VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

Elaborado por

LEIDY VANESSA LOZADA Cód. 1.013.615.376

SANDRA VIVIANA BELTRAN Cód.

FABIOLA GARZÓN Cód. 52836341.

Grupo. 100408A_27

Tutor

Oscar Rincón

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGERE LINEAL

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

BOGOTÁ D, C. 2015

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como finalidad puntualizar temas específicos del algebra lineal,

como son los vectores y matrices empleando determinantes relacionados, en esta

unidad daremos un preámbulo a la teoría general de las matrices a través de ejercicios

prácticos donde se pueda ver reflejado como aplicamos el tema de vectores, matrices y

determinantes.

Los vectores o espacio vectorial son una estructura algebraica creada a partir de un

conjunto no vacío, en donde hay una operación interna y externa, a diferencia de las

matrices que son un arreglo bidimensional de números, las matrices se utilizan para

múltiples aplicaciones y principalmente sirven para representar los coeficientes de los

sistemas de ecuaciones lineales; esto hacen que tengan un concepto clave en el campo

del algebra lineal. Sin dejar atrás el determinante, el cual se define como una forma

multilineal alterada de un cuerpo.

A continuación será demostrado como aplicamos sus conceptos y procesos exigidos en

el trabajo.

OBJETIVOS

ESPECIFICO

Lograr que los estudiantes puedan realizar un proceso veraz y eficaz en cada ejercicio

obteniendo un buen resultado final.

GENERALES

Comprender los conceptos de que es un vector y como se representa.

Entender que es una matriz y como está compuesta.

A través de ejercicios prácticos profundizar en los temas propuestos.

Identificar y poner en práctica los diferentes métodos para resolver los ejercicios propuestos.

EJERCICIOS UNIDAD I

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |u|=5 ;θ=2250

b. |v|=3 ;θ=600

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. 2u−6 v

1.2. v−u

1.3 6 v−7u

Figura 1 Ejercicio 1

60°225°

Fuente: Autor

Problema 1.1. 2u−6 v

Solución:

|u|=5 ;θ=225°

sin 225 °=a5

cos225 ° ¿ b5

a=sin 225 ° (5 ) b=cos225 ° (5 )

a=3.54 b=3.54

|v|=3 ;θ=60 °

sin 60 °=a3

cos60 ° ¿ b3

a=sin 60 ° (3 ) b=cos60 ° (3 )

a=2.6 b=1.5

2 u 6 v

2 ( x , y ) 6 ( x , y )

2 (−3.54 ,−3.54 ) 6 (1.5 ,2.6 )

(−7.08 ,−7.08 ) (9 ,15.6 )

2 u−6 v

(−7.08 ,−7.08 )−(9 ,15.6 )

(−16.08 ,−22.08 )

Problema 1.2. v−u

Solución:

v−u

(1.5 ,2.6 )− (−3.54 ,−3.54 )

(5.04 ,6.14 )

Problema 1.3. 6 v−7u

Solución:

6 v−7 u

6 (1.5 ,2.6 ) 7 (−3.54 ,−3.54 )

(9 ,15.6 ) 7 (−24.78 ,−24.78 )

(9 ,15.6 )−(−24.78 ,−24.78 )

(33.88 ,40.38 )

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j

2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j

Problema 2.1 u=2 i+9 j

y v=−6 i+9 j

Solución:

u=2 i+9 j=(2,9)

v=−6 i+9 j=(−6,9)

θ=cos−1( u . v|u||v|)

u . v

u . v= (2,9 ) (−6,9 )

u . v=−12+81

u . v=69

|u||v|

|u|=(2,9) |v|=(−6 ,9)

|u|=√22+92 |v|=√(−6)2+92

|u|=√4+81 |v|=√36+81

|u|=√85 |u|=√117

|u||v|=¿

|u||v|=√9945

θ=cos−1( 69

√9945 ) θ=46.21 °

Problema 2.2 w=−5 i− j

y z=−7 i−4 j

Solución:

w=−5 i− j=(−5 ,−1)

z=−7 i−4 j=(−7 ,−4 )

θ=cos−1( w . z|w||z|)

w .z

w .z=(−5 ,−1 ) (−7 ,−4 )

w .z=35+4

w .z=39

|w||z|

|w|=(−5 ,−1) |z|=(−7 ,−4 )

|w|=√¿¿ |z|=√(−7)2+¿¿

|w|=√25+1 |z|=√49+16

|u|=√26 |z|=√65

|w||z|=¿

|u||v|=√1690

θ=cos−1( 39

√1690 )θ=18.43°

Problema 3. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el método de

Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3 )

Solución:

[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3] [

1 0 00 1 00 0 1 ]

12f 1

[ 1 4 0−3 0 −18 1 −3] [ 12 0 0

0 1 00 0 1

]f 2→3 f 1+ f 2

f 3→−8 f 1+f 3

[1 4 00 12 −10 −31 3 ] [ 12 0 0

32

1 0

−4 0 1]

112f 2

[1 4 0

0 1−112

0 −31 3] [ 12 0 0

18

112

0

−4 0 1]

f 1−4 f 2+ f 1

f 3→31 f 2+ f 2

[1 013

0 1−112

0 0512

] [ 0−13

0

18

112

0

−18

3112

1]125f 3

[1 013

0 1−112

0 0 1] [ 0

−13

0

18

112

0

−310

315

125

]

f 1→−13f 3+f 1

f 2→112f 2+ f 1

[1 0 00 1 00 0 1 ] [

110

−125

45

110

35

15

−310

315

125

]4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la

operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente

transformarlo en una matriz triangular). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS

REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma y NO con sus

representaciones decimales).

A=[−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1

]Solución:

[1 0 9 2 18500

360

−1

3−402

−421

−3

11

−21

] La idea es llevar la matriz a una 3x3, haciendo columnas de la forma [

10000]

A.

f 2→3 f 5+f 2f 3→6 f 5+ f 3f 5→−1 f 5

[1 0 9 2 18500

0001

980

−2

−13−1613

47

−2−1

] Lo que está en negrilla se elimina

B.

[1 9 2 1850

9 −13 48 −16 70 1 −2 ]

C.

f 2→−8 f 1+ f 2f 3→−5 f 1+ f 3

[1 9 2 1850

9 −13 48 −16 70 1 −2 ]

[−63 −29 −4−37 −26 20 1 −2 ]

D. Aplicando el método de Sarrus

¿

[ (−63 .−26 .−2 )+(−29 .2 .0)+(−4 .−37 .1)]−[ (−4 .−26 .0 )+(−29 .−37 .−2)+(−63 .2 .1)]

[ (−3276 )+(148)]−[ (−2146 )+ (−126 ) ]=−856

5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: AdjA

DetAA *

11

)Nota: Describa el proceso paso por paso

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma b

a

y NO con sus representaciones decimales).

C=[−2 5 −13 0 −43 1 −5 ]

-2 5

3 0 3 1

AdjADetA

A *11

)

Obteniendo determinante

lAl=(0+60+(-3))-(-45)+8+10

57+45+8 =57+53=110 determinante

A˖ −2 3 35 0 1

−1 4 −5 = 0 14 5

- [ 5 1−1 −5] [ 5 0

−1 4]0-0 -25-1 20-1

- [3 34 −5] [−2 3

−1 −5] - [−2 3−1 4]

-15-12 -10-3 -8-3

[3 30 1] - [−2 3

−1 5] [−2 35 0 ]

3-0 10-3 0-15

Matriz adjunta

Adj (at) = 0 25 1927 −13 113 −7 15

A= 1110

.

CONCLUSIONES

Concluyendo este trabajo podemos decir que a pesar de que no fue fácil desarrollar los

procedimientos de los anteriores ejercicios hemos podido finalizar satisfactoriamente

este, además de adquirir mayor conocimiento acerca de esta rama de la matemática

pudiendo profundizar el conocimiento de vectores, matrices y determinantes.

BIBLIOGRAFÍA

Kilne, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times 2. New York:

Oxford University Press.

Ortega, M. R. (1986-2006). Lecciones de fisica (Volumen 4). Monytex.

Tripler, P. A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona:

Reverte.

wikipedia. (24 de Agosto de 2015). WIKIPEDIA. Obtenido de

https://es.wikipedia.org/wiki/Vector

wikipedia. (15 de Agosto de 2015). WIKIPEDIA. Obtenido de

MATRICES(MATEMATICAS): https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem

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wikipedia. (31 de JULIO de 2015). WIKIPEDIA. Obtenido de

DETERMINANTE(MATEMATICA):

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)