algebra lineal

Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas

Algebra Lineal I(Taller 6)

Eiver RodrguezAlberto Rodrguez

Mayo de 2015

Algebra Lineal I 4 Sem. 2015

Solucion a los ejercicios

1. Determinar si las siguientes son transformaciones lineales:

i) T : Mmn Mnm; T (A) = At

Sea T : Mmn Mnm la funcion definida por T (A) = At.

Sean B y C dos matrices de orden mn entonces por Teorema 5 del Capitulo1;

a. T (B + C) = (B + C)t = Bt + Ct = T (B) + T (C).

Ahora sea un escalar cualquiera y A una matriz de orden m n enton-ces;

b. T (A) = (A)t = At = T (A).

Luego; por definicion de transformacion lineal, T : Mmn Mnm; T (A) =At es una transformacion lineal.

ii) T : R2 R2; T ((x1, x2)) = (x1 cos y1 sin , x1 sin + y1 cos )

Sea ~v = (1, 0) R2 y ~u = (1, 1) R2; entonces:

T ((~v + ~u)) = T (((1, 0) + (1, 1))) = T ((2, 1))

= (2 cos y1 sin , 2 sin + y1 cos );y

T (~v) + T (~u) = T ((1, 0)) + T ((1, 1))

= (cos y1 sin , sin + y1 cos ) + (cos y1 sin , sin + y1 cos )

2


= (2 cos 2y1 sin , 2 sin + 2y1 cos )

Cuando y1 sin 6= 0 o y1 cos 6= 0; T ((~v + ~u)) 6= T (~v) + T ((~u)), lo cualcontadice la definicion de transformacion lineal. De donde T : R2 R2;T ((x1, x2)) = (x1 cos y1 sin , x1 sin + y1 cos ) no es una transformacionlineal.

iii) T : R2 R; T ((x, y)) = (x, y) = x2 + y2Sean (a, b), (c, d) R2;

T (((a, b) + (c, d))) = (a+ c, b+ d) = (a+ b)2 + (b+ d)2.T ((a, b)) + T ((c, d)) = (a, b)+ (c, d) = a2 + b2 +c2 + d2;

Tomemos a = 1; b = 0, c = 0, d = 1; entonces:

T (((a, b) + (c, d))) =

2 6= 1 +1 = 2 = T ((a, b)) + T ((c, d))

De donde T : R2 R; T ((x, y)) = (x, y) =x2 + y2 no es una trans-

formacion lineal.

iv) T : P2 P1; T (a0 + a1x+ a2x2) = a1 + a2x

Sean b0 + b1x + b2x2 y c0 + c1x + c2x

2 dos polinomios de grado dos enton-ces:

T ((b0 + b1x+ b2x2) + (c0 + c1x+ c2x

2)) = T ((b0 + c0) + (b1 + c1)x+ (b2 + c2)x2)

= (b1 + c1) + (b2 + c2)x = (b1 + b2x) + (c1 + c2x)

= T (b0 + b1x+ b2x2) + T (c0 + c1x+ c2x

2)

3


De donde;

a. T ((b0+b1x+b2x2)+(c0+c1x+c2x

2)) = T (b0+b1x+b2x2)+T (c0+c1x+c2x

2)

Ahora sean un escalar cualqiera y a0 + a1x+ a2x2 un vector de P2;

T (((a0 + a1x+ a2x2)) = T ((a0) + (a1)x+ (a2)x

2)

= (a1) + (a2)x = (a1 + a2x) = T (a0 + a1x+ a2x2)

De donde;

b. T (((a0 + a1x+ a2x2)) = T (a0 + a1x+ a2x

2

Luego por definicion de transformacion lineal; de a. y b. se deduce queT : P2 P1; T (a0 + a1x+ a2x2) = a1 + a2x es una transformacion lineal.

v) T : P2 P4; T (p(x)) = [p(x)]2

Sean R y p(x) un vector de p2; luego:

T (p(x)) = [p(x)]2 = ()2(T (p(x)))

Asi; tomando = 2 y p(x) = x2 + 1:

T (p(x)) = T (2(x2 +1) =)()2(T (p(x)) = 4(x2 +1)2 6= 2(x2 +1)2 = T (p(x))

De donde; T (p(x)) 6= T (p(x)); lo cual contadice la definicion de trans-formacion lineal. De donde T : P2 P4; T (p(x)) = [p(x)]2 no es una trans-formacion lineal.

4


vi) T : R Pn; T (a) = a+ ax2 + + axn

Sean a y b numeros reales; entonces:

T (a + b) = (a + b) + (a + b)x + (a + b)x2 + + (a + b)xn = (a + ax +ax2 + + axn) + (b+ bx+ bx2 + + bxn) = T (a) + T (b)

De donde;

a. T (a+ b) = T (a) + T (b)

Ademas;

T (a) = (a)+(a)x+(a)x2 + +(a)xn = (a+ax+ax2 + +axn) =T (a)

De donde;

b. T (a) = T (a)

Luego por definicion de transformacion lineal; de a. y b. se deduce queT : R Pn; T (a) = a+ ax2 + + axn es una transformacion lineal.

2. De las siguientes trasformaciones lineales encontrar el nucleo,la imagen, el rango y la nulidad:

i) T : R2 R; T ((x, y)) = x+ y

NT ={

(x, y) R2 : T ((x, y)) = 0} = {(x, y) R2 : x+ y = 0}={

(x, y) R2 : y = x} = {(x,x) : x R}={x(1,1) : x R} = gen{(1,1)}

Luego dim(NT ) = V (T ) = 1

5


ImT

={z R : T ((x, y)) = z; (x, y) R2} = {z R : z = x+ y} = R

dim(ImT) = (T ) = dim(R) = 1

ii) T : M22 M22; T (A) = AB, donde B =(

1 20 1

)N

T={A M

2x2: T (A) = ~0

}={A M

2x2: AB = ~0

}=

{A M

2x2:

(a11 a12a21 a22

)(1 20 1

)=

(0 00 0

)}=

{A M

2x2:

(a11 2a11 + a21a12 2a12 + a22

)=

(0 00 0

)}de donde:a11 = 0; a12 = 0; a21 = 0; a22 = 0

=

{(0 00 0

)}={~0}

Luego la nulalidad V (T ) = 0

ImT

={C M

2x2: T (A) = C

}conA M

2x2

={C M

2x2: AB = C

}=

{C M

2x2:

(a11 a12a21 a22

)(1 20 1

)=

(c11 c12c21 c22

)}=

{C M

2x2:

(a11 2a11 + a12a21 2a12 + a22

)=

(c11 c12c21 c22

)}=

{C M

2x2: C =

(a11 2a11 + a12a21 2a12 + a22

)}= M

2x2

dim(ImT ) = (T ) = 2x2 = 4

6


iii) T : R P3; T (a) = a+ ax+ ax2 + ax3

NT ={a R : T (A) = 0}

={a R : a+ ax+ ax2 + ax3 = 0}

={a R : a(1 + x+ x2 + x3) = 0} = {0}

V (T ) = 0

ImT

={P (x) P3 : P (x) = a+ ax+ ax2 + ax3, a R

}={P (x) P3 : P (x) = a(1 + x+ x2 + x3), a R

}gen

{(1, x, x2, x3)

}(T ) = 1

iv) T : C[0, 1] R; Tf = f (12

)NT =

{f [0, 1] : T (f) = 0} = {f [0, 1] : f(12) = 0}

ImT

= R;V (T ) = 1;

v) T : R4 R2; T ((x, y, z, w)) = (x+ z, y + w)

NT ={

(x, y, z, w) R4 : T ((x, y, z, w)) = (x+ z, y + w) = (0, 0)}={

(x, y, z, w) R4 : x+ z = 0 y + w = 0}={

(x, y, z, w) R4 : x = z y = w}= (z,w, z, w)={z(1, 0, 1, 0) + w(0,1, 0, 1)}

=gen{

(1, 0, 1, 0), (0,1, 0, 1)}V(T)=2

ImT

={

(a, b) R2 : T ((x, y, z, w)) = (x+ y, y + w) = (a, b); (x, y, z, w) R4}={

(a, b) R2 : a = x+ y b = y + w} = R27


O de otra forma:Im

T={x+ z, y + w : (x, y, z, w) R4}

={x(1, 0) + y(0, 1) + z(1, 0) + w(0, 1)

}= gen

{(1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 1)

}= gen

{(1, 0), (0, 1)

}= R2

(T ) = 2

3. Hallar la matriz asociada a la transformacion lineal T : V Wrespecto a las bases dadas. Calcular T (~v) para el vector ~v dado, yhallar T (~v) para un vector en general del espacio vectorial V.

i) T : R2 R2; T ((x, y)) = (y, 2x+ y), BV = {(1, 2), (2, 1)},

BW = {(1,1), (1, 3)} y ~v = (3,1)

Tomemos ~v1 = (1, 2), ~v2 = (2, 1), ~w1 = (1,1) y ~w2 = (1, 3);

As BV = {~v1, ~v2} y BW = { ~w1, ~w2}

Expresemos las coordenadas de T (~v1) y T (~v2) en cordenadas de BW;

T (~v1) = T ((1, 2)) = (2, 2(1)) + 2) = (2, 4) = a11(1,1) + a12(1, 3) =(a11 a12,a11 + 3a12)

T (~v2) = T ((2, 1)) = (1,(1) 2) = (1,3) = a21(1,1) + a22(1, 3) =(a21 a22,a21 + 3a22)

De donde;a11 a12 = 2 (ecu 1)a11 + 3a12 = 4 (ecu 2)a21 a22 = 1 (ecu 3)a21 + 3a22 = 3 (ecu 4)

8


Sumando (ecu 1) con (ecu 2) obtenemos;

2a12 = 2 a12 = 1 y a11 = 1

Sumando (ecu 3) con (ecu 4) obtenemos;

2a22 = 4 a22 = 2 y a21 = 3

Luego; la matriz asociada a la transformacion lineal T es:

ATr =

(a11 a12a21 a22

)=

(1 13 2

)luego; T (~v) = (x1, x2)ATr donde (x1, x2) son las coordenadas de ~v en BV.As:

~v = (3,1) = x1(1, 2) + x2(2, 1) = (x1 2x2, 2x1 + x2)

De donde;x1 2x2 = 3 (ecu 5)

2x1 + x2 = 1 (ecu 6)Sumando el doble de la (ecu 6) mas la (ecu 5) se obtiene:

5x1 = 1 x1 = 15

y x2 = 75

As;

T (~v) =

(1

5,7

5

)(1 13 2

)=

(1

5+

21

5,1

5+

14

5

)= (4, 3)

Ahora sea ~v un vector en general del espacio vectorial V; tomemos ~v = (x, y);entonces T (~v) = (x, y)ATr donde (x, y) son las coordenadas de ~v en BV. As:

9


~v = (x, y) = x(1, 2) + y(2, 1) = (x 2y, 2x + y)

De donde;x 2y = x (ecu 7)2x + y = y (ecu 8)

Sumando el doble de la (ecu 8) mas la (ecu 7) se obtiene:

5x = x+ y x = x+ y5

y y = y 2x = 3y 2x5

As;

T (~v) =

(x+ y

5,3y 2x

5

)(1 13 2

)=

((x+ y

5

) 3

(3y 2x

5

),x+ y

5 2

(3y 2x

5

))= (x 2y, x y)

ii) T : R3 R2; T ((x, y, z)) = (x+ y + z, 2y + 3x),

BV = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1,1)},

BW = {(1, 1), (4, 1)} y ~v = (1, 2, 3)

Tomemos ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (1, 1, 0),~v3 = (0, 1,1) ~w1 = (1, 1) y ~w2 =(4, 1);

As BV = {~v1, ~v2, ~v2} y BW = { ~w1, ~w2}

Expresemos las coordenadas de T (~v1) T (~v2) y T (~v3) en cordenadas de BW;

T (~v1) = T ((1, 1, 1)) = (3, 5) = a11(1, 1) + a12(4, 1) = (a11 + 4a12, a11 + a12)

T (~v2) = T ((1, 1, 0)) = (0,1) = a21(1, 1) + a22(4, 1) = (a21 + 4a22, a21 + a22)

10


T (~v3) = T ((0, 1,1)) = (0, 2) = a31(1, 1) + a32(4, 1) = (a31 + 4a32, a31 + a32)

De donde;a11 + 4a12 = 3 (ecu 1)

a11 + a12 = 5 (ecu 2)

a21 + 4a22 = 0 (ecu 3)

a21 + a22 = 1 (ecu 4)a31 + 4a32 = 0 (ecu 5)

a31 + a32 = 2 (ecu 6)

Restando (ecu 1) menos (ecu 2) obtenemos;

3a12 = 2 a12 = 23

y a11 =17

3


3a22 = 1 a22 = 13

y a21 = 43


3a32 = 2 a32 = 23

y a31 =8

3


ATr =

a11 a12a21 a22a31 a32

= (13

)17 24 18 2

luego; T (~v) = (x1, x2, x3)ATr donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de ~v enBV. As:

~v = (1, 2, 3) = x1(1, 1, 1) + x2(1, 1, 0) + x3(0, 1,1) = (x1 x2, x1 + x2 +

11


x3, x1 x3)

De donde;x1 x2 = 1 (ecu 7)

x1 + x2 + x3 = 2 (ecu 8)

x1 x3 = 3 (ecu 9)De la (ecu 7) se obtiene: x2 = x1 1 y de la (ecu 9) se obtiene: x3 = x1 3.

Reemplazando en (ecu 8) se obtiene: x1 + x1 1 + x1 3 = 2 3x1 =6 x1 = 2 x1 = 2 x2 = 1 x3 = 1

As;

T (~v) = (2, 1,1)(

1

3

)17 24 18 2

= 13

(22,1)

Ahora sea ~v un vector en general del espacio vectorial V; tomemos ~v =(x, y, z); entonces T (~v) = (x, y, z)ATr donde (x, y, z) son las coordena-das de ~v en BV. As:

~v = (x, y, z) = x(1, 1, 1)+y(1, 1, 0)+z(0, 1,1) = (xy, x+y+z, xz)

De donde;x y = x (ecu 10)

x + y + z = y (ecu 11)

x z = z (ecu 12)De la (ecu 10) se obtiene: y = x x y de la (ecu 12) se obtiene: z = x z.

Reemplazando en (ecu 11) se obtiene: x + x x + x z = y 3x =x+ y + z x = x+ y + z

3 y = z + y 2x

3 z = x+ y 2z

3

12


As;

T (~v) =

(1

3

)(x+ y + z, z + y 2x, x+ y 2z)

(1

3

)17 24 18 2

=

1

9( 17(x+ y + z) 4(z + y 2x) + 8(x+ y 2z),

2(x+ y + z) + (z + y 2x) 2(x+ y 2z) )

=1

9(33x+ 21y 3z, 3z 3y 6x)

iii) T : P3 P2; T (p(x)) = p(x) =d

dxp(x),BV =

{1, x, x2, x3

},

BW ={1, x, x2

}y p(x) = 2 + 3x+ 4x2 + 5x3

Tomemos p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2y p3(x) = x

3;

As BV = {p0(x), p1(x), p2(x), p3(x)} y BW = {p0(x), p1(x), p2(x)}

Expresemos las coordenadas de T (p0(x)), T (p1(x)),T (p2(x)),T (p3(x)) en cor-denadas de BW;

T (p0(x)) =d

dxp0(x) =

d

dx(1) = 0 = a11(1) + a12(x) + a13(x

2)

a11 = a12 = a13 = 0

T (p1(x)) =d

dxp1(x) =

d

dx(x) = 1 = a21(1) + a22(x) + a23(x

2)

a21 = 1 a22 = a23 = 0

13


T (p2(x)) =d

dxp2(x) =

d

dx(x2) = 2x = a31(1) + a32(x) + a33(x

2)

a31 = 0 a32 = 2 a33 = 0

T (p3(x)) =d

dxp3(x) =

d

dx(x3) = 3x = a41(1) + a42(x) + a43(x

2)

a41 = a42 = 0 a43 = 3


ATr =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

=

0 0 01 0 00 2 00 0 3

Luego; T (p(x)) = (a0, a1, a2, a3)ATr donde (a0, a1, a2, a3) son los respectivoscoeficientes de las respectivas potencias de p(x) (de menor a mayor) en BV.As:

p(x) = 2 + 3x+ 4x2 + 5x3 = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3

De donde; (a0, a1, a2, a3) = (2, 3, 4, 5)

As;

T (p(x)) = (2, 3, 4, 5)

0 0 01 0 00 2 00 0 3

= (3, 8, 15)Es decir; T (p(x)) = 3 + 8x+ 15x2

Ahora; sea p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 cualquier vector de P3.

14


Luego; T (p(x)) = (b0, b1, b2, b3)ATr donde (b0, b1, b2, b3) son los respectivoscoeficientes de las respectivas potencias de p(x) (de menor a mayor) en BV.As:

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 = p(x) = b0 + b1x+ b2x2 + b3x

3

De donde; (a0, a1, a2, a3) = (b0, b1, b2, b3)

As;

T (p(x)) = (a0, a1, a2, a3)

0 0 01 0 00 2 00 0 3

= (a1, 2a2, 3a3)Es decir; T (p(x)) = a1 + (2a2)x+ (3a3)x

2

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