ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 1 INTRODUCCION A LOS ESPACIOS VECTORIALES ING. CARLOS GARCIA CORTEGANO ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 2 PROLOGO Espacios Vectoriales es una parte importante del curso de lgebra lineal que es uno de los ms tilesquetomanlosestudiantesenmuchasdisciplinas.Eselprimercursoenelquelos conceptostienenalmenostantaimportanciacomolosclculos,yenelquelasaplicaciones motivan y entrenan la mente. Las aplicaciones de lgebra lineal en la ciencia y en la vida real son numerosas.Las soluciones demuchosproblemasdefsica,ingenierabiologa,qumica,grficascomputarizadas, procesamientodeimgenes,economaysociologarequierendemtodosdelgebralineal. Tambin requieren las principales ramas de las matemticas modernas. Enelpresentetrabajoseestudiatemasreferentesaespaciosvectoriales,subespacios vectoriales,combinacioneslineales,independenciaydependencialineal,generadores,basede un espacio vectorial, dimensin de un espacio vectorial, dimensin de suma, dimensin de suma directa,rango,nulidad,espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatriz, cambio de base y problemas resueltos. La lectura del presente trabajo requiere de los conocimientos bsicos de un curso de Geometra analtica, anlisis matricial y vectorialas comoclculo infinitesimal. Los temas expuestos en esta obra es con la mayor claridad posible. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 3 INDICE PROLOGO CONTENIDOPAGINA 1.Espacios vectoriales. 1.1. Axiomas del espacio vectorial. 1.2. Ejemplos.. 1.3. Interpretacin geomtrica. 1.4. Propiedad de los espacios vectoriales.. 1.5. Espacios vectoriales de funciones.. 1.6. Espacios vectoriales de Matrices. 2.Subespacio Vectorial.. 2.1. Operaciones con subespacios.. 2.2. Problemas resueltos 3. Combinacin Lineal.. 3.1. Problemas Resueltos 4.Generador 4.1. Problemas Resueltos.. 5.Dependencia e independencia lineal.. 5.1. Interpretacin geomtrica.. 5.2. Problemas Resueltos.. 6.Bases de un espacio vectorial.. 7.Dimensin de un espacio vectorial. 7.1. Problemas Resueltos 8.Dimensin de una suma.. 9. Dimensin de una suma directa.. 9.1.Problemas Resueltos. 10. Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espaciode las columnas de una matriz 11. Vectores de Coordenadas y cambio de base 11.1.Problemas Resueltos.. 12.Cuestiones Tericas 13. Solucin de problemas de espacios Vectoriales utilizando el software Derive.. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 4 1. ESPACIOS VECTORIALES DEFINICION UnespaciovectorialrealV esunconjuntodeobjetos,llamadosvectores,juntocondos operaciones llamadas suma (denotada pory x + ) y multiplicacin por un escalar (denotada por x ) que satisfacen los siguientes axiomas: 1.1 AXIOMAS DEL ESPACIO VECTORIAL i.Si V x y V y , entonces V y x + (cerradura bajo la suma). ii.Para todax, yy z enz) (y x z y) (x V, + + = + + (ley asociativa de la suma de vectores). iii.Existe un vector V 0 tal que para toda x x 0 0 x V, x = + = + (0 es el idntico aditivo). iv.Si V x , existe un vectorx en Vtal que0 (-x) x = +(-x se llama el inverso aditivo de x). v.Six yy estnenV ,entoncesx y y x + = + (leyconmutativadelasumade vectores). vi.SiV x yes un escalar, entonces V x . (cerradura bajo la multiplicacin por un escalar). vii.Six yy estnenV y esunescalar,entoncesy x y) (x + = + .(primeraley distributiva). viii.Si V x y y sonescalares,entonces( ) x x x + = + .(segundaley distributiva). ix.Si V x y y sonescalares,entonces( ) x x= .(leyasociativadela multiplicacin por un escalar). x.Paratodovectorx 1x V, x vector todo Para = .(elescalar1sellamaidntico multiplicativo). 1.2 EJEMPLOS El espacio( ) R x : x ,..., x , x { Ri n 2 1n =paran}. 1,2,..., i =El espacio{ Pn= polinomios de grado menor que o igualan}.El espacio[ ] { b a, C = funciones reales continuas en el intervalo[ ]}. b a,El espacio{ Mmn = matrices de m x ncon coeficientes reales }.Elespacio( ) C c : c ,..., c , c { Ci n 2 1n = paran} 1,2,..., i = .Cdenotaelconjuntodelos nmeros complejos. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 51.3INTERPRETACION GEOMETRICA 1). En el espacio vectorial V = R2. Dos vectores v1 y v2 son espacios vectoriales si y solo si son paralelos. Ejemplos:v1 =(1,-2) yv2 = (2, -4) son linealmente independientes porque: v2=2 v1 o lo que es equivalente : v2 2v1 =(0,0). 2). EnR3. Tres vectores en R3 son espacios vectoriales si y solo si son coplanares (estn en elmismo plano). Ejemplos 1 Los vectores v1= (1,1,1) ,v2= (0,1,-1) y v3 = (2,-1,5) son coplanarespor lo tanto son espacios vectoriales. OBSERVACION 1.Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de K se llaman escalares. 2.ComoVestadefinidosobreloselementosdeK,sedicequeVesunKespacio vectorial. 3.Si K = R , V se llama espacio vectorial real. 4.Si K =C , V se llama espacio vectorial complejo. 1.4PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES Sea (V,+,R, .) un espacio vectorial, entonces se tiene: 1). El elemento del axioma (iii) es nico. Demostracin. SupongamosV v u, , u u ' que tal V ' = == = + ++ + Por propiedad A3 tenemos que: V u , uu = +Se cumple que:)`= += +' ' ' puesV ' ,son elementos neutrosde V. Y por la propiedad conmutativa se cumple: ' ' '' = = + = + =Por lo tanto" "es nico. 2).El producto del escalar0 por cualquier vector es el vector nulo, es decir: 0.u tiene se V u = Demostracin. . 0.u donde de 0.u : tanto lo por , u) ( u u)) ( (u 0.u: tenemos asociativa propiedad la por , u) ( u u) ( u) (0.u: tenemos miembro cada a u) sumando( ; u 1.u 1)u (0 1.u 0.u u 0.u= = + + = + + + = + + = = + = + = + ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 63.)0 x o 0, x Si : decir es nulo es vector el o "0" es escalarel entonces nulo vector un es vector un por escalar un de producto el Si= = = Demostracin I caso 0 xque puesto 0entonces in contradicc una es cual lo x1.xx )1( 1 x) (1 0 x Sik1 1 0si efecto En00 x yx que Suponiendo == = === = = = = II caso x 0 1.x 0 x ) .1(

1 ) x(1

1 0si efecto en0 xx y 0que Suponiendo= = == = = 4. El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto es decirsi ) x = ( )x ( V, x , k. Demostracin. Teniendo en cuenta los axiomas ivy x Se obtiene. x) x tanto lo por)x ( x) ( x x ) x x) (x ) ( 0.xx x) ( = = + = + + = = = + ( ) (( 1.5 ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES Al conjunto de todaslas funciones f con dominio un conjuntoX y rango un cuerpo K , denotaremos por K X, es decir : { } K X : f / f KX = un elemento que pertenece aK X

es una funcin K X : f ahora enK Xdefinimos la suma de funciones y el producto de un escalar porfunciones . X x , f(x)(x) f)( : que tal es K X : fentonces , K f y KSi ii)X x g(x), f(x) (x) g) (f que estal K X : g f entonces K g f, Si i)XX = + = + + Luego el conjunto (K X , +, K , .), provista de dos operacionessuma (+ ) y producto (. ) es un espacio vectorialsobre K . ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 7CASOS PARTICULARES{ } K X : f / f KX ={ {{ { } }} }[ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] { {{ { } }} }{ {{ { } }} }R. sobre vectorial espaciocontinua es R R : f / f K entonces continua, es f , R K , R X iii)R sobre vectorialespacio R b a, : f / f K R K y b a, X Si ii)R sobre vectorial espacio R R : f / f K R K y R X Si i)XXX = == = = == = = == = = == = = == = = == = = == = = == = = == = 1.6ESPACIO VECTORIAL DE MATRICESm x n a) Definicin. Sean m ,nenteros positivos fijos { } n j 1 , m i 1 / ) j i, ( X =donde i ,j son enteros ysea K = R,{ {{ { } }} } K X : f / f KX = == =

Si K X : f K fX R sobre mxn orden de matriz una es f ; f ) j , i f( ) j i (j i= Casos Particulares: m = 3, n = 2 entonces { }{ } ) 3,2 ( , ) 3,1 ( , ) 2,2 ( , ) 2,1 ( , ) 1,2 ( , ) 1,1 ( Xenteros j , i 2 j 1 , 3 i 1 / ) j , i ( X= =

3231221 2121 1Xf ) (3,2 f 3,2) (f ) 3,1 ( f ) 3,1 (f ) (2,2 f ) 2,2 (f ) 2,1 ( f ) 2,1 (f ) 1,2 ( f ) 1,2 (f 1,1) f( ) 1,1 (K X : f K f Si= = = = = = Luego se tiene: 3x233 32 3123 22 2113 12 11f f ff f ff f ff

=Ahora para:

= mn m2 m12n 22 211n 12 11f ... f f. . . .. . . .. . . .f ... f ff ... f ff : tiene se n j 1 y m i 1 b)Igualdad de Matrices. Sea f, g XK , entonces: ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 8

=

=mn m2 m12n 22 211n 12 11mn m2 m12n 22 211n 12 11g ... g g. ... . .. ... . .. ... . .g ... g gg ... g gg ,f ... f f. ... . .. ... . .. ... . .f ... f ff ... f ff

mn mn 12 12 11 11ij ijg f ..., , g f , g f : decir esn j 1 , m i 1 , g f g f= = = = = c) Suma de Matrices:

+ + ++ + ++ + += +mn mn m2 m2 m1 m12n 2n 22 22 21 211n 1n 12 12 11 11g f ... g f g f. . .. . .. . .g f ... g f g fg f ... g f g fg f d)Multiplicacin de un Escalar por una Matriz. entonces R Ky K f SeanX=

=mn m2 m12n 22 211n 12 11f... ff . . .. . .. . .f... ff f... ff f Luego el conjunto de todas las matrices de orden m x nsobre K =Rdenotadopor K X =R mxn est provisto de operaciones de suma(+ ) y producto (. ) . 2. SUBESPACIOVECTORIAL DEFINICIONSea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial Vy suponga que Hes en si un espacio vectorialbajolasoperacionesdesumaymultiplicacinporunescalardefinidasenV. Entonces se dice que H es un subespacio de V. TEOREMA 1.Un subespacio no vacoHde un espacio vectorialV es un subespacio de Vsise cumplen las dosreglas de cerradura:ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 9 Regla de Cerradura para ver si un subconjunto no vaco es un subespacio i) SiH xyH y , entoncesH. y x +ii) SiH x , entoncesH x para cada escalar. UnsubespaciopropiodeunespaciovectorialV esunsubespaciodeVdiferente de{0}y de V.EsteteoremademuestraqueparaprobarsiHesonoesunsubespaciodeV,essuficiente verificarque : X + Y yXestn en H cuando X y Yestn en Hy es un escalar Nota: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0 EstehechoconfrecuenciafacilitaraversiunsubconjuntodeVenparticularnoesun subespacio de V.Es decir, si un subconjuntono contiene al 0 , entonces no es un subespacio.Noteque el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector ceroen V. EJEMPLO 1. El subespacio trivial.Para cualquier espacio vectorialV , el subconjunto{ } 0 que consiste en el vectorcero nada ms es un subespacio ya que0+0= 0y0 = 0 para todo nmero real.Esto se llama subespacio trivial. EJEMPLO2.UnespaciovectorialesunsubespacioensmismoParacadaespacio vectorialV ,V es un subespacio de s mismo. SubespaciosPropios.LosprimerosdosejemplosmuestranquetodoespaciovectorialV contienen dos Subespacios ,{ } 0y V ( que coinciden siV ={ } 0). Es ms interesante encontrar otros Subespacios . Los Subespacios distintos a{ } 0y Vse llaman Subespacios propios. EJEMPLO3.UnsubespaciopropiodeR2.Sea{ } mx y : ) y x, ( H = = siHesun subespacio deR2, se ver que sies cualquier subespacio propio deR2 , entonces H consisteenelconjuntodepuntosqueestnsobrelaunarectaquepasaporelorigen;esdecir,un conjuntodepuntosqueestsobreunarectaquepasaporelorigeneselnicotipode subespacio propiodeR2. EJEMPLO 4.Otro subespacio propio deR3.Sean{ } reales t c, b, a, ; t c z , t b y , t a x : ) z y, x, ( H = = = =. Entonces H consiste en los vectores en R3que estn sobre una recta que pasan por el origen .Para ver si H es un subespacio de R3 , sea :H ) t c , t b , t a ( y y H ) t c , t b , t a ( x2 2 2 1 1 1 = = . Entonces: ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 10 [ ][ ] H ) t( c , ) t( b , ) t( a x H ) t t ( c , ) t t b( , ) t t a( y x3 2 12 1 2 1 2 1 = + + + = + :AsH es un subespacio deR3 2.1 OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES Si H1yH2 son subespaciosvectorialesde V, entonces: 1. H1 UH2 en general no es un subespacio vectorial. 2. H1 H2y H1 + H2 son subespacios vectoriales deV. 3. SiH = H1 +H2conH1 H2= { 0 }, entonces se dice que H es suma directade H1 y H2 y se denotaporH = 2 1H H . Obviamente, H = 2 1H H . Es un subespaciovectorial deV. EJEMPLOS 1.Dado los subespacios vectorialesde R3. ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } 0 z y / z , y , x W0 y x / z , y , x W3231= == = = == == == = + ++ + = == = Se pide: a)Calcular2 1 2 1 2 1W W y W W , W W + ++ + b)Determinarcualesdelostressubconjuntosanterioressonsubespacios vectoriales de 3 . c)Comprobar si se verifica que 32 1W W = == = . Solucin. a)Dado que( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } 0 z y / z , y , x W0 y x / z , y , x W3231= == = = == == == = + ++ + = == = se tiene por definicin de unin e interseccin de conjuntos ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } 0 z y , 0 y x / z , y , xW z , y , x y W z , y , x / z , y , x W W0 z y o 0 y x / z , y , xW z , y , x o W z , y , x / z , y , x W W32 132 132 132 1= == = = == = + ++ + = == == == = = == = = == = = == = + ++ + = == == == = = == = De acuerdo a la definicin, se tiene que: { {{ { } }} }22w y , 1 1 2 122 1W W w con w w u / u W W + ++ + = == = = == = + ++ +ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 11 Siendo en este caso 32 1W W = == = + ++ +En efecto, es claro que 32 1W W + ++ +y, por otra parte, 2 13W W + ++ + pues para cualquier( (( ( ) )) )3z , y , x existen vectores( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )2 2 2 2 2 1 1 1 1 1W z , y , x w y W z , y , x w = == = = == =tales que ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )2 2 2 1 1 1z , y , x z , y , x z , y , x + ++ + = == =En concreto basta considerar ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )2 2 2 21 1 1 1W x y , x y , 0 z , y , xW y x z , x , x z , y , x + ++ + + ++ + = == = = == = b)Elconjunto 2 1W W noesunsubespaciovectorialde 3 yaque,por ejemplo, los vectores( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )2 1W W 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 y, sin embargo, su suma ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 1 , 0 , 1 1 , 1 , 0 0 , 1 , 1 = == = + ++ + noesunelementode 2 1W W ,puesnisusprimerascomponentessuman cero, ni su segunda y tercera componentes coinciden. En el caso de 2 1W W ,para cualesquiera ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )2 2 2 1 1 1z , y , x v , z , y , x u = == = = == =pertenecientes a 2 1W W y , , se tiene que ( (( ( ) )) )2 1 2 1 2 1 2 1W W z z , y y , x x v u + ++ + + ++ + + ++ + = == = + ++ + pues como 2 1W W v , u , entonces 0 z y 0 y x0 z y 0 y x2 2 2 21 1 1 1= == = = == = + ++ += == = = == = + ++ + y, por tanto, ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 0 z y z y z z y y0 y x y x y y x x2 2 1 1 2 1 2 12 2 1 1 2 1 2 1= == = + ++ + + ++ + + ++ + = == = + ++ + + ++ += == = + ++ + + ++ + + ++ + = == = + ++ + + ++ + + ++ + As pues, 2 1W W es un subespacio vectorial de 3 . Finalmente, es obvio que 2 1W W + ++ +es tambin subespacio vectorial de 3 , ya que es el propio espacio vectorial 3 . ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 12 3. COMBINACION LINEAL DEFINICION Una combinacin lineal de los vectores n 2 1v ,..., v , ven un espacio vectorialV es una suma de la forma :n n 2 2 1 1v... vv+ + + , Donde:n ,...,2 ,1son escalares. EJEMPLO 1. Una combinacin Linealen R3en R3 ,

777 es una combinacin lineal de

421y

= == =

1354212777que ya135 EJEMPLO 2. Una combinacin linealen M23. EnM23:,6 3 22 1 025 1 14 0 133 9 18 2 3

+ ++ +

= == =

loquemuestraque

6 3 22 1 0y5 1 14 0 1de lineal n combinaci una es3 9 18 2 3 4. GENERADOR DEFINICION. SeaVunespaciovectorial,yv1,,vklosvectoresenV.Elconjuntodetodaslas combinacioneslineales de v1 ,, vk se llama generador dev1 ,, vk, y serepresenta conGen{ }K 1v ,...., vsedicequev1 ,, vk generaa V y que{ }K 1v ,...., v es unconjunto generador de V. En otras palabras: Se dice que los vectores n 2 1v ,..., v , ven un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede expresar como una combinacin lineal de n 2 1v ,..., v , v . ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 13 El conjunto generado por un conjunto de vectores k 2 1v ,..., v , ven un espacio vectorial V es el conjunto de combinaciones lineales de k 2 1v ,..., v , v . { {{ { } }} }k 2 1v ,..., v , v genes un subespacio de V. EJEMPLO.1 Demuestre que los vectores siguientes estnen Gen{ }2 1v , v . 0 , v1 ,v2,v1 +v2 , -2v1 SOLUCION. Cada uno de esos vectoreses una combinacin linealde v1 yv2,porque se puede escribir. 0= 0v1 +0v2 v1 = 1v1 +0v2v2= 0v1 +1v2 v1 +v2 = 1v1 + 1v2-2v1 = -2v1 +0v2

EJEMPLO 2. Esta-1+ x2en el generador dep = 1+ x + x3yq = -x- x2 -x3 en P3 ? SOLUCIN. Seana y b escalares tales que-1 + x2 = a(1+ x + x3) +b( -x -x2 -x3 ).Entonces-1 +x2 = a + ( a-b)x bx2 + ( a-b)x3 Igualandoloscoeficientesdelasmismaspotenciasdexseobtieneelsistema a-b = 0 ,-b = 1 , a-b = 0 ,a= -1 Cuya solucin es: a = b = -1 , por consiguiente , -1+ x2 = -p - q. Como -1+ x2es una combinacin lineal de p y q ,esta enen Gen{ } q p , .EJEMPLO 3. Demuestre que { } 1) , 1 , 1 ( 2), , 1 , 1 ( 1) , 2 , 1 ( genera a R3. Como:A =

1 2 11 1 21 1 1~

1 0 01 3 01 1 1 A tiene trespivotes. Por consiguiente, los vectores generan a R3. EJEMPLO 4.Determine el generador de { {{ { } }} } B , A , en M2 2 , donde: A =

0 00 1 B =

1 00 1 SOLUCIN. Cualquier combinacin de A y Bes una matriz diagonal: aA + bB = a

0 00 1+ b

1 00 1 =

+ ++ +b 00 b a ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 14 Por el contrario, cualquier matriz diagonal puede expresarse como una combinacin lineal deA y B, porque:

b 00 a = ( a + b)

0 00 1 - b

1 00 1 Portanto, Gen{ {{ { } }} } B , A= D2 es el conjunto de todas las matrices diagonales2x2. 5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. DEFINICION. Se dice que los vectores n 2 1v ,..., v , ven un espacio vectorial V sonlinealmente dependientes si existen escalares n 2 1c ,..., c , cno todos cero tales que: 0 v c ... v c v cn n 2 2 1 1= + + + Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente Independientes. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y slo si uno esun mltiplo escalar del otro. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente en nRgenera a nR . Un conjunto de n vectores en mRes linealmente dependiente si n > m. EJEMPLO 1. El conjunto{ {{ { } }} } C . B , A , es linealmente dependiente en M 2 2 porqueA = B + C. A =

0 21 1B =

2 00 1C =

2 21 0 EJEMPLO 2.. Demuestre que el conjunto{ }22 21 12 11E , E , E , Ees linealmente independiente en M22 Solucin. C1

0 00 1 + C2

0 01 0

+ C3

0 10 0 + C 4

1 00 0 =

0 00 0

4 32 1C CC C =

0 00 0 Por consiguienteC1 = C2 = C3 = C4 = 0. EJEMPLO3.Losconjuntos{ } { } 2x sen , x cos x sen y x cos , 2x cos , 12son linealmente dependientes en F (R ) , porque: R x x cos x sen 2 2x sen y 2x cos21.121x cos2 = + =ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 15 EJEMPLO 4.Determinacin de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en3R . Determinesilosvectores

710y022,321sonlinealmentedependienteso independientes. SOLUCION Supongamos que:

=

+

+

000710c022c321c3 2 1 Entonces multiplicando y sumando se obtiene:

=

++ +000c 7 3cc 2c 2cc 2 c3 13 2 12 1otambin: 0 c 7 c 30 c c 2 c 20 c 2 c3 13 2 12 1= += + = + , As los vectores sern linealmente dependientes si slo si el sistema tiene soluciones no triviales.Se escribe ste sistema usando una matriz aumentaday despus se reduce por renglones de.

0 ' 1 0 00 ' 0 1 00 ' 0 0 1es0 ' 7 0 30 ' 1 2 20 ' 0 2 1desteltimosistemade ecuacionessededuceque:0 c , 0 c , 0 c3 2 1= = = Porlotantonotiene soluciones no triviales y los vectores dados son linealmenteindependientes. EJEMPLO 5. Determinacin de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en R3. Determinesilosvectores

12611y403,031sonlinealmentedependienteso independientes. Solucin. La ecuacin

=

+

+

00012611c403c031c3 2 1 conduce al sistema homogneo: ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 16 = += = + +0 12c 4c0 6c 3c0 11c c 3 c3 23 13 2 1 Escribiendo este sistema en forma de matriz aumentada y reduciendo por renglones se obtiene.

0 ' 0 0 00 ' 3 1 00 ' 2 0 10 ' 12 4 00 ' 3 1 00 ' 11 3 10 ' 12 4 00 ' 27 9 00 ' 11 3 10 ' 12 4 00 ' 6 0 30 ' 11 3 1 Quiere decirque el sistema resuelto tiene un nmero infinito de soluciones. Por ejemplo la ltima matriz aumentada se lee: = += +0 3c c0 2c c3 23 1

Si se hace c3=1, se tiene quec2=-3 yc1= -2, de manera que, como puedeVerificar:

=

+

0001261140330312y los vectores son linealmente dependientes. 5.1INTERPRETACION GEMETRICA DE LA DEPENDENCIA LINEAL EN3R Tres vectores en3Rson linealmente dependientes si y slo si son coplanares. Esta figura ilustra este hechousando los vectores en el ejemplo 4 y5. (0, 1, 7)(11, -6, 12) (1, -3, 0) (3, 0, 4) (1, -2, 3) (2, -2, 0) 0 0 xx y z b) Estos tres vectores sondependientes y a) Estos tres vectores son independientes y no y z ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 17 6.BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICION Un conjunto de vectoresS ={ n 2 1v ,..., v , v } es una base para un espacio vectorial V si i.{ }n 2 1v ,..., v , ves linealmente independiente. i i. { }n 2 1v ,..., v , vgenera a V. Esto esV = L { S } En otras palabras. Una base es un sistema libre de generadores: B ={ } ) Z , Z , Z ( , ) Y , Y , Y ( , ) X , X , X (3 2 1 3 2 1 3 2 1 Un vector tiene de coordenadas con respecto a la base: U1 = a1 . X1+a2 . Y1+a3 . Z1 U2 = a1 . X2+a2 . Y2 + a3 . Z2 U3 = a1 . X3+a2 . Y3+a3 . Z3 EJEMPLO 1. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en nRes una base en nR . La Base cannica en nRconsiste en n vectores |||||||.|

\|=|||||||.|

\|=|||||||.|

\|=|||||||.|

\|=1000e , . . . ,0100e ,0010e ,0001e...n...3...2...1 EJEMPLO 2 Dado:W =( ) { } y x w z / R w z, y, x,4+ = + , hallar una base de W. Solucin. 1) . En primer lugar , de la ecuacin z + w = x + y , despejar una de las variables , por ejemplo w :w = x + y-z. 2). En segundo lugar , reemplazarw en el vector (x ,y ,z ,w) : (x, y, z, w) = (x, y, z, x + y-z) 3). Descomponer:=x(1,0,0,1)+y(0,1,0,1)+ z(0,0,1,-1) 4). Luego el conjunto de vectores ={ (1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,-1) } es una base de W. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 18 TEOREMA 1. Si{ }n 2 1v ,..., v , v esunabasedeVyvV,entoncesexisteunconjuntonicodeescalaresn 2 1 ,...,, tales que: n n 2 2 1 1v.... vvv + + + =Dicho de otra forma: si{ }n 2 1v ,..., v , v es una base de V, entonces todo vector vV, se puede expresar de una nicaforma como combinacin linealde n 2 1v ,..., v , v. PRUEBA La unidad de los escalares ise prueban suponiendo que existenotros escalares iY probar que i i i, = == =Veamos: 1).Por hiptesis se tiene que{ {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , v es una base de Vpor tanto{ }n 2 1v v v ,..., ,generaV . Luego , sin n 2 2 1 1 iv.... vvv / KV v + + + = 2).Supongamos que existen otros escalares i , tal que: n n 2 2 1 1v.... vvv + ++ + + ++ + + ++ + = == =3).Restar(1)-(2) :n n n 1 1 1)v( .... )v( v v + ++ + + ++ + = == =

n n n 1 1 1)v( .... )v( 0 + ++ + + ++ + = == = 4). Pero los visonlinealmente independientes entonces : 0..... , 0 , 0n n 2 2 1 1= == = = == = = == = n n 2 2 1 1,...., , = == = = == = = == = TEOREMA 2. Si{ {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , v y{ {{ { } }} }m 2 1u ,...., u , u son bases del espacio vectorial V , entoncesn= m. Este teorema nos dice que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V contienen el mismo numero de vectores . Demostracin La demostracin es por reduccinal absurdo. S1= { {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , vy{ {{ { } }} }4 3 4 2 14 4 4 3 4 4 4 2 1TESISHIPOTESISn ,..., 3 2 , 1 2m n V DE BASES DOS SON u u , u u S = == = = == =ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 19 Considerando: P1 :S1 es una base de V P2 : S2 es una base de V q: n =m El teorema es :P1 P2q El mtodo del absurdo es:~q P2~P1

Ahora, las hiptesis son: ~q : n mn>mm> n. P2: S2 ={ }m 2 1u ,...., u , ues una base deV. Como P1 r1 r2

)`nte independie e linealment es S : rV a genera S : r21 1 Debo provar que~qP2 implica P1. Veamos Sin>mS2={ {{ { } }} }m 2 1u ,...., u , u esunabasedeV,entoncesS1= { {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , v esun conjunto de vectores linealmente dependientes. Si se prueba queS1= { {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , ves un conjunto de vectores linealmente dependientes, el teorema queda demostrado. Empecemos: 5)Cada vector deiVde1Ses combinacin lineal deS2 ={ {{ { } }} }m 2 1u ,...., u , u , as: m 1m 2 12 1 11 1u a .......... .......... .......... .......... u a u a V + ++ + + ++ + + ++ + = == = m nm 2 n2 1 n1 nm 2m 2 22 1 21 2u a .......... .......... .......... .......... u a u a V...u a .......... .......... .......... .......... u a u a V+ ++ + + ++ + + ++ + = == =+ ++ + + ++ + + ++ + = == = 2). Para afirmar queS1= { {{ { } }} }n 2 1v ,..., v , ves l.d. debo hallar escalares n 2 1c ......, , c , c no todos cero, tal que: ( (( ( ) )) ) = == = + ++ + + ++ + + ++ + 2 ..... ..........v c ....... .......... v c v cn n 2 2 1 1 3). Sustituir1)en2): ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 20 ( ) ( ) ( )u a ..... u a c ... u a ..... u a c u a ..... u a cm nm 1 n1 n m 2m 1 21 2 m 1m 1 11 1= + + + + + + + + +( ) ( ) ( )u c a ..... c a ... u c a ..... c a u c a ..... c a c am n mn 1 1n 2 n n2 2 12 1 1 ni 2 21 1 11= + + + + + + + + + +Como { }m 2 1u ,...., u , u son i l. , entonces: ( )= + + += + + += + + + c a ..... c a c a.. c a ...... c a c a c a ..... c a c a4n mn 2 2n 1 1n1 n n2 2 22 2 121 ni 2 21 1 11 Las incgnitas son:n 2 1c ......, , c , c . Elsistema(4)esunsistemadeecuacioneshomogneasdemecuacionesconn incgnitasn 2 1c ......, , c , c. 5)comom n , ,, , (elnmerodeincgnitasesmayorqueelnmerodeecuaciones),el sistema (4) tendr infinitas soluciones siempre que el sistema sea compatible. Por tanto, existen escalares n 2 1c ......, , c , cno todos cero que satisface( (( ( ) )) ) 2 . l.q.q.d TEOREMA 3.Existencia de la base. Todo espacio vectorial tiene almenos una base. 7.DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICION Si un espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es el nmero de vectores en cada base y V se llama un espacio vectorial de dimensin finita.De otra manera V se llama espacio vectorial de dimensin infinita.Si V= { 0 } , entonces se dice que V tiene dimensin cero. La dimensin de V seexpresa :. dim ( V )= n Si H es un subespacio del espacio de dimensin finita V, entonces dim H dim V. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 21 COROLARIO.Sea H un subespacio de un espacio vectorialVsobre Kentonces se verifica que:H dim V dim H V = =EJEMPLOS. 1)dim R2 = 2 2)dim R3 =3 3)dim Rn = n 4)dimM mn=mn,Mmn ,eselespaciovectorialdelasmatricesdemfilasporn columnas . 5)SeaV=P nelespaciovectorialdelospolinomiosdegradonconcoeficientes reales. Una base dePnes{ }n 2x ......, , x , x , 1 , por lo tantodim Pn = n +1 6)dim Q R =, cuandoR es un espacio vectorial sobreQ . 7)Halle una baseen R3 para el conjunto de vectores que estn en el mismo plano2x y z= 0. Solucin.Segn el problema tenemosel subespacio. W = {(x,y,z) R3 / 2x-y-z = 0} , hallemos una base de W : 1. Despejar Z de 2x-y-z =0 :z = 2x y2. Sustituirz= 2x yen (x,y,z) : ( x,y ,z )= (x, y,2x y) = x (1, 0 ,2) + y (0, 1, -1) 3.Una base de W es: (1, 0, 2), (0, 1, -1) 4.Como la basetiene2 vectores,entonces afirmamosque : dim W = 2. Los nicos subespacios propios de 3Rson los conjuntos de vectores que estn en una recta o en un plano que pasa por el origen. EJEMPLO8.Una base para el espacio de solucin de un sistema homogneo. Encuentre una base y la dimensin para el espacio de solucinSdel sistema homogneo. x +2y-z=0 2x-y+ 3z =0 Solucin. Aqu .3 1 21 2 1A

= Como A es una matrizde 2x3, Ses un subespaciodeR3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 22

0 ' 1 1 00 ' 1 0 10 ' 1 1 00 ' 1 2 10 ' 5 5 00 ' 1 2 10 ' 3 1 20 ' 1 2 1 Entoncesy=z,x =-zde manera que todas las soluciones son de la forma :

111as ,zzz es una base para S y dim S =1 . Observe que Ses el conjuntode vectores que estnen la recta x=-t , y =t, z = t. EJEMPLO 9. Una base para el espacio de solucin de un sistema homogneo. Encuentre una base para el espacio de solucin Sdelsistema. 2x y +3z= 0 4x -2y +6z= 0 -6x +3y -9z= 0 Solucin. Reduciendo renglones se tiene:

0 ' 0 0 00 ' 0 0 00 ' 3 1 20 ' 9 3 60 ' 6 2 40 ' 3 1 2 Slo queda la ecuacin: 2x y+3z= 0.EntoncesS es un plano y la base es:

130y021, y dim S = 2. EJEMPLO 10. Sea2R V = == = un espacio vectorial sobre R K = == = . Sea ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) d , c y b , a u = == = = == = vectores de v, tal que ad-bc 0. Probar que uyv constituyen una base de v. Demostracin. Debo probar 2 cosas: 1)Que los vectoresuyvson i . lDebo probar que ( (( ( ) )) ) 0 , 0 u = == = + ++ + implica0 , 0 = == = = == = Veamos: Supongamos que ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 0 , 0 d , c b , a = == = + ++ + ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 0 , 0 d b , c a = == = + ++ + + ++ + ( (( () )) )( (( ( ) )) ) = == = + ++ += == = + ++ +2 .. .......... 0 d b1 .. .......... 0 c a ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 23 = == = + ++ += == = = == = + ++ += == = + ++ +0 d c c b0 d c d a0 d b0 c a = == = + ++ += == = = == = + ++ += == = + ++ +0 d a b a0 c b b a0 d b0 c a ( (( ( ) )) ) 0 c b d a0 c b d a= == = = == =

( (( ( ) )) ) 0 d a c b0 d a c b= == = = == = peroad - bc O segn hiptesis,por -1:( (( ( ) )) ) 0 c b d a = == = entonces como:ad - bc 0 como 0 = == = ,0 = == = implica que u y v son i . l2. Ahora debo probar que los vectoresu y vgenerana R2 Veamos : Sea (x,y)un vector cualquierade V= R2 , debo probar que el vector (x,y) sea una combinacin lineal deuyv. Es decir :( x , y ) = mu + nv,m R , n R. = m( a, b ) + n ( c, d) donde los escalaresm y n son nicosy deben estar expresadosen funcin de x e y. ( x , y ) = (ma + nc , mb + nd ) = == = + ++ += == = + ++ +y nd mbx nc ma Resolviendo el sistema :

n = bc adbx ay m =bc adcy dx 0 = == = ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 24 8. DIMENSION DE LA SUMA TEOREMA. SeanU y W dos subespacios de ( V,+, K, .) y la dimensin de V es finita , entonces se verifica que : ) W U ( dim W dim U dim ) W U ( dim + ++ + = == = + ++ + AFIRMACION.Elconjunto{ {{ { } }} }r q 1 r p 1 r 2 1w , ... , w , u , ... , u , v , ... , v , v esuna base paraU + W. EJEMPLO.Determinarladimensindelasumadelossiguientessubespaciosde) . , , R (3+ ,{ } { } 0 z x / R ) z y, x, ( W y 0 z y x / R ) z y, x, ( U3 3= = = + =SOLUCION. Como:) W U ( dim W dim U dim ) W U ( dim + = +Calculando una base paraU , si (x,y,z)Uentonces x + y-z =0 z = x + y Luego (x,y,z)= (x,y,x+y )= ( x,0,x ) + ( 0,y,y ) = x ( 1,0,1 )+y( 0,1,1 ) Como {( 1,0,1 ), ( 0,1,1 )}es linealmente independiente entonces{( 1,0,1 ),( 0,1,1 )} es una base de U de dondedim U = 2. Calculando una base para W ,si (x,y,z)Wentonces x z = 0 z = xLuego (x,y,z)= (x,y,x )=x ( 1,0,1 )+y( 0,1,0 ) Como {( 1,0,1 ), ( 0,1,0 )}es linealmente independiente entonces{( 1,0,1 ),( 0,1,0 )} es una base de W de dondedim W = 2. CALCULANDO UNA BASE PARA W U Si=== = + x z0 y0 z x0 z y xW U ) z y, x, ( { } 1 W U dim W U de base una es (1,0,1) Luego(1,0,1) x x) (x,0, z) y, (x, W U ) z y, x, ( Si= = = Por lo tantose tiene: 3 1 2 2 W) dim(U dimW dimU W) (U Dim = + = + = + dim (U+W)=3. 9. DIMENSION DE LA SUMA DIRECTA SiUy W son dos subespacios del espacio vectorial( V,+, k , . ).Si{ }W U = (conjuntos disjuntos) entonces: W. dim U dim ) W U ( dim + = ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 25 Es decir que la dimensin de la suma directa es igual a la suma de las dimensionesde U y W. En este caso { }W U = entonces 0 ) W U ( dim = TEOREMA. Sea V un espacio vectorial sobre k de dimensin finita, si Wes el subespacio propio de V , entonces : dim dim dim = |.|

\|VWVW EJEMPLO 1.Sea3R V = == =y sea Wel subespacio generado por ( (( ( ) )) ) 0 , 0 , 1 y seaU el subespacio generado por( (( ( ) )) ) 0 , 1 , 1 y ( (( ( ) )) ) 1 , 1 , 0 . Demostrar que Ves la suma directa deWyU. Prueba. Se tiene que { L W = ( (( ( ) )) ) 0 , 0 , 1} y { {{ { L U= == = ( (( ( ) )) ) 0 , 1 , 1,( (( ( ) )) ) 1 , 1 , 0 } Debo probar que . U U V = == =Para ello bastara que ( (( ( ) )) ) } }} } { {{ { 0 , 0 , 0 U W = == = Veamos: 1)( (( ( ) )) ) U W U W sea 2)( (( ( ) )) ) 0 , 0 , 1 W si = == = ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 1 , 1 , 0 0 , 1 , 1 U si2 1 + ++ + = == = debe cumplirse que = == = = == = = == =2, De (2) obtenemos = == = ( (( ( ) )) ) 0 , 0 , 1 =( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 1 , 1 , 0 0 , 1 , 12 1 + ++ + ( (( ( ) )) ) 0 , 0 , =( (( ( ) )) )2 2 1 1 + ++ + + ++ + + ++ +

== +=

22 11 Al resolver, obtenemos === 12 ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 26 Luego( (( ( ) )) ) , , 1 = == = ( (( ( ) )) ) , , = == = Lo cual implica que( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } 0 , 0 , 0 U W = == = Por tanto:{ {{ { L = == = ( (( ( ) )) ) 0 , 0 , 1 , ( (( ( ) )) ) 0 , 1 , 1,( (( ( ) )) ) 1 , 1 , 0 } Y . U dim W dim 3 dim + ++ + = == = = == = 10.RANGO,NULIDAD,ESPACIODELOSRENGLONESY ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ Sea A una matriz de m x ny sea: El espacio nulo de una matriz A de n x n es el subespacio de nRdado por { } 0 Ax : R x NnA= = DEFINICION 1.Espacio nulo y nulidad de una matriz. NA sellama espacio nulo de Ay v(A) = dim NAse llama nulidad de A . Si NA contiene slo al vector cero , entoncesv(A) = 0. Nota.El espacio nulo de una matriztambin se conoce como KERNEL. EJEMPLO 1.Espacio nulo y nulidad de una matrizde 2x3 . Sea.3 1 21 2 1A

= == = Entonces ,como se vio en un ejemplo anterior (8)NA estgenerado por

111 ,yv(A)=1 EJEMPLO 2.Espacio nuloy nulidad de una matrizde 3x3 . Sea

= == =9 3 66 2 43 1 2A .Entonces porel ejemplo 9 (anterior) ) )) ) ` `` `

130,021 Es unabase paraNAyv(A) =2. TEOREMA.SeaA una matrizden x n. EntoncesAes invertiblesi y slo si v(A) =0. Demostracin.La demostracin queda comomisin para el alumno. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 27 DEFINICION 2.IMAGEN DE UNA MATRIZ. SeaAuna matrizm x n . Entonces laimagen de A , denotada por imagenA, esta dada por : Imagen A ={ {{ { } }} }n mR x alguna para y Ax : R y = == = DEFINICION 3.RANGO DE UNA MATRIZ. Sea A una matriz m x n . Entoncesel rango de A , denotado por) ( A , est dado por : A imagen A dim ) ( = DEFINICION 4.ESPACIO DE LOSRENGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ. SiAesunamatrizdemxn,sean{ }m 2 1r ..., , r , r losrenglones(Filas)deAy{ }n 2 , 1c , ... , c clas columnas de A .Entonces se define: { }{ }n 2 1 Am 2 1 Ac , ... , c , c gen A de columnas las de espacio Cr , ... , r , r gen A de renglones los de espacio R= == = TEOREMA 3. Para cualquier matriz A ,CA =imagenA.Es decir , la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas. TEOREMA 4.Si A es una matrizm x n , entonces: ) A (A imagen dim C dim R dimA A= = = TEOREMA 5.Si Aes equivalente por renglonesa B, entonces ) B ( v ) A ( v y , ) B () A (, R RB A= = = TEOREMA6.El rango de unamatrizes igualal nmero de pivotesensu forma escalonada por renglones. TEOREMA 7.SeaA una matriz m x n.Entonces: n ) A ( v ) A (= +Es decir, el rango deA ms la nulidad de Aes igual al nmero de columnas de A. TEOREMA 8.SeaA una matriz de n x n.EntoncesA es invertible siy slo sin ) A (=ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 28 DEMOSTRACION. Porteorema1,Aesinvertiblesiyslosiv(A)=0.Peroporelteorema7, ) A ( v - n ) A (= .As, A es invertible si y slo si n 0 n ) A (= = TEOREMA 9.ElsistemaA x=b tiene al menos una solucin si y slo siAC b Esto ocurrirsi y slo si Ay la matriz aumentada( A , b )tiene el mismo rango. 11. VECTORES DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE DEFINICION. Sea V un espacio vectorialde dimensiones finitascon base { }n 2 1v , ... , v , v B =. Para cada V v , existen escalaresnicosn 1c , ... , c tales que : n n 1 1v c ... v c v + + =El vector cuyos componentes son los coeficientes dev , expresado como[ ] Bv , se llama(Vector de coordenadas o vector coordenado) de v con respectoaB. [ ] Bv =

n1c...c [ ] Bvse modifica cuandocambia la baseB.Tambin[ ] Bv depende delorden de los elementos deB . Mantendremos fijo este orden usando siempre una base ordenada. OBSERVACION. Si ) a , ... , a ( an 1= es un vector n y { }n 1e , ... , e B =es unabase estndar de nR ,entonces: [ ] aa...aan1B=

=Porque a =n n 1 1e a ... e a + + . EJEMPLO 1. S e tienela base { }3R de ) 1,1,1 ( , ) 1,1,0 ( , ) 1 1,0, ( B =y el vectorv = (2, -3, 4). a)Determine [ ] BvESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 29 b)Calcule el vectorwsi[ ]

=236wB. SOLUCION. a)[ ] Bvtiene como componentesa los escalares 3 2 1c , c , c tal que: ) 1,1,1 ( c ) 1,1,0 ( c ) 1 1,0, ( c ) 3,4 2, (3 2 1+ ++ + + ++ + = == = Lo cual implica que . 1 c , 4 c , 3 c3 2 1= == = = == = = == =De aqu, [ [[ [ ] ]] ]Bv=

143 b)Debido a que los componentes de [ [[ [ ] ]] ]Bw son :6 , -3 , 2 ,wse expresa como w =6 (1,0,-1 )- 3 (-1,1,0 )+ 2 (1,1,1 )= ( 11, -1, -4 ) EJEMPLO 2. Determine el vector coordenadodev =( a, b, c ) en3Rcon respecto a{ {{ { } }} }3 2 1v , v , v B = == = , donde: 2 3 1 2 3 1e v , e v , e v = == = = == = = == =SOLUCION. Los componentesde [ [[ [ ] ]] ]Bv,son escalares 3 2 1c , c , c talesque ) c , c , c ( e c e c e c v c v c v c ) c b, a, (1 3 2 2 3 1 2 3 1 3 3 2 2 1 1= == = + ++ + + ++ + = == = + ++ + + ++ + = == =por consiguiente , c c , a c , c c3 2 1= == = = == = = == =. Entonces: [ [[ [ ] ]] ]

= == =bacvB TEOREMA 1. Sea{ }n 1v , ... , v B = unabasedeunespaciovectorialVdedimensinfinita.Sean m 1u , .... , u , uvectores en V.Entoncesues una combinacin lineal de m 1u , .... , uen V, si y slo si [ ]Bues una combinacin lineal de[ ] [ ]nB m B 1R en u , ... , u. Adems, para los escalares m 1c , ... , cESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 30 m m 1 1u c ... u c u + + =si y slo si:[ ] [ ] [ ]B m m B 1 1 Bu c ... u c u + + = TEOREMA 2. SeaBunabasedeunespaciovectorialndimensionalV.Entonces{ }m 1u , .... , u es linealmenteindependienteenVsiyslosi{[ ] [ ] }B m B 1u , ... , u eslinealmente independiente ennR TEOREMA 3. CAMBIO DE BASE. Sean{ }n 1v , ... , v B = y{ } n'1' 'v , ... , v B= dosbasesdeunespaciovectorialde dimensin finita . Sea P la matrizn x ncuyas columnas son [ ] [ ] ' 'B n B 1v , ... , v . P = [[ ] [ ] ' 'B n B 1v , ... , v] EntoncesPes invertible y sta es la nicamatriz en la que para todo V v [ ] [ ]BBv P v'=

DEFINICION. MATRIZ TRANSICION La matriz Pdel teorema3sedenominamatriz transicin( o matriz de cambio de base )deBa B EJEMPLO.Sea Bla base estndar de2R, y'B la base { } ) 1,1 ( , ) 1,1 ( B' = . a) Calcular la matriz de transicinP de'B a B . b)Determinela matriz de transicin de B B'. c) Compruebela relacin [ ] [ ]'v P'vB B= parav =( 4,-2 ). SOLUCION. a) P es la matriz cuyas columnas son[ ] [ ]B 2 B 1e e ,. Para[ ]B 1ese necesitan escalares C1, C2 tales que

+

=

=11c11c01e2 1 1 ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 31 La solucin del sistema que resulta es[ ]

= = =2121e aqui, De .21c ,21cB 1 2 1 De igual manera, para[ [[ [ ] ]] ]B 2enecesitamos los escalares C1, C2 tales que

+ ++ +

= == =

= == =11c11c10e2 1 2 Al resolver el sistema resultante se obtiene [ [[ [ ] ]] ]

= == = = == = = == =2121e te, consiguien Por .21c ,21cB 2 2 1 En vista de lo anterior, la matriz de transicin es

= == =21212121P (b) la matriz de transicin de B a B es P-1, segn el corolario 21. Entonces,

= == =

= == = 1 11 121212121P11 (c) El vector coordenado [V]Bse puede determinar en dos formas distintas; usando P, [ [[ [ ] ]] ]

= == =

= == =312421212121V PB o directamente a partir de B , calculando C1, C2 tales que

+ ++ +

= == =

11c11c242 1 al resolver el sistema se obtiene C1=1, C2=- 3. Por tanto,[ [[ [ ] ]] ]

= == =31VB' en cada caso. ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 32 12.CUESTIONES TERICAS. CUESTIN 1Un conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales es L. D.? Razona la respuesta. CUESTIN 2Un conjunto de vectores L. I ., puede contener dos vectoresproporcionales?Razona la respuesta. CUESTIN 3Seancuatrovectorescualesquieranonulosydistintosentres. Sientonces se verifica que rango(M)=3.(a) Verdadero, ya que rango(M)=mximo nmero de vectores linealmente independientes de M = dim R3 =3.(b) Falso, en general slo puede afirmarse que.(c) Falso, ya que si consideramos los vectores se tiene que rango(M)=2.(d) Falso, pues podra suceder que rango(M)=4.CUESTION 4.SeaW un subespaciovectorial deRn y una base deW. Entonces severificaque el vector pertenece al subespacio W y sus coordenadas respecto de la base B son (1,-1).(a) Falso, ya que aunque al ser W un subespacio vectorial, no podemos determinar sus coordenadas pues desconocemos las componentes de los vectores(b) Falso, ya que si consideramos el subespacio vectorial y la base de W se tiene que(c) Verdadero, pues el vector ya que W es un subespacio vectorial y adems por definicin las coordenadas deen la base B son los escalares que satisfacen

ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 33 CUESTIN 5SeaunsistemadevectoreslinealmentedependientesdeR3. Si(elsubespaciovectorialgeneradoporlostresprimerosvectores) entonces es una base de R3.(a)Falso.ElenunciadoseraciertosiSfueraademsunsistemageneradordeR3.(b)Falso,lostresprimerosvectorespuedenseguirsiendolinealmentedependientes.(c)Verdadero.Elprocedimientoparaconstruirunabaseeseliminarelvectorquesea combinacin lineal de los dems.

CUESTIN 6.Sea W el subespacio vectorial de R3 generado por el siguiente conjunto de vectores:G = {(1,2,1),(0,1,0),(1,0,-1),(1,1,-1)}. Entonces W = R3.(a) Verdadero, pues B={(0,1,0),(1,0,-1),(1,1,-1)} es una base deWy por tanto, comoW es un subespaciodeR3ydimW=3,entoncesseverificaqueW=R3.(b)Falso,puesGgeneraunsubespaciovectorialdedimensin4ydimR3=3.(c)Verdadero,puesB={(1,2,1),(0,1,0),(1,0,-1)}esunabasedeWyportanto,dimW=3.Y como W es un subespacio de R3, entonces se verifica que W = R3 CUESTION 7SeaWunsubespaciovectorialcualquieradeRn,yunvectornonulo.Entoncesel vector verifica quedondees el producto escalar.(a)Falso,yaqueyenunsubespaciovectorialnoestdefinidalaoperacinde dividirunnmeroporunvector.(b) Verdadero, pues y, por tanto,.(c) Falso, ya que podra ser nulo y, en consecuencia, no estara definido el vector

CUESTION 8ConsideremoselconjuntodevectoreslinealmenteindependientedeR2formadopor. Sea y Entonces se puede asegurar que:(a) forman una base de R2.ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 34 (b) forman una base de R2

(c) no forman una base de R2, ya que no sabemos si son un sistema de generadores de este espacio.(d)forman una base de R2. CUESTION 9SeaunsistemageneradordeunsubespaciovectorialWtalquedimW=2. Entonces se verifica que se puede escribir como combinacin lineal de los vectores y(a) Verdadero, pues M es un conjunto linealmente dependiente, lo que significa que cada vector se puede expresar como combinacin lineal de los restantes.(b) Falso, ya que si consideramos los vectores y se tiene que M es un sistema generador de W =R3 y, sin embargo, no puede expresarse como combinacin lineal de y(c) En general es falso, aunque sera cierto si los vectores y no son proporcionales (es decir, para todo). CUESTION 10.Seantresvectores.Entoncessi,sepuedeasegurarque forman una base de R2.(a) Verdadero pues todo vector de R2 se puede escribir como combinacin lineal de dos vectores deR2.(b) Verdadero, ya que en R2 tres vectores son siempre linealmente dependientes, y por tanto dos vectoresdedichoespaciosiempresonlinealmenteindependientes.(c) Falso, pues no podemos garantizar que R2 est generado por y(d)Falso,puesdelaecuacinsededucequeyportanto depende linealmente deluego B no puede ser l. i. CUESTION 11.Sean cuatro vectores tales que. Consideremos. Entonces podemos asegurar que ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 35 (a)LosvectoresformanunsistemadegeneradoresdeW.(b)LadimensindelsubespaciovectorialWes2.(c)Sisonlinealmenteindependientes,entoncesformanunabasedeW.(d) Si son linealmente independientes, entoncesforman una base de W. CUESTION 12.SeandossubespaciosvectorialesdeR3.Sisonun conjunto de vectores L. I . Entonces:(a)es una base del subespacio(b) es una base del subespacio(c)(d) No podemos asegurar que la dimensin del subespaciosea 3, pues puede suceder que sea un vector proporcional aCUESTION 13Dado W un subespacio vectorial de Rn, y sea el subconjunto. Entonces, se verifica que W2 es un subespacio vectorial de Rn.(a)Falso,elconjuntoW2noesunsubespaciovectorialpuesparacualquiersetiene que(b)Verdadero,W2esunsubespaciovectorialpuessiy para , se tiene que para cualesquiera por lo que, al ser W subespacio vectorial se tiene que y, enConsecuencia.(c)Verdadero,dadoquealserWsubespaciovectorial,setienequepara caday, en consecuencia W = W2. CUESTION 14.ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 36 Seantresvectorescualesquieratalesque,Entonces,severifica que es una base de R3.(a) Falso, pues las hiptesis del enunciado no garantizan que el conjuntosea linealmente independiente. Por tanto, B no puede ser un base de R3.(b) Verdadero, ya quees un sistema generador de R3 y, como dimR3=3, todo conjunto formado por tres vectores que sea sistema de generadores de R3 es tambin un conjunto linealmente independiente. Y en consecuencia, B es una base del mismo.(c) Falso, el conjuntopuede no ser un sistema de generadores de R3. CUESTION 15Sea el subespacio vectorial W = L {(1,0,3),(1,1,0),(-1,1,-2)}. Entonces podemos afirmar que: (a) {(1,3,0),(1,1,1),(-1,1,-2),(1,5,-1)} es un sistema de generadores de W.(b) La dimensin de W es 3.(c) {(1,3,0),(1,1,0)} es una base de W.(d) El rango de W es 2 y por tanto la dimensin de W es 2. SOLUCIONARIO Solucin a la cuestin 1 . SI, pues considerando la ecuacin a u + b u = 0resulta que existen valores para a y b no nulos que satisfacen la ecuacin.Solucin a la cuestin 2. NO, pues en ese caso seran L. D . Solucin a la cuestin 3. B ,C Solucin a la cuestin 4. C Solucin a la cuestin 5. A y B Solucin a la cuestin 6. C Solucin a la cuestin I-7B Solucin a la cuestin 9. B y C Solucin a la cuestin 10. C Solucin a la cuestin 11. A ,C y D Solucin a la cuestin 12. A y C Solucin a la cuestin 13. B y C Solucin a la cuestin 14. A y C Solucin a la cuestin 15. A y B 13. SOLUCION DE PROBLEMAS DE ESPACIOS VECTORIALES UTILIZANDO SOFWARE DERIVE PROBLEMA 1.Una compaa constructora almacena tres mezclas bsicas A, B y C. Las cantidades se miden en gramos y cada "unidad" de mezcla pesa 60 gramos. Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas bsicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas bsicas. La composicin de stas es:ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 37 ABC Cemento201812 Agua101010 Arena202515 Grava10515 Tobas028 a.Esposiblehacerunamezclaqueconsisteen1.000g.decemento,200g.deagua, 1.000 g. de arena, 5000 g. de grava y 300 g. de tobas? Por qu se puede o por qu no?. Sisepuede,cuntasunidadesdecadamezclabsicaA,ByCsenecesitanpara formular la mezcla especial?b.Supngase que se desean hacer 5.400 g. de argamasa de manera que contenga 1.350 g. de cemento, 1.675 g. de arena y 1.025 g. de grava. Si la razn de agua a cemento es de 2 a 3, qu cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5.400g. de argamasa? Se puede formular esta masa como una mezcla especial? Si es as, cuntas unidades de la mezcla A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial? SOLUCION AL PROBLEMA 1 "Las tres mezclas bsicas son" "la de tipo A que podemos representar por el vector" mezcla_ a:=[20,10,20,10,0] "la de tipo B que podemos representar por el vector" mezcla_b:= [18,10,25,5,2] "y la mezcla de tipo C que podemos representar por el vector" mezcla_ c:=[12,10,15,15,8] "(a)" "En el enunciado del problema, se afirma que las" "mezclas especiales posibles pertenecen al espacio" "generado por los tres vectores que representan" "las tres mezclas bsicas. Por tanto en este" "apartado tenemos que intentar ver si el vector" "de la nueva mezcla, llammoslen" ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 38 n:=[1000,200,1000,500,300] "es combinacin lineal de los vectores iniciales" "mezcla_ a, mezcla_b y mezcla_ c, es decir" "hay que intentar ver si existen valores a,b,c" "tales que" n=a*mezcla_ a+b*mezcla_b+c*mezcla_c "simplificando la expresin anterior resulta" ;Simp(#23) [1000=20*a+18*b+12*c,200=10*a+10*b+10*c,1000=20*a+25*b+15*c,500=10*a+5*b+15*c,~ 300=2*b+8*c] "si intentamos resolver este sistema con SOLVE" "obtenemos el mensajeNO SOLUTION FOUND" "lo cual quiere decir que no es posible obtener la mezcla" "pedida a partir de las tres mezclas bsicas." "b)" "Ahora lo que se desea obtener es:" "CEMENTO:1350 g." "AGUA.no nos da la cantidad pero indican que la razn" " de agua cemento es de 2 / 3, es decir" x/1350=2/3 "resolviendo" ;Solve(#35) x=900 "Por tanto AGUA: 900 g." "ARENA 1675 g." "GRAVA: 1025 g." "TOBAS:no nos da la cantidad pero como el total de" "argamasa es de 5.400entonces restando" ESPACIOS VECTORIALES ING.CARLOS GARCIA CORTEGANO 39 " las cantidades anteriores tenemos" ;User=Simp(User) 5400-(1350+900+1675+1025)=450 "por tanto TOBAS: 450 g." "A la pregunta de si esta mezcla se puede obtener" "debemos plantear la nueva mezcla, llammoslam" m:=[1350,900,1675,1025,450] "veamos nuevamente si este vector se puede escribir" "como combinacin lineal de las tres mezclas" m=a*mezcla_a+b*mezcla_b+c*mezcla_c "simplificando" ;Simp(#51) [1350=20*a+18*b+12*c,900=10*a+10*b+10*c,1675=20*a+25*b+15*c,1025=10*a+5*b+15*c~ ,450=2*b+8*c] "resolviendo" ;Solve(#53) [a=15,b=25,c=50] "luego necesitaremos" "15 unidades de la mezcla A" "25 unidades de la mezcla B" "50 unidades de la mezcla C" PROBLEMA 2.SeaP