´algebra lineal con derive 5 francisco cabo garc´ıa
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Aplicaciones Lin.
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ALGEBRA LINEAL CON DERIVE 5
Francisco Cabo Garcıa
Bonifacio Llamazares Rodrıguez
Marıa Teresa Pena Garcıa
Dpto. de Economıa Aplicada (Matematicas)
Universidad de Valladolid
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Ventana de Algebra
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Operadores Fundamentales
(acento)
∗ /
+ −4 ∗ 3 2 ������:
XXXXXXz
4 ∗ (32) = 36
(4 ∗ 3)2 = 144
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Operadores Fundamentales
(acento)
∗ /
+ −4 ∗ 3 2 ������:
XXXXXXz
4 ∗ (32) = 36
(4 ∗ 3)2 = 144
Teclado Raton Definicion
sqrt(a) ⇐⇒ Ctrl+q a√
a√
a
a! a!
inf ∞ ∞#e ⇔ Ctrl+e e ln(e) = 1
#i ⇔ Ctrl+i i√−1
pi⇔ Ctrl+p π π = 3.1416
#eˆa ⇔ exp(a) ⇔ Crtl+eˆa ea
ln(a) ⇔ log(a) ln(a)
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Espacios Vectoriales. Matrices y Determinantes.
• Definicion de vectores y matrices
• Operaciones con matrices
• Definir un vector a partir de una funcion
• Resolucion de ecuaciones
• Dependencia e independencia lineales
• Base de un espacio vectorial
• Coordenadas de un vector en una base
• Teorema de Rouche-Frobenius
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Definicion de vectores y matrices
• Definir un vector
✍ Editar (Autor) → Vector o el boton
✍ x := [x1, . . . , xn]
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Definicion de vectores y matrices
• Definir un vector
✍ Editar (Autor) → Vector o el boton
✍ x := [x1, . . . , xn]
• Definir una matriz
✍ Editar (Autor) → Matriz o el boton
✍ A := [a11, . . . , a1n; a21, . . . , a2n; . . . ; am1, . . . , amn]
✍ A := [[a1, . . . , an]]. Genera matrices con una unica fila
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Operaciones con matrices
• Suma matricial
✍ A + B
• Producto matricial
✍ A ∗B ⇔ AB
Se recuerda que la division matricial no existe. Al escribir
A/B, DERIVE calcula A ∗B−1
• Potencia n-esima de una matriz
✍ Aˆn
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• Inversa de una matriz
Sea A ∈ Mn×n(R). Se dice que A es inversible o regular si
existe B ∈ Mn×n(R) de forma que AB = BA = In. En este
caso, B se llama matriz inversa de A y se denota por A−1
✍ Aˆ− 1
• Determinante de una matriz
El determinante es una aplicacion
det : Mn×n → RA 7→ det A
✍ DET(A)
A es inversible si y solo si det(A) 6= 0
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• Traspuesta de una matriz
✍ A‘ (acento grave)
• Traza de una matriz
✍ TRACE(A)
• Rango de una matriz
Sea A ∈ Mm×n, se denomina rango de A por filas (colum-
nas) al numero maximo de vectores fila (columna) linealmente
independientes
El rango de A es el orden del mayor menor no nulo de A
✍ RANK(A)
• Matriz identidad de orden n
✍ IDENTITY MATRIX(n)
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Definir un vector a partir de una funcion
Crear un vector cuyos componentes son el resultado de evaluar una
funcion de una variable que sigue una progresion aritmetica:
✍ Calculo → Vector. Antes de usar esta opcion, la funcion
debe estar seleccionada en la Ventana de Algebra
✍ VECTOR(f, k,m, n, s). En este comando f es la funcion, k
la variables, m el valor inicial, n el valor final y s la razon de la
progresion aritmetica; es decir, k toma los valores: m, m +
s, m + 2s, ... ≤ n. Si m y/o s no aparecen, su valor por
defecto es 1
Ejemplo:
[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] −→ VECTOR(kˆ2, k, 1, 10, 1)
[16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] −→ VECTOR(kˆ2, k, 4, 10, 1)
[16, 36, 64, 100] −→ VECTOR(kˆ2, k, 4, 10, 2)
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Resolucion de ecuaciones
• Una ecuacion algebraica
Representacion grafica → Raıces de forma aproximada
Sea f una funcion, al menos de x. La ecuacion f = 0 puede
resolverse respecto de esta variable de las siguientes formas:
✍ Escribir la ecuacion y Resolver →Expresion o
∗ Algebraico 99K Mediante formulas
∗ Cualquiera 99K Todas las raıces de forma numerica
∗ Numerico 99K Una raız en un intervalo determinado
∗ Dominio Real ↔ Complejo
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Resolucion de ecuaciones
• Una ecuacion algebraica
Representacion grafica → Raıces de forma aproximada
Sea f una funcion, al menos de x. La ecuacion f = 0 puede
resolverse respecto de esta variable de las siguientes formas:
✍ Escribir la ecuacion y Resolver →Expresion o
∗ Algebraico 99K Mediante formulas
∗ Cualquiera 99K Todas las raıces de forma numerica
∗ Numerico 99K Una raız en un intervalo determinado
∗ Dominio Real ↔ Complejo
✍ SOLVE(f, x). Equivalente al metodo Algebraico y el do-
minio Complejo
✍ APPROX(SOLVE(f, x)). Equivalente al metodo Cualquiera
y el dominio Complejo
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• Sistema de Ecuaciones:
Sistema de Ecuaciones Lineales
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Sistema de Ecuaciones no Lineales
g1(x1, x2, . . . , xn) = b1
g2(x1, x2, . . . , xn) = b2
. . . . . . . .
gm(x1, x2, . . . , xn) = bm
Elegir tantas variables a despejar
como ecuaciones tenga el sistema
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• Sistema de Ecuaciones Lineales
✍ Escribir el sistema de ecuaciones como:
[a11x1 + · · · + a1nxn = b1, . . . , am1x1 + · · · + amnxn = bm]
o
a11x1 + · · · + a1nxn = b1 and . . . and am1x1 + · · · + amnxn = bm
o
a11x1 + · · · + a1nxn = b1 ∧ . . . ∧ am1x1 + · · · + amnxn = bm
hacer clic en el boton , seleccionar las m variables a
despejar y el metodo Algebraico
✍ SOLVE(sistema, [xi1, . . . , xim]). El 1er argumento recoge el
sistema de ecuaciones y el 2o las m variables a despejar
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• Sistema de Ecuaciones Lineales
✍ Escribir el sistema de ecuaciones como:
[a11x1 + · · · + a1nxn = b1, . . . , am1x1 + · · · + amnxn = bm]
o
a11x1 + · · · + a1nxn = b1 and . . . and am1x1 + · · · + amnxn = bm
o
a11x1 + · · · + a1nxn = b1 ∧ . . . ∧ am1x1 + · · · + amnxn = bm
hacer clic en el boton , seleccionar las m variables a
despejar y el metodo Algebraico
✍ SOLVE(sistema, [xi1, . . . , xim]). El 1er argumento recoge el
sistema de ecuaciones y el 2o las m variables a despejar
Las m ecuaciones no
son independientes⇒
Sistema equivalente de
menos ecuaciones. Todas
independientes.
⇒ �
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• Sistema de Ecuaciones no Lineales
✍ Escribir el sistema de ecuaciones como:
[g1 (x1, . . . , xn) = b1, . . . , gm (x1, . . . , xn) = bm]
o
g1 (x1, . . . , xn) = b1 and . . . and gm (x1, . . . , xn) = bm
o
g1 (x1, . . . , xn) = b1 ∧ · · · ∧ gm (x1, . . . , xn) = bm
hacer clic en el boton , seleccionar las m variables a
despejar y el metodo Cualquiera
✍ APPROX(SOLVE(sistema, [xi1, . . . , xim])). El 1er argumen-
to recoge el sistema de ecuaciones y el 2o las m variables a
despejar
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Dependencia e independencia lineales
• Dependencia lineal
Sean U un espacio vectorial sobre R y u1, . . . , un ∈ U . Los vec-
tores u1, . . . , un son linealmente dependientes si y solo si existen
escalares λ1, . . . , λn ∈ R no todos nulos, tales que
λ1u1 + · · · + λnun = 0U
• Independencia lineal
Sean U un espacio vectorial sobre R y u1, . . . , un ∈ U . Los
vectores u1, . . . , un son linealmente independientes si y solo si
∀λ1, . . . , λn ∈ R λ1u1+· · ·+λnun = 0U ⇒ λ1 = · · ·λn = 0
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Base de un espacio vectorial
• Definicion de base
Sean U un espacio vectorial y u1, . . . , un ∈ U . {u1, . . . , un} es
una base del espacio vectorial U si y solo si:
1. Es un sistema libre
2. Es un sistema generador
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Base de un espacio vectorial
• Definicion de base
Sean U un espacio vectorial y u1, . . . , un ∈ U . {u1, . . . , un} es
una base del espacio vectorial U si y solo si:
1. Es un sistema libre
2. Es un sistema generador
• Propiedades
Si U es un espacio vectorial finitamente generado de dimension
n, entonces:
1. u1, . . . , un ∈ U l.i. ⇒ {u1, . . . , un} base de U
2. {u1, . . . , un} SG de U ⇒ {u1, . . . , un} base de U
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Coordenadas de un vector en una base
Sea U un espacio vectorial sobre R. Si B = {u1, . . . , un} es una base
del espacio vectorial U , entonces cualquier vector de U se expresa,
de forma unica, como combinacion lineal de los vectores de la base,
es decir,
∀v ∈ U ∃λ1, . . . , λn ∈ R unicos, tales que v =
n∑i=1
λiui
vB = (λ1, . . . , λn) es el vector de las componentes o coordenadas
de v en la base U
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Teorema de Rouche-Frobenius
El sistema de ecuaciones lineales:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
puede escribirse de forma matricial como
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . .
am1 am2 · · · amn
x1
x2
·xn
=
b1
b2
·bm
, o bien, Ax = b
Se define la matriz ampliada o completa del sistema como la matriz
que se obtiene de anadir a la matriz A la matriz columna b:
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(A | b
)=
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
. . . . . . . . . .
am1 am2 · · · amn bm
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(A | b
)=
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
. . . . . . . . . .
am1 am2 · · · amn bm
• Teorema de Rouche-Frobenius
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es:
1. Compatible si y solo si rg(A) = rg(A | b
). Ademas,
(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado
(b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado
2. Incompatible si y solo si rg(A) < rg(A | b
)
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Aplicaciones Lineales
• Matrices asociadas a una aplicacion lineal
Sean U ,V espacios vectoriales sobre R, B = {u1, . . . , un} y
B′ = {v1, . . . , vm} bases de U y V , respectivamente, y f ∈L (U ,V). La matriz asociada a f en las bases B y B′ se denota
por M (f,B,B′) y se obtiene como:
M (f,B,B′) = (f (u1)B′ | · · · | f (un)B′) ∈Mm×n(R)
f (x)B′ = M (f,B,B′) xB.
La aplicacion
L (U ,V) Φ−→ Mm×n(R)
f 7−→ M (f,B,B′)es un isomormismo
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Aplicaciones Lineales
• Matrices asociadas a una aplicacion lineal
Sean U ,V espacios vectoriales sobre R, B = {u1, . . . , un} y
B′ = {v1, . . . , vm} bases de U y V , respectivamente, y f ∈L (U ,V). La matriz asociada a f en las bases B y B′ se denota
por M (f,B,B′) y se obtiene como:
M (f,B,B′) = (f (u1)B′ | · · · | f (un)B′) ∈Mm×n(R)
f (x)B′ = M (f,B,B′) xB.
La aplicacion
L (U ,V) Φ−→ Mm×n(R)
f 7−→ M (f,B,B′)es un isomormismo
✍ Utilidades creadas con DERIVE
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Sean U ,V espacios vectoriales sobre R y B,B′ bases de U y Vrespectivamente. Si f : U → V es una aplicacion lineal, entonces:
• Se denomina imagen de f al conjunto:
Imf = f (U) = {v ∈ V | ∃u ∈ U v = f (u)}
• Se denomina nucleo de f al conjunto:
Kerf = f−1 (0V) = {u ∈ U | f (u) = 0V}
• dim U = dimKerf + dimImf.
• rgf = dim Imf = rgM (f,B,B′)
• Si dim U = n y dim V = m, entonces
1. f inyectiva ⇔ rgf = n
2. f suprayectiva ⇔ rgf = m
3. f isomorfismo ⇔ rgf = n = m
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Diagonalizacion
• Endomorfismos y matrices diagonalizables
Sean U un espacio vectorial sobre R y f ∈ End (U). f es
diagonalizable si y solo si existe una base B = {u1, . . . , un} de
U tal que M (f,B,B) es diagonal
Sea A ∈ Mn×n(R). A es diagonalizable ⇐⇒ ∃P, D ∈Mn×n(R), P inversible y D diagonal tal que A = PDP−1
(f (u1)B | · · · | f (un)B) =
λ1 0 0 · · · 0
0 λ2 0 · · · 0
· · · . . . ...
0 · · · · · · · · · λn
= D
f (u1)B = (λ1, . . . , 0)
. . . . . . . . . .
f (un)B = (0, . . . , λn)
⇒ ∀i ∈ 1, . . . , n f (ui) = λiui
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Sean U un espacio vectorial sobre R y f ∈ End (U)
1. u ∈ U , u 6= 0U es un vector propio o autovector de f si y solo
si existe λ ∈ R tal que f (u) = λu
2. λ ∈ R es un valor propio o autovalor de f si y solo si existe
u ∈ U , u 6= 0U tal que f (u) = λu
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Sean U un espacio vectorial sobre R y f ∈ End (U)
1. u ∈ U , u 6= 0U es un vector propio o autovector de f si y solo
si existe λ ∈ R tal que f (u) = λu
2. λ ∈ R es un valor propio o autovalor de f si y solo si existe
u ∈ U , u 6= 0U tal que f (u) = λu
f es diagonalizable ⇐⇒ existe alguna base de U formada
por vectores propios de f
Toda base B en la que M (f,B,B) sea
diagonal esta formada por vectores propios
de f , y los valores propios son los elemen-
tos de la diagonal principal
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UB > UB
D ∧M (idU ,B, CRn)
P P−1 M (idU , CRn,B)
∨ A
UCRn > UCRn
M (f, CRn, CRn)
P = M (idU ,B, CRn) =(
(u1)CRn| (u2)CRn
| · · · | (un)CRn
)M (f,B,B) = M (idU , CRn,B) M (f, CRn, CRn) M (idU ,B, CRn)
D = P−1 A P
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Diagonalizacion de matrices
• Polinomio caracterıstico de A
✍ CHARPOLY(A). Devuelve el polinomio caracterıstico de A
en potencias de w
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Diagonalizacion de matrices
• Polinomio caracterıstico de A
✍ CHARPOLY(A). Devuelve el polinomio caracterıstico de A
en potencias de w
• Autovalores de A
✍ EIGENVALUES(A). Devuelve un vector con los diferentes
autovalores de la matriz A pero sin especificar su multipli-
cidad. Para conocer la multiplicidad de cada autovalor, se
calcula el polinomio caracterıstico y se factoriza mediante la
opcion Simplificar→Factorizar. Para matrices de orden
superior a 4, generalmente DERIVE no puede encontrar los
autovalores en forma algebraica (valor exacto); en tal caso,
se pueden obtener los autovalores de forma numerica (valor
aproximado) utilizando el boton
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• Autovectores de A
✍ EXACT EIGENVECTOR(A, w). Este comando devuelve
el subespacio propio asociado al autovalor w, expresandolo
como un vector donde las diferentes variables vienen referi-
das mediante @1, @2,... Debe utilizarse cuando el autovalor
w se ha obtenido de forma algebraica (valor exacto). Para
un autovalor obtenido de forma numerica (valor aproximado)
devuelve el vector nulo
✍ APPROX EIGENVECTOR(A, w). Cuando un autovalor no
se puede calcular de forma algebraica y se obtiene un valor
aproximado, w, de forma numerica, es posible obtener una
aproximacion a uno de sus autovectores utilizando este co-
mando. Si dicho comando se emplea con un autovalor que se
puede obtener de forma algebraica (valor exacto), el resultado
no tiene por que ser un autovector
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Formas Cuadraticas
• Clasificacion de las Formas Cuadraticas
• Criterio de los valores propios
• Criterio de los menores principales
• Formas Cuadraticas restringidas
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Clasificacion de las Formas Cuadraticas
Sea Q : Rn → R una forma cuadratica
1. Q es definida positiva (D+) si y solo si
∀x ∈ Rn x 6= 0 ⇒ Q (x) > 0
2. Q es definida negativa (D−) si y solo si
∀x ∈ Rn x 6= 0 ⇒ Q (x) < 0
3. Q es semidefinida positiva (SD+) si y solo si
∀x ∈ Rn Q (x) ≥ 0 y ∃x0 ∈ Rn, tal que Q (x0) = 0
4. Q es semidefinida negativa (SD−) si y solo si
∀x ∈ Rn Q (x) ≤ 0 y ∃x0 ∈ Rn, tal que Q (x0) = 0
5. Q es indefinida (I) si y solo si
∃x1, x2 ∈ Rn Q (x1) > 0 ∧Q (x2) < 0
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Criterio de los valores propios
• Si Q : Rn → R una forma cuadratica y λ1, λ2, . . . , λn son los
valores propios de M (Q, CRn), entonces:
1. Q es D+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi > 0
2. Q es D− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi < 0
3. Q es SD+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≥ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
4. Q es SD− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≤ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
5. Q es I ⇐⇒ ∃i, j ∈ {1, . . . , n} , λi > 0, λj < 0
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Criterio de los valores propios
• Si Q : Rn → R una forma cuadratica y λ1, λ2, . . . , λn son los
valores propios de M (Q, CRn), entonces:
1. Q es D+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi > 0
2. Q es D− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi < 0
3. Q es SD+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≥ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
4. Q es SD− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≤ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
5. Q es I ⇐⇒ ∃i, j ∈ {1, . . . , n} , λi > 0, λj < 0
• La aplicacion de este criterio con DERIVE requiere:
✍ Utilidad creada con DERIVE
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Criterio de los valores propios
• Si Q : Rn → R una forma cuadratica y λ1, λ2, . . . , λn son los
valores propios de M (Q, CRn), entonces:
1. Q es D+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi > 0
2. Q es D− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi < 0
3. Q es SD+ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≥ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
4. Q es SD− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi ≤ 0 y
∃j ∈ {1, . . . , n} , λj = 0
5. Q es I ⇐⇒ ∃i, j ∈ {1, . . . , n} , λi > 0, λj < 0
• La aplicacion de este criterio con DERIVE requiere:
✍ Utilidad creada con DERIVE
✍ EIGENVALUES(A). Devuelve un vector con los diferentes
autovalores de la matriz A
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Criterio de los menores principales
• Si Q : Rn → R una forma cuadratica y ∆1, ∆2, . . . , ∆n los
menores principales de A = M (Q, CRn)
1. Q es D+ ⇐⇒ ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆n > 0
2. Q es D− ⇐⇒ ∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n∆n > 0
3. Si ∆n = detA 6= 0 y no se cumple ninguna de las condiciones
anteriores, entonces Q es I
4. Si ∆n = detA = 0 y rgA = p, reordenando, si es necesario,
hasta conseguir que el menor principal de orden p sea distinto
de cero, con ∆′1, . . . , ∆
′p los menores principales de la nueva
matriz, entonces:
4.1. Q es SD+ ⇐⇒ ∆′1 > 0, ∆′
2 > 0, . . . , ∆′p > 0
4.2. Q es SD− ⇐⇒ ∆′1 < 0, ∆′
2 > 0, . . . , (−1)p∆′p > 0
4.3. En cualquier otro caso, Q es I
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Criterio de los menores principales
• Si Q : Rn → R una forma cuadratica y ∆1, ∆2, . . . , ∆n los
menores principales de A = M (Q, CRn)
1. Q es D+ ⇐⇒ ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆n > 0
2. Q es D− ⇐⇒ ∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n∆n > 0
3. Si ∆n = detA 6= 0 y no se cumple ninguna de las condiciones
anteriores, entonces Q es I
4. Si ∆n = detA = 0 y rgA = p, reordenando, si es necesario,
hasta conseguir que el menor principal de orden p sea distinto
de cero, con ∆′1, . . . , ∆
′p los menores principales de la nueva
matriz, entonces:
4.1. Q es SD+ ⇐⇒ ∆′1 > 0, ∆′
2 > 0, . . . , ∆′p > 0
4.2. Q es SD− ⇐⇒ ∆′1 < 0, ∆′
2 > 0, . . . , (−1)p∆′p > 0
4.3. En cualquier otro caso, Q es I
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Formas Cuadraticas restringidas
Sean Q : Rn → R una forma cuadratica, A = M (Q, CRn)
y el subespacio vectorial de Rn V ={x ∈ Rn | Bx = 0
}, con
B ∈Mm×n(R) y rg(B)= m
Al sustituir el sistema Bx = 0, se obtienen m variables en
funcion de las n − m restantes. Sustituyendo en Q(x), se
transforma la forma cuadratica restringida Q |V en una forma
cuadratica sin restricciones con menor numero de variables
(n−m)
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Utilidades creadas con DERIVE
Cargar el fichero ALGEBRA.MTH, copiado con anterioridad en
C:\DfW5\Users, mediante la opcion Archivo→ Leer→ Utilidades
✍ MAT CAN(f, [x1, . . . , xn]). Devuelve la matriz asociada a
la aplicacion lineal f respecto de las bases canonicas, siendo
[x1, . . . , xn] el vector de variables
✍ MAT AS(f, [x1, . . . , xn] , B, C). Devuelve la matriz asoci-
ada a la aplicacion lineal f respecto de dos bases, siendo
[x1, . . . , xn] el vector de variables, B la matriz cuyas filas son
los vectores de la base del espacio de partida y C la matriz
cuyas filas son los vectores de la base del espacio de llegada
B =
u1
u2
· · ·un
C =
v1
v2
· · ·vm
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✍ APL CAN(A, [x1, . . . , xn]). Devuelve la aplicacion lineal
cuya matriz asociada respecto de las bases canonicas es A,
siendo [x1, . . . , xn] el vector de variables de dicha aplicacion
✍ APL AS(A, [x1, . . . , xn] , B, C). Devuelve la aplicacion line-
al cuya matriz asociada respecto de dos bases es A, siendo
[x1, . . . , xn] el vector de variables de dicha aplicacion, B la
matriz cuyas filas son los vectores de la base del espacio de
partida y C la matriz cuyas filas son los vectores de la base
del espacio de llegada
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✍ MAT SIM(Q, [x1, . . . , xn]). Devuelve la matriz simetrica
asociada a la forma cuadratica Q, siendo [x1, . . . , xn] el vec-
tor de variables
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✍ MAT SIM(Q, [x1, . . . , xn]). Devuelve la matriz simetrica
asociada a la forma cuadratica Q, siendo [x1, . . . , xn] el vec-
tor de variables
✍ MENORES PRINCIPALES(A). Devuelve un vector cuyos
elementos son los menores principales de la matriz A
✍ MENORES PRINCIP REST(A, B). Devuelve un vector
cuyos elementos son los n −m ultimos menores principales
de la matriz orlada, siendo A ∈Mn×n la matriz de la forma
cuadratica y B ∈Mm×n la matriz de restricciones