luego U=L{( 1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} de donde

{(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una base de U => dim U = 3

P araW : Com o W = {(x, y , z , t ) e R 4 í x - y + z = 0 a x = 2t}

Sí (x,y,z,t) e W => x - y + z = 0 a x = 2t => y = x + z = 2t + z

(x,y,z,t) = (2t,2t + z,z,t) = (2t,2t,0,t) + (0,z,z,0) = t(2 ,2 ,0 ,l) + z (0 ,1,1,0)

Luego W = L{(2,2,0,1),(0,1,1,0)}, de donde {(2,2,0,1),(0,1,1,0)}, es una

base para W => dim W = 2

Para U n W:

212 Eduardo Espinoza Rana

U n W = { ( x , y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - z = t a x - y + z = 0 a x = 2/}1

= { ( x , y , z , t ) e R 4 / x = t = 0 a y = z}

si (x , y , z , t ) e R 4 => (x,y,z,t) = (0,z,z,0) = z (0 ,1,1,0)

Luego U n W = L {(0 ,1,1,0)}, de donde {(0,1,1,0)} es una b a f l

d e U n W => d i r a U n W = l

Com o dim (U + W ) = dim U + dim W - dim (U n W ) = 3 + 2 - 1 = 4

R4b) Calculando una base para —

W

de la parte (a) se sabe que {(2,2,0,1),(0,1,1,0)} es una base para W

entonces el teorem a de com plem entación de bases, existof

(1,0,0,0), (0,0,0,1) e R 4 , tal que {(2,2,0,1 ),(0 ,1,1,0),( 1,0,0,0),(0,0,0,1 )} |

una base para R 4 .

Luego por el teorem a (3.18) {(1,0,0,0) + w, (0,0,0,1) + w} es una bai

R4 A' R4 9para — y dim — = 2 W W

RCalculando una base para — de la parte (a) se sabe qu(

{(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una base para U, com pletando dicWj

base para R 4 .

Entonces por el teorem a de com pletam iento de bases existe (0,1,1,1) e R 1

tal que {(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1),(0,1,1,1)} es una base para /?4|

iliados Vectoriales 213

R 4Luego en virtud del teorem a (2.18) {(0,1,1,1) + u} es una base para — y

R 4dim (— ) = 1

U

R 4Calculando una base p a r a ----------

U n W

De la parte a) {(0,1,1,0)} es una base d e U n W

Com pletarem os para una base de R 4 entonces

{(0,1,1,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1)} base de R 4 entonces por el teorem a (3.18.) se tiene:

{(1,1,0,0) + U n W , (1,0,0,0) + U n W, (0,0,0,1) + U ci W} es una base

R 4 R 4p a r a ---------- y dim ----------= 3

U n W U n W

19. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Dado U, W , T subespacios de un espacio vectorial V. D em ostrar que:

(U n T) + (U n W ) c U n (T + W)

Dado U y W subespacios de V. D em ostrar que:

U u W es un subespacio de V <=> U c W ó W c ü

Dados los subespacios U = { ( x , y , z ) e R 3 / x + y - z = 0}

W = { (x , y , z) e R 3 /2 x - 3 > ' + 4z = 0} de R 3 .

a) H allar U n W b) Probar que R J = U + W

214 Eduardo Espinoza Ramt

©

©

©

©

©

©

Sean U = { ( x , y , z , t ) e R /jc + j> = 0 ; z - t - 0} y

W = { (x ,y , z , t ) e R 4 ¡ x - y - z + t = 0} subespacios de R 4 .

a) D eterm inar U n W b) ¿U + W es sum a directa? j

c) ¿ U + W = R 4 ? Justifique

Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el cam po R y si

U = {A e V t A - A 1} conjunto de m atrices sim étricas

W = {A e V I A = - A ' } conjunto de matrices antisim étricas, dem uestre q u f

v = u ® w

Sean U, y W subespacios de (R ,+,R, . ) , dondl

U = {(x, y , z ) e R ! x + y + z-= 0}, V = { ( x , y , z ) e R l x = y}

W = {(0,0,z) / z e R}.

a) Calcular U + V, U + W y V + W

b) Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte (a) la sum a es direct)

D ada la recta = {(x, y ) e R 2 l y = 5 x } , hallar otra recta L 2 tal qu

R 2 = L X ® L 2 .

Dado el subespacio T = { ( x , y , z ) e R 3 1 2 x - 3 y - 2 z = 0} de ( R i ,+,R,.)^

H allar todos los subespacios S de R 3 tal que 5 © T = R 3.

D eterm inar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjunl

de vectores.

a) V = R 2 , k = R, v, = (2 ,4 ) , v2 = (0 ,3 )

I n idos Vectoriales 215--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) V = R J , k = R, v, = (1 ,3 , V 2 ), v2 = (0 ,0 ,0 ) , v3 = (i, 0,10)

k

c) V = C 2 , k = C, v, = (*,0), v2 = ( 0 , í ) , i 2 = -1

d) V = C 2 , k = C, v, = ( i ,2 ) , v2 =(0,1 + 0

e) V = C 2 , k = C, v, = (1 + 3 » ,0 , v2 = ( 2 ¿ - 6 , - 2 )

0«) Dado el espacio vectorial ( /?3,+ ,R , . ) . D eterm inar si los siguientes vectores

son linealm ente independiente:

a) A = { ( 1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} b) B = {(1,-1,0),(1,1,2),(1,0,1)}

( | l ) Probar que los vectores (-2,4) y (1,-2) son linealm ente dependiente en

( R 2 ,+,R, . ) .

O Sean los vectores v, = (-1 ,0 ,2 ) y v2 = (-1 ,2 ,4 ) en R 3 , determ inar si los

vectores v = (-1,1,3) y u = (1,2,2) son com binación lineal de v, y v2 .

(MJ Determ inar si el vector v = (1,2,3) es com binación lineal de la familia cuyos

elem entos son los vectores de R 3 .

v, = (1 ,0 -1 ) , v2 = ( 0 , l , - l ) , v3 = (1 ,1-2)

¿Son los vectores v, = (1,1,2 ,4 ) , v2 = (2 ,-1 ,-5 ,2 ) , v3 =(1,-1,-4 ,0 ) y

v4 =(2,1,1,6) linealm ente independiente en R 4 ?

Sabiendo que los vectores V |, v2 son linealm ente independiente en (V,+, K , .).

D em ostrar que v, + v2 y v2 son linealmente independiente.

216 Eduardo Espinoza Ramoá I spacios Vectoriales 217

Sabiendo que v , , v 2, v3 son vectores linealmente independiente del e sp a c ®

(V, +, k, .) averiguar la dependencia e independencia lineal de los siguientfl

conjuntos.

©

©

a) {v, + a v 2 + />v3, v2 + cv3, v3} b) {v,, v2 + av 3,v 3 + b2] , a,b,c € R

En un espacio vectorial V sobre k, sean v , , v2, v3 linealm ente independientyH

D eterm inar sí los siguientes conjuntos son linealm ente independiente:

a) {v, + v 2 - v 3, v2 + v3,2v,} b) { v ,+ 2 v 2 + 3 v 3,2v1,v 1+ 2 v 2 + 3 v 3}'fl

Dados los vectores (1,-4,6), (1,4,4) y (0,-4,x) del espacio R } sobre el cuer

de los reales, determ inar x para que sean linealm ente independiente.

Si los vectores u,v y w son linealmente independiente, entonces los vectorflÉ

u + 2v - 3w, 2u + v - w, 3u + 5v - 6w son linealm ente independiente.

Si u, v y w son linealm ente independiente. D em ostrar que los vector

u + 2v + 3w, v - 2u - w, -v - w son linealm ente dependiente.

Si los vectores u + v, v + 2w, u - 3w son linealm ente independiente, dem ostrajl

que los vectores 4u + 2v — 7w, 3v + 7w, w — u — v son linealm entfl

independiente.

Si u, v y w son vectores linealm ente independiente en V m ostrar que:

I) u + v - 2w , u - v - w y u + w son linealm ente independiente,

ii) u + v - 3w, u + 3 v - w y v + w son linealm ente dependiente.

Si los vectores u + v, v - w , u - 2v -3 w son linealm ente independiente,

determ inar com o son los vectores 6u - 5v - 13w, 2v + 3w, 2u - v + w.

D em ostrar que si a, b y c son tres núm eros reales distintos, entonces loá

vectores ( l , a , a 2) , ( l , b , b 2) y ( l , c , c 2) de R 3 son linealm ente independiente.I

©

©

J

H allar los valores de x, para los cuales los vectores u = (x, 1 - x, x),

v = (2X> 2x — 1, x + 2) y w = (-2x, x, -x) de V3 son linealm ente

independiente.

D em ostrar que los vectores u, v y w de V3 son linealm ente independiente de

V} <=> [uvw] * 0

Si u, v y w son vectores linealmente independiente de V3 analizar la

dependencia lineal de los vectores:

a) u + v, u - v, uxv b) u + v, u + (uxv), v + (uxv)

c) u, v, (u + v)x(u - v) d) u - v, v + w, u + w

Dado el espacio vectorial (F ,+ ,R„) y considerem os f,g,h e F definidas como

f(t) = sen t, g(t) = eos t y /)(/) = ; 2 , hallar los núm eros reales tales que

a f + bg + ch = 0.

Supongam os que u, v e V «on vectores linealm ente independiente de V,

probar que w¡ = au + b v , w2 = cu + dv son linealm ente independiente, si y

solo si ad - be *■ 0.

En S 2 , (a,b); (c,d) son linealm ente independiente si y solo si ad - be * 0.

Dados los subespacion de /?3 ; S, = { ( x , y , z ) z R 3 l x = y + z } ;

$2 = {(■x , y , z ) e R } / x + y = - z } ¿Cum ple que R 3 = ® 5 2 ?

R p ta . N o se cum ple

I © Considere los subespacios V y W c í 3 asi definidos V = {(x,*,x) / x e R};

W = {(x,y,0) / x,y e R } . D em uestre que R 3 = V ® W .

©

©

I©©

218

—> -> ■Dado u = (1 ,2 ) y y = ( - 1 ,2 ) , sean F} y F2 respectivam ente las rectas qm

pasan por el origen en R y contienen u y v respectivam ente. Demuestn

que R 2 = f] $ f '2 ■

Pruebe que el conjunto U de las matices triangulares inferiores y el conjunto W j

de las matrices triangulares superiores son subespacios vectoriales de M (nxn)|

que M (nxn) = U + W y que no se cum ple M (nxn) = U © W.

Sea V un espacio de dim ensión finita, si S c V es un subespacio. P robar qulfl

existe un subespacio U c V tal que V = S © U.

3 ___Sea V = R~ un espacio Vectorial sobre k = R, Probar que m = (1,3,5);]—> —►v = ( 2 , - 2 , 3 ) , w = (3 ,2 ,-5 ) forma una base de R 3 .

Dado el espacio S = { ( x , y , z ) e R 3 / x = y = 3z} de R 3 . Hallar todos lo ^

subespacios T de R 3 , tal que S © T = R 3

D eterm inar el subespacio S de ( R 3,+, /?,.) generado por los vectores (2,0,1) y l

(-1,0,1), hallar una base de S y su dimensión.

Sea S = L{(1,0,1),(1,1,0)} y T = {(0,-1,1),(1,5,4)}. Verificar que R 3 es la

sum a de S y T, pero no es la sum a directa de dichos subespacios.

Sea V = R 4 y y, = (1 ,2 ,0 ,3 ), y2 = (1 ,4 ,3 ,-1 ), v3 = (2 ,6 ,3 ,2) elem entos de / f 4 ,{

definim os: W¡ = {y e R 4 / v = a v { + b v 2, a , b e R}

W2 = { y e / ? 4 / y = a 3, a e R}

i) C alcular W, r \ W 2

Eduardo Espinoza / ’« m a J*

¡i) D e un vector de R tal que no pertenezca a .

i spacios Y'ectoriales 219

@ Sí V = R 2 , W, = { ( x , y ) e R 2 / 2 x = 3y}

W2 = { ( x , y ) e R 2 ! y = 0}

Probar que: R 2 =fV, ® fV 2

@ Si V = L{(1,1,-1 ),(2 ,1 ,-2),( 1,2,-1)} y W = L {(l,0 ,-l),(3 ,2 ,-3 )}

D em ostrar que V = W

( í í ) Si S = { ( x , y , z ) e R 3 / x = y + z} y T = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - 3 y = - z }

subespacios de R 3 . H allar dim (S + T)

( « ) E n * 4 , S = L {(1,1,0,-1 ),(1 ,2,3,0),(2,3,3,-1)}, T = L {(1,2,2,-2),(2,3,2^

3),(1,3,4,-3)} determ inar: S n T y S + T ¿ e x is te S © T? ¿po rqué?

D eterm inar el subespacio de ( R } ,+,R,.) generado por los vectores

v, = ( 1 -1 ,2 ) , v2 = (0,—1,1), v3 = (1,1,0).

(<é) Dem uestre que los siguientes conjuntos de vectores generan el mismo

subespacio de R 3 .

a) A = {(1,0,-1 ),(0 ,-2 ,1)}, B = {(1,-2,0),(2,-2,-1)}

b) A = {(1,-1,1),(3,0,1)}, B = {(-2,-1,0),(5,-2,3)}

w ) Determ inar dos bases en cada uno de los siguientes espacios vectoriales de

dim ensión finita.

a) V = { ( x , y , z ) e R 3 / x - y = 0}

b) W = { [ a i j ] e M 2x2( R ) / a u + a 2 2 = 0}

220 Eduardo Espinoza Ramoá

( 4 ^ Si V - L{( 1,0),(2,2),(3,0)} calcular dim V.

^ 9 ) Si V = L { ( 1 ,0 ) , ( - ^ , 0), (3, 0)} dem ostrar que dim V = 1

,50) Dados los subespacios de (R ,+ ,/?,.) S = {(* ,y , z , w ) e R 4 / x + y + z + w = ®

y T = { ( x , y , z , w) e R 4 t x - y — z - w = 0} obtener la dim ensión de S + T. m

En R considerem os V = { ( x , y , z ) e R / 2 x - y + z = 0} |

S = {(x , y , z ) e R 3 / x - 2 y - z = 0}. Hallar:

a) dim (V + U) b) dim (V n U) c) Una base de V n U

Supongam os que U y W son subespacios de V y que dim U = 4, dim W = 5 f l

dim V = 7. Hallar la posible dim ensión de U n W.

§ 3 ) Si S=L {(2,5,-1,1),(2,1,1,-1),(2,-1,2,-2)} y T = L {(3,4,1,-1 ),(3 ,5 ,1,-!),(1,2,1,-1)}j

D eterm inar S + T, S n T, dim (S + T) y dim (S n T)

,54) Dados los subespacios S = { ( x , y , z , t ) e R / x - y = z - t } y

T = { ( x , y , z , t ) e R 4 / 2 x - y - 3 z = t} de R 4 , H allar S + T, S n T , sus base«]

y dimensiones.

Considerem os en V4(R) los subespacios S = L {(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2,-4))

y T = L { (2 ,-l,l,l) ,(-2 ,l,3 ,3 ),(3 ,-6 ,0 ,0 )} . H allar las bases de los su b e sp a c ú *

S, T, S + T, S n T y sus respectivas dim ensiones.

Si S = L{(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y

T = L {(2,5,-6,-5),(-1,2,-7,-3),(3,3,1,-2)}. H allar S + T y S n T , bases y

dim ensiones. ¿Existe S © T? justifique


(<7) D em ostrar que en k--espacio vectorial V, de dim ensión n > 1, todo conjunto de

n vectores v , , v2 v„ son linealm ente independiente sí y sólo sí generan a V.

© Sea V en k - espacio vectorial, Si son vectores de V que son

linealm ente independiente tales que S = L{u¡ , u 2 } y

T = L{ur+l, u r+2,.. . ,un } con r < n, dem ostrar que existe S ® T

(*W) Sí S = L{(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y

T = L (2,5,-6,-5),(-1,2-7,-3),(5,8,-5,-7)}. D em ostrar que:

a) S n T = T b ) S + T = S

(¡M>) Sea V el espacio vectorial de las matrices de orden qxq con entradas núm eros

reales W¡ = {A e V / A = A ' } y W2 = { A e V / A = - A '} donde A ' denota

la m atriz transpuesta de A:

a) Pruebe que W¡ , W2 son subespacios vectoriales de V.

b) Dem uestre que V = W¡ + W2 , y que W¡ n W2 = {&}

c) Calcular dim W2

^V) Sea M i x i (R) el espacio vectorial de las matrices 3x3 de com ponentes reales,

definimos: 0 = {A = [a^ ] e A /3r3 (R) / a¡j = - a y,}

¿Es 0 un subespacio de M 3l3 (/f) ? Justifiqúese

En caso afirmativo, hallar una base de 0.

(o ;) Si V = L{u], u2, u} ,. ..,«„} y si m, es com binación lineal de // . 1/ , , ,i<„,

dem ostrar que V = L{u2 , u i ,. . . ,u„]


Si V = A/ 2jc2 (/?), sobre k = R

T =

(66

(68

1 0

0 0

rO iOO

í0 0 1 0

o o

0 1;.T es una base?

£ 4 ) Sea V = \ [aij] e M 2x2( R ) / a n + a 22=0}

ro i ] ro o íU = { , } c V , U es una base?

L ° ° _ L 1 ° J

Sea V = M 2x2 (R) espacio vectorial de matrices cuadradas sobre R y sean

tV = {[ai j] e M 2x2( R ) / a n + a l2 = 0} y

W2 = { [ a ¡ j ] e M 2x2( R ) / a u + a 21 =0}

a) D em ostrar que W, y W2 son subespacios de V.

b) H allar la dim ensión de fV , , W2 , W¡ + W2 y W¡ r \ tV2

D eterm inar si los vectores (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) form an una base de R 3 .

Probar que {(1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)} es una base de 7?3 .

Dem ostrar que el conjunto de vectores m, =(1,1,1,1), u 2 = (1 ,-1,1,-1),

m3 = (1 ,2 ,3 ,4), h 4 =(1,0,2,0) generan R 4 .

Sea S = {(x, y , z ) e R 3 / 3x - y + z = 0} probar que S es un subespacio de R 3 ,

encontrar una base de S.

Para los subespacios S y T de R 3 definida por:

S = { ( x , y , z ) s R 3 /3 x + .y - 5 z = 0} y T = {(x, y , z ) e R 3 / x - y + 3z = 0}

encontrar la dim ensión de S + T.


© Sí W = { ( x , y , z ) & R 3 1x + y + z = 0}

a) D em ostrar que W es un subespacio de R 3 .

b) H allar 2 vectores que generan a W.

(72) P robarque: R 3 = R 2 + { í ( l , - l , l ) / í e R) donde R 2 = { ( x , y f i ) l x, y e R}

© Sean L x y L 2 dos rectas distintas que pasan por el origen en R 2 , probar que

R 2 = L , + L 2

^ 4) Probar que R 2 = + L 2 , donde = { /( l ,l) /f e /?}, L 2 = { /l(2 ,- l) /A e /?}

@ Sí L = { t ( l , - l , l ) / t e R} y P = {(x,y,z)/ x + y + z = 0}.

a) H allar L n P b) P robarque R 3 = L + P

|Ihj En R , considerem os los subespacios C7, = { (x , y , z ) / x = y = z } ,

U 2 = { ( x , y , z ) / x + y + z = 0} . Dem ostrar que R 3 =U¡ ® U 2

(77) Encontrar una base para cada uno de las siguientes subespacios de R 1

a) S = {(x,y,z) / 3x - 4y + z = 0}

b) S = {(x,y,z) / x + y - z = 0 a 2 x - y + z = 0}

(7kJ Las soluciones de la ecuación hom ogénea x + y + z + t = 0 form a un

subespacio vectorial, hallar uña base para este subespacio.

0 Sí U = L{(1,2,0),(0,2,1)} y W = L{(0,0,2),(0,1,0)}.

a) Encuentre una base para U n W

b) Determ inar la dim ensión de U + W

224 Eduardo Espinoza Ramoè

(80) Verifique que R 3 = U © W , donde U ={(x,y,0)/x,y e R} y W ={(0,0,z)/z e 'R l

(61) Si U = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + 3)> + Z'=0} y W = { ( x , y , z ) & R 4 I x + 2 y - z = ( m

a) Encuentre una base para U n W b) D eterm ine dim (U + W ) 1

/ b = c} es un subespacio de R ' x 2 , encuentreJfl

dim ensión de W.

(83^ Sea V = R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespasjB

generado por (1,1,0) y (0,1,1). D em ostrar que V es la suma directa de W y U . J

(84) Sea W = { ( x , y , z , t ) & R 4 / x + y + z + t = 0}, probar que los vectore»

{(2,0,0,-2),(2,0,-2,0),(8,-2,-4,-2)} forman una base de W.

( 8 ^ H allar la dimensión de (W n U) + (V n T), sí:

W = { ( x , y , z ) e R i / 2 y - 3 z = 4 x ) , U = { ( x , y , z ) e R 3 / 2x+ 2z = y} y

T = {(x , y , z ) e /?3 I x + 3y = 3z}

(86) D ados los subespacios vectoriales de R

W = {(x, _y,z) e 7?3 1x + y = 0} y T = { (x ,y , z ) e R* / y - z = 0}.

H allar a) W u T , W n T y W + T

b) Determ inar cuales de los tres subconjuntos de (a) soj| subespacios vectoriales

c) Com probar si se verifica W © T = R :

(82) Dem uestre que W = {a b

c d

lispacios Vectoriales 225

(8?) D ados los subespacios vectoriales de R 4 .

W = {(x , y , z , t ) e R 4 12x = y , 2z = /} , U = {(x , y , z , t ) e R 4 / x + y + z + t = 0}

T = { ( x , y , z , t ) e R 4 / x = y = z = /} , se pide

a) Calcular los subespacios vectores de W + U, W + T, U + T

b) Calcular los subespacios vectoriales d e W n U , W n T , U n T

c) Calcular las dim ensiones de los subespacios de (a) y (b)

¡IW) H allar el subespacio vectorial W = L{v,u} d e S 4 donde v = (1,2,0,3) y

u = (0,-1,2,1). ¿Para qué valor de a se verifica (2,a ,-2,5) € W

0 Dado el subespacio vectorial de R 3 , W = {(x , y , z ) e R 3 l x + y + z = 0} y el

conjunto de vectores S = {(1,0,-1),(0,1,-1),(3,2,-5)} se pide:

a) Com probar que S es un sistema de generadores de W.

b) Encontrar un subconjunto de S form ado por dos vectores que sea tam bién

sistema de generadores de W.

^ 0) Dados los vectores v, = (1,2,0,0), v2 = (1,2,3,4), v3 = (3,6,0,0), se pide:

a) H allar el subespacio vectorial de ¿ { v ,, v2 , v3} .

b) D ar una base de dicho subespacio y su dimensión.

g ) Dados los subespacios vectoriales de R 3 , W = L {(l ,0,1 ),(2 ,1,0)},

U = { ( a , a + b , - a ) e R 3 / a , b e R} y T = {(x, y, z ) e R 3 / x = z, y = 0}, se pide:

a) Estudiar si el vector v = (2,0,2) pertenece a algunos de estos subespacios.

b) D ar una base de cada uno de ellos

c) Calcular sus dimensiones.

(5 Í ) Dados los subespacios vectoriales de R 3

W = {(a, 2a, a + b)7 a,b e R}, T = {(x , y , z ) e R 3 / x = 0, y = 0} . Se pide

a) H allar W n T y W + T

b) Obtener una base para W n T y otra para W + T

(93) Dados los vectores v, = (1,2,1), v2 = (0,1,1) y v3 = (2,5,3) se pide:

a) Estudiar si son linealm ente dependientes o independientes

b) D eterm inar el subespacio vectorial W generado por estos tres vectores. ■

c) H allar una base y la dim ensión de W.

d) D eterm inar el subespacio vectorial L{v], v 2 , v 3, u {} donde u x = (1,3,2)1

e) D eterm inar el subespacio vectorial Z.{vj, v2 , v3, w2} donde m2 = (0,1,0H

^ 4) Dados los subespacios vectoriales de R 3 , W = {(.x, y , z ) e R 3 / x = y , y = 2 f l

T = {{4a,a + b , b - a ) € R 3 l a , b & R ) se pide

a) Calcular W n T y W + T

b) H allar una base y la dim ensión siendo W n T y W + T

(95 ) Si S y T son dos subconjuntos de R 3 tales que dim S = 1, dim T = 2 y S ■3

es subconjunto de T. D em ostrar que S ® T - R

96) Sí S = L {(1,-1,0,2),(2,0,3,-l ),(4 ,0 ,-2 ,1)} y T = L {(1 ,-1,1,0),(2 ,2 ,-1,2),( 1 ,-5,4,-2)W

Hallar S n T y S + T hallar la dim ensión de S, T S n T y S + T

97) Sea V = {A e M Jx3( R ) / A = A ' } . Probar que dim V = 6


9&) D eterm inar el subespacio S = L {(2,0,1),(1,0,-1)} de ( R 3,+ ,R , . ) . H allar una

base S y su dimensión.

99) Dado los subespacios de ( / ? \ + , /? ,.), S = L {(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2-4)} y

T = L{(2,-1,1,1),(-2,1,3,3),(1,-2,0,0)}. H allar una base de S, de T y de S + T,

H allar dim S, dim T, dim (S + T) y dim (S n T).

A nalizar si S = { ( x , y , z , w) e R 4 / x — y = z a x + z = w) es un subespacio

de (R 4 ,+, R,.) en caso afirmativo. H allar una base y su dimensión.

101) Obtener en R 4 , los subespacios generados de los conjuntos siguientes:

A = {(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)} y B = {(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3)}

102) Si S = { ( x , y , z ) e R 3 / x = y + z} y T = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - 3 y = - 2} .

H allar dim (T + S)

103^ H allar un vector en R ' que genera la intersección de U y W donde U es el

plano XY: U = {(a,b,0) / a,b e R} y W es el espacio generado por los

vectores (1,2,3) y (1,-1,1).

104) Sea V = R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespacio

generado por (1,1,0) y (0,1,1). Dem ostrar que V es la suma directa de W y V.

105) S e a F = {(*, y , z , t ) s R 4 / x - y + z - t =0} yU={(x,y,z , t)<=R4 /2 x + y + 2 z + t = 0 ) .

H allar la dim ensión de los siguientes subespacios. U n V, U + V,R 4 R 4

Uv + u v + u

U ’ V r Ü j

R p ta . 2 ,4 , 1 ,1 , 1 ,2


®(ios)

51 V = '{(x’, y , z ) e R i I3x + 2 y + 5z = 0}. Probar que R3 = V (BV 1

Sea 0 V 2 ] ] = {a + b\¡2 / a ,b € . Probar que dim [V2] = 2

Dados los subespacios de R ' 5, = { ( x , y , z ) e R 3 t x - 2 y + 3z = 0} , |

5 2 = { ( x , y , z ) e R3 / x - y + ¿ = 0] . Hallar dim(5, + 5 2) R p ta . 3

Sea V = R 2 un espacio vectorial sobre k = R, sea u =(a , b ) y v = ( c , d )

vectores en V, tal que ad - be * 0, probar que u y v constituye una base de V.

lío ) Sea V = {a^ + axí + a2 co$2t + a3e3' / a ¡ & R, t e R] Probar que las funciones

/ , ( / ) = 2t - 1 , / 2(í) = / + c o s 2 / , / 3(0 = 3 + e3' , f 4(t) = - t + e3' constituyen

una base de V.

Hallar las dim ensión de (5, r s\S2) + (Si + S 4) si:

5) = {(*, v , z ) / 2 y - 3 z = - 4 x } , S 2 = { ( x , y , z ) / 2 x + 2z = y },

S} = {(x,y , z ) / x + 5z = 4 y ] , S4 = {(x,y , z ) / x + 3 y = 3z}

R p ta . 2

Sean U, W y S subespacios de un espacio finito dim ensional V tal que

V = U + W + S. Probar que V = U © W © S , si y solo si:

dim V = dim U + dim W + dim S.

Transformaciones Lineales 229

CAPÍTULO IV

4. TRANSFORMACIONES LINEALES.-

En el presente capítulo expondrem os el concepto de transform ación lineal entre

dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, las propiedades generales y

los tipos especiales de transform aciones lineales, se introduce la estructura de

Núcleo y de la imagen de una transform ación lineal y se estudia la relación

entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determ ina la matriz

asociada a una transform ación lineal y finalm ente se trata de los espacios

vectoriales de las transform aciones lineales y el espacio dual de un espacio

vectorial.

4.1. DEFINICIÓN.-

Considerem os dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo k, a la función

T: V —> W, llamaremos una transform ación lineal u hom om orfism o sí y sólo sí

cum ple con las siguientes condiciones.

T(x + y) = T(x) + T(y), V x,y € V

Es decir: Que la im agen de la sum a de dos vectores de V es igual a la

sum a de sus im ágenes en W.

ü) T(Ax) = AT(x), V x e V, X e k

Es decir: Que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector

de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.


4.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.-

Sea T: V -> W, una transform ación lineai.

V . vW

/ . X *y \ f ,T(x) ,T(y)\1 • x+y j ( .T(x) + T(y)jV / V .XT (x)J

4.3. TEOREMA.-

Sean (V ,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales, la función T: V W es I

una transform ación lineal sí y sólo sí

T (a x + py) = aT (x ) + PT(y), V a ,p e k y V x,y € V

D em ostración

Suponiendo que T: V -» W es una transform ación lineal entonces (i), (ii) son

validos; com o V es un espacio vectorial => a x , Py e V, V a ,P e k y V x,y e \ l

Entonces a x + p y e V ahora por la parte (i) se tiene: T (ax+ Py) = T (ax)+T (Py)

y por la parte (ii) se tiene:

T (a x + py) = T (a x ) + T (py) = aT (x ) + pT(y), V x,y e R, V a ,p e k

T (a x + py) = aT (x ) + pT(y)

recíprocam ente supongam os que:

T (a x + Py) = cxT(x) + pT(y), V a ,p e k y V x,y e V

Entonces com o a ,p e k a = p = 1

t ransformaciones Lineales 231

Pues 1 e k => T( 1 .x + 1 .y) = T(x) + T(y) se verifica i) *

Sí a = X, b = 0, A.,0 e k entonces T(Xx + O.y) = AT(x) + O.T(y) = AT(x)

T(Ax) = X se verifica (ii), por lo tanto T es una transform ación lineal.

E jem p lo .- Probar que I : V -> W (transform ación identidad) tal que

I(x) = x, V x e V es una transform ación lineal.

Solución

i) I(a x + Py) = a x + Py = a l(x ) + pi(y)

I(a x + Py) = a l(x ) + pi(y), V x,y e V, a , p e k

Por lo tanto I es una transform ación lineal

E jem p lo .- D eterm inar si la aplicación / : R 2 - » R 3 definida por

f(x,y) = (2x, -y, x) donde k = R es una transform ación lineal.

Solución

0 / [ ( * i . y ¡ ) + ( x 2 , y 2)] = / ( * , , ) + f ( x 2 , y 2 ) por probar

f [ ( x x, y i ) + ( x 2 , y 2 )] = f ( x x + x 2 , y t + y 2)

= (2(jc, + x 2 ) , - y { - y 2 , x l + x 2 )

= (2x¡ - y , , x ¡ ) + (2x 2 - y 2, x 2)

= f ( x l , y l ) + f ( x 2, y 2 )

ii) f(A(x,y)) = Áf(x,y) por probar

f(A(x,y)) = f(Ax,Ay) = (2A.x, -Xy, Xx) = X(2x, -y, x) = Xf(x,y)

por lo tanto / : R 2 -» R 3 es una transform ación lineal.

232 Eduardo Espinoza Ramot

Ejem plo.- Sea T : R* R ' tal que T(x,y,z) = (x,2,z)

¿T es una transform ación lineal?

Solución

Sean (jc2 , _y2, ^ 2 ) e ^ entonces

(xi ,yi , z l) + (x2,y2,z2) = ( x\ +x2,yi +y2,z 1 +z2)

T[(xx, y x, z x) + ( x 2, y 2, z 2 )] = T ( x x + x 2 , y x + y 2,z¡ + z 2 )

= ( x ¡ + x 2, 2 , z x + z 2) . ..(1 ) |

T ( x l , y l , z ¡ ) + T ( x 2, y 2, z 2) = ( x l , 2 , z x) + ( x 2, 2 , z 2 )

= ( x ¡ + x 2, 4 , z ¡ + z 2) . . . ( 2 ) ,

de (1) y (2) tenem os

r [ ( x 1, y í , z l ) + ( x 2, y 2 , z 2) \ * r ( x l , y l , z l ) + T ( x 2 , y 2 , z 2 )

por lo tanto T no es una transform ación lineal.

Ejem plo.- Sean los subespacios R" y R m , x e R" un vector y A una

m atriz de R ”" " , com probar que la función T : R n —> R m

definida por T(x) = Ax, A fijo, es una transform ación lineal.

Solución

i) Probarem os que T(x + y) = T(x) + T(y), x , y e R "

T(x + y) = A(x + y) = A x + Ay = T(x) + T(y)

T(x + y) = T(x) + T(y)


ii) Probarem os que T(Ax) = AT(x), X e R, x e R"

T(A.x) = A(X.x) = X A x = A.T(x)

.'. T(A.x) = AT(x)

por lo tanto de (i), (ii) T es una transform ación lineal.

Ejem plo.- Sea el espacio vectorial V = { f / f : R —» R continua} sobre el

cam po R, definimos: T : V -> V tal que T ( f ( x ) ) = f ( t ) d t

Probar que T es una transform ación lineal.

Solución

i) T(f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x)), V f,g € V por probar

n f ( x ) + g (x) ) = T ( ( f + g )(x )) = f ( / + g) (t )dt=r<= J V (0 + áK 0 )¿ ' = J^/(0^ + £ g( t )d t = T(f(x)) + T(g(x))

.-. T(f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x))

ii) T(A,f(x)) = A.T(f(x)), V f e V y A e R por probar

T ( A f ( x ) ) = T « A f ) ( x ) ) = f ( A f ) ( t ) d t

A f ( t ) d t = A | f ( t ) d t = A T ( f ( x ) )

T(X.f(x)) = AT(f(x)

por lo tanto de (i), (ii), T es una transform ación lineal.


E jem plo .- Considerem os V un espacio vectorial y f : V —» R, g : V —> H

dos transform aciones lineales, sea F : V —> R 2 una aplicación ,

tal que F(v)=(f(v), g(v)), V v e V , dem ostrar que F es una ■

transform ación lineal.

Solución

i) F(v + w) = F(v) + f(w), V v,w e V por dem ostrar:

F(v + w) = (f(v + w), g(v + w))

= (f(v) + f(w), g(v) + g(w)) por ser f y g transform ación

= (f(v), g(v)) + (f(w), g(w)) = F(v) + F(w)

por lo tanto F(v + w ) = F(v) + F(w)

ii) F (av) = A.F(v), V v e V, X e R por dem ostrar

F(Av) = (fl[A.v), g(A.v)) = (A.f(v), A.g(v)) por ser f y g transform ación

= >.(fl¡v), g(v)) = X F(v), por lo tanto F ( lv ) = ÁF(v)

Luego de (i) y (ii) F es una transform ación lineal.

E jem plo .- Si T : R 2 —> R* es una transform ación lineal tal que

T(1,2) = (1,0,-1), T (2 ,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y)

Solución

Expresarem os a ( x , y ) e R 2 com o com binación lineal de (1,2) y (2,1)

(x,y) = a ( 1,2) + P (2 ,1) . . . ( 1 )

(x,y) = ( a + 2p, 2 a + P),. P or igualdad se tiene:


x = a + i p

y = 2 a + p

a =

P =

2 y - x

2x - yreem plazando en (1)

( * , > 0 = ^ ( 1 , 2 ) + ^ _ Z ( 2 , l )

T ( x , y ) = T[ X ( l ,2) + ~ - ^ (2 ,1)], T transform ación lineal

1,2) + J Z n 2,1) = — ^ 0 , 0 , -1 ) + 1, - 2 )

2 y - x + 4 x - 2 y 2 x - y 2 y - x 2 , . ^ , 2 x - \= (— ----- 3--------- ,0 + _ 3------ J (2 x ~ y » = ( x > - y L - x )

T ( x , y ) = (x. } , - x )

Ejem plo.- Si F es una transform ación lineal de R 3 en R 2 tal que

F(0,-1,1) = (1,2), F (l,-1 ,0 ) = (3,4) y F(1,0,0) = (5,6). H allar

F(x,y,z)

Solución

Escribirem os a ( x , y , z ) e R en com binación lineal de ( 0 ,- l , l ) , (1,-1,0) y

(1,0,0) es decir: (x,y,z) = a ( 0 ,- 1,1) + p( 1,-1,0) + y( 1,0,0)

(x,y,z) = (P + y, - a - p, a ) , por igualdad tenemos

x = p + A

y = - a - P =>

z = a

a = z

P = - ( y + z) reem plazando en ( 1 )

A - x + y + z

(x,y,z) = z(0 ,-1,1) - (y + z)( 1 1 , 0 ) + (x + y + z)( 1,0,0)

com o F es una transform ación lineal, entonces

F(x,y,z) = F [z (0 ,- l ,l) - )y + z ) ( l ,- l ,0 ) + (y + 2z)( 1,0,0)]

= z F (0 ,- l ,l ) - (y + z )F (l,- l,0 ) + (x + y + z)F (l ,0,0)

= z( 1,2) - (y + z)(3,4) + (x + y + z)(5,6)

= (z - 3y - 3z + 5x + 5y + 5z, 2z - 4y - 4z + 6x + 6y + 6z)

= (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z)

F(x,y,z) = (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z)

E jem plo .- Si V ~ M 2x2(R) conjunto de las m atrices de orden dos y sea

T : M 2x2(R) -> R una aplicación tal que: T(A) = a n + a 21

donde A e M 2x2 (R ) ¿T es una transform ación lineal?

Solución

Sean A , B e M 2x2(R) => A =

i) T(A + B) = T(A) + T(B ) por com probar

a u an, B =

b¡¡ i\2

a 2\ a2 2_ P 21 b22 _

T(A + B) = T{

T (

11 b\2+b2, ¿>22 _

a U a \2

a21 a 22

a , i +¿ ^ i ax2 +bV2

a2 i+ b 2ì a 22 + b22

)

) - (a, j + 1\ , ) + (a22 + ¿>22 )


- («11 + a 22) + (^ll + ^ 22) - T (A) + T(B)

T(A + B) = T(A) + T(B)

¡i) T ( L \ ) = A.T(A), V A e M 2x2 ( 5 ) y k e R por probar

l ( Á A ) = T(Aa , , a 12

II ’■S

1 1....................................................................................................................................................................................................................................................-04

«3*a2] a22_ A a2\ 2 2

)

— Aa j 1 + Ax¡22 — A(a¡ 1 + (I22 ) = AT(A)

T ( k A ) = ÁT(A)

Por lo tanto de (i) y (ii) T es una transform ación lineal.

[4.4. PROPOSICIÓN.-

Sean (V,+,k,.), (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y T: V -

transform ación lineal, se cum ple las.siguientes afirmaciones.

b) T (0 v y = ú w

n , n ,a) 7 ' ( ^ « , v , ) = ^ Cr,r (v ,)

1 = 1 1 = 1

c) T(-v) = -T(v)D em ostración

%

a) La dem ostración se hace por inducción

i) Si n = 2, se cum ple T ^ T a ¡ v t ) = T ( a lvl + a 2 v2 )

<•=1

= a lT (v , ) + a 2T(v2 ) , v,

a ¡ , a 2 e k pues T es transform ación lineal

W una

,v 2 e V

ii) Supongamos que para n = h con h > 2 se cumple.

h+ 1 h

T i ' } ' , a ¡ vi ) = y a ‘ T (v¡)/—i í=i

h= T ( ' ^ ' a¡v, ) + T ( a h+, vA+1) pues T es transform ación lineal.

<=i

h= ^ a¡ T(v¡) + a h+] T(vh+l) de (ii) T transform ación lineal |

i=i

h+ 1

= ' ^ ' a lT(v l ) , por lo tanto com o se cum ple para n = h + j j

i=ih > 2

entonces se cum ple V n > 2

b) T (0 V) = T ( 0 V + 0 X.) = T(f lv) + T ( 0 V) , T es transform ación lineal

T ( 0 V) - T (0 V) = T ( 0 V) + T ( 0 V) - T ( 0 V)

0 „ = T ( 0 V) + 0 W => T ( 0 V) = 0 W

c) T(-v + v) = T(-v) + T(v) por ser T transform ación lineal

T ( 0 v ) = T(v) + T { - v ) = 0 w

T ( - v ) = - T ( v ) + 0 w = - T ( v )

T(-v) = -T(v)

f ransformaciones Lineales 239

4.5. CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.-____________________________________________

Sean (V,+,k,.), (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y f: V —> W una

transform ación lineal es decir que se cum ple (i) y (ii) en esta definición f no

tiene ninguna condición salvo que solam ente sea una función por lo tanto

darem os los siguientes conceptos:

f e s un m onom orfism o o f e s inyectiva

f es un epim orfism o f e s sobreyectiva

f es isom orfism o o f es biyectiva

Si V = W , entonces la transform ación lineal f se llama endom orfism o y si esta

es biyectiva entonces recibe el nom bre de autom orfism o, es decir un

autom orfism o es toda transform ación lineal biyectiva de un espacio vectorial

en sí mismo.

E jem plo .- Si / : R~ R 2 es una aplicación definida por

f(x,y) = (x + y, x - y) ¿ f es un autom orfism o?

Solución

Para que f sea un autom orfism o debem os probar que f sea una transform ación

lineal biyectiva

a) f es u n a tran sfo rm ac ió n Jineal.

>) / ( ( * i , y \ ) + ( x 2 , y 2 )) = f ( x ¡ + x 2 , y { + y 2 )

= (x, + x 2 +y¡ + y 2 ,x¡ + x 2 - y , - y 2 )

= (x, + y u x ] - y x) + ( x 2 + y 2 , x 2 - y 2 )

= f ( x í , y i ) + f ( x 2 , y 2 )

240 Eduardo Espinoza kamot

¡i) f(A(x,y)) = f(Ax, Xy) = (A.x + Xy, Xx - Xy) = A(x + y, x - y) = Af(x,y)

por lo tanto de (i) y (ii) f es una transform ación lineal,

b) f es inyectiva

Sean ( x x, y x ) , ( x 2, y 2 ) e R 2 , tal que

f ( x l ,y]) = f ( x 2,y2) => (*i +'yi,x¡ - y \ ) = (x2 + y2,x2 - ^ 2)

+ y t = X 2 + y 2

x\ - y \ = *2 ~ y 2 U i = y 2

Luego f ( x , , y ¡ ) = f ( x 2 , y 2 ) => ( x¡ , y ¡ ) = ( x 2, y 2)

Por lo tanto f es inyectiva.

c) f es suryectiva

V ( x2 , y 2 ) e R 2, 3 ( x , , / , ) e / ? 2 ta lq u e f ( x , , y x ) = ( x2 , y 2 )

(jc, + y x, x x - y x) = ( x 2 , y 2 ) por igualdad se tiene:

x, + y x — x2

*1 - y ¡ = y 2

_ x 2 + y 21 2

y 1 =x 2 - y 2

x-, + v , x-¡ - v2 x Luego V ( x 2, y 2) , 3 ( x , , y x) = (— ^— , — - — ) ta lque:

X ,.,*2+ ^2 ^ 2 + > ’2 , ^2 + ^2 ^ 2 - ^ 2 ,/ ( W i ) = / ( — — . — Y ~ — — “ *— 2------- 2

= (x 2 , y 2 ) > Por 1 ° tant0 f es sobreyectiva

Luego de (a), (b) y (c) f es un autom orfism o.


E jem plo .- Sea / : R 1 -> R 3 una transform ación lineal definida por

f(x,y) = (x + y, 0, x + y) ¿ f es m onom orfism o, epim orfism o?

Solución

F es m onom orfism o si f es inyectiva

Si x * y se tiene (x,y) * (y,x) sin em bargo f(x,y) = f(y,x)

Por lo tanto f no es inyectiva

Por lo tanto f no es un m onom orfism o

f es un epim orfism o si f es sobreyectiva

V (x, y , z ) e R 2 tal que f(a,b) = (x,y,z)

Luego para (3,1,2) e R 3 no existe (x, v) e R 2 / f(x,y) = (3,1,2)

Por lo tanto f no es sobreyectiva con lo cual f no es un epim orfism o

Ejem plo.- La aplicación f : R 3 R 3 definida por: f(x,y,z) = (y,-x,z)

¿ f es un autom orfism o en R 3 ?

Solución

Para que f sea autom orfism o debe probarse que f sea una transform ación lineal

biyectiva.

a) f es una transform ación lineal.

«) f ( ( x i , y i , z x) + ( x 2 , y 2 , z 2 )) = f ( x l + x 2 , y , + y 2 ,z¡ + z 2 )

= ( y 1 + 2 - ^ 2 ^ 1 + z 2 )

= (y¡ -* i ,Z i)+(y2 , - x 2 , z 2)

= f ( x i , y I, z ¡ ) + f ( x 2, y 2, z 2)

ii) f(A(x,y,z)) = fì(Ax,Ay,À.z) = (Xy, -Xx, Xz) = M y,-x,z) = Af(x,y,z)

por lo tanto (i), (ii) f es una transform ación lineal.

b) f es inyectiva.

Sean ( x x, y i , z l ), ( x 2, y 2 , z 2) e /?3 , tal que f ( x l , y ], z i ) = f ( x 2, ^ 2 . 2 2 )1

( y l , - x l , z l ) = ( y 2 , - x 2, z 2 ) => x, = x 2 a y \ = y 2 a z, = z 2

Luego f ( x l , y l , z ¡ ) = f ( x 2, y 2 , z 2 ) => ( x , , y \ , z {) = ( x 2, y 2 , z 2 )

f es inyectiva

c) f es sobreyectiva

V ( x , y , z ) e /?3 , 3 (a , b , c ) e /?3 tal que f(a,b,c) = (x,y,z)

(b,-a,c) = (x,y,z) => b = x, a = -y, c = z

Luego V ( x ,y , z ) e , 3 (a,b,c) = (-y,x,z) tal que

f(a,b,c) = f(-y,x,z) = (x,y,z)

f es sobreyectiva

por lo tanto de (a), (b) y (c) f es automorfismo.

4.6. PROPQS1CIÓN.-

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre k y T: V -> W una

transform ación lineal, entonces sé cum ple las siguientes afirmaciones.

a ) T(V \ ) = {T(a) e W / a e V x} es un subespacio de W para cualquior

subespacio V¡ de V.


b) Si W¡ es un subespacio de W entonces:

T \ \ V X) = {a e V / T{ a) e IV\} es un subespacio de V.

c) T es inyectiva <=> T ( a ) = 0 W => a - d v

d) Si {v,, v2.vr } son linealmente independiente y T es inyectiva =>

(7Tvi ) ,T (v 2),..., T(vr )} es linealm ente independiente en W.

D em ostración

a) i) Sea /?,, p¡ e T(Vl ) => P \ + P 2 e T(V{) por probar

Sí P , e T { V x) => 3 a , e V , / T ( a , ) = p ¡

P 2 e T ( F , ) => 3 a 2 e V i / T ( a 2 ) = P 2 sum ando

T ( a {) + T ( a 2) = p x + p 2

com o T es una transform ación lineal entonces

T ( a { + ar2 ) = 7 '(a 1) + 7’(ar2 ) = p x+ p 2 , entonces

T ( a x + a 2) = p x + P 2 y com o a u a 2 eV¡ y V¡ es un

subespacio de V

entonces a , + a 2 e V, => /?, + p 2 e T(VX)

ii) Sea X. e k, p e T(VX) => A P e T(V¡) por probar

Si P e T ( V x) => 3 a e F , tal que T (a ) = P y com o Vx es

subespacio de V => A a e V , => T(Xa) = AT(a) = Ap

244 Eduardo Espinoza Ramoi

Com o T(Aa) = A.p => A P e T ( V x)

T(VX) es un subespacio de W

b) i) T - \ W x)*</>

d ' e r ' 1 (Wi ) com o Wx es un subespacio de W

=> 0 'e lV , => T (d ) = 0'

=> e e V => T ~ \ W x)*<t>

¡i) Sean a x, a 2 e T ~ \ \ V x) ^ ¿ a x + a 2 e T~' (IV, ) ?

Sí a , e r ' í W ' ' , ) => tal que TX«,) = /? ,

a 2 e 7’" 1 (W t ) => 3 P 2 & w \ tal que T (a 2 ) = P i sum ando

T ( a x) + T ( a 2 ) = P x + p 2

com o T es una transform ación lineal.

T ( a x + a 2) = T ( a ¡ ) + T ( a 2 ) = /? ,+ /?2 y com o ^ es un subespac

de W = > / ? | + P 2 e => a , + a 2 e r ~ ' ( ^ i )

iii) S Í X e k , a € r - ' ( ^ , ) ^ i A a e T - ' i W ^

a e T ~ \ W x) 3 / ? e Wx / T (a ) = P y T(X a) = A T(a) = Xp

com o Wx es un subespacio de W y A ek = > A f l e W x entone

A a e T ~X(WX) .

T~ l (W¡ ) es un subespacio de V.


c) =>) Supongam os que T es inyectiva (hipótesis)

Supongam os T (a ) = 0' y por otra parte T(0) = 9'

=> T (a ) = T(0) => a = 0

<=) Supongam os que T (a ) = 0' => a = 0

Supongam os que T (a ) = T(P) => T ( a ) - T ( f i ) = 8'

=> T ( a - P ) = 0' => a * P = 0 = > a = P, a y P son cualquiera => T esinyectiva.

r

d ) a iT(vi ) = 0 ' , com o T es transform ación lineali= i

r r

^ ’[g iT(v¡) = T ( y Qr,v, ) = 0 ' y c o m o T es inyectivai = i i= i

r

£ ^ a ¡ v ¡ = 8 y com o {v,, v2 vr } son l.i.i=i

=> a x = a 2 = ... = a r = 0

por lo tanto {T(vx) ,T { y2 T(vr )} es l.i.

E jem plo .- Si F : M 2x2(R) -> R 2 / F (ax | ax 2

La 21 a22.

¿F es transform ación lineal? ¿F es inyectiva?

Solución

) — (ají + a 22, a 2\ )

i) Si a , / ) e M 2x2(R)

a + f i -

au a, 2

.«21 «22., f i =

*11 *12

.*21 *22.

au an *11 *12 «11 +*11 «12+*12

a2X a22 _+

*21 *22. fl2l+*2i «22 +*22 .

7’( a + /?) = ( ( a „ + *U ) + («22 + *22>’«2I + * 2 i)

= ( a n + a 22 >a 2i ) + (*n ■+■ 22»*21 ^= T(ct) + T(p)

ii) Sea l e R, a e M 2x2(R) => A a =Aa¡¡ Aa,12Aa21 Aa22 _

T (A a) = (/ki] 1 + Aa2 2 , A a 2 l ) = A(a {, + a 22, « 21) = ^

Luego T es una transform ación lineal.

F es invectiva sí F ( a ) = 9' a = 9

CC G A/2 2 (^ ) ~

( a u + a 2 2 . a 2i) = (0>°)

Luego

------

------

1

K»1

=> F(«11 «12 II p 0

a2\ «22. .«21 «22 _

, 1 - ru22 - u ^ flll fl22Ü21 - 0

«11 «12

01 lO

«2i a22 0 0

«I 1 + «2? ~ 0

«21 =0<

F no es inyectiva.

E jem plo .- Sí F : /?4 -> /?6 tal que F ( x , , x 2, * 3, x 4 ) = (0 ,x, ,0 ,x 2 , x 3, x 4 )

¿F es una transform ación lineal? ¿F es inyectiva?

Solución


i) /r[(x1,x2,x3,x4) + (_v1,_y2,>'3 ,>'4)]= F(x, +.Vl»*2 + 2>JC3 + .V} > * 4 +>’4 )

= (0 ,x , + y¡ , 0 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3, x 4 + y 4 )

— (0> x , , 0 , x 2 , x 3, x 4 ) + (0, y x ,0, y 2 , y 3, y 4 )

— F ( x l , x 2, x 3, x 4 ) + F ( y | , y 2 , y 3, y 4 )

ii) ^ ( ^ ( X |,x 2 ,x 3,x 4)) = ^ F ( x 1,x 2,.r3,x 4 ) por com probar

F ( A ( x l , x 2 , x 3, x 4 )) = F (A x i .Ax2 ,Ax i ,Ax4 ) = (0 ,Ax i ,0 ,¿x2, A x3,Ax4 )

= A(0, x, ,0 ,x 2 , x 3, x 4 ) = A F (x t , x 2, x 3, x 4 )

Luego de (i) y (ii) F es una transform ación lineal.

F(x,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0) => (x,y,z,w) = (0,0,0,0)

F(x,y,z,w) = (0,x,0,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0) => x = y = z = w = 0

Luego F(x,y,z,w) = (0,0,0,0,0,0) => (x,y,z,w) = (0,0,0,0) entonces F es inyectiva.

4.7. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL-_______________________________

a) D E F IN IC IÓ N .- Sea T: V —> W una transform ación lineal llam arem os

núcleo de la transform ación lineal T al conjunto

denotado por “N (T)” y queda definido como:

N ( T ) = { v e V / T ( v ) = 9 J

Es decir el núcleo de T es el conjunto form ado por todos los elem entos de

V tales que sus im ágenes m ediante T es igual al elemento nulo de W.

El núcleo de toda transform ación lineal es la pre-im agen del vector nulaj

del segundo espacio, es decir: N ( T ) = T ~ ' ( 0 w)

por definición, un vector perteneciente a V es un elemento del núcleo sí y

sólo sí su imagen es el vector nulo de W.

x e N (T) <=> T(x ) =

• r • 3 2E jem plo .- D eterm inar el núcleo de la transform ación lineal f : R —* R

tal que f(x,y,z) = (x - z, y - z)

Solución

N ( f ) = {(* ,y , z ) e R i / f ( x , y , z ) = (0,0)}

com o f(x,y,z) = (0,0) de donde (x - z, y - z) = (0,0) por igualdad se tiene:

x - z = 0

y - z = 0x = z a y = z => x = y = z

Luego N ( f ) = { ( x , y , z ) e R ! x = y = z}

Representa una recta en í .


O B S E R V A C IÓ N .- D e la definición de núcleo de una transform ación lineal

f : V —> W observam os que N (f) c V

Tam bién dem ostrarem os que f { 0 v ) = 0 w de donde 0 V e N ( f ) y de esto se

tiene que el núcleo de toda transform ación lineal f es no vacío.

b) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V ,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y

f : V -» W una transform ación lineal, dem ostrar que:

(N(f),+,k,.) es un subespacio de (V ,+,k„.)

D em ostración

i) N(f) #4» de la observación

¡i) Si x,y e N(f) => x + y e N (f) por probar

\ x e N ( f ) f ( x ) = 0=> sum ando f ( x ) + f ( y ) = 0 K

\ y e N ( f ) f ( y ) = 0 w JKy> w

f ( x + y ) = 0 W por que f es transform ación lineal

=> x + y e N (f) definición de núcleo

iii) X e k, x e N (f) => h e N (f) por probar

Sí x € N (0 => / ( * ) = 0 W => A /( x) =

/ ( / I r ) = 9 W puesto que f es transform ación lineal

=> h e N (0 definición de núcleo.

Por lo tanto N (f) es subespacio de V.

c) D E F IN IC IÓ N .- Sea T: V -> W una transform ación lineal. Llamaremos!

imagen de la transform ación lineal T al conjunto

denotado por Im(T) que definirem os como:

Im(T) = { w e W / 3 v e V a T(v) = w}

Tam bién se puede expresar en la forma: Im (T) = {T(v) / v e V}

lm(T)

Es decir: w e W es un elem ento de la imagen de T, si existe v e V tul

que T(v) = w esto quiere decir que la imagen de una transform ación lineal

es la totalidad de las im ágenes de los vectores del prim er espacio.

O B S E R V A C IÓ N .- Sabem os que T ( 9 V) = 0 W de donde 9 W e Im(7) lo qu*

significa que Im(T) * <J>.


d) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V ,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales

y f: V -» W una transform ación lineal, dem ostrar

que: (Im (f),+,k,.) es un subespacio de (W ,+,k,.).

D em ostración

i) Im(f) * <)> por la observación

i¡) Si u + v e Im(f) => u + v e Im(f) por probar

íu e lm (/ ) Í 3 x e V / f ( x ) = ui i , ^ i . sum ando[v e I m ( / ) |3 y e V / f ( y ) = v

f(x) + f(y) = u + v, f transform ación lineal

f(x + y) = u + v y x + y e V

=> u + v € Im(f) definición de imagen

iii) Sea X e k, u e Im (f) => Au e lm (f) por probar

Sí u e Im(f) 3 x e V / f(x) = u

A,f(x) = Xu, por ser f transform ación lineal

f(A.x) = Xu, X x e V, de donde X u e Im(f) por definición de Imagen.

Por lo tanto (Im (f),+,k,.) es un subespacio de W.

E jem plo .- Sea / : R 2 —» la transform ación lineal definida por

fl[x,y) = (x + y, x - y, x + 2y). H allar Im(f)

Solución

l m ( f ) = { ( x , y , z ) e R i / 3 ( a , h ) e R 2 a f ( a , b ) = ( x , y , z ) }

f(a,b) = (x,y,z) de donde (a + b, a - b, a + 2b) = (x,y,z) por igualdad se tiene:

a + b = x

a - b = y -

a + 2b = z

x + _v 2 y + z

2a = x + y

3 a - 2 y + z

3x + 3y = 4y + 2z

x + y

22 y + z

= a

= a

3x - y - 2z = 0

I m ( / ) = { ( x , y , z ) e R } / 3 x - y - 2 z = = 0 }

4.8. TEOREMA.-

Sean (V,+,k,.), (W ,+,k,.) espacios vectoriales y T : V —> W una transformad»!

lineal, se cu m p le :'

a) T es inyectiva <=> N ( T ) = {0v }

b) Sea {v1,v 2 ,...,v„} un conjunto liñealm ente dependiente en V, entone

{ 7 \v ,), T ( v2 ) , . :, ,T(vn )} es linealm ente dependiente en W.

c) Si {vj ,v2 ,.:.,vn } son vectores de V tales que { r (v ,) , T (v 2 T(vn )} sonj

linealm ente independiente en W, entonces {v,, v2 v „ } son linealmente

independiente.

d ) Si { v i,v2 ,...,v„} es un conjunto linealm ente independiente y T es una

transform ación lineal inyectiva, entonces {7’(v) ) ,7’(v2 7’(v„)} es

linealm ente independiente de W.

D em ostración

a) =>) Asum iendo que T es inyectiva probarem os que N ( T ) = {0V} se deb#J

cum plir que \ 9 V} <z N ( T )


9 V e N => {0V} c N , ahora falta probar que N a {9v }

sea x 6 N(T) => T(x ) = 9 W = T ( 0 V) => x = 0 v

=> x e { 0 v} => N ( T ) c z { 0 v }

••• N ( T ) = ( 0 v}

<=) Por dem ostrar que T es inyectiva.

Es decir: sí T(x) = T(y) => x = y

F(x) = F(y) => T ( x ) - T ( y ) = 0 W => T ( x - y ) = 0 W

=> x - y e N ( T ) => x - y = 0 v => x = y

b) Com o {v i,v2,...,v„} es linealmente dependiente 3 i tal quen

= 9V a a¡ * 0 , aplicando T (transform ación lineal) se tiene:i= i

n n

T(0V) A a i * 0 => y a , T ( v , . ) = ^ a a¡ * 0

í= i i= i

entonces { ^V j), 7'(v2 ),..., 7'(v„)} son linealm ente dependiente en W.

c) Considerem os una com binación lineal en V.

n^ ' a i v( = 0V por dem ostrar que a , = a 2 = ... = a„ = 0

i=i

n

aplicando la transform ación lineal T se tiene: T(^ ' a¡v¡ ) = T(0V) = 0W


ny ^ g ,T ( v ,- ) = gw, com o T{v{),..., f ( v „ ) son lincalm ente independiente j

1 = 1

entonces {v|,v2,...,v„} son linealmente independiente,

d) Considerem os una com binación lineal en W.

na , r ív , ) = &w , aplicando Transform ación Lineal

1 = 1

n nT ( £ a¡v¡ ) = 0W => a , V, e iV (r)

í=i 1=1

com o T es inyectiva por la parte (a) se tiene:

n^ ^ a ¡ v i = 0 v => a , = 0 , V i = l , 2 , . . . , n

í=i

por ser v, ,v 2,..., v„ linealm ente independiente por lo tanto

{jTXv,), T( v2 ), . . . ,T(v„ )} es linealm ente independiente.

E jem plo .- Sea T : R 2 -> R 2 una transform ación lineal, probar que:

T e s inyectiva o T( 1,0) y T(0,1) es linealm ente independiente.

Solución

—>) X es inyectiva => T(1,0) y T(0,1) son linealm ente independiente

considerem os la com binación lineal en R 2 .

a T ( l ,0 ) + p T (0 ,l) = (0,0) => a = P = 0 por probar


com o T es una transform ación lineal entonces:

T [a ( 1,0) + P (0 ,1)] = (0,0) => T (a ,P ) = (0,0), com o T es inyectiva

=> (a ,P ) = (0,0) => a = p = 0

por lo tanto T(1,0) y T(0,1) son linealm ente independiente.

4.9. DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y DE LA IMAGEN.-

T E O R E M A .- Sea (V ,+,k,.) un espacio vectorial de dim ensiones finita y

f : V -> W una transform ación lineal entonces:

dim V = dim N(f) + dim Im(f)

D em ostración

1ro. Suponiendo que Im(f) = {0} => dim lm (0 = 0, de donde se tiene:

dim (v) = dim N(f)

2do. Suponiendo que lm (f) ^ {0} y com o V tiene dim ensión finita entonces

Im(f) tiene dim ensión finita, es decir que:

si {wj, w2 wr }es un conjunto linealm ente independiente en lm (f), entonces

existe un conjunto linealm ente independiente en V ={v1,v 2 ,...,v r } tal que

/ ( v i ) = w'¿, i = l ,2 ,. . . ,r

3 ro . Si N ( f ) * {0V} , asum im os que {«, , u 2 , . . . ,up } es una base de N(f),

ahora debe probar que {v{, v 2 , . . . ,vr , u l , u 2 , . . . ,up } es una base de V

donde dim V = r + p y dim Im(f) = r y dim N (f) = p

i) Si {v,, v 2i. . . ,vr , u í , u 2 , . . . ,up } genera a V => existe escalares

x l , x 2,—, x r , y ], y 2, . . . , yp únicos tales que V v e V es com binación

lineal de {v,, v2 ,..., vr , u ] , u 2 , . , . ,up } es decir:


v = x,v, + x 2v2 +... + x rvr + y { M, + . . . + y pUp

Si v € V => f(v) e Im(f) => existen escalares

x ¡ , x 2 , . . . ,xr tal que / ( v ) = x¡w, + x 2w2 +••• + x rw r

por que w ,, w 2 wr es una base de la Im(f) com o / (v ,) = w ¡ ,

Vi = l ,2 ,... ,r , entonces:

/ ( v ) = x, / ( v , ) + x 2 / ( v 2 ) + ... + x r f ( y r )

= / (*i vi + x 2v2 + ... + x rvr } por que f es transform ación lineal

/ ( v ) - / ( x , v , + x 2v2 +... + x r vr ) = 0

/ ( v - x,v, - x 2v2 - . . . - x rvr ) = 0 por que f es transform ación lineal.

=> v - x , V, - x 2v2 - , . . - x r vr e N ( f ) , definición de N(f)

Luego { v - x ¡ v ¡ - x 2v2 - , . . - x rvr } es com binación lineal do

{u¡ ,u2 ,. . . ,up } porque es base de N(f) es decir existen y \ , y 2 , - - , y p tal

que: v - x j v , - x 2v 2 - . . . - x rvr = y \Ux + y 2u 2 + . . . + y p u „ , de donde se

tiene: v = x 1v| + x 2v2 +... + x rvr +y\U\ +... + y pu p

por lo tanto {v,, v2 vr , u { u p } genera a V.

¡i) A hora probarem os que {vl , v 2 , .. . ,vr , u i , . . . ,up } es linealmente

independiente

x,v, + x 2v2 +... + x r vr + y xu x +... + y p u p = 0 V

/(x ,V ! + x 2v2 +... + x r vr + y lu ] + ... + y p u p ) = f ( 0 v )


X \ f { y \ ) + . . .+Xr f ( v r ) + f ( y xUi + y 2u 2 . . . + y p u p ) = 0 w

+... + x r wr + f ( y xu\ + y 2u 2 . . . + y p u p ) = 6 W

com o {w,, w 2 w r } es una base de Im(f)

=> Xj = x 2 = ... = x r = 0 de donde

/ O ^ i +^ 2«2 + - + y Pu P) = 0 w => y \ “ \ + y 2 u 2 + - + y Pu P * N ( f )

y co m o \ ux, u 2,.. .,u p } es una base de N (f) => y¡ = y 2 = ... = y p = 0

por lo tanto x, = x 2 = ... = x r = y x = ... = y p = 0 de donde

{v1,v 2 ,..., v , u p } es linealm ente independiente en consecuencia

{v1,v 2 ,...,v r ,« 1,M2 ,...,Mp } es una base de V.

4to. del paso 3ro. se tiene que: dim V = r + p y com o dim Im (f)=r y

dim N(f)= p

dim V = dim N(f) + dim Im (f)

E jem plo .- Dado T : R 4 R 1 tal que:

T(x,y,z,w) = (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)

a) Probar que T es una transform ación Lineal

b ) H allar N(T), Im(T) y dim (N(T)), dim (Im (T))

Solución

a) Sea x = ( x1, x 2, x 3, x 4 ) , y = ( y \ , y 2 , y i , y 4 )


x + y = ( x , + y t , x 2 + y 2’xi +y3’ x4 + J4 )

por probar: T(x + y) = T(x) + T(y)

i) T ( x + y ) = T ( x x + y ¡ , x 2 + y 2 > * 3 + J 3 . x 4 + ^ 4 )

= (x, +y , - x 2 —y 2 + 2x3 + 2 y 3 + 3x4 + 3 y A,

x 2 + y 2 + 4x3 + 4^3 + 3x4 + 3 y A, x, + y x + 6x 3 +ty- i + 6 x 4 + 6y A)

= (jcj - x 2 + 2x 3 + 3x4 , x 2 + 4 x } + 3x a , x, + 6x 3 + 6x 4 ) +

+(j>i - y 2 + 2 ^3 + ^y 4 . y 2 + 4y ¡ + . y i + 6 y 3 + ¿ y * )

= T(x) + T(y)

ii) l e R , x e í 4 , T(Xx) = XT(x) por probar

T(Ax) = TA(x], x 2, x 3, x 4 ) = r ( / í x , , Ax 2 , Ar3, Ax4 )

= (Ax¡ - Áx2 + 2Áx3 + 3á x a , Áx2 + 4/íx3 + 3ÁxA, Áx¡ + 6ÁXj + 6Ax a )

= A ( x ¡ ~-x2 + 2x3 + 3x4 , x 2 + 4 x 3 + 3x4 , x¡ + 6x3 + 6x4 ) = A.T(x)

por lo tanto T : R* R 3 es una transform ación lineal

b) Calculando N(T) = núcleo de la transform ación

N ( T ) = { ( x , y , z , w) e R A/ T ( x , y , z , w ) = (0,0,0)}

T (x ,y ,z ,w )= (0 ,0 ,0), de donde se tiene:

» (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w) = (0,0,0)

por igualdad se tiene:


,x —>' + 2z + 3w = 0

,y + 4z + 3w = 0 =>íx + 6z + 6w = (1 ■» . I A T 1 ' I n . _ 1

x + 6z + 6w = 0i y + *rZ + jH — i

x = - 6 z — 6 vi'

y = - 4 z - 3 w

si (x,y,z,w) e N(T) (x,y,z,w) = (-6z - 6w, -4z - 3w, z, w)

(x,y,z,w) = (-6z,-4z,z,0) + (-6w ,-3w ,0,w) = z(-6 ,-4 ,l,0 ) + w (-6 ,-3 ,0 ,l)

Luego N(T) = L {(-6,-4,1,0), (-6,-3,0,l)}

de donde una base de N(T) es {(-6,-4,1,0), (-6,-3,0,1)}

de donde dim (N(T)) = 2

Calculando Im(T) = imagen de la transform ación

lm(T) = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 ( a , b , c , d ) e R 4 a T ( a , b , c , d ) = (x, y , z)}

T(a,b,c,d) = (x,y,z) => (a -- b + 2c + 3d, b + 4c + 3d, a + 6c + 6d) = (x,y,z)

a - b + 2c + 3d = x

por igualdad. a -f 6c + 6d = x + y

b + Ac + 3d = y => - , ' => x + y - za + 6c + 6d = z

a + 6c + 6d = z

Im (r ) = {(x, y , z ) € R 3 / x + y = z } , calculando una base para Im (T)

si (x,y,z) € Im(T) => z = x + y, reem plazando

(x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,1) luego

Im(T) = L {(1,0,1), (0,1,1)} de donde una base para Im(T) es

{(1,0,1), (0,1,1)} => dim (Im (T)) = 2

260 Eduardo Espinoza Ramon

4.10. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LASTRANSFORMACIONES LINEALES.-

Sean (V ,+,k,.)y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y {v ,,v2 ,...,v„} una base de

V, Si {W|, u ’2 wn } un conjunto cualquiera de vectores de W, entonces existe

una única transform ación lineal T: V W tal que T ( v i ) = w ,, Vi = l ,2 ,. . . ,n I

D em ostración

i) E xistencia

Sea v e V v se puede expresar de una única form a com o

n

V =

/=!

n

y \ ai v¡ ■ v i = l,2 ,. .. ,n , a¡ e k com o { v ,,v2 ,...,v„} es base de V.

nDefinim os T: V -> W com o T(v) = ^ ' gj wi

i=i

A firm am os: que T es una transform ación lineal. En efecto:

Sean u,v e V y a,b e k probarem os que: T(au + bv) = aT(u) + bT(v)

Como14 e V

v e V

n

= 2 > ,V

/'=!

n n n

T(au + bv) - T ( a ^ aivi + b ^ T ^ b iv¡ ) = T ( ^ (aal )v, + (bb¡ )v, )

i'=l i=l i=i /=!


n n

= T ( ^ \ a a ¡ + bb¡ )v, ) = + bb¡ )wi

í=i i=i

n n

= a ^ a,w, + b ^ y¡b¡wi =aT(u)+bT(v )

¡=i i=i

por lo tanto T(au + bv) = aT(u) + bT(v)

ii) U n icidad :

n

Sea T ' : V -> W otra transform ación lineal tal que T \ v ) = ^ ' a¡ w¡i=i

M ostrarem os que T = 7"

n

Sea v e V, T '(v) = a¡ w, por definición de T'

i=i

= T (v) por definición de T

Luego r ( v ) = f ( v ) , V v e V entonces T ' - T

Luego de i) y ii) queda dem ostrado.

E jem plos.- Sea f : R* -> R 2 una transform ación lineal definida de tal

m anera que a los elem entos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)} en

R 3 le hace corresponder los vectores (1,3), (5,1) y (0,1) respectivam ente.

i) H allar la imagen de un vector cualquiera de R 3

ii) H allar la imagen de (3,-1,5) y N(f)

Solución


i) A la tem a ( x , y , z ) e R 3 expresarem os en com binación lineal de lo»

elem entos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)}

(x,y,z) = a ( l , l , 0 ) + p ( l ,2 , l ) + y(0 ,l,3 ) = ( a + p, a + 2p + y, P + 3y)

5x - 3 v + za - ---------------O J

x = a + p

por igualdad y = a + i p + y

z = p + 3y

(W ) = ^ - ^ ( l , l , 0) +

> p =

r =

3 y - z - 3 x

3 y - z - 3 x

2x - y + z

(1,2,1) + —— ——— (0,1,3)2 - 2 ' - " 2

com o f ( l , l ,0 ) = (1,3), f ( l ,2 , l ) = (5,1), «[0,1,3) = (0,1)

com o f es una transform ación lineal

f ( X, y , z) = f ( i t 1,0) + ~ ~ 2 , 1 ) + f ( 0 , 1,3>

5* 3>, + -- / ( 1 ,3 ) + 3 y Z 3X (5,1) + X~ y ~ (0,1)

5x - 3^ + z + 1 5 ^ - 5z - 1 5x 15x - 9>> + 3z + 3^ - z - 3x + jc3 y + z :( _ , 2

r I 3 x - 7 y + 3z = ( 6 y - 5 x - 2 z , ------------------ )

s ^ r 1 3 x - 7 y + 3z f ( x , y , z ) = (6 y - 5 x - 2 z , -------- --------- )

ii) Calculando / ( 3 , —1,5) = (-3 1 , ^ )


N ( f ) = {(*, y , z) e R 3 / f ( x :, j , z ) = (0,0)}

com o f(x,y,z) = (0,0) de donde se tiene:

. , , „ 13x —7v + 3z,(6_y - 5x - 2 z ,-------- -------- ) = (0 ,0 ) por igualdad

í 6y - 5x - 2z = 0 1 \x + 4 y = 0

{ l3 x - 7 .y + 3z = 0 6 y - 5 x => z = -----------

2 z =

H

4 ' 43

(x,y,z) e N(f) (at, _y,z) = ( x , - — x ,— - x ) 4 4

Luego A ^(/) = £ { ( 1 , - 1 1 ,- 1 1 ) } 4 4

E jem plo .- S e a V = M 2x2 (R) y W = R 3 y {1 0

0 0

1 1 1 1’

»Oo

1 1 0 *1 1

1 1

una base de V en W considerem os los vectores Wj = (2,1,1),

w 2 = (2,1,1), h-3 = (0 ,0 ,0), h -4 = (-1 ,0 ,1 ) . H allar la

transform ación lineal.

Solución

Sea a e M 2x2(R) => a =i*!, a 12

f l2 l a 22

entonces

an a 12

a 21 a 22

1 0+ b

1 1 1 1 1 1= a + r + d

0 0 0 0 1 0 1 l

a n a \2 a + b + c + d b + c + d

_fl21 a22. c + d d

a n = a + b + c + d

a , , = b + c + d=>

a21 = c + d

a22

a,, a,-.= (a,i -012)

a - a u - f l |2

b — £f|2 — <21

C = f l2 l ~ a 22

i/ — £222

a =an a12

P°21 ^22

ì 0

0 0

1 1

0 0

~ a T

+ («21 ~ *22 )1 1

0 1+a'22

1 1

¿ J+ ( f l12 a 2 l ) U UJ |_>J 1J

" ~ a T «4

T(a ) = ( a tl — a¡2 )T (a x ) + ( a 12 — « 2i ) ^ ( a 2 ) + ( a 2i ~ a22 )7Xa 3) + a 22^(® 4)

T (a ) = ( a , , - a 12)(2,1,1) + (a l 2 - a 2l )(2,1,1) + ( a 2 l - a 22 )(0,0,0) + a 22 (-1.0,1)

T{a) = ( 2a u - 2 a 2 l - a 22, a n - a 2l, a n - a 2¡ + a 22)

E jem plo .- H allar la transform ación lineal / : R 3 -> R~ que asigna a loi

vectores de la base {(1,1,1), (1 ,1 ,0),(1,0,0)} en R ' , los vectores

de la base {(1,2),(1,2),(-1,1)} en R 2 respectivam ente.

Solución

Determ inarem os la imagen de un vector genérico ( x , y , z ) e R ' y para esto

expresarem os a (x,y,z) com o com binación lineal de la base dadai 1

(x,y,z) = a ( 1,1,1) + 0(1,1,0) + y (l,0 ,0 ) = ( a + P + y, a + P, a ) , por igualdad j

transformaciones Lineales 265

(x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0)

f(x,y,z) = z f( 1,1,1) + (y - z) f( 1,1,0) + (x - y) f( 1,0,0)

= z (l,2 ) + (y - z )( l,2 ) + (x - y )(-1,1)

= (z + y - z - x + y, 2z + 2y - 2z + x - y)

f(x,y,z) = (-x + 2y, x + y)

O B S E R V A C IO N .- Rotacion de un V ector (x,y) dp R 2

Si rotam os un vector de posición OP = (x , y ) en sentido antihorario hasta

tom ar la posición OP' = ( x \ y ' ) (ver gráfico) genera el ángulo 0, afirm am os

que esta rotacion define una transform ación lineal.

En efecto:

Las coordenadas de ( x , y ) e R son:

x = r c o s a. . . ( 1 )

y ¡= r sen a

Las coordenadas de (.r’, / ) £ ® 2 son:

Y

P '(x ',y ')

/

T\

x ' = r c o s (a + G)

y ' = r sen ( a + G)... (2)

S i*P(x,y)

y

De la ecuación (2) se tiene:

x ’ = rcos(G + a ) = r[cos G eos a - s e n G sen a]

- r eos a eos 0 - r sen a sen 0 = x eos 0 - y sen 0

266 Eduardo Espinoza Rumo*

y ' = r sen(0 + a ) = r[sen a eos 0 + c o s a sen 6]

= r sen a eos 0 + r eos a sen 0 = y eos 0 + x sen 0

Luego (x \ y = (x eos 0 —y sen 0, y eos 0 + x sen 0)

( x \ y ' ) =c o s 0 - s e n O

senO cosO

X

..y .. . . (3)

La ecuación (3) define una transform ación lineal de R 2 en K " , y que pued#

ser expresado del m odo siguiente.

T ( x , y ) =co s0 - s e n O

sen 0 eos 0

X

[ y .. . . (4)

T(v) = Aff.v

Siendo v(x,y); A0 =eos 0 - s e n 0

sen 0 eos 0

Donde A0 es la m atriz asociada a la transform aron de T

4.11. COORDENADAS O COMPONENTES DE UN VECTOR.-

Considerem os únicam ente espacios vectoriales de base finita, donde para ésto

caso a una base {vt , v2 v „ } del espacio vectorial (V ,+,k,.) denotarem os con

el sím bolo [v] = {v,, v2 v „ }

Si jv , ,v 2 ,...,v„} es una base de (V ,+,k,.) entonces a cada vector x e V s c

expresa en com binación lineal de la base, es decir que existen y son únicos lafl

escalares x i t x 2 , . . . ,xn tal que


respecto de la base dada, el vector v e V queda caracterizado por los

coeficientes de la com binación lineal o sea por los elementos x x, x 2 , . . . ,xn ,

luego a los coeficientes x x, x 2 ,...,x„ se llaman coordenadas o com ponentes del

vector x e V respecto de la base dada, si se elige otra base del espacio V,

entonces el m ismo vector x e V adm ite otras coordenadas o com ponentes

Dada la base [V] = {v¡, v2,..„ v„} del espacio (V ,+,k,.) podem os expresar a

cada vector x e V com o una matriz colum na, cuyos elem entos sean las

coordenadas de x respecto de la base [V] y a ésto escribirem os así:

x i n ~

E jem plo .- H allar las coordenadas de x = (-2,3) perteneciente a ( R 2,+,/? ,.)

respecto de las bases

0 [V ]= {(1 ,1 ),(1 ,0 )} ii) [W] = {(-2,3),(1,2)}

Solución

i) A las coordenadas de x = (-2,3) expresam os en com binación lineal de [V].

(-2,3) = a ( l , l ) + P(1,0) = ( a + p, a ) por igualdad

/ \ / ' a . '

Li nf i .

ii) A las coordenadas de x = (-2,3) expresamos en com binación lineal de [W]

(-2,3) = cc(-2,3) + P( 1,2) = ( -2 a + p, 3 a + 2P) por igualdad

-2 = -2 a + p3 = 3a + 2p

X[W] ~

a = 1

p = 0

( a > r n

J )

4.12. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.- __________ I

Considerem os una transform ación lineal f : V —> W entre los espacios V y Wj

de dim ensiones finitas dim V = n, dim W = m.

C onsiderem os una base en cada espacio vectorial

[K] = {v,, v2 ,..., v „ } una base de V; [W] = {wl , w 2,. . . ,w„} una base de W. I

Si x e V entonces existen escalares a , , a 2»—»«« únicos tal que

x = a 1v1 + a 2v 2 +--- + Gnv„

y por (4.11.) las coordenadas de x respecto a la base [V] es:

a-,

x [n -


Si la imagen de x e V es y e W, se tiene: y = f(x)

com o y s W entonces se puede expresar de m odo único com o com binación

lineal de la base [W] o sea: y = a¡ w, + a \ w2 + ... + a lm wm

donde los escalares a \ , a ' 2 ,...,a'm son las coordenadas de la im agen de x

respecto de la base [W].

y{W]

ahora por el teorem a fundamental de las transform aciones lineales, f queda caracterizado unívocam ente por los valores que tom a cualquiera de la base de V, es decir:

m

f ( V j ) = / aijWi , j = l,2 ,. . . ,ni=i

Enseguida asignam os a cada escalar a¡j un doble subíndice; el prim ero,

asociado a cada vector de la base {wx, w 2,..., wm} , y el segundo, en

correspondencia con el vector de la base [V],

7 ( vi ) = «n * ’i + a 2]w2 +'... + ami wm / ( v 2) = a 12w, + a 22w2 +... + am2wlr

/ ( v 3) = 0 ,3^ , + a 2Jw2 +... + am3wm

Luego

f ( K ) = <t\n wt + a2n w2 + ... + amn wm


Los n.m escalares íj(/ que están en las com binaciones de los vectores que sonl

im ágenes de los elem entos de la base de V constituyen una m atriz cuya

transpuesta denotarem os por .

A =

'21

a \2

*22

a 13

a 23

«1«

Á2n

m\ m2 m3

ésta matriz recibe el nom bre de “matriz de la transform ación lineal f respecti

de las bases [V] y [W].

La m atriz de la transform ación lineal es del tipo m xn donde m es la dimensid

del segundo espacio y n del primero.

Luego para hallar la matriz de una transform ación lineal f respecto de una b

en cada espacio, se determ inan las im ágenes dadas por f de los vectores de lá

base del prim er espacio se expresa estas im ágenes en térm inos de la base del

segundo espacio, o sea com o com binación lineal de los vectores de la segum

base, la transpuesta de la m atriz de los coeficientes es la m atriz de 1

transform ación lineal respecto de las bases de am bos espacios.

:

Si A es la matriz de la transform ación lineal f respecto de las bases [V] y [W] y

si X lV] la m atriz colum na correspondiente al vector x e V, cuyos elemento»

son las coordenadas de este respecto de la base de V, entonces la imagen de x,

expresada en térm inos de la base de W, se obtiene m ultiplicando por A al

vector colum na o s e a

E jem plo .- U na transform ación lineal / : -> R~ está definida por:

f(x,y,z) = (x - 2z, y + z).


a) H allar la matriz A de f respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en

R ¡ y {(2,0),(0,2)} en R 2 .

Solución

/ ( l , 1,1) = (-1,2) = a¡ (2,0) + p¡ (0,2) = - ~ (2,0) +1(0,2)

/(2,2,0) = (2,2) = a 2 (2,0) + /?, (0,2) = 1(2,0) +1(0,2)

/ ( 3 ,0 ,0 ) = (3 ,0) = a 3 (2 ,0 ) + /?3 (0 ,2 ) = ± (2 ,0 ) + 0 (0 ,2 )

Luego la matriz A de f respecto a las bases dadas es A =1

1 -2 2 1 1 0 y

b) M ediante A, obtener la imagen de ( -2 ,2 ,-2 ) e /?3 .

Solución

Calculando las coordenadas de x = (-2,2,-2) con respecto a la base [V]

(-2,2,-2) = a ( 1,1,1) + p(2,2,0) + y(3,0,0) = ( a + 2p + 3y, a + 2p, a )

por la igualdad de vectores se tiene:

a + i p + l y - - 2

a + 2p = 2 a = -2

a = - 2

P = 24


f ( - 2 , 2 , - 2 ) = AX,m

1 i 3 a

2 2 1 1 O

-22

4

V 3 j

= (1 + 2 - 2 ,-2 + 2 + 0) - (1,0) -

E jem plo .- Sea T : R 4 —> R ¡ una transform ación lineal definida por:

T(x,y,z,w ) = (x + 2y, x -3 z + w, 2y + 3z + 4w)

Si [V] y [W] son las bases naturales para R 4 y f t3 respectivam ente:

a) Encuentre la m atriz A de T respecto de las bases [V] y [W].

b) U se A para encontrar T(x,y,z,w )

Solución

a) Sea [V] = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} base de R 4

[W] = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R 3 .

T( 1,0,0,0) = (1,1,0) = 1 (1,0,0) + 1 (0,1,0) + 0(0,0,1)

T (0 ,1,0,0) = (2,0,2) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 2(0,0,1)

T (0 ,0 ,1,0) = (0,-3,3) = 0( 1,0,0) - 3(0,1,0) + 3(0,0,1)

T (0 ,0 ,0 ,1) = (0,1,4) = 0(1,0,0) + 1 (0,1,0) + 4(0,0,1)

Luego la m atriz A de f respecto de las bases dada es: A =

1 2 0 0

1 0 -3 1

0 2 3 4


b) Com o ( x , y , z , w ) = ( x , y , z , w ) [r] y T ( x , y , z , w ) [W]= T { x , y , z , w )

x

yentonces T(x, y , z, w) = A por lo tanto

t2

X'1 0 0 '

yT ( x , y , z , w ) = 1 Ó - 3 1

0 2 3 4Z

W

= (x + 2 y , x - 3 y + z , 2 y + 3z + 4w)

que está de acuerdo con la definición de T.

E jem plo .- Sea T : R 3 —> R 2 una transform ación lineal definida por:

Tí > x 11 5 7 7 7 x

si [V] - {(1,0,1),(2,0,0),(0,1,1)} y [WJ - f(l,2 ),(0 ,3 )) son bases de » ’ y R 2

respectivam ente, encuentre la m atriz A de T respecto de las bases dadas.

Solución

7X1,0,1) = (2,7) = a , (1,2) + /?, (0,3) = 2(1,2) +1(0,3)

7X2,0,0) = (-1 ,7) = a 2 (1,2) + p 2 (0,3) = -1(1,2) + 3(0,3)

7(0,1,1) = (-3 ,0 ) = « 3 (1,2) + J33 (0,3) = -3(1,2) + 2(0,3)

Luego la matriz A de T respecto a las bases dadas es: A =

. „ '4 2 1'E jem plo .- Sea A =

0 1 3

2 -1 -3

1 3 2

274 Eduardo Espinoza Ramo.»

a) Encuentre la transform ación única 7 : R ' —> R 2 tal que la m atriz de T

referidas de las bases.

[V] = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y [W] = {(1,0),(1,1)} de R } y R :

respectivam ente sea A.

b) Encuentre T(x,y,z)

Solución

a) Si [ T \ y W ] = A , entonces se tiene:

T( 1,0,0) = (4,0), T(1,1,0) = (2,1) y T ( l , l , l ) = (1,3)

Por lo tanto: 7(1,0,0) = (4,0) = a x (1,0) + /?,(1,1) = 4(1,0)+ 0(1,1)

7 (1,1,0) = (2,1) = a 2 (1,0) + 0 2 (1,1) = 2(1,0) + 1(1,1)

7(1,1,1) = (1,3) = a 3 (1,0) + yfl3 (1,1) = 1(1,0) + 3(1,1)

T es única porque una transform ación está com pletam ente determinad»'

por la imagen de una base.

b) Com o T(x ) = A . X [V] entonces

(x,y,z) = a(l,0,0) + p (l,l,0 ) + y( l , l , l ) = (a + p + y, p + y,y)

por igualdad

x = a + P + y a = x - y

y = P + y => P = y ~ zz = y y = z

(x,y,z) = (x - y)( 1,0,0) + (y - z)( 1,1,0) + z( 1,1,1)

T(x,y,z) = (x - y)T( 1,0,0) + (y - z)T( 1,1,0) + zT( 1,1,1)

= (x-y)(4 ,0) + (y -z )(2 ,l) + z ( l,3 ) = (4x -4 y + 2 y -2 z + z, 0 + y - z + 3z)

T(x,y,z) = (4x - 2y - z, y + 2z)


Q ue es lo mismo si se aplica.

T(x , y , z ) = A4 2 1N

0 1 3\ v ]

x - y

y - z

z= ( 4 x - 2 y - z , y + 2z )

C om probarem os el resultado em pleando esta expresión de T(x,y,z) para

encontrar las im ágenes de los vectores de [W].

T( 1,0,0) = (4,0), T( 1,1,0) = (2,1), T( 1,1,1) = (1,3)

|4.13. ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.-

Al conjunto de todas las transform aciones lineales entre los espacios

vectoriales V y W, sobre el cuerpo k, denotarem os por L(V,W ) es decir:

L(V,W ) = {f: V -> W / f es transform ación lineal}

A hora en L(V,W ) definim os la suma de funciones y el producto de escalares por funciones:

( f + g)(x) = f(x) + g(x), V x s V

(a f)(x ) = af(x ), a e k

a) T E O R E M A .- Sea V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo k y sean

f y g transform aciones lineales d e V en W dem ostrar

que la función f + g es una transform ación lineal.

D em ostración

Sean f,g: V -> W transform ación lineal y a , p e V, a. b e k entonces

a a + bp e V entonces'


(f+ g)(aa+ bß) = f(aa+ bß) + g (aa+ bß) = (a f(a ) + bf(ß)) + (ag (a ) + bg(ß))

= a(f(a ) + g (a )) + b(f(ß) + g(ß)) = a (f + g )(a ) + b (f + g)(ß)

com o ( f + g )(aa + bß) = a (f + g )(a ) + b (f + g)(ß), V a,b e k.

Luego f + g es una transform ación lineal.

b) T E O R E M A .- Sea V y W espacios vectoriales sobre el cam po k y f una

transform ación lineal de V en W , c e k, dem ostrar que cf

es una transform ación lineal.

D em ostración

Sean c e k, a,b e k y a ,ß e V entonces

(c f)(aa + bß) = c[f(aa + bß)] = c [a f(a) + bf(ß)]

= (ca )f(a ) + (cb)f(ß) = a(c f(a) + b(cf(ß)) entonces

(c f)(aa + bß) = a(cf)(a ) + b(cf)(ß)

c f es una transform ación lineal.

E jem plo .- Sean / : R 4 -> R 3 y g : R 4 R 3 , dos transformaciones

lineales definidas por:

f(x, y, z, w) = (x + 2y, 3y + 4z, -2x + 5w) y

g(x, y, z, w) = (2x + y + z + w, y + 2z + w, 2x - 3y + 4z)

y las bases [V] = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,!)}

[W] = {(1,0 ,0),(0 ,1,0 ),(0 ,1,1)} de /?4 y R 3 respectivam ente,

a) Encontrar la m atriz A de f y la m atriz B de g referidas a las bases de R


b) Encuentre f + g y dem uestre que f + g = A + B respecto de las bases [V] y [W],

c) Encuentre r f y dem uestre que r f = rA referidas a la base de [V].

Solución

a) Calculando la m atriz A de f respecto de la base [V],

/ ( l , 0,0,0) = (1,0,-2) = a , (1,0,0) + p x (0,1,0) + / , (0,1,1)

= 1(1,0,0) + 2 (0 ,1 ,0 )-2 (0 ,1 ,1 )

/ ( l , 1,0,0) = (3 ,3 ,-2) = a 2 (1,0,0) + p 2 (0,1,0) + y 2 (0,1,1)

= 3(1,0,0) + 5(0,1,0) - 2(0,1,1)

/ ( l , 1,1,0) = (3 ,7 ,-2 ) = a } (1,0,0) + f i 3 (0,1,0) + (0,1,1)

= 3 (1 .0 ,0 )+ 9 (0 ,1 ,0 )-2 (0 ,1 ,1 )

/ ( l , 1,1,1) = (3,7,3) = a 4 (1,0,0) + 0 4 (0,1,0) + y 4 (0,1,1)

= 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 3(0,1,1)

Luego la m atriz A de f es: A =

1

2-2

3

5

-2

3 3

9 4

-2 3

en form a sem ejante calculam os la m atriz B de g.

g( 1,0,0,0) = (2,0,2) = 2( 1,0,0) - 2(0,1,0) + 2(0,1,1)

g( 1,1,0,0) = (3,1,-1) = 3( 1,0,0) + 2(0,1,0) - 1 (0,1,1)

g( 1,1,1,0) = (4,3,3) = 4( 1,0,0) + 0(0,1,0) + 3(0,1,1)

g( 1,1,1,1) = (5,4,3) = 5( 1,0,0) + 1 (0,1,0) + 3(0,1,1)


2 3 4 5

Luego la matriz B de g es: B = - 2 2 0 1

2 -1 3 3

b) Para encontrar f + g respecto a las bases [V] y [W] necesitarem os los

vectores coordenados de ( f + g)(x) esto im plica que:

( f + g)(x) = f(x) + g(x)

' 1 + 2 3 + 3 + 3 + 4 3 + 5' "3 6 7 8'

[ f + g \ v ] [W] - 2 - 2 5 + 2 9 + 0 4 + 1 = 0 7 9 5

- 2 + 2 - 2 - 1 - 2 + 3 3 + 3 0 -3 1 6

c) Para encontrar la matriz de rf, debem os encontrar los vectores

coordenados de rf(x) referidas de la base [V],

' Ir 3 r 3 r 3 r ' 1 3 3 3'

( r f ) ( x ) = r f ( x ) = 2 r 5 r 9 r 4 r = r 2 5 9 4 = rA

- 2 r - 2 r - 2 r 3 r - 2 - 2 - 2 3

•4.14. C O M P O SICIÓ N DE T R A N S F O R MAD.i()N ES M N E a L E s T ]

a) D E F IN IC IÓ N .- Sean f : V W y g : W ~> U, dos transform aciones

lineales entre espacios vectoriales sobre un mismo

cam po k. La función com puesta g o f : V —» U es definida por:

(g o f)(x) = g(f(x)), V x e V

b) T E O R E M A .- La com posición de dos transform aciones lineales, es

una transform ación lineal.

D em ostración


Sean f y g dos transform aciones lineales definidas en (a)

a,b e k, x,y e V => ax + by e V

(g o f)(ax + by) = g(f(ax + by)) = g(af(x) +bf(y)) = g(af(x)) + g(bf(y))

= a(g(f(x))) + b(g(f(y))) = a(g o f)(x) + b(g o f)(y)

.'. g o f es una transform ación lineal.

E jem plo .- Sean f : R 2 -> R* y g : R 3 -> R 2 definidas por:

f(x,y) = (x, x + y, y) y g(x,y,z) = (x + y, z) definir g o f y f o g.

Solución

f

R2 -

g o f

* R2

(g o f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(x, x + y, y) = (2x + y, y)

(g o f)(x,y) = (2x + y, y)

9 ____^ f

R 3 -------------------------- ► R 2 ---------------------------* R 3

f O g

( f o g)(x,y,z) = f(g(x,y,z)) = f(x + y, z) = (x + y, x + y + z, z)

( f o g)(x,y,z) = (x + y, x + y + z, z)

E jem plo .- Sea f : R } R tal que f(x,y,z) = x + 2 y - z y g: R - > R 2 tal

que g(x) = (2x,x). Hallar g o f.

Solución

(g o f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x + 2y - z)

= (2(x + 2y - z), x + 2y - z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z)

(g o f)(x,y,z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z)

E jem plo .- Considerem os las transform aciones lineales / : R 3 -> R y

g R - > R 2 definidas por: f(x,y,z) = x - y + z y g(x) = (x,0)

Determ inar el núcleo de g o f.

Solución

Para calcular el núcleo de g o f, determ inarem os g o f.

f 9

g o f

(g o f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x - y + z) = (x - y + z, 0)

(g o f)(x,y,z) = (x - y + z, 0)

N ( g o f ) = { ( x , y , z ) e R 3 / ( g o f ) ( x , y , z ) = (0,0)}

(g o f)(x,y,z) = (0,0) de donde (x - y + z, 0) = ((^0) <£=> x - y + z = 0

N ( g o f ) = { ( x , y , z ) e R 3 / x - y + z = 0}


E jem plo .- Si f : R 4 - ¥ R 3 y g : R> -> R 2 son transform aciones lineales

definidas por: f(x, y, z, w) = (x + 2y, x - z, w + 2 z ) ,

g(x,y,z) = (2x + y, 3y + 4z) entonces g o f : R 4 - + R 2 , sean [V], [W ], [U] las

bases naturales de R 4 , R 3 y R 2 respectivam ente.

a) Encontrar (g o f)(x,y,z,w)

b) Encuentre las m atrices A de f, B de g y C de g o f.

Solución

a) (g o f)(x,y,z,w) = g(f(x,y,z,w)) = g(x + 2y, x - z, 2z + w)

= (2x + 4y + x - z, 3x - 3z + 8z + 4w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w)

(g o f)(x,y,z,w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w)

b) Calculando la m atriz A de f.

f( 1,0,0,0) = (1,1,0) =* ■ 1 (1,0,0) + 1 (0,1,0) + 0(0,0,1)

f(0 ,1,0,0) = (2,0,0) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1)

f(0 ,0 ,1,0) = (0 ,-l,2 ) = 0(1,0,0) - 1(0,1,0) + 2(0,0,1)

f(0 ,0 ,0 ,1) = (0,0,1) = 0(1,0,0) + 0(0,1,0) + 1(0,0,1)

Luego la m atriz A de f es:

Calculando la m atriz B de g.

g( 1,0,0) = (2,0) = 2(1,0) + 0(0,1)

g (0 ,l,0 ) = (1,3) = 1 (1 ,0 ) + 3(0,1)

g (0 ,0 ,l) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1)

Á =

1 2 0 01 0 - 1 0

0 0 2 1

Luego la matriz B de g es: B2 1 0

0 3 4

Calculando la matriz C de g o f

(g o 0(1 ,0 ,0 ,0) = (3,3) = 3(1,0) + 3(0,1)

(g o f)(0 ,1,0,0) = (4,0) = 4( 1,0) + 0(0,1 )

(g o f)(0,0,1,0) = (-1,5) = -1(1,0) + 5(0,1)

(g o f)(0 ,0 ,0 ,1) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1 )

Luego te matriz C de g o f es: C =3 4 -1 0

3 0 5 4

4.15. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES.-

a) D E F IN IC IÓ N .- Una transform ación lineal T : V -» W se d ic t

inversible si existe una función F : W —> V tal que

T o F = I w y F o T - I v .

N O T A C IO N .- Si T es inversible => F es único y F = T 1

b) L E M A .- Sí T : V -> W es una transform ación lineal inversible, su

inversa T -1 : W - » V , tam bién es una transform ación lineal.

D em ostración ..... . ..........

Sean a,b e k, /? ,, p 2 e W deseam os probar que:

T - ' (a f r +bf]2 ) = a T (/?, ) + b T ~1 (/?2 )

Sean p u p 2 e W => 3 a ¡ , a 2 e V únicos tal que


7’( « i ) = A a T ( a 2 ) = P 2 adem ás T 1 (/7, ) = a ¡ , T 1 ( / i2 ) = a 2

=> com o V es un espacio vectorial ==> a a x + b a 2 e V

V a,b 6 k y com o T es una transform ación lineal

T ( a a x + b a 2) = a T ( a x) + b T ( a 2) = «/?, + b p 2

T ( a a \ + b a 2) = a P l + b p 2 => a a l + b a 2 es el único vector de V que

es aplicado en a p x + b p 2 entonces

T 1 (a/?, + b p 2 ) = aa¡ + b a 2 = a T ~ ] (P¡) + b T 1 ( P 2) entonces

T ~ \ a P \ + b p 2) = a T ~ i ( P l ) , V a,b e k y V ,8l , p 2 e W

T~' es una transform ación lineal de W sobre V.


i) T es inversible <=>(1) T es inyectiva

(2) T es suryectiva

ii) T es inyectiva <=> N(T) = {0}

iii) T es suryectiva <=> T(V) = W

E jem plo .- Sea T : R } -» R 3 tal que T(x,y,z) = (3x, x - y, 2x + y + z) probar que:

1) T es una transform ación lineal.

2) ¿T es inversible? de serlo hallar una e g re s ió n para com o aquella

que define a T.

Solución


1) Sean a,b e R, ( x l , x 2, x J ) e R } , (y¡ , y 2, J 3) e /?3

a ( x l , x 2 , x 3 )+ b ( y x , y 2, y 3) = (ax l + b y i , a x 2 + b y 2, a x 3 + by3)

T ( a ( x i , x 2 , x 3) + b ( y l , y 2 , y 3)) = T(ax ] + b y x, a x 2 + by2 , a x 3 + b y 3)

= T (a ( x], x 2 , x 3)) + T ( b ( y l , y 2 , y 3)) - a T ( x x, x 2 , x 3) + b T ( y l , y 2 t y 3)

T es una transform ación lineal

Sea (x , y , z ) e N ( T ) c R 3 => T(x,y,z) = (0,0,0)

(3x, x - y, 2x + y + z) = (0,0,0) por igualdad

x = 0 , x - y = 0 , 2x + y + z = 0 => x = y = z = 0

Luego N(T) = {(0,0,0)} => T es inyectiva y dim N (T) = 0

Com o dim N ( T ) + d im 7 '(/?3 ) = dim R 3 = 3 entonces

Com o d im /?3 = d im 7 '(/?3) => T (/?3) = /?3 => T es suryectiva por lo

tanto T es inversible

A hora calculam os T 1

Sea ( a , b , c ) e T ( R 3) => 3 ( x , y , z ) e R i ta lq u e

T(x,y,z) = (a,b,c) a T~' (a ,b , c ) = ( x , y , z )

(3x, x - y, 2x + y + z) = (a,b,c) por igualdad se tiene:


Luego T 1 ( a ,b,c) = ( j , “—^ b , c - a + b)

Probarem os que (ToT~i ) (a ,b ,c ) = (a ,b , c ) y ( T ~ ' o T ) ( x , y , z ) = ( x , y , z )

(:ToT - 1 )(a,b,c) = T(T~l (a, b, c)) = T ( ^ , , c - a + b) = (a,b,c)

( T loT)(x, y , z ) = T 1 (x, y , z) = T ~ l (3x, x - y , 2 x + y + z) = (x,y,z)

c) T E O R E M A .- Sean V y W espacios vectoriales finito dim ensionales y

T: V -> W una transform ación lineal, entonces T es

inversible sí y solam ente sí T transform a una base de V en una base de W.

Dem ostración

=>) A sum irem os que T es inversible, y sea {v,, v2 v„ } una base de V.

Considerem os los vectores

*1 = 7 ’(w 1) ,w 2 = T ( w 2) , w 3 = 7’(h-3) ,... ,w „ = T (w n )

A F IR M A C IÓ N (1). Los vectores wx, w 2 , . . . ,wn son l.i.

En efecto, sea a xw x + a 2w 2 +... + a nwn = 0 W entonces por ser T ~ ] una

transform ación lineal se tiene: a xT ~ x (w, ) + « 27’~l (w 2 ) + ... + a , t7'~' (w„ ) = d v

=> a ,v , + a 2v2 + ... + a „ v „ - 6 V y com o {v i,v2 ,...,v„} una base de V

entonces a¡ = a 2 = ... = a n = 0

Luego {w,, w 2 w n } son linealm ente independiente.

286 Eduardo Espinoza Ramo$

A F IR M A C IÓ N (2). {w,, w2 w„ } genera el espacio vectorial W.

En efecto, sea w e W => T 1 ( w) e V

=> 7” 1 => W = T ( T ' ( w)) = y g ,T (v ,) = J a¡w¡

i=i <=i <=>

Luego {w ,,w 2,..., w„! genera W de las afirm aciones (1) y (2) {w1,w 2 ,...,w„}

es una base de W.

<=) A hora asum irem os que {w, , w2 w„ } es una base de W .

M ostrarem os que T es inversible.

Definam os F : W -> V tal que F (w ,) = v ,, V i = l , 2 , . . . , n lo cual siempt»

es posible en virtud del teorem a fundamental de las transform aciones linealeu

entonces:

nSi v e V, donde v = ^ a jv ¡ , tenem os que:

i=i

n(F o T)(v) = F(T(v)) = F i ^ a ,T (v ,)) por ser T transform ación lineal

1=1

n= f ' a¡w¡ ) por definición de T.

í=i

n= y 1 a .F ( w ,) por ser F transform ación lineal.

j=i


n

= ^ a¡ v, por definición de F.<=i

= v ( F oT ) ( v ) = 7V . . . ( I )

n

por otro lado s í w e W donde w = ' ^ ' b iwi , entonces (T o F)(w) = T(F(w))i=i

/>

= T( y b, F (w i )) por ser F transform ación lineal L —t

1=1

n

= b¿ Vy) , por ser definición de F.i=i

n

= y b¡T(v ,) por ser T transform ación lineal.í=i

n

= ^ w, por ser definición de T.i=i

= w (T o F ) ( w ) = I w . . . ( 2 )

de (1) y (2) T es inversible y su inversa es F.

I* 16. TEOREMA.-

Sea T: V —» W una transform ación lineal entre dos espacios vectoriales de

igual dimensión. Entonces las siguientes afirm aciones son equivalente.

i) T es inversible. i¡) T es inyectiva.

iii) T es suryectiva. iv) T transform a bases en bases.

Dem ostración

i) => ü)

T(u) = T(v) => T - \ T ( u ) ) = T - \ n v ) )

u = v por ser T inversible

i¡) => iii)

sea {v 1, v2 , . . . , v „ } c K una base para V, com o T es inyectiva

{ r (v ,) ,T ( v 2),. . . ,T(v„)} es linealm ente independiente en W ; pero

com o dim W = n, entonces {T(v{ ), T(v2 T (v n )} es una base para W. 1

nLuego sea w e W , donde w = ^ a¡ w, entonces existe v e V donde

1 = 1

n n n n

v = ^ T a ,v ,. tal que T(v) = T a¡ v¡) = a, T(v¡ ) = a, w¡ = w '

í=l i=i >=i <=i

En consecuencia T es suryectiva.

iii) => iv)

Sea {v, ,v 2 ,...,v„} una base de V y T(v¡) = w¡, V i = l ,2 ,. . . ,n sus

im ágenes m ediante T probarem os que ¡W|, w 2 wn} generan W.

En efecto, para todo w e W , existe v e V donde

n

V :

1=1 1=1 1=1 1=1

n n n n

’ = ^ a , v, tal que w = T ( v) = a, v; ) = ^ a, T{yi ) = a, w,

por ser suryectiva, por otra parte com o dim W = n, entoncefi

{w,, w 2 w „ } es una base de W.

Luego T transform a bases en bases.

iv) => i) fue dem ostrado en c) de 3.15)


4.17. ISOMORFISMO INDUCIDO POR UNATRANSFORMACION LINEAL.-

T E O R E M A .- Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo k, T: V —> W

una transform ación lineal y n : V —> Ia proyección

canónica, Entonces:

V ------------------- ►W

y

i) Existe una única transform ación lineal

T : W tal que T o n = T

i») V/ n (T) - Im (r)

Dem ostración

i) Definim os T : ^

V + N { T ) -» T(V + N( T ) ) = T(v)

P r o b a r e m o s q u e t e s t a b i e n d e f i n i d a - E s decir que la

definición de T no depende del representante de la clase.

Sea pues, V¡ + N ( T ) = V2 + N ( T ) => V, - V2 e N ( T )

=> T(v¡ - v 2 ) = o => r (v ,) = r (v 2)

=> r(v , + n ( T ) ) = T(v2 + n ( T ) )

T esta bien definida.

7 ES UNA T R A N S F O R M A C IO N L IN E A L .- En efecto:


r (a (v ¡ + N( T ) ) + b{v2 + N (7 ))) = T((av{ + ¡V(T)) + (bv2 + N ( T ))) : J

= T(avx +bv2) + N ( T ) = 7’(aV| + ¿>v2) = a T ( v x) + 6 T (v2)

= a7Xv, + JV(7’)) + ¿ r ( v 2 + N( T) )

T es una transform ación lineal sobre k.

Tojt = T , en efecto:

(7o;r)(v) = 7"(;r(v)) = 7Xv + iV ír)) definición de re

= T(v) definición de T

T on = T

U N IC ID A D .-

Supongam os que existe otra transform ación lineal

f: r/ m ^ w 1

con las mism as propiedades de T , luego

f ( v + N ( T ) ) = T{v) = T(v + N( T) ) f = f

¡i) Q ue = Im (J)

Es decir probarem os que T : es un isomorfismo.

a) T ES UN M O N O M O R F IS M O .- En efecto:


N(T) = {v + N(T) / 7’(v + N(T)) = 9W}

= {v + N ( T ) / T (v ) = 9 J = {v + N (T) / v e N(T)}

= N(T) (que es el cero del espacio cociente

T es un monom orfism o

b) T ES E P IM O R F IS M O .- Pues

Im(? ) = {7Xv + N ( T ) ) / v e V} = {T(v) / v e V} = Im(T)

T es un epimorfismo

de (a) y (b) y la definición de isom orfism o, T es un ism orfism o

con lo cual com pleta la dem ostración del teorema.

E jem plo .- Sea T : R 3 -> R 2 tal que T(x,y,z) = (2x + z, -y + 2z) determ inar su núcleo y el isom orfism o inducido.

Solución

N ( T ) = {(.x, .v, z ) g R } ! T(x, y , z) = (0,0)}

T(x,y,z) = (0,0) de donde (2x+z, -y+2z)=(0,0) => 2x + z = 0 A - y + 2z = 0

N ( T ) = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + z = 0 a y = 2z}

una base de N(T) es: (x,y,z) = (x,-4x,-2x)

(x,y,z)=x(l ,-4,-2) N (T)=L{(l,-4,-2)} es una base de N(T) => d im N ( T ) = l


por el teorem a 3.16 sabemos que existe un isomorfismo.

T : r í ^ ( 7, ) - > hn ítf) tal que T ( ( x , y , z ) + N ( T ) ) = ( 2 x + z, - y + 2z)

(ejercicio probar el teorema 4.17)

E jem plos.- Sea / : R } -» R 2 y g : R } R 2 dos transform aciones lineales

definida por f(x, y,z) = (y, x + z) y g(x,y,z) = (2z, x - y) hallar

fórm ulas que definan las transform aciones lineales f + g y 3 f - 2g.

Solución

Sea ( / + g ) : R 3 - > / ? 2 / ( f + g ) ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) + g ( x , y , z ) , \ / ( x , y , z ) e R*

( f + g)(x,y,z) = (y, x + z) + (2z, x - y) = (y + 2 z, 2x - y + z)

( f + g)(x,y,z) = (y + 2z, 2x - y + z)

(3 f — 2g)(x,y,z) = 3fi(x,y,z) - 2g(x,y,z) = 3(y, x + z) - 2(2z, x - y)

= (3y, 3x + 3z) - (4z, 2x - 2y) = (3y - 4z, x + 2y + 3z)

( 3 f - 2g)(x,y,z) = (3y - 4z, x + 2y + 3z)

E jem p lo .- D eterm inar la transform ación lineal inversa f 1 de

la transform ación lineal T : R* —> R 3 definida por

T(x,y,z) = (2x, x + 2y, x + 3z)

Solución

Calculando T~' (x, y, z ) , para ésto se tiene:

V(x, y , z ) e R 3 , 3 ( a ,b , c ) e R 3 I T ( a , b , c ) - ( x , y , z ) y T " l { x , y , z ) = (a ,b, c) j com o T(a,b,c) = (x,y,z) de donde (2a, a + 2b, a + 3c) = (x,y,z) por igualdad


2a = x

a + 2b = y =4>

a + 3c = 2

a = -

c = -

22 y - x

42 z - x

„ _ i , k , x 2 .y - x 2 z - x s T ( x , y , z ) = ( - , — 7 — ,— — )

L 4 o

E jem plo .- D eterm inar la transform ación lineal inversa T de

la transform ación lineal T : R l R l definida por

T(x,y,z) = (2x + 2y, x + y, x + y + z).

Solución

Calculando 7’“1, para ésto se tiene:

V(x)Éy ,z ) e /?3 ,3 (a , b , c ) e ^?3 talque T(a,b,c)=(x,y,z) y T~' (x , y , z ) = (a , b , c )

pero T es inversible « • T es inyectiva

Verem os si T es inyectiva

T ( x l , x 2, x i ) = T ( y u y 2, y i ) => ( x l , x 2 , x i ) = ( y u y 2, y 3)

(2x, + 2 x 2 ,x , + x 2 , = (2_y, + 2 y 2, y x + y 2 , y 1 + J 2 + ^ 3 )

2x, + 2 x 2 = 2y¡ +2 y 2

x , + x 2 = y , + y 2 =>

X, + x 2 + x 3 = y¡ + y 2 + y 3

x 3 = y } pero x, * y ¡ , x 2 * y 2

x\ + * 2 = y \ + y 2 X, + x 2 + x 3 = y , + y 2 + y 3

de donde

por lo tanto T no es inyectiva = > 3 T - 1

Ejem plo .- Sea la transformación lineal / : R~ —> R~ definida por

f(x,y) = (2x - y, x + y)

a) ¿ f es inyectiva? b) Hallar la inversa de T si existe

Solución

a) Si N(f) = {(0,0)} => f es inyectiva

núcleo de f = N (0 = { C ^ jO ^ f l2 / f ( x , y ) = (0,0)}

como f(x,y) = (0,0) entonces se tiene:

(2x - y, x + y) = (0,0) por igualdad tenemos:

Í2x-_y = 0=> x = y = 0 => (x,y) = (0,0)

x + j = 0

Luego N(f) = {(0,0)} => f es inyectiva

Com o f es inyectiva entonces tiene inversa.

A hora calculam os la inversa f ~ ' ( x , y )

V ( x , y , z ) e R 2 , 3 ( a , b , c ) e R 2 / f(a,b) = (x,y) y f ~ ' ( x , y ) = (a,b)

com o f(a,b) = (x,y), de donde (2a - b, a + b) = (x,y) por igualdad tenemos

x + y2 a - b - x

a + b - y3

2 y - x

i*

i ~ \ í x , * + y 2 y x \Luego / ( x , y ) = (—-— -— )

E jem plo .- Sean los conjuntos V = {</(*) = a + b x 2 + e x 4 / a , b ,c e R } ,

W - { ( p , r , s , t ) e R 4 / p + r + s + t = 0} donde V y W son

espacios vectoriales sobre R.

Sea f : V —> W la transform ación lineal definida por:

f ( a + bx~ + e x 4 ) = (a - b, b - c,2c - a - c ) . Dem ostrar que f es un isom orfismo.

Solución

f es un isom orfismo si y solo si f es inyectiva y suryectiva por lo tanto debe

dem ostrar que f e s inyectiva y suryectiva.

f es inyectiva <=> N(f) = {0}

N (f) = {q(x) e V / f(q(x)) = (0,0,0,0)} donde

q(x) = a + b x 2 + e x 4 , donde f ( q ( x ) ) = f ( a + b x 2 + c x 4 ) = (0,0,0,0)

(a - b, b - c, 2c - a, -c) = (0,0,0,0) => a = b = c = 0

por lo tanto N ( f ) = {(0,0,0,0)} = (O + Ox2 + 0 .r4}

Luego f es inyectiva.

f es suryectiva si V (p,r,s,t) e W existe q(x) e V tal que f(q(x)) = (p,r,s,t)

donde q(x) = a + b x 2 + c x 4

(a - b, b - c, 2c - a, -c) = (p,r,s,t) por igualdad

Luego 3 q(x) = ( - s - 2 t ) + ( r - t ) x 2 + ( - t ) x 4

f ( q ( x ) ) = f ( ( - s - 2 t ) + ( r - t ) x 2 + ( - t ) x A) = ( p , r , s , t ) c o n lo cual f es

suryectiva.

Com o f es inyectiva y suryectiva => f un ismorfismo.


4.18. CAMBIO DE BASE Y SEMEJANZA DE MATRICES.-

A) M ATRICES DE PASAJE.- Sea (V ,+,k„) un espacio vectorial de

dimensión finita y considerem os dos

bases de V, [V] = {v,, v2 ,..., v„} y [v'] = {v¡,v2 ,...,v;,} ahora definimos

dos endomorfismos.

1ro. f : V - » V tal que f ( v j ) = v ' j , V j = l , 2 , . . . , n

expresando a cada imagen como com binación lineal de la base [V],|

se tiene:n

. ..d)i=i

La matriz P de ésta transform ación lineal respecto de la base [V] en

cada espacio es: P = (Py)‘

P recibe el nom bre de matriz de pasaje de la base [V] a la base [v'J 1

2do. g : V -> V tal que g(v ' j ) = V j , V j= T ,2 , . . . ,n

en form a sim ilar al caso anterior es:

n

- < 2»


P' = ( P ’j )' es la matriz de g respecto de la base [v'] en cada espacio

direm os que es la matriz de pasaje de la base [v'J a la base [v],

O B S E R V A C IÓ N .- Las matrices de pasaje P y P' son inversas entre

sí, es decir que PP' = P' P = /

En efecto: de (1) y (2) tenemos que:

n n n n n

vj =X p 'k< v 'k =XX v < =X S p 'kJ p‘k v‘ k = 1 *=1 1=1 *=1 1=1

n n

í=i m

com o Vj - 0V| + 0 v 2 + ... + lvy + ... + 0v„

resulta que el único término nulo de la sum atoria anterior se obtiene

para i = j y vale 1.

nLuego ^ T ^ P ^ S y

k=1

Por definición de producto de matrices y de m atriz identidad resulta

PP'= I en form a sim ilar se deduce que P' P = / .

En consecuencia, am bas m atrices son inversibles, y cada una es la

inversa de la otra.

B) TRA N SFO R M AC IÓ N DE COOR DENADA S.-

C onsiderem os la m atriz de pasaje P de la base [V] a la base [V ']

y sea x e V

298 Eduardo Espinoza Ramni

Probarem os que: X[V] - p x t n

D onde y X ív.¡ son las matrices de las coordenadas de x e V en lM

bases [V] y [V ] respectivamente.

En efecto: expresamos a x como com binación lineal de cada base Jjj

teniendo en cuenta (1) escribimos:

7=1 j =I i= l ,=1 y=l

pero x = ^ ^ a ivi , por la unicidad de la com binación lineal se tiene |

/'=!n

a i = ^ Pva ' j ’ } = l ¿ , . . . , ni=i

Luego por definición de producto de m atrices, de las relaciones anterioroi

se deduce.

V

«2 «2

= P , o s e a que: X^v^ = P X ^ y j ••• (3)

y com o P es no singular resulta. X ^ = P 1 X^v . . . (4)

de donde a (3) y (4) se llaman fórmulas de transform ación ■

coordenadas.


C ) M A T R IC E S D E UNA T R A N S F O R M A C IÓ N L IN E A L Y C A M B IO D E BASE.-

Considerem os una transform ación lineal f : V - > W y A e k mxn la matriz

de f respecto de las bases [F] = {v,, v2 ,..., v „ } en V y

[ W ] = { w l , w 2, . . . ,wm} en W.

Si se hace un cambio de base en cada espacio, entonces la transform ación

lineal f está caracterizado por una matriz B e k mxn respecto del núm ero

par de bases [F 1] y [W'] y considerem os las matrices P e k mxn y

Q e k mx" de pasaje de [V] a [V ] y de [W] a [ W ' ] .

A hora probarem os que las m atrices A y B de la transform ación lineal f

respecto de los dos pares de bases verifican B = Q~] AP

Es decir, que son equivalentes.

Para esto considerem os el diagrama siguiente.

AV, [v]

P

V, [V1]B

-► W, [w]i

Q

W, [w']

Se verifica que:

1) X y ¡ = P X [r] por la parte (b)

2) Ym = QY[lt j por la parte (d)

300 Eduardo Espinoza Kamin

3) Y¡IV] = A X ÍV] por ser transformación lineal de m atriz A respecto

las bases [V] y [W],

4) V i = B X {V}, por ser transformación lineal de m atriz B respecto ■

las bases [V '] y [ W ] .

Luego de (2), (3) y (1) se deduce.

v 1 = 0 " ' V ] = e _1^ [ n

de esta relación y de (4) resulta: B = Q X AP ósea que B ~ A

Recíprocam ente, si A y B son matrices equivalentes en k mxn , V y W «Hr

espacios vectoriales sobre k, de dim ensiones n y m respectivam ente

entonces A y B caracterizan a una misma transform ación lineal f: V -•> W

respecto de dos pares de bases.

D) M A T R IC E S S E M E JA N T E S .-

Sea f : V -+ V un endom orfism o que lo tom am os com o un caM particular dim V = n y A la matriz f respecto de la base [V] = ¡W] en

cada espacio.

Si efectuam os un cambio a la nueva base [V'] = [ W ] con matriz d |

pasaje P = Q, entonces se tiene: B = P 1AP donde B es la matriz de f respecto de la nueva base [V' ].

Las matrices A y B de k mx" , que representan el mismo endomorfismo

respecto de las bases [V] y [W], se llaman semejantes, por lo tanto

direm os que:

A es sem ejante a B o 3 P n o singular / B = P 1 AP .

La sem ejanza de m atrices es una relación de equivalencia.


E jem plo .- Sea / : R —> T?3 una transform ación lineal definida porf(x,y,z) = (x + y, x - y, x .T z)

i) D eterm inar la matriz A de f respecto de la base canónica [V] en cada

espacio.

i¡) O btener la matriz P de pasaje de la base canónica [V] a la base

[ V ] = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.

iii) A plicando el resultado de (i) y (ii) calcular la m atriz B de f, respecto de la

base [V'] en cada espacio.

Solución

i) Com o [V] = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base canónica

Calculando la matriz A.

f( 1 ,0 ,0) = ( 1 , 1 , 1 ) = 1 ( 1 ,0 ,0) + 1 (0 , 1 ,0) + 1 (0 ,0 , 1 )

f(0 , 1 ,0) = ( 1 1 ,0) = 1 ( 1 ,0 ,0) - 1 (0 , 1 ,0 ) + 0(0 ,0 , 1 )

f(0 ,0 , 1 ) = (0 ,0 , - 1 ) = 0( 1 ,0 ,0) + 0(0 , 1 ,0) - 1 (0 ,0 , 1 )

r \ 1 o

1 -1 oLuego la m atriz A de f es: A =

1 0 -1

¡i) Calculando la m atriz P de pasaje de la base canónica [V] a la base '

[F '] = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}

(1,1,1) = 1 (1 ,0 ,0 )+ 1 (0 ,1 ,0 )+ 1 (0 ,0 ,1 )

(1,1,0) = 1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1)

(1,0,0) = 1(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1)


Luego

I 1 1

1 1 0

1 0 0

ili) Calculando B = P AP por el m étodo de Gauss se calcula P

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 f i1 0 0 0 0 1 -> f i

1 1 1 1 0 0

0 0 -1 -1 1 0 f l ~ f 30 -1 -1 -1 0 1

1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 1 - 1

0 -1 - 1 - 1 0 1 -> f l +Í2

1 1 1 1 0 0 -> / l + / 3

0 1 0 0 1 -1

0 0 -1 -1 1 0 -> - f i

1 1 0 0 1 0 -> /l - h0 1 0 0 1 -1

0 0 1 1 -1 0

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 - 1

0 0 1 1 -1 0

B = P A P =

0 0 1

0 1 -1

1 -1 o

Luego P

1 1 O l f l 1 1

1 - 1 0 |.¡ 1 1 0

1 0 - l j [ l 0 0

0 0 1

0 1 -1

1 -1 o


\ 0 - f 1 1 r '0 1 f0 -1 2 1 1 0 = 1 -1 00 2 -1 1 0 0 2 2 0


I) D eterm inar cual de las siguientes aplicaciones son transform aciones lineales

donde k = R.

(T) / : R } -* R 2 definido por f(x,y,z) = (y,x)

( 2 ) f : R 3 R 3 definido por f(x,y,z) = (x + 1, y + 2, 0)

/ : R 3 -> R 3 definido por f(x,y,z) = (x - y, 0, y + z)

( Î ) / : R 2 -> R 2 tal que fïx,y) = (x + 1, y + 3)

( ? ) / : R i - + R tal que f(x.y,z) = (x + y, x + z)

( ó ) / : R 2 -> R 2 ta lq u e f ( x , y ) = ( x 2 , y + x)

0 / : R 2 R 2 ta lq u e f(x,y) = (1 + x, y)

( ? ) / • ' R 2 -+ R 2 ta lq u e f ( x , y ) = ( x 2, y )

/ : R 2 —> R 2 ta lq u e f(x,y) = (x - y, 0)

( í^ / : R 2 -» R 2 ta lq u e f(x,y) = (2x - 3y, x - y)

( í ^ / : R 2 —» R 3 tal que f(x,y) = (x + y, y - x, -x)

( í^ / : R ' —> R* tal que f(x,y,z) = (0, x + y, 0)

( o ) / : /?3 —> /?3 tal que f(x,y,z) = (xy, z, x)

( h ) / : R 2 -> R } tal que f(x,y) = (x,y,0) + (-1,0,0)

( l i ) / : R 2 -> R 2, tal que f(x,y) = (2 x ,-y , x)

( íó ) / : R 2 -» R tal que f(x,y) = xy

© f: R -> R tal que f(x) = |x|

( l i ) f: R -> R tal que f(x) = sen x

(19) f: R -> R tal que fi(x) = tg x

(20) / : R 2 -> R 2 tal que f(x,y) = (sen x, y)

II) Resolver los siguientes problemas:

© Sea W = C([0,1]) el espacio vectorial de todas las funciones continuas sobre el

intervalo 0 < x < 1 y sea T : V -» R la función definida m ediante la regla

F ( f ) = f f ( x ) d x . ¿Es F una transform ación lineal?

© Determ inar sí la función F : R 2 -> R 2 definida por F { x , y ) = ( l f x , l f y ) es

una transform ación lineal.

© Sea A una matriz de orden mxn fija, entonces T : R" -» R m , definida por

T(x) = AX. Analizar si es una transform ación lineal.

( 7 ) D em uestre que sí T : V —> W es una transform ación lineal, entonces

T(u - v) = T(u) - T(v), V u,v £ V.


©

©

©

©

©

D ada la función F : M 2 v2 ( R ) - * R definida por F(

si es una transform ación lineal.

a b

c d) = a + b , analizar

D ada la función F : A /2í2 ( /? ) —» i í , definida por F (

analizar si es una transform ación lineal.

a b a b) = det

c d c d

a b

c d) = a 2 + b 2 ,Dada la función F : M 2x2 ( R) R , definida por F(

analizar si es una transform ación lineal.

D eterm inar cual de las siguientes funciones son transform aciones lineales.

a) T : R" —» R tal que T (x 1, x 2,—, x n) = x { + x 2 + — + x n .

b) T : R —> R" tal que T(x) = (x ,x ,...,x )

c) T : R 4 —» R 2 tal que T(x,y,z,w) = (xz,yw)

d) T : R 2 -> R tal que T(x,y) = xy

Analizar cual de las siguientes aplicaciones son transform aciones lineales.

a) T : M nn - » M „„ tal que T(A) = AB, donde B es una matriz fija de nxn.

b) T : M nn —> M nn tal que T(A) = A ‘A

c) T : M mn -> M mp tal que T(A) = AB, donde B es una m atriz fija de

orden nxp.

d) T : D n - ^ D n tal que T(D) = D 2 (D„ es el conjunto de matrices

diagonales de nxn).

e) r : > D„ tal que T(D) = I + D

306 Eduardo Espinoza Ramos--------— — — ---- — .......... I mmm 0

^ o ) Estudiar si las siguientes aplicaciones son transform aciones lineales.

a) T : P2 -> P\ ta lq u e T (a 0 + a {x + a 2x 2) = a 0 + a xx

b) T : P2 - * P\ ta lq u e T (a 0 + a lx + a 2x 2) = a , + a 2x

c) T : P2 -» P4 tal que T(P(x) ) = [P (x )]2

d) T : R -> P„ ta lq u e T(a) = a + ax + a x 2 + ... + ax"

( n ) Si C[0,1] es el conjunto de funciones reales. A nalizar cual de las aplicaciones

son transform aciones lineales.

a) T: C[0,1] -> C[0,1] ta lq u e T ( f ( x ) ) = f 2{x)

b) T: C[0,1] -> C[0,1] ta lq u e T(f(x)) = f(x) + 1

c) T: C[0,1] -> C[0,1] ta lq u e T { f ( x ) ) = f f ( x ) . g ( x)dx , donde g es un*

función fija en C[0,1]

d ) T : C'[0,1] —» C[0,1] ta lq u e T ( f ( x ) ) = ( f ( x ) .g ( x ) ) ' , donde g es una

función fija en C [0 ,1 ]

e) T :C [0 ,1 ] -> C [l,2 ] ta lq u e T(f(x)) = f (x - 1)

f) T: C[0.1] -> R ta lq u e r ( / W ) = / ( ^ )

(12) Si / : R 2 -» R 2 es una transform ación lineal y si f ( l , l ) = (2,0) ] ■

f(0,2) = (3,1 ) encontrar f(x,y).


^ 3) Si / : R 2 —> R 2 es una transform ación lineal y si f ( l,0 ) = (3,4) y

f(0 ,l) = (-1,2) encontrar f(x,y).

( l ^ Si T : R 3 -> R 2 , es una transform ación lineal tal que f ( l , - l , - l ) = (1,2),

T( 1,-1,0) = (3,4), T(1,0,0) = (5,6). H allar T ( l , 1,1) y T(x,y,z)

( l ^ Si F es una transform ación lineal de R } en R 2 tal que F ( l , - l , l ) = (2,0),

F( 1,1,0) = (0,1), T(0,1,1) = (-1,-1). Hallar F(x,y,z).

( l ^ Si f : R 2 -> R 2 es una transform ación lineal y si f ( l,0 ) = (3,4) y

1(0,1) = (-1,2) encontrar f(x,y).

( í ^ La función T : R 2 —> R 3 es lineal y verifica T (l,2 ) = (1,0,2),

T (2 ,l) = (0 ,2 ,-l) determ inarT (3 ,3) y T( 1,-1)

(Ts) Se da una transform ación lineal f : R 3 —> R 4 tal que f( 1,0,0) = (1,0,1,-1) y

f ( l , l ,0 ) = (2,1,3,0) y f( 1,1,1) = (0,0,0) encontrar f(x,y,z).

(19) H allar una transform ación lineal T tal que T ( l , l ) = 2, T (0 ,1 )= 1 siem pre que

exista.

(2 0 ) H allar una transform ación lineal T si existe tal que T( 1,1,1) = 3, T (0 ,l,-1 ) = 1

y T(0,0,1) = -2.

@ Sí T (l,3 ,-2 ) = (2,1,5), T (2 ,3 ,l) = (-1,3,4) y T (-4 ,2 ,l) = (5,2,-2). H allar

T(x,y,z) y T( 1,1,1)

( í í ) Si T : R 2 -> R 3 es una transform ación lineal tal que T (l,2 ) = (1,0,-1),

T (2 ,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y).

HI)

®

©

Si T : R 2, -> R y es una transformación lineal tal que T( 1,2,3) = (0,2,1),

T(4,5,6) = (0,1,1) y T (7 ,8 ,l) = (1,1,1). Hallar T(x,y,z), V ( x , y , z ) e R i .

Sea T : R 2 —> R 2 un endom orfism o tal que T(1,0) = (2,1), T(0,1) = (1,-1),

determ inar la im agen del triángulo rectángulo cuyos vértices son (1,1 ),(4 ,1 ) y

(1,5).

Resolver los siguientes problemas:

Sea la transform ación lineal T : R 2 -> R 6 tales que T (5 ,-l) ( 5,6,2,1,3,4) y

T(2,-3) = (1,05,-2,3,-1).

i) H allar T(x,y) ii) ¿T es una transform ación biyectiva?

z'*. \

Sea <p\ R" - > M tLxl(R)/<p(xi , x 2,.. . ,x„) =

©

©

©

donde si i) R 3 definida por la regla

f(x, y, z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y). H allar N(f) y Im(f)

D eterm inar el núcleo, la imagen y las dim ensiones de am bos en la transform ación lineal / : R 3 —> R 2 tal que f(x,y,z) =(x + y + z, y + z)

Sea la transform ación lineal f : R 2 —> R ' definida por

f(x, y) = (x + y, x - y, x + 2y), determ inar N(f), Im(f) y sus dimensiones.

(V ) D eterm inar si es una transformación lineal y calcular N (f) y Im (f) sí

/ ; Q i ta l que f(x,y,z) = (x - y, 2z - y , x - 2z)

( 7) Sea T : R 2 -> R 2 definida por T(x,y) = (x - y, y) probar que T es una

transform ación lineal y calcular N(T), Im(T).

(5 ) Si T : R 3 -> R 2 es una transform ación lineal tal que:

T(x, y, z) = (x - y - z, 2x - y - z). Hallar N (T) y Im(f)

( 9 ) Determ inar el núcleo, imagen y las dim ensiones de las siguientes

iransform aciones lineales.

a) / : R1, R1 tal que f(x.y,z) = (x + y + z, y + z)

b) / : R 2 -> R tal que f(x,y) = x - 2y

( ío ) A nalizar si la función dada T es una transformación lineal, en caso

afirmativo, Hallar N(T), Im(T) y sus dim ensiones sí / : R~ - * R ~ , tal que

T(x,y,z,w) = (x + y - z, x - z + w)

(Í7 ) Sea / : R A -> R A. una transform ación lineal tal que

f(x,y.z,w) = (z + w — y, 2x — 2z, x + 3y — 2z + 3w, y — x + z + 2w). H allar una

base para N(f), Im(f) y su dimensión.

( í ? ) Dado / : R* -> R l , tal que:

T(x,y,z,w ) = (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)

a) Probar que T es una transform ación lineal.

b) H allar N(T). Im(T) y dim N(T), dim lm (T)

310 Eduardo Espinuza Ramos

( o ) Analizar si la función T : R —> R 2 tal que F(x,y,z) — (x,y,-z) es una

transformación lineal. Hallar bases para N (1 ) y ím(T).

( h ) Si T es una transformación lineal definida por T (x,y,z)=(x+2y-z, y+z,x+y-2z),

analizar si T es inyectiva. Hallar una base, la dimensión de N(T), Im(T).

(1 5 ) Analizar si la aplicación T : 7?“ —> R 3 , tal que T(x,y) = (x - 2y, 2x - y, x + y)

es una transformación lineal, si lo es hallar además N(T), Im(T), probar si I es

inyectiva, suryectiva y biyectiva.

( ló ) Si T : R^ -> R 4 , es definida por:

T(x,y,z,u,w)=(x+2y+u+3w, y + z + w, x+3y+z+u+4w, -2 x -3y + z - 2 u - 5w)

a) Hallar dim N(T) y una base de N(T).

b) Hallar dim Im(T) y una base de Im(T).

^ 7 ) Hallar una transformación lineal T : R 4 -> R 3 tal que

N(T) = L {(2,1,-1,2), (3,0,1,-1)}

( j s ) Hallar una transformación lineal T : R 4 -> R tal que

N(T) = L {(2,-1,0,1), (3,1,1,-2)}

^ 9 ) Hallar una transformación lineal T : R —> R 2 sabiendo que

N(T) = L {(1 ,2,3)}

(2 0 ) Consideremos (C,+,R,.) y f : C 4 C, definido por / ( z ) = z + Im (z)|

Determinar si f es una transformación lineal y en caso afirmativo clasificarlo. I


Sea V = {a + bx" +c x4 / a ,b ,c e R} espacio generado por los polinomios

l , x~ , x fV = { (p , r , s , t ) e R 4 / p + r + s + í = 0} definimos T: V —> W por

T(a + bx~ +c x4) = (a - b , b - c ,2c- a - c ) . Probar que T es una transformación

lineal y hallar N (í) e lm(f).

( § ) Sea V = {(*, y , z ,w) e R 4 I x = ay + bz + cw, a, b ,c fijos} y

W = { (r ,s, t) e R 3 / r + s + 1 = 0} dos espacios vectoriales T: V —> W tal que

T(x,y,z,w) = (x — y, -ay - bz, y - cw) probar que T es una transformación

lineal, además determinar N(T), Im(T) y sus dimensiones.

(23) Hallar una transformación lineal T : R 4 tal que su núcleo sea generado

por los vectores (1,2,3,1) y (0,-1,3,4).

(24) Hallar una transformación lineal T : R 4 —> R ' cuyo núcleo es generado por

(1,2,3,4) y (0,1,1,1).

25) H allar la transform ación lineal T : /?3 -> R 2 tal que

N(T) = L {(0,1,-1 ),(2 ,1,3)}.

26) Si F : R 4 -> R 4 es una transform ación lineal tal que

N(F) = L{(1,0,1,1),(0,1,1,1)}, F ( l ,1,0,1) = (1,0,0,1), F ( l ,1,1,0) = (0,1,1,0).

H allar F(x,y,z,w)

(27) Sea la transform ación lineal T : R 3 -» R 3 definido por la regla

T(x,y,z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y)

i) H allar la imagen de T ¡i) H allar el núcleo de T

iii) ¿Cuál es la interpretación geom étrica de la imagen y el núcleo de T respectivam ente?

312 Eduardo Espinoza Kamos

R p ta . Im(7") = {(*,y , z) e R 3 / 8>> -1 4 * + 5z = 0}

N ( T ) = { ( x , y , z ) e R 3 / x = - t , y = - t , z = t}

(28) D efina una transform ación lineal T : R~ —> R~ cuyo núcleo sea la recta y — x

y su imagen sea la recta y = 2x.

R p ta . T(x,y) = (-bx + by, -2bx + 2by)

= (x - y, 2x - 2y); si b = - l

Sea V el espacio vectorial de las m atrices n-cuadradas sobre k y M una matriz

arbitraria en V, defínase T: V -> V m ediante T(A) = AM + MA, con A e V,

m ostrar que T es lineal.

Sea V = {P(x) = a 0 + a íx + a2x 2 / P es un polinom io de grado m enor o igual

que 2}. Sean í , , f 2 >t3 tres núm eros reales distintas arbitrarias, definimos

L¡{P) = P(t¡) , i = 1,2,3 donde P e V; probar que las funciones , L2 y ¿3

sobre V son linealm ente independiente y forman una base de V*.

Construir una transform ación lineal T : R 2 —> R tal que T (l,2 ) - (1,-1,2),

T (l,3 ) = (3,0,1); T( 1,1) — (-1,-2,3)

3 ^ Sea la transform ación lineal T: V —> W, V = R 3 , W = R definida por.

T(x,y,z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y), donde

Im(T) = {(x,y,z) e W / 1 4 x - 8 y - 5 z = 0}

N (T) = {(x,y,z) e V / x = -t, y = -t, z = t}, com probar que:

dim V = dim (lm (T)) + dim N(T)


^ 3) Sea T : R ' R " la aplicación lineal definida por:

T(x,y,z,s,t) = (x + 2y + z - 2s + 4t, 2x + 5y + 4z - 5s + 5t, x + 4y + 5z - s - 2t)

H allar una base y la dim ensión de la imagen de T.

R p ta . {(1,2,1 ),(0 ,1,2)¡ forman una base de Im(T) adem as dim Im(T) = 2

Sea T . R 3 —> R 3 la aplicación lineal definida por

T(x,y,z) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z)

Hallar una base y la dim ensión del núcleo de T.

R p ta . N (T) = L {(3,-1,1)}; d im N ( T ) = l

@ Sea la base S = {Vi ,V2,VJ} donde V, = (1 ,2 ,3 ) ; V2 = (2 ,5 ,3 ) y V3 = (1 ,0 ,10 )

a) D eterm ine la regla de correspondencia de la transform ación lineal

T : R 3 -> R 2 , sabiendo que T(V¡) = (1 ,0), T(V2) = (1 ,0 ), T(V3) = (0,1)

b) Calcular T( 1,1,1)

R p ta . T(x,y,z) = (30x - 1 Oy - 3z, -9x + 3y + z)

T( 1,1,1) = (17,-5)

(36) Sea la transform ación lineal T : V2 V2 definida por T(x,y) = (2x - y, x + y)

a) ¿Es T inyectiva?

b) H allar la inversa de T. si existe.

R p ta : T es inyectiva


(3 7 ) Supóngase que la aplicación lineal T: V -» W, es invectiva y suprayectiva,

probar que la aplicación inversa T~ l : W —> V es tam bién lineal.

( 3 ^ Probar que toda transform ación lineal T : k 2 —» k 2 es de la forma:

T(x,y) = (ax + by, ex + dy)

Probar adem as que T es un isom orfism o si y solo si ad - be * 0

IV)

© Sea T : V3 ( R ) —> VA (R) una transform ación lineal tal que

T(x,y,z) = (x + y, y - 2z, 2x + y, 2x + 3z) y dadas {( 1,0 ,2),(0 ,1,3),( 1,2,3)} base

de K3(/?) y {(1,1,1,1),(1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(1,-1,-1,-1)} base de V4( R ) . H allar

la m atriz asociada a T respecto de las bases dadas.

© Sea T : R 3 —> R 2 una transform ación lineal donde

[V] = {(1,1,0), (0,0, ), (3,0,0)} una base de R 3 [W] = {(2,3),(1,0)} una base de

R 2 , T(1,1,0) = (1,2), r(0*0, ^ ) = (2 ,0 ) , T(3,0,0) = (6,4) encuentre la matriz

de la transform ación respecto de las bases dadas y encuentre las im ágenes de

los vectores z¡ = (2 ,4 ,3 ), z 2 = (4 ,6 ,2).

© Sea T : R 4 —> R 4 , una transform ación lineal donde

[V] = {x¡ = (1,0,0,0), x 2 = (0,2,9,0), * , = (0,0,1,1), x 4 = (0,0,1,0)} = [W] donde

7 \x , ) = (2 ,3 ,4 ,) , ’/ '(x 2 ) = (1,4,0,6). 7’(.v3) = (0,3 ,2 ,0), T ( x 4 ) = (3,0,2,1).

H allar la m atriz de la transform ación lineal respecto de las bases dadas y

encuentre las im ágenes de los vectores z¡ = (2 ,2 ,4 ,3 ) , z 2 =(4,0,1,1).


©

©

©

Sea la transform ación lineal / : definida por

f(x,y) = (x + y, x - y, x + 2y), hallar la m atriz de f respecto de las bases

{(1,2),(2,0)} de R 2 y {(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} de R 3 .

U na transform ación lineal / : R 3 -> R 2 está definida por

f(x,y,z) = (x - 2z, y + z).

a) H allar la matriz A de f, respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en

R J {(2,0),(0,2)} en R 2 .

b) M ediante la matriz A, obtener la imagen de (-2,2,-2).

D ada la transform ación lineal / : R 2x2 -> R ' definida por:

/a b

c d-)(a + b - c , a + b + d , b + c + d )

a) Obtener la m atriz A de f respecto de las bases

I , l , , „ , , |}en R 2x2y { (0 ,2 ,l) ,(2 ,0 ,l) ,(0 ,l,l)} e n /? 3 .

b) U tilizando la m atriz hallada, obtener la im agen de-1 3

2 2

( 7 ) Los vectores v, = (1,1,—1), v , =(1,0,1), v3 = (2 ,1 ,-1 ) forman una base de R 3

y los vectores w, =(1,0,1,0), w2 =(0,1,1,0) ,w 3 =(1,0,0,1), w4 =(1,1,1,0)

forman una base de R 4 definam os una transform ación lineal / : R 3 —> R 4 ,

tal que / (v ¡) = w2 - w, , / ( v 2 ) = w, + w2 + w4 ,

/ (v j) = h ’| + 2w2 + 2wj + i , hallar las bases para N (f) y lm(f).


© Sea / : R 3 —> R 2 una transformación lineal definida de tal m anera que a los;

elem entos de la base R 3 le hace corresponder los vectores (1,3),(5,1) y (0,1) ;

respectivam ente.

i) H allar la imagen (3,-1,5) y N(f).

i¡) H allar la imagen de un vector cualquiera de R 3 .

( 9 ^ Sea { v ,,v2,v 3} base de R 3 donde v, = (1 ,2 ,3), v2 = (2 ,5 ,3 ) , v3 = (1,0,10) .■

H allar la transform ación lineal / : R } —» R 2 tal que f(l,2 ,3 ) = (1,0), I

f(2,5,3) = (1,0), f(l,0 ,10 ) = (0,1). Calcular f ( l , l , l ) .

( ío ) H allar la m atriz asociada a la transform ación lineal T : R 2 —> R 2 definida p o r:P

"2 1T(x,y) = 2x + y, x - y) R p ta . A =

1 -1

Sea T : R —» R la aplicaron lineal definida por:

T(x,y,z) = (3x + 2y - 4z, x - 5y + 3z). Hallar la m atriz de T en las siguientes 1

bases de R 3 y R 2 : B = {w1,w 2,w 3} y B' = \ux,u 2} donde w, =(1,1,1), j

w2 = (1 ,1 ,0 ) , w, = (1 ,0 ,0 ) , = (1 ,3 ) , «2 = (2 ,5 )

R P t a - [t )bb’ =- 7 -3 3 -1 3

4 19 8

(Í2 ) Encontrar la representación matricial de cada una de las aplicaciones lineales

escritas a continuación respecto a las bases canónicas de los R " .

T : R 2 R 3 definida por T(x,y) = (3x - y, 2x + 4y, 5x - 6y)


T : R 4 - » R 2 definida por T(x,y,z,t) = (3x - 4y + 2z - 5t, 5x + 7y - z - 2t)

T : R 3 -> R 4 definida por T(x,y,z) = (2x + 3y - 8z, x + y + z, 4x - 5y, 6y)

R p ta . [7’]

'3 - 1 '

2 4 . M -5 - 6

3 - 4 2 - 5

5 7 - 1 - 2

2 3 - 8

1 1 1

4 0 - 5

0 6 0

1 2 3 1

Sea la aplicación lineal T : R 4 —> R 1 donde A = 1 3 5 - 2 es la matriz

3 8 13 - 3

de T en la base canónica.

a) H allar la imagen de T b) H alla el núcleo de T

R p ta . a) La base de la imagen de T es: {(1,1,3), (0,1,2)}, dim Im (T) = 2

b) {(1 ,-2,1,0),(-7 ,3 ,0 ,1)} es una base del N(T), dim N(T) = 2

D ada la transform ación lineal T : P3 —> P2 definida por

T(a0 +íj|X + a2x 2 + a3x 3) = a¡ + a2x 2 se pide:

a) H allar la m atriz asociada a T.

b) H allar el núcleo de T y la imagen de T.

c) Hallar una base del núcleo de Ar y una base del rango A.

R p ta . a) At =

0 1 0 0

0 0 0 00 0 1 0

b) U na base de N(T) es {l,x }

U na base de la Im(T) es }l,x }

c) At —

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0Rg (Ar ) = 2

( i s ) Sea T : P{ -> P2 una transform ación lineal definida por T(P(x)) = x P(x), hallar

la matriz de T con respecto a las bases B = {<7,, q2} , B ' = {/}, P2, P3 } •

R p ta . A =

8 21

-1 - 3

- 2 - 5

@ Sea la aplicación T : R 2 -> R 2 definida por: T(x,y) = (2x - 3y, x + 4y), hallar

la m atriz T relativa respectivam ente a las siguientes bases de R " , B - {e¡,e2}

y B' = , donde e, = (1 ,0), e2 = 0 > 3 ), «1 = (1,3), u2 = (2 ,5 ) .

Rpta. [T]bb. =- 8 23

5 -1 3

© Sea A =2 5 - 3

1 4 7la m atriz en la base canónica de la aplicación matricial de

2 !T relativa a las bases {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} y {(1,3),(2,5)} de R" y R

[ - 1 2 -41 - 8respectivam ente. R p ta . [ T ] ^ . = 74 5

( Í8 ) Una transform ación lineal T : R y —» i?2 esta definida por: T (x ,y ,z )- (x -2z , y+z)


a) H allar la m atriz A de T, respecto de las bases

B = {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en R i = V

B ' = {(2,0),(0,2)} en R 2 = W

b) M ediante A , obtener la imagen de (-2,2,-2) e R 3

c) D eterm inar la matriz B de T, respecto de las bases canónicas en am bos

espacios.

d) Obtener la m atriz C de la m ism a transform ación lineal, respecto de la

base canónica en R 3 y la base B ' en R 2 dado en a).

Rpta. a) A = es la matriz de la transform ación lineal T

1 1 ° .

respecto de las bases B y f i '.

b) T (-2 ,2 ,-2 )= 1(2,0) + 0(0,2)

B =1 0 -20 1 1

es la matriz de T respecto de las bases

canónicas

1

d) C =0

0 -1

1 1

Supóngase que T : R 2 -* R 2 , esta definida por T' x - 2 /

, y j K2 x + y j, H állese AT

con respecto a la base Bt = B2 =' 1 Y f 3 '

-2

R p ta . Ar =

5 134 45 34 4 J

Sea T : R 3 - * R 2 la transformación lineal cuya representación e*

A =2 -1 3

3 1 0respecto de las bases ordenadas B = {(1,0,-1),(0,2,0),(1,2,3)}

y B ' = { (1 ,-1 ),(2 ,0 )} . Hallar la representación de T respecto de las bases

matriciales para R 3 y R 2 .

R p ta .

'1 3 1 3 '

2 2 25 1 1

. 2 2 2 .

Sea T : M 22 -> M 22 el operador lineal definido como T(A) = A! , encuentre la

matriz de T con respecto a la base S = {M l , M 2, M J, M 4} donde

S es la base'1 0 ' ' 0 f O O

i—

OO

— , m 2 = , A / j = , =0 10 0

7 z0 0 1 0

canonica de M 22 • Rpta. A =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Producto Interno y Ortogonalidad 321

CAPÍTULO V

: S. PROD1ICTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD.-

5.1. DEFINICIÓN.-

Sea V un espacio vectorial sobre el campo k, donde k = R ó k = C, llam arem os producto interno sobre V a una función < , > : V x V -> k si satisface las siguientes condiciones.

i ) = <u,w> + <v,w>, V u,v,w e V

ii) < w, v > = < v ,u > , donde la barra indica la conjugación com pleja.

iii) <au,v> = a<u,v> y < n ,av > = a < m, v > V a e k , V u,v e V

iv) <v,v> ¿ 0 y <v,v> = 0 => v = 0, al par (V, < , >) se le denom ina

espacio vectorial con producto interno.

O B S E R V A C IO N E S.-

© De la definición se observa que <,> es una función que hace corresponder

a cada par de vectores u,v e V un escalar real o complejo.

© Si k = R, la condición ii) y segunda parte de iii) resultan <u,v> = <v,u> y

<u,av> = a<u,v> respectivamente.

E jem plo .- Sea V - R " y x , y e R n , donde x = ( x i t x 2 , . . . ,xH) ,

y = (.Vi. y 2 »•••. y „ ) en éste espacio definimos.

<,>: R " x R " -+ /?

(x,y) -> <x,y>

n

donde < x , y >= x¡y l + x2y 2 + ... + xny n = ' ^ ^ x ¡ y ¡ , así definida la función

1=1<, > cum ple con la condiciones del producto interno.

En efecto.

i) Sí z = ( z t , z 2 , . . . , z „ ) e R "

n n n

< x + z , y > = yy ¡(x¡ + z ¡ )y, = ^ x ¡y¡ + ^ z ¡ y ¡ = <x,y> + <z,y>1=1 1=1 1=1

n n

ii) < x , y > = ^ x ,y i = ' ^ y , x , = < y , x >1=1 1=1

n n n

¡ii) S i a e k , < a x , y > = ^ ( a * , ) ^ , = ^ a íx . j v ' , ) = , = a < x , y >1=1 1=1 1=1

2 > 0iv) < X 9 X > = y

1=1 1=1

n

<x,x> = 0 => ^ x i = 0í=i

n

< x , y > = ^ T ^ x , y l es un producto interno.

*«4


E jem plo .- Sea V - C n , k = C y x = ( x , ,x 2 ,.. .,x „ ) e C" ,n

y = ( y \ , y 2 ...y n ) 6 c " > definimos: < x ,y >= x,.i=i

La función definida así es un producto interno, veamos que cum ple las

condiciones de la definición:

i) Si z = ( z 1, z 2 , . . . , zn) e C"

n n n

Z,y > = ^T(X , +zi)Ji = ^ T x ,Jt + ^ z ¡ y t = <x,y> + <z,y>n

<X + Z,_1=1 1=1 ¡=1

ii) < x , y > = Y , * = / x ¡ y ¡ = = < > ’,* >1=1 /=1 /=1

» n niii) Si a 6 C, < a x , y > = (ax,).y, = ^ a ( x , y , ) = a } x¡ y¡ = a < x , y >

»=1 /=1 1=1

n n

< x , ay > = y x , . ( ^ ) = y 1/ , « >>,-/=! /=1

/> »

= Y f a(x, >>, ) = a Y x,. >>,• = .= a < x , j >

M ’ ‘=1

Ì V ) < X . X > = X j X j = y T j x, |2 £ 0 i=i i=i

n<x,x> = 0 <=> x¡ I2 =0

i=i

o \x , 1 = 0 , V i = l,2 ,... ,n

<=> x = 0

E jem plo .- Considerem os V = R 2 y definimos < ,> : R 2xR~ -> R , tal que:

< x , y > = x ly l - 3 x 2y 2 , donde x = {x , , x 2 ) , y = ( y i , y 2 )

averiguar si la función así definida es un producto interno.

Solución

i) Sea z = ( z , , z 2) e R 2

< x + z , y > = ( x \ + z ! ) y ¡ - 3 ( x 2 + z 2 ) y 2

= (x¡y , - 3 x 2y 2) + ( z , y , - 3 z 2y 2) = <x,y> + <z,y>

ii) < x , y > = x ¡ y , - 3 x 2y 2 = y xx x - 3 y 2x 2 = < y , x >

iii) Sea a € R

< a x , y > = ( a x ¡ ) y , - 3 ( a x 2) y 2 = a ( x xy¡ - 3 x 2y 2) = a < x , y >

análogam ente <x,ay> = a <x,y>

iv) < x , x >= x 2 - 3x2 no siempre es m ayor que cero en consecuencia

< x , y >= x xy x - 3x2y 2 no define un producto interno.

E jem plo .- Sea V = {f : [0,1] -+ R / f es continua}, definim os en este

espacio vectorial una función < f , g >= f ( t ) g ( t ) d t .

V erificar que la función así definida es un producto interno.


Solución

i) Sea h e V

< f + h , g > = j | ( / + h)(t)g(t)dt = j^ f ( t ) g ( t ) d t + h( t)g( t)dt

= <f,g> + <h,g>

( i i ) , (iii) en forma sim ilar

3v) <f,f> = 0 => f = 0 por dem ostrar

supongam os que f * 0 => 3 í0 s [0,1] tal que f ( x 0 ) * 0

< / • / > = | / ( 0 g ( 0 * = j V ( 0 ¿ r = | l / ( 0 | 2 dt

com o f es continua en [0,1] => 1 / ( 0 1 2 es tam bién continua en [0,1]

adem ás | f ( t 0 ) |2> 0 .

Com o | / ( / ) |2 es continua =$ 3 8 > 0 tal que sí t e< í0 ~ S , t 0 + 8 >

entonces | / ( í ) ¡ 2> 0 , 0 < t < l •••(*)

A ntes de proseguir darem os dos propiedades del cálculo elemental.

1ro. Sea g : [a,b] -> R, sí g(x) > 0, V x e [a,b] y [c,d] c [a,b] entonces

g( x )d x < £ g( x )dx

2do. Si g(x) > 0, V x e [c,d] (de 1ro.) entonces I g ( x ) d x > 0r

Luego regresando a (*) tenemos que:

o< f° s \ m \ 2d t < f i / ( / ) i2^=o

lo cual es una contradicción, la contradicción proviene del hecho de

haber supuesto f * 0, luego concluim os que f = 0.

E jerc icio

Considerem os el espacio vectorial ( R ' ,+ ,R , . ) y la m atriz sim étrica

A =a d

d c.defin im os: < ,> ; R " x R 2 —> R , tal que

< * ,> -> = (x ,,x 2)a d ~Á~d c J 2 _

, donde x = ( x , , x 2 ) , y = ( y \ , y i ) -

D eterm inar las condiciones para que la función así definida sea un producto

interno.

5.2. DEFINICIÓN.-

Sea V un espacio vectorial sobre k, con producto interno (<,>), la norma de un

vector v e V es denotado por ¡| v ||, y definido por || v |¡ = <J<v,v > , <v,v> > 0

E jem plo .- En R 2 , v = (3 ,l)

< v, v >= 9 +1 = 10

|| v || = 1J< v,v > = n/ÍÓ

E jem plo .- Sea V = {f: [0,1] R / f es continua}


< / > £ > = y < / , / > = | | f 2(t)dt

Il/II = v < / . / > = ^j j * f 2( t ) d t , caso particular, sea f ( x ) = e * , f 2(x) = e 2

-Jí5.3. TEOREMA.-

Sea V un espacio vectorial sobre k, con producto interno, entonces se cumple,

i) ||av|| = ja) ||v||, V a e k , V v e V ii) ||v|| > 0 y ||v|| = 0 <=> v = 0

iii) |<u,v>| < ||u|| Hv||, V u,v e V, (desigualdad de Cauchy - SCHW ARTZ)

iv) ||u + vj| á ||u|| + ||v||, V u,v e V, (desigualdad triangular)

D em ostración

i) II av 11= yj< av,av > = yjaa < v,v >

= VI«2 l< v ,v > = \a \ y j < v , v > = | a 11| v ||

ii) Es consecuencia directa de la definición de producto interno.

iii) Probarem os que | <u,v> | < || u || || v ||, V u,v € V

le r . C aso: Sí u = 0

<u,v> = <0,v> => |<0,v>| = 0 = ||0|| ||v||

2do. C aso : Sí u ^ G , definimos v = v - - - — r—uIl «II2

afirmamos que <w,u> = 0

En efecto:

<v,u > < v ,u ><W,M> = < V ---------— U,U> =< V ,U > -------- — 

ÌU i« ir

< V , M > 2 n= <V,M> — — ||m|| = 0

« „ ,,2 <V ,U > <V,U>Luego 0 < Il w 11 = < v ----------r— u , v ----------— u >

< v , u > < v , u > < v ,u >= < V----------— U, V > - < V------------ U , ------ z—U >

Il «II2 II «II2 II « IP

< v , u > < v , u > < v ,w >■ < V,V > ----------r - < M,V > -—5— < v ----------------r-M,M >

 „ „2 <M,V>: < V, v > ------- '— = Il V ir ---------—

tom ando extrem os se tiene:

0 < Il v II2 ^ ^ ^ < | | v | | 2 ^ | < M>v > |2< ( | |W| | | |v | | ) 2Il «II2 llwll2

I <u^v> I < Il u II II V ¡

iv) Probaremos ahora que: II u + v y < II u|¡ + II v II

Producto Interno y OrtogonaUdad 329

II U + V || = = <u, u + v> + <v, u + v>

= <u,u> + <u,v> + <v,u> + <v,v> = II u ||2 + IIV ||2 + < U, V > +< U, V >

'=11 «II2 + IM I2 +2 Re(< u, v >) . . . ( 1 )

< || w |2 +• IIVII2 + 2 |< tt ,v > | . . . ( 2 )

- I I M l¡2 + II v | |2 +2 ¡I u III! v || . . . ( 3 )

= (II «I I + 11 v | |) 2

Luego extrayendo la raíz cuadrada a am bos m iem bros de la desigualdad

tenemos: || u + v || < || u ¡¡ + || v ||

N O TA .- En la dem ostración de (iv) se ha hecho uso de:

( T ) z + z = 2 R e (z ) , V z e C Re(z) < | z |, V z e C

La parte (iii) del teorema.

S.4.__ ORTOGONALIDAD - CONJUNTO ORTOGONAL - _____CONJUNTO ORTONORM AL.-_________________________

D E F IN IC IÓ N .- Sea (V,+,k,,) un espacio vectorial con producto interno

donde k = R ó k = C.

i) D ados u,v e V, direm os que u,v son ortogonales sí y sólo sí <u,v> = 0.

N O TA .- Si u es ortogonal a v denotaremos por “u 1 v”

ii) Sea W c V un subconjunto, definim os el conjunto

W 1 = {v e V ! < v, w >= 0, V w 6 W] W L se denom ina conjunto ortogonal

a W.

iü) Sea W c V u n subconjunto, direm os que W es un conjunto ortogonal sí y

sólo sí V u,v e W tal que u * v implica que <u,v> = 0

iv) Sea W c V u n subconjunto, direm os que W es un conjunto ortonorm al si

y solo si W es ortogonal y ||u|| = 1 , V u e W.

O B S E R V A C IÓ N .- Sea V un espacio vectorial con producto interno, si W

es un subespacio de V, entonces V 1 es tam bién un

subespacio de V dejam os al lector la verificación.

E jem plo .-

1) Sea ( R 2,+,/? ,.) un espacio vectorial sobre R y u , v e R 2 donde

u = (x,y), v = (-y,x) entonces <u,v> = -xy + xy = 0 => u l v

2) Sea el espacio vectorial ( R n ,+, R,.) y

W = { (1 ,0 ,...,0 ),(0 ,1 ,0 ,...,0 ),...,(0 ,0 ,...,1 )} W es un conjunto ortonorm al

pues < e ¡ , e f > = Sy .

3) Sea el espacio vectorial V = { f : [0,1] —> R / f es continua} con producto

interno com o < f , g > = f ( t ) g ( t )d t considerem os el conjunto:

W = {h(t) = 1, f„ (t) = y¡2 eos 2 x n t , g n (t) = yÍ2 sen 2nn t / n e N] probar

que W es un conjunto infinito ortonorm al.

Solución

i) Fijam os h(t) = 1.

Prim ero hagam os variar / „ (/)

Producto Interno y Ortogonalidad

< h, f„ > - J ^ l - fn(t)dt = e o s2nn t dt = -^ ^ -se n 2 r t/r t j

= —— (sen 2n n - sen 0) = - ^ - ( 0 - 0 ) = 02 w/r 2 n n

Luego </», / „ > = 0 , V n e N

A hora hagamos variar g n (í)

< h,g„ > = ^ l . g n(t)dt = y¡2sen2j t nt dt = ~ - ^ - c o s n n t j

—J2 - sÍ2(eos 2 nn - eos 0) = ---------- (1 -1 ) = 0

2 7t n 2 rr n

Luego < h , g „ > = 0 , V n e N

ii) Sean f m ( t ) , g n (/) tal que m = n

■fm>gn > = /„ (OgnOidt = J^ 2 co s2 /j^ /.se n 2 ^ rtí dt

Í 1 / 1 1sen 4 n n t d t = -------------------------- cos A u n t = -------- (1 -1 )

Ann / o Ann

Luego < f n , g n > = 0 , V n e N

iii) Sean f m ( t ) , g n (t) tal que m * n

< f m,g „>= j f m ( t ) g n(t)dt = 2 (cos2 n n t \ s e n 2 n n t ) d t

-í= [sen l7t(n + m)t + sen 2 n{n - m))dt

1 1 / '= r---------------- e o s2u(n + m ) -------------------eos 2/r(n - m)t] /2 ^ (« + ffi) 27c{n-m) ' o

(1 -1 ) = 0

2 n( n + m) v........ 2 7 t ( n-m )

1( 1- 1) 12 x ( n + m) 2 n ( n - m )

Luego < f m, g n > = 0 , V m * n

iv) A hora dem ostrarem os que || / „ || = 1 y || g n || * 1, V n e N

a) II f„ II = y j < f n J n > > elevando al cuadrado

II / J | 2 = < / „ > / „ > = \ | f n ( t ) d t = 2 | eos2 2n n t dt

= i (l + cos4^»f)</í =[t + — -— sen 4 n n t ] / = 1 + 0 = 1 J) 4ít n ' o

Luego || / „ ||2 = 1, en consecuencia || / „ ||= 1 , V n e N

b) || g n || = y]<gn,g„ > > elevando al cuadrado

II 8„ H2= < *„,*■ > = i g Í ( * W = 2 | Se" 2 l7tnt dt

- j í( l + co s4 x n t ) d t = 1 - 0 = 1

Luego || g J | 2 = 1, entonces || g „ | | = 1, V n e N


De (i), (ii), (iii), (iv) concluim os que:

W = { l,/„(<) = V2 eos 2 .th í, g„ (í) = \¡2 s e n 2 n n t / n e N} en un conjunto

ortonorm al infinito.

5.5. TEOREMA.-

Sea V un espacio vectorial con producto interno y W = {v, , v2 v „ } c F un

conjunto ortogonal donde v, * 0 , V i = l,2 ,... ,n , W es linealm ente

independiente sobre k.

D em ostración

nSea ^ ' a,v, = 9 , fijamos k donde 1 < k < n y considerem os vk , calculando:

1= 1

n n

< ' ^ T la¡vi ’vk > = < 0 ’vk > => 2 > < ™ > - o ' “ (1)1 = 1 ( = 1

com o W es ortogonal < v , , > = 0 , V i * k

n

Luego de (1) tenem os ^ al < v¡ , vk > = ak < vk ,vk > = 0 ya que # 0 y

1 = 1

< v k ’vk > = II vk II2 > 0 entonces a k = 0 , V k

ívi , v2 v ) i} es linealm ente independiente.

5.6. COLORARIO.

Sea V un espacio vectorial con producto interno,. W = {v¡, v2 v„ } c: V un

conjunto ortogonal donde v, * 0 , V i = l,2 ,... ,n

334 Eduardo Espinoza Rumos

n

Z < V Vj, >a. v. , entonces a,. = — , 1 < k < n

I! v* ||2

D em ostración

n< v , v k > = a¡v¡,vk > , 1 < k < n

i=i

n

= X a ' < v ' ’v* > = «* < v-v* >1=1

< v,vt >= Il V* ||¿ , de donde ak = ' ' k

l l v j l 2

O B S E R V A C IO N E S.

© Si W es ortogonal se tiene que a k = < v , v k >, l < k < n

( T ) Si v es com binación lineal de los elem entos de W.

Z< v,v, >-------- í- vi

II V.. II21=1

E jem plo .- Sea (R 3,+, /?,.) un espacio vectorial sobre R.

W = {(3,0,4),(-4,0,3),(0,1,0)} un conjunto ortogonal de P 3 i

Expresar (3,1,2) com o com binación lineal de los elem entos de

W.

Solución

(3,1,2) = a , (3,0,4) + « 2 (-4 ,0 .3 ) + <z3 (0,1,0)

donde haciendo uso de la observación tenemos


- < (3,1,2), (3 ,0 ,4 ) > _ 9 + 0 + 8 \1_

" [I (3 ,0 ,4 ) ||2 " 9 + 16 ~ 25

< (3 ,1 ,2 ),(-4 ,0 ,3 ) > -1 2 + 0 + 6 6a2

¡| ( -4 ,0 ,3 ) ||2 9 + 1 6 25

< (3,1,2),(0,1,0) > _ 0 + 1 + 0 ^

a 3 ~ || (0,1,0) ||2 " 1

.-. (3,1,2) = 1 ^ (3 ,0 ,4 ) - A (-4,0,3) +1(0,1,0)

¡5.7. PROCESO PE ORTOGONALIDAD DE GRAM-SCHMIDT.

T E O R E M A .- Sea V un espacio vectorial sobre k con producto interno finito

dim ensional (diin V = n). Si v , , v2 ,..., vm (m < n) son vectores

linealm ente independiente de V.

Entonces se puede construir vectores ortogonales w ,, vv2,..., wm e W tales que

para cada k = 1 ,2 ,...,m , el conjunto {v1,v 2 ,...,v jt} sea una base del subespacio

generado por w ¡ , w 2 ,..., wk además {h', , w2 wk } es una base de

I { v , ,v 2 ,...,v*} .

D em ostración

Definirem os la base por inducción

Sea W] = Vj

c v*2, vi >W2 = V2 -------=---H1]

I W

< H’| , w 2 >= 0 es decir que w 2Lw\

A F IR M A M O S .-que w2 * 0

< V-) H ’i > JEn efecto si w-, = 0 = — -— — h\ lo cual es contradictorio con el

■ i k . i i 2

hecho de que v. = w { y v2 son linealmente independiente.

^ . < VV W, > < V->, H'i >Construim os w3 = v3 --------— w2 ------------— w, afirm am os que w3 * 0

II *2 II II II

En efecto, si suponem os que w3 = 9 , entonces

< v-,, w, > < v3, w, >v3 = ----- — — >v2 + ..... —

I K I I 2 I K I I 2

es decir v3 es una com binación lineal de w, y w 2 pero w, y w 2 son

com binaciones lineales de v. y v 2 , entonces v3 seria com binación lineal de

vi y v2 que es una contradicción, pues {v!,v2 ,v 3} son linealmente

independiente, con lo que queda probado que w3 * 9 .

Supongam os que se ha construido w ,, w2 ,..., wk vectores ortogonales, tales

que {m’1,h '2 ,.., es base de L{v , , v2 v^.}, l < k < n

A hora construim os el vector vi+1 del m odo siguiente:

< v k + \’w k > . . . < v k + i’w i > ...

WA+1 - v*+l 2 * •" || »2 1ll w* ir ll w, ii

afirm am os que vi A.+l *■ 9

si suponem os que wk+x = 9 , de (1) tenem os


v*+, = Y ^ ^ v , . . . ( 2 )

pero cada w¡ ~es com binación lineal de {v!, v2 ,..., v*} , entonces de (2)

concluim os que vt+1 es tam bién una com binación lineal de los vectores

v l , v 2 , . . . ,vk que es una contradicción puesto que {v1,v 2 ,...,v i+ )} son

linealm ente independiente.

* e

ahora afirm am os que: < wt+ I, w} > = 0 , V j = 1,2,...,k

En efecto, sea 1 < j 0 < k donde j 0 es fijo.

K

Z < vk+\>wi >

Z< vk+\<wi >

. w¡(=1

= < vk+i’wj0 > - <vk+n wj0 >

[ 0 si i * j Qpues < w-, vv > = s ,

} i l I I si i = Jo> [ Jo

Luego se tiene < w k+, ,Wj > = 0 , V 1 < j < k

Entonces {w ,, w2,..., w¿+1} es un conjunto ortogonal y en consecuencia

linealm ente independiente por el teorem a 5.5 y por lo tanto base de

L{vx, v2 ,...,v t } haciendo uso de (1) podem os proseguir hasta obtener

{vi’, ,w 2,...,w’„} conjunto ortogonal y por consiguiente base de

I { v , ,v 2 ,...,v m} .

5.8. CQLORARÍQ.

Todo espacio vectorial con producto interno finito dim ensional tiene una base

ortonorm al.

D em ostración

Sea V espacio vectorial tal que dim V = n

{v,, v2 v „ } una base de V, entonces por el proceso ortogonalización de

Gram - Schmidt existen w ,, w2,..., vectores ortogonales y por lo tanto

{w,, w 2 w n } es una base de V.

W-construim os u¡ = — — , luego j| u¡ ||= 1

II w¡ ||

{m, , u 2, . . . ,un } es una base ortonorm al para V.

E jem plo .- O rtogonalizar la base {(1,3),(2,1)} de R

Solución

Wi = (1,3)

^ = (2 ,1 ) - < g ’M g > ( i>3) = (2,1) - 1 ( 1 ,3 ) = | ( 3 , -1 )

1 ■>Luego {(1,3),—(3,-1)} es una base ortogonal para R~ y

1 1 2{ -= = (1 ,3 ),—¡= (3 ,-1 )} es una base ortonorm al para R .VIO Vio

E jem plo .- H allar una base ortonorm al a partir de la base

{(1,0,1),(2,-1,1),(1,2,1)} de R \

Producto Interno y Ortogonaiidad 339

vv, = (1,0,1) = v,

Solución

w2 = v2< v,,w , >

w,1

~ r "iwl = ( 2 ,—1,1)-< (2 ,-1 ,1), (1,0,1) >

II (1,0,1) II2(1,0,1)

= (2 ,-1 ,1 ) -1 (1 ,0 ,1 ) = 1 (1 ,- 2 ,- 1 )

< v 3,w 2 > <V3,W ,>

I vv-,_ _ w --------------- ; ---------_ w

112 'I IV, II2

= (1,2,1) + 1 (1, -2 , -1 ) - (1,0,1) = | (1,1, -1 )

1 2{(1,0,1),—(1 ,-2 ,-1 ),-- (1 ,1,-1)} es una base ortogonal de R }

1 , ~t=(1,1,-1)} es una base ortonorm al de R v3

Sea V un espacio vectorial con producto interno y W cualquier subconjunto

de V. Llam arem os “com plem ento ortogonal” de W al conjunto W definido en

(5.4 - ii) que es el conjunto de todos los vectores de V que son ortogonales a

todo vector de W.

2,- 1),

5.10. TEOREMA.-

Sea V un espacio vectorial sobre k finito dim ensional (dim V = n) con producto

interno < , >, para cualquier subespacio W c V s e cum ple que: V = W ( B t V 1

340 Eduardo Espinoza Kamos

D em ostración

i) Si W = { 0 } , entonces V = W 1 y se cum ple que V = I V ( B W 1

ii) Si {0} * W <2 V

Sea {v,, v2 v„ } una base de V, tal que {v,, v2 vm} es una base de

W donde m < n por el proceso de ortogonalización de Gram - Schmitd

existe {w}, w 2, . . . ,wm,. . . ,wn} base ortonorm al de V, entonces

{W|, w 2 h „ } es una base ortonorm al de W en virtud del teorem a 5.5.

A hora dem ostrarem os que W 1 = L{wm+1, wm + 2 w „ }

a) Tenem os que < w - , w i > = 0 para todo j * i, luego

pertenece a W l .

L{\Vm+\,M>m+2,...,Wn \ C W

nb) Sea u e W L c F => u = ' ^ >a¡w¡ ••• (1)

i=i

(pues {wl , w 2 , . . . ,wm,... ,w„} es base ortonorm al de V)

=> a¡ =; pero u e W => u es ortogonal a cualquier

elem ento de W, en particular lo es con wl t w 2 , . . . ,wm =>

a x = a 2 = ... = a m - 0 entonces de (1)

nu = y < u, w¡ > w, => u e , w m + 2 wn }

/=m+1

..... W,}

Producto Interno y Ortogonulidad 341

de (a) y (b) se concluye que: W x = L {w m+I, w m+2,...,W„]

por lo tanto V = W ® W 1

E jem plo .- Hallar el com plem ento de W = {(x, y , z) e R 3 / 2x + y - z = 0}.

Solución

Calculando una base para W

(x,y,z) e W => 2x + y - z = 0 => z = 2x + y

(x,y,z) = (x, y, 2x + y) = (x, 0, 2x) + (0, y, y)

(x,y,z) = x( 1,0,2) + y (0 ,1,1) de donde W = L {(1,0,2),(0 ,1,1)}

Extenderem os la base de W a una base para R ' .

Sea {(1,0,2), (0,1,1), (1,0,1)} la extensión ahora ortogonalizarem os m ediante el

proceso de Gram - Schmidt.

wi =(1,0,2)

w2 = (0 ,1 ,1 ) - - (-Q’1’1)’(1’° ’22 )> (1,0,2) = Ì (-2 ,5 ,1 )II (1 .0,2) ||2 5

<(1,0,1) ( 2,5,1) > < (1,0,1), (1,0,2) >w3 =(1,0,1)----- -- -------- —(—2,5,1)-------------r---(1,0,2)

l | i ( - 2 , 5 , l ) | P 5 l l « , 0 . 2 ) | |2

-7 (2 ,1 ,- !)O

W = £{(2,1,-1)}

0 Sean x = ( x , ,x 2) , y = ( y x, y 2) e R 2 , averiguar si las funciones dadas a

continuación definen un producto interno sobre R .

a) f ( x , y ) = x xy x + 3x2y 2

b) f ( x , y ) = x xy x - 2 x xy 2 - 2 x 2y x + 5 x 2y 2

( T ) Sean x = ( x , ,x 2 ) , y = ( y x, y 2) « ¿para <lué valores de k la función

f ( x , y ) = x xy x -3x ,>>2 - l x 2y x + kx 2y 2 es un producto interno sobre R 1 ?

© Dado u = (w 1, u 2) y v = (v ,, v2 ) elem ento de C 2 . Averiguar sí la función:

f ( u , v ) = uxv¡ + +(\ + i)uxv¡ + ( l - i ) u 2vx +3u2v2 define un producto interno

sobre C 2 . En caso de que resulte ser producto interno hallar la norm a de

m = (2 - 3j, 1 + 2/) e C 2 .

© V erificar que el siguiente es un producto interno en R

 = Xj V] - x xy 2 - x 2y x + 3 x 2y 2 donde u = (x, , x 2 ) , v = { y x , y 2 ) ■

© Probar que cada uno de los siguientes no es un producto interno en R donde

w = ( x , ,x 2 ,x 3) y v = ( y x, y 2 , y 3) .

a) = x xy x + x 2y 2 b) <m ,v>=x,_V 2X3 +>'iX2>’3

Sea V el espacio vectorial de los polinom ios sobre R, probar que

< f , g > = í f ( t ) g ( t ) d t define un producto interno en V.

Valores y Vectores Propios 343

CAPÍTULO VI

¡6 . VALORES Y VECTORES PROPIOS.-

Considerem os un espacio vectorial (V,+,k,.) y un endom orfim o f : V -> V, en

m uchas aplicaciones es útil encontrar un vector v e V tal que f(v) y v sean

paralelos, es decir: se busca un vector v y un escalar X tal que f(v) = Xv y ésta

relación es la que estudiaremos.

[6.1. DEFINICIÓN,-”

Sea V un espacio vectorial sobre k y f : V—► V un endom orfism o, un núm ero

X e k es un “valor propio” de f, si existe un vector v * 0, v e V, tal que:

f(v) = Xv , . , ( 1 )

Todo vector v que satisface (1) se llama vector propio de f correspondiente al

autovalor X.

N O TA . 0 Las expresiones “valor propio” , “valor característico” y

“autovalor” son sinónimos.

( T ) Las expresiones “vector propio” , “vector característico” y

“autovector” son sinónimos.

E jem plo .- Considerem os el espacio vectorial ( R 2,+, R,.) y la

transform ación lineal / : R 2 —> R 2 definida por

f(x,y) = (2x, 2x - 2y), el escalar X = 2 es un valor propio de f, puesto que el

vector no nulo (2,1 ) es tal que:

f(2 ,l) = (4,2) = 2(2,1) y (2,1) es un vector propio asociado al valor propio 2.

.344 Eduardo Espinozu Ramos

E jem plo .- Considerem os / : R } -> R 3 una transform ación lineal definida

por f(x,y,z) = (x,y,-z). Hallar los valores propios y vectores

propios.

Solución

f(x,y,z) = X(x,y,z) = (x,y,-z), de donde se tiene que: Xx = x, Xy = y. -Xz = z

para x * 0, y * 0, z * 0 X = ± 1 son los valores propios y sus vectores

propios (x,y,-z) * (0,0,0)

E jem plo .- Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las

siguientes transform aciones lineales / : R 2 —> R 2 tal que

f(x,y) = (2y, x)

Solución

f(x,y) = (2y,x) = X(x,y), de donde

| 2 y Ax 2 y = A2 y , y * 0, A2 = 2 => A - ± y ¡ 2[x = Á y

Los autovalores de f son A = ±\Í2

2y - Xx, x = Xy para A = \¡2 , se tiene 2y = >Í 2 x , x = y¡2y => V2y = x

( x , y ) = ( \ Í 2 y , y ) = (V 2 ,l ) y

Luego los autovectores son (V 2 ,1 ) t , t e R

6 2 VALORES V VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ,-

Sea A una m atriz de orden nxn con com ponentes reales. El núm ero X (rea! o

com plejo) se llama autovalor de A si existe un vector y diferente de cero tal

que:


A v - X v « . . . ( 2 )

El vector v * 0 se llama autovector de A correspondiente al autovalor X.

6.3. DEFINICIÓN.-

Si A es una matriz cuadrada, entonces un escalar X es un valor propio de A si

satisface la ecuación.

det (XI - A) = 0

A la ecuación (*) se le denom ina la ecuación característica de A.

. . . ( * )

E jem plo .- Encuentre los valores propios de la m atriz A =

Solución

3 2

-1 0

A I - A = A

O1

3 2 A - 3 - 2

0 1 -1 0 1

A - 3 - 2

1 A= A - 3 A + 2 = 0det(AI - A) = \ A I - A \ =

Á2 - 3A -t- 2 ~ 0 => X = 1, X = 2 estos son valores propios de la m atriz A.

E jem plo .- Obtener los valores y vectores propios, si existen, de la m atriz

'2 fA =

0 3

Solución

Calculando los autovalores X de la matriz A.

A I - A = A

O

t...

i

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

_1

A - 2 -1 '

0 1 0 3

rn 1IO1

det(/ÍV - A ) - \ X I - A \ =A - 2 -1

O A - 3= ( A - 2 ) ( A - 3 ) = 0

de donde X = 2, X = 3 son los valores propios de A para X = 2 calculam os

los vectores propios

( A I - A )( X \

= 0 dondeA - 2 -1 ' V '0> '0 - f V

= ñrñ"11O

_i ,oJ ,0 - K <*2, lo j

Í0x, i £ ii o

u ftOII rH

II r r

o

- x 2 = 0 >< II 1*2 ) ,0,

para X = 3, calculam os los vectores propios de A

( A I - A ) X =

f \ - r ( x \ x \,0 0 ,

1

reem plazando se tiene:

efectuando operaciones

x, - x 2 = 0 => x¡ = x 2

x = ( x 1, x 2 ) = ( x l , x l ) = x 1(l,l)

por lo tanto los vectores de la m atriz A son (1,0) y (1,1).

O B S E R V A C IÓ N .- Si A es una m atriz de orden nxn, entonces las siguientes

afirm aciones son equivalentes.

( T ) X es un valor propio de la matriz A.

© El sistem a de ecuación (XI -- A)X = 0 tiene soluciones no triviales.

© Existe un vector X en R " diferente de cero, tal que AX = XX.


Si X es un valor propio de A, entonces el espacio solución del sistem a de

ecuaciones (XI - A)X = 0 se denom ina el espacio propio de A correspondiente

a X, y los vectores diferente de cero en el espacio propio de A correspondiente

a X.

E jem plo .- H allar los valores y vectores propios de la matriz

3 - 2 01

A = - 2 5 0

0 0 5

Solución

Calculando los valores propios de A.

r» 0 0

XI - A I = 0 A 0 1 0

LO 0 1

3 - 2 0

- 2 3 0

0 0 5

= 0

A - 3 2 0

0 A - 3 0

0 0 A - 5

= 0 , de donde

( A - 5 ) ( A - 3 ) 2 = 0 => X = 3, X = 5 son los valores propios de A.

Sea x =

l'x ^ x 1

x 2

\ x i J

un vector propio de A

x es un vector propio de A correspondiente a X sí y sólo sí x es una solución

no trivial de (XI - A)X = 0 es decir, solución no trivial de:

A - 3 2 0

1H I__________________________

0 1 _______________________________

2

Om1 *2 = 0i O

------------------------------1

1O

1m ___________________

1

0

. . . (*)

si k = 1, la ecuación (*) se transform a en:

"-2 2 0 ' V o '

2 - 2 0 x 2 = 0

0_ 0 - 4 3 . 0

- 2 jc, + 2x2 = 0

2X| — 2x2 = 0

- 4 x , = 0

~x \ V Vx = x2 = *1 =*1 i

_*3- 0 0

*1 = x 2

x-, =0

son los vectores propios de A correspondiente a k 1

Si k = 5, la ecuación (*) se transform a en:

2 . t ,+ 2 x 2 = 0 => * 2 = - * i> *3 e R

'2 2 0" *1 o"

2 2 0 x 2 = 0

0 0 0 3 . 0

’*i Xl' r 0'x = x2 = ~xl = x\ -i + x3 0

.*3. X l -0 1

por lo tanto los vectores propios de A correspondientes a k - 5 son los vectores

diferentes de cero de la forma.


O B S E R V A C IÓ N .- Todo endom orfism o en V, donde V es un espacio

vectorial de dim ensión finita y m ayor ó igual a 1 sobre

el cuerpo de los com plejos adm ite vectores propios.

Pero si el cuerpo no es C, entonces puede no existir vectores propios.

P o r ejem plo : Sea ( R 2,+,R,.) el espacio vectorial sobre R y

f : R 2 -+ R 2 , tal que:

f(x,y) = (x eos 9 - y sen 9, x sen 0 + y eos 9)

si ex is te ( x , y ) e R 2 , (x,y) * (0,0), tal que para algún k e R, f(x,y) = k(x ,y)

entonces:

(x eos 9 - y sen 9, x sen 9 + y eos 9) = (A.x, A.y)

Í . íc o s # - .y s e n 0 = Ax í ( A - c o s 9 ) x + y s e n 9 = 0i de donde <[x sen <9 + y eos é? - A y [ - s e n # - x + ( / i- e o s 0 ) > ' = 0

El sistem a adm ite solución no trivial si:A - c o s O s e n d

- s e n # A - eo s#= 0

( A - c o s O ) 2 + sen ’ 9 = 0 => A2 ~ 2 A c o s 9 + \ = 0 => /t = c o s O t ^ c o s 2 9 - 1

2 V 4Si 9 = 60° => A -

Solo existe vectores propios si 9 = nrc.

Considerem os ( R 2,+, C,.) existen valores y vectores propios. El endom orfism o

f representa una rotación del plano de ángulo 9 alrededor del origen.


6.4. TEOREMA.-

Si f : V--»V es una transform ación lineal, y adem ás existe una base

[ V ] - { v ,,v2 ,...,vn } formada por los vectores propios de f correspondientes a

los valores propios A¡ , Á2 An , entonces la matriz de f respecto de esta base

es la matriz diagonal.

' 4 0 0 ... 0

0 ¿2 0 ... 0

0 0 0 ... A„

Dem ostración

La matriz de f respecto de la base [V] se obtiene determ inando las im ágenes de

los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definición de vector propio:

/ ( v , ) = Aivl = A¡ V] + 0v2 + 0v3 + ... + 0v„

f ( v 2) = A2v2 = 0yi +A2 V2 + 0v3 + ... + 0v„

/ ( v„ ) = K vn = 0vi + 0v2 + 0v3 + ... + Anvn

En consecuencia D -

A, 0 0 ... 0

0 ¿2 0 ... 0

0 0 0 ... An


O B E R V A C IÓ N .-

( 7 ) Del teorem a dem ostrado, direm os que la transform ación lineal f es

diagonalizable.

( T ) Si dim V = n y f : V -> V es un endom orfism o que adm ite n valores

propios distintos, entonces f es diagonalizable.

© En térm inos de matrices direm os que si A e k nxn adm ite n valores

propios distintos, entonces existe p & k n'n no singular, tal que P 1AP

es diagonal.

E jem plo .- Determ inar los valores y vectores propios de la matriz

" 3 - l ]A = y la matriz diagonal D.

~2 ^ _

Solución


= 0d e t(/i/ - A) = \A1 - A \ =A - 3 1

2 A - 2

(X - 3 )(a - 2) - 2 = 0 de donde A2 - 5A + 4 = 0 entonces

1 son los valores propios1 ^ = 4

para cada valor de X resolverem os el sistema

A - 3 1 x i 0 “(AI - A)X = 0 es decir:

2 A - 2 _ -X2_ 0

Si A. = 1,' - 2 r '* 1" 0

2 - 1. x 2 0 12x¡ + x2 = 0

2x} - x2 = 0=> Xt = 2x,


x = * 1 * 1 ' v

* 2 2x,- X ,

2

Luego x ' -

Si A2 = 4 ,

v2yes un vector propio asociado a A¡ - 1.

x l + X2 ~ 0 |2 x , + 2 x2 = 0

'1 1' V "o'- {_2 2_ .*2 0 1

*1 *1 fx = = = X1 -1*2. . ~ X1 .

Luego x " =1

-1es un vector propio asociado a X = 4.

2Los vectores x ' , x " son linealm ente independiente y form an una base de R

A es diagonizable, y su forma diagonal es: D =

P es la m atriz cuyas colum nas son los vectores propios es decir:

1 0

0 4

P =1 1

2 -1

P 1A P -

1 I3 32 J!

3 3

3 -1 " ‘ 1 1] '1 0 '

- 2 2_ ° 4_= D P A P = D


6.5. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ.-

D E F IN IC JÓ N .- El polinom io característico de una matriz A e k " ' " es el

determ inante de la matriz XI - A es decir:

P(A) = de t (AI -A) - -

12- a 21 A —

-a,n2

~ a\n

“ «2»

A - a „

desarrollando el determ inante se tiene: P(A) = An + c„_, A"~ +... + c, A + c 0

E jem plo .- Determ inar el polinom io característico de la m atriz A siendo

-1 2 - 3 1

A =

P(A) = \ A / - A \ =

2 2 - 62 2 - 6

Solución

A + 1 - 2 3

- 2 / 1 - 2 6

- 2 - 2 A + 6

= (X + 1 )[(X - 2)(X + 6) + 12] - (-2)[-2(X + 6) + 12] + 3(4 + 2(X - 2))

P(A) = (A + l)(A2 + 4 A ) - 4 A + 6A => P{A) = A3 +5 A2 +6A

Las raíces de P(X) = 0 son: A3 + 5A2 + 6A = 0 X(X + 3)(X + 2) = 0

de donde A¡ - 0 , A2 = - 3 , = -2


PR O PIE D A D E S.-

E1 escalar X es un valor propio de la matriz A e k nxn sí y sólo sí X es raíz del

polinom io característico de A.

© Si X es un valor propio de A entonces A - XI es singular, y por

consiguiente también lo es XI - A o sea det (XI - A) = 0.

En consecuencia, X es una raíz del polinom io característico.

© Supongam os que X sea una raíz del polinom io característico de A.

Entonces det (XI - A) = 0 ósea que XI - A y A - XI son singulares,

esto significa que X es un valor propio de A

E jem plo .- Encuentre los valores característico de la matriz

A =

4 0 1

-2 1 0-2 0 1

Solución

Sea P(A) = d e t ( A / - A)

A —4 0 - I

2 A - 1 0

2 0 A - 1

A - 4 -1

2 A - I(X - 1)[(X - 4)(X - 1) + 2]

= ( A - \ ) ( A 2 - 5 A + 6 ) = ( A - \ ) ( A - 2 ) ( A - 3 ) = 0

de donde los valores propios de A son: A¡ = 1, A2 - 2 , A3 = 3


1&6. MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONAL1ZACIÓN.-

M A T R IC E S S E M E JA N T E S .-

Sean 'las m atrices A y B de orden nxn se dice que la m atriz A es sem ejante a la

m atriz B si existe una matriz P invertible de orden nxn tal que B = P XA P

O B S E R V A C IÓ N .- La definición dada también se puede expresar así:

Las matrices A y B de orden nxn son sem ejantes sí y sólo sí existe una matriz

invertible P tal que PB = AP.

E jem plo .- Dé dos matrices semejantes.

'2 1 ‘ ' 4 - 2 1 ' 2 - f, B = y P =

.o - i . 5 - 3 -1 1

" 2 - f r 4 - 2 '3 -1"

-1 1 [5 - 3 1 -1

2 1 1 ' 2 - f '3 - f

0 - l j -1 1 ! -1

com o det(P) = 1 * 0 , P e invertible por lo tanto A y B son semejantes.

E jem plo .- Dé una matriz semejante una matriz diagonal.

"l 0 0 '- 6 -3 -2 5 '2 4 3

Sea D = 0 -1 0 , A = 2 1 8 y P = 0 1 -

0 0 2 2 2 7 _ 3 5 7

donde P es invertible porque det(P) = 3 * 0 , entonces

‘2 4 3 " - 6 - 3 -25" '2 4 - 5

PA = 0 1 -1 2 1 8 = 0 -1 1

3 5 7 _ 2 2 7 6 10 14


'1 0 0 ' "2 4 3 ‘ '2 4 3 '

D P = 0 -1 0 0 1 -1 = 0 -1 1

0 0 2 3 5 7 6 10 14

com o PA = DP entonces A y D son semejantes.

6.7. TEOREMA.-

Si A y B son m atrices sem ejantes de orden nxn, entonces A y B tiene el mismo

polinom io característico y por lo tanto, tiene los m ism os valores propios.

D em ostración

Como A y B son sem ejantes => 3 P invertible tal que B = P 1A P y

d e t ( 5 - A /) = áei(P~x A P - AI) = á.e\(P~x A P - P~ lÁ1P) = àei (P~x[ A P - AIP})

= det[/»_l (A - A1)P] = d e t(P _ ,)d e t(/í - AI) det(P)

= det( 1 ) det(P ) det( A - A / ) = det(/>~'P)det(.4 - AI)

= det(I) det( A - XI) = det(A - XI)

esto significa que A y B tienen la m ism a ecuación característica y com o los

valores propios son raíces característico, tiene los m ism os valores propios.

6.8. MATRIZ DIAGONIZABLE.-

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz

inversible P tal que P ~ ' a P sea diagonal; se dice que la m atriz P diagonaliza a

la m atriz A.

Si existe una m atriz ortogonal P tal que P 1 AP es diagonal, entonces A es

diagonizable ortogonalm ente, y se dice que P diagonaliza ortogonalm ente a A.


E jem plo .- Encuentre una matriz P que diagonalice ortogonal m ente a A

'3 fdonde A ■

1 3

Solución


A - 3 -1

-1 A - 3= 0P(A) = d e t(A /- A ) =

P(A) = (A. — 3 )“ —1 = 0 => A2 - 6 A + 8 = 0 entonces

(X - 2)(X - 4) = 0A, = 2

A j = 4

La m atriz diagonal D =2 0

0 4

Calculando los vectores propios de A.

Para esto cada valor de X resolvem os el sistema.

(XI - A)X = 0 de donde

Sí,

x =

r .

T1■X "x, ' '0 '

-1 A - 3_ .*2.

O

i

.....

n i

"0"

- i - i i.....

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

.......

1 I

= > X¡ + X2 = o = > x2 = - * !

x \ *1 f= = X,

-1.*2.


Luego x ' = es un vector asociado a A¡ = 2

Sí,■ 1 - f *1 '0 '

- 1 1 .*2. 0 1x ¡ - x 2 = 0

-AT, + X2 = 0

X\ *i n ]X =

ii

= x,i

Luego x " = es un vector propio asociado a A2 = 4

Luego P -1 1

-1 1=> P~‘ =

P~]A P =

" i 1 ' '3 1 1 3

2 ~ 2 '3 f ' 1 r 2 2 2 21 1 I 3 -1 i 3 1__I__ 1 3__i__

.2 2 . .2 2 2 2 .

“1 -l ‘ 1 f '2 0"

2 2 _ - ! 1 0 4= D

Luego A es una m atriz diagonalizable.

6.9. TEOREMA.-

U na m atriz A de orden nxn es diagonizable sí y sólo sí tiene n vectores propios

linealm ente independiente.

En tal caso, la matriz diagonal D sem ejante a A está dado por:


D

A, 0 0 . . 0

0 Ai 0 . . 0

0 0 ¿3 . . 0

0 0 0 . . . A„

donde A, , A2,..., An son los valores propios de A.

Si P es una matriz cuyas colum nas son vectores propios linealm ente

independiente de A, entonces D = P y AP .

D em ostración

Prim ero se supone que A tiene n vectores propios linealmente independiente

que corresponde a los valores propios (no necesariam ente

diferentes) A, ,A2,...,An .

Pu ~Pu 'Pu Pv. • ■ ñ .

P2\ P22 Pin p2\ Pl2 ■ P¿n

Sea y, = - v2 = ,•••• v„ = y sea P =

A i . A l . P. HH _ Anx P„ 2 ■- Pn„

Entonces P es inversible ya que sus colum nas son linealm ente independiente.

Ahora bien.

360 Eduardo Espinoza Ram os

"«11 «12 . ■ a\n 'Pl 1 P\2 •• Pu,'«21 «22 ■ a2n P¿\ Pj2 ■ Pin

_an\ an2 ■ ann_ fnX r„2 •■ Pnn,

y se ve que la colum na i de AP es A

P.,

- Av, = A¡v¡, y así AP es la

m atriz cuya colum na i es A¡v¡ y A P =

A\Pn A^P\2

\ P lx A2 P22... AnPXn

... AnP2„

, \ P n\ ^2^,2 ■■■ ^,,P,,n.

'P u P \ 2 • ■ P u , ' 4 0 . . 0 ' \ P \ \ ^ .P \ 2 • • K P \ n

P 2 i P 2 2 ■ P in 0 ^ • . 0 a ] p 2 x A o_ P i 2 ■ ^ n P ln

P » \ P „ 2 ■ ■ Pnn _ 0 0 . ■ K _ \ p„\ ¿ 2 ^ , 2 ■■ A n P ,m .

Entonces AP = PD y com o P es inversible, se puede m ultiplicar am bos lados,

por la izquierda por P~' para obtener: D = P 1 A P


O B S E R V A C IÓ N .- Si A es una m atriz de orden nxn, entonces las siguientes

afirm aciones son equivalentes.

O A es diagonalizable.

© A tiene n vectores propios linealmente independiente.

O B S E R V A C IÓ N .- Si una matriz A de orden nxn tiene n valores propios

diferentes entonces A es diagonizable.

E jem plo .- Determ inar si A

-1 4 - 2

-3 4 0

-3 1 3

es diagonizable.

Solución

Calculando los valores propios de la matriz A.

P(A) = \ A l - A \ =

A + Ï -4 2

3 A - 4 0

3 -1 A - 3

= 0 , desarrollando el determ inante

P(k) = ( k - l ) ( k - 2 ) ( k - 3) = 0 => A, = 1 , A2 = 2 , A3 = 3 .

La m atriz diagonal es D -

1 0 0

0 2 0 0 0 3

son ios valores propios de A.

Ahora calculando los vectores propios de A para esto, cada valor de k

resolvem os el sistema: (11 - A )X = 0 de donde

~A + 1 - 4 2 1 "-vi _ "O'

3

O1 x2 = 0

3 -1 A - 3J .X3. 0

Sí A¡

2*i _ 3xj -

3jcj -

x

X = X

X

Luego

Sí A2

3x, -

■ 3x, -

3 x ,~

'2 - 4 2 *i V

1, 3 - 3 0 x2 = 0

3 -1 -2 .*3. 0

entonces

4 x2 + 2x3 = 0

3x2 = 0

x2 - 2x3 = 0

5xj - 5x2 = 0

x, = X-,

3x2 ~ x2 ~ 2x3

2x-, = 2x, =: X, = x ,

x 2 1- x 2 = X1 1

*2. 1

X = es un vector propio asociado a A¡ = 1.

'3 - 4 2 ' ’*i '0

2 , 3 - 2 0 X2 = 0

3 -1 -1 *3. 0

entonces

4x 2 + 2x 3 = 0

2 x2 = 0

x2 - x3 = 0

3X , = — X ,2 2 1

6x, - 5x2 + x3 = 0

15 o6 * i - y * i + * 3 = 0

x, = - x .


Luego x" = es un vector propio asociado a A2 = 2

14 i

1* ____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

___1

0 '

Sí A3 = 3 , 3 - 1 0 x2

II 0

3 - 1 0 í & 1 0

entonces

4x, - 4x2 + 2x3 = 0

3X| - x2 = 0

3xj - x2 = 0

fx2 = 3x¡

x3 = 4x,

*i ' x \ ' v

x = x 2 = 3*i = x. 3

X3. r i 4

Luego x'" = es un vector propio asociado a Á3 = 3

l<N

i _

1Ui 1 K/\

1

Sea P = 1 3 3 => P -1 = -1 3 - 2

¡ 3 4 0 -1 1


' 3 -5 3 ' ' - 1 4 -2 ' '1 2 f

A P = -1 3 - 2 - 3 4 0 1 3 3

0 -1 1 - 3 1 3 1 3 4

' 3 -5 3 ‘ "1 2 f '1 0 O'

= -2 6 - 4 1 3 3 = 0 2 0

0 -3 3 1 3 4 0 0 3

como D = P ~]AP => A es una matriz diagonizable.

6.10. TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON.-

T E O R E M A 1.- Si P(A.) y Q(A) son polinom ios en la variable escalar

A. cuyos coeficientes de matrices cuadradas y sí

P(A) = Q(A)(A - IA.) entonces P(A) = 0.

D em ostración

Si Q(A) está dado por la ecuación: Q(A) = B0 + B XA + B 2A2 + ... + BnAn

P(A) = (B0 +B¡A + B2A2 + ...+ B„An ) ( A - A J )

= B0A + B¡AA + B2AA2 + ... + B„AA" - B0A - B {A2 - B 2A2 - . . . - B nAn+x

P(A) = B0A + B XAA + B2AA2 +.. .+ BnAA" - B 0A - B XA2 - B 2A3 - . . . - B „ A n+1

sustituyendo A en lugar de X se obtiene:

P(A) = B 0A + B {A 2 + B 2A 3 +...+ B „ A n+l - B 0A - B XA2 - B 2Al - . . . - B nAn+l

P(A) = 0


TEO R EM A 2.- Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación

característica, es decir, si P(A)=0 es la ecuación

característica de A, entonces P(A) = 0.

Dem ostración

Se tiene P(A) = det(A - A l ) =

au - A au

a2l a2 2 ~ ^

“ U

«2»

a . . - A

Es claro que cualquier factor de A - AI es un polinomio de X, así, la adjunta de

A - AI es una m atriz de orden nxn en la que cada componente es un polinomio

en X es decir:

adj (A - AI ) =

pu (¿) W )

p2](¿ ) P22W

... w

... P2M )

p„M ) W ' ) ••• pM .

Esto significa que se puede pensar en adj(A - XI) com o un polinomio, Q(A) en

X cuyos coeficientes son matrices de orden nxn.

Luego det(A — AI) — [adj(A — A.I)][A XJ)

Pero d e t(A - A.I) = P(A)I si P(A) = t + ...+ a ,A + a0

. . . (*)

entonces se define: P(A) = P ( W - t i + a.-.-*"- ' + . . .+ « ,-W + V


por lo tanto, de (*) se tiene P(A.) = Q(A.)(A - A.I)

Luego por el teorem a (1) se tiene P(A) = 0.

E jem plo .- Calcular la matriz inversa aplicando el teorem a C A Y LEY

HAM ILTON.

© A --2 -2 - 5 1

Solución

Calculando el polinom io característico de A

P(A) = \ A I - A \ =A + 2 2

5 A - 1= A2 + A - 1 2

Sea P ( A ) = A 2 + A - 1 2 I = 0 • ( I )

M ultiplicando por A 1 a la ecuación (1)

A + I - \ 2 A ~ ' = 0 => 12 A~l = A + I

' -2 -2' 1 0' -1 -212/T* = + =

- í 1 0 1 -5 2

1 2 '^ tf? •'!«

. A - 12 125 212 12 .

1 2 2

0 2 1

- 1 2 2Solución


A - i - 2 - 2

0 A - 2 -1

1 - 2 A - 2

0

Calculando el polinom io característico de A.

P(A) = \ A I - A \ =

P{A) = A3 - 5A2 + 8A - 4 = 0 de donde

P(A) = A 3 - 5 A 2 + 8 A - 4 - 0

m ultiplicando por A " 1 a la ecuación (1)

A 2 - 5 A + S I - 4 A - ' = 0 => 4A ~} = A 2 - 5 A + 8I

■ i 2 2 '2 "1 2 2 1 0 0 '

IIT

0 2 1 - 5 0 2 1 + 8 0 1 0

-1 2 2 1 2 2_ 0 0 1

' - i 10 8 " 3 - 1 0 - 1 0 '

4 A~x = - i 6 4 + 0 - 2 - 5

- 3 6 4 - 5 -1 0 - 2

’ 2 0 2

IIT

-1 4 - 1 , de donde ,í4-1

- 8 - 4 2

- 0 2

i 1 4

- 2 -1 -

E jem plo .- Sea A e k nxx y f ( x ) = x i - 2 x ¡ + x - l su

característico, prueba que A es invertible.

polinom io

¡Solución


Por el teorem a de Cayley Ham ilton, tenem os que

f ( A ) = A 3 - 2 A 2 + A ~ I = 0

A 3 - 2 A 2 + A = I A ( A 2 - 2 A + I ) = I sea B = A 2 - 2 A + I

entonces AB = I por lo tanto A tiene inversa y la inversa de A es

A ~ l = A 2 - 2 A +1

E jem plo .- Sea A e k 3*3 , P(x) un polinom io, pruebe que si X es un valor

propio de A, P(X) es un valor propio de P(A).

Solución

Sea el polinom io P (x ) = a x i + b x 1 + cx + d com o Av = Xv, donde v * 0

entonces

A 3v = A3v

A 2v = A2v

Av = Av

dv = dv

(aA)3 v = (aA3 )v

(bA2 )v = (bA2 )v

(cA)v = (cA)v

dv = dv

Sum ando (aA 3 )v + (bA 2 )v + (cA)v + d v - (aA3 )v + (bA2 )v + (cA)v + dv

( a A 3 + b A 2 +cA + d l ) v = (aX3 + bA2 +cA + d ) v => P( A )v = P( A,)v

P(A.) es un auto valor de P(A ) pues v # 0 entonces com o, el proceso se

cum ple para cualquier polinom io P(X) entonces si X es un valor propio de

A, se cum ple que P(A) es un valor propio de P(A).



I) Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes

transform aciones lineales.

( T ) T : R 2 - > R 2 tal que T(x,y) = (x + y, 2x + y)

( 7 ) T : R 3 - + R 3 tal que T(x,y,z) = ( x + y, x - y + 2z, 2x + y - z )

T : R A -> R a tal que T(x,y,z,w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w)

( 4 ) T : R 2 - > R 2 tal que T(x,y) = (4x + 3y, 3x - 4y)

( 5 ) T : R 3 R 3 tal que T(x,y,z) = (2y - z, 2x - z, 2x - y)

II) Estudiar si las siguientes aplicaciones lineales que se indican a continuación

tienen como autovalores y auto vectores asociados los que se indican en cada

uno de los casos:

( i j f(x,y) = (x + 2y, -y), X = 1, v = (l,0 )

( T ) f(x,y,z) = (x - y + z, y - 2z, x + 5z), X = 3, v = (1,1,1)

( T ) f(x,y,z,w) = (x + y, x - z, y + z, w), A. = 0, v = (1,-1,1,0)

III) Obtener los autovalores y autovectores asociados si existen de las m atrices

siguientes con elem entos en R.

© A ='2 1

0 3

10 - 9

4 - 2

© * -

©

1 -1

4 3

0 3

4 0

©

© A -

r s o

8 -1

- 2 - 7

1 2

370 Eduardo Espinoza Rumos

A =1 0

0 1 © A =1 2

0 -1

IV ) Obtener los autovalores y autovectores asociado si existen de las matrices

siguientes con elem entos en R.

® A =

1 - 0 4

0 - 02

0 I 14

© A =

0 0 f 10 0 2

0 1 0 © A = 0 6 0

1 0 0 2 0 7

4 0 f '3 0 - 5 ' ■-2 0 r

II

©

- 2 1 0 n

© O7 liT©

- 6 - 2 0

- 2 0 1 1 1 - 2 19 5 - 4

- 1 0 1 ' O '5 6 2 "

II

©

- 1 3 0 II

©

1 1 0 ll

©

O 1 00

- 4 13 -1 - 7 1 0 1 0 - 2

' 5 6 -3 ' 0 2 f 2 5 - 6

@ A = -1 0 1 @ A = - 2 0 3 © A = 4 6 - 9

1 2 -1 -1 -3 0 3 6 - 8

"1 2 3 ' "1 1 2" 0 1 0 '

© A = 0 1 2 © A = 1 2 1 © A = 0 0 1

0 0 1 2 1 1 -1 0 0


V)

©

©

©

©

©

Sea A una m atriz cuadrada de orden 3x3 tal que: A X = B, donde

obtener los valores y vectores propios de2 0 0 ' 0 6 2 "

1 1 0 y 5 = 3 3 2

0 2 1 6 0 -1

x =

la m atriz A.

Dada la matriz A =

5 4 2

4 5 2

2 2 2

, hallar los valores y vectores propios de A y

los espacios característico de A.

Sea T : R 3 R 3 , una transform ación lineal definida por T(x,y,z) = (x,y,0)

a) H allar la m atriz A asociado a T.

b) H allar los valores y vectores propios de A.

Dado la transform ación linea! T : R 3 -» R 3 definido por T(x,y,z) = (x,y,-z),

hallar los valores y vectores propios de la m atriz A (A m atriz asociado a F).

Dado la transform ación lineal T : R 3 —» R definido por

T(x,y,z) = (2x + y + z, 2x + 3y + 4z, -x - y - 2z), hallar los valores y vectores

propios de A (A m atriz asociado a T).

( T ) H allar los valores y vectores propios de la matriz A =

1 -1 4

3 2 - 1

2 1 -1diagonalizar.


©

©

©

©

Investigar si la siguiente m atriz es diagonizable A =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

Sea A =

1 - 0 4

0 - 02

0 i 1 4

a) Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A

b) Encuentre las matrices no singular P y P ~1 y una m atriz diagonal D tal

que D = P ~ ' A P .

Sea A =

1 I 02

0 I 1 2

0 0 0

a) Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A.

b) Encuentre las matrices no singular P ^ P~x y una m atriz diagonal D tal

que D = P ~ ] A P .

Sí A =

1 0 0

0 - 2 0 0 0 0

a) ¿Cuáles son los valores y vectores propios de A?

b) Encuentre las m atrices no singulares P y P ~ l y una m atriz diagonal D tal

que D = P ~ ' A P .


1 0 Ì fy S =

0 1 0 1Sea A =

polinom io característico.

D em ostrar que A y B tienen el mismo

Si A =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

a) Encuentre los valores y vectores propios de A.

b) Encuentre la m atriz P tal que P ~ l A P sea una m atriz diagonal.

Si A =

2 - 3 5

0 - 1 5

0 0 4

a) Encuentre los valores y vectores propios de A.

b) Encuentre la matriz P tal que P ' 1 AP sea una matriz diagonal.

Sea T : P2 -» A definida por:

T (a 0 + ü \X + a 2x 2) - (5a0 + 6 a l + 2a 3) - ( a , + 8 a 2)* + (a o ~ 2 a 2 )x~

encuentre los vectores y valores propios de T.

' \ a b ) T ' n ' r

1 c d son l 9 0 y - i

v1 e f , J o ,

( í s ) Si los vectores propios de la matriz

determ inar a,b,c,d,e y f.

Encuentre los valores propios y los vectores propios para la transform ación

lineal dado. D eterm inar si existe o no una base c 2 de vectores propios para el

dominio de T, encuentre si existe, una matriz diagonal que representa a T.

a) T : R 2 -» R 2 tal que T(x,y) = (2x + y, 2x + 3y)

b) T : R 3 -> /?3 tal que T(x,y,z) = (x, x + y, x + y + z)

c) T : R 3 R 3 tal que T(x,y,z) = (2x, 2y, 3z)

d) T : R 3 - » R 3 tal que T ( x , y , z ) = ( 3 x - — + , 4 x - z , 4 x ~ 2 y + z)

e) T : R 4 -> R 4 tal que T(x,y,z,w) = (3x, 2y, x + 2z, 2w)

7f) T : R 3 - + R 3 tal que T ( x , y , z ) = {x + z , 0 , - x + y + — z)

g) T : R 3 —> R 3 tal que T(x,y,z) = (3x + 2y + 4z, 2x + 2z, 4x + 2 y + 3 z)

1 7 ) Encuentre una m atriz P que diagonalice a A, y determ inar P 1A P , donde:

-1 4

-2 0

12 '

17b) A =

1

6

0

-1

1 0 0" '2 0 - 2

0 1 1 d) A = 0 3 0

0 1 1 0 0 - 2

T s ) D eterm inar si A es diagonizable, en caso de que así sea, encuentre una m atriz P

que diagonalice a A.

19 - 9 - 6 "-1 4 - 2 '5 0 0 '

a) A = 25 -11 - 9 b) A = -3 4 0 II 1 5 0

17 - 9 - 4 -3 1 3 0 1 5


- 2 0 0 0 ' ' - 2 0 0 o í

0 -2 0 0 0 - 2 5 -5A = e) A =

0 0 3 0 0 0 3 0

0 0 1 3 0 0 0 3_

Sea A =a b

c d, dem uestre que:

a) A es diagonizable sí (a - d ) 2 + 4abe > 0

b) A no es diagonizable sí (a - d ) 2 + 4abe < 0

(20) D eterm ine los valores y vectores propios de la matriz A y determ ine si A es

diagonizable, si lo es encuentre P tal que P ' A P = D .

a) A =' - 2 - 2 ' 3 - f '2 - 1 '

b ) A = c) A =- 5 1 - 2 4 _ 5 -2_

d ) A

' 1 -1 0"‘3 - 5 ' 3 2 '

-1e) A = f) = -1 21 -1 - 5 1

0 -1 1

' 1 1 - 2 ' "3 -1 -1 '7 - 2 - 4 '

g) ^ = -1 2 i h ) A = 1 1 -1 i) A = 3 0 - 2

0 1 -1 1 -1 1 6 - 2 -3

" 4 6 6 "_3 - 7 - 5 '

ro~0

ro1

II 1 3 2 k) A = 2 4 3 1) .4 = 0 0 1

- ! - 5 -2_ _ 1 2 2 _ 0 0 2


Sea X el autovalor de la transform ación lineal T: V —> V, dem ostrar que el

conjunto form ado por los autovectores asociados a X y el vector nulo es

subespacio de V.

Suponga que A¡ y A2 sus autovalores diferentes y distintos de cero de

T : R 2 —> R 2 , Dem ostrar que:

a) Los auto vectores y v2 correspondientes son linealm ente

independiente.

b) 7 (v j) y T ( v2 ) son linealmente independiente.

Encuentre la m atriz ortogonal Q que diagonaliza la m atriz sim étrica dada,

después verifique que Q ' A Q = D , una matriz cuyas com ponentes diagonales

son los valores propios de A.

® D adas las m atrices siguientes:

'9 - 4 - 7 1 ' 15 0 - 9 - 5 ' 9 0 - 3 - f

7 6 - 7 - 7 7 6 - 7 - 7 6 6 - 6 - 6

8 - 4 - 6 - 8*

14 0 - 8 -1 4>

1 0 5 1

9 0 - 9 1 9 0 - 9 1 . - 2 0 2 8

'3 4 '2 f ' 1 - 1 'a) A = b) A = IITu

4 - 3 1 2 -1 1

' 1 -1 - l '-1 l 2 ' 1 -1 0 '

d) A = -1 1 -1 e) A = 2 - 1 2 f) A = -1 2 -1

-1 -1 1 2 l 1 0 -1 1

se pide:


a) H allar sus autovalores y autovectores.

b) D eterm inar si son diagonalizables, calculando cuando sea posible las

m atrices P no singular y D diagonal para que se verifique A = PD P 1.

Estudiar para que valores de los parám etros son diagonizables las m atrices.

'1 a 1 ‘ 2a 0 2a

A = 0 1 10 , A = 1 a 2

0 0 c - a 0 - a

Encuentre la ecuación característica y los valores y vectores propios de las

siguientes matrices:

a)

'2 1 0 0 ''5 6 2 ' " 5 0 1"

0 2 0 0A = 0 -1 - 8 b) A = 1 1 0 c) A =

0 0 2 01 0 - 2 - 7 1 0

0 0 0 5_

~ 4 0 f ' 7 1 2 ' " - 2 0 - 3 6

d ) A = - 2 1 0 e) A = - 1 7 0 f) A = 0 - 3 0

- 2 0 1 1 -1 6 _-36 0 -23_

A =9 rEncuentre los valores propios de A , si:

Aplicando el teorem a de CAYLEY - HAM ILTON, hallar A ~ ‘ , sí:

1 3 7 11

0 - 1 3 8

0 0 - 2 4

0 0 0 2

A =

3 1 0 0 0

1 3 0 0 0

0 0 20 0 1

0 0 1


Ver si las m atrices A y B son semejantes o no, si lo fueran, encontrar una

matriz P tal que P 1A P = B .

"0 1 0" 0 0 0 '

A = 0 0 1 , B = 1 0 0

0 0 0 0 1 0

'3 0 0 0 ' ' - 2 -1 0 0

0 3 0 0 0 7 0 0A = b) A =

0 0 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 0 0 0 1

1 4 - 2

Encuentre una m atriz P que diagonalice a la matriz A; sí A = - 3 4 0

3 1 3

Hallar la m atriz P, si existe, que diagonalice a cada una de las matrices.

a)

H allar la m atriz A de orden 3x3 que tiene com o valores propios: A¡ = - 1 ,

A2 = 2 y Á3 = 5 y com o vectores propios

respectivam ente.

Si los valores propios de una m atriz A son A, =1 y A2 = - 1 y los vectores

( i ) mpropios correspondientes son I y , , hallar la m atriz B que cum ple con la

relación P ~ ' A P = B donde P -

f 2" ' - 2 'í 1 '

2 9 1 y - 2

X , 2 , k 2 j

2 - 3

1 4

(Sí) Probar que A y A 1 tienen el m ism o polinom io característico.


i3 5 j Encontrar los valores y vectores propios de las matrices dadas.

3 2 4

l 1 LA 1 1 VOI

- 1 - 3 - 9

a) A = 2 0 2 b) T = 8 9 18 c) A = 0 5 18

4 2 3 - 2 - 3 —7 0 - 2 - 7

6.12. FORMAS BILINEALES.-

D E F IN IC IÓ N .- Sean (V ,+,k„) un espacio vectorial y f una función de V 2

en k, entonces la función f : VxV —> k es una form a

bilineal sobre V sí y sólo sí es lineal respecto a los dos argum entos es decir:

f : VxV —» k es form a bilineal sobre V si satisface:

i) L inealidad respecto al prim er argumento.

/ (ax + b x ' , y ) = a f ( x , y ) + b f ( x ’, y )

ii) L inealidad respecto al segundo argumento.

f ( x , c y + dy ' ) = c f \ x , y ) + d f ( x , y ' ) V x , y , x ' , y ' e V , a,b,c,d e k


Si f e s una forma bilineal sobre V, entonces se verifica que:

f(ax,y) = afi(x,y) = f(x,ay)

E jem plo .- Sea g : V 2 -> k u n a f o r m a bilineal, dem uestre que g y . V - > k

definida por g y (x) = g (x , y ) es una forma lineal.

Solución

g y (ax) = g(ax, y ) = ag(x, y ) = a g y (*)

g y (ay) = g( x , ay) = «g(* , y ) = a g y (y )

E jem plo .- Sea ( k n ,+,k, .) espacio vectorial y la función / : k nx k n —> kn

definida por f ( x , y ) = ^ j ^ x iy i es una forma bilineal sobre k n .

i=i

Solución

i) / (ax + bx ' , y ) = a f ( x , y ) + b f ( x ' , y ) , por comprobar.

n n n

f ( a x + b x ',y ) = ' ^ ( a x l + b¿¡ )y, = ^ axiy i + ^ bx\y,1=1 /=! i=l

n n= x¡y¡ + b ^ xj\y¡ = a / ( * , .y) + b / ( * ' , y )

i=i <=i

H) f ( x , c y + dy ' ) = c f ( x , y ) + d f ( x , y ' )

n n n

f ( x , c y + d ' ) = ^ x ¡ ( c y ¡ +dy \)FC = c J ' x iy i + d ' J ' x t)}f i = i i= i m

= c f ( x , y ) + d f ( x , y ' )

nf (*> y ) = x¡y¡ es una forma bilineal sobre k "

i=i

6.13. MATRIZ DE UNA FORMA BILINEAL.-

Sea V un espacio de dim ensión n > 1 y [V]= {v¡ ,v 2 ,...,v„} una base de V, y

la form a bilineal / : V 2 -> A \ entonces f está caracterizada por los valores

a t/ = / ( , v ,) que son los elem entos de la m atriz A e k nxn, llam ada m atriz de

f respecto de la base [V].


En efecto, si x e y son dos valores cualquiera de V, que expresado en térm inos

de la base [V] es :

n n n nf { x , y ) = f i ^ x ^ ^ y j V j ) = X X , , . A , , , )

i=l 7=1 i-l }-\

n n

1=1 y=i

donde x e y son las matrices colum nas cuyos elem entos son las coordenadas de

x e y respecto de la base [V],

6.14. FORMA BILINEAL SIMÉTRICA.-

D E F IN IC IÓ N .- La forma bilineal / : V 2 ->& es sim étrica sí y sólo sí

f(x,y) = f(y,x), V x,y e V

P R O P IE D A D E S

La m atriz A e k"xn representa una forma bilineal sí y sólo sí A es simétrica.

© Sea f la form a bilineal sim étrica asociada a A, f es sim étrica <=>

f(x,y) = % ,x ) => x 1 Ay = y 1 Ax

© Sea A sim étrica, entonces:

f ( x , y ) = x , Ay = ( x ' A y ) ' = y ' A ' x = y ' Ax = f ( y , x )

Luego f es sim étrica

E jem plo .- Determ inar la form a escalar de las formas cuadráticas asociadas a

las formas bilineales g(x, y ) - x ' A y en los siguientes casos:

3 - 7 2 o" 1 0 0 '

i) A = - 7 2 1 0 ii) A = 0 -1 0

0 0 -1 0 0 1

Solución

3 - 7 5 0 > l"g(x,_y) = (x ,,x2,x3) - 7 2 i 0 y i

0 0 -1 y*.

= (3x, - V Lr2, -V2.T, + x2, - x 3)

= 3 x , - yÍ2x2y l - 7 5 x]y 2 + x2y 2 - x 3y3

y\

v2

Ejem plo.- Desarrollar la forma bilineal simétrica asociada a la matriz A,

1 -1 2 "

-1 3 1

2 1 - 2

Solución

siendo: ,4 =

" 1 -1 2 ' > i ’

H1

H£IIIIH -1 3 1 y 22 1 - 2 y*.

= (X | — x2 + 2 x 3 , - x 3x2 + x3 , 2 xj + x 2 -

y\

y i

73

= x ,y , - x ^ , + 2 x 3y , + 3x2y 2 + x ^ 2 + 2 x , j 3 + x 2j 3 - 2 x 3 y3

Valores j ’ Vectores Propios 383

Ejemplo.- D esarrollar la forma bilineal sim étrica asociada a la m atriz A,

' 1 - 1 2

- 1 3 1

2 1 -2

Solución

siendo: A =

f ( x , y ) = x ‘A y = ( x l , x 2, x i )

" i - i 2" > i- 1 3 1 y22 1 - 2 . y * .

-x, + 3x2 + x3, 2X|y\

•V2

^3

- * 2.W + 2 x3^! - x , .y 2 + 3 x 2j 2 + x3^ 2 + 2 x 1>'3 + X 2y ¡ - 2 x 3y 3

6,15. FORMAS CUADRÁTICAS.-

D E F IN IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) un espacio vectorial de dim ensión finita y

g : y 2 una form a bilineal sim étrica sobre V

entonces una forma cuadrática asociada a la form a bilineal sim étrica g es la

función f: V -> k definida por f(x) = g(x,x) = <x,x> donde

< x , y >

n

i«l

Si V = k " y si A e k nxn es la matriz simétrica de la forma bilineal g, entonces

la forma cuadrática asociada está definida por:

n/ ( x ) = x ' ^ £ £ W l

í»l j=\


observam os que el desarrollo de una forma cuadrática, en térm inos de las

variables x l , x 2 ,.. .,x n , corresponde a un polinom io hom ogéneo de grado 2

donde los coeficientes de los térm inos cuadráticos son los elem entos de la

diagonal de la m atriz sim étrica correspondiente, y cada coeficiente de un

térm ino rectangular x¡ x j es el duplo del elemento QtJ de la ecuación.

D E F IN IC IÓ N .- U na form a cuadrática x ' A x es no degenerada sí y sólo sí A

es no singular.

La m atriz correspondiente a la forma cuadrática f : R 1 -> R definida por:

/ (jc) = jc,2 + 2 x 2 + 2 x \ “ 2*i *2 + *3 es A =

1 -1 2- 1 2 0 2 0 2

E jem plo.» D eterm inar la m atriz de la forma cuadrática sobre definida

por / ( x , , x 2 , x 3) = x? - 4 .r, x 2 + 2 x \

Solución

' 1 - 2 0 '' 1 - 2 '

A = - 2 2 0 A =- 2 2

0 0 0

E jem plo .- La matriz de la form a cuadrática f \ x , y ) ~ a x 2 + b x y + c y 1 es:

ba —

2b— c .2


D E F IN IC IÓ N .- Sea V = y sea A una m atriz sim étrica de nxn entonces

una forma cuadrática en x , , x 2 ,...,x„ es un exponente de la

forma: f ( x j , x 2, —, x „ ) = Av.v

E jem plo .- Encuentre una matriz sim étrica A, tal que la form a cuadrática se

puede escribir en la form a AX .X

1) X 2 + 2 x ¡ x 2 +XÍ ; + 4x J X 3 + * 2 x 3 + 3 X j + 7 x ¡ x 4 — 2x 2 X 4 + x 4

Solución

A =

72 1 2

21 1 3 -1

2 3 3 0

7-1 0 1

6.16.. EJERCICIOS PROPUESTOS:-

© flallar la m atriz sim étrica que corresponde a cada uno de las siguientes formas

cuadráticas.

a) f ( x , y ) = 4 x 2 - 6 x y - 7 y 2 b) f ( x , y ) = xy + y 2

c) f { x , y , z ) = 3 x 2 + 4xy - y 2 + Sxz - 6 y z 4- 3z "

*1) f ( x , y, z) = x 2 - 2yz + Sxz


D

t )

Hallar una m atriz ortogonal de Transform ación de coordenadas que

diagonalice la forma cuadrática f ( x , y ) = I6x" + 24xy + 9y* , así com o la

relación que existe entre las coordenadas iguales (x,y) y la transform ación

(*’; / ) .

Sea g : V 2 —> k una forma bilineal. D em ostrar que g v : V —» k , definida por

g v( jr) = g(x , y) es una form a lineal.

Una función bilineal f sobre R 3 está caracterizada por la matriz

1 2 - f

A = 1 0 -2

0 1 1

D

i) Obtener f(x,y)

ii) D etenninar la m atriz de {(1,1,1},(1,1,0),(1,0,0)}

Sean g una forma bilineal sim étrica sobre V y f la forma cuadrática asociada.

D em ostrar que:

i) g ( x , y ) = \ [ f ( x + y ) - f ( x - y ) ]4

D

¡i) g ( x , y ) = - [ / ( * + y ) - f ( x ) - / ( j ) l

D eterm inar la m atriz de la form a cuadrática sobre R 1 definida por

f ( x x, x 2 ,x 3 ) = xy - 4x ¡x 2 + 2 x \

[b ib l io g r a f ía

© Fundam entales o f Linear A lgebra por K A T S U M I N O M IZ U

( T ) E lem entos de Algebra Lineal por L O W E L L J . P A IG E y J . D EAN S W IF T

(¿T) A lgebra y A nálisis de Funciones Elem entales por M. POTAPOV, V.ALEXANDROV

( í ) A lgebra Lineal por K O L M A N BER N A R D

( ? ) A lgebra Lineal por SE Y M O U R I.IP S C H U T Z

( ^ ) A lgebra Superior por A. G . K U R O SC H

0 A lgebra Lineal por S E R G E LA N G

( s ) Introducción al A lgebra Lineal por M IS C H A C O T L A R

0 Linear A lgebra por R O B E R T R . S T O L L y ED W A R D T. W O N G

(íü ) L inear Algebra por G E O R G I E. S H IL O V

© A lgebra Lineal por JO R G E A N TO N IO L U D L O W - W IE C H E R S

(T í) Introducción al A lgebra Lineal por H O W A R D A N TO N

( í? ) A lgebra Lineal por P A L E R M O SA EN Z, F R A N C IS C O JO S E V A SQ U EZ

(14) A lgebra Lineal por S TA N L E Y I. G R O SSM A N

( Í 5 ) Problem as de A lgebra Lineal por D. FA D D IEEV , I. S O M IN SK I

Fundam entos de A lgebra Lineal por A. I. M A LTSEV

^ 7) Introducción al A lgebra Lineal por B.C. T E T R A

0 A lgebra Lineal por JO S E P H H E IN H O L D y BR U N O R IE D M Ü L L E R

algebra lineal - eduardo espinoza ramos

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