algebra de benitez

8/15/2019 Algebra de Benitez

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Modelo de transporte

Supongamos que en m lugares (orı

genes) hay O 1, . . . , Om cantidades de unproducto que deben ser transportadas hasta n lugares (destinos), con el fin desatisfacer una demanda conocida D 1, . . . , Dn de estos recursos. Nos interesadeterminar las cantidades de cada producto que se deben llevar desde cadaorigen hasta cada destino, de manera que el costo de transporte sea mınimo.Para fijar ideas consideremos el siguiente caso particular:Ejemplo 4.1 Dos fabricas de papel A y B , deben satisfacer la demanda semanalde tres imprentas etiquetadas con los numeros 1, 2 y 3. En el cuadro siguiente seindican los costos de transporte en dolares por tonelada, la produccion semanalde cada fabrica en la quinta columna y la demanda semanal de cada imprentaen la cuarta fila.

ImprentaFabrica 1 2 3 Prod/sem.

A 17 22 15 350B 18 16 12 550Dem/sem 300 400 200

Las condiciones de produccion y transporte se rigen por las siguientes re-stricciones:

1. (a) i. A. Cada fabrica envıa toda su produccion semanal a las im-prentas.

B. Cada imprenta recibe semanalmente de las fabricas, una can-tidad de papel que es igual a la demanda semanal.

El problema de programacion lineal aquı es determinar la cantidad detoneladas de papel que se deben enviar semanalmente de cada fabrica a cada

imprenta, de manera que el costo de transporte sea mınimo, respetando lasdos restricciones anteriores.

Solucion: Definicion de variables : Sea aj (respect. bj ) el numero detoneladas de papel que envıa la fabrica A (respect. B ) a la imprenta j ,aj = 0, bj = 0; j = 1, 2, 3.Restricciones : Este problema se puede representar por medio del diagrama dela Figura 4.1, en la cual las flechas van del origen al destino.Figura 4.1: Representacion del modelo de transporte con dos orıgenes y tresdestinos.Tenemos las siguiente relaciones:

1. La cantidad de papel enviado a la imprenta 1 es: a 1 + b1, a la imprenta2 es: a 2 + b2 y a la imprenta 3: a 3 + b3. Estas cantidades deben seriguales a la demanda de las imprentas.

1. La cantidad de papel enviada por la fabrica A a las imprentas es a 1 +a 2 + a 3 que debe ser igual a su produccion y en el caso de la fabrica B es b 1 + b 2 + b3.

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Por lo tanto las restricciones del modelo se expresan mediante

el sistema de ecuaciones (??):???(??) ??????Funcion objetivo: se busca minimizar el costo total de transporte,C , el cual es:C = 17a 1 + 22a 2 + 15a 3 + 18b1 + 16b2 + 12b3La solucion de este problema de programacion lineal consiste enencontrar un vector (a*, a*, a*, b1*, b*, b3* ) que minimice la fun-

1 2 3 2cion ob jetivo C , y que satisfaga las restricciones (??).

Modelo de produccionConsideramos que una fabrica es un sistema cuya “entrada” la constituyen recur-sos e insumos tales como materias primas, fuerza de trabajo, tiempo de maquinay otros. La “salida” del sistema es el conjunto de bienes producidos con estosrecursos. El problema basico es operar el sistema en condiciones optimas.Ejemplo 4.2 Una fabrica produce dos artıculos, A y B. Los recursos que utilizapara producir cada artıculo son: materia prima (MP), tiempo de maquina (TM)y fuerza de trabajo (FT). El sistema se puede representar mediante el esquemade la Figura 4.2.

Figura 4.2: Representacion del modelo de produccion con tres insumos y dosproductos.

En el cuadro siguiente se indican el gasto de insumos por unidad de artıculoproducido, ası como las reservas para la produccion durante tres meses y laganancia por unidad de artıculo vendido.

Gasto de insumos porund/prod.

Artıculo MP(lbs) TM(min) FT(hrs) GananciaA 50 6 3 50B 30 5 5 60Reservas 2000 300 200

Formule el problema de programacion cuya solucion es la cantidad de

producto del tipo A y del tipo B que se debe producir en tres meses, paraobtener la maxima ganancia.

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Solucion: Definicion de variables:

x 1 = 0 : numero de unidades producidas del artı

culo A. x 2 = 0 : numero deunidades producidas del artıculo B .Restricciones: El gasto total de cada insumo no puede exceder el total disponiblede este insumo. Por lo tanto si se producen x 1 unidades de A y x 2 unidades deB tenemos:Gasto total de materia prima: 50x 1 + 30x 2, luego50x 1 + 30x 2 = 2000Gasto total de tiempo de maquina: 6x 1 + 5x 2, luego6x 1 + 5x 2 = 300Gasto total en fuerza de trabajo: 3x 1 + 5x 2, luego3x 1 + 5x 2 = 200Funcion objetivo: Si se venden x 1 unidades de A y x 2 unidades de B, la gananciatotal es z = 50x 1 + 60x 2.

La solucion al problema de programacion lineal sera un vector (x*, x* ) queminimice la funcion objetivo1 2-z = -50x 1 - 60x 2y que satisfaga las restricciones:

50x 1 + 30x 2 = 20006x 1 + 5x 2 = 3003x 1 + 5x 2 = 200x 1 = 0 , x 2 =

0

Como el maximo de z se alcanza en el mismo (o mismos) punto(s) donde sealcanza el mınimo de -z , el problema de pro-

gramacion lineal puede formularse como un problema de minimizacion.

0.1 4.2 Solucion del problema de programacion lineal

El metodo por excelencia para resolver un problema de programacion lineales el metodo simplex y como se vera, la geometrıa y el algebra lineal jueganun papel esencial en la fundamentacion de este metodo. Primero se ilustraranlos aspectos geometricos del problema mediante un ejemplo que permita exhibirla relacion entre las propiedades geometricas y algebraicas de las soluciones alproblema de programacion lineal.

Figura 4.3: Region de soluciones factibles

Metodo geometricoSe considera el problema de programacion lineal: Min z = y - x + 1Sujeto a: -2x + y = 2 x - 2y = 2 x + y = 5x = 0 , y = 0

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Los puntos del plano de coordenadas no negativas que satis- facen las re-

stricciones, son los que conforman la region poligonallimitada por las rectas y = 2x + 2, y = -x + 5, y = 0.5x - 1 y losejes coordenados, como se ilustra en la Figura 4.3. Dicha regionse llama region de soluciones factibles.

Por otra parte, la funcion objetivo z = y - x + 1 se escribe como y = x +z - 1 que es una familia infinita de rectas paralelasdependientes del parametro z . En la Figura 4.4 se muestran estas rectas paravalores de z iguales a 2, 1, 0 y -2 y, en la tablasiguiente, las ecuaciones respectivas.

z 2 1 0 -2ecuacion y = x +

1y =x

y = x -1

y = x -3

Figura 4.4: Corrimientos paralelos de la funcion objetivo.

Cuando se fija un valor de z , por ejemplo z = 2, y se traza la respectivarecta de la funcion objetivo, y = x + 1, se determinanlos puntos (x, y ) que evaluados en la funcion objetivo, z = y-x +1,producen el valor z = 2. Esto permite, por inspeccion del grafico,determinar el mınimo (o maximo) valor de z cuya respectiva recta de la fun-cion objetivo interseca la region de soluciones factibles en al menos un punto.Observe que una de estas rectas que no corte la region de soluciones factibles,no determina puntos (x, y ) que sean soluciones factibles al problema de progra-macion lineal. Ası, los desplazamientos de la rectas objetivos seran limitados aque dichas rectas intersequen la region de soluciones factibles.

En el ejemplo, a medida que z disminuye, se desplazan las rectas y = x +z - 1 hacia la parte inferior del polıgono, alcanzandose el valor mınimo de z en

el vertice (4,1), para el cual z = -2.Siempre en referencia a la Figura 4.4, observese que el maximo de z que es 4,se alcanza en el punto (1,4) que corresponde al maximo desplazamiento posiblede las rectas paralelas de ecuaciony = x + z - 1, (z = -x + y + 1), hacia la parte superior de laFigura 4. El punto (1,4) es el mismo vertice donde la funcion-z = x-y-1 alcanza su mınimo, que es -4. Se ve que un problemade maximizacion se puede convertir en uno de minimizacion yrecıprocamente, con solo cambiar el signo de la funcion objetivo.Ambos problemas tienen la misma solucion. Es decir, tanto el m ınimo como elmaximo se alcanzan en el mismo punto.

El enfoque geometrico, ademas de lo anterior, pone en evidencia que el valoroptimo de la funcion objetivo se alcanza en un vertice del pol ıgono (region de

soluciones factibles) o even- tualmente en una arista, en cuyo caso el problematiene infini- tas soluciones optimas. Desde luego que tal resultado vale y sugeneralizacion a problemas con mas variables requiere caracterizar, entre otros,el concepto de vertice del conjunto de soluciones factibles, mas comunmenteconocido como punto extremo.

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Estas propiedades geometricas dan origen al desarrollo y fundamentacion

matematica del metodo simplex , cuya estrategia de solucion podemos describircomo:

1. (a) i. A. Caracterizar las soluciones de punto extremo (vertices).

B. A partir de una solucion de punto extremo, generar otrasolucion de punto extremo que disminuya el valor de la fun-cion objetivo.

C. Este ultimo paso se repite hasta que:

D. no es posible mejorar la solucion y se evidencia que se estaen una solucion optima,

E. o se reconoce que se pueden encontrar soluciones facti- blesque hagan tan “pequeno” como se quiera el valor de la fun-

cion objetivo, en cuyo caso, el problema no tiene una solucionoptima (la funcion objetivo no esta acotada inferiormente).

Estas ideas seran las conductoras en el desarrollo siguiente de la solucion al-gebraica al problema de programacion lineal, aunque en algunos casos se omitirala respectiva fundamentacion teorica.

Solucion algebraica: metodo simplexEl enfoque geometrico es irrealizable cuando intervienen mas de tres variables,puesto que el ojo humano no ve mas alla de tresdimensiones. Por eso es necesario desarrollar y fundamentar un procedimientoalgebraico teorico, que resuelva nuestro problema.

Definicion 4.1 (Programa lineal)Un programa lineal consta de una funcion z = c 1x 1 + +cnxn +z 0llamada funcion objetivo, la cual debe ser maximizada o minimiza- da, y un sistema de ecuaciones lineales m × n (m restricciones):? a 11x 1?+ + a 1nxn

= b 1?? a 21x 1 + + a 2nxn = b 2...?

...

...

...

...?? am 1x 1 + + am 1xn = bm donde xi = 0 y la matriz de coeficientes A = (aij )m ×n tiene rangom.

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En forma mas resumida, el problema de programacion lineal lineal se planteacomo:

Minimizar z = cx, sujeto a Ax = b y x = 0 donde c = (c 1, . . . , cn ), x =(x 1, . . . , xn )t y b = (b1, . . . , bm )t.

Definicion 4.2 (Solucion factible)Una solucion factible de un programa lineal Minimizar z = cx, sujeto a Ax = b y x = 0es cualquier vector x, tal que Ax = b y cuyas coordenadas son no negativas, es decir, x = 0.

Definicion 4.3 (Solucion optima de un programa lineal)Una solucion optima de un programa lineal es una solucion factible x* para la cual la funcion objetivo alcanza su valor m ınimo. Es decir z (x* ) = z (h ) para todo h tal que Ah = b, h = 0.

Observaciones:

1. (a) i. A. Un programa lineal puede ser de la forma

max z = cx sujeto a Ax = b, x = 0.En tal caso es equivalente resolver el programa lineal min - z = -cx sujeto a Ax = b, x = 0.puesto que el maximo de z (si existe) se alcanza en los mismos puntos en loscuales w = -z alcanza su mınimo. Y minw = - max z .

1. (a) i. A. Las restricciones pueden ser, no solo ecuaciones, si no tam-bien inecuaciones. En cualquier caso, como se vera masadelante, las inecuaciones de un programa lineal siempre sepueden escribir como ecuaciones.

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Definicion 4.4 (Programa lineal canonico)

La formulacion de programa lineal tiene la forma canonica y de- cimos que es un programa lineal canonico, si satisface las tres condiciones siguientes:

1. Los m vectores canonicos e 1, e 2, . . . , em de IRm, son columnas de la matriz A, en algun orden. Las variables asociadas a estas columnas se denominan variables basicas y las restantes variables no basicas.

2. La funcion objetivo no depende de las variables basicas, es decir, los coeficientes asociados a las variables basicas son cero.

1. Los lados derechos de las restricciones son no negativos, esto es, bj = 0,para j = 1, . . . , m.

Ejemplo 4.3 Considere el programa lineal min z = 5x 1 + 3x 4 - 2x 5 + 1sujeto a las restricciones:? -6 x 1 + x 3 - 2x 4 + 2x 5 = 6-3 x 1 + x 2 + 6x 4 + 3x 5 = 15? xi = 0 ? i

Las columnas 3 y 2 de la matriz del sistema de estas dos restricciones, son losvectores canonicos e 1 y e 2 de IR2. Luego las variables x 2 y x 3 son variablesbasicas y la funcion objetivo no depende de estas variables. Ademas los valores

b1 y b 2 son no negativos: 6 y

1. Por lo tanto este programa lineal tiene la forma canonica.

Definicion 4.5 (Solucion basica factible)Una solucion basica factible de un programa lineal en la forma canonica es una solucion factible, para la cual las variables no basicas valen cero.

Dos aspectos de las definiciones dadas hasta ahora, merecen resaltarse:

1. (a) Las soluciones basicas factibles corresponden a soluciones de puntos

extremos (o vertices) de la region de soluciones factibles, lo cual noentramos a justificar.

(b) La formulacion canonica de un problema de programacion lineal per-mite conocer, de manera trivial, una solucion basica factible.

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En el ejemplo anterior, haciendo cero las variables no basicas,

x 1 = x 4 = x 5 = 0, se reduce el sistema de restricciones a:. x 3 = 6x 2 = 15Por lo tanto x 2 = 15, x 3 = 6 y x 1 = x 4 = x 5 = 0, constituye una solucionfactible. Ası, (0, 15, 6, 0, 0) es una solucion basica factible porque es factibley las variables no basicas valen 0. Ademas, el valor de la funcion ob jetivo enesta solucion basica factible esz = (5, 0, 0, 3, -2)(0, 15, 6, 0, 0)t + 1 = 1Ejemplo 4.4 El programa lineal asociado con el modelo de produccion (pagina114) es min z = 50x 1 + 60x 2 sujeto a? 50 x 1 +30x 2 = 20006 x 1? 3x 1

con xi = 0 ? i . Para formular este programa lineal como un pro-grama lineal canonico se convierten las inecuaciones en ecuacionesagregando variables de holgura: x 4 materia prima sobrante, x 5 tiempo demaquinas no utilizado y x 6 fuerza de trabajo no em- pleada. Ası el problemase plantea como:min z = 50x 1 + 60x 2 sujeto a:? 50x 1 + 30x 2 + x 3 = 2000?con xi = 0 ? i = 1, . . . 6. Observe que en este caso, se ob- tiene unaformulacion canonica con variables basicas x 3, x 4 y x 5. De la cual se deduceuna primera solucion basica factible: (0, 0, 2000, 300, 200), que correspondea no producir nada, x 1 = 0 y x 2 = 0, con lo cual sobran la totalidad de los

recursos disponibles.En general un programa lineal escrito en la forma:min z = .n cixi + z 0 sujeto a? a 11x 1?+ + a 1nxn = b1?? a 21x 1 + + a 2nxn = b2...?......

...

...?? am 1x 1 + + am 1xn = bm donde xi = 0 y bj = 0, es equivalente al programa lineal canonico:min z = .n cixi + z 0 sujeto a? a 11x 1

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?

+ + a 1nxn + xn +1= b 1?? a 21x 1 + + a 2nxn + xn +2 = b 2...?.... . . ...?? am 1x 1 + + am 1xn + xn +m = bm con xi = 0 ? i = 1, . . . , n + m y bj = 0 ? j.

Cuando el valor de alguna variable basica, en una solucion basica factiblese anula, se dice que la solucion es degenerada. En estos casos, la teorıa dela programacion lineal debe contemplar situaciones especiales. En el marco de

estas notas se supondra que los problemas planteados no conducen a solucionesbasicas factibles degeneradas, salvo mencion contrariaCon la caracterizacionde las soluciones extremas como soluciones basicas factibles y la obtencion deestas mediante la formulacion del problema de programacion lineal en la formacanonica, podemos centrarnos en el problema de buscar una solucion optima.

Resultados que conducen la busqueda del optimoConsideremos un problema de programacion lineal con la forma canonica:Min z = cx, sujeto a Ax = b y x = 0.Y supongamos que la matriz A, de orden m × n con n > m , tiene los vectorescanonicos, e 1, . . . , em , ocupando ordenadamente las primeras m columnas.Ası, el sistema de restricciones Ax = b se escribe en su forma columnar como:

x 1e 1 + + xmem + xm +1Am +1 + + xnAn = bdonde Am +1, . . . , An son las ultimas n - m columnas de A. Con esto setiene tambien que:

1. (a) x 1, x 2, . . . , xm son variables basicas.

(b) xm +1, . . . , xn son variables no basicas.

(c) c 1 = c 2 = = cm = 0. (Porque se supone que el problema tiene laforma canonica).

(d) x* = (b1, . . . , b m , 0, . . . , 0)t ? IRn es una solucion basicafactible.

Como se vera, la argumentacion siguiente no depende de que las variables

basicas sean las primeras m , de manera que la unica hipotesis importante esque el problema tiene la forma canonica. La eleccion anterior —el orden en lasvariables basicas— solo fa- cilita la escritura de ideas.

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