algebra lineal

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A

UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ

Facultad de Ingeniería

Ingeniería de Sistemas

SEGUNDO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURAÁLGEBRA LINEAL

Autores:

Ing. Andrea Guzmán Mendoza

Ing. Gelen Tondelli Méndez

Ing. Mijail Díaz Concepción

Gestión Académica II/2006

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

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UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) alumno (a);La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a través del Syllabus, la oportunidad de contar con una compilación de materiales que te

serán de mucha utilidad en el desarrollo de la asignatura. Consérvalo y aplícalo según las instrucciones del docente.


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SYLLABUS GENERICO

Asignatura: Álgebra LinealCódigo: MAT – 111ARequisito: MAT – 101A

Carga Horaria:100 horas Teórico Practicas

Créditos: 5

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Interpretar y aplicar las operaciones aritméticas de matrices en la resolución de problemas de la carrera.

Utilizar las transformaciones elementales de filas de matrices y la función determinante en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Calcular áreas y volúmenes a partir de las operaciones y propiedades de los vectores.

Interpretar la estructura de los espacios vectoriales algebraicos y la relación existente entre ellos a través de una aplicación que permita conservar sus propiedades.

Valorar la utilidad del software MATLAB como herramienta de trabajo necesaria para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales.

II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

TEMA 1. Matrices.

1.1. Definición.1.2. Tipos de matrices.1.3. Matrices y operaciones matriciales.

1.3.1. Reglas de la aritmética matricial.1.3.2. Operaciones matriciales.

1.4. Inversa de una matriz 2x2.

1.5. Inversa de una matriz nxn por Gauss Jordan.

1.6. Matrices en Matlab.

Tema 2. Determinantes

2.1. Definiciones.2.2. Propiedades de los determinantes.2.3. Métodos para hallar el determinante.

2.3.1. Diagonales.2.3.2. Reducción en los renglones.2.3.3. Desarrollo de cofactores.

2.4. Determinantes e inversas.2.4.1. Inversa por la adjunta.

2.5. Determinantes en Matlab.

Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales.

3.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.

3.2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

3.3. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.3.3.1. Eliminación de Gauss Jordan.3.3.2. Eliminación Gaussiana.

3.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.

3.5. Sistemas de ecuaciones lineales e inversibilidad.

3.6. Regla de Cramer.3.7. Taller de ejercicios en MATLAB.

UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES

Tema 4. Vectores en R2 y R3

4.1. Definiciones.4.2. Norma de un vector, aritmética vectorial.4.3. Producto escalar.4.4. Producto vectorial.4.5. Rectas y planos R3.4.6. Taller de ejercicios en Matlab.

Tema 5. Espacios vectoriales

5.1. Definiciones y propiedades básicas de los espacios.

5.2. Subespacios.


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5.3. Combinación lineal y espacio generado.5.4. Independencia lineal5.5. Base y dimensión.5.6. Rango, nulidad.

UNIDAD III: TRANSFORMACIONES LINEALES, EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Tema 6. Transformaciones lineales

6.1. Definiciones.6.2. Propiedades de las transformaciones

lineales.

Tema 7. Valores propios y vectores propios

7.1. Valores propios y vectores propios.7.2. Matrices semejantes.7.3. Diagonalización.

III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL.

Las Brigadas UDABOL constituyen un pilar básico de la formación profesional integral de nuestros estudiantes. Inmersos en el trabajo de las brigadas, los estudiantes conocen a fondo la realidad del país, y completan su preparación académica en contacto con los problemas de la vida real y la búsqueda de soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se desempeñará en el futuro próximo.

La actividad de las brigadas permite a nuestros estudiantes llegar a ser verdaderos investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario

y, a la vez, adquirir hábitos de trabajo en equipos multidisciplinarios, como corresponde al desarrollo alcanzado por la ciencia y la técnica en los tiempos actuales.

La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de proyectos de investigación y desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

- Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes, con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje en verdadera “aula abierta”.

- Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como un sistema, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes, y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas.

- Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia traviesa una etapa de diferenciación, y en que los avances tecnológicos conducen a la aparición de nuevas y más delimitadas especialidades.

- Desarrollar una mentalidad, crítica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.


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ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA MATERIA

TAREAS PROPUESTAS

TEMAS CON LOS QUE SE RELACIONA

LUGAR DE ACCION FECHA PREVISTA

1. Seminario sobre la Importancia de las Matemáticas en la formación del ser humano.

Todo el contenido analítico de la materia

Diversos Colegios y establecimientos educativos

Antes del primer parcial

2. Diagnostico de conocimiento de matemáticas a estudiantes de secundaria.



Antes del segundo parcial

3. Sugerencias de trabajos prácticos a estudiantes y Docentes de secundaria.



Antes del examen final

ACTIVIDADES DE INCURSIÓN MASIVA EN LA COMUNIDAD

A lo largo del semestre se realizarán dos incursiones masivas en la comunidad, comprendida la primera entre el 2 y el 8 de octubre y la segunda entre el 13 y el 19 de noviembre. Con la finalidad de realizar trabajos ya sean de recojo de información, extensión o relacionada con los proyectos a desarrollar en la asignatura o la carrera.

IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.

PROCESUAL O FORMATIVA.

En todo el semestre se realizarán preguntas escritas; exposiciones de las investigación realizadas; trabajos prácticos que se comprobaran mediante la evaluación escrita de una pregunta del mismo, seleccionada de forma aleatoria y además las actividades planificadas para las Brigadas UDABOL. Estas evaluaciones tendrán una calificación entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda etapa y entre 0 y 30 puntos en la etapa final.

PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.

Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenidos teóricos y prácticos. Cada uno de estos exámenes tendrá una calificación entre 0 y 50 puntos.

El examen final incluirá los contenidos abordados a lo largo de todo el semestre y se realizara en el laboratorio, utilizando el programa Matlab.

V. BIBLIOGRAFIA

BASICA.

ROJO, ARMANDO O. Álgebra II. Décimo tercera edición. Librería Editorial El Ateneo. Cochabamba. 1995.

TONDELLI, Gelen. Algebra Lineal. Editorial

UDABOL,2004.

RAFFO LECCA, EDUARDO. Álgebra

Lineal. Manual del estudiante. Edición


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del autor. Lima. 1997.

ANTON, Howard. Introducción al Álgebra

Lineal, Ed. Limusa. México, 2003.

COMPLEMENTARIA.

GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal, Ed.

McGraw Hill, USA, 1990.

SOTO, María Jesús, VICENTE, Córdova

José Luis. Algebra Lineal con Matlab y

Maple, Prentice Hall, Madrid, 1995.

VI. CONTROL DE EVALUACIONES.

1° evaluación parcialFechaNota

2° evaluación parcialFechaNota

Examen finalFechaNota

APUNTES


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VII. PLAN CALENDARIO

SEMANA ACTIVIDADES OBSERVAC.

1 TEMA 1: 1.1 al 1.2

2 TEMA 1: 1.3 al 1.4

3 TEMA 2: 1.5 al 1.6

4 TEMA 2: 2.1 al 2.3.2

5 TEMA 2: 2.3.3. al 2.4

6 TEMA 2: 2.5

7 TEMA 3: 3.1 al 3.2 EVAL PARC I

8 TEMA 3: 3.3 Presentación de notas

9 TEMA 3: 3.4 al 3.5

10 TEMA 3: 3.6. al 3.7

11 TEMA 4: 4.1 y 4.3

12 TEMA 4: 4.4 y 4.6

13 TEMA 5: 5.1 y 5.3

14 TEMA 5: 5.4 al 5.6 EVAL PARC II

15 TEMA 6: 6.1 Presentación de notas

16 TEMA 6: 6.2

17 TEMA 7: 7.1

18 TEMA 7: 7.2

19 TEMA 7: 7.3

20 EVALUACION FINAL Presentación de notas

21 EVALUACION FINAL Presentación de notas

22 SEGUNDA INSTANCIA Presentación de notas


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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: MATRICES

TITULO: Operaciones matriciales

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Primer Parcial

MATRICES.

Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n-columnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes.

La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la columna.

El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn”

Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.

Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos aij tales que i = j

Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann

OPERACIONES CON MATRICES.

Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando

“elemento a elemento” A + B = [aij + bij] y es del mismo tamaño.Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·aij]Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas independientes.

Multiplicación de matrices:Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el número de filas de B es p y es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = A·B = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos.

Nota El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.


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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER

1. Considere las matrices:

(a) Indicar el tamaño de las matrices.(b) Identificar el tipo de matriz.

2. Con las siguientes matrices:

Calcular cada inciso cuando sea posible. Justificar su respuesta cuando el cálculo no se pueda efectuar.

(a) 3C – D

(b) (3E)D

(c) (AB)C

(d) A(BC) + 3I3

(e) (4B)C + 2B

(f) D + 2E2

(g) GHT – 2FT

(h) (3H + 1/2C) – BAT

(i) AC – 3D

(j) F2 + E

3. Dadas las matrices:

(a) Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = 0

(b) Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = 14


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WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES

TITULO: Determinantes

FECHA DE ENTREGA:


DETERMINANTES.

El determinante es una función que asocia un número real a una variable matricial y se define como det (A).

El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

El determinante como un número real asociado a una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos “0” entonces el det(A) = 0

2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0

3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)

4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11 ۰ a22 ۰ a33 ۰...۰ ann

5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un múltiplo de otra fila, det(A) = det(B)

6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = – det(B)

7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar k entonces det(B) = k ۰ det(A)

Si A y B son matrices de igual tamaño, det(A ۰ B) = det(A)۰ det(B)

det(A + B) ≠ det(A) + det(B)

Los métodos más usados de evaluación de determinantes de orden “n” son:

Por reducción (con operaciones elementales entre filas).

Por desarrollo de cofactores (en filas o columnas).


1. Calcule (por simple inspección) el determinante de las siguientes matrices:


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2. Calcule el determinante de las siguientes matrices:

3. Dadas las siguientes matrices, evalué las expresiones indicadas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:

(a)

(b)

(c) (d) (e)

(f)

4. Encuentre el valor de a en la siguiente matriz, sabiendo que el det(B) = 0 y det(C) = 0.

5. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = –3. Aplique las propiedades correspondientes y calcule los determinantes de las matrices “B” y ”D”. Justifique su respuesta.



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WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: INVERSIBILIDAD

TITULO: Inversa de una matriz

FECHA DE ENTREGA:


INVERSA DE UNA MATRIZ.

En el trabajo con números reales se puede sustituir la división de un número “a” entre un número “b” por el producto de “a” por el inverso de “b”.No se ha definido un método para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar una matriz inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la división de una matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde B-1 es la matriz inversa de B.

Uno de los métodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el método de Gauss-Jordán y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las transformaciones realizadas en la identidad será la inversa de la matriz original.

Notas: a) Solo se puede hallar la inversa de matrices cuadradas.

b) Si el determinante de una matriz es “0”, su inversa no existe.

Otro método para calcular la inversa de una matriz es utilizando los cofactores y los determinantes:

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA, a la matriz que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se puede calcular por la siguiente formula:


1. Hallar la inversa de las siguientes matrices.

2. Con las siguientes matrices aplicar el método de Gauss Jordan para encontrar la inversa.


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3. Aplique el método de la inversa por la adjunta para hallar la inversa de las siguientes matrices.


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WORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TITULO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial

SISTEMAS DE ECUACIONES

Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incógnitas o cantidades desconocidas.Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad.

Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen más de una ecuación con más de una incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:

a) Una solución única , cuya solución corresponde a un punto de intersección y su representación gráfica sería:

b) Conjunto Solución , que especifica un número infinito de soluciones y donde existen varios puntos de intersección. Su representación gráfica correspondería:

c) No tener solución , donde el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y no existe ningún punto de intersección. Su representación gráfica sería:


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yL1

x

L2

L3

yL1

x

L2

y L1

x

L2


METODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Eliminación Gaussiana.

Este método consiste en convertir la matriz aumentada o ampliada del sistema de ecuaciones en otra escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de la matriz).

2. Eliminación de Gauss -Jordán.

El método de Gauss-Jordán consiste en convertir la matriz aumentada o ampliada del sistema de ecuaciones en una matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de los coeficientes de la matriz).

3. Regla de Cramer.

Este método permite hallar la solución de cada variable independientemente, aplicando determinantes. Es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales de n-ecuaciones con n-incógnitas.

4. Método de la inversa.

Consiste en escribir el sistema de ecuaciones lineales de la forma A*X = B y luego resolver X = A-1*B aplicando la multiplicación de matrices. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.

Cuando en un sistema de ecuaciones lineales todos los términos independientes son “0” se dice que el sistema es homogéneo y puede tener:

a) Una única solución que es S = (0; 0; ... ;0) (Solución trivial)

b) Infinitas soluciones no triviales además de la Solución trivial.


1. Considere que siguientes matrices represente sistemas de ecuaciones lineales y resuélvalos.

2. Considere las matrices:

(a) Identificar si las matrices están en la Forma Escalonada en los Renglones Reducida o en la Forma Escalonada en los Renglones.

3. Resuelva los siguientes sistemas por el método de Eliminación Gaussiana.


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4. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Eliminación de Gauss Jordan.

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de la inversa (X = A-1 B).

6. En el siguiente sistema de ecuaciones,

que valores puede tomar “λ” para que el sistema tenga infinitas soluciones.

7. Hallar la solución para la variable z solamente a partir del siguiente sistema de ecuaciones lineales:



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Módulo

Punto de aplicación Sentido

Dirección


WORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: VECTORES

TITULO: Operaciones con vectores

FECHA DE ENTREGA:


VECTORES

Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas.

Hay magnitudes que con su valor numérico, no suministran toda la información. Si nos dicen que Pedrol corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.

Estas magnitudes que, además de su valor precisan dirección y sentido se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades. Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, módulo (norma o intensidad), dirección y sentido.

VECTORES Y MATRICES

Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, así de igual manera las filas y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.

Operaciones con vectores:

Suma: La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. Solo se pueden sumar vectores de igual tamaño.

Multiplicación por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese caso cada componente del vector queda multiplicada por el escalar (como una matriz fila).

Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un tipo de multiplicación definida entre vectores que es muy útil para aplicaciones a problemas reales ya que asigna un valor real a una operación entre vectores y se define de la siguiente manera:

Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicación que se define para el conjunto R3 y el resultado es un vector perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores.


1. ¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor módulo? (3,0); (2,1); (2.5,2).


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http://personal.iddeo.es/romeroa/vectores/sentido.htm

http://personal.iddeo.es/romeroa/vectores/direccion.htm

http://personal.iddeo.es/romeroa/vectores/intensidad.htm


2. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y u = (-1,1) realiza las operaciones que se indican:

a) u + v + wb) v + u + wc) (u – v) – (v – u)

3. Dados v = (1y 45º) y w = (2 y 180º) ¿Calcule su producto escalar?

4. Con los vectores v = (1,2); w = (2,-1) y u = (-1,1) realizar: a) u . w b) v . w c) u . v d) v . u

5. ¿Qué ángulo forman los vectores u y v;

u y w; v y w del ejercicio anterior?

6. Calcule el producto escalar entre:

a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)

7. Determine la distancia entre los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)

8. Determine el producto vectorial y el ángulo comprendido entre:

a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)

9. Sean:

u = (-3,1,2)v = (5,-4,3)w = (-1,7,3)

Hallar:

(a) || u x v || + 2 || 3 - || w|| + 4 u ||(b) u . v + (2w) . u2(c) x suponiendo que 3u – x + 5v - 7w = x

10. Determine el área del triangulo comprendido entre los puntos:

a) P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)b) P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)

11. Determine el área del paralelogramo que tiene como vértices consecutivos a los puntos

a) P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)



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WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

TITULO: Espacios vectoriales

FECHA DE ENTREGA:


ESPACIOS VECTORIALES

Un vector es conjunto de “n” números ordenados, así un n-vector puede ser representado como v = (v1; v2; v3; ...; vn)

Un espacio vectorial no es mas que un conjunto no vacío de n-vectores ordenados que cumple con las propiedades de cierre y las antes mencionadas para la suma y la multiplicación por un escalar.

Combinación Lineal: Se dice que un vector “v” es una combinación lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn en un espacio vectorial Rn si existen números reales k1, k2, ... kn tales que “v” pueda ser expresado como:

V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son linealmente dependientes si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el vector 0.

Si la única combinación lineal que da este resultado es aquella en la que k1 = k2 = ... = kn, entonces se dice que los vectores son linealmente independientes.

0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Espacio vectorial generado:

Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn

generan un espacio vectorial V si cualquier vector “b” de dicho espacio se puede escribir como combinación de los vectores dados.

b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Base y Dimensión de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una base.Todo espacio vectorial tiene al menos una base.El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensión del espacio vectorial.

Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones.

Espacio entre renglones y entre columnas

El espacio entre renglones de una matriz A es aquella matriz reducida a la Forma Escalonada en los Renglones cuyos renglones diferentes de cero forman una base para el espacio vectorial.

El espacio entre columnas de una matriz A es aquella matriz A transpuesta reducida a la Forma Escalonada en los Renglones cuyos renglones diferentes de cero forman una base para el espacio vectorial.

La dimensión del espacio entre renglones y entre columnas de una matriz A se conoce como rango de la la matriz.


1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales y para


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los que no lo son, enumere las propiedades que no cumple:

a) El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = ( x + x´ ; y + y´ ) y k ( x ; y ) = (kx +ky)

b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones( x; y ) + ( x´; y´ ) = (x ▪ x´; y ▪ y´ ) y kx = x k

c) El conjunto de las matrices

M2 2 =

2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de :u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )

a = ( 3 ; 3 ; 3 ) b = ( 4 ; 2 ; 8 )c = (1 ; 5 ; 6 ) d = ( 0 ; 0 ; 0 )

3. Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales de:u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5)

a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 ); c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 )

4. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y cuales linealmente independientes?

a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2

b)

c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3

5. Hallar el espacio de renglones y el espacio de columnas para las siguientes matrices:

1 4 5 -2 2(a) -1 0 2 1 1

0 0 2 1 -14 5 -3 3 -4

3 6 7(b) -4 -5 2

1 -3 40 5 -1

6. Hallar el rango de las siguientes matrices:

(a)

(b)


WORK PAPER # 7

UNIDAD O TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES


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TITULO: Transformaciones lineales

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final

TRANSFORMACIONES LINEALES.

La transformada lineal es una función vectorial de variable vectorial w = f (v).Donde: El espacio vectorial “v” es la variable independiente y El espacio vectorial “w” es la variable dependiente

Si V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W para cada vector de V, se dice entonces que F aplica V en W y se escribe:F: V → W. Además si se escribe w = f (v) se dice que w es la imagen de v bajo f.

Definición. La definición de transformación lineal dice que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma T(u + v) = T(u) + T(v) y la multiplicación por un escalar T(k*u)= k*T(u). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son:

Ejemplo:

Sea la función f(v) = (x; x+y; x-y) una función F: R2 → R3

Para u = (x, y) y v = (x’; y’)

→ u + v = (x + x’; y + y’)→ ku = (kx; ky)

Si se prueba:

F(u + v) = [x+ x’; ( x + x’) + (y + y’); (x + x’) – (y + y’)]= [x + x’; x + x’ + y + y’; x + x’ – y – y’]= [x; x + y; x – y] + [x’; x’ + y’; x’– y’] F(u + v) = F(u) + F(v) F(ku) = (kx; kx + ky; kx – ky)

= [kx; k(x + y); k(x – y)]= k(x; x + y; x – y)

F(ku) = kF(u)

Entonces F: R2 → R3 es una transformación lineal

Ejemplo: Dados las transformaciones para los puntos (2,-1); (-1,1) y conociendo que la función es transformación lineal, encuentre la expresión de la función.

F(2,-1) = (-1, 1, 2)F(-1,1) = (2, 0, 1)

Como se sabe que la función es transformación lineal entonces los vectores (2,-1) y (-1,1) forman una base de R2 y por lo tanto generan al espacio, luego:

(x, y) = k1 (2,-1) + k2 (-1,1)(x, y) =(2k1, – k1) + (– k2, k2)(x, y) =(2k1– k2 , – k1 + k2)

De donde se obtiene:

x = 2k1– k2

y = – k1 + k2

Resolviendo el sistema de ecuaciones para K1

y k2:k1 = x + yk2 = x + 2yPlanteando la transformación para el vector general:

F(x, y) = F[ k1 (2,-1) + k2 (-1,1) ]F(x, y) = F[ k1 (2,-1) ] + F[ k2 (-1,1) ]F(x, y) = k1 F(2,-1) + k2 F(-1,1)

sustituyendo K1 y k2 por sus valores y remplazando F(2,-1) y F(-1,1):

F(x, y) = (x +y)(-1, 1, 2) + (x +2y)(2, 0, 1)


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F(x, y) = (-x –y ,x +y , 2x +2y) + (2x +4y, 0 , x +2y)F(x, y) = (-x –y +2x +4y , x + y , 2x +2y +x +2y)F(x, y) = (x +3y , x +y , 3x +4y)Comprobando:

F(2,-1) = (-1, 1, 2)F(-1,1) = (2, 0, 1) se verifica la función


1. Determine si las siguientes funciones son o no transformaciones lineales.

a) F(x; y) = (x; y + 1)b) F(x; y) = (2x + y; x – y)c) F(x; y; z) = (x; x + y + z)d) F(a+ bx + cx2) = (a+1) + (a + b)x + cx2)e) F(x; y) = (2x; yx)

f)

2. Dados las funciones F: R2 → R3 para los vectores indicados y conociendo que son transformaciones lineales, encuentre la expresión de cada función.

a) F(1,2)=(2, 3, 1) F(-1,5)=(-2, 4, 6)

b) F(3,4) = (7, 9, 1) F(2,5) = (7, 6, 3)

c) F(3,2) = (4, 1, 5) F(5,4) = (6, 3, 9)


WORK PAPER # 8

UNIDAD O TEMA: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS


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TITULO: Diagonalización

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Evaluación Final

DIAGONALIZACION

Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable si hay una matriz inversible P tal que P-1 A P sea diagonal. Se dice que la matriz P diagonaliza a A.

Para diagonalizar una matriz A de n x n se siguen los siguientes pasos:

Se hallan los n eigenvectores linealmente independientes.

Se forma la matriz P que tenga a los eigenvectores como sus vectores columna.

Entonces P-1 A P será matriz diagonal.


1. Describa un ejemplo que permita determinar la diferencia entre un eigenvalor y un eigenvector.

2. ¿Justifique porqué la siguiente matriz es diagonalizable?

3. Hallar los eigenvalores de las siguientes matrices:

4. Hallar los eigenvectores de las siguientes matrices:

5. En la siguiente matriz A, determine si es diagonalizable. Si lo es, halle una matriz P que diagonalice a la matriz A.


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DIF´s # 1

UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TITULO: Cálculo de Corrientes en una red eléctrica

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION:

CALCULO DE CORRIENTES EN UNA RED ELECTRICA

1. Hay innumerables problemas que conllevan a la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Utilizaremos una aplicación ampliamente conocida por la cual extendemos la conocida ley de Ohm V = I R.

En donde V es la diferencia de potencial o voltaje aplicada a los extremos de una resistencia conocida R, en donde se quiere calcular I (intensidad de la corriente que pasa por la resistencia).

I amperios

à V = I R,

R ohmios

V voltios

2. Las leyes de Kirchoff que se citan a continuación nos permiten resolver las relaciones que se dán entre las diferencias de potencial (voltajes), y las intensidades de las corrientes que circulan en diferentes partes de una red eléctrica, problema que termina en el planteamiento y solución de un sistema de ecuaciones simultáneas.

Estudiemos una red, en corriente continua, conformada por baterías cuyas fuerzas electromotrices y resistencias se dán.

Se deben calcular las intensidades de las corrientes que circulan por la red.

a b

h R 1 R 4

x g d c

R 2 R 3

e f

(a)

x 1 R 1

a b

x 2 R 2

(a)

(b)


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Un nodo en una red eléctrica es un punto donde se unen tres o más conductores. Una malla es cualquier trayectoria conductora cerrada.

En la figura (a) anterior, los puntos a, d, e y c son nodos pero b y f nó. En la figura (b) los únicos nodos son a y b.

Algunas mallas posibles en la figura (a) son las trayectorias cerradas abcda, dcfed, hadegh, hadcfegh. No hemos citado todas las mallas posibles del circuito.

Las reglas de Kirchoff son las siguientes:

Regla del nodo : La suma algebraica de las corrientes en un nodo es 0.

S I = 0

Regla de la malla : La suma algebraica de las fuerzas electromotrices en cualquier malla es igual a la suma de los productos I R en la malla.

S x = S I R.

Teniendo en cuenta estas leyes, el sistema eléctrico que se muestra en la figura siguiente da origen al sistema de ecuaciones:

i 1 - i 2 - i 3 = 0

5 i 1 + 20 i 3 = 50

10 i 2 - 20 i 3 = 30

i 1 i 2

5 ohmios 10 ohmios

50 voltios i 3 30 voltios

20 ohmios

El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como A i = b.

TAREA DEL DIF´s:

El equipo después de resolver el sistema de ecuaciones lineales planteado deberá pensar, reflexionar y discutir la solución encontrada.

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):


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GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA


DIF´s # 2

UNIDAD O TEMA: EIGENVALORES, EIGENVECTORES

TITULO: Teoremas de la Matriz de Leslie

FECHA DE ENTREGA:


TEOREMAS DE LA MATRIZ DE LESLIE

Teorema 1. Una matriz de Leslie L, tiene un

eigenvalor positivo único . Este eigenvalor

es simple y tiene un eigenvector cuyas entradas son todas positivas.

Teorema 2. Si es el eigenvalor único

positivo de una matriz de Leslie L y si es cualquier otro eigenvalor real o completo de

L, entonces .

Por el teorema 2, a se le conoce como eigenvalor dominante de L. Para este

propósito se requiere que para todos los eigenvalores de L. Si este es el caso, se

dice que es un eigenvalor estrictamente dominante de L.

Teorema 3. Si dos entradas sucesivas de ai y ai + 1, de la primera fila de una matriz de Leslie L son diferentes de cero, el eigenvalor positivo de L es estrictamente dominante.

TAREA DEL DIF´s:

Luego de que el equipo comente y discuta los teoremas de la matriz de leslie, suponer que


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una población animal es dividida en dos clases de edades y que su matriz de Leslie es:

Calcular el eigenvalor positivo de L y el

eigenvector correspondiente .





DIF´s # 3


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UNIDAD OTEMA: MATRICES

TITULO: Propiedades de la aritmética matricial.

FECHA DE ENTREGA:


En las diferentes ramas de las ingenierías, es común que un conjunto de datos se representen en forma de matrices para simplificar u optimizar su procesamiento, con ellas se realizan diferentes operaciones básicas. Después de consultar las siguientes páginas de Internet y la bibliografía recomendada en este material:

Enuncie las diferentes tipos propiedades que cumple la aritmética matricial y demuestre cada una mediante un ejemplo.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.htmlhttp://www.webmath.com/http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva .html





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http://www.recursosmatematicos.com/interactiva.html


http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htm


http://www.webmath.com/

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html



DIF´s # 4

UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TITULO:

FECHA DE ENTREGA:


En algunas áreas profesionales como la electrónica, la mecánica, la economía, etc. surgen problemas cuya solución requiere de sistemas de ecuaciones lineales con un considerable número de ecuaciones e incógnitas los cuales no son posibles de resolver por los métodos de eliminación y por ello se recurren a los métodos matriciales. Consulte la Internet y los textos de ingeniería que considere pertinente y traiga un ejemplo de dichos problemas con el desarrollo de su solución, para discutir en clases.

http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htmhttp://200.13.98.241/~javier/algebra_lineal_curso.pdf.http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.htmlhttp://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva .html




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http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.html

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.html

http://200.13.98.241/~javier/algebra_lineal_curso.pdf

http://200.13.98.241/~javier/algebra_lineal_curso.pdf

http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htm

http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htm




DIF´s # 5

UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES

TITULO: VECTORES

FECHA DE ENTREGA:


Si se quieren definir elementos que requieran más de una característica para su comprensión y tenerlos de forma ordenada para su procesamiento, la forma ideal que nos brinda la matemática es la representación vectorial y las propiedades de las operaciones que se realizan con los conjuntos de elementos o vectores, definidos como espacios vectoriales.Consulte la Internet y la bibliografía necesaria y traiga un ejemplo de alguna aplicación específica que se le de en las carreras de ingeniería de Sistemas y Telecomunicaciones

a los vectores y/u operaciones con espacios vectoriales

http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva .html http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.htmlhttp://www.satd.uma.es/matap/frodriguez/Apuntes/ev.pdf.



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http://www.satd.uma.es/matap/frodriguez/Apuntes/ev.pdf

http://www.satd.uma.es/matap/frodriguez/Apuntes/ev.pdf

http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html

http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial









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algebra lineal

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