1

Semestre 3

Fascículo

1

Algebra

Lineal

Algebra lineal Semestre 3

Algebra lineal

Algebra lineal

Semestre 3

Tabla de contenido Página

Presentación general de la asignatura 1

Mapa conceptual 1

Competencias generales de la asignatura 2

Contenido mínimo de la asignatura 3

Introducción 7

Conceptos previos 7

Mapa conceptual Fascículo 1 8

Logros 8

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. 8

Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas 9

Transformaciones elementales 9

Método de eliminación de Gauss-Jordan. 10

Matrices 12

Utilización de las matrices en la aplicación del método de

eliminación. 12

Forma escalonada reducida por filas y pivote. 13

Matriz en la forma escalonada por filas. 14

Sistemas de ecuaciones homogéneas 16

Resumen 17

Bibliografía recomendada 18

Nexo 18

Seguimiento al autoaprendizaje 21

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórica – Práctico

Algebra lineal Semestre 3

Algebra lineal

Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

ALBERTO FORERO

Docente tutor – Programa de Ingeniería de Sistemas a Distancia.

Sede Bogotá, D.C.

Orientación a cargo de;

ESPERANZA MARTINEZ G.

Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., Junio de 2010

1

Fascículo No. 1

Semestre 3

Algebra lineal

Algebra lineal

Transformaciones

ALGEBRA LINEAL

objetos de estudio

Matrices Vectores

Sistemas de

Ecuaciones Operaciones

Determinantes

Bases y

Dimensión Linealidad

definen y reconstruyen

Modelos

Lienales

Presentación general de la asignatura

Bienvenido al curso de Algebra Lineal. Asignatura que tiene por objetivo

preparar al estudiante en lo relacionado con el trabajo con vectores, de

manera generalizada, esto es, desde el punto de vista de los espacios

vectoriales.

Muchos de los conceptos que aquí se presentan serán utilizados en otras

materias, como Cálculo Vectorial y Ecuaciones Diferenciales. Trabajaremos

también con matrices, sus operaciones y su relación con los sistemas de

ecuaciones.

Mapa conceptual de la asignatura

modelan

2

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Competencias Generales de la Asignatura

Competencia Cognitiva

Interpreta y comprende situaciones de variación dentro y fuera de la

matemática haciendo uso del Algebra Lineal y reconstruye modelos

lineales en el análisis de los mismos.

Competencia Comunicativa

Establece argumentos desde la matemática para interpretar los modelos

lineales prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas de la Ingeniería

de Sistemas.

Competencia Valorativa

Interpreta y valora el uso de los conceptos y el Lenguaje Matemático en el

tratamiento de situaciones relacionadas con su desarrollo profesional.

Competencia Contextual

Hace uso de elementos externos a la clase (Tecnológicos y Bibliográficos)

para el tratamiento de los problemas que requieran la matemática en su

contexto profesional.

3

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Contenidos Mínimos de la Asignatura Fascículo 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Sistemas de m incógnitas con n ecuaciones.

Método de eliminación de Gauss-Jordan.

Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.

Transformaciones elementales.

Método de eliminación.

Matrices

Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación.

Forma escalonada reducida por filas y pivote.

Matriz en la forma escalonada por filas.

Sistemas de ecuaciones homogéneas. Fascículo 2

Matrices

Operaciones con Matrices

Igualdad de Matrices

Suma y Multiplicación por escalar

Algunos tipos de Matrices

Producto entre matrices

Propiedades de la suma y multipliacción por un escalar

Aplicación Tecnológica

Matrices en Matlab Fascículo 3

Inversa de una matriz. Método de la inversa.

Traspuesta e inversa de una matriz

La inversa de una matriz

Propiedades de las matrices inversas

4

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Ecuaciones sencillas con productos de matrices:

Cálculo de la inversa por el método de eliminación

Traspuesta de una matriz A

Propiedades de la operación de trasposición

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Método de la inversa Fascículo 4

Espacios vectoriales

Introducción

Espacio Vectorial

Combinación lineal

Dependencia e Independencia Lineal

Espacio Generado

Problemas de Aplicación Fascículo 5

Función Determinante I

Propiedades de los determinantes

Operaciones elementales con determinantes

Cálculo del determinante.(Cofactores) Fascículo 6

Función determinante (II)

Matriz transpuesta y Matriz Adjunta

Determinantes e inversas

Regla de Cramer

Problemas de Aplicación Fascículo 7

Aplicaciones de los vectores

Definición de Vector

5

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Operaciones con vectores

Producto Punto y Producto Cruz

La recta en

El plano en

Problemas de Aplicación Fascículo 8

Bases y dimensión. Transformaciones lineales

Rango

Nulidad

Bases y Cambio de Base

Transformaciones Lineales

6

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

7

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Introducción

Uno de los aspectos más frecuentes en el planteamiento de problemas

son los sistemas de ecuaciones lineales. En Precálculo se trabajaron los

sistemas de 2x2 y 3x3; ahora vamos a generalizar esta situación a

cualquier cantidad de ecuaciones e incógnitas (no necesaria-mente de

nxn). Los métodos de solución serán más generales y veremos la relación

de los sistemas con las llamadas matrices.

Conceptos Previos

Para comenzar el estudio y análisis de los diferentes conceptos y modelos

que sustentan el Algebra Lineal, es primordial reconocer e identificar las

nociones básicas para la comprensión de los modelos lineales que

caracterizan los sistemas de ecuaciones; para esto, invitamos al estudiante

a resolver la siguiente actividad como un elemento que le permita

reestructurar los conceptos ya analizados y así reconstruir una base más

sólida que le permita desarrolar el presente curso.

1.1

1. Encontrar la ecuación de la recta con las consiciones dadas. a. Pasa por (0,4) y por (2,3) b. Pasa por (-2,5) y corta al eje y en y=2 c. Pasa por (2,3) y tiene pendiente m=2.

2. Representar gráficamente las siguientes funciones

a. 92xy b. 42xy c. 33

2xy

3. Resolver las siguientes ecuaciones

a. 342 xx

b. 7213 xx 4. Determinar la distancia entre cada par de puntos.

a. (0,4) y (3,6) b. (-1,4) y (4,6)

c.

8

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Mapa conceptual fascículo 1

Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante: Comprende los métodos de eliminiación de Gauss-Jordan y la eliminación

Gaussiana en el análisis de situaciones modeladas por sistemas de ecuaciones lineales.

Argumenta todos los procesos que utiliza en el tratamiento de sistemas de ecuaciones homogeneos en situaciones especificas.

Interpreta y valora el uso de los sistemas e ecuaciones lineales en modelos prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas.

Involucra elementos tecnológicos en el tratamiento e interpretación de los sistemas de ecuaciones lineales en diversas situaciones.

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

La busqueda del significado del modelo lineal en matemáticas, se refiere a

la caracterización de una situación que se interpreta linealmente, es decir

con la linea recta; el estudio de situaciones lineales lleva a que se

Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Soluciones

Unica

Infinitas

Inconsitencia

Algoritmos

Iniciales

Gauss-Jordan

Eliminación

Gaussiana

LogrosLogrosLogros

9

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

interpreten algoritmos y métodos matemáticos que permitan llegar a las

soluciones de estos. A continuación describiremos el tratamiento paso a

paso de este elementos matemáticos, los sistemas de ecuaciones

lineales.

Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.

Llamaremos sistema de ecuaciones lineales, a un conjunto de ecuaciones

de la forma siguiente:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..........................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1)

donde las aij y los bi son en general, números reales. Si m = n, se dice que es un sistema cuadrado. Por ejemplo,

Ejemplo 1

0

2

1

321

32

31

xxx

xx

xx

Solución del sistema (1). La n-pla (x10, x20, ... , xn0) será una solución del

sistema (1), si sustituida en cada una de las ecuaciones, se satisface la

igualdad en cada una de ellas.

Transformaciones elementales

Llamaremos transformaciones elementales sobre una ecuación, a aquellas

que dan como resultado otra ecuación, que tiene las mismas soluciones

que la anterior. Son transformaciones elementales las siguientes:

Intercambiar de posición dos ecuaciones.

Note que nos dará el mismo sistema de ecuaciones.

10

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

La multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero.

Note que si la ecuación ai1x10 + ai2x20 +...+ ainxn0 = bi, se satisface al

evaluarla para la n-pla (x10, x20, ... , xn0), entonces también se satisface

al ser multiplicada por una constante cualquiera (no nula): k(ai1x10 +

ai2x20 + ... + ainxn0 )=kbi .

La adición de una ecuación a otra.

jinjninjiji

jnjnjj

ininii

bbxaaxaaxaa

bxaxaxa

bxaxaxa

020220111

0202101

02012101

)(...)()(

...

...

Note que la ecuación resultante se satisface para la misma n-pla.

Método de eliminación de Gauss-Jordán.

El método de eliminación consiste en sustituir el sistema dado en otro

equivalente, mediante el empleo de las transformaciones elementales.

Ilustremos el método con el ejemplo 1.

0

2

3

321

32

31

xxx

xx

xx

,

Hagamos la fila 3 igual al resultado de restar la fila 1 a la fila 3: f3=f3-f1 ;

Note que al efectuar f3=f3-f1, estamos realizando dos transformaciones

elementales al mismo tiempo: multiplicar por -1 y la suma de ecuaciones.

32

2

1

32

32

31

xx

xx

xx

, hagamos f3=f3-f2 ; entonces

1

2

1

3

32

31

x

xx

xx

(2) De modo que x3 = -1 y sustituyendo este resultado en la ecuación (2)

tenemos:

11

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

x2 - (-1) = 2 , entonces x2 = 1. Y sustituyendo x3 (no depende de

x2 ) en la ecuación 1 tenemos que: x1 = 2. Por tanto la solución es: x1 =

2 , x2 =1 y x3 = -1 .

Continuemos con el método de eliminación en el sistema (2):

1

2

1

3

32

31

x

xx

xx

, hagamos f1=f1-f3 y f2=f2+f3; tendremos

1

1

2

3

2

1

x

x

x

;

Con lo que obtenemos la solución: x1 = 2 , x2 =1 y x3 = -1 . A este

método se le denomina: Método de eliminación de Gauss-Jordán.

Ejemplo 2. Resolver el sistema:

1

2

1

21

32

31

xx

xx

xx

, hagamos f3=f3 - f1; obtenemos

2

2

1

32

32

31

xx

xx

xx

,

2

2

1

32

32

31

xx

xx

xx

, hagamos f3=f3+f2; obtenemos

00

2

1

32

31

xx

xx

,

Por lo que nos queda, un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

Pasemos una variable, x3 , a la parte derecha de cada ecuación y

tenemos:

x1 = 1+ x3 , x2 = 2 + x3 , x3 = x3 ; lo cual significa que el sistema tiene

infinitas soluciones; cada una de ellas se obtiene al darle un valor real a la

variable x3. Por ejemplo, si x3 = 0, obtenemos x1 = 1 y x2 = 2 .

Ejemplo 3. Resolver el sistema:

12

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Sistemas consistentes e in-consistentes: Un sistema es consistente si tiene al menos una solución; mientras que se dice es inconsistente si no tiene solución.

123

2

12

321

32

321

xxx

xx

xxx

, hagamos f3=f3-f1 y obtenemos

2

2

12

32

32

321

xx

xx

xxx

;

Ahora hagamos f3=f3-f2 y obtenemos

40

2

12

32

321

xx

xxx

; lo cual

representa una contradicción y obviamente, este sistema no tendrá

solución.

Matrices

Llamaremos matriz al ordenamiento en filas y columnas de elementos de

cualquier naturaleza (nosotros trabajaremos por ahora, sólo con números

reales); se escriben entre paréntesis circulares o rectangulares.

mnmm

n

n

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

ó

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

Siendo ésta, una matriz de m filas (renglones) y n colmunas, lo cual

también se denota, abreviadamente, en la forma:

njmiparaaij 1,1

; note que el primer subíndice (i) denota las filas, mientras que el segundo

subíndice (j) representa las columnas.

Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación

Note que al aplicar el método de eliminación, el trabajo se realiza

solamente con los coeficientes de las incógnitas, por lo que podemos

13

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

abreviar la escritura empleando solamente los coeficientes ordenados en

matrices de la siguiente forma.

Dado el sistema (1), tendremos las siguientes matrices:

Matriz de coeficientes:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Matriz aumentada o ampliada:

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

...

...............

...

...

21

222221

111211

Así, en el ejemplo 1, tenemos:

3210

2110

3101

0111

2110

3101

133 fff; y se sigue en forma análoga.

Las matrices que se obtienen, por la realización de transformaciones

elementales entre renglones, se dice que son matrices equivalentes puesto

que representan sistemas de ecuaciones equivalentes al original.

Forma escalonada reducida por filas y pivote

Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas si se

cumplen las siguientes condiciones:

1. Todas las filas (si las hay), cuyos elementos son todos ceros, aparecen

en la parte inferior de la matriz.

2. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en

cualquier fila cuyos elementos no son todos cero es 1.

3. Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el

primer 1 en la fila de abajo está más a la derecha que el primer 1 en la

fila de arriba.

14

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

4. Cualquier columna que contiene el primer 1 en una fila tiene ceros en el

resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en una fila

(si la hay) se llama pivote para esa fila.

Matriz en la forma escalonada por filas

Una matriz está en la forma escalonada por filas si se cumplen las

condiciones (1), (2) y (3) dadas anteriormente.

Un ejemplo de matriz en la forma escalonada por fila es el siguiente:

00000

01000

21100

21201

En el sistema de ecuaciones (2), que obtuvimos al resolver el sistema del

ejemplo 1, y expresado en la forma de la matriz aumentada, ésta resulta

ser una matriz en forma escalonada por filas:

1100

2110

1101

Ejemplo 4: Un sistema inconsistente: resuelva el sistema

Para obtener 1 en el elemento de la matriz del sistema podemos

realizar la transformación elemental de intercambiar las filas 1 y 3.

15

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Cuando se resuelva un siste-ma de ecuaciones lineales, usando alguno de los méto-dos estudiados, si llega a ob-tenerse al final

, donde

el sistema será incon-sistente.

Ahora, en la última ecuación se tiene:

Lo que es imposible. Así, el sistema inicialmente planteado no tiene

solución.En este caso se dice que el sistema es incosistente.

Note el surgimiento del concepto de matriz en relación con los sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 5: Solución de un sistema con infinitas soluciones:

Esto es equivalente al sistema de ecuaciones:

16

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Hasta aquí se puede llegar. Se tienen solo dos ecuaciones para las tres

incógnitas x, y, z, y existe un número infinito de soluciones. Para ver esto

se elige un valor de z, entonces y . Ésta será una

solución para cualquier número z, se escribe esta solución en la forma

, por ejemplo , si z=0, se obtiene la solución (1,4,0).

Ejercicio: Situación tipo ECAES

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el esistema dado?

a. Tiene solución única x=1, y=1, z=1

b. Es Inconsistente.

c. Tiene un número infinito de soluciones.

Sistemas de ecuaciones homogéneas

Llamaremos sistema de ecuaciones lineales homogéneas, a un conjunto

de ecuaciones de la forma siguiente:

0...

..........................................

0...

0...

2211

2222121

11212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Donde las aij son en general, números reales.

Note que un sistema homogéneo siempre tiene solución, pues x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 siempre satisface el sistema de ecuación; a esta solución se le llama solución trivial o nula.

17

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

La solución de un sistema homogéneo se realiza de igual forma que en un

sistema no homogéneo, con la diferencia de que no es necesario construir

la matriz aumentada, pues como los términos independientes son todos

cero, cualquier operación elemental sobre una fila no cambia el valor de la

última columna por ser ceros.

1.2

Halle la solución, si existe, en los sistemas siguientes y verifique la solución obtenida:

a)

132

43

022

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

222

33

222

431

421

4321

xxx

xxx

xxxx

c)

04333

04322

0432

wzyx

wzyx

wzyx

d)

1

5

5

5

2

wy

vzy

vzy

vzy

vx

e) 03

023

zyx

zyx

f) 12863

232

wzyx

wzyx

Hemos tratado lo referente a los sistemas de ecuaciones lineales. Debe-

mos aclarar que los métodos de solución, que se trabajaron en Precálculo

(eliminación, sustitución), siguen siendo válidos, solo que ahora hemos

18

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

añadido otra variante de solución (que se empleará en diferentes

situaciones) con el Método de eliminación de Gauss-Jordan, el cual nos

permite determinar si un sistema es no consistente o consistente, y en este

último caso si tiene una única solución o infinitas soluciones.

Además vimos la necesidad de instaurar lo que llamamos matrices, para

abreviar la escritura de los sistemas de ecuaciones. Una vez definido este

concepto, se definiran también sus operaciones y se estableceran sus

propiedades. Igualmente, se analizaron los casos en que existe una

solución unica, infinitas soluciones o no existe solución para un sistema de

ecuaciones lineales, lo que permite distinguir y comprender los diferentes

casos que se pueden presentar en situaciones especificas del algebra

lineal.

COLMAN, Bernard. Algebra Lineal. Octava Edición. México: Prentice Hall

México, 2005, 760p.

GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. Quinta Edición. México: Editorial

McGraw Hill, 1996, Capítulo 1: Secciones 1.1 – 1.6 ; páginas 1 – 90.(Texto

Guía)

NAKOS, G. y Joyner, D. Algebra Lineal con Aplicaciones. México:

International Thomson Editores, 1999, págs.: 2-30.

POOLE, David. Algebra Lineal. Una Introducción Moderna. Segunda

Edición. México: International Thompson Editores, 2007, 744p.

En el próximo fascículo trataremos explicitamente el concepto de Matriz.

Se expondrán las operaciones elementales entre matrices y se

19

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

desarrollarán varios ejercicios que promuevan una mejor comprensión de

estos procesos, igualmente trataremos situaciones específicas en las

cuales se pueden emplear las matrices en su resolución.

20

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

21

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Algebra lineal - Fascículo No. 1 Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad___________________________________Semestre: _______________

1) Reducir la matriz dada A a la forma escalonada por filas.

9551

3311

0211

3120

A

2) Resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan y comprobar la

solución obtenida.

a)

12342

1923

72

032

321

4321

4321

421

XXX

XXXX

XXXX

XXX

b)

0739

032

02

WZYX

WZYX

WZX

3) Situación tipo ECAES:

Del anterior sistema de ecuaciones se puede decir que: a. Tiene infinitas soluciones. b. Tiene una solución única. c. No es un sistema de ecuaciones lineales. d. Es inconsistente.

4) Situación tipo ECAES: De la afirmación “Si en un sistema de ecuaciones

22

Algebra lineal

Algebra lineal

Fascículo No. 1

Semestre 3

homogéneo el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones, entonces el sistema tiene infinitas soluciones” se puede decir:

a. Es Verdadera pues cualquier sistema tiene un número infinito de

soluciones. b. Es Falsa pues un sistema homogéneo solo puede tener la solución trivial o

no tener soluciones. c. Es Falsa pues para que tenga infinitas soluciones un sistema no

necesariamente debe tener el número de incógnitas mayor que el número de ecuaciones.

d. Es Verdadera pues si el sistema homogéneo cumple las condiciones dadas entonces el algoritmo de Gauss se detiene y deja variables dependientes.