algebra lineal
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MATRIZ: es una arreglo rectangular de números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnasTRANSCRIPT
ALGEBRA LINEAL
Loja, 14 de mayo del 2009
ECON. ANDREA LOAIZA
ABRIL – AGOSTO 2009
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ECONOMÍA
SISTEMAS LINEALES
ECUACIÓN LINEAL: es una ecuación con n variable x1……x2 que se pueda escribir de la forma
a1 son los coeficientes
b término constante SISTEMA LINEAL: Conjunto de ecuación
lineales m ecuaciones con n variables
bxaxaxa nn ..........2211
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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL: es un conjunto de valores que toman las variables y que hace que el sistema sea verdadero.
• MATRIZ: es una arreglo rectangular de
números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnas
edependient
nteindependieeConsistent
nteInconsiste
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El sistema lineal se lo puede representar en matrices.
Si representamos cada matriz con una letra.Ax=bA es una matriz mxnx es un vector de columna nB es un vector de columna n
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MATRIZ AUMENTADA
9
10
3
601
232
021
96
10232
32
31
321
21
xx
xxx
xx
Solución del sistema por eliminación
1
6
15
100
010
001
1
6
15
3
2
1
x
x
x
6
VECTORES
Es una matriz de una columna nx1
Elementos: Origen, Extremo, Sentido, Dirección, Magnitud
4
21v
1
12v
1
4231
2
1vv
4
22.1 vv
7
0
3
2
1
u
Norma de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
0
2
0
2
v
222
21 )(....)()(. nuuuuuu
2222
211 )(....)()(
)).((),(
nn vuvuvu
vuvuvuvud
1u
uE
Angulo entre dos vectores
vu
vuCos
.
APLICACIONES VECTORES
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MATRICESAbreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a21 será el elemento de la fila 2 y columna 1.
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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO
FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRANSPUESTA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT
OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO
NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
INVERSA Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I
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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO
SIMETRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji
DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
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OPERACIONES SUMA DE MATRICES
Es una ley de composición interna con las siguientes
MULTIPLICACIÓN DE MATRIZ POR UN ECALAR
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Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma :El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.
PRODUCTO DE MATRICES
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