Unidad 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Presentación de la unidad

Los sistemas de ecuaciones lineales presentan gran importancia en el algebra lineal, el estudio de estos sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones tiene su base en las aplicaciones y métodos de solución matricial.

En esta unidad describiremos diferentes métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Empezaremos con métodos básicos como reducción, igualación y sustitución, para después abordar la regla de Cramer, utilizando determinantes, cuyo calculo lo conocimos en la unidad uno, para concluir con un método muy completo como es el de Gauss-Jordan.

Con lo anterior estaremos preparados para dar solución a un sin numero de problema en los que se interrelacionan variables.

Propósitos

Identificar sistemas de ecuaciones lineales. Utilizar métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Competencia específica

Resolver problemas mediante el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando diferentes métodos.

3.1 Introducción.

Una gran cantidad de problemas en ingeniería, se tratan con ecuaciones que relacionan dos conjuntos de variables.

Iniciaremos la presente unidad conociendo la forma de una ecuación.

Por ejemplo:

ax = b

Esta ecuación esta formada por la constante a y la variable independiente x, y la variable dependiente b, relacionadas con una igualdad.

Esta ecuación expresa que la variable b esta condicionada a los valores de la constante a y la variable x.

La comprensión de esta forma básica nos ayudara para que en el siguiente tema estudiemos las ecuaciones lineales.

3.1.1 Ecuaciones lineales.ºEn el tema anterior descubrimos la forma en que se relacionan las variables en una ecuación. En el presente tema conoceremos la forma de una ecuación lineal.

Una ecuación lineal se reconoce inmediatamente, por que el máximo exponente de la variable es uno, es decir x1.

También podemos reconocer una ecuación lineal, por que su grafica es una línea recta.

La forma básica de una ecuación lineal es:

Y = ax + b

Los componentes de esta son:

Y = variable dependienteX = variable independientea = constante que nos da la pendiente de la rectab = constante que nos dice en que punto la recta corta el eje de las y.

Ejemplo:

Y = 3x + 2

Al conjunto de estas ecuaciones lineales interrelacionadas por sus variables, se le conoce como; sistema de ecuaciones lineales.

Por ejemplo

Y = 3x + 2Y = x + 4

La expresión anterior quiere decir que el valor de x en la primera ecuación es el mismo valor para la segunda ecuación.

También existen sistemas de ecuaciones lineales con mayor número de variables interrelacionadas.

Por ejemplo:

Y = 3x1 + 2x2

Y = 2x1 - 4x2

El sistema de ecuaciones anterior expresa que la variable x1 tiene el mismo valor en ambas ecuaciones, de la misma forma, la variable x2 presenta el mismo valor en ambas ecuaciones.

De forma general un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales puede denotarse de forma matricial como:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

. . . .

. . . .

. . . .am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

En donde podemos notar que la forma y las posiciones de las variables en un sistema de ecuaciones lineales es exactamente igual a la forma de acomodo de un matriz, por lo que podemos conocer los valores de sus variables, utilizando métodos de solución del algebra lineal. Los cuales abordaremos en el siguiente tema.

3.2 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

En el tema anterior conocimos la forma general de una ecuación lineal, así como la dependencia de los valores de las variables en sistemas de ecuaciones lineales y su representación matricial, ahora en el presente tema abordaremos cinco diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Actividad 01

Actividad 01. Foro Aplicaciones de las ecuaciones lineales.

En esta parte de la unidad es necesario llevar a cabo una actividad que propicie la participación colaborativa por medio de la participación en un foro. En esta actividad se te pide que ingreses al foro sobre Aplicaciones de las ecuaciones lineales,

1. Ingresa al foro, dando tu aportación sobre las aplicaciones de ecuaciones lineales.

2. Revisa las aportaciones de tus compañeros.3. Realiza los comentarios que creas necesarios mínimo a uno de tus compañeros.4. Evita comentarios como simples como: “estoy de acuerdo” , “muy bien” o

“totalmente en desacuerdo”.5. Puedes realizar replicas sobre tus aportaciones o las de tus compañeros.

3.2.1 Reducción.

El primer método que estudiaremos se llama método de reducción, con el cual encontraremos el valor de las variables que solucionan el sistema de ecuaciones.

La metodología de este proceso, es la siguiente:

Paso 1. Se elige una de las variables a reducir. Puede ser x o y.

Paso 2. La primera ecuación se multiplica por el coeficiente de la variable de la segunda ecuación. Y la segunda ecuación se multiplica por el coeficiente negativo de la variable de la primera ecuación.

Paso 3. Las nuevas ecuaciones obtenidas del paso anterior, se restan, para que de esta manera se elimine una de las variables.

Paso 4. Después del paso anterior, nos queda una sola ecuación con una incógnita, la cual procederemos a despejar, encontrando el valor de esta.

Paso 5. Con el valor de una variable conocida, podremos sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplo:

Lo más fác i l es supr imir la y , de este modo no tendr íamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por supr imir la x , para que veamos mejor e l proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sust i tu imos e l va lor de y en la segunda ecuación in ic ia l .

Soluc ión:

3.2.2 Igualación.

El segundo método que analizaremos, será el método de igualación de ecuaciones. Se trata primeramente de despejar de ambas ecuaciones una variable, para después igualar ambas ecuaciones, de esta manera tendremos una sola ecuación con una incógnita. Despejando esa única variable, nos da el resultado buscado.

El método es el siguiente:

Paso 1. Elegir una variable a despejar, puede ser x o y

Paso 2. Despejar esa variable de cada una de las ecuaciones, con lo cual obtendremos dos ecuaciones con la variable elegida despejada.

Paso 3. Igualamos las dos ecuaciones obtenidas en el paso anterior. Lo cual nos dará una sola ecuación con una incógnita.

Paso 4. Despejar la variable de esta nueva ecuación, para obtener su valor.

Paso 5. Ya con este valor, podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para obtener el valor de la otra incógnita y de esta manera resolver el sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11-3x=-13+5x

Sumamos términos semejantes

8x=24

Despejamos la única variable

x=3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y=11-9

y=2

Por lo tanto, os valores de x y y que solucionan el sistema de ecuaciones lineales es:

X = 3Y = 2

3.2.3 Sustitución.

Otro método usado en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es el método de sustitución, el cual consiste brevemente, en despejar una incógnita de una de las ecuaciones, para sustituirla en la otra ecuación, de esta manera tendremos una ecuación con una incógnita, la cual encontraremos su valor despejándola de esta ecuación.

El método descrito será el siguiente:

Paso 1. Se elige una de las dos ecuaciones para despejar de esta una de las dos variables.

Paso 2. Se despeja la variable seleccionada de la ecuación elegida.

Paso 3. La ecuación obtenida en el paso anterior, se sustituye en la variable de la otra ecuación no despejada. De esta manera obtendremos una sola ecuación con una sola variable.

Paso 4. Esta nueva ecuación, se despeja la única variable, para encontrar su valor.

Paso 5. Con el valor obtenido en el paso anterior, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, para obtener mediante despeje el valor de la otra incógnita y así solucionar el sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

El primer paso es seleccionar una de las ecuaciones, después se despeja una de las incógnitas. En este caso despejaremos la y de la primera ecuación, con el supuesto conocido valor de x

y=11-3x

Se sustituye en la otra ecuación dos el valor anteriormente hallado

5x-(11-3x)=13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos para encontrar el valor de la variable:

5x-11+3y=13

5x+3x=13+11

8x=24

x=3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=11-3x

y=11-9

y=2

 

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3, y=2

Actividad 02

Actividad 02: Solucionar ejercicios propuestos utilizando los métodos igualación, sustitución y reducción

Ejercicio 1.- resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación.

1 Despejamos, por e jemplo, la incógni ta x de la pr imera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expres iones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sust i tu imos e l va lor de y , en una de las dos expres iones en las que tenemos despejada la x :

5 Soluc ión :

x = 2, y = 3

Ejercicio 2. - Resuelve el s iguiente sistema de ecuaciones por el metodo de reduccion

Sea el sistema

3x + y = 115x - y = 13

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema

3x + y = 115x - y = 13

_____________

8x + 0 = 24

Despejando la variable x, obtenemos su valor.

8x=24

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2

Ejercicio 3. - Resuelve el s iguiente sistema de ecuaciones por el método de sust i tución.

Sea el sistema : 2x + y = 3

3x + y = 4

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x

y = 3 – 2x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

3x+(3-2x)=4

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos

3x+3-2x=4

3x-2x=-3+4

x=1

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=4-3x

y=4-3(1)

y=1

 

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=1 e y=1

3.2.4 Regla de Cramer.

Hasta ahora solucionamos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero existen muchos problemas que implican más ecuaciones y más incógnitas.

Para solucionar sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, utilizamos métodos como la regla de Cramer, en la cual se utiliza el cálculo de determinantes que hemos visto desde la unidad uno.

Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como el siguiente:

3x + 2 y + z = 14 x + 3y + 2z = 112x + y + z = 9

El primer paso, es colocarlo los coeficientes de las variables de forma matricial, esto es:

3 2 1 141 3 2 112 1 1 9

En la notación anterior podemos darnos cuenta que se forman dos matrices, una matriz con los coeficientes de las variables y una matriz columna con los resultados del sistema de ecuaciones.

El segundo paso es calcular el determinante principal de la matriz de variables.

3 2 1 D = 1 3 2 = 4

2 1 1

El tercer paso consiste en sustituir la columna de las x por la columna de resultados.

Esto nos da una nueva matriz, a la cual calculamos el determinante Dx de ella, esto es:

14 2 1 Dx= 11 3 2 = 12

9 1 1

El cuarto paso será sustituir la columna de las variables de y por la columna de resultados, y calcular su determinante Dy, esto es:

3 14 1 Dy= 1 11 2 = 8

2 9 1

El quinto paso es sustituir la columna de las variables z por la columna de resultados, para calcular el determinante Dz, esto es:

3 2 14 Dz= 1 3 11 = 4

2 1 9

El sexto paso, será calcular el valor de las variables que solucionan el sistema de ecuaciones, mediante tres sencillas formulas.

Para encontrar el valor de x, dividimos el Dx entre el determinante principal. Realizando lo siguiente:

Dxx = ----- D

Esto es:

12x = ----- = 3 4

Para encontrar el valor de las otras dos variables aplicamos de manera similar las siguientes ecuaciones:

Dyy = ----- D

Dzz = ----- D

Esto es:

8y = ----- = 2 4

4z = ----- = 1 4

Por lo tanto los valores que solucionan el sistema de ecuaciones son:

x = 3, y = 2, z = 1.

Como podemos observar este método es muy sencillo, pero no sirve si el determinante de la matriz nos da cero, pues la división entre cero es una indeterminación.

Para sistemas de ecuaciones lineales que presentan lo anterior, podemos usar otros métodos, uno de ellos es el método Gauss –Jordan, el cual veremos a continuación.

3.2.5 Método Gauss-Jordan.

En este tema conoceremos el método Gauss – Jodan para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, de la forma general siguiente:

El primer paso sera colocar los coeficientes del sistema de forma matricial ai, bi, ci , y tambien los resultados de la igualdad di esto es:

El objetivo principal de este método es convertir esta matriz de coeficientes de la variable a una matriz identidad, de la siguiente forma.

Los términos independientes están fuera de la matriz identidad, pues dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x

d2 = y

d3 = z

Abordaremos el método con un ejemplo:

Dado el siguiente sistemas de ecuaciones;

Paso 1. Anotar el sistema de forma matricial.

Observemos que se forman 3 filas y cuatro columnas. Las tres primeras columnas corresponden a los valores de los coeficientes de las variables. La cuarta columna corresponde a los valores de los términos independientes.

Paso 2. Transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Paso 3. Ahora podemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Para después multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elementos de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

Esto nos dará una nueva matriz, cuyos resultados son:

Paso 4. Obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Podemos simplificar la tercera fila eliminando el denominador, en este caso es 2, dividiendo toda la 3ª fila entre 2.

Con lo que obtenemos:

Paso 5. Ahora podemos hacer 0 debajo de el 1 obtenido en el paso anterior. Buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 3ª fila.

Lo cual nos dará una nueva matriz, Esto es:

Paso 6. Obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.

Obteniendo de este paso, nuevamente una nueva matriz. Esto es:

Paso 7. Obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.

Para después multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.

Esto nos dará una nueva matriz como:

Paso 8. El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila.

Con este ultimo paso podemos notar que en la columna de termino independientes están los valores que solucionan el sistema de ecuaciones lineales. Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:

Por ultimo podemos verificar los resultados sustituyendo os valores en el sistema de ecuaciones original.

2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4

2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4

2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4

1 = 1 -3 = -3 4= 4

Actividad 03

Actividad 03: Solucionar ejercicios propuestos utilizando el método de Gauss-Jordan y la regla de Cramer.

Ejercicio 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por la regla de Cramer.

4x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 12 x + 3y + z = 10

El primer paso, es colocarlo los coeficientes de las variables de forma matricial, esto es:

4 1 1 121 2 3 121 3 1 10

En la notación anterior podemos darnos cuenta que se forman dos matrices, una matriz con los coeficientes de las variables y una matriz columna con los resultados del sistema de ecuaciones.

El segundo paso es calcular el determinante de la matriz de variables.

4 1 1 D = 1 2 3 = -25

1 3 1

El tercer paso consiste en sustituir la columna de las x por la columna de resultados. Dada esta nueva matriz, calculamos el determinante Dx de ella, esto es:

12 1 1 Dx= 12 2 3 = -50

10 3 1

El cuarto paso será sustituir la columna de las variables de y por la columna de resultados, y calcular su determinante Dy, esto es:

4 12 1 Dy= 1 12 3 = -50

1 10 1 El quinto paso es sustituir la columna de las variables z por la columna de resultados, para calcular el determinante Dz, esto es:

4 1 14 Dy= 1 2 11 = -50

1 31 9

El sexto paso, será calcular el valor de las variables que solucionan el sistema de ecuaciones, mediante tres sencillas formulas.

Para encontrar el valor de x, realizamos lo siguiente.

DxX = ----- D

Esto es:

-50X = ----- = 2 -25

Para encontrar el valor de las otras dos variables aplicamos de manera similar las siguientes ecuaciones:

Dyy = ----- D

Dzz = ----- D

Esto es:

-50y = ----- = 2 -25

-50z = ----- = 1 -25

Por lo tanto los valores que solucionan el sistema de ecuaciones son:

x = 2, y = 2, z = 2.

Ejercicio 2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, utilizar el método Gaus-Jordan para encontrar los valores que lo solucionan.

Resuelve el siguiente sistemas de ecuaciones utilizando el metodo Gauss Jordan.

2x + 3y = 3 X - 2y = 53x + 2y = 7

El resultado sera:

X = 18/13Y = - 5/2Z = -41/26

Actividad integradora/Autoevaluación

Cuestionario donde Identifique métodos de solución de ecuaciones lineales, a través de diferentes métodos, se resolverán ejercicios propuestos.

Cuestionario: Unidad Tres, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Instrucciones: Seleccione la respuesta correcta de las siguientes preguntas.

Parte 1

Marque la respuesta correcta de las siguientes preguntas

1.- Cual es el valor máximo del exponente de una variable en una ecuación lineal.

a) 0 b) 1 c) n

2.- Que forma obtenemos al graficar una ecuación lineal.

a) Parabola b) Circulo c) Recta

3.- Cual es el método cuyo procedimiento se trata primeramente de despejar de ambas ecuaciones una variable, para después igualar ambas ecuaciones.

a) Reducción b) Igualación d) Comparación

4.- En que consiste el método en que se despeja una incógnita de una de las ecuaciones, para sustituirla en la otra ecuación, de esta manera se tiene una ecuación con una incógnita, la cual encontraremos su valor despejándola de esta ecuación.

a) Sustitución b) Despeje c) Igualación

5.- Cual es la regla para el uso de la regla de Cramer.

a) D > 1 b) D = 0 c) D = 0

Parte 2.

Contesta correctamente la siguiente pregunta

1.- Se conoce como un sistema de ecuaciones lineales..

Al conjunto de ecuaciones lineales interrelacionadas por sus variables, cuyo exponente máximo de la variable es 1, y su grafica forma una línea recta.

Parte 3.

Resuelva los siguientes ejercicios.

1.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones, encontrar el valor de las variables.

2x + 3y + 2z = 5 x + 4y + z = 72x + 5y + 5z = -1

Resultado es:

x = 3y = 1.8z = -3.2

2.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones, encontrar el valor de las variables.

2 x + 3y -2z = 2 x - y + z = 32x + y - 2z = 4

Resultado es.

x = 2.25y = -1z = -0.25

Evidencia de aprendizaje

Resolver problemas utilizando diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones, a mano.

Ejercicio 1.

Una granja proporciona tres tipos de alimento a un corral que encierra a tres tipos de ganado. Cada especie 1 consume cada semana un promedio de 2 bulto de alimento1, 1 bulto de alimento 2 y 2 bultos de alimento 3

Cada especie de ganado 2 consume cada semana un promedio de 3 bultos de alimento 1, 4 bultos de alimento 2 y 5 del alimento 3.

Para la especie de ganado 3, el promedio semanal de consumo es de 2 bultos de alimento 1, 1 bulto de alimento 2 y 5 del 3.

Cada semana se proporciona 5 000 bultos del alimento 1, 5 000 bultos del alimento 2 y 9 000 del 3. Si se supone que el ganado consume todo el alimento ¿Cuántos animales de cada especie pueden coexistir en el corral?.

El primer paso es obtener la ecuación del problema.

Consideramos como variables los 3 diferentes ganados, determinamos que el ganado 1 es x1, el ganado 2 e x2 y el 3 es x3.

Asignaos los coeficientes de las variables como el consumo semanal para cada tipo de ganado .

Y la asignación semanal de bultos como variable independiente, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

2X 1 + 3x2 + 2x3 = 5000 X 1 + 4x2 + x3 = 50002X 1 + 5x2 + 5x3 = 9000

De forma matricial, obtenemos:

2 3 2 5 000 1 4 1 5 000 2 5 5 9 000

Esta matriz podemos resolverla con la Regla de Cramer o con el Método Gauss-Jordan.

a) Resolver el sistema utilizando la regla de Cramer.

El primer paso de la regla de Cramer es encontrar los determinantes de cada variable.

1 3 2 D = 1 4 1 D = 15

2 5 5

5000 3 2 Dx = 5000 4 1 Dx = 5000

9000 5 5

1 5000 2 Dy = 1 5000 1 Dy = 15000

2 999 5

1 3 5000 Dz = 1 4 5000 Dz = 1000

2 5 9000

Los valores que solucionan el sistema de ecuaciones es:

Dx 5000x = ----- = ------- = 333 D 15

Dy 15000y = ----- = ---------- = 1000 D 15

Dz 10000z = ----- = --------- = 667 D 15

Por lo tanto el corral puede sostener:

333 animales de la especie 11000 animales de la especie 2667 animales de la especie 3

b) Resolver el sistema utilizando el método Gauss-Jordan.

Aplicando el método Gauss-Jordan, nos da que

1 0 0 333 x1

0 1 0 1000 x2

0 0 1 667 x3

Por lo tanto el corral puede sostener:

333 animales de la especie 11000 animales de la especie 2667 animales de la especie 3

Cierre de la unidad

En esta unidad aprendimos la aplicación del álgebra lineal en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, por diversos métodos, iniciamos con el uso de métodos algebraicos, para continuar con la regla de Cramer, para concluir con el método Gauss-Jordan para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Con todo esto, estamos preparados para abordar las siguientes unidades en la que exploraremos otras aplicaciones y usos de el algebra línea.

Para saber más

Autor: M. en C. René Benítez López. Sistemas de ecuaciones lineales,https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:UWEadFBVmpEJ:docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/Rene%2520Benitez/sistemasdeecuacioneslineales1.ppt+sistemas+de+ecuaciones+lineales&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESgm23NaXodL6Sht5RngaEe0Zt16kB1rlgENAwkG41btXrKAga3HNj7bGMo7hHDQF0UrQCMBCbF-KoUCSlOOu3oKBiyGyuwg1EELwDSYhkg02XZneyHwX5XGa1y0-7gAoEmx3zs5&sig=AHIEtbSp9p-p3NcD_5N0K9FAhc0vW8urTw

Autores: ESPINOSA J.BECERRIL, BENITEZ MORALES LORENZO, RIVERA VALLADARES IRENE , ZUBIETA BADILLO CARLOS SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL METODO DE GAUSS –JORDANhttp://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf

Fuentes de consulta

Grossman S. (2008). Algebra Lineal. Sexta Edición. México: Mc. Graw Hill.

Lay, D. (2007). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Tercera Edición. México: Pearson Educación.

Poole, D.(2007). Algebra Lineal. Una introducción Moderna. Segunda Edición.México: Thomson.