25 Matematicas I : Preliminares

Tema 3

Determinante de una matriz

3.1 Determinante de una matriz cuadrada

Definicion 67.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Llamaremos producto elemental en A al productoordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, unaexpresion de la forma a1j1a2j2 anjn con todos los jk distintos.

Llamaremos producto elemental con signo al valor (1)Na1j1a2j2 anjn donde el numero N , paracada producto elemental, es el numero de inversiones del orden en el conjunto de las columnas {j1, j2, . . . , jn} ,es decir, el numero de veces que cada ndice jk es menor que los anteriores a el.

Ejemplo 68 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menoresque sus anteriores. Para el 4, hay inversion cuando 4 < 2, no. Para el 1, cuando 1 < 2, si ; y cuando 1 < 4, si.Y para el 3, cuando 3 < 2, no; 3 < 4, si ; y 3 < 1, no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3.

Definicion 69.- Definimos la funcion determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funcionque asigna a cada matriz A el numero real, que denotaremos por det(A) o detA o |A| , y cuyo valor es lasuma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A :

det(A) = |A| =

(j1,j2,...,jn)

(1)Na1j1a2j2 anjn .

Expresion del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices delos primeros ordenes de magnitud se obtienen de la forma:

a11 = a11 y a11 a12a21 a22= a11a22 a12a21

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32Estas expresiones admiten una regla nemotecnica grafica para recordar la construccion de los productos ele-mentales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden3 se conoce como Regla de Sarrus):

ssss

@@@

sign( ) = +sign( ) =

sss

sss

sss

@@@@@@

@@@

@@@ s

ss

sss

sss

Observacion:Cada uno de los productos elementales con signo se co-rresponde con el determinante de una matriz que seforma haciendo cero todos los elementos que no estanen el producto. Es claro, pues cualquier otro producto

(1)3a12a24a31a43 =

0 a12 0 00 0 0 a24a31 0 0 00 0 a43 0

tendra alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, sera 0. De manera similar son inmediatoslos dos resultados recogidos en la proposicion siguiente.

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26 Matematicas I : Preliminares 3.1 Determinante de una matriz cuadrada

Proposicion 70.-

1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0.2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de la

diagonal principal, es decir, |A| = a11a22 ann . (En todos los demas productos elementales aparece almenos un 0: si hay algun elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)

3.1.1 Determinantes y operaciones elementales

Teorema 71.- Sea Ann una matriz. Se tiene que:

a) si A es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante 6= 0, entonces det(A) = det(A).

b) si A es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A , entonces det(A) = det(A).c) si A es la matriz que resulta de sumar a la fila k un multiplo de la fila i , entonces det(A) = det(A).

.

Corolario 72.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

Corolario 73.-

a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k IR , entonces det(E) = k .b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E) = 1.c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un multiplo de la fila i , de I , entonces det(E) = 1.

Demostracion:a) det(E) = k det(I) = k ; b) det(E) = det(I) = 1; c) det(E) = det(I) = 1.

3.1.1.1 Calculo de determinantes por reduccion a la forma escalonada

El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el metodo deGauss. Si tenemos que Ek E2E1A = R , donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el metodode Gauss, se tiene que

det(R) = det(EkEk1Ek2 E1A) = k det(Ek1Ek2 E1A)= kk1 det(Ek2 E1A) = = kk1k2 1 det(A),

donde i es k , 1 o 1, segun la operacion elemental que represente Ei . Luego

det(A) = 11 1k det(R) = 11 1k r11r22 rnnpues R es una matriz triangular superior (recordar observacion 63 de pag. 22) y det(R) = r11r22 rnn .

3.1.2 Otras propiedades del determinante

Teorema 74.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces

det(AB) = det(A) det(B) .

Teorema 75.- Sea Ann entonces, A es inversible det(A) 6= 0.Demostracion:Si A es inversible I = AA1 , luego det(I) = det(AA1) = det(A)det(A1), pero al ser det(I) = 1 6= 0,necesariamente ha de ser det(A) 6= 0.

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27 Matematicas I : Preliminares 3.2 Desarrollo por cofactores

Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostracion del Teorema 74 (Anexo 0, pag. 36), se tiene quedet(AI) = 0 = det(A)det(I) y como det(I) = 1, debe ser det(A) = 0.

Corolario 76.- Si A es inversible,A1 = |A|1 .

Teorema 77.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At| = |A| . .

3.2 Desarrollo por cofactores

Definicion 78.- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento aij , y lo denotaremos porMij , al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j . Al numero(1)i+jMij lo llamaremos cofactor del elemento aij y lo denotaremos por Cij .

Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C21 , eliminando la fila 2 y la columna1, y C34 , eliminando la fila 3 y columna 4:

A =

0 1 2 51 2 0 22 1 1 30 2 4 2

C21 = (1)2+10 1 2 51 2 0 22 1 1 30 2 4 2

C34 = (1)3+4

0 1 2 51 2 0 22 1 1 30 2 4 2

Teorema 79.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (ode una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, paracada 1 i n y para cada 1 j n :

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + + ainCin y det(A) = a1jC1j + a2jC2j + + anjCnj .

Ejemplo 11 12 1321 22 2331 32 33

= 21(1)2+1 12 1332 33

+ 22(1)2+2 11 1331 33+ 23(1)2+3 11 1231 32

= 13(1)1+3

21 2231 32+ 23(1)2+3 11 1231 32

+ 33(1)3+3 11 1221 22

Corolario 80.- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado escero; es decir,

ai1Cj1 + ai2Cj2 + + ainCjn = 0 , si i 6= j .Identico resultado para las columnas.

Demostracion:Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i , la matriz obtenida A tiene determinante cero y

0 = |A| = aj1C j1 + aj2C j2 + + ajnC jn = ai1Cj1 + ai2Cj2 + + ainCjn

Definicion 81.- Dada una matriz A cuadrada de orden n , llamaremos matriz de cofactores de A a lamatriz que tiene por elementos los cofactores de A , C = (Cij), y llamaremos matriz adjunta de A a lamatriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = Ct .

Nota: Tambien es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para lamatriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son identicos a los que aqu se presentan conla unica consideracion a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendra que aparecer Adj(A)t .

Teorema 82.- Si A es una matriz inversible, entonces A1 = 1|A| Adj(A).

Demostracion:

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28 Matematicas I : Preliminares 3.3 Rango de una matriz

Si probamos que A Adj(A) = |A|I entonces, como |A| 6= 0, sera AAdj(A)|A| = I y A1 = 1|A| Adj(A). Enefecto, aplicando el teorema 79 y el corolario 80 anteriores,

A Adj(A) = ACt =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

C11 C21 Cn1C12 C22 Cn2...

.... . .

...C1n C2n Cnn

=|A| 0 00 |A| 0...

.... . .

...0 0 |A|

= |A| I

Ejemplo

A =

1 2 34 5 43 2 1

; A1 = 1|A|

5 42 1 4 43 1

4 53 2

2 32 1

1 33 1 1 23 2

2 35 4 1 34 4

1 24 5

t

=140

13 4 2316 8 167 4 3

Regla de Cramer 83.- Sea AX = B , un sistema de n ecuaciones con n incognitas, tal que A es inversible,entonces el sistema tiene como unica solucion:

x1 =

b1 a12 a1nb2 a22 a2n...

.... . .

...bn an2 ann

|A| , x2 =

a11 b1 a1na21 b2 a2n...

.... . .

...an1 bn ann

|A| , . . . , xn =

a11 a12 b1a21 a22 b2...

.... . .

...an1 an2 bn

|A| . .

3.3 Rango de una matriz

Definicion 84 (Segunda definicion del rango).- Se llama rango de una matriz Amn , rang(A) o rg(A),al maximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminandofilas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero.

Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A , formada eliminando filas y columnas com-pletas, de suele decir que es un menor de orden r de A , por analoga a la denominacion dada en la definicion78 a los menores de un elemento.

Resulta evidente que para Amn , se tiene rg(A) mn{m,n} . Esta nueva definicion de rango de una matrizes equivalente a la dada anteriormente:

el rango de una matriz es el numero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formasescalonadas de la matriz,

puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matrizescalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero.

Corolario 85.- Si A es una matriz, rg(A) = rg(At).

Demostracion:De la nueva definicion de rango y de |M | = |M t| para cualquier submatriz cuadrada de A .

Proposicion 86.- Sea A una matriz mn , entoncesa) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(A) r .b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(A) < r .

Demostracion:

a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el maximo de los ordenes de los menoresdistintos de cero es al menos r .

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29 Matematicas I : Preliminares 3.4 Ejercicios

b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse comosuma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r+ 1 son cero y, tambien todoslos menores de orden mayor. Luego rg(A) < r

En una matriz mn , el numero de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es(mr

)(nr

)=

m!r!(m r)!

n!r!(n r)! ,

es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n . Por tanto, paraver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los

m!r!(mr)!

n!r!(nr)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluacion por menores, puede reducirse usando

el siguiente resultado:

Orlado de menores 87.- Sea Amn una matriz, y Mrr una submatriz de A con determinante distinto decero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en Aanadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r . .

Este resultado nos indica el metodo conocido como orlado de menores para encontrar el rango de unamatriz usando los menores:

Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(A) = 0; si existe M1 6= 0entonces rg(A) 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que orlan alanterior : si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(A) = 1; si algun M2 6= 0 entoncesrg(A) 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M2 : si noexiste rg(A) = 2, y si existe M3 6= 0 entonces rg(A) 3, y buscamos . . . .

3.4 Ejercicios

3.41 Suponiendo que det(A) = 5, siendo A =

a b cd e fg h i

, calcular

a)

d e fg h ia b c

b)a b c2d 2e 2fg h i

c)a+d b+e c+fd e fg h i

d)

a b cd3a e3b f3c2g 2h 2i

e)

a g hb h ec i f

f)2a d d g2b e e h2c f f i

g) det(3A) h) det(2A1) i) det((2A)1)3.42 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha:

a) Usando unicamente el metodo de Gauss

b) Mediante el desarrollo por cofactores

c) Aplicando simultaneamente ambas tecnicas para resolverlomas rapida y facilmente.

0 2 1 0 1 02 2 2 2 2 23 1 1 4 1 10 1 0 0 3 01 2 4 0 4 11 3 0 0 0 2

3.43 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrar

que A no es inversible.

3.44 Sean A y B matrices de orden n tales que A 6=0, B 6=0 y AB=0. Demostrar que det(A)=det(B)=0.

3.45 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal.

3.46 Sea A una matriz antisimetrica de orden n impar. Demostrar que det(A) = 0.

3.47 Si A es una matriz de orden n probar que |Adj(A)| = |A|n1 .

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30 Matematicas I : Preliminares 3.4 Ejercicios

3.48 Calcular el valor de los determinantes 66 y nn siguientes:

a a a a a ab 0 0 0 0 a0 b 0 0 0 a0 0 b 0 0 a0 0 0 b 0 a0 0 0 0 b a

1 2 3 n1 n2 3 4 n n+13 4 5 n+1 n+2...

......

. . ....

...n1 n n+1 2n3 2n2n n+1 n+2 2n2 2n1

a) Cual es el rango de la matriz del primer determinante en funcion de los valores de a y b?

b) Cual es el rango de la matriz del segundo determinante para cada valor de n = 1, 2, 3, . . .?

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