Algebra booleana

Las algebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un lugar prominente en el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampiamente en el diseno de los circuitos de distribucion y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras areas. En el nivel de la logica digital de una computadora , lo que comunmente se llama hardware, y que esta fomado por los comppnentes electronicos de la maquina, se trabaja con diferencias de tension, las cuales generan funciones que son caliculadas por los circuitos que forman el nivel. Estas funciones, en la etapa de diseno del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

Introduccion

El algebra es un sistema matematico deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “*”, definido en este juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Definicion

Para cualquier sistema algebraico existe una serie de postulados inciales, de aqui se puden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el algebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Algebra Booleana

El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valoers booleanos se produce un solo resultado booleano.

Cerrado

Se dice que un operador binario “⁰” es conmutativo si A⁰B=B⁰A para todos los posibles valores de A y B.

Conmutativo

Se dice que un operador binario ”⁰” es asociativo si (A⁰B)⁰C=A⁰(B⁰C) para todos los valores booleanos de A,B y C.

Asociativo

Dos operadores binarios “⁰” y “%” son distributivos si A⁰(B%C)=(A⁰B)%(A⁰C) para todos los valores booleanos de A, B y C.

Distributivo

Un valor booleano I se duce que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “⁰”si A⁰I=A.

Identidad

Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “⁰” si A⁰I=B, y si B es diferente de A, es decir, B es el opuesto de A.

Inverso

Es posible probar todos los teoremas del algebra booleana utilizando estos postulados, ademas es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas mas importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teoremas

La operación AND se representa con el simbolo ”*”. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminara el sombolo *, por lo tanto AB representa la operacion logica AND entre las variables Ay B, a esto tambien le llamamos el producto entre A y B.

Operación logica AND

La operación logica OR se representa con el simbolo “+”. Entonces decimos que A+B es la representacion logica OR entre A y B, tambien llamada la suma de Ay B.

Operador logico OR

El complemento logico, negacion “NOT” es un operador unitario, en este texto utilizaremos el simbolo ‘ para denotar la negacion logica, por ejemplo, A’ denota la operación logica NOT de A.

Operación logica NOT

Compuertas logicas

La salida de un a compuerta AND es 1, solamente si todas sus entradas son simultaneamente 1, de lo contrario es 0.

Puerta AND.

La salida de una compuerta OR es 1 solamente si todas sus entradas son simultaneamente 0, de lo contrario es 1.

Puerta OR

Un inversor es una puerta de solamente una entrada y su salida es el complemento logico de la entrada es decir, cuando a la entrada de una puerta NOT hay un 1 su salida sera 0, y de loc ontrario cuando su entrada es 0, su salida sera 1.

Inversor o puerta NOT.