INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VICTORIA.

ALUMNO:EDGAR IVAN LOPEZ GARCIA.

PROFESOR: LIC. ESTEBAN REQUENA.

MATERIA: ALGEBRA LINEAL.

SAN FERNANDO 15-10-2013

4.1-ESPACIO VECTORIAL.

ESPACIO VECTORIAL.

Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío

(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y +,· son dos

operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos

’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las

siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u+v y ·(λ, v) = λv,

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la

matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como

las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión

de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en

derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una

forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y

físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades

locales de variedades mediante técnicas de línealización.

Definición de Espacio Vectorial

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica

a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que

representan magnitudes y dirección , ya sea un fuerza, una velocidad o

una distancia. El término vector también se usa para describir entidades

como matrices, polinomios o funciones.

Supongamos que tenemos un conjunto ”V” donde para X, Y, €,V y a ,

b  escalares cumplen con las siguientes propiedades:

Entonces ”V” se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior

que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares,

los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo

abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa,

conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un

campo con la inclusión del 0 y del 1.

Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los

cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir

es encontrar todas las características estructurales de estos espacios.

Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como

relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro

y la generación de espacios más complejos por medio de productos

cartesianos.

4.2-SUBESPACIO VECTORIAL.

SUBESPACIO VECTORIAL.

Teorema.

La intersección de cualquier número de sub espacios de un espacio vectorial V es un sub espacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en K n y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de K n. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y A v=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(a u + b v)=a A u + b A v = a 0 + b 0 = 0 + 0 = 0. De esta manera, a u + b v es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, a u + b v Î W. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un sub espacio de k n.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema in homogéneo AX=B no es sub espacio de K n. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.

4.3-COMBINACION LINEAL E

INDEPENDENCIA LINEAL.

COMBINACIÓN LINEAL.

Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice

que un vector es combinación lineal de un conjunto de

vectores

S = { 1, 2,..., n} si es que existe alguna forma de

expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S,

multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera

.

El vector es combinación lineal de los vectores S si tal que:

Ejemplo:

Sea , espacio Vectorial

S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}

Combinación Lineal:

---> 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = ( 18,5, 13)

 

Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de la siguiente manera:

Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos

opciones por el hecho de ser un sistema de ecuaciones

homogéneo:

Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los

vectores es combinación lineal de otros.

Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es

combinación lineal de los otros.

= 0

Por Ejemplo:

Determine si es combinación lineal.

S = {(1,0) , (0,1)}

ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )

(ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada

Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver

que tiene única solución, debido a que su determinante es

diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es

combinación lineal de otro.

2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }

Entonces, como primer paso:

a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 )

Al desarrollarlo tenemos:

( a , 2 b ,3 t) + ( a 2, - b , t) + (3 a ,3 t) = ( 0, 0, 0 )

Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:

Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero,

por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene

solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de

ecuaciones homogéneas, concluimos que tiene infinitas

soluciones.

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de

dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define

el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de

sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores 

, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera.

2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no

trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no

son ambos cero).

¿Qué tienen de especial los vectores  ?

La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es

sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3.

Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra

ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a

una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son

linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante

definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se

dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,

c2, …, cn no todos ceros tales que 

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente

independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la

ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0.

Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como

una combinación lineal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a

cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o

dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente

independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.

TEOREMA.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si

uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para algún escalar c≠0. Entonces

cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que

v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al

menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces

dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea, 

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo

tanto, v2=0=0v1.

4.4-BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL.

CAMBIO DE BASE

Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores  . En R3 se escribieron los vectores en términos

De Ahora se generalizara esta idea.

BASE

Un conjunto finito de vectores  es una base para un espacio

vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define

 Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),

es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canónica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canónica para M22

Se vio que generan a

, entonces es evidentemente

que  . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base canónica para M22.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn

En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman

una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n.si  es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Sea entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden

encontrar constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo

Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema

homogéneo 

SOLUCIÓN: aquí  . Como A es una matriz de 2x3, S es un

Sub espacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 

4.5-ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO

Y SUS PROPIEDADES.

Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces

Propiedades

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

EJEMPLO: 

producto interno de dos vectores en C3En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

PROPIEDADES

CONJUNTO ORTONORMAL.

El conjunto de vectores  es un conjunto ortonormal en V

Si y Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal.

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

 

Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv

esta dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.

TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V.

suponga que H tiene dos bases ortonormales

 

Sea vϵV. entonces

COMPLEMENTO ORTOGONAL.Sea H un sub espacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

 TEOREMA: si H es un sub espacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN.

sea H un sub espacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y

suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que

hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios

linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor

propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores

propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos

(ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6-CAMBIO DE BASE.BASE ORTONORMAL.

PROCESO DE ORTONORMALIZACION

GRAM-SCHMIDT.

CAMBIO DE BASE.

El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.

TEOREMA 4.10 (La inversa de la matriz de transición).

Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible y la matriz de transición de B’a B es .

TEOREMA 4.11 (Matriz de transición de una base B a una base B’).

Sean y dos bases de Rn, entonces la matriz de

transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordán en la matriz como se muestra a continuación

En la matriz  B’ representa la matriz que tiene por columnas las

componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma

similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los

vectores de la base B respectivamente.

Base ortonormal.

En algebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir,

un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de HilbertH,

es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos

son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base

ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy

sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto

por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una

base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea unespacio de Hilbert.

Proceso de orto normalización Gram – Schmidt

El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.

Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección condonde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.

En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno

sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a

la izquierda tenemos únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo

que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo

del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección,

cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de

módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

FIN.