algebra ejercicios

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Cap tulo 1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA1.1.1.1.1.

CONCEPTOSPRODUCTOS NOTABLES2

Estos son los productos mas empleados para la solucin de expresiones algebricas: o a 1. (a + b) = a2 + 2ab + b2 2. (a b) = a2 2ab + b2 3. (a b) = a3 3a2 b + 3ab2 b3 4. (a b) = a3 3a2 b + 3ab2 b33 3 2

5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6. (x + a) (x b) = x2 + (a b) x ab 7. (x a) (x + b) = x2 + (b a) x ab 8. (x a) (x b) = x2 (a + b) x ab

EJEMPLO 1: Hallar el producto notable de la siguiente expresin: (x + 1)(x 2). o SOLUCION: Vemos que esta expresion cumple las condiciones para el producto notable de la tabla, en este caso el inciso 6. Donde a = 1 y b = 2; lo aplicamos y nos da como resultado: (x + 1)(x 2) = x2 + (1 2)x (1)(2) (x + 1)(x 2) = x2 x 2

575

576

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

EJEMPLO 2: Hallar el producto notable de la siguiente expresin: (9y 2 2x3 )2 o SOLUCION: Este se pararece al producto de un binomio cuadrado perfecto que se encuentra en la tabla, en el inciso 2, donde a = 9y 2 y b = 2x3 , lo aplicamos y tenemos como resultado: (9y 2 2x3 )2 = (9y 2 )2 2(9y 2 )(2x3 ) + (2x3 )2 9y 2 2x32

= 81y 4 36x3 y 2 + 4x6

1.1.2.

FACTORIZACION DE POLINOMIOS

1. x2 y 2 = (x + y) (x y) 2. x3 + y 3 = (x + y) x2 xy + y 2 3. x3 y 3 = (x y) x2 + xy + y 2 EJEMPLO 1: Factorizar el siguiente binomio 27 + 125a3 . SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cubos que esta en la tabla del inciso 2 ya que este es paracido a la expresin dada y adems 27 y 125a tienes ra o a ces cbicas exactas. apliu cando y efectuando: 27 + 125a3 = 33 + (5a)3 = (3 + 5a) 32 (3)(5a) + (5a)2 Por lo tanto, 27 + 125a3 = (3 + 5a) 9 15a + 25a2 EJEMPLO 2: Factorizar el siguiente binomio (a b) c2 . SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cuadrado que esta en la tabla del inciso 1 ya que este es paracido a la expresin dada y adems (a b)2 y c2 tienes ra o a ces cuadradas exactas. aplicando y efectuando: (a b) c2 = [(a b) + c] [(a b) c] Por lo tanto, (a b) c2 = (a b + c) (a b c).2 2 2

1.1. CONCEPTOS

577

1.1.3.

FRACCIONES ALGEBRAICA

1. a (b + c) = ab + ac 2.a+b c

3. 4.2x1 3

a ba b c d

+ =

c d a b

=

ad+bc bd c d

=

a c

+

b c

=

ac bd 5(x+1) 8

EJEMPLO 1: Resolver la ecuacin o SOLUCION:

x+13 24

= 3x +

El m.c.m de 3,24 y 8 es 24. Dividiendo 24 entre 3,24,1 y 8 y multiplicando lo cocientes por el numerador respectivo, tendremos: 8 (2x 1) (x + 13) = 24 (3x) + 15 (x + 1) 16x 8 x 13 = 72x + 15x + 15 16x x 72x 15x = 15 + 8 + 13 72x = 36 x = 36 = 1 72 2 Por lo tanto, x = 1 . 2 3 EJEMPLO 2: Resolver la ecuacin 2x+1 o SOLUCION: El m.c.m de los denominadores es 4x2 1 por que 4x2 1 = (2x1)(2x+1) y aqu ve mos que contiene a los otros dos denominadores. Dividiendo por (2x 1)(2x + 1) entre cada denominador y multiplicando por el numerador respectivo, tendremos: 3 (2x 1) 2 (2x + 1) (x + 3) = 0 6x 3 4x 2 x 3 = 0 6x 4x x = 3 + 2 + 3 x=8 Por lo tanto, x = 8

2 2x1

x+3 4x2 1

=0

578

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

1.1.4.

POTENCIACION Y RADICACION Si m = n 1, xmn , Si m > n = 1 , Si m < n xnm1 xn

1. xm xn = xm+n

7.

xm xn

2. (xm )n = xmn 3. (xy)n = xn y n 4. x n = 5. 6. nm 1

8. xn = 9.x ym

n

=

xn yn

n

x

10. x n = 11. x=mn n

n

m xm = ( n x)

xy = n

n xnyn

x y

=

nx ny

12. x0 = 1 EJEMPLO: 1 Simplicar la expresin 2 2ab2 + 18a3 (a + 2b) 2a o x= x SOLUCION: Simplicando en primera instancia, los radicales 2 2ab2 = 2b 2a 18a3 = 2 32 a2 a = 3a 2a Entonces, operando 2b 2a + 3a 2a a 2a 2b 2a = 2a 2a Por lo tanto, 2 2ab2 + 18a3 (a + 2b) 2a = 2a 2a EJEMPLO:2 Racionalizar el denomiandor de 1 3 3 SOLUCION: Recurdese que x3 + y 3 = (x + y) (x2 xy + y 2 ); entonces, e3+ 4

m

1.1. CONCEPTOS 1( 3 9 3 12+ 3 16) 3+ 3 4)( 3 9 3 12+ 3 16) 3 9 3 12+ 3 16 7

579

1 3 3+ 3 4

=

(

3

=

Por lo tanto, 1 = 3 33+ 4

3

9 3 12+ 3 16 7

1.1.5.

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Para la solucin de ecuaciones de primer y segundo grado slo basta o o con los conocimientos previos sobre la factorizacin de polinomios,los o productos notables; esto incluye la aritmtica bsica, exponenciacin y e a o radicacin de trminos. o e En algunos casos se hace uso de la FORMULA CUADRATICA que se expresa de la siguiente manera: Si ax2 + bx + c = 0, entonces x= b b2 4ac . 2a

Donde x tiene dos ra ces o sea dos soluciones. Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO 1: Hallar el valor de x para la siguiente ecuacin lineal: x + 5 = 2x o7 2

SOLUCION: Lo primero se deben colocar la variables x es un solo lado de la igualdad y las constantes en el otro lado. x + 5 = 2x 7 2 7 2

2x x = 5

Ahora se suman los trminos semejantes; se aplica la operacin respectie o va con las constantes, en este caso suma de fraccionarios. 3x = 17 6 Por ultimo multiplicamos en ambos lados de la igualdad por el inver so multiplicativo de 3, osea, 1 ; con el n de obtener el valor de x. 3

580

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

1 ( 1 ) (3x) = ( 17 ) ( 3 ) 3 2

x=

17 6 17 . 6

Rta: el valor que satisface la ecuacin es x = o EJEMPLO 2:

Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuacin de seguno 2 do grado: (x 6)(x 7) = 2x + 1 SOLUCION: Comenzamos con efectuar la multiplicacin de los dos binomios y luego o colocamos todos los trminos de un solo lado de la igualdad. e (x 6)(x 7) = 2x2 + 1 x2 13x + 42 = 2x2 + 1 x2 13x + 42 + 2x2 1 = 0 3x2 13x + 41 = 0 Ahora aplicamos la frmula cuadrtica para hallar sus ra o a ces: (13) (13)2 4(3)(41) x = 2(3) = = = 13 169492 6 13 323 6 13i 323 6

Por tanto las soliciones son complejas y no reales x =

13 6 13 6

+ 1 i 323 6 1 i 323 6

1.1. CONCEPTOS

581

1.1.6.

DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

1. Si a < b y b < c, a < c 2. Si a < b a + c < b + c 3. Si a < b y c > 0, ca < cb 4. Si a < b y c < 0, ca > cb |x| = a signica que x = a o x = a |x| < a signica que a < x < a 5. Si a > 0, entonces |x| > a signica que x > a o x < a EJEMPLO 1: Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la u desigualdad 3x + 8 > 3x + 2. SOLUCION: Como lo hemos comentado antes, debemos de colocar todos los terminos que contengan a x en un solo lado de la desigualdad y lo mismo con las constantes. 3x 3x > 2 8 0>6 Esta expresin se cumple, por consiguiente es una desigualdad absoluta o y se verica para cualquier nmero real. Entonces: u {0 > 6} = (, ). La grca de este intervalo, como ya lo ha podido establecer el lector, a correspondiente a toda la recta real. EJEMPLO 2: Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la u desigualdad |x 3| = 5.

582

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

aplicando el teorema 5 y de acuerdo con el simbolo de la desigualdad en este caso =, aplicamos |x| = a signica que x = a o x = a, donde a = 5. Aplicamos y resolvemos: SOLUCION: Como 5 > 0, entonces: |x 3| = 5 x 3 = 5 x 3 = 5. Por lo tanto, x = 8 x = 2. Entonces: {X |x 3| = 5} = {X x = 2 x = 8} = {2, 8}.

1.1. CONCEPTOS

583

Factorizacin de Polinomios oEn los ejercicios del 1 al 9, seleccionar la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. En la expresin x2n + bxn + c, el exponente del cuadrado perfecto o es: a) b) c) d) Siempre un nmero par. u Siempre un nmero impar. u Puede ser par o impar. Nada se puede armar.

2. Si multiplicamos la suma de las ra cuadradas de dos expresiones ces algebraicas por la diferencia de las mismas, obtenemos: a) b) c) d) Un trinomio cuadrado perfecto. Una diferencia de cuadrados. Una suma al cuadrado. Una diferencia de cuadrados.

3. Los trminos de una diferencia de cuadrados: e a) b) c) d) Debe ser monomios. Puede ser dos polinomios cualquiera. Deben ser un monomio y un binomio. Deben ser dos binomios.

4. Para factorizar a b como una diferencia de cubos: a) b) c) d) Puede hacerse en el conjunto de las racionales, siempre. Slo puede hacerse en los reales. o Puede hacerse en los enteros, siempre. No pueden hacerse en ningn conjunto. u

5. Acerca de la expresin a6 b6 podemos armar: o a) b) c) d) Slo es factorizable como diferencia de cuadrados. o Slo es factorizable como diferencia de cubos. o Es factorizable como diferencia de cuadrados y cubos. No es factorizable.

584

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

En los ejercicios del 10 al 55 factorizar completamente la expresin o en el conjunto de los nmeros enteros: u10. 4a2 x2 25x2 11. m7 8m5 + 10m3 12. x4 y 4 13. a2 + 12abx + 36b2 x2 14. (a b)2 (x y)2 15. (x + y 8)2 (x 8)2 16. 1 x2 2xy y 2 17. a6 + 729t3 18. a3 + b3 + a + b 19. a2 9b2 + a + 3 20. 84y 3 105y 2 + 21y 21. (x + 3)2 7 (x + 3) + 12 22. x5m x3m b4m 23. 9a3 12a2 b + 4ab2 24. x3 + x2 4x 4 25. 25x2 80xy + 64y 2 26. 9a2 6a + 1 27. 27a3 + 8b3 28. x2 + 2xy + y 2 xy + yz 29. a2 + 2ab + b2 a3 b3 30. x2 + 2yx + y 2 xz yz 31. a2 + 2ab + b2 a3 b3 32. 81a8 64b12 33. n2 + n 42 34. x6 4x3 480 35. 32n 3n + 20 36. 4 4 3n + 32n 37. 3p2 3p 18 38. a10 a8 + a6 a4 39. 3a2 b2 12a2 bc + 18ab2 c 40. 32n + 2 3n + 1 41. a9 a6 42. 8x6 + 7x3 1 43. a3 9b2 27b3 + a2 44. 2x2 xy n y 2n 45. x4 + 3x2 4 46. a4 b4 + 4a2 b2 96 47. x3 y 3 + x y 48. x2m+2 x2 y 2n 49. x xy + 1 y 2 50. a2 + a2

+ 7 a2 + a + 12

51. a4 + a3 9a2 9a 52. x5 40x + 144x 53. x17 x 54. x21 y 3 x3 y 21 55. m12 1

6. En una diferencia de cuadrados perfectos los exponentes:

1.1. CONCEPTOS

585

a) Deben ser pares. b) Deben ser impares. c) Pueden ser pares o impares. d) Ninguna de las anteriores. Factorizar los ejercicios 56 a 61 , sumando y restando previamente una cantidad para formar un trinomio cuadrado perfecto. 56. a4 7a2 b2 + b4 57. m4 + 4 58. x4 7x2 + 9 59. 4x4 + y 4 60. 9x8 + 8x4 y 4 + 4y 8 61. x4n + 16 + 4x2n En los ejercicios 62 a 70 factorizar por el mtodo de completacin e o al trinomio cuadrado perfecto. 62. c2 + 30c + 81 63. i2 + 9i 36 64. y 4 2y 2 35 65. y 4 + y 2 156 66. 2m4 11m2 21 67. 3c2 + c 2 68. 5x2 + 7x 6 69. 6m6 + 17m3 45 70. z 2 18z + 17

586

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

En los ejercicios 71 a 80 factorizar los polinomios dados. Estos ejercicios tienen un nivel de dicultad un poco mayor que los anteriores. 71. (a2 b2 ) (x y) (x y)2 (a b) 72. 16 16y 3 n4 + n4 y 3 73. a (a 1) x2 + (2a2 1) x + a2 + a 74. 8a8 14a4 y 4 3y 8 75. x3 2x 1 (Sug: haga 2x = x x y agrupe) 76. a (b2 c2 ) bc (b c) + a2 c a2 b 77. a (a 1) x2 (a b 1) xy b (b + 1) y 2 78. a3 + a2 + 2ab 3b2 b3 79. a2 (c b) + b2 (a c) + c2 (b a) 80.8 y3

x3

8a2 y3

+ a2 x3

1.1. CONCEPTOS

587

Fracciones AlgebraicasEn los siguientes ejercicios resolver y simplicar:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

2a3 +54b3 2a2 +5ab3b2 4xy+4y 2

+ 8ab19b a b 2ab15xy 4x+y 2x2+3xy9y2 + 2xy x+y x+z + y2yzxy+xz + xzyzx2+xy2 2

2

4x2 8xy+3y 2 y+z

x2 xzxy+yz 4 4 +x2 +1 x x2 y2

+ x2+x1 + x2x1 x x+1 x +x+12

x1 x+1 1x2 + y+y2 + yy2 1y

x2 (yz)2 (z+x)2 y 2 4a+6b a+b

+ y (zx)2 + z (xy)2 (x+y)2 z (y+z)2 x2 2 2

2

2

2

2

+6b + 6a4b + 4a2a2 + 4b 26a b20b 4 4 a ab b a +b2 b c + (bc)(ba) + (ca)(cb) y zx z xy + (yz)(yx) + (zx)(zy)2 2

2

4

a (ab)(ac) x2 yz (xy)(xz)

588

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

a2 a2 a2 +a6 x4 1 x3 1 a2 b2 a3 +b3 a4 b4 a3 +b3

(a1) a4 1

2

a a1

1 a+1 1 x

x 1 (x+1)2 1 a2

+x3 3 2

1 a b a ab + b12 (ab)2 ab 1 a2

ab 1 + (ab)2

+ b123

a2 ax+x2 ax

a

2 +ax+x2

a+x2

a2x 2 x5 2

x4 a4 2 2ax+a2 x

+ax xxa xxa x3 3 +a3 1 x x

x a

a x

1 1 x3 x3 3 x x 9y 2 (4z2x)2 (2x+3y)2 16z 2 a+x

+

16z 2 (2x3y)2 (3y+4z)2 4x2

+

4x2 (3y4z)2 (4z+2x)2 9y 2

a2 ax+x2

ax a2+ax+x2 4 2 2

a2 +x2 a3 x34

a3x3 a +x2

2

2

x3 +8x2 y+15xy 2 (64x3y3)(x3+y3)ba a+ 1+ab

17x y +y x +2xy3y 16x2+21xy+5y2 x3x2y+xy2 4x

2

1 1+ab

a(ba)

x+y 1xy y y(x+y) 1+ 1xy

1.1. CONCEPTOS

589 x+3 + x+3 4 x+1 x3 + x3 7 x4

21. 22. 23.

6 x2+ x+3 12 x4+ x+3

1+x + 4x + 8x 1x 1x 1+x2 1x2 1+x 1+x2 + 4x2 1x2 1x2 1+x4 1+x2

x 2 1 x+ 2

1

x 1 2+ 1 2x x+4x x+1 2

24. a 1 12a a + aa 1+3a 1a2 25. 26. 27.(a+b)2 +(ab)2 (a+b) ba 1 1 ba a+b cb (ab)(ac)

1a 2aa2

(a+b)3 +(ba)3 (a+b)2 (ab)2

ca (bc)(ba)

+

ba (ca)(cb)

2(a2 +b2 +c2 bccaab) (ab)(bc)(ca)

x2 1

1 x2 + x 1 x+ x

1

+ 1 x

1 x2 x 1 x x

2 2 1

28. 29. 30.

x2

2x2 +2x x 3 x 1 2ab b+ 1+ab

x4

3(x1) x 3 x 1 + 4

(ab)b 1 1+ab

a(ab) 1 1ab

ab a 1ab

a b

b a

3

a+3 2 a a1

2a3( a+1 ) a1

2 a a1

590

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

Potenciacin y Radicacin o o

1. En el parntesis de la derecha escribir una V o una F segn que el e u enunciado sea verdadero o falso.

a) La ra cuadrada de un nmero siempre es positiva. ( ) z u b) La ra cbica de un nmero negativo no es nmero real. ( ) z u u u c) La ra de z ndice par de un nmero negativo no es un nmero u u real. ( ) d) La ra de z ndice impar de un nmero negativo no es un nmero u u real. ( ) e) Si a = n x, entonces an = x. ( )

f) Todo radical de ndice par tiene dos soluciones reales. ( ) g) Un radical de ndice par de un nmero negativo tiene una sola u solucin real. ( ) o h) Un radical de de ndice impar de un nmero negativo tiene al u menos una solucin real. ( ) o i) La ra de un producto es igual al producto de las ra de los z ces factores. ( ) j) La ra de una suma no es igual a la suma de las ra z ces de los sumandos. ( ) k) La ra de una potencia se obtiene dividiendo el exponente del z radicando por el ndice del radical. ( )

1.1. CONCEPTOS

591

l) La ra de una fraccin es igual a la ra del numerador dividida z o z por el denominador. ( ) m) n) o) p) q) a2 + b2 = a + b. ( ) (a + b)2 = a + b. ( ) (a + b)1 =1 . a+b

( )

32 + 42 = 3 + 4. ( )16 9

= 4. ( ) 3

En los ejercicios del 2 al 6 seleccionar la letra que corresponde a la respuesta correcta.

2. Un radical con radicando negativo tiene valor real cuando: a) El ndice es par. b) El ndice es impar. c) El radicando es un nmero impar. u d) Nunca. 3. Si la expresin A2/3 8 3 la expresin con exponente positivo despus o 6 o e B de simplicarlo, queda: a) c) A B C 3 2 4 A B 13 C1/2 1/4

b) d)

4 A2 B 13 C2 3 A B 13 C

592

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

3 4 6 4. Al simplicar [ x2 x3 ] x5 , el resultado es: a) c) 3 6 x3 b) d) 4 3 x3 x

x3

2 3 + 5. Al simplicar 3 2 , el resultado es: 2 33

2

a) 1 c) 3 6. La expresin o a) c) mn mn 18 m7 9 q n 3 3 mn

b) 2 d) 5 equivale a: b) d) 9 9 m3 n4 m6 n8

18

7. Escribir con radicales las expresiones siguientes: a) x3/2 b) U 3/5 c) 5m2/3 d) 4y 3/7 e) (4ab3 )2/3

f) (7x2 y)

3/2

g) a1/2 + b1/2 h) (a + b)1/2

1.1. CONCEPTOS

593

En los ejercicios 10 a 38, resolver las ecuaciones dadas:

10.

162 a1/2 b3 811 a1/2 b3 a5 .(a2 )n

11. 13. 15.4 a x x1 a

82/3 . 3 4a

3

a 2

12. 14.

[a(a1 )n ]2 n 43 (84/3 )

91/2

9,81n/2 (9n )1/2 xa 2a x

[

2 4(41 )n

]

. (x2 )a1/2 x1/4 3b1/6 y

a2

1/a

17.

5

a1/2 x2 . x1/2 a2

3

16.

ax1/2 . 9b1/3 y

2

19. (43n + 8,82n ) 20.2,23n 4,4n (2,2n )3 8,22n+1 n

3

272

1/2n

18. 82/3 (3,32n + 9n ) 21. 16n+1 +22n+3 +8 2 2,24n +4n + 2

1/n

22. [e2x e2x ]

[ex + ex ]1

n

23. [(a1 1) + 1] 24. 25.xa xa

[(a1 + 1) 1]1/a xa a+1 x1

1

.

x2a xa +1 b

.

ab+d abd

. a

b+d bd

.

ad ab

d 1/b

26. 28. 30.

y b+1 y b2 1 2n ,4n+1 3,8n

1/b+1

b 2

y2 4 16b3

27. 2 + 29. 31. (32n )

ae4x ae4x (ex ex )(aex +aex )

1/2

92n 162

36(22n +4n ) 81n

n1

33 ,3n2

(81n )2n ,243n(n1) (27n1 )n+1 b2 +a2 b2 a2

(ex +ex )

(ex +ex )

1

ex ex 2 ex +ex 1/n

a1 b1 a1 +b1

32. xn 33.

xn n+1 x

xn1

x1/2 +x1/2 x2 x+1

x1/2 x1/2 x2 +x+1

x1/2 +2x!/2 x3 1

x1/2 2x1/2 x3 +1

594

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

34. 35. 36.

3

54 + 3 3 9 9+

16 27

3 + 2 3 64

37. 2 3 3 4 3 + 4 6 12 38. 18 + 6 243 3 9

7294 7

1 7

91 + 7

+

34 + 7

6

343

8. Escribir las expresiones siguientes con exponente fraccionario: a) b) c) d) 3 x a2 e) f) g) h)3

(a + b)2 a+b

3 54

a10 (4x2 y 2 )2

3

y 3 (a+b)4 (a+b)

3

En los ejercicios 39 a 46, racionalizar el denominador: 39. x+axa x+a+ xa 41. 43. 45. 2+35 2 3 5 2 3 5 3 322 12 50 1 3+ 6 9

40. 42. 44. 46.

1 3 2 x + 3 y2 1 3 9+ 3 6+ 3 4 1 3 2 x 3 y2 5 61)(6+ 6)

(

9. Simplicar las expresiones siguientes: 5 a) 3 27 e) 32m5 n15 i) b) c) d) 3 8 f) g) h)4

3

x8 y 7

16x8 y 4 49m2 n3 8x3 y 5

j) k) l)

3 3. 3 9 2. 83

4a4 b8 8

3

9x2 y. 3 3xy 2

1.1. CONCEPTOS

595

Ecuaciones de Primer y Segundo GradoEn los ejercicios 1 al 10 resolver las ecuaciones propuesta: 1. 32 x 3

+b a

1 6

3 (2x + 18) = 4 4

2. ax +

= bx + 1

3. a (x 2) b (x 1) = b a 4. 5. 6. 7.cx+d2 d x+4 2 rx s

c=5 6

4dxcd c

=

2x2 3

sx r

=rs =6 2x2 7x+6 bc2 a

2 x2

3 2x3

8. b (a + x) (a + x) (b x) = x2 + 9. 10.xa+b xa b(x+a) x2 b2

+ +

xb x2b

=

x xb

+

xa xab

2x+3ba x+b

=

2(x2 +bxb2 ) x2 b2

En los ejercicios 11 a 15 despejar la letra que se indica a la derecha de cada ejercicio.

11. 1 =

3(d+b) , 2+d

despejar b

12. L2 = L1 (1 + at), despejar t 13. P =w 2gt 2 2 (v1 v2 ), despejar t

596

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRAe2 , s

14. E = 1 mr2 w2 2 15. M =L F 25 f

despejar m

+ 1 , despejar f

En los ejercicios 16 al 20, resolver las ecuaciones propuestas: 16. mx2 nx = m + n 17. px2 px = q 2 + q 18. u2 x2 x2 + 2u2 x + 4 = 0 19. r2 x2 2rx + r2 = 9 20. w2 x2 2wx + 4v = 4v 2 21. Hallar el valor de k para que las ra de la ecuacin ces o x2 + 2(k 2)x 8k = 0 sean iguales. 22. Hallar el valor de k para que la suma de las ra sea igual al proces ducto de las mismas, en la ecuacin 2x2 + (3k 1)x k 3 = 0. o 23. Hallar el valor de k para una de las ra de la ecuacin 3x2 + 5x + ces o k 2 5k + 6 sea igual a cero. 24. Hallar la ecuacin de segundo grado cuyas ra son o ces2 3

y 1. 2

25. Hallar la ecuacin de segundo grado cuyas ra son 5 3 y 5+ 3. o ces En los ejercicios 26 a 41, resolver las ecuaciones dadas:

1.1. CONCEPTOS

597

26. 27. 28. 29.

x4+3= 4x + 5 x+x+3 x3

x + 11 x+3

x=

4a + x = 2 b + xx3 x+3

2

=1

30. 9 x2 9x + 28 + 9x = x2 + 36 31. 27x6 + 8 = 35x3 32. 3 33. 34.2x1 x+3

+2

x+3 2x1

=5 12a x = ( x + 1) ( x 1)

x+

12a x

x

x+x2 1 x x2 1

xx2 1 x+ x2 1

= 8x x2 3x + 2

35. 2x2/3 3x1/3 = 2 36. x2 + 3x x2 + 3x 1 7 = 0

37. 16x2 + 19x1 = 0

38.

3

3+

x

2x + 1 = 1

39. 5 3 70x + 29 = 9 3 14x 15 40. 3 2x 1 = 6 x+1

598

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

41.

x

6 2 x

+ 4x

24 x

=5

Problemas 42. Juan puede hacer un trabajo en 10 d y Luis lo puede hacer en as, 8 d Despus de que Juan ha trabajado 3 d llega Luis para as. e as, ayudarle. En cunto d terminan el trabajo? a as 43. Se tienen dos aleaciones del 60 % y del 75 % de oro, repectivamente. En qu proporcin se deben mezclar para producir una aleacin e o o que tenga el 65 % de oro? 44. Un barril contiene 20 galones de una mezcla de vino y agua, que es 40 % vino. Cuntos galones se deben sacar de esta mezcla para a reemplazar con igual volumen de agua, para que la solucin resulo tante sea del 25 % de vino? 45. Reslver para x: x+ x x x=3 2 x x+ x

1.1. CONCEPTOS

599

Desigualdades y Valor Absoluto1. Sean a, b, c, d Re . Demostrar: a. Si a = 0 entonces a2 > 0 b. Si a > b > 0 y c > d > 0 entonces ac > bd 2ab c. Si a > b > 0 entonces a+b < ab d. Si a > b > 0 entonces a+b > ab 2 e. Si a > b > 0 entoncesa+b 4a

>

b a+b

f. Si a > b > c > 0 entonces (a + b + c)2 < a2 + b2 + c2 g. Si a > b > 0 entonces a3 + b3 > (a2 ab + b2 ) 2. Utilizando la notacin de intervalos, encontrar en cada caso el cono junto solucin y representarlo grcamente: o a a) [3; 7] [2; 6] c) [6; 9] [7; 10] e) (, 8) [5; 0] b) [2; 4] [3; 10) d) [2; 6] [3, 7] f) (3,01; 5] (12,1; 6,02]

3. En los ejercicios de la a a la k, hallar el conjunto solucin de la o inecuacion indicada y representarla grcamente. a a) 5x + 2 > x 6 c) 13 2x 3 5 e)4 x

b) 2 x 3

1 2

0

d) 2 > 3 3x 7 f)1 x+1

3>

2 x

7

4 i) 1 x 2x2 0 k)1 3x7

h) (x 3) (x + 5) > 0 j) 4x2 + 9x < 9

4 32x

600

CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

4. En los ejercicios de la a a la c, hallar todos los valores de x para los cuales la expresin es real: o a) 8x 5 b) x2 3x 10 c) x2 5x + 4

5. En los ejercicios de la a a la d, hallar el valor de x: a) |4x + 3| = 7 c) |7x| = 4 x b) |5x 3| = |3x + 5| d)x+2 x3

=5

6. En los ejercicios de la a a la f, hallar el conjunto solucin de las o siguientes inecuciones: a) |x 4| 3 b) |2x 3| 7x1 x3

c) |3 4x| 8 d) e) |x 3| > 6