´algebra heterogénea

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  • Algebra Heterogenea

    Tesis doctoral presentada por Juan C. Soliveres

    dirigida por Prof. Juan B. Climent

    Septiembre, 1999

    Departament de Logica i Filosofia de la Ciencia

  • A todos mis padres

  • Indice

    Introduccion 1

    1 Conjuntos heterogeneos 51.1 S-conjuntos y S-aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Soportes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Cardinalidad de los S-conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 La categora SetS de S-conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10El topos SetS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12La equivalencia de los topoi SetS y Set S. . . . . . . . . . . . 14

    1.3 La categora HSet de los conjuntos heterogeneos. . . . . . . . . . . 18Lmites y colmites en HSet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Algunos tipos de morfismos en HSet. . . . . . . . . . . . . . . 27Relaciones de equivalencia heterogeneas. . . . . . . . . . . . . . 30El topos HSet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34La logica de HSet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36La equivalencia de los topoi HSet y Set. . . . . . . . . . . . 40

    1.4 Espacios de clausura heterogeneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Espacios de clausura algebraicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50La categora ClSp(S) de los S-espacios de clausura. . . . . . . 53Levantamientos optimales y cooptimales. . . . . . . . . . . . . 54Espacios de clausura algebraicos y uniformes. . . . . . . . . . 57Relaciones entre las categoras ClSp(S) y CLatV. . . . . . . . 58La categora HClSp de espacios de clausura heterogeneos. . . 60

    2 Algebras relativas a una signatura. 652.1 Signaturas y algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    Signaturas algebraicas finitarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2 Subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    El Teorema de Birkhoff & Frink . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    v

  • vi INDICE

    2.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5 Operaciones polinomicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6 Algebras libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    Smbolos y operaciones polinomicas. . . . . . . . . . . . . . . . 932.7 Lmites y colmites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    Lmites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Colmites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    Colmites dirigidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Productos reducidos y ultraproductos. . . . . . . . . . . . . 106

    2.8 Algebras directa y subdirectamente irreducibles. . . . . . . . . . . 110Algebras directamente irreducibles. . . . . . . . . . . . . . . . . 110Algebras subdirectamente irreducibles. . . . . . . . . . . . . . . 112

    2.9 Algebras libres para subcategorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.10 Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.11 Ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    Clases ecuacionales y variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Congruencias totalmente invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . 128Clases ecuacionales finitarias y variedades finitarias. . . . . . . 131

    2.12 Clones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Algebras de Hall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Axiomas y Reglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Algebras de Benabou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    3 Algebras Heterogeneas. 1553.1 Signaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.2 Algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    S-Algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Lmites y colmites en la categora Alg. . . . . . . . . . . . . . 162Subalgebras y congruencias en la categora Alg. . . . . . . . . 165

    3.3 Terminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Categoras de terminos heterogeneos. . . . . . . . . . . . . . . . 170Transformaciones extranaturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    3.4 Teoras heterogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.5 Signaturas derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    Derivors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187La monada de los derivors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Algebras heterogeneas y derivors. . . . . . . . . . . . . . . . 190Terminos heterogeneos y derivors. . . . . . . . . . . . . . . 192

    Morfismos de Fujiwara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193La monada de Fujiwara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Algebras heterogeneas y F-morfismos. . . . . . . . . . . . . 199Terminos heterogeneos y F-morfismos. . . . . . . . . . . . . 207

  • INDICE vii

    La Institucion de Fujiwara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.6 Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    Algebras heterogeneas y Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . 224Terminos heterogeneos y deformaciones. . . . . . . . . . . . . . 227La 2-Institucion de las deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . 229Teoras heterogeneas y deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . 233

    4 Monadas. 2374.1 Monadas sobre S-conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    Terminos y ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Subalgebras y cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Teorema de completud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

    4.2 La 2-categora Mnd(C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

    4.3 Monadas, morfismos y deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 276Cuadrados adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

    La categora doble de los cuadrados adjuntos. . . . . . . . . 280Pares compatibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283AdFun es una categora triple. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

    Morfismos de monadas y deformaciones. . . . . . . . . . . . . . 286Morfismos de Kleisli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Deformaciones de Kleisli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Morfismos de Eilenberg-Moore. . . . . . . . . . . . . . . . . 299Deformaciones de Eilenberg-Moore. . . . . . . . . . . . . . . 304Morfismos y deformaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . 315La fibracion de las monadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

    Adjunciones y monadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Adjunciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Cuadrados adjuntos de Kleisli. . . . . . . . . . . . . . . . . 326Cuadrados adjuntos de Eilenberg-Moore. . . . . . . . . . . 337Adjunciones y morfismos algebraicos. . . . . . . . . . . . . 342F-morfismos y deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Espacios de Clausura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

    Bibliografa 361

    Indice de Terminos 365

  • Introduccion

    Este trabajo esta dedicado al estudio de la heterogeneidad en contextos algebrai-cos. Para ello, investigamos diversas categoras de algebras heterogeneas, tantolas relativas a una signatura fija, como aquellas en las que se permite la variacionen las signaturas subyacentes, y sus contrapartidas invariantes en la teora de lasmonadas.

    Nuestros principales resultados son relativos a la naturaleza bidimensional deciertas entidades algebraicas heterogeneas, para las que introducimos nociones de2-celulas mas generales que las consideradas habitualmente en la literatura.

    Nuestro interes por los temas tratados en esta memoria tiene un origen doble.En primer lugar, el estudio de diversas traducciones entre logicas distintas y enparticular, de las comparaciones entre la logica proposicional clasica e intuicio-nista, nos llevo a preguntarnos sobre modos de comparar algebras de distintanaturaleza y maneras de clasificar tales comparaciones. Buscando tratamientosde estas materias nos encontramos con unos trabajos de Fujiwara [Fuj59] en losque se comparaban algebras homogeneas sobre distintas signaturas.

    Por otra parte, estabamos tambien interesados en las algebras heterogeneasporque conocamos ciertas proposiciones del algebra homogenea cuya contrapar-tida heterogenea era incorrecta, e.g., el teorema de Birkhoff-Frink que afirma quetodo operador clausura es un operador subalgebra, e investigabamos que hipotesisadicionales eran necesarias para obtener una version heterogenea adecuada.

    Al generalizar la teora de Fujiwara al caso heterogeneo, se obtienen 2-catego-ras de signaturas, teoras y algebras que permiten una mayor riqueza al compararentidades algebraicas de distinta naturaleza. Cuando se trasladan tales conceptosal lenguaje de las monadas, es necesario considerar una nocion de 2-celula entremorfismos de monadas de naturaleza mas general que las definidas, e.g., en Street[Str72].

    Para abordar las cuestiones mencionadas, estudiamos, en el primer captulo,diversas categoras de conjuntos heterogeneos. Estos pueden definirse formal-mente como familias de conjuntos indexadas por un conjunto de tipos, o comoaplicaciones que asignan a cada elemento de su dominio su tipo correspondiente.Ambas nociones son equivalentes y dan lugar, para cada conjunto de tipos S, a

    1

  • 2 Introduccion

    categoras de S-conjuntos. Estas estan dotadas de una estructura de topos que,aunque hered