PROBLEMAS PROPUESTOS:

PREGUNTA 15:

Demostrar que las matrices:

A=(0 1 00 0 10 0 0) Y B=( 1 −3 −1

−1 3 41 −3 4 )

Son nilpotentes

Para la matriz A:

A=(0 1 00 0 10 0 0)

A2=(0 1 00 0 10 0 0)∗(0 1 0

0 0 10 0 0)=(0 0 1

0 0 00 0 0)

A3=(0 1 00 0 10 0 0)∗(0 1 0

0 0 10 0 0)∗(0 1 0

0 0 10 0 0)=(0 0 1

0 0 00 0 0)∗(0 1 0

0 0 10 0 0)=(0 0 0

0 0 00 0 0)

A3=0

PREGUNTA 16:

Sea A k n∗n no singular. Se dice que A es ortogonal si A−1=A t

Demostrar que:

a) A es ortogonal si y solo si A∗A t=At∗A=IA es ortogonal si: A−1=A t

A es ortogonal A∗A t=At∗A=I

Entonces: A es ortogonal A∗A t=At∗A=I

A es ortogonal A−1=A tA∗A−1=A t∗A I=At∗A A−1=A t A∗A−1=A∗A t A∗A t=I A∗A t=At∗A=I A es ortogonal.

A∗A t=I A∗A−1∗A t=A−1∗I At=A−1

At∗A=I At∗A∗A−1=I∗A−1

At=A−1

b) Si A, B k n∗n son ortogonales, entonces AB es ortogonal.

PRUEBA:

A es ortogonal At=A−1…………………… ()

B es ortogonal Bt=B−1………………….. ()

Multiplicando miembro por miembro () y ()

Bt∗A t=B−1∗A−1

( A∗B )t= (A∗B )−1

A*B es ortogonal.

PREGUNTA 17:

Sean las matrices:

A=(1 −1 23 1 50 −2 0) Y B=(0 1 3

1 4 16 0 −7)

Hallar At∗B+B2∗A

1) At=( 1 3 0

−1 1 −22 5 0 )

2) B2=(0 1 31 4 16 0 −7)∗(0 1 3

1 4 16 0 −7)=( 19 4 −20

10 17 0−42 6 67 )

Reemplazando:

At∗B=( 1 3 0−1 1 −22 5 0 )∗(0 1 3

1 4 16 0 −7)=( 3 13 6

−11 3 125 22 11)

B2∗A=( 19 4 −2010 17 0

−42 6 67 )∗(1 −1 23 1 50 −2 0)=( 31 25 58

61 7 105−24 −86 −54)

At∗B+B2∗A=( 3 13 6−11 3 125 22 11)+( 31 25 58

61 7 105−24 −86 −54 )=( 34 38 64

50 10 117−19 −64 −43)

PROBLEMA 18:

Sea la matriz:

A=(1 0 01 1 01 1 1)

Hallar la matriz An paran N .

Sea:

A=(1 0 01 1 01 1 1)

A2=(1 0 01 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)=(1 0 0

2 1 03 2 1)

A3=(1 0 01 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)=(1 0 0

2 1 03 2 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)=(1 0 0

3 1 01 3 1)

A4=(1 0 01 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)=(1 0 0

2 1 03 2 1)∗(1 0 0

2 1 03 2 1)=( 1 0 0

4 1 010 4 1)

A5=(1 0 01 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)

A5=(1 0 02 1 03 2 1)∗(1 0 0

2 1 03 2 1)∗(1 0 0

1 1 01 1 1)=( 1 0 0

5 1 015 5 1)

Hipótesis inductiva:

Para n=m

Am=(1 0 0n 1 0

n (n+1 )2

n 1)

Am∗A=(1 0 0m 1 0

m (m+1 )2

m 1)∗(1 0 01 1 01 1 1)=(

1 0 0m+1 1 0

(m+1 ) (m+2 )2

m+1 1)

Por lo tanto

An=(1 0 0n 1 0

n (n+1 )2

n 1)

PROBLEMA 19

Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demostrar que A+B es antisimétrica.

Por información del problema tenemos:

At=−A Y Bt=−B

Se sabe:

( A+B )t=At+B t=−A+ (−B )=−( A+B )

Por lo tanto

( A+B )t=−( A+B )

Entonces A+B es antisimétrica.

PROBLEMA 20

Sean las matrices:

A= (aij )20*30 = |i+ j|

B= (bij)8*20= i( j−1)

C= (cij)8*8= i∗ j

D=( A t∗Bt+ I )∗C t

Hallar el valor del elemento d56

PROBLEMA 21

Resolver:

X t+Y=A

X−2∗Y t=2∗B t

Donde X, Y son matrices de orden 3 donde:

A=(0 1 20 0 −2

0 012

) Y B−1=(1 1 2

0 1 −40 0 2 )

Tenemos

A=(0 1 20 0 −2

0 012

) Y se sabe: B∗B−1=I

Entonces

B=(1 −1 30 1 20 0 1)

Que sean las matrices:

X=(a 0 0b c 0d e f ) E Y=(g h i

0 j k0 0 l )

Se tiene:

(a b d0 c e0 0 f )+(g h i

0 j k0 0 l )=(

0 1 20 0 −2

0 012

)

Se tiene las ecuaciones……………………………………………………….…………….. (1)

a+g=0 e+k=−2

c+ j=0 d+i=2

b+h=0 f +l=12

De las matrices:

(a 0 0b c 0d e f )−(2g 0 0

2h 2 j 02i 2k 2 l)=( 2 0 0

−2 2 0−6 4 2)

Se tiene las ecuaciones……………………………………………………………………… (2)

a−2g=2 e−2k=4

c−2 j=2 d−2i=−6

b−2h=2 f−2 l=2

De (1) y (2) se tiene:

g=−23

, a=23

, h=1 , b=0 , i=83

, h=−23

j=−23

, c=23

, k=−2 , e=0 , l=−12

, f=−1

Por lo tanto se tienen las matrices:

X=(23

0 0

0230

−23

0 1) Y Y=(−23

183

0−23

−2

0 0−12

)