Álgebra Lineal.

Unidad 3. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

3.1. INTERPRETACION GRAFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.

3X2Y−Z=23

Representación gráfica de la recta:

Y del plano:

−x2y=3

x yz=1

GEOMETRIA DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES.

Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incognitas:

ax-by-cz=dex-fy-gz=hjx-ky-lz=m

Gráfica. SoluciónLos tres planos se intersecan en un punto.

Existe una única solución para el sistema.

Los tres planos se intersecan en la misma recta.

Cada punto de la recta es una solución por lo que el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

Los tres planos coinciden. Cada punto sobre el plano es una solución por lo que el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la recta.

Cada punto de la recta es una solución por lo que el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

Al menos dos de los planos son paralelos y distintos.

Por lo que ningún punto puede estar en ambos y no hay solución

Dos de los planos coinciden en una recta L.

El tercer plano es paralelo a L, de manera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los primero, por lo que no hay solución

Solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante método de eliminación Gaussiana.

2x4y6z=184x5y6z=243x y−2z=4

Solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante método de eliminación de Gauss-Jordan.

2x4y6z=184x5y6z=243x y−2z=4

Método de matriz inversa para solución de un sistema de ecuaciones.

2x4y6z=184x5y6z=243x y−2z=4

Aplicación de los sistema de ecuaciones.

FRACCIONES PARCIALES.

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de La-place, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra formamas conveniente para cierto tipo de calculo.

1x−2x3

=a

x−2

bx3

DETERMINACION DE CURVAS.

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función Por ejemplo, línea recta, par´abola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma mas general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos.

Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P(1,4),Q(-1,2) y R(2,3).

APLICACIONES A MANOFACTURAS.

Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?

APLICACIONES DIVERSAS.

Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este a˜no viajo tres veces. La primera vez cambio un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dolar. La segunda vez, cambio un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dolar. La tercera vez cambio $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dolar. ¿Que cantidades de yenes, francos y marcos compro cada vez?

Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante herramientas de computo.