Universidad Autnoma De Santo Domingo (UASD)

Facultad INGENIERIA Y ARQUITECTURA (FIA)EscuelaINGENIERA INDUSTRIAL - (70701 - P-IIND)AsignaturaELECTROTECNIA GENERAL IEM-202 Seccin02TemaALGEBRA FASORIALSustentadoresROLF RUCK POLANCO DA5289MICHAEL DE JESUS ALMONTE CRUCETA 100060833ProfesorCARLOS PERALTAFecha03/Marzo./2014_

NDICE

INTRODUCCIN3ALGEBRA FASORIAL1-HISTORIA..................42-FASOR......................43-DEFINICION DE ALGEBRA FASORIAL54-LEYES DE CIRCUITOS7 4.1- LEY DE OHM..7 4.2-LASLEYES DE KIRCHHOFF85-TRANSFORMADA FASORIAL86-TRANSFORMADA FASORIAL INVERSA.87-ARITMTICA FASORIAL.88-REPRESENTACIN FASORIAL89-FORMA POLAR.9 9.1-FORMA BINMICA.10 9.2- FORMA BINMICA A POLAR.10 9.3- FORMA POLAR A FORMA BINMICA.11 9.3.1-SUMA Y RESTA DE FASORES11 9.3.2-MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FASORES.1110-DIAGRAMA FASORIAL1111-EMPLEANDO UN MDULO Y UN NGULO;Y VICEVERSA.1212-RELACIN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES..1313-DOMINIO DE LA FRECUENCIA1414-SERIE DE FOURIER1515-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS SIGUIENTES RELACIONES: 1616-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES SENOIDALES EN EL TIEMPO..1717-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIN FASORIAL17CONCLUSION..21

INTRODUCCIN

En este trabajo nosotros pretendemos dejar un material claro y entendible a todas las personas que se intereses por el campo de los fasores. Teniendo en cuenta que un fasor es una representacin grfica de un nmero complejo, este tiene utilidad en los campos de la ptica, ingeniera de telecomunicaciones, electrnica y acstica. Asimismo para los fasores se usan para resolver circuitos elctricos en el tipo de corriente alterna (CA).En dicho material, veremos las leyes bsicas elctricas que se pueden realizar en combinacin con los fasores, como son: (ley de Ohm, leyes de Kirchoff). Definiremos todas las herramientas de los fasores: transformada fasorial, transformada fasorial inversa, aritmtica fasorial, serie de Fourier.Aqu presentamos las formas que se pueden representar los fasores; polar, binomica, de polar a binomica y viceversa. Tambin presentaremos las principales operaciones que se pueden realizar con fasores (suma, resta, multiplicacin y divisin. Todas estas operaciones y herramientas con fasores sirven para resolver los ms complejos circuitos elctricos.

ALGEBRA FASORIAL

1-HISTORIA

La historia del concepto de fasor es larga y legendaria. Dicho concepto se utiliza en ingeniera elctrica desde hace muchsimo tiempo. Pues ya el ingeniero Charles Steinmetz lo present en el Congreso Elctrico Internacional de 1893. Steinmetz populariz el fasor poniendo de manifiesto sus mltiples aplicaciones, por lo que a principios del siglo XX se utilizaba ya universal-mente en el estudio de los circuitos y sistemas de corriente alterna. Podemos decir que el fasor nos acompaa desde que la ingeniera elctrica fue reconocida como disciplina. Dicho de forma sencilla, el fasor constituye otra manera de representar una sinusoide. Y dicho de manera ms formal:El fasor es un nmero complejo que reprsenla la amplitud y fase de una ond sinusoidal.

Diagrama vectorial de la impedancia de distintos elementos de un circuito expresada de forma fasorial. El vector rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores. Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), naci en Breslau, Alemania, y se educ en dicho pas y en Suiza. Emigr en los Estados Unidos en 1889 y se asoci a la General Electric Company en 1893, donde permaneci el resto de su vida. Sus principales contribuciones a la naciente ingeniera elctrica incluyeron el fenmeno de la histresis. El concepto de impedancia y el empleo de cantidades complejas (ahora llamadas fasores) para describir dispositivos y sistemas de corriente alterna. Steinmetz se interes por una amplia gama de cuestiones y public diversos trabajos no tcnicos. En uno de ellos, publicado en 1918 y titulado America's Energy Supply, calcul los lmites de la energa disponible para el consumo y sugiri que debera mejorarse el rendimiento.

2-FASORPara las siglas de Frequency Addition Source of Optical Radiation

Diagrama fasorial de laimpedanciade distintos elementos de un circuito. El fasor rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores.Unfasores una representacin grfica de unnmero complejoque se utiliza para representar unaoscilacin, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar lamagnitudyfasede la oscilacin resultante de la superposicin de varias oscilaciones en un proceso deinterferencia.Los fasores se utilizan directamente enptica,Ingeniera de Telecomunicaciones,ElectrnicayAcstica. La longitud del fasor da laamplitudy el nguloentre el mismo y el eje-xlafase angular. Debido a las propiedades de la matemtica de oscilaciones, en electrnica los fasores se utilizan habitualmente en el anlisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejesxeytiene diferentes significados fsicos.Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y despus se aplica la suma fasorial (similar a lasuma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es laamplitud de la oscilacin resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener laintensidad. Ntese que mientras que la suma de varias oscilacionessinusoidalesno es necesariamente otra oscilacin sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia s lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ngulo del fasor resultante

3-DEFINICION DE ALGEBRA FASORIAL

Una sinusoide u oscilacin sinusoidal est definida como una funcin de la forma donde: yes la magnitud que vara (oscila) con el tiempo es una constante (enradianes) conocida como el ngulo de fase de la sinusoide Aes una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la funcin sinusoidal. es la frecuencia angular dada pordondefes la frecuencia. tes el tiempo.Esto puede ser expresado como

Donde: ies launidad imaginariadefinida como. En ingeniera elctrica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se produciran con el mismo smbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente elctrica. da la parte imaginaria del nmero complejo "Y".De forma equivalente, segn lafrmula de Euler,

"Y", la representacin fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:

de forma que

As, el fasor Y es el nmero complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notacin, los fasores se escriben habitualmente ennotacin angular:

Dentro de laIngeniera Elctrica, el ngulo fase se especifica habitualmente engrados sexagesimalesen lugar de en radianes y la magnitud suele ser elvalor eficazen lugar del valor de pico de la sinusoide.

Evolucin de dos magnitudes senoidales de la misma frecuencia y de su suma en forma temporal y fasorial.

4-LEYES DE CIRCUITOS

Utilizando fasores, las tcnicas para resolver circuitos decorriente continuase pueden aplicar para resolver circuitos encorriente alterna. A continuacin se indican las leyes bsicas.4.1- Ley de Ohmpara resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una seal. Por tantoV=IRsigue siendo vlida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores:V=IZdondeZes laimpedanciacompleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representacin de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrs y adelante. Se puede definir tambin la potencia complejaS=P+jQy la potencia aparente que es la magnitud deS. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entoncesS=VI*(dondeI*es elcomplejo conjugadodeI).4.2-LasLeyes de Kirchhoffson vlidas con fasores en forma compleja.Dado esto, se pueden aplicar las tcnicas de anlisis de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con ms de una frecuencia o con formas de oscilacin diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilacin en sus componentes sinusoidales y despus analizando cada frecuencia por separado. Este mtodo, resultado directo de la aplicacin delprincipio de superposicin, no se puede emplear para el clculo de potencias, ya que stas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, s es vlido resolver el circuito mediante mtodos de superposicin y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.

5-TRANSFORMADA FASORIAL

La transformada fasorial o representacin fasorial permite cambiar de forma trigonomtrica a forma compleja:

donde la notacinse lee como "transformada fasorial de X"La transformada fasorial transfiere la funcin sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los nmeros complejos o dominio de la frecuencia.

6-TRANSFORMADA FASORIAL INVERSA

La transformada fasorial inversapermite volver del dominio fasorial al dominio del tiempo.

7-ARITMTICA FASORIAL

Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencialpolarsimplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la formacartesiana(rectangular) simplifica las sumas y restas.

8-REPRESENTACIN FASORIAL

La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular . Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor mximo de la tensin o corriente (segn sea la magnitud que se est representando). El ngulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro est relacionada con la frecuencia de la seal.

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre s (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ngulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante nmeros complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si nicamente queremos representar una seal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada nicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ngulo es cero. Si en cambio nos interesa el ngulo de fase (normalmente cuando lo estamos comparando con otro fasor) lo indicamos segn corresponda.

El igual que en los nmeros complejos, los fasores pueden estar representados en forma binmica y polar (existen otras como la trigonomtrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos ser ms simple hacer cuentas con la otra forma.

9-FORMA POLAR

Los fasores suelen indicarse matemticamente tambin en forma polar, es decir como un mdulo y un ngulo. Por ejemplo la expresin:

V= 311sen(250t+) Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:

V=311V=250(para una f=50Hz)=45(o)

En forma polar se escribe como 311 (45) V.

9.1-FORMA BINMICA

Otra forma de expresar a un fasor o nmero complejo, es la forma binmica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

Con las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binmica (a y b) a partir del mdulo del fasor y de su ngulo (forma polar) o bien hallar el mdulo del fasor y su ngulo a partir de la forma binmica.

9.2- FORMA BINMICA A POLAR

Si tenemos el fasor dado en forma binmica y queremos conocer el mdulo, lo calculamos como la hipotenusa del tringulo. El ngulo se calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el adyacente.

9.3- FORMA POLAR A FORMA BINMICA

Forma binmica = a + j b

9.3.1-Suma y resta de fasores

Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binmica, por lo tantose hace la suma o resta componente a componente.

9.3.2-Multiplicacin y divisin de fasores

Es ms simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los mdulos segn corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicacin) o se los resta (para el caso de la divisin).

10-DIAGRAMA FASORIALUn fasor es una representacin grfica para un nmero complejo, dibujado como un vector con un extremo en el centro del diagrama (el mdulo es la longitud del vector), y un ngulo medido en grados a partir de una referencia fija. La proyeccin de este vector sobre el eje X se denomina la componente real, mientras que la proyeccin del vector sobre el eje Y representa la llamada componente imaginaria. Sus componentes conforman un tringulo rectngulo (las componentes como catetos perpendiculares, junto con el vector mismo como la hipotenusa) de forma tal que al aplicar trigonometra simple podemos realizar el intercambio en la representacin analtica desde la forma Rectangular, utilizando diferenciadamente las componentes real e imaginaria, a la forma Polar,

11-EMPLEANDO UN MDULO Y UN NGULO; Y VICEVERSA.

En este grfico se puede apreciar que, mientras el fasor gira los 360 grados del diagrama la seal sinusoidal esta es la base de la representacin que nos facilita el diagrama fasorial, la rotacin del vector representa el valor de la funcin en el tiempo. En un mismo diagrama se pueden representar simultneamente los voltajes y las corrientes en varios elementos de un circuito, de acuerdo con la respuesta que tenga cada uno. Sin embargo, por razones de conveniencia y simplicidad visual se recomienda que en un diagrama fasorial se represente la respuesta de un circuito ante el estmulo de fuentes sinusoidales que tengan slo una misma frecuencia. Si hace falta resolver un caso que combine fuentes de varias frecuencias es preferible aplicar el principio de superposicin y hacer un anlisis por separado, para luego combinar los resultados. Nos interesa estudiar la fase como un lapso entre la aplicacin y la reaccin. Este tiempo se puede representar utilizando fasores si se coloca un extremo del vector en el centro del diagrama y se rota el segmento hasta que tenga un ngulo respecto a una referencia (puede ser por ejemplo el semieje positivo de X) que sea proporcional al tiempo. Para convertir los segundos en grados basta tomar como base el tiempo de un perodo (inverso de la frecuencia) y relacionarlo con un giro completo, de 360 grados o 2 radianes. Una fase es simplemente un perodo. En el estudio de las seales elctricas, la fase es el tiempo que ha transcurrido desde el momento que se considera como el inicio, lo que se toma como referencia; lo que ocurre entre la aplicacin del voltaje y la reaccin de la corriente que circula por el elemento. Cuando se habla de una fase se hace en alusin a una distancia medida en segundos o en grados. Tambin puede ser la diferencia de tiempo entre la ocurrencia de dos seales. En el anlisis de un circuito elctrico, ms importante que conocer el ngulo de cada fasor, es conocer la fase o la distancia entre los fasores.

12-RELACIN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES

Veamos ahora el procedimiento de transformacin de un circuito con elementos R, L y C a un diagrama de impedancias, y su representacin con fasores.Cuando se aplica una diferencia de potencial a un elemento circuital, la fase de su reaccin depende enteramente de lo que le ocurre a la energa que lo atraviesa. Se considera que hay tres tipos bsicos de reaccin en un circuito elctrico, o una combinacin de ellos: los resistores, los condensadores y los inductores. Los resistores son elementos circuitales en los que la energa se transforma inmediatamente, pasa de su forma elctrica a la forma calrica, lumnica, movimiento, u otros, razn por la que usualmente se denominan elementos activos. Los condensadores, al igual que los inductores son elementos que no transforman la energa sino que la almacenan, en forma de campo elctrico el primero y en forma de campo magntico el segundo. Se denominan elementos reactivos, y de acuerdo con su naturaleza tienen siempre una reaccin que no es inmediata, sino que se desplaza en el tiempo. Es esta ltima dimensin, la temporal, es la que hace tan til el uso de los fasores en electricidad.

13-DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Eldominio de la frecuenciaes un trmino usado para describir el anlisis defunciones matemticasosealesomovimiento peridicorespecto a sufrecuencia.Un grfico del dominio temporal muestra la evolucin de una seal en el tiempo, mientras que un grfico frecuencial muestra las componentes de la seal segn la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representacin frecuencial incluye tambin la informacin sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la seal original.El dominio de la frecuencia est relacionado con lasseries de Fourier, las cuales permiten descomponer una seal peridica en un nmero finito o infinito de frecuencias.El dominio de la frecuencia, en caso deseales no peridicas, est directamente relaccionado con laTransformada de Fourier.

14-SERIE DE FOURIER

Las primeras cuatro aproximaciones para una funcin peridica escalonadaUnaserie de Fourieres unaserieinfinita que converge puntualmente a unafuncin peridicaycontinuaa trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico francsJean-Baptiste Joseph Fourierque desarroll la teora cuando estudiaba laecuacin del calor. Fue el primero que estudi tales series sistemticamente, y public sus resultados iniciales en1807y1811. Esta rea de investigacin se llama algunas vecesAnlisis armnico.Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta sumamente til en la teora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros.Las series de Fourier tienen la forma:

Dondeyse denominancoeficientes de Fourierde la serie de Fourier de la funcin

15-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS SIGUIENTES RELACIONES:

16-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES SENOIDALES EN EL TIEMPO

17-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIN FASORIAL

Los valores instantneos que desarrolla una funcinsenoidal(funcin matemtica seno) coinciden con los valores del cateto vertical del tringulo que describeunvector giratoriollamadofasor. En Fig. Podemos ver esta correlacin.

En vista de esta relacin, se deduce que una magnitudsenoidalse puede representar mediante unfasorequivalente.De esta forma en los circuitos de corriente alterna, las tensiones y corrientes se representan mediante vectores giratorios (fasores), con las siguientes normas: El mdulo de losfasoreses el valor eficaz de las magnitudessenoidales. El ngulo entrefasoreses el desfase entre lassenoidales. El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el siguiente V(t); I(t): ondasenoidalque depende del tiempo V;Ifasorequivalente V; I:valoreficazEn los siguientes ejemplos aclaramos esta representacin mediantefasores. Ejemplo 1 (Fig.):Tensin: 230 (V) de valor eficazIntensidad: 2 (A) de valor eficaz; retrasada 30 respecto a la tensin

!!! Cuando unfasorretrasa con otro, debe girarse en sentido horario.Ejemplo 2 (Fig.):Tensin: 230 (V) de valor eficazIntensidad: 6 (A) de valor eficaz; adelantada 60 respecto a la tensin.

!!! Cuando unafasoradelanta con otro, debe girarse en sentidoantihorarioEjemplo 3 (Fig.):Tensin: 230 (V) de valor eficazIntensidad: 10 (A) de valor eficaz; en fase.

CONCLUSION

Al culminar con este trabajo nos sentimos satisfechos, porque sabemos que estamos entregando un material, que a partir de ahora se podr convertir en una importante fuente de consulta, para todo aquel que vaya a trabajar en el campo de los fasores. Pusimos todo nuestros empeo para que este material fuera lo ms entendible posible y tratando de resaltar de este la importancia del campo de los fasores, para los avances en muchas reas de nuestras vida, que se ven ms reflejado en los avances tecnolgicos. Tambin nos preocupamos de que ms persona conozcan de dicho campo, ya que no es de dominio pblico, sino de uso tcnico y profesionales de dicha rea del saber.En este material pudimos resaltar el uso de los fasores, sus diferentes herramientas y operaciones matemticas, la forma en que lo podemos representar, su significado e importancia para el mundo globalizado de hoy en da.Ya por ultimo esperando haber llenado las expectativas de todo el que acuda a dicho material como consulta, as como a nuestros compaeros de electrotecnia general de la Universidad Autnoma de Santo Domingo (UASD), y por supuesto las expectativas de nuestro maestro.

BIBLIOGRAFA

http://ingen.cajael.com/es/content/fasores

http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor

http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/DI/Alterna.pdf

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap1/cap1lec5/cap1lec5.htm

http://www.cifp-mantenimiento.es/e-learning/index.php?id=1&id_sec=5

http://prof.usb.ve/jmontene/pdf/Fasores.pdf

http://www.buenastareas.com/ensayos/Fasores/2025051.html